三下数学折角方法

今天我们来剪四个旋转的手拉手小人。首先准备一张正方形纸，想剪出四个连在一起的小人，我们一共要将这张纸对折三次，先上下对折，再左右对折， 最后沿对角线斜着对折， 折好后是一个小三角形，这时呢一共就有八层。接着在有折痕的一边，可以在这边的折痕处，也可以在这边的折痕处画出半个小人。 因为四个小人是头顶头手拉手的，所以头部要稍微留一点不断开，手臂要一直画到纸的边缘，这样展开才会连在一起。 最后我们沿着画好的线剪下来， 慢慢展开，我们就得到了四个旋转的手拉手小人了。

这是一张长方形的纸，把它折起一个角，如果角一等于三十度，那么角二等于多少度？首先这里说把它折起一个角是折的哪里呢？你能看出来吗？你看折的是不是这里？是的， 怎么折呢？就把它怎么样翻过去的意思。那它是沿着哪条线翻过去的呢？ 是不是这一条？这条就是折痕，沿着这条折痕把这个角怎么样翻过去？那这一块是什么？没翻之前呢？没翻之前呢？那这一块呢？翻过的，翻过的是不是？那翻折之后和翻折之前的这个图形它有什么关系？ 长得一样是不是完全一样呀？是吧？这一块不就是他翻过去的吗？所以他们完全一样，对不对？好，那这一块不就是他翻过去的吗？所以他们完全一样，对不对？好，那这一块不就是他翻过去的吗？对不对？好，那既然完全一样，你能告诉我翻折后的这个角一等于翻折前的角吗？ 能不能找到翻折后的这个角一和翻折前的哪一个角一样？谁来指一指？付俊峰，你跑上来指， 同不同意？同，一和这个角是一样大的，我们给他起名叫角三，也就是角一等于角三，我们给他写出来角一等于角三，对吧？那角一等于三十度，那角三也等于三十度。 好，这里也是三十度，这里也是三十度。好了，现在让我们求角二、 角一加角二加角三等于一个平角。哎，你看，有了之前的经验，现在我们就知道了，要观察一下角一、角二、角三，他们三个角之间的关系。就是，哎，角一加角二加角三正好是一个角，所以我们把它写出来，也就角一加角二加角三等于一百八十度。 好了。根据这些条件，你能求出角二了吗？能。那角二等于什么？一百八十度，把角一去掉，再把角三去掉呀？也就是一百八十度减三十，再减三十度等于多少？ 一百二十度，所以这里是一百二十度。好，这道题目啊，主要搞清楚翻折之前和翻折之后，这两块是一模一样的，是完全一样的。所以我们就能找到相等的角，比如说角一和角三相等，那你还能找到哪两个角相等？ 你看看这个角是不是和这个角也是相等的？嗯，这个角和这个角是不是也是相等的，对吧？因为这两块是完全一样的， 它也相当于这个是对称轴，这是一个轴对称图形。哎，轴对称图形，它的两边是不是完全一样？对，对吧？根据它完全一样，你就能找到相等的角，然后接着去解决问题。这就是今天要讲翻折问题。

如图，这是一张长方形的纸，折起来以后呢，就变成这样的图形，那么已知角一是三十度， 角二呢？二十度，然后问角三，这里是角三啊，我没有标这里是角三，问角三是多少度？好，其实这也是一道翻折问题，但是今天的翻折问题是有几处翻折了？两处，两处，先看左边是不是这一块， 哎，这样对，翻折上去了，是吧？好，哪里是翻折之前的图形？黄色部分，那翻折之后呢？ 是不是绿色部分？好，他们是沿着这条折痕进行翻折的，对吧？那么翻折前和翻折之后这两个图形其实是完全一样的，是不是？那我们能不能找到和这个角一对应的，也就是和它相等的角 在哪里？在这个折，哎，是不是在这里？是不是在这里啊？我们给他起个名字叫角四，行吧，所以说这里的角一就等于角四，没问题吧？好，写出来角一等于角四。好，同样的道理，我们再来看看右边， 右边哪里是翻折之前的呢？那看看这里是不是翻折之前的图形，翻折之后呢，他就怎么样到这里了，也就是 这对不对？这是翻折之后的那一样的呀，你能不能找到和这个角二相等的角在哪里？哎，是，他在他的这里，其实这个角二就是这个角翻折上去的，对吧？所以这个几位我们也给他起个名叫角五行吗？得到角二等于角五，现在让我们求角三， 现在其实我们就要开始要有请我们的隐藏条件了，你能看出来吗？一百八十角四，角一角三，角二，角五，一百八， 看出来了吗？它们相加等于一百八十度，是一个平角，可以写出来，角一加角二加角三加角四加角五等于一百八十度，还知道什么条件？ 角一等于三，角一三十度，还有和角一一样大的吗？角四也是三十度。好，我们给他换下来。角一是三十度，然后角四也是三十度。角二等于角二等于二十度，角五也是二十度，对吧？角五也是因为角二等于角五，所以角五也是二十度。 现在只剩谁了呀？只剩角三了，写出来其他的加起来等于一百八十度， 那只剩它了，就能求出角三是多少了，等于多少。一百八十度，减三十，减二十，再减三十，再减二十，也就从一百八十度里面把这些角， 这些角全部八角就是角三了，等于多少？八十，八十等于八十，所以角三等于八十还是一样。和以前的思路一样，我们要找清楚翻折之前和翻折之后哪个角是对应的，哪个角是相等的。然后呢，还要注意挖掘题目中的隐藏条件是不是好。

