如何用纸币折出一个等边三角形？

一个等边三角形经过适当切割，再用角链连接后，竟能重新拼合成一个正方形？这一有趣谜题出现后，数学界就设计出了更多经验的变形方案，但一个核心疑问始终悬而未决，任意一对多边形都能通过带角链的拼片互相转化吗？ 过去很长一段时间，调带法是解决这类问题的主流方案，其思路是先将两个图形分别重复连接成带状结构，再让它们重叠，最后根据交叉区域确定切割线。 但这个方法有个明显的问题，不够灵活应对简单图形尚可，面对复杂图形时，不仅难以将其转化为带状结构，还需反复试错才能找到可行的切割版本，局限性十分明显。 想要突破瓶颈，不妨退一步思考。若拼片不通过绞链连接，仅单纯切割拼接，这个问题看起来就好解决多了。比如，把一个三角形变成长方形，步骤很简单， 先画出三角形的高，从中点切一刀，再将顶部沿高切成两块，即可轻松拼合。这一方法适用于任意三角形，只需裁剪好上半部分，就能与下半部分完美契合。当然，这种方法适用于任意三角形，只需裁剪好上半部分，完美契合。当然，这种方法也有局限，若想得到更窄或更宽的长方形，就需要换一种变形思路， 将目标长方形叠在原有长方形上，画一条对角线，沿对角线切开后平移，拼片多出来的尖角恰好能塞进另一边的缺口，实现完美适配。那么，任意一对多边形能否通过切割互相转化？答案是肯定的， 无论多边形多么复杂，都可将其切割成若干三角形，而每个三角形又能转换成长方形，最终把这些长方形拼接起来，就能组成一个大正方形。 反过来，一个正方形也能被切割成任意形状的多边形。将这两步结合任意两个多边形之间的转化，就实现了中间的正方形相当于一个中转站。 利用这个方法，你能把任意出使多边形变成任何想要的最终多边形。最后就是那个悬置百年的终极问题，任意一对多边形都能通过角链连接的拼片互相转化吗？答案是肯定的。 第一步很简单，直接在拼片的脚上安装铰链，不会影响变形效果。真正的难点在第二步，当需要平移一整块拼片时，根本找不到合适的位置安装铰链，这时候就会想，要是有个链条能拖着拼片移动就好了。 对啊，为什么不切出一条链条呢？这就是链条法。用角链移动一块拼片，需切割出两条由三角形拼片组成的链条，一条是连接拼片出使位置与目标位置的主链条，另一条是放置在目标位置的填补链条。 移动过程并不复杂，先拆开主链条与填补链条，再收起主链条，然后再将填补链条放入主链条原来的位置即可。拿正方形来说，链条看起来就是这个样子的。 这种链条的妙处在于，组成它的三角形，既可做的很长以实现远距离移动，又可做的很细，以节省空间。比如，要将最后一块拼片移到最终位置，只需以一条边为基准，切割出一条长链条即可。

如果只能切三刀，怎么把正方形转化成等边三角形？这是你的做法，先把两个多边形重复连成带状的，然后将二者重叠在一起，直到找到符合的切割位置。但你应该也看出来了，这种方式需要反复试错，工作量极 大。咱们再来看看数学家们是怎么做的。 二十世纪初，数学谜题大师亨利杜德尼发现，正方形与三角形可以像这样，先在三角形的中间切一刀，然后将顶部沿高切成两块，它就变成了一个长方形。 下面将长方形放在正方形上面，沿对角线切一刀，再拼接完成，再通过绞接的方式来回转换。比如往上扭是正方形，往下扭就又变成了三角形或者五边形、六边形、 幼盲心等等。那时的数学家们可谓是玩的不亦乐乎，甚至于设计师们还以此为灵感来制作家具和时钟摆件。但与此同时，新的问题也接踵而至， 那任意形状的多边形都能通过一个相同的铰链切割互相转化吗？答案是肯定的。 任意形状的图形都能分割成许多个三角形，而三角形又能转化成长方形和正方形，那反过来，自然也能将正方形转化成三角形后再变成其他形状。 不过看起来容易，实际操作起来就复杂多了。像从三角形到长方形，可以通过制造两个角接点来完成，但是从长方形到正方形就难办了，那有啥好方法吗？练式移动法。 他的做法是，先在切割线上切一条主链条，再在终点位置切一条副链条，然后收起主链条，并把副链条填补到原来的位置， 这种拆开再重新连接的方法，可以让我们随意移动图形上的拼片和绞链，实现想要的效果。这就是多边形的分割转换法。 那如果换成曲线呢？比如一个圆还能把它转化成正方形吗？二零二二年，华为大学的数学家们就提供了一个化圆为方的证明， 但代价是他们把圆分解成了十的两百次方的碎片。

