构造原函数

倒数抽象不能是总是原地不离，今天教你一招逆向构造，帮你拨开原物。先看条件一下，看到倒函数减圆函数，立刻想到商的求导法则， 因为商求导分子会出现减法。商式中肯定含有 f x， 那 另一个是谁呢？看目标式中含有 e 的 x 方，那我们直接构造函数求导看一看， 看分子中立马出现了已知结构，因为它是小于零的，它横大于零，所以这个导是小于零的。 瞬间得到 f x 在 r 上是单调递减的，这就是逆向构造的威力。再看目标是左边，正好是 f x， 现在我们只需要找到 f 多少等于一就 ok 了。已知只有 f 零等于一，那我令这里的 x 等于零， 它是一，因此这个括号里应该填零。刚才说了，这个函数是单调递减的，所以脱掉 f 不 等号得改变方向。 注意，最后结果要写成集合或者是区间的形式。记住，看见导函数解圆函数直接构造商的形式，掌握结构比刷题更有效。

大家好，这里是马学未来 c 加加编程技术的分享时间， 今天继续给大家分享构造函数相关的内容。在上期视频中强烈推荐使用成员抽象列表的方式来写构造函数，只因为那样会有如下几方面的收益。 收益，一、首先是效率问题，特别是对于类类型成员用出土化列表直接调用拷贝构造函数。而传统复制方式会先调用默认构造函数，再调用复制操作符，多了一次函数调用 收益。二、一些特殊情况必须用出使花列表，比如 cos 成员引用成员没有默认构造函数的子对象，这些在传统方式中根本无法出使花。 同时，派生类必须在初识化列表中调用积累的构造函数收益。三、对于有多个成员需要初识化的类，初识化列表使代码更紧凑，意图更清晰。 不知道大家有没有想过，为什么会有构造函数的存在？如果没有构造函数会出现什么样的情况？ 创建一个对象就像申请一块原始内存，其对象内部成员变量的值是被定义的，通常是内存残留的垃圾值。因此就需要用户必须在创建对象后去调用一个如 linux 的 成员函数来出实化。 这将对象的诞生和就绪分成了两个必须的步骤，这样的操作极易出错，很容易忘记调用。 linux 为了解决问题，就需要用一个方法来保证对象在诞生及内存分配完成的那一刻起，就处于一个确定的、有效的、可用的状态。 那么这个方法就需要人为的构造出来，即构造方法，也就是我们所说的构造函数，有构造函数后，对象一旦创建，其状态就是构造函数所设定的确定状态。 构造函数将内存分配和抽象就绪合并为一个原子操作。而且更重要的是，在构造函数思想里，资源的获取就是对象的抽象。 比如文件操作，在构造函数中打开文件，在吸购函数中关闭。动态内存操作，在构造函数中分配内存，在吸购函数中释放。互持锁匙，在构造函数中枷锁在吸购函数中解锁。 如果没有构造函数这种资源寿命绑定对象寿命的自动化管理范式，就无法优雅实现了。而且通过将构造函数设置为 private 或 protected， 可以 精确控制谁能以及如何创建对象， 这也是实现单立模式、工厂模式、禁止堆占分配等设计模式的基础。至于什么是吸购函数，什么是护士所，什么是单立模式、工厂模式等，在后续的分享视频中将一一为大家揭秘，敬请各位看官的关注后续更新内容 在此我想说的是，构造函数它不是一个可有可无的语法堂，而是面向对象编程中保障对象生命周期安全确定和可控的基石机制。 它将对象的诞生仪式标准化、强制化，是编辑健壮、清晰以维护的 c 加加代码的关键。 今天的分享就到此结束了，你学会了吗？关注我，交一个懂编程的朋友啊！

哈喽，同学们，本期视频我们来讲解导数问题中的圆函数构造问题，作为很多导数题的第一步棋，重要性不言而喻，看完这个视频，让你再也不会和导数面面相觑，无从下手。接下来我们步入正题， 今天我们来讲一下导数中的圆函数问题。圆函数问题呢，往往可能会出现在比如说小题或者说大题的题干当中，那我们怎么去通过题目所给的表达式构造出我们的圆函数啊？那这个非常重要， 然后这里呢，老师总结了一些比较常见的元函数构造问题啊，这个我们都把这个答案啊标注在了后面，可以自己有时间的话呢，自己去看一下，我们就我们就不逐个去讲了，我们直接来看例题。 首先第一道题， f x 与 g x 分 别是 d e 遇上的奇函数和偶函数，当 x 小 于零的时候啊，得到这个式子，它满足大于零，且 g 负三等于零则不等式，两者相乘的解集是什么？其实这道题呢，它已经给你提示了， 他问的都是 f x 乘 g x， 所以 它其实已经在提示你，这道题应该是两个函数乘积的导函数。但实际上我们从导函数本身呢，其实也能去推的，对吧？题目所给的式子是 f e p x 乘上 g x， 再加上 f x 乘上 g 撇 x， 它显然符合我们导数四则运算中的加法运算，对吧？前导后不导乘，呃，加上后导前不导，所以我们通过这个其实也是能看出来，它是 f x 乘 g x 的 导函数，那它本身呢，大于零，所以也就代表导函数是大于零的，导函数大于零，也就进而表示这个函数它应该是 递增的，对吧？所以我们能确定啊，它应该是单调递增，但是同样也要注意啊，要注意我们给的是 x 小 于零的时候啊，那 x 大 于零的时候怎么去看呢？因为定义域是在 r 上，那 x 大 于零要结合奇偶性来了，所以这道题相对来说其实还比较综合。那奇函数和偶函数相乘是什么函数？ 奇偶相乘还是奇函数，对吧？所以这个时候我知道奇函数的话，两侧的这个单调性啊，它应该保持一致，所以我们可以来画一个大概的一个草图。 首先我知道小于零的时候是递增器，我是不是知道 g 负三等于零， g 负三等于零呢？可能会在想，哎，那我不知道 f 负三不重要，为什么呢？因为它等于零啊，是不是零乘上任意数还是等于零啊？所以这个时候我能确定 负三的时候它一定是零，所以这个时候我们画一个大致的图，比如说它可能就长这个样子啊，具体是不是长这样不重要，我们只要知道一个大概的趋势就可以了。那我知道负三的时候等于零，根据奇函数，所以我是不是要 三的时候也是零，对吧？然后呢，又因为是一个奇函数对称，所以我可以知道在零到正无穷，它的图像应该长这样，单调性是不变的。 好，那现在题目就简单了，这个时候它画的就是我的 f x 乘 g x 的 图像，那现在让我们找的是什么 f x 乘 g x 小 于零的解析，那我们直接结合图像秒杀了，是不是负无穷到负三和 零到三啊？也就是这两段，所以答案直接就能判断出来，答案选。嗯，所以这个地方主要就是首先能看出来元函数以及通过这个两个函数的奇偶性，我们判断相乘的一个奇偶性。好，然后我们接下来再来看第二题， 在零到正无穷上单调递减的函数。若 f x 的 导函数存在这个式子，则下列不等式成立的式。那首先我们肯定还是要想到去构造，对吧？那结合什么来呢？ tim 给的不等式。那这个不等式我们现在就会有一个问题，左侧有分式，我们显然是没有见过 f x 除以 f e p x 这种说法， 不论是加减乘除哪个运算，都没有这种形式，所以代表我分母上的 f e p x 肯定是要处理一下的。那怎么处理呢？只有一项，对不对乘过去。但是这个时候做乘法运算就有一个点要去注意了， 我这中间应该是一个什么符号呢？是不是因为我们说乘法运算的话，如果值是正的，那我符号不变，但是如果值是负的，我的方向是要发生改变的，那这个时候我要判断 f e p x 的 正负。那怎么判断题目 条件？这就强调了，它是一个递减的函数，递减函数意味着什么？意味着它的导函数是满足小于零的，为什么这一步取等于零？