新编基础训练沪科版八下数学试卷答案
八年级家长注意了，孩子期末数学复习没方向，刷的卷子要么没答案，要么缺答题卡，练了等于白练！二零二六沪科版八下数学期末卷来了三十页，含完整答题卡加详细解析， 电子版秒发，不懂操作找客服打印版直接邮寄到家，省得你跑打印店！左下方小黄车赶紧拍，部分地区不包邮，早练早提分，期末稳拿好成绩！
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24:53查看AI文稿AI文稿我是教数学张老师，今天是二零二六年六月十二日星期五，每天学一点，进步多一点。我们来看，接着往下看下面的填空啊。第十个菱形的面积是二十七平方厘米，对角线的长度比十二比三，求它的边长是多少。 那我们知道这个对角线的乘积长二分之一是它的面积吗？那根据它的比十二比三，再设一个是二 x， 一个是三 x， 那 么二分之一对角线的乘积就是二分之一乘二 x， 再长个三 x 等于个二十七，那么一约三 x 方等于二十七， x 就 等于十三了，取正数啊，所以它的这个边长，一个是六，一个是九。 那么现在啊，他的对角线一个是六，一个九，那求他这个边长怎么求呢？那么咱把他这个对角线简单一画啊， 咱直看这个其中构成这个三角形的这三角部分，一个是他的一半啊，一个是三，一个是二分之九，那么把这个三稍微通分一下， 就是二分之六，那这个斜边也就是我们的这个边长了，那么分母都是二分之一，所以说他最终这个呃斜边，他的这个分母也是二分之几。那咱只需要犯分子的勾股数的平方啊， 那就是根号下六房加九房啊，等于根号下一百一十七，这个的话出一个九是三倍的根号下十三，所以说二分之三倍的根号下十三，那所以说第一个就出来了啊。 好，下边 d。 下一题说四边形 a、 b、 c、 d 当中 e、 f 是 a、 d、 b、 c 的 中点，这一次又是 b、 d、 a、 c 的 中点，一看到这个中点啊，多半是跟这个中位期有关， 说 a、 b、 c、 d 这个四边形满足什么条件时，四边形 e、 g、 f、 h 是 菱形哈，那现在我们来看，你这个 e、 g、 f、 h 分 别是这几条边的这个中点，那我这个 e、 g 一 连接，它就和 a、 b 平行， 然后这个 e、 h 和 c、 d 平行，那 h、 f 也和我们的 ab 也平行，这个 j、 f 也和我们的 c、 d 平，也说中间这个四边形 e、 g、 f、 h 已经满足两组对边平行了，也说它已经是一个平行四边形了，那再满足一个条件， 那么来个零边相等呀，或就可以了哈。怎么满足呢？哎，因为牛派这四条边都和他这个底边 ab 和 cd 有 关系， 那只要这 ab 和 cd 相等了，那这四条边不就全相等的命他都等于底边的一半吗？所以满足 ab 等一个 cd 就 ok 了。下一题， 如图，三角形 bc 当中， ab 等于 acac 十六，这个 f 是 abc 的 重心， bf 等于个五，求四边形 cdfe 的 面积啊，那我们把这些数据表表 ab 等于个 bc 等腰了啊， ac 又是个十六，底边十六，那么这个 f 叉是我们的重心的焦点，那 b、 e 就是 我们的，这个也是我们的高线哈， 那么此时结合 d、 f 等于五，那你这个 a、 d 也是这个 bc 比方的中线，那我们知道咱们重心呀，到这个顶点的距离是到对边中点的两倍，随着 d、 f 是 五，那 a、 f 长度就差的两倍，那它就是十了 啊。结合 a、 c 等于个十六，那 a、 e 的 长度是八了，哎，这有垂直，那一看勾股数 f、 e 就是 六了，六八十，而 b f 又是我们这个 f、 e 的 两倍，所以说 b、 f 这就十二了，那整个咱们这个三角形 bc， 这个 b、 e 这条 三线合一，那个就是十二加六，也就是它的高了十八。比如是十六，那整个三眼线 b、 四的面积就可以用二分之一乘十八乘十六表示了，那么他让来求的是我们这个这一块面积 c、 d、 f、 e 啊。那么我们只需要把这个 左侧而右侧这三角形 a、 d、 c 的 面积求出来，减掉上面这个，我们这个直角三角形的面积就可以得出来了。而我们知道 a、 d 是 中线嘛，那把面积一分为二，所以说整个 a、 d、 c 的 面积再长个二分之一，而上面那个 a、 f、 e 的 面积呢？是二分之一，底乘高正好是直角边六乘八 乘六乘八，然后一座叉，上面这个一乘出来二分之一乘二分之四分之一和十六一约还剩的四十八乘四七十二，下边二分之一乘六乘八，那是个二十四，那七十二再减二十四，答案就是四十八啊。 第十，下一题这三题如图，平面直角坐标系动平行连线 a、 b、 d 的 顶点分别是零零五、零二三， c 的 坐标是多少？那我们把这些点标一标哈， 这里是零零 d 点是二三， b 点是五，逗号零，那 o、 b 之间的长度，那零到五到五个单位长度，那 d 到 c 的 长度平四边形吗？也是五个长单位长度， 那么加上个五就是 c 点的横坐标了，那就七逗号三，因为这个 d、 c 在 同一条直线上啊，平行于 x 轴啊， 下一个 边长是二的正方形 a、 b、 c、 d 中 m 是 a、 d 的 中点，这个 n 是 a、 b 航的一个动点，将 amn 沿 amn 所在的直线翻折，得到 a p m n 连接 a 撇 c， 求 a 撇 c 的 最小值， 那我们知道要想求最小值，那我们知道你一撇 c 里大于等于个谁才会有最小值吗？大于有最小吗？那我们来看这个图啊，结合你是正方形，边长是二，那 m 是 中联的，这是一，这也是一，那这个就是二， 这个 a 撇 c， 那 我们再一看啊，那两脸之间谈这个是线段最短吗？那我把这个 cm 一 脸构成了一个，就是一个三角形啊，脑袋也可以借助这个三角形的这个三边，这个不等式哈，但是因为它我们要取的是 这里啊，我们知道 a 撇 c， 它就得大于等于这个另外两边的差，那我们知道它是翻折吗？ am 是 一，那 apm 就是 也是一， 那要知道它的话，那就求这个 c m 减去个 a p m a m 是 一了，那只需要求 c m 结合固定力二一，那这个就根五了。所以说你 a 撇 c， 它就大于等于个根五减一，那大于有最小吗？所以说最小值就是我们的这根五减一了哈， 这是它根五减一第十五题啊，嘟嘟题假，无人机从距离地面二十米的高度起飞， 两架无人机同时匀速上升，十秒之后，他们所处的位置距离地面的高度 y 与无人机上升的这个时间 x 左关系图如图。问十秒的时候两架无人机的高度差是多少？那我只需要求摔第十秒的时候夹和以它们距离这个 这个高度剁个叉就可以了。那我们来看，以这条直线啊，结合有个二十，呃，这个与 y 轴交于零度和二十，以及还有这个公共焦点，五度和四十，我们可以把 y 以的这个直线表达式求一求，那么也就是我们的 四 x 加上个二十 y 假的，它是过圆点的，是一个正比的函数，那过一个五，逗号四十，所以说它的这个 k 应该就是四十除以五十八嘛。所以说 y 假就等于八 x， 那么他们都在第十秒的时候，距离这个地面的高度，咱就可以求求把它分别带入，那一个是四乘十加二十等于个六十，那另一个是八乘十等于个八十，那他这高度差不就是八十减六十就等于二十米吗？就 ok 了。 下一题如图，平面直角坐标系当中，经过点 a 的 双曲线， y 等于 x 分 之 k， 同时经过点 b， 点 a 在 点 b 的 左侧， a 的 横坐标是一，那么角 a o b 等于角 o b 等于四十五度，求这个 k 的 值。那我们来分析分析这个题哈， 给咱这两个角是四十五度了，那我就知道上面这个角 o a b 是 九十度，那么结合， 哎，咱一看到这种九十度等腰啊，构造一线三垂直模型，因为咱这个点 a 的 横坐标又告诉他是一了，所以说我这个过点 a 做与 y 轴平行吗？也就垂直于 x 轴了。