几何图形四年级数学下册人教版

今天我们来学习四年级下册的第二单元，观察物体二、观察一下这幅图，我再找来一幅和他同样的一幅，注意看，我把其中的一幅图给他倒过来了，那这两幅画原来是不是同样的一幅？是现在怎么样？ 还一样吗？这一幅变成了一个什么呀？伤心苦恼的脸，而这个变成了笑脸。同一幅画，为什么你观察的角度不同？ 所以说我们今天就从不同的角度去观察物体。多个小正方体组成的几何图形，如何的观察？第一题，下面的图形分别小滑从什么位置看到的？摆一摆，看一看，连一连。 我们来观察一下小滑所观察的这个立体图形是有几个小正方体，平行的四个，这里有一、二、三，在这个的左侧，后面还有一个。那如果是从前面看，是不是此时小滑观察的这个角度，那他会看到哪里？是不是可以看到正方形的这个面？ 可以，可不可以看到他这个呢？可以。所以说他从正面看，是不是可以看到三个这样的小正方形排在一起？那是下面的哪一幅？ 是不是他三个小正方形横的排在一起？那从上面看，怎么让他从上面看？现在你假设你就是谁？小华，你想象着你从上面看，看到了几排？ 几排？两排，一排有一个，一排有三个，那下面的图形里面有两横排，而且上面一排前面一排有什么呀？一个后面部分有三个，符合第几个图形？ 第三个，所以从上面看到的是不是他？继续说，从左面看，此时这个图形，你是不是没有观察到他的左面？ 你想象的你已经站到，站到了他的左侧面，那你会看到几个小正方形，几个是不是一个？这里还有一个并排到一起，所以说从左下面看到的就是第一幅图。 那我们来总结一下，去观察这些物体的时候，我们需要注意什么？首先来说在观察物体的时候要注意什么？眼睛要平视所观察的物体，不能说我的眼睛一会向这看，一会向别的地方看，一定要干嘛平视？平视的去观察， 观察的时候我们一般要从从几个面去观察？从上面、前面、左面，那我们就继续观察一下这个图形， 这下面的图形分别是小强从什么位置看到的？连一连，从前面看，我们要观测的几何体是不是在这里？它也是由四个小正方形组成的，这里有三个，后面有 一个在正中间的那一个，那从前面看，我们说了观察的时候你的眼睛要平视，如果你不平视这里既可以看到他的正面，还可以看到他的上面，那你那就不是平视了，明白我意思吗？我们平视，从正面只看到怎么样？ 这三个小正方形拼成的图形，所以说我们第一从前面看选哪一个？第三个？第三个，我们平时是不是只看到了这个小正方形？这个小正方形和这个小正方形，从上面看，想象着你已经 站在这里，眼睛要正对着上面去看，是不是可以看到两横排，能有两横排的是不是第二个？是，而且这一个小正方形在最中间，所以从上面看是好。最后 从左面看，左面看，我们说了要怎么办？想象着你已经站在了左面，眼睛要平视左面，那你想象一下，你会是不是会看到正方形的一个小正方形的面，还有这个一个小正方形的面， 这个面一个在前面，一个在后面，我们看到的最后的图形，我们要把它放到什么样一个平面上？那这个平面上呈现来的是不是就是两个小正方形拼在一起？所以说是第几个？第一个。好了，继续第一题， 这个几何体和刚刚的那个几何体有些不一样的地方，刚刚的时候我们观察的那个几何体只有几层高，是不只有一层高，那这个几何体已经变成了几层高， 几层两层高了，我们来体会一下从哪几个角度去观察，我们可以从正面可以决定他到底有几列，还有几层，是不是都能看到？那如果你从上面看，你可以看到他，他排了几横排，如果你从侧面去观察了，你是不是也可以看到他有多高，有几层， 也可以看到它有几横排？好了，继续看。第一个，从前面看，眼睛要平视，从前面看，你会看到哪些面？这个小正方形还有吗？最上面这个对不对啊？最上面这个是不是只能看到这个面？问题在于这三个面是不是在同一平面上？ 那这个在后面我们说了要怎么办？把它们压到同一个平面上，那同一个平面上是不是下面有三个横着的小正方形摆在一起？上面有一个，关键是这一个是摆在了哪一边？小正方形的上面 是不是这三个小正方形左上方的这一个？所以说从前面看看到的是第几个？第二个。那好了，继续从上面看，那你的眼睛要平视，那从上面去观察，找一找你们会看到哪些小正方体的面？ 这一个可以这一个，这一个，这一个还有吗？还有哪一个？是不是这一个面也可以看得到？但是他依然不在一个平面上，把它压到同一个平面上，那是不是就变成了四排有三个拼到了一起的第几个？ 第三幅图，那从左面看，你说老师最后一个肯定是他，但是为什么是他？我们思考一下，从左面看看到的，想象一下是不是你站到了他的左侧面，眼睛正对的左侧面，你会看到最上面一个小正方形，下面有两个小正方形， 那如果说我在这题里面再给你加一个选项，加了这个，你说左侧面会看到的是他还是他？是不是需要我们考虑一下这两个的区别是什么？我们说了从左侧面看到是，这是不是最高的那一层的上面？他是两层的上面那一个，那这一个是不是在右边？最高的在右边，这个最高的在啊， 在左边。那我们站在左侧去观察，你是不是想象的你眼睛正对他，你的你的左手边应该是最高的这两层，所以说你的左手边在最高的两层，那说明你看到的这个图形的 这个形状应该是哪一边高？左边高，所以说选的他，而不是他。那这个图形应该是从哪里看到的？从什么右侧面看到的？ 为什么用右上面看？你想象的你正对着他，对不对？能看到这个面和这个面，而且这个高的这个面应该在什么？第二层？是不是在这一层的上方？这一层你你想象的你在正对着他的时候，他在你的哪一手边， 他在你的右手边，所以说你看到的那个图形肯定是什么呀？高的在右边。我们刚刚是不是做了几个练习，分别是从前面、上面、左面观察了这个立体图形， 通过不同的方向去观察，对于这个观察的结果，你会有什么发现？