2025南通高三一模数学立体几何

同学们，我们今天看第十七题，第十七题呢是例题几何题，例题几何题呢？很多同学觉得比较难，或者说看到他就害怕。 例题几何题呢，我们有一个诀窍，就是用建立做标系的方法把它做出来。我们不要想着用几何的方法做出来， 用几何的方法做，那你需要很有经验，还有数学的直觉，还要从学的数学呢，比较差，我们呢，用几何的方法呢，是做不出来的。好，我们看看这一题， 这题他怎么说的？他说有一个三是棱锥，对不对？是棱锥，探探，看看它的 p a 呢，是垂直于它这地面的，是吧？ a、 b、 c、 d 的 地面后面呢？ a、 d 和 b、 c 呢？又是平行的， 再后面呢？ a、 b 和 a、 d 是 怎么样也是垂直的？那哥，这个是不很容易建建立坐标系啊，对吧？因为怎么样 p a 和 a、 b 和 a、 d 是 相互垂直的，所以我们就知道它肯定是坐标，是有三个轴，是吗？我们把这 x 轴， y 轴以 c 轴，我先把它做出来。好，做出来之后呢，我们看看第一题，第一题能查出球的平面 p a b， p a b， 还有 p a d 是 不是垂直。好了，这题能不能用作标系做出来了，很遗憾，还不行，为什么呢？因为我们没有 每一个坐标着点的数据，对吧？没有点的数据，那么我也就没做一个点，也就没法做一个向量出来。所以呢，这个这个第一小题呢，我们被迫用几何方法做，那几何的方法容易做吗？我们看看 证明两个平面这垂直有什么方法呢？我们第一个想到这是什么？ 如果一个平面的一条直里面，一条直线垂直另外一条平面，是吧？那么这两个平面呢，肯定是相互垂直的，因为为什么我们我们要这样想呢？因为我们看到没有， 有三条相互垂直的线，对不对？比如我们第一个座子是吧？因为什么？因为 pa 垂直平面 a b c d， 是 吧？所以呢？啊？ a b 什么 a b 属于平面是吧？ a b c d 的， 所以呢？ a b 呢？肯定垂直 p a 对 不对？ 而我们上面题目又告诉你，什么因为呢？ a b 又垂直于 a d， 对 不对？ 所以呢？ m s 猜，这还有呢？ pa 和 a d 怎么属于平面？ p a d 对 不对？所以什么？所以 a b 垂直于平面 p a d 对 不对啊？ a b， 这，这什么平面啊？ a b 是 不是属于平面？ p a b 的？ 所以呢？我要怎么样平面 p a b 垂直平面 p a d 好， 我们第一次小题呢，就证明满了，是比较简单的很基础的几何证明。 哎，同学们，我们看看第二个小题，第二个小题呢，他们给出了每一条线段的长度，对不对？每条线段的长度给出来了，相当于把我们的每个点的坐标给出来了， 而我们咱们要是还不怎么做呢，我们应该用每一条线段的长度呢，给我们的每一个点加上坐标， 但是扎在左臂前呢，我们是要先建立坐标系，这个坐标系的，我们不能乱建哦，我们要有根据的建，对不对？那我们怎么去建呢？我们首先要证明他对不对？因为呢， pa 是 垂直于平面的， 是吧？所以呢？ p a 肯定的垂直于 a b 和 a d 的， 我们先把它写出来，后面的打我们也知道什么 a b 又垂直于 a、 d， 对 不对？所以呢，我知道这三条 a、 p， a、 b 和 a、 d 呢是相互垂直的， 只有这样证明出来，证呢，我们才能利用这三条线呢，作为一个坐标系的轴，对不对？后面呢，我们直接说明， a、 b 是 x 轴， a， d 是 y 轴， a， p 呢是 e、 c 轴。建立坐标系用的 a 点作为圆点好了，建好之后呢，我们再根据 它们的长度上啊，我们把每一个点的坐标呢列出来， p 点就是零零，根号啊， b 呢就根号啊零零，我们全部把它做出来，做出来之后呢，看它敢跟我们说什么？ p， a、 p， b， c， d 在 一个球面上对不对？是个球，那个，所以呢，我们先他让我们求什么？求这个球的圆，这个球心呢？在不在平面 a、 b， c 上，那么这应该求求什么呢？我们又应该把这个球心 o 的 坐标求出来， 那我们怎么样？我们先设它的 o 点是 a， b， c 是 吧？这个球的半径呢？是 r 对 不对？好球在中呢，我们利用球的方程呢，把所有的 方程组呢列出来，我们有四个点，就是有四个方程，对吧？有四个点，四个方程， a、 b、 c， 我 们球面减去 修心的坐标呢，加起来就是它半径的平方。好，那我们可以计算，但算之前呢，我们先不要硬算，好吧，我们要有技巧的计算，怎么有技巧的计算呢？他问我们证明是不是在这个 平面上对不对？这个平面上的所有点呢？它的一线肯定是等于零的，所以说 c 是 一线，那 c 肯定是等于零，对不对？ c 等于零之后呢，我们再把这个化简一下，好吧，化简出来的结果呢？是怎么样？应该是这个样子的结果。 好，这个样子呢，我们就比较容易好求，对不对？那下一步我们知道 c 等于零，对不对？那我又应该求哪一个呢？我应该求 b， 是 吧？为什么求 b 呢？因为 a 这里可以抵消掉，所以我求 b 是 b 才容易求出来的。好，应该怎么求呢？我们很简单，对不对？我应该把这个式子减去这个式，对吧？应该是这里抵消了，这里也抵消等于零啊，只只需要减这个就是什么 四减去四， b 加上 b 的 平方，再减去这个 b 的 平方，对吧？等于零，所以呢， 这里抵消掉，就是 b 四减去四， b 等于零，这个 b 等于一，对吧？我把 b 等一写上去。