张宇零基础不等式第29题咋做题

好，我们下面看二啊，重要不等式和它的应用，这个不等式问题呢，是整个考研数学的重点啊。这个我们现在呢先给大家把这个基本的一些不等式啊，我们在 给他总结，是吧？要做一些训练，同时呢大家还是要知道这个这个不等式，不等式的这个思想啊。嗯，这个放缩的这个思想 啊，思想与方法，这个大家需要有一些个这个体会啊，这个我们也是很好的需要训练的啊，这个是通过训练才能出来的，不是说你记几个公式就够的 啊，他说要再把这些思想方法呢，在用在实践当中啊，多做应用，那么这样的话，你自然说你的这个不等式的这个处理的能力就很强了。 第一个不等式的三条基本性质啊，这个大家知道，如果在不等式两边同时加上一个数，这个不等号是不变号的啊，这个不等号的方向是不变的， 这个 c 呢是任意实数，他没有要求啊，无论你是正的，负的还是零，是吧？第二个如果要乘，那你要保证这个 c 大 于零了，那么这时候呢就是 a c 大 于 bc， 这个我们用了很多次了， 是吧？那么如果说要乘 c 是 小零的，那么 a c 要小于 bc， 大家想想看，这个是不是经常用的， 是吧？这我们用的太多了，在前面时间已经用了很多次了，哎，你一定要记住，是吧？如果已经摆在你面前一个不等关系，那么你如果乘两边同时乘一个量上去的话，你一定要知道这个乘上去量是正还是负的 啊？如果是正的，那你保持符号不变，如果是负的，你一定要把符号给他反过来啊，这是一个基本的性质。第二一个几种基本不等式啊，当然这也是基本关系了。大家知道，如果 x 绝对值大于一个正数，那么它的你也可以说是解集啊，不等式的解集，那么它一定是什么呢？就是 x 大 于 a 或者 x 小 于负 a， 你 从几何上来讲呢？就在数轴上是这样，因为大家知道 x 绝对值呢，它代表的是 x 到零的距离，是吧？ 所以 x 到零的距离呢？如果是大于 a 的 大于一个正数，那么显然呢，它就是在这个大于 a， a 到正无穷和负无穷到这个负 a 啊，它就在这里头了， 是吧？那这个就是我们的这个这个基本的关系。第二个，如果 x 对 角小于 a， a 是 大于零的，那么就是相当于是取什么？呃，取的就是说我这小于 a 吗？小于 a 就是 在负 a 到 a 里头， 是吧？这是我们的第二种基本关系。第三一个，那就是如果 x 到零的距离，是吧？大于等于 a 小 于 b， 那 么 b 是 大于 a 大 于零的，那么就意味着什么呢？那么意味着他实际上在这个区间上是这样取的啊，这是零， 是吧？这是 a， 这个是 b， 是 吧？那么 x 绝对值大于等于 a 小 于 b， 那 么显然就是说他大于等于 a 小 于 b， 那 么当然是这个是 b 的， 这个 b 的 就是开的，对吧？然后呢，别忘了带绝对值的时候呢，他是说这个对称位置也是一样有的，那就是说这个是负 b， 这是开的 啊，这个是负 a， 这个是 b 的， 他就是在这块和这块啊，这是我们的第三个关系， 那么第四个呢，如果涉及到是这个绝对值里面比较复杂一点，但是呢，大家这个没有问题，是吧？你只要谈到一个绝对值是大于一个正数的，那么大家就把它转化到一上去了， 对吧？哎，然后如果涉及到说一个绝对值是小于一个证书的，那么大家把它转化到二上去了，这是基本问题啊，这是基本问题，是很简单的啊， 这种常用的东西呢，呃，这个大家也要把它做好它啊，因为这个我讲的这个几种基本关系里面的这前四个呢，主要涉及到的绝对值 是必考的啊，绝对值不等关系 啊，这个是一定要考的啊，你这个不论是哪一种数学考试，是吧？啊，你只要是学过绝对值了，那么这个绝对值是一定要考的，所以高考啊，研究生考试啊，等等吧，你各种数学考试离不开绝对值的啊，所以这基本关系把握好它。 第五一个基本不等关系呢，就是这个均值不等式了啊，我们这给大家列了四种均值，这个呢叫算术均值，算术平均值 啊，这个大家最熟悉的，是吧？当然这个均值不等式我们是可以推广到有现象啊， 就是说你两个数加起来除以二，这个就是每个数的前面上都乘上二分之一，是吧？因为它的权重是相同的啊，就是这个字母前面的系数都长得一样，那么就是说这个呢，就是一个算数均值， 哎，大家每个字母呢，他就相当于他的话语权是一样的，是吧？这个算数均值，算数均值对应的有一个，但不在这个不等式里了啊，有一个加权平均，那么加权平均以后，大家知道加权平均意味着这个每个 a 和 b 啊，他其实他的话语权不一样， 是吧？哎，就像你这个期末考试成绩，你的成绩不是算的算数平均值啊，你比如说你数学考了这个一百，是吧？你这个英语考了 六十，假如啊，这样的，那你这样的话呢？你这个数学用的学时，那是九个学时。我假设啊，那你这样是十分之九，英语用了一个学时十分之一，那你是最后总成绩是这样的， 而绝对不能是一百加上六十除以二，因为你除以二相当于是权重给的都是二分之一，这个显然是不合理的。为什么？因为你花在这一百分上的时间和精力，你九个学分吗？ 啊，那你花在这个上面的权重是多的，那你花在英语上的权重只有一，那么显然的说就是十分之一了，那么这样说，这个是合理的均值啊，这个叫加权均值， 这个呢，就是不管你考几分，是吧？都可以算相同的权重，那么这个叫算术均值啊。算术均值，算术均值在什么时候用啊？那就是说你每一个花的力气都是一样的，精力都是一样的啊，你都占各占五个学分，一共十个学分，各占五个学分， 那么你这样算就合理了，是吧？所以这个加权均值呢，是更具理性啊。那么可以这样讲，算术均值是一种特殊的加权均值， 大家对吧？就权重都相同的加权均值就是算术均值啊，这是我们说的第一个啊，这叫算术平均值，这个呢叫做几何平均值， 就很多同学对这些名字也不是很熟悉的啊，几何均值，几何平均值， 几何平均值呢？就是说你如果是两项相乘，哎，就 a 乘 b， 但这我们都正的了啊，要说 a 乘 b， 那 你开的是二次根，是吧？那么如果是三项呢，就 a 乘 b 乘 c， 那 你开的就是三次根， 是吧？然后你当然 n， 如果是 n 项乘，那就开 n 次根，哎，这个叫做几何平均值，这个呢叫均方根 啊，均方根，这个均方根呢，其实也是顾名思义啊，大家看啊，均方是吧，就是说平方的平均是吧，平方的平均就是 a 方和 b 方，那么都是字母的平方嘛，是吧？大家，这个平方做平均 就是做算数平均的，看到没有做算数平均，然后再开根号啊，所以叫均方根啊，我们最常用的主要这三个啊，就大家这个还是要很好的一个记忆啊，就是算数平均值是大于等于几何平均值是小于等于均方根的 啊，这个是常用的，如果你也写到三个呢，就是 abc， 这个要开三字根啊，那么它就小于等于三分之， a 加 b 加 c， 这个我们有时候也常用的啊，这个 小于等于那么三分之，那么就是 a 方加上 b 方加上 c 方 啊，军方根啊，军方根，他这个不，这个根号不动的啊，这个根也不动啊，军也不动，就是你几个我除以几嘛，就这个意思是吧，这个也成语啊，这个成语，但这有 abc 要大于零啊，大于零 好，还有一个呢，这个呢？大家，这这个，这个叫调和平均值，这叫调和平均值。 这个用的不多啊，这个在大家中学知识里可能用的多一些啊，这个是调和均值啊，我们就知道他就可以了好吧，哎， 他涉及到调和中项的那个基本概念啊，就是这种基本不等式呢。呃，这个是我们经常用的到的啊，大家把这些关系呢，就是要掌握的比较牢靠一些，是吧？哎，你见到时候用，就尤其是这这三个啊，这三个关系，这个一定要非常熟悉的 啊，一定要非常熟悉的好。第六个叫三角不等式啊，三角不等式，这个是很重要的是吧？哎，非常重要的一个事情，就当我们在数轴上是很好理解他的，是吧？哎， 呃，这个实际上涉及到这个度量的一些基本的公里的相关的问题了，这个我们就不提了啊，那我就说一下他们在数轴上的一些基本关系了啊，大家尤其看什么呢？就是看这个等号成立的情况，是吧？ 那么竖轴上加这零哈，那么我们先看，先看这边啊， a 加 b 的 绝对值小一点， a 的 绝对值加 b 的 绝对值啊，这个很常用是吧？哎，为什么啊？因为大家想啊，这个 a 和 b 啊，假如说啊，它是在竖轴的这个什么啊？同侧，比方说吧， a 和 b 呢，都在这个右侧 是吧，那么大家会看到一点呢，就是 a 加上 b 的 这个绝对值，虽然就是说 a 的 这个到零的距离，是吧，再加上 b 到零的距离是吧？大家 啊，那他是就是这样一个几何上的基本的事实啊，说你俩都正的吗？那我加起来取绝对值啊，那就相当于是两个到零距离的和， 那大家再看，那么这个 a 的 绝对值是什么呢？那么就是 a 到零的距离，这个 b 的 绝对是什么呢？这个 b 到零的距离了。好，所以大家看到没有，这个是相等的，是吧？ 就是这个不等式等号成立的时候呢，就是 ab 在 都大于零的情况下，那么这个是相等的，他没有一个不等关系。 那同理，如果 a b 我 随便画啊，他都在零的左侧，也可以， 因为你看 a 加 b 的 绝对值，但他显显然表达的一旦是 b 到零和 b 到 a 的 距离的和， 那么这个呢？还是表示 a 到零的距离，这个还是表示 b 到零的距离，所以这个等号是成立的。所以讲说这个不等式呢，那么这个不等式要等式成立，就是什么要求呢？哎，对了，它 a b 同号就可以了， 是吧？所以就是说这个不等式的等号。我们先说等号啊，等号成立的这个条件呢，就是 a b 大 于零， 那就可以了啊，就是 a b 大 于零，那么它就相等了。当然还有一个呢，就是说都是零，那都是零，那我就不研究它了，这个我们就不管它了，是吧？这当然 a a b 都等于零也，这个也是可以的，所以就等于零也行啊， a 乘 b 等于零 啊，等于零，可以的，等于零，是吧？你就比如说其中一个是零，那么这个答案也就没问题了，哈哈，其中一个是零，这个 a 的 角值等于 a 的 角值，没问题，如果大家都是零，那也可以，所以这个等号成立呢，就是 ab 大 于等于零吧。 好，那么不等号显然就是 ab 小 于零了，是吧？那么这不等号成立呢？ 那只要说 ab 小 于零就行了，只要他俩是在这个圆点的两侧，哎，那么这样大家看得出来就是说我这是圆点了，是吧？那么假如这是 a， 这是 b， 那 些人可以看得到说 a 的 绝对值，那么就是这段距离， b 的 绝对值呢？是这段距离，是吧？大家那么总长度是这样的， 但是呢 a 加 b， 大家这就有抵消了，是吧？哎，因为 a 加 b 呢，因为这里面有一个正的，一个负的啊，那你比如说这个 b， 比如说是三，这个 a 呢是负二，大家知道，那么 b 加 a 相当是三减二，三减二呢，相当于是这个长度减去这个长度， 因为取对值之后就说是这个长度减去这个长度了，这样长度只剩一了，是吧？那么一呢肯定小于这个五的，所以这个不等号成立呢？是这样的， 我这种分享到到后面大家做题的时候，你就用的用的着了，是吧？哎，他到底你要判断的话呢？其实大家知道这个三角不等式的，对于我们现在这个阶段呢，大家理解呢，就是这个式子的研究，实际上关键看什么？ 关键看 a， b 是 否同号，是吧？是吧？你关键是看这个是否同号的问题了，对吧？至于零呢，我说了这个，这个大家是这些特殊情况啊，这个我们是呃，很容易就把它呃排除掉了，或者说讨论掉了啊。 好，那么这边呢是另外一个情况，什么情况呢？就是说他是叫做 a 的 绝对值减去 b 的 绝对值的绝对值是小于等于 a 加 b 的 绝对值的，这个我们也是这样来讨论了 啊，你假如说 ab 在 同一侧，在右侧或者是左侧， 那大家看得到 a 的 绝对值是这段长度，那么 b 的 绝对值呢？是这段长度，那么他俩做差再加绝对值，也就说是这两个到零点距离长度的差去绝对值，当然他最后要取个正的，是吧？那实际上就是 ab 的 长度了， 是吧？大家啊，就是这个图上画的啊，那么大家想想看， a 加 b 呢啊？ a 加 b， 那 你想想看，是不是就是这个 a 的 长度，然后再加上 b 的 长度，是吧？所以你会发现呢，就是说在他俩同号的时候，那么这个是严格小于号的， 看出来没有，他是不取等号的了啊，那么如果在两侧同理啊，在那边的话，我就不重复分析了。那么如果是 a 在 a 和 b 分 裂原点的两侧一正一负了，那么这个时候大家看呢，这个绝对值呢？在这是吧，这个绝对值呢？是这个 啊，所以他做差的绝对值，是吧？我们看就是这段减去这段是吧？然后取个绝对值， 那么如果 a 加 b 啊，那么这个时候大家看到啊， a 加 b 呢是什么呢？就是说你假如说这个是负二吧，这是三，我们还取这样的数了，那你这样很好理解的，那我就 b 加 a 呢，相当于三减二，三减二等于一啊，那就意味着他是用这一段减去这段， 是吧？那你这个呢？那这个真相是，这个是，呃，三，那么这个呢？