七年级下册数学垂直线的画法

同学们好，我是小狐狸老师，咱们今天继续来学习人教版七年级下册数学的第七章相交线与平行线。今天来学习垂线及其画法。 咱们今天的学习目标是理解垂线的概念，会用三角尺或者两角器过一个点，画已知直线的垂线的存在性和唯一性，并且能够归纳出垂线的基本事实。 咱们来观察这样两个木棍，取两根木条 a 和 b， 将它们钉在一起固定木条 a 转动木条 b， 那 么 ab 之间会有一个夹角， 比如当这个 b 在 这里的时候，它有一个夹角是这个。而法，当我的 b 再往这边去转动的时候，这个夹角也在不断发生变化，我们会观察到这个夹角从越来越大， 我们会，我们会发现这个夹角变得越来越小，对不对？那在这个转动过程中，他会出现哪些特殊的角呢？ 我们来看当阿尔法分别为三十五度和九十度时，其余的角分别是多少度？当我们的阿尔法为三十五度的时候，根据我们邻补角的性质，我们就能得到这里应该等于一百四十五度。 同样的，根据我们对顶角的概念，得到这里也等于三十五度，这里也等于一百四十五度。而当我们的这个阿尔法等于九十度的时候，另外的三个角是不是都是九十度呀？因为邻补角九十度，对顶角九十度，对顶角九十度，因此 我们九十度是不是一个特殊的角？那在旋转的过程中，阿尔法为九十度的这个位置是不是有且只有这一个， 只有唯一一个？那当木条 a 和木条 b 所在的直线在这样的一个状态下，这是一个怎样的位置关系呢？我们把这样的位置关系叫做垂直 垂直关系。那也就是说我们有 a 与 b 垂直，既作 a 垂直于 b， 而这个符号就是我们的垂直符号。 我们来认识垂直、垂线和垂足的概念，如果两条直线互相垂直，其中的一条直线就叫做另一条直线的垂线，也就是说 ab 垂直 cd， 那 么我们就可以说 ab 是 cd 的 垂线， cd 也是 ab 的 垂线。而点 o， 我 们把它叫做垂足。 记法就是 a b 垂直 c d 垂足为 o， 一个字都不能省哦。用我们的数学符号语言来表示，就是因为角 a o c 等于九十度，所以 a b 垂直 c d 这句话也就能够表明我们的垂足也是点 o。 我们下面来学习垂线怎么去画，我们来思考，画一条已知直线的垂线，能够画几条？过直线 l 上的一点 a 画 l 的 垂线，这样的垂线又能画几条？过直线 ly 一 条，一个 过直线 ly 的 一点 b 画 l 的 垂线，这样的垂线又能画几条呢？我们分别来看一下，如图，已知直线 l 画 l 的 垂线。 我们画垂线的步骤通常是放靠和画。第一个就是将我们的直尺放到已知直线上面，然后去画另外一条直角边，那么所得到的这条线就是我们的垂线。 那除了 a o 这一条直线之外，我们是不是还可以画出别的一些垂线？所以我们这样 l 的 垂线是不是可以画出无数条呢？我们来看第二种情况，已知直线 l 和 l 上一个点 a 过点 a 画 l 的 垂线。这道 这个题给我们强调了两个条件，第一个就是有一个点 a， 并且这个垂线要经过点 a， 同样的，我们也有它的画图步骤，跟刚才一样，放靠一画， 这里多了一个移，因为我们有了一个固定点 a， 我 们来看把直尺靠在这条直线上，三角板靠在直角板上，然后去移到点 a 的 位置，再进行去画垂线， 那么这条直线我们就叫做直线 l 经过点 a 的 垂线，那经过这样点 a 的 一条垂线能够画出几条呢？ 是不是只有点 a， 是 不是只有这一条？因为一旦我们的垂线移到了这边来，就不再经过点 a， 所以 说这样的垂线只有一条。 那如果说经过直线 l 和直线 l y 的 一点 m 过 m 点去画 l 的 垂线，又怎样去画呢？我们跟直线上的点的画法是一样的，放直尺，再放三角板，然后移动过点 m， 画一条直线，那这条线也是我们 l 的 一个垂线段， 那画这样的垂线经过点 m 的 垂线，是不是有也勤，只有这一条，因此我们就能够得到垂线的画法以及一个基本事实。 在同一平面内过一个点，有且只有一条直线，与已知直线垂直，这个点既可以在直线上，也可以在直线外，对不对？在直线上，我们有一条直线外也是只有一条直线，如果说没有点，那么我们这个直线就有无数个垂线。 我们来做一道例题，过点 p， 画出射线 ab 或者线段 ab 的 垂线过点 p， 这个点 p 在 射线，这个点 p 在 线段 ab 上，那么我们过点 p 画一条垂线，是不是这个样子的？ 那如果说我们的点 p 在 这个位置，它不在 a、 b 上面，也不在 a、 b 线段的正上方或者下方，那我们怎样去画它的垂线？此时我们就可以把 a、 b 进行一个延长，延长之后我们就可以过点 p， 画出一条垂线， 就是这个样子。所以说我们这个垂线既可以在线段上，也可以在它的延长线上画一条射线或线段的垂线，也就是去画它们所在直线的垂线。 来，咱们看第二题，在三角形 a、 b、 c 中过点 b 画边 ab 的 垂线。下列说法， 下列画法正确的是，我们看 a 向，过点 b 画 a、 c 的 垂线，因此我们应该过点 b 往下去做 a、 c 的 垂线，而 a 向是过点 a 画了 bc 的 垂线，所以 a 不 对。我们来看 b 选项， b 选项，这个 直角虽然是在 a、 c 上，这一条线虽然是 a、 c 的 垂线，但它没有过点 b， 对 不对？它过的是点 d， 所以 b 向也不对。我们看 c 向， c 向的话，这个是一个直角， 这里是一个直角，但是这个直角是 b、 d 的 一个垂线，或者说是 bc 的 一个垂线，但是 bc 的 垂线的话，它是过点 d， bc 的 一个垂线，所以说也不符合我们的题。然后我们看 d 选项， d 选项，我们要过点 b， 开始画 a、 c 的 垂线，所以说往下去画垂线的话， a、 c 这个直线是 a、 c 这个线段是不是要延长一下，得到这样一个点 d 的 垂足啊？因此我们的答案选 d。 我们的垂足有时候会在线段的延长线或者射线的反向延长线上，所画的垂线是实线，若需要延长线段或者反向延长射线，则需要用虚线，就是我们这里就是虚线。 在反向延长线，在反向延长线去画垂足的时候，常见于我们三角形的高，尤其是我们的钝角三角形。 我们来做几道随堂练习题。在下列条件中，一、二、三可以判定两直线互相垂直的事。我们分别来判断。第一个，两直线相交所成的四个角都是直角，对吧？两条直线相交，四个角都是直角， 那自然这两条线就是垂直的。所以说第一个是对的，我们看第二个，两直线相交，对顶角互补。两直线相交，对顶角互补。也就是说这两个角相加等于一百八十度，而这两个对顶角又是相等的，相加等于一百八十度，这两个角又相等，所以这两个角就只能等于九十度。 既然出现了九十度，我们就能判定这两个直线是垂直的。第二个也对，我们看第三个，两直线相交所成的四个角都相等。两直线相交，一、二、三、四相等，而一个周角是三百六十度，三百六十度除以四，是不是仍然是九十度啊？因此 三也能判定两个直线是垂直的，因此我们的答案选 d， 一、 二、三都正确。我们看第二题。在直线 ab 上任取一点 o 过点 o 做射线， oc o d， 使 oc 垂直于 o d。 我 们来画直线 ab 上 任取一个点 o 过点 o 做射线， oc o d， 使 oc 垂直于 o d。 啊， oc 垂直于 o d。 当角 a、 o、 c 等于三十度的时候，角 b、 o、 d 的 度数。我们是这样画了一个图，那其实我们这个图是不是有两种可能性？第一种可能性就是这种情况，也就是我画的这种情况。 还有一种情况，就是我们的 o、 d 在 另外一个方向垂直，是不是也可以？因为他只说垂直，他没有说往哪个方向去垂直，那我们这道题就应该去分两个方向去讨论。第一种情况， 当我们的角 a、 o、 c 等于三十度，这里等于九十度，求角 b、 o、 d 的 度数，整个相加等于一百八十度，那么这个角的度数是不是等于六十度啊？那如果说是这种情况， 我们角 c、 o、 d 是 九十度，而这里等于三十度，那么这里是不是等于六十度？这里六十度，而这个角 b、 o、 d 此时作为角 a、 o、 d 的 一个邻补角，它是不是应该等于一百二十度呀？因此答案应该是选 d。 那做我们这种几何图形类的题的时候，如果题目当中没有给你画图，那么你一定要注意，这种情况就有很有可能出现第二种情况。 好，我们来看第三题。如图，直线 ab 和 cd 相交于点 o、 a、 b、 c、 d 相交于点 o、 d， 平分角 b、 o、 f。 也就是说角一是等于角二的 o、 e 垂直 cd， 这是直角， 垂足为 o。 若角 a、 o、 c 等于四十度，这个角等于四十度，让我们求角 e、 o、 f， 我 们来观察一下，求这个大角的度数。我们已知道这个角是等于九十度的，我是不是再找到这个小角就可以了，而这个小角就是角二。 角二和角一又是相等的，角一和这个角 a、 o、 c 又是对顶角，所以说这个角是四十度，这个角应该也是四十度，因此四十度加上这个九十度，是不是答案等于一百三十度呀？ 好，这就是咱们这节课所讲的所有内容，咱们来看一下课堂。好，咱们来看一下课后小结。今天咱们主要学了垂线及其画法，学了垂线的定义，两条直线互相垂直，那么其中一条直线就叫做另一条直线的垂线，他们的焦点就叫做我们的垂足。 垂线的画法一放二靠，三移四画，他的基本事实就是在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，这一点我们没有要求必须在直线上，也没有要求必须在直线外，对不对？今天的内容你掌握了吗？

