南通初中一模函数题

好，同学们好，请看这道题，是南通中考一模前空题最后一道题，关于以旋转为背景出题考几何最值问题。 我们读题在直角三角形 a b c 中， a c b 这个角是九十度，其中 a 呢是四十五度，也就说到这方断距，它是等腰直角三角形，边长呢是八，现在有一个点 m 在 a c 边上运动， 然后呢，我们连接 b m， 以 b m 再做一个等腰直角 b m n 连接 c n， 求 c m n 面积的最值。好，我们来分析这道题。 首先，在做题目的时候，我们知道这个题和我们上课讲的旋转出题的逻辑完全一致， 我们要通过读完题立马看出来这个是以手拉手为背景的相似问题，谁和谁相似呢？是三角形 bmc 啊， bnc 相似三角形 b a m， 因为两个边对应成比例， b n 比上 b m 等于 bc 比上 b a 夹角相等， 并且这个相似比 k 还是一比二好。第二步， 关于这个最值问题，我们在代数化进行处理的时候呢，可以采用的是二次函数， 我们发现 m 在 动，不妨令 am 为 x， 那 么 c m 为八点 x， 所以 在表示这个面积的时候呢，我们观察这个面积是否能用公式进行直接翻译，如果不能，那么就采用转换法。本题呢是可以直接翻译的， 我们令 am 为 x， mc 为八点 x 有 相似比，我们知道 am 比上 c n 是 根二比一，那么 c n 的 值就是二分之根二， am 也就是二分之根二。 x 在 算面积的时候呢，应该拿底乘高除以二，我们要做出它的高。 在这由于啊，我们全呃相似啊，这个角 a 本身是四十五度， b， c， n 也是四十五度，这个角 n， c， h 也是四十五度。我们的高 n， h 的 长应该等于 c， n 乘以大于四十五度，也就是二分之根，号二， 最终等于二分之根，号二 x 乘以二分之根二，等于二分之一 x。 第三步，我们的面积就应该等于二分之一，乘以底为八点 x， 再乘以高为二分之一 x 最终等于四分之一，括号八点 x 乘以 x。 这个呢，我们就观察，可以利用我们讲的二次函数处理。负 x 方加八 x 对 称轴呢，为四，也就是得到面积的最大值，当 x 取四的时候为最大值是负十六加三十二， 三十二减十六是十六，十六乘以四分之一为四。所以本题的最大值是四出的还不错啊。

初三一模前四周数学有件事情千万不能干，那就是刷难题，现在刷难题提分效率很低，你数学上不去，不是因为不会难题，而是该拿的分你没有拿全。一模前四周，你需要抓住这三类送分题。 第一类，计算题，看起来很简单，其实有的时候失分还挺多的，不是不会，有的时候符号错，这个漏步骤算错一行， 每天花十分钟专门练计算，你会发现有些分那跟白减的一样。第二类就是基础题，课本例题、辨识题，这些题你都见过，但很多学生的问题是他看着会，他写不对。 这一类题千万不要再做新题了，而是把错题拿出来做两遍，做三遍。第三类，常规模型题，比如说函数的基础题，几何的证明，还有一些应用题的套路， 这些题是有这个固定解法框架的，你要做的不是见过多少题，而是同一种类型的题，给他吃透弄透， 尤其是中等生。我说一句很现实的话，你和高分之间差的不是最后那两道压轴题，而是前面那二三十分基础题的稳定性。 一模前四周，把这个难题给他放一放，一定要把基础模型还有这个计算给他弄弄牢，弄弄透。你不是不会做题，而是没有把该对的题做对。

好，各位啊，今天呢，讲一道啊，宁波刚新出炉的一张卷子上的二次函数性质的综合题 啊，老师的思路呢？这样。第一问啊，我先把这个表达式的因式分解啊，因为有个公式， x g m， 对 吧？ x g m 提出来之后就是 x g m 减二，所以因式分解熟练，把它变成了焦点式，对吧？ 那交点是啊，另外等于零，它与 x 这两个交点的横坐标 x 一 等于 m， x 二呢，等于 m 加二。 我们一直在讲对称轴，就可以用这两个交点的横坐标加一加除以二啊得到，所以对称轴呢，就是 m 加一，这个知识点你清楚吧，所以第一问就知道了啊。第二问啊，在这个范围里面，最大值与最小值的差是八啊，求 m 的 值也是常考的。 首先，根据这个范围，我们就能分析出来， m 加二，左边的要小于三，所以 m 呢，小于一，小于一啊，那 m 小 于一知道之后，我们就能知道，对称轴一定在这个范围的左边啊，对称轴一定在范围的左边 啊，为什么呢？因为 m 加一要在大于三的话，在右边的话，是不是 m 加一大于三，那 m 是 不是要大于二了？和这个前提矛盾了，对吧？ 所以在这个范围里面呢， y 随 x 增大而增大，所以 x 等于 m 加二的时候，最小值啊， m 加二带进去， y 就是 零，然后 x 等于三的时候呢，取到最大值，带到表达式里面，就是三减 m， 然后呢，一减 m 好， 然后这两个减一减等于八，那就能求出 m 了， m 呢，等于五，还有一个负一，那五呢，是要舍去的，没有满足这个前提好，应该没问题。第三位呢，他还是一味的追求简洁啊，还是有点不严谨， 应该强调这两个点在二常数上啊，一定要有这句话。所以啊，就是老师一直跟你们讲的，可以用代数法来求啊。代数法就这两个点带进去，那这个呢？带到原来那个表达是简单点， y 一 等于 x 一 减 m 的 平方减去二， x 一 减 m 带的圆来表达是 b 点，带进去呢，就是 y 二， x 二减 m 的 平方减去二， x 二减 m 好， 然后比较大小，我们是做插法，对吧？ 所以 y 二减 y 一啊，对应啊，利用平方差公式还有因式分解，最后就是 x 二，先这两个平方差公式，就 x 二减 x 一， 然后 x 二加 x 一减二 m， 后面这个呢，减二提出来就是 x 二减 x 一，然后这里又能音音式分解，提个 x 二减 x 一， x 二加 x 一 减二 m， 所以 对预算能力的考察还是比较高的啊，你要呃，要会算正确。那接下来就是分析，那因为 x 一 小于 x 二，所以第一个括号里面是不是大于零 啊？那只要分析第二个括号，第二个括号呢？ x 一 加 x 二，这个东西啊，可以带进去了，对吧？所以第二个括号里面就是二， m 减八。 那第二个括号里面是不要分类讨论。第一个就是二， m 减八大于零， g m 大 于四的时候啊， m 大 于四的时候，这两个括号都大于零啊。所以最终结果就是 y 二减 y 一 大于零，也就 y 二大于 y 一， 然后 m 等于四的时候，那是不是等于零？结果那也就 y 二等于 y 一， 那 m 小 于四，那是不是就 y 二小于 y 一？ 好，你看这个代数法，你能理解吧？好好理解一下。

好，各位啊，今天沈老师讲的二次函数性质的综合题呢，还是来自浙江舟山啊，题目自己先看一下，尤其第三问，第一问呢，比较简单，利用对称轴公式， x 等于负二， a 分 之 b 啊，求出来，对称轴 x 等于负一。 第二问呢啊，首先啊，肯定要分类讨论，分 a 大 于零怎么样？ a 小 于零两种情况啊，对称轴呢，在这个范围里面，对吧，所以你呃，也比较简单，自己思考一下。 那第三问啊，第三问呢，这个点 q 的 纵坐标 y 一定比 m 的 纵坐标大啊，那意味着什么？这个 m 的 这个 m 就 这个 m 是 不是最小值，所以这个 m 就是 这个二次函数的顶点，能理解吧？顶点， 那二次函数有最小值，那开口向上，所以你要分析出来， a 大 于零，开口向上，然后 这个 m 点是顶点，那这个顶点的横坐标是不是就对称轴？所以你又分析出来， x 一 呢，就是负一，就等于负一。好，接下来就是啊，老师常跟你们说的代数法，就 m 和 n 呢，都用 a 的 代数式来表示，那 m 怎么表示呢？就把 x 等于负一带进去的话， a 减二， a 减四， 所以 m 呢，等于负 a 减四。同理， m 的 话，就是 e 都和 m 带进去，就是 a 加二， a 三， a 减四，乘以减四，所以 m 乘 m 就 能表示了，就是负 a， 提个符号出来， a 加四， 三， a 减四。好，所以 m m 是 不关于一个 a 的 二函数，那开口向下有最大值，那这里呢，要注意一下啊， a 有 个范围 a 大 于零 啊，那很明显，这是焦点，是一个焦点呢啊，横坐标负四，一个焦点的横坐标是三分之四，那加一加除以啊，对称轴一定是小于零的， 所以 a 大 于零的话，在这个对称轴的右边开口向下，对称轴右边是不是随着 a 增大而减小？所以 m n 的 最大值就是当 a 等于零带进去的话， 十六，所以 m n 呢，一定小于十六，等号取不到。所以最终 m n 的 取值范围小于十六啊，等号取不到，注意一下，好好理解一下。

一模前三周，我问你一个很关键的问题，现在做数学题，你做的是新题还是错题？很多学生会说，老师，我每天都在刷卷子呀，但问题是，你错过的题还会不会再错了？如果答案是会，那么现在做再多的新题意义都不大。 一模前三周必须要完成的一件事情，把错题变成会做的题。很多学生的这个错题本啊，只是记录下来了，但是没有再做一遍， 就导致了一个结果，你以为你会了，其实根本还不会啊。老师，这道题我看懂了呀，你看懂不等于会做，只有独立的把错题做出来，这才代表会了。那么一模前三周错题到底怎么弄？很简单，三步走，第一，重做一遍，不要看答案。 第二，卡住的地方，找一下原因是什么。第三，隔两天啊，隔两天再做一遍，你就会发现很多所谓的老的错题，慢慢的开始你就不再错了。 所以你现在最该调整的不是那个做题量，而是学习的方式。一摸前三周，谁把数学的错题能给他吃透，谁的分数就开始往上走了。

各位大家好，今天我们一起来看到我们的二六年四十五中本部一模的一些难题的情况。我们先来看到第九题，第九题呢，这些其实难度不是很大，原以为我是以为他是跟高中的什么谐音规划有点类似，但发现他根本不是啊，他就是非常简单的一个 一次函数，和我们不等式配合在一起啊。题目说呢，这个给了个等量关系，然后告诉我们说 a 大 于等于零这个代数问题，代数问题核心思路哈，还是我们之前讲那句话，就你要干嘛呢？你要去表示，表示完之后呢？我们的目的是为了干嘛呢？为了消元 效应，最终的结果呢？数学呢，讲究最简形式，所谓的化简。好，那我们表示呢，这样的话，我们就给了 a 和 b， 那 我肯定要效元嘛，我们就把 b 写成一减二 a， 这样看起来舒服，你又说呢， b 要大于等于零啊，那这样的话，我们可以得到一减二， a 就 要大于等于零，所以我们算出来 a 还有个范围， a 要小于等于二分之一， 题目自带一个 a 大 于等于零，知道吧？现在你要求三 a 减 b 啊，那不就是写成什么呢？一减二 a， 那这样的话，我们得到结果应该是五 a 减这个一求它的最小值，那肯定是 a 最小，这个值就越小， a 是 几啊？ a 是 零，所以这一坨就是五乘以零就没有了，就是个负一。所以这题应该选择我们的 a 选项啊，难度不大。 那么第十题，第十题呢，它其实是一个比较简单的一个驱释法啊，那么驱释法具体是什么呢？我们简单提一下，那这种驱释法呢，如果你只有一个变量在变化，那么它的图像呢？就是一个依次函数，如果关键是在于，如果你有两个变量哈，这两个变量需要相乘， 两个变量需要是相乘的结果，那么如果两个变量相乘呢？那就有三种可能性，如果这两个变量都在增加，叫同增，我们把称为开口向上右侧。如果这两个变量都在减小，叫同减，那就是开口向上左侧。如果这两个变量的一增 一减，一增一减，没有办法，你只能得到它开口向下，那具体是左侧还是右侧，那就得看具体题目去具体分析了。好，那么第十题我们就来看，首先呢，这个题目意思是说这是个三，然后呢，这是个四，那这边就是四，这边就是三，他们俩的 p 和 q 呢，分别从 a 出发， p 呢是这样走， q 呢是这样走， 有点一个简单的一个对称的一个状态，知道吧？那么下来他说 apq 的 面积和我们时间之间的关系，那你想第一阶段，第一阶段呢，这三角形呢，就长这样的慢慢在变大，所以你看这时候就几个变量呢？就有两个阶变量，这两个变量是什么呢？就是第一阶段，它是三角形，这个图案应该是变成这样子， 就是这个小三角形啊，它在慢慢的在变大，就这样子拉长的变大，知道吧？所以呢，那我们要求的是面积，那面积不就自然是二分之一乘以底， 再乘一个高，它的底呢在变大，高也在变大，所以它就符合我们讲的叫什么呢？就符合我们讲的叫同增，同增就开口向上右侧，所以这样的话我们就排除了，排除了什么呢？排除了我们的 a 选项，然后上 b、 c、 d 度长的一样， 然后再看第二阶段，第二阶段大家都是直线，那就不用管了。那么第阶第三阶段是什么时候呢？第三阶段就是 p 点跑到这来，然后 q 点也跑到这来了，所以这个时候呢？三角形呢？长成什么样的？