七年级下册三角形怎么用圆规画数学

这些还认识吗？直尺和圆规啊，就用它们。你能画正六边形吗？这不简单吗？我小时候可是数学课代表。中心点，先画个圆，直径两个点，在这两个点，以半径为半径， 半径一样。每个三角形都是等边三角形，这角度六十度，这两个角加起来一百二十度，所以这是个正六边形。那等边三角形呢？这个就相当于正六边形圆心的两个点，这就是正三角形，当然也可以这样， 这个非常容易证明。正方形呢，有点难度，不过难不倒我。中心点一样，先画个圆直线，然后画一条它的垂线，用大于半径的，然后连接四个点， 这也非常容易证明这条线垂线，这是直角，等腰三角形四十五度角，同样这边四十五度角，然后这个角是九十度。这两条线，这两条线都相等，这两条线也相等，所以这是个正方形。 试试这五边形呗，这五边形是奇数个边和角。呃，这玩意能用尺规画出来吗？就这还数学课代表了，我来给你画中心点， 以 a 点为圆心，原来圆的半径为半径， b 点为圆心， b、 c 长为半径。以 c 点为圆心， c、 d 长为半径。连接 c、 e、 c、 e 就是 五边形的一个边，把刚才的四个点连接起来， 这就是正五边形。证明稍微有些麻烦，这里就不证明了，其实就是通过构造黄金等腰三角形。黄金等腰三角形的角度是七十二度，两个七十二度就一百四十四度，就是正五边形内角的角度。厉害，还有更厉害的，能用尺规画正十七边形，谁呀？这是 高斯，高斯在一八零一年就证明用尺规可以画出正十七边形，解决这道两千多年的难题。 尺规作图可以做加减乘除和开根号，这样就证明了正十七边形是我平常很少见的图形，居然是可以用尺规画出来 的。这个关键问题的解决就是把三角函数的东西变成了熟悉的代数计算，开创了用代数方法解决复杂几何问题的先和。同时也可以知道正七边形这样简单的图形反而无法用尺规做图，而正二百五十七边形和六万五千五百三七边形反而可以用尺规做出来。

我们现在来看一下用齿规做三角形啊，首先第一个我们要用的是边边边，那我们就先画三条边， 那这个的话，这个步骤在我们做图题的时候，他的已知里面会给到啊，第一个 a b c， 我们这个用的是什么边边边， 首先呢我们要先用笔在尺子这啊画一条直线，随意画，尽量长一点，然后呢我们确定一个点，哎，我们找见这个就是我们的一个顶点，那么边边边的话，要首先先量取一个边， 我们看在这我们先量一个 a 啊，我们先量取 a 的长度，然后呢确定一个固定点，我们画弧。 好，那我们哎把这个焦点涂一个实心的，那这个点他们的距离就是 a， 那我们知道 a 以后啊，我们再要去看一下，还有两个边，怎么去看？这个是 b a， 那我们三角形是什么？首尾顺次连接吧，所以呢它一定会在一个顶点处一固定点，那这个距离是不是所有距离都是 b a， 那我们再找哪呢？再找一下 c， 那 c 是不是就是会在另一个顶点处，哎，在这个顶点处，我们两个一相交，好，发现有一个交点，我们把它标出来啊，我们把这个点点画出来，要保留作图痕迹，然后再把这三个点连去连起来， 标上 b 和 c a， 我们就得到了一个三角形啊，这个就出来了，这个是边边边，我们再看下一个，我们画一个边角边， 好，我们在后边标上啊，边角边，我们看一下，这个也是一样的步骤，第一步该做什么呢？我们先找到啊，先画一根直线， 一样的确定一个顶点，那我们先第一步还是要先量取一段距离啊，就是我们这个 a 的边长，哎， 我们俩好在这画一个弧，有一个焦点，那么焦点处画一个点点，那这个就是 a。 第二步我们要做角了啊，做角了，我们要在这个耳法处找到一个稍微大一点的弧啊，画一个， 然后此时的这个距离不要变，在这个位置再画一个弧， 画完弧以后的话，我们来量取一下这个弧的长度，哎，发现在这个位置我们截取一下，找到了啊，这个点的话就是我们的角 r 法 好，连接做一步划一下，这就是我们的角挨法， 那我们量完了以后，我们不管是边边边也好，边角边也好，一定是按顺序去走的啊，这有一个边，这有一个角，那么这个边肯定是在这个角的另一条边上了，那么这一条边就是我们的 b， 我们在这量一下 b， 好到这 a 画个弧，有一个焦点，那这个点呢？到这个点的距离就是我们 b 的长度了，再和这个焦点去两个点连一下， 这个三角形就做好了，这一步叫做边角边， ok 吧？好，我们再看第三个啊，还有一个边边边有啦，边角边有啦，还有一个什么角边角 角，边角，这一步的话是相对于前两个稍微要麻烦一点的啊， 我们设一个角为 alpha， 一个角为 beta， 那在这一步的时候可以分两种情况，先画角也可以，先画这个边也可以，那我们可以先尝试一下画这个边， 哎，还是一样的找一个点啊，我们把这个 a 给它画出来 好，找到以后，那么这个就是我们的线段 a 的长度角边，角的中， 中间是边，所以一个角在这边，一个角在这边。我们注意画的时候啊，两个角他是什么要对在一起的，是不是？