教程开始了，以中线为准对折两次，四个角折为等边三角形。再次以中线为主对折两次，两个为一组，用定数器定在一起，三个为一组， 整理整齐，前后一致，用扎丝固定，旋转扎丝勒紧多余用剪刀剪掉。 开始摆开每一半，半与半距离平均， 然后开始掰花瓣，整理好每一半， 看好标记位置，确保每一层都一样。出成品了。同样步骤为四瓣一组，四瓣难度加大，注意美白大小一致， 最终效果展示。

这里有一个单独的等边三角形，我们在其中一条边上取一个点，再在另一条边上取一个点，然后按照图中所示画出这条折线。你可以随意沿着边移动这两个标记点。 注意这条黄色折线的最短长度是多少？动画可以帮你得出正确的猜想，但最有趣的部分是，如何证明他有思路吗？我建议你先暂停视频，自己思考一下解法。马上就来 想象一下。黄色折线的三段分别位于各自的小三角形上，我们把它们像明信片一样折叠拼合在一起，再将其展开。折线的总长度并不会改变。你能想到最后一步该怎么做了吗？ 为了让大家更容易理解，我再把核心思路梳理一遍，我们就把它当做折叠明信片。不需要用到三维空间的思路，我们只需蛊惑出两个等边三角形。利用对称性平移这些黄色线段之后，就可以运用我们熟知的几何不等式了。 黄色折线各段的长度之合不小于连接折线两个端点的线段长度，因此我们所求的折线长度至少为二，并且等号是可以取到的，即最小值恰好为二。

成也数学，败也数学，秋班的几何题是别有一番风味的，今天就让书院李学长继续带领大家走进秋班几何的世界吧。下面我们来看一下二二年华尔秋班真题的第十一题，也是最后一个题， 给了我们一个等边三角形，给了内部一点满足 d、 b 等于 d a， 那 就意味着 d 在 a、 b 的 中垂线上， p 是 平面上。一点满足 b、 p 等于 ab， 那 就说明 b、 p 和等边三角形的三个边都相等。 又告诉我们角 p、 b、 d 等于角 c、 b、 d。 根据这两个条件，我们会发现，如果我们连一下 c、 d， 我 们就会发现这两个角是相等的，因为它等于等边三角形的三个边， 我们就得到了关于 b、 d 对 称的两个三角形。三角形 b、 c、 d 与三角形 b、 p、 d 让我们求角的度数，利用对称性，我们能成功的把角 p 转化为角 b、 c、 d， 也就是我们只需要求角 b、 c、 d 的 度数，最开始我们就得到了 d 在 a、 b 的 中垂线上，而作为等边三角形， p 也在 a、 b 的 中垂线上。由三线合一，我们可以知道 角 b、 c、 d 和角 a、 c、 d 相等，都等于角 a、 c、 d 的 一半，那也就是都等于三十度数院学长小课堂，点赞、关注加收藏！