这三角形长成这样子，是这样的一个蓝色的状态， 那你想这个三角形会有什么什么特点呢？我们往它做个高，你就知道，等我们这个线往上面跑，这个线往这边跑，所以我这个高肯定是越来越小，然后我这个底边呢在变大，所以他是干嘛呢？他是一增一减。 好，那这是我们第二第三个状态， s 呢，等于二分之一底，再乘一个高，我们再画一个情况的图出来啊，这是个红色，然后这边也是个红色， 我们把谁看成底呢？把这个部分看，这是底，所以你看很明显底在变大，所以底是在增加高呢。这边往它做个垂直，这边往它做个垂直，很明显高在减小， 所以呢，它是一增一减，一增一减，把称为开口向下，这不可能是开口向下的部分，这是一条直线，所以只能选什么呢？只能选 c 啊，所以趋势法做这种题目就会非常的快。 好，再看到我们的第十四题，十四题的话，这一题呢？呃，也还行，因为它是个固定死的题目，它不含什么变化的量，那定死的东西实在不行，我纯硬算，总能算出来，知道吧？题目说呢，这是个矩形，然后告诉我们说 ab 等于我们的二，这是个二， 然后 a、 d 呢，是我们的两倍根号二， e 点又是个中点，那它就是个根号二，这边呢也是个根号二， f 点是在这条线上，然后帮它进行折叠，折叠完之后呢，它告诉我们说 b、 d 一 撇也是两倍根号二， 那你想这个 b、 d 一 撇，既然是两倍根号二，你又是个折叠，这个边是根号二，那我们把它一连， 通过左边这个三角形，直角三角形，我们这个求出来是个几呢？求出来它是个根号六，通过它这个根号六，再用勾股定律、逆定律，我们就出来这是个直角，这是个直角，你会发现这个边对应的边，这个边是它的一半，所以这个角自然是多少度呢？它就是个三十啊。所以第一问非常简单啊，它就是个三十度。 第二个问想让我们求这个 d、 f 的 长度，那目前我手上有的信息是什么呢？目前我手上有的信息就是这边折过来之后，这个边长是我们的两倍根号二，知道吧？所以呢，这道题呢，我有这么两种思路去解决啊。第一种思路得用到什么东西呢？我们讲的叫角平分线定底， 因为我这条线呢是角平分线，那么这样这个条线是角平分线的话，我们把它去延长， 我们把它延长到这来，因为我求的是谁呢？求的是 d、 f 的 长度，知道吧？那首先不管怎么样，这边都有直角，这有直角，这边还有个直角，所以这道题呢，就是一个一线三等角， 这是肯定的，所以我们把它延长到这个点叫 m 来，然后我能得到一个什么信息呢？我得到信息是这边可以得到这个三角形的边处关系呢，就是这个角，这个角呢，它的叫做， 嗯， theta 吧，那探进的 theta 是 我们的，叫做根号二比二，也就等于我们的一比根号二，所以这样的话，我们就知道这个边比它应该也等于我们的一比根号二。根据我们这两个相邻的相似，那么也就意味着我们叫做 dm， 比上一个我们的 d e 就 应该等于我们的 a e， 比上一个我们的 ab， 所以 我们可以求出 dm 等于几呢？ dm 就 应该是个一， d m 的 长度是个一呢，那这整个是个一，整个是个一的话，这条边呢又是我们的根号二，所以我们不妨假设，假设 d f 的 长度呢是我们的 x， 那 我这条边呢，就是个一减 x， 这条边是个一减 x 的 话，那这边拿过来它就是多少呢？它就是个我们的 x， 没问题吧？而且这样的话我们还可以再求出什么东西呢？求出这条边， 这条边还是可以让用刚的相似来求，因为这两个边的相似比是多少呢？他比他这两个是对应边，这两个三角形的相似比是根号二倍，所以我们就知道这条整个的边是多少呢？这条整个的边应该是我们的根号三啊，我们还可以求出它等于什么呢？它等于我们的叫做 m e， 比上一个我们的 b e， 所以 我们还可以求出 m e 的 长度呢，等于我们的根号三，那么 m e 的 长度等于根号三，那一减这块 d 撇 m 的 长度就应该是根号三，减去个根号二。 ok， 好 了，那么在这个小的直角三角形中，我们就可以勾股定律来解决了，所以那么也就意味着什么呢？那就是叫做 x 的 平方加上个一减 x 括号的平方，就应该等于啊， sorry， 不 对啊，应该是 x 的 平方加上个什么呀？根号三减，根号二括号的平方才能等于我们的叫做一减 x 括号的平方，那这是相当于是什么呢？这是法一， 我们是利用折叠，折叠完之后呢，用我们的勾股拎理来解决的，那这样的话，我们解一下这个 x 了，展开一下就是 x 平方加上一个，这边就是五，减两倍的根号六就加上一个没有了，等于我们 x 的 平方减二， x 再加一，他俩消掉 一个项，那就是二 x 等于我们的两倍，根号六，再减去个四，所以让他们算出 x 等于根号六减去个二。 好，我们算出 x 零，根号六减二。这第一个方式我们用什么呢？我们用这个小三角形的勾股定力，那么第二个方式我们还可以用什么来解决呢？因为这个角呀，是个角平分线，但是辅助线还是得这样做啊，这个角是个角平分线，所以我们有个东西叫角平分线定理， 反而因为你反正是个填空题，你管我怎么做。而且我们的角平分线定力呢，在我们的高中范围内呢，碰到的频率呢，也非常的高。 角平分线定律什么意思呢？随便画一个三角形，那么这条线呢，是我们的角平分线 a， b， c， d， 那 我喜欢记成什么呢？我一般都这样记，叫左边比右边， 等于左边比右边，前提哈，这条线是角平分线 c 塔，那就是 ab 比 ac， 等于我们的 b d 比 c d， 所以 你看这道题，这样做就更简单了，因为这条线是角平分线，所以左边比右边，那么就是根号二， 比上一个右边就是根号三，就等于什么呢？等于左边比右边，那就是 x 比上一个一减 x， 那 我们把它交叉相乘一下，也是一元一次方程解出来 x， 结果肯定是一样的，叫根号六减二啊，这我们就不算了。好，这是我们的第十四题。 再来看到我们的第二十二题，二十二题呢，第一问和第二问呢，都还行，第三个问呢，其实就是他给了一个比较简单的方式，我觉得答案给的方式是很简单的，他做了一个那个平行四边形，但是第三问呢，我的做法是，我不做辅助线，我纯用比例来做，也可以， 就利用我们的平行线及线段成比例，因为他做平行嘛，要正平行，是吧？我们先看前两问，前两问呢，给的地方是个直角，这边又是个高，也是个九十，这是个角平分线， 那你是个角平分，现在这个角就是阿尔法了，这个角就是阿尔法，那这个角就是我们的鱼角贝塔，那这边过来也就是贝塔，那这个角肯定也是贝塔，为什么呢？因为这个阿尔法和贝塔互余，那这边也是阿尔法和贝塔互余，所以我们就知道这两个角既然都是贝塔，那两个边肯定相等。所以 第二个问，他说什么呢？他说 bc 如果是个六啊，这是个六，然后呢？我们换个颜色吧，这是个六， 然后 c e 呢？是个三，那他是个三的话，我刚刚都已经证了个等腰三角形，那他肯定是个三，那么他是个三呢？我们求什么呢？求 a e， 那 么我们就可以假设什么东西呢？看这哈主要是这个阿尔法，这个阿尔法得到个什么信息呢？这个阿尔法我们得到信息就是这边有一个一比二的比例关系，说明贪婪的阿尔法等于一比二，那我就假设 d f 是 x， 那 这样的话 b d 肯定是二 x， 那 么在这个三角形中，我就可以用勾股定律把 x 给我解出来了， 我把 x 解出来之后，接下来应该怎么办嘞？那么接下来我们就可以得到这个边的结果，那这样的话，我们再用我们的这个什么，无论什么乱七八糟的东西啊，都可以想办法把一给他求出来，知道吧？ 那这样的话，我们先把 x 给它解出来，那就变成了叫做二 x 括号的平方，加上一个 x 加三括号的平方，就要等于我们的六的平方，那这样的话，我们解出来 x 的 结果， x 应该等于，我就直接写了， 那就是直接写还写不出来，是吧？那就是四 x 的 平方，那就五 x 的 平方，那就五 x 的 平方。加六 x 这边应该是什么呢？加九，加九的话就减去一个二十 七，等于我们的零，是吧？那就分成一式分解，五 x x 和 x 二十七，那就肯定不行，这是九，这是三， 这样也不行哦，这样行，三九二十七，那这边添个负号，添个正号，这边添个负号。所以这样的话，我们算出 x 应该等于几呢？ x 应该等于我们的叫做五分之九 啊， x 应该等于我们的五分之九，或者呢？ x 应该等于负三，那负三肯定要被舍去了啊，他不要，他要被舍去。好，算出来， x 等于五分之九之后，接下来我要求什么呢？我要求我们的 a 一 的长， 要求 a 一 的长。我已经知道这个边是 x， 那 我们就可以把什么东西求出来呢？我们可以用这个 cosine 值，因为这个角啊，和它它们俩是同角的，与角相等， 所以呢，这个角的 cosine 值就等于我们的邻边比斜边，也就等于我这个地方的邻边比斜边，相当于是，就说一定理，知道吧。所以呢，我们的 cosine 角 叫做 bc 啊，不是，应该是 cbd， 就 等于我们的扩散角叫做 dca， 所以 就是邻边，那就是二。 x 比上一个六，就要等于我们的这个边。邻边比斜边，那就是 x 加三 比上一个 ac， 那 这样的话我们可以求出来。把 ac 往里一带，我们就可以求出来， ac 就 应该是，那就是二 x， 那 就是三分之 x 了。三分之 x 等于我们的 ac， 分 之 x 加三 a， c 呢，就应该等于叫做三倍的三， x 加三加九，除以一个 x， 三 x 加九等于多少呢？就是三乘一个五分之九，再加上个九，那就应该等于五分之，这就是三九。二十七，那就五分之三十六除一个数，那就乘一个，我们的叫做九分之五， 那这样消掉，所以他我们算出 a c 是 个四，那 a e 就是 个几呢？那 a e 应该是我们的一，嗯， ac 是 个四， a e 是 个一，那不对呀，这不可能是一呀，哪算错了呀？这个是二， x 比上一个六， 扩散一只，那就它算扩散一只 x 比上一个 ac， 那 这样的话它俩消掉，这个是个三，那三的话就变成了三 x 加九， 这边呢就是 x 位的 a c， 那 就除过来三 x 加九，三 x 加九的话呢，就是 x 乘以我们的五分之九，那三乘以五分之九，那就五分之二十七。没问题啊，我说这个通分通透了，我这边是直接加九的，应该是二十七加上个五九四十五，知道吧？这应该是一个七十 二，七十二的话就五分之七十二，再乘一个我们的九分之五，所以它应该等于八，所以 ac 呢，应该等于八， ac 等于八的话，跟它一减，那这样的话，我们可以知道 a e 的 值应该等于几呢？ a 的 值应该等于我们的五啊， a 的 值我们应该等于五 好，所以我们算出来， a c 呢，应该等于我们的八，所以我们可以知道 a e 等于几呢？ a e 呢，应该等于我们的五 好。再来看到我们的第三小文，他说在这边呢，取一个点叫点 g， 他 说 a g 呢，等于我们的叫做 c e， 那 你 a g 等于 c e 肯定等于 cf 了，所以这三条边都相等， 它要求成什么呢？要成，求证我们的 f g 平行于 a b， 那 我的想法就是什么呢？这一方会有个 a 字形的相似，是的吧，那你要正平行，那我想这不就是平行线截线段成比例嘛。所以我的目标我只要能够证明出来，那这方平行线截线段成比例啊。那我可以用 c f 比 cd， 要让它等于我们的 c g 比 ca， 让它等于我们的 c g 比 a g， 这两种方式呢，都行，但不管怎么样都要跟 cf 沾边。为什么呢？因为 cf 是 我不一致的条件，我目前不一致的就这三个边相等，再加上一些垂直的关系，知道吧？所以这样的话，我们就先来那我的目标，我只要证明 cf 比上一个叫做 df 等于我们呢，叫做 c g 比上一个 a g， 我 只需要证明它比它就等于它比它，那这样说明这两个线肯定平行，这平行线的成比例知道吧？也就是或者是叫 a 等于相似都可以，那我怎么说明他俩平行呢？那中间我就要不断去做转化了， 目前我能看到的第一个转化是什么呢？ c、 f 等于谁呢？ c、 f 等于我们 c、 e， 所以 我们可以把它写成叫做 c e 比上一个 df， 那你看 c、 e 比 df， 然后 c、 e 比 df， 这两个三角形不是相似吗？所以呢，下一步我们可以通过三角形的相似，谁呢？就是我们的三角形叫做 b、 f、 d， 相似于我们的三角形叫做 b、 e、 a， 那 b、 e、 c 它俩的相似，所以我们把它写成叫做，那就是 c、 e 比 f、 d， 那 就等于 bc 比 b、 d 好，所以它就等于 b、 c 比上一个 b、 d， 那 进一步转化 b、 c 比 b、 d， 那 不行啊，我要往这条边上靠，知道吧？那你的 b、 c 和 b、 d 都不在这条边上，那 b、 c 比 b、 d 是 什么呢？