伯努利游戏玩法

前两集我讲解了我努力的连续计算公式，但是有很多朋友表示吃不了这碗饭，没关系，我可以硬喂。为了方便大家计算，我把它做成了一款游戏。就像这样，只要你改变它的自身概率或改变它的实验次数，均可以得到连对的上限与连错的上限。就像这样， 我努力的最大连续处求解是高中必学的课程，在高考的时候也会用到。链接在抖音免费会员群的群收藏中，直接微信扫码即可体验。

哈哈哈，不一定能成哈，你到时候太容易失败了。吹风机，乒乓球第一个低风速， 我们发现乒乓球就稳定在上面了，对不对？这时候我左右移动，乒乓球也会跟着我移动，我倾斜，这个乒乓球呢，它也不会掉下去， 为什么会这样呢？嗯，这个现象称为搏努力原理啊，什么叫搏努力原理呢？简单来说就一句话，流速越大的地方压墙越小， 中间那个空吹风机吹的地方流速是比较大的，它的压墙比较小，而周围的空气没有流动，所以它的流速比较小，压墙就大，这样就导致啊，他们之间产生了一个压力差在这个风圈里面， 所以我们左右移动啊，是倾斜啊，这个乒乓球都不会轻易的掉下来，这就是大名鼎鼎的我们的原理。知道原理之后呢，我们就有多种玩法，第一种就是增大风速，哎，再放一个乒乓球， 这时候呢，因为这个气流更混乱，所以呢内插也会比较混乱，乒乓球就会出现这种流动啊，甚至可以放三个乒乓球 啊，就会非常好看，哈哈哈。第二种玩法，伯努利，原理呢，主要需要气流，即使我们没有吹风机也可以，比如说拿一根吸管 也可以实现类似的现象，甚至我们不用吸管，直接用嘴， 哎，不行了哇，还有谁记得点赞关注哦！

这是概率背后的数学第三十五集，今天我们再讲一个三百年前的数学公式。 上节我们学会了薄努力的最大连续失败上线计算公式。当你正要大展拳脚时，你发现它老是正确，一直不失败怎么办？没关系，薄努力早就给你准备好了。这一集我们讲他的孪身兄弟最大连续成功上线的计算公式， 注意，是最大连续成功上线。 lon 呢？ n 分 之 lon 一 除以 p 是 不是跟上级有一点像？ n 还是试验总数？这里一除以 p 是 一除以单次成功的概率。比如抛硬币正面的概率是百分之五十，可以用零点五表达， 一除以零点五等于二。这个公式用以基于概率期望的计算，实际可能会有波动。举个例子，从零到九十个号码中，随机选择两个数字，连续选择五千次，最多会连续正确多少次？注意， 是连续正确的次数。你不需要真的去试五千次，只需要计算器输入 l n 括号，五千 括号除以括号。 l n 括号十个里面选两个数字就是百分之二十，百分之二十的数学表达就是零点二一，除以零点二就等于五括号括号，那么得出的结果就是五点二九。也就是说， 连续选择五千次，最多只能连续对五到六次，之后就会出错。所以你现在就可以可不敢胡说啊，没想到吧，不努力真是你肚子里的蛔虫啊， 他该不会是个赌鬼吧？无论你如何计算，在现有彩票规则下，你都占不到半点便宜，都是数学为你设计好的陷阱。下集我们再深入讨论一下。点击我的头像，点击专属会员，欢迎加入我的抖音会员群。

乒乓球扔盆里，瓶子底部扎个洞，让水流流出来。 接下来你要做的就是用水流操控乒乓球的前行。你只需要将水流浇到乒乓球上面，乒乓球就会随着水流而一起移动。

这是概率背后的数学第三十四集。今天我们要讲一个三百年前的数学公式。 还有很多人质疑彩票造假，甚至口出狂言，能无数次证明彩票造假，甚至有人说，如果彩票不造假，还是值得晚的。我滴个亲娘哎，我当然知道他们是怎么想的，这就是高认知对低认知的向下兼容，就像猜大小，竟然连续错了十次，下次应该对了吧， 只要再错，他们就认为作弊了。最神奇的是，仅仅依靠我认为，我觉得，难道你觉得用这种主观感受，完美地绕过所有数学知识，得出一个自我肯定的判断，质疑了所有环节的公正性？ 就是没有怀疑过自己的文化水平。殊不知，早在三百年前，薄努力就已经给出了判断公式， line n 负 line p。 这里 p 是 单次失败概率， n 是 试验总数。这个公式用以基于概率期望的计算，实际可能会有波动。举个例子，从零到九个号码中，随机选择一个数字，连续选择五千次或连续失败多少次，你不需要真的去试五千次，只需要使用计算器输入。 计算器里 l n 没用过吧？五千次破胡，除以破胡，不 l n 破胡，单选一个数字的错误概率为零点九，也就是百分之九十破胡破胡。 这样得出一个结果，就是连续最大失败次数为八十次。简单吧，没想到吧，原来你只会加减乘除，无论你如何计算，在现有彩票规则下，你都占不到半点便宜， 都是数学为你设计好的陷阱。下次再想证明，请用数学公式。点击我的头像，点击专属会员，欢迎加入我的抖音会员群。