好，那么再做过点 b 这个啊，也垂直于 x 轴，也平行于 y 轴，那此时它们俩相交于一个给大家看一下。 好，一个是 m 相交于点 n， 下边这个垂直于 x 轴的交点是 c 吧，那此时根据咱一线三垂直嘛，你这个 o v 和我们这 ab， 他 是等腰，他就相等了。然后这咱做的垂直吗？结合咱这个这个互余这里哈，就可以挣出来他是一个全等的。那此时你看我这个 am 的 长度就是 a 点的横度边是一吗？ 那它这个纵轴标，也就是我们 o m 的 长度结合，它是在这个 y 等于 x 分 之 k 上，那咱把 x 的 一代入，那纵轴标就是 k， 随是 o m 的 长度是 k， 那 进而它全等了之后，那这个 a、 n 的 长度也是这个 k， 那 n、 b 的 长度就是我们 a m 的 长度是一，那此时我这个 bc 的 长度之后，就是 k 减一了。 好，那现在有了这个之后，咱这个 o、 c 的 长度就是我们的 k 加一了，我们就可以把这个 b 点的横纵坐标表示出来， a 点我们知道就是一逗号 k 了啊，而 b 点呢，横坐标就 o c 的 长度，那就是 k 加一， 它的纵坐标呢，正好就是我们这个 b、 c 长度就 k 减一。结合只要是函数图像含的点，它们的乘积都是 k 嘛。所以说 a 点这一乘 k 等于 k， 那 下面这个 k 加一啊，乘上这个 k 减一啊，它也等于个 k 来建立起关于 k 的 一个一二次方程。那前面就是 k 方减一嘛。对一个 k， 然后 k 方减 k， 再减一等于零，然后再用求根公式啊。奥尔， a 分 之负， b 加，你看 a， b， c 二乘一负一的相反数一加点根号下 b 方减 c， c 是 五，所以说就是二分之一加减根五。那么咱这个 k 是 在第一项线，所以说应该是取正的，也就是二分之根五加一了啊啊，一滴好圆，所以说现在 k 的 值就求出来二分之根五加一。 第十七题，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 当中， ab 等于个八厘米， a， d 等于十二厘米，点 p 在 a、 d 上以每秒一厘米的速度从 a 向 d 运动，点 q 在 bc 上以每秒四厘米的速度从点 c 出发， 那在 c、 b 间往返运动，两个点同时触发，当点 p 到达点 d 的 时候停止，同时呢，点 q 也停止了。在运动以后，当 t 等于多少秒时，说这个 p、 d、 q、 b 这四点组成的平行四边形。哟，你说是一个平行四边形， 那我们来看这道题，如何去分析它啊？我把上面的都擦一擦， 我把这边擦一擦，这个是需要分离讨论的哈，我们来看这个题目哈，这个 p 点是从 a 点出发，它往 d， 它的速度是一 一个带入长度每秒，而这 q 呢，从 c 出发，它的这个速度是我们的这个四厘米每秒啊，上面是一厘米秒，下面是四厘米每秒。 好，那我们知道你这个 a、 d 的 长度是十二吗？ ab 的 长，呃，这个 ab 的 长度是我们的这个几来好？ ab 是 八，这是八 好，那因为你这个 p 差速度慢吗？他从 a 到 d 运动完时间， t 的 范围应该是大约等于零小等一个十二，所以说 t 是 有范围的，而这个 q 呢，运差速度快，他就会来回往返在 c、 b 之间。 那当第一段的时候也说在 c 往 b 的 出发时，第一段在这假设哈，那我结合他的这个时间还有速度，我们就可以把一些长度标一，标 a、 p 的 长度呢，就是 t 乘以 t， 那 p、 d 的 长度就是十二减 t， 而 c、 q 这一段，你与咱四从 c 出发嘛，它就是四 t， 那 b、 q 就是 十二减四 t 结合，它说的是 p、 d、 q、 b 嘛，我把它稍微一连， 他要想是构成一个平四边形，那是不得保证对边相等，也就是我们这里的十二减 t 和十二减四 t 他 得相等。那第一种情况，我们发现啊， c 到 b 等于多少？十二减 t 等于个十二减四 t 发现十二十二减没了，然后 t 求十二等于个零，那很明显，在这里你如果 t 等于零的话，那相当于是我一个 p 点在这了，那么他没出发了啊，那就不符合我们的要求。 好，紧接着我们再往下看，这是第一段吗？当他到达 b 之后，王回来的时候，那此时他的这个长度我们就换一下表示方法啊 来，那么因为返回来了，它整个行驶的路程，如果不折返，它应该是继续往前走的，整个行驶的总路程依旧是四 t， 但这时候的区别是在于 第二段哈，从 b c 往 b 之后啊， b 再往 c 了，那这时候你这个 b q 的 长度啊，就是我们这个 四 t 减去这个第一段 c b 组完的长度，那就是十二，相当于是整个这是四 t 嘛？这一段 bc 是 十二，那我再相当是返回来了，那所以说这一段 b q 的 长度就是我们的四 t 减十二， 然后它就等于上面那个十二减 t， 这时候我们就求来五 t 等于个十二 t 等于个五分之十二，那这是第一个答案 已经求出来了啊，这是第二种情况，当我们继续到达了这个 c 点之后再往返，等于说第三种情况就是 c 到 b 啊， b 再到 c， 然后呢 c 又开始返回，再往 b， 那 这时候他现在又折返回来了， 那这时候的这行长度，这个 b q 如何表示呢？那么我们想一想啊，他懂的。行驶路径是四 t， 那 这一段 这个 c q 的 长度咱就可以想，应该是四 t 减去个，又来回两次了吗？减去两个十二，那就是减二十四了，那咱想要表达是 b q 的 长度，而整个我们 bc 是 十二，减去框里的四 t 减二十四， 那此时等量代换建立关系啊，哪个是十二减去括号四 t 减二十四，就等于一个四 t 减二十四。 好，这时候我才化简一下，我们可以求一求啊，十二减四 t 加二十四，等于一个负二十四，减二十四，再减十二，那就是 负的，而四而四四十八再加十二，得负六十了。好，那这时候 t 就 可以求出来是八分之六十，那再约掉一个四，那二分之十五。你说第二，答案是二分之十五， 这是我们的第三种情况。再来看第四种情况。爷说，再来啊， c 到 b， b 照 c， c 又往 b， 然后 b 又返回来，再往 c， 那 这时候他的路径相当于你看 c 到 b 一 次十二， b 到 c 又一次十二，然后 c 到 b 又是十二了，那整个那他再从 b 再到 c 的 过程当中， 一共就是我们的四 t 减去前面三个十二了，那就减三十六了，依旧等于上面的十二减 t。 好， 这时候咱来化解一下， 那就是五 t 就 等于个十二加三十六，等于个四十八，那 t 就 等于个五分之四十八。最终答案一共是三个，最后东上所述，那一个是五分之十二，五分的之四十八， 以以及二分之十五。这这题三个答案啊，我们写一写，然后五分之十二，五分之四十八以及二分之十五。好，来看最后一个啊，如图， p 是 矩形 a， b， c， d 内任意一点连接 p e， p b， p c， p d， 得到四个三角形，分别是 p d， a， p e、 b 以及 p b， c， p c， d。 舍它的面积分别是 s 一、 s 二、 s 三、 s 四。下面有四个结论，第一个是 s 一 加 s 二等于 s， 三加 s 四。 第二个是二加号四等于一加二三。第三个是如果 s 三等于二倍的 s 一 则 s 等于二倍的 s 二。最后一个 s 一 等于 s 二则 p 在 矩形的对角线上。我们来看这几个结论，一个一个看啊。首先我们过这个点 p 啊，分别向他的这个 底做高 l， 然后我们来标一标哈， 这个 s 一 的这个标个 h 一， s 四，有一个标个 h 四， s 二的标入 h 二， s 三的标一个我们的 h 三。 那此时我们可以把这个一二三四的面积都可以表示一下。我们舍这个长方形，这个矩形的这个长为小 a 啊， bc 为小 b， 那 这时候 s 一， 它就是二分之一，那就是 b 乘上个 h 一， s 二呢？