2026青岛一模数学十一题怎么做？

听老师一幕已经结束，就本次的数学考试进行考前分析。单一题部分基础与中档题为主，侧重核心概念与方法，整体难度不高。本次试卷单选覆盖复数计算、集合计算等差，熟练空间命运关系，先行回归排列组合，均为高考的高频基础考点， 侧重考察计算的准确性和概念理解。其中第一题到第六题均为送分题，要保证零失误。第七题、第八题为中等题，其中第七题以矩阵翻折为背景，考察了抛物线的定义。第八题函数基偶与周期的综合性问题， 是选择题当中区分度比较高的题目。多项题部分综合性较强，侧重知识交汇与易错点。 第五题考察了数列前项和考察了 a、 n 和 s、 n 的 奇数关系，等比数列求和难度不是很高。第十题函数的题，考察了奇偶、单调、零点和不等式，需要结合导数分析单调性。 第十一题考察了立体几何的四面体外接球问题，内切球性质。结论面积最值。难点在于第四、四 d 选项需要通过空间向量或者几何投影法分析。结论，形状计算量较大，是选项中最难的多选题。 一在最值判断上出错，在考场上可以选择性的去略过。填空题部分，中档题的综合题为主， 测重计算与技巧。第十二题正在分布，考察了正在分布的基本性质，属于基础综合题。第三题双曲线结合近距线平行条件 结合离心率，需要连力方程建立等式，整体难度不是很高。第十四题考察了解三角形结合约束定力与均等式求解，最值是解三角形加不等式的综合性问题，计算性与技巧性较强。 进入解答题部分，难度梯度较为明显。十五题十六题属于基础解，解答题必须拿满分。其中十五题属于三角函数的常用方法，需要注意区间限制与三角函数变化的准确性，使综合题必须考满分。 第十六题考察了立体几何的翻整问题。高三上学期期末青岛联考的压轴题也考察了立体几何的翻整问题。这道题目属于弱化版， 对于上学期期末考后进行过总结规范的学生来说，这道题啊，难度不是很高，但是需要注意法向量的快速分解方法的掌握，并且要保证步骤规范，计算无误。 第十题十第十七题、十八题属于中档的解答题，是本次考试区分成绩的核心题目，存在问题的学生需要重点突破。其中十七题考察了导数问题。 现在高考对于导数整体难度要求是在下行的青岛市，硬膜放在这个位置上，是符合高考命题习惯的。其中第一问讨论了单调性，要注意定论限制，以及优先讨论横乘力条件。 第二问要结合题目信息以及第一问的结论，可以得到 a 式大明的并且结合构造函数函数，形成一个明显的分叉。横乘力问题是导数综合题的典型方法，跟着我系统寒假复习过的学生应该能够掌握该方法。 第十八题考察了概率统计和数列的结合，考场上看到很吓人，实际上就是阅读理解搞清楚题密思计算不是困难，涉及到数列当中的错漏相减，也属于数列问题当中的基础知识，并没有考察数列中较难的放缩、构造数列等部分内容。 第十九题是压轴题，是区分典型学生的侧重创新与综合。其中第一问求椭圆方程，基础题目不再设计。 第二问的第一小问证明 a、 b 和 a、 c 垂直，利用了垂直斜率关系以及点法求斜率属于圆锥曲线当中的窗口内容，这部分分数没有拿到的同学，后续一定要加强对圆锥曲线的重视程度。总结方法，重点突破 本章试卷难度七度。其中基础题是单选择题的第一题到第六题，前后题、十二题、十五题、十二题、十五题占比约占百分之四十。中档题第七题到第十一题、十三题、十四题，还有解答题的十六题、十八题， 占比约占百分之四十五。而压轴题是第十九题和多选题最后一道，占比约占百分之十五，符合高考基础为主，区分有度的命题思路， 覆盖高中全部内容。函数以导数、疏列、立体几何解析、几何概率统计、三角函数、不等式导数等高考核心模块。 整张试卷难度适中，对于高三学生来说是一次树立信心的好机会。而对于成绩不佳的同学来说，现在已经不是说漂亮话的时候了，这次考试也给我们敲响了警钟，到了冲刺复习的时候了，剩下不到三个的时间，一定要全身心的投入学习当中，不留遗憾。

哈喽，大家好啊，我是毕燕玄鹤，今天来给大家讲一下二零二六年青岛一模的第十九题压轴题。这道题目呢，把圆锥曲线和一个非常复杂的函数结合在一起，考察的它的一个代数问题。这道题目呢，第二小题的第一小问，让你去证明 ab 垂直于 ac， 这个题目就利用了一个点差法的经典结论， k 一 乘以 k 二等于负 a 方分之 b 方，很容易就把这道题写出来。而最后小问呢，难度相对是比较大的，它和圆锥曲线几乎就没有什么关系了，基本上考察的就是一个非常复杂的代数问题。 我会给大家讲两种方法，一个是利用三角换圆去削圆，然后去写第二种方法呢，就是你没有想到三角换圆，那就直接射点，然后不换圆的去写整个题目呢，非常考验你的代数基本功。那话不多说，我们就来讲一下这道题。 首先我们来读一下整个题目啊，题目说已知椭圆啊，这个东西离心率二分之一，长轴是四，那第一小问直接就写出来了，四分之 x 方加上三分之 y 方等于一。我们来看第二小问。 第二小问说，若过 o 点的一条直线， l 交椭圆与 ab 两点，那不相当于就是过圆点的一个椭圆的弦吗？ 哎，那过圆点的一条弦，然后呢？ c 点又是我们椭圆上的另外一个点。我们能想到一个经典的结论，什么结论啊？就是我们这边。哎，看这个图啊，这个图上就应该有一个结论，就是 k a c 乘以我们的 k b c， 它应该等于负 a 方分之 b 方， 这个结论大家应该要一下子能够反应出来，好，我们接下来继续去看。他就说啊， d 点是我们 bc 与 x 轴的一个交点， a 点的横坐标呢，是 d 点横坐标的三倍。 设 a 点的坐标是 x 零 y 零， b 点的坐标呢，因为是对称的，所以就是负 x 零，负 y 零， c 点的坐标你需要去额外的设一下，因为 c 点是任意的一个点，它是 x 一 y 一。 而根据题目说了，哎， a 点的横坐标是 d 点横坐标的三倍，所以 d 点的坐标就是三分之 x 零，逗号零。所有的点都射出来之后啊，其实你就能列出很多很多的关系了。首先第一个关系就是我刚刚说的 k a c 乘以 k b c 等于负四分之三，这东西如果你忘了怎么去证明，哎，我带你去证明一下，其实也很简单， 就 a 点在椭圆上， c 点在椭圆上，所以得到两个椭圆的点的关系，就这两个式子，这两个式子你相减一下就能得到两个斜率， k a c 乘以 k b c 等于负四分之三，一下子就证明出来了。我们是需要去证明什么呀？我们是需要去证明 k a、 c 乘以 k a b 等于负一，对不对，因为要证明它是垂直的嘛，要证明这个东西，而我们现在有的条件啊， k a、 c 已经有了， 所以接下来就是要去找我们 kab 和 kbc 的 关系，那就看 kbc 嘛， kbc 的 话，我们题目上还有另外一个条件，那就是 d 点的坐标是有的， d 点坐标有的，那也就是说我们的 bdc 三点共线啊，三点共线不就是 kbc 等于 kbd 吗？ kbd 刚刚说了 d 点坐标是这个，然后 b 点坐标是这个东西，你把这两个相减一下，就能得到他们的斜率是这个东西，所以 kbc 整个斜率啊，就这个东西。哎，这东西是个啥呀？ 这东西是不是和我们的 ab 斜率是有关的呀？因为 ab 的 斜率等于多少？ kab 是 不是就应该等于 二 y 零比上二 x 零啊？也就是 y 零比上 x 零，那不相当于就等于四分之三的 k a b 吗？我们题目需要有 k a、 c 和 k a、 b 之间的关系，而 k b、 c 又能转化成 k a b， 所以 两个式子连立起来，就能得到 k a b 乘以 k a c 等于负一，也就是 ab 垂直于 ac。 当然你要说明一下，哎， a c 斜率， ab 斜率有没有可能不存在啊？这个你简单说明一下就行了，所以第二小问是很容易去证明的。好，那接下来我们来看第三小问啊，这个第三小问的代数变换呢，相当有难度。我们来看一看题目吧。 题目说，若 a 点和 b 点都在这样的一条曲线上， m 大 于等于二，求 n 的 一个最大值。哎，那整个题目啊，这个最后一想问，是不是和我们的 c 点、 d 点都完全没有关系了？它就是什么意思呢？就是我们的一个椭圆，然后过圆心，有这样对称的一个 a 点和 b 点， 然后 a 点和 b 点呢，都在这样一个曲线上，求 n 的 最大值，那不就是和 c 点 d 点完全没有关系吗？所以这道题目啊，出的其实并没有太好，因为它的这一小问和这一小问是完全割裂开的。 首先我们有个最简单的思路，这个思路就是 a 点坐标 x 零 y 零， b 点坐标负 x 零负 y 零，然后他们彼此之间有一个关系，就是四分之 x 零方加上三分之 y 零方等于一。 接下来我们可以把 a 点和 b 点啊，都带入到我们的这个曲线里面，就能得到 x 零 y 零 m n 的 两个方程的关系， 然后 x 零 y 零之间又有这样的一个关系，对不对？四个变量有三个方程让你去求 n 的 最大值肯定是能写的， 但是四个变量去处理，你肯定是觉得非常麻烦，那有没有什么办法能够把四个变量变得简单一点啊？有一个办法就是三角换元，你看啊，我们椭圆 四分之 x 方加上三分之 y 方等于一。刚刚你是设点 x 零 y 零两个变量，对不对？两个变量彼此之间是有一些关系的，那我们能不能设一个变量呢？完全是可以的，你就设它是二扩散器它， 然后它的纵坐标呢，就是根号三倍的三眼 c 塔，那带入进去不就是 cosine 平方加三眼平方等于一吗？然后 c 塔就是唯一的一个变量。所以啊，我们可以尝试一下三角换元， 那试一下的话，就是设 a 点的坐标是两倍的 cosine c 塔，根号三倍的 cosine c 塔， b 点相对应的就是负。二 cosine c 塔，负根号三 cosine c 塔。 注意 theta， 你 要写一个范围，那这道题目我们就不妨设， theta 是 零到二分之派上的，为什么可以这样设呢？你仔细来看一下啊，这个地方是有点考虑的。 首先看一下我们这个曲线啊，这个曲线左边这个部分啊， m 的 x 加一次方，它是不是就应该等于 m 乘以一个 m 的 x 次方，这是一个指数函数吧？ 并且这个指数函数的底是不是大于等于二的，然后前面乘以一个系数啊，这个系数就不用管吗？它相当于就给这个图像拉伸了一下，整体是没有什么变化的，然后后面加上一个 n， 这个 n 你 需要去管吗？ n 也不太需要去管，它相当于就是把这个指数函数图像拉伸了之后，上下又平移了一下，对不对？ 所以整体这个曲线啊，就应该是这样的一个感觉，对吧？那这样的两个曲线啊，就应该是这样的圆心 o 点， 那只有可能我们一个点在第一项线，一个点在第三项线啊，有可能一个点在第二项线，一个点在第四项线吗？这肯定是不可能的，对吧？ 因为如果一个点在第二项线，一个点在第四项线，你画出来的话，这个指数函数啊，他这个底一定要是一个大于零小于一的数，没问题吧？所以啊，经过这个简单的讨论之后呢，我们就可以确定 a b 两个点一定有一个点在第一象限，所以我们就不妨设我们的 a 点在第一象限，也就是 c 塔属于零到二分之派，这个是需要简单的去说明一下的。 好，接下来我们继续去看啊，三角换元之后，我们就没有 x 零 y 零这样的两个变量了，而只剩下了一个 c 塔这个单一的变量。所以我们把 a 点和 b 点带入到我们这样一个函数里面，就是得到了这样两个关系， 这两个关系你仔细观察一下，这玩意和这玩意一正一负，所以我们可以两式相加，就能得到 n 等于负二分之一倍的 m 的 这个次方，加上 m 的 后面这个次方。哎，很显然啊，我们括号里面的这个式子一定是大于零的，前面又是一个负的，所以整体 n 一定是一个小于零的数，没问题吧？ 好，那这个式子呢，我们可以看到它里面这两个部分啊，都有 m 的 两倍的 cosine theta 次方这样一个整体的形式，所以们可以不妨把这个式子啊化解一下，就设 t 等于这个式子，可以吧，所以我们令 m 的 二 cosine theta 次方等于 t， 那 t 应该是有一个默认的范围的。注意，题目上说 m 大 于等于二，然后我们的 c theta 又是零到二分之派，所以 cosine c theta 它的范围就应该是一个零到一。 cosine c theta 零到一 m 大 于等于二，然后这玩意又是它的一个指数，所以我们的 t 应该是大于一的，这没问题吧。 好，那接下来我们来化解一下刚刚的这个式子，那 n 就 应该等于什么呀？ n 就 应该等于负二分之一倍的，注意，我们设的是 m 的 两倍的 cosine theta 是 等于 t 的， 而这边啊，后面是 m 的 二， cosine theta 加一次方，相当于就是乘以个 m 嘛，所以就是 m 乘以 t 再加上一个。后面这个东西也是 我们这边有一个 m 的 一次方，所以是 m 除以一个 t 没问题吧，所以 n 现在就应该等于这个东西， n 等于负二分之 m， 括号 t 加上 t 分 之一，注意，刚刚说的它是小于零的。 好，现在我们就得到的 n 的 一个关系式，而我们这道题啊，就是要去求 n 的 最大值的，那接下来问题来了，现在我们还有两个变量，很复杂吧， 那两个变量要去求对值，我们肯定想到的是去消元，对不对？那要消元的话，就要知道 m 和 t 的 关系， m 和 t 的 关系，我们题目上还有好多好多式子，肯定是能写出来的，那我们来看看 m 和 t 都有哪些关系呢？首先我们设的 m 的 二 cosine c 塔，四方等于 t， 这不就是 m 和 t 的 一个关系吗？但是这个关系呢，我们的 c 塔在它的指数上，我们希望这个 c 塔放到它的外面来， 因为我们上面的这些关系啊， c 它都是单独放在外面的，对不对？所以我们可以两边给这个式子取一个对数，也就得到了二 cosine c 乘以 lo in m 等于 lo in t， 这个 cosine c 它就放到外面来了。哎，那接下来我们还发现啊，根号三倍的 cosine c 等于 m 的 二 cosine theta 加一次方，而这个东西不就是我刚刚说的 m t 吗？对不对？加上的 n， n 又写成了这个形式，而这个形式不就是我们的负二分之 m 乘以括号 t 加上 t 分 之一吗？ 所以我们把 n 等于这个带入进来，然后这个式子写成 m， t 又得到了一个式子，就是根号三倍的 cosine theta 等于 m， t 加 n 带入进来，就等于二分之 m， 括号 t 减去 t 分 之一，没问题吧？ 仔细看啊， cosine theta， cosine theta， 然后 m 和 t 是 我们需要的一个东西对不对？ m 和 t 这边都有了 n， 我 们都消除掉了， 那这两个方程我们是不是还可以去把 c theta 给消除掉啊？怎么消除掉 c theta？ 利用一个天然的关系， cosine 平方 c theta 加上 cosine 平方 c theta 等于一就可以了。 我们把 cosine theta 移到一边，也就是 cosine theta 等于 loin t， 比上两倍的 loin m， 然后 cosine theta 就 应该等于什么呀？呃，二根号三分之 m， 括号 t 减去 t 分 之一，对吧？ 所以现在就能得到一个关系，就是它的平方加上它的平方是等于一的，也就是这个式子，那这个式子不就是我们需要的 m 和 t 的 关系吗？ 所以接下来这个思路你应该是有的，这个式子化简出来就是 m 和 t 的 一个方程，那接下来这个思路应该是比较明确的，我们这个方程就是 m 和 t 的 一个关系， 那如果我们利用这个关系啊，去代入到这个式子里面，比如把 m 全都化成 t， 那 这个式子不就变成了 n 关于 t 的 一个函数吗？ 那要求他的最值，我们只需要去研究 t 的 范围，然后写出来就行了，对不对？所以整个思路还是非常清晰的。但是问题来了，你看一看这个式子，化简一下呀， 他化简一下就得到这个东西， m 方程以 t 方加上 t 方分之一减二，再加上。哎呦，这个东西相当的吓人啊，等于一个十二，你无法做到把这个式子分底变量得到 m 等于什么？什么什么 m， 这是完全做不到的， 那做不到你就无法去削圆啊，那这就是赵体最难的一个地方，我们仔细来看看，接下来应该怎么去写呢？ 来看啊，我们无法去削圆，哎，那能不能把原来这个式子借助我们现在得到的一个关系去化解一下呢？能，但是化简之后也不好写，你看一看啊， 如何去化解呢？你会发现，哎， t 加 t 分 之一，这边又有一个 t 方加上 t 方分之一，想到什么呀？想到这玩意平方吧，所以 n 方它就等于四分之， m 方乘以括号， t 方加上 t 方分之一加上二，而我们的这边 m 方乘以 t 方 加上 t 方分之一括号，这整个部分呢，在这边是出现过的，对吧？所以我们可以把这个整体的部分代换一下，也就得到四分之一倍的十二，减去 这个东西，再加上四 m 平方，那写到这，你可能觉得这个式子还不如不化解呢，越来越复杂，对吧？那接下来如何去写呢？ 既然消不了圆，我们就一定要找一找 t 和 m 的 一些大小关系来进行放缩，否则无法进行消圆。 又或者你先以 m 为一个变量，冻结 t 这个变量，先把 m 放缩掉，然后呢，再去单独的处理 t 啊，两种思路都是可以的，那我们来看看接下来该怎么去写吧。 我们现在要求的是 n 的 一个最大值，那 n 方现在等于这个式子我们已经写好了，然后唯一的一个条件就是 m 和 t 的 一个方程，就这个东西， 我们来冻结变量吧。其实这个式子啊，冻结变量去写是非常好写的，为什么呀？你看一看 m 的 位置啊，题目说 m 是 大于等于二的， 而我们发现啊，四 m 方，关于 m 是 递增的吧，而这个式子呢，记不记得我们刚刚换元的 t， t 是 不是大于一的呀？ t 大 于一，就说明它的分子是大于零的一个数，并且 m 是 大于等于零吗？小于 m 也大于零，并且它在什么上？它在分母上， 而且前面的系数是一个负的。那整体 n 方的这个式子不就关于 m 怎么样啊？ 是一个递增的式子吗？递增的式子，而 m 的 最小值我们是有的。题目上 m 大 于等于二，那我们是不是可以冻结变量进行一些放缩来尝试一下呀？ 对吧？我们来写来看一下。 m 大 于等于二，因为它是关于 m d 增的，所以 n 方就大于等于四分之一乘以这个东西对不对？把 m 等于二带入进来，那问题来了， 我们 m 和 t 是 有一个方程的，你这个式子如果你去取一个等号，也就是 m 如果等于二，按照到底 m 等于二带入到这个方程里面， t 是 不是也是一个确定的值啊？所以我们来看一看啊， m 等于二的时候， 我们 t 等于多少？你来研究一下 m 等于二的时候，也就是啊，我们带入到这个方程里面，就是四倍的 t 方加上 t 方分之一减二，再加上后面这个数字，等于十二。 这个方程是一个超越方程吧，正常去解肯定是解不出来的，但是你发现这个形式非常的特殊，如果我们的 t 等于二，它就等于三 三的话，此时我们 t 等于二，它等于多少啊？它就等于四，加上二的平方四分之一，再减去一个二，前面的再乘以一个四，它就等于多少，就等于十六，加上一，再减去一个八，不就等于九吗？九加上这边的三，不就等于十二吗？ 所以你会发现啊， m 等于二的时候，我们的 t 等于 m 等于二，恰好满足这个条件是不是？所以我们可以不妨假设一下， t 等于 m 是 不是这道题的一个特殊情况，或者说是这道题的一个突破口， 并且你再去仔细的观察一下这个式子，这个式子整体关于 t 也有一个微妙的关系在里面。右边这个式子啊，我们就看左边这个式子啊， 这个部分关于 t 是 递增的，对不对？而这个部分呢，这个部分有一个对勾的形式在里面，而这个对勾的形式 大概是这个样子的吧，如果我们的 t 足够大，他是不是也是一个递增的呀？哎，那有意思的地方就来了，我们刚刚得到一个取等的条件，是 t 等于 m 等于二的时候，整体这个方程是满足的。那我问你， t 能不能大于 m 呀？ 你看啊， t 如果大于 m， 我 们的这个式子刚刚说了，我们这是一个对勾函数，这个对勾函数呢，它是相当于 t 方等于一，是它的一个最低点。就这个形式嘛，那 t 方如果大于一的话，它就是关于 t 方的一个递增的函数，对不对？而我们现在 t 大 于 m， 而我们的 m 一定是怎么样大于等于二的，所以它一定 t 方在这个递增的范围里面，所以整体关于 t 方是一个递增的，那整体这个式子啊，是不是就可以把所有的 t 都放缩成 m 了？ 也就是它大于 m 方，乘以括号 m 方，加上 m 方分之一，再减去二，后面呢，把 t 变成 m， 也就加上一个三， m 大 于等于二，我们把这个式子啊化解一下，就是 m 四方减去二， m 方加四，配方一下就是 m 方减一，括号的平方加三， m 大 于等于二，那整体这个式子啊，就大于等于十二。 注意了，我们这个式子严格的大于十二，而我们题目又说了，这个方程是等于十二的，那不就矛盾了吗？矛盾也就说明我们的 t 能不能大于 m 啊？ t 不 能大于 m 对不对？ t 不 能大于 m， 不 就说明 t 一定是小于等于 m 的 吗？所以这是这道题非常困难，非常不容易看出来的一个隐藏的条件， t 一定要小于等于 m。 好， 那既然 t 一定要小于等于 m， 那 这个问题就非常的简单了，我们来看啊， n 方刚刚说的等于这个式子对不对？ t 一定小于等于 m， 并且 t 又大于一，所以这个式子呢，我们就可以对 t 进行一个放缩，它整体就大于等于四分之九，加上 m 的 平方，对不对？就相当于把这个式子整体放缩成一个三，然后十二减三等于九， 前面就是四分之九，后面就是四分之一，乘以四， m 方就等于 m 方，所以整体大于等于四分之九，加上 m 方， 并且我们的 m 又大于等于二，所以整体呢，就大于等于四分之九，加上四，也就等于四分之二十五。而我们题目最一开始就说了， n 是 小于零的，现在 n 方大于等于四分之二十五，那么 n 就 应该小于等于负二分之五，所以 n 的 最大值就应该是负二分之五。 哎，看似没有问题啊，但是这个里面是有非常多的细节的，你仔细看啊，你这边用了两次放缩，第一次把 t 放缩成 m， 第二次把 m 放缩成二，这两次放缩呢？能不能同时取这个等号？我们来看一看。第一次放缩的取等条件就是我们的 t 等于 m 的 时候， t 等于 m。 注意了， t 等于 m 的 时候，这个方程就已经能够解出来的呀，就是我们的 t 等于 m 等于二的时候啊，所以第二个不等式取等，完完全全是碰巧， m 正好等于二的时候，就是我们第一个情况， t 的 m 等于二的时候取等， 能明白这个意思吧？所以这道题啊，真正的去写，其实并不好写，因为它最后的取等条件啊，是一个凑巧的情况，正好 t 等于 m 等于二，然后 m 又能放松最小的值，二就取等了。 所以整个题目啊，就写出来了，最终 n 的 最大值啊，就是当我们 t 等于 m 等于二的时候，也就是 m 的 二。 cosine theta 等于 m 等于二的时候，也就是这边的二 cosine theta 等于一的时候， cosine theta 等于二分之一的时候取得没问题吧，所以最终 n 的 最大值就是负二分之五。 好，那接下来我们再来看看方法，二不进行换元，该如何去写这道题呢？首先， a 的 坐标是负 x 零，负 y 零， x 零和 y 零呢？满足四分之 x 零方加三分之 y 零方等于一这样的一个关系。那我们把 a 点和 b 点代入到题目中的曲线中，我们就能得到 m 的 x 零加一次方加 n 等于 y 零。还有这样的一个式子，这两个式子呢，很显然可以相加，可以相减， 相加的话，就会把 y 零和负 y 消掉，得到 n 等于什么？什么东西相减呢？就能把 n 消掉，得到 y 等于什么？什么东西？还可以怎么去操作啊？我们是不是还可以把 n 都移到这个右边去得到这样的两个式子？这两个式子我们是不是可以两式相乘呀？ 为什么可以相乘呢？因为这个和这个乘起来不就是一个平方差吗？ x 零和负 x 零就消掉了。 所以我们把这三个关系啊都写一下，两式相乘就得到 m 方等于，哎，平方差乘一下就是 n 方减去 y 零方，然后我们还可以这两式相加相减，也就得到 n 等于这个东西，而这个东西你会发现啊，括号里面的式子肯定是大于零的， 前面还有个负二分之一，所以整体 n 是 小于零的，这就说明我们最终要求的这个 n 的 最大值啊，是一个负数。 同样的，我们两式相减，就得到 y 零等于这样的一个式子，没问题吧？好，接下来我们要求是 n 的 一个最大值，对不对？那我们来看看 n 有 怎样的一个表达式呢？我们选用这个来作为 n 最后要求的一个最大值的一个式子，为什么选它？因为这个式子相对这两个都很简单吧， 对吧？所以 n 方等于 m 方加上 y 零的平方，而我们现在它的变量还是太多了， y 零方可以消吧， y 零它就等于这个二分之一这个东西嘛。所以我们把 y 零带入进来，就得到 n 方整体等于这样的一个式子， 没问题吧？而这个式子，注意哎，我们 m 是 大于等于二的，而 m 大 于等于二的时候，你能看出来吗？还是一个冻结变量的思想啊？因为这边 m 和 x 零你肯定不能再去，相当于消圆了，不方便去消圆了。那我们就观察一下 这整个式子啊，关于 m 它是怎么样的一个递增递减的情况？关于 x 零又是怎样的一个递增递减的情况，应该不难观察出来吧？关于 x 零呢，它是一个递增的，对不对？你 x 零越大， 这个一加 x 零越大，你这个指数就越大，而后面这个减的东西，它就越小，对不对？所以一个大一个小一减，它整体就变大，那关于 x 零，它肯定是递增的。那关于 m 呢？关于 m 应该也是一个递增的，怎么看出来啊？ 首先 m 的 平方是一个递增函数吧，那后面这个式子你可能不太容易看出来，那我们就求导呗。求导的话就是这样的， 首先 fm 我 们就设它是后面这一坨东西，对 m 进行一个求导。复合函数求导，首先是二乘以这个括号内内部的东西，然后这个东西整体要求一个导，对 m 求导的话，注意这边不要求错，很容易写错的。首先是这个玩意求导是 x 加一， 然后 m 的 x 次方，后面这个东西求导呢，应该是一减 x 乘以 m 的 负 x 次方， 那后面这一坨东西正负号能看出来吗？首先我们这个 x 肯定是大于零的， m 又大于等于二，所以你这个 x 加一，肯定不管怎么样都比一减 x 要大，对不对？其次，我们这两个指数都是一个正数，对不对？那 x 大 于零， 一个还还，还有一个是这个负 x， 那 肯定是 m 的 x 次方要比 m 的 负 x 次方要大呀，所以不管怎么样，你后面这个括号的东西肯定是大于零的。同样的，前面这个东西呢，也一定是大于零的吧，因为 这两个指数函数，你的 m 这个底啊，是大于等于二的，然后这边的这个指数 x 加一肯定比负 x 加一要大吧，所以大于等于等于整体导函数大于等于，也就说明我们的原函数 f x 也是这东西是一个递增的， 没问题吧？当你发现 n 方关于 m 递增，那有趣的事情就又来了， 我们可以把 m 等于二这个极端的情况带入进去来看一看啊。当我们 m 等于二的时候，你发现啊，哎，我们这个式子啊，是不是能得到一个 y 零和 x 零的关系啊？也就是 y 零它等于二分之一，这个 x 零的这样一个关系，对不对？结合我们的四分之 x 方加三分之 y 零方等于一， 又是 x 零和 y 零的两个方程，对吧？我们正好解得 x 零等于一。好，那现在啊，我们又知道， 刚刚就这个 y 零等于的这个式子，就 y 零等于二分之一，这个 m 的 什么什么次方减 m 的 什么什么次方，也就我们刚研究这个东西，他肯定是一个怎么样递增的，对不对？既然是递增的，就很容易找出矛盾。你看啊， 我们刚刚把一个临界情况是 m 等于二的时候， x 零等于一的这个情况给他写出来了，那我问你， x 零能不能大于一呢？ 假设 x 零大于一，那这个式子因为是一个递增的，所以他肯定就大于等于我们把 m 等于二带进去的这个式子对不对？然后这个式子整体又是关于 x 零是递增的，所以我们把 x 零等于一带进去，它整体要大于二分之三。好仔细看啊， x 零大于一的时候，我们推导出的 y 零，它居然是大于二分之三的，你觉得这可能吗？ 肯定不可能啊，因为你四分之 x 零方加三分之五零方，此时就 x 零大于一，拿进去放缩，然后 y 零大于这个二分之三，也放进去放缩，那整体这个东西就大于四分之一加四分之三，也就等于一了。 但是我们知道你这个 x 零， y 零是椭圆上的一点，它一定是等于一的，就不矛盾了吗？ 矛盾就说明我们的 x 零绝对不可能大于一，也就说明 x 零一定小于等于一，没问题吧？ x 零小于等于一，那有意思就来了，我们三分之 x 零的平方，它又等于一减去四分之 x 零的平方， 而 x 零小于等于一，所以整体它就大于等于四分之三。所以 y 零平方呢？就大于等于四分之九， y 零就大于等于二分之三。因此看啊， n 方等于 m 方加 y 零方， m 大 于等于二， y 零大于等于二分之三，对不对？所以我们两个放缩一起使用，整体就大于等于四分之二十五。 当然，你要看一看能不能同时取等，因为你放缩了两次，对吧？ m 大 于等于二，它的取等条件是 m 等于二，那还有一个取等条件是 y 零等于这个二分之三，对不对？就这个取等条件和这个取等条件，能不能同时取等啊？ 显然是可以的吧。因为我上面推导出了， m 等于二的时候， x 零正好等于一，而 x 零等于一的时候， y 零正好等于二分之三，所以这两个放松是同时取等的。因此 n 方大于等于四分之二十五，也就说明 n 小 于等于负二分之五，也就说明当前仅当这两个条件的时候取等，所以 n 的 最大值就是负二分之五。那这道题也就写出来了。好，今天就讲到这个地方，感谢大家的收看。

