平行四边形的编法，慢教程

平行空间手绳编法，取四根七十二号玉线。平行空间做吗？喜欢就点点关注吧！平行空间手绳编法，取四根七十二号玉线，主线十二厘米处打两个蛇结，固定黑线方向，起头打一组平结。 黑线在主线上向左打个弯，左白线从主线上方绕过来，从下方穿进黑圈里，两边线同时收线，不要收太紧，向上推一下，黑线方向起头，再打一组平结。 黑线在主线上向左打个弯，左白线从主线上方绕过来，从下方穿进黑圈里，两边线同时收线，不要收太紧，向上推一下，黑线方向起头，再打一组平结。 按照这个步骤一直编到手腕的长度即可，每次都是黑色方向起头哦。 结尾打两个蛇结，剪掉多余线头并稍粘，两端尾线相接触，做个平结的伸缩扣，尾线穿上两颗珠子。平行空间手绳做好了，你学会了吗？喜欢就点点关注吧！

宝宝，今天我们来学正方形，长方形，还有菱形，好不好？然后你先告诉我，现在你眼前的这个形状是什么形状？这是什么形状？这是 长方形。对，这是一个长方形。那长方形我们之前学了三角形，是有三个边，对不对？然后那长方形有几个边呢？长方形， 二三四四个边，对吧？那有几个角呢？四个，四个角。哦，那有四个边，四个角的，这个是长方形，对吗？ 哦，那四个边和四个角都是长方形吗？我这有一个。那这个是什么形状？正方形，因为它很正，因为是又不胖又不瘦， 但是每个边都相等，对不对？跟他的区别，你看他是这两个边长，对不对？那这个呢？这是四个边都一样长，对吗？ 所以这种正方形就是最特殊的长方形，知道了吧？然后呢，那我们再来看一下，那你看，同样都是四个边，四个角，那这个呢？他是正方形吗？他是，他是正方形吗？不是 正方形，你看他的四个角都是直角，对不对？对呀，他不是，他只有这样一个，但他的角很菱形，他的角不一定是直角，对不对？他的角可能瘦瘦的，尖尖的，扁扁的，对不对？他很胖啊？对，他有一个角胖胖的，对吗？ 对，所以你看啊，妈妈给你看一下。来，长方形他的对着的边是相等的。对，然后四个角都是直角，这个就叫长方形。那正方形呢？他是四个边 都相等，对吧？然后呢，他的四个角也都是直角，这种呢就叫正方形。嗯，知道了，对，然后呢，是菱形，菱形的四个边都相等，但是他的角不一定是直角，这种就是叫菱形。 接下来啊，考一考，你快问快答，哪个是正方形？对了，菱形，对了。

球友们，今天的手胶教程来喽！你们见过能铲出平行四边形的手胶吗？尤尼克斯这个铲法学会了，让球友都来问你，谁帮你铲的？先选一条延展性好一点的手胶，然后对折。准备工作就做好啦！ 从拍柄这个侧轮位置开始，沿着字母底部横着铲一条边，这边铲好之后，另一边也是一样的操作哦！ 这个时候手指要摁紧一点，沿着 logo 包一条平行边，包的时候稍微带点力，让手胶贴的更服帖。转到字母中间的位置，跟着外的边缘斜着往上缠，再往下走，包一半写上去，这个漂亮的平行四边形就出来了。 接下来再绕一圈，让底盖更圆润饱满一些。最后把剩下的手胶一点点打开，正常缠好就行了， 怕不够长的话，可以间隔大一些，防滑性反而更好。最后缠上封口贴，大功告成，你学废了吗？

