张宇基础30讲单调有界准则

今天我们来说一说极限存在的两个重要准则，夹逼准则和单调有界准则。然后呢，我们会用这两个准则去推导两个非常重要的极限公式。没错，这两个准则和这两个极限在高等数学里非常基础的。 对，那我们就直接开始吧。我们先来说说极限存在准则的核心定义。其实之前我们在求极限的时候，好像都默认这个极限是存在的，对不对？是的， 我们前面学的极限的概念性质以及有理运算法则，确实都是建立在极限存在的前提下的。嗯， 但是在真正做题的时候，你拿到一个极限的表达式，你首先要关心的就是它到底有没有极限。没错， 这个时候就需要用到极限的存在准则了。那极限的存在准则具体是怎么帮我们判断极限是否存在的？它其实是有两个很重要的准则，一个是单调有界准则， 这两个准则就是我们判断极限是否存在的最基本的工具。那夹逼准则和单调友这准则该怎么理解呢？夹逼准则，你可以想象成三个人在赛跑， 嗯，这三个人始终在一条线上跑，中间的人被两边的人夹着，然后两边的人最后都跑到了同一个终点，那中间的人不管他怎么跑， 它最后也只能是跑到这个终点。哇，这个比喻真的好形象啊，一下就明白了。假比准则对应的数学描述就是，如果有三个竖列或者是函数满足 x 小 于等于 f， x 小 于等于 h x， 然后当 x 趋近于某个值的时候， 这个和 h x 的 极限都是同一个常数 a， 那 中间这个 f x 的 极限也一定是 a。 明白了，那单调有界准则呢？单调有界准则可以想象成你在爬一个楼梯，嗯，你要么就是一直往上爬，但是楼梯有一个最高的高度， 那你最后肯定就停在某一个不超过这个上限的位置。对，要么就是你一直往下走，但是楼梯有一个最低点， 那你最后也只能停在某一个不低于这个下限的地方哦。所以，单调有界准则就是说，竖列必须要满足单调和有界这两个条件，才能保证它的极限是存在的，是吗？对的，对的，单调递增且有上界的竖列，或者单调递减且有下界的竖列， 才一定是有极限的。没错，这两个条件，单调和有界是缺一不可的，如果缺了其中任何一个，我们都不能说这个极限是存在的。 ok， 紧接着我们要拆解的就是这两个准则在考试当中的一些出题点。嗯，夹逼准则在使用的时候，最关键的有哪些地方？夹逼准则其实有两个特别容易考的地方。第一个呢，就是你要能够找到两个函数，把你要求的目标函数夹在中间， 而且这两个函数在这一点的极限还必须是相等的。是的，不然的话，假逼准则是没办法用的。那也就是说，找左右两个函数和判断它们的极限是否相等，这两步都不能出错呗。没错没错。然后第二个要注意的地方就是 假逼准则，它既可以用于竖列的极限，也能用于函数的极限。但是在函数极限里面， 你要特别注意 x 趋近于某一个值的方向对不对啊？比如说 x 是 从正半轴趋近于零和从负半轴趋近于零，这两个单侧极限有的时候是不一样的，这也是很多同学会出错的地方。 那单调有界准则在使用的时候有什么要注意的地方吗？单调有界准则你要记住两点，第一就是它必须要同时满足单调和有界这两个条件。比如说这个 an， 它是一个单调递增的， 但是它没有上界，那它极限就是不存在的。嗯，再比如说 a n 等于负一的 n 次方， 这个竖列，它虽然有界，但是它不单调，它一直在正负一之间跳动，那它的极限也是不存在的，原来必须要两个条件同时满足才行。然后第二点就是这个准则一般都是用来处理竖列极限的， 如果是遇到函数极限的话，这个准则基本上用不上。嗯，这是大家要记清楚。下面我们要复现一下这两个准则的核心应用，以及他们的推导逻辑。好的，怎么用夹逼准则来推导？第一个重要极限， limit as x approaches zero of sine x over x equals one。 推倒这个极限的话，我们需要先画一个单位圆，然后在第一象限里面取一个圆心角 x， 这个 x 必须是弧度制哦，不能用角度制，这是一个很容易出错的地方。嗯，然后在这个单位圆里面怎么去构造面积的关系呢？ 我们可以在这个扇形里面分别画出两个三角形，一个是小的内接三角形，然后一个是大的外接三角形，那么这三个图形的面积就有一个大小关系， 小三角形的面积是小于扇形的面积的，扇形的面积又小于大三角形的面积，所以这个面积的不等式就是二分之一 sine x 小 于二分之一， x 小 于二分之一 tangent x， 对 不对？是的，我们把这个不等式两边都乘以二，再同时取倒数不等号，方向就会改变。 然后我们就可以得到 cosine x 小 于 sine x 比 x 小 于一。当 x 趋零的时候， cosine x 的 极限是一，一的，极限也是一。嗯，那根据夹币准则， sine x 比 x 的 极限就一定是一了。好的，那这个第一个重要极限有什么形式上的要点，或者说有什么常见的错误吗？ 其实它的核心就是无穷小的正弦比上它自己只要凑成这个形式，极限就是一。比如说三三 x 比上三 x， 当 x 趋零的时候，极限也是一哦，但是你一定要注意，是正弦和它的自变量要一致， 这是一个容易出错的地方。明白了，那我们怎么用单调有界准则来推导第二个重要极限呢？推导这个极限的话，我们可以先考虑它的竖列形式，就是 a， n 等于一加一比 n 的 n 次方，然后我们用后一项比前一项， 可以证明这个竖列是单调递增的。再用二项式定律把它展开，就可以证明它是有上界的，它始终小于三。