小朋友们大家好呀，今天给大家变个魔术，你看，气球在空中飘起来了，这就是我们科技馆里的气流投篮，其实是空气在变魔术， 它是用一股向上吹的风，把气球稳稳的托在空中，让我们能像投篮一样玩。这里藏着一个叫伯努利原理的小秘密， 风跑的越快的地方压力越小，风跑的越慢的地方压力越大。当风往上吹，碰到气球时，气球中间的风跑得越快， 压力小，旁边的空气跑得慢，压力大，这样就形成了一个看不见的空气小手，只要气球一歪，旁边的大的气压就会立刻把它推回风的中间，让它怎么晃都掉不下来。 我们就是利用这个有趣的现象，轻松和气球投篮互动，在玩的过程中悄悄学会了空气的小秘密。那小朋友们还知道我们生活中有哪些关于空气的小秘密吗？

这姐俩总是在我看不见的时候就开始搞创作了。我们这是彩云蛋糕。这么爱玩，咱今天就玩点不一样的游戏。找个吹风机，拿个感统圈， 准备一个乒乓球挑战漂浮的乒乓球过山洞，难度可以升级，看看谁能一次性把球稳稳的传过去。越玩越起劲的小游戏，专注力、反应力、手眼协调全练到了 还能顺便给孩子讲讲这里面藏着的物理知识，博努力原理。 we dive to standing to the water。

博努力原理如何让我手中的圆盘在空中悬浮起来？让我们做个实验吧！开启吹风机，高速气流会贴着圆盘上表面流过，使上表面流速远大于下表面。根据博努力原理， 上下形成的压墙叉，再加上康达效应，让气流附着盘面稳定位置，最终向上的合力与圆盘重力平衡，圆盘就会稳定悬浮。

同学们好，这节课我们来上高中数学选修三第七章的第八节课。这节课我们来学习一个特殊的分布，我们称为二项分布。 在现实生活中，我们经常会大量重复的做某一件事情，那如果我们涉及到要研究一个大量重复做的一个事情，它发生的概率与这样的事情有关的期望方差的问题， 我们需要把这种事情它的特点给它分析出来，以便于简化我们的计算。 我们先来看这个探讨，要研究抛掷硬币的规律，需要做大量的掷硬币试验， 试想每次试验的前提是什么？每次试验他的结果有几种？那很显然，每次试验的前提得是在相同的条件下做实验，并且每一次试验的结果他只有两种，要么正面向上，要么反面向上。 第二，各次试验的结果他是没有任何影响，他们的结果是相互独立的。 因此呢，我们抛硬币这个试验，我们需要做大量的试验，每一次抛硬币他们之间是没有任何影响，所以说呢，他是独立的，那我们重复做，每一次抛硬币正面向上或者反面向上的概率都是一样。 那所以说呢，抛硬币这个试验他就满足了大量独立，并且是重复这样一个规律。 那么我们把这种实验给它称为恩重博努力实验，只包含两个可能结果的实验叫做博努力实验，就是我们抛硬币要么正面向上，要么反面向上。我们投篮要么投中，要么投不中。我们打靶要么打中，要么打不中。 将一个博努力实验独立的重复进行 n 次所组成的随机试验称为恩重博努力实验。 恩从薄努力实验，它具有如下共同特征，第一，同一个薄努力实验，重复做恩次。 第二，各次试验的结果相互独立。但我们把这个恩从薄努力实验呢，它的关键词给它提炼出来，首先就得是大量，大量就是要做恩次，要多次做。 第二，他要独立，就是每一次试验他们发生的结果都互不影响。第三，就是重复，重复的意思就是每一次做试验，某件事情他发生的概率都是不变的，就像我们抛硬币，每一次抛正面向上的概率都是 f b， 在这种要求下，我们重复做才符合恩从薄努力实验。那么接下来我们来判断一下下列试验是不是恩从薄努力实验。第一，依次抛至四枚质地不同的硬币，三次正面向上， 那因为这四枚硬币的质地是不同的，那所以说呢，正面向上的概率是不一样的，所以说呢，他不符合我们的要求，每一次发生的概率相同。