下面看解答题十五十六都是比较常规的问题，难度都不大，咱们先看十五给了我们函数图像，然后说当 x 属于负二分之派到二分之派时，求单调增区间。根据图像， 题目中告诉我们， a 大 于零， omega 大 于零， find 绝对值小于二分之派，所以由图， 它的最高点纵轴标是二，所以显然 a 等于二，这个没有任何问题。下一步我们要研究 omega， 对 于这种图，我们肯定都是先研究 a， 然后研究 omega， 再把 omega 算出来，之后再带一个特殊点到函数解析式中，这样解除惑。 可以看到负六分之派和十二分之派，它们之间横坐标的距离之差应该是周期的四分之一，所以四分之 t 等于十二分之派减负六分之派， 这样我们可以得到 t， t 等于二 pi 除以欧米伽，所以欧米伽等于二。然后再带一个点，将 十二分之 pi 二带入 f x， 我们可以得到 f 十二分之 pi 等于二。乘以 sine， 我 们幺二十二，再乘以十二分之 pi 就是 六分之 pi 加 five 等于二，故 应该等于最高点二分之派加二 k 派。又因为题目中说斐的绝对值小于二分之派，这样斐就只能取三分之派， 这样我们得到 f x 等于二倍的 sine， 二 x 加三分之派得到。解一式以后，第一问说，当 x 在 负二分之派到二分之派时，求单调增区间，那这都是一些老生常谈的问题。 当 x 属于负二分之派到二分之派的时候， 这个括号就是二。 x 加三分之派应当属于把负二分之派带进去是负三分之二派，二分之派带进去是派加三分之派，三分之四派， 此时我们知道它对应的单调增区间应该是负二分之派到二分之派，只有这一段是单调增区间，那也即 二 x 加三分之派应当大于等于负二分之派，小于等于二分之派。这样我们可以解得 x 大 于等于负六分之五派除以二，负的十二分之五派， 这边是六分之派，除以二就是十二分之派。这样第一问就结束了，下面看第二问。 已知 theta 属于零的二分之派的时候， f theta 等于负五分之二。求 cosine 二 theta， 那 我们先把 f theta 写一下， f theta 应当等于二倍的 sine 二 theta 加三分之派等于负的五分之二，这样我们可以得到 实质上 sine 二 c 加三分之派就等于负的五分之一。那让我们求的是 cosine 二 c 塔。我们观察一下这个造型， 应该比较简单的方案是二 c 塔加三分之派，再减三分之派，这样可以得到 c 塔。所以我们需要做的就是求出 cosine 二 c 塔加三分之派，然后使用和差角公式就可以了。 由于题目中说 theta 属于零到二分之派，那么二 theta 加三分之派 零到二分之派，故二 theta 加三分之派应当属于三分之派到派加三分之派就是三分之四派。 在这个范围内， sin 是 负数，那只能在第三象限，所以对应的余弦值应该也是负的。 cosine 二 c， 它加三分之派等于我们画个三角形， sin 是 一除以五，固定里 cosine 应该是根号二十四，也就是二倍根号六，所以 cosine 它应该等于负的五分之二倍根号六， 这样， cosine 二 theta 等于 cosine 二 theta 加三分之派，再减三分之派，也就是 加上 把数值代入负五分之二倍根号六。 cosine 三分之 pi 是 二分之一，加上负五分之一，乘以 cosine 三分之 pi 二分之根号三应当是十分之。 我把符号写在前面，二倍根号六，再加上根号三 十六题，如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中角 a 等于六十度， 有一个角是六十度的菱形，相信大家都不陌生，我们应该可以直接得到三角形 a、 b、 d 是 个正三角形， 又告诉我们边长是二 e 为 ab 的 中点。将 a、 d、 e 沿 d、 e 翻折，得到右图的四棱锥。第一问证明 a 撇 b、 e 平面垂直于平面 b、 c、 d、 e 刚说过，由角 a、 b、 d 是 一个正三角形， e 又是 ab 的 中点，所以显然 d、 e 垂直于 ab。 在翻折的过程中， d、 e 垂直于 a、 e 这件事肯定是不会改变的，所以 d、 e 垂直于 a 撇 e， 然后 d、 e 本身又垂直于 b e， 所以 第一问就结束了由题， 三角形 a、 b、 d 为正三角形， e 为 ab 中点， 故 d e 垂直于 a、 b， 那 也即 d、 e 垂直于 a 撇 e， d、 e 垂直于 a 撇 e 和 b e 是 同一个平面内的两条相交直线，这样我们就可以说 d、 e 垂直于平面 a 撇 b、 e。 然后根据面面垂直的判定，一个平面如果经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。又 d、 e 是 平面 b、 c、 d、 e 内的一条线，而它又垂直于平面 a 撇 b、 e， 所以 这两个平面互相垂直。 下面看第二问，当二面角 a 撇杠 d、 e 杠 c 为一百二十度时，求直线 c 撇和平面 a 撇 d e 所成角的正弦值。 我们先看一下能否直接通过二面角的平面角的方式找到到底哪一个角是一百二十度，如果可以就直接做，如果不可以，我们可能需要间隙。通过法向量来算这个一百二十度到底是个啥意思？ 那我们看二面角 a 撇杠 d e 杠 c， 它的交线是 d、 e， 有 没有这两个平面内同时垂直于 d、 e 的 线，那当然是有的。 d、 e、 c 这个平面实质上就是底面 b c d e， 所以 b e 是 垂直于 d e 的， 与此同时， a 撇 e 也是垂直于 d、 e 的。 换言之，这个二面角的平面角事实上就是角 a 撇 e、 b 这样，也就是说它是一百二十度，那我们间隙就容易的多了。 d e 跟 b e 天然是垂直的，咱们直接这拉出一 x 轴 e b 拉出一 y 轴， 而 a 撇 e、 b 这个角是一百二十度，那自然竖直向上建一个 z 轴。由于一百二十度建了一个 z 轴，一边是三十，一边是九十，坐标也是非常好写的，所以咱们直接来写，用空间向量算直线 c 撇和平面 a 撇 d 所乘角的正弦值即可。 间隙的过程我这里就不再赘述了，咱们直接来写点的坐标就可以。 由一只角 a 撇 e、 b 即为 a 撇 d e 杠 c 的 平面角。 故 接完系之后，咱们来直接写点的坐标，看一下我们需要几个点。 c a 撇 a 撇 d、 e 总共需要四个点，圆点自然是零零零， 写完点之后需要写向量坐标 c a 撇 c a 撇需要用 a 撇减 c， 这会出现比较多的复数，所以我们反着写也没有关系。 a 撇 c 向量等于根号三，二分之五负二分之根号三，然后算那个平面的法向量。我们需要 两个向量，由于平面 a 撇 d， e 中包含圆点 e， 因此我们写向量的时候肯定要把 e 放在开头，这样可以避免计算 e。 a 撇向量事实上就是 a 撇点的坐标，也即零负二分之一，二分之根号三，那同理， 设 m 向量等于 x， y， z 是 m 点乘以 e， a 撇等于零。 将坐标代入负二分之一， y 加二分之根号三， z 等于零。另一边根号三 x 等于零，那这里显然 x 等于零。然后我们给 y 负个值，这里负值的时候肯定是 看着 z 的 这块来负，所以我们令 y 等于根号三，则 m 向量等于零，根号三。一好到这基本这个题就已经结束了。最后再完整一下步骤，设 c 撇与平面 a 撇 d， e 乘角为 c 塔，那么我们要求的 sine c 塔就应该等于 cosine。 a 撇 c 和 m 向量就是法向量，它们的加角余弦值的绝对值等于点乘 m。 计算一下， a 撇 c 点乘 m 根号三，没有了二分之五倍根号三，再减去 二分之根号三，就是二分之四倍根号三以及二倍根号三。下面 a 撇 c 的 魔长根号下三加四分之二十五加四分之三，四分之二十八七根号十。另一个显然是二，所以算出来是十分之 根号三十出现在这个位置也是非常合适的。 下面看十七题，题干很短，给了我们一个函数。第一问讨论单调性， 这函数前面是一个二次，后面是一个对数，当然，在 a 不 等于零的前提下，那可以脑补，只需要倒一次就可以把对数消掉，然后通了分。应该第一问就出来了， f 撇 x 等于二， a x 减去 x 分 之一等于 x 分 之二， a x 平方减一。 不要忘记这个，如果在单调区间里面出现负无穷，那这道题肯定就没有分了。 接下来显而易见，由于分子后面是减一，因此当前面 a 小 于等于零的时候，整个分子都是负的，所以我们要用 a 小 于等于零和 a 大 于零作为参数讨论的分界点， 当 a 小 于等于零时，整个分子都是负的，所以任意 x 在 定律内的时候都有它的导数要小于零，故 f x 在 零到正无穷单调递减。第二种情况，当 a 大 于零时， 令导数等于零，我们可以得到 x 等于。 这里算一下，二 a x 方等于一， x 方等于二， a 分 之一，所以 x 应该是正负根号下二 a 分 之一或。 但是这个负的肯定是没有用的，因为我们简单画个图， 当大于零的时候，分子是一个开口向上的二次函数，且两个根一正一负。你这样画一下， 因为它的定域是零到正无穷，也就是说只有 y 轴右侧的部分才是有效的，所以它应该在零到，这个是根号下二十一分之一，应该在零到根号下二十一分之一是单调递减，在根号二十一分之一到正无穷单调递增 这个解我们直接舍去就可以。当 x 属于零到 十 f， 它的导函数是。这写的清楚一点，导函数是小于零的，当 x 属于根号二十一分之一到正无穷时， 导函数大于零，故 f x。 在 最后我们写单调区间的时候，还是把这个根号给它由理化一下，零到二 a 分 之根号二 a 上 这个字其实写不写无所谓，单调递减在二 a 分 之，根号二 a 到正无穷单调递增。这样第一问就结束了。 这个题的第二问说实话，估计在考场上能难住一批学生。他这个题本身其实并不是特别难，但他这个问法并不是特别常见， 他有点像我们常做的极值点偏移的一个反向的过程，因为我们极值点偏移的题目通常都是 告诉我们函数解析式，然后在图像上画一条横线。这个事成立让我们证明。比如说 x 一 加 x 二大于两倍的 x 零，这是我们常见的情况。但这个题它是告诉我们 x 二减 x 一 大于等于一，让我们求参数 a 的 最大值。 这里我们分析一下。由于第一问我们讨论过单调性，当 a 小 于等于零的时候，函数单调递减的单调递减是不可能出现 f x 一 等于 f x 二这种情况，所以 a 只能大于零， 并且 f x 一 等于 f x 二，相当于啊，差不多就用这个图也可以啊。意思差不多划一道横线，你得有两个交点，换言之， 相当于极值点必然要出现在区间内部。也就是说，这个事成立的一个必要条件就是二 a 分 之根号二 a， 极值点应当在一到三之间。那我们先写一下， 根号二 a 除以二 a 应当属于一到三。此时我们可以解一下， a 应该在十八分之一到二分之一，这是这道题成立的一个必要条件。然后我们继续再往下分析， x 二减 x 一 大于等于一，这个条件就给的有点诡异，我们先大致画一下函数图像，看一下是个什么情况。先简单算一下极限，当 x 去零的时候， f x 相当于是零减负无穷，那去正无穷。 当 x 趋正无穷的时候， f x 也是趋正无穷。因为 x 平方密函数增长的比指数函数要快得多得多，所以它减，它虽然都是正无穷，但是 x 方的阶更高。 这样我们大致可以画出函数图像，应该是这个样子。 比如说这里是一，这里是三，然后我横着切一刀 x 一 x 二，要求 x 二减 x 一 大于等于一，是这么一个情况。这时候我们来分析一下 他给的这个 x 二减 x 一 大于等于一，这个条件到底要怎么用？由 x 二减 x 一 大于等于一，即 x 二大于等于 x 一 加一，也就是说 x 一 加一，我们需要去分析一下它跟这个极值点到底是什么关系。这样我们不妨设为了方便表述啊。二 a 分 之根号，二 a 等于 x 零。 由于我们知道函数在 x 零左侧是递减的，在 x 零右侧递增。显而易见， x 一 x 二应当分裂于 x 零两侧。那好，若 x 一 加上一小于 x 零， 也就是说 x 一 加一还没还没超过极值点，那 x 二显然应该大于等于 x 一 加一，对吧？这是显而易见的，所以对应的 f x 二应该也要大于等于 f x 一 加一， 而且甚至这里肯定是取不到等号的，它只能是大于。如果 x 一 加一，它超过了 x 零， 超过 x 零，就意味着 x 一 加一和 x 二都位于单调递增的区间，因为这里 x 零 x 零右侧是单调递增的， 那此时 x 二大于等于 x 一 加一，也就是 f x 二大于等于 f x 一 加一，因为它们都位于单调递增的区间。 这样来看，无论哪种情况都有 f x 二大于等于 f x 一 加一，所以我们直接来研究这个式子就 ok 了。又因为 f x 一 等于 f x 二，所以 事实上我们只需要研究 f x 一 大于等于 f x 一 加一 来解这个不等式就可以。好，那我们就解吧。由于 x 一 肯定是在零到 x 呃，在一到 x 零之间的，所以我们设一个新的函数。当然，在此之前，我们需要把这个式子写一下，那也即 a x 一 的平方减去 loon x 一 大于等于 a x 一 加一的平方减去 loon x 一 加一这个数字。我们把平方拆开，然后两边一个象整理一下，可以得到， a 小 于等于一加二 x 一 分之 lone x 一 加一减去 lone x 一 到，这肯定就是设一个新的函数了。所以我们设 g x 等于一加二 x 分 支 lone x 加一减去 lone x。 这里要注意， x 是 属于 一到 x 零的，当然 x 零，这可以打 b 区间，这个不妨碍求下等 g 撇 x 等于分母的平方，上面 上面的导数是 x 一 加一分之一减去 x 一 分之一，然后乘以一加二， x 再减去上面不动， 乘以下面的导数是二。这个导数我们分析一下它有什么特点。 当 x 在 一到 x 零这个范围内的时候，分母显然是一个正数，而分子 x 加一分之一，再减 x 分 之一，就是这块，它显然是一个负的， 再乘以一加二 x 正的上面整体是个负的，也就是说分子这个中间减号前面这部分是负的， 后面 long x 加一显然大于 long x， 所以 它俩做差是正的，再乘以二也是正的。也就是说，整个分子是一个负的减一个正的，那它当然是负的小于零。 既然 g 撇 x 是 小于零的，也就是 g x 是 在一到 x， 零是单调递减的，那它最大值 自然要等于 g。 带进去计算一下是 lone 二减一除以三，也即三分之二。 那我们知道漏二大约等于零点六九或者零点七，三分之零点七是没有问题的，在我们的必要条件范围内。所以这个题最终答案就是 a 的 最大值就是三分之。漏二 这道题我个人认为非常值得中等生积累。这道题本身并没有复杂的计算和夸张的技巧，就是纯粹的导数基础，导数应用只是翻译题目条件需要一定的能力。

咱们青岛市的高三一模已经结束了啊。呃，今天来聊一聊数学一模的这个难度。首先下个结论啊，这次考试比平时做的题稍微难一丢丢吧，但是整体难度还好，我觉得不是特别难。呃，但是我遇到了两个我的学生给我的反馈都是说这次很难啊。 呃，当然是叠加这个考试心态，他们就会觉得很难，一个觉着自己能考个一百二十分，另一个觉着自己能考个一百零几分，反正比平时的要低个低个五六分，他们觉着 啊。那咱们来具体看看这个题型。首先，单选择题，选择题属于中规中矩，特别是第八题，这次出的不难，正是咱们平时练的这个周期啊，对称的这个知识 不难哈。然后多选择题，多选择题。十一题，它的 c 和 d 选项有一定的难度。 a 和二 b 吧，特别是 a 是 咱们重点练的外接球问题。 嗯，二 b 涉及到内接球问题，它结合在一起了。 c 和 d 呢？在考场上没有时间，咱就选择跳过就行了，扣个两分，扣个四分，这都不要紧。呃，填空题也是常规题，特别是这个离心率， 天天练是吧？他的十四题有一定的难度，那咱们该放就放。已经到填空最后一个了啊，这五分该扣大题呢？十五十六题还是咱们最常练的题，没有什么说的， 可能觉着难就是难在这个十七题，这个导数题，他放在十七题，第一问还是咱们的最常练，最认为最重点的分题，光讨论题，但是第二问看起来跟咱们练过那个极值点偏移有点像，但是又不完全一样， 还是得用咱们函数的这个底层逻辑，要消原的思维再去做它，但是这个东西同学们往往没有，所以这道题看起来像常规题，又不常规，而且放在十七题这个位置，大概同学就把这个心态搞搞炸了，所以觉得这道题很难。嗯，十八题我做了还好， 实际上没有这么难。嗯，可以完全可以做出来这套这个十八题啊，相对于其他卷，这个十八题算是简单的，我觉着啊，然后圆锥曲线放在了十九题。十九题第一问送词了，第二问的第一小问还行，静下心来也可以写， 所以这道题至少应该在得个十二分左右比较合理啊。当然，要是就得个第一问嘛，然后第二个写个伟大定律，得个七分左右，我觉着也可以。所以总体来看，这套题的十八十九题没有平时的那些题那么难，而他的十七题 相对不是咱们常常见的那种题，特别是他的第二本，可能把同学，哎，心理给搞的不好啊。 整体来讲，我觉得难度适中，不算特别难啊。不管考的怎么样吧，特别是咱们家长， 不要过多给他，过多的给孩子压力，你们应该适当的帮助孩子去疏解压力。嗯，总有一些老师说这个一模的成绩就定高考成绩，这句话其实我是特别不认可，别的课我不好说啊，但是从数学来讲，我见过太多太多的人， 一模的时候考个，我还见过考九分的，最后高考的时候考七十一分啊，大概在三年之前吧，应该是三年或者四年之前九分。一模考九分啊，高考七十一分，去年的一模考二十二点五分，高考的时候六十八点五吧， 所以说还有很大的进步空间。但是你要说你现在一百二了，进步到一百四那基本不现实了。但是进步空间还是有的啊，不要过多焦虑。好，那咱们今天就说到这里吧，加油。

家人们，青岛的高三学子们注意了，咱青岛二零二六年的高三一摸考试结束了，一摸的划线情况也已经公布，一摸堪称呢高考前最关键的一次摸底。所以呢，今天给大家针对数学学科做个分析， 需要的呢，可以点赞收藏，为接下来呢找准方向，冲刺最后的两个月，先来整体说说考试的试卷特点。 这一次一模考试数学完全贴合了山东新高考命题的导向，难度梯度呢，设置特别合理，没有任何的偏题怪题，但是想拿高分绝对不容易。主打一个重基础考综合拼素养， 既能检验大家基础知识牢不牢，又能精准的拉开分数的差距，完美复刻高考的出题思路。考完呢，大家也别光去纠结分数，吃透考点才是重中之重。 呃，所以呢，给大家去拆解一下各题型的核心考点与难度。选择填空题呢，整体的难度是适中，看似简单却暗藏了小心机，特别考察知识的综合运用能力， 像第八题的抽象函数，靠函数的性质推理和构造特殊函数就能把这个题解出来，那这是近几年高考的高频考法。 那第十一题呢，把三棱锥和外接球、内切球进行结合，空间想象能力弱的同学呢，就很容易丢分。第十四题， 三角函数和解三角形进行了联动考察，你三角横等变形不过关，根本在这个题拿不到分。这也就提醒了大家，小题千万不要掉以轻心，基础知识点呢，一定要融会贯通，不能有短板， 那解答题才是真正拉开分数的差距，关键创新度也是拉慢，区分度也直接拉慢。第十八题，概率题题干长，规则复杂，很多同学回来告诉我都栽在了看不懂题目上。 其实呢，只要梳理清逻辑关系，计算难度并不大，这就要求大家审题一定要细致， 抓准核心条件。那压轴的第十九题，圆锥曲线前两问呢？考察常规的基础，最后一问才进行了一个拔高，把椭圆和函数不等式进行了结合。 复杂的代数变形和放缩思想，如果您不懂，甚至呢，你没点综合题的能力，在这里根本做不出来，妥妥的学霸分水岭。 另外呢，试卷还特别注重跨模块的融合，比如说附属和解析几何双曲线的结合，他跳出了单一的知识点，考察，紧扣新高考的数形结合的核心思想，这也释放出了非常明确的信号， 高三复习不能再死记硬背公式，要学会知识点的联动，要培养咱的数学思维才是王道。那说完试卷，再给大家一点备考的建议，一摸，考完以后一定不要焦虑分数核心是什么，查漏补缺， 基础薄落的同学回归课本，把函数、数列、立体几何等主要的主干知识去吃透， 保证基础题不丢分。中等生呢，重点去攻克中档题，强化题型的训练，提升答题速度和准确率，避免会做的题因为一些粗心所谓的其他因素而丢分。 尖子生专攻压轴题，总结压轴题的解析模板和解析技巧，突破高分平静。最后呢，也提醒所有的青岛高三考生，一摸只是练兵，不是重点， 从一摸到高考，还有足足两个月的逆袭时间，只要你找准漏洞，针对性的去复习，每一分的提升都能甩开千人。 我有很多很多的学生在最后的一摸考试之后的这两个月提升度都非常的高，有的从九十二分到一百二十七分呢，也是非常就是有希望的。所以呢， 每个孩子都不要放弃，一定要找准自己的问题，去有针对性的做好查漏补缺的工作。 那您要觉得我今天的分析呢对你有用，也可以呢，转发给身边的高三的同学，也祝所有的高三考生都能乘风破浪，高考数学金榜题名！