这道八年级必会的经典题用到了平行四边形中一种常用的几何辅助线。题中给了我们一个平行四边形， a、 b、 c、 d， a、 e 等于 e、 b。 看得出来 e 点是 a、 b 的 终点，我们可以把 a 和 e、 b 的 长度呢都设为 a、 b， f， 比上一个 f， c 等于一比二，那我们可以把线段 b、 f 和 f、 c 的 长度呢，分别设为 b 和二 b。 让我们求线段 b、 g 与线段 g、 d 的 长度之比。 已知一些线段的比例关系，让我们求一些新的线段的比例关系，最常用的方法呢就是构造出相三角形，用相三角形对那边成比例进行转化，那么如何来构造呢？还是要想办法把我们的已知条件给用好。注意到一点是 a、 b 的 中点，也就是三角形 a、 b、 d 其中一条边的中点，这个时候我们就很容易想到构造出三角形的中位线。如何来构造呢？我们不要忘了我们还有一个平行四边形的条件。 在初中几何当中，平行四边形有一个非常重要的性质，就是平行四边形的对角线相互平分，所以我们只要连接 平行四边的对角线，通过这种辅助线呢，我们就可以得到 a o 等于 c o， b o 等于 d o， 从而找到了两个线段的中点。在我们这道题目当中，我们只需要连接一下 a、 c 与 b、 d 相交于 o 点，平行四边形的对角线相互平分，那么 a、 o 的 长度必然就等于 c、 o 的 长度， b、 o 的 长度呢，也就等于 d、 o 的 长度。这个时候大家再来看一下三角形 a、 b、 d、 e 点是 ab 的 中点， o 点呢是 b、 d 的 中点，我们自然想到连接 e、 o。 很 显然， e、 o 就是 三角形 a、 b、 d 的 一条中立线，那么 e、 o 必然就平行于 a、 d， 而 a、 d 是 平行于 bc 的， 所以 e、 o 呢，也平行于 bc。 同时，根据中位线的性质定律，我们知道 e、 o 的 长度也就等于 a、 d 的 一半， e、 o 等于二分之一个 a d， b、 f 和 f、 d 的 长度分别是 b 和二 b， 那 么 a、 d 的 长度实际上就是 b、 c 的 长度就是三 b， 而 e、 o 的 长度呢，等于二分之一个 a、 d， 自然也就等于二分之三 b 求出了 e、 o 的 长度。大家这个时候再来观察一下， e、 o 平行于 bc， 而 b、 f 的 长度呢，等于 b， 这个时候 b、 o、 e、 f 这几条线段是不是正好构成了一个八字形的相似模型？这个相似模型呢，也是我们初中几何当中经常用到的。图中我们只要知道 ab 平行于 c、 d 两直线平行内错角相等以及对顶角相等，我们就很容易知道三角形 a、 b、 o 是 相似于三角形 d、 c、 o 的。 在我们这道题目当中，既然三角形 e、 g、 o 是 相似于三角形 f、 g、 b 的， 我们就可以运用相三角形对应的边乘比例，轻松的去求出 b、 g 与 g、 o 的 比例关系。很显然， b、 g 比上一个 g、 o 就等于 b f 比上一个 e、 o， 也就是 b 比上一个二分之三 b。 把 b 约去，就可以轻松得出它就等于二比三， b g 比上一个 g、 o 等于二比三，那我们可以设 b、 g 的 长度为二 c， 那 么 g、 o 的 长度呢，自然也就等于三 c。 再根据平行四边形的对角线相互平分， g、 o 的 长度就等于 o、 d 的 长度，所以 o、 d 的 长度呢，实际上就是二 c 加上三 c 就 等于五 c， b， g、 g、 o、 o， d 这三条线呢，都让我们用含有 c 的 字母给表达出来了。所以 b g 比上一个 g， d 的 长度就很容易算，它就等于二 c 比上一个三 c 加上一个五 c， 也就是八 c， 也就等于一比四，轻松搞定。

平行四边形里藏着一个神仙结论，那加 b m 居然等于 c f， 三秒带你看透辅助线魔法，你看 d c b 三个点都向直线 l 做了垂线，现在要证明这两条短的加起来等于最长的这条 很多同学卡在这里，其实只要画一条辅助线，直接描解看好了。连接平行四边形，对角线 交凹就是终点，过凹做 o p 垂直于直线 l 这条成色线就是关键。因为 o 是 a c 中点， o p 又平行于 c f， 所以 o p 直接是 c f 的 一半。同理， o 也是 b d 中点， o p 又平行于 d 和 b m， 所以 o p 还是 d 和 b m 的 平均值。你看， 抓住对角线交点就是终点这个本质，再用中位线性质一步到位。这题还有结局法、延长法两种巧证，学会的扣一，没懂的扣二，我们下期继续学习。