九岁精通数学第一集等边三角形你知道等边三角形是正三角形，三角边都相等，三个角也相等，都是六十度，他是特殊的等腰三角形。当等腰三角形中有一个角是六十度，他就成了等边三角形， 不信你看。如果等腰三角形一个底角是六十度，那等边对等角，这个角也就是六十度。三角形内角和是一百八，这个角显然也得是六十度，他就得是等边三角形了。 那如果等腰三角形的顶角是六十度，那这俩角的和就是一百八减六十得一百二，每个角自然都是六十度，它也是个等边三角形，所以含有六十度角的等腰三角形就是等边三角形了。 既然等边三角形是特殊的等腰三角形，那等腰三角形的性质它都有。比如三线合一，取 b、 c 中点 d 连接 a、 d， a、 d 显然是中线，当然也是高，也是角平分线， 那这两个角就都是三十度。如果你把方向换一下，取 a、 c 中点 e， 那 b、 e 就 也是中线，显然 b、 a 等于 b、 c 这条中线，三线合一，这也是高，也是角平分线。再换个方向，取 a、 b 中点 f， 那 c、 f 还是中线，这两条边相等， 那他就还是三线合一，这是高，这就得是角平分线。你看，正三角形有三角，三线合一，而他们刚好交于同一点，这个点叫正三角形的中心。正三角形的性质相当好用，来个小题试试呗。 他说等边三角形 a、 e、 b、 c 周长是十二，也就是说这个三角形是个等边三角形，周长是十二，那每条边就是四呗。然后 d 是 a、 c 边上的中点，这个点是中点，那它就是中线呗。哎，三线合一，那这儿就得是直角，这儿里有数角、平分线，这两个角就都是三十度。 还有 d、 e 等于 d、 b， 也就是这两条线相等，他问 c、 e 的 长度是多少，也就是要求这一段长，似乎不太好做。别急，先根据已有的数字，把能求的线段求出来，这儿是四，它是终点，那这两段就都是二，感觉它离目标线段很近呢。这要是个等腰三角形就好了， 那咱就倒角正一下，这是三十度，这两条边相等，那这个角也是三十度，这个角是三角形的外角，他是六十度，等于这两个角的和，那他就是三十度，那这就是个等幺三角形了。这两条边相等，他也是二，这就是答案了。搞定， ok， 又到总结时间，等边三角形，三条边向的三个角都是六十度，有三角三箭合一，而且等腰三角形中只要有六十度，他就是个等边三角形了。好了，为师这就讲完了，他们速速刷题去吧！

亲爱的家人们，今天咱们来玩个特别的游戏，既能让孩子认识图形，又能动手又动脑。不知道你们有没有发现，孩子对那些花花绿绿的几何图形特别感兴趣，我家宝贝就总喜欢拿着积木搭来搭去。 今天咱们要认识的是等边三角形，就是那种三条边一样长，三个角也一样大的三角形，看起来是不是特别规整呀？ 接下来就是动手时间了，咱们可以和孩子一起用等边三角形拼出各种不同的图案。比如咱们来试试拼个六边形，你们猜猜需要几个等边三角形？对了，六个等边三角形就能拼成一个漂亮的六边形。 如果想拼一些不规则的图形呢？那就更有趣了，一般用三到八个不等， 具体用了多少个，就让孩子自己数一数，数清楚就好了。这个过程不仅能让孩子熟悉三角形的特点，还能锻炼他们的空间想象力和动手能力呢。 妈妈们，你们平时都是怎么和孩子一起玩图形游戏的呀？欢迎在评论区分享你们的小妙招，咱们一起交流，让孩子在玩中学学的更开心。

