三角函数缩角

因为四分之三派加二法加上 贝塔减四分之派等于二法加贝塔加二分之派，所以要求三叶二法加贝塔，我们可以先求 cosine 二法加贝塔加二分之派，被有熵公式转化为求二法加贝塔正弦， 所以我们要先把这两个角的正弦值与弦值都求出来，并且要进行缩角，所以我们来解一下，因为 z 四分之三配加 r 法等于十三分之五， 四分之三倍加 r 法又属于四分之三倍抖倍，我们把 r 的 范围列入四分之三倍抖倍，所以 cosine 四分之三倍加 r 等于负的十三分之十二，这个可以用平方关系叠动。 又因为 cosine 减四分之倍等于五分之三倍的范围，又是四分之派多四分之三倍， 所以 beta 减四分之派的范围应该属于零到四分之三配减四分之配是二分之配，非是零到二分之配。所以 z in beta 减四分之配。因为等于正五分之四， 所以 cosine 二法加 beta 加上二分之配， 它就等于 cosine 四分之三配加二法加上贝塔键四分之配等于 cosine 四分之三配加二法，乘以 cosine b 塔键四分之配 减 cosine 四分之三配加二法，可以 cosine b 塔键四分之配就等于 负十三分之十二乘以五分之八减去十三分之五乘以五分之四 等于负的六十五分之三十六加二十五十六。所以非 in 二法加 beta 等于负的 cosine 二法加 beta 加二分之 pi， 即等于六十五分之五十六。

哈喽，大家好呀，今天我们来看一个三角函数公式的逆用及变形。我们看一下这一个三角函数题，这是一个典型的例题， 我们先要求 tan 七十度加 tan 五十度，减根号三倍， tan 七十乘 tan 五十，那拿到题的话， tan 七十不是一个特殊角，所以我们求不出来。五十度也不是一个特殊角，我们也求不出来，所以现在 tan 七十， tan 五十都是不知道的，那我们怎么去把这个式子给求出来呢？那我们就看， 哎，前面这里是正切相加，后面 tangent 七十。 tangent 五十是 tangent 相乘，又有 tangent 相加，又有 tangent 相乘，那我们应该想到哪个公式啊？哦，应该是 tangent 的 两角和公式，嗯，也就是 tangent 算法加 betta， 它应该是等于 tangent 算法加 tangent betta 除以一减去 tangent 算法乘。啊，那根据它 tangent 七十加 tangent 五十，那我们应该是 tangent 七十度加五十度，等于用两角和公式打开。 ten 卷七十加 ten 卷五十除以一减去 ten 卷七十乘 ten 卷五十， 那这一个 ten 卷七十加五十，那就 ten 卷一百二。 ten 一 百二是等于负根号三的， 那由这一个式子它是个分数，那我们把分母移过去，所以现在分子添卷七十加添卷五十，它就要等于负根号三加上根号三倍，添卷七十度乘添卷五十度。 嗯，所以现在添卷两角，呃，添卷合我们就求出来了，那我给他带到圆式里面，它就变成什么了？ 负根号三加根号三倍，填卷七十乘填卷五十，再减去根号三倍，填卷七十乘填卷五十， 那是不就只剩一个负根号三呀，对吧？这两块都消掉了，所以最终答案就是负根号三。那这一个题考的就是我们一个三角函数两角和公式的一个利用。 首先刚才我们发现前面是天卷相加，后面是天卷相乘，那包含这两个东西的是不应该是天卷两角和公式啊？对吧？如果前面这里改为减号，那是不应该天卷相减和天卷相乘，那我们应该想到天卷两角差公式，对吧？那具体用哪一个是不？根据题目还 给我们的是什么？那我们应该看包含这些东西的应该是哪个公式，对吧？好，你们学会了吗？点个关注，老师带你逆袭高中数学！

数学想学好，方法是个宝，跟着西西跑，高分少不了！ hello 大家欢迎来到西西老师的思维课堂，今天我们用两分钟的时间拿下出街三角函数的知识，让知识点不经意的流入你的小脑瓜。说到三角函数，很多同学弄不明白，什么赛引 cosine tangent， 什么对边比斜边，对边比邻边，是不是很难记，容易记混呢？今天西西老师用一个小口诀带大家巧记三角函数。 看到三角函数，我们首先需要构造一个直角三角形，那么直角三角形有两条直角边，该怎么做区分呢？以三角形 a、 b、 c 中的角 a 为例，与角 a 相邻的直角边 a、 b 把它记作角 a 的 邻边， 那么与角 a 不 相邻的直角边 bc 该怎么表示呢？对了，我们把它叫做角 a 的 对边，斜边只有一条，也就是我们的 a c。 再看口诀 side， a 等于对面的鞋子，也就是角 a 的 side 等于角 a 的 对边与斜边的比值。在我们的图中就是 bc 比去 a c cosine a 等于邻居的鞋子，等于角 a 的 邻边与斜边的比值，在我们的图中就是 ab 比 ac 看准 a 等于对面的邻居，对了，就是角 a 的 对边与邻边的比值，在我们的图中就是 bc 比 ab。 简单来记三句话，上以 a 等于对面的鞋子，口上以 a 等于邻居的鞋子。趁着 a 等于对面的邻居，你记住了吗？可以截图保存哦！看到下面这道例题，如图，三角形 a b c 中 a， c 等于十上，以 c 等于五分之四上，以 b 等于三分之一。求 a b。 已知三角函数需要有直角三角形，那么显而易见，这是一道需要构造辅助线的题型。那么辅助线该怎么构造呢？上影 c 和上影 b 的 值已经给了我们，说明角 b 和角 c 需要保留，那么我们怎么构造辅助线可以既出现直角三角形，又同时保留了角 b 和角 c 呢？对了，过点 a 做 b、 c 的 垂线， 垂足标为 d， 这样我们就把三角形 a、 b、 c 一 分为二，分为了直角三角形 a、 b、 d 和直角三角形 a、 c、 d。 再看到题目中的条件， a、 c 等于十，上以 c 等于五分之四。我们知道上以 c 的 对边 a、 d 比去斜边 a、 c， 它要等于四比五，将 a、 c 等于十，带入解方程可以得 a、 d 等于八。 再看到三角形 a、 b、 d 中已知上影 b 等于三分之一上影 b， 也就是角 b 的 对边 a、 d 比斜边 a、 b 等于一比三，再将 a、 d 等于八，带入 解方程可以得 a、 b 等于二十四。这样一道三角函数题就可以简单快速地做出来了，你听懂了吗？ 那么你们知道三角函数为什么会有这样特殊的规律吗？下期视频带你揭晓！

高一三角函数这个单元有这么一类题，大家经常做错，表面上看它就是一道角度的整体拼凑，其实它安排两个玄机，第一个就是如何求角，第二个就是如何控角。那么我们来看一下这道题。首先我们将 阿法加菲塔用题中的两个角进行整体拼凑，然后我们一般情况下默认用和上引求角。 至于为什么我们往后看，我们用和上引的两角制和公式打开，打开之后将题目的已知条件带入， 那么此时这两个角我们暂时不可判定他是正还是负。我们需要借助题目的角度的范围，那么先来用 alpha 角求出二倍的 alpha， 再 二三四下线。那么对于二三四下线来说，我们无法判定可上影是正是负。于是乎我们回头再看一这条线， 二倍角的正弦值为正值，于是我们进一步确定 二倍角在第二项线，于是我们精准控制阿法应该在四分之二到二分之二之间，我们将之前的角度缩小到 第二项线，这个是题目的关键。好的，我们继续求出另外一个角， 由于我们求出阿法对它减阿法在二三象限，于是又遇到之前的问题，在二三象限的时候， 我们要利用上引是正值，进一步锁定和上引应该在第二象限，于是乎 括号内的这个值我们应该取负值，于是我们得出括号内的 阿巴加贝塔为二分之二。于是很多同学就开始选择选项啊，那么这个时候可能在第一项线，也可能在第四项线，那么是在 a 的 第一项线还是在 b 的 第四项线呢？ 我们于是还要再进一步锁定，于是我们求出 alpha 加 beta， 真实的范围是在第二、第三和第四象限， 在三四象限，于是刚才我们埋下的伏笔就是我们为什么要用 cosine？ 因为最后我们在阿法贝塔的合上，我们可以知道他是在三四象限，如果用上引我们是得的是一组值负值，而口上引的话，在三四象限我们可以立刻判定他只能在 b 四象限。 于是我们就说我们基本上都是用口上引，原因就是因为口上引在做题的过程中 我们可以更有辨识度，在锁定角度的范围的时候，他更有辨识度。第二个就是 在你做题的过程中，我们一定要将角度尽量的缩小，这样才能精准的控制最终角度所在的范围。此题你会了吗？突破思维，玩转数学！

