张宇基础1000题正确率很低第一章

你学完基础内容精讲，你是很难自己独立做一千题的 a 主题的，那么我现在这个内容里头，一千题的 a 主题跟基础习题精讲，你完全可以把它全都当例题去做。你不一定非得说独立做题，那么你可以在答案的提示下，也可以抄答案。你在这个六月底之前 没有必要独立做题。对于绝大部分考研数学学习的同学来讲，刚开始起步就非常困难。你知识还没学完，还没学懂，还没学透，还没记得住， 你就要自己每天去独立做题。要想去检验自己的这个水平，强行要求自己做题，这正确率很高，其实是一个非常得不偿失的非常低效率的办法，因为违反客观规律，这实际上是一个不科学的。我告诉你，为什么你还没有学怎么解题， 你不知道他这个包装是怎么包装的，你看到的答案往往一眼就能看出来，可是你看到题目是不会做的，就是他这个翻译的方式，他包装题目的方式你还没有学透。如果我这样说，你还没听懂的话，那么我用一个最通俗的语言来表达，就 这么一句话，你翅膀还没长硬呢，你飞不起来，你飞不起来。这个时候没有必要独立做题。

非常得不偿失的非常低效率的办法，你翅膀还没长硬呢，你飞不起来！那么基础习题精讲和一千题的 a 主题，我认为这个东西叫非独立做题，这两个东西依然可以当做例题来看。 你不一定非得说独立做题，那么你可以在答案的提示下也可以抄答案。各位啊，你在这个六月底之前没有必要独立做题。对于大部分同学来说，独立做题其实是一个非常得不偿失的，非常低效率的办法。这个办法并不好，因为违反客观规律。 对于绝大部分考研数学学习的同学来讲，刚开始起步就非常困难，你知识还没学完，还没学懂，还没学透，还没记得住。你学完基础内容精讲，你是很难自己独立做一千题的 a 主题的， 我告诉你，为什么你还没有学怎么解析，你不知道它这个包装是怎么包装的，你看到的答案往往一眼就能看出来，可是你看到题目是不会做的， 就是他这个翻译的方式，他包装题目的方式你还没有学透，这个时候强行要求自己做题的正确率很高，这实际上是一个不科学的。我用一个最通俗的语言来表达，就这么一句话，你翅膀还没长硬呢， 你飞不起来。你这个时候这个四个内容全都是在哺育你的数学知识，数学水平，这个时候没有必要独立做题。

第一章函数极限连续这里头呢，首先涉及到的是函数问题，对吧？我们还得再继续有些函数表达式呢，我们在大学数学里有时候也是先要讲一讲， 然后呢就是极限问题，然后就是连续问题啊，我们来看看第一个题啊，你看这个第一题呢分析， 我觉得这个大家没问题的，是吧？ f x 等于 x 的 平方， tangent x e 的 cosine x 四方， 首先是不是有界，这个大家很好判断，因为这个 tangent x 啊，大家知道当 x 趋向于二分之 pi 的 时候，它是无界的。 几本乘等函数啊，各位，对吧？那么既然 x 去二分之派的时候它是无界的，那你想想看， x 方去 x 去二分之派的时候是不是个常数啊？ 二分之派的平方是不是四分之派方啊？哎，不理我是吧？一的 cosine cosine 二分之派是小于零的，一的零次方是不是小于一啊，是吧？一个小于一的，一个小于四分之派方的，这都不小于零啊，那么它是无穷的，那显然它不是有界函数啊，是无界的 都不理我，是不是，对吧？哎，你，你这个它是有界函数啊，是无界的都不理我，是不是，对吧？哎，你，你这个它不是有界函数啊，是无界的， 对吧？你这个是二分之半嘛，所以他这这个要么正无穷，要么负无穷啊，那么这个就趋无穷的，所以他不是有界的啊，这个很好说的啊，这就有有一点极限思想了，是吧？哎，你要趋向的思想单调吗？ 啊，我这么说单调不单调，等我们学了导数，你用导数求导来判是吧？啊？在一个区间上，如果他导数始终大于零， 那么他就单着证啊，使使用导数角零单着减，你现在那么没有导数工具，实际上大家看能看出来。我问你答，这个贪心的 x 是 不是有周期性啊？ 是不是？这个一的扣上也是不是有周期啊？他有没周期性啊？因为你考三， x 是 不是有周期的？ 是不是？所以大家知道一个基本的一个情况，正是因为他们具有周期性是什么意思啊？就是在一个周期里面的东西会在下一个周期重复出现，是吧是吧，那么这样的话，他显然没有单调性， 对不对？那么我再说一遍啊，你到后面判断是用导数工具，你其实概念上直接可以判断出来，那么再说它是周期函数吗？那当然也不是，为什么？因为前面还有个 x 平方是吧？ x 平方不是周期函数 对吧？啊，说这个判断应该是不难的，那答案选 d 了，那极函数当然作为选择题，一眼就能看出来，是不是 x 方是不是偶函数啊？ e 的 口三， x 是 不是偶函数啊？中间的参与的 x 是 不是极函数啊？这样清晰的当然极函数 啊，这个像这样的问题呢？呃，你解题方法很多，那你基本概念如果扎实的话呢？这个选起来选对他是不难的。第二个，呃，这个呢，是不是很难啊？热身一下，最难的第四个，待会我说一下 啊，你看写表达式的时候呢，我们零基础里面呢？呃，没有涉及到这种啊，在区间的上有一些，呃，要有基本的一些变形的， 大家看啊，对于任意的 x 都有这个式子成立是吧？但是只有当 x 在 零到二上的时候， f x 是 不是才有这个具体表达式？ 所以当我要求在负二到零上的表达式的时候，我如果要写这个式子，那么必须得保证我在 f 这个肚子里面啊，它的这个变量整体变量也必须是在零到二上，是不是才能写出这个表达式？ 是不是你要把这个逻辑搞清楚啊？所以的话呢，我们来看，也就是说你现在有研究的 x 如果在负二到零的时候，那么请大家回答我，怎么样它才能变成零到二？ x 加上二就行了吧，是不是？大家看是，这就对了吧，这就这个，这个，这个平移啊，是吧？平移变换， 不理我能能听懂意思吧，我再说一遍啊，你看好这个，这两个式子不一样啊，这个式子是横成立的，就是你不管 x 取几，它 f 就 等于它， 明白吗？但是你要写具体表达式，你必须得用上这个 f x 的 具体的式子，但是你一旦让这个等号成立，你必须保证 f 里面的这个整体变量是在零到二上的，大家看是不是 x 加二，就在零到二上， 可以是零到二的整个区间，也可以是这个区间的子区间，听懂没有啊？只要在这上面就有它，所以大家看这个题有了吧，所有的 f x 听好啊，第一个等号没有限制，无条件的是等于负二分之一， f x 加二， 明白了吧？但是第二个等号这个负二分之一不要动。第二个等号的成立，是不是要求这个 f 里面的整体变量在零到二里面，它确实满足的， 听懂了吧，所以它等于什么，就把这个 x 改成什么 x 加二，所以这里面所有的都改成什么 x 加二，所以是 x 加上二，再乘上 x 加二的平方减四， 对吧？这个我就不化简了啊，自己做一下，这负二分之一 x x 加二， x 加四， 这个就像这种常见啊，要考数学历常见这种，就他开头给你一段，你要把这个函数关系给我搞清楚，你一定要弄清楚，就是什么时候它是无条件成立的，什么时候它是要有具体条件的， 我说清楚没有啊？大家，这个啊，你看这里标的很清楚，就在这个区间上，这个等号成立，对，任意的 x， 这个等号成立啊，你这样的话，你就可以把题目不会做错的啊，这个不会做错的， 好，第三题啊，设函数 f x 给了三段，看到没有啊？写出 f x 的 反函数介的表达式分析。 这里头呢，我们是这样啊，就是你可以朝纸上简单画张图啊。嗯，但你如果简单画张图呢，你就是毫无任何的这个犹豫的，可以把这个答案写出来。我大概啊，草图画一下，我就是说我大概画一下，他应该是这样的，是吧？ 大概啊，我只能说是大概啊，他应该是大致是这样的啊，就是说 是吧，大致是这样的。那就说三段呢，它是这个单调的啊，而且没有任何的这个 函数值上的这个非单调性没有，那你这样直接求反函数也就没有问题了啊。啊？求反函数没有问题， 那你求完之后，那就直接写了，它像就整个这三段呢？这一段，这一段和这一段，那么就关于什么？关于 y 点 x 对 称过去就行了，是吧？这样就你求解一下，我就有了，所以 g x 呢，它就等于，那么我在 x 小 于负一的这一段， 那么直接反解，那么就令它等于 y 嘛，是吧，然后呢，一减 y， 呃，然后除以二，再开根号，再填负号，因为它 x 小 一的，所以呢要换字母，就是二分之一减 x， 呃，一减去 x 开根号啊，这个就有了。 x 小 于负一啊，这一段解决了，那么这一段呢，就是 x 的 这个三次方嘛， x 三次方呢，那么我这一段呢，我就直接写成这个 x 开三次方根，对吧？啊，就是说 x 呢，是在这个负一到八 啊，你注意一下啊，因为你取反函数了嘛，哎，你这个算出来，这个 x 小 于负一呢，实际上是换了字母之后的啊，所以这个范围呢，负一到八，这个呢是原来这个函数的值域的，那么现在变成自变量啊的这个取值范围了啊，这个你要注意啊，然后 这一段呢，实际上也是个限行变换了，是吧？啊，限行的一个变换，令它等于 y， 那 就是十六，是吧，加上这个 y， 那 就改成 x 了， x 加上十六，再除以十二啊，这里 x 呢要大于八 啊，用这个再说一遍，这是 y 啊，哎，你这个 x 大 于二吗？那显然这个就是 y 大 于八了啊，所以这个换字母之后， x 大 于八啊，这个就写出来了。 呃，这种题目以前是考过的啊，呃，你别写错了啊，啊，写个两三段，你这个东西别写错他，你这个都是解题的头一步啊，这个写错了，后面就可惜了，我们看一下四，我跟你对比一下啊，这个四呢，就是就对，大家就是要求你要把它 这个做的更好一些。分析，这是真题啊，我这么跟你说，这是个真题里面考过的一个内容，当年考这个时候就是一大堆中学写的乱七八糟，但写不出来这个是什么。我们还是这句话啊，来看一下， 在无穷的正无穷上满足大家看，就是这个式子是不对，任意 x 做成立，哎，是不是这样？写一下吧，任意 x 是 不是都成立？他说了在无穷当中正无穷啊，看到没有？然后且 f 等于 f， x 等于 x 在 哪成立？领导派， 看到没？你要想写 f x 具体表达式，这个等号的成立必须是 x 在 零到派里头或者它的子区间，这个呢，就是任意这个等号的成立是任意的， 对吧？大家啊，你紧紧抓住这条，你不会出错的。现在你求 f x 在 派到三派上的这个表达式， 所以大家现在看啊，那无无非我还是要做坐标系的这个，这个变量的平移，对吧？啊？这个平移变换嘛，这个很简单的。好，开始派到三派， 我画一下啊，这是零，这是派，这是二派，这是三派，是吧？大家，你现在要求的是派到三派，是吧？他只给了什么？零到派上是 x 吧， 是吧？那你现在看啊，他给我的区间长度是不是只有派，你现在是不两个派，你平移不了，你不可能把一个区间啊，平移的时候是不可能伸缩的，是吧？所以你分两段看，你先看这一段， 如果 x 在 二派到三派的话，那么这个时候你要怎么样他才能变到零到派呢？说他只要减二派就行吧， 你把它平移到这是不是减二派就行了？所以是 x 减去二派，是不是这个东西是在零到派里头的？我为什么要这个？我是不是用这个等号了？因为零到派里能用它， 看到没有，所以这个时候的 f x 不 就有了吗？所以我的这个 f x 等于什么？ 我的 f x， 哦，这个就这个有难度了啊，我一下就先说最难的这个了，这个没关系啊，我说大家看着，那么你 x 减二派是带不进去的吧，是吧？带不进去吧，带不进去咋办你，你想一想，带不进去咋办？ 呵，啊，你得再变一次，这个等号是不是随便写啊？这个等号里面是不是就有任何 x 都成立啊？那你怎么造个二派出来？减二派出来，那你在这个 x 里减派吧， 听懂没有？你看我们写啊， x 减派是不等于 f x 减派加上 sine x 减派，对不对？ 看到没有？对了，我把这里的三个 x 是 不是写成了三个 x 减派 啊？因为可以啊，你扔给的都可以啊，对不对？那为什么要这样写呢？因为我知道它等于几，它等于几？它就是 f x 减二派吧。那么 f x 减二派， x 减二派是不是在零到派里头？只要在零到派里，就是 f， 狗等于狗， 是吧？就是 f， 你 这里写什么，这就什么，所以它就等于几啊？这几啊，就是 x 减二倍， 对吧？哎，就是 f u 等于 u， 那 么这个是多少？这个三角是有了公式了，就变，偶不变，这是可负可三啊，偶不变嘛，这是二分之二排是吧？负三 x 吧， 怎么都不理我是不是？哎，这不有了吗？所以你 f x 减派就写出这个了，所以 f x 出来了吧，所以我得到我的 f x， 它就等于因为这个很成立的，所以你把现在把这个数字抄过来了吧。 那不理我，是不是，抄过来之后再加个三 x 是 多少？ x 减二派， 看懂了吧？这一步很难的啊，这就是当年考研的时候，这个学生搞不清楚的地方， 哎，你这样，我这样说大家，像这种柿子，你千万不要盯着他一个字一个字往后看，你这样看答案的话，你也看的不清楚，你就每一个等号，你去盯着是属于这个等还是属于这个等，是吧？这是无条件等还是有条件等， 是吧？这样的话，你每一步都很顺，听懂没有啊？下一个简单， x 如果在这个区间就是派到二派，这个大家直接就减一个派吧，你减一个派就过来了吧，那么减一个派，他就在零到派里头了， 是不是这就直接有了啊？所以这个话呢，我们的 f x 就 直接超了，那就是 f x 减派，那么再加上三 x， 对不对？因为你现在的 x 减派就在零到派，零到派里满足 f u 等于 u， 所以 是 x 减派加上三 x， 对 了吧？啊？所以呢，它在派到三派的表达式是个分段函数吧，所以在这个区间上它是这个表达式，在这个区间上它是这个表达式。 我就不写了啊，大家自己把它写完，这个分段函数啊，说实际上呢，来讲的话，他有三段，零到派是 x， 对 吧？然后派到二派是这个 啊，二派到三派是这个。再看这个，第五题说当 x 趋于零的时候，那么左边这个无穷小，他是右边这个无穷小的，什么无穷小？高阶、低阶、同阶还是等价？ 那像这种给我们多个无穷小，两个或三个研究它们的关系，一个有效的方法就是通过变形啊，利用等价，利用泰勒啊，这个当然有的时候也可以利用洛必达法则等等，把它们都化成啥呀？最简形式的这个无穷小，就是那个 x 形式， 比方说左边这个一减一，这个无穷小怎么化解？实际上对他来说，提供因子是一个不错的方法。我们早在基础三个解啊，四十五页，例题十九，不就专门研究过这个一减一这种无穷小吗？所以来我们总结一下， 碰到底数一样做差，像这个第五题，或者将来碰到什么指数一样做差。像后面第十题，就是翻译第六页第十题， 所以第五题、第十题，看似这个不一样，实则手法是一样的，都是要怎么做都是要提公因子。做 好了，那回到第五题，我们来试试那两个 e 相减，按照我们的规范总结，往外干什么呀？提走一个公因子这个 e 啊，那提走 e 之后， e 的 地方自然成了 e， 口三次方成了口三次方，减个 e， 接下来就可以干嘛了？对这个小括号进行等价了，因为有这样一个公式，当 f 去零的时候， e 的 f 次方减一呢，等加于这个 f 次方。那今天呢？这是只不过是一减一了，那应该是等加于这个次方，前面填个什么号，填个符号嘛。所以这样从上到下，我们完成了这样一次等价，再换 好了。等价好了之后呢？这个得到啥了？得到这个中括号，就是这个负的口三减一，把负号乘进去，把负号乘进去，就是一减口三了。我们还有一个公式，就是当 x 去零的时候，一减口三这个小公式，对不对啊？ 那你想想，一减口三这个小公式告诉我们，等价二分之一 x 的 方，所以可以继续从上到下完成二次等价，就是二分之一 x 的 方，然后呢，一合并就是二分之一 x 的 方。所以这样的话呢， 就把第一个无穷小通过变形，通过等价，通过两次等价变成 x 的 形式了。最简形式，二次方前面是二分之一。好了，这个分析好了，再看分析第二个。 第二个无穷小呢，是三次根号，减个一对，他也干嘛做变形啊？做等价呀，对不对啊？那你想想这个三次根号怎么变变成三分之一次方啊？这也是一个变形吗？那你把它这个从左到右变成三分之一次方之后，这有什么好处呀？ 那这样变成三分之一次方就可以用我们的公式。什么公式？等价公式吗？我们在复习中有这样一个公式，叫 x 去零的时候，一加 x 的 r 次方，减个一等价于 r 次方，乘个 x， 今天 r 次方就是三分之一次方，今天 x 就是 x 的 方。所以呢，那这样从上到下又完成了什么？是不？完成了第二个无穷小的这个等价替换三分之一 x 的 方。 这样的话呢，刚才是二次方，现在也是二次方，这属于同阶，但刚才前面是二分之一，现在是三分之一，系数不一样，这叫非等价。所以综上，二者什么关系？同阶关系都是二次方，但是不是什么关系，不是等价关系。为什么？因为他们的系数是不一样的，所以是这样一个选择。 好了，这个第五题吧，咱们就分析完了啊，请你把基础三只讲这个四十五页十九题再对比一下啊，再看看 啊，当然咱们这个三者讲上还有就是这种分析无穷小的好题目的，你比方说你再看一个在哪里啊？在六十二页 啊，六十二页，例题三十四，这不也是一个分析无穷小的这个好题目吗？他是咋分析的？他不是用这个等价分析的，他是用什么呀？泰勒公式来分析的。这个你好好琢磨一下啊。 好，那么再往下看这个第六题这里研究什么呢？研究极限存在不存在，那研究极限存在不存在，那这个呢，也是常考的一类题吧， 他呢做法呢？是理论基于我们三十讲三十六页，三十六页呢？有这个啥呀？呃，函数极限的性质，第一条叫唯一性， 下面有注一极限存在的重要条件看左右是否相等。那关于唯一性书上还有总结，像三十七页 是不罗列了好多情况遇到了要分左右的这种。呃，是吧，情况像三十七这个立体十五就是一个经典的分左右啊，包括三十八页立体十六还是经典的分左右。就说呢存在不存在啊，可以看左右啊这个以及。 呃将来哪些特殊的极限遇到了要分左右，这要跟明镜似的，我们来做个总结，将来呢，如果你的题带绝对值，如果你的题有意的无穷四方，如果你的题有阿格无穷大这些特殊式子出现了， 那么这些特殊式子的出现你要马上想到干什么呀？想到给他分左右去计算啊，分左右算两次，那两次算下来，如果相等就叫存在， 两个字算下来，如果不相等就是不存的。来，我们看 a 选项， a 选项呢？那分零左零右，先看零的右零右的话，这俩绝对值，那就直接脱掉了，对吧？你留零右嘛，就是比零大，所以这个时候呢，都写成啥了？都写成这个挨个字自己就行了。好， 那写成挨个字自己之后，大家想前面这个除法基建是几？我们学过重要极限，对吧？这个你也可以说利用等价再换都行啊。呃，什么重要极限呀？ 是吧？这个在五十三页，这个五十三页知识六不就讲了两个重要极限吗？一个就是三一 x 比 x 则在零点，但是还有一个重要极限 e 啊，五十三页还把还写了个注，要把这个两个重要极限广义化成狗来去对待啊。这个都有啊。所以呢，前面这一块 咱们可以说是利用重要极限是个一，后面这是阿格多少了？零正倒过来是正无穷吗？阿格正无穷，所以变成啥了呢？变成一乘阿格正无穷。我们知道阿格正无穷是几，阿格正无穷就是二分之派嘛，所以答案就是二分之派了。好了，零的右极限算好了， 再算什么？零的左极限，那零左算的时候绝对值绝对值呢？那脱掉都给他写什么？写负的就行了。所以这次呢，都把 x 绝对值脱掉之后写成这个负的 x， 那写着负的 x 之后，大家想前面这个分是被重要极限，或者说被等价代换，就是负一了。后面这只几啊，可千万注意后面这个地方要看清楚啊， 你 x 虽然是零负负的，但是这是负 x 的 呀，负负呢？取正，所以呢，这个分母还是变成零正的，还是零正，虽然你表面上是零负 看看，但这有个符号呀，所以零正分之一还是啥？还是正无穷，只不过前面变成负一了。好，最终是啥？负一乘，阿哥正无穷，那阿哥正无穷说过了，是二分之派，那天哥负一不是负二分之派吗？所以这样的话呢，经过两次计算， 我们发现什么了？我们发现这个 a 选项，他的这个左右是不一样的，是吧？一个正，一个负，那一正一负，这就说明啥？说明 a 选项极限是不存在的，所以这就做完了。所以对于 a 选项，咱们倾向于啊，这个是最终下结论，他是三个字叫不存在。 好了，做好 a 之后呀，我们重新再做一次 a， 就 说呢，研究极限存在不存在，除了这种耳熟能详的手法，分左右看是否相等 来回答存在不存在。其实有的时候呢，还能用一些结论帮咱们去回答存在不存在。什么结论呢？就是那个加减乘除四则运算的结论。这些呢，我们在三只角上也有啊， 在基础三只角，这个这个，这个专门谈到过四则运算法则，是不是就是对这个 什么极限存在还是不存在的，影响是很深刻的？在哪里呢？在三十讲，三十四页到三十五页，一直到三十六页有这个。综上所述，列表如下，你把三十四、三十五、三十六这几页涉及到的加减乘除 对存在不存在的影响，你再过一过，那么这个 a 选项也可以这样做。咱这样想， a 选项认为是左跟右两个人相乘，这不是乘法吗？ 那这两个人相乘？大家看，前面这一块，其实极简不存在，因为前面这一块，你看这个绝对值，要么写 x 得正一，要么写负 x 的 负一。 但这后面这一块是干嘛呀？后面这一块，那你看，这个要你领证的时候是阿哥 x 的 分之一，阿哥正无穷二分之派。 你领负的时候是啥呀？是阿哥他那负 x 的 分，还是阿哥正无穷正二分之派？就说呢，明显后面这一块我们拿来看啊， a 选项 后面这一块，不管零正还是零负，他都是一样的，就是阿哥正无穷，你想想他是绝对值吗？对不对啊？你管你零正零负来一到一一家绝对值呢？都是正的，正的倒过来正无穷吗？所以这一块呢，他始终就是阿哥正无穷了。 那么阿哥正无穷肯定是几啊？肯定是就是我们写的这个正的二分之派了啊，所以他自己达到正二分之派。备注，正二分之派咋了？是不得零，不得零，不得零。 好了，那这一块极限不得零。大家再看另外一块是谁来？刚才说另外一块是三一 x 比 x 绝对值，这个是不存在的啊，那你想想，另外一块是三一 x 比 x 绝对值，这个 这一块是不存在，因为零正就是 x， 重要极限一零负是负， x 重要极限就是负一了。那你想想哦，这个人极限是不存在的。然后来我们被结论了，四得运算的结论，四得运算告诉我， 这是待会要干嘛呀？是不是上下两个人相乘啊？那你看，有这样的一个结论被，如果 f 这个人有极限且不得零，就好像这是这个阿格，另外一个人没有极限，就好像是这个三一比绝对值啊，一个极限不得零，一个没极限，这个时候二者相乘呢？被结论书上都有。刚才我说的多少页？ 整个这个四的运算是吧？整个这个三十四，三十五，三十六，你找去这个时候呢，二者相乘的极限一定是干嘛的？一定是写不存在的，所以呢，这个题呢，我们就做完了，那所以上面这个阿格跟下面这个分式，那二者相成立，急回答。我们的观点就是啥呀？观点就是写不存在，做完了， 所以这样做呢，也很方便。那这样做的理由就是基于你对四的运算加减乘除的深入理解啊。 好了，那么这个 a 做好了，那同样呢，我们再看还有什么呢？还有 b、 c、 d 了啊，那么 b 选项跟 c 选项咱们就不用再做了， b 选项 c 选项他的做法 跟 a 选项完全一样，既可以咋做，分左右做，看是否相等，也可以咋做被这个左右相乘的四的运算结论做啊，所以 b 跟 c 不 用做，咱们重点做 d， 待会啊。所以我们这样就说啊， a 跟你讲清楚了，那么 对于 b， 对 于 c， 他 也是不存在的。为啥不存在？用刚才的手法去分析，刚才咱们讲了几个方法？不讲了两个方法吗？所以用刚才的两种方法啊，一种是啥？一种是分左右的方法去研究 b 跟 c， 一种是背啥背这个，呃，四的运算，二者相乘乘法的结论去分析 b 跟 c 都行。所以呢， b 跟 c 的 分析交给你了，我们来分析 d， d 呢，是分析 x 的 小于零，这个绝对值，三 a 比 x 的 乘二个这个极限。那那应该就是选它了，我们把它分析一下。 咋分析呢？你看，先化简一下，这有个三 a x， 现在三 a x 的 可以干嘛？在零点等价吗？所以三 a x 等价也 x， 这个没有毛病的啊。 这是用了一下经典的这个等价代换，就是等价代换，一般呢能够把复杂的干什么呀？化成简单的，所以用了一下等价。用好等价之后呢，那把这个等价后的极限是吧，视为我们的研究对象， 那对他怎么研究呢？那一个思路是分左右研究，一个思路呢，就是试着用刚才的是不是左右相乘乘法的四等匀算，这个化简后的只能用零左零右就是分左右研究， 不能用啥？不能用这个左右相乘的四的运算。为什么？因为你会发现前面这一块绝对只比 x， 它今天不存在，它要么正一负一嘛， 后面这一块呢，它也不存在。那不存在跟不存在相乘，可没有结论。我们有结论的是啥？是刚才 a b、 c 啊，一个存在不得零 乘上一个不存在，这有结论肯定不存在，比如 a、 b、 c， 但我们不存在乘，不存在，这可没有结论。所以这个 d 选项只能老老实实的。啥分左右零？又来一次，那绝对之挨个就写成啥了。零六的话，那绝对之挨个写成 x 了呗，是吧？