同学们，昨天我们学了全等的一线三等角模型，今天我们学习全等必考模型，手拉手模型，一分钟搞定！ 手拉手模型，我们要记住三个特征，共顶点、等线段、夹角相等。那共顶点的意思就是，呃，比如这两个等腰或者等边，他都可以啊，他共用了一个顶点。嗯， a 等线段呢？如果是等腰或等边，在这个 a、 b、 c 里面， ab 和 ac 相等，在 a、 d、 e 里面， a、 d 和 a、 e 是 相等的。共顶点、等线段、夹角相等，哎，就是 这两这两个角，它会给我们给出来的。如果是个等边三角形呢？ b、 a、 c 等于 d， a、 e 就 等于六十度。如果是个等腰，它会告诉我们这两个角向的。 那我如何去正全等呢？你这个时候他肯定还会去把这个三角形里面的 b、 d 两点连出来， c、 e 两点连起来。我们要证明 a 三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 全等，还差一个角呢。呃，我们知道角一加角二等于角二加角三 啊，用等量减等量差相等，可以得到角一等于角三，然后边角边用边角边，可以证明这两个三角形全等。 当然了，手拉手全等里面还有正方形，手拉手的全等，那正方形里面呢？呃，它会把 b、 e 和 d、 h 连起来，证明这两个三角形全等跟刚才的证明方法是一样的啊。然后我们来看一下，如果转到 这两个正方形 没有镶嵌在里面的时候呢？这个时候我们在证明角的时候跟刚才有一点不一样，一、二、三，因为角一和角三都是直角。 嗯，如何去推这个角呢？要用等量加等量和相等， 因为角一等于角三等于九十度，所以角一加角二等于角三加角二，所以我们可以得出来，角 b、 a、 e 等于角 d、 a、 h。 然后再根据边角边就可以证明这两个三角形是全等的，就三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 d、 h 全等。这里面我们用到的全等模型呢？跟刚才是一样的啊，都是用到的是边角边模型，正三角形全等 秒杀！口诀要牢记，共点等线、夹角、铜拉手，一连就全等！考试就可以直接套！学会点赞关注，下期带你刷真题！

拿到一个题，我们不要上来就做，应该先观察，尤其是平面图形类的题，那么我们来看这道题，这道题说的是等边三角形在直线上滚动一周，求红色顶点的轨迹长度之合。这是一个边长为三厘米的正三角形， 他要想在直线上滚动一周，他的每一个顶点都要做一次旋转中心，所以我们来操作演示一下他的一个运动的轨迹。我们先来看第一次，然后再来看第二次，第三次，一周是不就结束了，对吧？那我们会发现在这个过程当中，红色顶点他的轨迹是一个曲线的形状，那我们来将他的轨迹展示出来。 那么第一根轨迹，我们来看这根轨迹应该如何求呢？它其实只带的就是圆周长的一部分，我们应该找到半径和圆心角， 所以我们会发现它的圆心角对应的是很好找的，这是一个六十度，所以我们找到这边的圆心角是一个一百二十度，半径刚好是正三角形的边长三，所以我们可以推出来三百六十分之一百二十乘上二拍二， 这个半径，也就是乘三即可。我们发现第二根的弧长其实与第一根的弧长是一样的，它的轨迹都是相同的，我们可以在第一根弧长的基础上 直接乘二即可，那这道题我们就都能求出来了，所以最后汇总一下，他应该是三百六十分之一百二十乘上二，再乘上 pi， 再乘上一个半径三，最后再乘上二二，代表的是两根弧的长度。

第五题，这个题呢，首先我们看啊，这个里边的话，他已经给你什么说这个，他说这个阿尔法等于个六度， 你说这个 ab 等于 ac 的 话，那言文意思是 abc 什么是一个等边三角形嘞，是吧？当 d 的 什么在 c、 b 延长线段的时候， ok， 那 么他说是 ab 怎么着？ a、 d 绕 a 点旋转，阿尔法到 e 嘛，也就是说这个 a、 d、 e 啊，首先你买的什么是等式数是吧？他一进来又把这个六十度给你固定的，算六度，哎，把阿尔法告诉固定六度了嘛。所以说这个 a、 d、 e 呢，就是一个等边三角形嘛，这 abc 等于三角， a、 d、 e 是 等边三角，比如说手拉手全等就出来了，是吧？也就是说 a、 d、 c 和 a、 b、 e 就 全等了嘛？ 啊，这个 d、 e 全等于三角形是吧？这个 a、 c、 d 的 啊，它们俩全等好，然后呢，它往那里正把正，这个 b、 f 等于把等于个 d、 f 加上一个 b、 c 呢？ b、 f 这样指示，然后 b、 c 这样指示，是吧？好，首先我们看 b、 f 跟 c 有 关系啊， b、 f 跟 c 有 关系啊，这里边的话，你看啊，就是 它俩全等以后，我们得到角 a、 b、 e 和角 c 等于六度吧。那 a、 b、 e 等于六度以后，那这个角 e、 b、 f 啊，就这个角， 这也六度，为啥？因为 a、 b、 d 等于一个一百二十六啊，六十度，不讲了，一百二十一百二，再减去六十等于六十了，这个是六度，对吧？那这个是六度的话，也就是说这个角 b、 e、 f 就 等于三十度呗，三十度所得角为十一一半，是吧？当然了，你可以用什么？用口径六度等于二分之一也可以啊，比如说这个 b f 什么是等于一个二分之一倍的？什么？这个 b e？ 不 管你怎么写，你写两倍的 b f 说等于一个 b e 为 k 啊，那 b e 等于谁啊？ b e 是 不是等于 c d 啊？那 c d 等于什么？ c d 的 话就等于 d f 加上一个 b f 加上一个 b c 嘛？你把 b f 抵消一个，说 b f 里面等于一个 d f 加 b c 就 出来了啊？那这个。

