铅笔模型的4种做法

如何让数学从电笔冲到年级前三？那你必须要拿下平行线的四大拐点模型。好，我们首先看第一个，也就是铅笔模型，那也就给出，哎，两条线平行，然后在平行线的中间呢，随便放一个拐点啊，在这里，然后连接我们平行线的端点，连接平行线的端点，因为这个图形很像我们的铅笔，所以我们就把它叫做铅笔模型， 那它的结论是什么呢？铅笔所凸出来的一二三，这三个角加起来一定等于三百六十度。也如你是角一，你是角二，你是角三，角一加上角二，加上角三百分百，等于三百六十度。 那这个东西怎么正呢？其实很简单，我们只要过拐点做一条平行线就可以了。好，我们这样过拐点做一条平行线就可以了。好，我们把这个角标做一条平行线就可以了。好，我们把这个角标做角一加角二，一定是一百八十度的。 那么与此同时呢，我们把这个角标做角三，以这个角标做角四，两直线平行，同旁内角互补，也是角三加角四，也等于一百八十度。此时你会发现，我们这个角 b 加上角 e， 再加上我们下面这个黑色的角地，你望这三个角的度数折刚好等于一二三四，等于这四个角，也就两个一百八十度，因此他们相加等于三百六十度。证明完毕。 好，我们再来看第二个猪蹄模型，那一样的给出两条线，他们是平行的，然后在平行线的内部呢，我们放一个拐点，连接平行线的端点，连接平行线的端点，因为整个图形很像我们一个猪蹄，对吧？ 所以我们就把它叫做猪蹄模型。那猪蹄模型有什么结论呢？很简单，那如果你把这个角呢标做 a r f， 你 把这个角呢标做 b t， 那我们中间凹进去就是猪蹄，凹进去的这一块一定等于凸出来这两个角的度数之隔，也就是 arfa 加上 beta， 这个结论百分百成立。好，那问题来了，怎么正呢？很简单，我们依然过拐点，做一条平行线，就像这个样子。好，如果这个角呢，我们令它是 arfa， 两直线平行， 内错角相等，你是 alpha， 所以 我们这个角呢，它也等于 alpha。 与此同时，你会发现这两条线也是平行的。如果我令你这个角呢是 beta， 那 我们内错角相等，这个角呢，也是 beta， 至此，我们就证明完毕了。那你这个凸出来是 alpha， 这个凸出来是 beta， 而我们整个凹进去的这个大角呢？的确等于 alpha 加 beta， 也就是等于这两个角的度数之和证明完毕。 第三个鹰嘴模型，一样的啊，给出两条线啊，二就是平行的，现在不在平行线之间呢，而在平行线的外面，对吧？哎，再跑到外面去，发现一个拐点，连接平行线的端点，连接另外一条平行线的端点，因为整个图形长得很像老鹰的嘴巴。亮亮，这哪像老鹰的嘴巴了呐，这怎么会不像呢？ 这是老鹰的眼睛，对吧？你说这个像不像？他的嘴巴很像，对吧？我们就把它叫做鹰嘴模型。那我告诉你，鹰嘴模型有什么结论呢？嗯，我重新给你描述一下啊，如果你把其中一条线当红边， 另外一条平行线也当做红边。好，接下来我们在外面发射一个拐点，对吧？我们连接拐点跟平行线的端点。连接拐点跟平行线的端点，那么此时会产生三个角，这三个角分别是什么呢？挠， 找红边与蓝边的夹角，这是我们的第一个角。好，就把它标做角一。 ok， 另外一条红边和另外一条蓝边的夹角，这个角呢，我就把它叫做角二。哎，我不管你啊， 我强行写在这里，这个大角是角二。第三个角是什么呢？第三个角就是捉人很痛的老鹰的嘴巴，这个角呢？哎，就是我们第三个角，好，那这个三个角一定满足什么关系呢？ 两个小的角加起来等于最大的那个角，所以你会发现呢，角一加角三呢，一定等于角二，哦，也是，一加上三一定等于角二。好，问题呢，这个东西怎么正的？ 其实我们鹰嘴模型的证明一样的啊，我们也是过拐点做一条平行线就可以了。接下来我们找两次内错角，喏，首先这条线 跟我们这条线是不是平行的？两直线平行被我们第三条边所截，所以你这个角， 它的内错角是不是这个角？哎，对吧？所以内错角相等，这个角呢，就是我们的角一。哎，我跟你相等，正常情况下，我们整个图形面是不能同时出现两个角一的，但是为了方便大家理解，能够感受到我们的等量关系啊，你就等于它好不好？嗯，好，那接下来呢，我们这条线还和它平行，对吧？ 那两直线平行被我们第三条边所截，所以内错角相等，这个角的内错角是谁？ 等于这个角，对吧？哦，你不就是角二吗？我不就是角一加角三吗？所以角一加角三等于角二，证明完毕。好，你知道这个结论，你就知道能够找出哪三个角，他们的什么样的等量关系。 好，接下来我们看第四个，其实第四个呢，它也属于鹰嘴模型，那为什么改名叫骨折模型呢？举个例子，比方说，大家记得吗？哎，这是个老鹰的嘴巴，对吧？哎，尖尖的在这里，对吧？它捉人很痛，所以现在我拿个砖头怎么样呢？我一巴掌，我拍， 把这个老鹰的嘴巴把它给砸进去了，哎，他是不是就变成这个样子了？变成这个样子，对吧？哎，所以他就像这个样子。那拍完之后呢？呃，这个鼻子肯定就骨折了，所以我们也把它叫做骨折模型。那他的结论是什么呢？一样的道理。 那首先你会发现，喏，有两条线是平行的，这两条线呢，我把它标成红边。好，现在有一个拐点，这个拐点你会发现它永远在平行线的外面，对吧？好，一样的，那连接拐点跟平行线的端点连接拐点跟平行线的端点，你会发现 他依然会产生三个角。找，这三个角之间呢，跟我们刚才这里的方法是完全一样的。干嘛？第一个角找红边和我们蓝边的夹角，这个角呢？我们就把它标做角一啊，你是第一个角。 好，然后我们再找另外一条红边和另外一条蓝边的夹角，那这个角呢？我们就把它叫做角二。我写不下去了啊，这个角我就写哪比较好呢？我写这比较好，好不好啊？在这里角二可以吧？好，剩下第三个角是谁呢？ 老鹰的嘴巴，你打骨折了，那也是嘴巴，对吧？也就是两条蓝边的夹角。好，那这个角呢？我们就把它叫做角三，而把这个三呢，我强行的挤在这里，大家能看到不？哎，这个三指的是这个角啊， 那么一样的，它的结论是什么呢？就是两个小的角加起来一定等于最大的那个角，也就是怎么样呢？我们的角一等于角二，加上角三。好问起来怎么正呢？ 其实他的证明方式跟我们刚才是完全一样的，所以我们说为什么他也属于我们的鹰嘴模型呢？挠，你只要过拐点做平行线，哎，我们过一点做平行线，做完之后，然后干嘛？我们找两次内错角，首先你看这一条线跟我们这条线平行，对吧？ 两只线平行，被我们第三条边被我们这个边所截了，因此我们知道，也就是咱们的内错角相等。挠，你这个角呢，是角二，对吧？ 所以我们可以知道，那这个角一定也是角二了，就这个角它是角二，一样的道理啊。题目中正常是不能出现两个角二了，但是为了让大家更快的感受，哎，我们等角的关系，我就用相同数字二来表示了。好，再找第二种内缩角，就是咱们这条线呢， 跟整个底边平行，两直线平行，被我们第三条边所截，因此我们知道内错角相等。那你告诉我这个角一的内错角是谁？是不是我们这个角呀？而这个角呢，不就角二加角三吗？喏，证明完毕。 那么以上就是我们平行线中的所有几何模型的结论以及它的证明方法啦，跟着亮亮无脑学习。