所以这个时候呢，那就把这个 绝对之挨个直接给它写成这个 x， 那 x 比 x， 这太好了。就是呃一了嘛，后面这是啥了？阿格正无穷，所以一乘阿格正无穷正二分的派。 那再来一次零负的话，这都要写成谁？那你零负的话，绝对这就写成什么？绝对就写成这个负 x 吗？那负 x 比 x 也好算的很。就是负一了吗？所以前面是负一，但是后面变成啥了？ 后面这是 x， 取零负，这是负无穷了，阿哥负无穷，所以变成了负一乘。阿哥负无穷，阿哥负无穷是负二分之百。负负取正，那最终是正二分之百，所以看到没有？最终这个结果是干嘛的？ 最终这个两个左右极限是相等的，都是几啊？都是正二分正派，所以下结论， d 选项是干嘛的？ d 选项果然就是如我们所想，最终极限是两个字，它是存在的。所以这个题呢，极限能存在的就是谁，就是这个四。 d 做完了。 好了，这就是研究存在不存在一手抓左右啊，一手抓四的预算。这个加法的结论啊，和乘法的结论。但这个题呢，是考的乘法，但有的题呢，可以考什么？考加法的结论？考你俩人相加形成的极限存在不存在？ 考你俩人相乘形成的极限存在不存在。这个呢，咱们就讲清楚了啊，说这个，这个三个角上也有，你好好看 好了，那么再往下看，这个第七题说 x 趋于零，问劳恩这一坨，呃，与 n 次方是同结，问这个 n 次方是几次方？这不是考劳恩的问题吗？像劳恩的问题呢，咱们三者讲上也是有归答总结的。在哪里呀？嗯，出来呀。在哪里 啊在哪里啊？哦，在这里，在这个五十八页例题二十八。五十八页例题二十八，看这个答案解析，五十九页的解，五十九页的解，解的第三行不就形成一个 考研中常考的一个式子吗？叫 long x 等价于什么呀？ x 的 减一，只要 x 的 去一啊，但是呢，书上不够这个，这个是吧，更大胆，我们更干脆一点，也别写 x 了， 我们这样去写啊，说当这个 f 去一的时候， f 呢，可以是简单的 x， f 呢？也可以是复杂的 变量都行，只要这个 f 去一了，那么这个 log in f 就 干嘛了？将来被公式等价于 f 减个一，这个超级好用啊。那为什么有这个等价？那为什么？就是因为这个，这个横等变形保证的我们可以给它干什么？是不可以给这个 log in f 加个一，减个一，这样变形， 因为你看，你加个一，减个一啊， f 去一，那你想想，那这边的这个 f 一 旦去一了啊，这个，这个，这个大前提啊，那 f 一 旦去一，那你想过没有？那这个 f 减一呢？当狗看，当 x 看，不就去零了吗？不就等价下来了吗？所以这个公式吧，也记住。 好了，在这个题我们看行不行？咱们这个题相当于说这个分式就是啥了，这个分式就是 f 了，那这个分式是 f， 它趋不趋于一呢？那肯定趋于一，来试试，因为我们是 x 小 于零吗？ x 小 于零，上面二加 x 呢，它就小于二了，下面二加三， e 呢？那也就小于二了，二比二不就是一了吗？所以这一坨是小于一的。 好了，那既然这一坨区域一，我们就可以干嘛了？嗯，来，开始背了，只要这一坨啊，不管复杂还是简单，他只要区一，就符合我们这个捞一的等价，所以捞一这一坨背等价干什么？一弯弯等价于 f 减个一，这一坨减个一，你看多方便呀。 好了，减个一之后怎么办？通分嘛？来把它通一下，分母是二加三 e， 二加 x 的 不要动，减一呢？通分就是减啥？减分母减二加三 e， 那 把上面再合并一下，那你看二根二减没了，挨个的减，挨个减三， 所以最终呢，我们就经过一番化解就成了什么呀？就成了这个最后的这个，这个这个什么呀？这个通分之后的二加三 e 这一块了啊，你看成了二加三 e， 上面是什么？上面是这个 x 在 减三 e 了， 那么这样通分之后的再往下怎么处理？想想再往下的话，上面这个好办。 x 的 减三有公式六分之一三次方吗？那下面二加三 e 呢？二加三 e 好 像也不难，他也可以干什么呀？试做这个非零因子吗？所以我们这样看，那 x 的 除以零，上面是 x 的 减三 e， 直接六分之三次方， 下面是二加三 e， 那 二加三 e 是 除以二吗？这是我们经典的什么东西啊？经典的这个叫呃，非零因子可先算的意思吗？ 所以这样的话呢，那分子用等价，分母是非正因子，那这样的话呢，二者一化解，最终变成几了？上面啊六分之三的方，下面是二一除，这不就是十二分之一的三次方了吗？所以最终咱们这个呃 题等价于多少？最终就等价于这个十二分之一的这个三次方了，那等价于十二分之一的三次方，所以他要找的这个 n 次方就是几啊？就是三，所以最终下结论，从而 n 等于几？ n 等于三。做完了。 好了，这是对这样一个小小的等价，这个这个这个深入考察考察这个劳力 f 的 等价，等价以 f 减一，只要 f 去一啊，那么今天呢？这一坨就当 f 去一啊。等价什么通分啊，什么二次等价，什么非零因子，这都有了。 好，再往下看这个第八题，第八题，这种题呢？三等奖也是有的。这都有啊，三等奖呢？也对，也有这种例题，这叫什么呢？已知一个极限算另外一个极限 是吧？当然这个已知的极限跟让你算的另外一个极限他是有这个联系的。比方说都有谁？你看已知的这个极限里面有 f， 让你算的这个极限，那里面也有 f， 那 肯定有关系啊，如果两个极限没啥关系的话，我咋算呀？在三十减五十七页，例题二十七 例二十七不就是一个选择题吗？已知一个带着 f 的 极限让你算，另外一个带着 f 的 极限，他的解法就在五十八页。有脱帽法。有什么呀？它的展开法。所以这种题呢，都是两个思路吧， 一方面对这个已知极限脱帽啊，就是去掉极限的帽子，解出 f， 往后面要求的带做计算就解法一。 还有个思路，干嘛对这个已知的极限直接做什么？做他的展开，我们更喜欢方法他的展开，我们这样去做啊，把这个已知的极限就是这个一了吗？这里面有个谁？有个叫三一二 x 的 家伙，这不有个三一吗？你看 那三一二 a 格子是直接可以干嘛呀？在零点直接展开嘛？因为这个这是加法啊，加法不能等价，但是加法是可以展开的。长到什么时候？三的方上下同次方来背公式，那就是二 a 格子减六分之一，二个三的方再加小 o， 加上后面找抄好了，这就斩到了上下同次方。 那么斩好之后，那往下怎么去化简呢？往下一步很关键，往下把这个展开后的极限呀，用四的运算把它分开，分成两项。当然了，四的运算要求啥？ 四的运算是说把一个极限分成两个极限，相加相减相乘除，但有个要求，要求分开后的两个极限都得存在，那你咋分才能保证都存在呢？你这样想，这个三字方除三字方肯定存在。同同同字方吗？同接吗？三的除三的肯定存在了，所以呢，这个一次除三的肯定不存在。 一次除三的，这咋能存在呀？一次除三的，这是无穷大了哈，所以你二挨个除分母，这个不能单独当一个极限，因为这不存在。 我怎么办呢？我让第一项二 x 跟最后一项 x 乘小 f， 首尾除三字方当一个极限看，这样首尾除三字方当一个极限，然后这个三字方加小 o， 三，这个再当一个极限， 那这样的话有什么好处？大家这样想，后面这个极限肯定是干嘛了？就是后面这个三字除三字，这个绿色的极限肯定干嘛？这个极限一定是存在的，这个大家肯定相信了，因为他三字除三字嘛。 好了，这个存在，那老师为啥前面也存在呀？那前面说老师带着 f 都不知道是啥，那咋能存在呀？你这样想，他整个极限是几？就第一行是不？整个极限达到一了，你整个极限是个一，一被你写成啥了？一被你写成一个极限加一个存在，那前面肯定存在呀， 对不对呀？啊？你想想，因为整整体是个一啊，这个地方你得看成这一点呀， 他这个地方是一个一，人家整个极限是存在的，这个地方你得看呼应，整个极限是一，写成两块，第二块存在是几啊？是几？把三他妈约掉不就行了吗？所以第一块肯定存在， 第一块可以约分 x x x 约掉剩个啥？是不是剩个二加 f 出平方，第二块约分剩个负三分之四，那这样第一块不就出来了吗？所以第一块一定存在，而且是几是这个，一 加上三分之四挪上去不就行了吗？一加三分之四就三分之七的，所以这个极限不但存在，而且是几出来了不但存在，而且是几？是三分之七，所以这个极限是这样搞出来的。 好了，这个极限是三分之七，咱就放在这了，但是呢，有点小小的遗憾啊。什么遗憾呢？你现在得到的这个极限三分之七，他并不是啥，咱要考的是二口三 a 加 f 出平方，他没有口三 a， 你 得到的没有口三 a， 但我考试的有口三 a。 这就是我们这个题的高明之处，他不像三只讲。三只讲呢，刚才说这个例题。呃，多少三只讲？刚才说的例题，这个跑哪去了又啊？ 三只讲呢？是这个，这个，这个得到的极限刚好就是啥，这个三只讲五十八页， 他这个方法二，他得到的极限就是要考的极限。这简单，我们以前题呢，是把难度加大了，就是你得到的这个极限并不是我要考的，所以你需要干嘛把我考的极限就是这个二口三加他出平方，把我要考的极限再进行这个呃化简呃计算成为你得到的极限。 那你看你要考的这个二口三 e 往下怎么化解？有很多化解的法宝啊。这个比方说我们还依旧可以怎么办？依旧可以把这个二口三 e 加 f 出平方。这里面有个谁啊？这不有一个 是吧？有个口三 e x 吗？这个口三 e 怎么处理啊？有人胆子很大说老师好办。把口三算成一，那不就是二了吗？那不就是二了吗？能这样干吗？口三 e 提前是一是不假，但是不能把它先算成一，因为它不是啥，它不是因子。 我们说过只有极限不得零，且是乘除，也就是啥非零因子可先算，这是加法。 怎么能叫因子？怎么能先算，对不对啊？求极限，不能说你想先算哪里算先算哪里。那如果能这样干的话，那极限就没有啥难题了啊。哪里难先算掉哪里，然后再做剩下的。那这是什么道理啊？没有这个道理啊， 只能说非零因子，只能说乘除中不得零，先计算加减中这种不得零是一般不能先算的，所以口三不能先算，但是可以干嘛？他的公式嘛。所以再展开展到二次方，一减二分之一平方加小 o 加再加后面。这不是一个经典的展开吗？呃，又是啥呀？这个上下同次方都展到二次方 展好之后呢？把它整理一下二乘进去。二乘进去变成啥了？变成二减平方加小 o 加 f 除以平方，然后再把这个整理后的极限 再用四的运算把它分成两个。哪两个你得保证存在是不平方除平方肯定存在，那这个首二除平方肯定不存在，所以二除平方不能当单独当一个极限。但是你发现没有，二加 f 就是 首尾，首尾相加除平方，看就是你刚才三分之七了，这是存在的三分之七吗？一个数吗？存在吗？ 所以把这个极限再用四得运算分成两项，一个是二加 f 出平方，一个是平方加小 o 出平方，看到没有？这不又一次用了经典的什么呀？这这个四得运算法则拆成两个，前面这个就是你刚刚得到的三分之七，然后这怎么这么巧？ 你怎么知道他的公式展开之后会出现这个得到的三分之七？我也不知道，但是只要思路对他一定是巧合。很多时候这个所谓的巧合，他只是表面啊，只要你的思路对你的计算对他都是必然的，对不对啊？所以呢，他一定会出现我这个三分之七的。 那否则的话，这题咋做呀？做不了呀，所以前面这一块就是三分之七了，所以答案出来了，就是三分之七，加啥？加负一就三分之七减一，结果就是几啊？三分之四做完了。嗯， 所以你看这个题啊，哎呀，很经典，很漂亮。这个题啊，所以这个题啊，做完之后，我们有很很强的收获，他既温习了三十讲致敬三十讲，又高于三十讲啊。这个，当然，这个题还有脱帽法的做法，你自己把它做一下，咱们就不带啰嗦了。 好，再往下看。这个第九题，一道概念题，专门考察考高阶无穷小考欧的法则。嗯，这种题得分率不高 啊，说给出 f g 是 在零的趋近的音内有定义，不为零， x 的 去零的时候， f 比记什么呀？高阶？然后问这四个命题，谁对谁不对？ 那对于高阶无穷小的处理啊，有两种方案，一种是走定义，就是二者消除达到零啊，一种是走这个 o 的 高阶无穷小的运算法则，我们都看一下啊。首先呢， f 是 g 的 高阶无穷小的运算法则我们都看一下啊。 那我是你的高阶，啥意思呀？于是立即推，就是 f 除以 g 极限是零的意思了。好，这是题目条件，用这个条件来去分析，一二三四一。说啥呢？说左边这个加法是右边 f 的 高阶， o 就是 高阶啊。 左边要想是 o f， 那 我只要能够证明啥，证明左边除这个 f 就是 这种除法达到零就行了。你看二者相除达到零就是啥呀？就是分子比分母干什么？高阶？ 那左边来做分子除，右边做分母来除一下，那这样左边这个除，右边这一除是不是零？如果达到零就是高阶，就是 o 就 对了。那反反过来就不对了。来， f 除 f 刚好是一，那既除 f 呢？既除 f 呢？太好了， f 除既这个除法是零，那既除 f 是 啥？是它的倒数吗？ 你正着相除达到零，那倒着相除是无穷啊。所以这个结果是啥？是一加无穷，那肯定不是无穷了呀，一加无穷肯定是无穷了呀。 这说明啥？说明分子这个加法反而是分母，这个 f 的 什么节，并不是高节，而是低节了。所以呢，下结论。所以 f 加记这个加法反而是，呃，这个，这个，这个 f 的 什么节， 他反而是他的低节无穷小了，这个弄的，那你低节无穷小怎么能写 o 嘞，对吧？ o 是 高节的意思，低节无穷小就是低节无穷小，没有符号，所以 e 是 错的。 同样，再去看这个命题二，他说 f 乘记是这个，呃，记方的 o 高就不穷晓对不对呢？那一样嘛，就看左边除记方得不得零就行了。那你看左边这啥 f 乘记除记方 这个除法，约分剩个 f 除记。哎，太好了， f 除记题目说了，就这啥 f 比记高， f 除记等于，这不就是零吗？所以这个除法刚好达到就达到零，那这个除法达到零，那说明什么？说明这对了，说明这个左边这个这个分子 f 乘记就是分母，记方的什么结，它就是 它的，这个什么结呀？高结无穷小。所以二是对的。如果薄至，再看这个谁啊，再看这个三三是研究谁跟谁的关系。左边是 f， 右边是 long， 一 加 g， 那 左边能不能写成右边的 o， 就 看左跟右相除是否等于零了。来吧，左边是 f 做分子，右边 long 做分母，这个除法， 这个极限怎么算呢？这个极限我们可以这样去思考，用等价去算，因为这个分母 long 一 加 g 是 可以干嘛的？ g 是 无穷小吗？ 劳力加 g， 我 们说可以是等价于这个 g 的， 这没有问题的，用等价代换处理，处理好之后成功了，你看 f 除以零吗？ f 这不就零了吗？所以 f 除以等于零，所以说明分子是分母的，啥样高阶无穷小？那这样的话呢？第三个其实也是干嘛？第三个其实这样也是对的。那这样的话呢？ 只需看最后一个第四个了啊，第四个是研究谁跟谁的关系，回来看，第四个是研究左边 f 右边既方的关系。那就让左边除右边看是否等于零就行了。那左边是 f， 右边是既方，二者相除，这个除法等于几呢？等不等于零呢？我们这样算， f 除既方写成 f 除既，再来个啥？既分之一， 有的说，老师呢， f 除既是几啊？看 f 除既极限为零。注意，是 f 除既的极限为零，不是 f 除既本人为零。 自己为零跟自己的极限为零是两回事啊。那这就变成啥了？前面这个除法极限为零，后面这个记分之一呢？他的极限是无穷的，这是不成了零成无穷的七种为零式了 啊。再说一遍啊，前面这个除法是达到零，不讲是极限，达到零，不是他本人为零。 如果是他本人为零，小学数学的数字零，数字零乘谁，那肯定是零，这没有争议，但极限零乘上一个另外一个东西，特别是另外一个东西是无穷大的时候，这个乘法就不确定了。所以呢，此时这个左右相乘变成了七种类型的未定式啊， 他就成啥了？成了零成无穷的这种七种未定式了。那我们知道未定式的结果就是，干嘛未定式的结果不见得一定是啥，那未定式结果不见得一定是零啊。 那，那这个分得出分母不见得是零，那就说明上面不见得下面的高阶吗？那所以四就不对了，所以中上一四不对，中上二三是对的，所以做完了。所以这个正确的是谁啊？是二跟三。那不是出来了吗？ 所以最终我们应该选什么呀？呃，综上，正确的是第二个是对的，和第三个也是对的。那对的有几个？有两个？有两个的话就选我们这个二 b 就 行了。 好了，这是这个高阶无穷小啊走定义做的，但这个题还能咋做呢？我们回来看，还有个做法值得我们去呃，体会一下。还能这样做，那你看啊，题目条件说 f 是 g 的 高阶，高阶二字可以咋做？走定义是不是相除为零？ 其实高阶呢，还有个做法，就是写成这个符号 o 的 意思，来，我们这样去做，再做一次。嗯，你想啊，本来呢， f 是 g 的 高阶。好，那你 f 是 g 的 高阶无穷小这句话除了翻译成刚才的定义 二的相除积减为零，还能写成现在的什么呀？这个 o 的 这个符号是吧？写成 f 等于啥？ f 等于 o g， 这样的话呢，就把这个 o 的 运算顺便考察一下。比如第一个命题是谁，我就直接看了啊， 第一个是考啥？考 f 加 g， f 加 g， f 是 啥？ f 不是 f， f 写成 o g， 那 o g 加 g， 这写的不是啥？写的不是一给的右端 o f， 这是 o g 加 g 啊。那你看 这个第一个命题，二者相家，用那个 o 换下来，应该是这个相加，这个相加显得不是谁，他显得不是你这个第一个吗？你第一个这说等于，这显得不等于 o f 吗？那这样不等于 o f 的 话，那这不就做完了吗？所以第一个命题是一定是干嘛的？第一个命题一定是不妥的，他不对的，他不相等的，所以第一个要立即排除。 第二个是谁？你看书看，我不带翻了，因为太长了。第二个是考 f 成绩， f 成绩是啥？ f 就是 o g， 那 o g 成绩呢？那这个地方等于谁？你得会哈，在三十讲上有这个 o 的 运算法则，来看看在哪里。嗯， 在哪里呢？在泰勒公式里，对不对啊？来找这个。找到了，在基础三十讲，嗯，五十一页，这个中间只十四。 五十一页不有一个注吗？注的下边有个括号。四叫无穷小的运算，严格说叫高阶无穷小的运算，因为这是 o 呀， 你看 o 加减 o 咋运算， o 乘 o 咋运算。还有第三个运算，带 k 不 带 k 的 运算。其实还有第四个运算啊，就说我们这个地方趁此机会把它说一下 o 的 运算，你想想， o 记乘记根据， 呃，三，这个三只脚五十一页。预算法则， o 记乘记刚好是啥？刚好是 o 记方，那这样的话，二就干嘛了？那这样二刚好是对的，对不对啊？所以这样的话，这个这个这个刚好等于这个 o 记方，这个等号来自预算法则 o 的 预算法则，这是对的。 好了，再看第三个，第三个是啥呀？就是 f 能不能写成 o 的 捞一加 g， 第三个呢？咱们三只脚上就没有了。要用这个， 大家这样想啊，首先呢， long 一 加 g 是 干嘛的？跟 g 是 等价的，因为 g 是 趋于零的嘛，无穷小。好了，左右等价，这是二零二五年考的数学，二考的，记住左右如果是等价的，当然都是无穷小啊，两个无穷小，如果等价，记住它的规则， 咱俩如果等价，那么左边这个无穷小的 o 啊，跟右边这个无穷的 o 他 俩是一样的，没有区别。这个得知道这是考什么？考这个等价就是两个人如果等价，他们的 o， 这个地方要切记哈，这个 o 是 没有区别的，你想想啊，左边这个 o 啥意思？ 左边这个 o 是 指比捞一加 g 高阶，右边这个 o 呢，表示比 g 高，那你别挂，左边跟右边是同阶， 那这样 roy 加 g 跟 g 都等价了，肯定同阶那所以比左边高的，那肯定也比右边高，比右边高的，那肯定也比左边高，因为左右同阶嘛，因为左右等价嘛。这个你可以补一补，如果左右等价， 那么左边的高阶无穷小 o 跟右边的高阶无穷小 o 是 没有区别的。那这样的话，做完了，本来 f 是 啥？ o g， 现在呢？ o g 又是谁？ o longen， 那 这样通过这个 o g 当中间人得到啥？是不得到 f 可以 写成 o 的 longen 加 g， 所以 这样，那不就说明啥了？ 最终说明我们这个三号命题也是干嘛的？最终说明这个三号命题呢，它也是正确的，所以这是对的。好了，最后呢，还有一个，第四个，第四个是谁？ 是考的 f 自己？ f 自己显然不对了。第一行 f 自己是 o g 吗？那 o g 怎么能是 o g 方呢？那这显然是乱来吗？那所以你 o g 不 能是 o g 方啊。那这样的话呢，第四个不也就排除了吗？ 所以这样的话呢，也就把这四个命题逐一做了分析，那一排除，二三留下，四排除，那不还是选二 b 吗？ 所以一道题有两个方法很正常，方法一，刚才是按照定义做啊。方法二，现在是按照什么呀？按照这个哦， o 的 什么 o 的 什么说个 o 的 什么运道法则做啊，所以用定义，用法则都能做出来，这就好比我们刚才第六题，既可以分左右做 啊，也可以通过这个结论做啊，四得一算的结论呀。那我们这个题呢，既可以用定义做，也可以用这个结论做，就是高阶无穷小 o 的 结论呀，所以都很好，一题多解，发散思维。 好了，这个第九题吧，咱们就说完了，那么这节课吧，就先说到这个第九题，那么休息一下，再继续往下讲后续的这个若干啊，真正的极限计算啊。

如果你已经确定高速基础跟章鱼现在开始一点也不稳，而且目标直接给我定在一百一以上。前中期的超详细攻略咱们可以看一下。首先是上， 如果你的一千 a 正确率在百分之七十左右或以上，我建议你加刷一本六六零。高速基础学完之后直接复盘讲义，并把错题复盘完之后直接开现代，现代基础学完，紧接着开现代强化。 那么咱们学现代的时候分为两条线，第一条线是高数复习线，高数复习线就是二刷三十奖并完成六六零的剩余部分，完成六六零之后再去刷一千币，一千币刷不动直接做八八零。然后是现代学习线，现代学习线这条可以参考我的视频现代满分攻略。 现代学完之后仍然是复盘讲义加复盘做题之后开高数强化，高数强化直接看专题课加讲义，完成八八零以及一千题的剩余部分。 如果讲一看完了，但是题目没有完成，那么咱们接着学。如果是数二的话，你就把八八零或者一千题剩余部分完成之后开真题，开模拟卷就行。数一数三，那就是在概率论学习的时候，复盘高数现代错题，并完成八八零和一千题的剩余部分。 概率论可以直接跟分号，那么这个时间参考你可以看一下。如果你是这条路线，建议你的目标直接给我定在一百三， 然后是这一千 a 的 知识点，在百分之五十到百分之七十中间，我建议你只刷一本习册集一千 a， 然后付款完奖一和错题直接开现代，现代基础学完紧接着开现代强化 也是分为两条线，第一条线高数复习线二刷三十奖加六六零，六六零刷完了之后可以买本八八零刷，然后现在学习跟刚才一样，现在学完了，咱们直接开高数强化，高数强化上一千币跟章鱼， 然后同时二刷你的现代错题和一千题的现代部分，这一部分完成之后，如果是数二的话，也是一样的，把八八零和一千题的剩余部分完成，如果是数一数三，那就是学概率的时候复盘高数现代错题加完成八八零或一千题的剩余部分， 那么这个时间参考在下面，如果你是这条路线，你的目标也给我定到一百三，最后就是稍微差一点的情况，目标就定在一百一以上， 这一千 a 的 正确率低于百分之五十。我这里给你提供了三个策略，策略 a 是 换一本习题册，如基础七百题，如果你想在基础阶段刷完一千题的话，那就是基础阶段先刷七百题，完成七百题之后再刷一千 a， 但是因为刷习题册变多了，所以基础阶段耗时较长，但没关系， 你按照这一条路线走的话呢？一千 a 正确率不错，那么直接开现代和中计划一样，目标直接改成一百三，那正确率不行的话，就直接跟吴老强化，后续学习以坐透八八零为第一目标。 策略 b 的 话就是换老师，可以试试武忠祥老师或者中央新老师。那么策略 c 就是 保持现状，基础学完之后直接强化跟武忠祥，后续学习以坐透八八零为第一目标。 那么下的这种情况，我后续会单独出一个视频，详细的说明一下具体怎么规划。那么本期视频就到这里，下一期视频咱们讲一下红开怎么去规划。

今日话题，张宇三十讲使用指南高树篇。