它现在是这个角， 它的斜边比零边，你也可以用相似来解决啊，就这个三角形和它俩相似，是的吧，好，所以我们在第二次相似，利用什么呢？利用我们的三角形，嗯，这头我们写的这个远一点点，那就是三角形叫做 b、 c、 d 相似于三角形，应该是叫做 c、 a、 d， 用它们俩的相似， 所以 bc 比 b d 就 应该等于 ca， 比上一个叫做 cd 好， 它就等于我们的叫做 ca， 比上一个叫做 cd。 很 接近了，因为我们 ca 和这个 c g 之间就差了个谁，差了 a g， 所以 接下来我想了个东西，叫什么呢？我想了个东西叫等比的性质， 那等比的性质告诉我们什么东西呢？比如说我们的二分之一等于我们的四分之二，那我们把它的分子相加一加二，分母相加二加四，它的结果依旧相等。那你想 你加法和减法其实是没区别的，因为减减去个数等于加上它的加反数，所以我这边如果是一减二，那我这边是二减四，结果依旧成立，所以减法也是 ok 的， 所以我把它减上谁呢？这两个十的相等。所以啊，我想到我们刚讲的等比的性质呢，那我们就把它分子写成叫 ac 减 cf， 那 分母呢？就是 cd 去减这个 df 好， 很接近我们的结果了，那么 ac 减 cfcf 就 等于谁呢？你看啊， ac 减 cfcf 就是 c ag， 所以 减完之后就成了谁呢？ c ag， 哦，原来我的分子上就是个 c g 了， 那我的分母就是谁呢？分母就是 c d 减 df， 那 那 c d 减 df， 那 不就是 c f 了吗？啊，所以它的分母上就是 c f， 所以 它最终结果就等于什么呢？就等于 c g 比 cf， 那 我要的是什么呢？ c g 比 a g， 那 不就搞定了吗？用 a g 等于 c f， 这样我就证明出来我想要的东西了。那既然这两个边它比它等于它比它，那这个相似肯定是就成立的啊，所以这个形式呢，这样做也是 ok 的。 好，这是我们的第二十二题。再来看到我们的最后一题，他给了个新定义，叫什么呢？同轴啊，不亲和。同轴二次函数要求什么呢？ 两个二次项系数和是一对称轴呢，要相同，然后呢，外周焦点也要一样，然后现在给了个形式说他的同轴二次函数，那你外周焦点其实就确保什么呢？它的 c 要相等， 那因为万州交警是指的是 c 的 事情，然后呢，这个对称轴，那不就负二分之 b 了，然后二项系数之和是一嘛。那你现在二项是二次项，系数之和是负一，那负一加 x 要等于一，所以 x 要等于几啊？二，所以这样的话，我们可以得到他的二次项系数呢？肯定是二 二 x 平方，那它的对应轴是多少呢？它对应轴是负的二， a 就是 负二分之二就等于几呢？一，那我这边对应轴应该等于负的二， a 呢，就是四分之 b， 他 也要等于一，所以 b 应该等于几呢？ b 应该等于负四，所以就减四。 x 看 c， c 一 样，所以就加乘以二。 所以这就是我们所谓的叫什么同轴二次函数啊，相对来说难度不大。好，再看到我们的第二文， 第二个呢，他说给了这样的一个形式，他说他的亲和同轴二三数有最大值是五，求 a 的 值。 那我们要找他的同轴二三数啊。首先第二个，先看二三系数，那你的一减 a 加上一个，谁等于我们的一呢？哦，加上一个 a， 是 的吧，所以这样我们就知道我们的同轴二三数，它的 y 就 等于什么呢？嗯，我们标注一下吧，那它的同轴 二三数就是 y， 等于二三系数就是 a， 就是 a x 平方。好，再看对应轴，原来对应轴什么呢？原来对应轴是负的二 a， 那 就是两倍的一减 a 分 之 b， 那 就是负二 a 倍的一减 a， 就 要等于我们的负的二 a 分 之 b， 那这两个二消掉，一消掉，他消掉左边就是个几呢？一拿过去啊，原来我的 b 就 等于负二 a， 所以 它就是减二 a x 再加上个后面 c， c 要保持一致呀，所以后面就一样，加上个 a 方，加 a， 再加上个一。 现在他说什么呢？这个 r 三是有最大值，是个五，他现在没有做任何限制要求啊，说明他的定域呢？是呃不呃， x 的 取值范围叫定域啊。 x 的 取值范围就是从我们的富无穷到正无穷这样的吧，所以他的顶点处是百分之百能得到的，我们得找他的顶点， 它顶点把 a 提取出来，这里面就是 x 的 平方。减二 x， 那 就要加上个一，把它配方一下，那你后面就要减去个 a， 减去个 a 和这个 a 正好消掉了，所以就加上个 a 方，再加上个一，所以这样的话，我们就知道这就是它的顶点。 而且你还要保证什么呢？你有最大值，所以你的 a 要小于零的，同时 a 方加一要等于我们的五，所以这样我们算出 a 等于几呢？ a 就 等于负二，题目求的就是 a 的 值，那就不用管了。 好，再看最后一个，问第三个，他说呢？先给了这样一个函数，问他的清和同轴二次函数是 y 二，那我得先求一下 y 二呀，是吧？那 y 二等于什么呢？那我们就来口算一下了，你现在是 a， 你 a 加谁等于一呢啊？谁就等于我们的一减 a， 所以 那个同轴写到这吧。那我们 y 二就等于什么呢？嗯， 第三问， y 二就等于什么呢？就等于我们的二次函数就是一减 a， 因为一减 a 加上 a 等于我们的一，是吧？ x 的 平方好，再看对应轴，你原来对应轴是多少呢？原来对应轴是负的二， a 分 之 b 就是 负 c。 新的对应轴负的二 a 就是 二倍的一减 a 分 之 b 符号消掉， a 消掉，这两个消掉，这是二，所以拿过去啊。所以我们的 b 就 等于什么呢？ b 等于负四倍的 e 减 a 啊，所以就是减去个四倍的 e 减 a 好 加 c， c 保持不动。哎，我也加 c 是 吧？好，还是那句话哦，函数问题，那就是你要代数问题，就是表示校园化解。我现在要比较谁呢？我要比较我们的 p 和 q。 p 和 q， 你 想要消圆怎么消呀？用横坐标表示，因为它的横坐标都是一样，这样是不是形成了消圆？所以我们 p 等于什么呢？ p 在 外一上，因为咱这种分别嘛。那你就把横坐标往这里一带，横坐标是 m， 所以 p 就 等于 am 的 平方减四 am 再加 c， q 等于什么呢？ q 在 什么呢？ q 在 我们的 y 二上，所以把 m 往这里一带， 所以就是一减 a。 m 的 平方减四倍的一减 a。 sorry， 我 这少了个 x 啊，就是 m 加 c， 它要比较大小，所以我自然想了一个方法，叫什么呢？作差或者是作商。 那么坐商呢？有的时候不太用啊，因为坐商我们必须得知道它的正负情况，这样这样才能和 e 比较，但这方正负情况我不知道，而且题目还给了一些奇奇怪怪的限制要求。你看啊，这边给了个 m 大 于零，这边给了个 a 大 于二分之一，等会坐到后面就知道为什么要 m 大 于零， a 大 于二分之一了。 那我们就做叉喽，那就是 p 减 q 就 等于什么呢？那就打个草稿，那就是 am 的 平方减四 am， 加上一个 c， 减去它，那就减去个叫做一减 a 倍的 m 的 平方，那就加上一个四倍的，叫做一减 a 倍的 m。 注意好之后啊，减去个 c， 两个 c 已经消掉了，那就 a m 的 平方，减四 e m， 这边就减乘进去 m 的 平方，加 a m 的 平方， 再加四 m， 减四 a m。 好， 合并一下。这边有什么呢？ a m 的 平方， a m 的 平方，所以就是二 a m 的 平方。这边有减四 a m， 减四 a m， 就 减八 a m， 这边有减 m 的 平方，那我就减 m 的 平方，再加上个四 m， 那 就加上个四 m。 好，就变成这样的形式。这个形式我能看到什么东西呢？我好像能看到，比如说我把它们俩，首先大家都有 m 的 平方啊，都有 m， 我 能不能把它稍微提取一些东西出来？如果我把它俩提取个 am 出来， 把它俩石头可以提个二 m 出来，所以这个石头呢，目前等于叫做二 am 的 平方，减八 am， 再减去个 m 的 平方，再加上一个四 m。 我 想呢，因式分解啊，为什么因式分解呢？因为等会要跟零比较，我的作差法是与零比较， 那只有因式分解，你等会才能跟零比零比较，因为两数相乘，我们知道同号得正，一号得负，那因式分解呢？我肯定想着把它们俩放到一起，因为大家都得 a， 知道吧？它们俩放到一起呢，我们可以提个什么呢？提个二 am 出来， 那我前面剩个什么呢？前面剩个 m， 后面就剩个什么呢？就剩个四。哎，正好你把它们俩也提个 m 出来，我可以提个负 m 出来， 这里也是个什么呢？是个 m 减四。哦，那他就可以写成叫做 m 减四， 再乘一个叫做二 a， m 减 m， 进一步把后面可以提个 m 出来，所以就是 m 减四，乘一个叫做 m， 再乘一个叫做二 a 减一。啊，这你就知道。你刚刚为什么要告诉你 a 要大于二分之一了，因为你 a 大 于二分之一，我就可以保证我这一段百分之百为正， 是的吧？那你现在又告诉我们 m 要大于零，那这个相当于其实就是二三数啊。关于 m 的 二三数就长这样的吗？就是 m 乘以 m 减四，那么就这样的二三数过这个点，这个 m， 这个点是几呢？零这个点呢？是我们的四， 那这个时候我们这个朝线就可以写成叫做 y 等于 m 乘以 m 减四，这是不是两点式？ 所以 m 又大于零，所以我们的图像就保留这一截，保留这一截，你要看它的正负情况就知道了。我们要分两种情况讨论，才能分三种。第一种是在零到四之间，所以就第一种可能性，当我们的零小于 m 小 于四的时候， 那 m 小 于四，它是个负的，它是个正的，它也是个正的，相乘可以小于零。所以这个时候呢，我们的 p 减 q 小 于零，也就意味着呢， p 会小于 q， 而第二种可能性，当 m 恰好等于四的时候， 那这个时候呢， p 减 q 就 等于零， p 就 恰好等于 q。 那 么第三种可能性，当 m 大 于四的时候，那它是正，它是正，它也是正，三个正的相乘肯定还是正，所以这时候我们就可以知道 p 会大于 q 啊。所以这题呢，其实就是个分类讨论。 好了，那这是我们得到的这一题的结果啊。 ok， 这就咱们本期视频，感谢大家收看，我们下期再见。

好，让我们一起来看一下例五这道题啊。如图，直线 a、 b 与反比例函数 y 等于 x， 分 之 k 的 图像相交于 a、 b 两个点与 y 轴相交于点 c 点 d 是 x 轴，负半轴上一个点连接 cd， 连接 ad， ad 和外轴相交于点 e， 并且 a、 c 和 a、 e 是 相等的，若 c、 a 比上 ab 是 等于三比四，三角形 c、 d、 e 的 面积呢？又是等于六，让我们求 k 值。 ok， 来，我们看一下直线 ab 和反比例函数相交于 ab 两个点啊， 和 y 轴相交于点 c， 那 这里呢？第一个条件是 a、 c 等于 a、 e。 好， 我们知道两条边相等等，边对等角，我们是不是可以得到它们的角度？也就是角 a、 c、 e 和角 a、 e、 c 是 相等的，那我们设它们是阿尔法。 要说 c、 a 比上 ab 是 等于三比四，这是第二个条件啊，那它们之间的比值我们就可以用对设线段长度啊。我可以设 c a 是 三 x， 那 么 ab 是 不就是等于 四 x， 那 么 a、 e 和 a、 c 相等也是等于三 x， 对 不对？好，那直线 ab 与 x 的 交点啊，我们加个字母是 f， 那根据反比例函数的二级结论，我们知道 c、 a 这条边和 b、 f 呢，是相等的，对不对？所以 b、 f 和 c a 相等也是等于三 x。 好， 那这样子的话，我们来继续把角度推一推。刚刚说角 a、 c、 e 和角 a、 e、 c 相等是算法好，我们对顶，角对顶过来，角 o、 e、 d 也是算法，那么角 a、 d、 o 那 么就是九十度减二法。哎，同理，角 c、 f、 o 我 们也可以推出来，他也是九十度减二法，对不对？好了，那等角对等边，我们是不可以推出 a、 d 这个边 和 af 这个边实际上是相等的，对不对？那就是都等于七 x， 那 我们知道了 a、 e 是 三 x， 那 么 d、 e 是 不就是四 x 呀？ 对的， ok， 好， 我们继续看。他说三角形 c、 d、 e 的 面积是等于六，好，三角形 c、 d、 e 的 面积，我们很自然的想到选择，哎，对的，选择 c、 e 做底边，那它的高是不就是 o d 啊？ 对的，那 c、 e 和 o d 我 们应该如何表示呢？好，为了方便描述，我们这里把线段长度再给大家设一下啊。我们过点 a 向 y 轴做垂线，那垂足，比如说是 h， 那 么 c、 h 和 h e 是 相等的，我们给它设成三 a， 那 么很明显， a、 h 我 就可以设成三 b， 对 不对？好，根据八字形相似，那么 o、 e 这条边我们就可以推出来，它应该是等于四 a， 而 o、 d 这条边，它就应该是等于四 b， 是 不是？所以三角形 c、 d、 e 的 面积呢？我们选择 c、 e 做底边，那么就是六 a， 而 o d 呢，那么就是四 b， 那 整理一下，是不就是十二 a b 呀？那么十二 b 等于六，我们就可以对住 a 乘 b 呢，等于二分之一， 对的，而让我们求的是 k 值，那 k 值呢？我们可以借助于点 a 或者是点 b 的 坐标，那很明显，我们分析点 a 的 坐标会简单一点啊，点 a 红坐标哎，是三 b 重坐标哎，是三 a 加四 a， 也就是七 a， 所以 k 呢，就应该等于点 a 的 横坐标乘以重坐标，也就是二十一 a b， 那 就是二十一乘以二分之一，答案就是二分之二十一呀！ 这道，那这道题还是比较简单的啊，它其实是用了对三角形相似和以及我们反比例函数里边常见的一些二次结论来推的啊。 ok， 整体这道题的难度并不大，还是比较基础的。