就是我们的二分之一 a 乘上了 h 二， s 三等于这个二分之一，我们的 b 乘上了 h 三， s 四等于个二分之一， a 乘上了 h 四。那我们来看， 在 b 把它合并一下，你就发现这个一 s 一 加 s 三，它就等于二分之一 b， 然后 h 一 扩起来，加上个 h 三，而 h 一 加 h 三，正好这是我们的这个长吗？也就是我们的 a 了，也就是二分之一 ab， 而剩下那个二和四呢？ s 二加 s 四，它是等于个二分之一， 这个 a 乘括号里面的 h 二加 h 四，魔幻 h 二加 h 四，哎，刚好是构成我们的这个宽，也就是小 b， 那 就等于二分之一 ab， 所以 说 s 一 加三等于 s 一， 二加 s 四，求出二十对，然后一就是错的，一是一加二等于个三加四，这个怎么去正哈， 我们通过观察，应该是 s 一 小于个 s 三，然后 s 二 小于一个我们的 s 四，那根据不等式的同时相加，那就能推出来 s 一 加 s 二应该是小于 s 三加 s 四的，而不是等于，所以说一是错。在这大家看三，如果 s 三等于二倍的 s 一， 则 s 四等于二倍的 s 二， 也就是说三号的那个面积是一号的两倍，那也就是说他们的这个高度之比就是二比一了， 那你咱只知道他俩的面积之和等于二和四的面积，那所以说他的这个长度比二比一，并不能带来咱们这个二和四的这个长度比，也是二比一哈，所以说的话三是错的。 那么四 s 一 等于 s 二，则屁，在矩形这个对角线上看这个最后一个四，它怎么对的哈？它告诉咱 s 一 等于 s 二了，我们可以把 s 一 的面积表示一下，余数二分之一， 这个 b 乘上个 h 一 等于个二分之一， a 乘上个 h 二，那么二分之一约掉，那就得到啊， b 乘上个 h 一， 就等于个 a 乘上个 h 二 啊，得到这个关系有什么用呢？我们来可以把它利用这个比例基本性的记号，我们就能得到啊， h 二比上个 h 一， 他就应该等一个 b 比上 a， 那结合他说这个复合球的 p 点啊，都在这个对角线上，那咱可以以这个 a 为 坐标轴的这个圆点 a， b 所在直线为 x 轴啊， a d 所在的为 y 轴，建立个平面直角坐标系。好，有什么用呢？你看啊，我们从这个对角线取一个点 p， 我随便取一个哈。那此时你看这个 p 点的这个横坐标，正好就是我们这个 h 一 的这个长度，而纵坐标呢，就是 h 二。所以说，那我们会发现 你这个我们这条对角线啊，结合咱这个 p 点，我们就可以把它的直角对角线求一求 y， 就 等于 它的这个 a 分 之 b x， 也知道 k 怎么来的， k 不 就是咱这个 p 点的横纵坐标的比，怎么就纵坐标 h 二比上 h 一， h 二比上个 h 一 啊，那它怎么得出来是 a 分 之 b 的 呢？我们这样想哈， 在康的前面不是正过了吗？ h 二比上 h 一， 通过前面这个面积相等这个等式正出来， h 二比 h 一 的 a 分 之 b。 所以 说你这条直线的这个表达式，这个 k 不 就是我们的 a 分 之 b 吗？所以这条直线表达式就是 y 的 a 分 之 b x 嘛。那我随便找一个点 p， 只要是在这条直线呢， 那我在后边再过一个点屁。好，那你看他的这个像 ab 做的这个就是我们的 h 二嘛，像这个 ad 做的这个就是 h 一。 所以说他始终保持 h 二 比上个 h 一 等于个我们的 a 分 之 b， a 分 之 b 这个等式就是由它面积相等带来的。所以说， 那符合要求这些屁点全部在他的这个对角线上啊。这题这么去，正好今天的分享就到这，我们下期再见，拜拜。
01:11查看AI文稿AI文稿沪科版八下数学难点在哪里？安徽八下的数学难在哪里？曹老师，这个视频给你讲清楚，真正拉开孩子们分数之间的差距，其实就两大核心板块。首先第一个是一元二次方程，前面我们说的二次根式，它说白了其实只是一个简单的计算工具，它就靠化简、加减、乘除、运算这些东西， 你盯紧了被开方数的非复性这个坑，多练计算题根本就不会有问题，完全没有必要去钻研偏题、怪题和难题。但是一元二次方程不一样，它是整个初中代数的重中配方法，求根公式法、英式分解，还有根的判别式、伟大定义、含餐问题以及利润增长率这些应用题，他们全部全部都是中考的必考考点。 这张如果你学的不够扎实，后面的二次函数你根本就学不动。几何部分的四边形是八下的唯一重点，这一张难不在于单纯的性质和判定，而是在于综合性的这种考察。他会结合我们之前考过的一次函数，结合我们之前考过的三角形，各种的动点问题、最值问题、折叠问题，他会把它放在一起和四边形再考一遍， 题型相对来说非常灵活，很多孩子学到这里呢，他的数学成绩会有一个断崖式的下滑。曹老师这个春季班的培优课核心就是这个内容，围绕着一二三四方程和四边形的这个重点，以及必考的难点。如果你想跟着我的节奏去学，在评论区回复户口本，八年级。
665中科大曹帅讲数学
00:56查看AI文稿AI文稿淮北的八年级的家长请注意啊，马上快期末考试了，那怎么让孩子去备考期末考试啊？我这边准备了一些八年级下册期末考试的一些真题试卷啊，你可以在评论区回复八年级啊，我这边私发给你，可以打印做一下啊，这个试卷质量非常不错，每一题都是必考的一些题型啊， 可以多去啊。呃，做一些这个压轴题，让世界上每一个压轴题都非常不错啊，特别是压轴题，基本上都是考这个四边形这一块综合应用，对吧？你要熟练的去了解一下这个什么半角模型啊，这个旋转模型 啊，包括十字架模型啊，像这一线三等角是吧？嗯，你要对这个这个模型呢，要有一个思维性的一个突破，包括知识点啊，也要有一个突破，知道吧？那么你到九年级，我们暑假学习这个八乘九啊。 嗯，九年级的时候对吧？你学习这个相似啊，包括这个就下学期原来的时候，对吧？啊，就不会那么吃力了，知道吧。啊，一定打印，要认认真做一下。嗯。
95淮北数学武老师
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16:02查看AI文稿AI文稿是，今天是二零二六年六月十三日星期六，每天学一点，进步多一点。我们来看今天的题目。先来看第一个，如图，直线 y 等于 k， x 加 b 与 x 轴， y 轴分别交于 ab 两个点， o、 v 的 长度是三， o、 b 的 长度是四。那么第一问，求 ab 的 直线表达是， 首先得给它 o a、 o b 了，那 a 点坐标就是三零， b 点坐标就是零负四，那么有两点了，然后再去代入求表达式，这里因为有一个 y 轴的焦点，那这个 b 点呢？纵轴标负四就差点拮据了，那单舍的时候，就直接舍一个 y 等于个 k， x 减四就可以了。然后带，只需要带把这个三逗号零带入，把三逗号零带入，就能得到三 k 减四等于个零， k 就 等于一个三分之四。所以说直线表达式 y 就 等于一个三分之四 x 减四。这是第一问。第二问， c 是 直线 a、 b c 上第一项线的一个点，那么 x、 o、 y 都是正的啊。除了当 a、 o、 c 的 面积是六的时候，求 c 的 坐标， 那么首先因为这个 c 在 我们的这个直线上，那咱就可以把这个 c 的 坐标去表示一下，咱把它的横坐标设为 m， 因为它在这条直线上就是它的纵坐标，咱就不用写成 y， 咱写成什么，咱就把它 m 代入，那就是三分之 m 减四， 三分之四 m 减四。好，那 a、 o、 c 的 面积怎么表示呢？ s 三角形 a、 o、 c， 它就是二分之一，底乘高，底就是我们的 o v， 而高呢就是 c 点的纵坐标，也就是我们的 y c， 因为这个 c 啊，是在第一项线，所以说正的，然后等一个六，那他把它往里一带， o v 就是 我们的三 c 点纵坐标来，刚才带进去了，就是三分之四 m 减四， 乘上一个三分之四 m 减四，现在等于个六，那二分之一乘三，二分之三，那把这个二分之三除到右边去， 六出一个二分之三等于六乘三分之二就等一个四了，一个像三分之四 m 就 等一个八， m 就 等一个六。