是二啊，二减三没有关系，加绝对值了，他还是一，是吧，所以在两侧的时候，这个是取的等号， 对吧？取的等号，所以你会发现呢，就是我这这边啊，这个不等式问题呢，他涉及到的也是 ab 是 否同号的问题， 是吧？也是是否同号的问题，那么这个是否同号呢？那你想看的是这样的意思，他就是说这个呢，我就写到这了，这个是什么呢？就是等号成立跟他是什么是反着的，对吧？就是你这个同侧的时候， 他是不等的啊，你在不同侧的时候，他是相等的，对吧？所以等号成立的话呢，是 ab 小 于零， 那当然这个等于零啊，等于零也是成立的了，是吧？等于，比如 b 等于零，那么就是 a 的 绝对值等于 a 的 绝对值， a 等于零，那也是这样，是吧？那么都等于也是这样，所以小于等于呢？它是等号成立的，然后它的不等号成立 要求什么？要求的是 ab 是 大于零的，就是说的 ab 同号啊，同号的时候呢，成立的是这个， 这不等关系啊，不等关系，那在同一侧的时候，那那么就是说他和他的这个绝对值的差距离的差是小于等于是小于，那么他俩加起来的值。 好，这个三角不等式啊，在我们这个哦，我前面助理写了啊。哦，大家看到助理写了啊，哦，现在我也分析完了啊，分析完了啊，这个把这个结论把它记记。好吧。就是这个刚才说了啊，这一块，那么他若不等号成立呢， 就是等号成立呢，是要求 ab 是 小一点零的，那显然说不等，如果不等号呢，成立那就是 ab 大 一点，这边等号成立是反过来的，是 ab 大 于一点零，这个在解析当中你就可以用了，是吧？ 第七个科技不等式啊，我要这个说一下啊，这科技不等式呢？呃，这个 可能稍许有一些意外，就是说我以为很多同学知道，中学知道这个基本不等式的，很多同学不知道这个式的，或者是可能是忘记了是吧。 呃，这个呢，我们得补一下啊。这个这个还是要补一下的啊，因为这个后面可能很多时候，呃，就是你要用到科技不等式的，可以把很多问题很快的解决掉。考题里面也出现过类似的这种想法了，我简单说一下这个想法啊，就是 我举一个 n 等于二的情况啊，如果 n 等于二，我举个例子啊，就是像它的不等式这样的，就是 a 一 方加上 a 二方，乘上 b 一 方加上 b 二方啊，它就大于等于 a 一 b 一 加上 a 二 b 二的平方。 哎，我注里面写了啊，注里面写了就常考的其实就是这个东西。哎，这里对 ab 呢？嗯，这个我们的这个要求呢， 你要是如果呃这个特殊讨论的话，你可以设定 a i b i 都是非负的啊，或者是都是大于零的，那这样你看起来可能更清晰一些，事实上呢，他是没这个要求啊，那他没这个要求啊， 就是 ab 是 任意实数都可以的。那么这个式子体现的是什么样一个道理呢？啊？我想这个给大家简单的介绍一下啊，我们在新代数的这个零级处理啊。呃，会给大家讲到那么统一，我得说一下了，是吧？ 我们给了这个一个概念，叫做向量的概念。什么叫向量呢？就是有序的数组， 有序的一个数组啊，这个组成的就是个向量。什么元素组呢？就是 a 一 a 二。 那我这样一写呢，大家看得到这个就说我写一个数，再写一个数，这个数不能换位置，换位置它就不是这个向量了啊，所以这个叫有序 数组是什么意思呢？那么就就是两个数嘛，组成一个小组，那么这个数组里面的数的个数称为这个项链的尾数啊，所以这个呢，就是一个二维的项链 啊，横着写呢，就是项链啊，这就是个二位项链。二位项链是什么？二位项链是趴在平面上的一个项链啊，你比如这个，大家直觉这本书也很熟悉的啊，假如说这一点呢，是 a 一 a 二， 对吧？那么这样的话呢，这个 x 就 取的是 a 一 啊，那么 y 取的是 a 二，这个大家好理解的。好吧，这个你代数里也要得过这一关啊，我们就结合起来就是说一下， 你有了这样一个项链呢，那我现在还有个 b 一 b 二，是吧？我要给另外一个项链啊，我再给一个项链，再给一下呢，我就这一点，有个 b 一 b 二， 是吧？哎，不是一般性，我就画到第一项链里去了啊，这有项链，因为他的 x 坐标呢是 b 一， 他的 y 坐标呢是 b 二，好吧，哎，那么我们现在要做一个工作啊，什么工作呢？就是大家还记不记得啊？这个，这个我这样吧，我定一个， 呃，运算啊，叫做点击，这个不要觉得陌生啊，这不陌生啊，就是是这样说的，就是说 a 一 a 二 啊，乘上 b 一 b 二，这个等于什么呢？就是一个二维向量乘上另外一个二维向量，它的运算规律呢？是这样，就是 a 一 乘上 b 一， 加上 a 二，乘上 b 二，就定义完毕。 你就理解一下，这种运算呢，是一个很这个简单的一种算法，这个算法是什么呢？就是你给我一个二维向量，再给我一个二维向量，那么我就一个横着写，一个竖着写，然后呢对应的乘 能听懂意思吧？就这么简单啊，那么乘出来这个是个什么效果呢？我想大家如果看到这个，我把自己跟自己乘起来啊，你就发现这个效果出来了， a a 二 啊，如果乘以之几 a 一 a 二，你看这个运算里面得什么？ a 一 乘 a 一 是不是叫 a 一 的平方，是吧？然后呢 a 二乘 a 二是不是叫 a 二的平方？我再说一遍啊，这个呢，就是说我是定义了一种运算 啊，至于定义的这种预算他是干什么用的，那么就是说我们要通过实践当中去发现他，是吧？那现在你已经看到了，如果定义了这种预算呢？那大家看这个项链跟自己做这种点击预算 啊，或者你都不知道他是什么名字都没有关系的，那么你看这个得的结果，你看的是什么？这个是不是说这个点到原点的距离的平方是不？这个点到这个原点距离的平方是吧？ 能看到意思吧？哎，那么我如果给他开个根号，那实际上说你这个点击预算他是有很好的几和亿的，那就说点击预算开根号就是一个点到圆点的距离啊，这是欧式距离，就是我们常见的距离嘛，对吧？点到点的距离公式 是吧？啊，那这个我就清楚的知道。哦，原来啊，你这个东西呢，它有一个含义，这个含义是什么呢？它是点到原点距离的平方是吧？啊？点到原点距离的平方，同理这个也是了，是吧？那么这个呢，就相当于是用 b 一 b 二， 那么乘上 b 一 b 二，他是这样一个运算，这个运算呢，你算出来的是 b 一 方加上 b 二方，是吧？大家，然后呢，这个是这个点到原来距离，那么你开根号，那么他得到的呢？是这个点到原来距离的这个一个表达式了， 这个呢就称之为叫做点击开根号啊，点击开根号我们就算出来呢，自己跟自己的点成开根号就是他的距离， 所以我们现在把它更推广一下呢，大家就看到这个了啊，这个是什么？这个就不是说啊，自己成自己，是自己跟别人做点击， 那么自己跟别人做点击，他得到的这个结果，这个结果是怎么？这是什么这个意思呢？那实际上大家知道这个是说我们在中学数学里大家学到过的一个呢，这个点击的结果实际上是 就是 a 的 长度乘上 b 的 长度，再乘以夹角的他们这个夹角的余弦啊，我给大家写一下啊，这个时候呢，你就会发现呢，他是这样的， a 一 a 二，那么乘上 b 一 b 二，是吧？那么他应该是怎么来？呃，这个进行这个计算呢？ 还是按照这样的来进行计算的，嗯，那么就是这个结果啊，这个结果，嗯，他应该是个什么样的一个情况呢？就说他这个本身点击运算呢，他应该是 a 一 方加二方还根号， 乘上 b 一 方加上 b 二方还更好，那么就两个长度嘛，是吧？然后要乘上它夹角的余弦，那大家知道啊，这个是这个夹角在这，这是它，是吧？ 夹角余弦呢？就是说我现在夹角余弦，就是说我这个是 a 一 a 二， 是吧？这个呢是 b 一 b 二，他这个假角呢是 c， 他 那要成假角的这个余弦呢？我们首先得知道这个怎么算， 是吧？那么这个怎么算呢？这个其实也很简单的啊，我这样我就还画的这样一个坐标系了，那么你要想算出来这个 c 它是多少呢？那么我就写成一个什么，我就把它在在这个， 你在这个，在这个坐标系里也能看啊，就在这个坐标系里看也行了，那大家这样看得到，是吧？我是这样来算了，那就是说我的 这个角度啊，这个角度呢，是可以算他的余弦啊，这个余弦知道是 罚一吧，加这个是罚一角，那么就是考上一罚，他是等于啊，那么就是说你这大的这个角度呢，就是说他是底边比斜边吗？是吧？底边那是多少底边，这个就是 b 一 了， 对吧？就是 b 一 比上，那么他的斜边斜边就这个长度了，但看到是不是这个第二项链长度吗？就是根号下 b 一 方加上 b 二方， 对吧？哎，然后呢？这个法有了，然后你再算一下这个角度啊，大家已经看懂了我意思了啊，然后这个呢是破塞角， 破塞角，这个破塞角呢，实际上是用这个底边比上它的斜边，是吧？所以我们还有一个破塞破塞，它就等于，那就是说用 a 一 啊， a 一 去除以根号下 a 一 方加上 a 二方， 看到没有？哎，那么你想这个 set 是 什么？ set？ 不 就是 five 减去 five 嘛，对吧？哎，那么这样的话呢，我想这个 cosine， 我 要算 cosine， 它实际上就等于什么？就等于 cosine， 那 就是 five 减去 five 是吧？那么你这个的话，你要这这个就要把它这个打开了啊，靠山影阿，法减北塔啊，这个基本的三角公式是吧？看那个俘虏吧。啊，那个我翻一下俘虏，你自己翻一下俘虏，回头看啊，这个俘虏里有 啊，我就是这个 cosine alpha 点北塔啊，是 cosine， cosine 啊，然后加上是吧，就是 cosine 法， cosine 法塞，那么加上 cosine 法 啊，三 in plus 是 吧？哎，那么这样呢，我们就 call 上 c 了，就出来了，它就等于什么呢？因为你 call 三 five 是 这样的，是 b 一 b 上根号下 b 一 方，加上 b 二方，乘上 call 三 plus， 那 么就这个就是 a 一 b 上根号下 a 一 方，加上 a 二方 再加上，那实际上大家这个也看得很清楚，三一方向呢？三一方向呢？就是这个了，就是 b 二比的是吧？就是 b 二比上 b 一 方加 b 二方开根号再乘上，那么这个三一的就是 a 二了， 懂吧？就是 a 二， a 二呢，是这个高度，就是这个值啊， a 二比上根号下 a 一 方加上二方。 我这样说一下，大家就是明白了啊，就是你像这个要是在中学的基本预算当中啊，那你知道点击预算呢，它是等于它的长度乘以它的长度乘以甲角的余弦，对吧？ 好，你现在看到这个扣上 c 的 等于什么？扣上 c 的 是不是就等于呃，这一项加上这一项啊，那么你这样一乘，你会发现他就算出来是什么，这不是出来了吗？他就等于因为你这个就把这底下两个约掉了吧， 是吧？刚好等于什么？刚好等于就是 a 一 b 一 加上 a 二 b 二， 你看你这是不是我给了一个严格的推导给大家，是吧？这过程是挺麻烦的啊，但我推的，但我给你说一下，就是我们事实上是可以自己做一些这种联系的过程的，这叫什么呢？这就是我提出的啊，这个过程性啊， 啊，就是过程性，你可能这个结果是很简单的，是吧？我在代数里面给大家提出过这个，这个啊，你知道零基础会看到的，但是为什么是这样 啊？因为你就刚才我说了，我说我定一种运算，他就是这样算的啊，那有同学这样就很好，就记住他嘛，就这么算他很有用。 那如果说我们要琢磨琢磨，去，想一想，那么我们是不是可以把这个跟中学的一些概念把它联系起来啊？你也可以做这样一个推导，这种过程性做完之后啊，我想你对他的这个把握就是非常深刻了啊，就非常深刻了。那么大家现在想一个问题， 你听好啊，在这里就有一个非常有意思的问题出来了，如果我们这个是任意两个项链啊，你只有点击出来是这个，是这个东西，对吧？ 这个是中学数学里面讲过吧，就是 alpha 一个向量啊，这个点乘一个 beta， 这个向量，这样是等于 alpha 的 长度啊，乘上 beta 的 长度，乘以它的夹角的余弦，是吧？这是个基本的呃，概念。 那么现在假如说我就是说 a a r 跟 a r 自己点乘，那么为什么会是这个呢？ 我说了不要用预算来说，就是既定预算给你的预算规则不用，那你这样可以用这个来思考了啊，那大家想想看，是不是这个 c 才是零啊？啊？为什么？因为你 a 一 a 二 b 二重合的话，这个 c 才是零，对吧？那么 c 如果是零，但这考三 c 就 取一了， 是吧？考场是要取一，那么你想这时候 a 一 方 a 二方，那么 b 一 方 b 二方，那么他是这两个是相等的，当然就等于 a 一 方加二方开根号，那不就得到这个了吗？是不是？同理，那 b 跟自己呢？也是这个假角是零，那么考场写的等于一，那么这样剩下就是这个结果啊， 所以我说到这，大家时间已经看出来了啊，看出什么来了？那么这个科技不等式啊，他实际上就讲了一个非常深刻的这样一个道理，那道理就是讲说 a 一 啊，这个东西呢，是 这个阿尔法自己这个项链跟自己的项链的点击，让他的这个长度的平方，是吧？ 