垂线的概念，垂线的性质，借由这只视频我们一起把它讲清楚。先来看三个概念，垂直、垂线、垂足。咱们先来朗读一下，一般的当两条直线 a、 b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说 a 与 b 互相垂直，记作 a 垂直于 b 这个重点，我都用这个笔给他画横线了。所以大家在读概念的时候，你要能找到这个关键词，找到重点，然后去实际有一个角是直角，就说这两条线垂是相互垂直的，那么怎么写呢？注意这个垂直的写法。然后我们看这个图，七点一至四，七点一至五，你会发现垂直 它是有一个这个小的符号的啊，有这样的一个小的符号，放近了看一眼，所以当我们在做题的时候啊，画图也好还是看图也好，当你看出来哪一个角它是直角，就可以给它标记一下，用这个垂直符号 好，然后那其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，就比如说这个图当中， a、 b 站在它的角度，那么 c 和 d 就是 它的垂线，那你要是站在 c、 d 这条直线的角度呢？那 a、 b 就是 它的垂线，所以说它们互为 互相垂直，互为彼此的垂线，那这个焦点就叫做垂足。所以当我们在这个知识点的时候，遇到这些专业的术语，你你要知道它说的是啥，别一提到 垂足，说啥是垂足，我不知道啊，那是两条线啊的焦点，并且一个角是直角，他们是垂直关系。那好，那说因为这个 角一个角他是直角，那我们就可以推断出他这两条线是垂直关系，那在反推也是一样的。如果给你一个条件说，哎，两条线是互相垂直的，那么所以这是互相可以推倒的。 那除此之外，说垂线有什么样的性质呢？这里面告诉我们，在同一平面内，过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意一下这个性质啊，他说的是什么在同一平面内啊，这是一个先决条件。第二，什么呢？过 线外的一点，那有且只有一条。如果说不过这一点，说一条直线能有多少垂线呢？那能有无数条， 因为他没有指定点呢，是吧？但如果指定了一点说，哎，过这一点，那还垂直的话，有几条啊？那就有且只有一条。所以你看，这就是细微的差别。在做题的时候，尤其是出判断题，你要看一下他到底说的是过一点，还是没有指定某一点。然后下面这块有一个 呃，值得注意的地方，就是当我们给某条线段某条线画这个垂线的时候，你要注意一下，他说画一条射线或线段的垂线， 就是画它们所在直线的垂线啊。这句话什么意思？就我们以上面这个图为例说 a、 b， 你 看这是一条线段啊，它是有这个长度的实际长度的，那好 p 点在这里。那说画这条线段的垂线，那就说画这条线段所在的直线，所以你可以想象一下 这条线段所在的直线。无限的长。直线吗？无限的长，那好给他画出来之后，然后再画他的这个垂线就可以了啊。所以这就是是在他们所在的直线。是这个含义是这样理解的， 那我们看下面的这个是怎么画的？具体看一下具体的这个作图细节，这是对应的第三题，在这里这个 指所在的直线，你看我前面用的是实线来表示，但其实这样是不对的，要用什么来表示呢？虚线也就是画线段，或者是说这个射线他所在的直线没有的这部分我们要用虚线给他来表示，而垂线呢？用的还是实线来表示， 画完了之后还要干嘛呢？把这个直角这个小标志给它画出来，所以这就是做题细节，一定要关注这些细节，我们才能够在做题的时候不被扣分。那垂线的另一条性质是什么呢？咱们下一只视频再来讲。

夜里回首患难岁 月。

今天咱们接着上节课内容把垂线讲完，内容虽然只有垂线的画法以及垂线的性质，但这两个知识点都属于你一旦错过就会抱憾终身的那种，所以请打起十二分精神好好听！先说画法， 请大家拿出一个有直角的作图工具，比如三角尺。我呢，先带大家过一遍画垂线的四步法， 先画个最简单的过点 a 做 cd 的垂线，垂足是 b。 第一步，贴，把三角板的一条直角边贴在直线 cd 上。第二步，靠，沿着直线 cd 移动三角板， 使三角板另一条直角边靠到点 a 上。第三步，过过点 a， 画出直线 ab 允许有一些角度误差，但不能和九十度差太多。 第四步，画，画出直角符号，这样才能表示出两条线垂直贴靠过画。四步，画出垂线，你记住了吗？ 再看两个有点难度的作图任务，第一个要求，过点 a 画线段 bc 的垂线，画谁的垂线就贴住谁。把三角板直角边贴住 bc 靠到点 a 上， 过点 a 画垂线，画直角符号时发现 c、 b 不够长，没事把它延长一下就 好了。第二个要求，过点 a 画线段 ab 的垂线，交线段 cb 的延长线于点 f。 把三角板直角边贴住线段 ab， 靠到点 a 上，过点 a 画垂线，再在垂足 a 这里画出直角符号。 别忘了按要求把 cb 延长交 cb 的延长线与点 f。 狗蛋，小锤，现在该你俩回答问题了，过一个点做不出已知直线的垂线，怎么办呢？啊？做不出来能怎么办？ 这简单量吧，哈哈，不知道了吧，告诉你们答案吧！其实过一个点总是可以做出垂线的，不可能做不出来，我们任意画一条直线 l， 在 任意找一个在直线外的点 a 过点 a 能做出 l 的垂线吧，而且只能做出这一条。如果在直线上找一个点 b， 经过点 b， 还是能够做出一条垂线， 而且也只能做出这一条。注意，只能做出一条垂线的前提是在同意平面内。 如果不在同一平面内，会怎么样呢？能做出更多的垂线吗？先告诉你答案。 yes。 我们从立体空间来看，现在过点 a 和 c、 b 垂直的线就不止 a、 c 这一条了，还有谁啊？ a d 对不对？ a、 d 垂直于 c、 b， 他们是意面垂直，两条线没有交 点也算垂直。其实在空间中过点 a 可以做出无数条与 c、 b 垂直的线，感兴趣的同学可以想一想，这些垂线在哪呢？呃， 话说回来，在同一平面内过点 a 做 cb 垂线也只有 ac 这一条了。 如果你不信，自己试着画画，要是能画出第二条，我来送你次元二中终身 vip。 哇耶，好想背诵终身 vip。 狗蛋你醒醒，做不出第二条垂线的。讲了这么多，垂线的性质到底怎么说呢？来看看在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一点 可以在直线上，也可以在直线外。你们是不是想问，有且只有是什么鬼啊？干嘛要说的这么拗口呀？老张我上初中的时候就这么吐槽过， 但后来发现几何学家这么表达也是好意，就是想单纯的强调下，不仅有垂线，而且只有一条垂线，浓缩成四个字就变成有且只有了。 既然大家都说惯了，我也很难改变所有人的习惯，那不如我多说几遍适应一下？有且只有吧。最后一起看题， o m o n 的垂足都是 n， 所以这图说明啥？说明过点 n 只能做出一条垂线，理由就是刚才 才说的垂线的性质。好啦，总结一下，垂线的画法就是贴靠过画四步 性质呢，你自己多读两遍，理解着记忆，记住了之后还要会用哦，拜拜。快手拥抱每一种生活。