没错，根据单调有界准则，我们就知道这个竖列是有极限的，我们把这个极限就记作 e， e 是 一个无理数，约等于二点七一八二八。原来是这样，那这个数列极限的结果怎么推广到函数极限呢？这个的话，我们可以通过归结原则，把这个数列极限的结果推广到函数极限就可以得到。当 x 区域无穷的时候， 一加一比 x 的 x 次方的极限也是 e。 然后我们做一个变量代换，令 t 等于一比 x 还可以得到。它的另一个常用形式就是当 x 趋零时，一加 x 的 一比 x 次方的极限也是 e。 好 的，那第二个重要极限在应用的时候有什么关键的地方，或者说大家经常会出错的地方吗？ 它的核心结构就是一加上一个无穷小，然后它的指数是这个无穷小的倒数，只有这种一的无穷大次方的形式极限才是一。很多同学在做的时候，容易把指数和底数的这个倒数关系找错，导致最后结果写错。 好的，我们今天把极限存在的两个准则和两个重要极限都给大家梳理了一遍，大家其实可以看到这些内容在高等数学中还是很基础的。没错，这两个准则和两个重要极限都给大家梳理了一遍，大家其实可以看到这些内容在高数的基础 也是考研的一个高频考点。对，所以大家一定要多做一些相关的练习题来巩固这些内容。好的，那今天的内容咱们就到这里了，然后感谢大家的收听，咱们下期再见，拜拜！拜拜！

今天我们来聊一聊竖列极限存在的一个重要准则，单调有界准则。好吧，那我们就直接开始吧。好的，这个准则在竖列极限当中是非常重要的，那我们就直接进入今天的讨论吧。好，我们先来看看 单调有界准则的核心定义，那这个准则到底是怎么说的？单调有界准则说的是，嗯，如果一个竖列是单调的，而且是有界的，那么这个竖列一定有极限。 哦，那这个里面其实有两个非常关键的条件啊，一个就是单调，另外一个就是有界。没错，那能不能再给我们仔细的说一说，数列的单调性有哪几种情况？然后分别的数学表达式是怎么写的？当然可以， 数列的单调性其实有两种，一种呢是单调递增，就是后一项总是不小于前一项。对，数学表达式就是 a 的 n 加一项大于等于 a 的 n 项，然后对所有的正整数 n 都成立。 嗯，那另外一种就是单调递减，就是后一项总是不大于前一项。那它的数学表达式就是 a 的 n 加一项小于等于 a 的 n 项，同样也是对所有的正整数 n 都成立。 那这里面有没有什么容易忽略的细节？有啊，就是这个单调性的判定，它必须要对数列的每一项都成立，不能说前面几项满足就可以了。没错，必须要全部都满足这个大小关系才行。了解了，那有界性呢？数列有界的严格定义是什么？然后它的数学表达式是怎么写的？ 数列有界的定义就是说，呃，存在一个正数 m， 然后使得这个数列的每一项的绝对值都小于等于 m。 好， 对，任意的正整数 n 都成立， 那它的数学表达式就是 a 的 n 项的绝对值小于等于 m， 对， 所有的 n 都成立。所以说有界就是所有的项都落在一个区间里面吗？对，就是所有的项都要被夹在正负 m 之间，不能有任何一项跑出去。是的，必须每一项都满足这个不等式，这个数列才叫有界。 明白了，那这个单调有界准则在实际应用的时候，嗯哼，它会有哪些更具体的结论？嗯， 它会有两个非常实用的结论，第一个是，如果一个竖列是单调递增的，而且它有上界，那么它一定有极限。好，那第二个是，如果一个竖列是单调递减的，而且它有下界，那么它也一定有极限。 那能不能用一个比较形象的比喻来帮我们理解这两个结论？当然可以。嗯，我们可以把单调递增的竖列想象成一个人在不断的上楼，但是他的头顶上有一块天花板，无论他怎么上，他都碰不到天花板，但是他会越来越靠近，那这个最终靠近的位置就是这个竖列的极限。 哦，那单调递减的树列呢？就可以想象成一个人在地下室不断的往下走，但是他的脚下有一块地板，他永远也踩不到地板，但是他会越来越靠近，那他最后靠近的这个位置就是这个树列的极限。 哦，这样一比喻就很直观了。对，然后这其实也说明了为什么我们在判断极限的时候，只需要看单调递增数列有没有上界，或者单调递增数列有没有下界。没错，因为单调递增数列的第一项其实就是他的一个下界，那他再满足有上界，他就是有界的了。 嗯，同理，单调递减数列的第一项就是他的一个上界，那他再满足有下界，他也就有界了。这样我们用这个准则去判断极限就方便多了。 好的，那如果一个竖列只满足单调，或者只满足有界，那这个竖列会有极限吗？其实这两种情况都有可能没有极限 哦。比如说，一个竖列他是单调递增的，但是他没有上界，那他就会一直往正无穷大去，那肯定就没有一个确定的极限了。嗯，同理，如果一个竖列是单调递减的，但是他没有下界，那他就会一直往负无穷大去，那也不存在极限。如果是有界但是不单调呢？ 有界但不单调也不一定有极限。比如说这个数列它是负一的 n 次方，那这个数列就是一会是一，一会是负一。 嗯，它是在这两个数之间不断地跳动，虽然它的绝对值是小于等于一的，但是它没有一个确定的趋势，所以它也是没有极限的。所以说， 单调和有界这两个条件是必须要同时满足这个树列才能够有极限，对吗？这两个条件是缺一不可的，必须是既单调又有界的树列，才能够保证它有极限。好的， 那在使用单调有界准则来判定数列极限的时候，一般都有哪些步骤？其实步骤是非常清晰的。第一步你要先看这个数列是不是单调的，是递增还是递减的。嗯，第二步就是根据它的单调性来确定它的界。