那我们现在了啊，我们要在这个上面画一个，哎，做一下这个角， 好，然后怎么办呢？量一下这个弧度， 然后把这个焦点我们画起来，这个就是我们的 ar 法，画完以后在这标一个 ar 法。标完 ar 法以后啊，我们再画一个 beta， 我们看 beta 在哪里？在这儿画一个 beta， 那此时的这个贝塔在哪呢？是不是在 a 的另一个端点处啊？在这个位置画贝塔做弧， 画完弧以后我们把这个位置量一下，哎，量一下这个弧的长度，在这个位置，那我们在这看清楚啊，是在这个弧焦点的位置处再给他画一个，哎，这有一个焦点， 这个焦点呢再连起刚才那个顶点，这个呢就是角 贝塔。哎，这个我们用的是什么啊？我们这个用的是角边角，还有一种情况呢是角角边，这个不常考，所以掌握这三种就可以了。

各位，吃亏作图啊，画四十五度角怎么画啊？这个方法和原理必须得学会啊，我们来看一下这道题啊，说在 ab 上找一点 d 啊， ab 上找一点 d， 是 a， d， c 等于四十五度。 a， d， c。 怎么听起来这么熟悉啊？ a， d， c 啊，就说找一点 d 啊，是 a， d， c 这个角度啊，等于四十五度，这个 d 在 哪啊？各位啊， 你不能蒙啊，啊，也不能用两角器啊。尺规作图，只能用尺子和圆规，怎么找四十五度？各位啊，你怎么找？你又不能蒙，又不能用两角器，那怎么办？各位注意了啊，看到四十五度，必须想到 等腰直角三角形，这个道理能不能明白？也就说你只要能做个垂线就好办了，也就说我通过 c 如果能做个垂线， 然后做个等腰直角三角形就就行了。好，那第一步，做他的垂线。做垂线怎么做 啊？做垂线也是有方法的啊，就是做垂直的方法。什么方法？给大家演示一下啊，这个方法必须得学会。第一步啊，你不要在这找垂点吗？垂垂线吗？第一步，把这个 ac 连起来啊，为什么要连接 ac？ 等会你就明白了， 我要找到 ac 的 终点，怎么找？ ac 的 终点，他的终点怎么找？很简单啊，在 a 点上随便画个圆，在 c 点上啊，随便画个圆。各位， 这有两个焦点，看见没有？这有两个焦点，这两个焦点连起来，各位，这个就是终点， 为什么？因为这是垂直平分线，所以这个点 e 啊，它就是 a、 c 的 终点。那找到终点有什么用呢？各位，那就很简单了，找到终点画圆，你看我通过这个终点画圆，你发现一个问题， 我是不是以 a、 c 为直径画了个圆，以 a、 c 为直径画了个圆，圆交于这一点，各位， 这一点连起来，它一定是垂直的，哎，有同学问，为什么？因为过直径的圆周角在圆里边啊，过直径的圆周角，它一定是直角，所以这个点 e、 f 就一定垂直， c， f 一定垂直，他好找到这个垂点了。下一步怎么办？等腰直角呀？构造等腰直角，那怎么办呢？各位，那就很简单了啊，以 f 为圆心啊，以它为半径， 然后你再画个圆，你会发现，哎，这交了一个点，这是不是也也会交一个点？这个交点如果连起来，各位，你有没有发现一个问题， 这个就是等腰直角，因为这个是半径 r， 这个也是半径 r， 所以 他就是四十五度，那这个 d 点不就找到了吗？在这吗？这边还有个焦点啊，这个焦点应该如果 a 足够长的话，这个焦点可能在这。 那 a， d， c， a， d， c 是 不是也是四十五度？你看如果 a 啊，如果啊，人家说在 a、 b 上找啊，可不能出去啊，这个方法必须得学会啊哥。

首先画任意一条直线，任取一点作为圆心，任意长为半径，画圆 圆 o 交直线于 a、 b 两点，此时 a、 b 为直径，将圆平分为两个半圆，然后在两个半圆弧上任取一点，如图连接 a、 c、 b、 c。 以此类推，分别将 a、 b 与半圆弧上的任意点相连接。你会发现这些三角形都是直角三角形， 斜边为直径， a、 b。 同样的道理，连接 a、 b 与另外半圆弧上任意一点，也会得到直角三角形。 接下来扩大圆规的章角，如图所示，作线段 a、 b 的 垂直平分线， 交圆 o 于两点， e、 f 分 别连接 a、 e、 b、 e、 a、 f、 b、 f。 聪明的朋友，此时你发现了什么呢？ 只有直角三角形吗？请您写在评论区好不好？

三角形的相关模型呢，在期末考中至少能占到二十分，而在中考中也能占到十分左右的分数。 哈喽同学们，今天呢，我们来说一下关于七年级技巧版下册的第十章三角形的重点内容。首先第一个是呢，三角形呢，它的基本考核点跟小学没有任何的差别，主要考核了四个地方，第一个三角形三边关系，两边之差小于三边。 第二个三角形的内角和为一百八十二度。第三个三角形的任意一个外角等于它不相等，内角之合以第四个三角形的角，平面线，中线和高线它们的相关性质。 但是呢，真正在考核的时候啊，考核这种纯概念的题呢，一般只占一道小题，大概分值呢在三分到五分之间，而且只有期末考 真正的占大多数。比例是什么呢？是三角形的各类模型。