几何画板制作函数轴对称图像的翻折

做出函数 y 等于 x 减一跨平方加二沿直线 y 等于一翻折后的图像。翻折图像及做肘反射。怎样做二次函数的图像翻折了？ 方法一，先求翻折后图像的解析式，再利用解析式绘制图像，不然得到翻折后图像解析式为 y 等于负 x 减一块平方。 绘图绘制心函数，输入翻折后图上的解析式 进行绘制，此时新函数图像向两个方向是无限延伸的。选中新函数图像，鼠标右击 来改新函数图像的属性。绘图选项下，将自变量的取值范围改为与原图像显示的取值范围一样，同时将显示箭头和端点的勾选去掉，这样就得到了原图像翻折后的图像。 再来看翻着函数图像的第二种方法，先将刚才得到的图像进行隐藏。 方法二，用构造轨迹的方法做出翻折后的图像。首先在直线 y 等于一上绘制两个点，两点的横坐标与原 抛物线两端点的横坐标一致，选中这两点构造线段构造线段上的点， 度量点的横坐标， 将这一点的横坐标带入抛物线解析式进行计算，得到对应的重坐标， 依次选中横坐标、重坐标绘图绘制点， 得到一个由线段上的点控制在抛物线上的点，抛物线上点的轨迹就是该抛物线。选中直线上构造的线段，双击标记为镜面。 选中抛物上的点变换反射。注意构造轨迹要选中动点和随动点，所以选中线段上的点与反射点构造轨迹， 得到已知函数关于直线 y 等于一翻折后的图像了。 如果需要翻折的动画，那就需要在原图像与翻折后的图像之间绘制出一个过程中的图像。在翻折后的图像上取一点， 选中直线 y 等于一上的线段。双击将翻折后图像上的这一点进行变换反射， 选中这两点，构造线段。构造线段上的点，选中三点，打上标签。 点 b 就是翻折过程中图像上的一点，依次选中点 c、 点 b， 构造违纪， 得到翻折过程中的抛物线。选中翻折中的抛物线。右击将显示箭头和端点的勾选去掉， 来做点 b 的两个移动按钮，依次选中点 b、 点 c， 编辑操作内按钮移动。 依次选中点 b、 点 a， 编辑操作类按钮移动 点 b 到点 c、 点 b 到点 a 的两个移动按钮制作完成。隐藏不必要的对象， 分别点击两个动画按钮，得到翻折动画。

各位老师，各位同学大家好， 昨天我用几何画板教大家制作图形旋转动画，那今天我们继续使用几何画板来制作图形翻转，就是这个轴对称动画。 首先呢，我们在平面内使用这个线段工具， 随意的画一条。呃，线段，这条线段呢就是作为这个轴对称的来使用的。 好，然后我们在这条线段的上方，呃，使用这个 多边形工具来任意的绘制一个多边形。 好，然后我们就五边形吧，绘制好之后，我们选择构造边界上的点， 接着继续选择变换，呃，选择反射， 我们选中这两个点，选中这两个点啊， 然后我们构造一条线段， 构造线段， 继续构造这个线段上的点，然后选中这一个点，我们选择构造轨迹， 这个图形是图形翻转过程中的那个图形，然后我们选择这两个点，创建操作类按钮下面的移动动画， 嗯，中速，然后这个的话我们把它叫做返回 确定， 然后继续选择 这两个点，编辑操作类按钮移动，这时候我们选择翻转，写翻转吧， 翻转确定，来看一下动画返回翻转。 好，这个就是图形翻转的制作过程，跟昨天图形旋转的那个操作呢，有点类似，他们的方法是一致的，操作的过程所使用的原理什么都是一样的。 好，欢迎点赞关注我，谢谢大家。