好，那么 b 等级求半中呢？我们求大个，我们应该求 a， 对 不对？ a 是 最后一个，那 a 应该怎么求呢？ a 的 求反也不难，对吧？那我们哪一个没有利用到呢？我们还有第一个和凑一个没有用到，对吧？ 因为我们两个已经用上了，所以呢，台上两个，我们四个未知数，那我们一定有四个方程，我们不可能少一个方程可以算出来的，所以我们把没用到用上，再把这个 b 档位 b 档位 e 呢带进去。这是什么？ a 的 平方是吧？一加二就是三，对不对？加上三等于什么？这里也是 a 的 平方是吧？ a 的 平方有呢？根号三减 b， 对 不对？ 好，我们这个做出来有效吗？好像无效，对不对？好，那我们应该做哪一个呢？ 我们应该又换一个，对不对？换你一个，我换这个行不行呢？来我看看 啊，我要把它展开减去两倍，根号 a 加上 a 的 平方是吧？ b 就 得一加上一等于多少？等于 a 的 平方加上三，就是上面这个式子。好了，我们把一加二等于三，我们把这个换掉对不对？ 后面怎么样？ a 的 平方， a 的 平方换掉对不对？这是零对不对？这是零以负。根号 r a 呀，根号 r a 等于零对不对？所以 a 呢？等于零。好，那我们可以算出来了， a 就 等于零，是吧？很明显。所以呢， o 的 坐标 为什么零一零，对吧？所以呢， o 点肯定在平面 a b c 上的。好，第二个小题呢，我们就证明完毕了。 好，我们看看最后一个小题，它说求直线 a c 和 p o 所成的角的余弦值对不对？ 那么我们既然我们已经建立坐标系，我们呢也把所有的坐标呢已经求出来了，那么只限 a c 的 限量，我们是很简单呐。好了，我们直接且 a c 限量，什么？ a c 就是 c 减 a 对 不对？ a c 原减零等于零，所以我们直接写，等它啊啊，零对不对？好了， p o 呢？我们直接写是不是 p o 是吧？ o 点的坐标减 p 的 坐标是什么？零减零的零一对不对？零等于负的根号二。好了，那么下一步直接求它们余弦值对不对？设 a c 与 p o 的 假角为阿尔法是吧？我 cos 阿尔法，我们是很很简单呐，我们就直接 a c 是 吧？ a c 向量的长度乘以 p o 向量长度又能再直接相乘是吧？ 这个是非常简单的。那上面怎么乘呢？一个一个对乘是吧？根号二乘零，没有了 r， 这是以 r， 是 不是零乘以负？根号二没有了。好了，我上面这个是它的长度是吗？是 r 加四等于根号六 再乘你的吗？一和 r 是 吗？加起来三，这个根号三。 好，我们接着化简一下。这是什么？根号二是吧？根号三，我们把根号六剪开。就是呢， 三啊，又能分根号啊。好了，我们上下同时除以根号啊，就是根号啊。 好，我们答案就是根号 r 除以三。那么呢，我们就完美的把这条题目呢解出来了。这个十五分呢，其实是不难的，只要我们建立坐标系，要按照我们的计算方法一步一步做完了就可以了。 好，我们明天做十八题和十九题，点关注我们明天见。

南通一模堪称二十六届至今最贴合新高考命题气质的优质模拟卷。它不靠偏题怪题博眼球，而是在常规题型中见思维深度。在创新设计中，首高考本源难度梯度清晰， 小题藏巧思，大题有格局。第七题反套路函数基友性中档题跳出 f、 g、 n、 x 机械判断的固化思维，核心考察函数图像平移与对称性的本质理解，需构造平移后的函数判断。基友性 直指高考函数性质题从套公式向结构分析转型的命题方向。第八题立体几何球面交线压轴，小题融合空间想象与几何证明，核心是通过面面垂直证明将空间交线转化为平面圆弧求解，最终得交线长派。二、贴合新高考立体几何结面问题，证明加计算 融合的必考趋势。第十一题，新定义均增数列题是小题中最具思维量的一题，以新定义为包装深度考察等差等比数列的通向求和与单调性， b、 c 选项极易出错，需通过举反例构造数列验证既核心高考新定义题下沉，小题重迷解转换而非复杂计算的方向。第十四题 向量与解三角形综合题看似基础，实则暗藏门槛。核心是通过证余弦定理完成向量条件到边角关系的转化，最终划归为其次，是用基本不等式求得最值五分之四，是高考解三角形边角互化加统一变量核心考法的经典呈现。第十八题回归本源的解析几何题彻底摒弃花里胡哨的秒杀技巧， 整体无几点极限放射变换的用武之地，必须靠加时的设点列式化简计算，回归弦心距勾股定理与坐标法的结合， 纯粹考察解析几何，用代数研究几何的核心本质，拨正了解析几何重预算功底重几何直观的备考方向。第十九题，权健灵魂所在，以对数函数零点为背景，融合函数与方程数列不等式证明，致敬高考经典压轴题。 第二问，将零点转化为关于参数的函数，通过构造函数分析、单调性思维设计巧妙。第三问，传承高考经典压轴题精髓，通过地推变形、列向放松 极致，考察代数推理与不等式证明能力，完全贴核心。高考压轴题函数与数列跨界融合的命题偏好。这份南通异模卷告诉我们， 优质的高考模拟卷，从来不是靠偏难怪题制造难度，而是赢在对高考核心考点的深刻把握，对通信通法的坚守。他也给二零二六届考生指明了方向，高考备考重本质、重基础、重思维，远比重技巧、重套路更重要。

欢迎收看高三数学一百四十五分试卷，单选，多选，填空，稳定发挥。全对。第一道大题简单的概率，第二道解三角形，略微带一点计算。 第三道例题，几何包含线面垂直空间、向量点到直线距离、几何体的外接球，是一道综合的略有难度的好题。依旧全对。十八题，一道创新的导数题，难度较大，并且需要取点说明 过程，扣了一分。 最后一题超绝圆锥曲线，难度较大，第三问扣了四分， 最后得分一百四十五分。