同学们好，今天这节课是三角恒等变换的知识精讲课，那本节课的主要知识点有两角和以差的公式、背角公式、几何和差与和差化积以及两个推论，万能公式和辅助角公式。 我会逐一给大家进行公式的证明，并揭示公式之间的内在联系。 首先看第一部分叫两角和以差的公式。我们来看 cosine alpha 减 betta。 我 们在单位圆里面证明，假设 o a 所在射线逆时针旋转到 o p 一 所在射线得到了角 alpha， 那 o a 所在射线逆时针旋转到 o a 一 所在射线形成了角 betta。 那角 a e o p 一 就是角阿尔法和角贝塔的差值就是阿尔减贝塔。那我再过 o 点做一条射线， o p， 我 让角 a o p 也等于阿尔减贝塔。然后我连接 a p 和 a e p 一 这两条线，那么 o a 就等于 o p 等于 o a 一 等于 o p 一， 它们都是圆的半径， 那角 a o p 是 等于角 a e o p 一 的，它们都等于 r f 减 b t。 那 由此我就能得到三角形 a o p 全等于三角形 a e o p e 那 因此 a p 的 长度 就等于 a e p e 的 长度。我们来看一下 a p， a e p e 这四个点的坐标， 那 a 点坐标就是一零，那 p 点坐标就是 cosine alpha 减 beta。 cosine alpha 减 beta， 那 a 一 点的坐标就是 cosine beta sine beta， 那 p 一 点的坐标就是 cosine alpha sign。 阿尔法，那由两点间的距离公式我能知道， a p 的 距离就等于根号一减 cosine 括号， alpha 减 beta， 它的平方。再加上 cosine alpha 减 beta， 它的平方，那 a e p e 的 长度就是等于 根号 cosine beta 减 cosine alpha 括号的平方，再加上 signify 减 signify 括号的平方。那两边平方之后再去括号，我就得到一减二倍 cosine 符号减 bet 加上 cosine 符号减 bet 的 平方，再加上 signify 减 bet 的 平方，等于 cosine beta 平方减二倍 cosine beta cosine alpha 加上 cosine alpha 的 平方，再加上 cosine beta 平方减二倍 cosine beta cosine alpha 加上 cosine alpha 的 平方。那整理一下，我就能得到 cosine 括号 alpha 减 beta， 它是等于 cosine alpha 乘以 cosine beta 加上 cosine alpha 乘以 cosine beta 的。 那这个公式就叫做两角叉的余弦公式。那我们把 cosine 括号 alpha 减 beta 减记为一个大写的 c， 然后在 c 的 右下角写小括号 alpha 减 beta。 知道了 cause are in alpha 减 beta 之后，我们再来看 cause are in alpha 加 beta。 我 们有两种方法可以得到 cause are in alpha 加 beta 的 公式。第一种方法就是和证明 cause are in alpha 减 beta 一 样，用单位元的方法去证明。 那在这里呢，我更想用另外一种方法，就是用角的拼错的方法，简称凑角，因为角的拼错是这一节，甚至可以说是整个三角函数这一章最重要的方法之一。 那我们来看怎么拼错。 cosine alpha 加 beta 是 等于 cosine alpha 减掉负 beta 的， 我们把负 beta 视为一个整体，它就相当于 cos are in alpha 减 beta 这个公式里面的 beta。 那 因此根据 cos are in alpha 减 beta 的 公式，我们就能得到它等于 cos are in alpha 乘以 cos are in beta 加上 sine alpha 乘以 sine 负 beta 等于 cosine alpha cosine beta 减掉 cosine alpha 乘以 cosine beta。 那 这就是两角和的余弦公式。我们把 cosine alpha 加 beta 减记成一个大写的 c c 的 右下角写括号 alpha 加 beta。 我们接着看两角和以叉的正弦公式，对于 sine alpha 减 byta 来说，它是等于 cosine 二分之 pi 减掉括号 alpha 减 byta 的， 这是诱导公式，然后我们再重新组合一下，等于 cosine。 我们把二分之 pi 减 alpha 组合在一起，然后再加上 beta， 那 就等于 cosine 二分之 pi 减 alpha 乘以 cosine beta 减掉 sine。 二分之 pi 减 alpha 乘以 sine beta 等于 sine alpha 乘以 cosine beta 减 cosine alpha 乘以 sine beta。 我 们这里用的也是凑脚的方法， 那对于 sine alpha 加 beta 同样的思路，它是等于 cosine 二分之 pi 减括号 alpha 加 beta 的， 那我们再重新组合一下，它等于 cosine。 我 们把二分之 pi 减阿法组合在一起，再减掉一个 bet， 等于 cosine 二分之 pi 减阿法乘以 cosine bet 加上 sine。 二分之 pi 减阿法乘以 sine bet 等于 sin alpha 乘以 cosine beta 加上 cosine alpha 乘以 sine beta。 当然，这里还有另外一个思路， sine alpha 加 beta， 我 可以把它看成 sine alpha 减负 beta。 然后用刚刚证明的 sine alpha 减 beta 这个公式来证明，那就等于 sine alpha cosine f beta 减掉 cosine alpha sine f beta 就 等于 sine alpha cosine beta 加上 cosine alpha， sine beta。 这两种凑脚的方式都可以。好，那这里就是两角和与差的正弦公式，那对于三引阿尔减 bet， 我 们减记作一个大小的 s s 的 右下角写个括号阿尔减 bet。 那 三引阿尔加 bet， 我 们减记作一个大小的 s s 的 右下角写阿尔加 bet。 那接下来我们看两角和以差的正切公式，对于弹性的 alpha 减 beta， 它是等于 sine alpha 减 beta 除以 cosine alpha 减 beta 等于 sin alpha 乘以 cosine beta 减掉 cosine alpha 乘以 cosine beta。 比上 cosine alpha 乘以 cosine beta 加上 sine alpha 乘以 sine beta。 然后我分子分母同时除以 cosine alpha 乘以 cosine beta 这个整体，那分子除以 cosine alpha， cosine beta 这个整体分母也除以 cosine alpha cosine beta 这个整体， 那就等于 tanine 的 alpha 减 tanine 的 beta 比上一加 tanine 的 alpha 乘以 tanine 的 beta， 那 tanning 的 alpha 加 beta 就 等于 tanning 的 alpha 减掉负 beta 等于 tanning 的 alpha 减掉 tanning 的 负 beta 比上一加弹力的阿尔法乘以弹力的负百塔等于弹力的阿尔法加上弹力的百塔比上一减掉弹力的阿尔法乘以弹力的百塔。 那弹性的 alpha 减 beta， 我 们就减记一个大写的 t t 的 右下角写括号 alpha 减 beta， 那 弹性的 alpha 加 beta， 我 就减记一个大写的 t t 的 右下角写括号， alpha 加 beta。 在使用两角和以叉的正切公式的时候，我们一定要注意，我们要使每一个弹定的都有意义，就是弹定纳法要有意义，弹定的 betta 要有意义，弹定纳法减 betta 要有意义，弹定纳法加 betta 也要有意义。 那接下来我们把我们刚刚所证明的两角和与差的正弦与弦正切公式汇总在一起，我们看一下它们的规律。对于两角和与差的正弦公式来说， 等式右边的两项都是一名相乘的类型，就是 sign 乘以 cosine 的 类型。等式右边第一项的 signalfa 在 第二项就是 cosinealfa， 第一项的 cosine betta 在 第二项就是 sign betta。 三角函数名称是调换的等号左边的 sign alpha 加 beta， alpha 和 beta 之间是加号，那等号右边 sign alpha， cosine beta 和 cosine alpha sign beta 这两项之间也是加号，它俩是同号的， 那 sign alpha 减 beta 也是同样道理。一名调换同号， 那对于两角和与差的余弦公式来说，等式右边是同名相乘的类型，就是 cosine 乘以 cosine 和 sine 乘以 sine， 那三角函数名称也要调换等式右边第一项的 cosine alpha 在 第二项就是 sine alpha， 第一项的 cosine beta 在 第二项就是 sine beta。 等号左边的 cosine alpha 加 beta， alpha 和 beta 之间是加号， 但是在等式右边， cosine alpha， cosine beta 和 sine alpha sine beta 之间是减号，它俩是异号的，那 cosine alpha 减 beta 也是同样道理，同名相乘调换异号， 那 tanine alpha 加 tanine alpha 和 tanine alpha 减 beta 这两个公式大家记一记了，它的符号呢，有个规律就是分子同号，分母异号 等式左边，弹力的后面， alpha 和 beta 之间是加号，那等式右边，分子的弹力 alpha 和弹力的 beta 之间就是加号，但是分母的 e 和弹力 alpha 乘以弹力 beta 之间是减号，弹 力的 alpha 减 beta 也是同样的道理。记下这些特征啊，能帮助我们快速记住公式， 那接下来我们来看辅助角公式，我们用两角和与差的公式来推导辅助角公式，那对于 a 倍三 x 加上 b 倍 cos x， 如果我们想用两角和的正弦公式来变形的话，我们就要想办法把 a 啊 变成 cosine sita 的 形式，把 b 变成 sine sita 的 形式。在直角三角形中， cosine 是 邻边比上斜边， sine 是 对边比上斜边， 那我就以 a 和 b 为直角边来构建直角三角形。 两条直角边是 a 和 b， 那 斜边就是根号 a 平方加上 b 平方。假设 b 这条边对应的角是 c t， 那 么 cosine c t 就 等于 a 比上根号 a 平方加上 b 平方。 signit 就 等于 b 比上根号 a 平方加上 b 平方。 那么对于 a 被 sign x 加上 b 被 cosine x 来说，我把它先除以一个根号 a 平方加上 b 平方，我再乘上一个 根号 a 平方加上 b 平方，那这样变形的话，我们就能用到 cosine theta 和 sine theta 了，那它就等于根号 a 平方加上 b 平方乘以括号。 这里的 a 比上根号 a 平方加 b 平方就是 cosine theta， 那 就是 cosine theta 乘以 sine x 加上，那 b 比上根号 a 平方加 b 平方就是 sine theta， 那 就加上 sine theta 乘以 cosine x， 那就等于根号 a 平方加上 b 平方乘以 sine x 加 theta， 那 我们就可以利用辅助角公式把两项三角函数的和变成一项三角函数，这样可以方便我们去研究这个 a b 三 x 加 b b cosine x， 它的一些最值啊，单调性啊等等性质， 那我们这里就很容易看出它的最大值就是根号 a 平方加 b 平方。但是辅助角公式它的变形方式不是唯一的，如果我们令 a 这条边所对应的角是 c， 它的话， 那 sign c， 它就等于 a 比上根号 a 平方加上 b 平方， 那 cosine theta 就 等于 b 比上根号 a 平方加上 b 平方，那 a 倍三 x 加 b 倍 cosine x 就 等于根号 a 平方加上 b 平方乘以 a 倍 cosine x 加 b 倍 cosine x 比上 根号 a 平方加上 b 平方等于根号 a 平方加上 b 平方乘以 sin x sin x 加上 cosine x， cosine x 等于根号 a 平方加上 b 平方乘以 cosine x 减 c。 所以 同学们要根据题目的条件以及要我们求的值来灵活地选择辅助角公式的变形方式 来。我们看例题，利用辅助角公式化简。第一个三， x 加上 cosine x， 那这里 sine x 和 cosine x 前面的系数都是一，所以 sine x 加上 cosine x 就 等于根号一的平方加上一的平方， 再乘以 sine x 加上 cosine x 除以根号二 等于根号二乘以二分之根号二三 x 加上二分之根号二 cosine x 等于根号二乘以 cosine 四分之 pi 乘以 cosine x 加上 cosine 四分之 pi 乘以 cosine x 等于根号二被 cosine x 加四分之 pi， 好！第二题三， x 减根号三 cos 等于根号一的平方加上负根号三，括号的平方乘以三 x 减根号三倍。 cos 比上前面乘了一个二，所以这里要除以一个二 等于二乘以二分之一， sine x 减二分之根号三 cosine x 等于二倍 sin x 乘 cosine 三分之 pi 减 cosine x 乘以 sine 三分之 pi 等于二倍， sine x 减三分之 pi 好！下一题已知 alpha beta 都是锐角， cosine alpha 等于七分之一， cosine alpha 加 beta 等于负十四分之一。求 cosine beta， 那 我就先把这个 cosine alpha 加 beta 展开。 cosine 括号 alpha 加 beta 等于 cosine alpha， cosine beta 减 cosine alpha， cosine beta 等于负十四分之十一。 题目中已经告诉我了 cosine alpha 等于七分之一，而且 alpha 是 锐角， 所以我就能算出来， sine alpha 就 等于根号一减， cosine alpha 的 平方等于根号一减七分之一平方等于七分之四倍根号三， 所以七分之一乘以 cosine beta 减掉七分之四倍，根号三乘以 sine beta 等于负十四分之十一。 而且 cosine beta 的 平方加上 sine beta 的 平方是等于一的，那由这个方程组我就能解出来 cosine beta 等于二分之一。 这里由于篇幅的原因，我们又给大家展示解方程组的过程了解这个方程组的计算量是非常大的，而且容易出错，所以我更推荐大家用凑脚的方法来解这类题目，我们来看一下怎么凑 要我们求的是 cosine beta， cosine beta 是 等于 cosine alpha 加 beta 再减掉 alpha 的。 就等于 cosine alpha 加 beta 乘以 cosine alpha 加上 cosine alpha 加 beta 乘以 cosine alpha 等于负十四分之十一。 那 alpha， beta 都是锐角，所以 alpha 加 beta 肯定是第二象限的角，所以撒引 alpha 加 beta 就 等于根号 e 减 cosine alpha 加 beta 的 平方， 那就等于十四分之五倍。根号三。而 cosine alpha 是 等于七分之一的， alpha 是 锐角， 所以我就能解出来 sine alpha 等于根号一减， cosine alpha 的 平方等于七分之四倍。根号三， 那这个 cosine beta 就 等于负十四分之十一乘以七分之一，加上十四分之五倍根号三 乘以七分之四倍，根号三等于九十八分之四十九等于二分之一。 好，那这样计算，我们的计算量就小了很多。接下来我们看第二个知识点，二倍加公式 我们刚刚已经学了 sign alpha 加 beta， 如果我念 beta 等于 alpha， 那 我就能得到 sign alpha 加 alpha 等于 sign alpha cosine alpha 加上 cosine alpha， sign 阿尔法等于二倍 sign 阿尔法 cosine 阿尔法，那 sign 阿尔法加阿尔法就是等于 sign 阿尔法， 那 sign 阿尔法减记一个大写的 s， s 的 右下角写阿尔法。我们刚已经学了 cosine 阿尔法加 bet 两角和的余弦公式。 如果我们念 better 等于阿尔法，那我就得到 cos 在 阿尔法加阿尔法等于 cos 在 阿尔法乘以 cos 在 阿尔法减掉 siin 阿尔法乘以 siin 阿尔法 等于 cosine 阿尔法的平方减掉萨因阿尔法的平方，那 cosine 阿尔法加阿尔法就等于 cosine 阿尔法，那 cosine 阿尔法减记一个 c， 右下角写阿尔法， 那我们对 cosine r alpha 等于 cosine alpha 平方减 cosine alpha 平方进行进一步的变形，我们把 cosine alpha 平方变成一减 cosine alpha 的 平方， 那我就能得到 cosine r alpha 等于一减 sine alpha 平方。再减 sine alpha 平方等于一减二倍 sine alpha 的 平方。 或者我们也可以这样变形，我们把三幺二平方把它变成一减 cosine alpha 的 平方，那 cosine alpha 就 等于 cosine alpha 的 平方。减掉括号一减 cosine alpha 的 平方 等于二倍 cosine alpha 的 平方。减一，那由 tanning 的 alpha 加 beta 这个公式，我们令 beta 等于 alpha， 我 们就能得到 tanning 的 alpha 加 alpha 等于 弹力的阿法加上弹力的阿法比上一减弹力的阿法乘以弹力的阿法等于二倍弹力的阿法比上一减弹力的阿法的平方， 那弹性的 alpha 加 alpha 就 等于弹性的 r alpha， 那 弹性的 r alpha 我 们减记记作一个大写的 t， t 的 右下角写 r alpha。 刚刚我们证明的这几个公式啊，都是一个角的两倍，它的正弦、余弦和正切，那这就叫二倍角公式。我们通常把 r 字省略，简称倍角公式。 那背角公式啊，有很多变形，比如说由三幺 r 法等于二倍三幺 r 乘以 cosine r 法，我们就能得到 cosine r 法等于 sine r 法比上二倍 sine r 法，那在这些变形当中，最重要的两个变形，一个叫深密降角，另一个叫降密深角。 由 cosine r alpha 等于一减二倍三幺二平方，我们就能得到一减 cosine r alpha 等于二倍三幺二平方。 由 cosine r alpha 等于二倍 cosine r alpha 平方。减一，我们就能得到一加上 cosine r alpha 等于二倍 cosine r alpha 的 平方。同学们看这两个式子， 等号左边的 cosine 都是一次的，而等号右边的 cosine 和 cosine 都是二次的。次数升高了，那就是升密了，但升密的同时，角是降了的，由阿尔法变成了阿尔法， 这就是生密降角，那由一减 cosine r alpha 等于二倍 cosine r alpha 平方。我们把二倍从等号的右边除到等号的左边， 那我们就能得到 sine alpha 平方等于一减 cosine r alpha 除以二， 那由一加 cosine r alpha 等于二倍 cosine r alpha 的 平方。我们把等号右边的 r 除到等号左边，我们就能得到 cosine alpha 的 平方等于一加 cosine alpha 除以二， 那这两个式子等号的左边 sine 和 cosine， 它的次数都是二次的，而等号的右边 cosine 是 依次的，那就是降密。 降密的同时，角升高了二 alpha， 这就是降幂乘角，那把 sine alpha 平方和 cosine alpha 平方相除，我们就能得到 tan alpha 平方等于一减 cosine alpha 比上一加 cosine alpha 那在降幂乘角的三个公式里面，如果我令 alpha 等于二分之 c， 那 我就得到了对角公式的另一种变形来，我们看 令 alpha 等于二分之 c， 它，我们就可以得到三二分之 c 的 平方等于二分之一减 cosine c 它 cosine 二分之 c 的 平方等于二分之一加 cosine c， 它的二分之 c 大 平方等于一减 cosine c 它比上一加 cosine c 它。 那这几个公式啊，其实就是我们刚刚讲的降密深角。但是 tanning 的 alpha theta 还有一个比较特殊的， tanning 的 alpha theta 还等于 sine theta 比上一加 cosine theta 等于一减 cosine theta 比上 sine theta 角度深了，由 alpha theta theta 变成了 theta， 但是次数没有变化，左边的 tanning 和右边的 sine 和 cosine 都是依次 来，我们看这公式怎么证明排列的。二分之四等于 sign。 二分之四比上 cosine 二分之四 分子分母同乘以二倍 cosine 二分之四等于 cosine 二分之四角乘以二倍 cosine 二分之四角 分母是二倍 cosine 二分之四的平方， 那就等于 sine sine 比上分母的二倍 cosine 二分之四平方就等于一加 cosine sine。 为什么？因为公式在这里， 那 sine theta 平方是等于一减 cosine theta 的 平方，所以就是 sine theta 乘以 sine theta 等于一加 cosine theta 乘以一减 cosine theta。 那把一加 cosine theta 从右边除过去，除到左边，再把左边的 sine theta 除一个除到右边去，那我们就能得到 sine theta 比上一加 cosine theta 等于一减 cosine theta 比上 sine theta， 那 我们刚刚又证明了 sine theta 比上一加 cosine theta 是 等于 tan 的 二分之 theta 的 好，我们就证明完成了。那这四个公式都叫半角公式，那接下来我们来看被角公式的另一种变形，叫万能公式。 sine theta 等于二倍 sine 或者 theta 乘以 cosine theta， 我把它除以一个 sine 二分之四的平方加上 cosine 二分之四的平方，然后我分子分母再同时除以 cosine 二分之四的平方， 那它就等于二倍 tanine 的 二分之四的平方加一， 那 cosine theta 等于 cosine 二分之四的平方减 sine 二分之四的平方，我把它除以 cosine 二分之四的平方加上 sine 二分之四的平方， 然后分子分母再同时除以 cosine 二分之 c 的 平方，那它就等于一减 tanine 的 二分之 c 的 平方。比上一加 tanine 的 二分之 c 的 平方 好，那 tanine 的 c 这个公式我们就不用动了，它就是二角角公式里面，我令 r， f 等于 c， t 就 可以得到了， 那这三个公式就叫万能公式。有了万能公式，如果我再令 tanning 的 二分之 theta 等于 t 的 话， 那就是换元，那 tanning theta， tanning theta 都可以表示成跟 t 相关的一个式子或者函数，这样能方便我们进行下一步的运算。 我们看例题，已知角 alpha 为锐角， cosine alpha 等于四分之一加根号五。求 sine 二分之 alpha， 那 我们由半角公式 sine 二分之 alpha 的 平方等于二分之一减 cosine alpha 等于二分之一减四分之一加根号五等于 八分之三减根号五，那 alpha 为锐角，所以二分之 alpha 肯定也是锐角， 所以 sine 二分之 alpha 就 等于根号八分之三减根号五 等于根号十六分之六减二倍，根号五等于根号十六分之。 我把六拆成五加一，五减二倍根号五加上一等于根号十六分之。 根号五减一。括号平方等于四分之，根号五减一。 接下来我们看第三个知识点，积化和差与和差化积。我们来看 sin alpha 乘以 cosine beta。 我们刚已经学了两角和与差的正弦公式，就是 sine alpha 加 beta 和 sine alpha 减 beta。 如果我把这两个公式左边加左边，右边加右边，那我就可以把 cosine alpha， sine beta 给消掉了。来，我们看 萨因阿尔法加贝特加上萨因阿尔法减贝特等于二倍萨因阿尔法 cosine 贝特。所以萨因阿尔法 cosine 贝特就等于二分之一。 中国后萨因阿尔法加贝特加上萨因阿尔法减贝特。 那这样我们就把 sine alpha 和 cosine beta 这两个三角函数的积转化成了两个三角函数和的形式，这就叫即化合。 我们接着来看 cosine alpha 乘以 sine beta。 我 们把 sine alpha 加 beta 和 sine alpha 减 beta。 这两个式子左边减左边，右边那 sine alpha 乘以 cosine beta 就 消掉了。我们来看 萨因阿尔法加贝特减萨因阿尔法减贝特等于二倍。 cosine 阿尔法 cosine 贝特。 所以 cosine 阿尔法乘以萨因贝特等于二分之一。中国后萨因阿尔法加贝特减掉，萨因阿尔法减贝特。 这就是 cosine alpha 和 cosine beta 的 积化成了两个三角函数的差。 我们接着来看 cosine alpha 乘以 cosine beta 我 们把 cosine alpha 加 beta 和 cosine alpha 减 beta 这两个公式左边加左边，右边加右边，那 cosine alpha 乘以 cosine beta 就 消掉了我们来看 cosine alpha 加 beta 加上 cosine alpha 减 beta 等于二倍 cosine alpha cosine beta。 所以 cosine alpha cosine beta 就 等于二分之一。中国后 cosine alpha 加 beta 加上 cosine alpha 减 beta， 那我们就把 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔化成了两个 cosine 的 和。 接着来看 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔我们把 cosine alpha 加贝塔和 cosine alpha 减贝塔，左边减左边，右边减右边，那 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔就消掉了。 我们来看 cosine 阿法加贝塔减掉 cosine 阿法减贝塔等于负二倍 cosine 阿法 cosine 贝塔 所以 cosine 阿法乘以 cosine 贝塔等于负二分之一倍。中国后 cosine 阿法加贝塔减掉 cosine 阿法减贝塔。 那这里我们就把 sine alpha 乘以 sine bata 化成了两个 cosine 的 差值。 刚刚我们看的四个式子都是把三角函数的极化成三角函数的和或者差。那接下来我们就把三角函数的和或者差化成三角函数的极。 我们先来看 sine alpha 加 sine beta 我 们刚刚已经证明了 sine alpha 乘以 cosine beta 等于二分之一倍。括号， sine alpha 加 beta 加上 sine alpha 减 beta 那 如果我令这个 alpha 加 beta 等于 c， 它 alpha 减 beta 等于 five， 那我就能解出来 alpha 等于二分之四加 five， beta 等于二分之四减 five。 然后我再把 alpha beta 带入这个 sign alpha 乘以 cosine beta 这个公式中，我就得到了 sine 二分之四加 five 乘以 cosine 二分之四减 five 等于二分之一 sign sign 加上 sign five， 也就是 sign sign 加上 sign five 等于二倍 sign 二分之 sign 加 five 乘以 cosine 二分之 sit 减 five 我 这里是用 sit 和 five 来表示的，那你如果看的别类的话，你就换成 a 法和 beta 字母表示不会影响公式的成立， 那通过这个公式，我们就可以把两个 sine 的 和转化成 sine 和 cosine 的 积，这就是和化积。 我们再来看 sine alpha 减 sine beta， 我 们还是令 alpha 加 beta 等于 ceta alpha 减 beta 等于 five， 那 我们得到 alpha 等于二分之 ceta 加 five beta 等于二分之 ceta 减 five 我 们把 alpha 和 beta 代入 cosine alpha 乘以 sine beta 这公式中我们就能得到 cosine 二分之四加 five 乘以 sine 二分之四减 five 等于二分之一 sine sine 减 sine five， 也就是 sine theta 减 sine phi 等于二倍 cosine 二分之 theta 加 phi 乘以 sine 二分之 theta 减 phi。 那 通过这个公式，我们就可以把两个 sine 的 差化成 sine 和 cosine 的 积。 接着看 cosine alpha 加 cosine beta， 我 们还是令 alpha 加 beta 等于 theta。 令 alpha 减 beta 等于 five， 我 们得到 alpha 等于二分之 theta 加 five， theta 等于二分之 theta 减 five， 我 们把 alpha beta 代入 cosine alpha 乘以 cosine beta 这公式中我们就能得到 cosine 二分之四加 five 乘以 cosine 二分之四减 five 等于二分之一括号 cosine theta 加上 cosine five， 也就是 cosine theta 加上 cosine phi 等于二倍 cosine 二分之 theta 加 phi 乘以 cosine 二分之 theta 减 phi。 好， 下一个看 cosine alpha 减 cosine beta， 我 们还是令 alpha 加 beta 等于 theta。 令 alpha 减 beta 等于 five， 那 alpha 等于二分之 theta 加 five， theta 等于二分之 theta 减 phi。 我们把 alpha beta 带入 si in alpha 乘以 si in beta 这个公式中，我们就能得到 si in 二分之四加 five 乘以 si in 二分之四减 five 等于负二分之一。括号， cosine theta 减 cosine phi， 也就是 cosine theta 减 cosine phi 等于负二倍 cosine 二分之 theta 加 phi 乘以 cosine 二分之 theta 减 phi。 好， 同学们，我们把极化和差和和差化积八个公式列在一起，我们来做个比较。 基化和差和和差化基的公式是两两一组，相互对应的。 sine 和 cosine 的 基要化成和的形式肯定是两个 sine 的 和或者差。 同样的两个 sine 的 和或者差要化成基的形式的话，肯定是 sine 乘以 cosine 类型的。 那两个 cosine 的 基要化成核的形式的话，就是两个 cosine 的 核。那同样的两个 cosine 的 核要化成基的形式的话，也是两个 cosine 的 基， 而两个 cosine 的 基化成核叉的形式的话，是两个 cosine 的 叉。 但是同学们要注意，这里 sine alpha 乘以 sine 贝塔右边它的系数是负二分之一。为什么要用负二分之一？因为我们是为了确保右边角度它的一致性。 右边第一项总是 alpha 加 beta， 右边第二项总是 alpha 减 beta， 方便我们记忆。 同样的 cosine alpha 减 cosine beta， 要把 cosine 的 叉化成基的形式的话，那就是两个 sine 的 基。 大家注意，两个 sine 的 积前面也是一个负号，为什么呢？也是为了保证角度的一致性，方便记忆。公式。右边第一项都是 alpha 加 beta， 右边第二项都是 alpha 减 beta。 来我们看看例题，已知 sine alpha 加 beta 等于二分之一， sine alpha 减 beta 等于三分之一。求证 tan 的 alpha 等于五倍 tan 等于 tan。 已知告诉你的是 sine， 而要你求证的是 tan 的， 那我们先把结论中的 tan 的 切划弦，看一下要我们证明的到底是什么。 它念的阿法就是萨因阿法除以 cosine 阿法等于五倍。它念的贝塔就是萨因贝塔除以 cosine 贝塔， 那变形一下就是萨因阿法乘以 cosine 贝塔等于五倍，萨因贝塔乘以 cosine 阿法。那我们就考虑用积话和差的形式 来证明 sine alpha。 cosine beta 是 等于二分之一中括号 sine cosine 类型的积是化成两个 sine 的 和， 那就等于二分之一中括号 sine alpha 加 beta 加上 sine alpha 减 beta 等于二分之一乘以括号二分之一加上三分之一等于十二分之五。而 cosine alpha， sine beta 就 等于二分之一。 sine alpha 加 beta 减掉 sine alpha 减 beta 等于二分之一，乘以二分之一减三分之一等于十二分之一。 所以 sine f 乘以 cosine beta 等于五倍， cosine f 乘以 sine beta。 那把 cosine alpha 除到左边，把 cosine beta 除到右边，我们就能得到 tanine 的 alpha 等于五倍 tanine 的 beta。 好 证明完成， 那接下来我把三角横点变换，所有的公式汇总在一起，我们来看一下公式之间的关系。 两角和以叉的公式是所有公式的基础，那在两角和以叉的公式中，对于 sin alpha 加 beta， cosine alpha 加 beta 以及 tanne alpha 加 beta， 如果我令 tanne 等于 alpha 的 话， 我就得到的是背角公式，就是 tanne alpha， cosine alpha 和 tanne alpha 它们三个的公式。 对于 cosine alpha 的 公式，如果我令 alpha 等于二分之 c， 它我就得到了半角公式就是 cosine alpha 分 之 c 大 平方 cosine alpha 分 之 c 大 平方和 tanning 的 二分之 c 大 平方。 这三个公式都是降密阔角的，但是半角公式还有个比较特殊的， tanine 的 二分之 c 等于一减 cosine c 大 比上 tanine c 大 角度变成 r 倍扩角了，但是次数没有变。 那对于倍角公式，如果我令 alpha 等于二分之四，它同时分子分母同时除以 sine 二分之四，它的平方加上 cosine 二分之四，它的平方 就是除以一，那我就得到了万能公式。万能公式的用处就是用 tanthan 分 之 theta 来表示 tanthan theta 和 cosine theta 以及 tanthan theta。 那 g 化和差公式是由两角和与差的正弦余弦公式通过加减肖像解方程组的方法得到的。得到了 g 化和差的公式之后， 再念 alpha 加 beta 等于 theta， alpha 减 beta 等于 phi， 那 就可以解出来 alpha 等于二分之 theta 加 phi， beta 等于二分之 theta 减 phi， 然后再画圆，就可以得到和差化积的公式。 所以计划和差的公式和和差化积的公式总是两两对应 好。这就是本节所有的公式，它们之间的联系，那你头脑中只要有这个脉络在，那本节的知识框架就搭建起来了。 好，同学们，这节课的内容我们就讲到这里，我们下节课再见。