因为它在分母上嘛，对不对？所以这个时候排除了等于零的情况， 所以我们知道导函数小于零，那小于零同城，它就应该符号要变相啊，所以本来大于号，现在应该改为小于号，然后接下来再移项就好做了， f x 加上 x 乘上 f 一 撇 x 啊，这个时候它应该小于零。好，那看到这个形式，想到我应该怎么去构造呢？那这个时候你就要去观察了，它看起来应该有点像是咱们的 加法乘法运算，对吧？因为中间 a 两个式子相加，那我具体怎么判断？你可以从导函数入手，比如说你看我们这里，这里是 f 一 撇 x， 对 吧？按照我们乘法运算，是不应该导函数乘上另一项的原函数，那我们若另一项原函数就是 x， 那 它的导数是不是这边就应该是一， 你会发现诶，正好成立，是不是？所以这个是，如果熟悉的话呢，你就可以直接写，如果不熟悉的话，你可以通过这个方法去观察，所以我们就可以得到它原函数就应该是 x 乘上 f x 啊，那它导函数满足小于零，所以也就代表 x 乘上 f x 是 单调递 减的，对吧？它单调递减。那此时接下来我们来判断选项就很好判断了。比如说来看 a 选项，他找的是 f 二 f 三之间的关系，那我们代入是不是应该得到的应该是二 f 二和三 f 三的关系？首先它这个 这个数字的顺序就不对。其次呢，我们看单调性，它单调递减，所以二 f 二是不应该大于它，是不是啊？所以这个时候你会发现它多方来判断它都不对。再看 b 选项三 f 三四 f 四，哦， 形式是对了，对不对？那接下来看单调性，我们是值越小，反而值对应的值越大啊，所以这个时候确实符合单调递减啊，所以 b 选项是正确的，那后面 c 和 d 也是一样的，但其实你也不用看了，因为我们已经找到正确答案了。好，这是第二题，接下来我们再来看第三题。第三题，这道题呢，已知定域是 f 零等于二， 若对于任意 x 属于 r， 均符合这个式子。然后问我们后面这个解集，首先，其实做这种，如果是小题啊，做这种题，题目都是有提示的，你通过后面，其实你也能观察到，我前面好像应该和 e 的 x 方应该有点关系。那如果说我们从导函数入手的话，你怎么去看呢？首先 它还是两组式子相加的一个形式，对不对？那我们可能联想到，哎，它应该和乘法运算是一个形式，对不对？那我们可能联想到它乘的是一个 g x， 这里应该是 g p x， 这里应该是 g x， 但是它们同时消失了，也就或者说同除了这个部分，那也就意味着它俩是不是应该完全相等，也就是导函数和原函数是完全相同。那 听到这笔，想到应该是哪一个函数了，是不应该是 e 的 x 次方啊？所以这个时候它对应的呢，就应该是 e 的 x 次方，它对应的也是 e 的 x 次方，但是它本身是一，所以就相当于我两边同乘了一个 e 的 x 次方啊，所以这个时候同乘 e 的 x 次方啊，此时我们就可以得到 e 的 x 次方，乘上 f x， 再加上 e 的 x 次方，乘上 f 一 撇 x。 但是要注意啊，你右侧也是要乘的啊，所以是小于 e 的 x， 那 这个时候小于 e 的 x 次方，其实我们不好判断，我们可以给它怎么做呢？哎，给它移过来啊，小于零。好，那这个时候前半部分我们就可以根据判断，我们知道它应该是一个乘法因子，也就是 e 的 x 次方乘上 f x 这个整体的 导数。那后面减 e 的 x 次方怎么去做呢？这个时候我们就没有必要再把整体看成是一个运算了，减 e 的 x 次方，它就是 e 的 x 次方的导数 啊，那这个地方它就相当于是一个什么预算，减法预算，那减法预算就是两式分别求导，再相减即可啊，所以这个时候不影响判断。 所以我们得原函数应该是什么？应该是 y 等于 e 的 x 次方乘上 f x 减去 e 的 x 次方啊， 这个时候我可以判断它应该是单调递减的啊，因为它导函数是小于零的。好，我知道它单调递减。那接下来题目让我解的这个解集也就好判断了。首先是不是应该先凑出我这个原函数的形式，所以原式我就可以变成 e 的 x 次方乘上 f x 减去 e 的 x 次方。小一的解集。好，接下来我们去解它， 那这个时候我们右左侧的话，我们可以给它看成是，比如说令它等于 f x 吧，写成 f x， 也就是 f x 小 一。我们说解这类不等式怎么去解？我们可我们希望应该把一去替换成某一点处的值。那题目给了一个提示， f 零等于二， 那我们就验证一下 x 等于零的时候，是不是能满足这个式子，对不对？那我们来看，若 x 等于零的时候， 那此时 f 零等于什么？应该是 e 的 零次方，也就是一，一乘上 f 零，再减去 e， 而 f 零等于二，所以你会翻 a 正好，是不是题目给我错了？正正好，所以这个时候 e 我 就可以替换成 f x 小 于 f 零，又因为它是递减的对不对？所以也就相当于学是这个样子哈。假如说零的时候，在这儿， 我既然要小于它，是不是应该往它的右侧取？所以我可以知道它的解集就应该是零到正无穷啊，我这用白色的笔写一下，不然就分不开了。零到正无穷啊，然后你还要注意有没有等号，它这里是没有等号的，所以零的话呢，应该是一个开区间。好，这是我们第三题啊，这个地方就考察我们 e 的 x 次方的一个应用。 好，然后接下来最后一题。最后一题，这道题 f x 属于零的二分之派啊，显然和三角函数有点联系了。 x 属于零到二分之派的时候，满足这个式子大于零很成立。然后呢？ f 和 e p x 是 它导函数问下不等式成立的式，所以最关键的还是从这个不等式入手。好，那这个时候观察这个不等式，它看起来像是一个什么运算呢？ 这个时候它是两组式子相减的形式，按照常理的话，我们一般来想，可能联想到是一个除法运算，对不对？那这个时候我们就稍微给它整理一下 好， f e， p， x 它乘上，不管是乘法还是除法因子啊，它对应的都应该是导函数乘上一个元函数，然后元函数再乘上一个导函数，对吧？那 f e， p x 作为导函数，那它乘上就应该是元函数 cosine x。 好， 那后面再来看， f x 作为元函数，那它导函数 就应该是 sine x， 但是问题来了，我们通过这儿观察的话，它是不是应该是 f x 除以 cosine 的 形式？那你验证一下，你就会发现 cosine 的 导函数是什么？ 是不是应该是负三 x 啊，对吧？所以这个时候我不是这里的三 x， 所以 这个式子其实你要先处理一下 f e p x cosine x， 而 cosine 对 应的是负三 x， 所以 负号得放到里面去，变成这么一个形式 才是我们正确的判断啊。好，那这个时候中间你会发现，哎，我不是减号了，我是加号，所以这里对应的应该是一个乘法运算啊，所以它可以看成元函数是 f x 乘上 cosine x 的 导函数啊，它大于零，所以我进而也就可以判断 f x 乘 cos 在 零到二分之派上应该是单调递增的啊。然后这一选项啊，这一选项 a 选项稍微有点问题啊，这应该是大于好，打，打反了。 好，我知道它单调递增，那我们接下来逐个去判断选项就可以了。 a 选项，三分之派和四分之派，那我们代入，对吧？首先，我知道三分之派是大于四分之派的，又因为递增啊，所以我知道这个 f 三分之派，再乘以 cosine 三分之派， cosine 三分之派是二分之一，对吧？