我给他开根号，大家，这都是正的啊，都非负的，可以开根号的啊，这样，这个也可以开根号，那么这个这个开根号，这个开根号，这样这个这个这个就相当于是加个绝对值嘛，对吧？ 好，大家，这样看得到，就是这个长度，就这个代表这个长度吧，这个代表另外一个的长度， 对吧？大家？啊，那假如说这是阿尔法的长度了，这个呢？就是比特的长度了，是吧？大家，哎，那么他为什么大于等于啊？他俩的这个两个不同向量的内积的平方呢？那因为都开根号呢，就把根号都开掉了，为什么呢？ 啊？因，因为这个 cos theta， 大家知道什么时候这个 cos theta 取到最大值一，因为这是有界的啊，它最大取一是吧？那是不是只有当 c 它等于零的时候，那么这个 cos theta 才是最大值， 明白什么？所以我们得到的 a 一 b 一 加 a 二 b 二，实际上是这两个值乘起来之后，是不是再乘上 cos theta， 懂了吗？嗯，所以就是说你这个值呢？这个值实际上就是 alpha 的 长度乘上贝塔的长度，对吧？而这个值是什么？这个值是 alpha 的 长度，哎，乘上贝塔的长度，是不是再乘上一个 cosine theta， 你这个意思明白了吗？啊？他是乘上 cosine theta， 然后呢？就得到的这样这个结果，哎，这得到这个结果，那显然说这个是大一点它的为什么？这个乘一嘛？这是一，这个是 cosine theta， 对 不对？所以呢，就是这样你就会理解啊，两个向量， 这个就是平方和的乘积，为什么大于等于啊？对应元素相乘的平方，就是因为这个对应相乘，它实际上是有个夹角在里头啊，这个自己乘自己没有夹角，自己乘自己没有夹角， 明白了吗？那么这样呢？就不等式就出来了，这就是科技不等式。在以后呢，大家虽然会看到一条，就是根据这个假角谁他的大小，我们可以来研究，就是这个阿尔法跟这个贝塔，他有一个什么呢？叫做鱼弦相似度的问题， 这个就涉及到一个鱼弦相似度的问题啊，这个你现在你不用管它啊，就是，我只是这么提这么一句，什么叫鱼弦相似度啊？这两组数据，嗯，它这个 c， 它越小，它们靠的越近嘛，是吧？大家啊，这个就相似度就高一些， 因为你要想的 c 它越小，这个靠上 c 的 值不就往上涨了吗？对吧？它它它它最终是趋向于一的，是吧？如果你重合了，它就是。呃，这个相似度最高。 啊，那就一样的吗？对不对？那你越分开那相似度越低，明白是吧？啊？那这个就在变小吗？啊？所以这个呢，实际上是有一个数据啊，就是两个向量之间的这个数据相似度的一种重要度量。 啊，这个是现在在这个实际应用当中啊，非常重要的一些基本的数学概念。好了，我就这个这个详细了一点，给大家把这个呢，把它说完了。啊，完了，这是我们说的第二个问题。

你好，我们来看一下一千题第五章的第一题。第一题呢，是让我们求这个 y 的 最小值， 让求 y 的 最小值。首先我们先分析一下它给出的这个函数形式， e 的 x 次方，它是大于零的，那 e 的 负 x 次方呢？它是等于 e 的 x 次方分之一也是大于零的。所以说， y 的 各项均为正数，是不是就满足了均值不等式的前提条件啊？ 是让我们求最小值，并且是和的最小值。让求和的最小值的时候，往往是让各项的基视为一个定值， 如果是让我们求集的最大值呢，就需要让各项的和为定值，所以我们是需要看它的集是否视为一个定值。接第三步就是验证等号的成立条件， 那我们来看一下它这道题应该怎么做呢？首先呢，我们知道 y 是 大于零的， 也就是 e 的 x 大 于零， e 的 负 x 次方是等于 e 的 x 次方分之一大于零，所以呢， y 的 各项均为正数， 也就是满足了均值不等式的使用条件。接下来应用均值不等式，对于正数 a b， 它是有什么呢？有 a 加 b 是 大于等于二倍的根号 a b 的， 并且呢，当且仅当 等号成立的时候，也就是当前仅当 a 等 b， a 等 b 的 条件下，等号是成立的。 我们令 a 是 等于 e 的 x 次方， b 等于二分之一的 e 的 负 x 次方， 那么 y 等于一的 x 次方，加上二分之一的负 x 次方，是不是就大于等于二倍的根号下一的 x 次方乘以二分之一的负 x 次方 等于二，乘以根号下二分之一等于根二，对不对？现在呢，验证等号成立的条件，那当前当前仅当 e 的 x 次方等于二分之一倍的 e 的 负 x 次方的时候，等号成立 是不是就能够解出？我们来计算一下这个过程吧， e 的 x 次方等于二分之一倍的 e 的 负 x 次方，那是不是就得到了二 倍的 e 的 二 x 次方等于一，也就是 e 的 二 x 次方是等于二分之一二， x 是 不是等于负的二分之一倍的二？ 那将 x 等于负的二分之一拉二带入的话，是不是就能够求出 y 的 值啊？ 将 x 等于负的二分之一拉二带入 y 中得等。有的同学这个计算会出错误，我们来看它怎么做呢？ e 的 负二分之一倍的兰二加上二分之一 e 的 负的正，也就是二分之一倍的兰二次方，那他是不是就是 e 的 兰二的负二分之一次方 加上二分之一倍 e 的 那二的二分之一次方呀？也就是二的负二分之一次方加上二分之一乘以二的二分之一次方， 那是不是就是根二分之一加上二分之一倍的根二，最终结果是等于根二。 这是第一种方法，也就是严格按照我们刚才总结的解析思路来的。那再来看从另外一个角度，这个题应该怎么做呢？ 我们观察完函数的形式，知道它是都是正值，那识别和最小的目标 和求最小，它的这个目标 函数是两个正数的和，我们求这个和的最小值和求最小极，一定是要定是一个定值，也就 e 的 x 次方乘以二分之一 e 的 负 x 次方，它等于什么呢？是不是二分之一 乘以 e 的 x 次方乘以 e 的 负 x 次方，那是不是就是二分之一乘以 e 的 零次方，对不对？是等于二分之一的，所以呢，它是一个定值完美的，符合，即为定值的要求， 再验证等号条件。当且仅当 e 的 x 次方等于二分之一倍的 e 的 负 x 次方的时候，等号是成立的。 解这个方程是不是能够得出 x 等于负的二分之一倍的拉二，那这个解呢？它是在第一域内的， 所以等号是可以取到的。 总结一下联想逻辑， 也就是这道题拿到之后会联想的用均值不等式来做的，它的逻辑是什么呢？首先是先看符号， 判断各项是否为正， 如果它是为正的话，那是不是就是满足均值不等式？我们刚才利用的这个不等式，也就是在前一页中利用的不等式是叫均值不等式， 所以对于常用的不等式一定要牢记。第二个是再看目标核最小，那即为定值 就尝试，或者是如果他给出的不是一个很明显的即为定制的话，那就尝试 让两项的成绩为定制。 第三步就是最后验证，确认等号 能取到，也就是确保它这个最小值能够实现。 那这一期我讲解的这里感谢你的使用，如果觉得这个视频对你有帮助的话，请给我点个有用。

好，下面我们看三啊，二次函数的这个不等问题了， 这个不等问题呢？这个大家，大家看到前面我们讲到的是 u s 方程是吧？那么你现在呢，相当于是把那个等零啊， 呃，现在改成不等零，那么相应的问题呢，就会复杂很多，那当然呢，不等问题也是我们数学考试当中啊，就是数学问题当中，呃，一个非常重要的方面了， 我们来看一下我给大家总结的这个表格啊，大家看一下这个表格， 呃，这个表格呢，是把二次函数啊，他的这个表达式和相应的函数图像表达 啊，以及一元二次方程的根和一元二次不等式的解，那么我们把这三个呢做一个对比啊，这个对比底下呢，大家就会发现呢，我们这里有很多啊，就是思路就捋清楚了啊，好，我们来看一下啊， 首先这个对于一个二次函数的这个表达式啊，它的图像呢？在这 是吧？那么如果说这个一元二次曲线跟 x 轴有两个交点，当然它涉及到上面就是判别式要大于零， 对吧？判别式大于零呢，意味着这个如果令它等于零，那么令这个表达式等于零呢？相，相当于在几何上来讲，就是 y 等于这个 二次含，这个一二次表达式就是这个二次曲线了，跟 x 轴的交点有两个，跟 y 等于零吗？它的交点是吧？哎，那么如果只有一个交点，那么这个是 d， 它等于零 是吧？这是方程的根吗？啊，这对应的这，这是吧？这是两个不等的实根啊，这是两个相等的实根，这是一个交点，那么如果没有交点， 那么这样我们现在就是说假设 a 大 于零了，假设 a 大 零的情况下呢，那么就 d 的 小零的时候，这个曲线呢，就跟这个 x 轴就是 y 等于零，没有交点，那就说它不会等于零，是吧？就这个表达是不能等于零，那就是没有实根， 这个呢，是大家中学里面都学过的啊，这个最基本的一个基础了，是吧？那么说对应的这个不等式啊，因为现在我们是在研究什么呢？我们这部分研究的是不等问题，所以我们的重点呢，当然就放在这个呃，底下这块了，那么不等呢，就是这样的 好，我们假设这个 a 是 大于零的情况下啊，啊，在这啊，在这看就行，如果 a 是 大于零的情况下呢，那我们就看这张图了，如果这它大于零，那么大家知道你要让我这个表达是大于零，实际上你要求什么啊？我们就要求它是在这， 这个，这个就是函数值大于零，是吧？函数大于零呢，大家看得到从解的，这个从图像上来讲的话呢，就是只要 x 超过 x 二啊，大于 x 二和 x 小 于 x 一， 那么这样的话，这个表达式呢啊，那么他就是大于零的啊，所以他这个不等式的剪辑呢，对应的就是这块，对吧？那么如果说小零小零的话呢，那我们取的就是这块了啊，就就这块，我取这取到这块的话呢，那么这个函数值是小于零的，函数是小于零的，那要求 x 在 x 一 和 x 二之间的， 是吧？那么它的解集呢？就在这啊，这个很好理解的，是吧？好，如果对于它它等于零的情况，你要让这个 a 大 于零的这个一元二次表达式是大于零的，那么显然就是这个，把哪个去掉，呃，把这个这个 这一个焦点把它去掉，是吧？当然这个大家知道这个点呢，它的 x 的 坐标呢，就是负的，按照这个表达式就是负的二 a 分 之 b 嘛， 是吧？就是 x 不 等于负的二分之 b， x 属于 r 啊，这个是我们的这个，呃，大于零情况，那么如果小于零情况呢？大家知道这个是空积，这是不可能的，因为它不会小于零，是吧？ 最后一个，那么如果当它这个小于零啊，当小于零的话呢，那当然就是说这个整个都是正的，所以呢，这个 x 是 任意取值啊，实数记 r 里面任意取值，那么小于零，那不可能的是空积空积， 那当然在这个问题上来说呢，那我红笔画的大家当然知道我的意思了啊，最重点的当然就是这块啊，因为你这个东西他讨论起来啊，他可能会比较复杂一点，是吧？啊，可能会复杂一点，当然作为分情况讨论呢，这个就是我跟各位同学说的啊， 那么现在开始你要有一个分情况讨论的这个思想了。呃，同学们在中学时候学的这个，高中的时候学的应该是叫分类讨论思想， 我说一下这个词啊，叫分类讨论的这个思想。 我想大家在中学的时候呢，应该知道分类讨论的思想是中学数学里最为重要的一个思想，是吧？数学思想方法，那么你在解析的时候呢，你就要学会去分情况讨论。 我们在大学数学里呢，一般讲的就是分情况讨论啊，各种不同的情况啊，其实他的意思是一样的啊，比如说第一种情况是什么，是吧？第二种情况是什么？第三种情况是什么？ 那么这个一元二次方程的这个不等式，这个涉及到的方，这个判别，那么刚好就是他的判别式啊，一元二次方程判别式三种情况。 哎，所以一般说来呢，你要全面考察大家一定要有一个分类讨论的思想啊，这个建议同学们打个心啊，这个要牢牢记在心中。 哎，你看考研真题一样是这个道理，不管小题大题，你到了那个十二分的大题里面，我们经常会出现你讨论他啊，这个这个各种情况，是吧？比如说给一个数，那这个数要大于一呢 啊，如果这个数小于一呢啊，这个数如果等于一呢，他往往又会出现这个三种情况，就是这个意思啊。 好，这是我们说的第一个啊，就列这个表呢，给大家看一下。好，有了刚才的这个讨论的基础啊，那么我想接下来呢，我们就分呃，三种情况来看相应的考题，那就是接下来我们书上的这个标号啊，二三 四啊，我分别来谈一谈，因为一个呢，就是这个，简单说一下这种结构了啊，他一个呢就涉及到的是我们现在讲这个二，这个呢，一般就是区间根的一个问题，区间根呢，我们就要讨论这个根呢，它组成那个区间 啊，那么他根啊，在这个 x 轴上的位置啊，那他是说这个区间呢，比某个点是个在某个点的左边啊，还是右边，懂意思吧啊？或者在两个点的这个哪里啊？就比如说两 k 一 k 二 啊，他是在这个两个点的里头呢，还是只有一个点在这里头呢？所以说这涉及到这个其实主要是讲的根的位置问题。 第三个问题呢，那后面大家会看到就是我们讲这个表达式，这个函数值的问题啊，实际上涉及到这个函数值的这个正负问题啊，大小问题， 对吧？啊？那这个呢，我们就是说，呃，就是函数值的横乘利的问题，一般就是讲究横乘利，比如说他在哪个区间上这个表达是横正 啊，哪个区间横负，明白是吧？