因此呢，这个他不是。 第二，某人射击击中目标的概率是稳定的，他连续射击了十次，其中六次击中，那很显然他符合了射击十次是大量， 概率稳定，那就满足了独立和重复。那所以说呢，这一个他是恩重伯努利实验。 第三，口袋中装有五个白球，三个红球，两个黑球，依次从中取五个球，恰好取到四个白球。 那很显然呢，因为他是依次取，所以说呢，你每一次取出来以后，球的个数都会发生改变，导致他对应的概率也会发生改变。所以说呢，这一个也不是恩从薄努力试验， 同学们抓住三个关键词，大量、独立和重复。那如果符合了，他就是恩重薄努力实验。 那我们再来看一下这个选择题。下列事件是恩重薄努力实验的选项。 a 运动员假设计一次射中九环与射中八环，那他只射了一次，很显然呢，他不符合大量选项。 b。 甲乙两运动员各设计一次，只设一次，肯定不符合大量选项。 c 甲乙两运动员各设计一次，那很显然又是不符合大量 选项。到在相同的条件下，甲设计十次，五次集中目标，那么这一个就符合大量重复，独立。以此呢，他是恩重不努力实验。 我们再来看这个探讨。在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮三次，每次投篮命中率都是零点八，用 a i 表示第 s 投篮命中这件事， 用 b 一 表示仅投中一次。这件事第一是用 a i 表示 b 一， 他投三次，仅投中一次，那所以说呢，这个 b 一 他的情况就是有可能是第一次投中，另外两次都没有投中， 还有可能是第一次没投中，第二次投中了，第三次又没有投中，还有可能是第一次，第二次都没有投中，他第三次投中，那么这就是仅投中一次这件事。 那么我们来求一下仅投中一次，他发生的概率。投中的概率是零点八，投不中概率是零点二，那所以说呢，是零点二的平方，那么每一个都是这样，所以说呢，我们再给他乘以三， 那么这个结果呢，我们就可以写成三乘上零点八，再乘上零点二的平方。 那我们根据前面我们学的排列组合的知识，我们能不能换一种计算的方法，仅投中一次， 那就说明三次中，有一次投中，那么有一次投中，他对应的就是零点八的一次方，但另外两次没有投中，那就是一减去零点八他的平方。所以呢，我们利用排列组合的想法，对他的计算就会变得比较简单。 那我们再来看第三用 b k 表示投中 k 次这件事情，那我们来求一下投中两次和投中三次， 那么投中两次，那我们也按刚才的用排列组合的思想来解，那就是有两次投中，那么他就是零点八的平方，那么有一次没有投中，那就是乘上一减去零点八， 如果投中三次，那就是 c 三三投中了，那就是零点八，所以说他是零点八的三次。 那我们根据上面这个问题，我们可以总结出来一个什么样的结论呢？那我们就可以总结出来，他投中 k 次，他的计算就是 c 三 k 投中了，就是零点八的 k 次，没有投中，那就是一减去零点八的三减 k 次方， 那么这个其中 k 的 值，它可以等零，也可以等一，也可以等二，还可以等三。 我们写出来的这个式子和我们之前学的哪一个知识点是相关的呢？那同学们应该可以发现它和我们学的二项展开式是一致的。因此我们把这种用 n 从伯努里实验得出来的一个概率结果给他起一个专门的名字， 那么它就是二项分布。一般的在 n 从伯努利实验中，设每次试验中事件 a 发生的概率为 p， 用 x 表示事件 a 发生的次数， 就是你做了 n 次，有多少次发生了？那我们举个例子，就是你投篮投十次，我们要去计算你投中几次的概率。你抛硬币抛十次，我们要去计算有多少次正面向上的概率， 那么则对应的 x 的 分布列，那么这一个就是用公式的形式来写分布列。 当 x 整 k， 它表达的意思就是我做了 n 次，其中发生了 k 次，到底哪 k 次发生了呢？那就是 c n， k 发生的话，就是 p 的 k 字旁，那没有发生，那就是一减 p， 它的 n 减 k 字旁，那其中这个 k 的 值呢？