然后因为它更大，又因为递增，所以它一定是大于四 分之派代入，也就是 f 四分之派， cosine 四分之派是二分之根号二，所以我们就得到两边同出，呃，同乘一个二，所以得到 f 三分之派，应该是满足大于根号二倍的 f 四分之派啊，所以你就可以判断出 a 选项是正确的， 但一般来说这是做题的时候啊，题目肯定会把这个正确选项，一般来说可能都会往后放一放啊，但不影响我们的判断嘛，对吧？那你比如说在后面三分之派，四分之派，你只要能知道它们大小关系，往我们的这个元函数里面去套就可以了。 那比如说你像后面什么六分之派，四分之派也是一样的道理，我知道六分之派比四分之派小，对吧？所以我们代入的话，应该是 f 六分之派乘上克萨尔六分之派应该要满足小于，因为是递增啊，小于这个 二分之根号二，再乘上 f 四分之派，那 cosine 六分之派是多少呢？二分之根号三对不对？所以我就可以知道根号三倍的 f 六分之派应该是 小于啊，所以这个方向不对，那后面 b、 d 这样都是一样的道理，我们就不逐个去说了。所以对于元函数来讲，最关键的就是你要熟悉常见的几种元函数，尤其是指数函数，也就是我们前面讲的含 e 的 x 四方的，这个是最重要的，因为它往往可能都会同时把这个部分约掉，因为它很正，那这个时候你就需要去观察，若我的这个 导函数和元函数啊，他形式是一样，或者说只有系数上的改变，那他往往可能都是结合指数函数啊，再进行一个考察。好，这个就是我们今天要讲的这个元函数的一些相关问题，如果想结合我们的讲解啊进行一个练习，可以后台私信我。

斜修导数到底有多强？直接把超难的预算转为小学口算题，今天主播带你轻松搞定这类题型。 高三二轮复习和高二下学期的同学们将会在接下来的学习中遇到导数的各类题型。今天我们讲导数里最经典的一类题型，求导逆运算构造圆函数。 这种题目的特点是提杠会给你一个函数求导的结果，构成的等式或者是不等式。有的时候呢，它会限制 x 大 于零， 使得这个求导的结果被约掉了一个 x 的 n 减一次方，它的核心思想是通过提杠反推出这个导函数所对应的原函数。那么接下来我们来看我们的题目。 设 f 一 撇 x 是 函数 f x 在 零到正无穷上的导数，满足 x 的 平方， f 一 撇 x 加两倍 x 乘 f x 等于一则下列不等式一定成立的式。很显然，我们看到提杠中 的不等式中同时含有 f x 和 f e p x， 显然考察求导逆运算构造原函数。接下来我们去联想一下它的原函数可能的形式。我们发现 x 的 平方，它求了一个导， 刚好就是后面的两倍 x， 而后面的 f x 求一次倒，刚好是前面的 f 一 撇 x。 所以呢，我们立即写出圆长数， 就应该是 f x 乘上一个 x 的 平方啊，那么也就是说，这个式子呢，应该是这个圆函数，它求倒之后的结果是等于一的。 所以呢，我们可以做出一个辅助函数，令 g x 等于 x 的 平方乘 f x。 那么对于导数值呢，我们只关心它的正负，所以呢，我们这里可以得到 g e 撇 x， 它是等于一而一呢，又是大于零的，所以呢，我们可以知道 g x 在 零到正无穷上应该是单调递增的。 接下来我们来看选项 a 选项，这里有一个点 e 以及有个点 e 方，我们直接泰入刚刚构造的函数，可以得到去 e 和去 e 方。 显然，因为函数是单位增的，所以呢， g e 的 平方应该是大于 g e 的。 接下来代入我们构造的复出函数，可以得到 e 的 平方乘 f e 小 于 e 的 四次方乘 f e 的 平方。 接着将不等式左右两边同时除以 e 的 四次方，可以得到 f e 除以 e 的 平方小于 f e 的 平方。 因为 a 选项它比较的是与 f e 的 平方除以 e 的 大小，比较的对象是不一样的，所以我们不能得到这个结论，它是不一定成立的，所以 a 选项是错的。我们看 b 选项， b 选项比的是二和三，这两个点同理，我们先代入浮数，可以得到 g 二小于 g 三， 所以就是四倍 f 二小于九倍 f 三。 接着将不等式左两边同时除以三十六，那就可以得到 f 二除以九是小于 f 三除以四的，所以 b 选项不对。我们来看 c 选项， c 选项比的是二和 e 的 大小，所以我们先代入函数，可以得到 g 二是小于 g e 的， 接着代入辅助函数四倍 f 二小于 e 的 平方乘 f e， 接着同时除以四倍 e 的 平方，所以可以得到 f 二除以 e 的 平方是小于 f e 除以四的。 观察 c 选项，发现是一对应的形式，所以正确答案选的是 c。 以上就是本次课的全部内容，主播寒假将会带着大家每日一题，关注主播，带你学修数学！

那在前面的问题里面，我们知道在解析的过程中经常需要去构造函数，对吗？那从这个视频开始呢，我们就来一一的详细的讲解一下构造函数的哪些方法。那第一个呢，就是我们的直接去构造函数来帮助我们去解析。 看一个具体的例子，已知九的 m 次方等于十， a 等于十的 m 次方减十一， b 等于八的 m 次方减九。下面的话 ab 需要去比较大小，并且和零进行比较， 那么我们现在要分析式子给的特点，来看看能构造出什么样的函数，懂吗？首先 九的 m 次方我们先不管，那这边是十的 m 次方减十一，八的 m 次方减九，那我们来看 a， 它其实在这里的话，减去十一，十一和十的话，它的比较就是减去十，再减去一个一对吗？然后呢减去九，那我就可以理解成减去一个八，再减去一个一对吗？ 那这个十的话也是十减去一个一对吧。所以呢，现在我们就可以构造出一个函数了，函数的模型是什么呢？ f x 等于 x 的 m 方减 x 再减一， 那这样 a b 里面的式子它全部都有这样的形式，此时一个式子里面的 x 是 十，另外一个 b 中的 x 是 八，对吧？那现在我们就知道了， 对于两个具有相同形式的式子，我们可以通过构造函数，那现在需要利用这个函数的单调性来比较它们的大小，是不是可以这样子理解， 那所以呢，现在我们的 a a， 其实它就等于多少了， a 就 等于我们的 f 十了，然后 b 呢就等于我们的 f 八， 那现在看一下 x 和 m 的 范围，可以吧？因为在这里的话， x 的 一个是八，一个是十，所以它一定是大于一的，对吗？好，来我们再来看一下这个九的 m 次方， 九的 m 次方是等于十，所以呢， m 呢，其实就等于以九为底十的对数，那我们知道 对数函数 y 等于以九为底 x 的 对数，它是在零到正无穷上是单调递增的，对吗？好，那我们想一下，九的一次方是等于九，九的二分之三次方呢，就 等于根号九的三次方，对吧？那也就等于三的三次方是等于二十七。 那么我们现在来看一下十，它的范围是在大于九小于二十七之间，所以呢，也就相当于我们以九为底十的对数是大于一小于二分之三，所以 m 的 范围呢？也就出来了， m 是 大于一小于二分之三的，对吧？ 好，来，现在我们来分析一下构造出来的这个函数它的一个单调性。首先我们可以给它求导 f 一 撇 x， 它就等于什么 m， x 的 m 减一次方，再减一， 那在这里的话， x m 次方是一个逆函数，那所以我们为了方便在后面去分析它的单调性，所以令 x 是 大于一的。 因为我们的函数的这个自变量的 x 的 取值范围要窄前面的八和十，所以我们取大于一是没有问题的。好，那现在我们来看一下， 那此时 x 的 m 减一次方，它是不是要大于一的 m 减一次方也就等于一，那所以呢，现在我们知道了， m 的 x 的 m 减一次方，就应该是大于 m 乘以一，也就等于 m， 所以 m 的 话，它也是大于一的，对吧？