头条号初中数学院数学案例与女儿画板课件制作技术 这一节咱们来看如何制作啊，这个抛线的对称线的动画，这个效果是这样的，用鼠标选中这个点， 一拖动就可以呢，自动这里呢演绎抛线的对称线了，但这个颜色也可以修改， 这样呢，粉红色和红色就是关于外轴对称，然后这个字母 a 这个参数可以任意改变， 相应的抛线的表达式也跟着变好。下面咱们来学习制作这个动画， 建立一个空白的折画板的页面，然后呢点数据啊， 新建参数，咱们先啊把坐标器把它做出来，先 直接调用老梁原创的这个坐标系啊工具，先新建两 个参数，点自定义工具，然后点明月做标识工具， 鼠标放在第一第二分别点，然后再点出一个点，坐标系统出来了啊，现在还没有出此话，鼠标再点移动线的工具， 点这地方，放到明月坐标器工具这里初始化啊，相当于初始化按钮，你就点， 那么这个坐标系就出来了，根据需要啊，可以调整这个坐标系的形状，单位长度和 这节呢是他的刻度，比如要小一点的网格给拖动，一般做正方形网格了。 然后呢再点数据，新建参数，改一个字母 a， 表示呢，咱们的这个二字函数的 a 的值就是这么多了，这个参数呢，给任意修改对不对？然后点绘图， 绘制新函数，就选这个 a 乘以一个 的平方，平方，点这个乘方符号，再点一个二，这样呢，这个坐标系就出了， 里面就有函数的图像了，颜色可以，要红灯，线形呢要中等， 选中这个函数图像点属性， 咱把这个自便量取值范围呢？修改成呢，一个是小量，小量大于个数，做一半就 ok 了。 然后点点工具，在这一条抛线上任意点出一个点啊，一个点，这个点按 改为。然后呢，双击 这个外轴，选点 a 点变换反射就得点 a 的这个对称点 a 撇， 选点 a 和 a 撇，点构造线段，再点构造线段上的点，然后选中线段上的这个动点，而点 a 点变啊，点构造轨迹，那颜色呢，可以要粉红色的。然后再把这个点 a 撇和线段 a， a 撇 选中点显示隐藏，然后呢保留这个点，这个点相当于 a 的那个与快的对称点呢？ a 撇， 然后用鼠标拖动点 a 点 a 撇就 ok 了，他就自动显示这个效果了。这个动画当然也可以制成呢，用按钮来 控制也行。这里这个 a 可以任意修改，比如我改为三，那又得这样一个方键， 这个螃蟹呢是这个外等于三 x 的平方，那 a 呢？可以任意修改的， 如果 a 是负数，比如负负二，那开口的向下， 这时候呢，外轴负半轴把它拖长一点， 大家会做了吗？请老师们呢听完直播，听完这个老梁的讲解以后，自己动手也做一 做这样的一个动画，想系统学习，只要画板课件制作技术的，可以到头条号初中数学院的专栏那里去学， 专栏有一个是专门啊讲企鹅画板课件制作技术的，专栏的名称是数学案例与企鹅画板课件制作技术。谢谢大家的支持，再见。

我们还是先打开一个计划版软件， 蚂蚁嘴标系里边建立直角嘴标系，这个方法和上一期视频的方法是一样的， 调整坐标系的位置，坐标系的大小， 隐藏这个操作台。 现在取一个点，这个点它系统默认的是 b， 根据需要我们把把它改成 k， 再取一个点， 这个点做，嗯，系统给的是 c， 我们把它改成 b。 接下来我们分别确定 k 和 b 点的横坐标作为我们依次函数里边的 k 和 b 的值。 现在 kb 两点的横坐标都取好了，我们发现移动 kb 的位置，那么 xk 和 xb 这两个横坐标是发生变化的， 随着呃两个点的位置的发生变化，那么他的横坐标也都是相应的跟着发生变化。 接下来我们开始画函数图像，在这里我们的 k 值就取嗯， x k 这个数， b 值呢？我们就取 x b 这个数，那么这个变化的函数图像我们就画出来了， 根据需要我们还可以改变嗯这条直线它的粗细和它的颜色。 现在我们开始拖动 k 的位置， 那么呃 k 的位置改变的时候， k 值发生变化，我们看现在这个直线他的位置相应的发生变化。 我们在移动嗯， b 点观察，在 b 移动的过程里，那么呃图像的呃上下是发生变化的，他也就说他与外轴的焦点的位置是在不断的变化的， 这样我们就清楚直观的观察到了呃依次函数的图像，这条直线如何随着 kb 的数值的变化而变化的情况了。