第四一个呢，就是讨论他的这个最值问题了啊，那么进一步的就是要研究他在哪些年取得最大值，哪些年取得最小值，这个呢都是对一元二次曲线的一个深刻的一个讨论和的研究， 对吧？哎，这个呢主要集中在讨论这个 x 一 x 二上，对吧？这个呢主要集中在讨论 f 上，这个呢就是说在具体的 i x i 点讨论函数值啊，说这两个都要涉及到， 我们就都来看一下吧。啊，刚才讲的这个一呢，这个一就是我们说的什么这个就是理论基础啊，这个一呢相当是理论基础， 所以大家这个学数学也好啊，我们听课啊，看书，我觉得有一点呢，就是我们还是要把这个思路啊，始终要捋思路，你不要学着，学着之后呢，我们就陷到这个细节里面去，你搞不清楚思路了，这个不行啊，这个不行。 好，我们刚才已经说了，在整个这个，刚才那个表的讨论当中呢，那么最重要的就是这个表，就是主要这个表，因为后面的两个比较简单，所以我们主要是盯着这个，所以大家看第一个区间根的问题，那么我强调就是他两根的，是吧？两根，首先你要 dota 要大于零， 对不对啊？那么这样讨论起来才有意义啊，有意思啊，也不叫有意义才有意意思，是吧？啊？才有区分度。好，我们现在假设 a 大 于零，那么 a 小 零的情况呢？就大家自己把函数图像翻过来就可以，呃，这个马上就那个结论也就跟着就有了。 我们来看一下对应的这个，这个我给大家一个表格，这个区间根问题呢，我刚才说了，他就是要研究说 x x 二，看到没有，他组成的这样一个区间， 是吧？这个就是两个根，那么他就是扩出一个区间来了，是吧？那么如果他在这个 k 呢，是在这个区间右侧的，不就这个意思吗？位置关系吗？ 对吧？啊？这个这个位置关系问题，好，那么这个怎么去思考呢？那么我书上有这个相应的这个结论啊，都给大家写了，但是我觉得呢，大家不用看啊，我们来一起来这个比划，比划，你可以写一写啊，我们来看一看啊，比如说第一个 啊，第一个呢，它是这种情况，就是我要求这个两个根，两个根，首先呢，你就是要这个 x 一 x 二，那么你就是要什么，那就第一个条件就是一个嘚，它要大于零， 对吧？你这个要确保的啊。第二个呢，就说这个区间呢，有常数 k， k 是 在这个整个这个区间的右边的，那么这个就很好理解了，对吧？大家，那你就右边的话呢，我就比如说这有个 k， 那 么 k 呢？你看到这个函数值肯定是要大于零的， 是不是？所以呢，我们就说再加一条，就是什么？就是 f， k 是 大于零的 啊，那函数值肯定大一点，对吧？但是函数值大于零呢，他不一定是非得在这个区间的右边，他在左边是也可以大于零， 是吧？大家，所以你还得再加一个限制，限制什么？很好，这不对称轴吗？是吧？这个是 x 等于负的二 a 分 之 b， 对 吧？大家，所以我要求什么？我要求这个 k 啊，是要大于负的二 a 分 之 b 的。 好，这三个条件，那就是构成了什么呢？就构成了，就是我可以实现 x 一 小于 x， 二小于 k， 那 这是重要条件，也就是说你要给我一个问题啊，你给我一个题目，那大家想想看，就是你问我这件事情成立他的重要条件，我是不是就写这三个式子 啊？具体题目我们后面才可以再说，是吧？哎，那这就形成了一个什么？大家看，这是不是一个叫不等式组啊， 是吧？啊？这就形成了一个不等式组啊，不等式组就是这个意思啊。啊？具体的，那么就是说你把 abc 就 可以给我了，那我可以去讨论相应的 k， 具体的 k 是 不是能够满足这个条件，那就这三条嘛， 听懂意思没有啊？好，那么你比如说再看这个，我们一个一个看嘛，这个就很简单了，那么如果现在说，我现在是怎么说呢？就是说 k 是 在这个区间外头的 啊，但是呢，他是在左边，刚才这个是在右边，是这个，是吧？那我现在就以为他说什么这个 x 一 写在这啊， 那么这个这样子，这个 k 在 这，是吧？这个我就不不看他了，那么你这个条件非常简单，刚才说过了吧，一个 d 它要大于零，一个 f k 要大于零，还有一个是什么？很好，你这 k 要小于 这个负的二一分之 b， 那 么这样就把右边这个排除了，那么它自然就是 k 是 在这个根组成的，这两个根组成的，这个扩这一这两根为端点的这个括号的左边，这个区间左边的。 哎，这个这样就是也是来确定什么这个根的位置的，是吧？啊？用一个 k 它和 x x 二的位置关系，那来确定这个，呃，根的位置， 这第二个、第三个呢？我们就涉及到的是这样，就说 k 在 中间了，是吧？我们一起来看啊，那这个也很简单， k 在 中间， k 在 中间的话呢？你是大家注意啊，你当然还是要求他什么？这是 x 一， 这是 x 二，是吧？你这 k 在 中间，大家马上就看到了，是不是就是 f k t 小 于零， 是吧？因为我们这是就是假设 a 大 于零的啊，就开口全部朝上的。好，那你现在就说 f k 只要什么小于零啊？小于零啊，有错了，小于零，只要小于零就行了，是吧？那我问大家还要不要这个单它大于零的这个东西？ 首先你这个 k 不 需要跟这个对称轴比，为什么？因为这个 k 呢？不论是在这边还是在这边，这个都应该是可以的， 对吧？哎，他没有这个没有区别了，所以不需要 k 在 大于这个对称轴的点的位置，还是小于它，这个不需要。那么问大家需不需要，但是它大于零呢？也不需要了， 为什么？你想想看我一个开口朝上的曲线，一圆二次曲线啊，他有，他有负值，意味着他一定是有两个根的， 对不对？这个呢，在大学数学里面呢，这个有一个就是介值定律，或者叫零点定律，大家在中学应该也学过，就是如果他这个开口朝上，那么他肯定有大于零的函数值， 是吧？啊？蒸蒸日上嘛，你这个肯定大于零的函数值，你现在如果又小于零的函数值，那么则在这个函数值的自变量和 k 之间一定会有零点 啊。然后呢，在这个同理，这个 k 到正无穷的这个区间里面，他一定会有零点， 而且这个都是单调的啊，所以他恰好就是两个零点，就是说这个单他是不需要的啊，不，不需要的啊，所以这个创条件呢，就只需要这一条就行啊，所以就是 x 一 如果小于 k 小 于 x 二，那么他的创条件就是这个 f k 小 于零 啊，这是我们的第三个问题。好，那么接下来呢，就是第四个和第五个，这个呢，涉及到这两个了， 两个 k 一 k 二，是吧？那你比如说我要求 x x 二是被包在这个 k k 二的区间里面的，那么这个怎么分析呢？这个也，这个也很简单，就这个意思，那么现在 x 一 x x 二，是吧？ 我现在是被包在这个 k 一 k 二里头，简单多画一点了，那么这个是叫做 k 一 啊，这个叫 k 二， 是吧？大家，哎，那么我觉得数形结合啊，大家虽然一定要一个基本的一个情况了，那你，你现在要要求什么呢？首先大家看得很清楚，这个 f k 一、 f k 二都得大于零吧？ 啊？ f k 二要大于零，这个没问题，是吧？而且呢，这个 x 一 x 二呢？哎，很好，大家注意啊，它是一定是得是在它的这个里头的，你现在如果只保证 f k 一 f k 二大于零 啊，那么只保证 f k 一、 f k 二大于零呢？这个是不够的，为什么？因为你现在 k 一 k 二，如果在 x 二的右边，它也可以实现两个点函数值都大于零，是吧？什么意思呢？就这样的，你比如说这是 x 一 x 二， 那你要是如果是在这取个 k 一， 在这取个 k 二，这两的函数值是不是也大于零啊？是吧？啊，那你并不能保证说 x 一 x 二组成的区间， 那么它实际上是包含于 k 一 k 二的，这个就做不到了，是吧？因为这个区间并不在这个区间里头，你现在要求是什么呢？我现在要求这两个点都在这个区间里，实际上也就是它构成这个区间是这个区间的一个子区间呢，是吧？ 所以呢，你这种情况要排除，大家说怎么办？很好，那你就说我们，我们前面有经验啊，刚才前面这个几个讲过了，那就说你要想这个 k 啊，他到底是在左边还是右边，这样你就跟那个对称轴去用对称轴的信息去限制他， 对吧？我们知道这个对称轴呢，是 x 等于负的二 a 分 之 b， 那 你要求什么？那我就要求 k 一 怎么样？一定得小于，是吧？看见没有？这个 k 一 得小于它， 对吧？那同样你要让它分别在 x、 c、 x 的 两边，那么就是 k 一 只要小于负的二分之 b， 那 么显然 k 一 就是在这边了 啊，但是 k 二也得限制，为什么你 k 二得大于它，你否则的话 k 二可以跑到这边去，能听懂意思吧，那它完全可以在这边构成一个 k 一 k 二 啊，这个也不行啊，所以就是两边啊，用这个对称轴把他俩隔开，这样的 k 一 k 二只要大于零，他就一定在两边了，就是这个当然还得有一个限制。什么限制呢？你要有两个，这个就是说根在这哈，如果是两个根， 那么我就 d， 它要大于零，如果它没有提 x 一 x 二是否相等，那就可以出现什么哎， x 一 等于 x 二，也就是说这个根的区间呢，就缩到一个点上去了，对吧？那也可以。哎 啊，大家注意啊，我讲这个根的区间啊，是指以这两个根作为端点组成的一个区间啊，是这个意思啊，啊，他中间是没有，不是他的根啊，只是，只是这两个根，我们为什么讲区间根呢？他主要是一个想确定这个 x c x r 的 位置的这个问题， 懂吧？所以呢，才会提到这么一个区间根的问题的这个概念啊，不是说这里面都是他的根啊，这个一定要说清楚。 好，那么就是说，如果是你 delta 小 于零的话呢，它可能是这样的，你这样的话，即使保证 k 一 大于零啊， f k 一 大于零， f k 二大于零，并且呢， k 一 k 二都在这两边，你说这个三个条件都成立，这个也不一定有，为什么呢？因为它不一定有根，所以这个 delta 大 一点零的不能少 啊，那么这个情况就已经比较复杂了啊，他需要我们四个不等，是吧？但大家注意啊，这个等号你一般可以不写，因为假如说 x 一 不等于 x 二的话呢，这个等号就不要了，那么就没有提到 x 一 x 二是否相等的话，这个等号呢，还是要要的。好吧，是是这个意思啊，是这个意思 啊，那么假如说我们现在就是说这个不等的话，那既然我们提到了两个根，那我就是说这个等号可以就不加的啊，就是严格大于号。 好吧，这个细节你知道就行了。好，最后一列，最后一列呢，涉及到的这个呢，其实大家讨论完前面这些了啊，我想这个就相对来讲就简单多了，是吧？哎，就是说 x 一 x 二，尤其仅有一个在这个 k 一 k 二里头， 那你想我是不是确实是在研究这个根的位置的，对吧？啊，根的位置。好，那么下面呢，我们就把这个说一下啊，这个最后一个呢，我们也可以当做一个呃，作业啊，但我一般给大家布置作业呢，我希望你一定要做 啊，当课堂我一定会把这个作业单我基本上提示完了，我提示大家呢，基本也就是答案，是吧。哎，但是我还是希望你能够自己在这琢磨琢磨去，是吧？哎，你这这时候可以暂停一下，你自己去先想一想啊，相应的这个问题。好，那我现在就是说我这个 k 一 k 二啊， 是来这个刻画我这个 x 一 x 二的位置的，是吧？那么现在我们说如果出现一种情况，就是 x 一 x 二， 尤且仅有一个这个根在这个呃， k 一 k 二内，那就涉及到什么呢？那么这个分情况讨论就是前面我说啊，大家要学会分类讨论的思想是吧？或者分情况讨论的思想， 分类讨论的思想呢，大家就是一定要有一个全面的这个思想，就是不穷不漏啊， 重复呢，大家一般不会重，但是这个漏啊，这个确实是容易漏的，比如说这里面你要讨论什么啊？我们来说一下啊。首先第一个情况就是如果确定的是说这里面有一个根 啊，另外一个根在外头，大家注意啊，你画图你就可以这样画了，假如说这样情况呢，他就这样可以是这样的一种情况， 是吧？那么如果是这样一种情况呢，大家就会得到一个结论，什么结论呢？就是只要这个 f k 一 跟 f k 二这个函数值是一号的， 说吧，大家这个就可以了啊，这就是一种情况，在这种情况下，我们是可以得到这里面有一个跟 x 二，那么外这个 x 一定在外头的。为什么？我们来说一下啊？ 这根据前面我们讲的这个零点定理，这个链定大家应该是知道的是吧？应该知道是吧？就是我再简单通俗的说一下啊，如果有同学不知道呢，我通俗的给大家比划一下。这个这个零点定理呢，是这样， 就是说如果 f x 是 ab 上的连续函数 哦，这个连续呢？当然我们现在也没办法就讲清楚。呃，我只能这样跟你说啊，就连续的话呢，你现在可以暂时理解为就是你把笔放在纸上 啊，你就画开始画线，不要抬起来这笔，那你这样画纸就是连续函数是吧？啊，好，那假如说大家知道这个是说 a 啊，这是 b， 好 吧，那么这样的话呢，是个连续函数，那大家想想看，如果一条线就直接摁着 纸上啊，这笔不抬起来，你要从一个负值划到一个正值，是不必然得经过 x 中， 是吧？能听懂意思吧？