如何用卷卫生纸体现圆柱的展开图

另外一个我们在讲的时候，圆柱侧面展开得到的一定是一个长方形吗？不一定，还有可能是什么型？正方，正方形。那这个时候咱们再拿一张正方形，那我这有一个正方形的纸，对不对？我也是给他沿着这个一卷，此时这也是一个圆柱，对不对？这个圆柱我依然两底之间的距离是高，上下两个是底面 沿着高展开以后得到的是一个什么形状？正方形。那此时当侧面展开得到的是一个正方形的时候，那此时这个正方形的这条边相当于圆柱的什么？底面周长这条边相当于什么？也就是当侧面展开得到的是一个正方形的时候，底面周长 和高是怎么样的？一定要记住，这是我们考试的时候一定会考的题。如果侧面展开得到的是一个正方形，此时圆柱的底面周长和高 高是相等的。 ok， 有 没有问题？那此时我们刚刚讲了圆柱侧面来的可以得到的是长方形，第一种情况对不对？那第二种情况得到什么形？还有没有其他形？有没有四边形？非常好？能不能得到的是一个平行四边形？是可以的。这个时候这是一个圆柱， 我这么着剪，我这么斜着，一开口是不是得到也是一个？我必须折一下，是不是平行四边形？我这么卷出来以后是不是也是一个圆柱，对不对？也就是这个圆柱侧面还可以得到长方形，正方形得到平行四边形，对不对？

大家好，今天我们用一个卷纸给大家演示一下圆柱它的侧面展开到底是一个什么样的图形。 首先这个卷纸它应该是一个圆柱体，我给它画了一些这个颜色蓝色的笔袋，那你看一下它的侧面展开是这样的，这样这样这样这样这样， 看到了吧？这写着很，所以圆柱的侧面展开到底是个什么东西？是不应该是一个长方形， ok 吗？

圆珠测面积到底怎么求啊？这个很简单啊，我教你一招，化取为值。当当当，这是什么卫生纸哎，对的啊，那接下来的话呢，张老师要给你们变一个魔术。你看啊，我沿着这条线把这个卫生纸给它打开来， 刚好一圈，变成一个什么图形了，长方形哎，长方形，长方形的面积等于什么？长乘宽。嗯，所以我们会发现这个圆柱的侧面呢，它就等于长方形的面积。那这个长方形的长呢，就等于这个圆的周长， 它的宽呢，就等于这个圆柱的高。所以圆柱的侧面积啊，就等于底面周长乘上高，理解了吗？哇，张老师你也太牛了。

哇，这是一张地图，跟着地图走就能找到更多能量圆柱体吗？我要怎么把地图拿下来随身携带呢？同学们，快来帮我想想办法吧！ 哇，有这么多剪开方式，只有沿高剪开才能得到一个长方形，看来我得沿着高来剪了。 我知道了，沿高展开后，长方形的长等于圆柱的高。 原来如此啊！沿斜直线展开后，平行四边形的底等于圆柱底面周长，平行四边的高等于圆柱的高。对了，同学们，什么情况下圆柱的侧面展开图是一个正方形呢？ 原来当圆柱底面周长等于高的情况下，侧面展开是正方形。太棒了，今天学了好多新知识呢，谢谢大家！ 长方形的纸，横着卷和竖着卷可以卷成不同体积，而且没有底面的圆柱。

划去为止，卫生卷纸燎原注册面积。

沿着圆柱侧面的高剪开，圆柱的展开图包括上下两个，底面是圆与一个侧面，长方形， 沿着侧面的斜线段剪开，侧面展开图是一个平行四边形，沿着侧面的折线剪开。侧面展开图是一个多边形动画演示，简单明了。

老师，你看我做的圆柱的侧面积的展开图。哇，你真棒，好有创意。

一卷卫生纸教会你家孩子圆柱的表面积，那我们看一下这是一个圆柱，然后呢我们把它打开以后，你发现我们圆柱的侧面是一个长方形， 那么很直观的发现，我们这个长方形的长等于圆柱的什么呢？是不是底面周长？那么我们打开的侧面积，这个长方形的宽呢？是不等于圆柱而高，所以数学并不难，那么难于呢？我们如何去动手操作，更直观的让我们学到里边内容。

哇，有这么多剪开方式，只有圆钢剪开才能得到一个长方形。看来我得圆钢剪开了。 我知道了，圆钢展开后长方形的圆柱体周长。 原来如此啊，圆形直径展开后，平行四边形的等于圆柱体周长，平行四边形的刀等于圆锥的刀。为了同学们，什么情况下圆柱的侧面展开不是一个正方形呢？原来当圆柱体面周长等的情况下，侧面展开是正方形。太棒了，今天学了好多新知识呢，谢谢大家。