青岛二零二六年数学一模考试啊，预计在四月十七号左右，那一周你准备好了吗？二零二六年青岛中考一模数学选择和填空的关键，直接划重点，单选前八题，考基础、考 几何，考整式运算、三式图、函数概率计算等，全都是课本原题的变式，千万不要丢分。压轴重点盯住二函数性质圆的基本定律，角度计算等。这些呢，也是高频考点。 渐近题呢，多是概念细节的问题，或者就是数形结合上想不到位的一个问题。那么填空压轴锁定第十五和第十六题大概呢是能有三个方面，一个是反比例函数几何，还有呢就是扇形阴影面积。那 反比例函数几何呢？是涉及到求面积，然后相似求 k， 扇形阴影面积肯定就是扇形阴影面积五大方法来求解。还有的话就是几何综合有四边形综合、四边形相似最值折叠模型等五大类型。 提醒大家选择和填空要控制在三十分钟以内，最好的话是二十五分钟。男的不要死磕，先空着，把时间留到后面， 要不然写不完，写不完，整个节奏就会打乱，分数就很难上去。那基础题要逐一验算，小压轴题可以用一些特殊指法、排除法快速拿到这个题。 压轴题的话，想我们平时讲过的一些类别模型，还有通用方法，那拿下选择和填空，一模数学就稳了一大半了。如果你不知道选择和填空怎么练，可以跟着我们这三十六天打卡，分为选择和填空基础应用探讨和动点， 专门为青岛一模考试而准备，让你把选择和填空刷上十五天，刷上几百个题，刷出速度，刷出熟练度，想要跟着打卡三十六天的回复九八五。

这份青岛高三一模的数学试卷是一份比较优质的中档卷，但对尖子生区分度其实不大，明显没有青岛临模难。单选题前六题没有难题，第七题明显是抛物线，第八题也是考烂了的抽象函数题。多选的第十题和第十一题都是综合压轴题， 填空题也只是一道中档题，解答题后两道压轴题也只是中上难度。常规压轴题第十九题第二问实用点叉法，第三问可以先猜后正。

二零二六年青岛中考一模数学全卷一测，整体结构呢，应该不会变，选择、填空加解答，题量呢，依旧是二十四到二十五个题。压轴题集中在几何、综合、函数应用、新定义探究、压轴动点等四大板块。 全卷的侧动点呢，基础题应该会占百分之五十左右，建议回归课本。中档题的话，百分之五重视综合应用，难题的话，百分十五考察思维拓展。压轴题的核心啊，就是奥常识探究和动点。 二函数呢，考两大类，两大类又有十一小类，比如说如果考到图像，那就是高差呀，最值啊，钢架呀，平移等，那么如果考的利润呢，那就是最值，不等式含餐。如果考着探究的话，那大概也得有一个八九类， 如果考着动点的话，那就是八类。当然动点在这里是必考，主要是看是八类中的哪一类。中档题呢，要求稳拿分， 压轴题呢，要求拿到步骤分，结果分咱是先不说，但是比如说动点至少要拿到最后一问的一半的分数，顶多能扣两分，比如说探求，最多也就能扣最后一个空。所以在这里的话，在还没有到一模之前，我们都还有机会进行训练。 韦老师在最后叮嘱，一定要回归到你的错题，不要再专偏题怪题，把握好答题时间，一定要不断的进行全真模拟训练。韦老师这里呢有十一份一模的押题卷，都是最新的全国必考的经典题。压轴题， 每一个板块都有坑，每一个板块都有测重点题目，都是新题，全都是难题。所以在这里推荐大家回复九八五，领取这一份押题卷回去使用。