所以说这个 c 点的横坐标就是我们的六纵坐标，把它往里一带啊，三分之四乘个六，然后 一曰八点四，六逗号四，写着 c 点的坐标就什么的六逗号四了，这是这个。来看下一题，说如图啊，药品研究所 这个测得某种新药，在成人用药之后，血液中药物浓度 y 啊，微克每毫升，随用药的时间 x 小 时变化的图像，由线段 o v 和部分双曲线 ab 组成。 那么说当测得 y 等于 a 的 时候，药物才具有疗效。说若成人用药四小时，药物开始产生疗效， 那么用药九小时后，用药后九小时，说药物仍具有疗效，则承认用药后血液中药物的浓度至少多少时间才能达到最大。那我们通过这个图来观察啊， 这个一开始的时候时间是零啊，这个浓度也是零，随着时间上升啊，四个小时的时候， 浓度达到 a 了，也就是说 y 等于 a 的 时候，这时候药物才开始起疗效，随着时间的增长啊，这个一直才有疗效啊。当达达达到最高点 a 点的时候，那药物的浓度开始下降，它的药疗效也会逐渐的下降。那此时他说了， 当这个用药达到九小时后，仍具有疗效。也说到了双曲线 ab 这一段上， 这个同样 y 等于 a 的 时候，那对了，这十年这应该是九小时。所以说我们就可以把这个 o、 v 这一段，这个直线的一部分表达式和 ab 这一段双曲线的表达式给他表示一下啊。那么我们这个 o、 v 这一段， 它仅仅是一条直线的一部分嘛。啊，那么 y、 o、 v 它又是过圆点的，它的横纵坐标，横坐标是我们的四纵坐标是我们的 a， 那 它的直线表达式就是四分之 a x。 而这个 y， a、 b 这一段曲线，他的这个恒动坐标分别是九和 a， 那 他的这个 k 值就是九乘一，就是九 a， 所以 说就是 x 分 之九 a。 那 么 a 点我们会发现是这两段的一个焦点，也就是说，当他俩相等的时候， 这个 a 点的恒动坐标就可以表示出，你就能得到四分之 a， x 和 x 分 之九， a 相等。咱把 x 一 解出来， 乘过去 a 和 a 一 约啊，最终求出来 x 等于个六负的值已经舍掉了啊，那我此时舍掉负的， 也就是说我们药物达到六小时的时的时候，也就我们的最高点啊，就说至少六小时，答，我就省略不写啊。但是这一题 最高点就是 a 点啊。说如图，菱形 a， b， c、 d 当中，对角线 a， c， b， d 交于点 o， 过点 a 做 a， e 垂直 b c。 然后呢，延长 bc 到点 f， 使得 c f 的 b， e 连接 df。 说这个，第一问，正 a， e、 f、 d 是 一个矩形，那我来看，要想正矩形，要么是四个直角，要么是啊，你是平四边形加一组邻边互相垂直，或者说对角线相等来看，他给的这些条件啊， 说 b、 e 等于个 c f， 然后谈大的 a、 b、 c、 d 还是个菱形啊， 那我其实才很好证哈。这个你 b、 e 等于 c、 f， 中间有个 e、 c， 咱就可以通过它等量代换一下，就能证在 a、 d 和这个 e、 f 是 相等的， 那本身 a、 d 和 b、 c 的 延长线了，所以说 a、 d 和 e、 f 也是平行的。所以第一问，因为四边形 abcd 是 菱形 好，所以我们这个 a、 d 平行 bc， 而且 a、 d 还等于个 bc， 然后因为它给的这个 b、 e 等于个 c、 f 嘛，那么咱可以利用这个同时加掉这个加号。求公共边 e c 啊， b e 加 e c 啊，就等于 c f 加 e c， 进而就能得到咱们这个 bc 等于 e f 了， 所以 bc 就 等一个 e f， 那 我们知道 a、 d 也是等一个 bc 的， 因为 a、 d 等于个 bc， 所以 咱们就能推出来哦， a d 它就等于 bc， 还等于个我们的 e、 f 啊， ad 和 e f 就 相等，那怎么正平行呢？因为 ad 是 平行 bc 的， 然后点 f 是 在这个 bc 延长线上， 进而我这个 ad 也平行，我们的 e、 f 再结合有个 a、 e 垂直啊，又因为 a、 e 垂直 bc， 它的一组邻边互相垂直了，又是平，四边形又是垂直，所以四边形 abcd 就是 矩形了，然后判平。四边形是一组邻对边平行且相等，然后再判矩形是邻边 a、 e 和 e、 f 垂直。 这是第一问，第二问，他说这个连接 o e、 a、 d 的 长度是十， 那我们知道你 a、 d 是 我们的这个菱形的边长吗？那咱能知道 a b 也是十，下回这个 bc 也是十。他又告诉来，个 e c 等于个四， 这里这一小段是个四， bc 又是十，那这一段 b e 就是 六了。让来求 o e， 我 会发现 o e 是 我们这个直角三角形 a e、 c 的 一个斜边上的中线，那我再涂个颜色， a e、 c 你 o 是 我们对角线的中线，要想求 o e， 那它就应该等于二分之一 a c， 咱求 a c 就 可以了， a c 怎么求呢？结合你这个 e c 是 四，那 b e 这一对就是六，然后勾五定零十六，那 a e 的 长度又八六八十呢？勾五数，然后再放在右边这个 a e、 c 这个角三形的 a、 c 的 长度就是根号下八方加四方，然后开出来，再出一个二，那再收一些过程啊， 这个因为 a d 等于 ab， 还等一个 bc， 等一个十，然后 ec 呢？又等一个四，所以 b e 等于个六。在二 t 三角形 a b e 中， 但这个 a e 就 可以利用根号下十方减六方，就能取来是八。然后再又在另右边这个直角三角形 a、 e、 c 中， 我们想求这 a c 啊，它是等于根号下八方加四方，求出来是我们的八八六十四、四四十六。你又设 我们的六十四加十六，已知八十，已知四倍的根五。而我们要求的这个 o e 啊，它正好是 a 四的一半，怎么整呢？因为 o 为 ac 中点， 这个 a e 有 垂直 bc， 所以 o e 为 r t 三角形 a e、 c 斜边中线， 所以我们的 o e 就 等于个二分之一， a c 就 等于二分之一乘四倍的根五，也就是二倍的根五啊。来看最后一个， 说这个，如图啊，平面直角坐标系当中，第一次将 o a、 b 的 图形变化成 o a 一 b 一， 第二次将 o a 一 b 二 b 二，第三次依次累推，最终变成 o a 三 b 三。 说观察每一次变化前后的三角形的变化规律。将 o a 三 b 三变化成 o a 四、 b 四的坐标是什么？我们来先看啊， 这个 o a b 是 原始的图形，它没有变化，那第一次变化成 o a 一 b 一， 这是这个样子。 然后第二次 o a 二 b 二，这是它下一次 o a 三 好 b 三，我们发现它们的 a 点的变化哈。首先 a 点都是在这条 y 等于三的直线上啊，这条直线都是 y 等于三，所以说 a 也好， a 一 a 二 a 三，他们的纵坐标都是三。速让来求 a 四的时候，那它的纵坐标就是已知的 u 四了。咱只需要判断它这横坐标的规律哈。先来看 a 一 的横坐标，它是二， a 二的时候变成了四了， a 三的时候变成八了 a 四，以此类推，就应该变成几了十六了啊。所以说第一个 我们这个 a 四，他的这个坐标就是我们的，哦，这写错了哈，这不是四，这是三 十六逗号三，那么 b 四的坐标再看 b 四哈。首先 b 一 是他都是在一个轴上，所以说他们的纵坐标全部都是零， 那只需要看横多标了。那 b 一 他的横多标是四， b 二，横多标是八， b 三，横多标是十六，那 b 四应该在我会发现，哎，每一次都是后一次是前一次了，乘了二加一次，又是三十二了，只有他的坐标三十二都和零。 