如图，一张长方形的纸，折起来之后是这个样子，你能看出来哪些地方被折起来了吗？能，看左边这一块被折起来了，右边这一块被折起来了，是不是？对？好，还告诉我们，角一等于角二，这个小角一等于角二，而且角三的度数是角一的两倍， 角三的度数是两个角，这么大，能明白吧？好，问我们角三等于多少？刚才就有同学说了这个题一个度数都没告诉我们，还让我们求角三，没关系，我们慢慢来挖掘，看看有什么隐藏的条件给他挖出来。首先我们先来看左边，是这一块被折上去了是吗？对，我们来画一画 翻折之前的图形，是不是这个黄色部分，对，是吧？好，翻折之后的图形是不是在这里？这个绿色的部分是不是？好，那 翻折之前，翻折之后这两块是完全一样的，而且赵老师告诉大家，还可以把它看做一个轴对称图形是吧？两边完全一样。那么你能不能找到与角一 相等的角在哪里啊？是不是在他下面的这里啊？这个角给他起个名字叫角四，行吗？所以得出来了一个新的条件，一起说角一等于角四没问题吧？好，再看右边哪里是翻折之前的图形，看黄色部分 是吧？翻折之后呢？从这里折上去？对，翻折之后在这里，绿色部分是吧？嗯，好，同样的道理，我们也来找一找与角二相等的角在哪里啊？ 哎，扇子在它的下面，哎，这个角叫角五吧，这个角二是不是被角五翻上去了？哎，所以又得出来一个说角二等于角五，来结合题目，角一等于角二，角一等于角二， 所以角四、角四是不是就等于角五啊？对，等于这四个角，它是一样大的。角一、角二、角四以及角五，这四个角是一样大的。好，现在写到这里，我们再回到这幅图上，还有没有什么隐藏条件？ 下面他们所有的角加起来都等于一个平角，角五加起来是一个平角，又做出来了一个，一起说 一加角二，加角三，加角四，加角五等于一百八十度。再回到题目中看第二个条件，角三的度数是角一的两倍，那么角三等于两个角一，非常好。角三等于两个角一，那我现在给他分一下啊。给他分， 那这里是不是角一？那这里是不是也是角一？你看角三等于两个角一，那不如在这里面，我我们把这个角三给他换成两个角一。两个角一行不行，哎，给他换成角一加角一，可以吧？可以。好，现在来看看 这个算式，就变成了，角一加角二，加角一，加角一，加角四加角五。而从这个算式我们知道这几个角都是相等的，哎，你看这几个角全部相等，哎，不如我们把它都换成一个 行不行？都换成谁比较合适？脚一，脚一，那这是脚一。把脚二也换成脚一，这个脚三已经换成了脚一加脚一，脚四也换成脚一，脚五也换成脚一。看这里全部变成脚一了，那就能求出来谁了呀？是不是脚一就知道了，对，对吧？那脚一等于，看看这有几个， 一个、两个、三个、四个、五个、六个、六个。脚一是一百八十度，所以脚一就等于一百八十度，六等于三十度。 哎，角一求出来了，你再来求角三是不是容易了？对，他俩什么关系来？角三的个数是角的两倍，所以角三就等于三十度，乘二等于六十度，角三是六十度。

hello， 大家好，今天我来给大家讲解一个小技巧，像这样用一副三角板分别画出七十五度、一百二十度的角以及十五度的角，我们有什么样的好办法可以快速又准确的画出来呢？ 首先我们先来看画七十五度和一百二十度的角，要用三角板上的角，画七十五度的角，我们可以将三角板上的两个角相拼，那就是三十度和四十五度的角相拼， 那孩子们在操作时很难把这个角画的很准确，因为他的顶点不够尖，那我们该怎么办呢？首先我们将三角板这个这个三十度的角和四十五度角拼好，拼好之后先描边， 对，只描边，不要画到顶点。还有个重要的地方就是要用铅笔挤进刚刚的缝隙里描出一个点来，这个点对我们后面很重要。好，接下来移开尺子，将我们刚刚描出来的这两条边 延长，延长之后啊，我们可以把多出来的部分擦掉，这样我们就画出了一个准确的角来。 那么怎么体现它是由三角板上的两个角拼成的呢？那我们刚刚找到的这个点就很重要，我们将这个点和我们的角的顶点相连 啊，我们在画的时候，为了准确，我们最好要比划一下，这样就把这两个角画出来了，接下来我们只要变上度数就可以了，这个角是三角摆上三十度的角，这个角是四十五度的角，他们两个合在一起就是七十五度的角， 你会画了吗？那十五度的角该怎么画呢？十五度的角那么不能由两个两个三角板上的角相拼而得成，我们要从三角板上的某一个角当中去掉一个角， 我们可以从六十度的角当中去掉一个四十五度的角，那我们来看十五度这样的角该怎么画？十五度这样的角我们可以先画出那个大角，用同样的办法先描边，描边之后 再延长好，这样我们就画出了这个较大的六十度的角。 接下来的接下来主要的就是要从这个六十度的角当中扣掉一个四十五度的角。那我们会发现尺子靠近过来的时候啊，很难和它的顶点重合，因为我们的尺子为了安全起见，它不会那么尖，我们的办法就是 把尺子稍微的离开脚尖一点点，然后呢我们这个尺子边一定要把这个角的这个边要覆盖住，哎，一定要把它覆盖住，这样呢先点一个点， 然后再用这个点去和这个角的顶点相连， 这样我们其实就已经画出了这个四十五度的角。那么为了表示出我们十五度怎么来的，我们得先标出这个角的度数，是三角摆上四十五度的角， 这个角呢是三角板上六十度的角，他们两个一剪，我们就得到了我们想要的十五度的角。这个小技巧可以给孩子看一看，对于孩子来说可以增加他的操作的简单度。好，谢谢大家。