你做了那么几道题，你会发现你对同一个物体同不同的观察角度去观察，你观察的面是一样的吗？是不是也有，也可能有一样的，也可能 不一样的，所以说我们表述的时候一定要准确，从不同的方向观察一个立体图形，所看到的形状怎么样？ 可能是不同的，加了这个可能的意思，说明什么，也可能是相同的，那我们继续看第二种类型，如果我们观察的是不同的物体， 同同一方向去观察，又会出现什么样的现象？看到这三幅图了吗？它都是由几个小正方体摆成的，几个四个都是由四个小正方体摆成的，而且最下方都有几个小正方体，三个上面的有一个小正方体，这个小正方体摆在了不同的 位置上。我们来看一看，从上面去看这三个物体，问你图形相同吗？从左面和前面，我们是不是要对这三个物体分别从上面是什么样的形状？我们把它找出来来，从上面看，是不是这样去观察，是吧？从上面看，那你会看到哪几个小正方形的面， 这一个和什么？这一个，那他画出来之后应该是应该长成什么样？三个小正方形拼在一起，那这个从上面观察可以看到哪几个面？ 这一个，这一个我把它再压到同一个什么了？平面上会画出来半个小正方形拼到一起， 那这个可以看到他，他和他也把它放到同一平面上，观察到的是不是也同样是这样的？三个角正方形拼到 一起？你观察一下，我们都是从同一个角度，从上面去观察了三个不同的图形，但是我们看到的面怎么样？ 我们从上面看，看到的图形是相同的，继续，我要不从上面看，我从左边看到的图形会不会是相同的？从左边看，是不是从这个画的箭头的角度去看？你想象一下，你站正对着这个左侧面，那你会看到两个完全一样的正方形，怎么站着？ 竖着还是横着？竖着？因为它有几层，几层？两层，这一层的和这一层的，那画出来之后是不是就是这样的形状？ 那再看看这一个，也是从左侧面去观察，那是不是会看到这一个小正方体的左侧面和这一个小正方体的左侧面？虽然它不像这个一样在同一平面上，但是我们要把它怎么样？对，把它放到同一个平面上，那是得到的形状也是什么形状？上下两个 小正方形拼到一起，继续，那第三个图形也从左侧面去观察，是不是也能看到这个的正方形和这个正方形把它也拼到一个平面上，得到的形状和前两个一样吗？也是怎么样？也是同样的。 所以说我们从左面看图形相同，从左面看得到图形相同，那我可不可以得到一个结论， 从同一角度观察不同物体，一定可以得到同样的形状，用它使劲的摇头，是不是？肯定是不确定的。继续看，从其他角度去观察，从前面看，这一个图形是不是有两层高？第一层是几个小正方形？ 三个小正方形拼到一起。第二层，第二层有一个小正方形，这个小正方形应该在第一层小正方形的左边。从前面看，先看到是什么呀？三个小正方形，它的左侧上方有一个两层的，同意吧？ 继续。那中间这个也是，从前面看，下面也是三个，但是中间的这一个跑到了哪里啊？第二层的这个小正方形跑到了什么？ 对，跑到了第一层三个小正方形的正中间。那这个从正面看也是，第一层是三个小正方形，上面第二层的这个小正方形跑到他的哪一面？右面。那你告诉我，从前面看得到的形状还相同吗？不相同。 那我们综合来说，我们从同一个角度去观察不同的物体，我们得到的形状可能是什么 相同的，也可能是不相同的。观察，是吧？总结一下刚才的图形，从上面看，从左面看，这边是相同的，这边是不同的。所以从同一位置观察不同的物体时，所看到的图形可能是相同的，也可能是不同的。 那我们两个例题分别是讲了哪两个层面？第一层是从什么来？从不同的角度去观察同一个物体，观察到的形状可能是 相同的，也可能是啊不同的。那第二个例题是告诉我们，我们从同一个观察角度去观察 不同的物体，观察到的形状也可能是相同的，也可能是不同的。讲这一道题，下图是由至少几个小正方体搭成的，从这幅图上是不是有好多隐藏的，你观察不到？你现在能看到的只有几个小正方体， 一二三四五六七八九十。想象一下他，他下面得有支撑着的，要不然站不起来，那我们就从不同的角度去观察。你想象一下，从这一个图里，你能看到这个立体图形到底有几层吗？ 最底下这是一层、两层、三层、四层。同意吧？所以说给你第一个方法，我们最上方这个是不是四层，那说明这一这数字的这一列应该有几个四，这一列有几个？四个。 同意吧？同意。那这里这个应该有几个？三个。因为他要能站起来，这是不是第三层下面肯定有两个支撑，所以说这一竖列有几个？三个，那这个竖列也是三个。那继续看下一竖列， 这一列应该这一竖着一列几个两个两个，这一层两个，这一个也两个，那最后这一个是一个一个，一个一个。我只要想出来他有几层，从最上面找是不是就可以知道这一竖竖着的这一这一排是有几个？把他们的所有数量给他 怎么办？加起来怎么加？四加三加三加二加二加二加什么？一加一加一加一，最后等于多少？ 七十、十、十六十、七十八、十九、二十，所以至少有几个二十个搭成的。我们是不是从数字的层数去找的？每一层的上方标上数字不容易数错， 可以竖着数，是不是也可以怎么样？数？横着，横着数，那横着数的时候我们想一想，我们可以怎么数？横着的时候第最上面一层只有几个一个，那这一层一二能看到的是几个？两个。他后面第四层都站起来，说明他上面有几个， 有几个是不是有一个支撑？所以说第第二层有几个？三个，这一层能看到的是三个，上层是不是也有已经有三个了，他既然能站起来，上面上面那层三个，说明他也隐藏了几个。 三个三加三是几几六，那最后这一层能看到的是几个？ 四个。再加上上一层他既然能站起来，他的上一层能站起六个，那说明他下面隐藏了几个？六个，要不然怎么能站起来，对不对？所以说再加上六，再加上四是几十，背后合起来也是多少？二十个。是不是又一种方法？可以，可以给他竖着去照，也可以去给他横着去照。 好了，我们来回顾一下今天所学的内容，我们学的是什么呢？观察物体，知道了观察物体一般要从几个面去观察 上面、前面和左面观察的时候我们一定要注意，你要想象到你已经站到了你观测的那个 地方，眼睛要平视所观察的物体，并且主要学习了两种两种观察的方法，一种是同不同的方向观察同一个立体图形， 另一个是同同一个方向观察不同的立体图形。无论是哪一种，我们观察到的图形可能是相同的，也可能是不相同的。好了，这节课我们就上到这里。