三角形的相关模型呢，在期末考中至少能占到二十分，而在中考中也能占到十分左右的分数。 那么说这么多模型是啥呀？回顾一下宝贝，这一阶段我们全部都说过，包括我们的 a 字模型，我们的飞镖模型，我们的内角平行模型，我们的外角平行模型，我们的内外角平分线模型，还有我们的翻折模型 啊，这些模型呢，是我们这学期期末考试中重点考核的一个内容，他的主要难点在于什么呢？嗯，活学活用，单纯背公式，他们都会背，但是没有用处啊，他不给你玩二等分，他玩三等分，四等分，甚至是五等分，你需要在理解的情况下去做一个推导。 那么如何做呢？请大家做好三件事足矣！第一件，在学完模型之后，一定要找着你干嘛呢？把每一个模型自己画，自己推，要彻底推明白，这是记忆的前提，先推导，再记忆。第二个， 做五道以上的相关例题，每一个模型不练到五道以上，你对于这个模型的考点是不太熟悉的，至少练五道。第三点， 做复习，也就是做错题的整理和模型的二次推导，一回生两回熟嘛，推导一次，老师，我有点模糊，推导两次，老师，我觉得我非常的可以推导三次啊，这个东西熟记于心，所以一定要做到至少两遍哦。 啊，三遍呢，可能大家时间不现实，但是两遍完全没有问题，把这个概念真真正正的搞明白，这才是咱们彩分的要点。 那么如果说啊，这些萌小都忘了，没关系啊，我会把这些内容呢直接做成电子版，有需要的大家直接联系我。加油喽，各位！祝大家学习愉快，加油！拜拜！

上课讲的是一粒沙，考试考的是撒哈拉啊，现在大家很多有都有这种体会啊，就比如说我们在旗下这个几何板块啊，讲的这个三角形全等这一块，我们课本上只给出了证明三角形全等的几种基础方法啊，但是在考试的时候啊， 往往会出来一些模型啊，稍微复杂一点的模型，同学们看到这种模型题以后啊，就有点老虎吃天无处下嘴的这种感觉啊，这个原因就是在课本上没有设计到，课堂上又几乎设计不到啊，设计的很少，所以说对这类题缺少啊，缺少探索和认识。 那我们今天就通过黑板上这一道题目，我们来探索一下几何模型之一啊，这个截长补短这个模型， 这个模型，它的用处是主要用在什么地方呢？我们看这道题，已知 a、 d 平分了这个角啊，也就是角一等于角二，角 c 等于二倍的角 b， 最后求 ab 等于 ac 加 dc 啊，这个关系，它就求线段之间的一个啊，线段之间的一个和的关系啊，所以这个截长补短， 他经常用的就是求证线段之间的和差关系。像这类题，我们直接求证的时候啊，确实是有点困难啊，因为他把这个边这些边从位置上看啊，是感觉是有点困难啊， 题上又没有告诉我们这些线段的长度，是不是这个时候我们往往要用到线段的等量转化啊，让他们从把他们的位置发生一些改变啊，让他们这个线段进行转化，那线段转化，你在转化的过程中，肯定是这个长度不能变， 让他们想一想，我们要实现这个线段等于那个线段，你看我们掌握的，目前来说掌握的只能是通过什么三角形全等啊，三角形全等，我们就可以得出对应边相等，这样就可以实现线段的转化。位置转化啊，还可以啊， 还可以通过什么特殊的三角形，比如说等腰三角形或者等边三角形，你看这两种三角形里面都存着线段和线段相等啊，这也是一种方法， 就是我们要通过全等三角形，通过全等和特殊三角形进行编的啊，转化，那如何啊？那题里面不是说他不是直接就给我们有现成的这个特殊三角形或者是全等三角形， 所以说我们就要通过辅周线啊，去构造，去构造我们需要的这种全等或者是特殊三角形啊，那截长补短就给我们提供了一个明确的方法啊， 截长补短，顾名思义，截长就是要从这个长边上截取一个短的，假如说我截取一个 a e 啊， 我截取一个短的，我截取一个短的，让这个 a e 等于提上已知的某一个短边啊，这是一种思路。另外一个是这是截长啊，从长的上面截短的， 还有补短，把短的给他补偿，给他延长，延长，一直把它延长到和已知和我们提上啊，已知把它延长到和哪一个长线段相等啊，那 截长怎么截？补短怎么补？我们只要啊抓住一个核心，就是要有利于我们去构建全等 啊，或者是构建等腰或者是等边啊，这是我们的目的，只要你有，你有利于我们构造全等和等腰等边啊，怎么有利于他，我们就怎么做？那么看一下， 看题上已经告诉了角一等于角二，截取 a e 等于 a c 的 话，我再连结我啊，我再连结这个 e、 d 是 不是很容易就能构造出全等呀？为什么呀？你看角一等于角二了， a、 d， 他是这两个三角形的一个共用边，是不是？然后我们截取的是 a e 等于 a c， 你 看 a e 等于 a c， a d 共用角一等于角二，是这两个边的夹角，那是不是边角边很容易得出他俩是全等的， 是不是啊？那就说明我们这个辅助线啊做的是比较成功的啊，如果你去，你去截长或者补短，你截来截去，补来补去，我是构造不出来全等，或者是等腰等边，那你这个辅助线做的就是失败的啊。那么看一下， 那现在我们通过做辅助线，我们把 ac， 哎，我们把 ac 这个边给它转化到这来了，是不是？