上午九时三十分的时候，中面上的时针和分针形成的较小角是多少度？想解决这个问题，我们就得知道中面上像这样的一大格，也就是时针经过中面上的一大格是多少度？ 经过一小格又是多少度？我们今天把它梳理一下，先来看一大格，一大格是三十度，好，一大格。 那我们知道啊，如果一个时针在周面上转了一圈，你告诉我他转了多少度？三百六十度正好是一周一个周角，一个周角就是三百六十度，而且我们知道周面上有多少个大格，十二个大格。那经过这十二个大格是三百六十度，那 一个大格是不是用三百六十度除以十二就可以了，对吧？那有的人说，这个我还没学过，我也不大会算。没关系的，既然转了一圈是三百六十度，那如果转一半呢？半圈呢？一百八十度。哎，转半圈不就是一百八十度吗？那转半圈的话是几大格？六大格，对呀，六大格，所以我们还可以用一百八十度除以六等于多少？ 三十三十度，这样我们就得到了一大格是三十度，是吧？其实还可以用九十 一半的一半，也就比如说从十二转到三，其实它是一个什么角？直角，直角，我们知道它是多少度？九十度，是吧？那九十度的话，它转了几大格？我们来看一看， 一大格、两大格、三大格、几大格？三大格也可以用九十除以三，也能得到一大格的度数，这是一大格。那再来看看一小格， 一小格是多少度呢？那我们就要结合他和大格之间的联系了，一大格里面有几小格？五小格，那一大格是三十度，所以一小格就是三十度，除以五等于六度，所以一小格是六度。明确了这个我们再来看题目。上午九是三十分， 有同学可能会毫不犹豫的说，他形成的角是一个直角，所以填九十度，对不对？不对？对不对？其实九十三十分也是我们以前学习认识钟表的时候容易划错的一个时间，是不是九十三十分？ 那你告诉我，分针应该指着几啊？九六六六是不是？三十分应该指着九吗？不是，不是应该指着几，九和十中间。哎，为什么指着九和十之间呀？ 因为九十又过了半个小时了，又过了三十分钟，不能分针，转了半圈了，时针一动不动呀。时针也是随着分针联动的，他会转一大格的一半，所以我们应该是只在九和十的正中间， 这样才是九十三十分。那现在他问我们这个角形成的角是多少度，那我们就联系这些大格的度数来想一想，看看从六到九到十的中间，我们可以先数一数有几大格。 四大格，从六到七，从七到八，从八到九，从八到九。那从九到十的话，他到十了吗？没有，没有到十，只到了十和九的中间中间，那也就是他有三大格。多，是不是？三大格？ 多多多几格？多多少多多少？多半半格，是吧？多半格能算出来吗？ 先算三大格吧，这个简单，一大格是三十度，三大格就是三十度乘三，对不对？对，好，那我们主要来思考一下，这个多的这半格到底是多少度？ 多的这半格也就是从这里啊，从九到九和十的之间也就这个角度，到底是多少度呢？ 到底是多少度？十五度，你怎么知道呢？因为三百一十二个是三十度。对了，因为九到十的话是一整格，那他走到九和十的正中间，他说明是一格的一半。一格是三十度，那一半就是十五度。所以我们再加这半格，也就是十五度度就可以了。一共是多少度？算一算， 一百零五九十度加十五度等于一百零五度。所以啊，形成较小的角是一百零五度五度。

一个视频看懂三下数学的对折问题，一张纸对折一次，画上半棵树，可以剪出几棵小树，那么对折两次以及对折三次，分别可以剪出几棵小树？ 这一张纸，我们这样把它给对折，对折了之后，我们在这里啊画半棵树，我们给他剪一下，看一下， 剪完之后发现可以剪出一棵小树，这样一张纸，我们先对折一次，再对折一次，这样就对折了两次。在这里啊去画上半棵树，我们再剪开来看一下， 剪完之后我们展开来看一下，正好能够剪出两棵树，同样的一张纸，我们给它对折一次，再对折一次，一共对折了三次，我们画出半棵树，再剪一下， 剪完之后我们展开来看一下，一共是一颗，两颗，三颗，四颗，四颗同样的树， 所以对折减数的问题，对折一次可以减出一颗，对折两次可以减出一乘二颗，对折三次啊，可以减出一乘二，再乘二，对折四次可以减出一乘三个二，依次往后内推。

用没有刻度的直尺和圆规来画一条与线段 a、 b 同样长的线段，这个部分呢，也是初中的尺规作图，今天我们来学习一下画法。一、 准备一个三角尺和一个圆规，这个圆规有两个尖尖的部分是圆规的针尖，这个尖尖的部分是圆规的笔尖。 首先用圆规的针尖按在我们这个端点 a 上，把它按住了，然后调整笔尖的距离，这个笔尖是可以调整的，笔尖要调整到对准端点 b， 要对准它，对准端点 b， 固定针尖到笔尖的距离。 只要不把圆规这个角度分开，针尖到笔尖，它们之间的距离就是线段 a、 b 之间的一个长度。我们先把圆规放在一边，拿出一个尺子，画一条射线。 要求呢，用没有刻度的直尺来进行画图。这个三角尺，两条直角边都是有刻度的，我们可以用斜边这个部分来画一条射线， 射线的这个端点记作端点 c。 圆规的针尖按在端点 c 上，把圆规立起来，转动笔尖来画一条弧，这个笔尖是可以转动的， 这是一条弧，这个弧是弯曲的， 这条弧与我们的射线交于地点， 这时就画出了一条与线段 a、 b 同样长的线段 c、 d。 通过圆规来进行画图，也体现了圆规的一个特征，它可以量一些线段之间的距离。