三步学会三角函数横等变换。这几年呢，在高考题当中呢，经常会出现关于三角函数的一个化简的题型，如果你对这一块内容还不是非常熟练的话，建议大家把这个视频保存下来慢慢观看。 那我们看这道题目，阿尔法贝塔零到二分之二，然后这里呢有一个关系式，那么一般解决三角函数题目的时候，重要的是关注他的角，这里有个阿尔法，这里有个阿尔法解二贝塔，那么但是这里呢出现的是阿尔法解贝塔和贝塔，所以这个角呢，他并不相同，他并不相同，所以我们怎么办呢？就是要把自己的条件， 这里的条件要转化到这里所需要的角，那我们怎么转换呢？我们就可以说三阿尔法就可以转化成三阿尔法解贝塔加上贝塔 三三，那么阿尔法解二贝塔，我们可以写成阿尔法解贝塔，再解个贝塔等于，所以我们这里就变成了阿尔法解贝塔和贝塔的关系，阿尔法解贝塔加算口三阿尔法解贝塔乘以三贝塔， 加上三，三 alpha 减倍，它可三倍，它减去三倍的，可三 alpha 减倍，它三倍，它等于。好，所以这个相加就是四个四，三 alpha 减倍，它可三倍，它，那么这个移过去就是二，可三 alpha 减倍，它乘以三倍，所以调就是二，所以除过来天均差， alpha 减倍，它 等于天均称贝塔，所以得到，所以得到天均称阿尔法节贝塔，除以天均的贝塔就等于二分之一，好，所以这个答案呢就自然而然了。好，那么接下去他要你求这个东西，那么其实还是同样的道理，我们是不是还是利用这个同角的关系， 天均差 alpha 减二倍，它我们可以写成天均差 alpha 减 beta 减 beta， 所以 等于天均差 alpha 减 beta 减去天均的 beta 除以一加天均差 alpha 减 beta 乘以天均的 beta， 那 么前面我们已经知道，天均差 alpha 减 beta 等于二分之一的倍，所以代入去 等于二分之一填均的贝塔减去填均的贝塔除以一加二分之一填均的贝塔乘以填均的贝塔，所以等于负二分之一填均的贝塔除以一加二分之一填均成贝塔的平方。好，那么上面是一次，下面是两次，那么这是一个标准的可以化为 x 加 x 分 之一的题型。 好，所以我们同除以天旋 bet， 那 么这个天旋 bet 分 之一加上二分之天旋 bet， 而天旋 bet 分 之一加上二除以天旋的 bet。 好， 因为 bet 是 属于零到二排，它是正的，所以我们可以用二。 好再反了一下，这是天旋的 bet， 这是大于等于二根号二分之一。好，再给两个约掉二分之一，所以乘进去就是根号。 好，这个十字就大于等于根号，那么这是分母，所以就小于等于根号。再乘以负二分之一，所以大于等于负二分之一除以根号，那么就等于负四分之根号，所以它的最小值就是负四分之根号。是不是就这样出来的？是不是很简单？