二零二六高三数学每日一题第十天江苏南通一模 t 十六立体几何 hello， 同学们好，今天呢，我为大家推荐呢，是江苏南通的一通一摸的一道立体几何题。是第十六题 啊，我们首先来读一下这道题，它说如图，在四面体 a、 b、 c、 d 当中，告诉你 a、 d 呢，是平行于 b、 c、 d 的， 垂直于 b、 c、 d 的。 那很多同学就能知道啊，当这个 a、 d 呢，垂直于 b、 c、 d 呢，它应该跟这个平面内的所有直线都垂直啊，那跟 b、 c 啊， b、 d 啊， c、 d 啊，都垂直啊，又告诉你呢， b、 c 是 垂直于 c、 d 的， 哎，这块有个直角， 那我们就能能看到啊，这个 a、 d 啊，这条边是不是也是垂直于 b、 c 啊？因为 b、 c 也是在 b、 c、 d 的 平面内，对不对？嗯，完，紧接着呢 啊，告诉你的是， b、 c、 b、 c 的 长度等于二， cd 的 长度等于二， ad 的 长度也等于二。 p 呢？还是中点 m 点呢？它是 b、 p 的 中点 n 呢？是在这个 a、 c 上的有一点 n。 第一个问，他让你证明平面 abc， 平面 abc 这个平面和平面 a、 c、 d 这个平面，证明他俩是垂直的， 那证明两个面垂直。我们常用的方法就是证明线面垂直，也就是证明出来其中一个平面内的一条直线和另外一个平面垂直。哎，画一个图啊，类似于这样，这是一个平面吗？比如这是平面 r 法 啊，这块有一条直线，这条直线呢，比如说是 l， 那 过 l 啊，它所有的平面和这个阿尔法，这个平面，它都应该是什么关系？都应该是垂直的关系。哎，所以说是利用线面垂直来证明面面垂直啊，啊，就这样来证， 那我们就找呗，来看一下啊，他说平面 a、 b、 c， 那 你看啊， b、 c 这条线，刚才说了 b、 c 这条线是不是垂直于 c、 d 啊？之后呢？ b、 c 是 不还垂直这个 a、 d 啊？ 哎，我们就证明出来了，所以说这个 b、 c 它跟 a、 c、 d 这个平面是垂直的，那过 b、 c 的 所有平面，包括 a、 b、 c 这个平面是不是跟 a、 c、 d 也是垂直的？哎，那我们来写一下这个完整的过程啊。 啊，刚才呢，是领着大家分析了一下啊，那如果说基础不好的呢，可以看一下这个直线，还有平面的位置和判定定律哦。 第一问啊，那我首先呢，得证明这个 b、 c 是 不是垂直 a、 d 啊，那因为啥呢？因为已知条件 a、 d 是 不是垂直于平面 a、 b、 c 的？ 那因为 a、 d 垂直于平面， 呃，垂直于平面啊， b、 c、 d 完了之后呢？ b、 c 它是包含于平面 b、 c、 d 的， 所以 a、 d 就 垂直于 b、 c。 那 我们例题几何讲究逻辑啊，讲究逻辑，所以说也要前后要写写清楚啊，特别是数学符号的应用，一定要准确。那 a、 d 现在是垂直于 b、 c 了，又因为 这个 a、 d 啊， b、 c 它又垂直于 cd， 那 你会发现 这个 b、 c 是 不是跟 a、 d 和 c、 d 都垂直啊，所以，所以说垂直于这平面，那这块啊，还得写一下，两个证明，三个强调，要强调这里边的 c、 d、 a、 d 和 c、 d 它是包含于平面 a、 c、 d 的， 而且呀，这个它俩是不是还相交啊，你还得写下相交 a、 d 交上 c、 d 于 d 点，所以这个 a 啊， b、 c 就垂直于平面 a、 c、 d、 a、 c、 d 啊，那我们证明线面垂直要有两个证明，三个强调，一个强调在平面，另外一个强调在平面，还要强调它俩是相交的关系。 b、 c 垂直于平面呢？那又因为 b、 c 它包含于平面 abc， 所以 那平面 abc 就 垂直于平面 a、 c、 d， 所以 说啊，这两个成啊，这两个垂直，我们就证明出来了，第一问，也就是结束了， 第二问，那一般情况下都会想到间隙对不对？那这道题呢，间隙呢，其实也是比较啊，简单的，比较简单的，我们来看一下啊。首先来如何来间隙， 因为它让你证明的是这个 m、 n 呐，和这个 b、 c、 d 它俩不平行吗？让你求 m、 n 的 啊大小，那实际上就求 n 点的位置，之后根据两点之间距离公式来对它进行求减。 首先间隙，那你看啊，这个 b、 c 和 cd 是 不是它俩是垂直的？所以说找到了 x 轴， y 轴，我按照逆时针，这个是 x 轴，这是 y 轴，那这轴在哪里呢？ a、 d 是 不跟底下平面垂直，所以说你这个 z 轴它应该是平行于 a、 d 的 啊，这个就是 z 轴。 那解完系之后呢，我们需要把这个坐标写出来啊，坐标写出来啊，长度都给你了，你用到的是 m、 n、 b、 c、 d 这几个点，首先看 b 点坐标， b 点它是在 y 轴上，所以 b 点坐标应该是等于零，横坐标是零，纵坐标是二，竖坐标是零。还有 d 点的坐标，坐标是在 x 轴上，所以它坐标呢，比较啊，好求，应该是零零 零零二。嗯，因为我要求 b、 c、 d 的 法向量，对不对？那 c 点的坐标比较容易了，它是坐标原点零零零啊，这是 b、 c、 d 啊，之后还有 m 点坐标， m 点坐标是 b p 的 中点，所以说我得把 p 点求出来。 p 点坐标是啥呢？ p 点坐标是不是 d 点坐标向上平移的？ d 点的坐标应该是零二零啊，零啊， d 点的坐标？是啊，这个 d 点写错了， d 点应该是二零零啊，二零零啊，等会改一下， d 点的坐标应该是二零 零，那 p 点的坐标应该就是二零零，那 p 点的坐标应该就是二零，它中点一。 哎， p 点是中点，线上平移一个单位之后， m 点的坐标应该是 b p 的 中点。横横加横除以二是等一，纵加纵除二也等于一，竖加竖除二是二分之一，所以 m 点就求出来了。 那我们怎么来处理这个 n 点呢？ n 点比较好处理啊，因为 n 点是在 a、 c 上，对不对？所以说我就设 c， n 等于拉姆纳贝的 c， a， 设向量 c， a 等于 c n 啊，向量 c， n， 设向量 c， n 等于 l m、 d 的 向量 c， a。 所以 说你还得把 a 点的坐标求出来。 a 点坐标应该是等于二零二，向上平移啊，二零二。 嗯，那这个式子呢？它就等于 l、 m、 d 的 括号 c， a， c， a 的 坐标是用 a 点减去 c 点应该是二零二， 整理的话应该整二楞的，零二楞的，这是向量 c， n。 向量 c， n。 求完之后，那，嗯，它告诉你的是 m， n 是 平行于 b、 c、 d 的， 为求出这个啊， b、 c、 d 的 法向量对不对？那就啊， b、 c、 d 的 法向量啊，它应该是比较好求的，因为 b、 c、 d 它是在 x 轴， y 轴所在平面内，所以说你可以知道平面 b、 c、 d 的 法向量 啊，法向量呢，设为是 n n 呢？是等于啊，因为它在 x 轴和 y 轴所作的平面内，所以它是跟这轴平行，应该是设为是零零一吧。 嗯，零零二，零零三都可以啊，之后呢，它跟这个平面平行，它应该跟法向量应该垂直的，所以说我们需要把 m n 表示出来。那向量 m n 怎么来表示呢？ 啊？向量 m n 在 三角形 c m n 当中，向量 m n 应该等于 mc， 加上 c n， c n 是 不是已经表示出来了？所以说就差 m c 了。那向量 m c 用 c 点减去 m 点， c 点减去 m 点，应该是负一，负一负二分之一，这是向量 m c， 所以 这个向量 m c 应该是等于向量 m c 再加上 c n， c n 在 这里是二啷的，零二啷的。 那整理完之后呢，应该是等于负一，加上二栏的之后是负一啊，还有一个是负二分之一，加上二栏的 m n 就 知道了。 那 m n 和 n 向量应该是垂直的关系。这块描述一下啊，因为 m n 平行于平面 b c d， 所以 那 m n 这个向量乘以向量 n 应该是等于零的， 那它俩乘积，横乘横加纵乘纵加竖乘竖，横乘横等于零加上。呃，纵乘纵也等于零，加上竖乘竖等于负二分之一，加上二拉姆的，应该是等于零的，所以说算出拉姆的的值。 嗯，算出拉蒙达值呢，应该是等于四分之一啊，等于四分之一，拉蒙达等于四分之一。那么这里边呢，我们就能够求出 m n 的 了。那所以代入 m n 啊，在右侧写，在这边写啊，所以 m n 向量 m n 就 知道了。向量 m n 在 这里负一加二拉姆达，把拉姆达等于四分之一往进带，所以说能够求出 m n 等于负二分之一，负一零 啊， m n 求出来了，那么 m n 的 模模长等于横方加重方加竖方 负二分之一的平方，再加上负一的平方加零的平方，算出结果等于二分之根号五，嗯，就算出来了。那这个问呢，也是呃同学们能够做上的，我觉得只要不马虎的话， 那这道题呢，当然说也可以用普通的方法，也可以用肌底的方法，嗯，同学们都可以尝试一下啊。起初呢，还是想把这个 n 点坐标 n 点位置求出来，坐标求出来，但实际上不用， 只要把 m n 表示出来就可以了，所以说免去了求 n 点坐标的这个麻烦。那今天呢，我们这个题呢呢，认真的把它做一下，同学们，再见。

应粉丝的要求，我们来讲一下南通医模的单选压轴。第八题，他说已知一个四棱锥 s， a、 b， c d， s a 垂直于 a、 b， c、 d 这个面，然后告诉你条件， 确定这个 a、 b、 c、 d 面的具体参数啊，具体的参数我已经标在上面了，下面是一个直角梯形，上底是二，下底是一，高是一。然后他告诉我一个条件， s 到直线 c、 d 的 距离为二， s 到 c、 d 的 距离是不是就等于 s 做 c、 d 的 高？我假设这个 s 过 cd 的 这个垂足为 h 在 这里，那么 s a 是 垂直于这个底面，它是不是垂直于 cd？ 然后我做的高 cd 是 不是垂直于 s c、 h， 所以 a h 是 不是也是垂直于 cd 的？ 因为 c h 垂直于 a s、 h 这个面，所以接下来这个 h 点实际上是过 a 点做 cd 的 垂线， 因为你做过 s 做 cd 的 垂线，你不好看嘛。那接下来不难发现啊，这里 cd 实际上是根二，因为这里是一，这里是一，这里是根二， 这就是一个直角等腰梯形嘛。 acd， 所以 ac 是 垂直于 cd 的， 我们就很顺利的得到了刚刚那个 h 点，实际上就是和 c 点重合的， 也就是说 s 到 c、 d 的 距离就是 s c。 九十二啊，第一个条件翻译完毕，那么第二个条件，他说以 a 为圆心，二分之根为半径的球面与侧面 s、 c、 d 的 交线长。那么首先需要有两个知识点，第一个知识点就是一个球和一个面相交，它一定是个圆啊，一个球 它与一个面相交，它一定是一个圆，为什么？