所以呢，这个就是零点零底啊，所以 f x 如果在 ab 上，这个 f x 是 连续的话呢，且就是 fa 乘上 f b 是 小于零的 啊，就是两个端点之一号啊，比如从负到正啊，或者从正到负啊，大家是不是必然会经过原点啊？经过这个 x 轴，说经过 x 轴呢，我们就自然会有什么 f 一个点，比如说写 x 零吧，那至少有一个 x 零点会使得函数值等于零， 能听懂意思吧？啊？至少有一个，那么如果你有单调性，那么如果这段是单调的，他就只能有一个焦点啊，如果他没有单调性呢，那他就有可能是这样的，是吧？他可能有若干个焦点，不止一个了啊，那么单调的话呢，那就肯定只能有一个焦点啊， 这个我大概先说一下啊，呃，这个应该是好理解的，是吧？啊，这个好，呃，这个说完之后呢，我们来继续回过头来看这段啊， 那么这样的话呢，就是说我 f k 一 乘 f k 二如果小于零，那大家想想看，是不是 k 一 k 二之间必然有一个零点，那么你不就是说 x 二是不是在这里头了， 能听懂意思吧，那么 x 二在这里头是这样，那么 x 一 呢？ x 一 肯定不在这里头，为什么？因为你 f 这个 k 一 啊，那么他是小于零的了，那么大家想想看，这是小于零的话呢，那我这个整个这个一圆二是曲线，他往左边走下去，我们说了，他一定会走到正的，对吧？因为你抛物线开口朝上，他一定会走到正直， 能听懂意思吧？他一定会走到正直的话呢？也就是说 x 一 一定是在哪？ x 一定是在负无穷到 k 一 里头的，因为这边有个正值，这边有个负值， 明白是吧？啊？那就因为他单调的，是吧？所以这个呢，就是说这个条件就能够确保，那么就是一个根在 k 一 k 二里头，一个根在 k 一 k 二的外面，当然我一说外面，大家也懂了，只要我这个图不一定只有这种啊，他可以是什么啊？他可以是这种啊，就是这个意思了， 这样画也行，是吧？你就说这个呢，是 x 一 啊，这个是 x 二，所以道理是一样的，就是如果 f x 一， 呃，乘上这个 f x 二， 对吧？ f k 一 乘 f k 二，那么刚好一正一负，那么一正一负呢？这里头肯定是有什么，呃，这肯定是有这个十根的啊，就是说他一定有零点，是吧？大家啊，一定有零点，然后呢？这个有负的这个，所以他另外一个点一定在这个区间外头， 明白了吗？啊？是这样的一个情况，好，这个是我们说的第一种啊，就是 两个根一定在区间那面里面有一个，尤其仅有一个，另外一个在区间外面啊，这是这个就够了啊，这就够了，因为我们前面已经说过了，只要开口朝上 一个 f k 只要小于零，他就一定有两个实根，这前面说过了吧，所以你现在两个根是一号的，一号的，那肯定一个正，一个负，所以也就直接说明了，那么这个德塔是大于零的，所以不需要写的啊，大家不需要写的这个是一个条件 或者是什么，所以很多同学可能讨论完这个就结束了，这就是你分类讨论这个不够全面，大家想想看，是不是韩愈这种情况是什么呢？哎，对了，我们这个题的是什么？这个大家一定要注意啊，我们这个实际上是开区间，看到没有？ 就是说我这个 x 只要落在这个这个尤，尤其仅有一个落在这个开区间内， 明白吗？那你就不能排除一点什么呢？哎，很好，但就是另外一个根是不在区间端点上啊，对吧？所以第二种情况我画在这了啊，你第二种情况呢？他像是这个意思，就是说我刚好你看这个是 x 一， 是吧？ 这个是 x 二，而这个 k 一 呢？正好是等于 x 一 的，你看好啊，如果 k 一 就落在 x 一 上，那大家想想看，这个 k 一 的一个这个括号，是不是把这个 x 一 排除在这个开区间内， 它排除在开区间，那个它就是排除它在开区间内，它就不在开区间内，明白了吗？那么另外一个点在哪？那 x 二只要在里面就行了，大家看这种情况是不是依然是 只有，尤其仅有一个根在 k 一 k 二内啊？ k 一 k 二内嘛？就是这个这个啊？啊，这不是说这 x 二，那么这个是 k 了这 k 二了，对吧？这个是不是也就是只有一个 x 二在 k 一 k 二内，就是这个就是说出现了这么一个情况了， 那看懂意思了吧？哎，出现这种情况，好了，那么这个时候呢，我们这样就要求什么？只要 f k 一 等于零，因为 f k 一 就等于 x 一 就是 k 一， 所以要求 f k 一 等于零， 看懂了吗？然后再有什么？各位，哎，很好，因为你已经打着这个点了啊，你看着图说话是非常清晰的，那么这时候我就要求什么？要求 k 二一定要是比 x 二，要什么呀？要来的大 啊，要比 k 二来的大呢？那么你现在倒不能说说，哎，就是你要说这样说，你说是 k 二是什么？是大于零的， 你要只讲这个 k 二是大于零呢？这个不行，为什么？因为我们现在是讲说 f k 一 是等于零，那么他意味着说可能是这一点，也可能是这一点， 对吧？能听懂意思吧，因为你 x 二点也是零啊，对吧？所以你一定要限制掉什么呢？哎，很好，你首先还是拿对称轴来说话啊，这 x 等于负的二 a 分 之 b， 是 吧？大家，那么你这样说的话呢，就是 k 一 呢？ 就我写一下了啊，一个呢，就是 f k 一 是等于零的，且我们要求什么呢？ k 一 得是小于负的二 a 分 之 b 的， 是吧？所以你这 k 一 呢，先给它扒拉到这边来，它不能往那跑了，对吧？然后呢，你再加一条，你再加一条是什么？那么这条就要求 k 二，那么也得什么？它得这个是 大于 x 二的，这个是没有问题的，因为什么？因为我们现在做所有的这个表达式里头呢？它只会有系数 跟 k 的 关系，你不能写大于 x 二，是吧？那么 x 二是几？那么我们这个表达出来这个是很容易的，是吧？那大家知道，我既然现在呢，这个，我既然现在这点是负的二分之 b， 看好了啊， 这个很简单啊，那么这点是不叫 k 一 啊，这个 k 一 可以用的，所以呢，这段长度大家知道，这段长度啊，实际上是负的二 a 分 之 b 是 不叫减去 k 一， 对吧？哎，你们在竖轴上，我并不管你跟零的相对位置关系，我没有画这个，呃， y 轴啊，是吧？然后没画 y 轴，意味着我不管他，但是总是这个点比这个点大了，那么于是这段长度是不就是他， 懂吗？哎，这不就出来了吗？然后的话呢，大家知道 x 二的呢，这一段跟这一段这是对称的，这两段长度相同，是吧？所以呢，我就是用 k 一 加上这块，你看懂我意思没？那么 k 一 加上这 k 一 呢，就是这段喽， 对吧？哎，那么 k 一 呢，就是说你理解的 k 一 呢，它实际上是说它到零的距离了， 对吧？我再说一遍啊，他这个位置关系上来讲呢，我不去画 y 轴啊，我不去画 y 轴的情况下，那么我 k 一 就代表的是 k 一 减零， 对吧？那你 k 一 如果是大于零的，所以 k 一 减零就正的，那那些人就是这种情况，对吧？但是没有关系，那即使是我这个轴 y 九画到这来，没关系，你 k 一 听好了啊， k 一 到零的距离，那么还是 k 一 减零， k 一 减零。假如，假如 k 一 是负二，那么负二减零是负二，没有错，因为 k 一 到这个点的距离是反着走的，那显然就是负二，所以大家不需要去在图上加什么绝对值啊，这个不需要的， 所以呢，就是说我这个 k 一 啊，就是说从他他他到零点的距离吧，那当然，你这样看的话，更显得这个习惯一点，是吧？那么这个就是这段加上这一段，那大家先看，就这段，呃，加上这一段了，就是这一段加上这一段是不就到这了， 是吧？然后呢，你再加这一段是不是到 x 二了，所以 x 二呢？是他需要加两倍的吧？能看懂意思吗？就是 k 一 加上 k 一 是到这，对吧？然后呢再加这一半，再加这一半是不是两倍的他是吧？啊，所以这样的话呢，你会知道什么？他实际上是 x x 二的坐标是什么呢？ 是这个 k 一， 那么就是这个是，这是负负得正了，是吧？这三 k 一 看到没有减去 a 分 之 b， 对 吧？所以我这个你看的很清楚，我这个 k 二怎么样啊？只要大于这个数就行，因为 x 二的坐标是这个 啊， x 这个是这个是。我们经常在这个细节分析当中啊，就是出现呃，这样的这样的情况的啊，这个经常会出现这样的这个情况，哦，我看一下，我看一下，这个应该是负的，哦，这个应该是减号，是吧？减号，这个正的，这是正的，哦， 不是，这可以，这副可以啊，副可以啊，不好意思啊，这个是副可以，我说这个不对呢，这个是副可以， 是吧？啊？因因为因为你这个 k 一 减去 a 分 之 b， 再减去二 k 一 吧，打开它就行了，负 k 一 减 a 分 之 b， 是 这个啊，这是 x 二点坐标，那么 k 二要大于它，所以 k 二呢要大于负 k 一 减去 a 分 之 b， 明白是吧？所以呢，你还要加这么个条件，那么现在呢，是让这个写法上来说呢，那大家看这个是怎么写出来的呢？这个角度呢，是从另外一个角度来说的，但是呢，他这个一定是可以转化过来的， 我跟你说一下，这个是怎么来的啊？二分之 k 加 k 二，那么他就是说是 k 一 k 二的终点了，对吧？那么你只要说 k 一 k 二的终点 大于这个轴，那你想想看， k k 二的中点就意味着说是 k k 二之间距离的这个一半嘛，是吧，那么这个距离一半呢？如果这个点的坐标是大于负二分之 b 的， 那么显然说这段距离是超过这段距离的， 那么这个就是说这个大于它就行了啊。当然，你这样分析呢，就有同学可能想不清楚，那你就写我这个， 这是一样的啊，大家看是不是一样的？呃， k 二大于负 k 一 减去 a 分 之 b， 那 么你这样的话就得到什么呢？把它挪过来，就是 k 一 加上 k 二，大家看啊，是不是大于负的 a 分 之 b， 是 吧？然后你按照我这个都除以二，你看除以二这不等号不变号，是不是叫 k 加 k 二除以二是大于负的二 a 分 之 b 的， 你看是不是确实是这样的？大于负的二 a 分 之 b 的， 是吧？我们画张图啊，就很多问题呢，就可能理解的更为清楚一些了，好吧，理解的更为清楚一些了。 呃，这个意思呢？就是这样啊，就是这种情况，当然啊，我建议大家这个也要给他搞懂啊，要搞懂，因为你现在是是这种情况，是 k 等于 x 一 了啊， k 等于 x 一， 那么你现在这个对称轴呢？是 x 一 x 二的对称轴。

我们看这道题，提供两种做法，他说证明对任意的正整数 n 均有二的 n 次幂加二大于 n 方， 那么对于这种竖列不等式，我们的第一种思想就是能不能给它转换成函数不等式二的 x 幂加二大于 x 方，肯定是在 x 大 于某个点的时候成立， 那然后你看这是指数函数，这是密函数。根据我们无穷大笔接的这个思想，在无穷远点，这个指数函数啊，一定会远大于密函数，就他比他大的多， 那也就是 x 一 千呢，一百万呢，估计这个不等式他是肯定非常成立的。那我们可以画图来比量一下他这个函数的这个趋势，那么如果 x 方哎是这么样一个抛物线的话， 我们这个二的 x 密加二呢，很可能一开始他到这个蓝线的距离会缩短，越往后面呢，他会越陡峭，那么越陡峭，他和蓝线的距离呢，就是拉的会越来越大，大概这个意思。 那么所以啊，根据我们对这两个函数图像的了解，也就是这个地方存在一个关键的点啊，这个点开始，我们这个距离会拉大， 如果这个距离拉大的话，不就是他们俩做差是单调递增的吗？那么因此我们考虑 f x 等于二的 x 米加二减 x 方，应该 x 会大于某一个点。开始我们这个小 f x 是 单调递增的，它大于零，肯定是大于零的啊，因为这个结论一定是对的嘛， 所以在大于零之外呢，他还是单调递增的大于零。那么怎么证明单调性呢？我就是求导呗，就等于二 x 浪二二求导就是零减去二 x， 你 看这是二的 x 密，这是二 x， 那 我带什么点呢？我尽量带那种，他都是跟二有关的，好提供一式，比如说算算 f 撇二啊， f 撇四啊，那往里面带啊，那么二的平方就是四倍的浪二减四，哎呦，这个不行，这个失败了，你看 是浪二减一，浪二是小一的，这个导数是小于零的，是不是？所以二这一点还不行，那么 i 撇四往里面带呢？二得四十六倍的浪二减去八，然后把这个八提出来，就是二倍的浪二减一，这是可以的， 二倍到二呢，把二放上这来，就是八倍的浪四减一，那么浪 e 是 等于一的吗？所以浪四就大于一，那么这个就大于零，所以从 d x 等于四开始，他这个地方就一定会递增了。 那然后就是 x 等于一二三的时候，这些整数的时候，你就单独往里边去代验证这个不等式就行了吗？于是我们下面来写一下这个步骤啊， 也就是啊，取咱们刚才这个函数，就是二的 x 米加二减 x 方，那么 f 求导呢，就等于二 x 浪二减二 x， 咱们刚才已经验证了啊， f 撇四呢，是等于多少来着啊？提供一式的话，是八倍的浪四减一啊， 八倍的浪四减一呢，就是大于零的。那然后我怎么说明 x 比四大的时候，这个导数也是大于零的呀？ 