同学们好啊，今天咱们来聊聊三角函数那些让人头疼的公式，其实掌握对方法记起来一点都不难。先说最基础的同角三角函数关系， 平方关系就像咱们学过的勾股定律， sine 平方 alpha 加上 cosine 平方 alpha 等于一。这个就像直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方，很好记吧。还有一加上 tan 平方 alpha 等于 sine 平方 alpha 也可以类比着记商数关系更简单了， tan alpha 就 等于 side alpha 除以 cosine alpha。 就 像除法一样，分子式正弦，分母式余弦，然后是诱导公式。 这个有个超级好用的口诀，其变偶不变符号看象限。什么意思呢？其变偶不变就是看派除以二的倍数， k 是 基数还是偶数？如果 k 是 基数，函数名就要变三，和 cosy 互换。 如果 k 是 偶数，函数名就不变。符号看象限就是把 alpha 当成锐角。看原来的函数在这个新的象限里是正还是负，那个符号就是结果的符号。 比如 sin k 等于一是奇数，函数名要变，变成 cosine alpha， 把 alpha 当锐角 pi 二加 alpha 在 第二象限，正弦在第二象限是正的，所以结果就是 cosine alpha。 接下来是和差公式， sine 等于 sine alpha， cos beta 加减 cosine alpha， sine beta。 这个可以记成，正弦乘余弦，加减余弦乘正弦。 cosine 呢？是 cosine f， cosine beta， sine alpha， sine beta， 也就是余弦乘余弦减加正弦乘正弦。注意，这里的加减号和前面是相反的哦。 碳式分子是正切的，和或差分母是一减或加正切的，积符号也是相反的。 二倍角公式可是高考的常客，必须重点记， sin 二 alpha 等于二 sin alpha cos alpha， 这个很 straightforward。 cosine 二 alpha 有 三个形式， cosine 平方 alpha 减 cosine 平方 alpha， 也可以写成二 cosine 平方 alpha 一 或者一减二 cosine 平方 alpha。 这三个形式要灵活转换， 碳二 alpha 是 二，碳 alpha 分 子是两倍的碳 alpha 分 母是一减碳 alpha 的 平方。有了二倍角公式，降逆公式就很容易推倒了。 sum 平方 alpha 等于除以二， cosine 平方 alpha 等于除以二。把平方降下来变成一次的，在很多计算里特别有用。 辅助角公式也是大体里经常会用到的。 a 三 x 加 b cosine x 可以 合并成 cosine， 这个 five 就是 辅助角，能把两个三角函数合并成一个，方便我们求最值什么的。 最后是正弦定理和余弦定理，正弦定理是 a sin a equals b sin n b equals c sin c equals to r。 这里的 r 是 三角形外接圆的半径，它把三角形的边和角联系起来了。 余弦定里， a 平方等于 b 平方加 c 平方减二 b c 靠 c， 已知两边和夹角求第三边，或者已知三边求角都靠它。怎么样？这么梳理下来，三角函数公式是不是清晰多了？ 关键还是要多理解，多练习，找到适合自己的呢？有没有什么小窍门，来评论区分享一下吧！