第二，小文根据此规律得到第 n 次变化之后， a n 的 坐标和 b 的 坐标啊，咱先看 a e 的 啊， 你又发现后一次都是前一次的两倍，那 a e 的 时候二，二的时候四，三的时候八，四的时候十六，那咱又可以转化成。看这个角标。一二三四和我们这二四八十六有什么关系？ 第一次就可以看成二的一次方，就是一个二相乘第二次，因为后一次每都是前一次乘了个二嘛。但是两个二相乘二的二次方，第三次又在前一次计算，又成了一个二就二的三次方。依次类推那二的四次方，那再往后 a n， 那就应该是二的 n 次方，所以说这个 a n 的 坐标就是二的 n 次方，他的纵坐标咱们刚刚说了，都是三。随着二的 n 次方都和三，再来看他的这个 b n， 它的左边有什么规律啊？首先我们来看 b 一 的数是四，然后 b 二是八， b 三又十六， b 四是三，十二也是后一次，是前一次的两倍。但区别是左边咱 a 的 这个它是二点一次方开始，从二开始，这个 b 一的话是从四开始，那咱就可以转化成。也是会发现每一次都是后边都是前面成了二，那他就可以转化成四，就是二的二次方吗？那这个八就二的三次方吗？十六就是二的四次方， 这个三十二二的五次方，那你又发现这个角标一的时候是二，二的时候是三，三的时候是四， s 的 时候是五，所以你又发现这个角标和咱这个二的多少次方相差一，那这个二的这个次数就等于前面这个角标下角标加了个一。哎，你看， 一加一，二加一，三加一，四加一。所以说你 b 的 n 次方的话啊，你 b n 的 话，它的横坐标应该就是 下角外加个一，那应该就是二的 n 加一次方了。所以说我们这个 b n 的 它的坐标就是二的 n 加一次方，然后中轴标都是零，所以说二的 n 加一次方都好，零。好，今天的分享就到这，我们下期再见。拜拜。
24:30查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我是教数学张老师，今天是二零二六年六月十四日星期日，每天学一点，进步多一点。我们来看今天的几道题目。先来看第一题， 一条笔直的公路上有 a、 c、 b 三个地方，甲、乙两式，两人同时从出发，从 a、 d， 甲从 a、 d 骑往 b， 然后呢途经了 c、 d 休息的一分钟， 继续按原速度骑行至 b、 d， 甲到达 b、 d 之后，立即按原路返回，而且按原速度回到 a、 d 以步行呢？从 b、 d 前往 a、 d， 甲以两人距 a、 d 的 路程 y 与时间 x 的 关系如图，结合图像来回答下的问题。第一问，求甲的行速度， 我们给你提议啊，他这个带折线的，这个是我们这个假的啊，他从 a、 d 出发，行驶到这里之后，中间休息了一分钟，然后呢按照原速度继续走，到达了 m 点，这个 m 点就是我们这个 b、 d 啊，这个乙 d 了啊，这个 b、 d， 这是 b、 d 中间休息，这样是 c、 d， 那么让来求他的速度，我们来看一下，他休息了一分钟，四分之二十一分钟的时候减掉 一等于个四分之十七，那么他行驶距离呢？是一千零二十，那用路程除以时间一千零二十除以四分之十七求出来等于个二百四十，他的速度是二百四十米每分， 这是第一个孔，那 m 坐标如何求呢？我们通过观察，到达 m 点之后开始往回返，一共从出发到返回用了十一分钟，那减掉它休息的一分钟，也说它一共行驶了我们的十分钟， 根据速度乘时间等于路程以二百四十乘以十一减一，他返回的时候也是原速度，虽说他一共行驶了两千四百米是往返，那么他从甲到乙就是两千四，而从 a 到 b 就是 两千四，除以二等于个一千两百米， 随着此时你 m 的 这个纵坐标，也就是咱们这个到达 b 点的位置是一千两百米，那此时时间如何计算呢？ 我们来看，首先他继续按原速度去行驶到 m 点吗？他如果是正常二百四十， 除去他休息的一分钟，乘上这个框里面的六减一，等于个一千两百米吗？那此时这个时间如何去求完美 欧曼？那么他从休息完到 m 点，他又行驶了多少？用一千二减去一千零二十，也是他又行驶了一百八十米，然后再除以它的速度二百四十，得到四分之 三分钟，也是他又继续行驶了四分之三分钟，那他是从四分之二十一分开始，往后又走了四分之三分钟，那么就得到四分之二十四，等于个六分。所以说 m 点的横坐标就是六，那此时他的坐标就是六。逗号一千两百。这是第一问。第二问 说求假返回的时候 a、 d 的 路程， y 与 x 之间的这个函数范围，那我们知道 m 点已经是六一千二百了啊。 然后这个 n 点是我们的十一逗号零，我们舍 y 等于 k， x 加 b， 用待定系数法能求出来六， k 加 b 等于个一千二十一， k 加 b 等于个零，求出来 k 一个是负的二百四十， b 求出来是两千六百四十，那一结合 y 就 等一个负的二百四十， x 加上的两千六百四十，这是第二问啊。第三问， 他说直接写出两人出发后，从在甲返回到 a、 d 之前，经过多长时间？两人相距 c、 d 的 路程相等 第三位稍微复杂些，那我们要分好几段啊，因为甲呢，它是先 a 出发，到 c 休息，然后再从 c 到 b、 b 再返回。那乙呢，它是从 c、 d 直接往 a、 d 出发。 我们来看，先看第一种情况，我把它转化成这种线段图啊。那甲是从 a 往 b 出发，途径 c 休息，那么 b 这也是从 b 出发，往这个假 j、 d、 a 的 方向去行驶。那么第一种情况就是 t 大 于零，小于等于三的时候，为啥是这个范围呢？因为你这个 b 到 c 这一段，它的路程是一百八十米，那么咱舍得个时间是 t 啊，舍时间为 t， 那此时你这个六十 t， 那 行驶的路程就是一百八，那 t 等于三。你说在 b 到 c 的 这一段范围内，我们来看它甲、乙会不会相遇，时间能不能求出来哈。那当乙在 bc 段上， 那么乙行驶的这一段就是我们的六十 t， 那 bc 一 共是一百八，一百八减六十 t， 那 就是这一小段。 然后我们这个 a、 c 这一段是一千零二十吗？那甲是从 a、 d 出发吗？他行驶的是两百四十 t， 这是他的路程，用一千零二十减掉他行的路程，那就是甲倒转 c 这一段，那他俩要想相等求出来，此时等于个三分之四，才发现我们发现这个三分之四是大于三的，那就不符合要求。还有这乙的速度怎么去求啊？我再补充一下， 因为乙是直接是一千两百米啊，用时二十分钟，所以说就得到速度是六十米每分。据从乙这一段，他得个二十分钟就能到达，这是第一种情况不符合。第二种情况就是乙继续往前走，甲乙往前走，此时他们相遇了， 这时候你看甲乙距离 c、 d 的 距离是一样的，那这时候的时间分呢？应该是超过了三了，因为乙已经从 b、 c 这段过来了，时间要大于三，而要小于谁呢？咱们四分之二十一的时候，它已经减掉它休息的时间，也说 t 应该是在三到四分之十七之间， 此时它们的路程如何去表示呢？你这个甲依旧是用一千零二十减去二百四十七之间，此时他们的路程如何去表示呢？你这个甲依旧是用一千零二十减去二百四十七之间，此时他们的路程如何去表示呢？你这个甲依旧是用一千零二十减去二百四十七之间，此时他们的路程 啊， l 这段路程是六十 t 了，那 b、 c、 g、 d 是 一百八，那 e 到 c、 g、 d 是 路程就是六十， t 减一百八角的间距也相等，那求来 t 的 一次 e 发现在这个范围内，那第二种情况就可以。那第三种情况就是 e 继续往甲这个方向 a、 d 走，然后呢，这个甲呢？超过了 c 点了，此时 也就是说甲在 bc 这一段的时候又如何去表示呢？此时我们的这个时间已经来到了，它继续往前，从甲在 cd 休息完周期往前走了吗？时间要大于四分之二十一，但是小于个六，也就是说在没到达乙之前， 这个六怎么来的呢？哈？我们这个甲，它的这个速度不是二百四吗？总路程是一千两百除以二百四十， 哦，不对，是我们的这个，它还有减掉休息的一分钟哈， 就是咱刚才上面求出来这个 m 点坐标不就是六分钟吗？