五年级的图形旋转，大部分同学都会错，尤其是平行四边形的旋转，连好同学也会错，那么今天我教给大家一个方法，再也不丢分。好，我们看下面的图， 下面我们看这道题目，画出平行四边形，绕点 a， 逆时针旋转九十度后的图形，那有三个关键要素，首先确定中心点 a， 中心点 a， 之后再确定它的旋转方向，逆时针， 然后我们再看九十度，那在平行四边形的时候特别容易出错，那不是看着像画成图形相似，我觉得差不多就可以了。那我们教给大家的方法是什么？点 a 不 动， 关键两条边，这条边好确定吧，这条边就是他往上做垂直的话应该是这样子的，就这条线大家都能做出来当个格，那关键是这条边他是斜的，我们怎么确定他是九十度？哎，找对应的参照物这两个格， 那这两个格旋转九十度，是不是就是这两个横格？那点 a 不 动点，他这个点是不就对应到这个点了？那我把它连接 这个其实平行四边形已经基本确定了，那这另外两个对应边我们直接画就可以了，这个是在这，那再连接这块，看这个图形及所要旋转的图形。 最后一句话总结，旋转图形先定点，再转边，最后连图旋转，题型一分不丢。关注老师每天一个课本知识，易错点。

各位同学，今天我们继续来讲解初中数学必考题型，题型，四边形综合问题。好，那么这道题目呢？是一，嗯，是一个几何多结论问题啊，这种题型非常非常容易出错啊，那么做这一类的问题有一定的做题方法啊，不一定非要一个一个 去按照顺序判断啊，然后非要把第一个啊准确的判断出来是对还是错，然后才能去判断第二个。不一定。这样啊，我们角度要站的高一点哈，你完全是可以打乱顺序 啊啊，这样有可能我们在前面哎，某一个结论我们无法准确的判断出他的正误，那么你就可以去看后面的结论，也许后面的结论我们非常准确的判断出来之后啊，再回头去看，那么后面的结论就有可能为前面的结论提供一个做题的思路， 好判断的条件啊。好，我们来看这道题目。首先大的四边形 a、 b、 c、 d 是 个平行四边形，好，看到平四边形，我们马上想到平四边形所有的性质。好，那么，呃，再分析平四边形，不管是呃平四边形呀，正方形呀，矩形呀，菱形呀， 不管是性质还是判定，我们都可以按照边角，对角线这三个角度去分析和记忆啊，这样不容易出错啊。好看，平四边形的性质，我们从边去分析啊，两组对边分别相等好，两组对边分别平行。 好，角呢，我们可以得到对角互补啊，对角相等，邻角互补 啊，对角线呢，是互相平分啊，互相平分好，接着 e、 f 分 别是 a、 d、 b、 c 的 中点啊，中点好，因为对一边分别相等。嗯，那我们可以得到 a、 d 就 等于 b、 c， 那 么因为 e、 f 分 别是它的中点，那么我们是不是就可以得到这四条小线段都是相等的啊？好， g、 h 是 对角线上的两点，且 b、 g 等于 d、 h。 好，对一、结论，第一个， g、 f 垂直 b、 d， 好， 那也就是说我们需要判断出这个角是否是直角啊？以目前我们所得到的一个条件来看，我们可以判定为它是错误的，因为我们目前无法证明它是否是直角。 好，我们可以先把它放在这啊，也许后面的结论可以为前面的结论啊又提供一些辅助条件呢。好，这个先暂放啊。好。第二，角 d、 e、 h 等于角 b、 f、 g， 好， 此时我们来看啊，这两个小三角形 能不能正出来全等呢？好，它们已经有一条边相等了。好， a、 d 等于 b、 f， 好， 还有呢， b、 h 等于 c， b， 好， 已经有两条边了。好，那么我们此时来看它的夹角。好，来看这两个夹角， 角 e、 d、 h 和角 b、 g、 f 啊，和角 g、 b、 f， 那 么这两个角是不是也是全等的？我们给标也是相等的，标个角一和角二啊，因为 a、 d 是 平行 bc 的， 所以角一等于 角二。好，那这样的话，这两个小三角形是不就全等了？三角形 e、 d、 h 就 全等于三角形 f、 b、 g 好， 好，那它们全等之后，所以那对应角就相等了。角 d、 e、 h 就 等于角 b、 f、 g， 好， 第二个正确。第三， e、 h 平行 g、 f， 好，那好，由于他们两个全等，所以我们是不是也可以得到对应角，那么角三是不是等于角四呀？好，角三等于角四，那么他的补角啊 啊，角五和角六是不也就相等了啊？角五等于角六，内错角相等，两直线平行啊，那么 e h 就 平行啊， g f， 它平行 g f， 所以 第三个也是正确，第四个 e eg 等于二分之一 b d。 好， 由于我们正到了这正，除了这两个绿色的小三角形，全等啊啊，所以也能够得到对应边相等啊，也就是 e h 是 等于 g f 的 好，而且呢，我们还正出来了， e h 由平行， g f 一 柱对边平行且相等，所以那么里边的这个四边形 e h f g 就是 一个平行四边形， 对吧？那我们只目前啊，只可以得到这个 e g， 它是等于 h f 的 等量关系，那么至于它和 b d 的 关系， 这个我们没有办法去正出来啊，是他的一半啊，因为这里面也没有什么特殊的角度啊，当然也像第一问一样啊，这里我们也没有办法去正出来，这个角四是九十度，也就是说角一和四 都不确定啊，不一定啊，所以那这个题目就选二 b。 好， 各位同学听明白了吗？好，可以给老师点个关注啊，我们下期再见！