六、如下图，旋转活动角的一边角，直到形成一个直角。把旋转过程中形成的角与直角比较，你有什么发现？ 我们通过动手实践会发现，这个不管怎么旋转，它顶点重合， 一条边重合，那么另一条边不管怎么旋转，都在直角的肚子里，我们讲过在他肚子里，那说明这些角都比这个直角要小，所以这些角都比直角小。 像这样比直角小的角呢？我们数学当中叫做，它是锐角，它是锐角，锐角是小于直角。 好继续旋转活动角的一条边，直到角的两条边都在同一条直线上。把旋转过程中形成的角与直角相比，也有什么发现？当我们顶点 重合，一条水平的边重合的时候，我们把另一条边进行旋转，旋转旋转到同一条直线上的时候，此时角的两边是在同一条直线上，那么形成的角叫做平角。平角就是一个水平的角， 顶点左边的一条边向右边沿着一条边，这两条的边他形成在同一条直线上，我们叫做平角。 那么大于直角啊，小于平角的角是什么角呢？也就是说我在顶点重合，水平边重合的时候，另一边旋转超过了我们直角的这条边， 我们超过了它慢慢旋转，还没到下面形成一条直线的时候，此时这个角 是比直角大，又比平角还要小的时候，这个角我们叫做钝角，所以钝角是大于直角，小于平角。 我们可以观察一下这个图形，我们会发现钝角的肚子里含有直角，平角的肚子里含有钝角，所以平角是大于钝角的。钝角是大于直角的，那么直角是大于锐角的。 好，继续旋转活动角的一条边，直到角的两条边再次重合， 我们会发现角的两条边再次重合的时候，他是向一个方向去延伸的。那么像这样两条边重合的情况，我们叫做什么呢？叫做周角， 也就是说这个角绕了一周，绕了一圈形成的角叫做周角，旋转一周形成的角叫做周角。 好，那么旋转一周形成的角叫做周角。那么直角、平角和周角它们之间有什么样的关系呢？ 我们可以看一下。我们拿出我们的直角板来量出一下平角水平的角，它是有两个几个直角构成的，它是有两个直角构成的， 那么周角它是由几个轴角构成的，它是由四个直角构成的，那么周角它是有几个平角构成的呢？它是由两个平角构成的，所以一个周角是等于两个平角，是等于几个周角？直角，四个直角， 我们可以通过三角板上的直角去进行一个比较啊。 那么总结我们锐角是小于直角，直角是小于钝角，钝角是小于平角，平角是小于周角。 好，同学们一定要把这样的一个等量关系和我们的一个大小关系一定要记住好，这就是我们所学的所有的角，同学们记住了吗？