比如说它是递增的，那你就要看它有没有上界 啊。如果它是递减的，你就要看它有没有下界。第三步就是如果这个数列既满足单调，又满足有相应的界，那么你就可以下结论说这个数列是有极限的。 那在判断界的时候，最容易出错的地方是什么？最常犯的错误就是把界的方向搞反。比如说你看到一个竖列是单调递增的，你觉得只要他有下界，就可以有极限了。嗯，或者你看到一个竖列是单调递减的，你觉得只要他有上界就够了。 但其实刚好相反，递增的竖列你要找上界，递减的竖列你要找下界，这两个条件一定要配套。是的，否则整个判断就全错了。明白了，那我们现在来看几个具体的例子。嗯，比如说这个竖列 a 的 n 项等于一减 n 分 之一，那怎么用这个单调有界准则来判断它有没有极限？ 首先我们还是按照步骤来。第一步我们要判断它的单调性，那就用 a 的 n 加一项，减去 a 的 n 项， 然后把它的表达式带进去，就是一减去 n 加一分之一，再减去括号，一减 n 分 之一。然后我们通分整理一下，就会得到它等于 n 乘以 n 加一分之一，那因为 n 是 正整数，所以这个结果一定是大于零的。 嗯，所以这个竖列是单调递增的。好的，那怎么判断它有没有界呢？然后我们再来看它的有界性，因为 a 的 n 向等于一减 n 分 之一，它是始终小于一的哦，所以它有上界。那根据单调有界准则，我们就可以下结论，这个竖列是存在极限的，而且它的极限就是一。 我大概掌握了，那能不能再举一个稍微有点不一样的例子？行，比如说这个竖列 a 的 n 向等于一加二的 n 次方分之一。同样的，我们先做叉，用 a 的 n 加一项，减去 a 的 n 向， 然后把它的表达式带进去，就是一加二的 n 加一次方分之一，再减去括号一加二的 n 次方分之一。然后我们通分整理一下，就会得到它等于负的二的 n 次方分之一。然后我们通分整理一下，就会得到它等于负的二的 n 次方分之一。那这个结果一，这个竖列是单调递减的， 那他的界怎么看呢？这个竖列的每一项都大于一，所以他是有下界的。嗯，那根据单调有劲准则，我们就可以下结论，这个竖列是存在极限的，而且他的极限就是一。好的，通过这两道题，其实我们就可以看到，只要严格按照这个单调有界准则的步骤来，然后注意这个界的方向，不要搞反， 其实这种题目还是很容易拿分的。对，没错，那今天的内容咱们就到这里了，然后谢谢大家的收听，咱们下期再见，拜拜拜拜拜。

高等数学里面有一个非常重要的定理，叫做单调有界准则。简单来讲，就是对一个竖列，如果他单调并且有界，那么就一定收敛。使用的时候一般是分成两种情况，或者是单调递增有上界，或者是单调递减有下界。 我们平时做题大多是利用这个定理去证明竖列收敛，但是却比较少的去反思它背后的内涵。其实啊，这个定理作为实数轴上的点是连着的，中间没有缝隙。 可能有人会觉得比较困惑啊，他怎么还跟实数整的结构扯上关系了呢？之所以会有这样的困惑，是因为我们学的单调有界准则，他的序数并不完整，其实啊，他的完整序数应该是这个样子。 对于由实数组成的数列，如果他单调有界，那么一定存在一个实数， a 是 他的极限，这里面我们强调是 a 的 存在性，以及 a 它是一个实数，那为了理解这句话的含义，我们把它做一个修改， 改成这个样子啊。对于由有理数组成的数列，如果他单调有界，那么一定存在一个有理数， a 是 他的极限， 我们里边强调的都是有理数哈，那如果改成这个样子的话，这句话就错了。比如我举一个经典的例子，我们把这串数列取为一一点四，一点四一，一点四一，四一点四一四二等等等等，也就是由根号二的前有限位小数组成的数列。 可以看出来啊，他是单调递增的，并且也是有上界的，因为都没有超过一点五嘛。更重要的是，每一项他都是有理数，因为有些小数都是有理数啊，所以啊，这就是一串由有理数组成的数列，并且呢，还是单调有界的。但是我会发现啊，不存在一个有理数是他的极限， 因为他真正的极限是根号二，而根号二他是无理数。也就是说啊，如果数轴上只有有理数的话，那么就无法建立单调有界准则，也就是说，中间还是有空隙的。 而正确的单调有界准则说的是实数，同样是刚才那串数列，他单调有界无限逼近于某个位置，那么就一定存在一个实数给他填充到这个位置，所以啊，实数轴他是没有空隙的。这就是为什么说单调有界准则结实了实数轴的连续性。 当然了，其实这得用联通性或者叫完备性更为恰当。具体有什么区别，我们会在其他视频介绍。总之，单调有界准则是数学家们为刻画实数轴的连续性而做出的巨大努力之一，那我们要理解他呢，自然也要付出更大的努力。

下面我们来讲单调有些原则，这个东西呢，很重要啊，基本上大部分的题目用到它还是挺多的，对吧？那本质上它就两个点，一个你要证明它是单调的， 第二个你要证明它是有界的啊，已经这两个东西已经藏在它这个名字里了。单调如果是增加的，你要证明它有上界，那也就是图，大概就是这样的， 我慢慢慢慢往上走，然后我有上界，那就说明我收敛，对吧？那没问题。然后如果我是单调减少的，我慢慢慢慢往下走，我也得证明我有下界， 那就说明我是收敛的，能接受吧？ ok， 这个问题就在于啊，简单是简单最容易理解的一个准则。但是问题是单调性很难找，有借，有的时候同学也找不出来，对吧？那所以我们现在来总结一下单调性常见的，我们去证明竖列单调的 方法有哪些。第一个，用的最多的是做叉或者做商，对吧？