这道题目呢，竟然有人算了五分钟用平行线铅笔模型，十秒就能出答案，我们一起来看，什么是铅笔模型呢？你看这个图，它是不是像一个铅笔，所以就称它为铅笔模型。 那么铅笔模型的结论是什么呢？就是角 a 加角 e 再加角 c， 这三个角相加是三百六十度，那么这个结论是怎么得出来的呢？老师来给大家正一下，你看这是两条平行线， 那么这两个平行线之间是不是有一个拐点，就是点 e？ 那 么对于所有的平行线拐点问题，有一个万能的做法，就是过拐点做平行，所以我们过点 e 做 a b 的 平行线， 那么这三条线都是平行的，首先由他俩平行，两直线平行，同旁内角互补啊，那么这的角一 和角二，他俩是同旁内角，对吧？所以角一加角二等于一百八十度。 那同样的啊，这两个平行，两直线平行，同旁内角互补，这的角三 和角四是同旁内角，所以角三加角四也是一百八十度。好了，那我现在把这四个角给他加起来，角一加角二，再加角三，再加角四就是一百八，加一百八就是三百六十度。 好了，那么你看这个角一就是谁，就这个角 a 嘛，那么角二加角三是谁呀？就角 e， 对 吧？那么角四呢？就这个角 c 嘛， 所以角 a 加角 e 加角 c 等于三百六十度。掌握这个结论之后，我们就可以直接出答案，你看 l 一 平行于 l 二，所以这也是一个铅笔模型，对吧？那么根据铅笔模型的结论，我们说这三个角相加是不是等于三百六十度，所以角一加角二加角三等于三百六十度。 好了，那他现在说的角一是多少是一百零五度，角二是多少是一百四十度，再加上角三等于三百六，所以角三是多少？ 角三是一百一十五度。那今天的铅笔模型大家听懂了吗？平行线这里呢有十大必考题型，你把我整理的平行线十大题型拿去练习，轻松解决平行线这的所有问题。

行行线当中的拐点模型一定是我们初一下第一次月考的核心必考压轴板块，同时也是我们考试当中的丢分重灾区，很多同学看到这类题都无从下手， 其实它的方法呢，特别固定，而且呢也特别简单，叫做过拐点，做行行线。来，同学们，今天徐老师带你一道经典例题，彻底通透拐点模型当中的所有方法 技巧。好吧，来，我们先来一起读下题，题目是这样说的，他说 ab 呢和 cd， 他 们俩首先是平行的。好，接下来告诉我们两条小平分线，第一个，我的 n d 平分角 g n p 啊，这两个角呢是相等的。好，接下来我们的 m g 平分角 b m p 这两个角呢也是相等的，而且呢还告诉你， b m g 这个角等于四十度啊，所以这两个角是相等的，都等于四十度啊。最后题目求的是我们的角 m g n 啊，这个角 是 m p n m p n 这个角呢，我们设为角二，求角一加角二，这两个角之和应该等于多少？ 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题啊，这道题呢，他最后求的是小 m g n 再加角 m p n 这两个角之合应该得多少？那么这道题的思路呢，其实是非常清楚的哎，首先呢，我们先把这两个角呢分别给他表示出来，对吧？来，如何表示呢？ 首先呢，题目告诉我们两条角平分线，那么说看到角平分线立马设参数，对吧？来，我们看一下，第一个， m g 平分角 b m p， 而且呢又告诉我们，角 b m g 啊，这个角呢等于四十度，所以这个角呢，也是为四十度啊，它们俩是已知的，好。第二个角，平分线， n d 平分角， g， n p， 那 这两个角不知道，而且是相等的角分线，对吧？所以我们说见角分设参数来把这两个相同的角呢，用相同的参数 r 呢 它表示出来。好，接下来，哎，我们用这个已知角和未知角呢，把这个角记和角屁呢分别给它表示出来。哎，我们观察会发现，这两个角正好是我们这两条平行线之间的 拐点所对应的两个角，对吧？哎，我说对应所有的拐点模型，我们只要记住一句话叫做过拐点，做平行线，所有的拐点模型我们都可以轻松解决。来，第一个，我们先去求我们的角计，那么拐点就是我们的计点，对吧？所以呢，我们过计点 做一条直线与这两条线平行，那平行之后，你看，我要求的是这个角，这个角呢，应该等于这两个小角之和，对吧？所以接下来 做的平行的目的就是把我们椅子角和位置角往这个拐点所对的角呢去进行一个转移来，首先，好，我们可以得到这有一个 z 字形的内错角，所以它为四十度，这个角呢也是为四十度。 好，再来，那这个角该怎么表示呢？哎，对应的是下面这个 z 字，你看没有，哎，他为阿尔法，那这个角呢，也是阿尔法两直线平行，内错角相等，对吧？好，来，所以呢，我们就得到这里的角记， 就等于这两个手脚相加四十度，再加上阿尔法，哎，表示出来了。好，同样的办法呢，来，我们再去表示我们的第二个拐点就是我们的屁点，那么也是一样的，过拐点做 平行线来，做了平行之后，接下来啊，我们的思路一样的，把已知角和未知角都往这个屁点去进行一个转移。来，我们先把大方向定下来，应该等于这个大角 减去我们这个小角，哎，这两个角分别去表示。好，来，先看大角，大角该怎么表示呢？来，这有一个 z 字啊，我们内错角去转移好，这个小角呢，来，怎么表示？哎，用这个 z 字去转移也是我们的内错角，对吧？大角就等于八十，小角等于阿尔法，所以角 m p， n 就 等于八十，再减去我们的 阿尔法，你看没有？所以这两个角呢，我们都用阿尔法给它表示出来了，他说，那这个阿尔法用不用去求呢？对吧？不用去求，哎，这个是我们之前哈初一上册动点问题就遇到过的，叫做什么叫做色而 不求思想啊，我们的参数虽然说的出来了，但是呢，我们不用去求它，我们中间呢，可以利用整体思想 前后抵消掉，你看，所以这个时候角 m， g， n 再加上角 m， p， n。 来，我把这两个角呢，哎，都用 r 法表示出来，以后呢，把它带进去，哎，就等于四十度，再加 r 法，再加上八十度，再减去 r 法，你看到没有， 这里的参数我们设出来了，但是呢，最后不用求它前后抵消掉了，所以最终答案应该等于一百二十度。哎，这道我们非常经典的拐点模型，你听懂了吗？来关注徐老师数学满分，不迷路。