咱们上一只视频讲完了垂线的相关概念，以及垂线的第一个性质，就是在同一平面内过直线外的一点， 有且只有一条直线与已知直线垂直。那么这只视频呢？我们再来学习垂线的第二个性质就是这个 蓝色字部分，这个可能视频显示的有点看不出来，就是我们课本当中标粗的标蓝的这个字，就都是非常重要的知识点，也是非常重要的考点。他说连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 啊，大家注意一下，你看这个说法，它变了，前面咱们都说垂线，到现在它又说了垂线断，这就是线断了。我们来看一下这个图，七点一至十一直线 l 上啊，有这么点 a 点 o， 直线 l 有 一点 p， 那 你看 p 点，如果说任意连接，或者说任意和这个直线 l 相交，它呢？有无数条线啊，能画出无数条线来，那 只看这个 p 点到直线上这个点，那你看两点，决定了一条线段，所以这就是变成了线段，所以有垂线段这个说法。注意一下，垂线是说垂线所在的这个直线，而垂线段呢，只就有了固定的这个距离，就是一点到直线上垂足的这个 这个这一点，所以这两点之间就变成了线段。垂线段，他说简称垂线段最短啊， 这个我们稍稍来这个往回这个复习一下，就咱们小学的时候说过说，哎，两点之间可以画无数条线，比如说我在这个我再画一条线， 你看还可以这样画一条线，说两点之间线段最短，这是咱们小学学的好。现在这么多线段当中，他又告诉我们了，谁最短呢？垂线段最短啊，所以这是 垂线的第二个性质。后面还有一句话说直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。 这句话也非常关键，就是现在看你说，哎，这老师我能理解的，但是脱离课本放在题目当中，你要知道当你读到这些话的时候，他能够告诉你点到直线的距离。是 啊，十五厘米。好，那你要知道哪的哪个距离是十五厘米呀，要知道就是这个垂线段的距离，他是十五厘米啊，所以这都是对概念要有很好的解读，他是我们做题能够最终得分的基础条件。

在相交线的模型中，固定木条 a， 转动木条 b， 当 b 的 位置发生变化时， a、 b 所成的角 r 法也会发生变化。 当角 r 法等于九十度时，我们说 a 与 b 互相垂直，记作 a 垂直于 b。 我 们可以看到垂直是相交的一种特殊情况， 由此可以得到本节课的第一个知识点，垂线的定义。当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的焦点叫做垂足。在定义中所强调，相交线所产生的四个角，只要有一个角是直角，那么我们就可以称这两条直线互相垂直。 文字语言虽然叙说的很清楚，但发现不够直观，所以我们往往可以用图形语言帮助我们来直观展现， 而在运用时就需要简洁的书写而达到目的。所以符号语言我们就可以这样来说， 因为四个角中我们选择其中一个角即可，那我就选择图中的角一。因为角一等于九十度是已知，所以 ab 垂直于 c， d 于 o。 根据垂线定义， 由定义我们可知，如果我已知直线 ab 垂直于 c， d 于 o， 那 么我就可以说四个角中的任何一个角都为九十度。 你既然已经知道垂线的定义，那么我给你这样的问题，请你帮助我解答。已知一条直线，你能画出它的垂线吗？如果你能画出它的垂线，那你能画出几条呢？ 请按下暂停键，想一想，画一画 能画出多少条？那你的结论是，一条直线的垂线会有无数条， 那么过已知直线上一点，你能画出这条直线的垂线吗？若能，你能画出几条？ 请利用你手里的三角板、直尺和铅笔画一画，看看你的结论是什么？按下暂停键。 好，请你回答我，为什么要让你使用三角板呢？对，画香蕉线也容易，但怎样保证我们所画出来的直线与已知直线垂直？于是，三角板的直角就起到了大作用。 现在，请跟着我一起画。第一步，把直尺贴在已知直线上。第二步，将三角板的一条直角边靠在直尺上。然后第三步，移动三角板， 直到三角板的另一条直角边经过点 o。 这时，我们沿着这条直角边所在的直线划出过点 o 的 垂线。 你学会了吗？显然，过直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。在这里，我们特别强调有且只有有，它代表了存在。这样一条直线 只有代表了唯一的一条。所以我们可以简单又严谨地说成有且仅有。 继续，你能否过已知直线外一点画出这条直线的垂线呢？如果能画，能画几条，请利用刚刚学习的直尺、三角板的画法画已知直线的垂线。 请你试一试。现在，请按下暂停键，好，看看我的做法是否与你的做法是一致的。第一步，贴。第二步，靠， 第三步，移。第四步，画。 这样我们就画出来了直线外一点的这条垂线。那么，你的结论是什么？ 很好，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 在前面的探索中，我们得到了垂线的性质一经过一点， 而这一点可能在直线上，也可能在直线外。但是，无论是直线上还是直线外，我们都能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线， 即简单地说成，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 下面这个问题你能解决吗？如图，从 a 点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段， 你画好了吗？ 如图， a d 垂直于 l， 我 们称 a d 为点 a 到直线 l 的 垂线段， 请你试一试。第一个问题，线段 a b、 a c、 a d、 a e 谁最短？显然是线段 ad 最短。 那么你能用一句话表示这个结论吗？ 用一句话表示这个结论，其实就是结合已知和未知。看图来用语言描述出来，越简，简洁严谨，那就越好。你试试看， 想好怎样说了吗？而这个结论其实就是垂线的性质二， 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单的说成就是垂线段最短。 由垂线的性质二，你来猜想一下，直线外一点 p 和直线 l 的 距离应该如何画出 好？那究竟什么叫点到直线的距离呢？依据点到直线的距离定义，你再来查看一下你所画出来的点 p 到直线 l 的 距离是否正确。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。如图，线段 p o 的 长度即为点 p 到直线 l 的 距离， 与你所想的一样吗？在这时请注意，距离是一个数量，它指的是垂线段的长度。 我们不能说垂线段是点到直线的距离，也就是说，如果你说成了 p o 是 点 p 到直线 l 的 距离，那就大错特错了， 请注意，指代的是垂线段 p o 的 长度是点 p 到直线 l 的 距离。 又到了课堂小节的时间了，同学们，本节课我们都学习了哪些知识？ 第一，我们学习了垂线的定义。第二，我们学习了垂线的性质。一，在同一平面内经过一点，有且只有一条直线，与已知直线垂直。 为什么我们要强调在同一平面内呢？这个问题留给你课下思考。 第三，垂线的性质。二，可以简单的说成垂线段最短。第四点到直线的距离，我们需要特别注意是指的垂线段的长度。 第五，教给大家直尺三角板画垂线的方法，一贴，二靠，三移，四画。

好，这节课我们来讲第七章的第三节啊，垂线段。首先我们还是先来看质数的部分，第一个连接直线外一点与直线上各点的所有线段中啊，咱们给出定义是垂线段最短。 好，我们再看一遍啊，连接直线外的一个点与直线上各点的所有线段中，有一条叫做垂线段， 这条垂线段是最短的。好，把这个定定理呢，我们解释一下。首先我们来看，我需要的是条直线啊，比方说这个是直线 l， 那 么我需要在直线上找到各个点啊，所以要很多个点，那比方说 a 点是直线上一个点， b 点是直线上一个点， c 点在直线上，然后 d 点在直线上， e 点也在直线上。那么如图所示啊，我们在直线上取了四个点，取了五个点， 然后呢，我还要找到直线外的一个点，那比方说直线外的这个点，我就做 p 点，他的是连接直线外一点与直线上各个点的所有线段中。那么来看，我就要分别依次连接 pa、 pb， 然后 pc、 pd 以及 pe 这五条线段。那么其中不难发现啊，这个 pa 和 pe 啊，都相对长一些， 这个 p b 和 p d 也相对长一些，肉眼可见的分成条 p c， 它是最短的。那为什么 p c 最短？因为我发现如果过点 p 做直线 l 的 垂线，那么垂足刚好是 c 的 位置，所以说这条 p c 直线我们就称之为垂线。 好，由于它是从 p 点到 c 点之间的一条线段，所以说这条线我们可以称之为垂线段。 那么固尔，我们从直线外一点到直线上的所有线段中，只有一条这个垂线段是最短的啊，所以说垂线段最短，那么简单说成后五个字就可以了啊，简单说成垂线段最短，好图示啊，你就画过了，也就说从这个直线外 取一个点，然后到直线内的所有直线中啊，这条垂线段是最短的。