此处呼叫，此处呼叫！我是观察者号的 ai 助手小光，我们被飞船三个观测仪损坏了，无法看清周围环境，扩散到几何星球。请求地球上的小熊队帮忙，请你们从不同方向观察立体图形，帮我重启系统。 观测仪成功启动，系统记录一条重要发现，从不同位置观察同一个立体图形，看到的形状可能是不同的。第二关，修复数据库，观测仪记录的数据混在一起了，请救援队员们把正确的试图连接到对应的观察方向。 第三关，绘制平面地图。请救援队员们画出从前面、上面和左面看到的图形。 亲爱的救援人们，感谢你们救了我，在离开之前，我想送你们一份礼物。几何级的观察器，相信有这个观察器，你们以后观察会越来越厉害！

这是我妈妈给我准备的磁性三角形演示器，因为第五单元马上就要用到它了。是的，四年级第五单元，老师会要求孩子借助教具来验证三角形的内角和这些抽象的几何概念。孩子凭空想象是很难的。你看，把一个三角形的三个角裁下，再把它们重新组合在一起， 能发现它是一个平角。所以三角形的内角和就是一百八十度。而三条边相等的三角形是等中三角形，且具有稳定性。而四边形的内角和是三角形的两倍，也就是三百六十度。这些知识点都是本学期重难点。通 这个多功能磁力三角形演示器，孩子动手操作一下，可以更直观的理解。再搭配这两张公式卡，它包含了整个小学阶段的几何公式，已经单位换算公式，方便孩子查询背诵。它还是这种背面带磁吸的设计，拿起来也不容易掉。自带收纳盒的包装，孩子放在书包里特别方便。马上就要学到了，快给你的孩子也安排起来吧！

考试必考题，根据三个方向看到的图形还原出几何体，对于这种题目，我们牢记以下口诀就能轻松破解。首先根据上面看到的图形，我们开始打地基， 然后根据左边看到的图形，我们开始对其进行补充。 最后再根据从前面看到的图形比对，拆掉违章建筑，就得到正确的几何体了。

同学们好，今天我们一起来学习一个新的几何图形，三角形。首先我们先来看看三角形该怎么画呢？要画三角形第一步得先确定三个点，大家一定要注意，这三个点可不能在同一条直线上， 要是在一条直线上就拼不出三角形了。确定好三个不在同一直线上的点之后，我们再把每两个点了用线段连起来，这样一个三角形就画成了。画好之后，我们仔细观察自己画的三角形，还有屏幕上的这几个三角形， 大家能发现他们都有什么共同的特点吗？通过观察我们发现所有的三角形呢，都有三条边，三个角，三个顶点。现在我们一起来认一认三角形的边角和顶点， 这三条线段呢就叫做三角形的三条边，这三个叫做三角形的三个顶点， 这是三角形最基本的特征，所以说三角形呢，有三条边，三个角和三个顶点。知道了三角形的基本特征，那我们来判断一下下面的这两个图形是三角形吗？为什么 通过观察我们发现这两个图形呢？不是三角形。我们先来看第一个图形，因 为了每相邻的两条线段的端点了必须相连，而这个图形的线段的端点了没有连在一起，所以他不是三角形。第二个也是同样的道理，相邻的两条线段的端点了没有连在一起，所以说了他不是三角形， 因为了三角形每相邻的两条线段的端点了必须相连。那现在我们一起来总结一下，什么叫三角形呢？ 由三条线段围成的图形，每相邻两条线段的端点相连呢，就叫做三角形，这里的围成呢很关键， 既要用三条线段，又要让端点了一次相连，缺一不可。认识了三角形的定义和基本特征，接下来我们学习三角形的一个重要组成部分，高和 底，从三角形的一个顶点到它的对边了，做一条垂线，顶点和垂足之间的这条线段了，就叫做这个三角形的高。 在这里了，同学们不要忘记了标出直角标志，它试了判断这是否是高的一个重要标志，这个点呢就叫做垂足，那垂足所在的这条边也就是 bc， 叫做这个三角形的底。大家再看同一个三角形， 我们换一个顶点和他对应的对边了，又能画出一条高。通过这种方法了，我们就能画出这个三角形的另外的两条高。那通过观察我们会发现一个三角形呢有三条高， 那同学们在这里一定要注意，画高了要用虚线，而且还要了标上垂直符号。一条高了对应一个三角形的底， 这里的底和高了它是对应关系。刚才的三角形呢是锐角三角形，那现在我们试着给这个直角三角形和这个洞角三角形呢画一画高，过 a 点画这个三角形的高的时候，它的高就是 a c， 那 它对应的边了就是 bc， 那 过 c 点画这个三角形的高了，就是这个蓝色的这条虚线，它的边了就是 ab， 那 过 b 点了，画这个三角形的高了，它的高就是 bc， 它对应的底就是 a c。 接着了再画一下这个洞角三角形的高过 b 点画这个三角形的高了，就是这个红色的虚线， 底就是 a、 c， 那 过 a 点画这个三角形的高了，我们就要做 bc 的 延长线，然后呢过 a 点做 这个三角形的高，它对应的边了就是 b、 c。 同样的道理，过 c 点画这个三角形的高的时候呢，我们先要延长线段 ab， 然后呢再过 c 点做这个三角形的高，过 c 点的这个三角形的高，对应的底就是 ab。 这个洞角三角形的有两条高了，就在三角形的外部。那通过我们给直角三角形、锐角三角形和洞角三角形呢画高，我们会发现 一个三角形呢，可以画三条高。在这里了，我们为了表达方便，用字母了表示三角形，我们把这三个顶点了，分别给它标上字母 a、 b、 c， 也就是用字母 abc 分 别表示三角形的三个顶点，上面的三角形可以表示成三角形 abc， 所以 这个图形我们就叫做三角形 abc。 最后我们一起来总结一下今天这节课学到的知识。首先， 三角形呢，有三条边，三个角，三个顶点是由三条线段围成的相邻端点相连的图形。其次，我们认识了三角形的高和底， 从顶点到对边做的垂线是高，对边是底，画高了要用虚线，还要标了直角符号。最重要的是一个三角形呢，有三条高，底和高了是一一对应的， 在哪条边上做高垂足，就在哪条边所在的直线上，那条便就是这条高所对应的底。这就是今天的内容，同学们，你学会了吗？我们下节课再见。