哈喽各位，我是脖子哥，今天呢给大家带来的是这一道百校联营二零二六中考一模的选择。第九题，我们来准备开始讲解这个题，一看它是一个非常非常标准的二次函数图系关系问题说我有一个二次函数的图像，我不告诉你它的解析式，它是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 然后如图所示，他说给你四 四个关于系数的代数式，可能是等式，可能是不等式，几个是对的呢？首先咱们来总结这类题型啊，只要你见到了这个二次函数的图系关系问题，到底你能先求的是什么？ 你要记住几个事情，第一个，我能求出来的是 abc 这三个系数的正负型。第二个，我能求的可能有 a 和 b 的 关系呢？开想，朋友们在二次函数里面，哪一个因素利用到了 a 和 b 是 不是对称轴？ 所以我一定要根据我的对称轴来判断 a 和 b 的 某种关系，可能是倍数关系，可能是正负性的关系。同时在除此之外，你能看到图里有什么，图里是不是有零点啊？ 那你就能看到这个二次函数的特殊值，比如说我们能看到这个题目，哎，我的这个二次函数竟然是过负一零的，竟然是过五零的，我就能够把特殊值带出来。第一个， 二次函数开口向下，说明 a 是 小于零。第二个，二次函数的对称轴啊，在整个 y 轴的右边，我们有一句话叫左同右异，指的是 a 跟 b 的 正负性，我在右边证明 a 跟 b 是 一号的， a 又是小于零的了，证明 b 是 大于零的。 第三个，关于 c， c 怎么样看 y 轴截距 c 在 y 轴上，在上方，所以我的 c 是 大于零。好了，这是我的 a、 b、 c 的 正负性。接下来我们来研究第二件事情啊， a b 有 什么关系？你看这图，我能不能知道这个二次函数的对称轴呢？ 当然能了，左边位置是负一，右边零点是正五，说明我的对称轴就是负一跟正五的中间值。轴是谁？ x 等于五加负一除以二， x 等于二，那如果你的对称轴是二了，说明负的二 a 分 之， b 就 等于二，也就是说 b 等于负四 a， 这是关于对称轴能得到的。那跟 c 有 关的呢？只能看负值了，对不对？我的这个二次函数过负一零，过正五零。所以我可以把 x 等于负一或者 x 等于五带进去，分别是 x 等于负一的时候啊，那就是 a 减 b 加 c 等于。还有什么，你 x 等于五的时候是不是二十五， a 加五， b 再加 c 等于零。 ok 了么？各位，现在你看啊，咱们得到了这么多的条件，我们可以做题了。第一个选项说三 a 加 b 大 于零或啊，第一个选项，你所谓的这个三 a 加 b 到底等于谁？ b 是 不是负四 a 刚才已经研究出来了，所以你就等于三 a 加上负四 a 就 等于负 a， a 是 小于零的，所以负 a 当然大于零了。来圈一对不对？正确？ 来看圈二啊，咱用一样的逻辑，圈二。你问我的是 a 乘 b 的 正负性，不用说了， a 小 于零， b 大 于零，全都求完了。一负一正乘积当然是负的，圈二也是对的。来看圈三圈三。说，如果我告诉你五 a 加 c， 嗯，有意思，五 a 加 c 看起来好像感觉不太可能会出现，但是你想朋友们，到底我能怎么样 把 b 消掉？如果我想得到一个只跟 a 和 c 有 关的式子，是不是我可以考虑在一个 a、 b、 c 都存在的式子里面把 b 给消掉？现在根据我们的第一个负值， a 减 b 加 c 等于零，所以是不是 a 减负四， a 再加 c， 那就等于五， a 加 c 等于零喽，圈三也是对的。再来看最后一个圈四，圈四说的是四， a 加 b 加一小于零， b 是 什么？ b 是 负四 a 啊，所以你的四 a 加 b 加一就等于 四， a 减四， a 再加一等于几就是正一，它怎么可能小于零呢？所以四是错的，那一二三都是对的，四是错的。本期选择 c 选项，所以我们的这个百校联盟二零二六最新的中考一模一个很难的选择题。第九题，同系关系我们讲完了，希望这道题你能 get 到二次函数的同系关系。到底你的分析，你的步骤应该是什么样的顺序？下一节咱们来讲这张卷的选择压轴题。好了，拜拜各位。

现在我们来看初三数学英模选择题的考点，第一道考的是啊相反数， 第二事件的判断，第三密运算，第四同类二次根式，第五轴对称图形和中心对称图形。第六， 多边形的内角和第七方程结合传播问题。第八平行四边形的几种判断方法。 第九道题是反比例函数的几何意义，结合面积去考。第十是新定义函数问题。 现在我们来分析一下这十道选择题的难易程度划分。第一题到第六题是非常基础的题目， 然后第七第八第八题呢是记忆跟推理偏多一点，第七题是纯要靠推导，因为它涉及到了一个传播。 然后在第九题第九题属于是中档题里面的啊难题目，因为它是涉及到了面积跟几何意义。再是新定义函数这道题目呢？它是，嗯比较难，属于是压轴题的好选择题呢。就到这边我们接下来去看填空题。

我们来看一下二零二六年合肥四十二中一模的第十题，那这是一道二次函数的含餐的压轴题啊，我们看一下啊，他说二次函数给了这个几个条件啊， 然后呢，让我们判断底下这个五个选项啊，我们先把这个条件带进去啊，第一个是顶点坐标，然后这有个负一，所以很显然负二 a 分 之 b 啊，等于负一，这样的话，我们化解一下，得到 a b 的 关系啊，这是第一个条件， b 等于二 a， 然后呢第二个咱们把这个一零呢带进去啊，一零带进去，得到了 a 加 b 加 c 等于零，那这样的话，再把 b 换成 a 的 话，最终得到 a 跟 c 的 关系， ok， 那 这样的话，我们就可以把里面的 a、 b， c， 我 们都用 a 去表示，这样的话只有一个猜数字母 a， ok， 那 另外呢，题目当中还有个条件是零 m， 那 零 m 一定就是这个 m 就是 小 c 的 值啊，那么小 c 是 等于负三 a， 那 么 m 是 不是就是负三 a， ok， 那 很明显啊， m 是 三到四，那么负三 a 就是 三到四，对吧？负三 a 就是 三到四，那这样的话，两边同时除以负三，就是负的三分之四小于 a 小 于负一，那这样就是我们的这个第三个选项，第三个选项就是正确的， ok 吧？好，然后我们看啊，第一个选项，这个这样一个式子啊，有两个不相等的十根，那这里面字母呢？ abc 都在啊，那咱们完全可以给它剃掉，全部换成 a 啊，那么换完之后呢， 这个式子啊， a x 方加二， a x 减三， a 减去 n， n 是 什么呀？ n 其实就是横这个顶点坐标的纵坐标，就是把负一带进去，就是 a 减 b 加 c， 到这来， a 减 b 加 c 再加一，然后这个式子呢，咱们都整理一下啊，把里面的 b、 c 都换成 a， 前面不变啊。减去 a， 然后这个 b 呢，换成二 a 加二 a， c 换成负三 a 就是 加三 a 啊，整理一下变成这个式子，那判断一个这个二次方程有几个根的话啊？他说有两个不等的实根，那是不是就是判断 d 它呀？所以 d 它咱们算一下啊， b 平方 减去四 a c， 对 吧？那里面的四 a 方，四 a 方正好约掉，然后符号就是负 a， 那 因为开口朝下， a 是 小于零，所以负 a 大 于零，很显然它是有两个不相等的实根啊，所以第一个是对的， 然后第二个咱们直接看图就可以了啊，负一是对称轴，所以大于负一的话， y 当然是随着 x 增大而减小。第二个是正确的啊，第三个刚刚判断过了正确的。第四个， 这个考的就比较常规了啊，我们只要把你们的 b、 c 给它都提成 a 就 行了。这个 b 是 个四 a 啊，减去 b 是 这个二 a， 那 就减去一个四 a， 然后 c 是 负三 a， 对 不对啊？就减去三 a， 那 这个式子呢，很显然是等于负三 a， 因为 a 小 于负三 a 就是 大于零， 是吧？所以第四个就很好判断啊。最后一个 e， s 里面多参数多字母的题一样的，咱们把里面这个小 b 换成 a， 小 b 换成 a， 前面是 t 加 a 不 变啊，这边就是 a， t 减去 ab 是 二 a 就 加二 a， 那 后面这个式子呢，咱们可以写成这个 a， t 加 a， 对吧？然后 a 提供一式，我们就可以得到 a 倍的七加一，再乘上七加一，那这样的话，这个七加一就可以写成七加一的平方，很显然，七加一的平方是大于等于零的，再乘上 a， a 是 负数吗？所以这个小于等于零啊，很容易，所以第五个也是正确的。 那么相对于这种题来说啊，就是一个多参数多字母的问题，咱们只需要通过题目给的条件，将里面这些多参数多字母给它转化成一个字母，一个参数，那这样的话就可以得出啊，里面这个每个选项的值啊。所以第十题咱们答案是全对的吧，五个 a。

几何快，代数稳，新定义，还能提智商。 hello， 各位同学们，大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家精讲的是我们幺对幺出三下临模的这道函数压轴题。 这道题目呢，他的这个整体的前面的这个设计还是非常的啊，常规的是吧，就是咱们最近非常流行的这种哎，一个直线和一个抛物线，然后研究线段长度的问题，但是他这个问法特别有意思，我相信不少同学面对这种新型的问法会感觉读不懂 是吧？什么任意 m 大 于七，小于八都存在，巴拉巴拉，使得他都为 m 啊，肯定是被这个条件烦死了是不是？ 哎，好，这种问题，我觉得这个题还是出的非常新颖的啊，那肖老师也希望借助这个视频能教给同学们，如果今年的一模考试，今年的中考考场上，咱们真的碰到一个这种问法，比较陌生的，对吧？哎， 但是同学们应该怎么能破局，我怎么也能够读懂看透，哎，那肖老师重点通过这个视频教给大家这个事情 好，首先就是不管他的问法有多么陌生，那我们还是做任何的函数题，都要先通过埃尼万大法，先画出第一图，因为你不画图，你根本就看不明白他在研究的对象是谁 啊，对不对？好，所以咱们先画图啊，这个抛物线，咱们呢，先画一个开口向上的抛物线，然后他的对称轴应该是二分之三，哎，然后他的这个过圆点，是吧，大概这样式， 然后他说，这个啊，过点 p t 零做一条竖线，然后交抛物线于 m， 哎，然后交直线于 n 啊，这个直线是 y 等于 ax， 所以 当 a 大 于零的时候呢，它就是一个上升的直线啊，过零零好，这个图还是非常好画的， 对不对？这个图画完了之后来跟肖老师来理解一下这个意思啊。好，对于任意的 m 大 于等于七，小于等于八都存在 t， 三大于 t， 二大于 t， 一 大于等于一啊，也就是反正这个我能读出来的就是它这个横坐标得比一大， 是吧？他得在一后面去找。找什么呢？去找相对应的 m n 的 长都为 m 相对应的 m n 的 长都为 m。 哎呀，读不懂，真有点读不懂， 真有点读不懂。同学们，读不懂说明什么？读不懂就说明这道题啊，他的对象可能没，他的对象可能比较多，可能比较复杂。那复杂咱们就得一句话一句话的去看，别急啊，只要复杂，咱们一句，看这句话整体。我虽然读不懂各位同学，但是他研究谁，你读懂了吗？ 他的研究对象是谁？你告诉我这个是不是大家都能看明白？就研究 m n 的 长，你再复杂你也是研究 m n 的 长，有毛病吗？ 没毛病吧，你再复杂你也是研究 m n 的 长，那既然是研究 m n 的 长，那咱们不妨就把 m n 给它表示出来， 行吧，对不对？是字表一切。你让我研究 m n， 那 我就表示 m n， 我 先甭管你研究啥，但是我可以先表示表示 是不是？好，那咱们就把 m n 表示出来。这个呢，大家应该都很熟悉了啊， m n 呢，你可以用 y n 去减 y m， 或者呢，它也可能在后面是 y m 去减 y n， 是 不是都有可能啊？