好，那么下面呢，我们讲这个一千题的 从零基础篇我们呢开始啊，呃，大家现在做基础三十讲配套着呢，我们要做这个题啊，那么基础三十讲跟一千题是完全配套起来，下面呢，我们来先看零基础的题目， 这个零基础的题目呢，这个我在三十讲里说过，它实际上是在考研数学啊，这个试卷上能够用到的，但是呢，呃，大学数学 啊，就是未学的，那么就大学数学未学的是什么意思？那就是你中学数学学的 是吧？所以这些内容呢，我们给大家做了一个零基础的内容啊，下面呢，我想通过题目啊，可以给大家来这个展示一遍啊，展示一遍我们的这个相关的重要知识，比如说第一题， 三一算法加三一比特方等于一是三一算法加 cosine 比特等。零的什么条件？实际上大家知道啊，这个题目呢，它其实是这么一个 考点，就是考察我们关于什么，就是 a 和 b 两个命题，它是什么关系的，是吧？哎，如果 a 推 b， 这 a 成立，则 b 成立，我们将 a 是 b 的 充分条件啊， b 是 a 的 必要条件， 那么如果反过来也能推，我们就称 ab 是 互为冲要条件啊，所以选项呢，就这样写的啊，大家中学的时候就高考一定有这种题的，考研也一定有 啊，二五年的卷子里面还有好几道这种题，大家一定要推清楚了，对吧？那二五年的那个压轴题啊，其实也是冲要条件，很多同学箭头符号写反了啊， 这个，这个有点可惜了啊，那你这个箭头写反了，那你这个，你不知道什么叫充分性，什么叫必要性都不行，是吧？好，下面我们来看一下啊。这个 d， 我 说一下啊，既非充分又非必要，有时候也称为无关条件， 假如考卷上写这四个字，你别不认识，你说这什么意思啊？它就是既非充分也非必要啊，所以也叫无关条件。 好，我们来看一下啊，然后假如这是 a 命题，这是 b 命题，我们看一下啊， a 成立，那么我们是不是可以取 alpha 背它呀？对吧？因为它不是商一方加 call 商一方， 所以三一方加三一方，那 alpha beta 只要取两个特殊点，让它等于一是不就行了，是不是？所以我们可以取这个 alpha 等于，比如说二分之派， beta 等于零，请问 alpha 等于二分之派，那么三二分之派是不是一啊？ 是吧？大家，那么一的平方还是一，再加上三一零，三一零是不是等于零啊？啊，零的平方是零吧，所以一加零等于几啊？一，所以这个 a 是 成立的，是吧？所以如果 a 成立，那我们看看 b 是 不是一定成立呢？那么你这个阿法取二分之派，是不是意味着这个就是一啊？ 那么你靠上北塔，他注意，靠上零是不是也是一啊？是不是？所以我们会得到什么呢？就是三二分之派加上靠上一零，实际上它是等于二 的，是吧？所以说 a 是 推不出 b 的， 所以 a 是 得不到 b 的， 看懂了吗？啊，那么我这里的 ab， 那 这是我刚才讲的是概念哈，我这里讲的那就是具体的 ab 了啊。好，反过来说，如果 b 成立啊，那，那如果 b 成立，大家注意，就是 sin alpha 是 不等于负的 cosine b 塔 是不是啊？啊，那么既然这个成立的话呢，我们来看这边是不是成立，那么这时候大家想想看啊，我是不是都改成 beta 角啊？我如果都改成 beta 角的话呢？那么 sin alpha 就 等于什么？是不是负的 cosine b 它的平方， 再加上 cosine b 它的平方是吧？大家是不是这个当然一定等于一了，看出来没有啊？就是如果 b 成立，就意味着 cosine b 它的平方，是吧？大家是不是这个当然等于一了，看出来没有啊？就是如果 b 成立，就意味着 f 是 负 cosine b 它， 那么这样呢？我把这个关系带到这个式子里面去，三一 alpha 就 换成了负 cosine beta， 果然 cosine 方加 cosine 方等于，对吧？所以 b 怎么说可以推出 a 类， 看到没有，所以我们称 a 是 b 的 什么，大家看清楚啊， a 推不出 b， b 能推出 a， 所以 a 是 b 的 叫做必要非充分， 是不是？所以答案选什么？选 b 很好，这叫必要非充分 啊。那么在这个考试的这个复习过程当中啊，大家多做一下这种题啊，一定要把这个充分必要的方向搞清楚， 是吧？当我做这个题呢，我实际上这里面还有一个思路跟大家说，你发现没有，你要能证出来，往往是一个严格的推理吧，大家看，你从这到这是不是推理过来 的，是吧？因为他是对的，就是你要正确的，当然可以证明了，是吧？那如果错的，你告诉我这个是不是取的， 听懂意思没？这个不正确的呢？我们这个不是推理的，这个如果是不正确的，我们这个往往叫做举反例， 举反例或者叫举特殊值，是吧？然后正确的呢？我们这个是证明过程，这两个是不一样的啊，举反例跟证明是不一样的啊，当然，如果两边都不对，你两边举反例 啊，这把它写清楚，是吧？啊，这是我们的第一个题。好，我们来看第二个题， 第二道题呢，是证明对任意正整数 n 均有二的 n 次方加二大于 n 方啊，这个大家其实也熟悉的，是吧？中学数学里面这个凡是涉及到对于正整数 n 的 命题， 我们往往可以考虑什么？各位，什么法？数学规范法很好，笔记先写下来啊，凡是涉及这个正整数 n 的 命题， 哎，你脑子里一定要有一个数学规范法， 注意啊，一定要有一个数学规划法的这个基本技能啊，因为什么数学规划法就是涉及正整数 n 的，是吧？啊，我这里说一句啊，我在讲技术上讲的时候跟大家说过啊，呃，这个大 n， 这个大 n 呢？我们一般叫做这个，呃，自然数啊，自然数里含不含零啊？ 各位，含不含零啊？这里有一个问题，就是，呃，你比如说中国数学会啊，他这个这中国的这个数学的最高组织了，中国数学会是不认可这个的，就是大学数学里面，他们说这个自然数里是没有零的， 那么为什么大家印象里自然数里有零呢？因为中小学教材的这个教育部审定的国家标准里是有的啊，这里面一个矛盾啊，为什么？因为制定中小学的这个数学的这个里头的负责人呢？他从法国回来的， 法国欧洲人，这个法国是一个大家知道法国的数学强国啊，拉格朗日法国人 晓了吧。啊？科西法国人，这个法国认为零是自然数里头啊，我们不认可啊，不认可，但是呢，你们中小学就带零进去了，所以大学现在没办法啊，所以他们不满意也没有办法 啊，所以呢，这个事我我也只能这样说，大学数学里面，你看到人讲自然数没带着零，你不要说他错了好不好啊，当然他也说不了你错啊，你学过的 从小学学自然数里就有零啊，说这个矛盾我们也不去解决，也不去讨论它啊，这反正是个规定嘛，是吧。啊，好，那么我现在讲呢，我就说正整数了，好吧，正整数开始的，那么就从一了啊，正整数从一开始取 好。呃，怎么正呢？两个办法，一个是第一数规范，我先介绍一下啊，第一数规范， 这相当于讲课又讲一遍啊，我在课上时间讲过了，当然讲题型，那我就推广一下第一竖规法是这样的，大家记得多米诺骨牌是吧？ 多米诺骨牌是这样啊，就是说我这个，我这个画在这相当拍扁了给你看的啊，这个牌啊，他如果第一个牌倒了，是不是压第三个，第三个倒了是不是压第四个是吧，就这样一直倒下去了，这叫第一竖规法， 所以在第一书规法中呢，这个第一啊，你可以通俗的理解成就让一个先倒是吧，所以它三个字，第一是验 验 n 等于一啊，或者是二等啊，成立 啊，就是我讲的第一张牌倒了是意思吧，那么第二个就是设 n 等于 k 时成立， 第三证明 n 等于 k 加一时成立，回答完毕啊，所以三个字叫做验设证。 大家看逻辑啊，当你这里的 n 呢就说清楚了，那你如果是，如果这里的 n 是 从一开始的，那我这个 k 是 不是就大于二？大于等于二就行了， 不理我是不是，那就这个意思对吧。哎，那么你这个逻辑是什么呢？就是说如果第一张牌倒了， 那么我现在社和政的这个工作只要成立了，就意味着第一张牌倒，他就把第二张牌压倒了，是吧？第二张牌倒会压第三张，第三张倒了会压第四张，是不是这样一词下去？ 哎，这是一个非常呃清晰的一个基本逻辑，这个呢，就是第一竖规法。好，我们现在呢，先用第一竖规法来做这个题啊，我们来写一下这个过程啊。 好，第一步做验证。有人说，老师，那第二式规范在哪啊？稍安勿躁啊，下一个题就来了啊。呃，这个第一步我们先来验， 大家告诉我， n 等于一，可以吧，可以是吧？ n 等于一时，请问是不是二的一次方加上二是大于一的平方的， 没错吧？是吧，要不要算？有同学还心里算一下，不要算，我问你，他是不是想对认证的时候都成立？这是证明题啊，那你不成立的话，这个题目出错了 是吧，你不需要去算的啊，讨巧一下。好吧，那你想算，你算这个很正常，很简单，四大于一好不好？哎，好，第二步十 是什么呢？那就是 n 等于 k 十，那我现在就 n 等于 k 十乘以二的 k 值方加二是不大于 k 的 平方。 看到没说这个吧。哎，我这个说呢，你这个很清楚啊，这个设置一步也很简单，验当最简单的啊，找个出示的一或者二或者三，是吧？哎，验证成立，然后你设但，但是啊，大家千万不要以为这个东西写出来就是 啊，写出来很简单，但它还有大用处的，那你想想看，是不是第三步证的时候一定得用到它，对吧？那这是关键，这是实际上是关键的势子，那么再换句话说，就是你设定的这个结果啊，它是接下来证明的方向， 这就是接下来证明的方向啊，你说归法一定要把这个逻辑把它弄清楚，是吧？好，三，你看啊，是不是这样证明 n 等于 k 加一是成立，那么大家知道 n 等于 k 加一是成立呢？我实际上就是要证明二的 k 加一次方加上二，最后怎么大于怎么怎么怎么怎么着，是不是只有大于 k 加一的平方是不就行了？ 是不是？大家啊，我讲解题啊，我要讲思路啊，那不是说照着答案抄一遍的那，那不是讲题，那么你现在就是我要证明这个，你中间填空啊， 对了吧，中间填空这里面可能就会啊，有些困难啊，辛苦大家了。那你看第一步，我说了正面的方向是不是这个，是不是？所以你这个步骤啊，我觉得就第一个，你要想到把它先写成什么，一定要有二的 case 方加二，对吧？ 是不是缺什么补什么啊，少什么添什么，你记住的话，所以你这个地方这里乘以二吧，为什么你要等下来，你二的 k 加一次方是不得是二的 k 加一次方相当于提个二出去了， 懂没有啊？然后你要凑这个加二，比如说我说你为什么要凑它，我刚才说你用它嘛，对吧？你用它这是白给你的条件啊，你不用它你没法挣啊，对了吧，所以你把这个凑出来以后，那么大家再来看它缺什么还 二的 k k 加一次方，等于吧，它是加二，你这是不是加四？加四不行啊，再给他减个二吧， 是不？等起来了，这个叫恒等变形，能听懂意思吧？相当于你加了一个二，是不是减了个二？那大家告诉我加了个二，减了个二是什么？是不是加了个零啊？是不是相当于是 a 等于 a 加上一个零啊？ 是吧？这个是什么？大家注意啊，在数学里面这个式子特别重要， 你千万不要认为哟， a 等于 a 哟，这个是了不得的，你知不知道多少式子是这样变过来的，你想想看啊，然后你接着往下走的时候，继续做题的时候，你去数一数你做了多少次加零的工作， 我就告诉你零是什么？零在现代数学语言里面，它实际上有个名字，这个叫做零元， 零元素知道意思吧？零元素什么意思啊？就这个集合里面有一个不可或缺的人，他叫零元， 懂了没有？我再说一遍啊，数学里零在数量上是没有的，所以中小学一般就认为零，你就是不要看他零是没有，可是你这个理解是错的，零在数学里是非常重要的一个地位， 他是重要的数据研究对象，听懂没有？待会还有一个，还有一个元素啊，你们猜也猜到了，还有一个是什么？还有个一呢，我等会再说这个一的事啊。好了，那么到这呢，大家就写出来，你告诉我是不是有了大于了吧， 哎，这又来了，大于谁？ k 方是不是就把它换成 k 方了？其他照抄，是不是二减去二， 是这样吗？都不理我是不是？好，你写到二 k 方减二，但你要注意啊，你写到这儿可不是它呀，这时候怎么办？ 说方向，方向你就往它凑嘛，对不对？还是那句话，缺什么就补什么啊，我们来看一下，这个是草稿纸写啊，这是二 k 方减二， 那么这边呢，打开以后是不是叫 k 方加二， k 加上一，是这样吧，那么缺什么？我们这里看嘛，缺什么？那么他要写的话，他得写成是不是 k 方，这个加 k 方 能看懂意思吧？我就这个 k 方得挪走一个啊，然后因为我这个是 k 方加二， k 加一的，是吧，所以呢，用 k 方加上二 k， 大家注意是不是加一个，再减一个 跟上是不是？然后你加一加一，是不是再减一，对了吧，它还有个谁减二？所以你是不是在这里面凑出了它，是不是凑出它了，剩下的是不是还有四项合起来是不是叫做 等于 k 加一的平方？这就是方向吧，把它挪到这来了，然后再加上什么？ k 方减二， k 减三吧， 是不是？好，我们再写出来啊，再大一点看，它呢，就等于 k 加一的平方，再加上这个。来，你告诉我这个是什么，可以英式分解吧？可以英式分解哈，这个是中学基本知识，是不是叫 k 什么？ k 加一 k 减三吧， 这不用我说吧，这很简单了。好，那么加上呢？ k 加一， k 减三。好，我写到这了啊，接下来怎么办？各位 开动脑筋啊，大家看啊，就是这个中间过程啊，我基本上快填完了吧，快要填完了，就差一哆嗦了， 这有多数呢？就这个已经近在咫尺是吧？啊？这种怎么甩掉他，你会发现这个有问题了，为什么可以减三，不一定这个大于零啊，是吧？说明什么？ 你看我留空了，看到没有？你没留吧？啊？你留留空没有，哎，所以我这个赊的时候啊，大家注意你这个，一般来讲这个这个数得保证这个式子，你要证明的过程当中他得满足提议，对吧？所以我现在 k 就 要大于三的话，是不是验三个就行了？ n 等于一， n 等于二，二十二次方加二一定大于二十二次方， n 等于三，二十三次方，加二一定要大于三的平方，是这吧， 都不理我，对吧？哎，不要算啊，我刚才说了不用算的，哎，大家这样一写，你告诉我这里的 k 是 不是就是大于三了， 看到了没有啊？我前三张牌我不让逻辑推理，我就一个一个验，是不是前三张都倒了，所以你这逻辑推导是从四开始推的，所以这个一定大于零的， 看到没有？这个一定大于零的好，证明完毕，故它大于 k 加一方，因为 k 加一方加正数大于 k 加一方，这就是你填空中间的这些东西。 那么我问大家啊，就是我们整个写的过程当中，请问大家第一步，这个等是不是有理由的？ 是不是有道理的？我要凑这个出来吧，我第二步这个放缩小是不是也是有道理的？因为这是这个方向，对吧？我第三步，大家注意写到这 是不是也是有道理的？我是按照这个方向写的吧，我这个把它甩掉是不是也是有道理的？因为我要根据自己前面的验和色来确定 k 从几开始数， 整个题目他每一个点都是环环相扣的，是吧？要讲道理啊，所以大家做题呢，我的意见就是这个， 你像这种题啊，非常好的训练素材啊，所以一千题给大家选题目呢。我觉得刷题啊，但千万不要为了数量而刷题啊，一定要把质量给我做到啊。一道题目，嗯， 你们我的建议啊，不要在题目旁边啊，就是大家如果有习题集，我的建议不要在题目旁边写东西， 你在题目把这些东西写哪去呢？写到笔记本上，或者写到你的解析的那个册子里面去，对吧？因为书习题集不都有解析答案吗？写到那里面去，然后过两个礼拜你再回来做这个题， 你再回来做这个题呢？两种情况，第一，你可以很快做出来，那说明你过关了。第二，更大的可能性你还不会做， 为什么？因为这个时候没有任何提示，如果你把这笔记都写，这些东西都写在你的题目旁边了，你想想看，你再看到这个题是不是就隐藏了你的那个其实你的不会的地方，是吧？你一看到这些东西你肯定都会了， 是吧？哎，我建议至少两遍啊，第二遍就是半个月之后再做，你还会吗？那这个如果再会，那说明就很好了啊，这个你是真会了啊，真会了。好吧，好，这是第二第三个题目下面第啊，第二个题目，第三个题目，我们再来看这个啊。 呃，设实数 a 里头数列 x 满足 x 零等于一， 然后且对任意的正整数 n 均有 x n 等于 x n 减一分之一加 a 啊，证明对任意的正整数 n 有 x n 大 于一啊。大家这个读题啊，都没问题了啊，读题都没问题，现在呢，我们来看一下 分析。下面我要讲这个第二数规范了，有些时候呢，第一数规范能解决问题就很好了啊，弄的这个，但是大家注意看啊，你比如说像这个题， 他这个假如说，因为你 x 零本身等于一的，是吧？ x 零等于一呢？那么你的 x 一 我先用草稿纸写一下啊，那么如果你验证，那就是我的 x 一 n 取一的时候，是吧，他是等于 x 零分之一，是不是加上 a 的？ 没理我是不是好，那么就是一加 a 了，那么由于你的 a 是 大于大于零的，显然这个大于一没有错吧？ 没问题啊，所以就是我可以验证 n 等于一的时候呢， n 等于这个是成立的啊，但是这个时候如果是 n 等于 k 时成立， 那么那就是 x k 大 于一，是吧？所以大家看啊，那么这个时候的证明， x k 加一等于 x k 分 之一加上 a， 是 吧？那你发现没有，这个很辛苦啊，这个怎么证？你首先知道一条 x k 是 不是大于一的， 这个倒过来是不大零小一了，是吧？这个 a 是 不是也是大零小一的？这两个加起来，你要占它大于一，这恐怕是 困难了，是吧？明白是吧啊，所以这个时候呢，如果你发现 这是关于正整数 n 的 命题，但是第一顺序法可能没法用的时候，这时候大家想想看，是不是我要再增加一个 这个条件，什么条件呢？就是我要去寻找 x n 减一和 x n 之间的关系，这个时候涉及到呢啊，其实往往他，呃在以后大家学到代数的时候，我们还会再总结的，他其实涉及的是三个人的关系， 就是 x n、 x n 减一和 x n 减二啊，因为 x n 和 x n 减一，就是这两个人，你解决不了问题了，你就再拉一个人过来， 明白，是吧？实际上叫做二阶，二阶研究对象，这个阶数啊，就是 x n 和 x n 减一，它告诉是不是差一阶，这是一阶问题啊，比如刚才我们讲那个题，一阶问题就能解决了，对吧？那么如果是 x n x n 减一， x n 减二， 这是涉及到这三个人的关系，这个呢称之为二阶问题。二阶是指他俩的差，是吧？二阶问题一般就是第二书规范，我先写一下啊，就是说你看来这个单纯的两个人的关系解决不了问题了，所以我们考虑第二书规范。 第二书规范呢，那么既然你涉及到三者关系，所以第一个验证的工作就不是验一个了，我们是不是至少验两个？ 听懂意思没有？看好了啊？两张牌倒了，然后第第二个设，注意这个设法啊，这里设是 n 小 于等于 k 十 成立。第三我们来证明 n 等于 k 加一十成立， 这里 k 就 大于等于二了。好，我先写完，大家写完之后我来跟你说一下，这怎么回事啊？还是这个多米诺骨牌， 其实这个也还是很简单的，你验了两个，是不是验的代表的是小于等于 k 的 情况，不是等于 k 啊，是不是小于等于 k， 那 意味着说在 k 之前的是不是全倒了？ 听懂意思没有？那么如果 k 之前的全倒了，可以把 k 加一个压倒，哎，看懂逻辑了吗？那么这 k 加一个是不可以把 k 加二个压倒，那么这 k 加二个可以一起把 k 加三个压倒，是不全倒了， 看到没有，这多明的股牌呢？他还有这样一种模式，再说一遍啊，两个代表一堆人，懂吧？那么这一堆人倒下来了，是不是把他们这一堆人剩下的那一个压倒了，然后呢？这个人呢？就参与到跟他们这一堆人，这 k 是 不是涨了一个， 是不是小一点？ k 都成立了啊？那么涨了一个呢？他们就会会会压到他们三个后面的第四个倒了吧，倒了之后，这 k 是 不是又加一个？因为你只要 k 加一个，他再加一个，还成立嘛？所以就是一倒，一直就全倒了， 懂了吗？这叫第二式规法啊，这也是多明的股牌啊，一个基本逻辑。好了，你知道这个方法呢？那么这个主要适用于呢？就是 单纯关系一阶问题解决不了的，我们一般是就是二阶问题呢，就用它了。好，我们来看一下这个解析过程，我们来写一下啊。 好，这个第一步呢，你键 n 等于一二，刚才一我都验过了啊，第一，我们来验证， 那么 n 等于十呢？就是 n 等于一时候 x 零分之一加上 a， 就是 因为 x 零是一嘛？是吧？ 一加 a 是 大于一的，没问题， n 等于二时，我的 x 二是等于 x 一 分之一加上 a 的，是吧？大家，那么 x 一 等于多少？各位， 是不是一加 a 啊？是，就是一加 a 分 之一加上 a， 对 吧？一通分它就等于一加 a 分 之一加一起念多少？ a 加 a 方是不大于一啊， 看到没有？看到了吧，这个都很简单的啊，你一通风嘛，一加 a 比一加 a 不是 一嘛，是吧？你再加 a 方， a 方是大于零的，所以是大于一的，好好验证呢，我一直说这个很简单。第二，如我们来设 n 小 于等于 k， n 小 于等于 k， 我 这里 k 呢，就大于等于二了。 n 小 于等于 k 时成立，那就是 x k， 那 就是 x k 是 大于一的， 是不是啊？好，这个时候啊，大家写的时候呢，你的这个联系的关系就多了，为什么呢？你看啊，我问大家， x k 是 不是大于一啊，那你要知道这小一等于 k 是 不是都成立啊？这时候请问大家，这个 x k 减一是不是也在里，也可以是拿过来了，他是不是大于一的， 对不对？我写个显然，但是大家注意啊，我们经常在数学里面喜欢干这种事情，对吧？显然？什么什么啊，你不要看的这个很气愤啊， 你说你，我怎么没看出显然啊，盯半天，我告诉你，显然这个词，他就往往表达的是作者的一个心情啊，这个心情就是说这很有用，你不要以为他光是显然这个词好吧，哎，但是你看啊，我问大家，是不是 k 减 k 减一来了， 这个小兄弟来帮忙啊，他能帮大忙的，因为什么？刚才我们已经是检验过了，你用 k x k 和 x k 加一，你挣不出来啊， 是不是也就是两个一切关系挣不出来的，所以我们现在得让 k 减一过来，你看， k 减一来，再跟 x k 联合起来，就能把 x k 加一就能弄出来了，你看，这是很很有意思的啊，这很神奇的事情，那大家现在看 x k 是 不是也是大一的， 对吧？那 x k 大 于一， x 减 x k 减一是不是也大一啊？好，我们写一下，它等于什么呢？那 x k 减一分之一是不是加上 a？ 这不还是抄这个公式吧，哎，不理我，是不是，你看出来了啊？我这样一弄的话，我就出来了，我把它的关系带到这里面来，大家告诉我，它是不是小于一加 a， 你 看对不对？就这个东西是什么呢？这个大仁小义了 对不对？你这不大姨的吗？你大姨的倒数不是大龄小姨吗？大龄小姨放大到一啊，哎，哎，大龄小姨啊，小姨不是小姨吗？是吧？虽然大家看到没有，我们把这小兄弟带过来，是不是给 x k 找到上界了， 对吧？那么你只要上届已经有了话，你看 x k 加一不就出来了吗？所以立即推三，你的证明不就出来了吗？证明，那么就是 x k 加一等于 x k 分 之一加上 a， 是 吧？大家，我现在 x k 既然是小于一加 a 的， 是不是它是上届了是吧？那么请问它倒过来呢？就大于一加 a 分 之一加 a 了吧，你看你看，是不是 都不理我，对吧？哎，出来了吧，那么这，这不就做完了吗？这个不就这个吗？一通分，一加 a 分 之一加 a 加 a 分 大于一，证明完毕， 很精彩吧。哎，所以你就要找到什么了呢？你就找到了，我就是 x k 减一， x k 加一，你看是不是二阶问题， 是吧？他设计了三个人了，我这个解析经验就告诉你了啊，你要学到我这个经验，如果两个挨着边的就是差一号的啊，你解决不了问题，你再拉一个人进来，你把他们的不等关系都摆在那，一推就出来了， 懂了吧？好，那么说到这呢，我们就做个总结了，现在你笔记就可以补回到前面来了，那么我们刚才讲的第一竖规范，这个是用于什么呢？ 来，笔记来了，换个颜色了啊，一般总结性的东西呢，这个也很重要的，一出规法往往用于是 x n 与 x n 减一的一阶问题 啊，你只要设计的，当然这不光是 x 了是吧，你要抽象化来讲的话呢，如果可以是 fn 和 fn 减一的关系是吧？ 这是第一束规法，那么第二束规法呢，那么它主要是用于这个是多用于，那么就是 x n x n 减啊， x n 减一啊， x n 与 x n 加一啊，那么的二阶问题 啊，好了，那么这样呢，我们就把这两个呢，通过这两个题目就把它这个总结在一起了，好，下面看第四题， 这个题啊，是我们在三十讲的零基础里讲的什么，大家就是关于多项式的，呃，运算是吧？啊，四则运算 多一项式，四字预算里面呢，呃，最困难的当然就是加减法，我就不用说了，是吧？最困难的呢就是乘法啊，这个乘法呢，我们讲的是数式计算法，是吧，我们来写一下这个数式计算法 名字，这个都无所谓，是吧？啊，大家看一下啊，第一项，那么这个 a， 大家注意啊， a 的， 我们按照这个排列的话，就这样排了 a 的 三次方，那么接下来是不是 a 的 平方啊？ a 的 平方没有，呃，就缺项补零吧。二， 呃，这个三次方前面系数是二， a 的 二次方前面系数是零，对吧？ a 的 一次方前面系数是一， a 的 零次方前面系数是一，对吧？啊？ a 降密排列，然后呢？呃，这个就有了，然后第二个呢？ a 方前面的系数是一， 是吧？然后 a 的 一次方前面系数是负一，对吧？这样的话我们就可以直接来 数式计算法，那么直接乘就行了，一乘二，一乘零，一乘一，那么这个就是什么？二零一一，是吧？然后负一二零，这个负二零负一负一，那么这写着说就是负二零，负一 负一，然后把它们加起来，可以了，这就是二负二，一零负一， 是吧？数字计算法。这个我们在三人讲的时候讲过了啊，你就把这个多项式呢？呃，每一个多项式都按照 a 降密排列， b 生密排列，是吧？然后我们就取他们的系数 啊，然后系数呢，就是缺项补零就行了，这样呢，我们就可以立即得到这个答案啊。我直接写答案了，那么这个答案呢，就等于原式，就等于。那么你这个开始写了，这个二二倍的， 那么我现在就是三次方乘二次方，最高的是几啊？五次方嘛，对吧？所以是 a 的 五次方，然后 b 的 一次方， 看到没有啊？这不 b 的 一次方嘛，是吧？最低一次方，然后接下来呢是减去二倍的 a 的 a 降一次， b 升一次，然后加上一倍的 a 的 三次方， b 的 三次方， 零就不写了啊，你要写的话就是零倍的 a 的 平方 b 的 四十分，是吧？