好，今天我们来说一下小学阶段的立体几何图形的三式图，这个视频三到五年级的学生都是用，建议家长收藏。好。那首先在画图之前呢，我们来先理解一下什么叫做列成行。 好，首先第一个是列，列是从左往右数叫做列数，那打个比方，在下面这幅图当中，如果从前面看，我们可以看到它有几列呢？从左往右应该有一列，两列，三列。好，那接下来呢，我们继续来看一下乘数， 乘数是从下往上数的，叫做乘数，那我可以看到下面这幅图，它是由几层叠高的呢？我们可以看到下面应该是有五个小正方体叠在一起，它是第一层，而上面呢是有两个 正方体往上叠高了一层，所以上面这里叫做第二层。好，那接下来我们继续来看一下什么叫做行， 行是从前往后数的叫做行，那同样的，如果是下面这幅图呢，如果从前往后看，它到底是有几行，它有一行， 这里叫做一行，那上面的这三个面也可以组成第二行。好，那如果我们在家里有教具的话呢，给它拼一拼， 可以更好的理解和为列成行。好，那分清楚列和成还有行之后呢，我们来看一下三式图应该怎么看。首先第一个是看正视图，正视图我们要判断出 这个几何图形有几列，每一列分别有几层组成的，所以呢，正视图要看列成。好，那打个比方，下面这幅图，我们先确定一下它正面看到的面是哪些？是这五个面。 好，那首先呢，我们可以判断到这个几何图形，它是由一列两列三列组成的，并且第一列我们最多可以看到两层， 第二列最多可以看到两层，第三列最多可以看到一层。所以从前面看的正视图应该画成三列，第一列 画两层，第二列也是画两层，第三列画一层，所以我们看到的图形就是这样子的。 好，解析的时候记得拿尺子画。好，那接下来我们来学左视图， 左视图如果我们从左面去看，那么我们也是看列乘，但是这里要注意的是，从正面看到的最后一行是左视图的第一列，也就说这里 这一列才是左视图的第一列，所以从前面的从前面的方向往最后一行 找到左视图的第一列，接下来他的第二列应该是往前面去看，这里才是左视图的第二列。所以在这幅图当中，他的左视图应该有两列， 那第一列最多有几层呢？第一列最多有两层，而第二列最多可以看到一层，所以这个左式图它化成两列，第一列看到两层，第二列看到一层，所以就得出了这个左式图。 好，那接下来我们继续来看上式图。上式图我们要看列和行，并且要数出每行的个数。 什么意思呢？我们看下面这幅图，它的上士图，我们先确定一下它的面分别是这五个面。好，那首先这个上士图是由几列组成的呢？还是一样是由一列两列、三列组成的， 那它由几行组成呢？从前往后数应该由一行两行， 所以它的上式图是由三列两行组成的。好，那现在呢，我们再确定一下，每一行它分别有几个面， 我们可以看到它的第一行是由一个面两个面组成的，而它的第二行是由一个面两个面三个面组成的。好，那现在我们把这个上式图给它画出来。 好，那现在呢，我们就画出了一个三列两行的上士图，并且它的第一行有两个正方形，它的第二行有三个正方形，那我们画完的时候记得检验一下是否正确。 那在刚才的三式图讲解当中，我们也可以得出了一个规律，也就是正式图的第一列是不是等于上式图的第一列，而左式图的第一列应该等于上式图的最后一行， 也就说明正视图有几列，那么上视图就会有几列，左视图有几列，上视图就会有几行。好，那今天我们就说到这里，颜值高的人都会点赞，你看着办吧。

四年级开学学具，提前准备磁力几何图形演示器，因为四年级第六课认识图形就要用到它，它可以把几何图形直观的演示出来，三条边相等的三角形就是等边三角形，平行四边形，两组对边相等，容易变形，具有不稳定性。而四条边相等的四边形叫菱形， 最重要的是它还是两面磁吸的，可以随意组合，孩子动动手就掌握了几何图形的概念，还是透明盒子，收纳也很方便，给孩子提前准备起来。 四年级开学学具，提前准备磁力几何图形演示器，因为四年级第六课认识图形就要用到它，它可以把几何图形直观的演示出来。 三条边相等的三角形就是等边三角形，平行四边形，两组对边相等，容易变形，具有不稳定性。而四条边相等的四边形叫菱形，最重要的是它还是两面磁吸的，可以随意 i love you！