一线三等角模型在初中阶段是非常典型的模型，在我们学完全等三角形之后，像这种一线三等角模型啊，经常会出现啊，因为它经典，所以说它会多反复。 下面我们来看一下如何运用一线三等角解决问题。如图，在等边三角形 a、 b、 c 中 放置等边三角形 d、 e、 f， 且点 d 和 e 啊，分别落在边 a、 b 和 b、 c 上， a、 d 等于五，连接了 c、 f， 若 c、 f 平分角 a、 c、 b， 则 b、 e， 它等于什么？首先我们看一下这个里面出现了两个关键词啊， 等边三角形啊，这也有等边三角形，那这两个等边三角形对我们来说有什么用？既然是等边三角形，那它具有了性质，你要迅速的在脑子里反应过来，对不对？三个边相等对吧？三个内角是六十度啊，对不对？ 那在这条线上你会发现这个有一个六十，这个有一个六十，对吧？我们进来讲是一线三等角，那这里面只有两个角，那这条线上还有其他的角吗？有人说这边有角对不对？但是这里面我们看不出全等，这题目还有什么条件啊？我们再标一下 a、 d 啊，它等于五对不对？ 然后这里面还有一个角平分线，对吧？两个角相等啊，那这里面求的是 b、 e 是 不是？那么既然是求 b、 e 的 话啊，我们要么是直接去求对吧？要么间接去求对吧？如果直接去求的话 啊，一般情况下我们是用勾股定力，对不对啊？这里面没有明显的直角三角形，使得 b、 e 在 里面，是不是？所以我们怎么办呢？啊？我们要运用这个啊，用这个等边三角形呢？他的两个边呢？啊，应该说是三个边都相等，是不是？ 你看这个两个边相等，这个角等于这个角，在这条线上，你是不是想到去构造构造全的三角形，是不是这有个六十，这个六十这边再构造一个六十，给他一个 m 点， 那如果这也是六十的话，是不是能得到这个三角形和这个三角形全等？什么理由呢？这个边和这个边相等，这个角和这个角相等都是六十，是不是还有什么呢？其实我们知道了这个角呀，和这个角相等都是六十，是不是还有什么呢？其实我们知道了这个角呀，和这个角它也相等， 能看明白吗？为什么呢？啊？因为这两个角相加等于这样一个大的什么外角，对不对啊？而这个大的外角是一个六十加上这个角，对不对？这两个角是六十加上这个角， 所以六十加这个等于六十加这个，那剩下的这两个不就相等吗？对不对啊？这样的话我们就可以用什么角角边证全等啊？好，这个是我们利用全等的判定条件，角角边去证明 三角形 b d、 e 和三角形 m e、 f 全等的过程啊，在这里可以到这里去看一下，跟我刚才讲的过程是一样的啊，如果说你不太理解的话，你可以仔细的看看这个过程，然后再接着听我去讲。 好，刚才我们证明了两个三角形全等啊，从而得到这里面的 b e 等于 f m。 那一个同学会想了，你告诉我 b e 等于 f m 有 什么用呢？那是不是就是说如果说我能求出这里的 f m 就 可以求 b e， 对 不对？ 而且这里面还有一个条件，我们没有用，对不对？没有去使用，哪个条件呢？就是平分对不对？既然我们知道啊，这个三角形啊，它的每一个内角都是六十度啊，等于三角形嘛，对不对？所以这两个小的角啊，它都应该都是三十度，对不对？ 那在这样的一个三角形里面啊，这个是三十度对不对？这个外角刚才我们说的是六十度，对不对？我们自己构造的，那这个角是不是肯定是三十度，对不对？所以说这里面的 f m 啊，和这里的 c m 他 也相等，对不对？