反正就是直线减抛物线或者抛物线减直线，哎，我们就解出来了，这个啊，解析式啊， 这个改成 t 比较好啊，因为横坐标是 t a t 方减三 a t， ok， 这就是 m n 的 一个长度的一个表达式。 那接下来同学们这道题我就不再去需要研究这个图了，对不对？这个图还是有点抽象，我就只需要去研究这个 m n 就 行，对不对？ m n 在 哪呢？ m n 的 解析式就在这里呢，我已经把 m n 清楚地表示出来了，那我表示出来我就去画图， 对不对？有图才能更清楚，所以我就把这个 m n 的 图像给他画出来，哎，他就长这样，是吧？哎，过这个零零啊，应该是过这个零零啊，这个点应该是零，然后这个点呢？应该是四，哎，然后他只研究在 t 大 于一的部分，也就只研究这个绿色部分。 好，那接着同学们你就不用去研究这个图了，对不对？咱们就只需要研究这个图，看看它的 t 跟 m n 到底是什么关系，对吧？好，那跟肖老师解读一下啊。首先， t 是 什么呀？ t 不 就是不同的位置吗？对不对？比如说 t 在 这就是这个 t 一， t 二， t 三， t 四， t 五，是不是？ t 就是 不同的位置，所以他说 t 三大于 t 二大于 t 一， 那说白了不就是有三个位置吗？ 对吧？有三个位置都得怎么了？再看他这个题，说白了不就是有三个位置都得怎么着？ m 的 长都得是 m， 所以现在有点看懂了吧。同学们，有三个位置， m n 的 长度都得是 m， 这是他的第一个要求，所以这个题说白了，第一个要求就是他得满足有三个位置啊，有三个位置， m， n 的 长度都得是 m， 是不是？ m 的 长度都得都得是 m， 都得是这个数，这是第一个要求。哎，那咱们看看，咱们先别着急，再去看这个条件，一个条件一个条件看啊，什么？哪能满足有仨位置 m， n 长度都一样啊？各位同学，你看看，怎么能满足有仨位置， m， n 长度都一样啊， 很简单吧，比如说在这个位置，在这个时刻，这个这个情况下，有仨位置 m， n 长度是一样的吗？那没有啊，这才俩时刻呀，对不对？这是一个 t， 这是一个 t， 那 他俩地啊，不行，对不对？所以你把它动一动，你瞬间就发现了啊，它至少得动到这， 是吧？他至少他得，哎，懂一下啊，他至少他得动动动，动到这，从这往上你看，这才满足在大于一的部分啊，也就是绿色部分，会有三个 t 值能使得啊，有三个 t 值能使得 m n 的 长度都为 m， 是不是？哎，那一直动动动，最多动到哪呢？最多动到这？你看，你再往上动，那就只有一个 t 的 时刻能使得 m n 的 长度，是，它就 m n 长度自己了，对不对？所以但凡现有三个时刻，它的 m、 n 的 长都是一样的，都是 m， 那 它至少得在这个数和这个数之间动， 是不是？哎，咱们就找到了啊，它得在这个地儿和 这个地之间，是不是？哎，这就是他的第一个要求好不？他不只有这一个要求是不是？他还有一个要求，就是任意的 m 大 于七小于八，什么意思啊？ 什么意思？他还有一个要求，这个 m 可不是一个随便的人，是不是？这 m 不是 一个随便的人，也就是他的意思，在七到八之间的所有数都得有三个对应的提值， 七到八间的所有数都得落在这个区域。说白了，你有三个对应的 t 值，不就得落在这个区域才能有三个吗？对不对？也就是七到八间的所有数都得落在这个区域。 那这个题，那咱们就动一动呗，看怎么能符合呗，是吧？同学们，来跟肖老师动一动啊，看看怎么能符合。我先把这个七到八间的区域画出来，让他在这动啊，他都得有三个，那咱们就 你看，现在是这两根线当中的所有人都得有都有三个吗？哎，因为他是这个范围内的所有人啊，所以向老师可以画一个这个，我可以画一个框啊，就这个范围内的所有人都得 这个范围内的所有人都得符合这个事情。哎，就这这区域内的所有线，七到八间的所有线都得符合，这事啊，都得符合这事。那咱们就往里动吧。那你看现在符合吗？ 不符合对不对？咚咚咚咚咚咚咚咚。是不是得让这个七进来，然后八不能出去？ 理解吧，只要让七进到这个第一根蓝线，哎，下面这根蓝线八呢？别出上面这根蓝线是不就行？这样的话，七到八之间的所有线是不是都能有三个时刻得 m 得这个数是不是？哎，这不就行了吗？所以我们就列出来了，就是让七啊，得进去。什么叫进去呢？得比这个下面这根蓝线要高啊。下面这根蓝线是几呢？你可以把一带到解析式那算出来应该是 三 a 的 绝对值啊，也就是说，三 a 的 绝对值小于等于七，同样的，八得不能超过上面这根蓝线，哎，对吧？那这个时候就是让八 得这个大小于等于这个把，这个顶点啊，上面这根蓝线的纵坐标应该是这个顶点的 y 值，那就是把这个二往里带，那就是四 a 的 绝对值，哎，四 a 的 绝对值要大于等于八，嗯， ok， 好， 因为八不能超过这根蓝线吗？所以八得小于等于四 a 的 绝对值。好，这样的话你就解出来了这个题开口向上，开口向下两个答案。 好，来小结一下同学们这道题，其实他的整体的设计的前面的思路还是比较简单的，这个图形啊，是我们比较熟悉的啊，但他的问法确实是比较抽象，比较陌生的。那这个时候来看一看肖老师是怎么看懂的， 哎，再陌生的问法，同学们无非也都是看图说话，是不是？哎，只要你能构造出 m n 的 这个式子，虽然这个问题很长，但你有没有发现，肖老师给他进行一个分拆，我一句一句看这个问题虽然很长，但 m n 我 能看懂啊， m n 就是 这个 w 函数啊，这我能看懂， 对吧？ m n 的 长度我能看懂，然后其次就是 m n 我 看懂之后，然后还有什么意思呢？什么叫 t 三大于 t 二大于 t 一 啊？ t 是 什么？ t 不 就是不同的位置吗？这个位置是 t 一 这个位置 t 二这个位置 t 三这个位置 t 四， t 就是 在不同的位置， 哎，所以你先翻译成这句话，对吧？它有三个位置能使得 m n 长度相等， 对吧？那咱们就先找到这个上下边界了啊，有三个位能使得相等，所以就找到这里和这里，哎，先找到这个好，其次就是只要有三个位置都相等就行吗？ 哎，不是，这还有一个要求，就是他得在任意在七到八之间的所有的 m 值啊，所有的横线都得有三个位置相等， 是吧？所以这道题说白了就是 m 在 七到八之间的所有的这种横线的外值都能有三个相等的时刻，对不对？都能有三个这个 t 的 位置能使它得这个值， m n 的 值， 哎，所以其实按照肖老师这个图的话，说白了就是只要我们这个蓝线这个区域能跟咱们这个绿线的这个这个范围内，哎，能有三个焦点其实就可以了啊，他最终还是变成了找焦点的问题好。 所以同学们，如果今年的一模考试或者今年的中考题当中，我们的代宗如果出现一些，哎呦，这个问法太抽象了，太多字母了，太烦了，怎么办？同学们，分拆 分拆加具象化一定能帮你看明白啊，再陌生的条件，再陌生的柿子，只要咱们分拆着一句句的去看啊，再加上咱们结合图去看，哎，你还是能够清晰的找到思路的。

几何快、代数稳、新定义，还能提智商？ hello， 各位同学们大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家精讲的是我们初三下双提临模的这道函数压轴题啊， 这道题目呢，我们给大家精心设计了一下他的易错点啊，我相信是不是有同学掉坑了，对吧？哎，这里向我是想提醒大家的是什么呢？这道题呢，从整体来看，他的问法上还都是比较常规的，对吧？非常符合咱们今年中考的一个命题趋势以及命题考点。 其次就是我们在里面添加了两处的易错点，也是想给同学们提醒是吧？如果今年中考带中并不是很难啊，很常规，那他一定会给你挖坑，否则他 凭啥叫压轴题对不对？压轴题就是要么有点难度，要么有点易错，是不是？哎，所以这道题我们就想给大家提醒啊，函数题他相比几何而言，思路上可能没有那么难啊，只要大家做好基本的画图，哎，基本的列式子就都能搞定 啊，但是重要的是你能不能 get 到这里面的易错点啊。好，那肖老师来大家挖一挖， ok， 来，首先他说的是 在平面坐标系中，抛物线的对称轴是 x 等于 t 啊，肖老师反复告诉大家，如果你想做函数题不丢分，你一定要做到双控态。什么意思？就是我读到每一个条件啊，我读到每个条件，我都要去画图加 挖柿子，对不对？你既要从图像上去掌控，你也要从柿子上去掌控啊，每个条件咱们都双控。 那肖老师看一下这个抛物线，他说 a 小 于零啊，开口是向下的对吧？这是从图像上去掌控，开口向下，然后他说对称轴是 t 啊，对称轴是 t， 肖老师标上了， ok， 然后我这就是从图条件上去掌控，对不对？那我还能从柿子上啊？ 从式子上，它说对称轴是 t， 那 我不就能得到一个对称轴是负的二 a 分 之 b 吗？也就是能得到一个关于 t 和 a 的 一个关系式， 对不对？那你说 a 小 于零？各位同学，他俩既然是一个关系式，那你 a 的 范围知道，那 t 的 范围知不知道？咱俩是一根绳绳的蚂蚱呀，对不对？同学们， a 的 范围都知道了， t 的 范围还远吗？ a 的 范围都知道了， 那就可以通过关联，那可以求出 t 的 范围啊，更何况同学们这道题他让你求的就是 t 的 范围，所以我猜很多人第一问就是掉价了，对不对？第一问其实挺简单的，但是你们没做对，那为什么呢？因为你们没有注意到这种参数之间的这种关联性 啊，有这个呢，也是肖老师给大家讲的，除了注意参数间的关联性，另外就是前提确认对不对？这个 t 他 有没有前提 t 没有，但 a 有， 对不对？但是 a 和 t 有 关联，所以 t 也有，是不是？哎，所以这就是肖老师给大家讲的五确认当中我们的前提确认，哎，是吧？好， 那所以这道题根据那我这个式子啊，同学们，像这种类型的式子呢？肖老师一般给他起名叫倒三角形的分式，那他是一个倒三角结构，咱们可以做一个分拆，哎，给他分拆成，他除他就得 二，对不对？然后他除他就得 a 分 之一，然后注意前面这个符号，所以就得这个了，那你会很明显的发现，因为 a 是 负的，对吧？因为 a 是 负的，所以这个人就是大于零的啊，小于零的，对不对？这一坨小于零，那这一坨就大于零， 那这坨大于零，它加二呢？是不是大于负二，对吧？所以我们就发现了，原来这个式子它是大于负二的，这就是这个题一个超级无敌重要啊，并且需要同学们去挖出来的一个前提条件 啊。好，然后接着下面题就不拿了，应该到你们的舒适区了，是吧？点 a 负二到外一，我不知道标哪啊，但是其实我知道点 a 是 负二到外，因为咱们的对称轴是大于负二的， 咱们的对称轴是大于负二的，是不是？所以其实我也知道啊，因为这个人大于负二，所以咱们的负二到外一肯定标在轴左， 对吧？然后这个人是 t 加四， t 加四，因为对称轴是 t， 所以 t 加四肯定标在轴右， 对吧？ t 加四肯定标在轴右， ok， 然后他说两个不重合，不重合，其实这里也有一个前提条件啊，不重合，那就说明 t 加四 不等于负二，是吧？也就是 t 不 等于负六，哎，这里也有一个前提啊，且抛物线与 y 轴交于点 c 啊，点 c 零到三，是不是？若 y 一 大于 y 二啊，那就是让 这个点比这个点高呗，对吧？那怎么能让它比它高呢？那说白了就是这个负二啊，我可以把这个人对称过去，是不是？这个的对称点应该是 t 减四啊，你想让 y 一 比 y 二高，那说白了就是这个负二，它得在 t 减四和 t 加四之间，它就能比这个人高了是不是？那肖老师就列一个负二在 t 减四和 t 加四这两个点之间，哎，在 这个点和这个点之间，那就能解出 t 的 范围，再结合我们的前提条件， t 还得大于负二，所以最终答案就是负二到二 啊。好，这就是这道题的第一问啊。第一问，主要就是它这个 t 有 一个隐藏的前提条件，所以希望大家一定要做函数题的时候注意两个点，一个就是同参之间的关联性啊，因为 a 和 t 是 有关联的，所以有了 a 的 范围，那就有 t 的 范围了 啊。其次就是这个也是一个前提确认啊，求替，那我就要看替还有没有隐藏的限制，对吧？挖出前提。好，这是这个题的第一问。嗯， 好，再来跟肖老师看一下这个题的第二问啊。第二问，同学们，估计一看这条件有有一点小蒙，是不是，哎，这问法什么东西啊，什么角加角得九十啊？同学们， 你说说，他给我这种条件，说白了让你干嘛呢？同学们，这条件看起来确实烦，一个函数题怎么给我干个几何条件呀，对不对？真讨厌！ 哎，同学们，你放心，再复杂的几何条件，你也得给我倒成函数条件，我不可能在一个函数题里玩玩这个几何游戏吧，对不对？我不可能在那搞造全等吧，是不是？所以他给你一个角度的关系，说白了就是让你去干嘛？倒角呗， 对不对？你就倒倒角，倒倒角一定能发现一些函数上的一些关系，对不对？比如说相等的边呀，相等的角啊，哎，这样咱们就可以列式子了。