我们要求证的是 ab 等于 ac 加 de， 你 看那 ab 在 这，我现在把 ac 已经转化过来了，已经转化过来了，那是不是剩下只要我能证明 be， 我 如果要能证明 be 等于 dc 就 可以了？从这个表面现在来看，我 ab 是 不是等于 be 啊？等，加上 be， 现在我已经把它转化了，我已经把 a c 已经转过去了，证明了他俩相等了，那 a e 是 不是就等于 a c 啊？如果现在我只要能证明这个 b e 啊，能证明这个 b e 等于 d c 就 可以了，这一块已经解决这个问题解决了，现在呢？我们要解决这个问题， 而解决这个问题，我们看怎么来解决啊？我们看一下怎么来解决。通过前面这两个三角形全等，是不是我们可以得出啊？我们可以得出，我们可以得出 dc 啊？它俩全等，我们可以能得出 dc 啊。这个 dc dc 是 等于 d e 的 这两个是个什么对应边吗？这两个三角形的对应边吗？对应边相等，是不是因为全等所以对应边相等，那对应边现在相等了。 我们知道 d e 等于 d c， 那 我们最终要是 b e 要等于 d c， 那 么看看这个 b e 就 可以等于 d c， 看看他俩有没有什么关系啊？ 这个我们从这两个全等里面，我们是不是能得出这个角的关系啊？这个角 c 啊？我假如说这个角 c 是 阿尔法，是不是你这个角 b 是 阿尔法啊？题上说了这个角是这个角的二倍吗？是不是？那你看一下 你角 c 是 阿尔法，那这个角是不是也是阿尔法呀？因为他两个是对应角吗？全等得出对应角相等，那你看一下那阿尔法这个角是这个三角形的一个外角，是不是一个外角？ 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和啊？这个二阿尔法等于这个阿尔法加上他啊，那说是不是也就是他加上这个角等于二阿尔法？你是阿尔法，那这个角必定也是阿尔法， 只有这两个一加才能等于阿尔法，是不是？那你看这个角等于这个角，那这个三角形是不是一个等腰三角形啊？那等腰三角形，那是不是？那是不是？ 看一下等这两个幺是不是？那是不是 b e 就 等于 b e 就 等于 d e 了？你看一下前面这是 d e 等于 dc， 后面这是 d e 等于 b e， 所以 它呢，我们就可以得出来啊，我们就可以出来 d c 等于 b e， 哎，从而你看这个我们要求证的就是要求证就他俩相等，这个结果我们得出来了，是不是 dc 等于 e b 吗？是不是？那这两个都完成了，那看那都完成了，是不是这个题我们就做完了啊？ 这是我们讲的是截长啊，我们还可以去用补短补短，我在这里讲一下思路就可以了。你看补短， 那我把 a、 c 我 补，我补成啥？我补啊，我把这个短边给他补啊，把短边给他补偿，我补偿到什么程度啊？我补到跟谁相等呀？ 这个我们还是那个大的原则啊，我要看把你补的跟谁一样长，还是要有利于我构建全等和创造等腰和等边三角形，那么很容易就能得出来。假如我把这个啊，这个 e 线就不要了，我把这个 a、 c 延长到 e， 延长到 e， 看一下题上告诉了角一等于角二啊，角一等于角二，这个 a、 d 我 能不能把它作为一个公用边，你看我这样一做辅助线以后，是不是就很容易又能得出了一个全等啊？是不是 角一等于角二啊？然后 a、 d、 a、 d 是 个公共边，我把 a、 c 延长到 a、 e 时， a、 e 等于 ab， 你 看三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 e、 d 是 不是很容易又得到相等了？所以说，哎，我的辅助线是延长 a、 c 到 e， 是 a e 等于 ab， 你 看就很容易得成全等了，那很容易得成全等的话，那我们就能得出 ab， 是 不是啊？这个 ab 等于 a 是 我们做出来的， 你看这样我们就实现了一个什么，也是实现了通过全等实现了一个边的位置转化，把 ab 就 转化到这一块来了，是不是把 ab 就 转化到 a e 了？那你看 a e 它等于谁啊？ 我把 a b 就 转化成了 a e， 它俩是相等的， a e， 这个这里面本身就有一个 a c 是 不是？那 a 等于 a c 加 c e 是 不是转化成 a c 加 c e？ 是 不是？题上要求的是 a c 加 dc， 那 我们是不是只要证明我只要证明这个 dc 和这个 ec 是 相啊？ dc 和 ec 这两个边是相等的就可以了，那这两个边在在这个在同一个三角形里面，是不是我们通过证明全等？呃，通过证明这个等腰就可以了，那么看它是不是一个等腰三角形啊？看一下， 我们通过这两个大三角形全等，那阿尔法和这个角是不是对应角啊？你是阿尔法，是不是这个三角形的一个外角呀？你是阿尔法，这个是阿尔法 对不对？那这个角是不是必然只能是阿尔法了？所以你看阿尔法，阿尔法，这是不是又是一个等腰三角形？