因为球心到所有的距离都相等，但是这所有的距离，这个焦点它有在这个面上，所以它形成的实际上是一个能追三能追， 所以它这个交线实际上它的轨迹是一个圆啊。然后我们接下来分析，二分之根五为半径的球与它相交，交线长 啊！这里有一点第二点需要注意，就是侧面 s、 c、 d 的 交线，很多人在做这一题的时候，他就把它习惯成了认为，哦，原来是以 a 为圆心，二分之根五为半径，与侧面所在的这个面 相交的交线长。如果是这样，这个题目就很简单，直接用这个大 r 减去 a 到 s、 a、 d 的 这个距离的平方，就等于了小 r 的 平方，所以然后它的交线就是二排小 r， 但是这里请注意，它是与侧面 a、 c、 d 啊，它能不能完全画成一个圆，要打一个问号， 既然要打问号，这个时候我们就要多一个步骤，我们要找到 a 点到 s、 c、 d 的 垂足的位置， 就是 a 点做 s、 c、 d 的 垂线，这个垂足到底在哪里？我才能观察到这个交线能否画完整。这里是根二，这里是根二。因为 s、 a 是 垂于 ac 的， 所以过 a 点只需要做 s、 c 的 垂线，他是不是就垂直于了 s、 c、 d 啊？为什么？因为 c、 d 垂直于这个面呐。然后做他的垂线，这个 m， a， m 是 不是垂直于 c、 d， a， m 又垂直于 s、 c 这个 m 点就一定是 s、 c、 d 的 这个垂足嘛？那么这个 m 在 哪里呢？横线 m 就 在这个等腰三角形斜边上的中点嘛。 我们得到这个所结的这个侧面的球的半径，小二的平方是不是等于大二的平方？二分之根五的平方 减去 d 的 平方， d 的 平方不就是 am 的 长度吗？ am 不是 一吗？所以是四分之一，所以小二是等于二分之一。 当我们得到二分之一的时候，我们就可以知道。哦，原来这个结面在 s、 c、 d 上是以 m 为圆心，以二分之一为半径的这个圆。 那这里和它有没有交点呢？画一下嘛，这里是根二，这里是二，这是根六，所以它最短的是多少？是不是可以求出来？ 这里上一只根二比根六等于多少？是不是等于这个长度？比一是 x 比一， 那么 x 呢？ x 是 不是等于根六？比根二啊，肯定是大于二分之一的根六比根二要大于二分之一嘛。通分两边的根二大于根六， 所以 m 在 这个旋转的过程中，它以二分之一为半径的圆是和斜边没有交点的，因为你垂直的时候最短了，所以它这个半圆就能够画成功。 所以它这个交线长 l 就是 pi， 二等于二分之 pi。

新高考一卷的立体几何可以说是花样各异。二零二三年长方体直接间隙。二零二四年给二面角让你球边长，二零二五则是球外接球。哪一道才是合你胃口的菜呢？

高考冲刺阶段，阿布老师整理出最优质的套卷，让大家用最短的时间练到最好的题，了解高考命题风格和难度。今天讲的是南通一模，这里不恐怖的是阿布。大家好，我是阿布，今天来二零二七南通一模。 嘟嘟嘟，嗯 嗯， n， n 是 多少？哎呀，算一下，四十八，三十二，八十啊这是他没说多少。四十二，三十八， ok， 看看，方的是八十乘上这个二幺六啊， 减去六百的平方除以四十八乘三十二乘上三十八乘上四十。什么玩意？这是 肯定有吧。我觉得你，你这直拍用无缝球概率这么高。横拍才啊，这肯定有啊，这量级差太多了，大于四对吧。 算了， 你这是三百八十四的平方是吧？八十乘三八四乘三八四，我的天呐，救命家人们谁懂？ 嗯，十二九十六， 嗯，那也没差那么多是吧， 我还以为差那么多。没差那么多，那确实，你是两个三位数和三个两位数哦。嗯， 你检查一下约分啊， 十二四九十六除以六。对对对，好，嗯， 哒哒哒哒。横拍选八人，五个三个，按照各自喜爱的球形先从八人中选三人 都有人被选中的概率啊。嗯，五个 a 种，三个 b 种，从八个里面选三个。嗯， 就这个呗，你别动，别，别偏，别太偏啊，八七六除以六， 嗯， 一加是十一四十五对 a， d 垂直于 b， c 垂直于 c， d， b c c d 二正方体呗，说半天， 这是个正方体啊， p 是 a， d 中点 m 是 b， p 中点 n 在 线段 a c 上啊，行 abc， acd 啊。面面锤，你这面面锤咋回事啊？你这题怎么跟这个一样啊， 你不就这个图吗？是不是一样啊？这图啥意思？这出题人就喜欢这个图，是吧， 好吧。嗯啊，这个 bc 垂直于 cd， 然后因为啊，这么一个个写啊，我完整写一下过程。 因为 a、 d 垂直于平面 b， c， d， 所以 bc 垂直于 cd， a， d 交 c， d 于 d， 所以 bc 垂直于平面 a， c， d。 因为 bc 属于平面 a， b， c， 所以 平面 a， b， c 垂直的大小写了 m， n 平行于 b， c， d 啊。 m， n 平行底面，嗯，求 m 长 m， n 平行底面。你这个是二，这是二，这是一，高是一。 m 到底面的距离是，哎，二分之一啊，所以 n 是 这个四等分点是吧？嗨， 哦， m 在 底面是在这是吧？ m 在 底面投影， n 在 底面投影是这个， 所以是 d， c， b， n 是 在， n 是 这个四等分点投影。 n 撇儿， m 撇儿啊，好神奇啊。四十五度 二分之三，根号二，那你算这个是吧？做垂线一，一二分之一。这个， 嗯， 写一下坐标吧。 n 点坐标， 嗯，一零二分之一， n 点坐标 是零四分之三的零二分之三，二分之一。