福格温解锁公式

今天我们来说一说极限存在的两个重要准则，夹逼准则和单调有界准则。然后呢，我们会用这两个准则去推导两个非常重要的极限公式。没错，这两个准则和这两个极限在高等数学里非常基础的。 对，那我们就直接开始吧。我们先来说说极限存在准则的核心定义。其实之前我们在求极限的时候，好像都默认这个极限是存在的，对不对？是的， 我们前面学的极限的概念性质以及有理运算法则，确实都是建立在极限存在的前提下的。嗯， 但是在真正做题的时候，你拿到一个极限的表达式，你首先要关心的就是它到底有没有极限。没错， 这个时候就需要用到极限的存在准则了。那极限的存在准则具体是怎么帮我们判断极限是否存在的？它其实是有两个很重要的准则，一个是单调有界准则， 这两个准则就是我们判断极限是否存在的最基本的工具。那夹逼准则和单调友这准则该怎么理解呢？夹逼准则，你可以想象成三个人在赛跑， 嗯，这三个人始终在一条线上跑，中间的人被两边的人夹着，然后两边的人最后都跑到了同一个终点，那中间的人不管他怎么跑， 它最后也只能是跑到这个终点。哇，这个比喻真的好形象啊，一下就明白了。假比准则对应的数学描述就是，如果有三个竖列或者是函数满足 x 小 于等于 f， x 小 于等于 h x， 然后当 x 趋近于某个值的时候， 这个和 h x 的 极限都是同一个常数 a， 那 中间这个 f x 的 极限也一定是 a。 明白了，那单调有界准则呢？单调有界准则可以想象成你在爬一个楼梯，嗯，你要么就是一直往上爬，但是楼梯有一个最高的高度， 那你最后肯定就停在某一个不超过这个上限的位置。对，要么就是你一直往下走，但是楼梯有一个最低点， 那你最后也只能停在某一个不低于这个下限的地方哦。所以，单调有界准则就是说，竖列必须要满足单调和有界这两个条件，才能保证它的极限是存在的，是吗？对的，对的，单调递增且有上界的竖列，或者单调递减且有下界的竖列， 才一定是有极限的。没错，这两个条件，单调和有界是缺一不可的，如果缺了其中任何一个，我们都不能说这个极限是存在的。 ok， 紧接着我们要拆解的就是这两个准则在考试当中的一些出题点。嗯，夹逼准则在使用的时候，最关键的有哪些地方？夹逼准则其实有两个特别容易考的地方。第一个呢，就是你要能够找到两个函数，把你要求的目标函数夹在中间， 而且这两个函数在这一点的极限还必须是相等的。是的，不然的话，假逼准则是没办法用的。那也就是说，找左右两个函数和判断它们的极限是否相等，这两步都不能出错呗。没错没错。然后第二个要注意的地方就是 假逼准则，它既可以用于竖列的极限，也能用于函数的极限。但是在函数极限里面， 你要特别注意 x 趋近于某一个值的方向对不对啊？比如说 x 是 从正半轴趋近于零和从负半轴趋近于零，这两个单侧极限有的时候是不一样的，这也是很多同学会出错的地方。 那单调有界准则在使用的时候有什么要注意的地方吗？单调有界准则你要记住两点，第一就是它必须要同时满足单调和有界这两个条件。比如说这个 an， 它是一个单调递增的， 但是它没有上界，那它极限就是不存在的。嗯，再比如说 a n 等于负一的 n 次方， 这个竖列，它虽然有界，但是它不单调，它一直在正负一之间跳动，那它的极限也是不存在的，原来必须要两个条件同时满足才行。然后第二点就是这个准则一般都是用来处理竖列极限的， 如果是遇到函数极限的话，这个准则基本上用不上。嗯，这是大家要记清楚。下面我们要复现一下这两个准则的核心应用，以及他们的推导逻辑。好的，怎么用夹逼准则来推导？第一个重要极限， limit as x approaches zero of sine x over x equals one。 推倒这个极限的话，我们需要先画一个单位圆，然后在第一象限里面取一个圆心角 x， 这个 x 必须是弧度制哦，不能用角度制，这是一个很容易出错的地方。嗯，然后在这个单位圆里面怎么去构造面积的关系呢？ 我们可以在这个扇形里面分别画出两个三角形，一个是小的内接三角形，然后一个是大的外接三角形，那么这三个图形的面积就有一个大小关系， 小三角形的面积是小于扇形的面积的，扇形的面积又小于大三角形的面积，所以这个面积的不等式就是二分之一 sine x 小 于二分之一， x 小 于二分之一 tangent x， 对 不对？是的，我们把这个不等式两边都乘以二，再同时取倒数不等号，方向就会改变。 然后我们就可以得到 cosine x 小 于 sine x 比 x 小 于一。当 x 趋零的时候， cosine x 的 极限是一，一的，极限也是一。嗯，那根据夹币准则， sine x 比 x 的 极限就一定是一了。好的，那这个第一个重要极限有什么形式上的要点，或者说有什么常见的错误吗？ 其实它的核心就是无穷小的正弦比上它自己只要凑成这个形式，极限就是一。比如说三三 x 比上三 x， 当 x 趋零的时候，极限也是一哦，但是你一定要注意，是正弦和它的自变量要一致， 这是一个容易出错的地方。明白了，那我们怎么用单调有界准则来推导第二个重要极限呢？推导这个极限的话，我们可以先考虑它的竖列形式，就是 a， n 等于一加一比 n 的 n 次方，然后我们用后一项比前一项， 可以证明这个竖列是单调递增的。再用二项式定律把它展开，就可以证明它是有上界的，它始终小于三。没错，根据单调有界准则，我们就知道这个竖列是有极限的，我们把这个极限就记作 e， e 是 一个无理数，约等于二点七一八二八。原来是这样，那这个数列极限的结果怎么推广到函数极限呢？这个的话，我们可以通过归结原则，把这个数列极限的结果推广到函数极限就可以得到。当 x 区域无穷的时候， 一加一比 x 的 x 次方的极限也是 e。 然后我们做一个变量代换，令 t 等于一比 x 还可以得到。它的另一个常用形式就是当 x 趋零时，一加 x 的 一比 x 次方的极限也是 e。 好 的，那第二个重要极限在应用的时候有什么关键的地方，或者说大家经常会出错的地方吗？ 它的核心结构就是一加上一个无穷小，然后它的指数是这个无穷小的倒数，只有这种一的无穷大次方的形式极限才是一。很多同学在做的时候，容易把指数和底数的这个倒数关系找错，导致最后结果写错。 好的，我们今天把极限存在的两个准则和两个重要极限都给大家梳理了一遍，大家其实可以看到这些内容在高等数学中还是很基础的。没错，这两个准则和两个重要极限都给大家梳理了一遍，大家其实可以看到这些内容在高数的基础 也是考研的一个高频考点。对，所以大家一定要多做一些相关的练习题来巩固这些内容。好的，那今天的内容咱们就到这里了，然后感谢大家的收听，咱们下期再见，拜拜！拜拜！