今天我们用一张二零二六年最新的中考异模数学试卷，带领大家进行一场最完美的一轮复习。时间宝贵，咱们直接开始。首先我们来看第一题， 下来交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是哪一个？什么叫中心对称图形呢？就是把这个图形绕着某一个点旋转一百八十度，能够和自身重合，那么它就属于中心对称图形了。 什么是轴对称图形呢？就是关于某一条直线对称，对吧？哎呀，它能够左右两边完全重合，我把它叫做轴对称图形， 所以你有发现它属于轴对称图形，但不属于中心对称图形。它属于轴对称图形，但是不属于中心对称图形。而这个呢，它既不属于轴对称图形，也不属于中心对称，所以这里面满足条件的只有我们的 a 选项。好，我们看立二， 现在我告诉你，有一个坡坡高呢，是等于一的，就是这个是一，而且水平距离 bc 呢，等于根号三。问，我们整个斜坡 ab， 也就是这条坡，它的坡度是什么？ 其实我们一个斜坡的坡度是用这个斜坡的高啊，也就是用一比上整个斜坡水平上的宽度，也就是比上根号三，所以我们知道坡度呢，也就是三分之高三，所以这题我们选的依然是 a 选项。好，接下来我们继续往后第三题。 如果 x 比上 y 呢，等于四分之七，那么 x 减 y 比上 y 的 值等于多少？其实这个题考的是我们见比设参，它的一个怎么样的方法技巧啊？比方说呢，你可以令它是七 m， 对 吧？那么它就是四 m 了，那么整个分子呢，它就会变成七 m， 减去四 m， 整个分母呢？它就会变成怎么样呢？四 m， 对 吧？哎，我们除以四 m， 所以 也就是三 m 比上四 m 等于多少？等于四分之三，所以选 d。 当然，像这种题，其实尤其是选择题目，你我我建议大家直接怎么样呢？ 你把这个就当做七，你把这个呢？就当做四，那整个题目它就会变成七，减去四，再除以四等于几呢？那不也是四分之三吗？搞定 好，接下来我们再来看第四题。 o 第四题看起来好像有一点点难度，对吧？有一个立方体的木块静止在斜面 o v 上啊，就是，这是个木块对吧？这是我们的斜面。好，它的受力分析呢？如图所示哈， 受力分析其实是我们高中物理里面的一个分支了。好，它的重力计的方向数值往下啊，这个就是这个物体自身带的重力。 好摩擦力 f 一 的方向与鞋面平行，就这个方向呢，和我们的鞋面是平行的，往上了，他到底想干嘛？支持力啊，就是我们这个面对他的一个弹力，对吧？哦，往上弹的一个力怎么样呢？与鞋面是垂直的哦，也就是这个呢，你如果把它延长，跟整个鞋面是垂直的关系。好，我们继续往后了。 如果鞋面的坡角角一等于三十度，就这个角多少度呢？啊，我告诉你是三十度的。好，现在让我们求什么？求支持力？ f 二啊，就是这一条线与我们重力啊，重力计这条线他们的夹角的度数是多少？那么这个你一看就知道，他肯定是一个钝角，并且跟我们三十度有关吗？ 和三十度有关的钝角，你说是哪一个呢？很明显，对吧？当然如果你说这样呢，我想系统性的求其怎么办？其实这里面方法很多， 但我个人觉得比较常规，比较简单的方法是哪一种呢？举个例子，比方说我直接把它延长出来，你正面你可以用什么平行线来进行搞定，对吧？啊？亮，在这里我索性就用什么呢？就用我们的呃八字模型吧啊来进行处理 啊，因为你要知道这个是垂直的吗？也就是这个角呢，它是九十度，对吧？这个角是直角，这个角呢是 直角，能看到，画的比较小。哈，好，你会发现喏，还有啊，我把它标一下，也就是我们这个角能看到吗？这个角 跟我们这个角这两个绿角是相等，大家能不能看到？把它放大，可以吧，两个绿角相等啊，对顶角吗？那么此时你会发现在这个三角形以及这个三角形中能不能看到？在这个，这个，这个这个三角形跟这个三角形中，对吧？我的对顶角等于对顶角， 我的直角和直角对应相等，你垂直吗？所以这个角一定是九十度，对吧？三角形内角和呢？一百八十度。现在我有两组内角对应相等，一组内角对应相等，两组内角呢？对应相等，对吧？ 对，我们的第三组内角一定对应相等，你这个角是三十度，所以我们知道也就是这个角能看到吗？这个角它一定也是 三十度。理解没有。当我们求出这个角等于三十度，那剩下的它的零补角，也就是我们角二呢一百八减去三十度嘛，所以也就是一百五十度了，因此这里我们选什么？哎，我们刚才说和三十度有关的，对吧？很明显也就是 b 选项了。 当然在这里面，如果你像这样做平行可不可以呢？也可以做出来方法非常多啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，我们再来看一下第五题了， 第五题这个题其实本质上考的是我们相似的判定呐。首先我告诉你，三角形顶点都在正方形的网格格点上呐，像这种这种这种都在格点，对吧？那么下面鹰眼三角形，你发现它的顶点也在格点上，那么哪一个相似呢？ 其实我告诉你，这个题正常情况你应该怎么做呢？我讲两种方法，第一个呢就是我们所谓的常规的方法，第二个就是流氓法。好，首先标准方法他是这么描述的， 你这个三角形在网格里面三边可以求，你这个边长度是几呢？这个边的长度一定是我们的单位一，对吧？好，那这个边的长度呢？它是正方形的对角线，在这个等腰直角三角形中，你可以求出来它是根号二，没有问题吧？ 剩下的那这条边的长度等于多少呢？嗯，你会发现他在一个一乘以二的直角三角形是一根号二，根号五。 那么我请问各位同学们，那我们剩下的 a、 b、 c、 d 每一个三角形的边长可以求出来吗？百分百可以举一个例子，比方说这个边长是几呢？是根号二，对吧？这个边长是几呢？你会发现它在一个一乘以三的 一乘以三的直角三角形中，你用勾股定律可以求出来，这个边是根号十，也就是这里的每一个每一个三角形，它的三边你都可以求出来，哪怕慢一点。 求出来之后呢？我们知道相似的判定里面有一种两个三角形，如果三边对应成比例，那么这两个三角形一定相似，对吧？但是在这里面你会发现我们需要怎么样呢？一二三四， 我们要求四个三角形的三个边，我们要求十二条边，而且我们要比来比去的比较麻烦，那这里有没有稍微快一点点的方法呢？哎，首先你要知道我是不是一个钝角三角形，没问题吧？我这个钝角三角形的钝角等于多少度呢？首先这个角是九十度直角，没问题吧？ 剩下你会发现我们这个角呢，也就是这个角多少度呀？这个角这是等腰直角三角形吗？因此我们这个角一定多少度是不等于四十五度，没问题吧？ 那此时你会发现我们整个大大的钝角等于多少度？四十五度加九十度，也就整个钝角他一定是一百三十五度，没有问题吧？哦，我是一个含有一百三十五度的钝角三角形，你但凡跟我相似，你是不是必须得有一个一百三十五度才可以，对吧？ 那请问 abcd 哪个三角形，哪个钝角三角形它有一百三十五度角呢？很明显只有谁只有 a 选项，对吧？你这是九十度吗？ 你这是一个等腰直角三角形，这个角四十五度吗？九十度加四十五度，一百三十五度。除了 a 选项之外，你会发现 bc 里它都不含有一百四十五，一百三十五度，为什么呢？你比方说你这个角是四十五度，你这个角一定是小于九十度的，对吧？这个角是不是百分百小于九十度， 所以你整个角一定是小一百三十五度？不行，同样的，我们再看 c 选项，就你这个角是直角，对吧？但你这个角呢？它大于四十五度，为什么呢？你会发现我们连一下，对吧？连一下，你是个等腰直角三角形，因此我们这个角呢，等于四十五度， 对吧？那你整个大角不就大于四十五度吗？那你加在一起，所以我们知道，那整个大大大大的钝角一定大于一百三十五度，也不满足题。 好，最终我们再来看 d 选项，那 d 选项怎么判定呢？你想想，如果我这个角等于一百三十五度，那么这两个角相加一定等于四十五度，那么也就是每个角等于多少度呢？每个小角一定等于二十二点五度，对吧？那它等于二十二点五度吗？ 你想想，你连接一下，对吧？我们知道它是一个等腰直角三角形，咱们这个角呢，百分百等于四十五度嘛？ 四十五度是整个三角形的外角，那么肯定等于这个角加上这个角了。你想想，你是二十二点五度，那我这个角不也是二十二点五度吗？能不能理解？就这个角他也是二十二点五度， 那么也就是我们是一个等腰三角形了，也就是你这个边呢长度。哎，这个，这个边的长度怎么样呢？等于这个边的长度，你觉得可能吗？ 我这正方形的边长是单位一吗？你这个是正方形对角线根号，对吧？所以很明显，也就是我们可以推出来这个角，能理解吗？这个角跟我们这个角它的大小是不相等的，因此呢，它不可能是四十五度一分为二的二十二点五度。因此呢，我们 d 选项 它也不是一个含有一百三十五度的钝角三角形，因此满足题的只能是我们的 a 选项。好，我们继续往后了，再来看一下我们今天的例六， 这里考的就是我们位次图形，让我们找位次中心啊，也就是有一个三角形 a、 b、 c， 还有另外一个三角形 a、 b、 c， 对 吧？那么请问它的位次中心的坐标是什么？什么是我们的位次中心呢？它的特点就是你的 a 点跟 a 对 应点的连线， 以及你的 c 跟 c 点对应点的连线，对吧？哎，我不知道交于哪啊？包括你的 b 点跟 b， 你 对应点的连线，你一定会交于同一点，这个三条直线相交的同一点就是我们这两个位置图形的位置中心。 既然三条直线会交于两点，我们真的需要把三条直线都画出来吗？不需要，我们只需要画两条就可以了。比方说，首先我们画 a 跟 a 点，哎，这一条直线把它画出来，所以我们知道 v 四中心一定在我们的 y 轴上。好，接下来我们再找怎么样呢？找我们的 c 跟 c 点这两个对应点， 你会发现这两个多一点，他在一个二乘以三的怎么样的大大的长方形中，所以你接着画的话，他依然会在一个二乘以三的大的长方形中，也就是怎么样呢？他整个的连线是这么走的，他会走二乘以三的这个长方形矩形的对角线，对吧？ 所以也就是在哪里呢？啊？就在这个位置，那么这个点呢，很明显就是零负一，所以我们选择 d 选项。搞定。好，接下来我们再看一下 例期，其实你我发现前面整体来说都比较简单，例期其实也不难啊。好，我们给出一个烧瓶球的半径是五厘米。好，我们知道它的半径呢，等于五。好，液体已过半，现在我告诉你， c、 d 等于七厘米，整个 c d 是 七，那就相当于告诉你，这个边的长度呢，是等于二的，对吧？半径是五吧。 好，那么请问圆中的弦 a、 b 的 长度等于多少？这个题很明显考的是我们的垂径定理，那么正常情况下，我们的线应该用虚线表示，我就直接连了啊，我们知道圆的半径是五吗？你的半径是五。好，那么此时我们用勾股定理，我们可以求出来，那剩下这个边的长度呢？哎，求一下， 斜边是五，直角边呢是二，用勾股定律我们求出来，等于根号二十一，对吧？根据垂线定律，那么这个边也是根号二十一，所以整个长度呢，也就是二倍的根号二十一，选 c。 好， 我们继续往后了，这是我们今天的例题，我们再看例八， 例八，它属于我们三角函数的一个实际应用。好，首先学生甲在量体 a 处，量体在哪？在这里，对吧？测的弧形岛。 c 啊，就是弧形岛啊， c 点在其南偏西十五度的方向上，什么意思啊？就是 哦，把 a 当做一个我们的观测中心啊，这左西右东，上北下南嘛，这时候就是我们的南，这边就是我们的西，对吧？ c 在 a 的 南偏西，南偏西，就是从南边往西边，这边偏段，偏十五度，对吧？偏十五度的方向， 其实就是告诉你角一等于十五度嘛。哎，好，我们把它清掉。那说白了，咱们白说了，也就是这个角等于多少度呢？它等于十五度 是吧？哎，我把它标出来可不可以？哎，我把它写在旁边，这个角是等于十五度的。好，我们继续往后 右，从 a 处向正东，正东就是水平，往右干嘛呢？行驶三百米到达凉亭 b 处，也就是告诉你这个长度是三百。好，测得弧形 c 在 其南偏西，六十度，一样的嘛，对吧？ no， 这是南岸， 这是 c 在 b 的 南偏西，六十度啊，这个六十度已经给你标出来了。好，我们继续往后啊，已经标出来，我们就不用管他了。 好，那么请问此时 b 和 c 之间的距离，也就是 bc 的 长度等于多少？其实在这里面，我们知道他相当于告诉我们怎么样两个条件，第一个条件就是我们这个角他一定是三十度，没有问题吧？好，第二个条件是什么呢？他相当于告诉你这个角他的度数等于多少度。 这个角是九十度吧，没问题吧？九十度加十五度，其实也就是一百零五度。那我想问一下，剩下的我们这个角的度数等于多少度， 也可以求，对吧？三角形内角和一百八十度吗？减去一百零五度，再减去三十度，所以我们知道剩下的一定是 四十五度。挠，我就觉得比较简单了。在一个还有特殊角的直角三角形中，我们知道其中任何一条边，他所有的边长，所有边长全部都可以求解出来，为什么呢？比方说我们过 a 点直接做垂线 对吧？做垂线，比方说亮在这里放个屁，看到没有，我在这放了个红色的屁啊，臭死，那踢一半就逃跑了，各位同城。 哎，我们知道三十度所对的直角边是整个斜边的一半，就是一百五，对吧？所以你这个等腰直角三角形，我们这个边也是一百五了。 你不管用勾股定力，还是根据特殊直角三角形三边比的关系，我们都可以求出来，这个边呢是一百五十倍的根号三，所以整个程度呢，那自然就选择 b 选项了，一百五加上一百五十倍的根号三，其实比较简单啊。好，接下来 我觉得目前稍微有那么一点点难度的，也就是我们的第九题。嗯，这里看起来好像很火人的样子，就是很多推看到这么亮了，我脑袋都大了，对吧？这怎么处理？其实我个人觉得比较简单啊，给出一个抛物线啊，像这样的啊，我告诉你， a 大 于零，开口向上吧， 它与 x 轴交于 a 点 m 零交于 b 点 n 零，并且 m 呢，在这个范围里面，请问 n 的 取舍范围是什么？ 其实这个理本质上他也是有流氓法的，但我个人觉得我们完全没有必要去掌握那么多的，让大家觉得怎么样呢？ 呃，需要记的方法，我们直接用标准方法来搞定，可不可以？首先我们可以得到两个条件，第一个条件，开口是向上的。第二个条件，他的对称轴是二分之一，因此我们可以画出一个开口向上的抛线，就大概长这个样子，现在怎么样呢？他与 x 轴，注意他有两个焦点，对吧？他有两个焦点。 那问题来，有人亮亮，那你这个 a 点跟 b 点谁在左谁在右呢？你又没有说，对吧？那乌七八糟的，那谁知道呀？好，其实因为这个题目，我告诉你，我们的对正轴是什么？咱们整个抛线的对正轴多少呀？ 抛物线对中轴是二分之一，对吧？那对正轴也就是 x 等于二分之一嘛？你其中一个焦点是什么呢？我现在已经告诉你，其中一个焦点的横坐标是负一到零之间，对吧？也就是这个呢，是负一，这个呢是零吧， 对不对？所以很明显也就是你这个 m 呢，那一定在对称轴的左边吗？对称轴二分之一非零，不都在二分之一的左边吗？好，问题来了，那另外一个焦点的横格标 n 的 取值范围是什么？其实这个题你会发现看起来好像很难的样子，其实它考的是什么呢？三个字，抛物线的对称性。 什么意思呢？你想讲啊，那你这个焦点在两个整数之间，对吧？那关于对称，那我这个点他也可以在两个整数之间吗？那请问这两个整数分别是什么呢？比方说，那请问这个点，对吧？ 那比方说我另这个点跟他关于对称轴对称，大家告诉请问这个点是多少？你可以用对称器，你也可以用距离嘛。比方说，同学们，实在不会的，你到我们对称轴二分之一个单位吧，对不对？所以你到我们的这个，呃，这个对正轴呢，也是二分之一个单位嘛？ 对称轴本来就是二分之一，你再往右边走二分之一，所以我们是几呢？哦，就这个点，对呢，就是一嘛，对不对？ 那剩下的你说另外一个点呢？他在两个怎么样呢？整数点之间嘛？剩下一个点一样的道理。 no， 你 会发现，哎，你索性求吧，负一在对应轴，负一在二分之一的左边，二分之三个单位，对吧？那你往右边走个二分之三呢？ 二分之一加二分之三减，那不就是二吗？对吧？所以也就是我们剩下一个焦点，我把它清掉了，那么剩下你这个焦点呢？一定在一到二之间，所以这个题呢，我们选择 c 选项搞定，是不很简单，不过如此吗？ 好，接下来我们再看一下我们今天的例式哦。这个题看起来好像就有一点点的难度了，呃，是吧，很多同学比较头疼的什么？呃？选择题的压轴题，填空题的压轴题。 好，我们一起来看看这题它到底有什么样的一个难度啊？给出一个矩形纸片，我告诉你， a、 b 是 十二的哪一个？就这个边等于十二。好， a d 等于十，就这个边呢？它的长度是十，我把它在图中标注出来， 好点， e 是 中点，那么也就是这个边是六，这个边是六，我们尽量把题案中的条件标注在我们图示里面。好，现在问题来了，把这个纸纸片呢折叠两次，第一次怎么折？ 使得，哎，沿着他们这样翻折，对吧？使得 a 点翻折到 e 点。这里其实我跟大家说一下，你可以把这些边呐，这些边呐，这些边呐全求出来，为什么呢？他是六吗？ 你另他是 x 可不可以？这个边不就是十减 x 吗？没问题吧？你把这个图形翻折到这里，你这边是不是也是十减 x？ 你 在这个直角三角形中用勾定力，你一定可以把 x 求出来，就是你在拿到题干的时候，你的脑海里面一定要有怎么样呢？啊？第一种像这种反应， 好，接下来我们再看，当然我们先放一下干嘛呢？好，接下来连接我们的 m e， 呃， n e 就 连了很多，之后呢？第二次折叠，你怎么折？哎，使得 n 与 e 重合，就像这样再折一次，对吧？使得 n 点跟 e 点重合，这是怎么折的？大家观察一下 哦，也就是折痕是 h g 了，对吧？沿着这里折叠是不是？哎，是的，你这个 n 点呢？折到哪去？折到 e 点这里，你这个 b 点呢？就落在 b 点，说白了也就是把这个图形，对吧？沿着 h g 折叠到这个图形，哎，这看起来好像不是特别的友好，好，现在问题来了， 折完之后呢，其实整个图形的形状、位置、大小、折痕全都是固定的。现在让我们求什么？求 e h g 哪个角 啊？ e h g， 也就这个角，对吧？我把它标出来，也就是我们这个直角它的正切值，嗯，是不是这个角？ e h g， 求三角函数方法，它只有三种，第一种干嘛呢？就是你判断它是不是特殊角，对吧？如果这个角是一个特殊角，那就不用说了。哎，我，其实我就 今天就尽量不要见题讲题吧，这个题其实我们直接讲非常快啊，但是我希望跟大家去分析他的底层逻辑，分析他的一些怎么样的处理方法。这个特殊角，如果他是三十度，四十度、六十度，那你就不需要管他在什么样三角形中直接求解就可以了？ 好，第二种方法是什么呢？如果他不是特殊角，对吧？你根本就不知道他多少度，那么此时你就需要把它放在一个直角三角形中，如果不在呢？你可以作出一些，对吧？哎，我们需要构造 哎，或者寻找一个直角三角形，如果没有，你得做垂线，这是第二种方法。第三种方法是什么呢？就是等角转化， 如果一个角的三角函数，你会发现在这里面怎么都无法求解，不好求，对吧？那你此时你就需要稍微的转换一下，你不好求，我就找一个和你相等的角来转化一下，进行求解就可以了。比方说，那我想问一下各位同学们，因为你要知道 正面他会产生折痕啊，注意，我们把这个四边形翻折，得到这个四边形，对吧？那我请问，根据对称性，我们这两个直角相不相等是不一定相等的，对吧？ 啊？他一定等于我们这个直角两只角相等，我可不可以求这个角的三角函数呢？一定可以，其实你有发现，那根据对称性，这还是九十度呢？他本身就在一个直角三角形中，对吧？好， 他多少度你知道吗？反正我是不知道的，我相信在座各位同学，你们也无法直接判断出来他是具体多少度。好，问题来了，你把它变成这个角，那又能怎么样呢？我想问一下各位同学们，因为你要知道脑，咱们是把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？ 我们这个角是直角九十度吧，你翻折到这里面，这个角是不是也是九十度？没问题吧？我们刚才说了，那你这一条折痕他怎么样呢？就是你要知道啊，你对应点的连线 一定被我们的折痕垂直平分了。哎，这个大家懂不懂？也是，这个角一定是直角，对吧？那我想问一下你呢？垂直于 e n， 我呢也垂之于人，那我请问这两条线它平行吗？也就这两条绿边，这两条绿边它平不平行？ 百分百是平行的，两只线平行，对吧？哎，比方说被我们第三条边所接，所以你要知道哦，咱们的同位角相等， 也就是咱们这个角跟我们这个角它是不同一角，所以它相等的，是吧？啊，也就是我们这个角呢？哎，我们转换成，你只要求这个角就可以了。好，那这个角接下来那又该怎么求结呢？其实你会发现，这个角本质上它等于哪个角， 它就等于我们这个角，对吧？是不等于这个角有没有问题？所以你只要把这个角把它求出来，我们依然可以轻松搞定。 其实到这里我们就已经可以直接求解了，但是为了让整个题目变得更加简单，好，我继续等角转换。比方说，哎，我去干嘛呢？我去连接这一条线，大家看清楚啊，我连接一点跟 a 点，对吧？哎，我们把它标成一条虚线，可不可以？ 好，我们知道，因为咱们是干嘛呢？咱们是把这个三角形翻折到这个三角形了，对不对？所以我们 a 点和 e 点是对称点吧。说白了，我们知道这个角一定是直角九十度，如果把这个角标做 a r 法呢？你会发现我们剩下了这个小小的绿角，也就是我们这个角，哎，这个角 它一定等于多少度呢？一定是九十度减去 a r 法，对吧？好，这么标有什么好处呢？此时你会发现，在我们整个大大大大的直角三角形中，我一个锐角是九十度减 a r 法，此时你会发现剩下这个角， 它不就是我们想要找到的 alpha 吗？此时你会发现，我们需不需要像刚才这样引着未知数呀，去构造方程，完全没必要，对吧？最终你会发现我们要求解的这个角，我们最终把它转化到这个直角三角形中去了，也是怎么样呢？哎，我们知道这个边呢，它是六的吗？对吧？ 以及我们这个边呢，它等于多少？等于十，对不对？所以你方我们需不需要引入未知数？完全不需要。这个角它的正切值等于多少？等于它所对的直角边，比上相邻的直角边，也就用十比上六，所以我们最终求出来三分之五搞定。 所以你会发现所有很多所谓的压轴题，它其实处理的方法是非常有限的，而且它的突破口呢，也往往都是一些常规的内容。好，接下来我们看填空题第十一题，那给出一个三角形啊，告诉你， a c 大 于 a b， a c 大 于 a b， 我 们自己就可以看出来 好， d 点在 a c 边上啊， d 点呢？跟 a c 不 重合的。好，我们需要再增加一个条件，就可以使得 a、 b、 d 哪个三角形？就是这个三角形，相似于 a、 c、 b， 对 吧？哎，相似于整个大三角形，你这个都画的其实不是特别标准啊， 我们要学会利用不太标准的图形求出我们标准答案。其实很简单，你会发现这个三角形跟整个大三角形，它本身就有一个公共的顶角，对不对？所以在这里面你千万不要去为难自己啊，我们再加上一组等角就可以了，干嘛呢？我使得你这个三角形的角 a、 b、 d， 对 吧？ 等于什么呢？等于整个大三角形，它的角 c 就 可以了，也就是角 a、 b、 d 等于角 c 就 可以了。当然，如果你说我要舍得两组边对应成比例，可不可以呢？也可以。或者你说我们这个角等于这个角，呃，就是这个角等于这个大角，行不行呢？也可以，对吧？ 你只要属于我们相似的判定都可以了。简单，我们就过得稍微快一点点。好，接下来看一下我们的例式二，这个东西属于我们的反比例里面的等比模型。好，在这里我也尽量跟大家讲的详细一点。 首先给出一个反比例函数， y 等于 x 分 之一啊，就是这条直线呢，是 y 等于 x 分 之一，对吧？为什么？因为 k 大 于零嘛，它经过一三项线，对不对？所以经过第三项线的啊，它的 k 是 正的，那 x 小 于零，就是我们取它第三项线，是吧？横格标负数的，也就这个半截。好。现在我们连接 o a， 连接 o a， a 点在哪呢？不知道，你可以把它当做一个动点嘛？现在我永远过 o 点做 o a 的 垂线和另外一个反比的函数呢，交于 b 点，我告诉你，是 o b 等于三倍的 o a， 就是我这条线段的长度，永远是你的三倍。好，在正面我们就索性先，哎，我们先直接把它写出来吧。就是这条线段呢，它是三 m 好 不好，这条线段呢，是三 m 的 长度，你这个线段呢是小 m， 我是 你三倍。 好，现在问题来了，嗯，那当 a 点在这个图像上运动的时候，点 b 呢？在另外一个反 b 的 函数图像上运动，这个反 b 的 函数呢？就是 y 等于 x 分 之 k， 对 吧？现在让你求反比函数的表达式。其实我告诉你啊，这个等比模型的结论是什么呢？它的结论就是 你这两个 k 之比的绝对值，对吧？一比上 k， 哎，就是你要知道我们平常为什么要去学习很多的方法技巧，二者之比的绝对值一定等于什么呢？ 它一定等于。哎，这两个之比的平方等于这两条线段之比的平方啊，等于 o a 比上 o b 之比的平方，这个结论百分百成立， 对吧？ o a 比上 o b 是 一比三嘛，所以它就应该等于一比三的平方，所以它们的比值一定是一比九，理解了没有 啊？既然是一比九，那剩下你会发现他就比较简单了。为什么呢？因为你要知道你这个 k 是 呃，一，对吧，所以我们这个 k 呢？当然，我是经过二四象限的吗？ k 是 负的，所以他一定是负九。 所以你不妨当你学学会很多方法技巧之后，我们做题呢？那别人可能要五分钟呀，十分钟，甚至没有思路，那我们可能十秒钟就只能能够直接口算出来。好，问题来，这个问题我们该怎么去证明呢？其实很简单，对吧？因为你要知道，在我们这一条直线上呢，在一条直线上，我们出现了一个直角，九十度吗？ 那在一条线上出现了直角，所以如果你过端点分别往下做垂线，比方过 a 点往这边做垂线，对吧？哎，比方说就像这个样子，嗯，一样的，我们再过 b 点往这边做垂线，就像这样的， 对吧？那我把它标下，也就是咱们这个角呢？它是直角，它是直角，它是直角。那我请问 各位同学们，左右两个三角形相不相似？就是左边这个三角形跟右边这个三角形很明显，它一定是相似的，一线三垂直，我就不再说了，可不可以？ 那请问这两个三角形的相似比是多少呢？比方，这个我把它标作 m， 这个把它标作 n， 可以 吧？也就是三角形 o a m， 它一定相似于三角形 o a m 和怎么样呢？和我们的 b o n， 对 吧？和 b o n 两个三角形一定相似。相似比多少？很明显，你的斜边是 m， 我 的斜边是三 m， 也就是它的相似比呢？相似比多少？ 相似比，它就是等于 o a 比上 ob 的。 我先懒得用什么 e 比三呀啊，或者 m 比三 m 来表示，就是 o a 比 ob， 没问题吧？以这个线比上这个线，那不就是我们的相似比吗？好，那现在我想问一下，请问接下来那我们的 k 跟什么有关呢？ 相似比等于这么多，那我请问这两个三角形的面积比等于多少？大家能告诉吗？面积比等于多少？面积比是不等于相似比的平方是不等于 o a 比上 o b 的 平方没问题吧？你会发现 o a 比 o b 的 平方不就出来了吗？ 而这两个三角形的面积比还等于什么呀？举个例子，比方，你这个 x 分 之几呢？我就是 k 一， 可不可以？你这个呢？就是 k 二，可以吗？一个 k， 一个 k 二，那你要知道， ab 都是反比例函数图像上的点，你向 x 轴做垂线与坐标原点与坐标原点所围成这个直角三角形，面积等于多少？它是不是二分之 k 一 的绝对值？你这个面积是不等于二分之 k 二的绝对值，有没有问题？ 所以你用这个面积比上这个面积，那不就是 k 一 的绝对值比上 k 二的绝对值？ k 一 比 k 二， 那其实就是 k 一 比上 k 二的绝对值，我们是不是证明完毕？那也就是你只要过坐标原点，对吧？你发射一个九十度角，这个角呢，和两个反比的函数交 a b 两点，你要知道， 那么这两条线度啊，比值的平方一定等于这两个 k 之比的绝对值，因此这个结论呢，我们在这里就证明完毕了。你刚才这个就是 k 一 吗？对吧？你这个就是 k 二，理解没有？ 嗯，不就是怎么样呢？等于二者比值的平方吗？对吧？所以剩下你会发现，喏，它 o a 比上 o b 是 几比几？ o a 比上 o b 在 整个题目中，哎，我把整个题目还原了好不好，不然大家可能看起来觉得有一点点乱。 这个题我并没有单纯的说就题讲题啊，如果只是单纯就题讲题的话，我们完全可以脱离这个结论，对吧？啊？快速告诉大家，很明显，这个值多少就是一比九，是不是 啊？ k 等于多少？ k 一 他是一吗？所以也就是怎么样呢？ k 二的绝对值，你这个是一了，你这个下面 k 二绝对 k 二是负的吗？注意啊，他是经过二四象限的，所以你这个 k 一定是负的理解没有， 一比上一个负数绝对值等于一比九，所以这个 k 呢？你想想一比上一个负数的绝对值，对吧？中等一比九的，你这里面负数只能填几，只能填负九，理解没有。 好，那么接下来我们继续往后再来看一下我们的第十三题。这个题我个人觉得就简单一点点啊。首先给出一个平行四边形， a， b， c， d。 啊，我是一个大大大大的平行四边形， e 是 a、 d 的 中点，就是这条边呢，等于这条边两边相等， 现在点 f 是 c、 b 延长线上一点啊， f 在 整个 c b 的 延长线上，就像这个样子啊，并且 e、 f 的 平行 b d， e， f 平行 b， d 就 像这个样子，对吧？其实你要知道啊，咱们这一条线，它是平行于这条线的，对吧？ 另外这一条线呢，还平行这条线，是不是因此我们知道它也是一个平行四边形嘛？两组对边分别平行，它就是平行四边形了。好，现在我告诉你， a g 比上 a， e 等于 a。 呃，什么意思？ a g 比上 a e。 其实我告诉你各位同志们，就是在我们平常考试，如果你处理比例关系，尤其像这种，对吧？让你求比例关系最快的方式 就是令分母式单位一也是，我就令你是 a， 我 令你是一，对吧？那我比上你不就是 a 比一吗？你会发现整个题目里面就只含有一个字母了啊，对吧？那当然他也是一，但如果你说练了不行啊，那我们要是大题写过程怎么办呢？好，如果你大题写过程，你就引入两个未知数好不好？ 其实我更加建议平常自己做题的时候，尤其是选择填空，你就使得其中一个边为单位，一会更快的啊。好，我比上，你呢是 a 倍的。好，那我也是小 m， 你 这个边是二 m， 所以 这个边呢，也是二 m， 对 吧？以及你是 m， 所以 我们这个边呢，也是 m， 对 边相等吧。平行四边形 好，那接下来你会发现，喏，在这个三角形跟这个三角形中，大家能不能看到两直线平行？首先咱们知道内错角相等，对吧？ 哎，内错角相等，平行吗？另外，你还会发现我们的对顶角相等，咱们的对顶角相等，所以你会发现这两个三角形什么关系？它就不再是简单的相似，而是全等，对吧？这两个三角形，红角等于红角，绿角等于绿角。我有 m， 你 有 m， 所以 全等了。 你是 am， 所以 我们知道剩下这个边呢，它也是 am， 对 不对？就这个边是 am， 就是 这条边嘛。 好，剩下让我们求 b g 比上 f c。 b g 是 什么呀？它不就是 am 吗？好，整个 f c 呢，它不就是三倍的 m 吗？咔嚓，约掉了，所以等于三分之一。嗯，也是比较简单简单，我们就过得稍微快一点点啊，我们继续往后啦，哒哒哒。 好，再来看一下我们今天的例十四，其实这个题它的处理方法我个人觉得比较多，这个题我们最少可以用三种不同的方法来进行处理啊， 比方在边长为四的正方形，它的外侧啊，边长为四行，你的边长了四，你的边长了四，我们就把它标出来。好，现在我们干嘛呢？做一个直角三角形 a d， 使得这个角 a e d 呢，等于九十度，就这个角呢，是一个直角， 好， a d 呢？三十度，哪个角？也就是我们这个角是三十度的，对吧？啊？就是这个角啊，这个角 多少度？他是三十度，那其实我们可以求出很多线段的长度，比方说呢，你要知道咱们正方形的这个边长等于几？边长等于四吗？对吧？三十度所对的直角边等于斜边四的一半，所以我们知道这个边是二，以及你用勾股定律或者特殊直角三角形，我们求出来二倍根号三。 好，接下来我们看看这里到底想干嘛啊？好，第一个，让我们求 a e 和 d 的 长度和 a e 和 d， 哈哈，你这个有点瞧不起我了，也就是二加上二类根号三吧，对吧？长度和好。第二个，如果 o 是 a c 的 中点， 对角线的中点，正方形的性质大家必须得知道啊。连接 o e， 让我们求 o e 的 长是什么？ 这个题你可以直接怎么样的？用勾股定力，对吧？那求一条斜边，最常见就是把它放在一个横平竖直的直角三角形。先这么去求，可不可以？我告诉你，百分百可以， 你再遇到这种方正的几何图形里面，如果你没有思路，你想要拿下满分，你可以用间歇法都可以，对吧？那么在这面我用一个我个人觉得比较常见的方法啊，叫做边等角补模型，什么意思呢？首先你连接我的对角线也不算连接对角线吧，连接我们的 o d， 对吧？那么根据正方形的对，正方形的对角线是互相垂直平分且相等的，所以他是一个等腰直角三角形，明白了不？所以连接完毕之后，我们知道也就是这条绿边呢，他一定怎么样呢？等于这条绿边， 嗯，对吧？我这个方法，我个人觉得计算量是比较小的啊，绿边等于绿边，并且咱们这个角呢，一定是直角，他一定是九十度，对吧？ 哎，直角，好，现在我告诉你，所以你看看，你们平常错过了很多很多的几何，哎，哎，你们真的错过了很多的几何模型，什么叫做边等角补模型呢？边等角补就是一个四边形，如果零边相等， 对角互补，那你看看，这是不零边相的，这是不零边相的，对吧？我对角是不互补，对角是不互补，那么此时像这种图形，它的万能处理方法，旋转，你只要旋转，百分百就会轻松处理，你会翻很多答案，他会告诉你，同学们，转一下，为什么转呀？ 为什么要这么转，对吧？你倒是说呀，好，怎么转呢？你会发现连接对角线，他会把整个图形分成一个两个三角形，你随便旋转任何一个三角形就可以。怎么转呢？比方把这个三角形我们直接转到这里， ok， 哎，差不多就转到这里吧，就转过来，好不好？哎呦，我觉得稍微有一点点误差吧， 哎，就这样吧，好吧，就这样，我们把它转过来，有这样的，那对角互补有什么用呢？边等有什么用呢？你把这个三角形转到这里， 因为你这个绿边跟这个绿边相等，所以你把这个三角形转过来之后呢，你可以靠着这个绿边，对吧？那角补。对角互补有什么用？ 其实你要知道啊，我们这个角跟这个角对角互补，那么我们这个角跟这个角对角也是互补的。好，把它标一下，比方我把这里的三十度，我把它给清掉。嗯，如果我令这个角呢？比方这个角它是 arva， 可以 吗？这个角是 arva， 那 剩下我令这个角呢？它是贝塔， 就是用蓝角。这个角呢？我令它是 beta。 好， 角补有什么用？你把这个三角形旋转过来，你这个角是 alpha， 所以 我们知道，那剩下这个角它是不是也是 alpha， 对 吧？我们刚才说了吧，你的对角是互补的，你的 alpha 加 beta 一 百八十度， 那 ar 法在这，贝塔在这，那相加一百八十度，所以它是个大大的平角，懂了没有？如果你没有对角互补这个条件，你旋转过来呢？那它就不再是一个平角，它就不再是一条线，它就会翘起来，就翘成什么样子，就翘成可能像这个样子。懂了， 不对吧你，你整个图形，它就不再是一个完整的三角形了，它是一个三角形加另外一个三角形，它是个四连形，懂了吧？ 哎，对角互补可以保证，哎。比方放个哎屁，可以保证 p d e 三点在同一条线上。好，那旋转完毕，我们可以得到什么呢？其实我们百分百可以得到一个等腰三角形，哎，为什么呢？比方说我另这个边是一个红边好不好？你这个三角形有一条边是红边，可以吧？ 你把这个三角形旋转到这里之后呢？你这个边是红边，我们这个边一定也是红边，所以看到没有，你只要旋转边等角部，一定可以得到一个等腰三角形。 当然了，你把这个三角形转过来，你这个边是二，所以我们知道这个边呢，它也是二，对吧？就是 p d 这个边它也是二。那然后呢？注意啊，咱们这个角是九十度，九十度意味着什么？你可以用旋转的思想去处理，或者你说这样哈，我不太会用各种思想。行，那你这个角是 a r 法，可以吧？ 好，接下来你这个角呢，是贝塔行不行？哎，我们就不再用刚才的 a r 法，贝塔重新再来这个角直角嘛。那你不就相当于告诉 a r 加上贝塔是不一定等于九十度的，没问题吧？ 你把这个三角形旋转到这里，你这个角是 alpha， 所以 我们知道这个角呢，一定也是 alpha， 对 不对？我们刚说 alpha 加 beta 等于九十度嘛，你这个是 alpha， 你 这个是 beta， 所以 相加等于九十度呢。这个角是一个大大的直角，因此你会发现 我们可以得到一个大大大大等腰直角三角形。我们知道斜边是二加二倍根号三，那么请问直角边 o e 的 长度呢？等腰直角三角形，你从斜边到直角边，你除以根号就可以了，理解没有， 对吧？从斜边到直角边，二加上二倍根号三，这个就是我整个斜边吗？从斜边到我们的直角边，你除以根号就行了。除以根号，你除以根号呢？他就是根号，对吧？你除以根号呢？你算出来的根号六。嗯， 所以这个题你看，虽然是个大题，他为什么敢出填空呢？一般同学你去猜什么根号三呀，根号七呀，对吧？哎，什么二倍根号呀，你们猜一个的话，很难猜中的，根号加根号六。搞定。好，那接下来我们继续往后再来看一下我们今天的解答题。 那么解答题其实我们全国有百分之八十以上的中考，我们整个大题里面特别喜欢考我们这种怎么样呢？实数的运算跟我们逆的运算呀，啊，绝对值的化解呀，我们这种三角函数呀，对吧？哎，综合起来考察分值比较高。 呃，然后呢，又比较简单，所以大家千万不要轻易的丢分。好，一样的，首先我们我就不写几了，扩散六十度等于多少？ 扩散六十度，其实大家得知道啊，你画一个六十度的直角三角形，对吧？六十度，这个角就是三十度嘛， 哎，一二根号三，对不对？所以扩散六十度就是他的邻边比上斜边是不是二分之一，所以也就是三乘以二分之一。好，我们减去一个数，只要他不等于零， 他的零次方呢？一定等于几？一定是一，明白，没有什么派的零次方呀，哎，这个八的零次方呀，七分之五零次方都等于一，好减去。那么像这种负指数密怎么办呢？比方说七的负二次方，他说等于七的二次方，再来一个分之一的 比方说呢？哎，这个这个五的负三次方，他就是先把五三次方再来个分之一就可以了。好，这是我们负指数密，他的怎么样呢？一个运算的法则，所以在这里面你去算他怎么办呢？首先负四分之一，你先来一个平方，对吧？ 不，四分之一，你先求它的平方，它的平方等于多少？等于十六分之一嘛，对吧？你再把它倒过来，求它的倒数，你想想十六分之一，它的倒数呢？是不等于十六，所以这个东西你求出来它就是十六的，理解了吧， 我们减去十六。好，最终我们减去，最后还有一个什么呢？有一个绝对值，一样的绝对值，你在去处理的时候，你首先判断里面的正负根号三减二，那这个不用说了，一定是负数吧，负数带绝对值去掉之后呢，变成自身相反数，那么它的相反数等于多少？ 你减我的相反数，就是我减你根号三减二，相反数就是二减根号三，所以最终我们求出来等于多少？等于二减根号三，所以最终我们求出来等于二，再减根号三， 所以也就是，哎，加上根号三，呸，所以最终我们求它等于根号三，怎么样呢？我们最终再减去十七又二分之一， 对吧？把前面放在一起等于这么多，你用这种代分数或者假分数都可以啊，这种答案都是对的。好，我们继续往后了，我们再来看一下今天的例十六，这个题其实我个人觉得也比较常规啊，然后把这个图稍微的缩小一下，不然大家可能看不到，哎，再缩一点点好不好？ 这里你会发现我们整个中考里面喜欢考我们这种旋转呀面积哈，那往往也是送分了。好，那首先给出一个格点图形，它每一个小正方形的边长呢？都是一个档位 啊，就是边长都是一边长，都是一对吧。好，现在 abc 的 顶点都在格点上面， o 就是 这个，就是三角形 abc， 它的格点呢？顶点都在格点上面。好，普通，建立平面直角坐标系，使得圆点是 o， ab 坐标分别是这么多，其实这个量呢，就直接画就可以了好不好？ 嗯，负三负一，所以我们整个平面直角坐标系呢，就大概长这个样子？好，大家来验证啊，你会发现 a 点坐标包括我们 b 点坐标呢？是不是题干中所给出的这样，嗯，这是我们的 x 轴，这是我们的 y 轴，以这个呢是我们的坐标原点，可以吧？ 好，接下来这个题第二问，我觉得有些同学他可能就会丢分了，他干嘛呢？现在我们要以 o 为位次中心， 化州三角形的 v 四三角形 a d、 c， 干嘛使得这两个三角形的相似比是二比一，注意啊，我和你相似比是二比一，对吧？你说前面是后面这个图形的二倍， 注意以谁以 o 为 v 四中心吗？其实我告诉你，它应该正常情况下，它应该有两种怎么样的图形？我可以像这样去发射一个 v 四中心吧，大家懂不懂？使得我们的 a 一 在这里，明白吗？ 对吧？我们的 c 呢？在这里，以及你的 b 一 呢？ b 一 在这里，懂吗？哎，这个边等于这个边， 这个边等于这个边，以及呢？这个边等于这个边，懂了没有？他也是以 o 为谓词中心的，但是你要注意这个题目，那两个第一个呢？他要求我们怎么样呢？嗯， 呃，在格格点这个图形中去作图，对吧？另外一个，你想想你，你这边都没有格点，你怎么找呀？你不好找，是不是我们要利用网格来进行作图嘛？所以在这面我们有第二种方法，也是怎么样呢？哎，我们连接 a o b 延长，是吧？ 注意啊，因为你要知道你这个连接 a o， 他 在一个什么？他在一个一乘以三的长方形中，他跟我们前面题目比较像，那你就反复的走一乘以三的 长方形，对吧？走它的对角线，这不就是一乘以三的这个长方形的对角线吗？这不就是一乘以三的长方形的对角线吗？对吧？走到对角线，你说走到哪个位置呢？你就走到这个位置，这个点就是我们要找到的 啊，怎么样呢？ a 一 了，对吧？这是我们的 a 一， 好，一样道理，接下来我们再找另外一个啊。好，我把它清掉了，清掉，不要了。 呃，然后接下来我们再找另外一个。呃，找 b， 他的位置对应点。好，一样的，你看他也是一乘以三的直角三角形吗？我们走走走，走一乘以三的直角三角形，走一乘以三的直角三角形，是不走到这里了呀，所以这个点他就是我们的 b e， 对 吧？好，最终我们再来找下 c 点啊，清掉，清掉，大家看起来可能会更加舒服一些。 c， 他 就在一个什么呢？他在一个二乘以三的直角三角形，对吧？二乘以三的直角三角形，我们走二乘以三的， 我们走二乘以三的吗？这不就二乘以三的一个直角三角形，对吧？二乘三，二乘三，所以你有发现我们这个点呢？哎，哪个就是这个点， 对吧？他就是我们的 c 了，所以这种扭法我们连接起来，我换个颜色连啊，好不好？换个比方说，胖胖的紫色吧， 连一下，他就是我们要找的我们的 v 四图形了。好，接下来我们看第三个，第三个是把某一个三角形绕着某一个点顺时针方向旋转九十度。什么叫顺时针呢？这是你们家的钟表，对吧？哎，你们家中表一边往这边转，这个叫顺时针， 那这边呢？就叫逆时针。首先你不要把这个方向给弄混了啊，不然的话你就直接嗝屁了，也就是把这个三角形绕着 b 点顺时针往这边转九十度。很多同学亮亮，我怎么去把一个三角形旋转呢？其实很简单啊，你就转什么呢？转对应顶点或者转转边，你直接旋转的话，很多同学可能不知道， 为了方便大家理解，我把这坐标系都清掉了，这样的话，我们做起来可能会更加的直观一点点。其实很简单，你把这一条线绕着 b 点设置针转个九十度是不可以了。那怎么样旋转线呢？很简单，你把这个线放在一个直角三角形中，理解没有， 对吧？他在一个二乘以四的直角三角形中，你旋转完毕之后呢？你把这个整个直角三角形绕着 b 点旋转九十度吗？你这个数值的他不就转到水平的位置了吗？就转到这里了，懂了没有？你这个水平的，他不就转到数值的位置了吗？ 懂了吗？就像这个样子吗？各位同学能不能理解，你这个二乘以四的直角三角形绕 b 点旋转九十度，就会到达我们的 a 二， 看到没有，这个点就是我们的 a 二了，明白了不啊？就像这样一样的道理，那接下来我们再转 o 这个 c 点，我觉得旋转是比较简单的啊，为什么呢？你这个线它就是水平的吗？三个单位，所以你转完之后是不是就是三个单位啊？所以我们这个，哎，我们的 c 二呢？就在这里，对吧？ c 二就在这里，是不是？其实我个人觉得这个图好像也不是特别标准，为什么呢？你绕 b 点旋转的话哈，其实有 b 二吗？他没有，对吧？其实这个三角形他就是我们旋转后的我们对应的图形。 b 点呢？你绕着 b 点转吗？这不就转完之后的我们旋转之后的三角形吗？ 搞定好简单，我们就过的稍微快一点点，我们继续往后了，一起来，再来看我们今天的历时期。 这个题其实本质上是我们三角函数的一个应用，其实我们现在全国各个地方三角函数以前有什么呢？有什么羊角福角问题，有什么方位角的问题，对吧？有我们的什么坡度问题。但是全国现在 慢慢慢慢的更形成我们三角函数的生活中的实际应用，比如水龙头呀，我们的行李箱呀，对吧？哎，我们的夹子呀，我们的这个平常生活的这种什么呢？照明灯呀，就是跟我们的实际生活联系的，它依然是什么呢？ 依然是我们所谓的什么仰角、俯角的问题啊。好，现在某校为了检测师生的体温，再需要这么安装了。某型号的侧卧门。好，如图，是侧卧门的。呃，前面是一图，现在我告诉你整个 a d 的 顶部 a 处距离地面是二点二米。你发现这种题的就是比较啰嗦， 你就直接告诉整个高度是二点二就可以了，对吧？就整个高度多少呢？是二点二我就不带单位了。 好，为了了解自己有效的测温区间，身高一点五米的小熊做了如下实验。啊，身高一点五米对吧？他在地面 n 处时测的，嗯，就是测温门开始显示额头的温度，就是在这里的时候开始测温度，此时在额头 b 测的阳角是十五度，阳角是什么呢？ 就是这个角，说白了啊，就这个角，对吧？你抬头去看你这个 a 嘛，你的水平视线跟你的啊，就是水平线跟你的视线所夹的这个角，就是我们，怎么样的啊？阳角十五度， 好，那然后呢？在地面 m 处就是你小葱跑到这里，对吧？那么此时阳角十五度，阳角十五啊，四十五度， 仰角多少度呢？仰角是四十五度，也就是告诉你怎么样呢？这个角它又等于四十五度了啊，就这个角对吧？它等于四十五度，一般像这种角度呢，我们都会尝试把它放在直角三角形中。好，我们继续往后了。 小聪的身高是一点五米，所以也说你这个 b n 是 一点五，你这个 c m 也是一点五，对吧？好，现在我告诉你，小聪在地面有效测温 m n， 让我们去求这一段的长度该怎么办？ 这个长度也就是求 bc 或者求 m 都可以，对吧？怎么求结呢？首先你要知道啊，这个十五度和这个四十五度。十五度，知道三角函数四十五是一个特殊直角三角形，所以我们都容易想到要把它放在一个横平竖直的直角三角形中，哎，也就大概长这个样子， ok， 好， 把它延长出来。 好，延长出来之后呢，比方说，呃，这个角呢，也就是九十度了，我在这里就放一个屁，行不行？你这二点二，先走开， 放个黑色的屁吧，看到没有？亮了，放个屁，臭死。那些听一半逃跑的各位同学们，好，现在你要知道咱们整个的高度多少？整个高度是二点二吗？ 而你这个高度一点五，这个高度一点五，所以咱们这个高度也是一点五，对吧？因此我们可以知道剩下的这一段的长度等于多少呢？这一段长度他这一点是二点二，减去一点五，也就零点七，没有问题吧？ 啊？这个长度它一定是零点七。好，现在我想问一下，四十五度怎么用的？你是一个等腰直角三角形，所以我们知道这个边的长度是不是也是零点七没问题吧？零点七。好，剩下的你让我求谁？你让我求 m n， 对 吧？我不，我只要求 bc 不 就可以了吗？ 求 bc， 我 不，我只要求整个 p b 是 不是就可以了？那接下来怎么求？这是一个含有十五度的直角三角形，我知道它的对边，我要求它的邻边，我要用什么？我一定要用它的正切值，对吧？也就是我们知道 tan 紧的 十五度，它等于多少呢？我就不再写什么 a p 比上 pb， 我 就不再写了，我直接用零点七比上 pb， 可不可以用零点七比上 pb， 它等于多少？约等于零点二七嘛？哦，约等于零点二七，但说白了 也就怎么样呢？左边乘以 pb， 右边乘以 pb， 右边乘以 pb 呢？也就是零点二七倍的 pb 等于多少？等于零点七，对吧？ 那接下来也就是 p b， 你 可不可以求出来？一定可以吗？你把 p b 求出来，约等于多少？你用零点七除以零点二七吗？哎，我们打个草稿，零点七除以它呢？其实就是七除以二点七，就是七十除以二十七嘛？ 七十除以二十七，我们上几呢？上三不够上二，好吧，二五十四，也就是剩下十六十六，我们上几呢？呃，你借了一个零，也是我们上 九，可以吗？试一下好不好？哎呸呸呸，什么叫亮亮你唱我揍你啊，求你，我们上上六行吗？六，一百二，四十二，不行，我们上五，对吧？好，五七三十五，一百三，剩下二十五，对吧？ 呃，那剩下也就二百五十除以二二十七呢？那此时我们好像真的可以上亮刚才所说的 九了。对，我们试一下啊，你上个九七九六十三，对吧？哎，六十三，嗯，一百八，二百四十三，所以也就于七。哦，也就是怎么样呢？ 他是二点五九，你在上就是上二三也不够，对吧？所以也就是他是约等于二点五九的，有没有问题？ p b 是 二点五九吗？整个是二点五九，所以我们整个 bc 的 长度呢？也就是我们要求的你的 m n， 对 吧？它就等于 bc， 等于什么呢？用这个二点五九，我减去你这个零点七吗？减去零点七，所以等于多少？等于一点 八九，但你要知道这个题目精确到零点一啊，精确到怎么样？精确到我们小数点后一位，所以我们知道它约等于多少？约等于一点九。 好，我就不带单位了，最终作答的部分呢，量就省略了好不好？所以其实你有办法像这种题呢，我个人觉得还是比较常规，也是比较简单的。好，接下来我们继续往后了， 我们再来看一下我们今天的例十八这个题，它相当于是我们相似的一道简单的综合应用了啊，我个人觉得难度也不高。好，首先呢，我们给出一个三角形 abc， 大 大大大三角形 好， d 分 别在两边上， d 点在这，一点在这啊。然后呢， d、 e 平行 bc， 而我们 d、 e 呢， 是平行于 bc 的， 对吧？哎，那既然平行，我们知道这个三角形跟整个大三角形百分百就是相似的。好，现在 a、 f 比上 f、 d， 我 告诉你 a、 e、 f 比上 f、 d 干嘛呢？等于 a， d 比 d， b 等于 a， d 比上 db， 这啥呀， 这个边比这个边，等于这个边比这个边，风马牛不相及，乌七八糟的，对吧？好，第一步，让我们求成 e f 平行 d， c， e f 平行 d， c。 其实我们去求两直线平行啊，当然，你可以用什么同位角，内错角，同旁内角，对吧？除此之外呢，在我们整个相似里面，你有两种方法，第一个，就用相似去证明我和你相似了吗？ 这个三角形要是相随整个大三角形，那不用说，我一定跟你平行，我就不再多解释了啊。第二个呢，用平行线分线段成比例定义，什么意思呢？比方说 d， 我 直接放这里啊， 因为 d 平行 bc， 好 吧，我们知道 d 是 平行 bc 的， 我考试，哎呀，我怎么直接比了呢？因为他 d 是 平行 bc 的， 对吧？两直线平行这个边，平行这个边。那我请问各位同学们， a、 d 比上 b、 d 等于什么？所以我们知道 a、 d 比上 b、 d， 它一定等于什么呢？ 哎，当然，这个题说了，等于 af 比 f、 d， 对 吧？啊，还等于 af 比 f d 好， 行，等于 af 比上 f、 d， 题目说的嘛，是不是 还等于什么呢？你这个线跟这个线平行，所以我左边比左边，那就一定等于右边比右边，对吧？所以它一定等于 a e 比上 e、 c， 结束了， 没了，搞定了你会发现 a、 f 比 f、 d 就是 这个边比这个边等于什么呢？等于这个边比这个边吧，对吧？所以我们知道，那这两条线一定平行， 平行线分线段乘比例定里是不是？那你只有这两条线平行，才能左边比左边，等于右边比右边吧，理解了，没有百分百是平行的啊。 好吧，好，当我们推出来平行之后呢？那第一问不就搞定了？那其实我们也知道这个三角形一定相似于整个大三角形，对吧？好，接下来我们继续往后了。这里我告诉你， a f 这三 af 这个边是三， f d 是 六，这个边是六，那你比我是一比二吗？所以这个边比这个边一定也是一比二了，对吧？没问题吧？所以也就是我们知道 a e 呢，比上 e、 c 就 等于你的三比六，也就是一比二的吗？是不是？我是 m， 你 一定就是二 m 了，一比二， 好，你要注意啊，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，第一问我们就用到了吗？一边，好，现在我告诉你， d 是 六倍根号三，这个题太简单了，这个边呢？六倍根号三，让我们求什么？求整个底边 bc 的 长度等于多少？我们刚才说了， 这个三角形一定相似于整个大大大大三角形，相似比是几比几，你不要觉得是一比二啊，这个三角形它的 m 比上整个大三角形三 m 相似比是一比三的，你是六倍的高三，所以整个里边十八倍的高三。简单，我就快一点，我就不再写标准过程啊， 我们直接过了。好，接下来我们来看一下我们后面的例十九。好，其实在我们正考里面，除了我们常规的像全等的判定呀，箱子的判定这种题目之外，还有一种他很多题目他喜欢考我们这种常规的四边形， 什么平行四边形，矩形啊，菱形，正方形，他简单的性质与判定的综合，比方说他就是一道非常具有代表性的题目。好，我们一起来看看。 首先我给出一个长方形，也就是矩形 a b， c， d 在 这里，对吧？好，延长 a d 至 f 点延长 a d 到 f 有 什么要求呢？使得 d f 等于 a d 好， d f 等于 a d， 并且我们知道这个角一定是直角。哎，其实你会发现啊，各位同学们， 那你这条线不就是 a f 的 垂直平分线，有没有问题？我这个线我既垂直，你吗？我怎么样？我还平分你吗？对吧？ 所以它是垂直平分线，垂直平分线上点到线段两端距离相等对不对？以及垂直平分线上点到线段两端距离一定相等的。好，我们继续往后了，说白了就是怎么样呢？子边等于子边对吧？ 以及呢？绿边等于绿边，但是子边跟绿边相不相等，不知道啊，你目前为止你是不知道的，明白了没有？子边等于子边，绿边等于绿边。 好，这个题目先来告诉你，那过 a 点做 a e 平行， c f 就是 a e 呢？和 c f 是 平行的，那平行其实在几个题目里面就相当于怎么样呢？嗯，告诉你内错角同位角之间的关系，就这个角呢？它等于这个角，对吧？ 是不是这两个角相等？那又能怎么样？注意啊，因为你这个三角形，对吧？绿边的绿边等腰三角形，它有三线合一的性质， 你是底边上的中线，底边上的高，你一定是顶角的角平分线，所以这两个角相等，明白没有？ 这两个角相等，你是 a r 法，我也是 a r 法，我也是 a r 两个 a r 相等，所以咱们是等腰三角形，所以紫边跟绿边相等，也就我们可以推出四边相等，好不好？四边相等我就不再说了。这边，哎呦吼，四边相等，也就是这些角呢，我都把它清掉，可以吗？ 哎，这边角度七秒，我们正出它是个啥呀？它就是个菱形嘛，我就把它都标成子边，咱们都把它标成子边，可以吗？好，你给我发第一问，让我们证明菱形，我们就搞定了。 好，接下来我们看一下第二问好，连接我们的 b 交 a d 于点记。什么意思啊？但你发现我们后面好像跟点记没有关系啊，他说当 ab 等于二， ab 是 二，你角 a c b a c b 是 哪个角？ a c b 是 我们这个角，对吧？这个角， 这个角的正切值是一比二的啊，就是我的对边比上我的零边是一比二的，所以我们知道旁边这个边呢，他就一定是四啊，就是咱们这个边是四。其实让我求什么？求 b 的 长，这是不是有点过于简单了， 对吧？你是二吗？所以我这个边不也是二吗？那菱形的对角线相等且互相平分，这个边不也是二吗？你让我求 b， 这这这啥意思呀，对吧？ 而且你要知道这是一个长方形，长方形这个角还是个直角，对吧？所以你发现在这个大大大大直角三角形中，一条直角边四，另外一条直角边也是四，根据勾股定律，所以也就求出来四倍根号。这个题你会发现我们没有写任何的我们的函数标准过程，求解完毕，我们直接过了啊 啊，所以你看前面大题，我个人觉得都比较常规。好，接下来我们再看第二十题。这个题我觉得也不难。好， ab 是 圆的直径啊， ab 呢？而不是圆的弦啊。好， o d 垂直 ab， 那 你过圆心向弦做垂线，不用说了，垂进定力，这个边一定等这个边，对吧？ 好，垂直是 h， 好， bc 呢？垂直 ab， bc 垂直 ab， 那 已经标出来了，好，连接 a、 d 延长交 b 啊，这个，这个交 a d 的 延长线呢？于 c 点。好，现在问题来了，第一个求证， d 是 ac 的 终点， d 是 整个 ac 的 终点，也就是求证这个边等于这个边，对吧？其实证明的方式也有很多，比方说我求证，嗯，你用相似于整个大三角形一定相似的， 相似比是几比几呢？你这个三角形用这个边比上整个大三角形的这个边，相似比是一比二， 所以你这个三角形的这个边比上整个大三角形的这个边相似比是不是也是一比二？那 d 不 就是终点了吗？对吧？那除此之外，还有还有没有什么其他的方法呢？有，比方说，各位同学们， 我们就用到我们刚才所谓的垂进定律的结论吧，好不好？我们比方说连接一下 b d， 连完之后你要知道，首先这两个角相等，我觉得各位同学应该没有问题吧，是吧？就是这个角，对不对？ 等于这个角没问题吧，为什么呢？因为你垂直于弦，你平分弦，而且平分弦所对应的弧，也就是这条弧一定跟这个弧相等，等弧对等弦嘛，所以也就这条弦等于这条弦，对吧？嗯？等弦 对等角吗？所以，哎，也也不呸。不是啊，说你是个等腰三角形，所以两底角相等，除此之外，你还可以垂直平分线的。我既垂直你，我又平分你，我不就是等腰三角形了吗，对吧？哎，我到你两边距离相等吗？等腰三角形，所以这两个直角一定相等。 好，我离你是阿尔法，我离你是阿尔法。好，接下来你有法，我们用最笨的方式，你是个大大大大直角三角形，对吧？啊，这个角是直角的，题目中说的 对不对？你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角一定多少，一定是九十度减 ar 法，你这是一个大大的直角，没问题吧？拿走 ar 法，所以这个角呢，也是九十度减 ar 法。 好，到这里就证明完毕了。那依然是重点。为什么呢？你是个等腰三角形，所以咱们这个蓝边一定等于蓝边，对吧？等腰， 同时我也是一个等腰三角形，这个绿角等于绿角嘛。所以呢，我也是个蓝边。哦，你是蓝边，我是蓝边，你也是蓝边。三条蓝边相等地是个重点，所以我发现我们不管怎么样都可以挣出来搞定， 我们用两种不同的方法去推倒他了。啊。好，现在我们再来看一下那。哎呦，这个行吧，不要就不要，有什么大不了的，清掉 都不要了，可以吗？我们主要来看第二问，第二问现在告诉你， ab 呢是六，这个是三，这个是三了， ac 是 二倍的根号十三，那你这个边呢，就是根号十三，对吧？ 你要知道我们刚才第一问求证，你是终点吗？这不就根号十三吗？这个不也是根号十三吗？对吧？我们都知道根号十三，但是中间呢，我把它用一个彩色的点把它割开， 让我们求圆的半径，这是有点过于简单。首先你要知道啊，这是个直角三角形，知道斜边，直角边，我们可以求出这条边的长度几呢？这个边的长度一定是二，虽然这个度不是很标准啊，你让我求半径，那我首先得把半径给构造出来，对吧？好比方我们去连接 o a 吧， 可以吗？好，连接完毕之后，也就是差不多长这个样子，连接 o a， 那 此时扭法我们要求半径，我就令半径是 r， 可以吗？你这个是不是也是半径呀？对吧？也是半径拿走两个单位，所以剩下你会发现这条线段的长度呢？是 半径减去二，是吧？那最终在这个直角三角形中，咱们用勾股定律可以直接求解吗？你的平方，也就是半径减二的平方， 加上你的平方，就是我们垂径定律非常常见的一种题型，对不对啊？等于斜边的平方，所以我们求出半径的平方减去四倍，半径加上四加上九等于多少？等于半径的平方左右两边咔嚓了，我们知道四倍的半径等于十三，所以我们求出的半径呢，等于四分之十三。 计算过程，那样写的就稍微快一点点啊，我们继续往后了。好，接下来我们再来看看，我们后面稍微有一点点的，终于来了，对吧？我觉得这个题目算是我们所有大题里面有那么一点点分量。第二十一题， 好，首先我告诉你，你是角 e r 法角贝塔都是锐角，一个角的正切是二分之一，一个角正切是三分之一啊，求这两个角的度数之和。 好，如图一，小亮同学呢，在边上唯一的正方形的网格中画出了角 b a d 和角 c a d。 其实我告诉你，这个叫做一二三四五模型，他在我们处理某些特殊三角形或者某些怎么样的，嗯，线段求解的时候非常非常的快啊， 好，然后干嘛呢？在图中画出角 b a、 d 和角 c a d， b a d 是 哪个角？ b a、 d 是 这个角，对吧？你发现这个角呢？它的正切值不就是，喏，它在个一比二的直角三角形中吧，对吧？所以这个角的正切值呢，就是二分之一的，对不对？这个角的正切值二分之一， 好，剩下还有一个角 c a d c a d 在 哪？ c a d 其实就是这个角嘛，对吧？你会发现这是一，这是三，所以这个角的正切值呢，不就是三分之一吗？啊，一个是 a r a， 一个是 beta， 所以这两个角的度数之隔也就是这个角了，是不是阿尔法加贝拉就这个角嘛，对吧？好，现在问题来了，嗯，按照这个思路，求阿尔法和贝拉，也就是求这个角的度数之隔，这个很简单啊，那我们去求，既然能求出来，你觉得这个角可不能比方七十三度呀， 哎，四十六度呀，像这个咋求我都不会，对吧？更不要说你们了，说他很显然是一个特殊角，特殊角，它往往出现在特殊的直角三角形中，我们连接 bc 好 不好？ 连接 bc 之后，你会发现我们可以得到什么结论呢？你会发现呐，各位同学们呐，我们这是什么？这是一个一乘以二的直角三角形，对吧？同样的，我们这是一个什么呢？这也是一个一，哎，这也是一乘以二的直角三角形，看到没有 啊？大家都是一乘二，大家都是一乘二的直角三角形，所以这两个三角形一定全等。理解了。没有全等对边相等嘛，所以你这个子点 一定怎么样呢？等于此边，我们目前正出它等腰了，我们再正出一个直角就可以了，对吧？直角怎么正的？非常简单，比方说啊，我用最快的方式把它标注出来，我令这个角呢，是 a r f 可以 吗？那你全等对应角相等，这个角一定也是 a r f 没问题吧？好，接下来我再用这个角呢，我再令这个角是，嗯，比方说，这个角我把它丢一边去啊，这个一走开，我再令这个角是 b 的， 对吧？再用这个表示 beta 搞定了。因为你会发现，在我们这个直角三角形中，喏，在这个直角三角形中， a r 加 beta， 哎，我我，我们这个题有 a r 加 beta， 哎，你就忽略一下好不好？忽略忽略啊，你把 a r 加 beta 一定是九十度嘛，对吧？ a r 加 beta 一定是九十度直角，你这是 alpha， 你 这是 b 呢？我们刚说 alpha 加倍到九十度，苏宁凡他一定是一个直角，理解，没有。苏宁凡，我们是一个等腰直角三角形。因此，这个题，我们本来要求的这个角多少度呢？就这个角，对吧？一定是四十五度 好不好？哎，所以第一问呢，我们求出来四十五度，搞定了。好，接下来我们再来看一下啊。呃，第二问，第二，我觉得他跟第一问好像没有什么关系啊，那我就直接把它清掉了，我把这个也清掉了，可不可以？ 我把这个咱本来就不能带有阿尔法和贝塔，所以我都把它清掉。四十五度。好，现在我告诉你，如果一个角正切是刚好三，另外一个角正切是三分之刚好三，求阿尔法解密了，其实你要知道谁的正切等于刚好三呢？在这里面我就不再详细解释了。可不可以？我们前面其实已经讲的比较憨了，对吧？这个角是六十度， 对吧？你这个角多少度呢？这个角三十度，对应完我们再处理三角函数，我们如果知道它的特殊角，你就先把它求出来，就这两个角相加呢？你这完全送分的吗？九十度。 第二问比第一问更简单。好，这个题难的是我们的第三问。好，现在我告诉你，埃尔法，贝塔，呃，包括那个，这，这个念什么我已经有点忘了啊，对吧？他们都是锐角。嗯，现在我告诉你，我的正极是七分之一，对吧？ 啊？并且这两个角相加等于它让我们求它的正值，该怎么办？嗯？ 是 c 卡马还是 f 七龙啊？好像不对啊，好像是，不管读什么，嗯，就是求它的正值。就是首先我们需要构造一个三，一比三和一比七的。首先一比七，你要知道它是比较难构造的，我们先把它构造出来。可不可以画一个七， 这是怎么样呢？这是长度为七，没问题吧？是不是你数一下长度为七，然后另外一个长度为一，是吧？就像这个样子，那所以你要知道这个角就是我们的 beta 角，这个角是不是我们的 beta 角 把它标出来，就这个角，是不是这个角是咱们的贝塔角？好，那，呃，正确，是一比七。那现在这个一比三怎么弄的？一比三，你会发现如果你像这样画的话，他就有点麻烦了，是吧？我们用用用这个蓝色的画吧。一比三，你这么画出来， 这有啥用呀？你这个角呢？是埃尔法，埃尔法加贝塔，就这个角你放根本搞不定，对吧？这，这怎么求解？ 有点麻烦。那么在这面我们会想，一比三为不要放在一乘以三，我可以放在二乘以六的直角三角形中，可不可以，可以吗？对吧？我做两个一乘以三吧，所以你有法，也就这个边是二，剩下一个边是六，行不行？行吧？那所以也就是这个角呢？它就是我们的阿尔法，是吧？ 它就是我们的 a r 法，所以你所谓的就是让我们求这个角的正切值了，怎么求呢？有量了，可是这个好像也搞不定啊，大家会发现，其实我们刚才标注的是一个什么，它就是一乘以三的直角三角形，大家记不记得等下我在这里把它标出来啊？黑色的， 黑色的，大家记得吗？这是一个二乘以六，哎呸，二乘以六的一个直角三角形，对吧？ 好，接下来你会发现，各位同学们，如果我把这个去掉呢？看清楚啊，你，你，我这个红线怎么移动？你这个贝纳角肯定是不变的吗？对吧？我红线怎么移动，你这个贝纳角肯定不变吗？是吧？你这个角依然是不变的。好，接下来大家看看，如果我连接这条线呢？ 连接起来，大家观察一下，你会发现我把这条线放在了一个直角三角形呢，我也把它放在了一个 v， 为，能看到吗？所以切正反，这个边是一吧，这个边是三吧？哦，你是个二乘以六直角三角形，你两边这里是一比三，我也在一个一比三的直角三角形中。请问接下来各位朋友 护理完毕了没有？是不是已经搞定了？然后把它清掉不要了？把它清掉不要了，可不可以？所以大家能想到吗？你会发现呐，咱们这个直角三角形两只角边是一比三，我们这个直角三角形两只角边，这里也是一比三，所以这两三角形一定是相似的，对吧？ 啊，那既然相似，那我请问一下，举个例子，比方说我们令这个角，我就不再去像刚才那样犯错了啊，比方我令这个角是 x， 好吧，相似了，那你这个角是不是也是 x？ 没问题吧？好，接下来我再令这个角是 y， 比如这个角我们令它是 y， 对 吧？你告诉 x 加 y 等于多少度？它是一个直角三角形嘛？所以我们知道 x 加上 y 一定等于九十度，那你是 x， 你 是 y， 我 们刚说 x 加 y 等于九十度嘛，所以我们可以推出，那这个角百分百是一个直角， 对吧？所以我们把 ar 法加倍啦，直接把它放在了一个直角三角形中，你让我求整个大角它的正切值，对吧？你只要用这条边比上这条边就可以，那这个需要求出来吗？你可以把这个边求出来吗？你可以把这个边求出来，但这需不需要？求不需要， 因为你会发现这个三角形跟这个三角形相似比是几比几？我的一比上，你的二相似比是一比二吗？所以你用这个直角三角形的斜边比上这个直角三角形的斜边，那不就等于相似比吗？那不就是一比二吗？所以你把它的正切值呢？就是二分之一。 嗯，好吧，其实这个题主要考察我们所谓的一种转化思维了，我们接下来继续往后了，再来看一下我们今天的第二十二题，其实这个题你会发现呢，我个人觉得还没有我们前面那道圆难的 好。首先，在我们三角形 a、 b、 c 中，我告诉你， ab 的 ac 的 啊，就是 ab 这个红边，对吧？等于 ac 这个红边，这两个红边是相等的好 啊， d 是 bc 终点。你这么说的话，我觉得就有点看不起我，你连接 bc， 他 百分百是个等腰三角形吗？你取终点，所以也就是我们知道这个边等于这个边，对吧？你这会还知道这个角呢？一定是直角，对吧？这个角一定是直角啊，就这个角一定是 我标这里吧，一定是九十度，可以吧？嗯，好，现在你看它又给出一个条件，角 abc 谁啊？ abc 就是 这个角，对吧？它的角平分线，交 a， 交 a d 一 点啊，这是个角平分线，角平分线。那行吧，我就把它标出来，你这两个角角相等吧，就是咱们这个角，对吧？ 怎么样呢？哎，我画的稍微好看一点点吧，就咱们这个角怎么样？一定等于这个角， 两个小角相等，两个蓝角相等。好，问题来了，嗯，现在我们以 o a 圆心啊， o e 为半径，以 o a 圆心， o e 为半径干嘛呢？ 呃，点 o 在 延长线上面，对吧？我们画个圆。好，如果 ab 是 二倍根号三，你想想啊，你这是二倍根号三，对吧？你是二倍根号三，我也是二倍根号三，你 b d 是 刚好三呀，你 b d 是 刚好三。其实说白了它是个什么东西？各位同学们， 他不就是一个等边三角形吗？对不对？等边三角形，你现在让我求半径，这咋处理？等边三角形 每个内角怎么样？六十度，你平分这个角三十度，所以呢，你要知道没有问题吧？等边三角形吧，所以这两个角都是三十度， 你是个直角三角形，所以我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们要求怎么样呢？求圆的半径。哎，我把这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢？拿走 连一下，这不就是半径吗？嘿嘿，那，那你会发现剩下我觉得非常简单。为什么呢？这个边是半径吧， 这个边是半径吧，两边相等吧。等腰三角形，等腰三角形一旦含有六十度，他立马是个等边，对吧？这不百分百是等边，那其实说白了也就是我们这个角呢，他也是六十度，是不是这个角，这不也是六十度的直角三角形，你看看较长直角边是刚好三吧。 嗯，这个直角边是刚好三，所以你不管根据勾股定律还是特殊直角三角形三边比的关系，这个边呢，他是一，这个边呢十二， 所以也就是我们求了第一半，你十二，当然这个题的方法很多啊，对吧？方法非常非常多啊，我们在这里随便说其中的一种。好，我们把它清掉了。清掉了好，第一个的条件在第二个里面有能用吗？他就不能了，因为他说的弱吗？对吧？ 那所以你会发现这些长度呀，这些特特殊的线段呀，你就不能再用了啊。好，我们都把它清掉。好，接下来我们一起来看第二问清的。第二问是什么呢？是圆和 a d 延长线交界 f， 呃，你把 a d 延长，对吧？和圆交 f 点好， m 是 c f 的 中点好，也就是我们告诉你这两边相等的，对吧？这个边等于这个边。其实我们知道这是一个直角三角形嘛，直角三角形斜边中线一定等于斜边的一半，也就是这三条线段一定相等。好，接下来 连接 md， 边延长的交于 n 点，对吧？让我们求什么？求 b n 等于 b d， 哈哈， b n 等于 b d， 这太简单了，我们为什么这么说呢？首先你会发现呐，各位同学们， 咱们可以标注一些角度啊，也就是我们可以推出这个小的蓝角，它一定等于这个小的蓝角，对吧？等于幺三角形，两底角相等吗？ 而你要知道，这个角呢，是我们这一段弧所对的圆周角，那么一定等于这段弧所对的另外一个圆周角也是怎么样呢？咱们这个角它也是一个蓝角。 好，那到这里你会发现还有什么呢？这个蓝角它的对应角是谁？我先把你这个绿色的九十度清掉啊，好，它等于这个角，对吧？ 好，当我们知道这两个角相等之后，整个题目就结束了，为什么呢？因为你要知道咱们这个角是直角的，是吧？我们刚才已经标注出来了。嗯，好，你会发现呢，那也就是你跟我相加是直角九十度，那么我跟你相加自然也是直角九十度，没问题吧？ 也就你会发现咱们这是一个直角三角形，我标哪比较好？标这里，对吧？这个角一定是九十度，那这时你会发现 我这是一个三角形。那我顶角的角平分线吗？角 abc 的 平分线，一个三角形，顶角的角平分线同时是底边上的高，那么他一定是等腰三角形，所以也就是我们可以推出怎么样呢？哦，也就是 b， d 这个边呢？一定等于边，这个边证明完毕，搞定 好，接下来我们看最后一题。那么给出一个抛物线 y 等于 a， x 方加 b x 减三，与 x 轴交于 a 点，负四零啊，就是 a 点坐标呢，是负四零的，我们把它在途中呢，把它标注出来。 好， b 点坐标是一零， b 点坐标一零，与 y 轴交于 c 点，其实 c 点坐标我们也可以求出来，对吧？也就是零负三，我们看一下它到底想干嘛？ p 点是直线 a， c 下方抛物线上一点，也就是又在直线 a， c 的 下方，又在抛物线上，所以 p 点只能在这一段红色的圆。哎，这个，呃，弧线上运动好。 b 问，让我们求 a 加 b， 其实说白就是让我们求二次函数表达式啊，你想想知道，三个点坐标求二次函数表达式，我就直接省略了好不好。 y 等于四分之三， x 平方加上四分之九 x， 再怎么样呢？减去三，所以 a 等于四分之三， b 等于四分之九。因此呢，我们可以求出来 a 加 b 等于几，我们直接求出来。等于啊三， 好不好？简单，我们就过的稍微快一点点。好，这个题的第二个主要考察我们所谓的面积问题啊，好连接 a、 p、 c， p、 bc 啊，你会发现，把 a、 p 连接起来，把 c、 p 连接起来，把 bc 连接起来干嘛呢？ 好过 p 点做 x 轴的垂线啊，垂轴是 f， 和直线交一点，对吧？好，他帮我们做了很多线， 说当 p、 a、 c， 也就是这个三角形的面积等于五分之四倍的 a、 b、 c 等于这个三角形面积五分之四倍的时候，让我们求 p 点坐标。 其实我告诉你这个题常规的方法是什么呢？注意就是把 a、 b、 c 的 面积求出来，可不可以求知道 a、 b、 c 的 面积一定可以求出来，对吧？ 求完出，求完之后呢，那么五分之四倍的我们自然就会轻松搞定了，也就是我这个面积，整个三角形的面积等于一个固定的值， 你可以把这个三角形面积把它表示出来吗？用我们的牵扯法就可以了。在这里面我们会用到另外一个我个人觉得更加有意思的方法，叫做什么呢？叫做平行线的方法。什么意思呢？你想讲你这个三角形跟这个三角形，他们是不是有一条公共的底边？ a、 c 没有问题吧？ 那现在我要面积等于你的五分之四，底是公共的，是相等的，是重复的，我如何使得面积是你的五分之四呢？ 很简单，我只要使得 p 点到你的距离我的高和 b 点到你的距离，我只要使得这两条高是一个四比五的关系，说白了 就是我这条高是你的高的五分之四是不就可以了？好，如何保证我的高是五分之四呢？我们只要做一条平行线就可以轻松搞定了。首先呢，我们把直线 a、 c 把它画出来，那我想问一下，直线 a、 c 的 表达式咱们可不可以求出来？各位同学 一定可以，对吧？为什么呢？因为你要知道我们 a 点坐标是负四零， c 点坐标零负三吧，是吧？你是负四零，你是呃，零负三，呸，所以我们知道整个直线表达式一定给求出来，给我一点时间，好吧，零减负三三，呃，负四减零，负四三除以负四，也就是 负四分之三，也就是 y 等于负四分之三， x 再减去三。好吧，大家可以验证一下，你会发现量求的是对的。好，接下来我们过 b 点呢，直接做他的平行线，过 b 点做你这条直线的平行线。好，做完之后大概长什么样子呢？就大概长。哎，我把它画一下啊， 我把它画成虚线，可以吗？嗯，也就差不多长这个样子。那你要知道啊，两直线平行 k 是 相等的吧，你的 k 是 负四分之三，所以我的 k 一定也是负四分之三，对吧？好，那问题来了，我这个 b 怎么求呢？ 因为你要知道，咱们经过一零，我们不是随便画的平行线，我们是过一零点所做的平行线，有时候你把一零带进去，一定一定可以使得整个等式成立，对不对？所以你说你后面加的是几，你把一零带进去吗？横坐标零等于负四分之三，对吧？ 哎，有数量的我不理解，注意听清楚啊。你把横坐标一带进去吗？右边不就是负四分之三加上谁吗？等于左边你把 y 等于零带进去吗？是吧？所以你发现这里面就是四分之三了， 是不是你加上四分之三才能等于零吗？哦，也就是我们的屁股是什么呢？咱们后面这个屁股是加上四分之三。好，问题来了，各位同学，我如何使得 b 点到你的距离和你这个 p 点到你距离是 五分之四倍的关系呢？其实很简单，你首先看看他相当于往上平移了几个单位。我把这个都清掉啊，你想想从我们下面这个线到上面这个线，从这个线到这个线往上平移了几个单位得到的呀？你往上平移了，从负三到四分之三，他相当于往上平移了 四分之十五，相当于往上平移了四分之十五个单位，对吧？ 你往上平，我往下平移距离只要是你的四分啊，只要是你的五分之四是不就可以了？你往上平两个单位和往下平移两个单位之间距离相等吗？你往上平移和往下平移距离，对吧？哎，我往下平移，如果往下平移 四分之十五个单位，那么 p 点到你距离跟你 b 点到它距离百分百是相等的。但现在我要保证我的高是你的五分之四吗？那我干嘛？我直接乘以五分之四就可以了。理解，没有 咔嚓，咔嚓咔嚓也是。我们怎么样呢？往下平移三个单位就可以了。好，也是怎么样呢？我们往下移三个单位就可以轻松搞定了。 往下移三个单位我们可以得到什么样的直线呢？也就是差不多啊。哎，我随便画一下，在哪不知道啊，就差不多在这个位置，可不可以？嗯，大概长这个样子，你想想这条直线往下平移嘛，那也是在屁股上直接减三，对吧？所以也就是等于负四分之三 x， 你再减三呢？那不就减六了吗？哦，也就是我们这条直线上与抛线的交点就是我们要的 屁点了，理解没有？则是 b 到我的距离跟屁到他距离，我的距离一定是你的五分之四，面积就是五分之四，所以这个交点呢？这个就是我们的第一个屁，这个就是我们第二个屁。我们可以把所有屁点一个不拉全都求出来 好吗？可是问题来了，这个屁怎么求呢？太简单了，你讲讲二函数表达式，知道了你这个一函数表达式，也知道求二者的焦点简不简单？非常简单，对吧？使得它等于它构造方程吧。所以也就是怎么样呢？嗯，我写一下， 四分之三 x 平方加上四分之九， x 减三等于负，四分之三 x 减去六啊，这里的空间不够了，所以我直接稍微口算一下，给我点时间啊， 等一下我好不好？我同时移过去，四分之三 x 加上四分之二，也是加三， x 加上三分之四 x 方加上三分四 x 加上四。哎，刚我们求出来也就是他是 x 加二的平方，对吧？哎，等于零，所以我们求出来也是 x 一 等于 x 二等于负二啊。比如我们求出来 x 一 等于 x 二等于负二，其实这个意味着什么？各位同学们，就意味着也就是我们最终怎么样的。 它刚好是相切的，是吧？它只有一个焦点。为什么呢？我们算出来整个方程的解只有一个对应的数字吗？也是，我们求出来。你这个坐标呢？我写哪？写这里吧。哎，好不好？这里写不下，所以屁点的横坐标也就是负二，对吧？ 嗯，那纵坐标是多少呢？纵坐标。一个把屁点带到这里面去啊一个把屁点带到整个抛线里面去啊。那我们肯定带到这里面去了。乘一下二分之三减去二分之十二也是怎么样呢？等于负的二分之九 好不好？负的，哎，等于这个负的二分之九，我们直接写负的二分之九。好，我们写到这里。嗯，好，接下来我们再继续往后来看一下。第三问啊，其实我个人觉得第三问这个题 有一点放水了。你就是他属于角度的存在性问题，但是我个人觉得有点过于简单了。他是怎么描述的？你看啊，他是这么问的，有点过分。清掉清掉，都清掉，好不好？都清掉，这都不要了。 嗯，他这么说的。那同学们点 m 是 直线， a c 上方，抛线上一动点啊，又在 a c 的 上方，又在抛线上，所以要么在这一段，要么在这一段，对吧？哦，要不要分类讨论呢？嗯，并且使得 m a o 等于 o c a o c a 是 哪个角？ o c 是 这个角吗？就这个角的，它的大小多少呢？我不知道，但我知道这个角一定是固定的，对吧？哎，我只要舍得这个角等于这个角就可以了啊。其实你要知道啊， m a o m a o 是 什么呀？ m a o 其实你会发现 就是我们一条线。哎呦吼，就是我们这一条线怎么样呢？跟我们 a o 的 夹角，对吧？哎，我要跟整个 a o 的 夹角呢，会产生一个锐角，我要舍得。这个锐角怎么样呢？等于你这个角，是不是这个意思？ 好，其实正常情况下这个锐角应该有几个呢？应该是有两个的，为什么呢？我可以在你的上方产生一个加角，我使得这个加角等于你，对吧？我还可以怎么样？我还可以在你下方产生一个加角，对吧？使得这个加角，但你有办法下方呢？ 我们这个点就跟 c 点重合了，是不是？而且这个题目明确要求只能在抛线的上方，所以这个题我个人觉得它就比较简单，是不是？嗯，就这个点呢？就是我们的 m 点，这个该怎么求？这个我个人觉得比较简单啊， 我们在角度的存在性问题。我顺便说一下啊，整个初中阶段所有角度存在性问题，他只有三种方法，第一种方法干嘛呢？我写哪？我写这吧，好不好？第一种方法也就是构造全等或者相似。第二个就是干嘛呢？嗯，构造直角三角形斜边中线。 构造直角三角形斜边中线，好不好？来进处理。第三个干嘛呢？第三个做平行， 做平行啊，所有角度的存在性问题用这三个方法都可以搞定，比方说在正面，原来呢，我们该怎么处理呢？其实这个理我觉得用这三种方法中的任何一个都有点小题大做了，我怎么样使得这个角等于这个角呢？ 你这个题太没有水平了，你其其实直接把 c 点对吧？你对称上去找 c 一 撇啊，这两个角是不就相等了？其实我们这个原理是什么呢？这个原理它就相当于是构造全等啊，明白了没有？嗯，好，也就是我在这先把这个线清掉， 好不好？咱们首先找一个对应点，四点坐标是零三吧，我又找出一个点，使得这个点的坐标，是啊，零负三，我找出这个点是零三，这样的话，我这个点跟这个点啊，是不是就对称的？对称完毕之后，你会发现，你一旦把它连接起来连一下， 你这么想吧，其实你这么连，对吧？这个三角形跟这个三角形是不一定全等呀，全等三角形对应角，对应角自然就相等了，是不是？所以一定相等，你把这条线延长吧。哎呦，你这个还有点为难，我还把它延长， 对吧？延长。所以你要知道，这个点就是我们要找到 m 点，此时 m a、 b 呢，指的不就是这个角吗？它自然就等这个角了，是吧？ 那剩下我们该怎么求解呢？一样道理非常简单喏，我们知道 a 点坐标，知道这个点的坐标，知道两点坐标，求这个一次函数表达式非常简单，等于三减零，等于三零减负，四三除以四，四分之三，哎，口算一次函数 四分之三 x 加上三就可以了。好，现在你会发现，知道一次函数表达式，知道二次函数表达式，求二者的焦点，这个求焦点还需要量去描述吗？ 使得这个函数和这个函数表达式相等，对吧？也就是四分之三 x 平方加上四分之九 x 减三，等于什么呢？等于这个东西我真的担心，有些同学可能我不构造，他就觉得有点卡壳啊，所以最终我们求出来整个方程的解是什么呢？ 呃，等一下，我觉得我用表达定理求是不是更快一些？移过去，移过来，负六，对吧？二者相乘等于三分之四，乘以负六， 负八，负四二，对吧？也就是我们的 x 一 呢，等于负四， x 二呢？等于二，是吧？这个方法我们也会讲哦，在这里面我们就不再多说了啊。你说我们最终求出来有两个焦点，一个焦点横坐标负四。为什么呢？因为这条线与抛线的焦点是 a 点吗？横坐标不就负四吗？ 所以另外一个焦点横坐标是二，也就是指的是 m 点的横坐标是二。纵坐标呢？你肯定带到这里面去吗？ 嗯，二分之三加上二分之六，也就是怎么样呢？二分之九好不好？所以我们求出来也就是 m 点的坐标， m 点的坐标，横坐标二，纵坐标二分之九。搞定，跟着亮亮无脑学习。