这一节我们教大家用几何画板制作含参数的疑词函数。我们先看一下，我们点这个动画按钮，我们发现 这条直线 y 等于 k， x 加 b， 那么现在 k 呢？是属是二， b 在这儿变化，它就 上下从必然从负或他这样在变。 你比如我随便点一下，停在某一个位置，你看啊，比如停在这 k 就是二， b 就是负零点 点六七， 我们这个 k 和 b 到值是可以变的。比如我把这个 k 到值给他们输一个四，我把 b 到值，你看给他输一个负三， 你看它就就这条直线，现在就成了什么呢？就是 y 等于 四， x 减三这个已参数到图像。那么操作很简单，你把这个鼠标 把这儿点进去，把这个四改了就是了。比如我们改成负负二，好， b 也可以改，若右边给它改一下，改成四， 在这里面点一下就出来了，你看这就是 y 等于负二， x 加四这个函数的图像非常的方便，但动画效果还是在啊，这个动画只是设置了这个长数 b， 它的动画。 那么接下来我就教大家如何制作这个动画。 第一步当然是打开几何画板，得到这样一个空白页， 首先在数据这里新建参数，我们输新建一个 k， 比如 k 的字，我们给它输一个二， 好，你再在数据这里形建一个参数 b， 他的字母不管他。 接下来我们在这绘图 这里新绘制新函数，嗯，方程这里，嗯，把它写就是 y 等于什么啊？ 几个 y 等于 k， x 加 d， 这个函数的确定就出现了，那么现在这个函数它就是什么函数呢？就是 y 等于二， x 加一这个函数的图像， 现在点击 k 和 b， 这个长竖到直好了， 它涂在下面， 头正在， 那么我们把这个直线，为了醒目，我们把加粗改成中细，把颜色给他换了红色，那你随便，你喜欢哪个颜色换成哪个颜色啊， 好，另外，嗯，给它加上动画，把 e 给它加上动画操编辑操作类按钮动画， 那么他这个变化有点大，我们家你根据你的需要，你可以修改的啊，我们改成负五到五， 这样动画效果也做出来了，你点一下他就动画效果，如果你要需要他运动的很快，你就把刚才那个速度 只改一下就可以了。这个动画好，这个我们加上点这个 a， 加上标题 激活画板教程， hand 参数 的疑似函数动画制作。 嗯，同样给他拖到一个合适的位置， 那么我还是给他们展示一下啊。如果我们把这个 k 把它改了，比如改成负三， 你看点这个随便点，你看它就它的图像就出来了，比如你需要 b 啊， k 等于负三， b， 你需要好多呢，需要一个整数值， 随便拿一个 view， 比如也是负数，比如负二， 也就是现在这个函数是 y 等于负三， x 减二 hot 函数的图像，所以说很方便使用起来。点一下这个动画，它同样上下平移。 好，准备动手啊，试一下。

这一讲我们讲几何画板教程第九十六讲利用点到之构造翻折的二参数图像，如图 工在二次函数这个部分容易遇到，把 x 轴下方的部分给它反折上去这种函数图像， 那我们如何构图？接下来我们就教大家如何构造这个函数图像。我们看， 首先 打开几何画板，我们先绘制新函数，就是 y 等于 x 平方减二， x 减三， 嗯，减 x 减二。我们以这个为例，我们把这个函数图像给它绘制出来， 我们隐藏这个网格，选中，把焦点构造出来，比如就是这个点是 a， 这个点是 b c， 那么这个坐标原点为二 when i 我们接下来如何把 x 头下方这个抛物线把它翻折上去，那么 我们的方法就是，首先 我们构造同样在绘图，绘制就是 x 平方的相反数，也就先绘制这个户外相类的，绘制它的图像，绘制它的 x 平方的相反数，加 x 加二，也就是说会知道是什么呢？这两个二参数关于 x 的对称的图像。 好，接下来我们这里构造任意的一条线段， 构造这样一条线段构造好过后，我们选中线段构造线段上的点，这个点点和线段同时选中， 我们来度量点到值，用 shift 键度量点到值。接下来我们构造 a b 这条线段， a b 这个线段构造好过后，我们 选中这个点的值，我们在这里会线段上绘制点，这样这个点就会有这个控制点大的移动，他随之而动。 接下来选中这个点和线段 a b 构造垂线，再选中它们的焦点， 这个焦点选中过后，我们你看这个焦点就被控制，因此我们选中这个点 r 和这个焦点，我们构造轨迹，你看好，最后我们把这些函数把它都通通隐藏掉，这些隐藏掉包括这个二函数，包括线段 a， 线段 a、 b， 哦，这些都会通通把它隐藏。 你看反走过后的这个图像就给他绘制好了。同理，左边我们给他，嗯， 我们先给他构造两个点，一个是 ea 融创复试三个单位，嗯，从复试斗龄给他汇集 出来，再绘制一个点，绘制好过后，好，我们在这边把这个线段构造好，构造出来，这边这条线段也给它构造出来。 同样我们构造一个控制线段，在上面构造一个线段上的点，把这个点和线段同时选中，这里 度量，用 shift 点到值，给它度量出来，放到这儿，那么我们再选中它或者嗯或这个线段，我们在绘图这里在线段上绘制 这个点，这样这个点又控制了这个点， g 控制了 ab 上这个点，同样经过这个点和构造 x 轴的垂线， 那么你看，我们通过通过挪动过后，把这个焦点构造焦点选中这个焦点，还有这个控制点计构造轨迹，构造轨迹， 你看通过这个点就，你看左边这一段就就绘制好了。同理，我们在 另外勾织一条线段，照刚才照出半列构造线段上随便一个 点，把这个点和线段同时选中，度量 shift 构造点到值，对，那个点到值构造出来。好，另外选中这个线段和点到值值，那么 绘图这里绘制线段上的一个点用好，那么用这个控制点，你看通过这个控制，通过这个点和这个，哎，这条线段构造垂线， 构造这条垂线跟抛物线的焦点，这样看，把这个焦点的轨迹，焦点和这个控制点界同时选中构造轨迹。好，右半边也空也做好了。好，我们把 把这些参数都统统把它隐藏掉，嗯，不需要的 一点都通通把它隐藏掉。 好，打开隐存掉过后，我们把这个原来这个抛物线把它选中， 这个把它构造成虚线，你看这个图就构造好了，大家看一看。 嗯，我给它缩小，大家可以看一下，脱下来，大家可以看，你看上面， 其实他就是构造成这个这个部分啊啊，脱放大衣， 这就是利用点到直来控制，控制一个点到运动，从而构造这个特殊的抛物线。 除了这种方法以外，它可以实际上直接构造啊， y 等于 x 平方减 x 减二，它的绝对值， 我们在前面有讲过这种啊，可以去去看一下之前的视频， 这一讲我们就讲到这里。