平行四边形六、首先画两条相交直线 a、 b 设焦点为 o， 然后在直线 a 上截取 o， a 等于 o、 c。 在 直线 b 上截取 o、 b 等于 o、 d。 连接 a、 b、 b、 c、 d、 d、 a。 你 能证明所画四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形吗？ 因为 o、 a 等于 o c、 o、 b 等于 o d。 角一等于角二可以证明三角形 a、 o、 b 全等于三角形 c、 o、 d 就 能得到 a、 d 等于 c、 d。 同理可证 a、 d 等于 c、 b。 这样就能证明四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形了。你们说的真好，证明过程 从而得到定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形。用几何语言，因为 o、 a 等于 o c、 o、 b 等于 o、 d， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 把两根细木条交叉一起，依次连接木条的端点，形成四边形。怎样摆放木条才能形成平行四边形？ 把两根木条按中点叠合摆放，依次连接木条的端点，可以形成平行四边形。为什么这样摆放能形成平行四边形？因为对角线互相平分的四边形是平行四边形。你说得真好， 请按暂停键仔细审题。连接 b、 d， 交 a、 c 于点 o。 由于 o、 b 等于 o、 d， 因此用对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明四边形 e、 b、 f、 d 是 平行四边形最为恰当。显然，只需证明 o、 e 等于 o、 f。 因为平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线互相平分，所以 o、 a 等于 o、 c。 又因为已知条件 a、 e 等于 c、 f 利用等量之差相等能得到 o、 e 等于 o、 f。 你 们说的真好，证明过程， 现在请你练一练。 请按暂停键仔细审题分析。由四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。平行四边形的对边平行对角线互相平分， 又 o、 f 等于二分之一， o， b、 o、 h 等于二分之一， o、 d 可以 得到 o， f 等于 o h。 另外，容易证明三角形 c、 o、 g 全等于三角形 a、 o、 e， 从而得到 o 几等于 o。 一、 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以证得四边形 e、 f、 g、 h 是 平行四边形。

平行四边形四，在方格纸上画两条互相平行并且相等的线段 a、 d、 b、 c 连接 a、 b、 d、 c。 你 能证明所画四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形吗？ 现在来证明四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。首先我们来分析，要证四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，需要证两组对边分别平行， 而题目已知 a、 d 平行于 b、 c， 这样只需要证明 a、 b 平行于 c、 d。 要正两直线平行，经常靠内错角相等或同位角相等，显然需要借助于连接 a、 c。 因为 a、 d 平行于 b、 c， 所以 角一等于角二。而要证 a、 b 平行于 c、 d， 需要证角三等于角四。很明显需要三角形的全等，请你根据分析写出证明过程。 于是我们得到定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。用几何语言，因为 a、 d 平行于 b、 c、 a、 d 等于 b、 c， 所以四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。现在我们来探索，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 c、 d、 a、 d 等于比 c 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形吗？ 已知条件中有对边相等，如果能证明其中的一组对边平行，这样就可以得到平行四边形。容易想到连接 a、 c 把四边形分割成两个三角形，因为 a、 b 等于 c、 d、 a、 d 等于比 c， 又因为 a、 c 是 公共边，可以通过边、边、边证明这两个三角形全等得到对应角相等，则 a、 b 平行于 cd， 从而得到定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。用几何语言，因为 a、 b 等于 c、 d、 a、 d 等于比 c， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 等于 c、 f 求证四边形 b、 f、 d、 e 是 平行四边形。 因为 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 a、 d 等于 b、 c， 又因为 a、 e 等于 f、 c， 所以 e、 d 等于 b、 f， 又因为 e、 d 平行于 b、 f。 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判断四边形 b、 f、 d、 e 是 平行四边形。 小节平行四边形的判定。一、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 二、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。三、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