如果我用 x 加 n 减一比加 胡言乱语， x n 加一减去 x n， 如果证明它是大于零的，说明后一项都比前一项来的大，那我是不是就说明是单增的？如果它是小于零，是不是说明我是单调递减的， 对吧？同理，如果你是哎坐上 x n 加一比上 x n， 如果是大于一的，是不是还是说明我是每一项都比较大，每一项都比前一项大，那我是增的。如果是小于一，那也说明我是单调递减的， ok， 这是你们最常用的啊。第二个呢，就是用数学规划法，数学规划法 也就三个程序，你应该记住了，第一个就是验证 n 等于一成立，第二个你要去设 n 等于 k 是 成立的，用 n 等于 k 成立这个条件去进行第三步，也就是证明 n 等于 k 加一成立。这样的一个三步程序出来之后，我就叠戴上了，那我就可以证明我的每一项都是成立的。这第二个啊，第三个就是一些重要不等式， 这个重要不等式刚刚的内容当中也用过一个，对啊，嗯，绝对指向关的，所以，嗯，我把它铺在这里啊，大家截图保存重要不等式。然后，呃，第四个呢，是用的也蛮多的，就是我们一般会看到 像这种 f x n 加一可以表示成 f x n 出现这种迭代式的样子，对吧？这个时候你可以用什么来着？ 我们要去看这个迭代式，这个 f 它的单调性，如果我们发现你这个 f 它是单调递增的， 对吧？如果这个 f 它是单调递增的，那我们就能说明这个竖列是单调的，这个 x n 它就应该是单调的。只不过它分两种情况，如果你发现 x 二大于 x 一， 那就说明 x n 是 单调递增的。 如果你发现 x 二呢，是小于 x 一 的，就说明这个 x n 是 单调递减的。这个是为啥？也很好理解，你想啊，这个叠代上了吗？我就举第一个例，举一个例子啊，现在我这 f x 是 单调递增的，那我现在若 x 二是大于 x 一 的， 对吧？而 x 二我是不是可以写成 f x 一， 对吗？因为它是单调递增的，所以 f x 一 我是不是应该一定是小于 f x 二的？ 能接受吧？因为我现在 x 一 不是比 x 二小吗？而 f x 二它不是又根据迭代式，它应该等于 x 三，那我由这个是不是？若则我就推出了， 当后一项 x 二比 x 一 大的时候，我可以推出 x 二又比 x 三小，也就是 x 三又比 x 二大，那你这接着往下推，接着往下推，是不就证明了它是单调递增的？但是如果你这个 f 它不是单调，它是小单调递减的，推不出来哈。所以以上就是一般证明单调性的一些 过程啊，一些技巧，一些思路吧。好，那看这个例五，设 x 一 等于二， x n 加上这个什么式子等于三，然后证明它存在并求它的值。这个很显然，我给了你一个迭代式，能感觉到吧？我是不是最后一种情况， 也就是一般难度也比较高的一个情况啊？ x n 加一等于 f x n 你 现在看不出来，但是你肯定能把它分离出来吧？ x n 加一肯定能被你分离出来，也就是这里的 x n 能被你分离出来。我们来稍微打个草稿啊，目的是要把它们俩分离，并且你要的是 x n 等于 什么？ f x n 减一，所以那你肯定是要往这个方面去凑，那 x n 加上 x n 乘以 x n 减一，再减四倍的 x n 减一，它是等于三的，对吧？我把它分离的话呢，就是 x n 乘以一加 x n 减一等于三，加上四倍的 x n 减一，那我这个 x n 它是不是就应该等于三加上四倍 x n 减一，比上一加 x n 减一， ok 吧？一加啊， ok， 到这可能你要再看一下这个 x n 减一会不会等于零，但是一般都不会，你最后到后面验证一下就行了啊。所以我们把这个过程擦掉，你最后应该是得到了这样的一个式子， 对吧？但这个式子应该还能再化简吧。这个是不是可以提出来一个一啊？它就应该等于，哎，能提出来个四吧。四减去一比上一加 x n 减一， ok 吗？一般写到这个比较好。为啥呢？因为你写成这样，很容易发现它是有界的， 他是不是肯定是小于四的呢？一定是的。为啥子？因为你把它 x 等于二带进去，你看啊， x 如果等于二，你带到这个里面， x 二加上，或者你带到这个里面吧，你会发现 x 三他应该等于 x 二他应该等于一加上二，三加上四乘以二，这个地方是不是都是正的？那就说明我这个肯定是正的，后面这个是正的的话，四减去一个正数肯定是小于四， ok 啊。 好，到这小于四，然后我们现在要去找 f。 我 已经找到了呀， f 是 不是就是这个数字， 对吧？那也就是我可以令 f x 就 等于四减去一比上一加 x， 我 的自变量是 x， 哎，我来看它是不是单调递增的，它是单调递增的吗？求导呗。 f e p x 是 等于求，不用求导。这个很显然一看就是单调递增，你求一下也行啊，它应该等于一加 x 的 平方分之一嘛， 大于零，所以 f x 是 单调递增的。单调递增的情况下，我们是不是才根据上面的口，我们刚刚推导的单调递增，才有资格去看这个 x n 是 增的还是减的，对吧？那我们就来比较一下 x 二和 x 一 谁大谁小呗。那算一下。呃，将 x 一 等于二代入得 x 二应该等于四减去一加上 二分之一，就是以四减去三分之一，它应该等于三有三分之二，对吧？三有三分之二，那显然它肯定是比 x 一 大的能接受吧？所以我们可以得到 x n， 它是单调递增的，我把这边补上，由提得 ok， 然后令然后，所以，然后将这个等于 ok， 这样就规范了啊。