所以就说明什么？说明我们的导函数它是大于零的，所以我们就知道了，还原到原函数 f x 在 一到正无穷上就是一个什么关系？单调递增的一个关系了，是不是？ 接下来我们还要关注什么呢？和零进行比较。那我们来看一下 f 九， f 九是等于九的 m 次方减九减一 好，九的 m 次方是多少？是十呀？十减去十，最后结果是等于零，那么我们的 f x 呢？在一到正无穷上又是单调递增的，是不是？ 所以那当 x 等于十的时候，我们知道十是大于九的，所以 f 十也是大于 f 九，对不对？那 f 九是等于零，所以 a 等于十的 m 次方减去十一，它就等于我们的 f 十一定是大于零的。那如果说当 x 等于八的时候呢？我们会发现你的八是小于九的，所以 f 八就小于 f 九是小于零的。好，所以此时 b 就 等于 八的 m 次方减九，也就等于 f 八，它是小于零的，所以这样的话就可以说明什么了， a 是 大于零的，零是大于 b 的， 对吧？好，所以最后答案选的是 a。 那 么我们知道这种情况下构造函数的时候，你就根据式子的条件去构造就行了，不需要其他的一些转化，所以直接构造， 所以变形原本式直接构造新函数，再利用导数去判断函数的单调性，最后来比较大小或者解不等式，也是一种很常规的解题方法。 好理解的话呢，我们后面自己再做一个练习，巩固一下。

同学们大家好，我是巢湖素人教育的数学张老师。然后今天呢，想和大家一起分享一道题型，就是元函数与导函数的一个混合构造问题。那么元函数与导函数的混合构造呀，其实他的一个核心思想其实就是导函数的一个四则运算 啊，其实就是导函数的一个四则计算。那么老师，导函数的四则计算怎么去构造呢？我们就以这道题为例，他说 f x 的 导啊，大于负的 f x 乘以幺二， 那么就要去想了，我们如果对它进行一项，代表的是不是 f x 的 导加上 f x 倍的幺二，它要大于零呢？ 我们就要去想了，对于导函数来讲，导函数的四则运算中，哪种运算会出现加法呢？ 老师，你这个难不住我，出现加法，要么就是两个函数相加得到， 那么此时它的导函数对应的就是 f x 的 导，加上 g x 的 导，对不对？另外一种就是 f x 乘以 f x， 就是 两个函数相乘啊，也会出现加法，它对应的就是 f x 的 导，乘以 g x 加上 g x 的 导，乘以 f x。 那 么孩子们，我们仔细观察，对于这道题中，它是不是既出现了 f x， 又出现了 f x 导，所以哪一种方法更加的贴近它呢？很明显是不是乘法型， 所以此时我们就要去想了，我们不妨去构造一个全新的函数，大 f x， 这个大 f x 啊，一定是小的 f x 乘上了某一个函数得到的。 那么这个时候你就要想了，哪一种函数会出现烙印二呢？显而易见，那么指数函数 a 的 x 次方啊，它的导对应的是不是 a x 变为烙印二，所以我很自然而然的就想到了，我不妨直接拿小 f x 乘以二的 x 次方， 那么这样的话呢，我们就能得到哦，原来大 f x 的 导啊，对应的是不是 f x 的 导乘以二的 x 次方加上二的 x 的 导，二的 x 次方的导是不是二的 x 次方乘了一个 l e、 r 再乘一个 f x 呢？ 我们不妨把二的 x 次方提出来，那这样的话，我们就得到了 f x 的 导加上烙印二倍的 f x 了，对不对？对于二的 x 次方来讲，它是不是一个指数函数很正，那么 f x 的 导加上烙印二倍的 f x 是 不是也是正数啊？说明它的导函数永远大于零， 那既然它把函数永远大于零，不就说明我们所构造的 f x 一定是一个单调递增的函数吗？对不对？好，此时我们要想求解， f x， f 的 幺 x 除以四小于 f 二除以两倍的幺 x， 其实代表的就是，我们只要证明出来 f 的 任意 x 乘以二的任意 x 次方小于四倍的 f 二是不是就可以了呢？那么对于它来讲，我们是不是可以把它视作是大 f 的 任意 x 小 于一个大 f 的 二就可以了呀？ 既然这个函数单调递增，那不就说明这个函数肯定要满足一个同向性吗？那么任意 x 只要小于二就可以了，而二是不是可以被我们视为是任意 e 的 平方呀？ 所以此时 x 只要小于一方。呃，小雨，呃，这个 x 只要小于什么小于一方就可以了，这个函数解释也就搞定了， 只是呢，因为这边是不是出现浪引 x 了呀，对不对？所以这个里面其实定域应该最好改，为什么呢？令到正无穷我觉得可能会更好一点点。 那么如果我把这个 f x 的 定义看为零到正无穷啊，也就是老师接下来想强调的一个问题，就是，对于任何一个函数的研究啊，一定是优先以什么呢？以定域为考量思想的。 你既然这个 f x 的 定义域是零到正无穷，那是不是也就说明你这个小框里面的 x 一定要取零到正无穷的范围呢？ 所以你哪怕让我去求解这个不等式，我是不是也得保证这个 f x 很 有意义？你这个 r 大 零毋庸置疑，但是同时我是不是也要让这个任意 x 大 于零呢？ 所以任意 x 零是不是可以改为任意一，所以 x 一定要满足大一的前提条件。因此，综上所述， x 一定要大于一且小于一方。 那这个时候我们是通过这个导函数的四则计算将这道题解决了呀，对不对？我们的构造思想其实就是导函数的一个四则计算。 第二个想强调的点就是，不管是做任何题目啊，写出来他的答案之后，千万不要掉以轻心。如果这道题就像老师刚才讲的，我把定义改为了零到中无穷，他的答案是不是也会发生改变呢？ 对于任意的一个抽象函数来讲，我们去研究他的时候，一定要把这个定域考量在内好，那这种方法呢，也就是我们的一个常规方法。当然了，除此之外，我们也可以尝试采用他的一种协修方法。 老师，什么叫他的协修方法哈？就是你看我们在构造这个 f x 的 时候，其实你可有发现，我们所构造的 f x， 哪怕把这写出来了，其实他的函数解释也是不确定的，对不对也是含有 f x 的。 那既然对于这个大 f x 来讲，它的函数解释既然是不确定的，那是不是也就说明，我只要能够猜出来一个 f x 的 解析式出来，这题是不是也能解的出来呢？反正你这个 f x 的 解释我们也不知道对不对。 那我这样想，我能不能假设呀？这个 f x 直接是一个最简单的函数，也是长函数，我直接假设 f x 为一，可不可以？我看他满不满足这个条件啊？那一的导函数是不是零啊？ 零是不是要大于负的？按一乘幺二是吧？还是幺二满足这个前提条件吧。所以我是不是可以直接把 f x 直接设为一？那这样的话，我们发现哦，你让我解的不就是四分之一，只要小于什么 r 的 幺 x 分 之一不就行了吗？ 那不就等价于四，只要大于二的烙印 x 是 不就可以了呀？而四是不可以被我们写成是二的平方，所以我只要保证烙印 x 小 于二，也就说明 x 小 于一方是不就可以了呀？是不是答案和我们刚才写的答案是一模一样的？ 哪怕我考虑到你的定义要在零到正无穷之间，那简单呀，我只要保证烙印 x 大 于零，也就是 x 只要大于一即可了吧，是不是也可以快速的把这道题给解决掉？所以这种斜修方法呀，也可以给孩子们作为一个参考。当我们遇到单选题的时候，如果你能快速的猜出来函数解析式， 那这题也就自然而然的迎刃而解了。哎，那么这一道题不具有代表性，我们再来尝试下一道题，他说 f x v r 上的可导偶函数，并且 f 三等于 r， 当 x 大 于零时，对不对？我们要满足这个条件 来。