然后再减去一倍的 a， b 的 五十分， 这个呢就写完了啊，这个速度呢，会很快的，就是说我可以给你一个数字计算的方法，多项式相乘，有可能大家算起来比较辛苦，是吧。啊，具体的规则，这个我就是个题型啊，具体规则在三十讲里面讲过了啊，大家回头看书啊，书上就写的很详细。 好，下面我们来看，这个没问题吧，大家啊，这样可以保证你不出错的啊，既快又准，那么如果你要打开算，合并同类项，稍微注意一下就行，是吧，也不是多困难的事情啊，这个就说到这啊，千万记住啊，趋向要补零啊， 哎，因为这个没有 a 的 四次方啊，就没有 a 的 二次方，听到没有，没有二次方要补零的啊，好，下面我们看除法，除法也是啊，这个多项式的长除法也是，主要一点就是介绍大家呢，就是说去向补零，不要忘记了分析 第五题，设 number 不 等于零，二则，这个有理式啊，这个分子是个多项式，分母是个多项式，是吧？哎，这个时候我们做除法，首先第一步先化简一下，大家看分子分母是不都可以提个 number 出来啊， 所以原式呢，我们首先把它写成三次方，减去三倍的 number， 加上十六，除以 number 减二， 对吧。好，接下来那么就用这个多项是长除法，三，那么的方，这个没有缺项的是吧？三二一零次方，对了吧， 除以 number 减二啊，所以这个这个应该是不难的啊，第一，商几啊，这是 number 三次方，这是 number 的， 是不是商哎， number 的 方，对吧，这样的话，它跟它乘，是不是叫 number 的 三次方，减去二倍的 number 的 方 都不理我是吧？好，它减它，它减它的话呢，这个约掉了，负三减二呢，就是负 number 的 方 减去六个 number， 对 吧？商几又商几？各位负 number 对 吧？负 number 负 number， 那 么这负 number 乘 number 呢？就负 number 方， 你商的这个表达式就是要乘起来把第一项约掉嘛。啊，高次高次项给它约掉，这个是多少？加上两个 number， 好，它再减它多少？负六减二是负八， number 加上十六，是吧？这个再商几 减八就行了，对不对？减八，这负八 number 加上十六，这刚好等于零。好，这样呢，我们的填空填的是 number 方减去 number 减去八， 这个在什么时候用呢？我们一般呢是这个多项式的运算。呃，大家知道一个高等数学里面就是有理式的化简，我们要用到是吧？还一个重要的地方 就是大家以后千奇代数啊，我们经常会求特增值啊，特增值里头呢，它展开式其实就是那么多三次，这个以后大家会知道的啊，就是一个非常重要必考的题 哎，就是求三阶矩阵的特征值。那有的时候你不会因式分解不好，因式分解的时候呢，我们就做这样一个常数法啊，就很容易解决了。我到基础三讲的代数里面，我们还会再讲一遍。这个啊，我现在基础三讲也已经又讲了一遍了啊，咱们这个呢是个练习。 好吧，这个大家把它掌握清楚啊，如果各位以后因为你们都是啊，包括屏幕前面啊，你们这都是准研究生啊，啊，这一定考上了，所以你要经历个数啊，你们关于多项式的这个知识啊， 还是比较欠缺的啊，大家到研一的时候啊还得补这个课啊这个你必须得学的啊啊多项式理论还是很重要的好这第五题 下面第六题我们来看啊。呃这个题也是挺好的啊这个 你看我们这个题目的质量啊是吧你你你不要看就是说好像很没设计的尾积分我告诉你尾积分里面你可能不会做的过程往往就是这里面的一些过程 哈好大家看啊 f x 等于一加 x 平方分之 x 平方则那么这七个项加起来等于几 不难吧。有人说老师算呗对吧哎这里头呢我跟你们说一个你们以后会听听说的哎你们中学是不是也听说过叫做什么硬算不丢人 啊硬算不丢人是吧哈哈哈。啊经常有人这样讲因为你上了考场一紧张啊很多同学是你考场什么什么方法没有了。拉倒吧来吧不就七项吗我带进去一个算算住一架 忙中容易出错啊各位是吧你不如静下心来是吧那我七项那我假如是七十项呢你放弃了是吧啊你知道吗去年前年考试那个是五阶导数吧五阶导数有人说哎呀五阶导来吧是吧那考九阶导数呢 你这个很冒险的啊各位一般我告诉你求三阶导之后一般脑子就容易糊涂了是吧 看到特点没有同学们看到特点没有是不是自变量取倒数啊对吧是不是倒数关系你看它有 f 二加 f 二分之一啊它有 f 三加 f 三分之一啊那显然是提示我们什么我做个倒代换吧 能听懂是吧所以我倒代换的意思是说呢我现在 f 由于 f x， 哎， 这几只笔，这么由于 f x 呢？它是等于 x 方比上一加 x 方的，那么我立即可以得到 f， 因为这个很简单，我就直接写了 f x 分 之一，那么就可以写成什么一加上 x 分 之一的平方，分之 x 分 之一的平方，对吧？大家 这好理解吧，因为这里头没有零啊，对吧，那么就限定一下 x 不 等于零啊，就行了吗？好，那么这样的话呢，一整理，你会发现这个等于几啊，相当于是说这个底下是 x 方，一通分，是不是叫一加 x 方上面是不是就是一了？ 这个不用我啰嗦吧，你上下把 x 平方余掉嘛，对吧？或者说上下都乘上 x 方，不就把它变成这个了嘛。好，大家看这两个加起来是多少，于是你会得到 f x 加上 f x 分 之一，是不是等于一啊？ 它俩加是不是等于一啊，对吧？哎，这个很重要啊，有很多时候就是你要建立的 是一个抽象的关系式啊。我一再强调啊，数学越往后走，一定要学会把具体的例子要把它统一化，抽象化啊，要有想法， 是吧？大家这题就有了，所以这个答案就很简单了，所以就是说，不论 x 取什么，只要不等零， f x 加 f x 分 之一是不一定得一啊， 哎，是不是这这两个加起来等于几一？这两个加起来等于几一，这两个加起来等于几一？好了，已经有三个了吧，三个一了，有人说 f 一 没人加呀， f 一 没人加呀， f 一 等于几，那等于二分之一吗？为什么？因为 f 一 加 f 一 嘛， x 取一，它类是一样的，是不是？这不是二分之一吗？对，答案二分之七， 对不对哦？呃，我给大家选的这些题和编的这些题有很多一千题的很多题是我自己编的啊啊，很多原创题啊，你以后往后做你就知道这个有很多呢，它实际上是大家解题过程当中 啊。呃，统计下来很多同学出错的地方啊，我们对这些训练呢是有针对性的。好，下面看第七题，我告诉你这个题你要打打星了啊，一个星不够的 double star， triple star。 哎，我跟你讲啊，就这道题，你如果会做啊，就完整的写出来啊。我认为你对于呃，我稍微说早一点啊，你对于黎曼思想啊就掌握的非常好 啊，我记得在二零二零年前后啊，那个数一数三数二数二也考了，就是有一道压轴题，他在过程当中讨论用的就是这一部分分类讨论的思想，但其实用的是零慢思想。你说什么叫零慢思想？我提一句啊， 大区间解决不了的问题，分成小区间，我一直会说这个话的啊，唯积分最关键的思想就在这， 以后大家慢慢学就会知道我这个意思啊，你对某一句话的理解可能随着你学习的深入啊，会越来越深刻感觉到。好，我们来看一下这个证明啊， 设 f x 在 零一到一上有定义， f 零等于 f 一 是吧？大家他讲 f 零等于 f 一， 且对任意的 x 一 x 二属于零到一，都有这样一个不等式成立， 那么当 ab 都在零到一时，证明 f a 减 f b 的 绝对值是小于等于二分之一的， 是吧？那大家自然其实很简单一件事，就说我当然知道 f x 一 减 f x 二，那么 x x 二是任取在 ab 呃，零一上的，那么就意味着其实 ab 就是 x x 二吧， 就这个意思对吧，所以你这个绝对值小于等于一是没有任何问题的， 是不是啊？那你这当然是的，是吧，因为 x 减 x 二的距距离嘛，它最多就是一了是吧？它小点一这是没有问题的。但它现在各位这个很贪心的啊，它竟然直接让你把长度整个说一半啊， 是不是整个梭鱼板，那说明他这个精确度就高多了吧，是吧？精确度高多了，哎，那怎么把它缩小证明出来呢 啊？大家看啊，零一是吧，你看好啊，我大概的意思我就跟你说一下，就是你有没有发现这个题目其实在零到一的区间上应该是有一个打引号的对称性的 是吧？啊，对称不是大家，我们往往光指几何上啊啊，对称性实际上是现在数学理解也是一个非常重要的概念，这对我们做考研题啊啊，做这个大学数学的题有时候很有启发的，比如说 在这种所谓的对称性下啊，你实际上字母 x x 二是不是有一种轮换对称的概念，就是轮换对称的这个作用啊，也就是说我这里 x x 二是不是可以做换就 x x x 二可以换啊，换了之后不影响这个题目吧， 要不理我是吧？你比如说 x f x 二减 x 一 x 二 x 一 是不可以啊？啊，我就简单提这么一句啊， 那么这个怎么用呢？对啊，我们光有想法不行，你关于落实他怎么用啊？啊，我们首先呢，呃，那你就是分情况讨论是容易的，你先看如果 x 一 减 x 二，他有没有可能小于等于二分之一， 有可能吧，我们就把它最简单的先写完它第一个，这个当我的 a 减 b 的 绝对值是小于等于二分之一十， 我一旦写当什么什么时，那就说明分情况讨论了，对吧？哎，那你想这个 x 一 x 二，我现在就是任取的 ab 吧，它既然 ab 在 零到一里头，它确实是有这种情况成立的， 不理我是不是？哎，你，你当你的距离就是这二分之一这个值，这不显然的吗？是吧？所以立即可以得到我的 fa 减去 f b 的 绝对值，它就小于等于超，这个嘛，就是 a 减 b 的 绝对值小点二分之一，那么显然成立， 这分不就来了吗？是吧？我先提醒你了啊，二六考研啊，年底考试，你给我到时候写啊。还有这种题，就说你先把这个最简单的写出来 是吧？你说你一个大区间一下子缩小这么多，他怎么成立的？你分类讨论啊，对吧？他只要是变量可以取到那个值，你把它限定在那，那不就是分就来了吗？ 听懂没有？这分就来了啊，你不要就是字分不少的， 一般说来，这个十二分大题，你随便写点东西，两三分来了，只要写的对啊，两三分什么概念？ 一个万一填空零点五分，你随便写两句话，你四个四个六个万一填空就来了，是吧？比你做那个是不是要这个啊？当然最困难的是第二步了，当我这个 a 减 b 的 绝对值，我写的就是大于二分之一了，是吧？ a 减 b 的 绝对值大于二分之一十，那么当然这个是最困难的一个问题了啊但是这个呢就跟我刚才说的这个对称性啊，你大概有这个思想上来就是说我这个 a b 不 妨假设 a 小 于 b， 好 吧不妨 十 a 小 于 b 可以 吧大家那么这时候你就发现一点如果他俩的距离是大于二分之一的那么就意味着我这个现在呢我就是说小于等于的这个东西是大于二分之一的了 是吧？一旦不等式出现这个不等号对头了，就是要么是这样对着的要么是这样对着是吧，那这个事情就麻烦了没法推下去了啊。 呃我想这样说啊，我想问大家啊你有没有一点想法先我刚才跟你说了个对称性的概念啊啊我大概说了个对称性的概念，你有没有想法现在 就上考场了假如我们现在就做这个题了哎我我都给你摆在这啊是不？一个小一点他一个大一他这不就全面了吗是吧？这叫做分类讨论，全面的讨论完了这个分就来了，怎么办？ 我看有没有特别想法。首先有一个技术办法抬头看着屏幕 屏幕前面啊你看着题目你说你一个技术办法是什么？就是我不用动脑筋的我一定要找一找这个题目里面还有什么东西我没用上 对吧？啊？考研题不可能多一个字的，一个字他都不会多说有个什么没用上。各位很好， f 零等于 f 一 对吧？经常你还没用他呢怎么办？用上啊是吧。这个这时候我所谓的这个对数形的概念就是说你要把零这个点跟一这个点他是等的，看到没有等的函数值相同的，所以他俩的地位应该也是相同的， 是吧？你既然要研究 f a 和 f b 之间的差，你告诉我是不是就研究变成这个四个点的问题了，是吧？既然它俩相等怎么办？ 哎，我刚讲过一个零元素，零元记得吗？加一个减一个，是吧？只要等你就能做差，他一做差就是零，零元只要拉进来，这个事解决了，解决不了，卷子给他撕了， 对吧？那数学题就是这样的，你只要想对了，它一定是正确的。所以这个时候我的 f a 减去 f b， 它的它就等于 fa， 那 随你呢，你 a 的 话应该往这减吧， 不理我是不是减去 f 零，你减个 f 零，按道理应该是加 f 零吧，可是由于对称性，这两个是一个意思了，它有相等的，所以是加谁加 f 一 就行了吧， 看到没有，这个是不是叫零元？减一个量加一个量，这个是相等的，加的是个零啊？啊，那么这样的话呢，再减去这个 f b， 大家看你这时候再取绝对值， 有了吧。这时候用我们最开始的基本不等式， a 加 b 的 绝对值，加上 b 的 绝对值， f 一 减去 f b， 这无所谓，谁在前后都无所谓，能看懂吗？这个这一步没有不会的吧，就是 a 一 加减 a 二 加减 a n 有 限的量加加减的绝对值是小一点于这些量的绝对值的和的， 对吧？基本不等式啊，像这个数字大家也是用的非常多的，对吧？你要如果就用两个，大家最好理解的就是基本的三角不等式嘛，对吧？ 有了吧。好，那么这样的话呢，我们就写到这，你看这个小点谁， 你这现在往这套了吧，是吧？大家，这个就是小于等于啊，往这套啊，往这套啊，基本的式子，因为你这个东西是一定要往这套的，对吧？想点谁？ a 减零的绝对值吧，这个将是什么？ e 减 b 的 绝对值吧， 对了吧？好，大家现在看，他就等于 a 减零，是不是就是 a， 对 吧？因为 a 是 大零的，然后一减 b， 是 不是就是一减 b 啊？加上一减去 b， 你 看出来了吧？你现在是不是叫一减去括号 b 减 a 啊？ 不理我，是不是，哎，那就有了吗？你看 a 减 b 的 绝对值大于二分之一，就意味着 b 减 a， 是 不是大于二分之一？哎，是吧，因为你不妨假设 a 小 于 b， 所以 b 减 a 大 于二分之一，所以以减去中间这一段是一定是小于二分之一的，证明完毕， 对吧？这个题很漂亮的啊，是非常重要的一个考题。这种分类讨论的思想呢，用到了一个对称性的概念啊，这个还能变形，大家用好它啊，主要是这一步了，这一步的，这个还能变形，这个很重要的。 我说了啊，一个区间解决不了的问题，要切分，是吧？切成若干个区间啊，区间越多，你记住，区间越多，信息越多，工具越多， 是吧？哎，这个黎曼思想就后面会延伸到更高的一个层次，就是你区间切的越细，你在这个区间上做近视就越合理，哎， 你区间本来长这个样子，上面曲线是吧？你要算它的面积，你说从底边长去随便找一点算高，这是很荒唐的。你这个面积不可能，为什么？因为这每一点的高度不一样，是吧？ 但是为什么人们能够算出它的精确面积呢？就是李曼思想，李曼的意思是说你把底边长切切切，越切的小，你取这一小条，它径直成矩形的稳定性就越强， 对吧？因为你这个区间越小，上面当成长数看的理性就越强，对吧？所以就出现了后面这个办法啊，这个，所以这个切区间啊，这个这维积分里面的一个非常重要的一个一个事情啊， 切区间，哎哎，你到了研究生阶段，你要是再去学现代数学的话，你会发现还有个什么呢？就是切映切这个映射啊，映射的这个映射符合映射，你切的越多，只要你那个研究起来越容易， 是吧？因为他映射从一个集合到另外一个集合，他中间可能很复杂，明白，是吧？你可你能听懂我意思吧？他可能很复杂，从一个集合到另外一个集合， 这可能很复杂，对吧？所以呢，我们就可能说先走到一个集合啊，再走这个集合，再到这个集合啊，那么这一个是等于他们三个的复合， 虽然呢，就是大家没有学过这些啊，我的意思就是以后你会知道啊，就分解嘛，对吧？分解。

二期考研同学们，你们好，上期视频咱们讲到了二四章鱼强化的问题，这期视频咱们讲，一讲章鱼基础，三讲结束后的保姆规划细致说明，一个视频就给你讲的透透的啊，我给你们的任何老师的规划都是在我脑海中完美走过一遍的， 直接就是你开始学到考研前的前一天的完整体系，你们不需要操任何其他的心，你只需要按照我的规划努力即可，不必受其他任何的影响，做我的沙兵，拿下二期考研的 fmvp。 我在去年就说市面上的讲题老师 up 已经这么丰富了，为什么这个数学的平均分还是这么稀烂？明明你们享受的已经是全国数一数二的教育资源了，已经和高中完全不一样了，不存在什么山区的教育资源啊，就属于北京差了。那就是啊，你们即使享有最好的教育资源， 你们依旧不会用，依旧乱用，给你们一本分绝，你们根本就没法领悟，甚至走火入魔。那我的出现就是能让你们最大程度的利用这些讲题的教育资源。碰巧的是，今年的数学平均分和总分确实太吓人了， 你们也在网上刷到了大量跟着我考四百加的毫不吹嘘，二六的粉丝在我这低于四百一都排不上号。不过由于试题难度也相对简单，我依旧需要二七年再次拿到一个 mvp 啊，证明一下自己。 过完基础三章讲后的路线如下所示，一、高速二、刷基础，三章讲搭配一千 a 的 这个错题，每天十道错题，这十道错题的选择一定是你。二、刷这一讲之外的题， 比如你要是刷到第五奖了，那你的十道错题的任务应该选择第五奖之外的啊。如果做完上述的任务，你仍然感觉顺利且精力充沛，那你优先选择的应该是同时开限行代数，而不是什么八八零的基础。那高速现代时间占比五五开现代期间最重要的是高速。我不希望有任何一个人给我说， 哎呀，秘密哥，我学完现代了，但是我的高速全忘了，如果你在我这出现了这种情况，我直接给你拉黑了啊。现代基础强化连在一起学， 不是学完一张现代基础就学一张现代强化。不是这样，而是学完全部的现代基础后再开现代强化啊。如果做完上述的任务， 你依旧感觉精力充沛，那你可以考虑加一本八八零的基础的高速部分二，很可惜，你并没有早点发现咪咪哥你是中途才关注我，发现没有实力去二三三四讲， 那你就去搭配二四的强化课，看完一讲就去做二四的强化讲义，二十二对应的基础讲义的全部啊。此讲的一千 a 的 错题，如果你没有做一千 a， 那 就是加上一千 a， 每天死到错题的思路依旧和第一个学习路线一致。注意，绝对不能开现代，绝对不能开现代！搞完二十三的讲，再去开现代 三，你跟着秘密哥做的不错，能不看课二十二的动，但某些章节依旧无奈，比如反常积分等等。像这种情况，二四的章鱼强化已经不再是最优解了，而是民间的老 up 们， 他们会让你得到更爽的补习训练。直接去隔壁最好的大学搜索即可看播放量高的评论区，好评如潮的啊！时到做题的思路依旧，参考路线一， 现在可以同时开，也是参考路线一。当然，如果你们在二刷三刷讲的过程中发现能做秘密 a 四大法任务，记得一定要做，如果不能做，那就等三刷三刷讲时候再做啊！切记， a 四的任务一定是默写，如果你不是默写，一点用处都没有。 如果你不符合我讲的三个路线中的任何一个，那你的情况是比较特殊的。我希望你能在直播间上麦和我交流一下，我有必要跟你们说一下我现在的直播间的每日福利。一、 按点赞数送欧吉里的会员以及言知世会员。二、送作为模板一套。三送两个楞子哥的信号全键打印。这里真的要特别感谢楞子哥，这个东西如果在他那里拿下得花二十八呢，他竟然让我直播间一次就送两个名额， 实属破费了。感谢楞子哥！四，一个月至少有半个月都送五十米圆梦你的 kfc 之梦啊！ kfc 维尼五十 everyday 五、 打字哥一本六百题和两本现代讲义六、遇老的三本现代讲义七、一个星期一本伽马哥的信号提提册啊！补贴这一块，助学金这一块啊！还是那句话，我要带领关注我同学们，干碎那些不关注我的同学们！

章鱼基础三日讲到底有哪些可以不用看？前八讲的内容我已经整完了，大家可以截图保存一下，这个视频也是花费了我大量的精力，希望大家可以点点赞，点点关注，感谢各位！ 首先是第一讲的三十页，那么这一部分的话呢，大家可以不用花时间去看，因为基本是不会考的，就是这个超时速，超时速包括到一直到这里，到这个后面的屈和速度，这里其实都是可以不用看的，如果你理解不了的话，不用看啊，当然你后面如果学的还不错，你可以把这个屈和速度再拿回来看一下 这个。至于这个超时数的话，可以完全不用看后是第四十一页，这个无穷小的定义啊，这一部分完全感觉就是章鱼老师给自己写美了，他写的东西都不知道是啥。然后后面这个超时数也可以不用看啊，但是无穷小紧接着就要看了，第五十一页从 这里开始啊，这里也是，你只要只需要把上面这个公式记住，行了，下面这东西你不用看啊，还有这什么考研数学最高境界，跟你毛关系没有，但是到这里就认真看了，因为这里有一部分公式啊，这前面这些东西是可以不用看。好，然后咱们看一下第一讲最后一部分，也就是六十四页，这一部分六十四页 你只要记住这个就可以了，后面这个东西不用看，跟你半毛钱关系不用不用看，不用看。第二讲的这个海列地理可以不用看啊，海列地理不用看，虽然说这个很重要，但是你前期理解不了的话，可以不用看， 同样的竖列极限也比较难嘛，所以第二讲的第八个点，关于区域 a 的 速度问题，也可以不用看啊，这部分的一些例题呢，你都可以不用做， 如果你没有学懂的话，这部分可以不用看。关于第三讲，首先你只需要记得这个就可以了，然后这个例子，然后后面这个第六部分可以不用看啊，因为这一部分太抽象了，可以不用看。 然后是第一百零七页这个专题，这个专题的话你可以去 b 站找，直接就找 f x 与 f x 绝对值，你直接去 b 站搜就可以了，因为这一部分他在二五年是考过选择题的，而且比较难，所以有很多 up 主讲的，可以去 b 站找一下。然后就是咱们的第六讲， 第六讲的微分等式，以微分不等式这一部分可以不用学，如果你的目标在一百二以下的话，可以不用看，如果你的目标在一百三以下，那微分等式要看一下，微分不等式可以不用看啊。 然后是第两百页关于这个结论的解释，你只需要知道这个结论就可以了，一个函数求完导出他的导数可能有震荡，震荡点，哎，至于他怎么去解释的，你无需了解，你只需要知道这个例子就可以了，因为他会举一个例子，那这个例子看一下就行了，不需要去把这个东西看的很深，如果你目标没那么高的话， 那么这个就是张宇前八讲一些没有必要听的地方，那么至于其他没有提及的地方都比较重要，那么本期视频就到这里，下一周我会花时间把后面期讲看一看，然后再给大家出个视频，跟上亚瑟的节奏。