所以 x n 是 单调递增的， x n 是 单调递增的。 我们现在是不是刚刚也说明了它是有上界的？因为我在这一步的时候是不就写出来它是有四的了？是上界是四，对不对？所以又因为 x n 有 上界，所以根据单调原有界原则 之或这个极限应该是存在的， n 趋无穷， x n 它应该是存在的，那它存在到底是多少呢？不是四啊，四是它的上界，上界它不一定是我们极限的结果，这个时候我们去求极限的结果 带到这个表达式里面，这边 limit 区 n 趋无穷的时候，它极限是 a， 右边这个地方你是不是应该也是 a， 然后你左右应该相等，这个步骤清楚的吧？ ok， 所以 射 我们 limit n 去无穷的时候， x n 等于 a， 所以 当 n 去无穷的时候，我是不是有上面这个表达？是 x n， 它是等于四减去一加 x n 减一分之一，即 a， 它是不是就应该等于四减去一加 a 分 之一，没问题吧？你解这个就行了呀，解得 这个自己去解啊。二元一次方程解得 a 应该等于二分之三加减根号二十一。刚刚我们是不是研究过了，你这里的 x i 就是 通向肯定是大于零的 x n， 嗯，或者你写 x i 也行，一样 x e 应该是大于零的，对吧？所以跟这个其实也是我们极限的保号型，它一定是大于零的，所以我最后不可能 啊，无限趋近于一个小于零的数，对吧？所以你可以写啊，也可以不写，有我写吧，有极限保号性 至 a 是 大于零的，所以 limit n 去无穷 x n 就 应该等于正数二分之三加根号二十一。做完了， 好缩小了看一下，这个就是一个常规的一个步骤，对吧？根据我们的最后一条啊，如果写写成迭代式的样子，你要先去证明这个迭代的这个式子它是单调递增的，然后你再表示出来这个函数的时候，你也可以顺便的看一眼，尽量把数字给它分开，分开的时候比较容易去找上节或者下节， 然后你下面就跟着步骤来呗，单调友键知道它存在，存在之后设设为 a， 然后两边一起取极限，这个等式还是成立的，对吧？把 a 解出来，最后就 ok 了。

呃，这个大喊一声啊，考场是不能喊啊。现在，现在可以喊，现在可以喊啊，大喊一声哪里跑是吧？哎，屏幕前面啊，你们一定要喊出来，喊出气势来，是不是？不要被数学吓到了，喊出气势来，来，一起来啊，大喊一声 哪里跑很好啊。这个啊，我对每届同学都有这个要求啊，提振这个士气是吧？啊，战斗啊，各位都是勇士啊，要战斗。可是到了考场上不能喊啊，人家大家都做错题了，你突然来一句哪里跑怎么样啊？ 不是你在影响课堂考试纪律，而是什么，你喊一声哪里跑。旁边那个人一听，哎呦，加倍准则，想起来了，他把题目做出来了，是不是啊？所以不要喊啊，不要喊啊，我不是怕你影响考试的纪律，这个没关系，我是怕你提醒别人啊。哈哈，好，这是我们说的。

今天我们来分享一下极限存在准则中的第二个准则，单调有界准则。从这个字面上很容易理解，要用单调有界准则的话，你得抓两点啊，第一个点你要先去证明他的有界性， 第二个，然后再去证明他的单调性。一般我们都是先去正有戒，再去正单调。好，这举了个很简单的例子来说一下什么是单调，如果一个熟练 x n 满足这样的条件的话啊，那我们分别对应的就是一个单调递增的熟练和单调啊，递减的熟练 啊。完了以后我们再来理解一下有界性啊，什么是有界呢？嗯，比如说看这个，这是一个啊，函数一直在增增增增增增的话，我们呢用一种比较好理解的话来说，假设这是一条线，嗯，他这个函数一直增一直增，嗯， 但是他永远接近不了这条线啊，那这个线的话，我们就可以认为是他的这个极限值了。如果 用这个几合一去解释的话，就是 xx 一直到 xn 加一点点点，一直到一直无限接近于这个 a 啊，但是他永远到不了这个 a 这个位置，所以这个 a 的话，我们可以认为是他的这个极限，所以这个就是单调有界准则， 单调有界数列，他必有极限。具体的话，我们通过呃这个题来看一下，他让我们证明这个根号二，根号下二加根号二，然后带点点，让我们证明这个数列他的极限是存在的。那我们 来看一下，刚才已经说过了，我们要正他的极限存在的话，我们用的是这个单调有界准则， 那我们第一步先要去正他的有戒性，第二步，再去正他的单调性这块的话，呃，不管是正有戒还是单调，他都有他自己固定的这个做法，有戒的话，我们一般用的都是数学归纳法， 单调的话用的是我们那个高中时候那个必修医学的那个单调性最基本的定义去做的。好了，具体来我们来看一下。 呃，我先去正这个有借性，正这个有借的话，我们都知道要用数学归纳法。好了，我们可以回忆一下什么是数学归纳法？数学归纳法的话，他是当等于一的时候，这个式子式子是成立的， 然后我假设当 n 等于 k 的时候，这个式子也成立，然后去推当 n 等于 k 加一的时候，这个式子也成立啊，这个就是数学归纳法。好，那我们来看一下，我假设这个 x 一是这个根号二，然后 x 二是这个根号下二加根号二啊，掉掉掉。然后我们很容易发现这个 x 一他是小于二的，那 x 二的话是二加根号二，那那肯定也是小于二的，因为根号二这个是小于二的， 所以我们很容易去猜测这个二可能是他的一个借，那我们来证明一下。难道第一步，那我们就当 n 等于一的时候， n 等于一的话，就是 x 一 x 一等于这个根号二，他是小于二的。