起说三角形，伸出手指比划一下， 几千年前三角形就在建筑上得到了应用，如今更是频繁出现。这节课我们就进一步认识三角形。 以前我们初步认识的三角形，能把你心目中的三角形画下来吗？ 能，请看，要求画一个三角形，边画边想，你是怎样画的？请拿出活动单一开始吧。谁愿意上黑板上来画？谁愿意上黑板上来画？ 来，男孩，请你画到这个框里好吗？来，红笔这， 哎，孩子，能不能再再画大一点？能不能再画大一点？画大一点好吗？画大一点。 好了好了，好的，我看到孩子，等等好吗？我看到孩子们都画出了三角形，来介绍一下你是怎样画的？ 我是先画的三角形的这一条边，再分别画他的这两条边。 介绍的真清楚，掌声送给他，好，谢谢你和他画法一样的挥挥手，真能干，有不同画法嘛？来礼， 话筒，话筒，孩子， 我是先打了三个端点，然后再用线段把它们连起，连接起来，画出了一个三角形。可以的， 好的，孩子们用不同的画法都画出了一个三角形，结合你们画的过程想一想，什么样的图形一定是三角形呢？ 你觉得呢？我觉得三角形有三个顶点和三条边。好，我们把他的画想法画下来， 怎么没成功呀？ 男孩，你觉得？话筒， 我觉得因为他的三条边不是直的，他是弯的，所以他画不成三角形。那么你能够完整的说一说吗？你觉得应该是 有三条直直的边和两个端点和三个端点。哎，请坐啊，你还想说最后一次机会给你。我想 我想纠正一下贾俊然的语言应该是，三角形有三条直直的边和三个顶点， 哎，有点意思了。刚才孩子们说三角形有三条直直的边，这三条直直的边其实就是三条线段。没错， 如果我用三根纸条代表三条线段，谁能上来摆出这个图形 来？请你来，就是你，哎，前面这个，前面这位， 下面的孩子观察的真仔细，习惯真好。 哎，转过身，咱们问问他们好吗？孩子们，哎，别挡着了。 孩子们摆出了什么图形？三角形，哎，一条线段有几个端点呀？两条，那三条线段就应该有六个端点，可我怎么只看到了三个点呢？ 小老师，你知道是怎么回事吗？因为三角形有三个角，一个角就有一个端点，而这三角形有三个角，所以它只有三个端点。虽然一个线段有两个端点，但是 每一个角的两条有两个端点都是重合了的。哎，那你具体的来指一指，这个点是哪两条线段的端点重合的。这一个点是这根黄线段和这根红线段的这个端点重合的。这个点端点是这根白色线段和这根红色线段重合而形成的。 这个端点是由这根白色线段和这根黄色线段重合的端点重合而形成的。你的意思是每相邻两条线段的端点都重合了，对吧？对，也就是每相邻两条线段的端点相连， 这样三条线段就围成了三角形。 摆得好，介绍得清楚，我们把掌声送给他。现在谁能说说什么样的图形是三角形的呢？ 你觉得呢？我认为由三条线段围成的封闭图形叫做三角形。哎呦，真是个会总结的孩子，我们赶紧把他的想法记录下来， 由三条线段围成的图形， 就叫做三角形。 来，一起读一读，由三条线段围成的图形，每相邻两条线段的端点相连，叫做三角形。 看这句话是不是把你们的意思都表达清楚了，是数学语言。果然神奇，一句话就严谨的概括出了三角形的定义。 有了这么严密的定义，相信大家可以很准确的判断哪些图形是三角形了，对吧？对，手势准备， 一号判断真准，二号一次通过，三号四号五号 都对了。手放下，一号图形，为什么不是三角形呀？ 你觉得呢？因为，因为一号图，三角形，一号图形，它不是一个封闭的图形，也就是没有围成， 请坐，三号图形为什么也不是三角形呀？哎呦，来，这位女孩 话筒，因为它不是三条线段围成的图形，没有三条线段，说的真好，用定义来判断，可以做到有理有据，抓住三角形的本质， 仔细观察这些大大小小的三角形，它们有什么相同的地方呢？ 后面那个男孩啊，就是你拿上话筒， 因为他们有三个顶点和三他们的相同点有三个顶点和三条线段，三条线段就是他的三条边，你们看到了吗？看到了，谁还有补充？ 请你说，它们都有三个角，同意吗？同意。好，你还想说 它们都还有两个锐角？是的呢，请坐。刚才我们有的同学说，三角形都有三条边，三个角，还有三个顶点， 以这个三角形为例，谁能上来指出它的边角和顶点？来，蓝海，请你， 他这一这一条边是他这一条边，是他三条边的其中一条边，这一条边也是他三条边的其中一条边。还有这一条边也是他三条边的一条边， 这一个角是他三个角的其中一个角，这一个角也是他三个角其中的一个角，这个角也是的， 这里有一个顶点，这也有一个顶点。还有这里也有一个顶点， 同意吗？孩子们，同意，指的非常精准，谢谢你。 刚才孩子们观察到了，三角形都有三条边，三个角，三个顶点，这些都是三角形的特征。 为了方便表达，三角形的三个顶点可以分别用大写字母 a、 b、 c 来表示，这个三角形就叫做三角形 abc， 来叫一下它的名字， 三角形 abc， 三角形有名字，它的各部分也就有了名字，这是顶点 a， 这是顶点 b， 它呢？顶点 c， 这条边叫做 ab 边。 b c 边 a、 c 边。真好，同学们，刚才我们通过画一画，摆一摆，知道了什么样的图形是三角形，找到了三角形的特征。如果我用三个磁扣 代表三个顶点，能伸出手指比划一下， 继续 再来。 哎，孩子们三次想象三角形在变，对吗？对，什么变呢？来，后面那个男孩， 他的面积变了，他的，他的面积变了。嗯，还有谁想说来，最后那个女孩， 我对他的话有补充，他不仅面积变了，周长也变了。有道理，来，男孩，你说呢？我， 我对汤立新的话还有补充，他们的面积变了，周长变了。还有还有，还有，最上面的那个角的度数也变了。 孩子们会观察，会想象，其实这里还有一个看不见的量也在变，那就是三角形的 高。什么是三角形的高呢？教给你们自己研究，请看要求谁来读一读？ 来，女孩教给你话筒 活动二，自学三角形的高一学自学教材六十页 画，试着画出三角形底边上的高，说，组内交流，什么是三角形的高？怎样画高？听明白了吗？听明白了，我们要先 学学什么？请看哦，然后再画。最后还得说 学的内容在这真是一群会倾听的孩子。请同学们拿出活动单二，打开数学书，时间三分钟开始。 我们有的孩子在边自学边勾画，习惯真好。 关键时刻关键时刻春夏全景还有呢？桃子多一点也没有看过去，没有没有， 你觉得哪些字很关键，圈起来，哪些字也很关键？你觉得冰点圈起来？ 还有 还有画的是一条。 如果你的前后四人已经完成自决，可以小组交流起来，不用做那么端正的姿势好吗？前后四人可以交流 起来，前后四人，你们四人前后交流。 先把三角尺的直角边与 b、 c 边重合，再把三角尺的直角边与点 d 重合，画出一条水，从哪到哪画？ 