再看这个第十题，说 x 取正无穷算这个 x 乘小括号的极限，这个极限呀，它的处理手法我们在前面第五题就谈到过， 就是，呃，属于指数一样提公因子嘛。来吧，把这个小括号咱们往外提走，一个是这个后面这个量叫三的 x 的 分之一次方，把它提走， 你说老师我提走这个前面这个量二的 x 的 分子方，行不？也行，没有本质区别，我们把后面提走了，后面好办，后面成了这个一了，就是减这个一。那前面这个二的 x 的 分子方呢？那就补个分母三的 x 的 分子方，你看三乘进来抵消就是这个二，三乘进来就是这个三了，刚好横的变形。 那这样提完公因子之后呢？大家想，你这个公因子三的 x 分 之一子方，就这个红色的这一块在正无穷远达到几了，你 x 去正无穷 x 分 之一的零零子方不是一吗？所以这一块达到几，这一块就达到一了，这是我们说的什么呀？非零因子干什么呀？先计算啊， 要善于制造非零因子，并且将其算出来。这这个技巧好了，算好之后再往下怎么做？这个 x 的 倍 成格一线不定，关键是看这个小括号了，这个小括号像什么？三分之二当 a 砍，是不是 a 的 x 四方减一，想起来没有，是不是有这个等价 a 的 x 四方减一啊？等价于什么？ x 的 low a， 这是一个重要等价，非常好用的等价呀，是吧？等价于这个， 这个，这个，哎，就是相当于说我们从上到下就是对比一下吗？那怎么去对比的呢？那这个三分之二当 a 看， x 分 之一当 x 看，那为啥？因为取正无穷，你倒过来就是零了吗？所以呢，用这个注意去化解一下，那，那那来吧， x 倍照抄这个小括号，等价， 你本来是 x 倍零， a， 这点应该是 x 分 之一倍多少？零三分之二，这不就行了吗？这是等价代换，从头到下用了一下，那这样等价好了之后呢？那刚好那跟前面这个 x 倍抵消，剩个零三分之二做完了。 好了，这是这个化解，然后等价啊，这个做完的，那这个题呢，除了这样做，提供因子，然后分成因子，先计算，再等价。还有常规方法，就是我们说这个倒代换的方法啊，那就可以这样去做啊，就是把这个 x 分 成一给他令成什么去 令？ x 分 成一等于这个 t 嘛，这样去做呢，也是我们求极限。一个常用的技巧，倒代换啊，就是把这个乘法能换成这个除法了，这一倒的话，你想想， x 取正无穷就倒成啥？提取零正，那 x 呢？倒成 t 分 之一，这两个二的 x 分 之一，三的 x 内分裂，倒成啥？二的 t 的 方，三的 t 的 方，这一道变成除法了，几除几，零比零了，零比零，且上下面是一次方，切记啊，遇到零比零的题啊，咱们很多同学呢，这个这个 洛比达呢，有点，就是有的时候呢，就是不太想用啊，这你要知道，就是零比零，如果下面是一次方向，今天一般是洛比达，零比零，如果下面不是一次方，比如二次方，三次方，一般是选择别的方法，比如泰勒公式法，所以今天这是个一次方，咱们洛比达法则就行了。 这不是这个下面这成一次方了吗？这是 t 的 一次方吗？如果分母的次方比较低，像这种一次方的情况下，零比零，还是建议落笔答，上面求倒放上面，下面求倒，就这个一了。这是落笔答法则 落好之后成啥了？那上面就是 t 趋于零正吗？上面是捞一二减捞一三，下面是一，那答案就是啥？捞一二减捞一三，再比个几啊？落笔答之后成了确定式，捞一二减捞一三比上一了， 那捞一二减捞一三比上一，就是捞一三分之二。那最终答案也出来了，所以最终我们这个结果跟刚才这个结果是一样的，都是这个捞一三分之二。那肯定了，因为极限具有什么性？极限具有唯一性。那假方法以方法是吧？假同学以同学，虽然做的过程不一样，但结果一定是一样的，这一点我们相信。 好，这是这个题目，再往下看第十一题，那说算这个 x 去零分子比分母的极限。哎，这个题拿到手，我们知道这个分母好办，等价一下不就行了吗？ 等价也属于化解的一种啊。所以把捞一加 x 方先自左往右干什么？给他等价代换成这个简单的这个什么呀？ x 方啊。 那这样的话呢？再往下这又成啥了？就是零比零了吗？这个零比零怎么算？这是二次方了，刚才讲过零比零，如果是一次方，喜欢洛比达，求导做，但零比零，如果是二次方甚至三次方，一般喜欢别的方法。就是这个泰勒公式来去做了啊， 这个地方呢？把这个分子的两个根号都展开，用哪个展开使用这个展开式，就这个 r 法次方。这个 r 法次方的展开式还是挺好用的，还是要善于使用的。就是这个一加 x 的 r 法次方，背一加 r， x 加二的结成这一堆加小方，背到平方就行了，因为下面是平方。 那第一个根号啥意思啊？就是 r 法取二分之一次方，第二个根号 r 法取啥呀？三分之一次方，所以来背吧。那第一个就这一加上二分之一乘二 x 再加二的结，乘 r 乘 r 减一乘二 x 的 平方。 后一个呢？就这一加上这个三分之一，是吧？乘三 x 再加二的结，乘 r 乘 r 减一乘上三 x 的 平方，就这样上下同次方。都背到啥呀？都背到这个二次方，这不就行了吗？那背好之后呢？那你把这个分子合并一下，你放心，肯定只有谁了， 他被展开时，他也被展开时，那这一合并呢？只有只会剩下二次方。只会剩下啥？这个这个同次方除同次方。上下同次方嘛，你看，一跟一抵消了，这个一次方跟一次方抵消了这个二次方跟这个二次方合并一下，刚好得到一个二次方，就是二分之一。二次方。 二分之二的把加小 o 除以零嘛。都做完了。二次除二次，那不刚好出来了嘛。二次除二次，就是这个二分之一嘛，就是同阶相除嘛。啊，这就是我们要斩的同次方的意思嘛，对吧？那你是二次，我是二次，就是二分之一了，小 o 除以它就是零了，不管了。所以这是泰勒公式的一个魅力。 好，那么再往下看，第十二题啊，这个题又谈到什么？说 x 小 于零算这个极限，这是什么类型啊？这不再是零比零了，这是一得无穷次方啊，我们这样去记，如果你的极限是一得无穷次方，那么立即改成啥或者等于啥，被公式等于 e， e 的 什么？ limit 微乘 u 减 e， 这叫背公式， 一定要抓紧背公式，大量背公式。这个呢，咱们在三等奖上是专门有这个公式推导的，那 e 的 无穷次方 大家找我们在书上哪里啊？六十二页，对了，六十二页，例题三乘三，这个不就总结了一的无穷次方吗？ 那如果你是一的无穷次方，那么用好公式就是这个 e 啊， e 的 什么？ limit 微乘 u 减 e， 他的推导在这个六十二页，三乘三题有，咱们不带推了，咱们是习题课，就直接用了。 好了，那根据这个公式回到这个题来吧，那这个题就变成什么了，那就变成了 e 的 啥呀？ limit v 乘 u 减一 v 就是 这个次方吗？它是那方分之一， u 就是 这个底数吗？就这个分式再减个一。 好了，这就是背公式啊，改成这个 e 了，那么背好这个公式之后，接下来呢，就是做计算了啊。第一步，先背公式啊，背好了， 背好之后呢，做计算，算谁底下不用算 e 还算什么？算它固定不动了，只要算这个 e 的 头上，就这个 e 的 肩膀上就行了， 这个肩膀上是它的分之一，乘这个小括号，把它抄下来看，这个肩膀上就是它的分之一啊，乘以这个小括号，那这个咋算呢？等价啊，你看这个它的方，这个是是吧，可以等价，因为它左右是相乘嘛， 他那方等价，然后这个小括号呢？通分，所以前面走等价，后面走通分，就这样去算嘛。来吧，前面一等价变成啥了？变成 x 方，后面一通分变成啥了？变成阿哥他，那他减啥？减 x， 这就行了。所以这是自左往右咱们的等价待换呀，咱们的什么呀？这个这个这个这个通分，这样这样的一个基本的操作， 所以把这个他那方做等价，把这个小括号做这个通分处理一下，那再往下怎么做呀？再往下这个分子这个减法又可以等价，咱们学过这种简单的等价，还学过这种做差的等价，这种做差的等价，在三十讲上也是专门给大家总结过的啊 啊，在这个五十二页看五十二页在讲他的公式的时候，是不是就总结过好多等价？像 x 的 减 long 通里还有啥？ x 减三 e， 阿格三 e 减 x， 摊着它减 x， 翻过来五十三页最上面还有 x 减，谁减阿格摊着它， 那它是 x 减阿格，咱是阿格减 x， 那 就差个符号不就行了吗？所以根据五十三页最上面 x 减阿格是三分之一三次方，那反过来减呢？那应该是多少？应该是负三分之一三次方，所以在此就用了这个， 就是这个分子，他就等价成这个负的三分之一三字方了，这个在三个角上都有，这样等价好了之后，结果就是负三分之一了。 那千万注意，你这样算的负三分之一是啥？是 e 的 头上， e 的 肩膀，所以最终原极线要写谁？对了，原极线要补一个 e 做底才行啊啊，这个 e 做个底数才是我们最终的应该写 e 的。 照抄，这一坨是负三分之一，负三分之一，这才是做完的 好，这是这样一个重要的极限，叫一得无穷四方，背好公式，做好计算就行了。那么再往下呢？这个第十三题，这是个反问题啊，什么叫反问题呢？前面都是让你求极限等于几，这个题呢，是告诉你极限等于几，然后让你回过头来求这个表达式里面的 a 值。什么 b 值？ 这种题呢，要用好我们的方法，什么洛必达呀，这个等价呀，泰勒呀，抓大头呀，还要用的好，用好，是吧？用好我们的结论。这个结论是指的啥意思呢？大家看，我们在书上谈到过这些结论 啊，在我说的书上就是指的三只讲啊，在四十六页基础三只讲，四十六页有个二十题， 这个例题二十，让你证明两个结论什么？一个是分子比分母有极限，母为零，推子为零。结论一，一个是分子比分母，极限不得零，这个时候若子为零，能推啥？推母为零，证明有了，怎么使用？例题二十一，给了个例子。例题二十一呢，是用了第二个结论 啊，我们今天这个屏幕上十三呢，用了这个二十题的第一个结论，所以这两个结论都有用，有着落点啊。三个简单举了个例子， 用的结论二，我们这个一千题呢，这个十三题呢，举一个例子，这用啥结论一，看分子比分母有极限， b 嘛，是个数，且分母呢去零了，被结论，那一定能推啥？ 那母为零，一定能推子为零，这是结论说的啊，所以一定必有这个分子，干什么？分子的极限也是零，那分子就是上面这一项，两项，三项，四项，这四项极限为零，就是 x 的 去负二的时候， 大家想这一堆，要想为零，那这个 a 值呢？是几？那第一项是几了？ x 去负二，负二三次方，这是负八，这是乘二负十六了， 所以这样的话呢，把第一项算好，第一项就是负十六，第二项呢，负二的平方是四，就是 a 了。第三项呢， x 去负二，负二，乘负三是正六了，再加六。所以呢，这个极限要想为零，就是这四个式子相加等于零了， 这四个式的相加等于零，那解方程 a 只能是几啊，那没得说，那解出来， a 只能是几， a 只能是一答做出来了，这就把这个 a 的 值就先找到了。这怎么找到的？背好我们的结论，母为零，推子为零。三十讲 四十六页，例题二十，结论一好了，那这样背好结论之后怎么办呀？ a 找到之后怎么办？再做计算，把 a 再带回到原极限，算出 b 就 行了。那这个时候呢？原极限成啥了？看原极限， 那这个本来是二的三的方加 a， x 的 方减三， x 加六，那 a x 的 方 h 就是 加 x 的 方了，所以当 a 取一的时候，给它带回去，这不就行了吗？所以这就是往回带啊。好了，一旦 a 取到一往回带，那就成了，就是这个极限，就这单就加什么了？就是加 x 的 方。这个地方啊，本来是加 a x 的 方嘛， a x 方呢？你 a 取了一，就加 x 方，然后开始做计算了，这怎么做呀？这几比几啊？零比零，这是零比零。下面这是一次方，只不过这是 x 加二的一次方。咱以前是 x 嘛啊， x 加二跟 x 道理是一样的， 这因为这是 x 加二的一次方，那一次方的零比零都喜欢啥？洛比达法则？所以呢，一次方出现零比零，洛比达， 那洛比达的话，上面求导那三子方求导变成二子方，二子方求导变成一子方，一子方求导变成长柱，项长柱求导没有了。下面求导是一答做完了。秦皇岛那负二往上带比上一就是十七了。 那这样的话呢？我们经过计算，答案是多少？我们经过计算，答案是十七，这个极限。哎，那你想看，我们经过洛比达法则算的是十七，而命题人告诉我们极限是几，是 b， 那 极限具有什么性？唯一性， 你告诉我的极限值与我自个算的极限值应该是一个要，要不然违背唯一性啊。你是 b， 我是 十七，那只能啥呀？只能这个 b 等于几？ b 等于十七， 那一旦 b 等于十七了，那所以折磨就出来了。所以这个 a 乘 b 的 值，那二者一乘，这最终不也就跟着出来了吗？故我们就写这个 a 乘 b， 那 就出来了。所以呢，把 a 取多少？把 a 取这个被结论一，把 b 取这个计算十七，那一乘十七就是还是十七做完了。 所以题目虽然不难，但是他的这个代表性还是很强的，你是否忘了这个重要？呃，结论母为零，推子为零啊，就是完成这个 a 的 推导，有了 a 的 推导，再去做计算洛必达法则，得到 b 的 这个结果，然后最终得到这个题，非常好。 这个发现问题，是结论忘了背啊？还是方法这个，这个，没想到洛必达那哪，哪里有问题哪里去，抓紧恶补就行了。 好，这是十三题啊，那么再往下我们看一个十四题，这个大题型说根号减，根号出下面，这显得干什么了？这个题要有理化了。那， 那你应该明白，做到现在了，遇到这种复杂题型都不能直接做，都得先化简一下，比如题公因子呀，比如通分呀，是吧？比如这个有理化呀，比如这个倒带换呀，是吧？这都是我们常用的技巧，你想分子怎么办呀？ 分子可以有理化，这个分母呢？可以提公因子吗？所以来把这个圆极限我们化简一下啊，把分母这个 x 方 x 被提个公因子 x 出来吗？所以这是这样来分母咋做？ 分母提走公因子 x 啊，变成啥？变成经典的这个 x 减劳力，那分子咋办？分子来个根号加根号，就是这个有理化操作。所以这样的话呢，不管是分子还是分母，我们都给他做了啥？这个化简， 分子的化简就是成公和根式分母的化简，就是提走这个 x。 好， 那再往下继续做，再往下的话，上面就好了，上面就成啥了，就成一加弹力，它减啥？一加三 e 了，其实就是弹它减三 e 了。 这个 x 的 背不要动了，这个 x 的 减劳力呢？哎，刚才讲哪个题的时候？刚才讲十二题的时候，是不是就谈到过要背很多减法的等价是吧？刚才是背的阿哥减 x， 现在是背啥？背 x 减劳力就五十二页，再看 三只减五十二，一，是不是有这个 x 减零给你圈起来了？这个中国号 x 减零，直接等价成啥？二分之一平方嘛， 是吧？所以我们往下去试试啊。那这个小括号又可以干嘛了？这里面的这个小括号又可以当非零因子了。待会啊，所以这样去做，那上面变成啥了？上面变成了他，那他减三 a， 他 那减三 a 这个 x 公因子照抄这个 x 减零呢？用等价代换换掉这个小括号呢？这是啥？非零因子， 这不是我们常说的非零因子给他干什么？给他先计算吗？就哪一块？就是这个？呃，小括号这一块，这一块他呢就达到几了？他是不得零的，他就是给他先计算下来了啊。 非零因子就是这一块。极限是不得零的啊，它极限是几啊？极限是二，因为 x 去零吗？这个第前面的一项是一，后面是一，一加一不是二了吗？啊，所以从上到下，那就是上面没有根号了，下面用好，等加代换二分之一平方用好非零因子，先计算，然后再往下。其实又出来了， 摊着它减三印。那其实咱们书上也有，这都在书上有，摊着它减三印，书上有啊，在哪里呢？你看，摊着它减三印。这个接下来可以这样去做，直接等价做。那如果你忘了，就可以再推导一下，在基础上的讲，四至五页，看四至五页，第十九题。 第十九题不就专门出现了摊着它减三印吗？还写着一个。呃，这个，这个方法总结的下面这个小公式。公式，摊着它减三印干嘛？ 对了，贪念他减三应被四十五页最下面提走什么呢？提走贪念，他化成了一减口三，然后贪念他跟一减口三都能等价就做完了， 这都在书上有，所以你看三只脚一定要用好，一定要用熟啊，才可以。所以这一步呢，就是很漂亮了，就是把这个 什么呀，把这个他能答给他提走了。这样啊，你这样提走之后呢，那就成了乘法了，把这个二者相减变成二者相乘，然后呢，用等价他能答跟谁等价？ x 一 点口三呢，二分之一平方，这样最后一约分结果出来就是二分之一，所以你看这个题啊，最终圆满得到这个解决，就是这个写二分之一就行了。 这你看这个题啊，太好了，对我们的化解，对我们的等价，是吧，对我们的这个这个这个这个这个处理啊，这个是考的很全面，这个三只奖上都有，只不过呢， 这个题综合了三只奖的好几个题，所以呢，就有些同学呢，就是可能没有衔接上啊，不是这个，呃，是吧，化简卡住就是这个非正因子被发现 啊，或者说呢，这个他那减三也忘了怎么处理，总之呢，这个呃，如果没有任何卡壳的地方，那太好了，说明你对三只奖很熟，如果有卡壳的地方，你要及时的再回到三只奖上去再看看啊，是吧，这个再过过都得好了，这是十四题啊，那么再往下看，这个十五题， 十五题呢？说 x 正无穷啊，这个捞一乘捞一这个极限，这个题呢，是个纸老虎，书上做复杂了啊。那你至少先能看到什么，先看到后面这个捞一能化解一下等价吗？你取正无穷的话， x 的 分子二不就当狗看小于零了吗？所以呢，先把这个第二个捞一等价乘 x 的 分子二，这可没有问题的啊， 这是我们基本的这个等价，因为它是小于零的吗？所以这个地方是用了等价代换 好了，这一等价的话呢，至少第二个捞音变简单了，但是前面这个捞音怎么办？那这是成啥了？这就成了这个分子除分母了？其实就是啊，这就成了一次方做分母了。 那这个呢？往下可以落笔打法则，无穷比无穷可以落落笔打法则当然可以了，没没问题，但是呢，无穷比无穷除了落笔打法则还有什么方法？咱们书上也谈到过啊，面对无穷比无穷 除了这个求导做还喜欢怎么做嘞？想想，想想是不还喜欢抓分子分母各自的最大头来去做？你像我们书上五十六页三只角， 五十六页例题二十五，包括五十七页例题二十六啊，这两个题二十五题二十六题不都是无穷比无穷不都是抓大头做的吗？而不是洛比达法则做的， 对不对啊？所以无穷比无穷的题，洛比达只是他的一个手段，一个方法。那如如果你觉得求导洛比达不方便抓大头不就行了吗？所以前面这个狼人怎么抓一要他干什么？ 一是骗你的，是唬你的，你还真的被他唬住了，对不对啊？把一给他扔掉，就剩个啥，剩个捞一的二的 x 四方就是这样去从上到下这个过程咱们称之为抓大头。为什么可以这样去想你？因为啥呢？因为 x 取正无穷的话，这个二的 x 四方他远远超过谁？超过这个一吗？他肯定远远超过一啊， 你指数函数在正无穷面前那大的不得了，你跟一有啥用啊？那别故意骗你的，然后 lo in 二的 x 方又可以干嘛？把 x 这个次方提出来， x 的 倍， x 的 倍跟 x 分 母抵消了，抵消做完了，你看这多快呀，对不对呀，这抵消之后就是啥了？那这一抵消之后就是这个二倍的在 lo in 二了， 你看这样做不快吗？这样做不方便吗？当然快了，当然方便了，所以就这样来。好，这是第十五题啊。啊，后面这个用等价，前面那个用抓大头，再用对勾匀算做好了，完全用不上。求导那么复杂， 再看一个第十六题，这个题呢，跟刚刚讲的第十二题是一样，这就属于啥呀？一得无穷次方的题，你看这个 x 无穷，这个次方肯定是无穷，底下肯定是一，否则他不是未定式，他直接就做了啊，不会出这种题的， 只能一跟无穷次方匹配啊。那来吧，这个效仿前面第十二题，这也是一得无穷次方，那只要是一得无穷次方，那就干什么呀？那就改成这个蛇座， 改成这个 e 作。刚才不是背过这个公式了吗？啊？改成这个以 e 为底啊， e 放下面 e 的 什么来背？公式？是不是 e 的 limit， 这个 v 乘 u 减一， v 就是 指的这个次方就是二分之 x 啊， u 就是 这个底数，就这个底数的减个一，这是 v 乘 u 减一的意思哈，背好公式， 背好公式之后做计算。做谁啊？就做这个次方就行了， e 不 用做了，来吧，把，这个次方就是这个。呃， limit， v 就是 这个二分之 x 乘 u 就是 这个加法，再减个 e， 那 这个怎么去做呢？这个做法有很多很多啊， 那你有哪些做法？这个极限在做的时候呢？可以比方说干什么呀？这个这个这个什么倒带换可以 是吧，但是呢，犯不上吧，这个应该直接这样就做了，找经典表达是口三音跟一才放到一才经典是不？口三减一好，因为口三减一我们有等价，三音自己呢也可以等价，所以可以把这个极限呢，就除了刀带换啊。除了什么？那种方法 更好的方法呢？就是干什么四则匀算，把它拆开不就行了吗？是不？这个二分之 x 乘口三减一来一次，二分之 x 是 不乘三也再来一次，是不？这样来就做，所以把这一个极限用我们的加减乘除加法法则变成这两个极限，这不是我们的 我们讲的这个四则匀算的手法吗？对不对啊？你看口三减一乘二分之 x 再来一次，为什么能这样干？因为这两个极限都存在， 他只要都存在就行了，是吧？前面这个存在，后面这个也存在，为什么？因为前面这个口三减一，他的极限可以干嘛？等价代换嘛？ 再来口三减一跟谁等价？负二分之一平方等价，后面这个极限三也等价，等价成 x 的 分之一嘛。所以前等价后等价，那这个地方二点一加，那不都出来了吗？你看前面等价一下，结果是几？ 前面一等价，这一算，这是 x 的， 这是 x 的 二次方，那一次方除以二次方在无穷远面前肯定是零了， 对不对啊？这是，这是，这是无穷比无穷吗？上面是一次方的无穷，下面是二次方的无穷，这肯定是零了，这个一得珠，这不二分之一吗？ 所以刚好是多少？刚好一个是零，一个是二分之一，这确实干嘛？确实极限都是存在的啊，那你看这样的话呢，第一个极限那就是零了，第二个极限就是二分之一了，这一加结果就是几啊？就是二分之一，注意了，可不能写个二分之一哈， 你要把这个二分之一在干嘛？再取个 e 回来。那所以最终答案是谁？最终答案是 e 的 多少？所以写原极限应该是 e 的 二分之一次方，也就是啥？也就是这个根号 e 的 意思啊。写根号 e， 写二分之一次方都是对的， 所以这是都是简单的计算啊，这个基础牌的极限啊，就是并不是很困难，到了强化牌这个计算才会产生一些复杂。 好，那么再往下我们来看这个第十七题了。十七题，这个题是找复杂函数的。什么呀？开了多强式的题， 这种题呢，在三个讲上也是有的，这个六十三页三十五题就是他的选择。咱们是填空做法呢，是类似的啊，都是把这个复杂函数做变形，然后呢套这些常用的展开式就行了。 那这个是贪恁达除一加平方，这个除法咋变形？把这个除法这样变一下，变成乘法比较好，变成贪恁达乘一加平方分之一，那这个从左到右就叫什么呀？就叫做变形 这个，嗯，是吧。呃，成，变成，这个除变成成的变形，这一步很关键，接下来呢就可以。干嘛？对，这个乘法套公式了，那一个是套贪恁达的贪恁达公式，一个套这个分式的贪恁达。不用说了，咱们背的很熟悉了， 有人说老师这个分式他的公式没见过呀，第一张我翻了翻，没找到呀。啊？第一张没写，哪里写了这个？第四张写了，大家找一百三十三页， 一百三十三页，这个整个这一页从上到下是不写了一的，以及这个一加 x 分 之一，减 x 分 之一，还有捞引，还有三引口，三引写了好多好多，大概得有十个他的公式， 所以呢，一百三十三页写的更全有这个，呃呃，分式的他的公式他写的是谁啊？就这个叫一加 x 分 之一，那你背吧。那这个一加 x 分 之一这个分式按照一百三十三页 他的展开是咋展的呀？就是第一项是一，然后减 x 加平方，后面无穷无尽。那咱们来套吧，摊着他找第一张套公式，那三次方后面不不展了，这个分式套这个，那第一项是一找抄 x 改成啥？改成 x 方，他是 x 方吗？ 那平方改成啥？改成四的方，四的方咱们不要啊，因为咱们只要几次，只要三次。那这就是从上到下套了这个公式。 那么这样套好公式之后呢？这里面需要注意一点啊。说老师，这个后面这个人在套这个公式的时候，怎么不就套到第一项一？一乘三字方，不就是三次了吗？这样理解太狭隘 了，我们说的找三次，他的多将式一定是要找啥？找到全部的三次才对。不是说找到三次啊，一乘三次固然是三次，但你发现没有，这个二次乘一次呢， 那不也是啥？这个二字方乘一字方，那不也是三字吗？所以记笔记，我们要这样去做，要保证左右相乘啊，左右互乘能乘出啥呢？能乘出这个全部的三字方才是对的，是吧？左右这样相乘，这样相乘。 那你想想，你不要只想三字方乘一啊，你还得想想一字方乘，二字方啊，所以这个二字方得写出来。这个二字方是有用的，因为这个二字方跟左边的一字方待会相乘互乘，能得到啥？三字方？那你如果不写的话，你就没找全， 那你没找全你就是错的。孙老师，他也没说找全部的三字方啊，这还用说吗？找肯定是找全了，哪能说找到，找到算什么呀？找到那不行，是找全，不管是他说与不说，都得找全，找全才行。 好了，来，开始乘 x 乘一乘出来， x 乘负平方三的方乘一，三的方，乘二的方就不用乘了。那你三的方乘二的方都五次方了，还乘什么乘？不要了，五次方不写怎么办？省略号三个点就行了。 这样的话呢，就找到什么了？找到这个乘积的全部三次方，整理一下，就是负的三分之二三次方，那这个，呃， x 减三分之二三次方，这两项就构成啥了？构成三次多相似了，后面不用了，会因为后面是更高次方。 那所以下面结论。所以这个复杂函数在零点的什么呀？三次泰勒多相似就是指的谁？就是指的这个前两项构成的这个多相似就是谁呀？ x 减三分之二三次方。做完了。 好了，这是这样一个例子吧，那建议再把这个，呃，三十讲例题，三十五，六十三页再看看。好，最后呢，我们再看一个第十八题，这是一个综合题，涉及到啥呀？概念问题。涉及到啥呀？计算问题。这个题呢，书上也是有的。这个，咱们的 这个哪里啊？呃，三只脚二十九页，历十四，二十九页十四题，他不就是他这个选择题了？已知极限存在，又给出一个啥？给出一个呃， f 的 等式，只不过他让你求极限，咱让你求 f， 做法都是一样的。在这个三十页有 那极限存在，被概念设个数令成 a 就 行了啊。所以第一步那一点的极限存在是个数，所以可以将这个极限。那赶紧干什么是吧？赶紧将它设成这个 a， 当然，我是设的什么 a 啊？我是设的这个小写字母 a， 咱们三等奖是写的大写字母 a， 这没有区别啊， 设成 a 之后呢，就能把这个等式化解一下，那等式左边照抄 x， 方照抄 e， 照抄这个极限，就用啥？用这个 a 来取代咱这小 a， 树上是大 a， 然后再往下怎么办？再往下呢？要想找小 f， 得找这个小 a 了，要想找小 a 呢，得是做这个极限 e 的 极限，所以想到怎么办？在这个等式左等式右两段干什么去？对了，在等式两端同时取一个极限运算去啊，因为这一张的主题就是取极限。 那这样都取个极限的话，你左边取极限，还放左边，那你右边取极限在这放右边了吗？那你看，左边取极限，这其实就是谁了，就是 a 了，右边取极限直接算了。这这什么呀？用四等运算吗？前面算极限，后面算极限就出来了。那这样的话呢，左边算极限是谁？就是这个 a， 就是 咱们这个 做的假设这个 a 吗？所以左边又回成 a 了啊，又回到这个 a 身上了，那右边呢？回成谁了？右边呢？ e 是 第一项为 e， e 是 第二项呢？那是谁了？就这 e e， e 的 e 字方成 a 了吗？ 所以右边这个极限好算，他这个极限就是这样，四则匀算，是吧？一个一个算，加号前算极限，加号后算极限，然后解方程，把它解出来，这个 a 就 解出来了。那你想想，一旦这个小 a 解出来，那不就成功了吗？ 小解出来怎么办？两个字叫回代一下，再把小 a 一 回代，谁就出来了，整个小 f 就 有了回代。第二行 x 方照抄， e x 照抄，小 a 用这个解的结果，这个数回代一下答满分做完了。所以这个题啊，也是挺不错的一个题，挺好的一个题， 所以再把书上这个，这个是吧，二十九页到三十页这个例题十四，这个选择题和它的答案再过一过， 所以这个三只奖啊，一定要用好，三只奖啊，一定要吃透，至少能保证三只奖上这个听完课之后呀，再复复盘， 能解决大部分题目了，再去开一天题，这样呢，开起来会感觉很熟悉，感觉做起来很轻松，否则的话呢，你公式没背好，你一些经典的题目啊，他的处理技巧没学没记住，那你再去做这些新题目，你会感觉就是脑海中一片空白啊。 好，那么这节课吧，我们就先说到这个十八题，稍作休息，再继续讲下面的十九，二十二至一，二至二至三，这些啥呀，涉及到连续和间断的这个填空题啊，这个选择题的处理。