然后关于这个结论呢，我们给出三种格式啊。第一句话就是这个格式，就是说 直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，那这个加粗的横线他是最完整的表述方法。然后这个简单说成垂线段最短，是第二种说法。都对啊，就是说第一种比较 全面一些啊，然后第二种就比较简短一些，但是一般情况下，咱们在考试的时候写的是第三种，我们这可以做一个补充，叫做两点之间垂线段最短， 好，这个是我们最常用的一句啊，两点之间垂线段最短，好。有时候考试的时候写的最多的是这个第三句啊，字太多，也不写第二句，字太少，我们写的是第三句啊，折中。 那么什么叫两点之间垂线段的呢？还是举个例子，比方说这个是 a 点，这个是 b 点，我想探究从 a 点到 b 点的最短距离啊。比方说这条线啊，是从 a 到 b， 然后这条线也是从 a 到 b， 然后以及中间这条线是从 a 到 b， 那 么很明显第一条路，第二条路和第三条路里面中间这条第二条路是最短的。好，这是我们的第一个知识点啊，咱们就说这么多， 接下来看第二个，从直线外一点到这条直线啊，到这条直线的垂线段的这个长度，我们就称之为点到直线的距离。 好，我们在第一个图当中啊，用绿色的笔我们来看一下，首先 pa 这条线啊，它不能叫做这个点到直线的距离啊，这个 pa 只能称之为连接 pa， 他也不能叫距离好，那么谁叫距离呢？是只有说从直线外一点到直线上这个点的垂线段的这个长度，这条绿色线，我们才能给他起个名字，叫做点到直线的距离。 好，所以给我记住啊，就说我们说的这个点到直线的距离，其实他指的是谁？就是平面外一点到这个直线的 啊，这个垂线的这个长度，我们称之为点到直线的距离啊，一般用小写字母 d 去表示啊，所以说可以说在这个图里面，这个小 d， 这个小 d 啊，点到直线的距离就会等于垂线段的长度啊， p c。 好， 然后呢，我们再啰嗦一句啊，在数学当中以后，看到这个距离两个字，它其实有一个暗含的含义，什么意思啊？是垂直 啊，暗含垂直这层含义啊，我们要知道，因为我们发现点到直线的距离，就是说从一个点到一条直线的这个距离，这个距离一定是条垂线段，既然是垂线段，说明一定是垂直的啊，所以以后这个点到直线的距离是暗含着一层垂直的意思的啊，这个要知道， 好比方说，我们可以举个例子啊，以后我们可能会学一个什么角平分线，对吧？好比方说这个是角平分线。好，这几条角平分线啊，好比方说这个点屁点啊，我们来说这个角 aob， 那 么比方说从点屁到角的这个边 ob 的 距离，就是咱们这个点到直线的距离， 那就应该是过点屁做直线 ob 的 垂线啊，比方说垂足为 h， 就 应该是长这样的，这个 ph 叫做距离，可以用 d 一 去表示， 那么从点 p 到这个角的这个 a o 这条边的这个距离，就应该是过点 p 做 a o 的 垂线，然后这边上垂直符号，比如说这个地方垂足是 m， 那 么 p h 垂直 o b， pm 垂直 o a 啊，分别可以做第一和第二。也说距离是暗含着一层这个垂直的含义的啊， 好质数里部分啊，咱们就到这现在来看今天的形操训练。第一题，如图，在线段 pa 啊， pb， pcpd 啊，四条线段中长度最短的十 a， 很 显然是 pb 啊，因为它标的垂直符号说明 pb 是 垂线段，所以说点到直线里面啊，垂线段是最短的，答案应该是二 b 选项。 好，这是第一题啊，咱们就说这么多，接下来第二题，如果点 p 为直线 m y 的 一个点，然后点 abc 是 直线 m 上的三个点 给了 p， a 是 四， p b 是 五， p c 是 二，问的是点到 m 的 距离是多少？我们注意，从直线外一点到直线上的这个距离的最小值就是谁啊，就是这个垂线段的长度啊，就说我们要找到哪一条是垂线段好，那么来看第一种情况，比方说这个就是那个直线 m 好， 比方说 p 点是直线外一点，然后 a 点在这啊， c 点在这，按照这个图的意思嘛，然后 p a 连起来，它应该是四， 然后 p b 连起来，它应该是五， pc 连起来，它应该是二。那么很显然，这个点到直线的这个距离就应该是 pc 的 长度，那这是一种情况，你说此时这个 c 点刚好是垂足的时候啊，注意， c 点刚好是垂足，那么 pc 就是 垂线段， 此时他就应该是点到直线的距离啊，所以这长度应该是二，那么这个二肯定说这个答案的，但是正确答案呢，应该是四 d 啊，就是为什么会小于二。你看第二个图，就说假如这个 c 啊，他并不是垂足，我们来看，比方说 a 点还是在这 b 点比较远啊，在这个位置，然后 c 点稍微近一些，在这，然后 p 点，比方说在这个位置，那么此时 pa 是 四啊， p b 是 五，这个很显然他也不是垂线段。 那么真正的这呢是谁是需要我过点 p 做一条垂线的啊？垂足，比方说去做 d 点啊，所以说此时 p d 才是这个垂线段， 那么即使 pc 相比于 pa 和 pb， 它比这个四和比这个五都要小，但是此时 pc 它也不是垂线段，那么真正的垂线段应该是 p d 啊，所以它的长度应该是小于二的。这个里面 垂线段啊， pc 是 要等于二的，所以说两种情况讨论，就是说如果四点是垂足，那么 pc 是 垂线段，如果 c 点不是垂足，那么 pd 才是垂线段，需要我自己去做啊。所以综上， 这个点到直线的距离应该是一个小于或者等于二的值，分两种情况啊，答案应该是四 d。 好， 这是第二题。接下来看第三题，如图，已知 ac 和 bc 垂直啊，这有一个垂直符号， 然后 cd 和 ab 垂直，这有一个垂直符号，他说垂足分别是 c 和 d。 那 么以下线段长度的比较啊，必定成立的是哪一个？首先我们来挨个看啊， 第一个， cd 大 于 ad， 来，咱们描一下， cd 是 这条线。哎，我本来发现 cd 是 过点 c 做的 ab 垂线，所以 cd 的 本质是一条垂线段。 好，那我想比的话，就应该是比较这个 c a 或者 c b 的 值，就是说 c d 可以 与 c a 做比较， c d 也可以与 c b 做比较，因为本质上都是要从 c 点往这个 ad 做长度，但是它是谁啊？它是不是在和 ad 做比较？所以说这两个就没有可比性了啊？因为 ad 我 发现它是这个底边 a b 上的一条一小部分的边，它们没有可比性啊，所以我们就不说了 啊。虽然我们从这个图上来看，好像说这个 c d 确实比 a d 大， 但他不一定，因为一旦我 abcd 四个顶点啊， a b， c， d 啊，四个顶点调位置的时候，他这个就不一定了，所以说 a 是 不成立的。好，再来看 b 选项 a c 小 于 b d。 好， 那把这个图擦一下，看二、 b 选项 ac， 我 们聊一下。哎，那不难发现， ac 应该是过点 a 做了这个 bc 的 一条垂线，所以说 ac 的 本质也是垂线段， 那么他是垂线段啊，我们就要跟这个从 a 点到 bc 的 长度去比啊，比方说他可以和 ab 去做比较，但是题目再和谁比啊？再和 bc 比，他说 ac 比 bc 要小，这个其实也没有可比性。我们再解释一遍啊，因为 ac 是 过点 a 做了 bc 的 垂线 啊，它相当于是从点 a 到直线 bc 的 距离，所以它应该是跟这个过点 a 到 bc 的 其他线段作比较。比方说 ab 啊，它没有可比性啊，但是和 bc 就 没有可比性啊，刚才我们说了， a 和 b 都一样，如果说这个位置或者说图像发生改变啊，整体是不成立的， 那比方说这个二 b 啊，画个图，举个反例，我们解释一下。好，我们来看，比方说这个是 a 点，这个是 c 点啊，这个是 b 点，听不说了吗？ a、 c 要垂直 bc， 那 么 a、 c 垂直 bc 啊，所以角是九十度， 然后 c、 d 要垂直 ab， 那 就是过点 c 做 ab 的 垂线，垂直为点 d。 但是在这个图里面，我能否满足 a、 c 小 于 bc 呢？就这个式子是否成立呢？ 显然不成立啊，因为从图来看， a、 c 很 长，然后 bc 很 短，所以说就是错的。但是在这个图里面发现 a、 c 又比较短， bc 比较长，它是对的啊，但是这样的话， b 就是 矛盾的，因为它一会有不对啊，它有反例啊，所以说 b 就是 不对的啊。 好，综上啊，这个 a 和 b 犯了同样的错误啊，就是说没有可比性啊，所以说 a 和 b 都不对。