然后我们就去假设当 n 等于 k 的时候 啊， x 看小于二是成立的，然后我们去推一下啊，这块要写上这个，那么则啊，则这块要写上这个，当这个 n 等于 k 加一的时候，则当 n 等于这个 开加一的时候啊，我去推一下，看他是不是小于二也是成立的。好了，那我们来看一下，当如果等于开加一的时候， x 开加一就应该等于根号下二加 x。 看 啊，那我们刚才已经知道了， xk 是小于二的，那他肯定小于根号下二加二啊，那就等于二了啊。至于这个 x k 加一为什么等于这个根号下 二加 x。 看啊，那你可以观察一下上面这个式子，你就明白了。好了，这样的话，我们这个有界性就算正完了，是用数学归纳法去正的，然后我们再来正他的这个单调性。 单调性的话，初中啊，高中我们那个必修一学的是，呃，在他的定义里头，就是随便取一个，任取任意取一个 x e 和 x 二，然后你去假设 x 一大于 x， 然后去 呃推这个我在在这大概写一下，就是在这个定域里头，我们认确认取两个数，一个是 x 一，一个是 x 二，一定是在他的定义里头。然后我们且我随便假设 x 一大于 x 或者 x 大于 x 一都可以，然后我们去推这个 f x 一减 f x 啊，去推呃，去化简这个式子啊，判断他的正负，然后去得到他的这个单调性。好了，那我们具体来看一下这个题。我们知道这个 n 加一肯定是大于 n 的 啊，那这个就相当于 x 一，这个就相当于是 x 二。好了，那我们来看一下 fx 一减 fx 就相当于是 x n 加一去减 x n， 那他剪完以后就是根号下二加 x n 减去 x。 好了，又出现了我们上节课说过的呃，一个根号 加减一个常数的形式，我们说每次在极限这块如果遇到了这种形式的时候，一定要分子或分母有理化，那对于这个题来说，根号在分子，那，我们要分子有理化，那不管是分子还是分母有理化，他都用的是平方差公式，所以分子分母同时乘以。呃，这个东西 啊，这个我就不念了，然后我们把它去分子一个平方差给他打开，打开了以后我们再给他因式分解，因式分解就到了这个位置，然后这样的话，我们很容易发现这个分母啊，分母肯定是正的，分母肯定是 正的，因为你会发现这个所有的 x 一 x 二，包括这个啊，后面的那个 x 三，他都是大于零的啊，所以根号下肯定也是正的，所以分母是正的啊，然后 x n 加一肯定也是正的， 那 xn 减二啊，这个这个东西他肯定也是正的，然后 xn 减二，这这个是负的，因为 xn 是小于二的， 前头还有个符号，夫妇就得正，那我们就可以得到他大于零，他大于零了以后呢，就是 x n 加一就会大于 x n， 那这样的话我们就得到了他的这个单调递增，那这样我们就可以说他是上有界啊，这个就是我们今天分享的极限存在准则的第二个准则，叫做单调有界。

今天咱们来聊一聊，为什么实数系是完背的，以及这个性质是如何让我们在微积分还有其他的一些数学分析的领域里面，能够放心大胆的去做极限运算的。没错没错，这个其实是整个分析学的基础， 那我们就直接开始吧，咱们第一个要聊的主题呢，叫做有理数系的缺憾。那说起这个大家可能都好奇，就是有理数看起来密密麻麻的，怎么就会有缺陷呢？有理数虽然说在数轴上密密麻麻，任何两个有理数之间都可以找到无数个有理数，但是其实它是有很多缝隙的。 比如说我们考虑所有平方小于二的有理数这个集合，它是有上界的，像一点五二这些都是它的上界，但是它在有理数范围内是没有最小上界的，因为根号二不是有理数。 这种漏洞就导致有理数系是不连续的，有很多看不见的空洞。那这样的空洞会给我们在数学分析里面做一些运算带来什么样的麻烦呢？问题其实还挺严重的，因为极限运算经常会跳到这些漏洞里面去， 比如说你在做一些数列的极限，或者是函数的极限的时候，你以为他会无限逼进一个值，但这个值在有理实里面根本就不存在，那这个极限就没有办法在有理数系里面得到一个确定的结果。这就是为什么我们后面要引入实数， 用实数来把这些漏洞都补上，让极限预算能够顺利的进行。有个很颠覆直觉的事情啊，就是有理数在数轴上看起来这么多，怎么可能说它几乎不存在呢？其实这个就是测度论里面的一个非常经典的结论，就是虽然有理数是密密麻麻的分布在数轴上， 任何两个实数之间都有无数个有理数，但是你把所有的有理数都拿出来，他们的总长度竟然是零，听起来有点像一个悖论啊，那怎么会这样呢？这个就是因为有理数是可以一个一个数的，我们可以给它编号第一个， 第二个、第三个，虽然它有无穷多个，但是我们可以把它和正整数一一对应起来，所以它是一个可数集， 而可数级的测度就是零，所以你在数轴上随便扔一个飞镖，你命中有理数的概率是严格的，等于零，无理数才是占据了数轴的几乎全部。说到这了，那我们来讨论一下怎么去填补这些有理数之间的缝隙，构造出完整的实数系。 德德金分割和科系列这两种方法到底是怎么做到的？这两种方法其实都非常的精妙，德德金分割呢，是把有理数分成两个非控的集合， a 和 b， 使得 a 中的每一个数都小于 b 中的每一个数。 如果 a 没有最大的数， b 也没有最小的数，那么这个分割就定义了一个无理数，其实就是在有理数之间的缝隙处切了一刀。科系列呢？它又是从什么角度来填补这些漏洞的呢？ 科系列的想法是，如果一个竖列，只要他的向越来越接近，那么就可以说这个竖列是有极限的。但是在有理处系里面，有些科系列他是没有极限的，那我们就把这些科系列进行分类，每一类就定义为一个实数， 比如说根号二就可以定义为竖列，一点四、一点四一，一点四一四等等等等。 