好，那咱们看看，一会看看这个题怎么倒啊。 好，先看条件啊，同学们，他说若外一等于外二哦， ok， 现在外一等于外二了，所以这两个点是对称的了，对不对？那他俩对称，那相加除以二就应该得对称轴 啊。他俩，他俩是对称的，所以相加除以二就能得对称轴，所以这样的话，我们就能算出他的对称轴，应该是啊，二，对吧。哎，他俩的对称轴应该是他的对称轴，应该是二，我们就能算出这个 a 的 值了啊，我们就能算出这个 a 的 值了啊。这个对称轴就是他俩相加除以二得 t， 嗯，二分之 t 加四减二等于 t， 我 们能算出啊， t 等于二， t 等于二，那就是负的二 a 分 之 b， 这个式子等于二，就能算出 a 了。所以这个抛物线它是一个确定的抛物线 啊。好，画完确定抛物线，它说 p 为抛物线上一个 bc 之间的一个动点啊，注意前提确认啊。 p 是 这个哎， p 是 这个抛物线 b c 之间的一个动点，是不是？这里注意前提确认，说明这个 p 在 b c 之间动 啊。也就是说这个 m 的 范围应该在零和六，对吧？这个与 s 轴交界，你可以算一下六啊，所以这里也都属于前提条件啊，每个条件都要去挖限制 啊。点 p 的 横坐标在零和六之间，然后他说过点 p 做一条竖线，然后交直线 bc 于 q， 然后交这个人于这个，哎，交距线，然后连接 c p， ok， 连接 c p 来开始标图，同学们 跟着肖老师开始标起来角 c p q 啊，肖老师设这个角是点加角 a b c 啊，它现在点加叉得九十，对吧？那接着倒啊，各位同学， 这个点加这个叉是九十，那我很明显能发现什么呢？我很明显能发现这个角貌似也是点，是不是，对吧？因为点加叉是九十吗？这个三角形也是个直角三角形呀。 好，那坐到这之后呢，还是没发现什么几何体继续标这个角是点，那这个角就也是点啊，因为平行嘛，对不对？这个角也是点，那根据对顶角，这个角也是点，哎，好像发现一些东西了， 对吧？通过这个条件，目前肖老师发现了这俩角都相等，所以 cp 等于 c q， 发现了吗？ cp 等于 c q 发现一个等腰。有同学说，老师啊，这个等腰有什么好用的呀？ 斜着确实不好用啊，你记住，在坐标系当中。同学们，在坐标系当中，斜着的线确实不好玩 啊，我不喜欢斜线。什么是好玩的？横平竖直是最好玩的，对不对？我喜欢的是横平竖直的线，所以我要努力的去构造一些横平竖直的线出来，哎，所以我可以怎么着？ 因为我知道等腰三角形有三线合一的性质，是不是因为等腰三角形的三线合一，所以我可以构造一个横平竖直的线，我可以在这给他 哎，给他嘎一刀， 对吧？哎，在这嘎一刀， 你就会发现啊，这就是一个等腰三角形三线合一了。那如果肖老师啊，如果肖老师设这个点的字母为 e 的 话，啊，那你们很明显发现 这两条边就应该是相等的，是吧？ p e 就 应该等于咱们的 q e， 是 吧？三线合一嘛。接下来呢，只要你把握住了，横平竖直最好算。做出了这个 e 之后，你接下来就是一个纯纯玩坐标的环节了， 对吧？你就从这线上去搞搞坐标，搞出一个等式，你不就能把 m 解出来，那点 p 的 坐标不就搞定了吗？是吧？因为点 p 的 横坐标就是 m m 带到这个解一日就能算出纵坐标，所以其实求 i 写出点 p 的 坐标，说白了就是让你求 m 的 值， 对吧？所以你就需要一个 m 的 等式，所以一定是基于这里的边的关系去得到一个等式。那咱们就搞一搞呗，比如说像这个 p f 的 长是不是很好算呀？ p f 的 长就是把 m， 对 吧？这根线不是 m 吗？带到抛物线解析式就算出来了啊， p f 的 长就是它， 对吧？然后这个 q f 的 长是不是也很好算呀？就是把 m 带到直线解析式就算出 q f 了，对吧？然后我们又知道这个长度应该是三，是吧？咱们又知道这个长度是三， 所以这个 pe 和这个 q e 也很好算，就是用三减 q f 就 行，是不是？哎，那咱们把这 pe 和 q e 也算出来，就是三减 q f， 哎，就得到一个这个，那就每轱辘你都有了，你就列个等式呗，这等式你怎么列都行，对吧？比如说肖老师列的呢，就是说我让他用这个三啊，用这轱辘三， 然后呢？加上这轱辘二分之一 m， 然后等于整个，哎，我就这么列的啊，你怎么列都行啊，我就用的是三，加上那个二分之一啊，三 加上二分之一 m， 然后就等于这整个的啊，等于整个的 p f， 然后你就可以解了，这式子也超级无敌好解啊，解出来两个答案，一个是 m 得零，一个是 m 得二。那个零肯定是不行的啊，因为 m 如果得零的话，它这个时候的点 p 啊，就跑这来了， 对不对？哎，这个时候 c p 就 c p 就 跑这儿来了啊，你都没法形成一个 c p q 这个角了，其实对吧，啊，那就不对啊， ok， 所以 零是不行的，那只能是 m 得二啊， m 出来了，那这个题点 p 的 坐标就出来了。 好，小结一下这个第二问啊，圈一啊圈一，各位同学，这一个条件乍一看真有点吓人对不对？还给我整一个什么角加什么角，得九十。但是我告诉大家，在函数题当中，凡是跟你这种角的关系，你就倒， 肯定就让你倒角的，你就倒，倒，倒肯定能倒出一些边的关系啊，倒出一些边的关系之后，我们基于横平竖直最好玩，那我们基于这个等腰三角形，对不对？咱们做了个三线合一是吧？哎，做了个三线合一，给它弄成横着的，然后就开始玩坐标就可以了。 好，这是圈一。来，再给肖老师看一下这个圈二。嗯，好，圈二呢，这个问题呢，同学们应该还是蛮熟悉的，是不是就是咱们最近非常的流行的这种待几综合的类型啊，也是画图 好，他说将直线 l 向右平，直线 l 就是 随便一根竖线啊，是吧？就跟他说了啊，直线 l 是 在 bc 之间的一根竖线，所以这里还是有那个前提确认 啊，就是 m 必须得在零到六之间啊，因为它在 b c 之间动，也就是说这根线 啊，肖老师，画长一点，用一个粗栏啊，它只能在零到六之间动啊，它只能动到这，从这开始。咚咚咚咚咚咚咚咚咚，只能动到这啊。然后呢，它又说，把它向右平移，三个格啊，它俩之间差三个格。 ok， 这个人是 m， 这个人就是 m 加三，是不是来肖老师标上啊？一个人是 m， 一个人是 m 加三，那他俩就是从这开始这样子去，咚咚咚咚咚咚咚咚咚，最多咚到这，是吧分别啊，肖老师，随便先画一种分别，交 抛物线直线于 m 和 n 啊， ok， 刚才呢，是交于的是 p q 是 吧？刚才这个是 p q 啊，一定要看准了这个字母。同学们，有的时候他就喜欢在这跟你玩点字母游戏，是吧，一定要看准了这个是交抛物线于 m 啊，交这个人于 n， 好，然后他说，当四边形 p q n， m 的 面积啊， p q n m， ok， 就是 这个图形啊，这个图形的面积。 好，这个图形的面积。他说呢，随着 s 随着 m 的 增大而增大的时候，求它的曲值范围。 ok， 那 既然你跟我玩面积，那我就先搞这个图形呗。 那有同学可能会纠结，老师，这个图形一定长这样吗？有没有可能会有多种情况呢？那你怎么能知道它到底有几种？同学们，你怎么能知道到底有几种情况？ 那就是一招全面、细致、有序动啊，你只要动，你就能知道。 所以这道题我们就动起来看啊，就把这两根线动起来，我们会发现，他俩从这开始动， 那都是长成这样，是不是？嘚嘚嘚，你看，都是长成这样的一个梯形，是不是都是现在的这样一个梯形？梯形，梯形，梯形，梯形，都是这样的一个梯形啊，都是这样的梯形，直到他跨过这，哎，好像稍微有点改变了，对不对？哎， 到就这个，因为感觉拧了一下，对不对？哎，等会咱们可以画一下啊，这是第二种，那后面咚咚咚咚，那就都长这样。所以这个题通过效应有系统会发现，就两种，要么长成这样，要么过了这就拧一下，对不对？所以这个题就两种情况，要么就长成这样，要么到过了这之后拧一下， 后面就都长一样了，是不是？所以你看，只要你有序动，你根本不担心这个题漏。情况好，那咱们就先做这个第一种，好吧，同学们，哎，咱们就先做这个第一种啊，那肖老师把我这个丑图挪到挪，挪走啊，我把那个美丽的图像挪过来，哎， 我把这个美丽的图像挪一挪啊，这个图好，就是这样的一个梯形，对吗？家人们，哎，就是这样一个梯形，那咱们就先写这种情况啊，注意，只要分类讨论了，一定要先写前提条件。同学们啊，一定要先写前提条件， 所以咱们先列前提啊，就是当这个啊， m 和 m 加三这两根线都没越过，这的时候，对不对？都在零到六之间是吧？当 m 和 m 加三都在零到六之间，那这个时候咱们解得 m 的 范围， 哎，然后这个时候呢，因为这是个梯形，那梯形的话，咱们怎么表示面积呢？就应该是上底 加下底乘以高啊，这个高你们能看出来它就是三，看见了吧，这个高就是三啊，上底加下底乘高除以二啊。那首先咱们得先算算，上底 就是咱们的 m n， 是 吧？哎，肖老师在这上的算的上底，那就是用它减它啊，把 m 加三带到抛物线解析式，把 m 加三带到直线解析式，做叉，哎，就能得到这个数字，是吧？对，这个数，这个数， 然后下底就是咱们的 p q 啊，那就是把 p 带到 m 带到抛物线解析式，把 q 带到直线解析式啊，就能算出咱们的下底， 那咱们就可以直接玩式子啦，上底加下底乘高除以二是吧？把上底嘚往里一带，把下底嘚往里一带，然后高是三啊，然后把这个式子整理一下， 整理一下，哎，得到一个这个式子，那这个式子你要想找他什么时候最大家人们，那这个式子是一个开口向 下的抛物线，是不是他的对称轴是二分之三啊？那注意范围啊，人家就研究咱们这个情况，就研究零到三，那他在零到三的时候，什么时候能一直在增大呢？ 什么时候你在增大呢？那肯定就是嘚嘚嘚嘚，零到二分之三，是不是做一个取等确认啊？二分之三是可以取等的。嗯， 这就是第一种情况是吧？哎，好，再来看咱们的第二种。就刚才向老师说那拧麻花了，他转过，他过了啊，当他们这个 m n 过了六之后，他就拧了一下，你很明显发现拧了一下，对不对？ 有同学可能会感觉啊，拧了一下怎么了？拧了一下，这图形也没变呀，还是上你家下底乘高除以二啊。 是的，你不仔细看，他确实没变，但是你仔细看一下，因为他那个抛物线和直线发生了一个反转，所以 m 和 n 的 这个位置发生了反转，所以这个时候他的四边形是什么？四边形 是 p q m n 啊，就已经不是 p q m 了啊，是 p q m n 了啊，各位同学，是 p q m n 了啊，我告诉大家，所以这个时候也要注意哦，这个情况就是算都不用算，直接宣布他不合体了，肖老师出的善不善良啊，根本就不用你算了啊，有同学可能会说，这么阴哎，确实啊， 这个呢，首先，他不是一个什么阴间的考点啊，他虽然在函数题当中讲实话考的不是非常多，但是他是新定义问题的常客啊，所以这个就提醒大家这个考点。其次，肖老师也想提醒大家对字母的严谨性 啊，我是希望通过这么阴的一个设计，让大家能够感受到精读的重要性啊，因为说实话，如果今年中考考的并不难，那咱们怎么能跟别人拉开差距？ 那不就是因为咱们比别人看的更仔细吗？对不对？咱们比别人讨论的更全，咱们别人看的更仔细更精读，是不是那咱们就能跟别人拉开差距？ 所以，凡是做到这道题的同学，肖老师希望通过这个题提醒你，今年中考做题啊，一定要有火眼金睛啊，每个字每个条件都要当成珍宝仔细去看啊，你一定能拉开跟别人的优势。

方法，看到孤立的直角构造三垂直模型，所以哪个角是直？是直角角 e 这边是九十度，他听不懂说的吗？过 e 做什么？往下做个竖线，这个就是三垂直，这个是 m， 这个是 a。 我 上节，我上节还还讲过一个问题，当遇到这种直角的时候，做三垂直的时候肯定出出什么，我们现在没有学过什么，没有学过相似，他 b 出选哪？ 所以这个地方，这个地方是四四十五度，懂的吗？用角面，角面四十五度，所以三角形 a， d， e 是 等腰，三角形 等腰之后边就会相等， a， e 等于 a， 结等于 d 之后，所以三角形 a， n 就 变成了 e， b 全等。我要求点 e 的 坐标嘛，所以设 e 点坐标是多少？ 是不是 m？ m， 这个长度是 m， 它这个相当于横坐标，这中头是 m， m， 所以 m 点坐标是不是 m？ m， 因为 o， e 是 什么函数？正弦函数 y 等于 k， x 把 m 往里面带 mk 对 y 就 等于 x。