好，我们把图擦了，再看这个 c 选项， bc 大 于 bd， 我 们来看 bc 是 谁？ bc 是 这条线哎，但不难发现，这个 bc 可以 是过点 b 做了这个。呃， ac 的 垂线啊，我们先留着，再看这个 bc， bc 啊，是这条线， 那我们不但发现这个 b、 d 啊，应该是过点 b， 做了 c、 d 的 垂线，那么这样，我们把这三角形啊给画出来， b、 c、 d， 我 发现 b、 d 这条线是经过点 b 做了这个线。 c、 d 的 这个垂线啊，这是垂直的，所以说 d 是 一个垂足，那么这样的话， b、 d 我 们就称之为垂线段了啊。 b、 d 是 垂线段， 那么它可以和谁比？可以从 b 点到 c、 d 之间的其他长度去比，哎，刚好是这一条，那我们知道两点之间垂线段最短啊，所以说 b、 d 应该是要小于这个 bc 的 啊。我们再解释一遍，这个 b、 d 是 从 b、 d 点到 c、 d 这条线的，这个垂线它是最短的，它呢，能跟它有这个可比性的啊，是过点 b 到 c、 d 的 其他路径，那比方说 bc 啊，算一条，所以说它们相比啊，这个是短的，所以说 b、 d 小 于 bc， 那 么 c 说的是 bc 大 于 b、 d 啊，其实就是把它反过来了啊，没什么问题啊，所以说 c 是 一定正确的答案，应该选的是 c 选项， a 和 b 都不一定。好，我们再来看最后一个，那其实最后一个犯了跟这个 ab 一 样的错误啊。 好，他说的是 c、 d 是 过点 c 做了 ab 的 垂线， 然后 b、 d， 我 们也瞄出来，发现这个是过点 b 做了 c 的 垂线，所以说它俩都是垂线段。那么虽然都是垂线段，但是到哪条线的这个垂线段的这个意义是不一样的，所以说也没有可比性啊，所以说这个四 d 也不对啊。综上，选项应该是 c 选项。 好，这道题有点绕啊，同学们可以好好的体会一下。接下来我们看第四题，如图， ac 垂直 bc 啊，这有一个垂直的九十度，然后 ac 是 四点五，哎，那说明最短的垂线段是四点五，那说明别的边一定会比四点五要大。 好，他现在说了， p 点在直线 b、 c 上，那说明 p 点这个 ap 一 连啊，这个 ap， 注意，它应该不是垂线段啊，它既然不是垂线段，说明它就应该比四点五要大，所以说长度啊，只可能是 a 选项，因为 b、 c、 d 啊，都比四点五要小，所以他只能选 a， 好，这是第四题，接下来我们来看这道题啊。第五题，如图，在直线 m n 的 两侧啊，有 a 点和 b 点，按照要求画图取点，并注明画图取点的依据啊，那就是首先我要找出点，其次我要标注出依据。我们看第一个，他说 在直线 m n 上取一个点，就为 c 点，使得 a c 最短。注意，我是在直线 m n 上取出一个 c 点，使得线段 a c 最短。那么不难发现，这个 a c 其实就是过点 a 做 m n 的 垂线，垂足为 c， 此时 a c 是 最短的，因为两点之间垂线上最短。那么来看，第一问我们这个辅助线的过程啊，我们需要写一下，就是从今天开始啊，可能需要自己去做垂线，或者说做辅助线， 那么我们需要一些文字说明，那么我们就通过这道题啊，给大家说清楚啊，文字说明是这样的，经过哪个点啊？我们先清楚，那首先就是过点 a， 好，这是过哪个点？说清楚了，经过点 a 做谁的垂线呀？我们是做了 m n 的 垂线，好，经过哪个点干什么？ 我们按照这个公式走，经过哪个点干什么？就是说过点 a 做了 m n 的 垂线，叫过经过，经过哪里，干了什么。然后如果是垂线，咱们就必须配上垂足啊，所以说交 m n 于点 c， 好， 这个就是一个完整的文字说明，就是经过 a 点做一条垂线，跟谁交于哪个点啊，咱们就说的很清楚了，好，那么这个就是最短距离啊，我们就清楚清楚，此时 a c 最短。好，那么为什么 a c 最短啊？这个依据是什么？我没写清楚。依据啊，很简单，就是刚才我们说了，我们既不写第一句啊，也不写第二句，我觉得是第三句，叫做两点之间垂线段最短，这个是最最长的一个，那我们就写两点之间 垂线段最短。 好，这是第一个啊，接下来我们看第二小份，在直线 m n 上，还要取一个地点，使得线段 a d 加 b d 最短。那么换个颜色啊，就是说我需要在这个 m n 上 找到一个地点啊，使得 a d 加 b d， 我 们来举个例子，比如说底在这里，那么此时 a d 加 b d 是 要给它连起来的，那很显然啊，这个 a d 和 b d 相加，不是最短呢，我们只需要这样就可以了。怎么办？直接连接 ab， 连接之后，他跟 m n 会组成一个交点啊，这个交点咱们可以设为 d 点，那此时 a d 加 b d 啊，注意，这个 a d 加 b d， 其实复合一下应该是加号啊， a d 加上 b d 啊，咱们复合一下就是 ab 啊，那为什么说此时他最短呢？因为两点之间垂线段最短， ab 是 直接连起来垂线段，对吧？啊，所以说这应该是连接 ab 就 可以了。咱们的弧线就是连接 ab， 然后与 m n 直线，那就是交 m n 与点 d， 然后说清楚，此时 a d 加 b d 是 最短的。好，这个就是题目的要求，那么依据呢？其实还是不变，依然是两点之间垂线段最短啊，我就不写了。好，第五题，咱们就到这里。 好，今天的课啊，比较简单，主要是第三题啊，比较吃力，我们可以看一下。这是第三题啊， a c a b d 啊，犯的同样错误就是没有可比性，然后只有 c 是 有可比性的。好，本节课咱们就到这里。

好，这节课我们来讲第二小节，垂线啊。首先我们先来看质数的部分，第一点啊，一般的如果说两条直线 a 和 b 相交所形成的四个角中， 有一个角是九十度的时候啊，那我们将这个九十度可以去做直角啊，比方说有一个角是直角的时候啊，或者说有一个角是九十度的时候，那么我们就可以说直线 a 与直线 b 互相垂直，既做 a 垂直 b 这个符号，我们称之为垂直符号啊，是一条竖线加一条横线啊，然后下方是不要这样抄出来啊，我们就这样写的，这叫垂直符号。好，那解释什么意思？比方说这是一条直线 a 直线， 这是一条直线 b 直线，那么两条直线相交，一定会形成四个角，我们称之为两线四角。比方说这是角一，这是角二，这是角三，这是角四。那么按照上节课所学的结论，很明显，角一 与角二、角四是互为零补角的关系的啊，这是我们上节课学过的。然后角一和这个角三 啊，是互为对顶角的关系的，那我们说零补角互补，对顶角相等，那么什么时候会出现一个直角呢？就是我的直线可以这样画，比方说这条是 a 直线，这条是 b 直线，那么在 a 和 b 所形成的这个角一、角二、角三、角四之后， 我们发现如果其中一个角是九十度的话，那么按照对顶角相等，所以这个角四也得是九十度， 那么按照零补角互补，所以说角一加上角三就得等于一百八十度，一旦其中的角一是九十度，那么角三就必须也是九十度啊，所以说角三也就是九十度了，那么再按照对顶角相等，所以角三的对顶角角二也得是九十度 啊，所以这个图应该是这样的，就说想形成一个垂直的关系，这个直线 a 啊，就要长这样，直线 b 就 要长这样，然后中间有一个垂直符号 啊，所以说此时角度一定是九十度，那我们可以去做 a 直线垂直于 b 直线。好，这个就是本节课的这个图，那么他说其中一条直线就会叫做另一条直线的垂线啊，一条线是另一条线的垂线，比方说 a 直线是 b 直线的垂线， 你可以反过来 b 直线，他也是 a 直线的垂线，然后其中两条垂线的这个交点啊，这个交点，比方说咱们叫做 o 点，那这个交点我们称之为垂足 啊，然后这个符号啊，在角度上画的这个符号表示垂直符号，然后还可以这样去画啊，就说我们如果写式子的话，就应该是 a 垂直于 b， 如果在图上画的话，就是这样垂直的，这个角度符号啊，可以这样标上。 好，这个就是垂线的定义啊，那么事实上咱们小学也学过，我们就可以快速去过了。好了，看第二个，在同一个平面内过一点啊，有且只有一条直线 与已知直线是垂直的啊，什么意思？说什么意思？那是说在一个平面当中，经过一个点，有直线，并且只有一条，叫做有且只有有，而且只有一条。 这样的直线和已知直线是垂直的。什么意思呢？可以画个图啊，来举例一下。我们来看这个绿色部分啊， 比方说，首先我先取一条直线 a 直线，然后这个点是直线外的一个点，我们就做 a 点， 那么我想经过 a 点去做一条直线，和直线 a 是 垂直的，我只能做出一条啊，哪一条就是过点 a 做直线 a 的 垂线啊，我可以出去啊，出去不出去都对， 我只能做出这一条直线，跟已知直线 a 直线是垂直关系。