昨天我讲了，呃，大部分的同学都不适合用章鱼的基础三十讲来打基础啊，也不适合跟章鱼老师 啊，为什么好多同学在下面留言啊，就说自己已经从这个呃章鱼转战周养心了。还有同学说，呃转战其他老师的。其实啊，我就特别强调，我说这个基础三十讲，名字叫基础三十讲，同学们，他真的不基础， 你学起来就懂了。里边的东西不是说不好，我感觉拿来给老师背课就不错了，因为它相当于是一个很好的备查的东西。但是对于学生来讲，我说你一上来就去学这么上头的东西，我感觉到最后你一定会崩溃，而且你搞得你自己抓不住重点了。 好多同学第一反馈就是问我说，学长这个应该背哪些公式？这书上了那么多公式，到底应该背哪些？我说实在的，真的是没法搞，如果像这种情况，所以我的建议是什么呢？如果说你们自己是吧你背，你感觉你这个知识框架你构建不起来，反正我自己是整理了这样的一份这个数学思维讲义，就专门呢给大家，就是把那些 将来呃骨干的这个知识吧啊抽取出来，那这样你学起来会快了很多，对吧？啊，不管你跟哪个老师学，我觉得如果说你发现你学的时候你边学边忘，边学边忘，那这个时候呢，你就要怀疑一下你的路线是不是正确的了。我敢说，百分之九十以上的同学，你们跟张女士一定是吃力的啊，因为原因很简单，这个里边的东西 实在是太多了，而且你一下子你是搞不过来。还有一个同学问到呢，他说要不要去学这个基础三角形的时候呢？配套的做一点一千题，我的建议就是百分之九十的同学你是不用做的，因为你根本就没有时间做。你如果说有时间的话，你把你学过的基础三角形好好复习一下，效果会更好一些。

章鱼三十讲零基础部分要不要听？零基础的例题要全部做一遍吗？需要多做会吗？ 主播正式开始各科的备考了，数学每天四小时，四零八每天四小时，英语每天两小时。数学今天学的是章鱼三十讲的零基础部分，这部分属于是初高中数学相关的知识点， 个人还是建议也要学一下。基础好的同学可以用一两天时间快速过一遍，基础差的同学可以用三四天时间搭配课程来学习。主播打算用三天时间来学 基本逻辑解析式的概念与运算坐标系及其变换这三个部分了解即可，只需掌握基础概念，无需深入钻研。 方程与不等式部分，在一元 n 次方程的内容中要重点关注二元相关部分。函数部分是高频使用的重点，需要重点复习数列及其单调性部分是高中学过的，快速回顾梳理一遍即可。零基础部分的例题个人感觉不用全部做，看看就行了。

好，我们看这个题啊，曲线与 x 轴在零到正无穷上所围成图形的面积，这考察啊，定积分的几何意义。我们可以简单的啊，画一下这个图，好，这个 y 的 话， 这个分母一元二次函数，我们可以看出来得寸小于零，也就是说分母是大于零的，对不对？整个的 y 就是 大于零的， 整个 y 都是大于零的，当 x 取零的时候， y 取五分之一，随着 x 的 一个增大的话，它趋向无穷的话，无穷分之一是趋向零的，所以以 x 轴为渐近线是吧，总之它大于零嘛，那么零到正无穷上 好，这个图形的面积与 x 轴围成曲线与 x 轴围成的面积，是不是就是直接零到正无穷？对，这个函数 y 积分就行了，不就考察定积分的几何意义吗？对不对？好，这个 i 就 等于零到正无穷。对， y 表达式啊，写过来， x 平方加四 x 加个五 d x 积分就行了呀。这个积分的话我们已经说了，都是小于零，你要想着去配方了是吧，对吧？ x 加二的平方 再再加个一吧。对 d， 我 们是不是给凑一个 x 加二啊，这不就是 a 方， a 方加 x 方分之一，这个乘法的考察啊，它不就是 arc 摊进的 a 分 之 x a 这个题就是一 x， 就 这里的是 x 加二，这公式都没有忘吧？好，没有忘啊， 正无穷带过来就是取极限啊， arc tangent 正无穷是不是二分之 pi 啊？这个 arc tangent 的 图像得非常熟悉。好，零一代的话， arc tangent 二，这个咱们就不知道这个结果是多少是吧？就是它的角度多少不知道，那算了，直接就写这个就行啊，把它写过来。 arc tangent 的 二 r 乘以 x 的 图像，不用再复习了吧。好，有这样说，再复习一下可以啊，对，应该都会了。是不是这样的一个图案， 这是二分之拍，这个是负二分之拍，对不对？ ar 乘以 x 啊，两个间径线 x 去正无穷，它是以二分之拍为间径线的。 x 等于以 y 啊，以 y 等于负二分之拍为间径线。两根间径线啊， 是吧。好，那这个题呢，就讲到这儿了，好，我们看这个题，这跟第一题没什么区别是不是？哎，曲线 在这个区间上啊，与 x 轴为成的面积，那不也是考察定积分的几何意义吗？我们可以看出来，这个 y 呢，在这个区间上也是跟第一题一样是大于零的呀。 这边一到这肯定是大于零的，这个 long 一 到 long e 的 一个平方，它确实也是大于零的，是不是所以整个 y 就是 大于零的啊？ y 大 于零，这图你心里就已经清楚了啊，我根本就不需要关注啊，你到底是 单增啊，单减呀，怎么型号的无所谓，是不是，我只知道的，哎，我进行一到一的平方上，对 y 求定积分，就求出来这个面积就行了，是吧，你增减性，其实我不用去关注，反正你是大于零的吗？对，大于零就之间一到一上积分就行了。好， 一到一的平方啊，龙眼 x 比上一个根号下 x dx 对 不对？这个我们说了啊，看到根号下 x 分 之一 dx， 立刻要想到，哎，凑微分是吧，凑成二倍的 d 根号 x， 这个多多次了，你得敏感一点啊。龙眼 x 凑完微分立刻就分布积分是吧？龙眼 x 根号 x 减去一个二倍的一到一的平方，根号 x， 龙眼 x 求到 x 分 之一啊。 d x， 这又没什么说的吧，很简单了啊，上线带一下龙眼 e 的 平方不就是一个二吗？ e 的 平方开方就是一个 e， 一代的话，到一是零了啊，减零写一下吧，还减去两倍的好，一到一的平方，这是 x， 根号 x， 这不就变成根号 x 分 之一吗，是吧？ 点 x 它原函数我们也说了，对，立刻想立刻看到是吧？是二倍的根号 x 吗？它是四 e 减去二乘以两倍的一个平方， 四 e 减去四好看，这块就行了。 e 的 平方开方吗？ e 开方还是它四？ e 减去四 e 再加个四，对不对？所以就是一个四了 好，这没什么难的，对不对？还是考察啊，定积分的几何意义啊，表示的是这块的面积。好，我们看这个题啊，啊，抛物线就它呗， 哎，把 y 等于哎，就是这一根线，抛物线把这根线呢，与 x 轴所围成的 b 区域分成了两个部分，哎，正好分成这部分和这一部分嘛。 好，就是比较这两部分的面积的大小，还是考察定积分的几何意义。我们把 s a 算一下，把 s b 算一下，是吧？ s a 怎么算呢？这根线好看一下，减去这根线， 对吧？你看这个焦点啊，我们可以给它算出来。这焦点算出来之后，我们就是在零到这个，是吧，这个位置啊，这个数之间进行定积分就行了，因为上面这根线啊， 哎，积分出来的面积是它下面这根线积出来的面积是它，两根线一剪，这不就是 s a 的 面积吗，对不对？ 把它算完之后呢，再把 s b 的 面积算一下 s b 的 话，你这个方式就有两种了啊，要么是算一算它来，再去把这块算一下，两部分加到一起，或者呢，我们看你会发现啊，它整个， 哎，这个抛物线在零到 b 上积分是比较好积的是吧？ s a 你 算出来之后，哎，用整个的面积减去你刚刚算的 s b 的 面积，算出来也行。对，整体的思想啊，同学们也是要有的，有时候用整体的思想， 我会简化一些计算量的啊，那我们先把 s a 算了吧， s a 算的话，肯定要把这个焦点对应的这个横坐标求出来的啊，这是抛物线， 还有这根线不是两个曲线啊，交点就连立方程呗，解一下啊。好，这个，擦，搁这写吧，就是根二减一， x 平方就得等于 x， b 减 x。 解一下啊，这是根二减一， x 方减去这个等号吧，先 x b 减去 x 平方，是吧，这 x 平方跟这边可以合一下，根二减一，这个合过来就是加一了嘛，所以它只剩的是根二， x 平方等于 x 乘以 b， x 要么等于零，对吧？等于零，很显然满足啊，或者你给它移过来也行啊，减去它等于零， x 提出来根二， x 减去 b 等于零， x 等于零，或者 x 等于这里嘛， b 除以根二啊， 是吧？两个交点啊，这个是零这个点，还有就是这个点是 b 除以个根二。好，这就是我们想要的这个点的横坐标。 我们现在把 s a 求一下，是不是就是零到根二分之 b 这个区间上，这个红色的线减去这个黑色的线积分就行了啊。红色的线就是 x， b 减 x 减去黑色的线， 根二减一 x 平方，好，积分一下，这就认真算，没什么技术含量了。 把背记函数我们整理一下， b x 减去， x 方减去后面是根二 x 方加上 x 方，是吧？这 x 方前面的系数，这负一正一没有了，负根二 x 方，这是 b x 啊，就它 写一下负根二 x 方加上 b x d x 原函数是什么呀？很简单呀，三次方除一个三，负根二写一下，这个可以一个一个的算，或者你把原函数求完，整个带上下线都行了。 x 平方除一个二， b 是 零到根二 分之 b， 是 吧，你们算一下啊。嗯，这个有个符号，我的符号的话，一般来说我们作用于上下限啊，根二分之 b 到零 不容易出错嘛。根据个人习惯啊，上限一代是个零，减去下限一代，他的一个三次方，那就是 b 的 三次方，那是二倍的一个根二了，根二根二消掉了，就是负的六分之 b 的 三次方， 再加上后面啊二分之 b 乘以上限的上限一代啊，平方的话就是二，下限一代是零了，所以这就是四分之 b 的 三次方。 通过分呀，得负十二分之二 b 的 三次方加上十二分之三 b 的 三次方，十二分之一 b 的 三次方，是吧？好，就这样了啊，接下来我们去求一下 s b s b 的 话，我们可以有两个方法，是吧？用还是先推荐啊？就是用整体的一个思想，用整体思想好，求完之后我们再用啊， 这个 s a 加上 s b， 再减去一个 s a， 这个很显然啊，这个整体一起算啊，直接就是红色的线抛物线在零到 b 上积分，这不需要分成两半。那你就 就快一点嘛，速度更快一点。 x b 减 x dx 就 行了呀，是吧？这里面就是 x dx 啊，减去 x 平方， dx， 这是 x 的 一个平方除以二，这是一个 b 减去三分之一 x 的 一个三次方。你分开算或者是整个一起算啊，都行的。 b 一 代的话是二分之 b 的 三次方，减去三分之 b 的 三次方，零一代是零呀，六分之 b 的 三次方是吧？好，这是六分之 b 的 三次方，减去 s a 已经知道了，十二分之一 b 的 三次方， 十二分之二减去十二分之一，十二分之一 b 的 三次方。 s a 跟 s b 看一下一模一样是吧？选 b 就 行了。 对，用眼睛看好像看着是不一样的，是吧？所以你不能用眼睛看图吗？你就仅供参考。你用眼睛看感觉 b 好 像大一点，是吧？那不行了，没有，没有依据，或者 你整体这个思想你没有掌握是吧？那你还要把题做一做吗？平时我们可以也做一做啊。 s b 怎么做两部分呀是不是？那你 经过这个题的一个训练，后期再减到类似的，你就知道。哎，不要在 s b 分 成两部分了啊，你没有这样快。对，做题的目的就是啊，学习一些方法。好，我们分成两部分，第一部分，那是这个黑色的线是 是零的啊，根二 b 黑色的线进积分，黑色的线就是根二减一。好， x 平方，对吧？再加上啊，这块红色的线了啊，是根二分之 b 到 b 红色的线 积分是吧。算一下啊，根二减一是个常数，提出来 x 平方，元函数三次方除以三零，根二分之 b 加上根二。哎呀 sorry 啊，这是还是按 b x 减去 x 平方吗？ 直接写过来了，对， b x 减 x 方，对圆来说就在这呢。直接抄过来了啊，二分之 b x 的 一个平方减三分之 x 的 三次方，这个时候上压线跟刚刚那列就不一样了啊。 第一部分的话，我们把系数提出来吧，三分之根二减一 x 三次方就是 b 的 三次方除以根二的三次方。二倍的根二呀，加上这边上限带入二分之 b 的 三次方， 三分之 b 的 三次方减去下限带入 x 平方，这就是，这是三次方是吧，合并一下，二二得四， 减去三分之一倍的 x 的 三次方，它也要三次方呀。二倍的根二就是六倍的根二， 你看这就慢多了啊，算一下啊，都是都是 b 的 三次方。我们直接整理系数就行了啊。前面是六倍的根二分之根二减一，加上第二部分六分之一系数啊，系数就行了， 减去四分之一，加上六倍的根二分之一。对光看系数啊，通分吧。十二倍的根二分之分母乘一个二分子乘一个二。 这里分母乘以二倍的根二分子乘以二倍的根二分母乘以三倍的根二分子乘以三倍的根二分子乘一个二分子乘一个二。 等会二倍的根二，四倍的根二减去三倍的根二，还有一倍的根二减二加二没有了，所以分子就是一个根二，分母也有一个根二，这根二根二消掉了十二分之一，还有个 b 的 三次方，是吧，跟这算的也是一样的啊， 太慢了啊，是吧，太慢就比别人啊，浪费一些时间 好不好，学一学啊，整体的思想好还是定积分的几何意义的考察。这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，过点 p， 这就这个 p 的 点了，我们这个曲线是 y 等于 c x， 所以 p 这个点的坐标就是 p c n p 啊， 好，做过这个点，做曲线的一个切线啊，这就是啊，这个点出的这个曲线的一个切线啊，设该曲线呢，与切线以及 y 轴，哎，曲线 和切线与 y 轴为成的图形的面角 s 一， 这个红色的就是 s 一 啊，曲线呢，与 x 等于 p 以及 x 轴所围成的面积是 s 二，哎，就这一块是 s 二是吧？蓝色的。 那么让我们求的是 s 二是吧？都，都是啊， s 二比上 s 一 加 s 二，当 p 区领证的时候的极限，我们先把 这两块面积求一下就行了。还是考察定积分的几何意义是吧。先把 s 二求一下吧， s 二的话，那很显然就是零到 p 这个区间上。对，这个 c x 是 不是 c x 积分就行了。 s 一 加 s 二呢？ s 一 加 s 二，你可以有两个渠道，你要么把 s 一 算一下， s 二也算完了，加到一起，要么还是根据啊定积分的几何意义。 s 一 加 s 二，不就是整个这个 绿色的面积吗？它其实是一个曲，是梯形啊，对吧？它是规则的图形，规则的图形，我们就可以用出等数学的方法，出等数学方法求面积，求梯形的面积，用公式非常快呀， 对不对？哎，比如说三角形，三角形的面积公式，梯形，梯形的面积公式，它就会比我们把 s 一 s 二算完再加到一起速度快。好吧，还是一个整体的思想啊， 我们两个方法也都写一下啊，就是再复习一下定积分这一块儿啊，几和一，先把 s 二算了吧。对， s 二一定是避免不了的啊， s 二就是零到 p 区间上，对 sin 是 吧， sin x sin x 积分就行了，原函数就是负的。 cosine 零到 p 是 吧，我就不喜欢啊，这个负号在前面，所以我给它改成 p 到零， 看你喜不喜欢。 cosin 零的话是一吧。好， cosin p 结束了啊，我们呢算这个 s 一 加 s 二，直接用啊，梯形的一个面积就行了。面积公式啊， 是不是上底这个这上底加上下底乘以高再除以二呀，而这个上底怎么算这下底？很显然我们知道啊，这个上底 下底呢，就这个这个高度啊， c p 啊，乘以高，高的话就是这个长度， p 除以一个二是吧，先去把上底去算一下，上底想算的话，是不得把这个切线方程求出来，切线方程求出来，在 y 轴上的个拮据，哎，就是我们想要的这个上底了呀， 可以吧把切线方程算一下啊，我们看过 p 点的切线方程， 点斜式算呀，是吧，咱们都会啊，点斜式这一点的啊，切线斜率是等于多少呢？这一点的切线斜率就等于 y 对 x 进行求导，把 x 等于 p 带入，是吧， y 对 x 求导，那就 cosine 呀， cosine x 把 p 一 带，就是这一曲线在这一点切线的一个斜率了。好，根据点斜式就把线方程斜过来了，那就是 y 减去一个点，我们就取了这个点啊， y 减去 c 一 p 等于 k 位的 x 减去 p， 是 吧？点斜式啊，其实你写成这个样就行了，我们现在主要就是把切线在 y 轴上的拮据求一下。我们直接就另。这就不需要怎么整理啊，我们另 x 等于零，可以得。哎，他在 拐角是拮据啊。对， x 等于零的话，零减 p， 负 p 了啊。负 p cosine p， 这个 cp 移过来是吧。所以就等于 cp 减去一个 p 乘以 cosine p， 这就是上底啊，上底就出来了。写过来， cp 减去一个 p， cosine p 好，加上一个，下底乘一个高除以二。这里可以合并一下吧。 c n p， c n p 不 就是二倍的 c n p 吗？ 减去一个 p 乘以 cosin p 是 吧。整个乘一个 p， 乘一个二 p 也没有必要再乘进去啊，就这样就行了。我们去求一下奇限啊。 p 去领证的时候 s 二 s 二是一，减 cosin p 是吧？除以除一个，他不就是乘以他的倒数吗？把二拿过来啊，把二拿过来。好，这个是二就分分母啊，现在放放到分子上了，分子就放到分母上啊。减去个 p 乘以 cos cosine p， 再乘一个 p， 这里写个 i 吧，二就放在这儿， p 去领证。一减二分 p 求极限。这块肯定可以用一下等价五乘小的替换呀，是吧。底下有一个 p， 二 c p 减 p 乘以 cosp， p 跟 p 消掉一个啊，二分之一跟二也消掉了，分子还剩一个 p 啊。 分母的话是二倍的 c p 减去 p 乘以 cosin p 消了啊。 p 零比零吧。零比零你落笔答就行了啊。是不是 p 去零个整，这落一下是个一了，底下落一下 cosin p 减去 p 求倒 cosin 不 求倒 p， 不 求倒 cosin， 求倒。是负的 c 啊，负的 c 好，这个可以去掉吧。括号去掉啊，减它加上它这个二倍的，减一倍的不还剩一倍的吗？ 写一下啊， p 去零正一还剩一倍呢。就是 cosin p 啊，加上 p 乘以 c n p， p 去零的时候极限已经可以求了是吧。这是一个连续函数 p 去零正的时候啊。连续函数对极限就等于啊对点的函数值了。把 p 等于零一带就行了啊。 cosine cosine 零是个一是吧。等于零啊，这就等于一对吧。没问题啊，选 d 就 行了。那我们也看一下啊，不用梯形的面积求的话， 把 s 一 我们算一下。好吧，这是不太建议用这个方法了，只是平时我们可以再练习一下啊。训练一下定积分吧，是吧。定积分这一块啊，计算能力 s 一 的话， s 一 要想算的话，你看好这里。擦掉了 是这根线是吧。减去这根线好，再零到 p 去减上积分。 零到 p 啊，上面这根线就是我们的这个奇异方程呀，对不对。奇异方程我们得写下 y 等于多少啊。 y 等于它加上一个 c n p 对 不对？也就是 c n p 加上。靠，我就不写那么多了啊，那边就不写了。 cosin p 乘一个 x 减去一个 p 乘以 cosin p 减去下面这个方程就是 c x 嘛。好， d x 这都是数吧，是不是这个数的话积分比较好记啊。这一分跟这一分可以合到一起。 c n p 减去一个 p 乘以 cos n p 一个数，这积分的话就上限减下限就行了。乘一个 p 嘛，再看一下这里和这里原函数一求啊。 cosine p 是 一个系数啊。 x 的 原函数是 x 平方除以个二，上下限一带，后边 c x， 原函数是 cosine x。 听个符号负负得正了啊。好，把上下限一带， p 乘以 c 以 p 减去 p 的 平方 cosine p， 加上二分之一 乘以 cosine p， 这个上限一代是 p 的 平方，下限一代是零，再加上 cosine p 减去 cosine 零是一， 这可以整理一下是吧？都是 p 的 平方乘以 cosine p 吗？这是负一，这是二分之一，所以是负二分之一啊。 负二分之一 p 的 平方 cosin p， 再加上前面有个 p 乘以 c n p， 后面加 cosin p 减一。好，这个时候我们把 s 一 s 二加到一起啊， s 二的话就是一减， cosin p 跟这里就消掉了，是吧，所以加到一起就只剩这里了， 加上 p 乘以 c p， 看跟上面算的结果一不一样呀。好，我们把第一块二给二消掉之后，是不是 p 乘以 c p， 第二部分就是负二分之一 p 的 平方 cos p， 对 吧？是对的啊，你看这就满多了啊，直接就用梯形的面积算啊，快一点。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，求的是平面无界区域 d 的 面积。我们去啊，看一下这个区域 d 啊，长什么样子。 这 y 的 绝对值。哎，你可以分大于等于零，小于零吧。大于零大于等于零的时候，绝对是直接去掉啊。一加 x 方乘一个 y 小 于等于一，也就是 y 小 于等于一，除以一加 x 方， 我们先把 y 等于一加 x 方的一个图像画出来呗。好，这是一个偶函数吧， 对不对？当 x 增大的时候啊，这个 y 的 话啊，是在减小的，但它始终始终啊是大于零的，对不对？在 x 轴上方啊，当 x 往无穷去的时候，无穷分之一的极限是取零的嘛，以 x 轴作为间隙线，所以这个图是很好画的吧。 好，先画右侧吧。当 x 取零的时候， y 是 取一的啊，始终在 x 轴上方。好，减函数是吧？ x 增大哎， y 是 变变小的啊，减函数大致画一下，以 x 轴作为渐近线嘛。好，偶，函数左边对称过来就行了啊，这个不是很对称的啊，大概吧。啊， 好吧，对称一下。好，我们看一下。是 y 要小于等于它，那就是这根线的一个下方嘛，是不是下方 就是啊，去第一还有第二，有 y 小 于零，其实就是在对称过来嘛，对不对？你要看不清楚的话，你再去写一遍， y 小 于零的话，去绝对值就是负的一个 y 小 于等于一，对不对？ 你这个负号的话啊，我们可以这样写，大一等于负一，对不对？那 y 的 话，大一等于负一。除一个一加 x 方，你看这个图像跟这个图像不就是差一个符号吗？差一个符号不就这个图像给它翻过来吗，对不对？给它再画一下吧。啊，这个 对不对？你这个画的不太对称啊。 好吧，这边是 这边。哎，这块啊，这块的面积跟这块面积是一样的，因为图像长得是一模一样的，只是一个在 x 轴下方，一个在 x 轴上方而已，所以我们求一个面积再乘一个二不就行了嘛，求这一块的一个面积乘以二就行了。 好，所以 s 就 等于二倍的这面积。怎么求呢？积分嘛，对不对？负无穷到正无穷。对哎，它积分嘛，这个函数图像不是一加 x 方分之一吗？ d x 这会积吧，好，二，这是 arc tangent。 x 好， 负无穷，正无穷 反常积分。那就是求极限就行了呀，阿克泰尼正无穷极限二分之拍都会吧。阿克泰尼负无穷极限负二分之拍减去负二分之拍啊， 好，这不就是拍吗？你是二拍或者这个地方啊。看到了负无穷到正无穷，我们确定这个反常积分他就是收敛的，因为填空题我们说反常积分一定是收敛的啊，收敛的话这个就可以看成对称区间啊，可以用写成 啊，两倍的零到正无穷，是不是？奇，函数的话，在对称区间上积分等于零，偶函数在对称区间上积分的话，写成两倍的吗？ 哎，这样都很好做啊，四倍的 ark 乘以 x 好， 零到正无穷好，四乘以二分之一拍也是二拍，对不对？注意啊， 反常积分出现这个负乘到正无穷的时候，你想要用这个对剩区间上啊，这个积分那个性质的话，必须要求这个反常积分是收敛的，这就可以看成对剩区间，如果你都不知道这个反常积分是否收敛， 那你就不能够把啊这一块啊看成对称曲线哦，好，这一点注意啊，好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，考察的是选举体体积的计算，对于选举体积这一块啊的考察的话，我们呢是让大家记住啊，二重积分法去求选举体积这一块，在这点视频给大家讲的很详细啊，其实你只需要记这一块就够用了啊，考研就够用了， 就是无脑的去按照这三个流程，对吧，三个步骤去做就行了。那对于一些简单的题，哎，这个直接套公式，这两个公式其实用二乘七分法也是可以哎，给他推出来的是不是？