求 a e， 其实 a e 在 第一问中 a e 已经可以转换掉， a e 转换成什么？转换成 ab 了，而而且这边还给了一个数据给你，这个等于三，总长度等于八，这个等于，这个就等于五了。好，那么你们的思路是什么？ 我设 a 等于 x， a 的 x， 那 这个长度就是 x， 这个这个是一个顺理成章的一件事情，过点 f 往下做个垂直，所以这个长度是三三三四五，所以这个是四。好，垂直里之后这两三角形就会垂直全等，那么这个就是 x。 好， 是不是？ 所以你们现在把这 x 放在哪个下面？你们现在把这 x 放在了这个三角形里面啊？三角形 abc 中啊， a b 等于 x， b c 呢？等于 x 加四， a c 呢？等于八， x 平方，加上个八的平方等于 x， 加四的平方， x 等于零。这个方法写一下，求线的长度，用勾股定律，用勾股定律的时候把线段放在角上边中。

我们来学习三角形中位限定里，同学们一定心存疑惑，为什么本节课没放在三角形的章节，却放在了我们平行四边形的章节来学习？其实呀，我们的三角形和平行四边形可以互相转化， 前面我们利用三角形的知识来研究平行四边形，当然我们也可以用平行四边形的知识来研究三角形。 大家回忆一下我们的平行四边形的两条对角线，将平行四边形分成了四个三角形。如图，平行四边形 a、 b、 c、 d， a、 c、 b、 d 相交于点 o。 图中阴影的两个三角形是什么关系啊？全等。 如果我们固定平行四边形，对角线 a、 c 不 动，将对角线 b、 d 绕 o 转动，当经过 a、 b 边的中点 e 的 位置时，我们所形成的这样两个阴影三角形的关系是什么呀？相等，谁能给我们解释一下，为什么这样两个三角形相等？ 好，你来说一下。因为我们已知它是一个平行四边形，所以它的对边平行就是 ab， 平行于 cd， 所以 我们知道了角 b， a、 c 等于角 a、 c、 e。 然后它对顶角相等，就是 a、 o， e 等于角 c、 o、 f。 因为 a、 c 是 平行四边形的对角线，所以 o 平分了 a、 c， 所以 a、 o 等于 o、 c。 然后根据角边角可以得出三角形 a、 o、 e 全等于三角形 c、 o、 f。 你 的思路很清晰，声音也很洪亮啊，请坐，我们得出来两个三角形是全等的。 如果我们将对角线 a、 c 右侧的部分给它遮住， 会得到一个什么图形呢？三角形，在这个三角形中有一条特殊的线段，我们一起来看一下。点 e 是 a、 b 的 中点，点 o 是 a c， a c 的 中点。 如此特殊的一条线段，对三角形而言，你能不能给它取个名字 来？这个女生，你试试，我给他取名为终点线，因为他们都是终点，然后他们连接成线段，所以叫终点线。哎，你的名字很独特啊！还有没有同学来给他取个名字来？最后那个男同学，我觉得他应该是可以叫做中中间线， 因为他是这个两个三三三角形两边，他是他的终点，然后呢，这个线段又在，他又把他们两个连起来， 你取的名字是中间线，请坐。还有没有？同学来，你来说，你给他起个啥名字？我给他起的名字可以叫中位线，因为他是取了三角形两边的一个中间位置的点，然后将它连起来的一条线段，所以我给他起的是中位。 哎，非常棒啊！我们数学中把这条线也叫做三角形的中位线，说明这位同学昨天晚上预习做的特别好。那么根据他的特征，你能不能来给三角形的中位线下个定义呢？ 来，这个女同学，你试着说一说，嗯，是三角形中位线它的特征， 我们把几个边，两个边的中点给他连起来形成的线，哎，叫做三角形的中位线，哎，非常棒，请坐，请同学们在我们的活动单上补充一下三角形的中位线定义。 那么我们如何来画一个三角形？ a， b， c， 好，我们根据定义，我们要找找一个中点，那我们先选择其中一边。 a， b， 好， 大家选 ab 啊，来，我们用尺子测量一下它的长度，二十厘米， 十，十二，好，取完点给它标上 d， 再选一个边， c， c， a， c， 边还可以选 d， c， 哎，都可以，那么老师来选我们的 ac 边，经过测量，三十六厘米， 十八，十，哎，十八啊，很好，我们再标个字母，给它标为 e， 接下来连接 e， 好， 连接 e 好， 那我们形成的线段 d， e 就 称为三角形 a， b， c 的 c 的 中位线。很好啊，说明大家对概念掌握得不错。 咱们在初一还学了三角形中一条特殊的线，叫做三角形的爱中线。那我们三角形的中位线和三角形的中线仅有一字之差，他们是同一条线的吗？不是。好，接下来请大家在我们的活动单上完成我们以下两个任务。一、 画出三角形的一条中位线和中线。画完以后，同桌交流一下这两条线有什么区别？ i love you so much。 同桌交流一下第二个任务，这两条线有什么区别呢？这个中线是中线，是连接一边的中线和顶点的线。那你俩给老师说说，你们觉得他们区别是什么？ 中位线是连接三角形两两边中点的线，是边的中点，对吧？对，来中线呢，中线是连接三角形一边的中点和它顶点所连成的线。 我们一起看一下大家的作图， 第一幅图我们做的是三角形的中位线，第二幅图做的是三角形的中线。好，大家发现中位线这条线段 是连接了三角形哎，两个边的中点所形成的线段。我们的中线连接的是 平点和对边的，哎，中点所形成的线都是线段，但是线段的两个端点不一样，由于端点不一样，所以画出来线的 位置也不一样啊，这就是咱们两条线的区别，我们认识了三角形的中位线，这样一条特殊的线段，它还用含着。