哈喽，各位高三的同学和家长们，今天咱们深度分析一下这套二零二六年高 三第一次适应性检测数学卷，帮你找准提分方向。这套卷子几乎把一轮复习的核心考点都考全了， 基础题占百分之四十，向负数运算集合交集、正态分布这些只要概念吃透，计算细心，就是送分题。中档题占百分之四十，比如等差数列、双曲线、离心率、立体几何、垂直证明， 需要一定的逻辑推理，但掌握方法后完全能拿满。答题只占百分之二十，集中在函数、零点四面体、结面、椭圆导数综合，用来区分顶尖学生 基础扎实能拿多少分？如果你的基础知识很扎实，基础题和中档题基本不丢分， 难题只拿步骤分，或者适当放弃，保底能拿一百零五分以上正常发挥，稳定在一百一十到一百二十分发挥出色，甚至能冲击一百二十五加。 在答题的过程中，选择题优先用排除法、特殊执法提速，别死算解答题一定要先易后难，步骤写完整，哪怕最后结果错了，步骤分也能保住。遇到难题别死磕， 先把会做的题全做对，才是最高效的得分策略。最后，大家可以先回归课本公式和定理，把基础漏洞补牢， 每周限时做一套模拟卷，训练时间分配和应试心态，重点刷错题本，避免重复犯错，提分才会快。祝大家高考数学加油，金榜题名！