等腰三角形，所以我们就得出了 d c 等于 e c， 哎， d c 等于 e c 这块问题也解决了，所以这个题就解决了啊，这是一个基础的结成布的模型啊，下面同学把这个 深入的去啊，好好的去分析一下，探究一下，完了再总结一下它在什么条件下，在什么条件下要用它，它是主要是用在哪一方面？求证什么时候的用它啊？一定要把握住我们的 一个是抓它的特征，知道它应用的条件啊，在什么条件下用它？第二个是要掌握我们一个做辅助线的一个总的思想啊。辅辅线，我做辅助线怎么去做，怎么去结，怎么去补， 总的指导思想一定是要有利于我们去构造全等三角形或特殊三角形，只有全等三角形和特殊三角形出来了，我们才可以进行边的等量转化。好，我们这个视频就到这，下期再见。

那么这道题呢，很多同学在第一次做的时候都会出错哈，我们一起来看这个题目，用直尺和圆规做一个角等于已知角，如图能得出角 o 呢？和角 oep 相等的依据是什么？ 实际上这个题目很多人一看哈，认为这两个角相等的，然后 od 呢，和 od 一撇相等， oc 和 o 一撇是一撇相等，选这个边角边，对吧？ 啊，如果是这样想的，这个题目就掉入他的陷阱啊，出错了，实际上这个题目到底选什么呢？大家记住哈，为什么这两个角是相等的，也就是给了一个椅子角给我们，我们再去做一个角 o e 撇等于他啊，为什么会出现角 o e 撇等于角 o， 对吧？实际上是因为什么呢？是因为这里构造了两个三角形， o b， c 和三角形 o 一撇， d 一撇， c 一撇，这两个三角形是全等的， 所以才得到了这个角 o 一撇等于一只角角 o 啊，那现在题目就回到了怎么去正，这两个三角形全等，也就是这个作图的依据啊。到底是哪三个条件得到了这两个三角形全等？我们来回归到这个作图的一个过程。 首先，这个词规做作是怎么做的？是不是以 o 为圆心，任意长为半径，画一个弧，交 o a 与 c， 交 o b 与 d。 然后呢，再以 o 一撇为圆心，对吧？任意长刚刚一样的这个长度为半径，画一条弧，所以这里就 一定要 o d 等于 o d 一撇， o c 呢？是等于 o c 一撇的，对吧？接下来第二步就是以 c 点为圆心， c d 的长度为半径啊，把 c d 给截下来，然后再放到这里来，以 c 一撇为圆心，对吧？以刚刚一样的 c、 d 为长度为半径做一条弧，是不是跟原来的这个弧第一撇是一撇交于这个点，那这个点 就是我们要找了这个第一撇，然后再连接 o b 撇，那这个时候我们就会发现 c d 的长度和这个 c 撇第一撇的长度是不是相等的，所以就出现了边边边边边边 三边对应相等，所以这两个字好像都是全等的，那么对应的角 o e 撇就等于角 o 了，这就是这个作图的依据，所以答案应该是选 c 啊，记得点赞关注哦！

宁波想冲重高的家长朋友啊，我们这道压轴题必须给他拿下啊！你们看，给的底边 bc 是 四 哎，顶点 a 是 一个动点，给了顶角是六十度，教你求什么时候面积最大，很多同学一看，哎，这个 a 点是个动点，这么高是不是也是动的？那什么时候面积最大，是不是该开始蒙圈了啊？来，安老师教我们一个终极 终极的公式啊，终极的口诀来，定弦，对定角引圆跑不了。也就说你看，既然这个弦是固定的，顶角是固定的，那么这个 a 点的规记一定是一个圆。什么时候面积最大呢？是不是底边是固定的？ 是不是高最大的时候它就是面积最大了。那么高什么时候最大？那我们从图上就直接可以看出，是不是到了圆顶的时候，它的高是最大的呀？好，那我们到了圆顶的时候，是不是这个三角形就变成了一个等边三角形啊， 对吧？变成了一个等边三角，既然变成一个等边三角形，这个面积就是不是就好求了？来，我们把它的草图画一下，既然是一个等边三角形，那它边长 bc 是 四，那么这个每个边 a a 撇啊，怎么跑到这里来了？是不是根据勾股定律，我们很快就算出来这个高 a 撇，哎，我们 e 吧， e 撇 e， 是 不是根据勾股定律，这个是四啊，它的一半是不是根据勾股定律，这个是四啊？它的一半是等于二倍根号三。 那么面积最大的时候，这个时候面积最大的面积是不是二分之一底乘高啊？底是 b， c 乘以高是 a 撇 a 撇 e， 对 吧？这个时候是 s 最嘛最大面积那么好，二分之一底乘高，二分之一乘以四，再乘以高，二倍根号三是不是就算出来是四倍根号三啊？最大 是不是很神奇啊？画个圆瞬间秒杀你看，心中有缘，万物皆缘。到目前为止，我们圆里面的所有的坑已经基本填平，下节课我们一起攻克最难的相似三角形，关注安老师带我们把我们几何里面的难关一个一个攻破。