如果我们采用斜修的方法去写，我直接假设 f x 就 直接等于二，那对于二来讲，他对于这个二的一个长函数来讲，首先第一点，他肯定是关于 y 轴对称的一个偶函数，满足条件， f 三等于二也满足了。那当 x 大 零的时候，我问你，二乘二是不是四呀？ 四加上按长函数的短函数零乘 x 是 不是还是零？四加零是大零也满足条件，所以你要我解这个 x 的 平方乘以 f x 不 就是乘以二要小于十八了吗？ 那 x 平方是不是要小于九就可以了？ x 只要在负三到三之间，当然是不是搞定了，是不是非常的迅速？ 那老师，我不想用这种斜修方法，我感觉不靠谱，我害怕，我想正常的去构造它行不行呢？当然也没有问题了。那在 x 大 零的时候对不对？你要满足两倍的 f x 加上两倍的 f x 怎么样？ 加上这个，呃， f x 的 导对不对？ x 乘以 f x 的 导要大于零。很明显，老师什么时候会出加法呢？是不是只有乘法和加法这两种运算会出加，但是你又出现了 f x 和 f x 的 导，所以此时是不是乘法更加的符合一点？ 所以我们不妨假设对不对？大的 f x 啊，就等于是 f x 去乘一个全新的函数就可以了。那我去乘谁呢？你要想了，哪一个函数能够是原函数含有 x， 但它的导又有二呢？我不妨假设它是 x 的 平方，行不行啊？如果这样的话，我问你，我们所构造的 f x 的 导， 也就是 f x 的 导乘以 x 的 平方加上 x 的 导，是不是两倍的 f， 两倍的 x 乘一个 f x 了呀？ 此时我们把 x 给提出来，得到的是不是 x 乘以 f x 的 倒加上一个什么两倍的 f x 了？那 这边 x 是 不是正数？前提条件，如果在 x 大 零的前提条件下， x 是 不是正的，它是也是正的，说明这个函数是不是一个单调递增的一个函数。有时在 x 大 零的时候，它是单调递增呀？ 那大零的时候它单调递增了。我们来看一下这个所谓的这个大 f x 函数，像在大零的时候它单调递增。我们又来去想了，你这个函数不是偶函数吗？你 f x 不是 偶函数吗？如果你 f x 是 偶函数， x 的 平方是不是恰好也是一个偶函数？ 那么偶乘偶，说明你所构造的这个大 f x 是 不是也被偶函数啊？如果大 x 也被偶函数，你在零到重群上单调递增，说明在小零的时候是单调递减的， 是不是？所以此时我们发现，那我在 x 大 零的时候，你这个 x 的 平方乘以 f x， 是 不是可以被我看成是大的 f x 呀？他是要小于什么 十八？这十八？老师，这十八可以看成谁呢？题目中是不是给了你一个呃，参考数据也是，小 f 三是不等于二？那是不是说明大 f 三代表的不就是 f 三乘了一个三的平方吗？ f 三是二二乘以九对不对？是不是刚好是十八？ 所以这个十八是不是可以被我看成是大 f 三？所以前提条件 o x 是 不是小于三的？那老师，如果 x 小 于等于零的时候呢？此时是不是可以把它看成大 f x 怎么样？小于 f 的 什么 负三了呀？因为你想啊，你这大 f x 既然是偶函数，说明大 f 负三是不是等价于 f 三，是不是也等于十八的？ 只是在你小于零的时候，这个 f x 是 不是单调递减的？既然是单调递减，是不是要满足反向性，说明 x 肯定要怎么样大于负三了吧？但是前提条件 x 是 不是得小于等于零，所以中上 x 仍然是在负三到三之间的，它的答案和我们学求答案是不是一模一样的， 能理解吧？好，那我们掌握了正常的一个利用这个函数的导函数的四值计算去构造函数之后啊，哎，如果把斜修方法也学会的话呢？是不是可以快速的帮助我们解题呢？ 我们来尝试最后一道题。最后一道题啊，其实就是合肥的高二的一个一模卷啊，第一次月考他们的一张试卷。那对于这道试卷来讲，你看，如果我们去会猜他的函数解释的话，你看我 f 一 是不是等于二？如果用斜修的方法去写，我不妨直接假设 f x 直接就等于二， 对不对？你 f 一 等于二是不是满足了？那对于他来讲，来二的答案数是不是零零减一，是不是负一？负一是不是需要零？这个条件是不是也满足？ 所以你想让我求解这个函数解释，我直接就把 f x 当成是一个 r 的 常函数来看，我是不是只要满足 r 小 于 x 加一就可以了呀？直接解出来 x 大 于一 可以理解吧？那老师我如果用正常的构造方法去写的话，行不行呢？也可以啊，你想那不就是 x 乘以 f x 的 导减一小于零吗？什么时候会出现减法呢？哦，减法型的和除法型的是不是都会出减法？ 但是除法型很明显不适合，因为除法型是不是一定是导函数乘以原函数减去另外一个导函数乘以原函数？你这边是不是只有一个导函数？ 所以减法型是不是更加符合呢？那如果减法型更符合的话，老师你看我就构造一个对不对？ f x 减去 x 呗。 那这个时候我就发现一个问题，什么问题呢？此时 f x 的 导对应的是不是 f x 的 导减去一？这行都没问题，但是 f x 导前面的这个系数 x 是 不是被你丢弃掉了？ 那这个时候老师我对不上呀，对不上，你就要开始考虑我能不能对它进行一系列的一个变形呢？如何变形？我们发现它定域是不是在零到正无穷之间？ 那既然定域在零到正无穷之间，说明我等式两边如果同时除以 x， 是 不是仍然等号？呃，这个不等式符号不便是不仍然成立的呀。 哎，我看我构造一个 f x 是 什么呢？是 f x 减去谁呢？ lo x 不 就行了吗？ 对不对？任意 x 倒不刚好是 x 分 之一吗？所以此时你看 f x 的 倒是不是就等于小 f x 倒减去 x 分 之一？哎，它是小零的，所以我们所构造这个函数是不是单调递减的一个函数呀？并且我发现了，大 fe 对 应的是不是就是 fe 减去一个任意一 f 一 是不二？绕引是不一，刚好就等于一吧。此时我们发现我们想求解的， f 的 e 的 x 次方减去 x 是 不是小于一就行了呀？而这个 x 刚好可以被我改成绕引 e 的 x 次方， 对不对？绕引 e 的 x 方不还是 x 吗？它是不是可以被我们看成是大 f 的 e x？ 小 宇的这个 e e 是 不是可以被我们看成是大 f e 了呀？ 因为它是单调递减，满足反向性，是不是只要保证 e x 大 于 e 就 行了？所以 x 只要大于一，那大于一是不是也满足这个定域条件的？答案是仍然成立。 好，那么今天的分享就分享到这里，我们以原函数与导函数的混合构造啊，讲了一下这个题型， 那么我在讲完这个，它的底层逻辑也是利用导函数的四则预算去构造之外呢，也讲了另外一种斜修方法，但是这个斜修啊，孩子们使用的时候一定要注意，你必须要保证你的所有前提条件都成立才可以用哈。 你别构造一个 f x， 结果人家 f x 条件都和提色中的不符，结果你在那里用，那我就觉得不太合适了。 如果你在构造时候连这个长函数构造不行的话，你再试试一次函数，二次函数对不对？这个指数函数、幂函数都可以尝试，只要你能猜出来都可以用。好，那么今天的分享就分享到这里，感谢大家的观看，谢谢！