二零二六高三数学每日一题第十八天山东青岛异模 t 十七导数同学们好，今天为大家推荐的呢，是山东青岛的异模二零二六年的题的第十七题。 那么这道题呢，主要考察的是，嗯，函数当中的导数的单调性以及最值的问题。那我们首先来读一下这道题，嗯，已知 f x 等于 ax， 方减零 x。 第一问， 让你讨论 f x 的 单调性，那这个呢，是一个比较常规的含参的问题，求单调性的问题啊，我们来嗯，解一下这道题。第一问， 那么求单调性呢？首先呢，第一个呢，我们要先求定域，因为这块有 lo x， 所以 这 x 要大于零。那我们说由提得 啊，由提得 x 应该是一个大于零的数啊。求完定域之后呢，单调性，对于比较复杂的函数来说呢，我们需要对它进行求导，所以说能够求出 f p x， 整理一下 ax 平方导数是二 ax 再减去零， s 导数是 x 分 之一 啊，等于这个式子。嗯，那这里面呢，我们来分析一下，因为这里面的 x 是 一个大于零的数，所以 x 分 之一也大于零，那负的 x 分 之一呢，它应该是一个小于零的数。那第一种情况，如果 a 要是一个小于等于零的时候， 那前面这式子小于等于零，后边这式子也是小于零。所以说 f x 它永远都是小于等于零，它如果小于零，更准确的说，应该它是应该是小于零啊，小于零，因为这个 x 呢，它不能等于零。 嗯， f x l p x 小 于零， l p x 小 于零，那么说明这个 f x 它在零到正无穷上应该是为单调递减的， 为单调递减，那这个呢，是比较好得分的。第二个呢？第二种情况就是 a 大 于零时，当 a 大 于零的时候，我们要解这个不等式的话，就是二 a x 二 a x 减 x 分 之一，如果要大于零的时候呢，那么 f x 就是 增的啊，否则的话呢，就是一个减的。那我们解一下，当这个二 a x 减去 x 分 之一，我们先通一下分，它应该等于 x 分 之二 a x 的 平方减 x， 它如果大于零的时候，它大于零的时候呢？那底下这数大于零，所以上面数是大于零的，可以提出一个 x 可以 解出这个 x 呢是 呃，是大于，就是二 a x 就 大于一，所以说 x 大 于。呃，二 a 分 啊，这块是减一，这块是减一啊，通完分之后，这块是减一， 那就是啊，二 a x 的 平方呢，应该是大于二 a x 的 平方。大于啊，那也就说这个 x 方是大于啊，大于二 a 分 之一的， 那这个此时呢， x 呢？就大于根号在二 a 分 之一，就是二 a 分 之，根号二 a 啊，二 a 分 之，根号 a， 那 同理，当这个二 a x 减去 x 分 之一，它如果小于零时， 那它应该是递减的，它小于零的时候呢，那我能够解出 x 呢？应该是呃，跟这方法一样，小于二 a 分 之根号 a， 但它定律得是大于零，所以说我们就可以知道了，通过这个可知道，那么当 a 小 于等于零时下结论， f x， 它在零到正无穷上应该是单调递减的 啊。当 a 如果大于零时， 当 a 大 于零的时候呢，它应该是呃 f x， 它在因为是 x 大 于这个数的时候，就在根号二 a 比上二 a 到正无穷时，为单调递增， 为单调递增，那么 f x 它在刚才解出小于，这个时候就是零到根号二二 a 比上二 a， 这时候呢，它应该是单调递减。 那这个呢？第一问呢，我们就讨论出来了。之后我们来看第二本， 第二问，他说若存在，那我们把这个存在呢圈上一下，它是存在性的问题，所以说它不是横乘立的问题，是存在性的问题。 存在 x 一， x 二属于啊，一到三的时候， f x 二减去 x 一 大于等于十，得 f x 一 等于 f x 二，求 a 的 最大值，那这里边因为有参数啊。 呃，那我们想一下，如果这个函数是 a， 如果小于等于零的时候，它是不可能存在的，因为 a 小 于等于 f x， 它是一个递减的一个减函数，不可能存在两个函数值相等。所以说我们通过讨论呢，一定是 a 一定是大于零 的， a 一定大于零呢，我们又知道，呃，它是这个 f x 在 零到根号二 a 啊，比上二，应该是单调递减的，所以说这个函数呢，它应该是，应该是先减后增的这种感觉，嗯，应该是这种感觉， 这种感觉呢，它有 f x 一 等于 f x 二，比如说这块有个 x 一， 它不一定是对称的哦，就是随便画的一个辅助大家理解的 f x 一 呢，它又等于 f x 二， 嗯，所以说，那这里边呢，这个 x x 二呢，它还属于一到三之间啊，属于一到三之间， 让你求这里边的 a 的 范围，那我们一定是会把这个啊， x 一 和 x 二呢画成同一个，要么都用 x 一 表示，要么都用 x 二表示。之后呢，啊，对，它呢，就是求一个存在性问题的，呃，方法来对它进行求减，我们来看一下吧。 那我们知道，通过这个刚才老师的分析，这个极值点就是用 e 的 这个极值点，极值点应该是二 a 分 之，根号二 a 啊，就是根号二， a 比上二 a， 它一定是介于一和三之间的，要不然它就不可能出现 x c s 二两个值，所以说它应该是小大于一小于三的。 呃，完了之后呢，因为这个 x 二减去 x 一 是大于等于一的，所以也就是 x 二应该是大于等于 x 一 加一。 那这里边呢，因为这个告诉你的是 f x 一 等于 f x 二 啊，所以说呢，我这个 f x 二呢，我们就可以知道，它呢，应该就是把这个 f x 二呢，它应该是，你看啊，右侧左侧是 x 一， 右侧比如说是 x 二， 所以说它应该是位于上升的这段区间，所以说这个 f x 二呢，它就大于等于，根据这个性质，大于等于 f x 一 加一。 嗯，这个式子，那也就是说能够得到 f x 一 应该大于等于 f x 一 加一的，嗯， 那它大于等于它的话，那我们就可以把 f x 一 求出来了。 f x 在 这里， f x 一 呢，就是 a 倍的 x 一 的平方，再减去零 x 一 就大于等于 a 倍的括号 x 一 加一的平方，减去零 x 一 加一， 转换成这种形式，因为我要想求的是 a 的 取值范围，所以说呢，我要把 a 呢对它进行分离出来， 那如何对它进行分离呢？呃，我们这块呢，实际上就是把这个呃所有含有 a 的 式子放在一侧，那就是 a 倍的 啊， x 一 方减去括号 x 一 加一的平方，这是 a 倍的，它大于等于把负的 log 一 挪到右侧去负的 log 啊， x 一 再减去 log 一 加一。 呃，整理一下这个右侧呢，它呢，应该就是。所以啊，这个 x 一 啊的平方减去 x 一 加一的平方，可以对它进行化解啊，它就变成了 a 倍的 啊，这里边应该是整理一下，应该是负二倍的 x 一 啊，之后再减一， 它大于等于。呃，那这块呢，我提出个负号，这样呢容易化解，它就变成了 low 括号 x 一 加一，再减去 low x 一 这个式子。啊，因为这里边的 x 呢啊，它是大于零的，所以说这个数应该是个负数，所以除一个负数的话，变号 a 就 小于等于，那这块有符号跟它符号就放在一起，就是二倍的 x 一 加一 分支，这是除法，除法应该是减法小于 x 一 加一， 再比上 x 一， 整理一下，等于 lo x 除以 x 等于一，再加上 x 一 分之一，再比上二倍的 x 一 加一。 那这个其实这个 a 小 于等于这个式子呢？后边这个式子它因为是存在性问题， a 小 于等于，它是不小于它最大值就可以啊，所以说我把右边的最大值求出来就可以。那这里边呢，我就设这个，一个大 f x 构造一个函数，等于 lo 一， 再加上 x 分 之一，比上二 x 加一。大 f x 确定完之后，我要对它进行求导，大 f p x 等于啊，就用上的乘以下减去上乘以下的比上下的平方。算完之后呢，应该是等于这个式子一加上二 x 的 平方，负的一加二， x 比上，嗯， x 加上 x 的 平方 之后，再减去二倍的 lo 括号一加上 x 分 之一啊，应该等于这个式子啊，那这个式子呢？这个我们知道，这个 x 一 啊，它应该是， 嗯，这个 x， 这个 x 其实就是我们啊上面所说的 x 一， 所以说这里边的 x 呢，应该是 x 一 的范围，它应该是一在这个极值点之间，所以它应该是属于一到一到根号二， a 比上二 a 之间，等于这个式子，那你会发现啊，它应该是个正数，所以说这个上面这些数，它应该是放在一起，应该是负数，下边是正数，那你说它应该是一个小于零的数， 它小零说明这个大 f x， 它应该是在这个一到根号二 a 比上二 a 上，应该是递减的，它递减，所以 f x， 它的最大值应该就等于 f f 一 啊， f 一 呢，代入这个式子呢，算出等于零二 比上三来绕二比三，那你就说此时 a 应该是小于等于三分之二，那这块再说一下，这个这个性质是不是就是当 x 一 等于一， x 二等于二的时候，应该取的等号啊， 那么 a 小 于等于绕二比三的时候，所以 a 的 最大值就算出来了， a 的 最大值为 啊三分之零二。我觉得对于啊所有的考生来说呢，其实这道题的思路呢，并不难，但是在计算的时候，可能哪块啊出点差错呢，就会导致越算越麻烦啊， 所以说这个呢，这道题呢，也是我们我觉得也是我们高考的一个趋势，就是中这个运算量，也是运算量，也是就是检验这个数学学的好与坏的一个标准嘛。所以说我们啊，平时呢，要遇到这种题的时候呢，要多运算啊，多运算 自己要尝试算，否则的话你在这个考场的时候啊，可能都没有信心了。就那这道题呢，我们就讲到这里啊，那希望同学们呢能够认真去再做一遍，同学们再见。