课本没有考试，经常考的这五种平行线模型，一分钟带你学会！首先我们知道如果两条直线平行，就有如下两个性质，然后我们见到拐点就去做平行线。最后找内错角或同旁内角。 猪蹄模型找内错角转换得到。 铅笔模型找同旁内角转换得到。蛇形。这里内侧同旁内角全都有转换得到。 一脚踢来，只剩同旁内角还在转换得到。 角落踢骨折了，别害怕，内踮脚来把把脉转换得到也不是很难，对吧？你学会了吗？

来看第四种方法，我分别标了角一、角二、角三角四、角五、角六啊，咱们要正视，角一加角二加角三等于三百六。哎，有个外角和定力，现在还没学啊。三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和， 因为他加他是一百八，他们仨相加也是一百八，所以他俩相加等于这个角啊。哎，在这个图里边，角三就等于角四加角六，把它换成它 角三是不是四和六啊？角四加角六，那角一和角六是不是他俩一百八？ 角二和角四是不是同行？内角也是一百八吧，所以是三百六啊。在任意一个地方画一条斜线，画一条竖线都行啊。他就换成了五边形，五边形的内角和五边形的内角和是五百四十度，五边形的内角和，你看，所以他的内角和是五百四啊， 五边形五百四十度，这俩相加角四加角五是不是一百八？所以减去角四加角五，五百四，减一百八是不是三百六？ 哎，所以也能证出来啊。我一再强调，不要记这种二级结论，一定要知道这个证明的过程才行啊。

铅笔它有两个特征，第一个是 a、 b 平行 c、 d。 第二个点 e 是 外拐点。它的处理思路就是过拐点 就可以得到两直线平行同旁内角互补，也就能得到角 b， 加上这个角 e 是 一百八十度。然后另外 e、 f 和 c、 d 也平行，可以得到角二，加上角 d 也是一百八十度，这时就可以得到角 b， 加上角一，加角二，再加上角 d， 它等于三百六十度。 而角一和角二是角 b、 e、 d， 那 就可以得到角 b， 加上角 b、 e、 d， 再加上角 d， 它应该等于三百六十度，这时就得到了角 b、 e、 d， 它应该等于三百六十度。减去角 b， 再减去角 d， 就 等于三百六十度。减去一百三十度，再减去一百四十度， 等于九十度。如果遇到有很多的拐点的时候，这样的图形，那我们只需要记住一个结论，这时角 a 加上角一，一，再加上角一，二加一，直加到角一 n， 后面再加一个角 c， 这时它是有 n 个拐点，那应该等于 n 加一乘一百八十度。 比如说这里如果 n 是 十，那就是十个拐点，如果是十个拐点的话，那就把拐点 n 带成十就可以了，就是十加一，括住乘一百八十度。

铅笔你肯定用过，铅笔模型你听过吗？搞定出一下压咒邪修大招。第二招，铅笔模型依旧是上下一组平行线，它的结论是，所有角的和加一起，看看等于几个一百八。 要想解决这个问题，依旧是过拐点做平行。本题的拐点是 p 二过 p 二做 l 三，平行于 l 一。 因为 l 一 跟 l 二平行，所以 l 三跟 l 二也平行。平行。公理推论， 那么我们看到 p 一 这个角和我们目标角的一部分角一相加，是一个一百八，剩下的这个角二跟下面的 p 三加一起是一个一百八，而一二一起又拼凑成了我们的 p 二。 所以我们发现这四个角加在一块是几个一百八呀？两个一百八。说现在我的铅笔呀，用了一段时间之后，笔尖变钝了，出现了四个小角，那这四个角一加一起等于几个一百八呢？要想解决这个问题，依旧过拐点做平行。 我们做了两条平行线，现在这四条线都是平行的。继续我们 p 一 和角一打包一个一百八， 角一下面的这个角角二跟角一是不就拼成了我们的目标角？ p 二角二加下面的角三，又是一组同旁内角互补。第二个一百八， 角三下面的这个角角四，他俩拼一块，正好构成我们的目标角角三角四跟底下的这个 p 四拼一块，第三个一百八，所以他们四个加在一起就是三个一百八。 所以大家发现规律了吗？对于一个变钝的铅笔头模型来说，它这里有多少个角，那就是这个减一乘上一百八。 来看这道考题， l 一 平行于 l 二，角 a 是 一百三十度，角 p 是 九十度。问我们这个红色小角的度数，今天是斜修大招二，那说明咱们已经有两种方法可以解决这道题了。先来看本节学的铅笔模型，大家看到铅笔了吗？ 描已知角的边角， a 角 p 一 描，然后往哪里拐，往右一拐，就出现了我们的铅笔模型。那这里是几个角？ 是不是三个角？三个角三减一，也就是两个一百八角， a 的 一百三十度，加上角 p 的 九十度，再加上右边的这个阿尔法，这个小角就等于两个一百八，三百六十度。 于是我们就能求出 r 法这个角，进而用零五角 p b、 c 角求出来了。这是本节课学的斜销大招一，猪蹄没停，大家还记不记得了？那这题的第二种解决方式，我们把这条线延长一下，你看到猪蹄了吗？ 九十度的角，屁是不就等于这个角加上我们要求的这个角啊？那这里是一百三，这里就是五十，两种方法你都学会了吗？