从零点 a 到 零点 a 到零点 a 到 b、 c 边。好好，行了，待会要积极举手好吗？ 时间到，孩子们都是守时的孩子，来，哪个组愿意把你们的研究成果展示给大家？ 来，请你们组派两名代表上来，谁来画？好交给你。 对，这儿来，你站到旁边，这儿对，开始。 首先将三角板的直角边到这儿来吧，干脆看得见。将三角板的直角边与 b、 c 边重合，再将另一条直角边与顶点 a 重合， 画出一条垂直线段，由顶点 a 到 b、 c 边画出一条垂直线段，注意要画虚线， 顶点 a 到 b、 c 边的垂直线段就是三角形的高。标上直角符号，写上高字 大，大家有什么补充吗？ 罗振涵，话筒传给他，赶紧把话筒传给他， 我对你的发言还有补充，与与这条高相垂直的这一条边就是三角形的底。 继续，还有补充吗？大家还有什么问题吗？李兰桥， 为什么把高画完了要标一个直角符号呢？因为从顶点 a 到 b、 c 边，我们做的是一条垂直线段。 汤林欣， 我想问你一个问题，三角形只有这一条高吗？ 你觉得呢？我觉得三角形不止这一条高。 我们的汇报完毕，谢谢大家，他们组会自学，会合作，掌声送给他们。 哎，你们组是这样学的吗？是，都是会学习的孩子。来，关上书，我们一起来回顾什么是三角形的高？ 边看边想，在三角形高的定义里，哪些词语很关键？ 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的底。 看看三角形高的定义，你认为哪些词语很关键？ 来，女孩，你觉得呢？ 后边那个女孩啊，来，哈哈，我觉得在这句话中，三角形的一个顶点中的顶点很关键，还有它的对边做一条垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。找的真准，他把这些觉得关键词重读了，是吧？你们同意吗？同意，嗯，顶点 对边， 垂线很关键， 从顶点到对边所画的垂线段 就是三角形的高，你们小组交流的时候检查高都画对了吗？画对了，真好，看来要画三角形的高，就得找准它的 顶点对边，你能在这个三角形中找到它的顶点和对边吗？来，女孩，拿上话筒， 顶点 a 就是 它的顶点 边， b、 c 边就是它的对边，顶点 a 的 对边是 b、 c 边，是吧？对，好眼力， 继续讲。你说，话筒顶点 b 的 对边就是 a、 c 边，是这样吗？ 啊？你来说，女孩， 顶点 c 的 对边是 a、 b 边，真好。孩子们，刚才我们找到了几组顶点和对边三组，那么一个三角形可以画几条杠？ 三角高，真会推理，我们已经从顶点 a 到 b、 c 边画了三角形的一条高，还有两条高在哪呢？谁能把它找出来？ 来？后边那个男孩， 我能找出来 b 点到 b， 从 b 点引一条垂直线段到 a、 c 点， a、 c， a、 c 边，再从 c 点引一条垂直线段到 a、 b 边，他一口气把两条高都找出来了，同意吗？同意。来，他说的第一条高是从顶点 b 到 a、 a、 a 画一条垂直线段，能想象出这条高吗？能，伸出手指比划一下， 感觉真好。还有一条是从顶点 c 再画一画。 哎呀，孩子们，你们可真会思考，轻松地找到了这个三角形的三条高。 谁能找到这个三角形底边上的高，算厉，厉害。 男孩，请你中间那个，对，就是你，带上话筒，哎，对，我还能找到他的一条高，他其中的一条高就也就是 b 点到 b 点到 d 点的那条高，还有一条高，也就是从 d 点，哎，注意注意，这条底边上的高， 从从 b 点到 d 点 b 的 边，是吧？对，你是怎样想的呢？ 我是想到那里有一个直角符号，那么那么下，那么直角符号的左边又是底，那么在直角符号的右边的那一条线段就是高。说的有道理，谁能再来说一说， 为什么 b、 d 边就是底边上的高呢？你说呢？话筒，因为直角符号打在低顶点，底是底，底是 c、 d 边， 那么 b、 d 边就是它的高。这个这个高，让我想到了上学期学过的直角梯形，非常棒，掌声送给他们俩。 那如果 b、 d 边为底呢？高又在哪？ 你觉得呢？ 我觉得高在 c、 d 边。同意不？ 好，请坐。孩子们看看这两条高可有意思了，它们都在三角形的边上， c、 d 边为底的时候，谁是高？ b d b、 d 边为底的时候呢？ c、 e， 我 们就说它们俩互为底和高。注意哦，这可不是一个偶然现象， 因为这有一个角是直角，当三角形中有一个直角的时候，它的两条直角边就互为底和高。明白了吗？明白了，来回顾我们所画的高。观察高的位置， 有时高在三角形的里面，接着看， 这时高在三角形的一条边上。对了，高在三角形的边上。想一想，高会不会跑到三角形的外面呢？ 会不会？你确定会？会，我听到了两种不同的声音，到底会不会呢？仔细看， 它还是三角形的高吗？是，为啥？ 你觉得？因为，因为他还是从一，因为他还是从三角形的一个顶点向对边引的一条垂直线段，你们明白了吗？ 掌声必须送给他！仔细观察，这时候高的位置在哪？ 看来不管高的位置在哪，其实都是从 酒店到对面所画的一条垂直线过。真好， 那下面这些高画对了吗？请在活动单三上面做出判断，对的打勾，错的打叉，并把不对的改过来，开始 如果已经完成就用端正的坐姿告诉老师就可以了。是的，改错就在原题上改就可以了。 好的，都画好了，谁来汇报？ 来，男孩，请你话筒迅速的，第一个就是你，话筒给他 第一个。第一个是对的，因为他从三角形的一个顶点向这个顶点的对边引了一条垂直线段。真棒，请坐第二个 请你 第二个他是错误的，因为他不满足从三角形的一个顶点相对边以一条垂直线断，那应该在哪呢？应该在 那一个顶点直角边竖着的那条直角边的顶点非常棒。第三个 来就是你，女孩，第三个是错的，因为他做的这一条错误的高不与底互相垂直， 应该是这样对吧？对，全对的，挥挥手，真棒。孩子们，你们对高的认识已经这么深刻了，如果以 a、 d 边为底画高为四厘米的三角形 有问题吗？没有，想一想三角形的另外一个顶点可能在哪呢？ 上来指一指，来，女孩 可能在从这个点往上数四格，可能在这里，还用吗？然后再往回，还可以往下坐，然后就是在这里还能找到不 来，谁能找到更多的点？他成功找到了两个，来，来，你来就是你来。谢谢你，他找到了两个，来，赶紧的， 走，你去指这儿。 这这这这这这。哎，孩子，老师打断你一下，像他这样指下去能指完吗？ 为啥呀？因为那这些顶点在哪？你们用手指一指，西西里，哎，这些顶点汇聚起来会怎样？ 会成一条直线？