各位同学你们好，今天我们来讲三角函数的诱导公式，首先哈， 对于这个章节的知识呢，他比较简单，其实大家只需要记住一句话就可以了，叫做既变偶不变，符号看象限。那首先啊，我们来解释一下什么叫既变偶不变，符号看象限哈，所谓的既变偶不变，讲的就是 如果我们的任意角里面的二分之派，也就是九十度，他有基数个的话， 那么三角函数的符号名就要改变，由 sin 变成 cosine， cosine 变成 sin， 贪心特变成可贪心特，可贪心特变成贪心特。那什么叫偶不变呢？那如果是偶数倍，那么三角函数名的 呃，就照抄，这是我们的既变而不变。我们接着来看符号看象限。什么叫符号看象限，其实就是确定我们的三角函数的最终的正或者负。 那我们要看的是什么符号呢？看的是原三角函数符号 符号，那么在这个地方啊，在这个地方啊，呃，会将我们的任意角转化成 把它拆分后面的剩下的那个角，我们不管拆分的剩的是什么，那么我们都把它默认是什么呢？锐角，当然也要记得我们前面的知识哈，正弦上为正，余弦又为正，正弦看一三。那我们来看一下 练习，那具体流程是怎么做的呢？来，首先第一步，我们要先将这个 角任意角转化为正角，那怎么转化为正角呢？就看三角函数的奇偶性。正弦函数，它是奇函数，那就是负号，可以被提到括号外边去，那就是负的三引 x， 那 余弦函数呢， 它是偶函数，就这个负号会被抵消，就变成 cosine x 正切函数呢？它是一个奇函数，就是符号可以被提出去。 好，这是我们的几个函数的奇偶性。那在这个地方它是不是奇函数啊？当然它里面是正的，我们就不管了。接着第二步，将我们的任意角拆分为 九十度或二分之派哈，乘上一个整数，加上一个锐角的形式。刚才我们讲了，这个地方就是锐角啊，这个地方是个整数，既变偶不变，就看这个 n， 它是奇数还是偶数。那我们来拆分一下 来，三角符号名照写 sin 七百五十度，可以写成什么？九十度乘上八八九七百二嘛，再加多少度啊？ 三十度。好，我们拆分完整以后去看这个 n， 他 如果是奇数，那就改变，偶数就不变。这地方是不是八，他是偶数，偶数。三角符号名照抄，三引照抄，后面的锐角照写。 接着绕这个角，看他是第几象限角，然后看第几象限角的正弦为正为负，我们来绕一下呗。 七百五十度，那是不是绕八个九十度啊？顺负逆正啊，那我们逆时针去绕，这是不？四个五六七八，再绕一个正的锐角，好，到这中间是不是绕到这个地方， 那么他是第一向前角，第一向前角的正弦为正为负啊，就为正。当然这个正好，你可以不用写那三以三十度，我们都知道是多少啊，那是不是就是二分之一？ 那后面也一样啊，是由角度字用变成了弧度字，弧度字一样的算法呗，那就是什么？这个符号要被什么呀抵消，那就变成什么 cosine 六分之十一派。那接着干嘛呢？ 把我们的六分之十一派拆分成二分之派，乘上一个数，再加上一个锐角的形式。那六分之派里面有多少个二分之派呢？我们去 数一下就知道了，小学学过吗？那是不？六分之十一派除以二分之派，那是不等于六分之一派。乘上派分之二，约分约分，这是不是？三十一除以三等于什么？ 三点几，对不对？没到四，那这地方填最大整数填三，那这个空里面填多少呢？那是不是有六分十一派减去这个地方就行了，那就是六分之十一派，减去六分之九派，还剩多少呀？ 六分之二派，那就是我们的什么三分之派，所以这地方就是我们的什么三分之派，那又即变而不变，这是不是基数？可塞印变成塞印后面的锐角造血。接着这是第几项角啊？我画一下呗。 三个九十度，一个，两个三个好，再加一个锐角，是不？绕到这中间，在第四象限余弦，什么余弦？右为正，那就第一第四啊，都为正，所以也填个正好。这也是什么三引三分之派。 三十三分之派是多少呀？三分之派是六十度，那就什么二分之根号三。那正切也是一样啊，首先把它转正角，它是正角，我们就不用管了。那就是什么？照写 可以写成二分之派，乘上一个数，加上一个数的形式。那四分之十三派里面有多少呀？我们来看一下， 我们算一下哈。四分之十三派就是四分之十三派，除以二分之派，就等于乘上什么派分之二约分，约分、约分啊，这变成二，二分之十三等于几啊？六点五， 对不对？那写几啊？写六啊，那还剩多少呀？这是不？四分之十三派减去四分之十二派，还剩多少呀？ 四分之派，好，这是不是偶数？偶数，贪婪的不变，照抄后面的锐角。四分之派照抄这是第几向前角啊，绕一下嘛，绕六个九十度， 一二三四五六，再绕一个锐角到这儿。第三向前角，正确的为正，为负为正，那是不就是贪婪的四分之派？就是贪婪的四十五度等于几啊？等于一。 好，我们来看一下接下来的这道题哈。首先， 这个地方，像这样的题，我们就分开，把它单独化简就行了。这个地方我们是不是可以写成塞 二分之 pi 乘上二减阿尔法偶数个啊？这个地方偶数个负三角函数符号面照抄阿尔法，当锐角照写它递几向下角啊， 来，转两个九十度数，转到这，再减二法，好，记住哈，顺负立正。那既然是减，那就顺时针转呗。那是第几象限角？第二象限角，第二象限角的正弦值为正负啊， 是不是为正好？那填个正好，好，第二个是不是也一样啊？它可以看作什么？ cosine 阿尔法去乘上一，那是不是就是基数变什么？ cosine 变成 sine 阿尔法。这第几线段啊？ 二分之派是不是到这顺时针转到这再减个阿尔法嘛？那是不是第一线段也为正好？这个呢，是不也一样 等于什么 cosine 二分之 pi 乘上四，减阿尔法，好，偶数对不对？四是偶数，即变，偶不变吧。那就照抄阿尔法，照写第几线段啊，我们去画一下， 转四个九十度，转到这再减阿尔法是不是转到这第四象限角的余弦为正为负啊，余弦右为正，第四象限在右边，所以他为正这个地方等于什么呀？ 他是不是可以看成三二分之派乘上一，那基数个塞印变什么？可塞印阿尔法造写， 这是第几象限角啊？画一下是不和前面一样？他是第一象限角，转个九十度，再顺时针转个锐角。第一象限角正弦值是不是就为正？好？那我们的这个四字就可以写为啊，原式 就等于什么啊？ sine 派减阿尔法提换成 sine 阿尔法，乘上 sine 阿尔法，再加上什么 cosine 阿尔法，乘上 cosine 阿尔法，那前面是不是有 sine 阿尔法的平方啊？ 加上什么 cosine 阿尔法的平方。我们知道这是个横等式，它等于几啊？等于一来，我们再看下面一道例题， 我们知道 sin 阿尔法减派等于三分之一哈，三分之一，这是三分之一，阿尔法是第四象限角，求可选阿尔法的值，那这个和前面是不一样的，我们先把它化减嘛。好，当然我们前面的是派减阿尔法的那种形式，对不对？ 好，这个地方和阿尔法减派和派减阿尔法有什么关系啊？它是不是互为相反数？那我们就可以写 什么提一个符号出来， r 法减 pi 等于什么？ sin 的 负的 pi 减 r 法。 我们把这里面哈看做一个整体以后，那这个前面是不是有个负号啊？它是个奇函数，那这个符号就可以干嘛呀？提到外面去，那就变成什么负的 sign， 什么 pi 减阿尔法，那和前面是不是又一样了？把它拆分，就等于负的 sine 二分之 pi 乘上二减阿尔法。好，偶数个对不对？偶数个，我这写在这了哈， 就符号照写不动 sine 是 不是抄下来变照样是 sine， 然后阿尔法照写第几三角啊？我画在右三角啊， 转两个九十度，转到这儿，再减一个 r 法是第二个向量，第二个向量角的正弦值为正，负为正，前面再添个正，好可以不添。这就是负的 sine r 法对不对？它等于什么？三分之一的？所以我们的什么 sine r 法就等于几啊？ 负的三分之一。那既然 sin 负 r 法等于负的三分之一，那是不是就可以和前面学习的知识联联系起来啊？知道他第四项链讲知道 sin 二法求 cosine 二法怎么求啊？是不就是 sin 二法的平方加上 cosine 二法的平方等于一？利用这个公式来求呗。那就代入进来呗，代入进来呗。 cosine 二法的平方那是不是就是九分之一？ 加上 cosine 阿尔法的平方等于一？然后解方程呗。 cosine 阿尔法的平方就等于九分之八。 cosine 阿尔法就等于什么？正负的三分之二倍根号二。又因为什么？又有什么？它是第四象限角，阿尔法为第四象限角。 第四象限角的余弦取正取负啊，余弦又为正嘛。所以尔 cosine 尔法只会为什么？正值等于什么？正的三分之二倍根号二。好，今天的课就讲到这个地方。

大家好，我是超越老师，这一节里面还有个很重要的考点，就是中边相同的角，或者说中边落在某个位置上，让你去求一下，我们一起看一下啊。那第一个，这个是一函数，我们能画图像给它画出来，是不是这样的？画出来 这个地方是不是就可以得到？你怎么去找这个角度？是不是上面随便找一个点啊？随便找个点，比如你找一和根号三， 你可以用勾股定盈，对不对？然后把这三边都给他算出来。用勾股定，你把这三边都给他算出来，你会发现这个刚好等于多少？等于六十度，你可以算算啊，这是一，这是刚好三，这是二。初中背的那个经典字，只要三角形，让你背下来的是不是那个特殊角的三三角函数那个 是这样的，然后这个要注意啊，因为这个是直线，他分两段，我们正常的是这样，所以他分两个啊，所以这个六十度，但是你填的时候你不能填六十度，人家让你填这个， 是不是填那个三分之派啊？所以第一个就是三分之派就出来了，三分之派这边是不是加了一个派啊？看到没有？这个线也算好，加了一个派，那就是三分之四派，然后你如果再加派的话，是不是就三分之 七派？这个时候是不是超过这个二派了？那不可以，但他还可以负的。你看这个地方是三分之派，那你怎么样往这边走是不是减派啊？ 只要是顺时针就是减啊，逆时针就是加啊。往这边走的话，那就那就负三分之二派，负三分之二派，然后再往这边减，是不是负的三分之五派？是不是一共就这么多个就数出来？这是集合的形式啊？集合的形式。 第六题，这个你先把这个点给他算出来，扩散引三分之派是不是二分之一啊？所以这个点是屁，是二分之一和一。 这个时候有的学生做这个题时，他永远都要把它画成角度，你前期是真的不熟练，你可以画，但是后期你一定要想办法去熟练，因为后面要用这个弧度，我们后面要学图像，图像的一横，左边全是弧度，我们一起看一下啊。所以你把这个点给他找到，是不是在这二分之一和一，大概在这 这个时候，他你算这个三 e r 法，是不是这样的三 e r 法，那你就去这个是不是还是初中那个方法呀？初中的话你把这个算一下吧， 对不对？这个是多少？这是这是一，然后这个是二分之一，然后这个你算一下，他是等于购物，你算一下是二分之根号五，然后三一是不对？平斜边，那就一比上一个二分之根号五， 是不是啊？最后是不是选 d 啊？这两个题有差别的，你看这个是有两个方向，相当于他有两个中边，这个嘞，是不是只有一个啊？因为点在这个上面，他不可以到另一边去啊？