三条特征回到课堂，小美老师提了一个答对不用写作业的问题，这个物体算是圆柱吗？并且给出理由一听，不用写作业，狗蛋最积极。一看这不是吗？长得都歪掉了。 可是豆包有点将信将疑，那你倒是说说看，为啥不是，不然可饶不过你比比圆柱的特征啊，你看侧面是曲面，上下底面相同的圆，哎，上下好像也一样粗。哎呦我天，一个不落全都符合，难道他也是圆柱吗？ 这下大家都疑惑了，答案就在这里。迷之笑容的小美老师拿出了一面红旗旋转了起来。 原本的红旗方方正正，是个平面的长方形，它还能回答立体图形圆柱的问题， 哎，你可别以貌取人，坐稳扶好，看看人家旋转的样子，越转越快，越转越快。现在快点告诉大家，你看到了什么呀？是不是一个圆柱？没想到吧！其实这也是圆柱的一条重量级特征。我们用一个慢动作再看一遍， 以长方形的一边为旋转轴，其余三边绕该旋转轴一周，可以形成圆柱。也就是说，不论大小，凡是圆柱都能通过这样的旋转形成。有了这条，你再来判断一下小美老师的图形是不是圆柱呢？ 选 b 不是 原因嘛，就是这个图形不能通过刚才的旋转得到。你看旋转轴不管怎么歪一转，还是这个样子。 不过很可惜，全班没人答对。小美老师又出了一个作业减负题，长方形和形成的圆柱之间有什么具体的关系吗？友情提醒，可以改变长方形的大小，看看 改变大小勾搭的小眼神有点犀利气了，他先拉伸了一下宽，旋转后得到了一个新圆柱，对比一下怎么样啊？膀大腰圆，明显大一圈，如果从正上方看，长方形的宽画出了底面的圆，你说这条宽对应的就是圆柱的什么呢？ 选 b， 你 也可以直接叫做底面半径，用字母表示的话还是小儿恭喜狗蛋，发现了长方形的宽可以决定圆柱底面半径的长短。豆包换了个角度，拉伸了长方形的长，又会发生什么呢？还是旋转一下来看看 圆柱有啥变化？长高了。所以长方形的长决定了圆柱的什么呢？ 选 a， 高度才是正解，梦想可没那么容易被决定。这个高度呢，指的就是圆柱上下两个顶面之间相隔的这段距离，一般叫做圆柱的高，可以用字母 h 来表示。同样恭喜豆包，圆柱只有这一条高吗？ 选 b 的 同学好运气，圆柱确实不止一条高，那有几条呢？ 我们知道圆柱的高是指底面之间的距离，所以只要能表示出这段距离，这里这里那里那里全部都可以。自然圆柱的高一共有无数条，注意，是无数条。 到这回顾一下，我们通过红旗的旋转可以发现，以长方形的一边为旋转轴，其余三边绕该旋转轴一周，可以形成圆柱。 另外，作为旋转轴的边对应的就是所形成圆柱的高。而另一种边呢，则是圆柱的底面半径，你都清楚了吗？

圆柱的侧面积等于长方形的面积，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。因为长方形的面积等于长乘 宽，所以圆柱的侧面积等于底面周长乘高。好，太棒了。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第二课时，圆柱的侧面展开图。上一节课我们认识了圆柱，它是由三个面组成的，上下两个底面，还有一个侧面是一个曲面。 大家思考一下，圆珠的侧面，如果我们给它展开，可能会是什么形状呢？你也可以动手试一试。现在我们把罐头盒的商标纸如下图所示，沿高剪开再展开， 这时候你会发现圆珠的侧面展开后得到一个长方形。那么大家继续思考，我们把圆珠的侧面展开后得到长方形吗？ 来看这道题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。比如第一幅图，它的侧面展开是一个长方形，那我们是怎么样给它展开的呢？对，是沿着侧面上的一条高展开的。 第二幅图是怎么展开的呢？我们是沿着侧面上的一条曲线展开的，所以它得到了一个不规则图形。 第三幅图我们是怎么做的？沿着侧面上的一条斜线展开，这样它的侧面就得到一个平行四边形。那如果现在让你判断一道题，圆柱的侧面展开图一定是长方形， 那很明显这道题是错误的，有可能得到长方形。还有不规则图形或者是平行四边形，只有沿着侧面上的高剪开才能得到长方形。 比如我手中的这个圆柱，如果沿着它的高剪开，展开以后还可能是正方形。但不管是不规则图形还是平行四边形，我们都可以通过割补法，然后通过平移把它转化成一个长方形。 比如平行四边形，把它割补，然后平移，也可以把它转化成一个长方形，包括这个正方形，它也是一个特殊的长方形。 那好，那我们就以长方形为例，来研究一下展开的长方形的长宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么呢？ 不管是把这个长方形围在这个圆柱上，还是让圆沿着长方形的长滚动一周，都会发现这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，那么长方形的宽就是 圆柱的高。这个长方形与圆柱之间的关系特别重要。来，孩子们你也跟着读一遍。长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于 圆柱的高。再根据长方形的面积等于长乘宽，所以我们得到圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测就等于 c h， 那 么 c 又等于二 pi r， 所以 还等于二 pi r h。 看来呀，要求圆柱的侧面积，我们只需要知道圆柱的底面半径，或者底面直径，或者底面周长和高，都可以求出它的侧面积。 那来看这道题，一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱的底面半径是五厘米，这张商标纸展开后是一个长方形， 它的长和宽各是多少厘米？那我们看长方形的长就相当于圆柱的底面周长。这里告诉了半径，能不能求出周长呢？ 半径乘二等于直径，直径乘派等于周长，也就是长方形的长。那么长方形的宽就等于圆柱的高，所以它的宽就是二十厘米。答，它的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米。来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 通过刚才的动手操作，我们发现圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测等于 c h， 还等于二 pi r h。 圆柱的侧面积公式推导非常的重要，这里学好了，后面学习圆柱的表面积，那就轻松太多了，孩子们，你也试着把圆柱的侧面积的公式推导过程说一遍吧！