二零二六，青岛中考怎么准备？你现在准备好了吗？你能上一百一十分吗？用一份卷子就可以检验青岛市市南区二十六中的七初数学试卷，这份试卷呢，我学生考了一百零七分，然后是级部第七名，然后也有考一百一十一的， 然后就是级部前五了。那么现在哈韦老师来说，这份试卷为什么能够检验你中考能不能上一百一两个标准？首先第一个，我们来看一下这份试卷呢，完全是按照一个中考标准来出的， 函数多结论题几何多结论阿是圆最小值探讨瓜豆原理最小值动点模型，这些真的是最难的点，那全集中在一份卷子上，真的让这份卷子难度难上加难。 这些知识点的考察范围，题型也全都是按照青岛中考的风格来定的。全卷的大部分也都是山东省最新的中考原题，第二题、第三题、第四题是东营中考原题，第七题是滨州中考原题，第九题是济南中考原题。然后第十五题是东营中考原题，也是填空的押题。 第二十二题呢，是济南常青的一模原题，二十五题是莱西去年的一模真题。所以说想上一百一十分的孩子，你必须要做这样子的一份卷子，这份卷子大家可以领取，回复九八五级可以领取，检验一下你现在的一个水平。 为什么我说必须要做山东省的中考原件呢？因为山东省的题目啊，他比较新，尤其是选填青岛，十分的爱借鉴，现在青岛还是自主命题的个状态，你去做山东省的原件，可以看到最新省内的出题方向， 还有可以领取韦老师最新出的这样子十一份一模押题卷。这十一份一模押题卷我全都是按照最新的山东省题目来出的，也有部分是青岛考过的题目，总之题目的结合我设置了很多巧思，有很多坑， 适合大家练手，需要这份开学考试卷。二十六中开学考试卷回去练手和韦老师出的这一份押题卷的可以回复九八五。

十八题是一道不错的概率数列结合的题目，难度并不是特别大，但是对思维的要求比较高。应该我觉得对大部分同学而言，比同样位于十八题的圆锥曲线或者倒数更容易拿分。 先看一下题，在人工智能模型中，有一种词源生成器模型，只有两种词源， a b， 且生成的总数不超过二 n， 也就是不超是一个偶数。如果生成 a， 则立即结束，否则继续生成，直至总数达到二 n。 这种感觉就好像是说，呃，某个人在做一什么游戏，如果赢了就结束，如果输了就继续做。看起来是这种意思。 每个词源生成需要先预测再审核，假设每次预测为 ab 的 概率均为零点五，且各自预测，相互独立审核，规则如下， 我就不一一念了。设 x 表示过程结束时生成词源的总个数。这个就有点像做游戏的时候说，设 x 表示游戏结束时游戏进行的总局数。然后求下面的东西。 这题应该看得出来，这里面肯定是有二项分布，只是说到底是以什么形态出现，因为它每个概率都是二分之一，且无论是审核还是预测，同样概率都是二分之一， 完全符合独立重复，且概率已知。那我们先看第一小问。 求 ps 等于一和 ps 等于二。 ps 等于一是非常容易的， x 等于一，那只能就是一次，一上来就结束，一上来结束，那就需要生成 a， 它是先生成啊，先预测再审核，那也就是说只能预测是 a， 并且审核它也是 a， 这样等于四分之一， 这是 x 等于一。接下来看， x 等于二， p x 等于二， 如果两个词原就结束了，相当于第二次必然是 a， 而第一次有可能是 a， 也有可能是 b。 假设第一次是 a， 概率是二分之一，那么这次必然生成的是 b， 而不是 a， 否则第一次就结束了， 那么生成 b 的 概率是二分之一，然后第二次必然是 a， 且这次由于是第二次出现 a， 所以 审核后必定生成 a， 就 不需要再乘其他的了。 如果第一次是 b， 概率是二分之一，必然生成 b。 第二次由于必须生成 a， 因此预测的要是 a， 且审核后也要是 a， 这样计算一下四分之一。 下面第二问求 x 的 分布列。像这类游戏到了一定的局数要强制结束的，我们肯定最后一局都需要单独讨论。 这道题也是一样，对于 x 等于二 n 的 时候，我们是需要单独讨论的，那么我们先讨论 x 在 二 n 之前。就是比如说我们记 x 等于 k， 当 k 在 一到二 n 减一时，这个时候我们考虑总共是 k 次， k 次结束，那么 d k 次必然生成的是 a。 我 们仿照刚才算 p x 等于二的时候， d k 次必然是 a， 那 么前 k 减一次有可能全是 b， 也有可能出现一次 a， 但是出现那次 a 只能是预测为 a， 审核必然为 b。 所以 这就是前 k 减一次可能出现的两种情况。 第一，如果前 k 减一次，均预测 b， 这稍微写完整一点预测词原 b， 那 么它的概率 我们考虑。由于总共是 k 次，那么二分之一的 k 次方肯定是跑不了的。 就是不管这 k 四到底是什么情况，因为他每一次都要预测，所以总共肯定要预测二分之一的 k 四方，这个是肯定跑不了的，只是我们考虑还有没有可能再乘点什么别的东西。 如果前 k 减一次都是 b， 那 么 d k 次必然是 a， 且预测为 a 生成为 a， 所以 还需要再乘一个审核之后的是 a 的 概率，这样是二的 k 加一次方分之一。 大家不理解的话，我再讲的详细一点，这个二分之一的 k 次方，它事实上可以拆解为二分之一的 k 减一次方，这是前 k 减一次均预测次元 b， 然后再乘个二分之一，这个二分之一指的是 d k 次预测为 a， 这样就是二分之一的 k 次方的由来。 好，接下来如果前 k 减一次中有一次预测词原为 a， 此时的概率 同样还有一个二分之一的 k 四方，这个是保底的，它的原理跟刚刚讲的是一样的，我就不再赘述了。然后我们看还需要补点啥。 前 k 减一次中有一次预测为 a， 根据二项分布，应当是在这 k 减一次中任意选择一次即可，所以需要乘一个 c k 减一。然后 这次还必须得是预测为 a 生成为 b， 那 么审核的时候还要有二分之一的概率使得它生成为 b， 这样计算一下，它的概率是 k 减一，除以二的 k 加一次方，那所以 p x 等于 k， 此时应当等于这两种情况相加，也即二的 k 加一次方分之一加上。 也就是 接下来如果 x 等于二 n， 下一种情况，当 x 等于二 n 时， 最后一局由于是强制结束，所以最后一局本身我们是不需要分析的，我们只需要分析前二 n 减一局就可以了。所以这种情况下， 前二 n 减一局，或者说前二 n 减一次均预测为 b， 那概率显然就是二分之一的二 n 减一次方。 第二种情况，前二 n 减一次，有一次预测了次元 a， 跟上面的操作方式一样，首先它还是有二分之一的二 n 减一次方，然后再看需要补啥。 同理，这二 n 减一次中，任何一次我预测次元 a 都是可以的，并且这次还必须要生成 b。 这样计算一下，是二 n 减一乘以二分之一的二 n 次方，所以 p x 等于二， n 等于它们俩相加，加上 等于二， n 加一乘以二分之一的二 n 次方。既然我们已经把概率算完了，自然分布列也就出来了。故 x 的 分布列 从一、二、三中间省略一直到二 n 减一和二 n 对 应的概率，由于刚刚我们都已经算过了，所以咱们直接往里代数就即可。当 x 比二 n 小 的时候，它对应的概率是二的 n 加一次方分之 n， 所以 这里我们直接写即可。 第三项，二的三加一次方分之三，也就是二的四次方分之三，这是十六分之三， 中间省略二 n 减一，就是二的二 n 次方分之二 n 减一。最后一项，刚刚已经算过了，二的二 n 次方分之二 n 加一。 下面看第三问。咱们令企业第三问求的是 p x 等于二，在 x 小 于等于 n 的 条件下，这个条件概率看起来还是比较好求的。 事实上，等于 p， x 等于二，且 x 小 于等于 n。 然后 上面 x 等于二，且 x 小 于等于 n， 那 显然就是 x 等于二。下面 p x 小 于等于 n， p x 小 于二，第一问已经求出来了，它就是四分之一。所以事实上我们需要求的就是 p x 小 于等于 n。 刚刚我们求得当 x 小 于二 n 的 时候， p x 等于 n 是 二的 n 加一次方分之 n， 那么求 p x 小 于等于 n， 实质上就是求以它为通向公式的竖列的前根向和。而这个造型相信大家再熟悉不过了，这就是一个等差竖列， n 乘以一个二的 n 加一次方分之一。等差乘等比 求前项和自然使用错位相减法，这个相信大家是真的熟的不能再熟了。好，那我们简单写一下过程。第三问，由于之 p x 等于二等于四分之一， p x 小 于等于 n 等于四分之一加四分之一加 二， n 加一分之 n， 它事实上就等于 i 等于一到 n， 二的 i 加一次方分之 i， 相当于就是求这么一个竖列的前项和，那么我令 令这个概率等于 s， 这样我看得更舒服一点，则 s 等于。这个时候，由于我们要错位相减，所以我们把像这两个四分之一都写成它应该有的样子，也就是 二的平方分之一加二的三次方分之二的四次方分之三。一直加到二的 n 加一次方分之 n。 等差乘等比中的等比数列公比是二分之一，所以两边同乘二分之一，然后错位二的平方分之一。二的三次方分之一。第一项空开二的四次方分之二加上 最后一项的正下方，应该是它的前一项乘以二分之一，也即二的 n 加一次方分之 n 减一。不要忘记还有最后一项， 此时两式相减， 左边 s 减二分之一 s， 那 就是二分之一 s。 右边二的平方分之一加二的三次方分之一，一直加到二的 n 加一次方分之一，最后再减二的 n 加二次方分之 n。 前面这显然是一个等比数列求和，是一个以四分之一为首项，以二分之一为公比，且共有 n 项的等比数列求和，所以是一减二分之一分之四分之一乘以一减 二的 n 次方分之一。注意，总共是有 n 项，所以这里是 n， 然后再减去二的 n 加二次方分之 n。 稍微计算一下，分母是二分之一，上面是四分之一，相当于乘以二，也就是二分之一。减去二的 n 加一次方分之一，然后再减二的 n 加二次方分之 n。 这是右边，左边还有个二分之一，不要忘记，故 s 等于我们两边同乘以二，这项就是一，这项变成 二的 n 加一次方分之二。最后一项二的 n 加一次方分之 n。 简单整理一下，就是一减去二的 n 加一次方分之 n 加二。那这样 p x 等于二，再 x 小 于等于 n 的 条件下，它就等于四分之一。除以一减二的 n 加一次方分之 n 加二。 这里简单化解一下，就是二的 n 减一次方比上二的 n 加一次方减 n， 再减二。这样这道题就结束了。 说实话，这道题的第三问是真的没有太多难度，只要大家把这个呃说游戏也好，说规则也罢，把这个东西整清楚。这道题我觉得在考场上，咱不说拿满分，拿个十二分十三分应该是没有太多问题的。

好，今天呢，我们来评讲一下我们刚刚考过的一模考试的一个数学试卷，嗯，那本视频呢，主要是从单选和多选择题啊，给大家去讲解 啊。首先呢，我们来看啊，看第一个题，第一个题呢就是一个集合问题，但是这个题呢，实际上是一个易错问题，是一个易错问题啊，通过这些题呢，我们去给大家复习这些相应的知识点 啊。那首先呢，我们看其集合 a， 集合 a， 它 x 属于 n， 那 么这里面第一个易错点就是这个 n 啊，同学们做的时间长了，他就忘记了， n 呢是自然数，它包含零啊，包含零一二三四这些正整数。那所以我们在解这个不等式的时候，一定要注意一下，就是它是含零的，那我们首先呢对这个式进行一个因式分解，进行一个因式分解， 然后我们看这里面配啊，十字相乘法的话是一负一，然后一三，因此呢它一式分解以后呢，写成这样的一个形式，然后我们画的是啊，这个二函数，相应的二函数，那对应的方程的根呢，是负一和三，然后开口朝下。 那因此我们解集大于零的话，对于集合 a 来说啊，它这个地方就是 x 大 于负一，然后小于三，那么因为呢 x 它又得是什么呢？自然数，所以对于集合 a 来说，它等价于零一和二。 好，这是集合 a 中的注意事项，就是 n， 可能时间长了容易忽略零。第二个是对数型函数的一个解不等式， 那么我们看就是你在解对数函数对数不等式的时候，一定要注意，真数怎么样呢？是大于零的，这也是一个第二个易错点。 那么这个呢，我们可以转化成是以二为底 x 小 于二呢，它可以转化成是以二为底四的对数，那因此这个对数不等式的话，它的解集就是小于等于四。同时咱们不要忽略了零 啊，因此集合 b 呢，他看成是一个 s 集合的话，他应该是零到四啊，零到四，左开右闭，那对应的话，我们再去求交集啊，最后再去求交集的话，他就很好求了。那最后的交集应该是什么呢？应该是一个整数 啊，同时呢，他不包含零，所以应该是一和二，那么正确答案选的是 c， 我们在做这个，呃，第一题集合问题的时候一定要注意，比如说第一种啊，易错的是分式形啊，分母不能为啊，为零啊。第二个呢，是对数形啊，对数形，我们强调的是啊，真数大于零。 第三个呢，你要区分是 z 整数级啊，自然数级和啊正整数 n 星啊。第四个呢，你要分清楚是求的是交集并集还是补集还是补集啊。第五个呢，你要注意清楚，是求的是元素个数啊， 是元素个数还是子集个数啊，还是真子集个数啊，这是第五个。那么第六个呢，我们强调的是什么呢？强调的就是啊， 呃，强调这是子集，那我能想到的易错点啊，就这些。还有一个很重要的就是你的竖线前面是元素还是点啊？这些都是我们在做集合中问题所容易出现的，所容易出现的易错点。 好，接下来我们看一下第二个题。第二个题呢，是他考察的是百分位数，他考察的是百分位数啊，这个百分位数我们应该怎么做呢啊？ 我们通过观察，其实在题干已知信息中啊，他是从小到大已经给大家排过了。那我们的百分位数在做题的过程中啊，第一个一定是从小到大 啊去排列，从小到大去排列，然后第三个，第三个是屁分位数。第二个是啊，就是屁分位数，应该怎么求？我们先数一数，题干信息中有几个数字，我们 n 乘以屁，如果是一个整数 啊，如果是一个整数，比如说啊，比如说它等于 k 了啊，整数，那我们就取，我们就取 ak d k 的 数和 d k 加一个数的 平均数。好。第二个，如果 n p， 它为什么呢？它为小数，它为小数部分啊，也就比如说我们取的是大概是七点五，对不对？那我就取下一个 a 八 数作为这个 p 分 为数的一个求值。那因此我们看一下，对上面数字来说，我们从小观察到他是从确实是从小到大排的，那这一步我们就可以不用去处理了，那么我们依次标上一二 三四五六七八啊，我们按照刚才老师教给大家的这个百分位数的求法，我们来去实施，然后我发现 n 是 几， n 是 八，然后他又求的是百分之七十分位数，那么 n p， 也就是啊，八去乘以零点七五 啊，相当于八乘以四分之三啊，八乘以四分之三，那它应该是一个六，那我们发现呢，它是一个整数了，那因此此时的话，我就取第六个数和第七个数的平均数啊， n p 为整数，就取这个整数和下一个整数的平均数。如果是一个小数，那我就取比它大一，比它大的一个最小的整数就可以了。所以我们就选取第六个和第七个的平均数，也就是二二三，然后加上二五二，然后除以二， 算出来的话，应该是啊，四七五除以二，那最后是二三七点五啊，二三七点五 啊，这个地方他应该是二三七点五，你看这个是标错了啊，这个是标错了， 好，是标错了，答案应该选的是啊，二三七点五。好，这是第二个题，那我们在一楼复习的，在在这个二楼复习阶段，就是我们如何做到查漏补缺啊？如何做到啊？查漏补缺，那就是说我们啊， 我们如何有效的去复习？就是我们看到一个题，我们错的时候，我们一定要去啊，去了解，去啊，反复的去复习啊，去复习我们的这个知识盲区啊，知识盲区，那下次出到别的你也会啊，比如说我们下次出到了小数点，那你也是 会求这个百分位数的，这种问题是不容不允许丢分的啊。然后我们看第三题，那么第三题呢？实际上他考察的是比较复杂的这个问题啊，那我如何去下手？首先我们看到这个周期派，还有他的一个指令哈， 啊，我们去用排除法去做一下，那首先我们看一下，就是说它的这个，呃，既然它的周期是派，我们去验证一下，那周期是派的话，我是不是横有 f x， 它就等于 f x 加派 啊？那我去验证验证，如果它是 x 加派的话，它是 x 加派的话，那么与原来的啊，与原来的这个函数究竟是否是相等的关系啊？那么口算 x 加派对不对？好，这里面呢，实际上就是大家 还有还有个注意细节，就是说在做题的时候，其实他后面是一个乘法啊，是口三 x 乘以后面这个框里面的绝对值函数，然后去乘以括号啊，那就是三 x 加派， 然后再减去啊，三 x 加派，那实际上呢啊，他这个题放在第三题的位置啊，很容易吓到同学们啊，那我觉得他第一个知识点呢，应该是考察大家的，是 啊，诱导公式的一个应用，诱导公式的应用，那比如说我 f s 加派啊， f s 加派，它等于什么呢？它等于这个是负口三 x 对 不对？然后我去乘啊，中括号里面是负的 三 x， 那 绝对值里面对它是没有影响的啊，绝对值里面对它是没有影响的，那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面是没有影响的。那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面，其实是负的，但是有加了一个绝对值 啊，所以最后的 f x 啊，它加个 pi， 它加 pi 应该等于什么呢？应该这个有符号， 这里面也有符号，所以负负为正了，就是口三 x， 它乘以啊，三 x 怎么样？加上三 x 的 啊，绝对值啊，这是这样的一个函数，那我们很明显发现啊，就是这个函数，它其实跟原来的这个负负号是不对的，所以说它的周期不会派，那因此我们在 cd 之间去选 啊， cd 之间去选，也就说它的周期一定是二派，那我们每个函数它周期啊，这个口三 x， 它的周期是二派啊，绝对值是派，那综合完以后，它周期就是二派啊， 我们也可以去验证啊，这是啊，第一层面去通过周期去算。第二是值域，那在算值域的时候，我们就不得不去考虑绝对值函数的这个， 呃，如何去拆分啊？它的本质呢？就是一个绝对值的一个拆分，我们知道 x 的 绝对值，那分两种情况，它大于等于零的时候，就是它的本身， 如果它小于零的话，就是它的相反数。那因此对于 sin x 来说，我们先画出啊 sin x 的 整体的一个图像啊，整体的图像，那么整体的图像它是这样的一个趋势啊，它这样的一个趋势，这边是 pi， 这边是二 pi， 那 因此对于 sin x 的 绝对值来说啊，我，我整体来去啊去处理啊，这部分。 好，我们来看一下，那他就分两部分啊，第一个是啊，当 x 我 就先研究一个周期就行了，因为我的周期是二派啊，大于等于零，然后小于等于派的时候， 它的这个三是不是等于它本身，所以减完以后是一个零。如果是大于派啊，大于派，然后小于等于二派的时候，那它会多少呢？它是一个负值，所以我们看它实际上就是三 x 呀，然后加上，因为你提个符号，负负为正，加上三 x， 那他所以就是一个二倍的三 x。 好， 那么接下来呢，我们来看一下，就这个地方呢啊，这个地方，我写到这个步骤以后呢，就是我对这个括号里面呢进行一个处理。 那接下来呢，我再结合口三 x， 所以 原来的函数，整体来说他也是一个分段函数，那么零乘任何数是零，所以在啊零到派上啊，他这个是零，然后呃，在派到二派上，他是一个这样的一个 呃，这样的一个二倍的三 x， 所以 二倍的三 x， 原来 s 相乘的话，实际上就是二倍的三 x 乘以口三 x， 那 么这里面的它的范围呢？就是派到几？派到二派啊？ 派到二派，那么这个地方呢？我们啊，刚才呢，我们是考察了诱导公式啊，考察了诱导公式， 然后这个呢，又考察了绝对值函数，同时又考察了一个背角公式，所以它的啊，综合性是比较强的啊，综合性比较强的，从前面题已经开始啊，这个考察大家知识点是比较多的，那这个的话，我直接就换成是三 e 二 x sin x， 那 么整个来说，我们去画出 sin 二 x 图像， sin x 图像，那么 sin 二 x 图像，它的周期呢？是派啊，它的周期是派，然后这个是派，对不对？ 这个是呃，相当于是呃周期呢？为什么是派呢？是二派，除以它的系数是 二，所以周期是派，我们先画出呀，三 e 二 x， 它的完整的图像啊，完整的图像啊，大概是这样的一个趋势，对不对？然后我们再去 啊，再去描述这个是二派了，对不对？好，现在呢，我们去综合的去看一看啊，原来我们这个本期中所想要的零到派，我们现在去看综合了零到派上啊，它是零，所以我们整合完以后的 f s 函数，零到派上是零， 然后呢，派到二派是三 e 二 x， 那 么三 x 的 图像是这样去画的啊，是这样去画的， 所以说整个来说呢，我们最后的啊，这个这个值域呢，应该属于什么呢？应该属于负一到一啊，所以本题的答案选的是 c 啊，本题的答案选的是 c 啊，我们看到这种复杂的问题，一定要从题干去下手啊，不要害怕， 那我们第一层呢，我们再复盘下，第一层呢，我们通过周期去筛选啊，那如果派是周期呢？是不是横有 f x 跟 f x 加派相等，那发现它不等啊，发现它不等，那这样的话，我们的周期肯定就是二派了， 肯定就是二派了。然后接下来呢，我们去求它的值域，我们在求值域的时候可以分两段啊，可以分两段，就是我们先研究三 x 减去它的绝对值 啊，我们该如何去处理，那去绝对值就考虑三 x 什么时候为正啊，零到派上是正的，减完以后是零，然后派到二派呢，它是负的，负负为正，所以是二倍的三 x， 那 这个时候呢，我们不能单独的看二倍三 x 的的之余和口算的之余，我们要联合在一起，是吧？啊，获得了，在这个函数呢，他在派到二派上啊，实际上是一个这样的一个图像，是一个三，是个三二 x 图像啊，所以说呢，我们的最大值是一，最小值是负，一好就获得了。 那么在领导派上呢，他的这个值实际上是恒为零的啊，好，这是我们考察的知识点，诱导公式呀，去绝对值呀，书型结合呀啊，这些思想得用上。 好，接下来呢，我们看下第四题，那么第四题呢，是考察的是向量啊，什么是投影？什么是投影？向量？我们先呢啊，对知识进行一个复习，比如说投影是什么意思呢啊？比如说这是啊， b 向量啊，这是 a 向量， 那么投影啊，我们先解释投影该怎么求，然后什么是投影，什么是投影向量啊？概念不能模糊是吧？我们 a 向量在 b 向量的投影，实际上就是影子嘛，对不对？影子的大小只是说在向量中呢，它有正向投影呢，它是有正有负有零的。 好，那么如何来求这个投影啊？其实就是投影呢，就是 a 的 模哈，乘以口塞 c 塔，但是直接去求，那如何来间接求呢？我们是 a 向量，点去 b 向量，然后除以 b 向量的模。哎，这是投影的概念。 第二个呢是投影像量啊，投影像量，我们注意啊，我们注意，投影像量呢，就是我们刚才这个投影啊，它是一个数啊，它是一个数，它有正有负有零啊，正投影负，投影零， 那么投影像量呢？它最终呢是一个向量的形式呈现的啊，那就是这个向量就是它的投影向量。我们刚才算啊， a 向量乘以口算 c 塔，实际上算投影的数量， 投影的大小，投影的正负，对不对？然后我们再乘以 b 方向上的单位向量，就获得了 a 在 b 方向上的投影向量， 也就是说前面是一个数值，后面是一个单位向量，组合成相乘以后就是投影向量，那么进而我们得到一个公式啊，我们把这个放过来，就是 a 向量啊，点成 b 向量， 去除以 b 的 模，然后再乘以 b 方向上的单位向量，组成了投影向量。 好，我们在理解清楚呀，理解清楚这些啊，相关量以后呢，我们再去解决问题。那我现在我的目标是非常清晰明了的 啊，我的目标呢，就是求 a 向量在 b 向的投影向量，我就拿 a 向量点成 b 向量，除以 b 的 模， 然后再乘以 b 方向上的单位向量。那么这里面呢，我们要解决的是，我们要解决的是 a 与 b 的 数量级，从哪里解决？就从这个式子， 我们知道向量的啊，模方就是向量方，对不对？所以我们把这个 a 向量减 b 向量啊，向量方就是魔方，它就等于五， 通过这个式子，我们能够获取啊，能够获取出什么呢？ a 与 b 的 向量的数量级啊， 好，这是解决问题的关键切入点啊，切入点第一步好，那么因此我们看 a 模是一，然后减去二倍的向量， a 点成向量 b 加上 b 的 模， b 模呢，我们知道啊，它的运算呢，就是根号下 x 方加 y 方，就是根号二，那所以这个地方就是一个五 啊，进而得到 a 向量啊，点乘 b 向量，它等于几呢？它等于负一啊，所以我们的目标带过来啊，我们的目标带过来就可以是负一， b 向量的模呢，是根号二，然后这里面 b 的 模式，这是根号二， 那么 b 向量这里面呢，你就用点乘坐标来表示啊，它其实就是一个负二分之一的 b 向量。那如果说题目中是啊，以 b 向量的形式来展现，我这个答案就对的，但是呢，它已坐标，所以我再把 b 向量的坐标带进去，那就得到负二分之一， 负二分之一，所以本题的答案选的是 a 啊，这个相对来说是比较简单的，就是我们在做题的时候呢啊，要搞清楚，要搞清楚啊，它是一个数，它是可正可负可为零 啊。第二个是投影向量，投影向量最后一定是以向量的形式来展现啊，它可以是啊， b 向量前面加一个 lm 的 数字，对不对？也可以是一个点乘坐标。好，这是考察的是基本量。 好，那么接下来呢，我们来看一下第五题，其实这个，呃，这个一模考试的题呢，相对来说 难度还是还是比较大的，就每个题呢，他考察的点是比较多的，然后知识也是非常零碎的，就是任何考察考察你任何知识点，你必须得是非常熟练才能解决问题。那么这个就是你看到题啊，你就要知道出题人他想考察的是什么， 他想考察的是二项式定律啊，二项式定律，通过二项式定律来找余数来找余数的问题。好，我们知道啊，他说今天呢，是三月十九号，是星期四，问，再过这么多天是星期几， 那我们知道他的，呃，这个我们知道一周是七天，所以以期为一个他的周期 啊，那我就看，比如说啊，我看七的余数，比如说我是这个我，我假如说再过，再过十天，对不对？都究竟是星期几，那我十呢？是不是七加三啊？我一个周期过去以后余了三，那我就往后再数啊，五 啊，六日，那就是星期天。是这样的，所以我们实际上就是他的核心问题啊，他的核心问题就是找二的八十次方这个数呀，啊，他除以七以后的余数啊，我们就是找余数的。 好，那么我们知道二的二的一次方，二的二次方，二的三次方，二的四次方中，这个二的三次方是比较特殊的，它是八，那么八跟七是比较接近的，所以我就想办法凑出一个八， 那这里面呢，我们知道二的三次方才是八啊，是不行的，对不对？他凑不出来一个三，不能整除，那我们就在想啊，八十，我除以三以后会是等，会是多少呢？我们看二三得六，然后是二十 啊，三六一十八，然后余个二，对不对？所以我们是啊，八十呢，它可以等于什么呢？等于三乘以二十六，再加个减，再加个二， 哎，是不是这样的，那这样的话，我就能凑，凑出三，三呢？凑出八呀，八是七加一，因为我自始至终呢，想要找的是七的除七以后的余数，那因此我们啊，二的八十次方啊， 它等于什么？它等于二的啊，三乘以二十六，再加上二，那因此就换成是四去乘以二的三次方的二十六次方，哎，那就是变成四乘以 八，八的话，就是七加一的二十六次方。那么我们本题呢，主要想拆解的二项式是它，想拆解二项式它，我们这里面也要复习一下二项式的定律，是不是二项式的展开式呀？ 啊的 n 次方，那么首项呢？是 c n 零啊，看清楚，是 a 的 n 次方，加上 c n 一 a 的 n 减一， b 的 一次方 啊，一直加加到通项 d r 加一项，它是多少？它是 c n r， 然后 a 的 n 减二， b 的 二次方，一直加加最后一项是 c n n， 然后 b 的 n 次方啊，二项式的展开式，二项式的展开式，它是按照 好，他是按照什么呢？ a 的 升密排列， a 的 降密排列， b 的 升密排列。那因此呢，我们看一下啊，对于这个，呃，先看研究七加一的二十六次方来说啊，他应该是 c 二十六 零，然后是七的多少次方啊？二十六次方，然后再加上 c 二十六一，然后七的二十五次方啊，一直加加到啊， c 二十五， c 二十六，二十五次方呢，就是七，再加上 c 二十六的 二十六次方是一，那因此就是对于这个七加一的二十六次方的运算呀，我们这个地方啊，他其实啊，被七除以后呀，被七除以后，余的是一， 但是整个来说他的余数不是一，他前面还有一个四，对不对？还有一个四啊，还有一个四 啊，所以说啊，所以说啊，他的最后二的八十次方啊，他除完七以后啊，余的数应该是几啊？余数应该 是啊，因为前面都能被七整除，所以余的是四，余的是四。好，余的是四。那我再往后数四天，星期五，星期六，星期天，然后就到第四天是星期一，所以本期答案选的是 a 啊，本题答案选的是 a。 好，那么在这里面呢，大家要注意一个问题，是什么样的问题呢？就是我们看到这个题我就知道他考察的是二项式定律，利用二项式定律求余数的问题，求余数的问题，但是呢，他并不是说直接就可以去拆分了 啊，因为我们是按星期周期是七，所以肯定是在二项式定律的这个展开式中，肯定是有七的，肯定是有七的，那我们这里面的二怎么样才能换成七？那么离七近的是八 啊，这个地方的话就是说八十啊，它的转化啊，八十，它的转化是三乘二十六，再加几啊，再加个二， 哎，这个也是有问题的，这个转化可能大同学会陷入迷区啊，会陷入迷区，或者有的同学我看到这个题，我说二的三次方啊，八跟七接近嘛，然后是三分之八十啊，那这样的话它是展不开的，它是展不开的 啊，它得换成二的三次方，然后是二十六，是吧？二十六，然后再加几啊， 再再加个这个三分之几啊，三分之啊，三分之二。哎，这个地方是需要大家注意的啊，也是一个难点和呃就是不好突破啊，所以大家做做做的过程中肯定是很难受的，这这个这个过程，所以他更多的是考察大家的思维能力啊。 好，接下来我们看一下这个第六题，其实第六题呢，相对来说是比较简单的，就是我们看那么多啊，我们看了这个这么多，就是说它这个地方啊，它这个地方就是啊， 这个天顶距 c 塔的正切值。哎，这个关系我们要我们要看清楚啊，这关系一旦弄清楚的话，我们就好算了啊，比如说他说的这个实际上就是一个呃，实际的模型，就是这是 c 塔对不对？ sat 呢？是等于 l 影长嘛？你假如说太阳光啊，从这直射下去，那么这个是啊，这个是它的影子对不对？然后这个是实际上的一个高，那这样的话，我们看 tan 的 sat 啊，它就等于这个 l 除以高了， 一旦你这个这个数学模型构建好了以后，你再去解决问题就好了。你看他说第一次的话啊，他的这个是 r 法对不对？这个隐藏啊和表高的是二倍，那所以我认为呢，他想给大家传达信息，就是他的 r 法，他就是二， 然后呢，他又已知到贪镜塔 r 法减去贝塔等于二分之一，然后去求贪镜塔贝塔的值，那这个模型一一旦转化的话，他就很好处理。我认为突破口就是在于这个关系，你把这个关系用直角三角形 啊去给他构建成以后实践考察。问题就是两角和一差的正切值，那么贝塔角啊，贝塔角，我们已知的是贪镜塔 r 法，还有就是 啊，这个 r 法减贝塔，那么贝塔角该怎么去求呢？就是 r 法减去 r 法减贝塔啊，原来的数据你就不要拆了。那所以啊，贪心他贝塔，我们的目标啊，就是贪心他这两个角的正切值的这个差值，对不对 啊？直接就是相当于是啊给值求值了，对吧？ 好，这是一个数学文化的一个应用啊，数学文化的应用 啊，他的这个数学文化实际上就是转化成我们的正切的定义了啊，正切的定义你去啊，给他画出这个直角三角形，问题就很好解决了，然后再用两脚叉的正切就可以解决。那这里面呢，是不允许出现啊，不允许出现公式的一个误用的啊 啊，正切值他们的差除以一加上啊， tan 它 r 法和 tan 它 r 法减倍它啊，所以算出来以后应该是一个二减二分之一，然后除以一加上一加上几一加一啊，所以就是四分之三 分数三，所以答案选的是啊，答案选的是 b， 答案选的 b。 这个其实呢，相对前面那几个题来说还是比较容易的啊，就是考察了一个正切的这个和以查和查公式。