这两个方法虽然看起来非常的不一样，但是最后得到的都是同一个完整的实数系。 ok， 下面咱们谈谈这两种构造实数的方法。背后其实是有两种非常不一样的数学哲学的 德德金分割和科系列。这两种方法分别强调了什么不同的数学结构？德德金分割其实更看重的是顺序，这个结构 他只需要知道谁在谁的左边，他不需要知道两点之间的距离是多少，他只要用一把刀把有理数切开，然后用前后的遮挡关系来定义这个缝隙，他的核心是序结构。 这种想法其实是后来典籍拓普学的一个萌芽，他让我们可以在一个没有距离的空间里面去讨论连续性。听起来这两种方法真的是出发点就非常不一样，那科系列呢？科系列它的核心是距离，是误差， 它的整个的出发点是我不管终点在哪里，我只要保证我每一步的步长是越来越小的，那我就可以说这个终点一定是存在的。这种动态逼近的思想，其实是后来的泛韩分析还有巴拿赫空间这些东西的基础，它的核心是度量结构， 所以这两种方法其实是打开了现代数学里面拓普和分析这两个大的分支的大门。咱们来切入下一个话题，就是这个完背性的六种等价的表述。 对，这六个命题到底是怎么互相推的这六个命题啊？确界原理单调有界定律、 b 区间套定律、矩点定律、科西收敛准则，还有有限覆盖定律。这六个命题其实在实数系里面是完全等价的，你可以用任何一个命题作为出发点去推出其他的五个命题， 所以他们其实只是从不同的角度描述了实数的完背性。第一个命题啊，就是确界原理，这个原理到底在讲什么？然后它里面的上界和上确界到底有什么区别？确界原理说的是任何一个非空的有上界的实数级一定存在一个上确界。 啊，那这里面其实有两个关键词，一个是上界，一个是上阙界。上界的话就是说这个集合里面的数都不超过这个上界。那上阙界呢？它是所有上界里面最小的那个， 比如说一减 n 分 之一这个竖列，它的上阙界是一，但是一并不在这个集合里面，它是一个最小的天花板。 哦，那单调有界定理，它在整个的分析学里面到底扮演一个什么样的角色？单调有界定理说的是任何一个单调有界的树列，它一定是收敛的，它的作用就是让我们能够非常放心的去讨论一些极限的存在性， 尤其是它是我们定义很多重要的常数的一个理论基础。说到这我有个问题啊，自然对数的底 e 是 怎么来的？怎么用单调有界定律去严格的证明它的存在性呢？我们可以考虑这样一个数列，就是 a， n 等于一加上 n 分 之一的 n 次方， 我们用均值不等式可以证明这个数列是单调递增的，然后我们再用二项式展开，可以证明它是有上界的，比如说它一定小于三， 所以根据单调有界定律，这个数列的极限一定是存在的，我们就把这个极限定义为 e e 约等于二点七一八。明白了，那我们现在来讲讲 b 区间套定律， 这个定律到底是在描述一个什么样的几何现象？ b 区间套定律说的是有一串 b 区间，一个套一个，而且区间的长度越来越小，趋零，那么这一串 b 区间他们的交集是只有一个点的。 这个其实就像我们用一个笼子去捕鼠，不断的收紧这个笼子，最后这个老鼠就无处可逃，一定会被我们抓住。那如果我们把 b 区间套定零，里面的 b 区间换成开区间会怎么样？如果是开区间的话，就会出问题。比如说我们取所有的从零到 n 分 之一的开区间， 随着 n 越来越大，这些区间越来越短，他们都在靠近零，但是你会发现没有任何一个数属于所有的这些区间，他们的交集是空集， 这是因为开区间没有把边界点锁住，所以极限就跑掉了。原来如此，那波尔查诺维尔斯特拉斯定律，它的直观意义到底是什么？在有理数集里面会出什么问题？这个定律其实说的是任何一个有界的无穷点集，它至少有一个据点， 你可以想象一下，有一个盒子，你不断的往里面扔豆子，那肯定有一些地方的豆子会堆的越来越密。但如果你只考虑有理数的话，比如说有一串有理数，它越来越接近根号二，但是根号二本身不是有理数，所以在有理数集里面你就找不到那个据点， 这就体现了有理数的不完备。我有个疑问啊，就是科西收敛准则到底是怎么用竖列本身的性质来判断它是不是收敛的？科西收敛准则给出了一个非常厉害的判据，就是一个竖列收敛，当前仅当这个竖列是一个科西列。 具体来说就是只要你这个竖列的尾巴想要多靠近有多靠近。对于任意小的正数 x 一， 都存在一个 n， 只要 m n 都大于 n， 那么 am 减 an 的 绝对值就小于 x 一， 它根本不需要你知道极限是多少，就可以判断这个数列是不是收敛。听起来很不错啊，那这个准则在有理式集里面会有什么问题？问题就在于有理数科系列的极限不一定是有理数。比如说我取这个数列， an 等于一加上一的阶乘分之一，加上二的阶乘分之一，一直加到 n 的 阶乘分之一， 它是一个有理数的科系列，但是它的极限是 e， e 不是 有理数。所以这也说明了有理数是不完倍的，你必须要扩充到实数，这个科系列的极限才一定是存在的。最后一个命题啊，就是有限覆盖定律。 这个定律到底是在讲一个什么样的深刻的事实？有限覆盖定律说的是对于一个 b 区间，不管你用什么样的开区间足去覆盖它，你总是可以从中挑出有限个开区间仍然能够覆盖住原来的 b 区间。 这个其实就是在说 b 区间有一种特别的紧致性，它可以把一个可能无穷的问题转化成一个有限的问题来处理，这是分析学里面非常厉害的一个工具。哎，这个有限覆盖定律在数学分析里面有什么具体的作用吗？