同样我们前面的 b d 啊，和这里面的 e m 他 也相等，对不对？那剩下的这里的 b e 啊， 加上这里的 m c 呀，是不是就应该等于 a d 呀，对吧？这里是不是能听懂啊？而 a d 呢，它是等于五，是不是？而且我们这里面的 b e 加上 m c 就是 两倍的 b e， 是 不是两倍的 b e 等于五？ 那你 b e 是 不是就很简单了，等于二分之五啊？看明白了吗？ 希望通过这道题啊，让你对这个一线三等角的模型啊，有一个新的认识啊，新的感悟。好，前面我们讲了例题对不对？下面就是练习， 可以再次暂停一下，自己尝试的去做一做，看能不能把它做出来。下面我们来快速的说一下，在 r t 三角形 a b c 中角 a c b 等于九十度， a c 等于 bc， 那 说明这是一个什么？等腰直角三角形 d 为边， bc 上的一点 ce 等于二。问 s 三角形 b e c 既然是求三角形的面积，那我们得知道底和高，对不对？对于三角形 b、 e、 c 啊，我们知道的边其实只有 e、 c， 所以 说我们大概率可能说要以 e、 c 为底，是不是大概率是要用到 e、 c 这个边的，对不对？因为其他边你也不知道， 那这样的话，你看一下这个 e、 c 这个边呀，你看这个 a、 c、 b 是 直角，对不对？然后这个垂直他也告诉我了，是不是 c、 e 跟 a、 d 垂直啊？这里有个垂直符号，然后我们还要求三角形 b、 e、 c 的 面积，那你能不能想到延长 c、 e 呢？ 再过点 b 做垂直，这是垂足，对吧？给他一个点 m， 这样的话，在这条线上啊，在 cm 这条线上是不是有三个相等的直角？三角形这样在 cm 这条线上是不是有三个直角，对不对？ 那其实这跟我们前面讲的那个 k 型全等啊，十分的类似，对不对？ k 型全等是个什么样子的，应该有点印象。这里面既然我们这样做了一个辅助线之后啊，我们知道这里的 a、 c 啊，和 b、 d 是 相等的，对不对？然后这个是直角， 然后这个 a、 c、 b 也是直角，那这个时候我是不是可以证明啊，这个角和这个角相等啊， 对不对？怎么挣呢？这个 bce 啊，加上这里面的 ace 等于九十度，是不是？ ace 加上这里面的 cae， 它也是九十度， 根据等角的与角相等，所以这个角和这个角就相等，这样的话，这两个直角三角形啊，其实它们的角都相等，再加上这个 a、 c 和这个 b、 c 啊，两个对应的斜边相等，所以肯定能挣到全等。那挣出全等之后，是不是就能得到这个 c e 啊？和这里面的 b m 相等，也就是等于二，对不对？ 这样的话你求面积是不是很简单？把这个看成是底，这个就是高，对不对？底层高除以二，所以答案就是二，你学会了吗？

四年级下册第五单元要用的几何教具，一定要提前给孩子准备起来，不要等到老师上课要用的时候来不及买。翻开三角形这一单元， 老师会要求孩子借助教具来验证三角形的内角和这些抽象的几何概念，孩子凭空想象，难以理解。你看，把一个三角形的三个角裁下，再把它们重新组合在一起， 就能发现它是一个平角。所以三角形的内角和是一百八十度，而三条边相等的三角形是等边，三角形， 具有稳定性，而四边形的内角和是三角形的两倍，也就是三百六十度。这些知识点都是本学期的重难点。有了这套多功能磁力三角形演示器，孩子动手操作一下，可以更直观的理解。 还是磁吸的设计，拿起来也不会掉。透明收纳盒的包装带去学校也很方便，都给孩子准备起来。