数一数有多少个正方体？这样的题目你还在一个个去数吗？教你一招轻松当学霸！使用头顶标数法，正方体在第几层就给他上面标记，然后把数字相加，就得到了立方体的个数。所以第一个立体图形有九个正方， 第二个立体图形有十二个正方，第四个立体图形有十一个正方。关注王老师，带你轻松当学霸！

四年级下册数学学习需要用到的磁性三角形学习套装，一定要给孩子提前备好，不能等到上课要用了才着急买。打开课本三角形这一单元，孩子得借助教具来掌握三角形的知识点。你瞧，按照课本的安排，用这个套装能真切体会三角形的特点， 因此三角形具有稳定性。三条边相等的三角形，任意两边的和大于第三边， 这些复杂的几何概念均是这学期的重点和难点。凭借这个磁性三角形学习套装，孩子能够更有效的学习，碰到弄不明白的地方，能够扫码看视频解析。它的背面还是带磁吸的，拿在手上不容易掉，配有收纳盒，携带很便捷。 这是我妈妈给我准备的磁性三角形演示器，因为第五单元马上就要用到它了。 是的，四年级第五单元，老师会要求孩子借助教具来验证三角形的内角和这些抽象的几何概念。孩子凭空想象是很难的，你看，把一个三角形的三个角裁下，再把它们重新组合在一起，就能发现它是一个平角。 所以三角形的内角和就是一百八十度。而三条边相等的三角形是等边三角形，且具有稳定性，而四边形的内角和是三角形的两倍，也就是三百六十度。 这些知识点都是本学期重难点，通过这个多功能磁力三角形演示器，孩子动手操作一下，可以更直观的理解。再搭配这两张公式卡，它包含了整个小学阶段的几何公式，已经单位换算公式，方便孩子查找背诵。他还是这种背面带磁吸的设计，拿起来也不容易掉。自带收纳盒的包装， 孩子放在书包里特别方便。马上就要学到了，快给你的孩子也安排起来吧！

一起来到一道四年级的几何压轴题，如图，两个正方形， a、 b、 c、 d， 这是一个大的正方形，还有一个小的正方形， a， e、 f、 g， 这是一个小的正方形， 如图呢，把它拼在一起，那么呢，会多出来两个长方形，其中 e、 f、 h、 d 和 b、 c、 h、 g， 它的面积分别为，这是十五， 那么这是六十。现在要想求这个小的正方形 a， e、 f、 g 的 面积，读完这个题目呢，不少同学呢，应该会想到，我们延长 e、 f， 我 们交 bc 呢于点 m， 这样子呢，会把这样一个大的正方形分成了四部分， 其中 f、 m、 c、 h 这个心的图形，它也是一个正方形。因为异地这条边，它是由大正方形的边长减去小正方形的边长， 同样 g、 b， 它也是由大正方形的边长减去小正方形的边长，所以这两条边是相等的。那么也就意味着 f、 h 和 f、 m 这两条边它是相等的， 同样 h、 c、 m、 c， 那 么这四条边都是相等，所以这是一个正方形。同时新得到的长方形， g、 f、 m、 b， 这个长方形的面积和 e、 f、 h、 d， 它的面积是相等的，因为这两个长方形，它的长 e、 d 和 g、 e、 b 是 相等的，那么同时呢，他们的宽 e、 f 和 g、 f 也是相等的，因为他们都是小正方形的边长，所以那么这一部分长方形的面积啊，也是十五，而原来大的长方形是六十，所以这一部分就是四十五。 但是呢，很可惜，我们得到了这个正方形的面积是四十五，但是啊，他不是我们喜欢的平方数， 如果它是平方数，比如是九九等于三乘以三，那么它的边长就是三，比如，如果它的面积是十六，十六等于四乘以四，那么它的边长呢就是四，四十五不是一个平方数， 那么怎么办呢？其实到了这个时候，我们只需要一步就可以算出小正方形面积，那么为了说明清楚呢，我们引入字母， 我们用 a 来表示这个小的正方形的边长，用 b 呢来表示这个正方形边长，那么这是 a， 那 么这也是 a， 这是 b， 这是 b， 那 么这个小的正方形，我要求的它就是边长乘以边长就是 a 乘以 a， 那么我们已经知道了，这个长方形面积是十五，它的长是 b， 宽是 a， 所以 就会有 a 乘以 b， 也就是长乘以宽等于十五。而这个正方形，它是边长乘以边长， b 乘以 b 等于四十五。 我想要得到两个 a， 那 么我不妨再用 a 乘以 b， 再乘一个 a 乘以 b， 哎，这个时候有两个 a， 我 们把它整理一下，就是 a 乘以 b 乘以 b， b 乘以 b， 我 们已经知道它是等于四十五，而 a 乘以 a 是 我们要求的这个小 正方形面积，所以就是小正方形的面积。乘以四十五，就等于 a 乘以 b， 再乘上 a 乘以 b， a 乘以 b 等于十五， a 乘以 b 等于十五，所以小的正方形的面积就是直接用十五乘以十五 除以这个正方形的面积得到五，你学会了吗？我是专攻数学思维的陈老师，记得点赞关注哦！