hello， 各位同学，大家好，我是数学习老师，今天我们一起来看一下刚刚考过的天桥区的一模的几个压轴题。我们先看第九题，已知 ab 是 五， a、 c 是 三，三角形 a、 b、 c 的 面积是七点二， 做了两条线，第一条线是 b、 a、 c 这个角的角平行线，第二条 m、 n 是 a 的 垂直平行线。 让我们求 b 的 f 的 面积，那么出现面积问题呢？两个想法，第一个，如果相似的话，面积比等于相似比的平方，那第二个，如果两个三角形同高的话，我们可以转换为底的比，或者同底的话，我们把三角形转换为 这个高的比，那我们去分析这个题。首先 a 的是角平分线，然后给了 a、 b 和 a、 c 的 长度，那么自然而然的想到角平分的性质，角平分线上的点到角两边的距离应该是相等的，所以我选择的点 往两条边上做垂线，这两个垂线的距离是相等的，那么 ab 的 的面积我们去表示一下。三角形 ab 的 它的面积是二分之一，乘以这个 ab， 再乘以高，高是小 h。 三角形 a、 c 的 面积呢，是二分之一，乘以 a、 c 乘以小 h， 那 角平分线上的点和角两边的距离相等，所以两个小 h 是 相等的，那么这两个三角的面积比其实就等于底的比，所以三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 它们的面积之比就是五比三。那么我们先去把三角形 a、 b、 d 的 面积求解出来， 五比三一共八份，它占五份，所以是八分之五，乘以这个七点二，我们就可以求解出 ab 的 面积，那么在这里 ab 的 求解的应该是四点五。好，我们求出 ab 的 来，然后再去求 b 的 f， b 的 f。 那么要注意，我们做的第二条线叫做垂直平分线啊， f 是 a 的 中点啊，我们中线有一个性质啊，中线把三角形分成面积相等的两部分，比如说 b 的 f 和这个 b f a 这两个三角形的面积应该是相等的啊，为啥？因为它们的底是一样的，高的话都是相同的啊，所以底是 相等的，高是相同的，面积是相等的，所以 b 的 f 的 面积再用四点五乘二分之一即可啊。最终答案，二点二五，选择 a 选项。这是第九题，考察了角平面和垂直平面以及面积的转换。我们看第十题， 已知一次函数 y 等于 k， x 加 b， 然后抛物线是 y 等于 a， x， 前几个圈是比较好处理的啊，前三个圈 首先开口向上， a 是 大于零的，然后一次函数 y 轴交在正半轴， b 也是大于零的，所以 a 乘 b 是 大于零的，圈一没问题，圈二 x 大 于零时， 因此函数和抛物线都是随着 x 增大而增大的。没问题啊，我们看增减性就可以了。当 x 大 于零，也就是说 y 轴右侧的图像都是 y 随 x 的 增大而增大 啊，所以这个圈二应该也是正确的。我们看圈三， a 点的横坐标是负二， b 点的横坐标是三， y 二大于 y 一， y 二大于一，说明抛物线在这个 一次函数的上面啊，很明显，在 a 和 b 之间的时候，应该是 y 一 是大于 y， 二的直线是在抛物线的上方的，所以圈三是错误的。 看圈四 o a b 三角形可能是等边三角形 o a b， 那 我们去看一看 a 点坐标，横坐标是负二重坐标带入到 后线的表达式里边就是负二都好，四 a， 那 么 b 点 横坐标是三纵坐标代入到表达式里边就是九 a， 那 么 o a 我 们表示出来应该是根号下负二的平方加上四 a 的 平方啊。两点之间距离公式或者勾股定律。 o b 我 们表示出来应该是根号下三的平方加上九 a 的 平方啊。如果是等边的话，跟三条边都相等， 假设一下 o a 和 o b 相等，如果 o a 和 o b 相等，就会出现根号下的负二的平方加上四 a 的 平方等于三的平方加上九 a 的 平方。那么化简这个十字可以得到， 我画的是六十五 a 方等于负五啊，一个数的平方是等于负的，显然不存在啊，所以圈四不可能是等边三就行， 那么重点我们看圈五圈五。其实这个题啊出的比较有意思，那么常规来说的话，就是两个函数比较大小，但它的这里是 加 k x 啊，加 k x， 我 们如果移到左边来的话，是 a x 方小于负 k x 加 b 啊，但这里给的是 k x 加 b， 所以 用常规的比较大小是做不了这个题的。做不了的话，那我们想到的想法其实叫削圆嘛，削圆我看看能不能找到 a k 和 b 之间的关系。那如何找？根据条件，刚才我们得到 a 点坐标应该是负二逗号 四 a， 然后 b 点坐标是三逗号九 a， 这是 a 点和 b 点的坐标 啊。然后我们代入一次函数，把这两个点代入一次函数啊，代入一次函数，第一个就是负二 k 加 b 等于四 a， 我 们找一下 k a b 之间的关系啊，然后三 k 加 b 是 等于九 a 两个式的减 二减一得到五 k 等于五 a， 所以 k 是 等于 a 的 啊， k 是 等于 a 的， 把 k 再代入之后，就可以得到 b 是 等于六 a 的 啊，所以我们得到了 k 等于 a， b 等于六 a， 这时我们可以进行消圆了。那这个式子呢？我们可以化简成 a， x 方加上 a， x 小 于六 a， 因为 a 是 大于零的，所以我们可以两边同时除掉 a， 得到 x 方，加上 x 小于六啊，也就是说移过来之后啊，变成 x 加三乘以 x 减二十的相乘啊，小于零啊。这其实有一点高中的这个一元二次不等式的想法，当然初中也可以去求减吧，两个根分别是负三和二。找 其实就是 y 等于它嘛，找 y 小 于零的部分，就是找 x 头下方的这一块，那么对应的 x 的 值应该就是从负三到二之间啊。有一点高中的解因二次不等式，但是也是可以做的啊，这是选择题的两个。 好，那我们再看填空题，填空题前四个还是比较常规的，我们看十五题，其实十五题这个题啊，嗯，我感觉这个题最好的方法呢，其实就是间隙啊，我们用间隙处理这个题，我们看一下 用这个函数的问题去处理几何，往往会得到。嗯， 不一样的想法啊。来，我们看题，已知 b， e 是 三分之二，然后边长是一，那么这里是三分之一啊，一般给了边长的这种题啊，我们能求解时间隙会非常快，不用几何的弯弯绕绕，他求的是这道 ab 的 距离，那如果我 建立平面坐标系的话，大家去思考，那么其实就是求这点的横坐标嘛，我只需要把这点的坐标求出来就结束了。那么 e 点坐标是可以直接写的， e 点坐标是零度号三分之二， 然后 c 点的坐标是一度或零。那首首先呢，我求 e c 的 k 啊， e c 的 解式代入两个点之后，得到 e c 的 表达式为 y 的 负的三分之二， x 加三分之二， 所以 e c 的 k 是 负三分之二嘛，让我研究这一点，那么 g 我 连接这个相当于原点啊， 我们折叠的性质，折痕是垂直平分对应点的连线的，所以 b g 和 ec 是 垂直的啊，并且这个点呢，其实就是 b g 的 终点啊， b g 的 终点，那我们先去求 b g 的 表达式啊，因为两条线垂直， k 值相乘得负一，所以 b g 的 k 直接得到啊，应该是二分之三，所以 y 等于负三分之二， x 加三分之二，它的连理，我想要找一找这个焦点的坐标啊，啊，这样我们得到这个焦点啊，焦点给个点 h 吧， 连理之后会出现 h 点的坐标啊，这样我指求的横坐标， h 的 横坐标应该是十三分之四 啊，那么 h b 和 g 呢，就是中点嘛，其实 b 是 零多少，零的话直接乘以二就是 g 点的坐标， g 点的横坐标嘛， g 点横坐标应该是十三分之八，所以 g 到 ab 的 距离，这个 g 的 横坐标，其实就是这个十三分之八，就是这个十五题啊， 补充一个间隙的想法，求解式，大家去思考一下啊。好，那我们看后三个压轴题， 反比例函数考得比较创新，这个题难度也不是很大，主要就是四十五度的处理方法，或者是等腰直角三角形的处理方法。嗯，来我们一起来看。给了一个定义， 说，对于平面坐标系中 m 和 p 点，若 p 绕 m 顺时针转 r 法得到了是点 q， 那 么乘 q 为 p 绕 m 旋转 r 法的正选点，特别的 r 法等于九十度的时候，正垂选点好， 已知 m 点的坐标是二度号零，那我们找一个二度号零，假设在这里 m 点二度零， p 点坐标是四度零， p 点是四度零，说 p 绕着 m 正，哎，陀机正垂选点嘛，那就顺时针旋转九十度，得到了这个点啊，问一下这个点的坐标 啊。那么第一问还是很简单的，我们直接套进去定义就解出来了，这个点应该是二度和负二嘛。然后说 p 绕着 m 转六十度， p 绕着 m 转六十度 转六十度，之后等边三角形，等边三角形，其实我们就求一下这个高嘛，这个还是二，这里就是一根三，所以它的横坐标现在是三，纵坐标是负根三，那么这个点的坐标三逗号负根三啊。第一位还是相对来说， 嗯，比较仁慈的，看第二位，已知 y 点坐标零，逗号三， b 点坐标是一，逗号零，可以直接求解。 比如图一， c 是 该直线上一个点， c 绕 b 旋转旋转之后的正选正垂点，横坐标是六，求 c 点坐标啊，大家不要被它唬住。那么其实还是转之后呢，是一个等腰直角三角形嘛，等腰直角三角形，我们就三垂直。处理 好，那我们 c 假设在这里绕着 b 旋转九，顺时针转九十度嘛，转到点 c， 说 c 的 横坐标是六啊， c 的 横坐标是六，哎，其实就是转了一个等腰直角三角形，那么等腰直角三角形，我们处理方法就是去造三垂直啊，造三垂直之后会得到这个三角形啊，是这样的啊， c d c d 做到 x 这个三角形和这个三角形，它俩是啊，全等的啊，千万不要把 c 搞到特殊的点啊，不要把它当成 a 点去算。那这样我们把这个这个点的坐标 啊，设一，设它在这个直线上嘛，在直线上，那我们就设成负三 x 加三，我们就设成啊， a 逗号负三， a 加三 啊，然后我们找一下对应边，嗯，这个长度应该是负三 a 加三，那么这个长度对应的就是负三， a 加三 好，给的条件叫做 c 点的横坐标是六嘛，我们看怎么去用它啊。这个长度是负三 a 加三，这个长度 b 点的坐标，刚才我们求了是一对零嘛，所以这时候就会产生这个一加上负三， a 加三是等于这个横坐标六的。 哎，这样解方程我们就可以把这个小 a 的 这个数值解出来了啊，小 a 数值 那解的是负三分之二，负三分之二啊，所以这个负三分之二都毫无啊，其实就是给了一个新定义，它的处理方法还是按照等腰直角三角形去处理啊，难度不大。来看。第二问 说，若直线上动点 c， 关于 b 的 正弦点 e， 恰巧落到这个反比函数图像 y 等于 x 二上 a。 好啊，假设 e 在 这里，然后绕着 b 点，绕着 b 点转九十啊，转到这里我画一下。 嗯，这样的啊，假设 c 在 这里，然后 e 做到了半径上，那么还是出现了等腰直角，等腰直角我们立马去做三垂直， 那可以得到这个三角形和这个三角形，它俩是全等的。这时候呢，我们还是设 c 点坐标， c 点坐标为 a， 逗号负三。 a 加三的话 啊，我们找对应边相等，这个长度是负三， a 加三嘛，那这个长度也是负三 a 加三，所以现在 e 点的横坐标可以。是啊， 因为前面 b 点坐标， e 点是不变的啊，就一加上这个负三， a 加三 就是四减三， a 纵坐标找这个长度，这个长度应该是一减 a， 所以 纵坐标是一减 a， 那 么 e 点是在反比例函数 y 等于 x 分 之二的，所以我直接把 e 点代入到反比例里面，就可以得到四减三。 a 其实就是横坐标乘纵坐标等于这个 k 了，这样可以求得 a 的 值啊。这样解出来， a 是 等于二或三分之一的， 所以 c 点两个坐标代入之后， c 点坐标是三分之一逗号二或者是二逗号负三，这是它的两个值啊。 好，我们看最后一问，最后一问看着很唬人，但是做起来的确是很顺的啊，还是一个四十五度角的处理方法，包括这个二次函数也是考的这个角的处理方法来，如图三。小明发现在 y 等于负 x 方加二， x 加三上有 第一项线啊，有一点 p， 说啥呢？说 p a b 这个角是四十五度， p a b 四十五度。 好， p a b 这个角是四十五度。呃，问一下 b 点是否为点 p， 关于点 a 旋转四十五度的正弦点，那这个角是四十五度了，是吧？我们只需要判断，判断什么呢？判断，判断是不是转过来？转过来的意思是不是 ab 是 否和这个 ap 是 相等的啊？如果相等的话，那么 ap 转过来就是 ab 了，如果不相等的话，那转过来就不是 ab 了。 所以呢，这个题其实就求 b 点坐标啊。 p 点坐标，求出 p 点坐标来，就能求 a p 的 长度吗？那如何求 p 点坐标？用好四十五度。我看考试的时候，很多同学还是乱做垂直啊，很多同学 p 往 ab 上做垂直啊，是能算，但得算半天啊。 那我们四十五度包括角的处理方法叫做让已知点为直角去做啊。这个 b a p 是 四十五度，所以我过 b 点去做 ab 的 垂线。关于这个四十五度角啊，我们考了好好多个题都出现过了啊，包括这个历下区 啊，还有二五年的中考题都是考的这个四十五度角。