s mouse 作画教程它来了！由于许多网友都在询问制作方法，我们以玉米棒为例，出了一期基础版的教程。话不多说，直接上教程。首先第一步是画出大概的轮廓， 这里主播先打算画出玉米芯左侧的弧线。上过小学的都知道，我们可以通过对 x 和 y 进行加减来实现对图形进行上下左右平移，也可以适当的调整系数来调整曲线的曲度。 当我们想要做关于 y 轴对称时，只需要把 x 用减 x 替换，同理把 y 用 y 替换可实现关于 x 轴对称， 这里让玉米头变得圆一点。现在我们要去除多余的部分，只需在解析式后面添加曲值范围就可以了。由于系统会自动算出焦点坐标，那么我们可以直接 copy paste 上下界了。这里重复此操作。咱们直接加速跳过了哈。 现在我们开始画玉米粒，同样我们也是画出大概的图像，然后平移到合适的位置，这里复制粘贴后，把 y y 减去适当的数向下平移，重复此过程。我们六十倍速跳过一下。 现在我们开始对这些几条大致横向的曲线添加一下取值范围。我们需要让这些曲线的下界都要在玉米芯左侧这条弧线之内。这条曲线的解析式为 x 加二等于零点零三 y y 方，所以只需要把等号改成大于等于即可。 下界，同理让其在玉米芯右侧弧线之内。然后我们继续复制粘贴曲线。这里我是把最左侧的向右进行适当的平移， 然后减小 y 方的系数，那曲线的曲度减小，然后重复此操作。 x c 塔现在我们开始画玉米叶，依旧是平移第一条曲线就好了，现在我们开始第二条曲线，把第一条进行平移，然后改一下系数就可以， 然后是第三条，也是一样的方法进行调整，咱们直接加速跳过，这里是第四条，然后这里主播发现线有点乱，所以先提前取一下取直范围。现在我们开始绘至右侧的玉米叶，按照老样子进行平移，直接加速跳过一下。 现在我们要呈现出玉米芯，要在玉米叶的里面，只需要让玉米芯里面所有的曲线都要在玉米叶这三条曲线的上方。以最左侧目前是蓝色的这条曲线为例， 即表达式为 y 等于负的 x 加三，平方减二。那我们只需要添加曲值范围 y 大 于等于负的括号 x 加三方减二， 后面也是同理。这里再在下面多添加几条横向的曲线，这里继续添加曲值范围， 让这几根纵向的曲线在上面红色的曲线下方，但是主播不小心多锯掉了一段，然后又补回来了。 现在进行适当的装饰和调整，让我们的玉米棒看起来更有立体感。最后最后我们再把颜色都改一下，这样我们的玉米棒就大功告成了。

今天我要分享的是反射对象，反射就是用来构造轴对称关系的。以三角形的轴对称为例，先构造一条直线，并标记为镜面。标记方法，可以选中直线，由菜单变换标记镜面。 还可以鼠标双击直线，在直线左侧会制一个三角形，选定三角形的全部， 由菜单变换反射，即可得到与之轴对称的三角形。拖动三角形的顶点，可观察动态保持的对称关系。 先绘制一个矩形 a、 b、 c、 d。 连接 a、 c、 e。 依次选定点 b、 c、 a。 构造角平分线，再构造与 a、 b 的 交点 e。 双击设限 c、 e。 标记为镜面，选定点 b， 变换反射，得到点 f。 使用有心无边框多边形工具构造图中的多边形 隐藏边 a、 b 和 bc 保留点 b。 在 多边形边界上构造一个点 h， 选定点 h， 变换了反射，得到点 i。 连接 h， i。 连接线段 e、 f、 a、 e。 在 线段 h i。 上构造一个点 p， 将点 g 合并到点 b， 选定点 h 和 p 构造轨迹。在轨迹拐点处构造点 b， 隐藏线段 h i。 线段 e f。 点 b 点 h， 这时移动点 p， 有 折叠轨迹出现， 还可以选重点 p 构造动画操作按钮。