小时候最伤心的事情莫过于刚削好的铅笔掉地上，尖儿拽白了来。今天化悲痛为力量，搞定出一下压咒邪修大招。三、铅笔受伤模型依旧是 l 一、 平行于 l 二、问我们这三个角的数量关系。在受伤模型中，他们的数量关系是，大减小等于角屁。 这个图中 a 跟 b 谁大？很明显，角 a 大， 于是角 a 减角 b 等于角屁。那怎么证明呢？依旧是过拐点做平行，这里的拐点是角屁，所以过屁做平行线。 做完平行之后又出现了内错角，角 a 的 内错角在这里， 角 b 的 内侧角在这里。那我们就看一下，红色的角减去这个黑色的角就等于我们的目标角。角屁 说，这次啊，拽的太严重了，这笔尖都背过去了啊！来看这时候 a 跟 b 谁大了，大减小等于角屁。这回我们发现角 b 是 大角了， 怎么证明？那这个时候大家会发现平行线之间已经有截线搭建了。等我们学完三角形内角和咱这题就不需要做辅助线了，但初一下学期还没学，所以咱们依旧过拐点做平行。做好了，我们依旧用红色的角表示角 a 内错倒到这里来了，依旧用黑色的角表示角臂，角臂内错就倒到这里来了，这回大家看是不是黑色减红色等于角屁啦！考题来啦！一组平行线， 角 a 等于一百二十度，角 b 等于一百五十度，问我们角屁等于多少度？铅笔受伤模型有没有找到它是哪一个？ 他摔得不太严重的那一个？是不是？结论是什么？结论是大脚减小脚等于脚屁，谁是大脚一百五十度，是大脚减去小脚一百二，所以脚屁应该等于三十度。如果想证明怎么办？依旧过拐点做平行，你学会了吗？