但这两个公式其实很好记嘛，所以对于简单的题，你说对，就像这个题啊， 图形就这么简单，你绕 s 轴直接对公式是吧，你绕 y 轴直接就这个公式。有一些比较复杂的啊，图形比较复杂的，就直接二乘七分法，无脑去做就行了。 好，有的人说还没学到二重积分，那十四张会学到是吧，你可以放一放啊，到十四张，学完二重积分你再回来去。哎，看看啊，这把这一张啊，选举体积，比如二重积分法去做一做好不好？你做好标志啊，在你的本子上记下来，哪些题需要去哎，再做一次是吧，再做一做啊。 好，我们看这个题，它就属于这种简单的题啊，图形非常简单啊，看一下， y 等于 c 乘 x 嘛，零到一是吧，取零的时候就是零，取一的时候，它也是零取二分之一的时候啊， c 二分之一了是吧，这样的图啊。好，这个就是 y， 它 与 x 轴围成的区域，不是 d 吗？这就属于比较简单的题，直接套公式就行了。好， 二拍 a 到 b 就 零到一嘛。好， x 乘以 y， y 是 谁呢？是 c 拍 x 对 吧？ d x， 如果这两个你都不想记，那其实你记这一个就够用了，通过啊，这三三个步骤也会得出来这两个公式的啊。好，那二拍， 这个时候我们会发现是密函数和三角函数相乘，你可以采用分布积分，那我们说了采用表格法是吧，更快一些啊，还是希望同学们学一学啊。密函数求导。 对， c， 这个是三角函数，求积分，积分的话，那就是负的派 分之一 cosine pax， 你 看你求到是不是你，对吧？好，继续，这里还是积分，积分的话是负的，拍的一个平方 sin pax， 你 看求到是不是它？是的啊，交叉相乘，正负相减，这就是圆函数。找到了啊，是不是就是负的 拍分之一 x， cosine 拍 x 好， 你可以啊，两部分就是分成两部分算，也可以写到一起，再去带上二线夫妇，得正了，正的 拍的平方分之 c 拍 x 是 吧。哎，好，零到一， 我们看二拍上线一带的话，是一往这边一带负的拍分之一一靠近拍的话，是不是负一啊，这个符号就消掉了啊。好，加上 这是拍的平方 c 啊，这是一的话信拍，信拍是零了，不写了啊。上线带入就是拍分之一减去下线带入零，一带零啊，零一带零，是不是？所以这结果很好，求吧，直接用二拍除以拍就是一个二就结束了。 好，哎，简单的题就直接套公式啊，那如果你这两个公式都不想记，那其实只需要记这这一个方法就够用了是不是？那我们再复习一下啊，这个二乘积分的方法，求旋转体体积，它就解决了啊，所有问题了， 无脑作是吧。按照三步，第一步找到旋转区域啊，我们的旋转区域 d 不 就是这个阴影部分吗？好，内取一点 x， y， 我 取一点啊， 好，磁点到旋转轴的一个距离。旋转轴不是 y 轴吗？这距离是不是又 x 呀？这个 r 就是 x， 这里就是 x 了。好，计算这样的一个二乘积分就行了啊。 v 就 等于二拍 好，这是 x， 对 吧。哎，计算二乘积分哦，这应该是 d c 个嘛。好，这二乘积分的话啊，我们这个方法就比较多了，是吧？算这一个，我们的积分区域是 d 啊， 然后去计算二乘积分，别记函数 x， 你 这时候可以用 x 型的积分方法，也可以用 y 型的积分方法，很显然把去化成 x 形域比较简单，是吧？哎，这样上下线很好定 化成 y 区， y 区的话啊，还要写反三样函数，那不要给自己找麻烦，是吧？好，化成 x 形域啊， x 的 变化是不是零到一啊？好， d x y 的 个变化好，线内画条线，先积后积，先积写下线， y 等于零，后积写上限， y 等于 sin 拍 x， 算，这就是个一了，因为背记函数就是个 x。 嗯，我们看啊，这个时候就是二拍，这个可以先算一下吧，算一下不就是因为它的背记函数是一嘛，一算这个上限减下限， sin 拍 x， 对 不对？零到一 x， sin x d x， 你 看，现在又到达了我们这个公式了，对，直接带公式的这个结果。 直接带的这个公式是不是就是就是这个型号的？所以说后面就一样了呀，你不想记这两个的话，就直接记这一个就行了，但还是记一下吧，是吧，简单的直接就记下来了啊，这两个非常好记的。对。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x 的 表达式里面，你会发现有一个变现积分函数啊， 好，小， f x 在 零到一曲线上的平均值，平均值的话，我们把公式一背记住了，记住之后看要求的是啥了。不就是一个积分吗，是吧。 ab 减 a 分 之一，一减零分之一就是一个一，这系数不写了吧。好，那剩下的就是零到一啊， f x d x 其实不就是，是吧，考察一个定积分吗？只不过我们的背机函数啊，他里边还有积分。想到我们上一张给大家说的，哎，看到积分里面还有一个积分，还有变现积分，是吧，考虑两种方法呀。所以说啊，这个题的话，咱们已经见过他的一个做题的模型了吧， 只是又综合了第十张的一个平均值的一个啊，考点，哎，就这些嘛，来来回回的考，你得能够啊，总结出来一些题的套路了好不好。那我们先看发音 分布积分吧，哎，写过来 f x 就是 x 一 到 x 一 的题方出一个 t d t 是 吧，好， d x 嘛，这块啊，这不是 f x 表达式吗？你可以啊，扩一下 或者不扩扩一下吧，因为这里边还有个积分吗？是吧。好，我们说分不积分，你先凑一分呀，能凑的先去凑，如果这个地方啊，你不把这个表达式写过来的话，你会 很麻烦的，可能求不出来了。就是我们还按照这样的一个做题流程的话啊，不把 x 表达式写过来的话，你看一下啊，我们在这写一下零到一 x， 哎， f x 就是直接分布积分是吧？直接分布积分的话啊，我们看这是 x f x 嘛，零到一减去个零到一 d f x， 对 对， x f x 求微分嘛，是吧？求导，你看，对于这边的话，求导就直接求了，而对于这个 f x 求导的话，它有它是两部分是吧，可以用乘法求导公式嘛。你这里边啊，你就会又出现这个积分了呀， x 左边求导，右边不求导是吧，你又出现了一个积分，很费事的，你把问题复杂化了，加上 x 不 求导，后边求导是吧？后边这个求导的话就简单了。 这个，这块求导吗？是吧？好，你这变复杂了，你就别这样了，我们这个时候你得稍微灵活一点嘛。我们直接就把 f x 的是吧，转化为它，塞完之后你发现这，对吧，这背接函数里边有一个 x， 我 们先去凑微分， 再去分布积分，不要直接分布积分啊，哎，不同的题目你就稍微灵活一些好，这个是里边啊，零到一一 t 的 一个平方除以 t d t 这个先扩一下 x， d x 就 凑成 d x 平方，要补一个二分之一。 现在我们分布积分啊，二分之一 x 方好，一到 x e t 的 平方除以 t， d t 好， 上弦一带是吧？减去一些两部分就把二分之一都要带上了，要么你就把二分之一提到最前面，不要忘了啊。 好，二分之零到一 x 的 一个平方，对它求微分。哎，这个时候就像求导就很简单了是吧。 e x 方出一个 x 好， d x 也就相当于这个形式了吗？是吧，求导比较简单啊，没有那个烦人的 x 了。好，算一下啊， 上线一一代的话，你看这一块啊，肯定就是零了嘛，上下线一样的零啊，下线一代也是零，所以这整个啊，积分就是个零了。不管了，减去二分之一倍的好，零到一 x 方，削一个 x， 还剩一个 x 是 吧？ e x 方 d x 这个时候再去凑一下微分呀，你就还多一个二分之一，就四分之一了啊。 dx 方把 x 方看成一个整体啊，看这个 t 是 吧， e 的 t 四方的原函数就是 e 的 t 四方， e 的 x 平方嘛，零到一一代我不喜欢零到一，我就写一到零，是吧？四分之一 e 的 零四方， e 的 一次方不就是这个结果吗？四分之一倍的一减去个一就行了啊。好，再看一下二乘积分法，没学到的啊，先标一下，过几天回来再做啊。二乘积分法 好用，二重积分法的话要注意，我们说两点，它要考察到交换积分次序，直接积，直接先去积它，后积它是积不出来的。要要交换交换积分次序的时候之在积分之前我们要把 区域给它还原出来，是吧？积分区域还原出来要注意一点，要把这个积分的下限啊，全部改成小的，上限改成大的，从小到大积分，不然区域画不出来，无法积分呀，是吧？二等积分本来就要求啊，等下限要小于上限的。 好，我们先把这块写一下，零到一 f x， 那 就是 x， 零到一，一的 t 的 一平方除以 t d t 再。嗯， d x d x 写，这个时候我们二重积分了吗？就这样写就行了是吧？好，我们为了啊，看着更方便一点。那就把 t 呢，都改成这个。我怎么总写成零到一呢，是吧？应该是一到 x 呀， 一到 x 呀，是吧？好，我把 t 换成 y 呀，这个啊看着舒服一点。我们画区域不就是 x y 吗？用哪个字母无所谓吧，只是看着更舒服啊，你画不画都行。 好，我们要把这个啊上下线啊，改成从小到大，这个是没有问题的。好，这里呢， 它的下限是个一，而上限我们已经说了， x 是 零到一之间呀，是不是你这个啊，零到一之间你怎么跑到上面了呢？你没有一大呀，对不对？所以你应该在下限啊，下限要是变成小的啊，咱们积分区才能画出来，这个记下来就行了， 零到一 x dx， 所以 你添个符号，把上下线调一下。好，这一步改完之后，我们就可以啊，去画这个积分的区域了，然后交换积分次序去积分就行了。 x y， 我 们看 x 的 一个变化，零到一 是吧？ y 呢，是小于大于 x 的， y 等于 x， 可以 先画一下，这就是 y 等于 x， 这是 y 等于一。 y 要小于一，还要大于 x， 是 不是这个就是我们的积分区域啊，对吧？我们这个时候要交换积分次序了，你看先对 y 能记出来吗？这是记不出来的是吧？你说它圆函数是谁不知道。所以我们先对 x， 后对 y， 就 把积分区域画成 y 形于的 y 的 一个变化的话，好，这个符号别忘了啊，是不是零到一啊？ y 的 变化， x 的 变化呢？ x 变化，这有个 x 就 平行于 x 轴。画一根线好定向上下线的方法啊， 先积写下线， x 等于零吧，看 x 等于多少吗？这根呢，是 x 等于 y， 是 不是 就是 x 等于 y 与这根线的一个交点啊？这个是 x 等于零与这根线的一个交点。是不是 x 等于多少吗？看一下 x 等于多少， x 等于多少。顶，上下线好，把 y 的 写到一起， x 的 写到一起，对吧？这积分 很简单了啊， x 这里一积的话，二分之一 x 平方，不是原函数吗？零到 y 不是 二分之一 y 的 平方吗？是吧？二分之一 y 的 平方，积完就往这一写啊， 我就直接往这一写了，因为它比较简单了啊，擦掉好负的二分之一 y 方，除以 y， 还剩一个 y 吧。 y 啊，还有个 e， y 的 一个平方， d y 是 不是再去凑一个微分呀？很显然的了啊， 一 y 的 一个平方底 y 的 一个平方，你错位分，要补一个二分之一，这就变成四分之一了。好的，圆函数也很简单呀，直接就是一的 y 的 平方，零到一，我写成一到零，把符号去掉。好，四分之一倍的一的零次方，一的一次方， 是吧？一样的啊，哎，对，训练一下各种方法。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 这是相关变化率的问题啊，数一数二同学需要掌握的。数三的同学呢，可看可不看啊，他这个题也归到数三的练习题里面了，可看可不看。数一数二同学重点听一下啊，也很简单嘛，这样的题好， 曲线 l 呢，是 y 等于 e 的 负 x 方，要求 x 大 于等于零。本来他这样的 x 大 于等于零，那就这样了，是吧。画一下图啊，这样的题可以画下图，这就是曲线 l， p 呢，是 l 上的动点啊， p 在 l 上进行动。 v 是 什么什么什么啊？感觉读着不通顺的时候，你掐头去尾看一下。好吧， v 呢，是体积啊，是旋转体体积，接下来再去读中间的定语。好，这样分析题目啊， 我们就知道了啊，它是一个体积，是旋转体，体积是 l 上面从点 a 到 p 点的一段弧，绕的 x 轴旋转一周一周所得的旋转体体积。 a 呢，是零一这个点，就这个点。对，零一这个点好，到 p 点的一段弧，这段弧嘛， 绕 x 轴旋转一周， a 绕 x 轴旋转一周。好， 哎，这个图你你不想画，其实这个旋转体的形形式就是旋转体啊，它长什么样，你不想画也没事是吧，哎，就像一个喇叭一样啊。 好，我们只要你会算旋转体体积就行了，对不对？这个时候比较简单的图很简单吧，是吧？绕 s 轴直接这个旋转体体积的话，比较属于这一类型的啊，比较简单是不是？哎，有一些难的，你就二重积分法就行了啊。 好，这个 v 的 话，我们现在就可以先算一下是不是好， a 到 b， 我 们是啊，你看 a 是 这个，你看 x 的 一个变化啊， a 点的一个横坐标是零， 这个 p 点的横坐标呢，我们 p 点就记为 x y 啊，所以啊，这个 p 点的横坐标是 x， 所以 是我们是零到 x， 是 吧。哎，这个区间上啊，积分拍 y， 这个平方 d x， 你 注意啊，这已经有个 x 了，所以我们这个时候这个变量可以选择 t， 哎，区分一下变量啊，好， y 这个平方就是它这个平方，我们区分变量啊，负负 x， 本来是负 x 啊，平方是负的二 x 方，现在给他写成负二 t， 区分一下变量。 好吧，这个时候你可以把它记出来，也可以不用记。这有时候啊，我们做你，你比如这个题啊，他做这个变化率的题，因为接下来要求导，你心里清楚，要求导，那这个时候他这个变现基本函数，其实求导是很快的，你干嘛还要把它记出来啊？对，这样的题你可以留个心眼，不用记， 不用记出来啊，放在这就行了。好，你记出来之后还得求导图啥呢，我们继续读啊。 p 运动导这个点的时候， 沿着轴正向的一个速度为一，哎，沿着轴正向速度，我们知道啊，速度的话，不就是哎为一对时间的导数吗？是吧？这是一个啊，定值，记下来，行了，写下来。好，接下来让我们求的是微对时间的变化率，此时啊，微对时间的变化率 不就是 v 对 时间求导吗？而我们通过这里可以看出来啊， v 是 关于 x 的 一个函数，对吧？它记出来肯定是关于 x 函数， 而 x 是 关于 t 的 函数，是吧？ v 是 关于 x 的 函数， x 关于 t 的 函数，所以 v 是 关于 t 的 一个函数， v 就 可以对 t 求导，是吧？这里有一个中间变量啊， 对，我们 v 对 t 求导，不就是 v 先对 x 求导， x 对 t 求导，是这回事吧，就相当于符合函数嘛。对，符合函数求导嘛，先外层厚内层嘛。 好， v 对 x 求导，你看，这不就变极限函数求导不就行了嘛。啊，拍 e 的 负二， x 完事了， x 的 t 求导不就是一个一嘛，是吧？这个时候我们啊看一下， x 是 等于一的，是吧？往这里面一带就行了。 拍乘以 e 的 负二次方，这就行了。拍往可以往往后边写一下，或者 e 的 负二次方，你可以写成 e 的 平方分之一拍，也可以往上面写，这个形式你怎么写都行的啊，就就是它嘛，现在的结果就是它，是吧，好，哎，注意这一点啊，可以省点力气。好吧，好，这个题就讲到这了。

再看这个第十九题，那么从这个题开始呀，一直到最后第二十三题都是研究什么呀？研究这个所谓的连续和间断的问题。 十九题给出一个 f x， 它带有分母，它本身是取不到零的，零点没有意义，但他想干什么？想让你把零点的值补充上来，以使得再零点连续啊？这叫补充定义使之连续。 那你想想 f 零应该补成几？这个十九题就连续了呢？那被定义连续是啥呀？就是函数值，比如 f 零应该跟极限值，比如 limit 零相等。所以说一千到一万还是要算啥？算极限？算零点的极限去来算 算零点的这个 limit 极限。零点的极限怎么算？就是这个。呃，减法的极限要先化减，比如通分嘛，来吧，那就是第一个分母跟第二个分母相乘，作为总的分母，第一个分子乘上 x 减，第二个分子乘上 e x 的 减一，这样减一下，这就通分。 那么通分好了之后呢？往下算，那怎么算呢？那还可以再化减一下，你发现这个通分后的极限这里有个谁啊？有个 e x 的 减一， 这个可以用我们的等价替换，因为乘法随便等价，所以等价乘 x， 再乘 x 的 就是 x 的 方了。但要注意，分子也有一个 e x 的 减一，但是这个地方属于加减运算，它是不能等价照抄，所以分母是乘除运算，能等价。分子是加减运算，不能等价。 好了，这样等价好了之后开始算。那怎么算这个极限呢？大家可以落笔答，大家可以摊了展开是吧？呃，当然也可以这样去算啊。你是否注意到这个分子中有个啥？有个叫 x 方的，这个地方看是不是有个 x 方， 你想想，这个 x 方跟底下这个 x 方这俩相处是肯定可以约分极限存在的，所以我们可以用什么呀？四舍一算，拆项这个技巧，把它给拆出去， 那这样的话呢，来往下就是剩下手跟尾除以分母 x 的 方，然后呢，中间这一项 x 的 方跟分母这一项 x 的 方，他俩单独去算，把它拆出去啊，这个技巧得学会 好了。那这样的话呢，那前面第一个极限怎么办？第一个极限，这是零比零，可以对它采用洛比达法则，是吧？那零比零，这是 我们说的零比零啊，零比零洛必达法则。求倒上前面求倒，被乘法公式， x 倒 e 不 动， x 不 动， e 求倒，小括号求倒就是 e x 分 母求倒就是二 x 了。 后面这个 x 方跟 x 方约掉，约掉剩个 e x e x 的 极限显示是几吗？ e x 的 极限，那不显示是一吗？对吧？所以就是后面这个极限，大家采用约分约出来是个一了啊，就是是个一。 好了，再往下算，那怎么算呢？那显然这个 e 跟这个 e， 这不就抵消了吗？这两个 e 啊，抵消之后呢？那这个 x 跟 x 就 越分了，越分以后剩个二分之一， x 一 x 再零点，那不是一吗？就剩个几啊？二分之一再加一，那不二分之三吗？ 所以这个极限算出来是二分之三。好，极限是二分之三，要想连续得干嘛？函数值也得达到二分之三，故补充完毕。 所以必须补成几啊？补成二分之三，才能使得该题该函数在该点达到什么，达到连续，那这叫补充定义，使之连续的题，这种考法，这个值得注意一下。 那你包括下一个第二十题也是这种考法，给出 f x， 他 自己呢，是带分母，不能取一二的，但是呢，想让他干什么？在一二都连续， 那应该把 f 一 补成几，把 f 二补成几，还是补成啥呀？补成一的极限，补成二的极限对不对啊？只不过需要注意，这个一呢是端点，这个二是端点，算极限，只能算单侧极限。所以来再次发挥什么？发挥这个连续的这个定义， 那 f 一 得补成几？补成一的极限一是左端点，只能算它的右极限，是吧？所以这个一点的极限我们算挨个的取啥？取一正那，因为只能从一的右边过来，一的左边是没有意义的，是没有值的啊。 那右边过来叫右极限，那么这个右极限怎么算呢？那你看右极限怎么算？那你发现这个分母有个谁？有个二减 x， 你 是否注意到这个二减 x 这一项它是干嘛的？它是我们一直说的非零因子，可以先计算。你看 x 取一 带进去这一块，那不是二减，这不一吗？所以呢，这一块可先算成一，后面一减 x 的 照抄分子照抄好了，这样化简完毕之后，再把这个化简后的再继续算。怎么算？这是零比零，那零比零没有什么好方法，我们就动用什么，动用经典的什么落笔打法则去求导啊。零比零 来洛比达法则求一下，倒那一求倒没有了，那这个负 x 乘二，这是乘法公式，前导是负一后不动，前不动是负 x， 后求倒指数函数，求倒多个 l 二，然后头上求倒多个负一，因为头上是一减 x， 那 求倒多个负一嘛？下面求倒刚好是啥？刚好是负一 好了。洛比达求关岛了，求关岛之后，那这个极限是几？你发现求关岛之后的这个极限，分子比分母不再是未定式了，不再是零比零了，更不是无穷比无穷了。我们说过只要一个极限，不是未定式， 不是那七种类型，它的极限值都是怎么办？把下角标带进去把下角标带进去，来吧，把一往里带得到一个结果 把一往里带得到一个结果，这个结果一化解，一合并就是我们的什么我们的极限值啊，这个要学会啊，就是把这个角标一这样往里给他带进去啊，因为 求导后的极限虽然是除法，但不是零比零，更不是无穷比无穷他是非谓定式啊，他是确定式，他是直接把角标带到分子分母出答案的这种极限。 好了，那同理我们再去找谁啊？找 f 二那二点，这个点也是怎么办？二点要想连续 f 二应该等于二的极限，所以也要补充啊，算这个二的极限去 二的极限应该是算二的什么极限？二是右端点，只能从二的左边过来，因为右边无意义取不到，所以算二的左极限。那么这个左极限怎么算呢？还是要先化解。那怎么化解？大家看这一次呢？后面这一项， 就这一减二给他这一项成了什么非零因子。那一减二是负一嘛？所以呢，把这个先算掉成负一， 然后呢，这个除法跟刚才一样，再次发挥什么洛比达法则是吧？那这又是什么？这又是我们说的这个，呃，零比零啊，零比零，没有什么好方法，我们都采用这个经典的求导洛比达法则， 那这样上面求到跟刚才上面求到一样，就是这个，这一坨就是这一坨赵超，然后下面求到这个地方是负负取正，变成正一了，刚才这是负的，这是负一嘛，就差这个地方。 好了。洛比达完了之后，这个求导后的极限又变成啥了？变成了非谓定式，变成了确定式，变成了是不？角标二往里带，角标二往里带的这种情况。来吧，大家再次把这个二，这个角标带到这个极限里面出来，我们的值就行了，你看二往里带出来第一项， 二往里带出来第二项除以这个分母的一一合并，就是这个结果。好了，这样 f 一 f 二都有了，那最终呢？ f 一 乘 f 二也就有了， f 一 是一减零二， f 二是负二分之一加这个零二，那所以二者相乘，乘出来一个值，这个值就是我们要填空的这样一个五分，那做完了，所以最终是吧，就把这个乘积二者相乘，那就有这个结果了。 好，这是第二十题啊，跟十九题有异曲同工之妙，都是考察同学们通过算极限补成连续啊，这个本质上仍然是极限计算，要先化简，然后再去算化简啊，得得到，计算得流畅。 好，那么再往下看第二至一题，二至一，二至二呢？这就是一种题，就是给出一个比较表达式复杂的函数，让你去找他的间断点，找他的可去间断点，找他的第二类间断点啊。这种题呢，先找再去判。 那你看给出这个 f x， 这个 f x 有 啥？是不是有这个密值函数？所以第一步呢，先把这个原题目里面的这一项就是这个分子，这叫啥呀？ u 的 微子方嘛？把它改成啥？是不先改成这个 e， 这是我们这个经常用的一个手段。 u 的 微子方改成 e， 然后呢，微成 l u， 这样改完之后利于求极限，利于分析问题。 好了，改好之后，大家明显看到哪些点是间断的无定义，是不是分母为零有谁零？分母为零有谁负一？分母为零有谁有正义？显然这三个点都是无定义，都是 b 间断，所以间断点 有三个。但是呢，人家问的是可去间断点有几个，你不能说一定三个，那得算了，一个一个算来先算谁？先算第一个零， 零这个点是不是可去呢？那得算零的极限了，零的极限就是改成这个 e 的 极限，这怎么算？那算极限，那可以等价吗？你想想这个分子，这不刚好是 e 的 勾次方减个一吗？等价成什么？等价成这个勾次方，等价代换啊，求极限。 完了，这一等价，等价成勾次方就是 x 乘 l 分 母照抄。注意，这个地方为啥能等价啊？那等价的要求是啥？要求这个勾次方得趋于零。 这个地方是谁？是 x 乘 l？ 大家应该知道，早在基础三之讲，基础课就专门呃证明过这个计算过 x 乘 l 在 零点几减是零，这个用洛必达法则能够证出来记，这个地方就直接用了。 好了。这一等价的话，约分上跟下约分就剩谁剩 x 加一了。那你想想， x 加一，那做分母，那在零点的极限刚好是几啊？那这一约分 x 加一在零点的极限，那是一，那倒过来，那不还是一吗？这里面再次强调，屏幕前的你这个狗次方就是 x 的 乘以 它在零点的极限是零，这个地方找三只角找基础课就行了。好了，这是零点的极限，经过计算是一，这叫可去极限存在，就是可去， 同样再算，谁再算负一这个点，那还是盯着这个 e 去算，这怎么算？还是用等价？那你看再次等价， e 的 勾次方减个一等价于勾次方，这个勾次方肯定是趋于零的，因为 x 的 趋向于负一嘛。好了，这又是用等价代换去求这个极限， 那等价好了之后又干嘛了？上下文约分其实都一样，这一约分就剩谁？还是剩 x 的 加一分之一，那你想想， 这次 x 加一分之一，它的极限值多少？这就是在负一这个点了，那你在负一这个点分母达到零，那无穷小倒过来不就是无穷大了吗？所以这一次负一成了什么呀？第二类间断点，无穷间断点不符合我们的要求， 最后呢，还有谁？还有一这个点也是这样算啊，怎么办呀？先把这个分子用狗次方啊，去等价下来，等价好了之后呢？再去干嘛？再去给他去约分，这都一样。这三个三次计算都一样，那 先等价啊，然后呢？去约分，约成什么？ x 加一分之一，然后呢？这次是在一这个点，那一加一分之一不是二分之一的吗？所以这一次呢，算的结果也是啥？