上个视频里，我们与子弹图出手图的亲朋好友们来了一番大联欢，这些图形都是平行，线间夹着一条折线段，要解决这些图形中的角度问题，就需要从每个折点处做出一条平行线，分割图形，把图形转化为多个三千八角技术图来解决问题， 那今天我们就要在实践中来运用这个方法。话不多说，来看题吧。看题， ab 与 d、 e 是 两条平行线，角 d 等于一百一十六度，角 d、 c、 b 等于九十三度，这两个角的度数已知，我们可以标一下题目，让我们来求角 b 的 度数，你自己先想想吧。这个图看着是不是感觉有点眼熟呢？ 哎，如果我们把 ab 延长出去，如果把 e、 d 延长出去呢？左边就形成了一个珠手图。那要解决这个问题，方法还是老样子，从九点 c 处做平行于 ab 的 直线 c、 f。 既然 d、 e 也与 ab 平行，那么根据平行的传递性， ab、 c、 f、 d、 e 这三条线两两平行 来看图 c、 f 把角 c 分 成了角一与角二这两个角，并且把图形分成了上下两部分。这两部分分别是什么图形呢？这个我们已经很熟悉了。 来看上面这个部分，角 b 与角 e 是 内错角，它们相等，目标角角 b 就 转化成了角一。下面这个图里，角 d 与角二是同方，内角就有角 d 加角二等于一百八十度。 由于角 d 是 一百一十六度，所以角二等于一百八减一百一十六等于六十四度。再来看已知条件，角 dcb 等于九十三度，角 dcb 是 角一与角二的和，角二我们刚才已经得到了，那角一也可以求出来，角一等于角 dcb 减，角二等于二十九度。 哎，这样一来，题目就解决了对吧？刚才我们说过，角 b 与角 e 是 平行线间的内错角，所以角 b 也等于二十九度。第一题就是这么做完了，我们来看看下一题。图中也是有两条平行线，分别是 d、 e 和 c、 b， 只有这一个条件让我们来证明，角 a、 e、 d 等于角 a 加角 b， 就是 这个角等于这两个角的和，你自己先试试这个图形，猛一看非常陌生，虽然条件里有平行线，但是这三个角似乎跟平行线之间的角都没什么关系啊。既然猛的一看比较陌生，那我们就仔细看看呗。 这个图形 d、 e 与 c、 b 这两条平行线间也连着一条折线段 e、 a、 b， 只不过折点 a 并不在两平行线之间，而是折到了 d、 e 的 上方。不过既然还是平行线间的折线段问题，我们就还是来试试从折点做平行线，过点 a 向右做 a、 f 平行于 d、 e 条间有平行 bc 还是有平行线的传递性？ a、 f、 d、 e、 c、 b 三条直线两两平行，现在我们来看图，它们相等。 而在平行线 a、 f 与 c、 b 之间，角一与角 b 是 内错角，又一组相等的角。现在再来看看三个目标角之间的关系。由于角 b 等于角一，那么角 e、 a、 b 加角 b 就 等于角 e、 a、 f。 角 e、 a、 f 与角 a、 e、 d 又是相等的内错角，因此我们就能得到角 a、 e、 d 等于角 e、 a、 b 加上角 b， 这从 a 点出发，向左作平行，利用同旁内角的关系一样可以解决问题， 只不过利用内错角可以直接找相等关系，比同内条简单一些，因此我们选择了向右做平行。两道题做完了，用的方法都一样， 只要是平行线间夹这条直线段，那么就从折点处做出一条平行的辅助线，就可以解决问题。最后我们升级下难度，来看最后一道题吧，如图。呃，这个图一看就挺复杂的， 这条折线曲折蜿蜒，这样折了几道，我们内心也随着纠结起伏，但没关系，有洋葱指引，你再复杂的题都能搞定。先来看看条件，只有两条平行线， abcd， 还有一些给出的角，我们挨个标一下， 角 c、 n、 l 是 五十度。条件就这么多，对图这么纠结，那也不让你自己试了，我们一起来看看怎么做吧。既然还是平行线间有折线段相连，那不管折了多少道，我们还是该从每个折点处做平行线来分割图形。 过 g、 h、 m 三个点做三条直线都与 ab 平行，那么由于平行线的传递性，这五条线两两平行。接下来我们要按照折线的顺序，把相邻两个折点处的平行线作为一组一组一组的转化角度。先来看 ab 与 gp 平行， 那这里就出现了已知角角 e、 f a 的 同位角，角一，所以角一也是三十度，我们来标一下，角一与角二合起来就是角 f g、 h， 那 么角二就是九十度，减角一是六十度，我们标在图中。接着往下来看 gp 与 h q 平行， 角二与角 g h q 是 内错角，所以角 g h q 等于角二等于六十度。来看角 g h q， 它是目标角，角 g h m 再加上角三，所以我们只要再计算出角三的度数，就可以计算出角 g h m 的 度数。 那要怎么计算角三度数呢？图中有平行线没用到，所以我们接着倒角。与已知角相关的还有哪些呢？ 来看 mr 与 cd 这组平行线，角 c， n， l 与角 n， m， r 是 同位角，所以角 n， m， r 等于角 c， n， l 等于五十度。再来看这个角 n， m， r， 它是角 h m， n 与角四的和。由于角 h m， n 等于三十度，因此角四等于角 n， m， r 减去角 h m， n 等于二十度。哎，我们现在距离解决问题可就只有一步就要了， 角四还跟哪个角有关呢？来看角三跟角四，这两个角恰好是平行线 h q， m， r 之间所夹的内错角，它俩相等，因此角三等于角四等于二十度。刚才我们说过，只要计算出角三，就可以计算出角 g h m。 因为角 g h m 加角三等于角 g h q， 所以角 g h m 等于角 g h q。 减角三等于六十度，减二十度，这样我们就得到了目标角，角 g h m 等于四十度。题目就解决了，我们都做完了，总结一下吧， 只要是平行线间夹着折线段的问题，不管怎么折，折多少次，我们只要在每个角点处做出一条平行线来，沿着角点的顺序一组一组，利用平行线倒角就可以解决问题。 坐平线时可以向左坐，也可以向右坐，我们一般喜欢选择角度关系更简单的同位角及内错角解决问题，就这样吧，拜拜。

三年级下册必考的求角度问题，先看第一题，题目告诉我们，角一加角二等于一百三十度，角二加角三等于一百二十度，求角二是多少度。 做这类题不能只看给的条件，要学会找隐藏条件。比如图里角一、角二、角三拼在一起是一个平角，也就是一百八十度， 所以得出角一加角二加角三等于一百八十度。我们知道角一加角二等于一百三十度，那么角三就等于一百八十度，减一百三十度等于五十度。再看第二个条件，角二加角三等于一百二十度， 角三刚才求出来是五十度，所以角二就等于一百二十度，减五十度等于七十度。我们继续来看第二题，已知角一加角二加角三等于一百八十度。求角四加角五加角六的度数和是多少。 这类型题都有一个隐藏条件，就是平角，这是重点，要记下来。我们开始找隐藏条件。图里有三组角，每一组都拼成平角，所以可以找出这些隐藏条件。 角一加角四等于一百八十度，角二加角五等于一百八十度，角三加角六等于一百八十度。把这三个算式加起来，那就是角一加角二加角三加角四加角五加角六等于一百八十度，乘以三， 我们给它加上括号，再计算出结果。题目说角一加角二加角三等于一百八十度，所以角四加角五加角六等于五百四十度，减一百八十度等于三百六十度。你还有其他解题方法吗？