那有同学老师，那我这样做不行吗？我经过 a 点，我这样做，那很明显这个角他是不垂直的啊，即使说把这条线啊画的 啊，稍微就是歪一点啊，那这个角他也不是九十度啊。所以说经过直线外的一点啊，我们只能做出一条直线外的一点啊，我们只能做出一条直线外的一点啊，我们只能做出一点，他应该是直线 a y 的 一个点啊，直线 a y 的 一个点，那我们可以这样想，如果这个 a 点它不在直线 a 的 外面，它刚好在直线 a 上，会发生什么情况？我们还是来验证一下。比方说这个是 a 直线，那么我在直线上取一个点做 a 点， 我依然想经过 a 点做出一条垂直于直线 a 的 直线，那么还是只能做这一条啊，只有这一条是垂直的，中间是垂直符号，即使我稍微写的话，他这个角度也不是九十度。所以说，不论这个点是在直线外， 还是说这个点在直线上，我始终只能做出一条直线，能够与已知直线是垂直的这个定力啊，我们就将这个直线外和直线内统称为在一个平面内啊，也就是说在一个平面内，不管这个点 他是在直线外啊，不管这个点在直线外还是直线内，都尤其仅有一条直线能够与已知直线垂直啊，我只能画出一条，画不出来无数条。 好，这个就是我们的知识梳理部分啊，我们就说这么多，接下来我们来看随堂训练。好第一题，我们来看如图，已知 q a 垂直，直线 l， 我 们来看 q 点在这啊，很明显这个 q 是 一个垂足的位置啊，我们来标一下， q 是 一个垂足，然后 a 点就是这个直线外，一点 过 a 点只能做一条直线， a q 和已知直线 l 是 垂直的。好， b 点也在直线外，那么过 b 点也只能做一条直线， q b 能够与已知直线 l 是 垂直的，所以说 q a 垂直 l， q b 垂直 l， 那 么此时 q a 直线 和 q b 直线一定是一条重合直线啊，这个是没有问题的，那么理由呢？应该是二 b 选项啊，这是我刚才说过的，在平面内啊，经过一个点，只有一条直线能够与已知直线垂直啊， a 点在直线外， 所以做的这条 a q 和 l 是 垂直的，然后 b 点也在直线外，所以说 b q 也和 l 是 垂直的，因为只能有一条线，所以说这个 a q 和 b q 只能是重合的直线啊，它不能分开，因为我只能做一条啊，所以说它一定是重合线。 好，那我们来看一下这个 a c d 啊，错在哪里？我们来看过两点，只有一条线啊，这句话本身没有问题啊，经过两点只能确定一条直线，这个画是没问题的，但是跟咱们本道题啊是没有关系的，我们是讨论垂直，而不是讨论直线的个数，所以说 a 九不对，但是画本身是对的啊， 然后 c 垂线段最短啊，这个也是对的。就说我经过一个点做垂线，一定是垂线最短，这是咱们未来要讲的知识点啊，跟本节课无关。他的道理呢，一样的，就是说这句话没什么问题，但是跟题目没什么关系啊，所以也不选。 然后 d 选项过一点，只能做一条垂线，这个就有点不严谨了啊，他就是错的，相当于 b 和 d 啊，应该对着去看啊，就是 b 说的很清楚，首先是在一个平面内，经过一点，只能做一条与已知直线垂直的直线， 而 d 选项他说过一点只能做一条直线，这个话本身是错的啊。我们可以举个例子，比方说这个点我就记作 d 点，然后这个是已知直线 l 啊，我们将它记为已知直线，那么我过 d 点只能做一条直线，跟 l 垂直，这个是没问题的。但我如果我这么想，我把这个 d 点 定了之后啊，我不给一条直线，我就说过地点能做几条垂线，那么很显然过地点可以做无数条直线啊，什么意思？比方说这有条直线 l 一， 那很明显 a 这样的话，这样划，这是垂直的第一条直线了， 好，这条直线 l 二，那么郭弟弟啊，又能画一条垂线，好，这一条直线 l 三，好，给他延长一下，那么郭弟弟又能做一条垂线啊，所以说如果不加这个限定条件的话，那么经过一个点，其实可以做出无数条垂线啊，所以说这个 d 啊，是正确，呃，直接就是错的， 好，本道题的选项啊，应该是二 b， 我 们就说这么多，接下来看第二题，如图， a、 d 垂直 bc 啊，这说明角 a、 d、 b 或者角 a、 d、 c 都是九十度啊。虽然垂直符号标在 ab 的 位置啊，角 a、 d、 b 是 九十度，但是我们知道这个 b、 d、 c 是 一大大的平角，所以它的隔壁啊，这个角 a、 d、 c 其实也是九十度啊，这是垂直符号的意义啊。 好，他说角一等于角二，角一等于角二，那么就可以发现三角形 a、 b、 d 啊，他应该是我们小学阶段所学过的等腰直角三角形啊，因为我们小学学过一个三角形，其内角和应该是一百八十度啊，这个我们都知道 好，小学就学过了三角形内角和一百八十度之后，我们会发现这个三角形 a、 b、 d， 它的这个角和应该是角一加上角二加上角 a、 d、 b 应该是一百八十度啊，小学知识内角和一百八，其中角 a、 d、 b 是 九十啊，所以说角一啊，咱们填，所以啊，因为咱们还没学逻辑符号啊，这是，所以，所以角一加上角二加上九十度啊，就应该是一百八十度， 咱们一旦一项啊，所以说角一加角二就会等于九十度，因为一百八减九十是九十。其中题目还说了，角一和角二相等，那说明他们各自就应该是四十五度了啊，所以说角一就会等于角二，就会等于四十五度。好，这样的话我们就解出来了，角一是四十五度，角二也是四十五度。 好，题目又说角 c 是 谁啊？角 b、 a、 c 是 这个角， 那很明显，这个角 bc 应该等于角一加上这个角三。好，那要分析了，这个角三是多少度啊？那不难发现，在三角形 a、 d、 c 中，他依然也是一个内角和啊，所以说在这个三角形 a、 d、 c 中，还是利用这个内角和可以得到角 a、 d、 c 加上角 c 加上角三，应该也是一百八十度的， 其中角 a、 d、 c 是 垂直的直角，它应该等于九十度。角 c， 题目告诉我们了，是六十五度，然后加上角三等于一百八啊，咱们一向 角三就应该是一百八，减去九十度，减去六十五度啊，很明显，角三应该等于二十五度啊，咱们算就可以了。这个角 b、 a、 c 啊，合起来就应该是角，一加，角三就应该等于四十五度， 加上二十五度应该等于七十度，所以选项应该是 a 选项好，这个是我们用的内角和去分析。那么事实上，除了角和啊，我们还有一个结论是学过的，就是说在一个直角三角形中，其两锐角应该是互余的关系。那么不难发现啊，这个三角形 a、 d、 c， 它应该是一个直角三角形，它的两个锐角啊，分别是谁啊？应该是角三 和角 c， 他 俩是两个锐角，对吧？那我们知道啊，在直角三角形中，两个锐角是互余，什么叫互余啊，是不是相加得一百啊，相加得九十度啊，哎，所以可以说角三加上角 c， 其实是九十度的性质。就是说在 直角三角形中，两个锐角是互余的，那其中啊，这个角 c 给了六十五度啊，所以角三就可以直接等于九十度，减去六十五度，依然是等于二十五度的啊。所以说，红色的方法是用了这个锐角互余的性质，绿色是用了这个内角和的性质啊，其实都对啊，方法都一样。 好，这是第二题啊，选项是 a 选项，咱们就说这么多，往后看第三题，如图，当角一与角二满足什么条件的时候，给的是 o a 垂直 o b。 那 么这样想，要想， o a 垂直 o b 是 不意味着角 a o b 必须是一个垂直的，这个九十度，它就是一个直角，对吧？ 那我们就发现这一条横线是一个大大的平角，想让中间等于九十度，是不得，意味着一百八十度，减去这个角一加角二就得是九十度啊。那此时很明显了，就需要保证角一加角二是九十度才行，因为平角减去 九十度就会等于中间这个九十度啊，所以说条件应该是角一加角二，只有在九十度的时候才能符合 o a 垂直 o b。 好， 这个是第三题啊，咱们就填填这个角一加角二等于九十度啊，或者说可以填角一 与角二互余啊，都可以啊，都对，互余也是相加为九十度嘛。好，这是第三题，接下来我们看第四题， 如图，直线 ab 和 cd 相当于点 o 给了 e o 垂直 ab 啊，所以说角 e、 o b 等于九十度啊，这有垂直符号，他是九十度。 好，他说角 c o a 等于三十度，我们来看 c o a 等于三十度。哎，那我们发现一个东西啊，就是说角 a o c， 他的这个对顶角应该是角 b o d 对 顶角相等，所以说角 b、 o d 等于三十度。题目问的角 e、 o d 就 这个角。 哎，那所求的这个角 e、 o d 不 就等于角 e、 o b， 然后加上角 b o d 吗？