哈喽，大家好，我们今天来讲一下构造函数这种题型，它的这种题型呢，有比较明显特点，就是一般会有一个导数的值，还会有一个圆函数的值，我们可以稍微看一下。 那怎么去构造函数呢？我们观察观察一下这个导数，会发现 f x 的 导数小于二分之一，我并不能用这个式子来说明任何关于 f x 单调性的东西，对吧？因为它的导数小于二分之一，它有可能 导数恒大于零，也可能导数恒小于零，也有可能有的时候是大于零，有时候小于零的，所以我没有办法直接去利用它， 所以我就可以想一下，我能不能通过其他方法构造一个函数可以利用到这个单调性的条件呢？那我们一般会根据导数的条件和这个原函数的条件来进行构造，所以我们另 g x 等于 f x 减去二分之 x 是 由这个地方来的，由这里来的啊，那我们给他求一下导数，会发现它的导数是 f x， 导数减去二分之一， 那由于导数这个条件小于二分之一，我们知道 g x 导数横小于零，所以呢 g x 应该是一个减函数，这样我们就把这个导数条件利用起来了。那我们现在再来看我们要求的，它让我们求的是 f x 小 于二分之 x 加上二分之一，那是不是就是 f x 减二分之 x 小 于二分之一，也就是 g x 要小于二分之一。 比如说我现在要求一个 g x 小 于二分之一，这就回归到了利用单调性解不等式，那我们就需要找一下当 x 等于几时候的 g x， 它的函数值是二分之一，也就是 g 几， 那这里有一个条件叫 f 一 等于一，它肯定是有用的，所以我们算一下 g 一， 那把 g 一 带进来，会发现 g 一 是不等于 f 一， 减二分之一恰好是二分之一，所以这就是 g 一， 那我们的不等式就变成了 g x 小 于 g 一， 那因为 g x 是 减函数，所以我们解得 x 是 大于一的，你听懂了没？ 当然我们是要解集啊，所以它的范围应该是一到正无穷集合和区间的形式。然后我们来看一下下面这个题。这个和刚才的有所区别， 我们看它现在给的这个是 x 乘 f x 撇减去 f x， 那 我就要想一下，这个就是哪个函数求完倒以后会变成它是不应该是这个 是不是应该是令 g x 等于 f x 比 x， 我 们给它求一下导，看一下它的导数等于的是 f x 撇二 x 减去 f x 乘以一比上 x 的 平方，那这个地方 分子是不是正好和它是一样的了，而分母是恒大于零呢？所以我们能得到这个 g x 的 导数是恒小于零的。当然这个是在 x 大 于零的时候啊， 所以我们知道了 x 大 于零时， g x 是 一个减函数， 那它还告诉我们 f x 是 一个奇函数，所以我这时候需要利用奇偶性来看一下函数的单调性。 那我们 g x 等于的是 f x 比 x， g 负 x 等于 f 负 x 比上负 x， 而 f 负 x 等于负的 f x， 所以 它就等于 f x 比 x， 也就是 g x， 所以 g x 应该是一个偶函数， 而偶函数在对称区间的单调性是相反的，所以当 x 小 于零的时候， g x 应该是一个增函数， 它图像大概是这个样子的。 那我现在要解的是 f x 大 于零，还有一个条件是 f 负一等于零， 那因为 f 负一等于零，那 g 负一是不是也等于零， 对吧？然后因为 f 负一等于零，那么 f 一 是不是也等于零？那么 g 一 是不是也等于零？所以这两个与 x 轴交点，一个是负一，一个是一。那么我现在要找 f x 大 于零， 那我们就得分 x 大 于零和 x 小 于零。当 x 大 于零的时候， f x 大 于零，其实要找的就是 g x 大 于零，对吧？所以在大于零的时候，我们要找 g x 大 于零，是不是就是零到一？ 而当 x 小 于零的时候，我们要找 f x 大 于零，那找的就是 g x 要小于零，那观察图像发现它是负无穷到负一，所以最后它的范围应该是负无穷到负一，并上零到一。那今天的内容就到这里啦，再见。

大家好，很多同学极值点偏移还是不会，其实他总结起来就是三个技巧，第一个呢，单调性加构造函数，第二个，比值代换，第三个，对数均值不等式 这一个系列。我把每个技巧以及每个技巧对应的一些常考的题型都给同学们讲透，关注我，跟着我学以后我们碰到这种极值点偏移的问题，就能拿到满分。先来看一下什么叫做极值点偏移的情况，我们以常见的二次函数举例， 它这里 x 零所对应的函数值就是它的极值，我们的 x 零呢，我们就把它叫做极值点这边的两个根， x 一 以及 x 二，你会发现它刚好是关于我们的极值点对称的，我们会有 x 一 加上 x 二，比上二，刚好就等于 x 零，所以这种情况呢，我们称作它为不偏移。那么偏移的情况，我们看到下面的第一种情况， 此时啊，它这个函数，你会发现它左边，它变化率会比右边快，会导致一个什么情况？我们 x 一 以及 x 二，它的中点跟我们的极值点肯定不在一个位置，那它的中点应该是在我们 x 零的右边，对不对？右边过来一点， 所以呢，我们这里我们可以理解为我们的极值点，极值点怎么样？他是往左的吧，极值点左偏好，那么另外一种情况呢？另外一个图，这种情况，他就是什么极值点右偏了，这个是右偏的情况， 这里这条横坐标啊，不能说是横坐标，那可能是 x 轴，如果是 x 轴，我们的 x 一 以及 x 二就是它的两个零点，对不对？如果呢，它是一个 y 等于 c 这条直线，那我们这两个值，我们可以说我们的什么，我们有 f x 一， 等于 f x 二，我觉得说这个更标准，不管你是不是坐标轴，都会有 f x 一 等于 f x 二，我们最基础最常考的题型，我们以极值点左偏为例，我们这里会有 x 一 加上 x 二，比上二 对应的是它的终点，终点它是在极值点的右边，所以呢，它必然是大于 x 零的。一般题目他会怎么考？你最基础的题目 会让你证明 x 一 加 x 二大于两倍的 x 零。像这类题目呢，就是最基础的，也是我们今天要讲的内容。看到具体的例题，已知函数给了我们，第一步让我们求它的单调区间以及极值，我们要求单调区间跟极值，那第一步肯定是求导我们的 f x， 它是等于 x 比上 e 的 x 次方，所以呢，我们的 f 一 撇 x 分 子求导，就是一分母不变，减去分母，求导 分子不变。比上 e 的 二， x 方，约掉一个 e 的 x 方，变成了一减 x 比上 e 的 x 方。当然这个导函数还是很简单的，它有一个零点，就是我们的 x 等于一的时候，我们去把它标根标一下，这个呢就是我们 f 一 撇 x 的 走向图， 所以我们这里的 x， 它是属 y 的 吧，负无穷到一，我们的 f x， 它是单调递减，所以我们可以把我们的 f x， 它的图像大概给画出来， 你图像都画出来了，你的单调区间跟极值呢，当然就可以知道什么时候取极值， x 等于一的时候取最大值，对不对？这个点的时候，我们把 x 等于一带进去，你会发现一的一次方分之啊，这里一的一次方分之一，那就是一分之一了，所以它对应的点，我们把它标一下，这里是一， 然后呢，我们这个点它是一分之一。好，我们知道它是先蒸后减，那它是这样蒸还是这样蒸再减呢？我们是不是得去判断它的端点的问题，或者说取几个特殊的点，我们这里可以把零带进去试一下， 我们把零带进去，我们会发现 f 零它刚好怎么样就等于零吧，所以我们知道这个零它必然是过零的啊，零零这个点，所以呢，我们知道图像的左边它应该是过这个点，以及零零这个点，那它既然是单调立正的呀，所以呢，我们能把它图像大致的画一下，不就这种情况吗？ 然后再看到右边一到正无穷，它是单调递减的，对不对？那它单调递减，我们要注意一个什么问题啊？它会不会跨过我们的 x 轴？好，我们来看到 f x， 首先我们的 x 它在右边的时候是大于一的，对不对？我们这个 x 肯定也是大于一啊， e 的 x 方呢，它都大于 e 了，所以我们是一个正数，比上一个正数它永远不可能小于 e， 所以 右边的图像我们应该是减，但是呢，你跨不过 x 轴， 所以它应该是无限趋近于 x 轴的，对不对啊？