所以说小于六分的时候，那此时我们的这个路程假行驶的这个路程是二百四十 t， 那 因为它已经过跨过了 a 到 c 的 长度，也说减掉一千零二十， 那么此时减掉一七零二十之后，剩的就是假到乙的这一段，而乙到 c 的 这一段呢，依旧是用六十 t 减一百八，那建立方程发现求出来 t 是 三分之十四，小于个四分之二十一的，来发现 t 不 在这个反应里，即我们通过观察图也能发现它这个长度是不对等的哈， 所以说第三种就排除掉了。第四种就是当我们这个 t 时间来到了六分的时候，比如说甲到达了 b d， 那 为什么是六？ a， 他 中间不是休息一分钟吗？用一千二来除一个二百次 啊，等一个五吗？台行驶的是五分钟，台在中间休息了一分钟，那此时他到达了这个 b d 之后，那他距离 c 的 长度就是一百八，那用一千二减去一千零二是一百八没问题，那此时我们已行驶到哪了呢？依旧是这时候时间 t 是 等于六了，那我们把它带入六十 t 减一百八， 发现六十乘六减一百八，哎，也等于一百八，那此时发现符合乙到 c 和甲到 c 的 距离相等，所以说 t 等于六，时间六也是可以的啊。那如果随着时间再往后，那么甲再从 b d 开始往回反的时候，那时间就要大于六了。大于六的时候，这里要注意要分成两种情况， 第一种是甲在返回的途中当中，在 bc 这一段上，以及甲在返回途中甲乙均在 a、 c 这一段，大家看甲在 bc 这一段上看能不能行。那么因为你是返回了吗？你这一段的这个甲到 c 的 这个距离，用一百八减去右边这一小段， 右边这一小段如何去表示呢？他二百四十，这是他速度 t 值大于六吗？减掉他休息的一分钟，这是他行驶的总路程，那减掉因为完那个返回吗？你把那个前面行驶一千二给他减掉，那这又是剩下的这一段 假到 b 的。 然后呢，我们再用一百八减去它，就是我们假到 c 的 距离了，它依旧是等于六十， p 减一百八，此时求来 t 等于六，那我们此时这个范围是在 t 大 于六的时候，而不是 t 等于六，你 t 等于六的话，其实就是上的第四种情况，所以说此时你假不能在 bc 停留，使得它距离相等啊。那再来看最后一种， 当我们的这个甲和乙均来到了我们 a、 c 这一段上，那此时你看甲行驶的路程就是二百四十乘 t 减一，减去个一千零二十，然后呢，还得再把 b、 c 这一段路程也减掉，你就能得到剩下这一段甲到 c 的 路程， 而乙到 c 的 这个路程呢，这会是六十， t 减一百八，依旧是六十， t 减一百八，那么让他俩向的求着 t 等于八，发现八是大于六的复合，那最终综上所述， 复合要求的 t 啊， t 等于这个 四或 t 等于个六，或者是 t 等于个八啊，一共是三种答案，这是第二、三的稍微复杂一些啊。我们来接着看下一题。 下一题他说这个给咱听定义啊。一组对角互补，且有一组零边相等的四边形，我们称之为奇妙四边形。 那么下列选项中说一定是奇妙四边形的事，那这一题是选 a 啊，为啥呢？正方形那四个角，手指角满足对角互补，相加九十，而且正方形四条边就相等，也满足邻边相等，而对 角是相等，而邻角是相等的。而菱形呢？啊，邻边是相等的，但是它的对角并不互补，对角是相等的。矩形呢，对角倒是要互补的，但是它的邻边不相等，所以说选 a。 大家看第二问又来复杂了， 边长是二倍根三的正方形 a、 b、 c、 d 当中有一个点 e 是 ab 上的一个动点， e 不 和 ab 两端重合，说 d， e 交 ac 于点 f 或点 f 做 f g 垂直， d， e 交 bc 于点 g d。 问，判断 c d f g 是 否为奇妙四边形，并说明理由。那我们就根据这个提议他来判断嘛，看他的对角是否互补，连边是否相等。此时，那我们来看这个第一个怎么去判断它是一个点 f 作 f m 垂直 bc 交于点 m， 然后 f n 垂直 cd 交于点 n， 那 么因为咱这个四边形 abcd 是一个正方形，那正方形的特点我们就可以用了啊。首先你这个对角线互相平分，那 a、 c 是 平分我们这个角 b、 c、 d 的， 而且我们这个 c、 d 还垂直 bc， 也就是 c、 d 垂直 bc， 那我们这个 f、 n 和 fm 也垂直， fm 和 fm 也垂直，为啥？因为三个角这都是九十的，所以说第四个角这也是九度也垂直，而且 fm 还等于个 fm， 这个是怎么来的呢？ 我们之前学过角平分线的性质，角平分线的点到角的两边的垂直距离相等，那这个 f n 和 fm 都是垂直距离啊，所以说 f n 是 等于 f m 的 一点，也是角平分线的一点， 那进而我们会发现，其实这个 f m c n 它是一个正方形吗？那么再去正这两角相等哈，因为咱们题目中还有个 d e 垂直 f g 哈， 那么因为 d e 垂直 f g， 所以 这个角 d f n 加上公共角 n f z 等于九十度，而我们这个角 m f g 加个角 n f z 也等于九十度，所以容易得到角的代换角 d n f， 而 d f n 就 等于角 m f g。 那 接下来咱就可以正确的在三角形 d f n 与三角形 m f g 中， 因为首先那两个垂直啊，这个角 f n d 等于在这个角 f m g 以及这个两角的夹边 f n 等于 f m 还有钢化弹。正确的这个角 d f n 等于角 m f g。 所以 我们就能解得到三角形 d f n 全等于三角形 m f g 用到的是 a s a， 得到它全等之后，咱就能得到我们的想要的这个 d f 和 f g 相等， d f 就 等于一个 f g 了， 那么它等于它之后咱要想是奇妙四边形，还有个对角相，加时九十度， 那么我们这个角 d f g 加上我们这个角 d c g 就 等于九十度，加九十度就等于一个一百八十度了，所以说那它就符合了 九十九十零边相等。所以四边形 c d f g 是 奇妙四边形。 好，这是第一小问。第二小问说若这个 b g f e 是 奇妙四边形，连接 d g 之后说直接写出 d f g 的 面积，那这个也是需要分类讨论的啊。咱们来看这个备用图，我把 e g 连接之后，我们要讨论那可能，嗯，谁和谁是相邻的那个边相等。先来看第一种 f e 和这个 b 相等的时候，那你看它这个垂直和这个角 abc 这两个堆角相加一百八，没问题。那这时候我们就可以求了， 这两个我涂颜色的三角形，它是按全等的啊，全等之后我们就可以使切边的长度去来表示一下了哈，我们来审一审。这是第一种情况， b e 等于 e f 的 时候， b e 等于 e f， 我 们舍这个 d f 等于 f g 等于个 b， g 等于个 x。 为啥呢？ 我们这个 d f 和 f g， 咱在前面已经正过前一位正过的，它是一个奇喵四边形，所以说它是相等的，它是 x， 它也是 x， 而在刚才这两个颜色的这个三角形也是全等，那所以说他也是 x 全等，怎么正呢？哈，你这是个直角三角形，又有一条这个斜边公共边，这个另一条直角边 f e 和 b e， 这是题目中让我们去 假设的话，他是我们先考虑第一种嘛，那么此时用 h l 就 可以正全等了哈，所以说这也是 x 谈这个三，呃，这个正弦的边长是二倍的根三吗？所以上面 c g 这一条段就是二倍根三减 x， 那 我们这个 d f g 呢？他又是一个等腰直角三角，那 x x， 那 他的斜边就是根二 x 结合 dc， 他 又是二倍的根三，所以说我们把它放到这个直角三角形里啊，在二 t 三角形 dc 中，那我们就可以利用直角边和这个斜边求出来 x， 取的这个正的哈，因为还有个负的已经舍掉了，取的是求出来 x 等于六减二倍根三，那求这个 df 的 面积如何去求呢？ 你会发现这个 d f g， 那 它是个直角三角形吗？