对 啊，出，出问题了，咋回事 哦， b， d 是 二啊， b， d 是 二啊。哎呀，幸亏我这么算了一下，天呐，家人们谁懂。 嗯，我这么算出来是四分之五是吧。哎呀，我这检查真是功不可没， 是这样是吧？ b， d 是 c， 哎，等会，哦， c 键错了， 等会， b， c， c， d 是 哦， c 键错。嗨，我说我习惯了，那没错，哪边错？哪个错了？ c 键错了是吧？嗯， ok， 对，你是这样的啊，那你就这样吧，这么减， n 是， 呃，二分之一，零，好， m 点是 p 点是二，零一， b 点是零二零， m 点是一，一二分之一， 嗯，哎，对了对了，对吧？嗯，行，踏实了，我们应该是一。 哎，这不是我给高一做的题吗。嗯，三 f 零等于一。 f 零等于一是啥意思啊？两倍的 sine 等于一， ok？ 所以 sine 是 六分之 pi 啊。我们一个是一的话， f x 等于两倍的 sine x 加六分之 pi， 然后呢？两倍的，嗯， sine x 零加上六分之 pi 是 多少？ 五分之三，求 f x f 二 x 零加上三分之二。我的天呐，两倍的三二 x 零 六分之五派，对吧。那现在就是已知塞阿尔法等五分之三求两倍的塞阿尔法加上二分之派。哈哈。 那就是两倍的 cosine 对 吧。圆公式对，等于两倍的一减去两倍的散方 r 法。 这个这真的是这真的是我给高一做题啊，这几乎一压。 嗯， 有一个存在并求取值范围。 零到派上只有最大没有最小。 它这个只有最大。是谁的最大呀？我想想啊，就是在这个区间上有最大没有最小。哦这个吧。哦，选两个最一致啊。我天 欠有四个零点选两个作为一只 选两个。嗯。 一三吗？一是要求啥啊，就都算着就行。对，一是 omega pad， 嗯， omega pad 加上六分之 pad 大于二分之派。嗯，没有最小值。没有最小值。 没有最小值。你都是开的那你都是开的，你就得这样，之前就都行，对吧。你这样也没有这样。没有没有没有没有。 嗯，这意思是吧。 只有最大值，没有最小值。 对， 嗯，六分之九 三十。嗯， 就这个呗。 只有最大。嗯， 那我再想。嗯对 嗯，一个大于零。 嗯嗯的叉是二啊， 斜率叉是二负一负一负一 叉十二。 ok 啊，这么神奇， f x 方 真是。嗯， 这谁发现好神奇。 嗯，扣俩点来直线。 哎，这是有一年的高考题吧。我怎么觉得，哎，又是等边三角形啊。行，我之前直播还带着练过。二分之一 x 加 m， 嗯， 这还得扣俩点是吧，讨厌呢。 啊，不用扣，哎，不用扣。 嗯嗯，对，你反 p q 是 这样的， 嗯，然后 啊， p q 中点 二分之一 x 加 m， 嗯，然后还要扣几个点，嗯， x 等于一的话， b 等于一， ok， 没事， x 等于负一的话， b 等于负一， 那负三， 嗯，负三，那就是 m 等于 二。这个 啊，行，听你的，等边三角形，哎，哦， 等边三角形像这个， ok？ 嗯嗯 嗯， 这个是啥？嗯， 都还俩姐的这么搞笑。 哦， 这是 x 三，嗯， r m 的 平方， 嗯， 那有道理，这个斜率是二分之零啊， p q 方，嗯， p q 方是斜率是 四减四 b 是 吧？ 嗯， 哪，算错了， 嗯，这个是对， 对的一比， p q 方，对， 嗯 嗯， 这是对的， 这是对的。 对， 对 啊，对对对对，这算错的。那就清楚了， x 三， x 三减一，乘上十一 x 三，我的天，救命啊，家人们 负十一分之十九啊，就一个减啊，还一个减，折了啊。对， r m 的 平方是 这个甜， 是要求这个吧？啊，求 b q 啊， 十一分之十倍根号数 哦。 啊，等会分解错了啊，没分错。嗯， 行，就它了。同学们，今天的课就到这了，赶紧趁热打铁把这消化吸收，下节课我可是给大家准备了超刺激超有趣的内容，大家可千万不要错过，咱们下节课不见。

这个视频呢，送给咱们高三的两个准备单招春招的这个同学，然后希望你们能够调整好状态，积极的备考，祝你们在这个春招里面考出理想的成绩。我们看这道题，在直三棱柱，大家一定记着第一个知识点，直三棱柱 和正三棱柱，那就一定是会推出来一个侧棱 一定垂直于底庙的，这个一定垂直这底庙的这个条件，那你想 这个是直三棱柱或者正三棱柱，那 a a e b b e c c e 一定垂直于 a e b e c e 还有 abc 是 吧？一定垂直上下两个这个庙，那它就垂直于这庙里的所有的线，对吧？这个一定是咱们高考里面考的热点， 并且呢，可以说你这个直三楞柱和正三楞柱可以考，考的概率是百分之百，所以接近百分之百，一定要注意哦，那这个条件一定要牢记在心里， 然后接下来呢给我们说， abc 等于九十度，对吧？ abc 等于九十度，那告诉我， a a 等于 ab， 这等于刚好三，这等于刚好三， bc 又等于一，那这个不就等于二吗？因为勾股定律 abc 等于九十度，对吧？然后接下来呢，让我们证第一个问呢，让我们证 ab， 一， 这个 a b e a b e 垂直于 a b e 垂直于，呃， a e c， 对 吧？ a e c。 那 大家一在想我们这个垂直的话呢，在 高中里面一定会考的是线面垂直，绝对不可能直接让你用勾股定律正一个正一个线垂直，那这样的话呢，那不就相当于初中的勾股定律吗？勾股定律是初中的绝对不会拿在高中来考，对吧？ 