今天分享一套一加一万能调酒公式，以极简逻辑解锁高阶风味，在家就能调出好喝的鸡尾酒，朋友小余的时候露一手又给你装到了！第一款，杯中加满冰块降温，倒入四十五毫升白朗姆，再以可乐缓缓补 满，轻搅片刻，气泡裹挟着朗姆的醇厚，酒香，甜爽回甘，一口去散燥感，这便是酒吧里备受青睐的经典款 自由古巴。第二款，以冰杯打底，注入四十五毫升伏特加，加入橙汁至八分满，轻轻搅匀，酸甜果香，完美中和酒的烈感。这款温柔适口的饮品便是螺丝起子。第三款，冰杯后挤入两片柠檬的汁水提鲜，倒入四十五毫升金酒，最后用苏打水补满一口，亲烈回甘的经典风味正是 金里奇。第四款，冰杯中倒入四十毫升龙舌兰，加雪碧至七分满，撒入细盐，轻轻一拍，咸甜交汁，气泡炸裂的口感便是爆款 红蛇篮，炸弹猎感十足却不呛口，后劲绵长，氛围感直接拉满。这套极简调酒公式的核心法则就是一款基酒搭配一种软饮，以一比三的黄金比例调和，新手也能零失误驾驭。学会的评论区快来交作业！

不化妆直观的感受羽绒服是怎么变好看的？黑色的羽绒服，姐妹给它搭配短裙配靴子是显瘦的，但是分成了几节，腿更短了，腿型不好，怕冷，想显瘦换成长筒裙，南方冷，里面可以叠加绒打底裤，衣服抽紧， 把内搭扯出来，单穿简单日常不突兀，拉上拉链，保暖又有层次感，打开穿颜色都是能够呼应起来的，有一种学院风的感觉。 套下外套，每一层都能见人。同理可得，只要夏装穿对了，换成毛衣效果也是一样的。不喜欢穿裙子，换成裤子更加简约，日常又很低调，拉上拉链就又很休闲。 换成彩色毛衣让人眼前一亮。白色的羽绒服按照这一套搭配也是没有问题的，把帽子取掉，更加干净利落。穿卫裤的话，穿阔腿的才能中和羽绒服的膨胀感，这一身都是三个色，但是他们都是浅色系，颜色就会很和谐，帽子做点缀，针织帽更休闲日常 咖色的短款羽绒服，高领打底衬衫加牛仔裤，有种头重脚轻的感觉，这一块很沉闷，你可以把衬衫穿到里面，再叠上一个和外套同色系的毛衣。裤子不知道怎么搭时，我们就选择宽松的阔腿裤，中和上面的膨胀感，脖子一定要有落魄度，才会显得干净利落，脱下来是一种偏文艺的感觉。 拉上拉链是种运动风，套上穿上帽子就是有那种休闲感。同理可得，都是黑色系，换成直筒裙效果是一样的。