形演示器翻开课本三角形这一单元，他要求孩子借助教具来完成三角形内角和的推导。你看，按课本的要求，把一个三角形的三个角剪下来，再把它们重新组合在一起，就能拼出一个平角。这样很容易就可以得出三角形的内角和就是一百八十度。按照同样的方法。

很多同学一遇到这种图形题就没了思路，今天我来给大家用两种方法来解这道题，一起来看，它告诉我们有四个完全相同的等腰梯形。我们来观察这个图， 这四个等腰梯形可以组成一个正方形，而这个等腰梯形的上底是这个小正方形的边长， 这个等腰梯形的下底是这个大正方形的边长。现在下底是十厘米，上底是六厘米。 那我们求每个等腰梯形的面积是多少？我们知道现在我们一个等腰梯形的面积求不出来， 但我们现在知道大正方形的边长和小正方形的边长，我们就可以求它们的面积，而它们的面积差正好就是这四个完全相同等腰梯形的面积。 那么我们就先可以求大正方形和小正方形的面积，大正方形的面积就是十乘十等于一百 平方厘米，小正方形的面积就是六乘六等于三十六平方厘米， 那么它们的面积差也就是这四个完全相同等腰梯形的面积，也就是一百减三十六等于六十四平方厘米， 那么一个等腰梯形的面积就是六十四除以四等于十六平方厘米。我们现在再来用方法二来做这道题，梯形的面积就等于上底加下底的和乘高除以二。 我们知道了这个信息，上底和下底我们知道现在我们还差一个高。我们继续来观察这幅图，我们知道大正方形的边长和小正方形的边长差的是这一块， 而这一块正好就是这个梯这个等腰梯形的两条高。 而我们现在又知道大正方形的边长和小正方形的边长是多少厘米？我们现在就可以求这两条 等腰梯形的高，也就是十减六等于四厘米，那么一条高也就是四除以二等于两厘米， 我们知道了高，我们就套用这个公式， 那么现在这个等腰梯形的面积，也就是十加六的和 乘上二再除以二，也就是十六平方厘米，你学会了吗？

明天就要用了，老师先来，同学，我们班好多同学都没买到。放心吧，我已经给你准备好了，就怕你到时候要用我来不及买或者买不到。四年级第五单元学具，提前准备磁性三角形演示器。本单元会要求孩子借助教具来验证三角形的内角和这 些抽象的几何概念，孩子凭空想象是很难的，你看，把一个三角形的三角形是等边三角形，且具有稳定性， 而四边形的内角盒是三角形的两倍，也就是三百六十度。这些知识点都是本学期重难点，通过这个多功能磁力三角形演示器，孩子动手操作一下，可以更直观的理解。再搭配着两张公式卡， 它包含了整个小学阶段的几何公式，已经单位换算公式，方便孩子查找背诵。它还是这种背面带磁吸的设计，拿起来也不容易掉。自带收纳盒的包装，孩子放在书包里特别方便，马上就要学到了。这是我妈妈给我准备的磁性三角形演示器， 因为第五单元马上就要用到它了。是的，四年级第五单元，老师会要求孩子借助教具来验证三角形的内角和这些抽象的几何概念，孩子凭空想象是很难的，你看，把一个三角形的三个角裁下，再把它们重新组合在一起，就能发现它是一个平角， 所以三角形的内角和就是一百八十度，而四边形的内角和是三角形的两倍，也就是三百六十度。 这些知识点都是本学期重难点。通过这个多功能磁力三角形演示器，孩子动手操作一下，可以更直观的理解，再搭配这两张公式卡，它包含了整个小学阶段的几何公式，已经单位换算公式，方便孩子查找背诵。它。还是这种背面带磁吸的设计，拿起来也不容易掉。自带收纳盒的包装， 孩子放在书包里特别方便，马上就要学到了，快给你的孩子也安排起来吧！这是我妈妈给我准备的磁性三角形几何演示器，因为数学第五单元马上就要用到它了。 是的，四年级第五单元，老师会要求孩子借助教具来验证三角形的内角和这些抽象的几何概念。孩子凭空想象是很难的，你看，把一个三角形的三个角裁下，再把它们重新组合在一起，就能发现他是一个平角， 所以三角形的内角和就是一百八十度。而三条边相等的三角形是等边三角形，且具有稳定性。而四边形的内角和是三角形的两倍，也就是三百六十度。这些知识点都是本学期重难点，通过这个多功能磁力三角形演示器，孩子动手操作一下，可以更直观的理解，再搭配这两张公式卡， 它包含了整个小学阶段的几何公式，以及单位换算公式，方便孩子查找背诵它还是这种背面带磁吸的设计，拿起来也不容易掉。自带收纳盒的包装，孩子放在书包里特别方便，马上就要学到了，快给你的孩子也安排起来吧！这是我妈妈给我准备的磁性三角形演示器， 因为第五单元老师会要求孩子借助教具来验证三角形的内角盒。 一些抽象的几何概念，孩子凭空想象是很难的，你看，把一个三角形的三个角裁下，再把它们重新组合在一起，就能发现它是一个平角，所以三角形的内角和就是一百八十度。而三条边相等的三角形是等边三角形，且具有稳定性，而四边形的内角和是三角形的两倍，也就是三百六十度。 这些知识点都是本学期重难点，通过这个多功能磁力三角形演示器，孩子动手操作一下，可以更直观的理解。再搭配这两张公式卡，它包含了整个小学阶段的几何公式，已经单位换算公式，方便孩子查找背诵。它还是这种背面带磁吸的设计，拿起来也不容易掉。 自带收纳盒的包装，孩子放在书包里特别方便，马上就要学到了，快给你的孩子也安排起来吧！这是我妈妈给我准备的磁性三角形几何演示器，因为数学第五单元马上就要用到它了。 是的，四年级第五单元老师会要求孩子借助教具来验证三角形的内角和这些抽象的几何概念。孩子凭空想象是很难的，你看，把一个三角形的三个角裁下，再把它们重新组合在一起，就能发现他是一个平角。 所以三角形的内角和就是一百八十度。而三条边相等的三角形是等边三角形，且具有稳定性。而四边形的内角和是三角形的两倍，也就是三百六十度。这些知识点都是本学期重难点，通过这个多功能磁力三角形演示器，孩子动手操作一下，可以更直观的理解。