它在这个底儿， d f 和 f g 一 相乘，就是它，刚才是它那个 x， 所以 相乘就二分之 g x 方，那再把六减二倍根三代入进去，求出来就是二十四减十二倍根三，这是第一种求和答案，那我们把它放在下边的啊， 如果是， 还有一种情况，如果是上面这个啊，我用绿色标的这个这个 f g 和 g b， 它俩，如果是那个里面相等的话，那思路跟刚才这个下边这个 e f 和 b 相等是一模一样的，那也是正这个全等，那 e 全等的话，也是用 h l 斜边加一条直角边，然后思路跟这个就一模一样，我就不再说了。所以说你这个第二种情况的时候， f g 等于 b g 同上，所以它的那个面积依旧也是它啊，这是第二种情况。第三种情况，我发了个备用图啊， 此时我让这个 f， 因为我一共就四条边，我两两相等，如果是 f e 等于 f g 的 情况下，就是这里。如果这两个相等，再结合咱 d f 还等于 f g， 那 我画的这三条边它都是相等的，那看这时候行不行呢？第三种情况，如果是第三种 f g 等于 e f， 它也和咱这个 d f 相等， 我们知道你这个 d j 啊，它是垂直 e j 的， 所以说你这个 d j 就 等于个 e j， 那 么我们这个 d e 就 等于根二倍的 d j， 我 们利用这个这里哈，我们这个 d e 等于根二倍的 d j， 还有我们这个 d j 啊，是要大于等于这个 c d 的， 因为你这个 c d 是 我们的这个正方形边长嘛，我 c d 是 要往下去这个在这个 c、 c、 b 这个边上的，那它的这个长度相当是 d 三边嘛，要大于它其中的任意条边在这个三角形 d c g 里啊，所以说 d j 是 大于等于 c d 的， 所以那我们这个根二倍的 d j 同乘根二倍网就要大于根二倍的 cd 了，而根二倍的 cd 又等于什么呢？哎，我们知道咱正方形的对角线， 这个 a c 啊，它不就是我们根二倍的 cd 吗？好，你说它就等于一个我们的对角线 b d， 我 们一连，它又等于一个 b d 了， 那我们就能得到啊，你这个 d e 不 就是跟二倍的 d j 吗？学生就得到 d e 大 于等于个 b d 了啊。 d e 要大于等于个 b d， 那 就说明我们这个 e 和 b， 哎，怎么样给它旋转之后只会往这一挪，哎，重合了， 因为我们知道啊， e 是 在 ab 上的，所以说此时你 e 和 b 重合，那你一旦 e 重合了，我就够不成这个四边形叫 b g f e 了哈，你要是 e 在 这，你就够不成 b g f e 了。所以说，此时第三种情况就排除掉了哈，来看最后一种情况啊，我把图画在这了哈，也说是第四种， 第四种稍微麻烦一些啊，我来说一下，第四种就是我们这一组对边，那这组里面相等啊，就是这个 b g 和 b e 啊，让它俩相等，那此时我们舍这个 a， e 是 x， 那这个 c e g 也是 x， 那 b e 和 b g， 因为都是这个正方边，正方形边长二倍，根三减六 x， 那 它俩相等，那我们利用勾股定律，这个你这个是等腰直角三角形吗？那这个斜面就是它的根二倍也若它是根二倍的，这个二倍的根三减 x 啊，这个斜边 他把它表示出来了，然后根据这个 a e 是 x， a d 又是二倍根三啊。大家还可以把这个 d e 啊，这里 d e 就是 我们的根号下二倍根三的平方加上个 x 方， a e 化简，就是根号下 x 方加十二。 而我们还知道你这个 d j 啊，也可以利用这个直角边 x 和二百零根三，也能表示的是根号下 x， 房价十二。爷说你这个 d j 和我这个 d e 上相等的，而我们这里你这个 d f 这一段， 它是我们的这个二分之根二倍的 d j， 因为我们知道啊，你这个等腰直角三行吗？你三边的笔是一比一比根二，那你要是知道直角边了，那就斜边直接乘个根二倍。你要是知道直角边了，求你的这个斜边，那就是用这个它除一个根二，那除一个根二， 那这个 d z， 你 看除以根二，那不就相当于咱这个，因为一开始 d f z 就是 一个等腰直角三角形吗？那相当于是斜边知道十根号加 x 方加十二了，那我这个直角边就是它用我斜边是直角边的根二倍吗？那反过来，我就是它用这个斜边除以根二来一，化进去是二分之根二倍的 d z， 而 dj 又是根号下 x 方加十二，所以说把它带入进去就是二分之根二倍的根号下 x 方加十二，而咱这个 fj 和这个 d f 是 相等的，所以说它也是我们这个二分之根二倍的。 dj 把 dj 二分之根二乘根号下 x 方加十二，现在 我们把这三条边啊， f e 还没表示，这个 f e， 就 用我们的这个 d e 减去刚才这个 d f 那 一个是整个 d e 是 二分之二十根二倍的二十根号下 x 方加十二，而上面这个是二分之根二倍的根号下 x 方加十二。那咱提取一下，也就是 下单是根号下 x 方加十二，提一个空因式根号下 x 方加十二， 然后乘个一减二分之根二。好，现在把这三边的长度放到这个 e、 f、 g 这个直角三角形里，比如说在 r t 三角形 e f g 中， 那这个 f g 和 e f 是 两条直角边，那把它的数据往里一带，这个数据就比较复杂哈，那 最后算下来之后，求出来 x 有 两个值，一个是二分之根六减三倍的根二，一个是二分之根六加三倍根二。那这俩要舍去一个，因为我们知道你这个 e 是 在 a b 上取一个动点嘛，那它不能超过二倍根三，而下面这个是超过二倍的根三了，所以说就要舍掉，那最终 x 一 是去它， 那我们再代入这个 d f g 的 公式，二分之一 d f 乘 f 的 方，那咱把刚才求的这 x 给它代入啊，其实也是二分之一 乘上二倍的根六减三倍的根二扩起来的平方求出来，最终答案是二分之二十七减六倍的根三。最后我们再来一句，综上所述， s 三角形 d f g 面积等于一个是咱刚才前边求的这里二十四减十二倍的根三，或者是我们 s 三角形 d f g 这个就不用讲明这两个字了，等于刚才求出来的二分之二十七减六百个三四两个答案。那这题就复杂在这哈，好，今天的分享就到这，我们下期再见。拜拜。
01:24查看AI文稿AI文稿八年级的家长看看你家孩子会做这道题吗？这道题考察的知识点是二次根式的定义和性质。 二次根式的定义形如根号 a， 其中 a 大 于等于零的式子叫做二次根式。根据定义，我们可以知道，一个式子若是二次根式，必须同时满足两个条件， 第一，这个式子一定要有二次根号。第二，二次根号下的数或者是式子，我们称之为被开放数，一定要满足大于等于零 二次根式的性质二，当 a 大 于零的时候，根号下 a 平方就等于 a， 当 a 等于零的时候，根号下 a 平方等于零。当 a 小 于零的时候，根号下 a 平方等于 a 的 相反数负 a。 二次根式的性质三，当 a 大 于等于零，且 b 也大于等于零的时候，根号下 a 乘以 b 等于根号 a 乘以根号 b， 这个式子可逆。 根据定义，我们可以得出 x 平方乘 y 大 于等于零这一隐藏的条件。再结合题目给我们的已知条件， x 乘 y 小 于零，我们可以得出 x 小 于零， y 大 于零这一结论。 再结合二次根式的性质二和性质三，我们可以得出根号下 x 平方乘 y 等于根号下 x 平方乘以根号 y 等于负 x 乘以根号 y 这一结论。你家孩子会做这道题吗？欢迎评论区留言！
00:22查看AI文稿AI文稿来，各位初二同学我这里呢，整理了八下各版本的第一次月考押题卷，试卷上的题目都是我挑选出来的 题题，精选到到必刷，帮大家在考前进行一次全方位无死角的复习。这些题目呢，全部都有详细的答案解析，有需要的家长给孩子打印出来拿去练习。
70梁老师讲初中数学