同学们，今天我们一起来学习一下课本二十三页的相关链接。用尺规作图， 看这个文字，你可以看出尺就是我们尺尺的意思，圭是圆规，也就是借助尺尺和圆规来画图。 直尺我们一点都不陌生，我们可以借助直尺来画一条直线，也可以画线段，画射线，还可以借助直尺来量出线的长度。 那么圆规是我们比较陌生的工具。接下来我们先一起来认识一下圆规， 圆规呢是用来画图的工具，同样它也可以量出线段的长度。 那么我们来一起认识一下手中的这个圆规。那圆规是有三部分组成，第一个是手柄，那一听手柄用手拿着的这个地方，用手握着的这个地方，哈，这个我们叫它手柄。那还有两个地方，它是脚， 这两只脚就像人一样有脚，那我们人的脚是用来行走，站立，能站稳。同样的，这个圆规也是有两只脚用手握住圆规的手柄，然后两只脚用来站立， 那这两只脚有两部分，你看这个脚，可以看到他有一个针尖，很尖，尖的很疼。哈，那这个针尖他是用来干什么的？用来固定端点，你看我这个针尖，我放在这，他是不用手握住这个 手柄，哎，他是不是就可以来回的动了？固定住这个就不动了，这只脚就可以动。好，再来看这只脚，这个脚它是有铅笔的芯， 他是用来画圆。那你想他既然有笔，我们的笔是不可以画图呀，那同样的他可以画图，同样也可以量取线段的长度。那我们来一起看一下这个圆规，当我固定用这个有针尖的这个角去 固定在纸上，那来用手握住我们的手柄，可以这样，哎，来回的旋转，哎，你看我可以在这里画图，对吧？同样圆规的两角可以任意张开，可以张开这么小，可以张开这么大，这么大， 看到了吗？好，这是我们学习的认识圆规。圆规的每一部分我们已经了解了，我们再来一起回忆一下。圆规有两部分，一部分是手柄，另外一部分是两只脚， 看这个手你就知道用手来拿着的地方，那么两只脚有一个带针尖的，有一个带铅笔芯的，那么针尖就是起了一个固定的作用，而铅笔芯这个呢？你想既然带笔芯肯定可以用来画画， 那可以画什么？它是一个画圆的工具，那就可以画圆，他还可以量出同样长度的线段，所以他也可以量取长度。认识完了圆规，我们继续往下学习， 接下来我们继续研究。那你能用无刻度的直尺和圆规画什么呢？那一下你看一下，他说是无刻度，那我们知道 直尺可以画直线，可以画线段，可以画射线， 同时我们还可以借助直尺量取线段的长度，那在这里他说无刻度的直尺，那老师用这个来代表无刻度的直尺，那我们可以借助这个直尺画一条 线段，还可以画一条射线，对吧？只是我们可以不量取它的线，它的长度就可以。 这是借助无刻度的直尺画出的图形，画了一条线段，画了一条射线，画了一条直线， 没有刻度，所以我无法量出这个线段的长度。那用圆规我又能画什么呢？那我们说过，我们用圆规的时候，用手握住这个手柄， 然后用带针尖的这个角固定在我们的纸上，然后用手去旋转我们的这个 手柄，那么将有铅笔芯的这个来画图，你看，这样我一旋转一定要固定好，一旋转我可以画什么，哎，一旋转，来回的转， 你这样，有的同学他在转到这一半的时候就转不过去了，你转不过去，那你又可以再反过来去转，哎，你看，当我固定了这个针尖，然后旋转我手中的手柄， 用我有铅笔芯的这个角，这样一转圈，带动他转圈，我画出了一个圆，所以用圆规可以画一个圆， 那么我这是张的脚这么大小，那我把脚再张大一点，我就可以画一个更大的圆。 你在旋转的时候，如果朝这边旋转，旋转不动了，哎，那你可以反过来再这样旋转啊，都没有影响，我可以画小圆，你看， 哎，我转不动了，就翻过来这样转，旋转，你看，还可以旋转你手中的这个饼啊，就拿着这样转，来回转就能画出来了，所以圆规的作用可以画圆。同样，我除了画圆以外，我还可以画什么？可以画乎呀， 我随便固定在一点上，这样，哎，一个小乎画好了，哎，一个小乎，一个小乎，一个小乎，是不是啊？所以除了可以画圆以外，我还可以画乎，画一条乎。 同样，我还可以在这一组射线上画乎，那么我们知道这里有一个端点，然后向不同的方向 画了一条射线，那么我们可以借助我们的圆规，在这些射线上分别画弧。首先我们把带针尖的这个 角固定在射线的这个端点上固定住了，然后我们可以任意任意张开这个角的大小， 从在这个乎，你看，我可以要画乎了哈。哎，在这里画了一个乎，那你看这个乎是不是和这个射线上有一个点呀？好，在这个射线上画了乎，那在这里就有一个焦点在这里画了乎。 看，哎，这样画过来，我画了一个大乎，那你来看一下，这个乎和这个射线有个交点，乎和这个射线有个交点，乎和这个射线有个交点，交点， 交点。画完弧以后，我们来看一下，那么这是射线的端点，我们记为点 o 吧。那么 当我们的圆规在这里画弧以后，和每一条射线是不都有一个焦点呀？我们分别在这里给焦点标上了一个字母，我们接下来一起比较一下。射，那么从 o 到 a， 这就成了一条线段，两点之间 线段的长度就是两点之间的距离，那从 o 到 a 的 距离，从点 o 到 b， 点 o 到 c， 点 o 到 d， 点 o 到 e， 那 这块距离，我们看看这几条线段有什么联系。好，我们来看一下。 那么用我们直尺零刻度对准我们射线的端点， 然后另外一点，在我们的尺子上对应的是这个地方，为了让你清楚看清楚哈，看到了，好，接下来你来看一下这个 是不是这个焦点也是在这个地方，你来看是不焦点，对的，线也是在这个三点三三十二毫米上。