本视频耗时三百小时精心制作而成，总时长十二分钟二十五秒，带你一口气复习完七下。第一章，拐点模型平移线拐点模型这类问题是你一定要学习的，因为这类题既考到了我们平移线的倒角能力，又考到了大家做几何辅 入线的能力，家长们一定要高度重视。在今天这个视频里呢，华姐给大家总结了我们在考试当中必考的四大模型啊，分别是我们的铅笔头模型、猪蹄模型、大脚模型和骨折模型。一个视频给大家彻底讲清楚啊，什么叫铅笔模型？ 顾名思义，长得就像个铅笔头。哎，这个模型的结论有什么？我们的铅笔头这里呢，会有三个角，角 b、 角 e 和角 d， 它的结论是，三个角相加等于三百六十度。 ok， 怎么去正的呢啊？我们正的话，因为我们要倒角，就希望出现平行线。 所以啊，我们在拐点模型这里有一个通用的大招，能力叫做过拐点做平行，那这个 e 呢，就叫做我们的拐点。拐点，你做完平行之后，发现这里有一组角是什么？是同旁内角，他俩的和是一百八十度。好，再来同理，下面这里有一组角呢，也是同旁内角，和是一百八十度。 所以如果有两个一百八十度的话，那不就是三百六十度吗？结论是这么来的，好，接着第二个叫做猪蹄模型，猪蹄模型，顾名思义，长得就像猪蹄啊，长得像猪蹄，来，猪蹄。这个结论是什么呀？是我们这个角 b 加上角 d 啊，是等于我这个角 e 的， 你可以怎么记呢？你可以记为啊，我在 嘎吱嘎吱嘎吱，把这个猪蹄给它切一刀，切完一刀之后呢，啊，凡是这个尖尖啊，在右边的这个角的所有的核就会等于尖尖。在左边的所有角的核，它是怎么正的呀？同样用到我们的过拐点来做平行啊，那我们做一条平行线，过点 e 做一条平行线，做完之后，你会发现 角 b 是 不等于这里的角一了，对吧？哎，角 d 是 不等于这里的角二了，因为他们都是内错角的关系，所以角 b 加角 d 就 变成了角一。加角二，那就是我们的角一，好吧，就是这样去挣出来的啊。接着我们继续来看第三个叫做我们的大角模型，顾名思义，长得像一只大角。那么大角模型的结论是什么呢？ 他跟我们的第四个骨折模型，这两个结论非常像，都是什么呀？都是啊，两个小角，两个小角的和等于一个最大的角。好的啊，也就是这里呢，我们的角 d 加上这个角 e 是 等于角 b 的， 怎么正的呀？来，通用的方法叫什么？ 大声的告诉我。过拐点做平行线啊，我们点 e 这里呢，来做平行。做完平行，你发现了什么呀？我们这个角 d 内错角是不是可以 转移到这里来，对吧？脚地这个点点脚就跑到这来了。那还有呢？我这个脚臂跟谁是内错角啊？脚臂是不是跟他这个大的是个内错角，对吧？这不就是我们的脚翼加上这个点点角吗？也就是脚地， 哎，所以脚翼加上脚地就会等于脚臂了，哎，结论就是这么得来的。好吧，第四个骨折模型完全同理。哎，如果这个脚呀，你脚丫子不是往前伸了，你往后伸了，那不就是代表 骨折了吗，对吧？可以理解为骨折了，他是怎么去正的呀？哎，角臂加上角 e 等于我们角 d 了， 也是两个小角的合加起来等于大角，仍就是过拐点做平行呀，一模一样。那这个角臂点点角跟这个上面这个点点角是内错角，对吧？ 角 e 呢，我记为是一个叉叉角，那这个点角加这个叉角合起来这个大的，是不是就跟我们的角 d 又是一组内错角了，对吧？所以这个点角加叉角就会等于角 d， 也就是 角 b 加角 e 等于角 d 啊，这是我们考试啊必考的咱们平行线四大拐点模型，记住我们的通用能力，记住我们这些模型的结论啊，考试帮你大大提升效率。来，接下来我们来看题，我们来看，这明显是一组我们的平行线拐点模型的问题，你在这里都抽离出来什么模型了呀，可以自己想一想啊。 那已知啊， a、 b 平行于 c、 d， 这是一组平行线之间啊，点 h 呢，也在平行线之间，其实这就那两个拐点，对吧？两个拐点，那我们说什么呀？ a e、 p 和角 c、 f、 p 的 平分线交于 h， 既然是平分线的话，来看好这个平分线，快速给华姐来这标个 r 法角， r 法角是相等的，然后我们的 c、 f、 p 呢，这也是平分线快速标一个 beta 角和 beta 角是相等的。那我们已知角 p 是 七十八度啊，这有个已知角是七十八度，问角 h 的 度数来， 角 h 的 度是多少？打个问号好，这个怎么做？这个其实还是有结论的呦，啊，这个题啊，考题非常高，你接下来第一次月考肯定会遇到它啊，还是有结论的啊，一会给大家正一正，怎么做呀？用我刚才教大家的模型来。同学们， 你在这都能给我抽离出来什么模型？不就已知的角屁要求的角 h 吗？那你就找跟它们相关的模型。首先，角屁这有什么模型？是不是有个猪蹄呀？看到没有，噔噔噔噔。哎，角屁，这里是有个猪蹄啊，跟角屁相关的，这里有个猪蹄。哎，猪蹄的结论是什么呀？是这边的角屁就会等于这里的角一 加上角二 g 说明什么？ g 说明我们的这个角一是一百八十度，减去俩 r 二 g， 一 百八十度， 减去两个阿尔法，那么角二呢？是一百八十度，减去两个贝塔等于什么？等于我们的角屁，角屁是七十八度。好，这个呢，先不用整理，一会看需要什么我再整理成什么就可以了。 ok， 接下来呢，人家还需要让你求角 h， 那 么跟 h 相关的有什么模型呢？跟 h 相关的。有人说，老师， 我看到了铅笔头，可以，没问题。还有啥，你如果往这边看的话，是不是看到了猪蹄啊？哎， 这里有个红色的猪蹄，所以这里跟 h 相关的呢，也有一个猪蹄。好，那这个猪蹄的结论呢？就是我要求的这个角 h 等于什么？等于这里的阿尔法加，这里的贝塔，对吧？ ok， 那 好了，那我上边就希望整理成阿尔法加贝塔的形式。 好整理吗？哎，必须的呀，一百八加一百八呢，是我们的三百六十度，那减去二倍的阿尔法加贝塔等于我们的七十八度，那你会求了吗？ 一定会求了，对吧？我们来算一下啊，现在咱们就求阿尔法加贝塔就等于几啊？就等于我们的三百六十度减去七十八度除以二。好， ok， 那 接着我们再计算一下。好，那这个答案呢？大家自己下去计算一下，计算都会啊，最后答案是一百四十一度， ok， 那 么这个题呢，我们就解决了，接下来再给大家总结一下我们这类题型的一个结论是什么呢？角屁跟角 h 之间有个什么关系啊？我们来看一下，这里的七十八 是不是就代表了我刚才这个角屁啊？这里的阿尔法加贝塔是不是就代表我们的角 h 啊？那么说明什么？这个负二倍的 h 移向移过去啊，移到右边去，也就是我们的角屁加上二倍的角 h 等于几？等于这里的三百六十度，好吧，也就是这边猪蹄的这个角 加上二倍的角 h， 为啥呢？因为这是角平行线生成来的，加上二倍的角 h 就 会等于我们的三百六十度啊，这是我们的平行线拐点模型的问题， 你学会了没有？记下第一张，相交线与平行线在我们的月考和期中考当中的地位非常重要，占的分值高达百分之六十甚至更多，这里呢有两大难点，第一大难点呢，就是跟我们 平行线相关的一个拐点模型。第二大难点呢，就是我们平行线的一个动态问题。今天老师一个视频给大家讲清楚，我们第一大难点叫做过拐点，做平行后续，你只需要记住今天老师教你的这一个大招，就可以解决非常多的这种拐点做平行，后续你只需要记住今天老师教你的这一个大招就可以解决啊。这道题， 图图是一款长臂折叠 led 护眼灯，那么 e、 f 与桌面 m、 n 呢，是垂直的关系，注意，这里来个垂直，有个九十度当发光的灯管。 a、 b 恰好与 m、 n 是 什么关系？是 平行的。出现了平行，二话不说用来干嘛？用来帮大家倒角。出现平行就是来帮大家倒角的。记住这个，有了平行关系，一会呢，我们就可以来倒角了。已知告诉我，角 d、 e、 f 是 一百二十度， d、 e、 f 在 这是个 一百二十度，这是已知的角 b、 c、 d 是 个一百度，也是已知的角 b、 c、 d 在 这里，这两个叫已知。问角 c、 d、 e 的 度数是多少？ c、 d、 e 的 度数。来这里打个问号 怎么办呢？碰到了这种问题呢？首先你要给我能识别出来，这是那个拐点模型的问题，因为在平行线间加了啊，这样的一些点，拐来拐去的，使得你原本平行的关系啊，变得不平行了，我们就可以称之为它是拐点。二话不说上来做平行线就可以解决这些问题。 因为我刚才提到了，你做平行线的目的是干嘛？是用来帮我们捣角的。过 d， 做一条平行线，过 e， 我 做的这些线分别跟这些都是平行的，那我就可以来捣角了呀，因为什么？因为这里有个一百至一百度，根据两只线平行同旁内角什么关系是互补的，所以这呢，我们来得个角一角一 就是一百八十度，减这里的一百度。所以呢啊，角一这里有个八十度。那么再来啊，你要求角 d 的 话，这还需要求个角二，角二怎么办呢？需要用到咱们下面这个角了，因为我这儿做完平行也可以用来倒角，整个这个角 d、 e、 f 呀，是我们的一百二十度， 还有一个角你没有用呢，哪个呢？垂直，垂直，这里还有个九十度，这里有个九十度啊，所以呢，根据同旁内角互补，这个两个角呢，那都是九十度了。那剩下的这个，如果老师来标一个叫做角三的话，那剩下这个角三是多少？是不是你这里的一百二十度减去这个九十度，那就是三十度， 角三是三十度。那我再问你，角三跟角二什么关系？两直线平行，内侧角相等，角二跟角三是内错角的啊，那所以这个角二跟角三相等，就是我们的三十度，我们要求的这个角 c、 d、 e 就是 我们的角一加角二，也就是我们的八十度，加上我们的三十度，答案是我们的一百一十度。 记住大招过拐点做平行线。平行线倒角问题呢，就两大难点，第一大难点呢，不会做辅助线。第二大难点，做完辅助线你识别不了模型。那么在华姐刷遍了咱们全国各地平行线这一章的所有问题当中，我们 发现出题人往往就爱把这两点结合到一起，给大家出压轴题。今天老师呢一个视频给大家用三步讲清楚，让你快速解决这类压轴题。 第一步叫做标角，第二步叫做过拐点做平行线，第三步叫做我们的识别模型。套结论我们来审题说，如图呀， a、 b 平行于 c、 d， 这是一组平行线， 那么中间呢，出现了拐来拐去的点，像我们的点 e， 好， 我们的点 m， 这都是我们的拐点，那我们还出现了平分线 b m， 平分角 a b e， 一 旦平分的话，赶紧上我的第一步干啥？标角平分的话，说明这两个角相等，给我标上阿尔法 c n， 平分角 d c e， d c 也被平分了，赶紧标角，标上我的贝塔，角 c 的 反向延长线交 b m 于点 m， 如果 角 e 减角 m 是 个五十四度，问角 e 的 度数，角 e 跟角 m 它们的差是一个定值，那你就要从这里帮我把角 e 求出来了，怎么求呢？你肯定要借助我中间标的这些阿尔法 贝塔角给我们做桥梁吧。当你把角标完了啊，套我的第二步，过拐点做平行呀，谁是那个拐点？像我们的这个点 e 呀，点 m 呀，都 是我的拐点，那你可以通过点 e 做平行，或者如果你对于模型足够熟练的话，我想这样补一条平行，那延长过来，为啥？因为这样子我们立刻就出现了一个猪蹄模型了，对不对？前面视频当中给大家讲过的猪蹄模型跟脚 e 相关，你是不是可以表示了，我们的第二步做完平行，出来一个叫 猪蹄模型，猪蹄模型的结论就会给大家带来啥我们这个角 e 啊，就会等于这边这个角 e 加上这边这两个 贝塔。我们的套结论啊，角 e 等于角一加上二倍的贝塔，而角一是一百八十度减 二，阿尔法。接着继续还是过拐点做平行，这里的拐点在哪里？在我们的角 m 这里。当你角 m 做完平行之后，发现这有没有我们讲过的那个模型呀？对，模型一定要足够熟练啊，这里我们一个骨折模型，对吧？你做完平行之后发现可以套结论了，这里我们的骨折模型啊，这个角 m 就 会等于谁，就会等于这里的阿尔法减去这里的 贝塔。结论怎么来的呀？各位同学都是用我们的过拐点做平行线得来的，那有了这两个角之间的联系了，那接下来我们就可以用角 e 跟角 m 之间套这个五十四度，你可以求解了，角 e 减角 m 是 个五十四度，这里标个圈一，这里标个圈二，它们俩的 差是五十四度，既得到了什么呢？一百八十度减去二阿尔法加上二贝塔，这是减去阿尔法减负的，相当于加贝塔，对吧？等于五十四。 那么在这你能得到什么呢？这是一百八十度，减了一个三倍的阿尔法，再减贝特等于五十四 度，所以阿尔法减贝特是不是被我能求出来了？一百八减去五十四除以三啊，口算一下，这是一百二十六除以三，那就是四十二度，阿尔法减贝特。有了你的角 e 也就很容易求了。因为什么？因为角 e 在 这呢？所， 所以我们的角 e 就是 一百八十度减去二倍，阿尔法减倍，它也就是一百八减去八十四度，答案就是九十六度。所以这道题呢，我们最终的角 e 是 九十六度。这两大难点，第一个过拐点做平行，第二个呢就是识别出我们的模型，会很快的帮你解决问题，大家一定要学会用模型的意识。