我这里不是故意画波浪线的啊。第一问我们就解决完了，接下来我们来看到第二问，他说如果 x 一 不等于 x 二，有两个函数值相等，让我们证明这个式子， 那么 x 一 不等于 x 二，并且它还是相等的，所以我去画一条直线截这个函数怎么样？有两个点吧， 我这里这个点呢，它就为 x 一， 另外一个点呢，就为 x 二，当然你这条线你不能画到下方来，下方它没有两个根，对不对？所以它只能在这个上方画，并且它是要在零的上面一分之一的下面，对不对？那我们从这里能看到我们 x 一 以及 x 二的范围吧。 我们由题可知， x 一 啊，它是大于零小于一，然后呢，它再小于 x 二的。我们为什么会去考虑 x 一 以及 x 二的范围呢？因为它让我们证明了这个式子，我们看到这个式子 x 一 加 x 二大于二。我们之前从高一学函数的时候就开始，我们喜欢的是什么呀？是一个变量对不对？像两个变量，我们会想办法把它变成一个变量，所以我刚刚前面说的三种方法，其实就是消变量的问题， 我们这里呢是多变量啊，多变量，我们利用我们刚刚讲的那三个方法呀，就是想把这多个变量变成单个变量。好，我们今天来看到第一种利用单调性加构造函数。 我们知道我们要证明 x 一 加 x 二大于二，是不是只需要证明我们一下项吗？证明我们的 x 二大于二减 x 一， 然后呢，你要证明 x 二大于二减 x 一， 我这个点它是没有办法去证明的，但是我们来分析它的范围， x 二怎么样？它是不是大于一的？在我们的极值点的右边，然后二减 x 一 呢？ x 一 它是属于零到一，所以二减 x 一 它也是大于一的吧，我们就可以写下了，因为 x 一 大于零，小于一，小于 x 二，所以呢， x 二大于一，并且二减 x 一 也是大于一的，在一的右侧。我们知道 f x 是 怎么样是单屌立减的吧， 因为 x 属于一到正无穷的时候，我们的 f x 它是单调递减的，根据我们高一学的嘛，函数单调递减 x 二大于两倍的 x 减一，所以反而有什么呀， f x 二它就小于 f 二减 x 一。 好，那么写到这里为止，我们会发现一个问题，它是不是还有两个变量， x 一 x 二，这里仍然都是有的啊？这里是 x 一。 那我们说了，我们还有一个什么条件没用到 f x 一， 它是等于 f x 二的，所以呢，我们可以把这个 f x 二怎么样变成 f x 一 吧，因为 f x 一 等于 f x 二，所以呢，你就是要证明 f x 一 小于 f， 括号二减去 x 一。 好，做到这，你会发现一个什么问题，现在只含有一个变量，都是 x 一， 对不对？并且呢，我只要把它带到 f x 里面就可以了嘛？就我们带进去之后，你会发现它变成了一个什么样的函数，也就是让我们证明， x 一 比上 e 的 x 一 次方小于 x 二，二减 x 一， 比上 e 的 二减 x 一。 所以呢，我们这里为了好看一点，我们把这个 e 擦掉，其实也就是让我们证明 e 的 x 是 方分之 x， 小 于 e 的 二减 x 是 方分之二减 x。 那 么到了这里会有一个问题， 这里呢，这个式子去证明，我们根据我们叫什么，不同的化简形式会产生不同的证明方式，当然难度也是会有所不同的。我们这里只讲一个最常见的方式， 最常见也是最容易用到的方法是什么呢？同学们，一般我们看到两边都有什么指数，我们想把指数放在一起，然后呢？另外的放在一起吧，那我们就要经历过一些呃，乘啊，除啊之类，对不对？所以我们要判定它的符号问题，因为我们这里是不等式吗？不是等式，并且我们知道这个 x 它其实就是 x 一 x 的 范围，我们前面是不是有 x？ 一， 它是属于零到一，我们把它写一下，我们的 x 呢，它就是属于零到一， 所以你会发现这里每一项它都是正的， x 是 大于零的，这也是大于零的，这呢也是大于零的，这个呢还是大于零的，所以我们随便去怎么乘，怎么除都是可以。我们把指数放在一起， 然后呢别的也放在一起化解一下，变成了 e 的 x 之方，比上 e 的 二减 x 之方大于二，减 x 分 之 x， 而我们指数左边可以合到一起。除法就是减嘛， x 减去二，再加 x 就是 e 的 二， x 减二大于，我们直接把它移到一边就好了，我们移到左边来，然后就减去二减 x 分 之 x 大 于零。我们是不是只需要去我们证明这个函数大于零，也就是意味着证明它的什么呀？意味着证明它的最小值都大于零就可以了，所以我们可以令它为一个新的函数， 我们令 g x 等于 e 的 二 x 减二之方减去二减 x 分 之 x， 我 们然后干嘛？然后就去求导吧，你要求它的最小值肯定就是求导了，那我们求导之后，我们来求一下 g 一 撇 x 就 等于，那么我们 e 的 二 x 减二求导，它是个负函数，求完导之后是两倍的 e 的 二， x 减二， 然后减去，我们后面求导分母，首先要平方，然后把它平方分之，分子求导就是一，然后分母不变，一乘以二减 x， 然后分母求导就是负一，分子不变，然后再加上 x 化简之后分子就变成了二。那我们再进行一下化简，首先提取一个二 变成了 e 的 二 x 减二次方减去二减 x 平方分之一。那么到这里之后，同学们会发现它还是比较难判断符号的对不对？其实到这里它有点像我们上节讲的什么指数，找朋友吧，我们可以把它 去进行一些稍微的化简，把它跟别人合到一起嘛，然后再去求到我们这里没有用到那个思路，我们看这里能不能怎么变？ 这里它是一个平方，那前面这里是不是也能看到一个平方？同学们要对我们的数字敏感啊，它是什么的平方啊？它是不是一的 x 减一次方的平方？因为它这里是二 x 减二嘛，所以我们再写一步，它就可以写成等于两倍的 一的 x 减一次方的平方，再减去二减 x 分 之一的平方， 那到这里为止，它其实就是一个平方，差公式对不对？所以它等于二倍的 e 的 x 减一， 加上二减 x 分 之一，再乘以 e 的 x 减一，减去二减 x 分 之一。那么到这里有什么好处呢？这一项我们知道是正的， x 是 属于零到一的，所以这一项它也是正的吧，所以我们前面是正的， 后面的符号我们不好判定，因为这里是正的，这里呢也是正的，一个正数减一个正数，符号呢？我们是未知的对不对？所以我们需要去判定的就是什么呀？就是括号里面他这个符号， 如果同学们经验不够，基础不好，你可能还需要怎么样对他再进行一次修改，从而判断出他的符号的问题吧。怎么判断呢？ 求完导之后，求出单调性，求出它的最小值，如果都大于零，那么它肯定大于零，如果最大值呢？都小于零，那么整体就小于零，这是我们的常规的思路。那我们这里不用这个方法，我们来看一下， 我们要去证明 e 的 x 减一次方，不是证明啊，比较与它两个谁大谁小， 我们这里有一个分式，我们不喜欢分式，我们要证明他们两个的大小，比较他们的大小，我们可不可以去比较他的倒数的大小？为什么可以呢？因为这里两项他都是大于零的吗？ 如果他大于他，那他的倒数呢？就是小于号，对不对？就可以去证明或者说比较。我可以去比较一的一减 x 方与二减 x， 他 们两个大小怎么比啊？其实到这里这里是有一个一减 x， 这里呢， 一加上一减 x 对 不对？我们可以换一下圆，同学们就发现了，我们令什么令一减 x 等于 t， 所以 就变成了比较一的 t 之方与一加上 t 的 大小，对不对？