哎，这时候延长 ap， 延长 ap 啊，延长过来 交于点 m 对 点 m， 那 么出现等腰直角来做三垂直，做三垂直之后，这个三角形和这个三角形它俩是 全等的。嗯，全等之后，这里是三，这里是一，所以这里是三，这里是一，所以立马出来点 m 的 坐标。四，逗号一嘛， m 点和 a 点， a 点是零的，和三就可以算 am 的 表达式了。 am 的 表达式去和抛物线 y 等于负 x 方加二， x 加三连力，连力之后就能得到 p 点的坐标，这就是我们的思路。得到 p 点坐标之后，我们去算这个 a p 的 长度，看和 ab 是 不是相等就可以了。嗯，这样我直接看啊，说一下结果啊，这个 a m， 它的解析式是， y 等于负二分之一， x 加三， 负二分之一 x 加三啊，求出 p 点坐标来，为二分之五，逗号四分之七，二分之五，逗号四分之七 啊。 ab 的 长度两点之间距离公式或勾股定律算是跟十，那么 ap 的 长度当我们求出来坐标之后，用两点之间距离公式也可以去算，叫做四分之五跟五。哎，这样发现 ab 和 ap 并不相等，所以它不是它转过来的正确点啊， 还是一个四十五度角的处理方法，以及等腰直角三角形的处理方法啊。啊，等腰直角就够构造三垂直，然后四十五度呢，就多一步，让已知点为直角，先出现直角，三角形出现了，等腰直角三角形之后再去造三垂直，这样就能解题了，这是这个反比例。 好，我们看这个二次函数，二次函数这个题来说的话，难度也不大啊。 来第一问，第一问，直接把 a 点和 b 点带进去求解式就可以了啊。嗯，第一问求的解式是 y 等于 x 方减二， x 减三哈， c 点坐标就零多少负三了。第二问， 说抛物线上点 p 和 c 之间的部分为图像 j， j 的 最高点和最低点的纵坐标之差为八， 纵坐标之差为八，求 m 的 值啊， m 应该就是 p 点的坐标啊， p 点的横坐标，那我们去思考思考啊，这个 p 和 c 如果都在对称轴或者 y 轴左侧的话， 哎， c 是 定的啊， p 如果在 c 或者在外轴左侧的话， 纵坐标之差是八吗？这很好用啊，就设出坐标来，一减等于八，解决问题。好，那就分两种情况讨论吧。第一种情况， p 在 外轴左侧， 那么 p 点坐标，我们设 m 逗号， m 方减二， m 减三，那这时候呢 啊，就会纵坐标相减嘛。纵坐标之差就是 p 点的纵坐标 m 方减二， m 减三，减去 c 点的纵坐标， c 点的纵坐标应该是负三吧，一减等于八，减 m 的 值就可以了。让我算出来 m 等于四或负二， 当然在 y 轴左侧的话，把四折掉，保留负二。那第二种情况，当 p 在 y 轴右侧啊，在 y 轴右侧，在这边肯定纵坐标之差不能是八了，那就在这边了。哎，这里是这个题的关键点啊，刚才 p 和 c 就是两个端点，但是它说的是图像 g 的 最高点和最低点，这个题出错点就在这里。当 p 在 y 轴右侧的时候，最高点是 p 没有问题，但是最低点不是 c 了啊，这就是图像 g 了， 图像 g 的 最低点变成了这个顶点，一对号负四。所以第二种情况，当屁在外轴右侧的时候，我们的减应该是纵坐标 m 方减二， m 减三，不能再减这个负三了，而是减这个负四是等于八的。 哎，这是这个出错点啊，最低点要看好此时不是 c 点了啊，这样减 m 的 值就行了。我减的 m 等于一减二跟二，或者一加二跟二啊，就是把一减二跟二舍掉，因为在右侧嘛，保留一加二跟二即可，这是第二位。 嗯，右侧的时候啊，一定想好这个出错很多。好，那我们看这个 最后一位 说 p 还是抛物线上的点啊，连接 b p c p b c， 若 b c p 的 内角 p b c 或 p c b 中至少有一个角和 b a c 这个角相等啊，要注意， b a c 这个角比较特殊， b a c 我 们直接能求出它的碳值来。 b、 a、 c 这个角的碳值就是三比一嘛，它的碳值是三的一个角，那么有碳值一般就转化为边了。 这个题的意思就是让我们找一个探直等于三的角啊，探直等于三，好，那 p 还是从左往右动 p， 假设在左边的时候，连接 b p b p， 再连接 c p c p， 再连接 b z 眼睛 b c。 好， 注意，我们要讨论 p b、 c 这个角和 p c b 这个角， 至少有一个角和 b a、 c 这个角相等。那很明显啊，如果在这里的话，这个角和这个 b、 a、 c 是 不相等的 啊，因为这个 b、 a 和 b c 的 长度不相等吧。 b a 的 长度是四， b、 c 的 长度是三根二，所以这个角不能和它相等。那这个题的意思就是在左边的时候， 让我们找一个角， p b、 c 的 探值是三吗？好，现在知道这个 p、 b、 c 这个角的探值是三了，让我们去求 p 点坐标啊。那么出现探值，我们的想法还是把这个 角放到直角三角形中。那我放到直角三角形中，那么做法还是让已知点为直角，已知点为直角，去做一个直角三角形。那么这里 c 知道，我不妨让 c 为直角了啊。来过 c 去做 b c 的 垂线 延长 b p 延长 b p 啊，交于点。 嗯，看这时候呢，我们就把这个 角的问题转化为边的问题了。现在就是 n c 比上 b c 等于三嘛，因为这个角的探值是一比三嘛。好，出现这个之后呢，我们去造三，垂直了，又开始啊，直角造三，垂直 三之后，这个三角形和这个三角形它俩是相似的， 相似之后这个边是三，那这个边是三啊，因为坐标都是知道的，相似比就是三比一，这是九，这也是九， 然后就可以得到 n 点坐标了， n 点坐标就是负九，逗号六， n 点知道， b 点知道，那就可以去求解析式了， 求出解析式来之后和抛物线连力就是我们要的第一个点。 p 的 坐标，嗯，这是 p 在 这边的时候啊，是这个角，它的弹值是在这个 p b c。 好， 我们再看第二种情况，当 p 在 右边的时候啊，我们去划一划，看哪种情况合适。 p 在 这里的时候，连接 p b c， p b c。 嗯，很明显，钝角嘛，会和这个角相等，好再去换换位置啊，如果往上跑的话，这个角会越来越大嘛。啊，我们试一试啊， 如果 p 点往上跑，连接 p b， p c b c， 是 吧？始终是个钝角三角形，所以往上跑的时候是不可以的。那动态问题嘛，一定多去画一画动静的路径啊。那我 p 在 下面， 那此时呢？ p c b， 它的探值是三啊，它探值是三啊，看怎么出力，还是出现角，让已知点为直角，去 找直角三角形在这里，还是让 b 为直角，过 b 做 bc 的 垂线， 这里直角，然后延长 cp 交于点 m， 那 此时这个角的探值是三的话，我们又把这个 角的问题转化为变的问题了。现在 bm 比上 bc 就是 三了， bm 比 bc 是 三，这时候呢，我们还是去造三垂直啊。 m 造上来 倒出来之后，两个三角形相似，这个三角形和这三角形相似啊，相似比，其实就是这个角的弹值就是三比一，嗯，这是三，这是三，这就是六，这也是六， 这是九，三比一嘛，乘三再乘三，这是九，所以这个点的坐标就出来了啊，这个点的坐标应该就是十二逗号负九，这个点坐标知道， c 点坐标知道，又可以去求解式了。求解式来和炮舰连力，即为我们求的第二个点。 p 好了，这是二次函数啊，去和反比例函数结合着去学。关于角的处理方法，无论出现四十五度啊，还是出现这种探直知道的角，我们的想法都是让以这列为直角去 找三垂直啊，找到三垂直了之后，我们就可以正常的求解了。好，那我们看这个几何压轴几何压轴题，其实考的一些全等的构造，这个题考的啊，思路还是比较顺畅的啊。来，我们看一下题， 已知 b、 a、 c 这个角是六十度， b、 a、 c 这个角是六十度， 然后说，说了几个想法啊，说几个想法之后呢，让我们根据小涛的思路，求一下 b、 a、 e 的 度数，并且探索 a、 b、 a、 e 和 a 得之间的关系。咱们看小涛的想法， 小托这样说的，说， b、 a、 c 是 六十度，在图二中，在 a 得上截取 af， 使得 af 等于 ab， 那 么 abf， 它就变成了一个等边三角形啊，然后 b 得 绕着 b 旋转，六十度到 b、 e， 那 b 得 e 其实也是一个等边三角形。基础的手拉手全等嘛，手拉手全等之后，会产生这个三角形和这个三角形，它俩是全等的，也说无论得怎么动。嗯， 你截取了 f， 使得 a， f 等于 ab， 那 么 abf 必然是等边三角形，这个角一定是六十度，那么这个角一定是一百二十度，所以这个角一定是一百二十度，所以 b a e 的 度数就一百二十度。然后问我们， ab， ab 等于谁呢？ ab 是 等于 af 的， 因为等边三角形嘛， a e， a e 是 等于 f 的 啊，因为是全等吧，它俩加起来是等于 a 得的。哎，这个结论就证出来了。 好，往下看。说，李老师为了帮助当 a 的 小于 ab 的 时候， a 的 小于 ab 的 时候，让我们证明 a 的 加上 a e， a 的 加上 a e 等于两倍的 a j。 那 其实我们去想前一问的思路嘛，两倍的 a g。 那 么结合上一问的思路的话，我还是在这里截取一块啊， 或者是呢，这个这个 f 点啊，和刚才一样，我让 a f 等于 ab， 那 么 abf 是 不是就是一个等边三角形了？然后根据三角合一，现在 a f 就是 两倍的 a g 了。嗯，那我们只需要证明 a 得加上 a e 等于这个 a f 就 可以了。哎，截取等边之后呢，又会产生全等啊，两个三角形手拉手的全等， a， e 是 等于得 f 的 啊，这样 a 得加上得 f 是 等于 a f 的， a f 正好是两倍的 a 几。这题就整完了啊，思路比较简单，看第三问，如图四、在 e 的 条件下连接得 e， 在 e 的 条件下， 嗯，在一的条件下去连接了得 e， 然后过 b 做了 a 的 垂，过 b 做 b m 垂直于 a 的 线段，得 e 中点为 n， a， b 是 四 m， n 是 根。三，求一下 a b 得 e 四边形的面积。四边形面积一般来说的话，首先思路啊，拆成三角形的面积，我们可以拆成左右 a b e 和得 e b 的 这个三角形，也可以拆成上下 a e d 和 b a d。 那 对于这个题来说哈，首先想思路应该就拆成上下两个三角形了，因为 b m 这个高毕竟给我们做出来了，并且这里是六十度嘛，六十度 a m 就 等于二， 然后 b m 就 等于二根三，这是一致的条件啊， b m 是 等于二根三的， 然后重点就求这个底，求 a 的 长度，以及求上面这个高。嗯，咱们去思考条件是啥呢？条件是 n 是 得 e 的 终点， n 是 得 e 的 终点，嗯，这是条件好，并且 b 得 e 是 一个等边三角形，因为条件中说了， b 得旋转六十度，到了 b e 好 连接 b n， 哎，这时候我们会观察到一个相似啊，首先看一看这个相似，我说这个三角形和这个三角形，它俩是相似的啊，因为 a b 比上 b m 啊，我就不分由利化了啊，是二比根三嘛，这个 e b 比上 n， b 也是二比根三，因为两个六十度嘛，嗯，六十度，这也是六十度， 一比根三比二嘛，是吧，并且夹角都是三十度，减去一个 e b m， 所以 两个三角形相似的相似。比，就这个二比根三，那么 m n 等于根三，其实就让我们求 a e 了， a e 就是 二啊，因为相似比是二比根三嘛， a 是 二。第一位我们求解的 b a e 的 度数是一百二十度，嗯，一百二十度，这是六十度，这里就是六十度。哎，这个 e a c 这个角就是六十度。上面的高，我们也求解出来了， 上面这个高，我们看一下啊，做个垂线就求出来了，上面这个高， 你这是二，这就是，这是二，这是一，这是根三。哎，上面的高是根三啊，下面的高是刚才求的二根三。好，我们现在的重点就是求这个 a 的 了。 嗯，求 a 的， 来，结合着刚才我们的想法啊，结合刚才我们的想法，我在这里还是找那个等边三就行。找这个 f 点， 这个长度是四吗？这个长度是四啊，因为我截取了 a f 等于 ab 啊， abf 还是等边三角形，这个长度是四，然后我们看看有没有全等。哎，我们会发现 a、 b、 e 这个三角形和 a、 f 得这个三角形还是全等的啊。因为 a、 b、 f 等边，那么 b a 等于 b f， b e 等于 b 得啊，并且夹角相等，它俩全等，这是二，这就是二，所以 a 的 长度就是六， 那这个面积就出来了，上面的面积就是根三乘以六乘以二分之一，加上下边的面积应该是二，根三乘以六乘以二分之一啊，加起来就这四面形面积。整体来说的话呢，就是考察这个， 呃，条件的应用啊，条件的应用之后呢，一些全等的构造，因为都给了思路了，相对来说的话不是很难，想按照他这个思路去造就可以了啊。