好，再来看这个 是不是三大格，两小格。所以我们发现 我们用我们的圆规在这一组射线上与每一条射线交的弧 截取的线段， o、 a、 o， b、 o， c、 o、 d、 o、 e 这一二三四五五条线段的长度 是相等的，那你想一下，我们在 你想一下，我们在画这个弧的时候，是不是用我们圆规的带针尖的这个角固定在了线段的一端，而另外一只角的张开的大小是不变的，一直是这样，你看角的 张开的大小不变，所以它和射线的交点形成的这个线段长度就是同样长的。 这是借助圆规我们画的图，可以画圆，可以画 大圆，也可以画小圆。同样的我还可以在不同地方去画弧，可以在直线上画弧，在射线上画弧，那在这里我们发现在射线上画弧的时候，哎，从射线的端点到形成弧的与射线 焦点的地方，每一条线段的长度是相等的。接下来我们继续来研究第三个问题，你能借助圆规去比较线段 a、 b 与 e、 f 的 长度吗？ 那么我们怎么借助圆规去比较这两条线段的长度呢？我们说过圆规除了可以画圆以外，它还可以量出现段的长度，那么我们就可以借助圆规去比量 a、 b 的 长度。 我们在做的时候怎么比量呢？用首先我们的两个手指，大拇指和我们的食指去握住我们的圆规的手柄，然后用带针尖的这个角 对应到固定在线段 a、 b 的 这个 a 端点上，哎，这样一下子就固定了，然后让另一只带笔芯的这个角和我们 线段 b 端点重合，这样，所以我们要把这个角张开，哎，现在你看带针尖的这个和线段 a 端点重合，带笔芯的这个角和线段 b 端点重合， 所以这时候圆规两角之间的距离就是线段 a、 b 的 长度，接下来我们在线段 e、 f 上用圆规截取线段 a、 b 的 长度， 同样的我们将有针尖儿的这个角固定在线段 e、 f 这个端点 e 上， 固定在线段 e、 f 这个端点 e 上，然后转动我们的手柄，让我们有铅笔芯儿的这个角去画弧， 画弧，你记住画的弧要落在线段 e、 f 上，为什么要落在这条线段上？因为我们要比 a b 和 e f 它的长短，所以，哎，这样 我们发现带铅笔芯的这个角落在 e、 f 这个地方，那么这个角其实就是 相当于我们当时线段 a、 b 的 b 端点所在的位置，我们发现这个角落在了线段 ef 这个 f 的 左端。 那你来看一下，刚刚我们说了张开的这个两角之间的距离是什么？是线段 a、 b 的 长度，也就是说这一块的距离是 a、 b 的 长度， 这是 ef 的 长度。所以我们很明显的可以比较出来，线段 ef 比线段 ab 长，所以我们就可以记作 ef 大 于 ab。 在这里我们用圆规比较线段长短的时候，一定要注意，当你固定好的这个针尖 这个角哈，你固定好以后，不要去随意移动，你比如说你和 a 端点固定好了以后，你就一定要 让它牢固一点，不要让它，不要说你在旋转手柄的时候，你这个 a 点再来动哈，不要动，你这样动的话，我们量取 a、 b 的 这个长度，或者是 与 e f、 e f 中 e 的 端点重合的时候，这样一动的话，我们量取的线段的长度就不准确了，这是第一个，一定要把针尖固定好。 第二个，当圆规这两个角张开的时候，一定要和一开始的这个线段的两个端点完全重合，一定要完全重合，只有重合了才是我们线段 a b 的 长度。 然后注意当你拿起来的时候，手不要去推你这个圆规，不要让这个圆规的两个角开口变了。 为什么？因为你现在张开这个口的大小就是线段 a 到线段 b 的 长度，所以你在比的时候，哎，固定好 e， 然后这样和我们的线段 e f 上有一个画弧，有个交点，从这一端到这一端就是线段 a b 的 长度，那么线段 a b 的 长度在这里，然后这是线段 e f 的 长度，所以我可以比出来 e f 大 于 e a b。 继续研究第四个问题，怎样借助圆规去比较三角形三条边的长度呢？ 这是一个三角形，我们要比较这个线段 a、 线段 c 和线段 b 它们的长度。首先同样的，我用圆规的两角先比量出现段 a 的 长度。 好，同样的，我们可以先把这个带针尖的固定在 a 和 c 的 这个 交点上，也就是这个点上线段的这个点上，然后张开我们两角的距离，让带铅笔芯的这个角。 有的同学，哎呀我，我怎么弄呀？你可以让它倾斜一下，也可以让你的这个铅笔芯的这个笔长一点。那你看，这样的话，我们就可以带针尖的和这个焦点这个端点重合，带铅笔芯的和这个点重合，然后 转动我们的手柄，在线段 c 上画一个乎， 那这个端点落在线段 c 上，此时从针角到我们笔芯的这一块的线段的长度，其实就等于线段 a 的 长度，我们可以发现 线段 c 是 大于线段 a 的， 那从这一点到这一点是线段 c， 从这一点到这一点是线段 a， 我 们比量出来了线段 c 和 a 之间的长度，发现了线段 c 是 大于线段 a 的。 