02:08查看AI文稿AI文稿八年级下册的五星学霸人教版测评来了，还有很多家长让我测评 北师版和护教版。关注我啊，我发现很多点赞我和收藏的没有关注我，关注我，后面都会更新北师和妇科还有护教。我们先说八下八年级下册五星学霸啊。首先我觉得八下的这个书呢，就比七下要好很多， 因为七下我觉得题目没有那么多难的题，但是八下其实数学就已经很难了。废话不多说，直接来划重点，第一个板块二次根式我只推荐专题七。第二个板块勾股定力，我推荐专题五六七九，章末检测的推荐二十二十一，二十二，主要强调勾股定力的应用。 然后重点来了啊，我们知道八年级下册最难的是四边形的几何和函数，所以我非常喜欢这个八年级下册人教版，他在呃第 二十一点三，特殊的平行四边形，我推荐他所有的章节，从专题十到专题二十五，矩形的折叠问题，一直到正方形的动点问题，这个专题划分的非常的详细，而且我觉得是很有必要。然后就来到了函数章节， 依次喊到前面的部分是相对比较基础的，我觉得没什么好说的后，我特别推荐他在章末检测这个板块推出的专题，我也推荐他所有的专题， 从章末检测专题十一到专题二十五。我们知道整个八年级他的难点，八年级下册数学的难点就在于四边形的几何和一次函数对不对？而我觉得这个五星斜杠，他在特殊的平行四边形专题十到专题二十五，以及函数的二十三张 章末检测专题，十一到二十五这两个板块都总结的非常的细和非常的好。所以说如果你用这两本书，你就重点，如果你要用五星学霸八年级下册，你就重点做我说的 平行四边形章节的大专题和函数的章末检测大专题。注意啊，含函数前面四个简单的章节我是不推荐的，你只做后面章末检测的大专题。好吧，这是我对八下五星学霸的一个测评，整体上其实我还是非常推荐这本教辅，还是很不错的。
![八下沪教英语教材录播视频-第二单元课文 作为新改革教材使用的第二年，谈谈看法：
1.新八上英语教材，相比旧版教材，还是太难了，作为全国只有三个地方（深圳广州沈阳）使用的英语教材；相比新版人教版，还是其它各种版本教材，这个版本是非常难的；
2.新教材难度主要是体现在词汇量上，每册单词表上的生词是350个，旧版每册才180个；八上英语教材中出现的词汇，旧版九年级和高中才出现的词汇已经提前下放到八年级去学习，所以更加有挑战性；
3.新教材每个单元是有三篇文章，其中一篇是主课文，学校老师会重点讲，其它2篇，一篇是围绕这个单元主题进行的文化方面，另一篇主要是跨学科的学习，文章难度很大；
4.文章相当于之前，句子里面会出现更多生词，通过学习课文来学习掌握单元表的词汇，整体上孩子去掌握词汇还是会有些困难
5.暑假期间是一个很好预习和冲刺的机会，深圳准初二新生，小学阶段都是学习旧版小学沪教版教材，没有学习过其它教材，那么孩子的词汇量少，基础都不是很好，使用新教材会很吃力，暑假提前预习，就很重要；
6.老师录制，每页就是一个视频，从词汇拼读，手把手教单词，再到划分长难句，断句能力培养，精讲视频；
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01:13查看AI文稿AI文稿各位经开区的家长们，孩子妇科版八下数学是不是学起来发怵？今天一分钟，我把拉开分数的两大难点给你讲透。这是第二章的一元二次方程， 前面第一章学的二十根式，说白了它就是一个计算工具，只要盯紧被开方数的非负数，多练些计算题根本不是问题，没有必要去钻研难题、偏题、怪题。但一元二次方程可不一样，它是初中数学的重中之重配方法呀，求根公式法、因子分解，还有根的判别式、维纳定律、韩占问题 以及利润增长率，这些问题全都是中考的必考考点。这部分你学不扎实，九年级上册的二次函数你根本学不懂。然后是几何部分的四边形，这是八下数学的核心的重点，也是难点， 它难在就是它的综合型考察会结合你之前所学的一次函数呀，三点型全等啊，还有各种动点问题，最值问题题型，它就比较灵活，不少经开的孩子学到这，数学 成绩会出现一个断崖式的下滑。各位经开的家长，如果你想让孩子跟着郑老师的节奏，把户口本扒下，数学的这些重点难点词头，评论区回复户口本，咱们一起帮孩子把数学成绩提上来！
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02:44查看AI文稿AI文稿今年中考的数学比去年中考难很多，所以拉分题这套教材对之后中考的准备还是作用非常大的。其实在中考前啊，拉分题的作者已经对中考题型进行了预测，在九年级的群里预测还是非常准的。 那今年中考的数学特点是前移后难，断层明显，整体难度是远高于二零二五年的，特别是后面的材料分析题，答对率都是比较低的，特别是今年都是比较注重情景化的材料阅读，比如第二十一题其实并不难，但很多同学呢，都是做错了。 像这种列函数的情景类的文字分析题，其实在阿分题上面是有的，而且也是这种递增类的关系，但是他考的是反比例函数啊，不过我们可以借鉴他这种出题思路和解析方式。 所以如果要在初中数学的考试中，或者在中考中解决难题，拿到相应比较高的考试分数的话，拉分题这道教材我还是建议大家去做一下， 当刷完一些基础卷之后，就可以去考虑抽时间把里面的这些题型相应的去弄一弄。最后说一下，拉分题满了之后是可以进学习群的。还有八年级上马上就要出来了， 月高考完了，四月十七号左右就要期中考试了，然后用拉分题提升一下最后一大题的答题正确率。因为这事情呢，也有不少的家长是在群里问的，而且现在不光是八九年级，七年级开始最后一大题也变得难了。 对于本学期匹配我们护教版的专项练习来说呢，建议还是优先先把这套教材给刷掉，至少呢，我觉得要刷到期中考试的章节，以我们八年级为例，那这次的考纲范围是第二十三、二十四章，也就是平面、直角坐标系和四边形。 那拉芬记主要教材呢，在开学中其实已经做过几期视频的介绍了，买过的还没有进华理社答疑群的不要忘记进群，作者蒋中元老师也是在里面一直给大家解答各种问题。另外呢，还会分享一些相关的资料，比如一些活动的报名， 目前为止呢，有六年级、七年级和八年级，很可惜九年级现在还是没有的。另外他随处的讲解视频也是比较详细的，很多难题一看就懂， 我们一起来学习一下这道题。本题看似是一个复杂的动点问题，但根据题目中所给条件点 m、 点 n 分 别是 a， e 和 p e 的 中点，可知， m n 是 三角形 a， e， p 的 中位线， 因此连接 ap， 此时 m n 的 长度是 ap 长度的一半，因此要求 m n 的 最大值，只需求出 ap 的 最大值即可。根据提议，我们知道，当点 p 与点 c 重合时，即 ap 为矩形对角线时长度最长。通过勾股定律可求得 ap， 此时长度为十三，因此 m n 的 最大值为二分之十三。
25优品家百货
01:30查看AI文稿AI文稿各位八年级的家长和同学们注意了啊，马上就要期末考试了，今天李老师用一分钟给你们画几个数学最容易丢分的重点，看完至少多拿二十分。 第一个重点就是一元二次方程，那我们知道一元二次方程重要的除了应用题部分，我们还有就是什么，在小题中考察比较多的就是韦达定律，特别是要注意一种题型，就 ac 调换位置的时候，那么他有两个根互为倒数，那么在这种题目的预算中啊，百分之九十的学生都踩过坑啊，一定要记牢。那么第二个重点就是几何的什么大招， 那么勾股定律，比如说求线段长，那么求线段长的时候，我们可能需要我们做一些辅助线，那么可能在求的时候我们先设位置量做垂线，没有思路的话，我们可以做一些四通八达的啊， 垂线这样的基本上都是能做出来。那八下遇到角平分线呢，我们可以想到什么构造等，腰三角形在正全等这招呢，基本上百试百灵。 那四边形最值问题的话，嗯，基本上我们可能需要大家画一些动态图，画辅助线，然后最后李老师呢，专门整理了四边形呢，最容易出错的题目，包含了最值、构造全等的经典题型， 需要这份资料的家长可以在评论区打出，需要然后进我的粉丝群，我可以直接发给你啊，期末冲高分啊，跟着李老师走就对了啊！