我不妨再求求二极岛吧，因为这个函数都很熟啊，他的求岛呢，也都是比较简单的，就等于二 x 浪二再乘以长的浪二，就浪二的平方再减二，那么 f 撇撇四呢，就等于二的四乘以十六倍的浪二的平方减二，把二提出去，这是八，是吧？八变成二倍的四， 四就变成二倍的浪，二的平方再减一，你看啊，这个提出就相等的吧，所以它也就等于二倍的二倍的浪，四的平方再减一，这是大一的数，这是大一的数，所以这就是大于零。那你看，从四开始， 这个数是大于零了，再往后也都大于零，因为我们知道指数还是单调增的，这就不用解释了，对不对？所以我们就能推出来， x 大 于四的时候， f 撇撇 x 肯定是大于零的， 所以 f 撇 x 单调递增。那你不是 f 撇四大于零吗？哎，所以我们就知道，哎，我们这个 f 啊，就是在 x 大 于四的时候， f 撇 x 也一定是大于零的。 那么既然 f 撇大于零，我又能推出来 f x 单调增，然后你再验证一下， f 四它肯定是大于零的， 所以 x 大 于四时， f x 就 都大于零。 f x 大 于零的话，那当然就是 f n 也大于零，这个是 n 大 于等于四的时候是成立的。 那么咱们刚才这个 f 四大于零，我没算啊，他一定是成立的，因为让你证这个结论肯定是对的嘛。所以 f 四大于零，这个你带一下是吧？给他，给他表面上验证一下。那么 f 四大于零就推出来 f n 大 于零， n 大 于等于四成立。 那么然后呢，就是 f 一 大于零也成立， f 二大于零也成立， f 三大于零也成立，这三项也验证一下，那于是这个方法就做完了， 那么这种方法就属于对初等函数比较熟啊，暴力破解了。然后第二种方法呢，就是归类法，这归类法呀，这道题是一种标准的归类法的题， 咱们数学规划法在大学里边有第一规划法和第二规划法啊，这个第一规划法我相信你高中会经常用的，就是先验证某一项开始成立，然后 n 等于 k 成立，推 n 等于 k 加一成立，这就证明了 n 大 于等于，这个首项呢，就都成立。 还有第二个规划法，第二个规划法适用于他一开始的递推关系啊，就是 a n 加二等于多少倍的 a n 加一是不是加上多少倍的 a n 减一， 它是多项的地推，如果它是多项的地推，比如说咱们大学数学里边那个信息代数的行列式，是不是就出现 a n 加二的行列式和 a n 加一的行列式？ a n 行列， a n 减一的行列式，它有地推关系，这时候尤其三对角行列式，很多就都要用这个第二个算法才行。也就是我先验证一开始有一个式子是成立的， 然后小于等于 m 都成立。也就是说，哎，你从 n 得一的时候，就是 a 三推 a 二推 a 一 推 a 零，就是 a 三 a 二 a 一 a 零，它这个时候等式成立的。然后呢，小于等于某个值都成立，再推 a 等于 m 加一成立， 他就这样，相当于是，哎，三项三项往前推，三项三项往下面推，这样也能推到最后的结果。那么大家对规划法不熟的话，也是可以看看我们高中基础知识衔接这个地方啊，就是对大学这个衔接课程把这个方法我们也是举了好多例子。 那我们来用规划法写一下这种题的步骤。规划法呀，特别适合糊弄这种数列题的步骤分咱们大学这个极限，这个章节不是有数列的这个证明题吗？所以数列证明题很多时候都要用到这种拨拨规划法的啊。那么 n 等于一十，那么二的一次米加二呢？大于一的平方成立啊。 然后呢，我们这地方先空着啊，假设 n 等于 k 时，有二的 k 次幂加二大于 k 的 平方后面空了啥呢？我一会再来解释啊。然后我推 n 等于 k 加一的时候，能不能证明出来，就是这个地方带入 k 加一也是对的， 也就是二的 k 加一，次幂加二能不能大于 k 加一的平方？那么这要怎么挣呢？当然是利用 n 等于 k 这个不等式，往 n 等于 k 加一这里面去带，也就是把它提个二出来就是二的 k， k 次幂再加个二，那这个就是四了，再减二才和原来相等。 那我们看你凑出来这个部分，就正好把它往里边带，把它往里边带的话，这个地方就出现大于二 k 方减二。那最终的目标我们是要大于 k 加一的平方啊。那 k 的 平方怎么能变成 k 加一的平方呢？ 那我们当然就是直接应凑就行，这就是完全平方的这个应凑嘛，给它写成一个 k 加一的平方，再加多少才会变成原来这个二 k 方减二啊，这个 k 加一的平方里边有 k 方有二， k 有 一呀， 那么所以原来是二 k 方这个地方要再加一个 k 方，原来这地方是没有二 k 的 啊，所以要减个二 k， 原来这个地方是这个一，那应该要减个三才要和原来相等。那么好了，大家可以合并一下啊，这是和原来相等的， 把这个地方再化简，就是 k 加一的平方，加上这个一二方程在初衷很熟，是不是正好可以因式分解呀？那么于是就是 k 减三乘以 k 加一， 那么关键的步骤来了，你要大于 k 加一的平方，是不是要让他大于零啊？这就是抛物线，这个抛物线要大于零，是不是要 k 大 于三的时候才成立啊？ 那么你看这不巧了吗？这个 k 大 于三和咱们前面那个方法，我们也是大于等于三，或者大于等于四成立，是不是也是前三项的硬带，因此你前三项是硬带的， n 大 于等于四啊，或者说从第三项第四项开始，他这个不等式才比较好。正前面几项，他这个两个不等式之间这个距离啊，是比较复杂的， 因此你刚才这个地方属于少写了，也就是为了让这个规划法它下面比较容易写啊，前面要多带几个，就是 n 等于二十，它也成立， 然后 n 等于三十，他也成立，这个我就不验证了，他肯定成立，这个答案是对的嘛。那么所以 n 等于 k 时，这个地方备注一下，我们这个 k 呢，就是大于等于三的时候有二 k 自密加二大于 k， 方设 n 等于 k， k 大 于等于三十成立，那么 n 等于 k 加一时。哎，那么既然 k 都大于等于三了，这个数它就是一个大于零的数， 或者说直接 k 大 于三吧， k 大 于三呢，就大于零的数就不要等号了啊。那么 k 减三是大于零的数，那么这个就完美的实现了，我们这个式子是大于 k 加一的平方的，因为这个数它大于零嘛。 那么好了，你看开头看结尾，你证明了二的 k 加一次密加二呢，大于 k 加一的平方，所以就是 n 等于 k 加一的时候，它也是成立的。那么由我们的数学归答法就证明了 n 的 n 次密加二呢，都大于 n 方就没问题了。 那好了，大家再熟悉一下归类法的步骤啊，他在大学数学里面非常有用，咱们很多数列的极限呢，都要依赖数学归类法，还有这个大学的现代数很多都要依赖于这个第二归类法的。那好了，大家关于数学有任何问题多和小老师交流，我们下个视频再见。

我们看这道题提供两种做法，他就是让我们把这个多项式乘开，这种运算在高数的泰勒公式里面常用，谐音代数的二次形也经常计算这个， 那我们第一种方法就是利用谐音代数，大家观察规律啊， a 一 加二加 n， 如果让你乘以 b 一 加 b 二加 b n 的 话，怎么算呢？就是用这个 a 一 乘以后面这个小扣的每一项再相加，就是 a 一 b 一 a 二 b 二，一直加到 a 二 b n， 那么依次下去，一直到 a n 乘以后面这个每一项。那你看这个乘开不就是这个矩阵吗？这一行就是 a 一 b a 一 b 二 a 一 b n 呢，就是 a 一 乘以后面的小括号了啊。第二行呢，就是 a 二 b a 二 b a b n， 一 直到最后一行就是这个样子的， 所以啊，怎么能变成这个矩阵呢啊，也就是它乘以它可以给它变成 a 一 a 二 an， 这个列向量乘以 b 一 b 二 b n 这个横向量，哎，把这个矩阵一算，就是长成这个样子， a 一 b a 一 边， a 一 边，然后 a 二 b a 二 b a 一 边，按照这规律写完了啊，所以它乘以它等于下面这个矩阵了之后再把这个矩阵的元素都加在一起 啊，加加加加加，是吧，这么加在一起，哎，加在一起汇总就是我们最终的这个化简的结果了， 而且大家看这个展示形式，他也比较清晰，所以我们用这个方法来算这个的话，就是二 a 的 立方， ab 的 平方， b 的 立方，把它写成这个列向量，旁边呢，这个就是 a 方 b， 然后呢负 a b 方，哎，别抄错题啊，把它乘开就可以了，先用第一个元素乘以这里边每一个，那也就是它乘以它就等于二 a 的 五次幂乘以 b 啊，然后它乘以它就等于负二 a 的 四次幂 b 的 平方。 那么第一行结束，再用 ab 方这个元素乘以它，那就是 a 的 立方，然后 b 的 立方，再用这个元素乘以它，那就是负 a 的 平方， b 的 四次密。 那么第二行结束，再用 b 的 立方乘以它，那就是 a 的 平方 b 的 四次，哎，再用它乘以它，那就是负 a b 的 五次，把这个矩阵的元素给它加在一起， 那么我们会发现这两个一加就抵消了，哎，别的是没有抵消的，所以就是二 a 的 五次幂， b 减去二 a 的 四次幂， b 的 平方。第一行抄完了啊，然后第二行呢，有一个 a 的 立方， b 的 立方就结束了，最后一行呢，有个减 a b 的 五次幂做完了。 那这个方法呢，还是比较重要的啊，我们有一些高中数学基础里面的不等式，就用这个方法来化简的，比如咱们展示一下这个排序不等式啊，把这个排序不等式变成这个版本，那么这个版本是怎么来的呀？就是涉及到他和他的化简，对吧？ 那么成开化简呢？得到这两个缩放，那么其实就要整理规律，那么整理规律呢？就是，哎，罗列成矩阵就更容易找规律，如果不罗列成矩阵的话，盯着就比较繁琐。你看矩阵的话，这一行和这一行正好能提供一式啊，提供一式之后就能产生这样的不等式的形式， 那么这个方法结束了。下一种就是正常计算，也就是先用二的立方乘以后边这个小括号的每一项，那也就是二 a 的 五次密 b 这第一项，然后减去二 a 的 四次密， b 的 平方，第一个乘完了， 那么下一个就是 ab 的 平方，乘以后面这个小括号，那也就是加上 a 的 立方， b 的 立方，然后呢减去这个就是 a 的 平方， b 的 四次密， 那么第二个结束了，再用这第三个元素乘以这个小括号里边的每一项，那就是加上 a 的 平方 b 的 四次密，再减去 a b 的 四次密啊，这应该三加二，应该是五次密啊， ab 的 五次密。 那么好了，哎，把这个地方约掉，然后把这个细数往回抄，这就和刚才那结果是完全一样的。那么这种运算最早应该在初中就讲过的啊， 那么咱们备考研究生的群体呢？有些都是工作十年左右了啊。那确实这种基础知识也是需要复习一下的，但是大学生基本上这种还是在大学的各种专业课里面比较常见的一种预算了，所以同学们各种基础有问题的话，欢迎多跟小老师交流啊，我们下个视频再见。

二分钟让你通过一道题学会一道题，这是将以一零零零题像的一道终极定律证明题。主播感觉第二问的答案真是抽象，于是主播决定来分享另一种做法，拿到这题，我们先干什么？当然是先写证明，把题目下注，然后我们进行思考， 题目给出二阶导不等式，又给了端点函数值。第一问让我们证明 f x 的 一阶导绝对值小于等于二分之大。 m 很 容易想到利用泰勒一项放缩，那直接开始操作它。 我们将两个端点在 x 处展开相减，就得到了 f x 一 阶导的表达式，再套向绝对值，利用绝对值不等式轻松得到答案。这里的放缩看右边， x 和一减 x 都是零到一之间的正数， 那么就会越平方越小，所以这里小于等于一。当 x 等于零和 e 时，可以同时取等，所以是小于等于。接下来我们看第二问，题目已经给出两个零点，第二问又加一个零点，然后就让我们把小于等于变成严格小于来证， 哈哈哈哈哈哈。那么既然有三个相等的函数级，我们可以考虑先写出罗艾定律，得到两个异界岛等于零，然后继续思考怎么得到严格小于。 我们知道终极定律得到的终极是在开区间内的，而开区间和 b 区间与严格小于和小于等于好像有些许联系。 我们可以通过 b 区间向的 x 与开区间向的终极作恰得到严格小于区间长度，那么我们继续操作它。当 x 小 于零到二分之一时， x 减一太一是严格小于二分之一的。 再用一次拉格朗逸终极定律可以分离出 x 减一太一就可以放松得到严格小于二分之大 m， 那 么当 x 小 于二分之一到一时，同理。最后写综向所述，每每交界。