这次算的结果也是一个存在的值，就是二分之一，所以这样的话呢，一共有三个间断， 那通过计算，第一个阶段零极限存在，叫可去，第二个阶段负一极限不存在，叫第二类。第三个阶段一极限存在也叫可去，所以本题值得说是可去的。应该是有几个呀？应该是有两个，所以答应该是选 c 选项，选两个就行了。 好，这是找可去二十二题呢，也是这种找间断点个数的题目啊，只不过呢，他跟刚才不一样，刚才是找可去，这次呢，是找什么？这次是找第二类间断点。那一样，先通过他给的这个 f x 的 形式看出哪些无定义作为考察对象， 然后呢，在这些无定义这些考察对象里面，再去筛选谁是第二类，谁不是第二类。那来吧，通过他给的这个 f x， 不 难发现哪些点是无定义的。分母为零，无定义，比如 x 取零，分母为零，无定义，比如 x 取负二。但是别忘还有个特殊情况，谁呀？这个老鹰，这个老鹰挺喜欢出的啊。 大家知道这个 long in 在 哪个点？无一， long in 在 零点是吧？就是 long in 绝对值零，那 long in 的 出现，让这个绝对值达到零，也会贡献出一个无一点间断点。 这个绝对值要想达到零， x 得是几， x 得是一。所以这个找的时候，大家千万别忘一，这个点它也是什么呀？也是无一，它也是作为间断点。 好了找，找完了找到三个，但是是不是一定选 d 呢？这不一定，因为这三个未必一定都是第二类，如果都是就选 d， 如果不都是，那就不能选 d 了。 是不是得算极限？比方说第一个零点算零点的极限，那怎么算分母？用等价 x 加二，可先算上面绝对值，去掉不就行了吗？这很好算的呀， 这个 x 加二这一项，这是我们说的极限非零啊，非零因子可以先算掉来吧。那你看 e x 减一，等下 x 加二，先算一减 x 的 绝对值在零点。零点嘛，显微镜零的去心领域，那显然一是老大。那所以去掉就写一减 x， 然后呢，再去用等价 long e 一 减 x， 等价于负 x， 这上下一约分就剩个负二分之一了。那这样的话呢，零点的极限是负二分之一，这应该属于什么？可去不是第二类，这个不对，所以不能选 d。 然后呢，再去算什么？再去算负二这个点，负二这个点的极限值多少？那你发现负二这个点是分母达到零了，但是呢，负二这个点使上面呢？达到几啊？就这一减负二一加二，那么 log 三不是零吗？总之你会发现它负二这个点啊，会使得极限成为这种局面， 成为下面达到零啊，就是下面有 x 加二，但这上面呢，他达不到零。这样话，无穷小倒过来不是无穷大了吗？无穷大就是第二类间断点，这个是，然后再看谁再看一这个点，一这个点的极限呢？他怎么算？ 你看啊，一这个点使上面达到几是不？达到 l 一 零 l 一 零不是无穷大吗？啊，所以上面达到无穷大，下面呢？这肯定干嘛了？ x 的 取下一这两项都是非零的， 所以呢，这个极限应该是无穷大比上一个非零的，对不对啊？你想想，无穷大除上一个非零数，那结果还是多少？那结果不还是无穷大吗？是吧，无穷大嘛，除上一个非零数，非零数啊， 那无穷大，除以非零数，那结果，那最终这个主要是这个劳力起的这个作用啊，劳力达到无穷大，下面达到非零，这样一除还是无穷大，这样的话呢，最终发现第二类有几个？有两个，这两个就是一个负二，一个一，所以答案选两个。这个题呢，最终选项还是选谁啊？ 还是选 c 啊？跟上一个题答案是一样的，上一个题可去有两个这个题呢？第二类有两个。 好，最后呢，再看一个难题吧，就是二十三题最后一个题。这种题呢，在这个二零二四年的 真题里边，数学三的卷子第一道题就考过这种题就什么呢？用一个极限去构造一个 f， 他 不像二十二题，也不像二十一题，也不像二十十九，就不像前面讲的几个题。前面几个题都是干嘛直接给出 f x 的 表达式， 你盯着这个表达，是下手去分析去做，那这个二十三题呢？好像也给了 f x， 但是并没有给全，没有直接给出，是以一个极限去包装的，你得干嘛先去处理这个极限， 然后呢？得到这个 f x， 然后呢再回到前面几个题上分析，零点是可去，是跳跃，是震荡，还是无穷？ 那这怎么去求这个极限呀？那得分类讨论，因为这个极限是对谁求的？对梯梯着下角标，取正无穷，那提取下角标，那这里面的 x， 这里面的 x， 这里面的 x 要当常数。当什么常数呢？那什么常数都有可能，比如正常数， 比如负常数，甚至零都有可能啊。所以呢，我们要如何求极限？对了，得这样得去分段， 用分类讨论的想法去研究这个极限，去得到我们这个 f x。 好 了，来开始分析。第一种情况，如果 x 是 比零大的数，比如 x 是 一， x 是 十， x 是 一百， x 是 一千，就这种正数啊。好了，那这个时候怎么求极限呢？那你想了，提取正无穷， x 是 个大于零的数啊，刚才说了一十一百一千啊，然后这个 e， 这是啥了？ 替自己取正无穷， x 是 个正数，你会发现这个时候 e 的 tx 这一项就会干什么。嗯，是不？此时这一项 e 的 tx 就 会达到 e 的 什么正无穷，非常非常大。所以此时这个极限可以采用什么？抓大头， 那分子谁说了算？谁最大？ e 的 tx 说了算，他最大。分母谁最大谁说了算？ e 的 tx 最大，他说了算。为什么？因为你想嘛，提取正不穷，这个 x 的 又是个正数。那你想想，提取正不穷， x 的是个正数，那么这个 e 的 tx 呢？就会跑向 e 的 正无穷， e 的 正无穷呢？我们知道非常非常大，达到正无穷，这不是我们之前讲的什么抓大图吗？ 想想对不对？老大说了算，对吧？抓住分子的老大，抓住分母的老大，忽略老小， 是吧？不要老小。然后呢？这样算极限，这叫抓大头，这叫老大说了算。所以分子不要 x， 它很小，留下 e。 分 母不要 e， 它很小，留下 e。 这俩 e 相处不是 e 了吗？ 好，再来看，那如果 x 的 取到零的话，这个积减是几了？那 x 的 就是零了，就是零了，就是零。好， x 的 取零， x 的 取零， x 的 取零，那一算不就出来了吗？因为这个时候他不是未定式。那你看， x 的 取零，第一项是零， x 的 取零是不亦的零次方了。注意，这个时候 x 的 取零是真正的零， 是正儿八经的零，是阿拉伯数字零。这个要注意啊，这个零可不是说什么去零，这不对啊，这是真正的零，记住，真正的零乘以任何数，它都是零，哪怕是成无穷大也是零 啊。以前咱们说的零，那是极限零，这个地方说到的零，是真正的零，是阿拉伯数字零，对吧？正儿八经的零。 好了，那这样的话呢， x 取零，那 x 取零，零乘任何数都是啥？都是零， e 的 零次方， e 照抄， x 的 取零，零乘任何数都是零， e 的 零次方照抄。这样一算，不是二分之一了吗？ 好，最后呢再算， x 小 于零， x 小 于零，这个极限是多少？ x 的是个负数啊，当常数这个时候 e 就 变了，方向就变了。那你想想，这个时候这分子分母这俩 e 就 变成 e 的 什么了？ 踢自己正无穷乘上 x 是 负的，就变成 e 的 负无穷了， e 的 负无穷是几是零， e 的 负无穷是几是零，所以这个时候呢，就变成了 x 加零，比上一加零，那这样呢？结果就是 x， 这个时候呢，是因为 e 的 什么？因为这个时候是 e 的 负无穷， e 的 负无穷是零。 好了，这就是一个经典的分类讨论，讨论不同的 x 对 极限的影响，得到不同的结果。然后呢，把它组合起来，就是这个 f x 的 庐山真面貌。 好了，找到这个 f x 的 真实表达式了。然后呢，就回到前面二十二，二十一，二十十九那样去做。 做什么？人家指名道姓做零，这个点是啥点？那显然零的右极限看第一段是个一，零的，左极限看第三段是 x， 那 不就是求极限是零了吗？所以显然不难发现零这个点经过分析应该是什么点？应该是小 f 的 跳跃键的点， 因为左极限是一啊，第一段左极限，第三段是零，那显然这两段呢，极限值不一样，那就叫啥？叫跳跃就行了。 好，以上若干例子就是本章最后一个话题，连续和间断要通过十九到二十三这若干道题，要学会十九、二十这种出题方式补充定义，使之连续 要通过二十一，二十二，学会找间断并判别类型。要通过二十三，学会分类讨论得到 f 格斯的什么呀，真实表达式。然后呢，盯着这个表达式，再去分析问题，解决问题，这是一种难题。 好，至此，第一章我们就到此结束，稍作休息，我们转入第二章数列极限的 ct 转角。

好，我们看数三部分啊，关于一元函数积分学的经济应用这块题很简单，是不是这个不允许出错的啊，把该掌握的这个概念啊搞清楚，你看还是这些题对不对？ 好，这给的是编辑成本，固定成本，产销平衡的话，每单位产品的一个售价是一百万元。好，求，成本函数产量为多少的时候总利润最大，求一下最大利润。好，成本函数 给的是编辑成本，我们知道成本函数求导就是编辑成本，现在编辑成本有了，我们对它求积分呀，是不是？哎，去求一下积分。 好，你先求不定积分，再去确定一个常数不就完事了，可以吧。好，这个是咱们是 q 啊，啊，积分变量是 q， 写过来啊， q 方减去五 q 加上五十 d q， 这积分都很简单吧， q 的 平方积分三分之一， q 的 三次方减去，这是 q 的 一个平方除以个二，添个五，再加上五十 q 再加一个 c， 啊，你是不定积分是吧？我们把这个 c， 哎，确定出来， c 确定一下。好，这个就可以啊，把 c 确定出来了。哎，也就是说，我们知道啊，这个 q 呢，取零的时候， q 取零是什么意思啊？也就说我们没有进行生产，哎，一件商品都没有，生产的时候也是有固定的一个成本的，是不是有固定的成本啊，我不管你生没生产，我们都有这样的固定成本。好，那 c， 哎，这个把 q 等于零一带，这固定成本嘛，不就是一百五十万元嘛，是吧，所以啊，我们把 q 等于零带到这里面。好，这不就剩一个 c 嘛， c 就 等于好，这个 c， q 就是 一百五，是吧，哎，这就求出来了啊， c q 三分之一 q 的 三次方超过来啊，加上一个一百五行了， 好， q 为多少的时候总利润最大？我们把利润函数写过来，它是等于收益函数减去成本函数，是吧？好， 我们的收益函数怎么算呀？你看，这里写了啊，产销平衡，就是说你生产多少都卖出去的意思，每单位也就是说产量为一的时候，是吧。哎，我们把这一个 产品卖出去就能卖一百万元，我们有，哎，我们生产了啊，这个产量为 q 的 这么多个是吧？这么多个啊，商品卖多少钱呢？那就是一百 q 啊，是吧，这是单价，这是数量吗？好，这是我们的一个收益函数，减去成本函数，减去这一 串是吧？这一串减去它加上一个它，你这里可以写个 u 一 是吧，因为我们要把第一问的拿过来了吗？减去 五十， q 减去一百五，好求啊，什么时候它达到最大，那就研究导函数啊，是吧？一元函数求对值的问题了，这都不陌生了吧， 求导。负的三下来了是吧？ q 的 一个平方加上二下来了，好， q 减去一个五十，那些做题的流程都记住了是吧？我们令导函数等于零的注点，一般来说就唯一的一个注点，对吧？好， 嗯，是唯一的不啊，这个题 q 的 一个平方减去五五， q 加上一个五十等于零，是吧？分解一下，音式呢， 五乘以十对五十，这是一个负五，那就这样的，是吧。 q 加上一个五， q 减去一个十， q 等于五，或者 q， q 等于负五是吧？ 或者 q 等于十， q 等于负，肯定要舍去啊，是吧，我们产量怎么可能是负的呢？所以这个 唯一的一个注点吧。哎，一般唯一的注点，那解决实际问题，你就是最，你就是极大之点，也是最大之点，是不是？好，我们可以用第二充分条件判定。这个注点是极大之点，也是最大之点，或者呢，我们用第判定极值的第一充分条件， 低通条件的话，你还得哎，说一下是吧，大于十的时候导函数怎么样？这写的字太多了，所以我们一般来说用第二乘的条件求二节导比较快嘛，是吧，好，求一下啊，负的二 q 是吧，再加一个五，对呗。好，那我们把这个 q 等于十带到二阶导函数里面，这就是负二乘以十加上一个五，负二十加五负十，五小于零。所以啊，这个 q 等于十呢， 二阶的函数啊，小于零嘛， q 等于十就是极大值点，是吧？为 l q 这个函数的啊，唯一的一个极大值点，那也是最大值点。这些套化写一下嘛，也是最大值点。 你下个结论嘛，他说 q 为多少的时候，你就说 q 为，或者他说产量，你也写成中文吧，即产量为，这是十，是总利润最大 是吧？好，最大利润，最大利润，我们得求一下了啊，最大利润 也就是 l 十，我们算一下呗。哎，这么多是吧，计算一下啊，好，直接出结果啊，是三分之八百，同学们认真算一下啊，我这边已经算过了，好万元。 哎，这个没什么说的，是吧，跟我们前面已经做过啊，类似的题很多个了，我这边就牵涉到一个积分而已，也没什么难的。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，某产品的编辑收益啊，给它表达式啊，当销售量 q 由八个单位减少到五个单位时，好，收益 r 的 一个变化量， 那收益 r 的 一个变化量的话，嗯，这个我们可以先把收益求出来，是吧？哎，收益求出来之后，我们看一下 q 等于 q 等于八的时候一个收益， q 等于五的时候一个收益，然后它的差值不就是它变化吗？ 对吧？好， r q 怎么算呢？那不就是 r 一 撇 q， d q 是 吧，积分一下不就行了？好，这是三十六，减去一个四 q， 这个写个括号吧。三十六 q 减去二 q 的 平方，是吧？好，也要加一个 c 啊，因为你是不定积分，我们把 c 确定出来，这是一个大题，还是写一个解啊， 尊重一下这个题目。好， c 怎么确定呢？根据常识啊，根据常识。好，我们当销售量为零的时候，你销售量为零，你收益当然是零了，是不是？所以 c 就 定出来了啊？ q 等于零的时候，好，整个 r q 就 等于零， c 就 等于零呀， 那我们就求出来了 r q 表达式，是吧？三十六 q 减去二 q 的 一个平方，那我们看一下这个 q 等于八的时候，是吧？ q 等于五的时候等于多少就行了呗。这是八，减去一个二。 哎，直接直接算了啊，减去二乘以一个八的平方，这个五 减去个二乘以五的一个平方，我们算一下啊，六八四十八，三八二十四，二十八啊，这里减去八八六十四乘以二是一百二十八，减一下零六一六零， 对吧？好，三十六乘以五五六，三十一百八，这是五十，减去一下一百三，从八到五，销售量啊，减少的时候收益的一个变化，很显然 变化三十嘛，是吧？所以啊，这个稍微的一个变化就等于一百六，减去一百三嘛， 单位给他带上啊，他们题里面，题里面给了单位，我们也带上。好， 其实也不用写那么多，是吧？我们其实可以这样，你这个得它 r 是 不是就直接我们这个 r 一 撇 q 积分，把上下线带上不就行了，对呗， 从八到五吗？是不是这就行了呀？好， r 一 撇，这就是 r 一 撇 q 嘛，三十六减去个四 q 啊，你对积分不就行了，因为我们知道 r 一 撇几乎积分出来不就是 r 吗，是吧？然后把炸线一带，不就是他们那个叉吗，是吧？好，三十六 q 嘛，减去一个 二 q 的 一个平方，是吧？哎，五，哎，八和五 这个，这一算的话，这应该是负的一个三十，是吧？负的一个三十上面已经算过了，那你不算了。好吧，好，我们下一个结论啊，收益的一个变化量，也就是收益啊， 减少了，减少了呀，三十万元，对吧？你这是负的，也就是 q， 你 从八到五嘛，所以啊，这个变化量它是负三十，就相当于减少了三十万元的意思。 好，哎，你这样带上上下线，或者你不带，这样就写多一点也可以啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，某商品以这样的速度进行销售， t 等于零的时候呢？商品的库存是 q， t 等于大 a 的 时候，商品受限了。好，卖完了，在零到 a 上的平均库存量为多少， 这里就考察到前面。哎，我们让被的一公式平均值的一个概念，这个应该都没有问题的，是吧？好，我们现在，哎，平均库存量是不是就等于好，公式一，被 a 减去零分之零到 a 上面，好，对库存量进行积分，是吧？我们现在的一个 关键就把这个 f t 求一下，那我们就可以假设好，就是在 t 时刻，我们就一直在进行销售这个商品嘛，是吧？ t 等于零，好，我们开始卖商品了啊，卖到 t 时刻。好，这个时候我们的一个库存量为多少库存量？ 好，现在就把啊 t 时刻的库存量求一下带过来就行了嘛，是不是？好，我们没有卖的时候，库存量是 q 嘛？减去，哎，你经过了啊，这么长的一时间，你售出了多少？原本的减去，你售出的不就是你现在的库存量了吗？是吧？ 好，那我们的一个这个销售的一个速度是 r t 进行积分不就是你卖的吗？是吧？我们进行了啊，这这么长的一个时间，那就零到 t 上面进行积分，好，你就为了区分变量，你可以把这一个 t 改成 x， 是 吧？区分一下上限的变量呀？ 对，现有库存量，我们求一下啊， q 减去这里积分， r 提出来 x 积分二分之一 x 平方嘛， x 平方，把上限一带的话带一下吧， 就是 q 减去二分之 r 乘以 t 的 一个平方，是吧？如果你现在直接把它带过来的话，你求得的结果就会有一个 r， 你 看他问的是库存量，哎，库存量我们就用 q 来表示，是吧，跟 q 相关的多几分之 q 啊，哎，这个多少多少 q 的 意思， 那我们想把这个 r 给消掉，这些数值条件你用一下呀，是吧？数值条件我们知道啊， t 等于零的时候。好， 那我们的一个库存量是 q 吗？是吧？我们还知道是 t 等于 a， a 的 时候，这个授信了，我们的库存量就等于零了吗？这两个数条件你用一下。好吧，我们看 q 等于零的时候零， q 等于零的时候 减去。哎， q 等于零就 t 等于零嘛，是吧？ t 等于零啊， t 等于零不是 q 等于零， t 等于零， t 等于零的时候，这 q 减零确实等于 q， 是 吧？这个就没有什么用。对，对于我们这个题没什么用啊。好，你，但是你可以写一下嘛，是吧？ 好，那就可能它有用了嘛，它有用的话是吧？ q 减去二分之二， t 等于 a 啊， a 的 一个平方，这个时候我们 ft 是 等于零的， 是吧？这个时候我们就可以啊，把这个 r 啊给表示一下是吧？好，所以我们可以得啊， 其实我们想要二分之 r 吧，我们把二分之 r 表示一下啊。好，你看 q 就 等于二分之 r， a 的 一个平方，那我把 a 方移过来 可以吧？好，就等于 q 除以 a 的 一个平方。好，这边的 r 是 不是就被表示成 a 方五分之 q 了，就不要 r 了啊， 也就是 f t， 我 们就表示成 q， 减去一个二分之 r 就 已经有了啊， a 方分之 q 再乘以这后面有个 t 的 平方。好，现在我们就可以。哎，把公式求一下了啊， a 分 之零到 a， f t 现在写过来了呀， f t 不是 求完了吗？ q 除以 a 的 一个平方， t 的 一个平方，这积分呢，是吧？积分就没什么说了啊。认真算一下第一部分积分， q 积分，积分变成是 t， q 就 看成长数了吗？上线减下线好， a 乘一个 q 减去 好， q 除一个 a 方，这也看成整数 t 方积分。 t 的 三次方除一个三是吧？ 除以三的话，那就是三分之一嘛， t 的 平方呢？其实上线一带 a 的 三次方是吧？不是平方三次方啊，下线零就不管了吧。好，化简一下啊， 直接我们乘进乘出来了啊， a 跟 a 消掉了，就是一个 q 了，减去第二部分。好，这里面的话，你看 q 除以 a 的 平方跟 a 的 三次方消掉了，还剩一个 a， 还剩一个三。前面有个 a 分 之一消掉了三分之 q， 是 吧， 所以就等于三分之二倍的一个 q 嘛，就结束了。好，那库，平均库库存量我们应该要用 q 的 一个形式表示出来，对吧？ 好，你得知道这个题的关键是什么？哎，用到了一个公式，还有库存量怎么去算？那就是等于原始的库存量减去你售出了多少还剩的这个库存量，是吧？哎，进行积分就行了啊。 好，那这个题就讲到这了。看这个题啊，公司呢，投资两千万元建成一条生产线，投产后，在时间 t 的 编辑成本和编辑收益，编辑出来的时候他就是。哎，这两个求倒是吧，得来的一个结果啊， 好确定该生产线在何时停产可以获得最大利润呢？最大利润是多少？那我们把利润函数写出来就行了。利润函数你可以看出来关于 t 吗？是关于 t 的 函数啊，是等于收益 减去一个成本。注意啊，我们还有一个固定成本。对，这还固定成本也得减去啊，减去两千万行不行？不行啊，你注意细节啊，百万元是我们的单位啊，百万两千万等于多少？百万啊，不有二十百万吗？所以啊，减去这个固定成本，减二十啊。 好，我们把他们求一下啊，收益，收益函数。 什么求啊，这编辑收益有了吗？编辑收益就是收益求倒之后的结果。那我们积分不就行了吗？对没，这是翻译题啊，翻译题 d t 好 five t 是 十七，减去它是吧，记一下呗。十七 t 减去 t， 这是加个一三分之五，再补一个五分之三呗。好，注意，不定积分要加长数啊， 当 t 等于零的时候，你这个收益肯定也是等于零嘛。 t 等于零，一带 c 也得就得等于零嘛，真的 r 得等于零，所以 c 一 是等于零的是不是？这怎么写呢？又因为这个 t 等于零的时候啊，它也是等于零，所以 c 一 是等于零的啊，那我们就求出来了， r 七是等于十七， t 减去一个 n 三，那就它啊，接下来是成本函数， 那我们用 c t 嘛表示啊。也是啊，编辑成本函数积分就行了啊。 g t d t 五加 你这边也比较容易啊，五 t 加上三分之五啊，五分之三，二三得六啊，加上一个 c 二，这个 c 二怎么确定呢？ t 等于零的时候， 就你还没开始投入生产的时候啊，那我们的一个成本不就是这个固定成本二十吗，对不对？所以啊，这个 c 二也等于二十啊。所以 ct 一 写过来啊， 那我们的利润函数啊，就等于 rt， rt 减去 ct 都已经求过了呀。 哦，这个这个 ct 这里不应该再减去一个成本了啊，懂这意思不？就我们这个成本的话啊，就包含 生产过程中的一个成本以及固定成本了啊，这成本的一个核都都已经在这了，对吧？这整个的一个投入成本核都在这呢，所以这里就不要再去减，减，再减就减重复了，是这意思吧。整理一下啊，这不是十二 t 减去五分之九 减去一个二十吗？好，我们要求的是什么时候啊？这个 l 最大吗？那就求导，令导函数等于零吗？求导。发现啊， r 求导， r 求导，不就是你吗？是不是 c 求导不就是你吗？是吧？好， 那就是 f e t 减去一个 g e t， 当然了，你直接看这里，一样的一个效果，对吧？好， y t 就是 十七减去一个零， 好，减去一个 g t 减去五减去二 t 的 一个三分之二，十二减三 t 三分之二，或你直接在看这里看，哎，求导，那就是你看十二，是吧？减去这里下来五跟五消掉了三倍的，对吧？也是他嘛，你直接这里看，或者，哎，我们从这里 看也写也行啊，一个意思，我们令导函数等于零，可以得，哎， v 一 的一个注点，像这样的题一般都是 v 一 的一个注点，是吧？那一定就是啊，极大值点。最大值点嘛。好， 三 t 的 三分之二次方等于零，哎，不是等于零等于十二啊，除以三四 t 的 t 等于多少？四的三次方是六十四开方，那就是八吗？你看，唯一的注点是等于八啊，你再说明一下，它就是这个极大值点，也是最大值点就行了，你可以去说 it， 嗯，就是当 t 大 于八的时候函数单减， t 小 于八的时候单增，或者我们用二阶导函数，是吧？ 用一阶导二阶导去说明他是极大之点都可以的啊，二阶导，这写的步骤少一点呢。好，那一阶导不是在这呢吗？对，你再去求导啊，你就是负三乘以三分之二 t 的 负三分之一吗？负的， 这个三个三消掉了是吧？负二， t 的 负三分之一次方。好，你就说明一下， a t 带到这个二阶导里面就是 t 等于八带到这个二阶导里面吗？这正的添个符号就是负的吗？你直接说小于零是吧？所以 t 等于八 为为一的极大值点，也是最大值点。是谁的最大值点？他的啊？ 最大值点，所以 t 等于八十停产就行了。 听着好，最大利润多少呢？算一下就行了啊，最大利润 l 八吗？在这呢吗？ 十二乘以八减去五分之九八的三分之五次方减去二十，在这算一下吧。十二乘以八九十六啊，减去五分之九乘以 八的五次方。五个八吗？开三次方八，开三次方根不就是二吗？是不是二得四，二四得八，二，八十六，三十二啊？三十二， 减去一个二十，这块三十二乘一个九，二九，一十八，三九，二十七，二十八，二八八，除以个五，五五，二十五是吧？三十八，五七，三十五，三十。哎，五十七点六啊，这是五十七点六， 再减一个二十就减去七十七点六吗？算出来了吧？十八点四是吧？十八点四，百万 元，好，也是很容易的题目吗？是不是利润等于收益减去成本一元函数九对式的问题啊？好，这个题就讲到这了。