那所以呢，那我们就在想，要么就正 a b 一 垂直于 a c 所在的面，要不就 a c 垂直于 a b 一 所在的面，这个题里面一定会有个非常明显的暗示，大家到底你能找到跟哪个线现在是有一个垂直的，会非常简单，这样的话，你就按照这个这个出题人， 把出题人的这个出题的套路给他破解了，你按照这个去呃猜测，他让你正的，你一下就能出来，那我们看啊，很明显，你看你不已经画出来 ab 和这个 ab 和这个 a a 一， 是吧？他俩是相等的，那这个不就是一个， 这不就是一个正方形吗？那所以呢，我们把这个呃对角线一连，大家有没有发现 ab 一 一定垂直于 a 一 b， 对 吧？那所以你就在想，已经有 a b 一， 已经有一个跟它垂直的了，是吧？我再找一个跟它垂直的就行，因为垂直两个相交直线就能垂直另一个面了吗？是吧？那所以这道题就非常简单了，那你 a b 一， 那已经出了一个 a e b， 对 吧？ 让你正的又是正 a e c， 那 所以一定想去正 a b e 垂直于 a e b c 这个面，对吧？那你想提理由让你正 a， 让你垂直于 a e c， 那 所以你反推，那一定下一步要正出来 a b e 垂直于 bc 这个线了，对吧？ 那 a b e 垂直于 bc 这条线呢？也很简单，大家有没有发现这个 bc 是 不是垂直于 ab 的， 然后这个 b c 呢？是不是又垂直于 b b e 啊？对吧？那大家就能发现找到，那所以 b c 就 垂直于 a b b e 这个面，对吧？ a b b e 这个面，那不就是咱所说的侧面的这个，也就是说 a b b e a e 这个面，对吧？那 b、 c 要垂直于这个面的话呢？那 b、 c 不 就垂直于这个侧面，侧面这个庙里的侧面，这个庙里所有的线吗？对吧？那你有没有发现这个 b、 c 就 一定垂直于 a、 b 一， 对吧？ bc 一定就垂直于 ab 一， 对吧？那你看 bc 又垂直于 ab 一， 然后这个 ab 一 呢？ ab 一 又垂直 ab， 是 吧？那所以这个 bc 呢？呃， ab 一 啊， ab 一， 那所以这个 ab 一 呢，就一定会垂直于谁啊？ ab 一 呢，就一定会垂直于 a 一 bc 这个面，对吧？ 那垂直于 a、 e、 b、 c 这个面呢？那它就一定会垂直于谁啊？那就一定能推出来它垂直面的所有线，那就 a、 b、 e 就 垂直于 a、 c 了，那第一个问 a、 c 就 结束了，对吧？这第一个问就已经结束了。大家一定要记着，我们高考题的话呢，第二个问的话呢， 一定跟第一个问会有联系，就没有平白无故的第一个问，第二个问的话，一定和第一个问会有很大的联系，一定会用到第一个问的结论，那所以我们开始看这道题，呃，我因为我有点乱了，我给查一下啊。 然后上一个问呢，我们不已经能够推推出来这个 a、 b、 e 垂直于咱所说的这个 a、 e、 b c a e b c 这个面吗？对吧？然后下一个问呢？让我们证明 a e、 c a、 e、 c 和侧边这个面的所成的角，对吧？所成角的正弦值，那大家有没有发现？ 那你想这个 b、 c 你 刚刚上一问不已经证出来它垂直于侧面这个面吗？对吧？那 a、 e、 c 在 这个侧面这个面的投影，那就是 a b， 对 吧？投影 投过来这个影子就是这个，那你想他说这个 a、 e、 c 和底下这个妙所成的正弦值，那不就是这个角吗？如果你想画出来，那是不是就是，就是 c， 就是 b， 就是 a e， 那 a e c 和 a e c， 那 不就这个角吗？ a e c， a， e c 和 a e b 数成的角，对吧？ b c 已经告诉我了呢，是等于一， b c 等于一，然后 a e、 c 呢？ a e c， 大家通过这个根号三，根号三能求出来，它是根号六，是吧？ 哎，不对， a c 不是 a a e c， a e c， 是 这个，是啊？不，这个是根号， 这是根号三，然后这个是根号三，那根号三一，这是二，是吧？二的话呢？那这个位置三加四，那 a， e、 c 是 根号七，对吧？然后 a e b 呢？ 呃，其实，呃， a e b a e b 的 话其实用不大到，但是我们也求一下，它应该是根号六，是吧？ 那他让你求这个角的正弦值，那不就是 bc 除以 a e c 吗？对吧？那就应该是一，除以根号七，等于七分之根号七。就这道题的答案，我过程没有写，但是这个思路是这样的，你们可以写一下这个过程。

这是新高考全国一卷的立体几何简答题，一起来看一下到底难不难。题中条件给了 pa 垂直于平面 abcd， bc 是平行于 adab 是垂直于 ad 的第一位证明。 因为这里的 b a 是垂直于 a 的。又因为 b a 是垂直于 p a 的。因为 p a 垂直平面 a b c， d 当然是垂直于 b a 的， p a 交 a 的等于 a， 所以 e a 垂直于平面斜的。 又因为 b a 属于平面 p a b， 所以平面 p a， b 垂直于平面 p a 的。呃，看一下第二疑问的第一小问。这里给了 p a， a， b 的边长 a 的 b， c 的边长 p b， c 的在同一个球面上直接建立坐标系，建立坐标系 黑杠 x y， z 找到点的坐标， 射球星为 x y z， 我们再表示出 o p o b o c o 灯的长度。 又因为 o p 四代与 o， b 四代与 o， c 四代 与欧德的。这里我可以剪的 a k 四等于零， y 等于一， z 等于零。所以 o 在平面 a， b， c 内 后第二一小位。求 a， c 与直线 p o 所乘角的余弦值，找到 a， c 的向量坐标等于根二二零，找到 o， p 的向量坐标等于零。负一根二 科三，以 a c 向量与 o p 向量的夹角等于负二的绝对值，除以根六，再乘以根号三，等于三分之根二。