这个定律其实是很多存在性证明的关键， 比如说你要证明一个 b 区间上的连续函数一定有最大值和最小值，你就可以用到这个定律。它把 b 区间的性质和函数的连续性结合起来，就可以得到很多非常重要的结论。没错没错，我们接下来要讨论的这个话题就是六大命题之间的等价性。 对，怎么通过一个循环的证明，把这六个命题串成一个严密的逻辑圈？我们可以从任何一个命题出发，比如说我们从确切原理出发，去推单调有界定律，然后用单调有界定律去证 b 区间套定律，再用 b 区间套定律去证矩点定律。 矩点定律再推出科西收敛准则，科西收敛准则再推出有限覆盖定律，最后我们再用有限覆盖定律回头去证确切原理， 这样就形成了一个完整的闭环，说明这六个命题其实是一融俱融、一损俱损的，你只要承认其中任何一个，剩下的五个就都成立。怎么从 b 区间套定利出发，把矩点定利给正出来？我们先假设有一个有界的竖列，它所有的项都落在零到一这个区间里面， 我们把这个区间一分为二，那么肯定有一半里面包含了这个竖列的无穷多项，我们就把这一半留下来， 然后再把留下来的这一半再一分为二，还是有一半包含了无穷多项，我们就一直这样做下去，这样我们就得到了一串 b 区间， 一个套一个，而且区间的长度越来越小，趋于零。所以说 b 区间套定理在这一步就保证了这些区间会收缩到一个点上。对，由 b 区间套定理就保证了存在唯一的一个点，属于所有的这些区间，那这个点就是我们要找的距点， 因为你每次都有竖列的无穷多项落在这个小区间里面，所以这个点的任意一个领域里面都包含了竖列的无穷多个项。明白了，那怎么用反正法和 b 区间套定力来证明有限覆盖定力呢？我们先反射有一个 b 区间不能被有限个开区间覆盖， 然后我们把这个 b 区间一分为二，那肯定至少有一半是不能被有限覆盖的，我们就把这一半留下来，再把留下来的这一半再一分为二，还是至少有一半不能被有限覆盖。我们就一直这样做下去， 这样我们就得到了一串 b 区间一个套一个，而且区间的长度越来越小，趋于零。所以说 b 区间套定里在这一步就保证了这些区间会收缩到一个点上。对，由 b 区间套定里就保证了存在唯一的一个点，属于所有的这些区间， 而原来的那个开区间足是覆盖这个 b 区间的，所以这个点肯定被某个开区间盖住了。 但是我们又知道这些 b 区间是越来越小的，所以到了一定的程度以后，这些 b 区间就会全部都落在这个开区间里面。这就跟我们一开始的假设说这些 b 区间不能被有限覆盖是矛盾的， 所以有限覆盖定律就一定是成立的。还有个问题啊，就是怎么从科西收敛准则出发，把确戒原理给证出来，我们要证的是任何一个非控有上界的 g， 一定有上确句。 我们可以这样来构造，我们先取一个区间，左端点 a 不是 s 的 上界，右端点 b 是 s 的 上界，然后我们把这个区间不断地二等分，每次我们都取那个包含 s 中的点的子区间， 这样我们就得到了一个 b 区间套，这样的话，这些区间的端点就会形成两个竖列。对，然后这两个竖列有什么性质呢？关键就在这里，这些端点就会形成两个竖列，而且这两个竖列都是科西列，因为每次区间的长度都是前一次的一半，所以他们的差会越来越小。 根据科西收敛准则，这两个竖列都是收敛的，而且他们收敛到同一个极限，我们记这个极限为 a， 可以证明 a 就是 s 的 上，切记。然后咱们来谈谈紧致性这个概念啊，它是怎么从有限覆盖定律推广出来的？然后在数学分析里面到底有什么用？紧致性最原始的定义就是从有限覆盖定律来的，就是说如果一个集合，不管你怎么用开区间去覆盖它， 你总是可以选出有限个开区间来覆盖它，那这个集合就是紧致的。在实数级里面，紧致级其实就是有界 b 级。哎，这个紧致性有什么用呢？紧致性是一个非常厉害的性质，它可以推出很多重要的结论，比如说 b 区间上的连续函数一定有最大值和最小值，这就是极值定律， 它是优化理论、经济学、物理学中很多存在性证明的基础，很多时候你要证明一个东西最优解是存在的， 你往往需要用到精确性。确实，那我们再来聊一聊这个实数完背性在计算机算法里面的应用，比如说在二分查找或者是求根算法里面，这个 b 区间套定理到底是怎么起作用的？其实每次我们在做二分查找或者是二分法求根的时候， 我们都会把区间一分为二，然后确定我们要找的目标在哪一半，然后不断的重复这个过程。这个其实本质上就是在构造一个 b 区间套，而实数的完倍性保证了这个区间套最后一定会收缩到一个点，也就是我们要找的那个解， 所以这个解是一定存在的。虽然在计算机里面我们没有办法真正的算到无穷步，但是这个理论保证了我们的算法是有意义的。那在机器学习里面，比如说梯度下降， 这个实数的完背性到底是在哪个地方起作用的？在梯度下降里面，我们判断这个算法是否收敛，其实用的就是柯西收敛准则，就是只要相邻两次迭代的损失函数的差的绝对值小于一个给定的非常小的数 epsilon， 我 们就认为这个模型已经收敛了。 虽然我们不知道这个极限点到底在哪，但是实数的完背性保证了这个极限是一定存在的，所以我们的算法不会一直无止境的跑下去，它一定会在某个地方停下来。我们今天从有理数的漏洞一路聊到了实数的完背性， 然后也看到了这六大命题是怎么互相等价的，最后又聊了聊他在现代数学和计算机算法里面的一些影响。 ok， 那 我们这期节目就到这里了啊，感谢大家的收听，我们下次再见吧，拜拜。拜。拜拜。