首先我们看平行四边形，平行四边形的定义就是两组对边怎么样？分别平行对不对？那么两组对边分别平行，那这不就是了，一组了，对吧？好，第二组再来一个，就两组对边分别平行了。那所以说我们平行四边形的符号表示呢？其实把它缩写过来，这不就是 平行四边形啊，把它缩角折，你就说平行四边形 abc 了，我们把这个标成 abc， 那这个中间就是什么？这个图形就是我们的平行四边形。那你可以知道原始的已知条件就这两种平行吗？我们也就结合外文，就是研究角的关系，边的关系对不对？追追我们的角，首先会产生一个关系，什么关系？有没有相等的角谁啊？角 a 和和谁 和角 c， 为什么呀？角 a 和角 c 为什么相等？那肯定是由于已知条件当中什么来的平行来的，对吧？他加那么多一百八啊，那么他加那么也是一百八跟它的角，所以角 a 等于角 c， 所以 说对于对角是相等的啊。对于这个菱角是怎么样？菱角是互补的，这就是角它的关系。那对于边呢？对于边有没有相等的？边有的，对边还有吗？ a 八和 b、 c 是 相等的，对吧？那为什么呢？我们在初中阶段要证明相等放在哪里？正全等当中，对不对？要放在三角形全等当中正啊。那么这里，哎，怎么说明 a、 b 和 c 大 于相等呢？没有三角形怎么办？把 b 大 于叠起来啊，或者是把 c、 b 叠起来这些啊，我们用实线把啊，如果辅助线的虚线 好，那这连接起来有三角形了吧。那么这两三角形能全等吗？能全等，至少有一条边相等吧。那这两三角形有没有边相等啊？什么边？公共边连接起来公边，差角度啊，差角度，角度缺不缺？你一开始就这么多平行角度，肯定不缺，对吧？可以错角转个角，一 角二是相等对不对？还有刚才咱们已经推到过来了，角 a 和角 c 里面是相等的，对不对？角数缺的啊，所以对边上讲，咱们也成立了呀，对不对？边上线也成立了啊，那么还有一个呢？咱们四边形啊，其实连接对角线，相交于点 o， 那 么这个时候我们的性质当中啊，对角线有什么关系？有什么特征？ 对角线当中有没有 a c 和 b 二相交点哦，对角线你发现没有？从对角线当中有没有相等的边？ c 和 a o 和 o c 相等对不对？从对角线当中 a o 等于 o c， 为什么呢？那怎么证明 a o 等于 o c？ 我 们还是要回归到三角形全等当中来，对不对？我们把 a o 放在它可以吗？可以，放在它可以吗？也可以，是不是如果放在它，那么这里呢？产生了一个 一和二，那这两三角形全等吗？全等了对不对？也不缺角啊，不缺角，有边吗？有边相等吗？有，从哪来的？从刚才研究到 边相等当中， a b 对 边是相等的啊，有了咱们的性质一当中研究边相等啊， a b 和 c 搭相等啊，那这次全等来了没？全等是不是又来了？那也就懂得，一啊，对角线当中 a o 哎，等于 o c， 靠的就是一和二这两道形怎么样？相等是不是？对？ 而且全等之后，我们发现另外的怎么样？ o b 和 o 搭怎么样？边相等啊？ o b 等于 o 搭，当然也是刚才这段全等是不是就来了，对不对？ 好，那对角线这会来了之后，我们再研究什么呢？再研究面积吧，那面积属于边的一部分呢？有边相等啊，这里边产生的一些面积可能相等，你们能找到哪些三角形的面积是相等的？或者是说我们先研究全等吧，有哪些是全等的？刚才是不是已经有了一个一和二，是不是一与二是全等的？还有谁啊？这是标一个吧，三 四这俩项形是不是也是全等的？还有啊，我们刚才在这边相等的时候是不是已经有了啊？就是一条对角线连接的时候啊，左下右上是不是全等的？所以我们的一和四一四组合起来还有什么呢？和，我们的二三，他俩这两个项形也是全等的， 这大的和这大的也是全等的啊。还有就是我们的左上一和三怎么样组合起来和什么？和二和四是不是也是全等？所以角的关系，边的关系，对角线的关系，以及我们的这几对全等啊。目前四对全等啊， 是我们的性质当中的一个重要内容。那再加上我们研究一下面积里边相等面积的有哪些啊？ a， 我 们的一和三面积相不相等，也就是我们的 s 一 等不等于 s 三等于等。为啥呀？底是不是他们研究的？在我们的对角线当中，咱们的 o b 是 不是和我们的 o 大 于相等的？而且他们是同一个什么？同一个高整体等，高面积是不是相等？ 咱们的一和三面积是相等的，而且还等于谁呀？等于 s， 你 看三和二相不相等啊？也是相等的，对吧？等于 s， 二还等于谁呀？等于 s， 四一二三四面积都是相等的啊。那么每一个拿出来一这个算式面积 跟我们的总面积什么关系？四分之一是不是？所以说它还会等于什么呢？它还会等于我们的四分之一的 s 平行四边形 a、 b、 c 的 啊，面积呢？也就等于二分之一了，对不对？