它是从零到 n， 那如果随机变量 x， 它的分布具有以上的形式，则称随机变量 x， 它服从二项分布，我们把它记住这个符号，其中的 n 表示试验的次数， 那么其中的 p， 它表示每次试验事件 a 发生的概率。如果我们研究抛硬币，那我们就可以把它写成 这个随机变量 x， 它服从二项分布，那我们如果抛十次，每一次正面向上的概率是二分之一，那么它对应的符号就是这种表达。如果你投篮能命中的概率是零点八，那我们研究你投十次有多少次投中的问题的时候，那么它的表达形式就是这样去记， 如果我们把 x 的 分布列用表格的形式写出来，它会是什么样的？这里我给同学们来写一下这个随机变量 x， 它的值有可能是零次，一次，两次 k 次，一直到 n 次，那么它对应的概率零次的话，那就是 c n 零，因为它没有发生，所以说呢， n 次全部都是没有发生，那就是 e 减去 p 的 n 次方，如果发生一次，那就 c n 一 发生一次，那就是 p， 还有 n 减一次没有发生，所以说就是一减 p 的 n 减一次方，发生两次，那就 c n 二对应的乘以 p 的 平方。还有 n 减二次没有发生，那就是一减 p 的 n 减二次方， 发生了 k 次，那就 c n k 发生了，那就是 p 的 k 次方没有发生，那就是一减去 p 的 n 减 k 次方，发生 n 次，那就 c n n 发生，那就是 p， 所以 说就是 p 的 n 次方。 同学们可以看到我们写出来的这每一项，它其实都是二项展开四中的项，那所以说呢，我们就把这个称为二项分布。 再给同学们提示一下两点分布与二项分布他们的联系。两点分布与二项分布呢，它的随机变量都是只有两个结果， 两点分布它对应的就是要么发生，要么不发生。那么这个两点分布呢，它其实就是一个最简单的 n 等一的时候的二项分布，就只做一次试验，因为它不符合大量重复。所以说呢，我们把它单独列出来， 同学们也可以把它理解为当 n 等一的时候的一个二项分布。好，接下来我们来看这道题目。某公司的一次招聘中， 应聘者都要经过 abc 三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试，即可被录用。若甲乙丙三人通过每项测试的概率都是二分之一，求甲被录用的概率。 假被录用，就是他通过了两个或三个项目的测试。那我们先来算一下，他通过两个项目的测试，那就是 c 三二通过了，那就是二分之一的平方，没有通过，那就是二分之一，所以说这个是八分之三。 他通过三个项目的测试，那就 c 三三，然后是二分之一的三次方，所以说这个是八分之一。 所以说呢，甲通过的概率，那就是八分之三，加上八分之一，那因此呢，这个概率是二分之一， 那同样乙和丙通过的概率也都是二分之一。好，接下来呢，我们来看第二题。设甲乙丙三人中被录用人数为 x， 求 x 的 分布，那么由奇异可知，这个 x 的 值，它是等于零一二三， 并且甲乙丙他被录用的概率都是二分之一，那所以说，如果没有人被录用，那就是 c 三零二分之一的三次方。 如果有一个人被录用，那就是 c 三一二分之一，乘上二分之一的平方。如果有两个人被录用，那就是 c 三二二分之一的三次方。如果三个人都被录用，那就是 c 三三二分之一的三次方。 我们列出来它的分布列 x 的 取值是零一二三，那么它对应的概率有零，个人被录用的概率，它是八分之一，有一个人被录用的概率是八分之三，有两个人被录用的概率也是八分之三，有三个人被录用的概率是八分之一， 所以说呢，这就是随机变量 x 的 分布列第三问，让我们求甲乙丙三人中至少有两人被录用的概率 至少有两人，那就是这个随机变量 x 的 值大于等于二，那么他就是 x 等于二的概率，加上 x 等于三的概率，所以说呢，这个结果算出来是二分之一， 这个问题呢，它其实就是两个恩从薄努力实验。每一个人去做测试的时候，它就是一个恩从薄努力实验，那么这三个人去做，它就是一个恩从薄努力实验。所以说呢，同学们能把这个问题分析出来，它对应的概率的计算就变得比较简单了。 我们再来看这道题，已知某种从太空飞船中带回来的植被种子，每粒成功发芽的概率都为三分之一。 