三下的数学第一单元这个角，不知道有没有人要吐槽一下的？我要吐槽一下这个知识断层太严重了，原来那个角是四上第八单元的， 他们那个那个角还是比较简单的，还没现在这么难，因为这个单元我带完了以后，我发现他不仅要考角的基础知识，平角、钝角，什么周角、直角， 他最后还要考到有数角，还有就是角的度量，你说量角器如果用不数，你真的是会量错的。还有 量角器如果是不是那么标准，比如说四十五度，你量成四十四度、四十六度，这个都是很有可能的。还有角度的计算，它里面还加了和倍差倍， 很难。现在的教感很看不懂就特别难，家长有的时候他也不懂。你比如关于关于两个三角板怎么拼角这个还有用圆规、尺规做图，这个尺规做图是七年级八年级，其实 我才我带的时候他们也用这个，你说给他放到小学三年级也去用这个是确实有点早，所以说确实越来越难了。家长也是，有的时候也没有办法教，家长跟我说有时候也没办法教，自己也不会，确实是比较难。哎，孩子还得多的看一看题目，多做一做。

最近三年级必考的角的度数问题被家长问疯了，孩子特别容易出错，这本质原因呢，是孩子容易忽视组合角的部分，看问题不够具体。今天于老师呢一个视频，教大家如何不重不漏地列出所有锐角，让孩子以后呢，再碰到同类题，一通百通。我们来看题呀， 题目说图中所有锐角的和是二百七十度，又告诉我们角一等于角三，让咱求的是角一等于多少度？ 很多同学一看，哎，角一，角二，角三，这不三个锐角吗？然后他们三个又相等，所以这道题目就是三个锐角二百七十度。那我算一个二百七十除以三。错了，为什么？因为在这里边，除了有单个的锐角，还有什么？ 还有组合的呀？比如说，这个角一跟角二是不是也能组合成一个锐角？所以啊，少了组合的，那就少了很多其他的角啊，少了很多其他可能性，那你这题不就做错了吗？ 所以接下来，咱们有顺序的把每一种角都给它列出出来。我们先说单个的啊，来单个的， 那就是角一，角二，还有角三，对吧？那除了这个之外，还有两两组合的。大家看啊，我就写一个两啊，就代表两两组合的。那哪些是呢？比如说角一加角二，咱把它写一下。 还有角二加角三也可以吧。哎，他俩合起来也是一个锐角，有同学说，那角一跟角三咋不行呢？ 他断开了，没有形成一个角，对吧？所以角一加角三不可以啊。那再接下来，除了单个的两两组合的还有什么？ 还有三个的三个的是什么？就是角一，角二，角三这一个大角吗？咱把它写一写啊，角一 加角二加角三，这不也是一个锐角吗？对吧？所以接下来你看一二三四五六六个呢，你是不是少算了很多？那然后我怎么去算呢？因为题目中说了，角一等于角二等于角三， 那方便我们计算的方法，是不是就把这里边所有的角二啊，角三呀，我都看成什么？我都看成角一。来，咱们把它直接改写一下啊，这角一，角一，角一，这是几个？角一三个来，角一加上，角一，角一，再加角一，这是几个？角一 四来这边角一加角一，再加角一，这是几个？这是三个来加一，加三，加四，再加三，一共有十个角一。 明白了，所有的锐角就是这十个角一，对不对？或者说就相当于十个角一，十个角一是二百七十度，那你说角一呢？是不是二百七十度除以十啊？那么我们能够算出来角一是二十 七度，所以题目问求角一是多少度啊？那角一就是二十七度。这题是不是就做完了？ 总结一下啊？以后再遇到同类题目的时候，先把题读通顺，理解题目要求的是什么。再接下来呢？有序每举，不能重复，不能遗漏，你学会了吗？看完觉得有收获，想要系统跟着于老师学，让孩子思维计算早点开窍的家长可以点关注来我的直播间。