大家好，首先我们来思考两个问题，第一个问题是圆柱的侧面展开可能是什么图形，第二个问题是侧面展开图与圆柱又有什么关系呢？啊？我们今天一起来探讨一下。这是一个圆柱，如果我们沿着它的高剪开的话，它的侧面展开图就是一个长方形， 那长方形的长是等于圆柱的底面周长，那长方形的宽是等于圆柱的高，长方形的面积是长乘宽，所以圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。当然，如果我们沿着它的高剪开的话，它的侧面展开图还有可能是正方形， 那正方形的边长就等于圆柱的底面周长，那边长也等于圆柱的高。所以侧面展开图如果是正方形的话，圆柱的底面周长就等于圆柱的高。那我们如果沿着圆柱的侧面给他斜着剪开的话，他的侧面展开图就是一个平行四边形， 那平行四边形的底就等于圆柱的高，就等于圆柱的高，你学会了吗？

专为数学课堂定制的三 d 交互课件，本地下载断网，可用五大核心场景一键动态演示。网页包含原著认识、旋转成型实验、虚面展开与合上表面机公式 切割实验。通过直观的动态演示，将抽象几何化繁为简，助老师轻松攻克授课难点，让学生一眼看懂立体空间，并赠送笔记练习资料包。

像这样的圆柱圆锥弯管如何去做展开，接下来一步一步教给大家。首先准备一张大小合适的纸，定好中线位置，按上图一比一的比例画出九十一百的尺寸线， 画出直径八十的半圆和内切圆。底部截取尺寸一百二，过两点做圆的切线，并延长至交点，此二等分圆的周长画出外轮廓线和相贯线， 接着根据圆的等分点，画出两相关键外表面所有竖线。 俯视图画出一半的圆锥轮廓，向下引出圆锥表面竖线在底部的焦点连接顶点与底点， 方便后续大家理解。我这里标上对应的序号，到这里我们的方向图就画完了。 接下来我们做圆锥的展开，以 o 点为圆心， o g 一 撇为半径画弧，在弧上截取底部圆周长度。为了提高准确性， 我这里用到了铁丝，这个弧长就是底部圆的周长，三点一四乘以一百二，选择接口位置为短边，标上序号 a 一 撇。 同样为了提高准确性，我们先单独对弧长进行二等分，这就是 g 一 撇再四等分，这个需要标清楚，为四等分点。俯视图截取 a 一 撇， b 一 撇俯藏。以 a 一 撇为圆心画弧， 截取 d 一 撇， c 一 撇弧藏。分别以刚才 d 一 撇、 l 一 撇为圆心画符，方便理解。这里先标上对应序号， d 一 撇， c 一 撇， l 一 撇， k 一 撇。截取俯视图四等分点到 d 一 撇的弧藏。在展开图上，以四等分点为圆心画符， 焦点为接一撇抵一撇，同样截取俯视图四等分点到一撇的俯藏。在展开图上，以四等分点为圆心画弧，焦点为一撇挨一撇，截取俯视图一撇， f 一 撇俯藏。在展开图上分别以 e 一 撇， a 一 撇为圆心画弧。焦点为 f 一 撇， a 取一撇连接顶点与各焦点，即为圆锥表面对应的素线。接着截取这些素线。时长截取 a， a 一 撇时长，截 取 b， c 一 撇时长截取 d， d 一 撇时长，截取 e， e 一 撇时长，截取 g， g 一 撇时长用光滑的曲线连接各焦点， 即为圆锥表面的展开。圆管的展开，先算出八十圆管的周长，按周长截取线段的长度三点一四乘以八十，再把该线段的长度进行十二等分。等分的时候，为了提高准确性，我们可以先二等分，再四等分， 然后再进行十二等分，标上对应的序号，方便大家理解。接下来依次截取圆管表面各竖线的长度。在没有特殊情况下，我们一般选择短边作为接口位置，方便后续加工成型。这里从中间往两边依次截取， 要注意看清楚每条数线对应的位置。当然，如果等分的越多，接口精度也就越准确， 这里也标上对应的点。截取完了之后，我们就可以用光滑的曲线把每个点连起来，圆管展开就完成了。我们把两个展开图给剪下来，成型一下，看一下最终的效果。 我们看接口位置还是比较均匀，点与点，线与线之间结合到位。关注我，学更多！