这个视频咱再讲一个平行四边形的判定方法，一组对边平行且相等。翻译一下，就是四边形中告诉你，这一对边是平行的，而且还是相等的，也就是 a、 d 平行等于 b、 c。 作为已知来证明 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 相信这可难不倒你。 p 三角形正全等呗！显然，这俩三角形里，这里都是边相等，这是公共边，它俩的夹角刚好是内错角，妥妥相等。边角边两个三角形就全等了。 是三角形 a、 d、 c 全等于三角形 c， b、 a 判定是 s、 a、 s 这俩三角形全等，那对应角就相等，肯定就有平行啦！这个四边形就是个平行四边形了。 这个判例只需要一对边平行且相等，那可是相当好用，那就做个小题试试呗。 已知平行四边形 a、 b、 c、 d 中 e、 d 等于 b、 f， 那 就是说这个大四边形是个平行四边形，其中 d、 e 等于 b、 f。 求证四边形 a、 f、 c、 e 是 个平行四边形，也就是要证这个小的也是个平行四边形。 用刚刚讲了一组对边平行且相等，那这个题目可是非常好证，它是个平行四边形，那这两条边自然平行且相等。扣除相同的部分，剩下的 a、 e 和 f、 c 显然也是平行且相等， 那就是 a、 e 平行等于 f、 c。 嘿嘿，这就搞定了，如果没有这个法子，恐怕你还得证这两个三角形全等，又得写好多过程。 所以一组对边平行且相等这个判定妥妥好用在题目中，你可得记得用哦！好了，为师的就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！