两道求角度的问题，我们看第一个，角一加角二等于一百四十度，角二加角三等于一百二十度，问角二等于多少度？ 好像根据他给的这两个算式啊，我们很难求出角二是多少吧？好，这个时候啊，我教大家，你一定要回到这幅图上，看看从图里面啊，还能不能挖掘出一些隐藏的条件。比如说我们来观察这幅图，有角一、角二、角三个角，是不是？那你来看一看这三个角有什么联系吗？ 哎，我听见了，你看角一、角二、角三合起来就是一个什么角，哎，这是不是我们挖掘出来的新的条件？那既然他是平角，那角一加角二加角三就等于多少度？八百八十度，对吧？好，我们就把他这个隐藏的条件给他写出来，角一加角二加角三等于一百八十度， 对吧？好，接着我们用我们挖掘出来的这个条件给他写出来，角一加角二加角三等于一百八十度，对吧？好，接着我们结合第一道算式， 你能求出来什么呢？看一看，角一加角二加角三等于一百八十度，角一加角二还等于一百四十度，你告诉我能求出来谁？角三角三、角三怎么求？ 一百八十乘一百四十。哦，角三是不是就等于一百八十？把角一和角二的和去掉，对吧？那我们把它写出来，角三就等于一百八十度，也就是他们的总数减去角一加角二，也就是他们的总数减出来了，等于一百八十度。减去多少？ 一百四十度就等于多少度啊，四百四十度。你看角三求出来了，我们继续来看，角三求出来了，我们就到式子里去找有关于角三的式子， 还有角三的式子，第二道对不对？哎？角二加角三等于一百二十度，角三还知道了，所以谁就求出来了？角二是不是角二？那你告诉我角二等于什么？ 一百二十度，哎，是不是等于他们的和也就一百二十度减去角三呀？对不对？就等于一起说一百二十度减去四十度等于八十度，现在觉得简单了吧，对不对？最关键的一步是什么？ 我们要到图里面去挖掘这个隐藏的条件是不是？那这个里面我们就填八十度。带着这个经验，我们再来看第二个题目， 这个题目的角有点多啊，而且只告诉我们角一加角二加角三等于一百八十度，让我们求角四加角五加角六， 难度好像更大了。没关系啊，结合刚才的经验，我们要到图里面去挖掘什么呀？信息，看看有什么好挖掘的。好给大家一点提示。角一和角四有什么关系 哦，这两个角加起来正好是平角，哎，是吧，那我就把它写出来，我们发现了角一加角四等于多少度？ 一百八十度，那同样的道理啊，还有这样的吗？三和五，那你说我写角三加角五，角二加角六，一百八十度，还有角二加角六，角二加角六也等于一百八十度，接着我们就结合他给的条件啊，就是这个和这三个算式， 这三个算式如果我们把它合起来的话，你告诉我左边就变成了什么？就把角一、角二、角三、角四、角五、角六全给加起来，告诉我左边就变成了角一加角二、加角三、加角四、加角五加角六，是不是我把这六个角都加起来，你告诉我等于多少度， 对吧？等于多少？是不是三个一百八十啊？对吧？那三个一百八十是多少呢？五百四十八十乘三是不是等于五百四十？所以等于五百四十，对不对？好了， 那写到这了，还要我给你提示吧？不要看看角一加角二加角三等于一百八十度。哎，这里有没有角一加角二加角三？有，所以他是一百八十度。这个时候五百四十块钱让我们算角四加角五加角六，是不是就能算出来了？五百四十减一百八十，五百四十等于一百八十减掉，是不是就是他？对，所以来 角四加角五加角六等于五百四十度，减一百八十度等于多少？三百六十度。

关于数角问题啊，我们上个学期接触过，这个学期又遇到了，那么怎样能把角数的准呢？要有一个思想叫有序，我们知道角是由一个顶点和两条边组成的，所以在数角的时候，我们可以先去找这些角的顶点，然后一个点一个点的数。 先看第一幅图，这里就可以作为一个角的顶点，那么它发出了很多条边，我们给他起个名字，一会我们好说，这个叫 a， b， c， d， e， 那 我们就先从 a 开始， a 和 b 形成了一个角，这是一个什么角呢？锐角，锐角，那我们就在锐角的后面写上小一，一边写一边在数。好吧，好，现在该写了。 a， c， c， a， c 是 什么角？直角，哎，你是怎么看出来 a， c 是 直角的？ 看看这里，他给了我们打了一个直角的符号，看到了吗？嗯，那既然这个角是直角，那你说这个角是什么角？直角啊，也是直角，因为这是一个平角，这边是直角，那另外一边也是直角，对吧？所以这是一个直角。写一个直角，继续，该谁了？ 该？ a， b， d， e， 这是什么角啊？大于是角了，是钝角。继续， a， e， 什么角？钝角加一，继续 a， f， 这是什么角？哎，这是一个平角，对不对？好，那以 a 为起点的这条边所有的角，数完了吗？ 数完了是吧？好，现在该谁了？ b， 我 们把里边给它擦一擦，要不然太乱了，该以 d 为起点了，一起来数啊，来， b， c 对 角，对角加一 b， b 角，锐角加一 b， e， 直角，直角，你看，这里打了直角符号了啊，所以它是一个直角，继续 b， f， 锐角加一，数完了吗？数完了。 好，接下来该谁了？ c， 哦， a 数过了， b 数过了， c 了， c， d。 什么角？锐角，锐角加一 c e 锐角加一 c f， 直角，直角。你看这里有直角符号是吧？直角加一，数完了吧？嗯，好， c 数完了， d 好， 该 d 了。 d 一 对角，对角加一 d f 对 角加一， 数完了。 d 数完了吗？数完了，好，该谁了？ e 了？ e， f， f。 什么叫对角加一？还有吗？没有，没有了， e 数完了。好，接下来该谁了？ f， 是 不是？哎，从 f 还可不可以？可以，他和谁呀？ a， a， 他 旋转到 a， 那 这个角是他们俩形成的，角是平角，平角加一是不是？好，全部结束了吧。嗯，最后再把它算下来等于多少来？一二三四五六七八几个八个对角，直角是三，对角是三，平角是二。

三下必考的易错题剪纸问题，我们来看第一幅图，这棵小树就是这样对折起来的，我们把它打开，你会发现它可以剪出一棵这样的小树。第二幅图，这有两棵小树，问对折几次可以剪出来？ 我们用实物来演示一下，这是两棵小树，给它对折一次，变成一棵小树，再给它对折一次，变成小树的一半，所以这里是对折了两次。最后问我们这四棵小树需要对折几次，我们再来演示一下，这有四棵小树， 先给它对折一次，变成两棵，再对折一次，变成一颗，再对折一次，变成一半。所以这里就是对折三次剪出四棵小树。 这个规律就告诉我们，每多对折一次，减出的数量就乘二。每一周学完，就让孩子去做一张这样的同步周考卷，孩子能够做到及时巩固所学，你就会知道他的基础知识掌握的格外扎实。 你看，这就是孩子们都在练的周末小卷，与改版后的教材同步，这里总结的都是常考题型，还有重点题、新趋势题，遇到重点题还可以看视频讲解，让孩子就这样做好，一周一练，成绩提升，一眼看得见，语数英都有。