接下来我们再去比量线段 c 和线段 b， 那 么将我们针尖的这一端固定在 c 和 b 的 共有的这个端点上，然后调整你的两角的距离，让这个 有铅笔芯的角哈要和线段 c 的 这个端点重合，重合了以后旋转手柄，旋转手柄，然后让 这个铅笔芯的角在线段 b 上画弧，那你看这块儿， 从这个端点到画弧的这一块是我们线段 c 的 长度，而从这个端点到这个端点是线段 b 的 长度，所以我可以得出线段 c 是 小于线段 b 的， 所以最后我们可以得出 a 小 于 c， c 小 于 b， 所以 最终判断出 b 最长， a 最短。 再来做一下总结。我们在比较三角形这三条边的长度的时候，可以两条线段去比较，我先用线段 a 和线段 c 去比较， 然后再用线段 c 和线段 b 去比较。那么你 a 和 c 比较的时候，你可以将我们的圆规哈在针尖的这个固定在 a 和 c 的 共同的这个端点上， 这样的话，我们只需要在你看，当我固定好以后，在针尖针尖的这个固定好以后，我们有铅笔芯的和线段 a 的 另外一个端点重合，然后旋转手柄 在 c 上画弧，那么量出来的这就是 a 的 长度，可以发现 a 小 于 c， 这是 a 和 c 的 比。然后在比较 c 和 b 的 时候，就可以将这个针固定在 b 和 c 共有的这个端点上，量出 c 的 长度， 然后在 b 上画弧，就可以得，这是这就是 c 的 一个线段的长度。可可以得出 c 是 小于 b 的， 最终我们你看比了两次，最终我可以发现，哎， 那个 c 是 大于 a 的， 同时 c 又是小于 b 的， 所以是 a 小 于 c 小 于 b。 我们接下来继续研究最后一个问题，用尺规做已知线段的等长线段，你能不能用无刻度的直尺和圆规做一条线段， 让它等于已知线段 a、 b。 也就是说我们要借助没有刻度的这个直尺和圆规去画一条线段，而这条线段要和线段 a、 b 的 长度一样长。 那我们可以怎么做呢？我，那你想没有刻度的直尺就没法量出这个线段 a、 b 的 长度，对吧？那么我们可以用这个去画一条直线，我们不量长度，我们可以借助这个直尺先画一条直线， 然后用圆规的两个角去比量出现段 a、 b 的 长度来。所以第一步我们先借助没有刻度的直尺在任意位置画一条直线。 第二步用圆规的两角比量出线段的长度，圆规的一只角固定在线段 a 上，圆规的另外一只角固定在线段 b 上，此时两角张开的距离就是线段 a、 b 的 长度。 接下来在拿圆规的时候，一定要注意这个两角的距离，不要给它动。然后接下来我可以在这个线段任意一个地方去固定一个点，那么我们可以给它固固定的这个点，标上点 c， 然后用另一只角在刚刚的直线上画一个弧， 此时乎和这个直线的交点，我们记作点 d， 这样我们就画出了一条线段 c、 d， 而这条线段 c d 的 长度就等于线段 ab 的 长度。 那么在这里我想问一下同学们，那在这里这个没有刻度的直尺是起了一个什么作用呢？ 那既然没有刻度，那就不能量刻度，它起的作用就是画一条直线，那圆规起了一个什么作用？圆规起了一个确定已知线段的长度。你看 我确定好了线段 a b 的 长度以后，我就可以从这里来到这里，那用我们常说的电脑上的一个就是复制一下，哎，粘贴到这里就是这个意思，现在你会画了吗？

好，我们看一下本节所涉及到的知识。点一，尺规作图， 做一个角等于已知角，这是尺规作图的基础。操作原理是用边边边全等判定定里构造全等三角形、二等腰三角形的性质。等边对等角， 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和 平行线判定定力。同位角相等，两条直线平行。内错角相等，两条直线平行。同旁内角互补，两条直线平行。好，我们看一道经典的考试题，暂停思考三秒钟。 好，我们看具体的解析步骤。步骤一，以点 a 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 a、 b 于点 e， 交 ap 于点 f。 步骤二，以点 p 为圆心， a、 e 长为半径画弧，交 p c 于点 g。 步骤三，以点 g 为圆心， e、 f 长为半径画弧与。步骤二所画的弧交于点 h。 步骤四，作设限 p、 h 交 a、 c 于点 d， 点 d 即为所求，这就是作图结果。实际解析中保留作图痕迹，不用写出作图过程。下面是第二小题答题过程。 好，我们对本节题目做个总结。作图是为证明服务的，第一问的作图结论往往是第二问证明的关键条件。 本题中角 c、 p、 d 等于角 b、 a、 p 这个由作图得到的等量关系就是连接已知和求证的重要桥梁。 证明角相等的常用思路，利用等腰三角形、等边三角形的性质，利用平行线的性质，利用全等或相似三角形，利用等量代换等方法。 好，我们看一个练习题，看看能不能做到举一反三。