我们带数据就应该等于九十度，加上对顶角相等的三十度，数值应该等于一百二十度， 这个空填的应该是一百二十度啊，理由是这有一个三十度，对，顶角相等九十加三是一百二啊。好，第四题咱们就到这，接下来看六题。第五题呢，是要求用三角尺啊，分别做出这个垂线，那我们就把这个图啊，稍微放的大一些。 好，那么我们接下来就借助三角尺来这个画垂线啊，其实垂线呢，嗯， 好，这个差不多有九十度了吧。啊，同学们，你要比好啊，我就是差不多就行，那么过点 c 啊，我可以很显然啊，做一条线啊，然后标上垂直符号就可以了。好，这是一条垂线啊，有点没画好，他应该是经过 c 点啊。好，经过 c 点做的这个垂线，我们把这个垂直符号标好。好，然后这个， 这样，对吧？差不多，同学们，比好一点，比准一些。好，这个就是过点 c 做的 ab 的 垂线，所以说这是垂直的，然后这一个我们就得这样画了。 好，这可能有点不垂直啊，我们得差不多就行。好，这个好，这是 垂线。好，然后我们画出垂直符号，然后这个很明显啊，是我们小学所学过的这个钝角三角形。那么想做 ab 的 垂线，首先应该是反向延长 ab 啊，延长线应该是虚线啊，所以把 ab 给它延长一下，延长之后就应该是过点 c 做 ab 的 垂线了 啊，这个我们好，那应该是过点 c 啊，然后做 ab 的 垂线。好，所以画出来啊，应该是这样的，这条线就是那个垂线啊。 好，这是垂线，那么由于垂线呢，我们其实还要标垂足啊，所以我们还没标垂足，那么换成橙色，把这个垂足给它标上，比方说 d 点就是垂足，然后这个 d 点是垂足啊，所以这就是 c d 垂直于 ab 啊，这也是 c d 垂直 ab， 对 吧？然后这个我们把垂足标上，这是 d 啊，所以也是 c d 垂直 ab。 好， 最后一个这个垂足我们也记为 d 点啊，所以依然是 c d 垂直 ab。 只不过第四个是个对角三角形啊，我们应该是延长某条边，然后过另一个点去做延长线的垂线。好，本节课咱们就到这里。

前面的两只视频，我们把垂线的性质讲过了，那这一只视频咱们借用这个练习，我们再来巩固所学。那首先回忆一下垂线的两条性质，第一条就是过直线外一点 p， 有 且只有一条直线与已知直线垂直， 那它的性质。第二条就是上面的垂线段最短，那这里我们要注意一个概念，就是点到直线的距离，它指的是这个点到这条直线垂线段的长度啊，那好，我们来看一下下面的练习。首先看第二题，他说如图，分别过点 p 画直线 a、 b、 直线 c 的 垂线，并量出点 p 到直线 a、 b 的 距离，你看我把它画上了，这就是我们刚才复习到的这个概念。那一看到它，你要把这句话转换成有用的信息，就是点 p 到 a、 b 这个画一条垂线，那么垂线段的长度就是它的距离，那这里我就不量了啊。 然后呢，你看我，我在读题的时候把垂线做了重点标记，因为我在前面学习概念的时候，我发现有垂线，有垂线段这样不同的说法，那你看他让我们画的是什么？如果是垂线，那当然 直线是无限延长的，如果让我画垂线段，那就有了两点啊，就有两段的这个顶点了，所以这是做题的时候要注意的。那由此我思考就是数学，我们学习这个学科，其实它能够 无形当中在锻炼我们的思维，它能让我们这个逻辑更加的严密，能够注意那些细小的细节。 好，第二题，呃，第三题的小二啊，就是三条边，就下这个右侧这个图说三条边， a、 b、 a、 c、 c、 d 中哪条边最长呢？为什么 咱们以前小学的时候学直角三角形的，知道直角三角形的第三边当然是最长的，但这学期我们学习了垂线的性质，那你就可以用垂线的性质去解释。比如说我们以 bc 这条线段 所在的直线为基准，那么 a c 啊，就是 bc 的 一条垂线， a b 就是 点 a 到 b c 这条线的一条斜线，那么我们都知道这个垂线段最短，那所以 a b 就 大于 a c 它的长度啊。那同理，我们以 a c 为基准，然后把 b 看成 a c 外的一点的话，那 b c 就是 b 到 a c 做的一条垂线，那么 b a 就是 经过 b 点，然后画的与 a c 相交的一条垂线，那我们知道垂线段最短，所以 a b 又大于 b c， a b 大 于 a c， a b 又大于 b c， 所以 这样两相比较的话， a b 最长。所以这就是用学过的垂线的性质来解释这个直角三角形第三边它最长。

很多同学刚开始学习几何的过程中，这种垂直加角平分线不会处理，那么今天呢，给大家分享一个特别实用的技巧， 那么人家既然说有垂直在，那么所以说我们就在这里标一个大大的垂直符号，那人家既然说 o x 是平分角 a o c 的， 那么所以说我们看一下 a、 o f 就是 用一个字母，然后 c o f 也是用相同的字母代替，因为是平分了，所以说这两个角一定是相等的。 那么再有第一问，他说 coe 是 等于五十四度，角 coe 呢？在这里它是等于五十四度，那所以说这个时候我们不难看出，这个九十度加上这个五十四度呢，是形成了角 aoc， 对 吧？ 那 aoc 呢？实际上就应该是九十度加上五十四度等于的是一百四十四度， 而这一百四十四度通过我们刚才的标记呢，我们也能够看到，它是由两个 alpha 构成，也就是说二 alpha 也是等于一百四十四度，那么也就是一个 alpha 就 应该等于七十二度。 那一个 r 是 谁呢？我们在这里擦一下，你就能看到，呃，一个 r 是， 这是不是一个 r， 它是等于七十二度，那么现在让我们求的是 d o f， d o f 这个度数，我们要知道 d o f 和这个 c o f 它是不是又是互为补角啊，临补角啊，那么所以说角 d o f 就 应该是等于一百八十度，减去这个七十二度等于的是一百零八度。 当然了几个步骤的话需要你自己去整理啊，过程的话，思路我现在已经跟你说完了，那么接下来我们看第二问，一个禁忌性的问法， 第二问当中他说角 c o e 和角 c o f 的 比是二比一，同样的，我们用 上述的一个思想， c o e 你 不是相当于二吗？那就是二 alpha， 那 么 e o f 是 一的话，那么就一倍的 alpha， 那 么在这里边形成的就是三呢？ c o f 就 相当于三 alpha， 那在这里接下来他让我们求角的 o f 的 度数的 o f 是 哪个角的 f 是 这个角，是吗？那很明显的 f 加上这个三倍的 alpha 就 应该是等于一百八十度。那具体怎么做的话，我们思考一下，因为在这个里面题干当中啊，它强调的还有一个是垂直， 对吧？第一问的得数一定是不能用的，大家一定记住它是写的是弱字啊，一定是不能用，那么但是这个能用啊， o f 是 平分角 a o c 的， 那 c o f 和这个 a o f 必然相等呢？那么 我们看 a o f 是 不是也相当于三倍的 r 法，对吗？因为平分原因，所以说这两个角相等， 那么在这个过程中，我们看见这个九十度，这里是不是还有个随之九十度，也就是说这个九十度是由四倍的 alpha 构成，对吧？那也就是说 alpha 就 等于了二十二点五度， 嗯， alpha 是 等于二十二点五度。那么接下来我们看一下 c o f 是 三个 alpha， 对 吧？我把这个 alpha 给擦掉， 那它是三个 alpha 的 话，那么也就三 alpha 是 等于，嗯，六十七点五度，对吧？那么这个是六十七点五度， 那让我求 d o f， 那 d o f 很 明显的就是一百八十度，减去这个六十七点五度呗，对吧？ 那么所以说最后的结果应该是多少，我是不是就一目了然了？所以说角 d o f 等于的是一百八十度啊，减去角 c o f 等于的是一百一十二点 五度。这道题就讲完了。呃，同学们还有什么问题的话，大家可以私信我。