八、根据角的特点，人们设计出度量角的工具叫做量角器， 我们之前直角，用过三角板上面的直角去给他量出他的直角，那么在这里我们 度量所有角任意角的工具是什么呢？量角器，量角器就是老师手里面去量的， 我们以后日常中去运用，怎么去量一个角的度数大小就可以用。我们这个新的朋友叫做量角器，最中间的这个位置是他的中心， 那么底下这个水平的线叫做零刻度线，它分成两圈，一圈里面呢有零十二十，一直到一百八，这叫做内圈的刻度， 外面还有一圈零十到一百八，这是外圈的刻度， 他的最大的刻度呢就是一百八十度，他正好是圆周角的一半，他也是平角， 平角的度数就是一百八。那么我们刻度线上面还有最外面的一层，这一层密密麻麻，相当于把我们的 半圆形的平均分成一百八十度，所以每一个小格所对应的角就是一度 一度。好，同学们对于两角器的认识，认识好，明白了吗？我们总结一下，两角器，它有一个中心点，有一个零刻度线，它分为内圈刻度和外圈刻度，它总体是一百八十度的半圆形。 好，这就是我们要学习的量角器。在量角器上先从右边起，依次找出零度二十度、九十度、一百三十五度和一百八十度的刻度线，再从左边起，依次找出这些刻度的刻度线。 好，我们如果从右边开始去找的话，从右边开始去找的话，零度十度、二十度、三十度、四十度、五十度、 六十度、七十度、八十度、九十度，我们可以找到我们所需要的零度、二十度、九十度、一百三十度和一百八十度的刻度线，从这找， 那你会发现我们从右边起开始去找的话，为什么看的是里面，不看外面的？因为外面是一百八度、一百七十度，一百六十度倒着的，所以我们从右边开始去找角的话， 我们是从读的是内圈刻度。如果从左边开始去找，零度、二十度、九十度、一百三十五度、 一百八十度的话，我们是从外圈刻度去找，所以同学们记住了吗？如果我们量一个角， 从右边开始去找的话，那么读的是内圈刻度。如果从左边开始去找的话，我们去找的什么？看的是外圈刻度。 好，那么你能在两角线上找出一个五十度的角吗？可以，可以从内圈的零度刻度线开始，然后呢向 右边起开始去找，找到了五十度的刻度线，也可以从外圈外圈，你看他首先从零刻度线开始，然后呢从左边开始读外圈刻度，然后读到了 五十度，还可以从任意读书开始，我们比如从这里，从这里开始，我们从二十度开始，我们要读五十度的角的话，要读到七十度。他们相差什么？相差五十度，那我们可以数格子，因为一个格子 代表一个小格代表一度，一个大格代表五度，我们可以数一二三四五六七八九十，对吧？总共是五十个， 五十个小格，所以它代表五十度，十个大格代表的是五十度，这个我们可以根据度量单位一格或者是一大格去算好 量角怎么去量？先点对点，接着线对边，最后读数要看另一遍。点对点的意思，两角七的中心点要对准我们背侧角的顶点，线对边，零刻度线要对准我们角的一条边。 读书要看另一边，我们就要看角的另一边。在两角器上的刻度线对准的是哪些？对准的是哪一个，那么我们读出来就是他的角度。 若开口向右的话，如果脚的开口向右，我们就读另一圈的度数。如果开口向左的话，那我们就读外圈的刻度。好注意在了解记上找角时要注意什么？ 我们要注意什么呢？注意数小格要从什么零刻度开始？连续的数别数错方向或者是漏数。好，这个是需要我们去注意的。

已知角一、角二、角三的度数之和是一百八十度，且角二是角一的两倍，角三是角一的三倍。问，角一、角二、角三分别是多少度？这道题目更过分了啊，连图都没给我们，是吧？但是没关系，我们一起来看看。除了知道这三个角的和是一百八十度之外，还知道什么？ 脚？脚二是脚一的两倍，脚三是脚一的三倍，两倍、三倍。哎，是不是我们以前学过有关于背的知识啊？对，是吧，你看他把背的知识和我们新学习脚的知识结合起来了。但是我们回忆一下啊，我们解决背的知识谁是谁的几倍的时候，我们喜欢 渐背，就画图。画什么图？线段图。好，那现在我们也来画线段图，解决这个角的问题。首先角二是角一的两倍，谁大？角二、角二大，是吧？那我们就把谁看作一份，角一是吧？好，角一看作一份，这是角一，我们给他画 一段，表示一份，然后角二就要画这样的几份，两份， 一份、两份，对吧？好，继续。角三又是角一的三倍，那角三就要这样的几份？三份、三份、一份、 两份、三份。好，你看这两句话是不是已经被我用线段图表示出来了？对，好，我们把另外一个条件给他补到图里面去。三角之合是一百八十度，所以这这些合起来是一百八十度。好了，看看这个线段图 都是这样的相等的小段，我们来数一数一共有多少份？一份两份，三份四份五份六份，一共是一百八十度，所以一份是 也算是八十度。一百八十度除以六等于三十度，所以一份是三十度。接下来能不能求出角一？角二，角三十度乘一等于三十度，对吧？角二呢？三十度，三十度乘二乘二 等于六十度。角三呢？三十度，三十度乘三分等于六十度。