好，我们接下来看第二问，第二问的话，第二问的第一个， 它给了各种的长度，然后让我们证明这个，让我们证明 o 点在平面 a、 b、 c、 d 内，那这个证明相比较而言，呃，我觉得直接算就行了啊。 好，那么这个时候以 a 为坐标原点， ab 为 x 轴， a 的 为外轴， pa 为 z 轴，建立空间直角坐标系。这个时候我们可以得出 ab 长度是根二， pa 长度是根二，那么 bc 长度是二， a 的 长度是一加根三。 这种时候我们现在新高考没有俯势，没有三式图了，我特别希望同学们去自自己学一学这个三式图的问题，你去画一下俯势图，这是 a， 这是得，那它就是 y 轴。好，这是什么呀？ b， 这就是 x 轴， 那这是 c， 这是一加根三，这是根二，这是二。接下来，好，我们可以得出所有的点坐标 a 点作以 a 为圆点， 如图间隙，不解释了啊。 a 点坐标零零零， b 点坐标根二零零， c 点坐标根二二零得点，坐标零豆一加根三豆块零， p 点坐标零零根二。 那么这个时候注意审题，我要的是 pbc 得四点均在球面上，那么 pbc 得四点均均在球面上，我要去反解这个球心， 这个球星的话，那我就在 a、 b、 c、 d 这个面里面去找，那么现在要在这个这个球面上的是 b 点、 c 点和 d 点，它的形状是不同，呃，它的形状是个动脚三角形，那这个时候找它的外接圆圆心，那么两种思路，第一种的话，我就去 利用平面直角坐标系的内容去画那个对角线，哎，画那个中垂线去求这个球心 o。 第二种的思路的话，我可以设点，用向量去算，我比较推荐向量是因为这个题间隙我们都做完了啊，这个是它的 b， c 中点，它一定是 一定是什么呀？ a， a， a 一定是，一定是。我的纵坐标等于二，横坐标不知道，所以说由题由题， 我们设的点。呃， o 点坐标就是 t 勾一勾零，则 o， b 一定是等于 o， c 的。 好，接下来我只需要让满足 o， o， b 等于 o， c 还等于。最后是和 o 的， o 的 长度应该等于根号下好， t 方加三， o， p 的 长度应该等于 t 方加一，再加二再开根，那么 o p 和 o 的 也是相等的，所以说 o 的 o p 相等， o， b， o， c 相等，而它们都相等即可。 这个时候 o， b 的 长度呢，就应该等于多少呀？是不是 t 减根，二的完全平方，再加一开根， 我让它等于根号下，等于 o 的 根号下， t 方加三，整理一下， t 方减二倍，根二， t 再加三，要等于 t 方加三也值得 t 等于零，所以说此时 o 点坐标应该是零一零， 此时 o 点一定在平面 a， b， c， d 内，我们解出来这么一个 o 点坐标，所以说也就证明了 o 点在平面 a， b， c， d 内了啊。

好，我们开始十七题一题几何的证明。首先我们对问题进行分析，你要让我证明平面 p a、 b 垂直，平面 p a 的， 那么面面垂直怎么正？面面垂直，那就是找柱子。所以说我可以在 p a、 b 当中找柱子，也可以在 p a、 d 当中找柱子，所以话就分两边， p a、 b 那 条 p a、 b 当中，哪条线它是垂直于平面 p a、 d 的 呢？ 待会看图， p a d， p a、 d 里面哪条线是垂直于平面 p a、 b 的 呢？ 大家伙看图来，我们先看左边，改个颜色， 好，红色部分。那我就要在 p a、 d 当 p a、 b 当中找线， p a、 b 当中有几何直观可以看出来，它应该找的是 a、 b， 那同样的，在右边，在 p a 的 当中，哪条线垂直于 p a、 b 呢？有几何直观应该是 a 的。 那么接下来我就要证明 a、 b 垂直于平面 p a 得或者 a 得垂直于平面 p a、 b。 那么在证明的线面垂直的证明之前，一定要看一眼题目当中有没有出现面面垂直，以防应用到面面垂直的性质。定例，题目当中没有。接下来那一定就是 a、 b 垂直于什么？ a、 b 垂直于什么？我需要在 p 的 当中找两条两条相交的直线，那 a 的 垂直于什么？ a 的 垂直于什么？也是一样。那么通过读题我们就可以判断 a、 b 它是垂直于 a 的 的，那 a、 d 也在平面 p e 的 当中，没问题。其次， a、 b， p a 不是 垂直于底面，那么 a、 b 也垂直于 pa， 它已知，它已知，自然就有 好。右边呢？也可以 a、 d 垂直于 a， b 已知， a、 d 垂直于 pa 也已知。所以这个题第一问比较温柔，两种思路都可以做， 那么中具体的解析过程，同学们根据截过图反向递推回去就可以。比方说油体已知 a b 垂 p， a 垂直于底面 a b c d， 所以 a b 垂直于 pa 小 圈一同理，又因为 a b 垂直于 a 的 小圈。二 接下来 a 的 pa 都属于平面 pa 的， 所以得出 a b 垂直于平面 pa 的， 即 a b 属于平面 p， a b， a b 还垂直于平面 p a 的， 所以两个平面互相垂直。