大家好，今天我们来讲一道七年级下册垂直线的练习题，我们来看一下第二道题。如图，直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o， b， o f 平分角 a、 o、 c， 且 c、 o、 f， 它等于二十度。求 d， o、 e 这个角等于多少？首先看到角平分线，那我们就立马知道角 c、 o、 f 跟角 a、 o、 f 是 相等的，而且角 a、 o、 c 就 等于它们俩的 两倍，所以呢，我们知道 c、 o、 f 等于二十度，那么就可以知道角 a、 o、 f， 它就等于两倍的角 c、 o、 f 就 等于四十度。由于相交，所以角 b、 o、 d 就 等于角 a、 o c 因为对顶角相等，那么它不也是等于四十度了吗？ o e 垂直于 ab， 那 么角 e、 o、 b 就 等于九十度，这样子的话， d、 o、 e 就 可以用九十度减四十度，就等于五十度而得到。好，我们写一下解析过程。解，因为 o、 e 垂直于 ab， 所以角 b、 o e 等于九十度。因为 o、 f 平分角 a、 o c。 角 c o f 等于二十度，所以角 a、 o、 c 就 等于二乘二十度就等于四十度， 所以角 b、 o、 d 就 等于角 a、 o、 c 就 等于四十度，所以角 e、 o、 d 就 等于角 b、 o、 e。 见角 b、 o、 d 就 等于九十度。减四十度就等于五十度。这道题相对来说比较简单，大家学会了吗？关注小朱老师，我们下期再见！

平移这一节后面有一个数学活动，那活动一说，你有多少种画平行线的方法？我们来看一下这个活动。那第一个同学李明，他是这样画的， 这有一条直线 a， 直线 a， 外面有一点 p， 那 他首先呢，过这个 p 点，做一条直线，与 a 进行相交啊，随便画一条直线 b， 交于直线 a， 那 这就出来了一个角，这个角一， 然后呢，他又画了一个角，在点 p 处又画了一个角，让这个角二等于角一，从而就画出了这一条平行线。所以 我在旁边把这个方法批注了一下，他是以角为出发点，用同位角相等，来去求两直线平行，也就是来画出这个呃另外一条与 a 进行平行的直线。那第二个同学刘伟，他是这样画的，还是有一条直线 a， 还有点 直线外一点 p， 那 么它过这个 p 点，做了直线 a 的 垂线，然后呢，它在这个呃 p 点之外，又随意地画了一条直线 l， 当然这条直线 l 也是垂直于 a 这条直线。 然后接下来呢，它运用圆规来取一定的半径，就是把那个圆规啊，张开一定的角度，然后以 q 点为圆心 a， 画了一段弧， 然后这段半径呢，不变，就是圆规这个开口不变，把它挪到这个二点上，再以二点为圆心 a， 又画了一个弧，所以你看，这就有两个焦点，那两点连成一条直线，所以把这个直接连接。 ps， 这两点，那么就是 b 就 平行于 a， 所以 我 写垂直于同一条直线的两点间，两条线平行，那平移后的线段平行且相等，也就是这里的 q s 等于 p， s 等于 q r， p q 等于 s r， 所以 它运用的方法是什么？是同时垂直于直线 a， 两条直线同时垂直于这个直线 a， 然后呢？ 平行，平行之后呢？他又取这个呃，同等长度的点，然后连线，哎，那又平行，其实这就是我们学过的，小学学过的正方形啊、长方形啊，只要四边形当中有一个角是直角，那他就是一个平行关系的，对边平行且相等了。 然后咱们再看这个第三个同学王芳，他是通过折纸的方法来呃，画这个平行线的，然后他是以 p 点，也是干嘛呢？这个折，那怎么折呢？他能有无数种折法，如果只是跟直线 a 相交的话，所以你看，我在这画了一个直角，他其实画的 就是做的也是垂线，所以先折出一条线，让这个线他是垂直于这个直线 a 的， 好把它展开，然后他又画，又画什么呢？又以 p 点啊，穿过 p 点，然后做了一条垂线，这个垂线是垂直谁的？就是垂直于这个这个这个 这个虚线的，也就是第一个折痕的啊，所以这一个是垂直于他前面第二步的这个折痕，也就是图三所画的这条虚线。你看，我把这个直角给他标出来， 然后呢就得到了 b 这个折痕，那 b 这个折痕它就平行于 a 的， 那么这个原理是什么？就是同时垂直于这个折痕，就是第一个折痕，就它画的这个比较深的这个颜色， b 垂直于这条线， a 也垂直于这条线，那垂直于同一条线的两条直线平行，所以跟 b 差不多都是利用到了垂线，但是它们垂直于同一条线，这个同一条线却不相同。 那好，你看这三个同学都很巧妙。然后我看完的这个活动呢？我有一个感触是什么？就是条条大路通罗马， 那找到适合自己的那条路走下去。你看数学当中他并不是只有一种解法呀？他有好几种解法。那你呢？就根据自己的实际情况，找一个你特别好理解，特别会运用的。那你就运用那种方法，那其他的就全当做拓展，我就当做开拓自己的视野，那哪条适合你，你就用哪条。

平行线，这里有四大模型，那么今天徐老师教给大家这四大模型的结论和推导过程，事半功倍。好，我们来看一下， 如图， ab 平行与 cd， 这都是平行的，那么分别探讨这四个图形中谁呢？角 a m c 和角 a 角 c， 这三个角之间的关系。好，我们来看第一个， ab 平行于 cd， 那 么这个图像一个猪蹄，我们称它为猪蹄模型。猪蹄模型的结论是什么呢？向右拐的这个角 a、 m、 c 就 等于角 a 加角 c。 大家记住，我们这里的模型有很多种，不管哪个模型，我们要想推倒它， 只有一个原则，过拐点做平行线是吧？那么怎么过拐点做平行线呢？我们来看一下，咱们过 m 做一条平行线就可以了。好，做一条 ab 的 平行线。大家来看一下 我们这个角和这个角是不是内错角，那这个角和这个角也是内错角，那角 a、 m、 c， 圆圈转移到这来了，叉转移到这来了，那所以咱们第一个图的结论就是， a m、 c， 这个角等于角 a 加角 c， 这是猪蹄模型的结论啊。那么看第二个，这像一个铅笔，我们称它为笔尖模型，或者是铅笔模型。那么同样是它们的结论是什么？角 a， 角 a m、 c， 还有角 c， 它们相加 等于多少角？ a m c， 角 a 再加角 c 等于三百六十度，就是两个一百八，怎么证明呢？还是过 m 做 ab 和 cd 的 平行线好。大家来看角 a 加上这个角一 是一百八十度，角 c 呢？加上角二也是一百八十度，因为两直线平行，同旁内角互补，角一加角二正好是角 a、 m、 c， 结论就出来了， 前两个比较简单，我们来看第三个，他像一个什么？大家看像一个靴子，我们就称他为靴子模型，是吧？那么靴子模型仍然是过拐点做平行线，那么这个拐点是 m， 咱们过 m 做 a、 b 和 c、 d 的 一条平行线是吧？好，大家来看一下， a、 b、 c、 d， 这是 e 是 吧？那你看一下这两条边平行，我们要找的是角 a， 还有角 c， 还有角 a、 m、 c 它们之间的关系。 好，大家来看一下，你要想取得他们之间的联系，看这个角，我看成是角一，我们就可以得到角 a 加角一等于一百八十度，两直线平行，同旁内角互补。第二个呢，就是这个角一加角 a、 m、 c， 是不是？那就是 emc， 再加上这个角 c 等于一百八十度，都是两直线平行，同旁内角互补，我们如何把这个角一给它消掉？那也很简单是不是？那么两式其实相减就完事了，我们用下面的减去上面的，那就是 角 a、 m、 c 等于什么呢？加上角 c， 角一减，角一没有了，减去角 a 等于零度，哈哈，那所以我们就得到了角 a、 m、 c 等于移过来，那就是角 a 减角 c， 是不是这个道理？其实你这样推就可以了，所以我们就得到了角 a、 m、 c 等于角 a 减角 c， 很 明显角 a 是 大于角 c 的， 那么这个结论，靴子模型的结论你总结一下是什么？ 是不是这三个角，那么这个拐角就等于较大的这个角 a 减去较小的这个角 c， 是 吧？好看。最后一个，它其实就相当于是这个拐点 m 向左平移了一下，那么这个我们称它为骨折模型，那你看角 a、 m、 c 和角 a、 角 c 的 关系，同样过 m， 过拐点做平行线，这个是不会变的，是吧？好，那么咱们来看看角 a、 角 c 和角 a、 m、 c 什么关系？首先 同样，你这个角是什么？这个角是角一，我们就找他们之间的联系，是不是？那你看两直线平行，同旁内角互补，所以第一个平行与 c d， 我 们可以得到角一加角 c 等于一百八十度。 第二个呢，和 ab 平行，那也就是说呢，角一加角 a、 m、 c 再加角 a 等于多少呢？等于一百八十度。那或者是你经过等量代换，我用另一种方法，角一加角 c 是 不是就等于角 a m c 加角 a， 因为你都等于一百八十度，再加一个角一，这是它等于它，那你角一抵消掉了，那就是角 a、 m、 c 等于角 c 减角 a， 所以 除四的结论是什么呢？角 a m、 c 等于角 c 减角 a。 好，那么这个骨折模型很明显角 c 是 大于角 a 的， 所以我们第三幅图和第四幅图靴子模型和骨折模型，他们的结论都是这个 拐角等于这个较大的角，减去这个较小的角。啊，今天这四大模型你听懂了吗？听懂的话呢，再把这套平行线的十大梯形拿去练习，就能彻底掌握这四大模型，进主页粉丝群领取。