一节课教你从什么都不会直接搞定三角函数，视频比较长，请大家耐心看完。好，我们来看这道题。我们先说正弦三角函数一定是放在直角三角形当中， 有了它之后呢，我们比如说 sine 二法，找到这个角度二法，然后找到它的相对的这个直角边，它对着的直角边比上斜着的这个斜边啊，所以 sine 二法等于 a 比上 c， 那么余弦呢？我们还是找到这个角，然后余弦等于这个角度相邻的这个直角边比上斜边，也就是 b 比上 c 正。切， 我们还是找到这个角，然后呢，知道是这个角的相对的直角边，比上相邻的直角边，我们必须要记清楚谁比谁，当你记住了谁比谁之后， 我们就可以记住这些个特殊角度的一个三角函数。比方说咱们的 sin 三十度， 我们不用特别的去背啊，只要画出一个直角三角形，我们记住它的编织笔呢，是一比二比上根号三。 四十五度的直角三角形呢，它的编织笔呢是一比一比根号二。好，我们来直接就可以写出来看。在三十度先找到这个三十度 正弦，是指的是三十度的对边比上斜边，所以一比上二就是二分之一。 sine 四十五度，我们找到任意一个四十五度找哪个都行，比如说我们找它，那么 sine 四十五度等于四十五度的相对着的直角边是比上我们上下都乘上根号二之后， 是不是就得到了二分之根号二在六十度，我们需要找到的是六十度 正弦呢？是六十度的对的的直角边，比上我们的斜边是不是等于根号三比二，我们也把它记下来了。 ok， 那 接下来余弦 cosine cosine 三十度，找到三十度，与弦一定是这个角度的相邻直角边比上斜边，所以是根号三比二。 cosine 四十五度，我们还用这个四十五度，是四十五度的相邻直角边比上斜边，是不是一比根号二有理化之后呢，就是二分之根号二。 cosine 六十度，我们找到六十度， 我们知道与弦是这个角度的相邻直角边比上斜边，所以是一比上二。好，接下来正切我们还是看见它三十度，我们找到三十度， 正切指的是三十度的相对直角边比上三十度相邻的直角边，所以是一比根号三，有理化之后呢，就是三分之根号三。 tan angle 四十五度，找到四十五度，那我们用四十五度相对的直角边比上相邻的直角边，就是一比一，结果就是一。那么 tan angle 六十度，我们找到这个六十度， 应该是他的相对的直角边比上相邻的直角边，就是根号三比一，结果呢就是根号三，所以我们完全不需要去一个一个背，我们只需要把这两个头记住就可以了。 而且呢，我们还要明白，这个角度不一定是三十、四十五，六十，也有可能是任意的角度，那比方说这个角度是阿尔法，放在直角三角形当中，那么我们就可以知道塞阿尔法，我们找到阿尔法 正弦值应该是阿尔法的相对直角边比上斜边，那也就是 三比五。同样的， cosine alpha 应该等于 alpha 的 相邻直角边比上斜边就是四比五， 那么 tangent alpha 呢？是不是应该等于 alpha 的 相对直角边，比上相邻直角边就是三比四，那好记这个东西有什么用？我们来看这个 题目中说 r t 三角形中角 c 等于九十度，然后呢角 a 是 三十度， 角 a c 呢是根号六，它就直接让我求出 a b。 放在以前，我们如果想求一条边的话，需要用的勾股定律，那我们必须知道两条边的长度才行，但是这么一个角度， 他就直接给到了我们边之间的关系，那我们来看三十度，给你相邻的直角边，让你去求斜边，那我们肯定用的是鱼弦 cosine， 那 cosine 三十度 我们知道应该是二分之根号三，那它等于的是这道题的 a c 去比上我们的 ab， 而这道题的 a c 给我们的是根号六， 所以我们的 ab 呢，是不是就应该等于交叉相乘，再除以根号三，那就是二倍的。 这行三角函数到底是干什么的？他就是给我们提供了一个角度，再结合一条边，我们就可以把另外的边和角度都求出来，他的用处就是这个。好，我们继续。 但是如果给我的是一个角度，其他的边并没有告诉我，那这个时候我们要注意它其他的边一定是要有关系的。我们来看这个 rt 三角形 abc 中角 c 等于九十度，角 a 是 三十， ab 呢比 bc 要长。好，我们可以设 bc 是 x， ab 是 x 加四，我们把它标到这里面。 好，现在他直接让我求 ab 的 一个长度，那我们看有一个角度，另外两个边虽然都有未知量，但是他之间是不是有关系， 那我们这个时候也可以用三角函数求解，那我们肯定要正弦值，因为给我们的是相对的角边和斜边， 那么 sine 三十度是不是应该等于 x 比上 x 加四，而我们知道 sine 三十度等于二分之一， 解一下二， x 等于 x 加四， x 就 等于四，所以这个边是四，这个边是八，是直接就解出来了。 好了，我们知道了三角函数的用途，我们来看一看怎么样去处理这个三角函数的一个大体 题目中说啊，这个我们读题的时候啊，不用读那么多，我们只需要把关键信息读好了就行了，看 bc 等于二二幺，我们把它标出来， 然后呢角 a、 c、 b 是 四十五度，角 abc 呢是五十八度，都标出来了，他最后让我求 ab 的 长度， ab 的 长度， 那咱们一定要想到四维是什么？这两个角一定要让他在不同的直角三角形当中，这是我们第一个思维，所以我们的辅助线方式一定是 从 a 往下做垂线，垂足为 d， 是 不是切成了两个直角三角形？那第二个思维呢，我们就是去想一想他们之间边之间有什么样的关系，你会发现 a、 d 是不是既在这个直角三角形里，又在这个直角三角形里，他们是公共的边，而且呢在这条线上，你会发现这两条线相加是不是等于二二幺，所以这个就是两个直角三角形之间的关系。那么我们最后想求 ab， 我们脑海中有这么一个数，那我们去列出两个直角三角形中的三角函数就行了，这是第三个思维，你看都是直角边， 都是直角边，那我们肯定用到的是正切函数。我们最简单的思维，我们可以设这个边是 x， 你 会发现通过 tan 的 四十五度， 它是不是等于 a、 d 比上 c、 d 看见四十五度得一， 所以我们可以得到 a、 d 是 不是等于 c、 d 都等于 x， 那 么既然它都等于 x 的 话，咱们的 b、 d 是 不是就等于二百二十一减 x？ 你 会发现在这个三角形当中， 虽然我不知道 x 是 多少，但是这还有一个角度，那我们只需要列出 find 五十八度是不是等于 x， 比上二二幺减 x 即可。 find 五十八度呢？题目中给我的是一点六， 那我们用这个式子是不就可以把 x 给解出来？那有了 x， 有 了这个数，你想求 a、 b 有了直角边，五十八度相对的直角边，想要去求出斜边，我们是不是用 sin 五十八度就行了？那么 sin 五十八度是不是应该等于 a、 a、 d 这个 x 比上我们的 a、 b？ 你要注意，这个已经算出来了， sin 五十八度是不是题目中也有，那我们非常简单的就可以求出我们的 a、 b？ 好， 接下来我们继续深入 再看这个还是我们三个思维啊。第一个，要让这个三十五度，你看这道题里有三十五度和四十二度在不同 三角形中啊，不同的直角三角形中。第二个呢，我们要找到这个直角三角形之间的关系， 看看他们哪些边是重合的，哪些边是有关系的。第三个呢，就是根据题目中给的关系，列出我们的相应的 三角函数，我们来看还是啊，我们直接看题目中给的有效信息就行了，四十二度，三十五度，看，这个是四十二度，这个是三十五度。 塔高 bc 啊， bc 是 三十二啊，这个小的长的是三十二，而求这座山 ab 的 高度啊，他想求出这个高度，好， 我们来把它放大一下啊，这个是三十二，我们把它记住，我们看底下是一个直角三角形， 这个又是一个直角三角形，你会发现这两个直角三角形之间 a、 p 是 不是它们的公共的边，这就叫关系。 那么 ab 和 ac 之间和 bc 之间啊，这个小的直角边和这个长的直角边之间是不是有一个加减的关系？因为 ac 减掉了 ab 是 不是就是三十二，那么这个也叫关系 好。第三步，列式，既然给我的都是直角边啊，都是直角边，那我肯定列出的要是正切函数 tangent， 那 我们现在比方说我们设 ab 是 x， 那 我们通过这个三十五度，我们就可以设出。你看 tangent 三十五度是不是等于 x 比上 ap， 那么它减四十二度呢？ 是不是就等于 a c a c， 你 会发现是不是等于三十二加 x 比上 ap？ 而我们看一下这道题里面 x 未知量， ap 未知量这边可都是 数字那么两个方程两个未知量这边可都是数字那么两个方程组了。 我们最简单的方式呢，就是把它做一个除法啊，你会发现它的三十五比上它的四十二，是不是等于零点七比上零点九，也就是七比九， 那么这边一消除呢，是不是把它乘上倒数 ap 就 消掉了？等于 x 比上三十二加上 x， 是 不是就已经搞定了解除 x， 所以 思维啊，一定要做好。 好，接下来我们再看，再看，还是一样的读出有效的信息。他说 d、 e 是 三十六，我们 d e 呢，这条线是三十六， 然后 e、 c 垂直什么的，这里面都有标出垂直，然后呢，注意角度啊，注意角度， c、 d、 b 是 四十五度， c， d， b 这个角度是四十五，然后呢，后边 c、 d， a 是 六度， c， d， a， 哦，底下这个小角是六度， c、 e、 b 这边这个角度是三十一度。好，角度都给我们了，最后让我求 cd 的 一个长度啊， cd 的 一个长度以及 ab 的 高度就是它 cd 和这边的 ab。 好， 那我们把它稍微放大一点啊，稍微放大一点，我们注意这里面的一些角度就行了。好，注意看啊，这里面是二十六度，这是四十五。唯一给我的一个长度啊，唯一给我的一个长度是上面这个 啊， d， e 是 三十六啊， d e 是 三十六。 我们看这里边有几个直角三角形，你看啊，是不是有一个， 两个，三个， 所以呢，我们就围绕着这三个直角三角形去列式子就可以了。那他给的信息你要注意，给了三十二，这个四十五度， 那我们要知道这两条边呢，是不是肯定是相等的，这个 bc 和 cd， 因为这是一个等腰直角三角形，我们完全就可以设这两个边是 x。 未知量的思维对于我们做题来讲很重要。好了，那你会发现有了这个六度，我们的三角函数是干什么用的？ 给你一个边，是不是就可以把另外的边给表示出来，这是我们的用途，而且你会发现，结合这边的三十一度，我们有个角度， 这个边是三十二加 x， 这个边是 x， 是 不是就可以利用三十一度去解掉 x 了？好，那事情就变得简单了，我们只需要列出，你看这是两个直角边， 这是三十二啊，这是三十二啊，三十六啊，三十六， 我们这两边是 x 啊，注意，那 tangent 三十一度是不是等于 x 比上 x 加三十六，而 tangent 三十一度是给我的是零点六， 那我们是不是就可以解出 x 了呢？而有了 x 之后，我们如果想，题目中不是让我求那个 a、 b 吗？求那个 a， d， a、 b 吗？ ab 上面有 x， 下面还差一点，是不是需要用到这个六度了？ tangent 六度等于 ac 比上 x， 那 么 x 已经解出来了， tangent 六度又是已知的，是不是就可以搞定我们的 a c？ 好，最后一个也是稍微有一些难度的一个题目， 还是读有效信息啊， c， d 是 六，我们看这个边是六，然后呢 d， c， e 是 三十，这边给你标出来了，给了一些四十五度，还有二十七度啊，然后最后呢，让我求谁呢？先求 d e 的 长啊，先求这个 d、 e 的 长， 然后呢再求出 a b 射塔 ab 的 高度为 h， 然后用含有 h 的 式子表示 e a 啊，表示这个 e a， 那 咱们到这呢，可以边读边去写了，其实这个事呢，是比较简单的，我们来看啊，这里面 c、 d、 c、 d 是 六，我们根据三十度，我们知道三十度所对的边等于斜边的一半，那所以这个边是三，根据比例，一比二比根号三，一份是三，那么咱们的根号三份呢，就是三倍的根号三， 如果这个比例不会的话，可以看看我上一个视频啊，看一下上一个视频，好，第一问，求 d e， 我 们已经求出来了，应该是三。第二问，它 ab 的 高度设为 h 啊，用 h 式子表示 e， a 啊，表示 e a， 你 会发现这边是个四十五度，你可以用三角函数看见四十五度是不是等于 ab 比上 ac， 它念四十五度等于一嘛？所以这两个边是不是应该是一样的，都是 h， 那 么你会发现 a e 的 长度呢？ 是不是就是三倍根号三加上 h， 非常简单的一个事。最后一问，求塔 ab 的 高度，我们来看求 ab 的 高度，那也就是说去解决 h， 我 们到目前为止用的直角三角形是不是用了一个？用了两个， 第三个你还没有用第三个角度，是不是也得让它在直角三角形当中？所以呢，肯定是把它延长出去，人家已经给你做出来了，比如说到 k 点， 那当你做完了之后，你就会发现了。第二问，为什么让你用含有 h 的 式子表示 a e 呢？就是因为 k d， 是 不是它和 a e 是 一样长的，等于三倍根号三加上 h， 而在这个直角三角形当中， 这个直角边是三倍根号三加 h， 那 么这个直角边呢？你会发现是不是等于 h 减掉了三， 那你看这个直角三角形当中，虽然这两个边都不知道是多少，但是我们仅仅只用一个未知量表示出来了， 再结合这个二十七度，那么就可以解除 h， 这就是我们三角函数的应用。所以我们只需要列出贪婪的二十七度是不是等于 h 减三，比上三倍根号三加 h， 而贪婪的二十七度题目中给我的是已知的，所以一定要明白三角函数的作用， 是不是可以织一个边，结合一个角度求出另外的所有边和角？ 那如果一个边长都没有给我的话，而给了我一个角度，那么如果想求另外的边，那一定是把另外的边的关系而给我。什么关系？你比方说就像这道题， 这个边是 h 减三，这个边是三倍根号三，加 h 是 不是都与 h 有 关？那么这个时候再结合特殊的角度，就可以求出我们想要的一个边。感谢大家的观看。