这个不就是我们大名鼎鼎的切线放说的公式吗？ 前面肯定是大于后面的喽。如果同学们这里不知道的话，可以去前面搜一下我们的放缩啊，我们视频里有讲到过这些个公式的， 我们这里怎么办？它大于它，记住哈，这里我们是变了号的，所以它呢一定小于它，那前者小于后者，那它剪完之后肯定怎么样？它应该是小于零的， 这里就可以下结论。所以我们的 g 撇 x 小 于零，然后我们的 g x 它就是单调立减的，对不对？ 我们要证明的是它大于零嘛？你要证明它大于零，你是不是要最小值都得大于零呢？你一个单调递减的从哪里开始？从零到一，这里是零，这里对应的是一，都是单调递减。那你最小值都要怎么样？ 比零大你才能说它是单啊？它是大于零很成立的，所以我们得去算一下我们 g x 它的最小值， g x 的 最小值，它就等于 g e， 我 们把它带到 g x 里面， g e 带到这里来， 这边呢就是一分之一，然后这边就是一的零，次方也是一，刚好就等于零。所以我们就可以说我们的 g x 怎么样？它是大于零成立的吧。 那么原式呢？就证明完了。回顾总结一下，通过第一问，我们知道它的两个根，或者说两个零点，它并不是关于极值点对称的，对不对？我们到了第二问之后，它让我们证明 x 一 加 x 大 于二，我们这是个多变量问题， 我们根据我们以往的经验，我是想把它变成单变量的问题吧，我们经过变形得到了 x 二大于二减 x 一， 然后呢，我们根据单调性，我们知道这两个它都是在一的右边，所以它是一个单调递减的函数，我们可以直接套上 f x。 为什么会这么考虑呢？因为它这里给了一个 f x 一 等于 f x 二吧，我们利用它代换之后，你会发现它就变成了一个 f x 一 小于 f 二减 x 一， 然后呢 再带到函数里面去，就得到了一个只关于 x 一 的函数，然后我们构造了一个新的函数。当然在构造函数的过程中，同学们有很多种方法去化简， 化简的方式不同，我们证明的难度当然也是不同的了。最后我们构造函数利用单调性求最值，我们这里会涉及到一个放松，可能有些同学基础不好啊，他放松不来，那怎么办？我刚也讲过，到这一步，你可以去通过对他求导，然后呢去判断他的单调性， 求出它的最大值或者最小值与零的关系，也是能够判断它的符号问题的常规思路，同学们可以自己去尝试一下，最后我们就得出了答案，当然这都是一个比较基础的证明过程。 下一期视频我们会接着用到单调性加构造函数的方法，去讲解一些我们常考的一些题型，比如让我们证明 x 一 乘 x 二小于一，包括我们后面的这一些看起来比较麻烦的一些提问的方式，对不对？那么关注我，我们下期视频再见。

根据导函数构造函数解不等式是高中常见的题型。今天我们不讲这道题，而是来介绍一种通用的构造方法。通过化简，我们总能构造出最终的形式。我们假设 p x 的 原函数为 r x， 我们尝试对 e 的 二 x 次方程 f x 求导有共因式 e 的 二 x 次方，接着提供因式后发现找到了刚刚构造的形式，因此不等式的左式可以被这样表达。顺着这个思路，我们还可以求解某些微分方程。 这是一个一阶微分方程，我会以高中生的视角来解这个微分方程，并应用到电磁学中。 我们同样设 r x 导数等于 p x， 同样将等式两边同乘 e 的 r x 次方。此 时观察左式刚好被配乘 e 的 r x 次方与 y 相乘的导数。我们现在需要求右式的原函数。由于没有学过积分，我们暂时不考虑如何求导数的原函数，直接将右式的其中一个原函数记为 s x 即可。导数相同的函数只相差一个长数， c 稍微变形，我们就得到了 y 的 表达式。如果学了积分，就可以进一步求出 r x 和 s x 的 表达式。了解了微分方程后，就可以开启今天的主题了。 这是一个具有出速度的导体棒切割磁感线的经典模，行动声电动式，提供电压产生电流，同时导体棒受到的安培力阻碍导体棒运动。 结合牛顿第二定律，连立方程，得到加速度 a 与速度 v 的 关系式。我们知道加速度是速度的变化率，即 a 是 v 的 导数。于是我们得到了一个最简单的微分方程， 就算没学过积分，也能用邓研法求出这个方程的解，代入出速度，即可求出微关于时间的表达式，顺便还能得到谓移加速度关于时间的表达式。 但高中物理往往不会直接考察如何解微分方程，我们来学点应试能直接用得上的技巧。观察这组等式，我们发现力是动量的导数，电流是电赫量的导数，电动式是磁通量的导数的相反数，速度是微移的导数。此时我们对时间积分 就得到了出没状态下速度、电赫量、磁通量以及位移四个量的变化量。在这个模型中，这四个变化量直接成比例关系。例如利用解析式求出一秒和三秒时速度之差，再根据这个式子，就能求出这两秒间导体间通过的电赫量。 在高中虽然无法使用微积分，但仍可以借着冲量定律的名义得到这个结论。最后截图干啥，快愣着啊！

今天我们来学习一种在山东专升本证明题中常用的一个构造函数的思路。首先先看例题，这是某大三模题，先看第一问，可以发现有一个函数和一个变上线积分， 而待正式中的变上线积分求导后就是函数 f 克赛，所以这是一个原函数加求导后的函数。 这三个是常用的构造思路。最后一个最为常见，本题的这两问都用到了前面提到的常用的构造思路，所以第一问的构造函数直接令 f x 等于这一串，最后再用罗尔定律就能得正。然后第二问就留给你们自己思考去了。

所有函数的原函数都能用出等函数表示，对吗？当然不对了，成为积分基本定律可知，任何连续函数都存在原函数，即不定积分。但原函数能否用我们熟悉的出等函数表示， 完全是另一回信。事实上，绝大多数连续函数的原函数都不是出等函数。一个最著名的例子是一的负 x 平方四方， 它在概率论和统计学中既关重要。尽管这个函数本线形式简单，但其原函数却无法用出等函数表达。数学家为此定义了一个新函数，误差函数 e x x， 专门用来表示它的积分。 同样， x 分 之 c x 的 原函数也是非出等的，称为正弦积分函数 c x。 另一个常见例子是 x 分 之一的 x 四方，其原函数为指数积分函数 e i x。 十九世纪数学家刘维尔建立了一套理论，严格证明了在何种情况下，一个函数的原函数是出等函数。 例如，它证明了 x 分 之一的 x 四方的原函数不是出等的。这类函数在物理工程概率中频繁出现， 虽然不能写成有限形式的出等表达性，但它们的性质被深入研究，成为数学物理中的特殊函数，拥有自己的名称和符号。一个极端的实验性，常使用常见的积分技巧求积分 e 的 负 x 平方 d x。 你 会发现所有方法都稀少。换言，分布积分、三角代换、泰勒展开都无法摆脱那个积分号，最终只能将结果定义为一个新函数。这本身就是非出等性的证明。 就像某些数，如派，不能用有限小数或非数精确表示，但我们可以用符号派来指导它，并研究它的陷阱。同样，许多函数的圆函数无法用初等函数组合表示，但我们可以利用新的函数符号来精确描述它们。它们依然是数学中有效的对象， 只是不再出等的名单里。我的意思是，我们习惯用已有的语言和概念描述世界，但生命中有些深刻感受如同某些积分，无法被任何熟悉的话语体系完全捕捉，它们真实存在，却只能被定义为一种全新的、 专属的体验。爱一个人到深处，有些也会觉得任何表达都显得苍白，只能将那份情感本身作为一个新符号，存入两个人的共同记忆。这并非缺憾，而是生命丰富的证明。有些东西寄宿易珍贵，正是因为他们无法被归类，只能被经历。