十八天带你搞定七下全册书的预习！今天我们来说香蕉线平行线这个章节一定会考到的一类易错真题，有关于平行线拐点模型的变形，锯齿图形当中的角度计算。 那有关于平行线拐点模型，这里啊，他常见的有十三大类，老师都给大家一一总结下来了。如果咱们的孩子还没有模型思维，几何题还不会写证明过程，这个假期一定要作为重点学习的对象，把它突破下来，打印出来，咱们逐个题型来进行学习和练习。好吧， 下面呢，咱们就来一起看看这道题。这道题说了， a、 b 平行于 c、 d 让你求角， f、 e、 d 来让你求角，这个小角的度数，那该怎么求啊？ 这种题咱们上来啊，不需要再利用我们之前说的过拐点做平行的思路，再做平行线倒角了，太麻烦了。 因为在我们做这道题之前，老师早把平行线拐点模型十三个和三大家族对应的结论讲给大家了，而选填题，利用二次结论，咱们很多题是可以直接秒出答案的，不要再浪费时间了。 来看，直接看到复杂图形，先去识别模型，一个角，两个角，三个角，哎，这多典型啊，这不就是我们之前说的平行线拐点模型变形的锯齿形吗？锯齿形模型有什么结论呢？ 左凸角之盒等于右凸角之盒，对不对？所以咱们就知道，这是三十五度，这是三十五度对不对？这是九十度，这是二十度，所以朝左的角度之盒三十五度，再加九十度，再加二十度，就等于朝右的角度之盒六十三度，这个角再加上角 f、 e、 d， 是 不是我们在这直接倒一下角就可以求出答案了？所以有关于这种选填题的复杂图形， 我们第一步做的不是过拐点做平行，再把结论推一遍，而是先识别模型，他有没有我们之前讲过的模型结论的二次结论有，直接用，让你的做题速度快人十倍。