某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验失败。 第一题，第一小组做了三次试验，即该小组试验成功的次数为大 x， 求 x 的 分布点。那我们根据提议，先来看一下这个 x 的 取值情况。 他做了三次实验，那有可能零次成功，也可能一次，也可能两次，也可能三次成功。有提议我们可以知道，这个随机变量 s 呢，他服从二项分布，做了三次实验，每次实验发生的概率是三分之一， 那所以我们就可以去求他所对应的概率。如果有零次成功，那就是 c 三零，不成功的概率是三分之二，那所以说是三分之二的三次方，这个结果是二十七分之八。 如果有一次成功，那就是 c 三一，成功的概率是三分之二，所以说是三分之二的平方，那么这个结果是二十七分之十二。如果有两次成功， 那么就是 c 三二成功，就是三分之一，那么三分之一的平方，不成功是三分之二，以此这个结果是二十七分之六。如果三次都成功，那就是 c 三三，那是三分之一的三次方，所以说这个是二十七分之一， 那么这个概率算出来和是一，那因此呢， x 的 分布列，我们把它写在表格中，成功零次的概率是二十七分之八，成功一次的概率是二十七分之十二，成功两次的概率是二十七分之六，成功三次的概率是二十七分之一。 好，我们来看第二题。第二小组进行试验，到成功了四次为止，求在第四次成功之前共有三次失败的概率， 他在第四次成功之前有三次失败，那说明一共做了七次实验，那么这七次的前六次中有三次失败， 所以说呢，这六次中我们选出三次让他失败，那有三次成功，他的概率是三分之一的三次方，还有三次失败，那就是三分之二的三次方，然后再乘上第七次是成功的，那这个概率是三分之一， 所以说呢，这个结果算出来是两千一百八十七分之一百六十。 那么这个问题就有点我们前面学排列组合的时候所涉及到的问题。到第四次成功，说明他前面是成功了三次，前面还失败了三次，所以说呢，一共是做了七次，那我们把这个顺序给他排好，然后用排列组合的知识去计算就可以了。 我们再来看探求三，若随机变量 x 服从二项分布，那么 x 的 均值和方差是什么呢？ 我们按照均值和方差的概念去计算，就会得出来一个非常复杂的式子，那么这个式子的化简是非常的复杂，它需要利用组合数的性质对它进行化简，为了节省时间，我们就不再对这个式子的化简过程进行书写了， 直接告诉同学们服从二项分布它对应的均值和方差的结果。 如果随机变量它服从二项分布，那么它所对应的期望的值就是 n 乘以 p。 这个同学们来想一下就可以了，就是抛硬币每一次正面向上的概率是二分之一，如果抛十次，你去猜它大概会有多少次正面向上呢？ 凭感觉我们就会觉得他应该是五次正面向上。如果你投篮投中的概率是零点八，你投十次大概能投中多少次，那你这个期望呢？就是十乘以零点八，大概就会投中八次。 所以说呢，这一个就表达的是这样一个意思，那么它的方差就是 n 乘以 p， 再乘上一减 p， 那 如果我们还可以写成 n p q， 其中呢，你要知道， q 就是 等于一减 p， 就是 n 乘上发生概率，再乘上不发生的概率。 看到了这两个结果，同学们就知道为什么我们要学二项分布，因为二项分布他的期望与他的方差计算都非常的简单，我们根据他做事业的次数和每一次发生的概率，就直接可以得到他对应的期望的值和方差的值。 那么特别的 x 如果服从两点分布，它的期望就是等于 p， 它的方差就是等于 p 乘以 q， 因为这里面的 n 等于一，所以说呢，你按照 n 等于去记就非常的简单。 那我们来看一下这道题。随机变量 x 服从二项分布大 y， 它和 x 有 一个现行预算，让我们求大 y 对 应的期望的值， 那么根据前面我们学期望的时候它的性质，那么它就等于两倍的 x 的 期望，然后再减去八，那么 x 的 期望呢？它就是十乘上零点五，然后再减八，那所以说这个结果就是等于二。 他和前面我们学的期望的限行预算做了一个结合，我们来看一下这道题目。将一个半径适当的小球放入如图所示的容器的最上方的入口处，小球自由下落。 