好，我们看这个题啊， a 大 于零，在零到 a 区间上方程根的一个个数，我们观察到，这是什么呀？变现积分函数呀，同学们做题的时候你得想到变现积分函数出现的话，一般来说考察你求导公式了，是不是？ 好，那我们是否就可以把左侧直接当成一个函数是吧？哎，我们方程根的问题就转化为函数零点的一个问题，而研究函数的话，就可以求导了呀，是不是？哎，求导不就对应上变现极限函数求导这个值点了，来做一串的啊。思考好，我们就另 就问题啊，转化为函数零点问题，好，另， f x 就是 等于这一块。好， 你这个考试时候就没有必要写那么多是吧，我就给大家讲，就在抄写一遍啊。好，四 a 方减， t 方递梯。求导呀，求导，刚好对应上这个知识点了，我们看一下啊，这个还不能太慌是吧，背记函数有没有 x 呀，没有，没有好办啊，直接就是把 t 换成 x 是吧？好，这边呢，也没有，也没有 x， 所以 也是比较好求的。直接就求导嘛，把上线一带带到 t 的 位置，乘以上线的导都是一是吧，还有一个倒数啊， 好，这一阶导函数很显然大于零吧。哎，怎么显然呢？这不都根号吗？是吧，所以就是大于零的，那大于零的话，我们就知道函数是单增的，也就是函数是一个单调函数， 关于单调函数的话，同学们要知道他通常会这样去考，关于这个函数零点问题的话，一个函数是单调的， 单调啊，也就是单调性，加上零点存在定力，通常这样考。哎，你可以积累一下啊，这些考点零点存在定力，然后就把这个函数的零点就确定了，就是一个零点。你想一下啊，一个函数啊， 他是单调的，一个函数的话，我不管，你单增单减啊，好，假设这个题吧，单增是吧，你要么就一个零点是吧，要么就没有零点，不可能出现别的情况呀。 好在根据零点存在定力。哎，通常啊，我们可以啊，在一个区间上啊，找到一个零点，根据零点存在定力，往左侧的和右侧的点对应的函数值，哎，一个大于零，小于零，那么在区间上一定会存在一个点，使得函数等于零。假设，哎，这个 这个点啊，这个点，就这个题的零八，它其实不是零，是不是好，这个区间上吧，有一个零点，好，那就在这区间上至少有一个零点，再根据单调性呢，是吧？单调性就再次的啊，把你束缚到只有一个零点，确定为只有一个零点了，是不是好，如果你对这个这个考点比较啊熟悉的话， 那其实这个题直接就能选出来了，他肯定就考了这一块了，好几同学不知道，是吧，那我们就在，哎，你想想，单调性出来了，那还给了两个端点，那就得往这块去想了，是吧？刚开始做可能想不到，那就慢慢培养做题的思维啊。好，我们看一下两两两点，两个两端，它的一个函数值的一个情况吗？ f 零 f a f 零，这零跟零对吧？上压线一样的，那肯定就是零了呀，还剩了就是 a 到 x e b， 上根号下四 a 方减 t 方 d t， 我 们说把零要带到这里，是吧？哎，零到带到这里，我是不是可以给它添个符号，把上压线对掉呀？零到 a 呀，因为我们知道 a 是 大于零的嘛，我们把上限改为 大于下限的一个数啊，这样是为什么呀？我们可以知道它是大于零的啊。费基还是大于零？下限小于上限，这个积分肯定大于零。听个符号小于零 是吧？我们再看 fa， fa 的 话，把这带个 a， 这块肯定等于零了是吧？那这就是零到 a， 零到 a 上面这是大于零的下限小于上限，积分就是大于零的吗？是吧，好，写一下吧。 四 a 方减 t 的 平方 t t， 所以 啊，这根据零点存在定律是吧？哎，在零到 a 区间上一定是，哎，存在至少啊，怎么回事？根据零点存在定律我就不写了吧，简单写一下啊，零点存在定律 好，至少有一点是吧？ x 零属于这个零到 a 这个区间上，使得 f x 零是等于零的，对不对？一定啊，在这区间上有一个点，使得函数值是等于零的啊， 好，又根据函数单调性，这两块加到一起，你只能是一个零点，也就是方程只有一个根的意思， 对不对？这是一个考点啊，他这两块加到一起，把这个根，把这个零点确定为一个，对不对？单增，哎，再根据这个曲线，至少有一个单调性只有一个，至少有一个就变成了只有一个了。好吧，好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x 具有二阶导，一阶导大于零， f x 就 单增呗。二阶导小于零， f x 是 一段突胡是吧？ a 一 a 二，看一下啊，两个积分复排导牌， f x 乘以 sign 乘以 cosine 啊， 怎么去想呢？首先这 f x 它是个抽象函数，哎，你能不能够举特例呢？就是我们说的特殊指法是吧，哎，能举出来例子的话，哎，我们用特殊指法能做出来题就行， 哎，咱们说啊，你考试的时候，你别管我用什么方法，我做出来就行，找一个 f x 啊，满足一阶导大于零，二阶导小于零， 我们通常用这个密函数，是不是密函数这个行不行呢？你比如说它不行啊，一阶导是满足大于零的，二阶导又是零了，对不对？你平方呢？ 平方的话，我们定域域并不知道对不对，定域域又不知道，那怎么办，想到指数函数啊，有时候我们会用指数函数作为这个特殊函数啊，你看，哎， e 的 x 行不行呢？ e 的 一阶导确实大于零，二阶导它也大于零了，那怎么办呢？这样多一个符号，多一个符号，你看一阶导的话， 这里会多一个符号，哎，是不是大于零了？二阶导的话，是在一阶导的基础上再求一阶导，哎，小于零是不是，哎，这个函数刚好就满足题一的啊， 那你都有这个函数了，你就带进来呗，再求这个积分就比较容易了吧。 i e 就 等于负，拍到拍就是负的， e 的 负 x 三 x 这个会积分吧。我们说对于 指数函数和这个三角函数相乘的话啊，积分咱们是有这个公式的，希望同学们记下来啊，这是二阶行列式，有同学没学到的话啊，后面会学到啊，这个现代里面他俩相乘减去他俩相等，他俩相乘减去他俩相乘啊。 好，你看这个都是用的这个啊，其实都一样的啊，不管勾三还是三，这个 a 的 话是不是取的负一啊， b 的 话取的是一啊，负一的平方加一的平方是一个二，是吧？二分之一啊，负的二分之一好，这一块啊，是 e 的 负 x， 求导，那负的 e 的 负 x 三，求导， 是不是 e 的 负 x。 好， 这一块的话就是 sine x 相乘，减去它俩相乘。好，那我们是不是可以把这个 e 的 负 x 方提出来啊，或者是把负的 e 的 负 x 方提出来，是不是提出来啊？负的 e 的 负 x 方提出来的话，那就是 sine 加上 cosine， 对呗，好，负拍倒拍算一下啊，这个 p t 又卡了啊，把头像卡出去了，我们就继续啊。这个负负得正啊，有二分之一好，上线一带啊，这个符号已经出去了啊，这是负的一个拍，三拍是零嘛，勾三拍是一个负一吧，好，上线一带就这个结果。 减去下线一带啊，下线一带。注意，这里就是 e 的 负的负拍就是一个拍嘛，好， sign 三一复拍是个零，扣三一复拍就是扣三拍就是个负一，对不对？这下线带入了一个结果啊，负的 e 的 拍，你看啊，这负负的正这里啊，就是 e 的 拍次方减去 e 的 负拍次方，是吧，这不是带那个吗？好， 大于零，我们就可以排出两个选项呗，小于零的就错了啊。好，再去看一下 a 二计算也不难嘛。负拍到拍 f x 是 负的 e 的 负 x 好， 扣三 x d x 好， 同样的一个道理吧，因为这这个这个啊，公式一用负的一个二分之一，这是负号啊，二分之一 好， e 的 负 x。 求导，负的 e 的 负 x cosine 求导，负的 sine x， 这，这个是 e 的 负 x， 这是 cosine x， 它俩相乘，减去它俩相乘啊，它俩相乘，减去它俩相乘，就是加上了啊， 是吧？我们可以把 e 的 负 x 提提出来啊，提出来之后，这是三，前面有一个减去一个 cosine 嘛，负拍到拍好算一下就行了啊。嗯，负二分之一啊，提出来了，上线一带 三一拍，扣三一拍负一啊，减去负一就正一，这上线的结果减减去一个，下线带入啊 e 的 拍吧。好， 然后这里面是三一负拍零啊，减去扣三一，负拍是一个负一，减去负一，那就是正的一，那就是一了，对不对？所以就这样的一个结果啊， e 的 负拍减去一个 e 的 一个拍，是吧，它减它那是小于零的，那添个符号呢？打一个嘛，它俩结果其实是一样的，对不对？是一样的啊，它俩都是大于零的哟，那 a 错了吧，那就选 d 啊，特殊指法，我们是来排除的，那 abc 都排除完了，那不就是选 d 吗？好，我们再去看一下啊。反二 就是我们不用特殊指法，正常去做的话，怎么去把它分析出来呢？好看一下啊，这个 a 一 是什么？负拍到拍上面 f x 乘以三 x d x， 像这样的啊，带周期函数的啊，他前面又成了一个东西的，我们可以画画图啊，可以去画画图，我们后面也会见到这样的题啊，得有这样的一个树形结合的一个思想。好，我们可以画画图哎。嗯，三 x 的 话，在副拍到拍上面咱们都会画吧，副拍到拍啊，到这就行了。这里 好，这是一个复拍好，它乘一个 f x， f x 的 一个图像，我们也是可以大致画出来的吧？单增凸的是吧？单增凸的不大概这个样子吧？好， 你比如说这个样就是在 x 轴上方吧，当然它也可能在 x 轴下方，我们就比如说举一个例子，是吧？就跟这这里一样啊，就比如说它就是一个这种情况，它也满图题，对吧？那我们看一下啊，在零到拍上面的话， 好，你看我们这个每每一个啊，对称对称的一个点。好，乘以的这个函数的一个值的一个情况，你能看出来，好，这边的函数值都比这边大的，对不对？也就说在负拍到零的话啊，我们每一个对应的一个位置的话，对，对应的啊，对应的这个位置，他的函数值 都是这个区间上的，大于这个区间上的，所以说他俩相乘的话，在零到拍这个区间上啊，乘出来的这一块整体来说是比在这个区间上好，他俩相乘出来的那个函数值大的。哎，有这个感觉，不就是我们说的一个权重的一个问题啊？好， 那也就是说他俩相乘在这个区间上的话，那我们函数图像大概就这个样子的了啊，好，他俩相乘在这个区间上，负拍到零这个区间上，那乘出来的啊，那函数的一个就是他俩相乘出来的函数图像，大概嘛？大概啊， 就这样的，就是你的一个啊，这个函数相乘出来的一个结果。这个，这个，这个高度是不是就值啊？这个值就是在图像上不是这个高度吗？就没有这边的高啊，没有这边的高。好，那我们积分的话，积分的话，不就是，哎， 这块的面积，是吧？减去这一块的面积吗？这块面积比如说是五，这块面积比如说是个二，这一看就是五减二，是吧？就等于三大于零的吧，是不是？哎，就这就是说我们这个看图说话，你可以理解为乘了一个权重，在这个区间上乘的权重大一点，在这个区间上乘的权中小一些。 好，如果你实在不理解啊，那我们就是去还原，把它换到一个区间上，这是做这一类题型的啊，两个思想就是要么把它看成权重啊，成一个权重，要么就是分割成两个区间，然后在统一区间。好，我们写一下啊， 分割成两个区间就是负拍到零啊。好，然后零到拍 先化为两个区间，然后再统一到一个区间里，这样就可以比较啊，比较大小了，就是大于零还是小于零的好，你要么把零到拍化成负拍到零，要么把负拍到零化成零到拍。都可以啊，都可以， 只是说我们更习惯啊。哎，化成零到拍，零到拍三是正的吗？看着舒服一点好。负拍到零，怎么化成零到拍呢？做一个负代换就行了呗，是吧， x 等于负梯就行了。 好，当 x 取负拍的时候， x 取负拍， t 呢？就是取拍嘛， x 取零的时候 t 取零啊。啊， f x 这个时候是负 t 啊。三， x 是 负 t， 好， d， x 是 负的底 t， 负的底 t 符号可以作用于上下键。好，就变成领导拍了，对不对？好，统一区间啊，这是这里写一下，先拆分区间，再统一区间，统一到。哎，领导拍上面了啊，好， 这个接下来是加上对不对？零倒拍 f x， 哎，三 x d x， 好， 我们看啊，都是零倒拍了，那你就可以把背接函数整理到一起了嘛， 零倒拍，背接函数呢，你看这个是可以把符号提出来吧。负的 f 负 t， 三 e t， d t。 好，这个我们说积分的话，咱们这个变量的话，用哪一个字母是没关系的，是不是？我这个时候改成 x 没关系吧，完全可以改成 x 了。 我们现在改成 x 是 积分，与哪个字母表示是没有关系的。好，这个 x 可跟这里的啊， x 等于负 t 是 没有关联的。对，没有关联啊，现在仅仅是积分与积分表示用哪个字母，你随便用哪个字母都行吗？是不是？好，这个这个时候啊，我就 把它挪过来就行了呗，是不是？那就是加上 f x 乘以三 x， 那 三 x 就 提出去就行了， 因为你合并一下嘛，你看现在就是 f x 减去 f 负 x 嘛，我这样写啊，看得更清楚一些， 减去 f 负的一个 x 嘛。好，我们说三 x 在 零到拍是正的，因为是正的啊。 f x 与 f x 呢？零到拍上面啊，零到拍上面。这个字变量啊，你现在取的正的嘛，对不对？嗯，负的 x 它就是负的呀，这个零到拍添一个负号，我们那就是负的啊。对，负的 函数，你看单增哦，单增的话，你自变量越大，你正的肯定大于负的嘛。自变量越大，函数值越大，是不是它大减小，大减小，那就是正的呗，大于零哦，好，大于零就是正的，两个正的相乘呢，就是正的呗，大于零的啊，大于零积分。好，那就大于零的，是吧。哎，这就是啊，我们按照这个 区间一个分割，最后在统一区间。统一区间好，背记函数就可以整理到一起了嘛？整理到一起就可以比较大小了，有没有别的方法呢？