十九题是一道出的还不错的题目，难度主要集中在最后一问，前两问难度都不算大，甚至我觉得第二问的第一小问在这个位置难度还有点偏低，一个基本的二级结论就可以搞定。咱们先看第一问， 已知椭圆 w 离心率为二分之一，长轴长为四，根据长轴为四，我们可以得到 a 等于二，再根据离心率是二分之一，有 c 等于一，自然有 b 等于根号三，所以第一问就出来了。 第二问，过圆点的直线 l 交椭圆于 ab 两点点 c 在 椭圆上点 d 为直线 bc 与 x 轴的交点，点 a 的 横坐标是点 d 横坐标的三倍。 相信同学们都会注意到，真正重要的条件就是横坐标关系。我们先看一下图，由于直线 ab 是 过圆点的，那也就是说 ab 这两个点关于圆点对称， 如果设坐标，其中一个是 x 一 y 一， 另一个就是负 x 一， 负 y 一， 这是显而易见的。除此之外，更为重要的是， ab 是 关于圆点对称的两个点， c 是 椭圆上的点。根据椭圆第三定义的扩展，我们应该能想到， k c a 乘以 k c、 b 要等于一方减一。具体在椭圆中，是负的 a 方分之 b 方，也即负的四分之三。 让我们证明的内容是， ab 垂直于 ac， ab 垂直于 ac， 实际上是 k a、 c 乘以 k， a、 b 要等于负一。 根据椭圆第三定义的负四分之三，我们看 k、 a、 c 是 一样的，因此我们需要研究 k、 a、 b 和 k、 c、 b 之间的关系，而恰巧 k、 c、 b 又等于 kbd， 这样 d 点跟 a 点横坐标的关系咱们就用上了。 那事实上，到这里这道题就已经结束了。设 a 点 x 一 y 一 b 点负 x 一 负 y 一 c 点 x 二 y 二 d 点横坐标是 a 点的三分之一，所以三分之一 x 一 零 k c， a 乘以 k c， b 等于负的四分之三。我们肯定不能直接写在答题卡上，所以需要用点差法去完善一下过程。 这样我们将 a 点和 c 点代入椭圆方程，可以得到这里。椭圆方程我们还是把它两边同乘以十二，把椭圆的方程写成三 x 方加上四 y 方等于十二。这样方便计算一下， 三 x 一 的平方加上四 y 一 的平方等于十二。 比如说这是一式，这是二式，我们两式相减 三 x 一 加上四倍的 等于零。由于我们需要的是 k a、 c， 而 k a、 c 是 y 二减 y 一 除以 x 二减 x 一。 或者反过来 y 一 减 y 二除 x 一 减 x 二。 所以这里我们需要对这两个平方差进行因式分解，也即三倍的 x 一 加 x 二乘以 x 一 减 x 二，等于负四倍。 然后我们可以得到 y 一 减 y 二，比 x 一 减 x 二，这事实上就是 k c， 它应该等于把 y 加 y 二除到左边， 然后把负四也除过去，就是负四分之三乘以 x 一 加 x 二，比上 y 一 加 y 二，我们看这是什么？ x 一 加 x 二，应该是这里 c 的 横坐标减去 b 的 横坐标，而 y 一 加 y 二应该是 c 的 横纵坐标减去 b 的 纵坐标，那也就是它是 kbc 分 之一 负四分之三，再乘以 k、 b、 c。 这里把 k、 b、 c 乘到左边去，就得到了我们 k c， a 乘 k c， b 等于负的四分之三， k a、 c 乘以 k b， c 等于负四分之三。接下来我们要去表示 kb 由 k b c 等于 k b， d 等于 k b， d 应当是 d 的 坐标减去 b 的 坐标，然后再做叉，也即 y 一 比三分之四 x 一， 这里 y 一 比 x 一， 事实上就是 k b， 所以 它应该等于四分之三 k b 好由 kbc 等于四分之三 k b， 我 们可以得到将 kbc 等于四分之三 k b 带到。这个式子就有 kac 乘以 kab 等于负一。 这样我们就证明了 ab 垂直于 ac， ab 垂直于 ac。 下面看最后一问，若点 ab 都在曲线， y 等于 mx 加一次方加 n， 且 m 大 于等于二，上求 n 的 最大值。 这道题乍一看起来似乎不是特别好下手，所以我们先研究一下这个函数是个啥。由于它的变量 x 在 指数上，所以它的本质是一个指数函数，且是一个单调递增的指数函数。因为 m 大 于等于二，后面的 n 相当于是把曲线上下平移， 那它大致就是类似于是这种的值函数。那么如果以咱们下面这个图为参照的话，大约就是这样， a 在 这里， b 在 这里。所以我们先把点在曲线上这个关系建立一下再看。 由 m 大 于等于二，我们不妨设， 因为 m 大 于等于二，它必然是一个单调递增的指数函数，不可能出现这种情况，所以我们就设 a 在 第一项线即可，然后 ab 都在曲线 e 上， 这样我们可以把点 ab 带到曲线 e 的 解析式中，可以得到 mx 一 加一次方加上 n 等于 y 一， 这是 a 点在曲线上。同理， b 点在曲线上， 这个式子中是有 m 有 n， 有 x 有 y， 看起来非常不好处理，所以我们肯定需要把这两个式子进行一番操作，起到消圆的效果。比如说我们看这两个式子，我们能想到的 y 一 n， 似乎两式相减，可以直接消掉变量，两式相加也可以消掉变量。而如果我们把重点放在这里， 你会发现这两个式子相成本身直接就等于 m 的 平方，因为同底数相乘等于指数相加，它俩指数相加就是二，所以相乘可以直接得到比较简洁的效果。我们先考虑相乘， 稍微看得清楚一点，写成 m， x 一 加一等于 y 一 减 n， m 一 减 x 一 等于负的 y 一 加 n， 这样两式相乘，左边就是 m 方，右边是一个平方差公式， 我们可以得到 m 方等于 n 方减 y 一 方，也即 n 方等于 m 方加 y 一 方， 这样我们就把你要求 n 的 最大值，我们先把 n 方给写出来，然后我们再看怎么操作。由于题目中告诉我们的是 m 的 范围是 m 大 于等于二，所以 我们现在还需要研究 y 一， 看一下 y 一 跟 m 或者是能不能求出什么相关的关系。再回到刚才那个式子 y 一， 我们可以发现两式相减，把 n 给消掉，这样就直接能得出 y 一 和 m 的 关系。因此我们来两式相减， 用上减下，然后再除以二，就可以得到 y 一 等于 x 一 加一减去。好到这里，我们事实上就可以把 n 方写出来， n 方等于 m 的 平方，加上 y 的 平方，也就是 这个式子乍一看非常复杂，但是我们观察一下 m 方，当 m 大 于等于二的时候，显而易见，单调递增。这里面当 m 大 于等于二的时候，显而易见也是单调递增的。也就是说， n 方是随着 m 增大而增大的， n 方越大，自然 n 就 越大，这句话对不对啊？如果这句话正确， n 应当是一个正数才可以。 我们希望求的是 n 的 最大值，所以我们这里需要研究一下 n 到底是个正数还是个负数，这点也很重要。比如说，我们对这个式子简单变个型， n 等于负 y 一 减 m 一 减 x 一 次方，可以看到这个式子显然是小于零的，也就是说， n 是 一个负数。 我们再回到这边， m 方加上这一坨的平方，它是一个关于 m 单调递增的函数，而 n 现在是负数，换言之， n 方越小， n 应该越大。 所以现在求 n 的 最大值，就转变成了求 m 方加上这个平方，它的最小值。所以我们设一个函数， 显然 m 大 于等于二十。 fm 是 单调递增的，这样 fm 它的最小值 就等于 n 方的最小值。将 m 等于二带到 fm 当中， 四加上。里面看起来有点复杂，我写在右边，当 m 等于二的时候，是 二的 x 一 加一可以写成再乘以二减去二的一减 x， 四方可以写成负 x 一 乘以二，然后再除以二再平方， 这样上下的二全部都消掉了，事实上，它就是二的 x 一 四方减去二的负 x 一 四方的平方。 这样我们就求得了 n 方最小值，是带着 x 一 的这样一个式子。接下来我们还需要去算 x 一 到底是多少，这时候我们只需要跟椭圆方程连立即可。由 椭圆方程是三 x 一 平方加上四 y 一 方等于十二，以及 y 一 等于二的 x 一 次方，减去二的负 x 一 次方。这样我们可以解得， x 一 等于一，故 n 方的最小值等于四加二减二分之一的平方，二分之三的平方四分之九，四加四分之九，四分之二十五。 又因为 n 小 于零，故 n 的 最大值 负二分之五。最后一问，实话实说还是有一些难度的，在考场上想做出这一问并不容易，但是大家看，最终把这道题做出来，它的过程也并不是十分复杂， 这道题还是值得一百二十分以上的同学好好积累。本期视频就录到这里，有什么问题大家可以在评论区留言，咱们一起讨论，下期再见！

又考竖列放缩这道二零二六年威海一摸的十九题，就是一道看上去很难，但只要掌握了竖列放缩底层逻辑，就能秒出思路的题目 来。先看题目条件，首先呢， a 一 等于二分之一， a n 加一等于 a n 加二分之二倍 a n 加九，证明这样一个不等式成立 好，说白了，海市给出了地推公式，让你研究的是通向公式，满足的一个不等式。 那么这道题呢，根据地推公式啊，其实是能把通向公式 a n 求出来的，给的是一个分式型数列，用一下补动点法可以求出 a n， 但即便求出来了，你把 a n 带入这个不等式，会发现海市不好挣，因为那个 a n 的 表达式相当复杂。 所以呢，这种情况下，咱们就假装 a n 求不出来，用放缩的思路来处理啊。那么放缩的思路呢？之前的视频给大家分享过，从地推公式到通向公式，就是你得先把地推公式放缩成一个能求通向公式的地推公式。 当然了，对于这道题来讲呢，更严谨的讲，应该是把地推公式放缩成一个更好求通向公式的地推公式，再求出通向公式。那问题来了，放缩成哪个地推公式呢？哎，很简单，咱们可以从最后的目标倒推 来。我把这个式子呢，先变个形，二的 n 次方除到右边，绕三分之 a n 加一的绝对值，小于二的 n 次方分之绕 n 六 来。各位同学，右边这个竖列是一个等比竖列，公比二分之一，对吧？ 好，那就是得把绕 n 三分之 a n 加一的绝对值，这个竖列放松成这个等比竖列。那么等比竖列的递推公式咱们都很清楚，后一项等于前一项成功比，考虑到这个地方是一个小于号，所以呢，咱们只需正 绕三分之 a n 加一的绝对值小于 那三分之 a n 的 绝对值乘上二分之一。啊。这里呢，可以先验证一下这个思路是否正确。假设真的能证明出这个不等关系， 那么根据这个不等关系，后一项小于前一项乘二分之一，每项呢，都有绝对值，每项都是正数，所以呢，第三项就会小于第一项乘二分之一的平方。以此类推， law 三分之 a n 加一的绝对值就会小于首项 law， 三分之 a 一 的绝对值乘上二分之一的 n 次方， a 一 呢，是二分之一，这个地方绕六分之一，绕六分之一就是负的绕 n 六，再加上绝对值好，确实是二的 n 次方分之绕 n 六。所以呢，咱们这个思路没毛病，证明出这个不等关系就可以了。 那为了证明这个不等关系，我个人觉得得先把这两个讨厌的绝对值符号给它去掉。为此呢，就得分析一下绝对值里面的式子。那三分之 a n 它的正负， 那对数的正负呢，取决于三分之 a n 和一的大小关系。所以呢，就是要分析 a n 和三的大小关系。 那回到递推公式上，和三的大小关系，可以在递推公式两边同时减去三做差法吗？ a n 加一减三，它就等于 a n 加二分之二倍， a n 加九再减三，也就是 a n 加二分之负的 a n 加三。好提一个符号， a n 加二分之负的 a n 减三。哦，那这个 a n 和三的大小关系还是比较有意思的，首先呢， a 一 是小于三的， 然后呢， a 一 小于三， a 一 减三是个负的，加符号是个正的， a 一 加二肯定是个正数，所以呢， a 二减三大于零，因此呢， a 二是大于三的，然后 a 二大于三， a 二减三是个正数， 加负号是一个负数，分母也为正，所以呢， a 三减三是一个负数， a 三小于三。哎，所以发现了吧，因为这个地方有一个符号，所以竖列 a n 应该是一项小于三，一项大于三，以此类推。 ok， 那 搞清楚了这个关键信息，怎么的就可以对这个不等式做化简了，来两种情况啊， 啊，如果 a n 呢是大于三的，那么此时 a n 加一小于三，好，这个不等式呢，就等价于 来三分之 a n 加一小于一，取对数小于零，去掉绝对值，加一个符号，负的了三分之 a n 加一，也就是了三分之 a n 加一的负一次方，所以呢，就是了 a n 加一分之三，这个东西呢，小于啊，这边呢， a n 大 于三，三分之 a n 大 于一，取对数为正，去掉绝对值，符号还是 l 三分之 a n 二分之一，拿到对数里面 l 三分之 a n 的 二分之一次方， 也就是 l 根号下三分之 a n。 然后呢，去掉对数啊，就是 a n 加一分之三，小于根号三分之根号 a n 啊，去分母三倍，根三小于 a n 加一，乘上根号 a n， 而 a n 加一呢，其实就是这坨式子，对吧？好，这里呢，为了写起来方便啊， 我呢，就是 f x， 它等于 x 加二分之二， x 加九，那么 a n 加一就是 a n， 所以呢，在 a n 大 于三的情况下，咱们就是要等价于证明 a n 乘上根号 a n 大 于三倍根三，有没有问题？那么如果是另外一种情况， an 小 于三， an 加一大于三啊，同样的分析方式，最后呢，它就等价于 i 负 a n 乘上根号 a n 小 于三倍根三，这个就不给大家仔细算了。 ok， 那到这里呢，这个问题啊，已经非常清晰了，咱们呢再做一步化解。现在呢，要证明的不等式当中出现了根号 a n 来，我把它设成 x， 那 么 a n 呢，就是 x 平方，然后把要证明的这个式子 f a n 乘根号 a n 设成是 g x 啊，其实呢，就是 f x 平方乘上 f x 平方， x 方加二分之二， x 方加九乘 x 二 x 的 三次方加九 x。 那 么接下来呢，就是证明 你看 a n 大 于三啊，那就是 x 平方大于三，也就是 x 大 于根三的时候，这个 g x 大 于三倍根三， 而当 a n 小 于三，也就是 x 小 于根号三，这 x 呢，本身还是一个正数，所以 x 大 于零小于根三的时候， 此时呢 g x 小 于三倍根三，哎，证明出这样一个不等关系就足够了。那么接下来呢，研究这个 g x， 我 个人觉得也没必要去求等研究 g x 和三倍根三的大小关系，直接做个叉就可以了。 来七 x 减三倍根三啊，这坨减三倍根三就直接通分了， 二 x 的 三次方减三根三， x 方加九 x 减六倍根三。 然后呢，这个分子啊，是可以因式分解的，因为你看一下 g x 和三倍根三的大小关系，是取决于 x 和根三的大小关系，所以 x 等于根三的时候， g x 应该等于三倍根三，分子等于零， 所以分词一定有一个音式是 x 减根三，所以说剩下的音式大家呢，自己算一下，我就直接写了， x 减根三乘上二， x 方减根三， x 加六。 ok， 那 算到这里呢，题目就正完了。因为 x 方加二大于零二， x 方减根三， x 加六也是大于零的。 所以呢， x 大 于根三的时候， g x 减三倍根三大于零， g x 大 于三倍根三， x 小 于根三的时候， g x 小 于三倍根三。那这个结论就正出来了，看懂了吗？ 所以呢，解决这类问题的关键就是从目标的这个不等式反推出要证明的这个递推公式就可以了。好的，那这道题就分享到这里。

青岛二零二六年数学一模考试啊，预计在四月十七号左右，那一周你准备好了吗？二零二六年青岛中考一模数学选择和填空抢分的关键，直接划重点， 单选前八题，考基础、考几何，考整式运算、三式图、函数概率计算等，全都是课本原题的变式，千万不要丢分。压轴重点盯住二函数性质圆的基本定律，角度计算等。这些呢，也是高频考点。 渐近题呢，多是概念细节的问题，或者就是数形结合上想不到位的一个问题。那么填空压轴锁定第十五和第十六题大概呢？是能有三个方面，一个是反比例函数几何，还有呢就是扇形阴影面积。那反比例函数几何呢？是涉及到求面积， 然后相似求 k， 扇形阴影面积肯定就是扇形阴影面积五大方法来求解。还有的话就几何综合有四边形综合、四边形相似最值折叠模型等五大类型。 提醒大家选择和填空要控制在三十分钟以内，最好的话是二十五分钟。男的不要死磕，先空着，把时间留到后面， 要不然写不完，写不完整个节奏就会打乱，分数就很难上去。那基础题要逐一验算，小压轴题可以用一些特殊指法、排除法快速拿到这个题。 压轴题的话，想我们平时讲过的一些类别模型，还有通用方法，那拿下选择和填空，一模数学就稳了一大半了。如果你不知道选择和填空怎么练，可以跟着我们这三十六天打卡，分为选择和填空基础应用探讨和动点， 专门为青岛一模考试而准备，让你把选择和填空刷上十五天，刷上几百个题，刷出速度，刷出熟练度，想要跟着打卡三十六天的回复九八五。