在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物三次，最后落入到 a 袋或 b 袋中。已知 小球每次遇到障碍物时，向左和向右两边下落的概率分别为三分之一和三分之二。第一问，分别求出小球落入 a 袋和 b 袋的概率。我们用 m 表示小球落入 a 袋，我们用 n 表示小球落入 b 袋， 那么他怎么着才会落入 a 带呢？他第一次进来碰到这个障碍物向左，然后第二次再向左，然后第三次再向左，他会进入 a 带，或者是第一次向右，第二次也向右，第三次还向右， 他也会落入 a 代。那所以说呢，落入 a 代的概率，那就是三分之一乘以三分之一，再乘以三分之一，这是从左边落入，然后三分之二乘以三分之二，再乘以三分之二，这是从右边落入。 所以说呢，这个结果算出来，他是三分之一，那所以说落入 b 代的概率，那就是一减去落入 a 代的概率，那就是等于三分之二。 好，接下来我们看第二题。在容器的入口处依次放入四个小球，既可 c 为落入 b 带小球的个数，求可 c 的 分布列均值和方差， 那由其可知呢？这个可 c， 它是服从二项分布，落入 b 带的概率呢，是三分之二， 我们用公式来写出它的分布列，那么是 c 四 k 发生的概率就是三分之二的 k 次方，那么没有发生的，那就是三分之一的四减 k 次方，那么这个 k 的 值呢，它是等于零一二三四， 这里呢，表格我就不再列了，同学们自己算出来对应的概率，把表格列出来就可以了。那么我们来用公式算一下它的期望，期望是 n p， 那 就四乘以三分之二， 所以说呢，他的期望是三分之八，那个方差呢是 npq， 那 所以说就是四乘上三分之二，再乘以三分之一，那因此这个结果是九分之八。当我们能分析出来他是二项分布了以后，我们去求期望和方差就会变得非常的简单。 我们再来看这道题目，某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为四分之三，某班三名同学商店明天分别就同一问题 询问该服务中心，且每人只拨打一次第一题，求他们中成功咨询人数 x 的 分布列，那么尤其我们可以知道这个 x 呢，它是服从二项分布的，三个人每次接通的概率是四分之三， 那所以说呢，它对应的这个分不列，我们用公式去写的话，那就是 c 三 k 接通了，就是四分之三的 k 次方，那没有接通，那就是四分之一的三减 k 次方，这个 k 的 值，它是零一二三。 表格呢，我这里就不再画了，同学们把 k 等于零一二三分别代入，就可以求出来，那么你明白了，他是一个二项分布以后，他的期望就变得非常的简单，那就是三乘上四分之三，那就是四分之九， 同样他的方差也会变得非常简单，那就是三乘以四分之三，再乘上四分之一， 那么对应的结果就是十六分之九。因此这道题最关键的点还是我们要去判断他是不是恩重不努力实验，如果是他对应的这个随机变量就会服从二项分布， 那我们用对应的二项分布的公式就可以写出来它对应的概率，那再利用期望和方差的公式，就可以求出对应的期望与方差。好了，这节课的内容呢，到此我们就讲完了，我们把今天所讲的主要内容再给同学们来总结一下。 今天我们讲了三个问题，第一个问题呢，就是恩从不努力实验，如果一个实验呢，他就是恩从不努力实验。 我们在 n 从不努力试验中，我们研究每次试验中事件 a 发生的次数得到的一个分布列，我们把这种分布列呢称它为二项分布， 因为它每一个对应的概率都是二项展开式中的每一项。同学们要注意它的记法中的 n 和 p 表达的意思， n 是 试验的次数， p 是 每次试验 a 发生的概率。 你如何去判断一个试验他的分布列是不是二项分布？主要看他是不是为恩从伯努利实验，那如果能确定下来他是恩从伯努利实验，那我们就可以确定他的分布列是服从二项分布的， 那我们确定下来他服从二项分布，他对应的期望和方差计算起来就会非常的简单，这也是为什么我们要学二项分布的一个最主要的原因，希望同学们呢，把他所对应的期望与方差的公式给他记牢。好了，这节课内容呢，我们就讲到这里，同学们再见。