主播主播，反三角函数回带公式好抽象，有没有什么好的记忆方法？最好不要动脑子的，有的兄弟，有的这大学长教你现场推，看完学不会随便喷。 好，恭喜你被我恭喜到了，因为看完这个视频之后，你将再也不会为这个反三角函数回带这个问题而烦恼。 我们来看一下，这是一张关于反三角函数回代的表，就是说当你的这个，呃， assign， 比如说 assign x 里面嵌套，就是 assign 里面嵌套一个 assign， 这个谁都会，对吧？嵌套过去它就是 x， 然后 cosine 里面嵌套一个 assign x， 这个也是 谁都会的，但是如果遇到这种呢？就是 cosine 里面嵌套一个 assign x， 它是等于什么呢？那或许有些同学也能反应的过来，它是根号一减 x 方， 那如果说是 tangent 呢？对吧？啊？ tangent 里面嵌套一个 assign， 或者说 tangent 里面嵌套一个 assign， 难道这些东西我们都是一个个背下来的吗？其实并不是，我们其实是 可以靠一个直角三角形把它全部现场给它推出来，像这个东西的话，在我们那个不定积分里面非常的常用。所以说这个视频看完之后，呃，后面对于不定积分这一块的话，我觉得你应该是能够掌握的。那我们首先来看一下它这个原理 就是说我们以一个具体的东西为例，如果说你这个 theta 呀，它是等于啊，可 tangent x， 那 我其实可以把它写成怎么样呢？ theta 是 不是可以就是 tangent theta， 它是不是就等于 x 呀？这是我们谁都知道的 tangent theta 等于 x 的 话，那我是不是可以把它写成 x 比上一，对不对？ x 比上一，这样子的话，我们就可以构造一个直角三角形， 构造一个直角三角形，这个东西是 theta 对 不对？ theta， 然后他说，呃，你的 tangent 是 theta， 是 x 比一，那我们就把这个 x 跟一给它标上，标上之后，然后斜边它是不是就是根号一加 x 方，一加 x 方，那这样子之后这个 theta 我 们知道了， theta 我 们知道了，那我们的这个三 m theta 其实是是不是都可以知道？ sin theta 的 话，它是 x 除以根号下 x 方加一，然后 cosine theta 它是等于一除以根号下 x 方加一。那这个我们解决了一个什么问题？因为我们这个 theta 是 不是 octangent theta 呀？所以说我们 sine ac tangent x 这样子嵌套之后，它就等于 x 除以根号 x 方加一，对不对？那我们来个对对一下，这个东西是不是这样子？你看 看一下，是 sign 的 octanted， 那 就是 sign 比上一个 octanted， 你 会发现是一模一样的，对不对？然后还有，呃， cosine 对 上一个 octanted， 你 看啊，这一部分是不是就是一模一样呀？所以说像这样的话，我们就可以把所整张表格都给它推出来。 好，然后接下来我们再挑一个来看一下，就是剩下的话留给你自己练习了，就比如说 second， 我 们就就挑这个 second 吧。呃，让我想一下啊，就是在这里我们令这个 ak second x 它是等于 theta 对 不对？那我们是不是就可以知道 second second theta 它是等于那个 x 比上个一，那我们直角三角形应该怎么画呀？那是不是就应该是斜边比上？斜边比上，这个是 cosine 的 倒数嘛？那就是斜边比上零边，那应该是这样子，对不对 啊？然后 theta 在 这里，那我们的对边应该是什么？是不是就应该是等于根号 x 方减掉一个一啊？对吧？好，那这样的话我们就可以写了， sine theta， 它等于什么？ sine 的 话是这个比，这个就是根号 x 方减一除以 x， 那 cosine theta 等于什么？那是不是就等于根号？看一下 cosine theta 的 话，那应该就是这个比这个，那就是 x 分 之一，那 tangent theta 呢？ tangent theta 是 这个比这个，那就是根号向 x 方减一，对不对？你看啊，这样子的话我们都是能对得上的。好，然后其他几个就留给你自己练习了，然后这个视频就给大家讲到这里，谢谢大家。

咱说一下啊，这叫辅助角公式。什么叫辅助角公式？是不是得有个适用条件，就是当它写成的是 a 倍的三分之 c 的 加上 b 倍的口三 c 的 时候，后面两个角都是我们的 c， 它，哎，我就可以用辅助角公式，那形容什么呢？叫做 a 倍的三分之 c 加减 b 倍的口三 c， 它 c 都是 一个角，相同不能是 alpha 和 beta 的 时候，对吧？那我们接下来的要求，也就是说它注意事项，什么叫 a 大 于 b 大 于零？那我们继续，它可以化简成什么样的一个形式呢？ 前面是不是有 a？ 前面是不是有 b？ 我 们把它提个根号下 a 方加 b 方，然后呢就是 sine theta 加减，上面是加减，底下是加减 f， 它这个 f 等于什么呢？叫 b 比 a。 那 么我们现在来看一下哈，第一个 a 是 谁？ a 是 不是 sine theta？ 前面记住一， b 是 不是口在连线在前面系数也是一？你说老师这不是负一吗？不是，我们的 a 和 b 必须得大于零。好，那么 a 此时此刻等于一， b 也等于一的话，我们是不是刚才下一方加 b 方就是谁啊？ 根号加一加一，所以一的平方，加一的平方是根号二，算起来减 f， 贪婪的 f 是 谁？贪婪的 f 是 不等于 b 比 a 一 比一是不等于一？贪着多少度？是不是四十五度，对吧？那我们再继续第二个，哎，它就是一个非常大的易错点，我们刚才强调我的要求是什么来着？ a 大 神也大神， b 也大神。但是你说老师现在的话，这不是 a 吗？不是啊， a 是 side 前面系数， side 前面现在是不是有符号？不怕呀，给它提出来就好了呀。提出来之后是不是根号三分之三写谁，它 减掉一倍的口塞谁的？所以 a 此时此刻等于杠三，所以 b 此时此刻等于一 a 符号落下，然后二倍的 side。 我 们说贪婪的 five， 贪婪的 five 是 谁呀？是不是 b 比 a， 一 比杠三是我们多少？三分之杠三是不是对应的是贪婪的三十度？哎，这就出来了。所以为什么有的时候算一算就容易算错？就是因为你没有看到到底谁是 a， 谁是 b， 有 没有大于呢？三十度。哎，这就出来了。 所以为什么有的时候算一算就容易算错？就是因为你没有看到到底谁是 a， 有 没有大于零 b， 有 没有大于零的？三十度。哎，这就出来了。所以为什么有的时候算一算错，就是因为你没有看到到底谁是 b， 有 没有大于零 b， 有 没有大于零 b。 你说老师我为啥非得用塞啊？我们学校还讲口塞你可以用，但是容易用错，所以为了规避这种用错的情况怎么办？我们都用塞来表示是最好的啊。