家长们注意了啊，很多我们初一的孩子啊，在学习平行这个章节，走入了很多误区，甚至做题啊，都产生了一种恐惧感，核心原因就是因为孩子啊，刚接触几何问题，不知道该如何来做辅助线， 其实总结来说，在平行线这个模块，就一种方法叫做过拐点做平行线啊，就解决了所有的关于模型中的一些结论啊。今天我们要学的是铅笔模型，我们来看一下如何通过过拐点做平行线来了解这一类题。我们来看 说 m a 一 和 n a 三啊，这两条线是互相平行的啊，这是前提条件，他和他平行，那我们如何来推导 a 一 a 二 a 三这三个角之间有什么关系？或者是这三个角的大小有什么样的一个吗？结论我们来看一下， 这是一个铅笔模型，这是他的一个什么拐点，我们可以做这个拐点的平行线，过拐点做平行线， ok， 我 过拐点做平行线，那这条线和它也平行，这条线和它是什么也平行？那根据两直线平行平行线的基本性质啊，根据平行线的性质，我们就可以得到角一加角二等于多少？一百八十度， 两直线平行，同胞内角什么互补？同里角三加角四 也等于一百八十度，两直线平行，同旁内角什么互补？我们把这几个角加起来，那就是角一加角二，左边先加，等于右边先加加角三加上角四， 那么就等于三百六十度。那咱们来观察一下，角二加角三正好是什么？角 a 二，所以角一就是 a 一， 也就是角这个 a 一 啊，加上这个角什么 a 二，再加上这个角什么 a 三， 等于三百六十度，那是不是就找到了 a a 二、 a 三这三个角大小之间的一个什么关系？等于三百六十度。我们来观察一下，一二三三个角，通过中间这一个做过拐点，做了一条平行线，正好分出来了两个同旁内角，是不是两个一百八？那我们再来看这个， 我们一样过拐点做平行线。有人说，老师这里出现两拐点怎么办？两个拐点我们就做两条平行线，我过 a 点好，前提还是这两条线平行。过 a 点做一条平行线， 我过 a 三，这个点也做一条平行线。那我们来观察一下角一加角二的一百八， 角三加角四也得一百八，角五加角六也得一百八。好，角一加角二 一百八，角三加角四一百八，角五加角六一百八。我们来观察一下啊，我们还是把左边先加，那就会出现角一、加角二、加角三，加角四加角六，这样就等于三个一百八，是五百四十度，是五百四十度。好， 角一就是 a 一 角二加角三就是 a 二，角四加角五就是 a 三，角六就是 a 四，所以这四个角之合等于五百四十度。朋友们是不是我们来看下有几个角一二三四四个角， 四个角是几个一百八，这是一个一百八。一组同胞内，两组同胞内，三组同胞内是不是三个一百八，也就一百八十度乘以几三知道吧？好，最后等于五百四，刚刚是三个角，是两个一百八，所以是二乘什么 一百八？那有了这规律，我们来猜想一下这一题，一个角两个角，三个角四个五个五个角的话，应该是五减一四个，什么 一百八应该等于什么七百二十度，是不是？当然了，我们可以推导一下，第一，过 a 二这个点做平行线， a 三这个点做平行线， a 四这个点做平行线来，这是一组一百八，这是一组两组，这是一组一百八，这是一组一百八， 一共几度？一二三四四度四乘什么一百八，七百什么二十度。好了，那考试时候往往以材料探求题来让大家探求，如果这是 a n 的 话，从 a 一 直到 a n， 那 么这几个角之合应该是多少度呢？好，我们有了。前面是不是就总结出了这样的一个结论， a n 的 话， a 四是三个一百八， a 三是两个一百八， a 五是四个一百八，所以 a n 的 话应该是 n 减一括号乘以一百八十度，是不是？同学们，好，这就是这种题的什么最终的结论。所以我们总结一下，这就是我们今天讲的什么铅笔模型 啊，铅笔模型后边的都是铅笔模型的什么变形，我们核心点只要掌握了过拐点，做平行线 好，就可以秒杀这样平线模型中的所有问题，你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路！

课本没有考试，经常考的这五种平行线模型，一分钟带你学会！首先我们知道如果两条直线平行，就有如下两个性质，然后我们见到拐点就去做平行线。最后找内错角或同旁内角。 猪蹄模型，找内错角转换得到 铅笔模型，找同旁内角转换得到这样的解析模型。 这本书里还有六十八个，里面包含了初中阶段所有的模型。结论，像手拉手模型、燕尾模型、将军印马模型， 每一个模型的条件公式、辅助线怎么画，证明过程都讲解的清清楚楚，不懂的还有视频讲解。接着通过典型例题讲解如何在解析中运用这个模型，最后再做练习，巩固提升。学会这些模型，大体有思路，小题套模型就能轻松答题。快给孩子准备一本吧！

继续来讲七下数学的新课，平行线章节的铅笔形，它的图长这样啊，像一个铅笔头，对应的结论是， ab 平行于 cd， 可以 得到角 a 加上角 e 加上角 c 等于三百六十度。怎么来证明呢？ 关于平行线模型，做辅助线的方法其实都是通用的，也就是过拐点做平行线，这里一点是拐点，你需要过点 e 做一条平行于 ab 或者 cd 的 直线。 根据已知条件， ab 是 平行 cd 的， 所以根据平行线的性质呢，得到 m、 n， 它也平行于 cd 的， 这三条线都是平行的。再根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补。 这里的角 a 和这个角 a、 e、 n， 我 标记为角一是不是同旁内角，那它们加起来就是一百八十度。而下面这个 n、 e、 c， 我 标记为角二和角 c 是 不是也是同旁内角呀？加起来也等于一百八， 所以你全部加起来，角 a 加角一加角二加角 c 就是 三百六十度， 而这个角一加角二不就是角 a 一 c 吗？也就证出来了这三个角之合等于三百六十度。学会了这个模型，我们来看具体的例题，在这里告诉你，角 a 等于三倍的角 e， 角 c 是 一百四十度，要求角 a 的 度数。 那根据铅笔形的结论啊，你是不是知道这里三个角相加是三百六，但是要注意，在小题当中，你能直接用在大题当中，你还是需要按照我刚刚说的证明方法去写步骤的啊。 你这里清楚知道三个角之和三百六以及角 c 是 一百四，那么角 a 加角 e 的 和就可以算出来了。是不是拿三百六减一百四等于二百二十度， 那角 a 和角 e 存在着这样的一个倍数关系，怎么做呢？我们要来设未知数啊，也就是前面经常讲的方程思想了。你可以把角 e 设为 x， 那 角 a 就是 三， x 加 x 加 x 等于二百二呀。得到 x 等于五十五，那角 a 就是 五十五乘三等于一百六十五。这道题目你学会了吗？

今天单独说一下平行线常见模型及辅助线做法， 它总共有四种常见的模型，一种是猪蹄模型，如下图，它长得像一个猪蹄，可以得到结论呢，就是中间这个角等于上下两个角之和， 怎么证明呢？就比如这一题，我们可以做一条中间的平行线， 利用内错角的关系，就可以得到角 b、 e、 f。 等于角 b， 角 d、 f、 d。 那 么角 b、 f、 d。 也就等于角 b 加角 d 了。下面一种模型呢，是和出奇模型相反的铅笔模型。同样是做平行线， 利用同朋内角的关系，同胞内角相加，等于一百八十度，就可以得到角 b、 e、 d。 加上角 b， 加上角 d 等于三百六十度。 这个证明还是比较简单的，你可以看到这个红色的这个位置就是我证明的一个过程。下面一个稍微复杂的模型叫做靴子模型，他长得像一个躺着的靴子， 他的结论是，角 b 等于角 b、 e、 d 加上角 d。 我 们同样是在这个拐点做平行线，就可以得到角 d、 e、 f 等于角 d。 用的是内错角相等， 角 b 等于角 b、 e、 f。 也是内错角相等，那么角 b 就 等于角 b、 e、 d。 加上角 d、 e、 f。 也就是角 b、 e、 d 加上角 d 了。 最后一个模型叫鹰嘴模型，它实际是靴子模型的一个变种，它的结论就变成了角 d 等于角 b、 e、 d 加上角 b 了。同样制作辅助线，利用内错角的关系，可以得到角 d 等于角 d e、 f。 角 b、 e、 d 等于角 d、 e、 f。 就 等于角 b、 e、 d 加上角 b 了，就证明完成了。 在大多数情况下，只要遇到平行线的话，要求这个拐点部分的角与平行线上两个角的关系，我们都可以通过拐点上这个角来做辅助线求得。