各位同学，本节课呢，我们来学习特殊角的三角函数值。在初中阶段，我们的特殊角指的是三十度、四十五度和六十度这三个特殊角。那么接下来，我们利用上节课所学的知识，我们分别对这三个特殊角进行三角函数值的计算。 大家还记得三角函数值一共有几种吗？对了，在我们初中阶段，一共是三种，分别是正弦、余弦和正切。好，我们先从三十度来进行入手，三十度的正弦，那就是 sign， 三十度 他到底等于多少呢？我们还是要经过直角三角形去分析，因为我们知道所有的三角函数，他都是与直角三角形相关的，是吧？所以呢，我们画一个，其中有一个锐角是三十度的直角三角形。 那么根据直角三角形的相关的一些定律和性质，我们知道三十度所对的直角边，他的长度等于斜边长度的一半。所以有了这个啊，我们就可以假设三十度所对的这个直角边，如果是一的话，那么他的斜边就是二。 再根据勾股定律，我们可以求出另一条直角边，它的长度是根号三。于是呢，我们就知道了， sine， 三十度，它就等于正对的边比上斜边，也就是二分之一。 sine cosine， 三十度， 它就等于相邻的边比上斜边，也就是二分之根号三。判定的三十度，它就等于正对的边比上零边，也就是一比根号三。 化解一下是三分之根号三。好的，所以呢，关于三十度这个特殊角的三个三角函数值，我们就已经求出来了。 其实同学们不用去记这个结论啊，我们要会画这个图就可以了，你看我们画一下这个图，我们就能够分析的出来，是吧，其中利用了三直角三角形两条啊，两个知识点，第一个是三十度所对的直角边是斜边的一半，第二个就是我们的勾股定律，利用这个呢，就可以把它三十度的三个三角函数值给他求出来 啊，希望同学们记住，老师呢，是怎么求着三个三角函数值的？好了，那么学完了三十度，我们再来看六十度啊， 那么为什么先不看四十五度呢？因为现在这个图中有一个现成的六十度在这，既然这一个角是三十度，那么这个锐角就是六十度，那么六十度， sine 六十度， cosine 六十度以及 tangent 的 六十度就可以很快求出来了啊， 你看三 a 六十度呢，它等于六十度，所正对的边比上斜边，也就是二分之根号三库萨六十度呢，就是零边比斜边也就是零边，零边呢是一，斜边是二，也就是二分之一。判断的六十度呢，就是正对的边比上零边，也就是根号三。好。 其实之前啊，我们学过关于三角函数的很多一些结论是吧，在上一节课的时候，其实在这里面同样是适用的，比如说我们的 sine 三十度， 它就等于什么 cosine 六十度啊，我们会发现 cosine 三十度的值呢，和 cosine 六十度的值呢是相同的，同样的道理， cosine 三十度 也等于 side 六十度，所以有了这些啊，在我们记这些结论的时候呢，就会相对于就会有很大的帮助，好吧，然后呢，关于呃这个正切值呢，还有摊定的三十度 是吧？它等于 side 三十度，比上 cosine 三十度啊， cosine 三十度呢，是二分之一， 库萨以三十度呢，是二分之根号三，所以呢，得出的结论依然是三分之根号三，所以上节课学习的相关结论呢，在这节课还是有它的作用的啊，那么 有助于我们去记住这个结论是吧？好的，那么关于三十度和六十度这两个特殊角，它的三个三角函数值的计算，我们就到这里啊，主要是根据这个图形去推论。同学们，我们一定要学会根据直角三角形的图形去推出来， 因为在考试的过程中，如果你忘记了，我们就可以再画一个草图，很快就能把它推出来。好吧，那么接下来我们来看最后一个特殊值，叫做四十五度，那么四十五度 它是一个等腰直角三角形啊，在等腰直角三角形里面，其中一个锐角是四十五度，那么这个是九度，如果我假设这个边是一的话，那么这个边它也是一，根据勾股定律，我们可以知道这个边的长度呢，就是根号二， 好，三条边都知道了，那么接下来就不是很难了啊。 sine 四十五度就等于什么呢？正对的边比上斜边，也就是一比根号二，也就是二分之根号二。 cosine 四十五度呢，它等于零边比斜边，也就是一比根号二。同样是二分之根号二，参照的四十五度呢， 参照的四十五度等于正对的边比上零边，也就是一比一等于一，所以参照的四十五度这个值非常的特殊 啊，他的值等于一，这样就等于是把三十，四十五和六十全部都写出来了，那么同学们呢，在课下的时候可以自己通过画图把他们的结论再推理一遍，这样呢可以加深印象。好吧，好，关于这个知识点我们就讲到这里，那么老师呢也给大家相关的总结了出来。第一种呢叫做识图记忆法， 识图记忆法就是根据我们这个三两个直角三角形值，刚刚呢，老师呢已经给大家讲过了啊，我们在这里就不讲了。 第二方呢叫列表记忆法，其实列表记忆法也就是根据刚刚我们识图记忆法所推出来的结论，把它组成一个表格去记忆。那么表格中呢，有很多规律是可以寻找的，比如说 sine a 三十度和 cosine 的 六十度呢是相等的是吧？哎，它们两个呢是相等的 啊，这个 sine 那 个六十度和这个 cosine 三十度呢，它们两个是相等的，然后 sine 四十五度和 cosine 四十五度呢是相等的，所以这两个规律呢，我们在这表格中就能看得出来，是吧，那么贪念的呢，我们就记住它四十五度是一， 然后这个呢是他们两个的比值，也就是三分之根号三，这个呢是他们两个的比值，也就是根号三啊，所以呢，这个表格记忆法就是根据他的一些规律去记忆，同学们呢，要做到随时随地能够把它写出来就可以了。好吧， 好，我们来拓展一下啊，拓展的知识点老师已经讲过了啊。第一个互与两角的三角函数关系呢，是相等的，比如说 sine a 等于 cosine 九度减 a 啊， cosine a 呢，等于 sine 九十度，减 a， 第二个呢就是 sine a 的 平方，加上 cosine a 的 平方，它等于一 啊。第三个呢，就是判定的 a， 它等于三 a 比上扣三 a， 所以 这个同学们呢，要记住它。好吧，这个呢，在上一节课的时候呢，老师呢已经给大家讲过了，那么相信通过这一节课的学习，大家对这个拓展的知识应该更加深刻才对。好，我们来看到这题，计算下列各式的值来。 第一题，我们就直接带入特殊值去算，等于四乘以啊，原式等于啊， 原式等于四乘以。 sine 三十度呢，是二分之一。 cosine 六十度呢，也是二分之一，减去 tangent 的 三十度的平方。 tangent 的 三十度是三分之，根号三，它的平方。好，这样我们算一下就可以了，等于一，减去九分之三，也就三分之一，最后结果呢，等于三分之二啊，这就是第一小问， 那么第二小问，原式等于六倍的库萨以再数，也就六乘以二分之，根号三， 加上中间那个零的次方呢，是一啊，减去根号十二，也就是二倍的根号三，再加上探证的四十五度是一。好，有了这个呢，就简单了，等于三倍的根号三， 加上一，减二倍的根号三，再加一三倍根号三，减去二倍的根号三，等于根号三，再加上二。这个题呢，就算是结束了啊，这个计算题就是家具我们对特殊值的三角函数值的一个记忆 啊，所以在做这个计算题的前提是，你要熟练的记住每一个特殊角，它的三角函数值分别是多少才可以。 好，我们看这道题，在三角形 a、 b、 c 中，若 sine a 减去二分之一的绝对值，加上二分之根号二，减去 cosine b 的 平方等于零，则角 c 的 度数 好的，那么从这里可以看出来，绝对值和平方都具有非负性，所以呢，它们两个应该都等于零，于是就得到 sine a 是 等于二分之一， 库萨 a b 等于二分之根号二。这时候考察呢，就是我们对这个三角函数值的一个记忆了，是吧？萨 a 等于二分之一，所以角 a 呢，就等于三十度啊！ 库萨 a， b 等于二分之根号二，所以角 b 就 等于四十五度。根据三角形 abc 内角和一百八十度，我们就知道，角 c 的 度数呢，等于一百八十，减去三十度，再减去四十五度就可以了，这道题呢，就选 c。 好，那么本节课关于特殊角的三角函数值，我们就讲到这里，希望同学们把它一定要牢牢记住，谢谢大家！

只要四分钟学渣都能学会的辅助角公式，那么这个公式是怎么来的呢？我们从原理出发，有一算尔法加贝塔等于右侧， 所以一右侧的式子就可以写成左边的样子。算尔法和可算尔法，它们的平方和等于一。同样的，可算贝塔的平方加算贝塔，平方也是等于一的， 这就是为什么我们要把它拆成这两个，因为他们的平方之和是 a 的 平方加 b 的 平方分之 a 方加 b 方， 也就是等于一。前面看成可森贝塔，后面看成森贝塔，那么就等于根号 a 方加 b 方乘森，而法加贝塔，其中 扩森贝塔等于 a 除根号下 a 方加 b 方，森贝塔等于 b 除以根号下 a 方加 b 方。另一种方法，扩森，而法减贝塔是等于扩森，而法乘扩森，贝塔加森，而法乘森贝塔， 其中森而法就是这个扩森，而法就是这个。 把扩塞贝塔当成这个式子，森贝塔当成前面的式子，所以原式就是等于扩塞下而发减贝塔， 其中圣杯塔等于 a 除以根号下 a 方加 b 方。果圣杯塔等于 b 除以根号下 a 方加 b 方。这两个公式都可以用在题目中。 下面做一个大体巩固， x 前面系数当成一，括号前面系数当成也是一，那么提一个根号下一的平方，加一的平方就是提根号二出来， 将它们各自写成括号四分之派和四四分之派，所以括号中等于四括号 x 加四分之派。我们用的是第一种方法。 第一问求 f x 加二分之派，括号的平方将带进去这边，让 x 变成 x 加二分之派，那么就是 x 加二分之派，再加四分之派 平方，将前后同时平方，根二的平方以及四括号的平方 有七变五不变，所以括号中等于括号 x 加四分之派。由左侧的式子我们可以得到两倍括号平方，是括号二发的两倍加一，那这个就是括号里面的两倍二 x 加二分之派，再加一个一 余弦的正小正周期用二派除以二。 第二小问先列出 f x 减四分之二，再乘以 f x 化简，可以得到 x 乘括号乘括号乘 x， 把括号里面的乘出来，第一个等于根号二乘四 x 平方，第二个等于根号二乘四 x 括号 x。 这里是怎么换算的？不懂可以看老师前面的视频，把它化简，等于二分之一减二分之，括号 x 加二分之三二 x。 详细的计算过程我写下来了，接着我们又用辅助角， 中间是负号，所以是二 x 减四分之派，求零在二分之派上的最大值，那么我们求出二 x 减四分之派的取值范围就是负四分之派到四分之三派之间 肾的最大值可以取到一，所以原式的最大值就是一加二分之根号二。今天的短视频就到这里，还有不会的评论区告诉老师，我们下一期再见，记得点点关注！

关于三角函数的问题啊，我已经讲了二十多年了，还是有同学不会。今天王老师用一条视频带大家搞定三角函数的常见题型，接下来我们看第一题，与六十度中间相通的角是一说到这个中间相通角呢，我们要用到一个公式叫 a， a 等于 c 乘以三百六十度 k 为整数， 那么在这个公式里呢，我们把 theta 就是 多少，就是我们这个六十度，就是六十度 加几个三百六十度可以得到我们四个选项当中的某一个，我们看六十度加三百六十度是不是 可以得到四百二十度？没问题，这个答案正确，六十度加减三百六十度可以得到三百九十度吗？得不到，他俩差度数不对选 c 六十度减了三百六十度，是不是可以得到负的三百度啊？这个是没问题的正确选项， d 六十度 加减三百六十度都得不到三百度，这个是错误，所以正确答案是 a 和 c 好 搞定。任意角三角函数定义，若角 a 的 中间过某点，我们到原点的距离是多少啊？ 这个距离是多少？等于根号下 x 方加外放，而且三 a 等于 r 分 之 y， cosine a 等于 r 分 之 x， tangent a 等于 x 分 之 y， 那 么这个时候我们就要就需要计算角 a 中间过的这个点到圆点的距离， r 就 等于根号下 负三的平方加上的四的平方，这个勾股数太常见了，是五，对吧？而在我们的这个 a 当中，那么我们这个 r 确定了，我们再来看一下， y 是 四，那么三 a 就 等于五分之四，那么三 a 就 为五分之四。 这个题正确答案五分之四来搞定，接下来我们看第三种题型。 第三种题型诱导公式呢？我们接下来第一步要进行什么？进行角度的拆分，把它变成一个，我们好套用公式的一个角度， 四分之七派离四分之八派很近，离二派很近，我们就可以把它拆分成四分之七派，等于二派，减了一个四分之派。 这个时候我们就可以套用我们的诱导公式， sin 二二幺减 a 等于负的 sin a， 二拍减 a 等于三 a， 那 么负的三 a 就 等于负的三四分之派。四分之派是多少度啊？四分之派是四十五度， 那么三一四十三一四十五度，大家记不记得？三一四十五度这种特殊值的符号是我特殊特殊的三角函数的数值我们是一定要背过的啊，就等于二分之根号二，那么这是一个符号，千万别忘了，这是个负的，负的三一 四十五度就等于负的二分之根号二。好，这个题就等于答案是负的二分之根号二。搞定！ 第四种常见的题型呢，就是我们的喝茶公式，呃，喝茶公式我们会呃先复习一下喝茶公式， sign a 减 b 等于三 a 乘以口三 b 减了一个口，三 a 乘以一个三 b。 我 们观察我们的这个题中的原式和我们的公式之间，它们是不是就是我们的 这个公式正先插角公式的逆运算，是不是我们原原式就可以写成三一百度减四十度等于三英六十度， 三英六十度是不是也是一个特殊值啊？大家还记得吗？二分之根号三，原始就等于二分之根号三。搞定。接下来我们看第五种长号的题型啊，就是 三角函数的图像和性质当中对三角函数的基本性质，当我们看到这种球最小正周期的时候，我们就会想到它。是的，这个式子的情况是像这样， a sine omega x 加 f， 当然了， a 不 等于零， omega 不 等于零， f 为常数。 这这样的式子当中， t 就是 像这样的函数式子当中， t 等于欧 米伽的绝对值分之二派，那么在我们题目当中的式子当中， a 是 多少？ a 是 二， a 是 二，欧米伽是多少？欧米伽是三， 那我们把我们给他带进来呢？ t 就 等于三分之二排，当然了，这个三本身就大于零，所以我们就不写绝对值了。这个 t 就 等于三分之二排， t 等于三分之二排。搞定，第六种常见题型呢，就是解三角形，我们举的这个例子也是一个比较常见的例子。在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，我们一看角 c 等于都是九十度，那证明斜边， 斜边是角 c， 这 c 是 斜边，对不？ a 等于三， b 等于四，那么 c 等于什么呀？ c 等于根号下 a 方加 b 方就等于根号下三的平方，加四的平方等于根号下九加十六等于根号下二，十五等于五，所以 c 就 等于五。 搞定，以上呢，就是三角函数的成了常见题型，我是酱香老王，咱们下次再见。