我们知道初中的平行线有四大拐点模型，分别是铅笔模型、猪蹄模型、鹰嘴模型、骨折模型。 今天我们先来学习铅笔模型。先给出两条平行线，在两条平行线之间随便放一个拐点，连接平行线的端点。因为这个模型长得像铅笔， 所以就叫铅笔模型。铅笔模型我们需要知道的结论，铅笔模型凸出来的三个角，角 b， 加角一，加角 d 等于三百六十度。 接下来证明一下这个结论。拨拐点一座平行线，将角一分为角两角三，因为两直线平行同旁内，角二等于一百八十度。同理，角三加角四等于一百八十度。 所以角一加角二，加角三，加角四等于一百八十度。加一百八十度等于三百六十度。证明完毕。

hello， 亲爱的朋友们，大家好，咱们今天录制一个啊，与平行线有关的模型，叫做铅笔模型， 咱们来看一下这个图啊，这个，这个形状像不像一个铅笔被削尖了之后的形状，是不是？所以咱们把它叫做铅笔模型， 这个铅笔模型在平行线当中呢，经常会考到，咱们来看一下啊，他说这个 a、 b 平行于 c、 d， 那 么这个角 p 加上角 a、 e， p 加上角 p f、 c 等于三百六十度，这个结论是怎么得出来的啊？嗯， 咱们来看一下啊，借助于这个这个图形，咱们做一条平行线，让这个 ph 平行于 a、 e， 那 么因为 ph 平行于 a e， a e 呢？平行于 c、 f， 所以 ph 也平行于 c、 f， 这三条直线是互相平行的， 互相平行的，那咱们来看一下啊，根据两直线平行，同旁内角互补，这个角 e 加上这个角一是不是等于一百八十度？哎，然后这个 p h 和 c f 又平行了，那么这个角二加上角 f 是 不是也等于一百八十度？所以咱们可以得出结论， 嗯，就是这个角一啊，角 e 加上角一加上角二加上角 f 等于三百六十度啊，因为角一加角一是一百八十度，角二加角 f 是 一百八十度，所以就等于三百六十度。而这里面这个角一加角二是不是等于角 p， 是 吧？就是下面这个结论啊。 那么再看阶段二啊，他说若角 p 加上角 pe 加上角 a， p 加上角 p f、 c 等于三百六十度，则 ab 平行于 cd， 那 么这个就是一个逆用的啊，那么这个还是道理是一样的，是吧？咱们做 p、 h 平行于 a、 e 的 话，能得出这三条直线平行来， 这三样直线平行，那么角 p 加上角 e 加上角 f， 就 等于角一加角二加上他们啊，那么都等于三百六十度，就能得出 a， e 平行于 c、 f 来，进而能能得到 ab 平行于 cd 啊，这是，嗯，咱们这个平行四平行线里面经常考到的一个模型，那咱们来看看怎么应用啊？ 如图是路政工程车的工作示意图工作，而底部 ab 与支撑平台 c， t 平行。若角一等于三十度，角二等于六十度，则角三的度数是多少？那咱们来看一下啊。 嗯，这一看是不是也是一个铅笔模型，对不对？铅笔模型啊，那所以咱们还是需要做一条平行线， 所以他平行线，那么因为他说了角一等于三十度，根据两只线平行，内侧角相等，这个角是不是也是三十度？ 然后他又说了角二等于六十度，所以这个角呢，他也等于三十度， 那么根据两直线平行同宽内角互补，咱们就可以得出角三等于一百五十度来，所以这个这个题选四 d， 那 咱们再来看啊，再看这题，他说直线 a、 b， c， d， e， m 啊，分别为直线 a， b， c， d 上的点 n 为两平行线间的点，连接 n， e 和 n， m， 过点 n 做 n， j 平分角 e， n， m 交直线 c， d 于点 j， 过 n 作 n， g 平行啊，啊，垂直于啊，过点 n 作 n， f， 垂直于 n g 交直线 c， d 于点 f， 若角 b， e， n 等于一百六十度，这个角是一百六十度， 则角 m， n， g 加上角 n、 f， g 的 度数。 我看啊，这个角 m、 n、 g 呢？是这个角 n、 f， g 呢？哎，是这个角，是不是啊？哎，乍一看他俩是不相干的， 不行的干扰，咱们就是把这题的这个条件，咱们给他画一下啊，做几何题呢，一定得把这条件给画出来，这里面说了是 ab 和 cd 是 平行的啊，然后呢，又说了这个 n g 平分角 e n f n f 垂直于 n g， 然后角 b n 等于一百六十度，这这几个条件，那么咱们再来看啊，在这个几何里面最常用的思想就是转化思想， 这里面 m n g， 既然他说了这个 n g 平分角 e n m， 那么咱们是不是就可以得出这个角 m n g 等于这个角 e n g 来，对吧？啊？所以咱们就得把它可以转化成这个角啊，所以这个角 m n g 加上角 n f g， 它是是不是就等于角？呃，角 e n g 加上角 n f g， 那怎么求它俩的和呢？是不是啊？这里又出现了两个平行线，同样的思想，咱们还是做一条平行线啊， 咱们还是做做这个 n h 呢，让它去平行于啊，咱们做这个 n h， 让它平行于 ab， 那 么因为 ab 和 cd 也平行，所以进而是不是可以得到这个 n h， 它也平行于 cd 啊，是吧？它也平行于 cd， 那 这样咱们来看一下啊，你这样角 n f g 加上这个角 f n h， 是 不是不是就等于一百八十度，一百八十度啊？ 呃，那咱们再来看啊，再看，那他就说了，说这个 n f 平行于啊，垂直于 n g， 是 不是 n f 垂直于 n g， 所以 这个角 f n g， 这个角 f n g， 它是等于九十度的，等于九十度的。哎，所以这个角啊， n f g， 他加上这个角啊，加这个角加上这个角一啊，加上这个角一，他是等于九十度的。 九十度啊啊，那就因为因为这个角 b e a 啊， b e n 它是等于一百六十度， 等于一百六十度，所以咱们可以推出来这个角二它是等于二十度的。 这样角 n f g 加上角 e n g 的 话，是不是就等于角 n f g 加上角一加上角二就等于九十度，加二十度等于一百一十度啊？ 哎，它就等于，呃，九十度加二十度 等于一百一百一十多，所以这个题选一啊。好了，这就是咱们今天分享的铅笔模型啊，明天咱们还会再分享其他的与平行线相关的模型。