有啊，这个地方啊，还可以用这个 积分中指定理的一个推广啊，我们也可以叫它积分第一中指定理。积分中指定理的推广啊，就是两个函数相乘的一个积分， 如果其中一个啊，在这个区间上是不变号的啊，那么它俩相乘的一个积分就可以把这个 g x 留在里面。好，这个 f x 提出来，把这个 x 改成一个中值点就行了。好，你看，就这里啊， 我们可以用一下吧，三 x 在 负拍到零，三 x 在 零到拍，它都是不变号的，对不对？在这个区间是横负嘛？在这区间是横正，所以它不变号啊，不变号的话，我们可以把它提出来啊， f 可塞一，好，负拍到零，三 x dx 后面也是一样的呗，把 f 啊提出来就是 f 可塞二啊，好，零到一个拍三 x dx。 我 们知道啊，这个对于 三 x 扣三 x， 一 共的面积是不是等于二啊，对不对？无论哪一共啊，一共的面积是等于二的，他都可以积分出来啊，都可以积分出来，这是一个负二吗？积分他有正负啊。好，这是一个二，对不对？这就算出来了已经啊， 这个二我提出来了啊，那就是 f 可在二，这是一个负二啊，负二对不对？这个符号就放这了啊，负的可在一， 没问题吧啊，这是一个负二嘛，好，它减去它，你看可塞二在哪里？可塞二是在这的嘛，对不对？可塞一在负拍到零之间嘛，负拍到零之间啊，可塞二在零到拍之间， 那它更大，它更小。自变量越大，函数值越大吗？函数是单增的吗？大减小是大于零的对不对？也可以啊。好，接下来我们去看一下这个，这个 a 二啊， r 的 话还还可不可以用这样的一个流程呢？它是不太行了。为什么啊？ q 三的一个图像的话，它没有三 x 在 零到拍上横正，嗯，在负拍到零上是横负的啊，看着，嗯，好做题一些。它不一样啊，这个 q 三 x， 你 看 q 三 x 的 话，我们划一下， 这个是拍，这是二分之拍，是吧？这边啊，这边还有 这是负的一个拍，这是负二分的拍，你看，如果你还划分区间，这个负拍到零上你有正有负，对不对？零到拍上也是有正有负的啊，你就算是你统一区间，你统一到零到拍这个区间，统一到负拍到零这个区间，你这个扣三呀， 你这个扩散有正有负，你就没办法像这样在这里一样啊。是正的，哎，这个乘一下好搞，不太好不好，不太好弄，不太好弄，是不是权重你也不太好弄，是吧？因为这边有正有负的，不太好去啊，判定出来啊。那怎么办呢？好， 我们刚刚分析了那么多啊，你看都是哎，关于这个三元出现的时候是比较好判定的。那你这个 a 二跟 a 一 有没有什么关联呢？有啊，你这个扣三元的话，你凑到后面不就出现三元了吗？是不是你就往它上面去靠拢啊？并且呢，我们凑到后面之后不就是底三元吗？ 你错位分就接下来就是分布积分嘛，是不是分布积分的时候就会出现啊，一阶导呀，对不对？你看一阶导出现的时候，积分出现的时候你也要想到啊，这个分布积分 就是两个想法，一个就是扣三，哎，能不能跟三也往往三个上面靠拢。第二点呢，就是一阶导出现了，你，你得想到分布积分对不对？错位分，分布积分里面就会出现导函数了嘛。好，那我们就是啊，把 a 二 整理一下啊，错误一分，分布积分 f x 三 x 负拍倒拍减去负拍倒拍三 x 好， d f x， 那 就是 f 一 撇，是吧？ d x 好 看一下，这里三一拍零呢，减去负减去三，负拍也是零，这块就是一个零，不用管了啊。好，减去负拍倒拍 好，一阶导乘以三 x d x， 你 看啊，到这的话会做了吧？是不是？你看三 x 乘一个东西， 三 x 乘一个东西，那这个现在分析它的话，就是我们分析 i 一 的一个流程，对不对？好，你看三，我们如果用权重的一个方法的话，现在三 x 啊，乘以 f 一 撇 x， 我 们看一 f 一 撇 x 的 图像大概什么样子的啊？ 二阶导小于零，那一阶导的话是不是单减的呀？哎，一阶导单减的啊，一阶导单减好，也就是说这一块是一个单减的，乘以一个三 x， 那 三 x 我 们说本来是这个黑色的一个图像吗？每一个点啊，你看成的是 这边的函数值是越来越小，是不是这边函数值是比这边大的啊，所以乘出来的话，这一块的一个啊，就这边零到拍上啊，那个图像的话，这这个拱的一个弧度啊，是比这边的要 哎，小的是吧？那这个正的一个面，正面积啊，比如这个二，这个面积的话，就是一个五，对不对？那就是负五加二，那就是一个负三就是负的了，对，这块就是负的，添个符号，那是正 的，是吧，懂这意思吧？就是从这个权重的角度，如果你从权重权重的角度啊，不太理解，还是这个流程啊，这个流程的话，你看就是就是他呗，我们往下面写一下啊，负的 零倒拍，我这个整个流程都一样，我就不写了啊。嗯，负的零倒拍好，那就是 f 一 撇 x 减去一个 f 一 撇负的一个 x， 是 吧？乘一个三 x 好， d x 一 阶导的话，我们所说是单减的啊，单减的， 单减的，这个自变量越大，函数值就越小啊，是不是这个自变量是比这个自变量啊小的嘛，所以你自变量越小，你函数值越大，小减大是个负的对不对？负的啊，负的那三 x 在 零到派是正的，所以一乘是一个负的呀，负的积分就是负的，添个括号对不对？就整的打一零就行了。 当然你用这个我们说的推广的这个积分中指定力也可以，是吧，或者，哎，这个等于负的还是这个这个东西吗？是吧，只不过这里是负的二好，应该是 f， f 一 撇可在二减去 f 一 撇可在一 对面。好，一阶导的话，我们说是单减的啊，一阶导单减，你这个字面越大啊，你越小嘛，是不是函数这边小小减大是负的啊，负的填一个负号，那就是正的，对不对？正的啊， 好，都可以呗。好，总结梳理一下这样的题目啊。好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， f x 为连续函数， t 大 于零，证明好， f x 以 t 为周期，你可以看成一个，这是命题 a， 它的充分必要条件是好， 任给一个常数 a， 这个积分都是为常数，我们记为命题。 b 的 话， 你得先搞清楚充分性，必要性是哪个箭头啊？你注意，这是得 a 的 充分条件是 b 的 话，那么是不是 b 推 a 就是 充分性啊，对不对？我们要正 a 的 充分条件是 b 的 话，注意是得它的充分条件是 b， 那 就是 b 往 a 推就是充分性，是吧？ 那 a 往 b 推就是必要型了啊，你先去正哪个都行证明啊，比如说我们先 a 到 b 吧，都可以啊， a 到 b 呢，就是必要型。搞清楚这个方向问题，这是充分型 好必要性的就是 f x 以 a 为周期，以 a 为周期，那不就是啊，以 t 为周期啊，这是一个周期函数是吧？周期函数啊，周期为 t 好， 在这个前提下，你得能给我推出来什么呢？认给一个 a 好， a 加 t， f x d x， 这个积分是一个常数，是吧？我们的一个大前提呢？是好，它是一个周期函数，是吧？周期函数的话，我们说积分，咱们是记住了啊，这样的一个性质的，对不对？你就可以把它当成一个结论去记就行了。 也就是说，周期函数的话，积分的结果只与这个积分的一个长度有关。你去上线减去个下线，不就积分的长度吗？ a 加 t 减去个 a， 不 就是长度就是一个 t 吗？是不是？那你积分的话啊，这个积分的结果好，就等于零到 t 上面啊。对， f x 积分是吧？它的长度是 t， 它的长度也是一个 t 啊。 所以其实我们心里清楚，你你这一块的一个知识点肯定是知道的吗？对，好他呢，就等于一个他好，他的话，积分肯定就是一个常数吗？其实就是来去证明我们心里很清楚的这件事，对不对？ 周期函数积分结果是与积分的一个长度有关的啊？好，那我们怎么去证明？哎，他跟他相等了，你挣出来他，他不就是一个常数吗？是不是 怎么去正呢？怎么正？当然知道了，你得出来一个，出现一个零，出现一个 t 呗，对不对？你出现一个零，出现一个 t， 那 就把区间进行啊，拆一拆嘛，是不是利用区间的一个可加性 出现一个零，出现一个 t， 那 我就 a 到零呗，对不对？ a 到零，零到 t 呗，那 t 得出现吗？好，然后 t 到 a 加 t， 那 区间的可加性，这些都不用看了是吧？不用看，最终就是 a 到 a 加 t 吧，是吧？好， 这就是 f x， 这也是 f x， 好， 这也是 f x 啊， 那我们要证的其实就是他跟他相等嘛。那其实来我心里得想着啊。哎，他俩削一下不就完事了， 我把你变相代换一下不就行了嘛，是不是我要换成这个？嗯，跟零 a 相关的一个上压线嘛， 那我就令这个 x 减去一个 t， 等一个小 t 就 行了，是不是？你当 x 取 t 的 时候，哎， t 不 就取零了吗？当 x 取 a 加 t 的 时候，那不就是取 a 了吗？是不是？好，这个变量代换一下啊？ 这个怎么说呢？或者我把它单拎出来吧。单拎出来啊，其中你这个 t a 加 t， f x， d x 做个变量代换嘛，我令这个 x 减 t， 就 等一个小 t， 好， 就变成了零到小 a 嘛，是吧？ f x 零 f x 现在变成什么了啊？这个是 t 加上一个 t 嘛， d x 就是 一个 d t。 好， 我们大前提得用一下吗？是不是周期函数啊？周期函数的话， t 加大 t， f t 加大 t 就 等于 f， 小 题嘛，是不是这个前提要用的啊？好，你我们说积分的话，你跟用哪个字母表示没有关系，我再换回 x， 当然可以。是不是？你看这是零到 a， 这是 a 到零，那你俩不就是积分的结果互为相反数吗？是不是就算出来了啊？ 这是一个零到 a， f x， d x 加上好，零到 t， f x， d x， 再加上一个零到 a 是 吧？零到 a 我 们就写成负的 a 到零呗， d x 你 看它俩就消掉了啊， 就等于零到 t， f x， d x 一个区间，一个周期上对 f x 积分，那就是一个常数嘛，是不是必要性就证出来了啊？充分性呢，就是从 b 到 a 啊，从 b 到 a， 也就是认给一个常数 a， a， a 加 t， 这个积分呢，是横为一个常数，我得给证出来 f x 以 t 为周期 挣出来这件事，这个怎么去用一下呢？积分出现的时候，有同学说，我考虑积分中止令，你搞一个中止点，跟后面也没啥关系吧。 那好，同学们观察到啊，这有个常数 c 啊， c 出现的时候，同学们可以考虑啊，求导等于零，有时候啊，就是在证明题里面会用到它啊， 你看很简单的一个知识点，它有时候就是出现在这个证明题里面，常数求导等于零，其实咱咱们都知道是不是？好，你看这个求导等于零啊，我们让它两边，两边对谁求导呢？对 a 求导呀，你看对 a 求导之后，它刚好就是 a 加 t， 减去一个 fa， 好， 再求到等于零，直接就证出来了嘛，对吧？我们认给一个 a， 这个 a 是 可以任取的嘛？ a， 现在你可以看成这一个一个变量嘛，是不是一个变量，其实完全啊，你再给它改为 x， 其实就是它了。好，有同学看不看不清楚啊，我把这里啊，小 f x 的 一个原函数， 我们给他记为大 f x， 这样你看的更清楚一些啊，原函数我可以记为一个大 f x， 好， 你看我们先把它积分出来吧。这原函数啊， a a 加 t， 这就是 a 加 t， 这样你看的更清楚一些了吧。好，后面是个 c 是 吧？你两边 对 a 求导，你注意 a， 现在我们看成个变量啊，对 a 求导，任给一个 a， a 现在看成一个变量啊，对 a 求导的话，大 f 求导，那不就是一个小 f 吗？是不是 外层求导，内层求导就是一个一吗？大 f 求导就是一个小 f 啊。好， c 求导就是个零。好，现在就可以看出来了， a 加上一个 t 就 等于 fa， 你 注意 a 是 任给的吗？ a 是 任给的，就是理解为是一个变量就行了吧，是不是你正出来它跟正出来它是一个效果，一个效果啊，一个意思， 好，其实就挣出来了，充分就挣出来了吗？对不对？必要性也挣出来了。所以啊，就是命题得正就正 b 就 行了啊，我就简单写一下。 好，其实这一块啊，积分，这块一个积分嘛，他求导的话就是 fa 加上一个 t 减去一个 fa 嘛。对，对， a 求导啊，就是它，是不是你看不清楚的话，你就这样去写嘛。对，看不清楚你写个大 f x， 你 就。哎，看清楚了啊， 好，这块就是同学们要把这句话记住的。对，这个题整个其实就是让你记住这个啊，对，周期函数啊，积分的话，至于这个积分那个长度有关吗？好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f s 连续证明他俩相等，你先观察一下啊，这有一个变现积分函数，里面还是一个变现积分函数，是吧？好，同学们不应该陌生了，看一下啊， 第九张，咱们已经做过类似的题了，只不过啊，第九张出现的题目呢，是算啊，具体的啊，积分的一个结果， 他，是啊，哎，一个积分里面又含有一个，哎，变现积分，是吧，这个题呢，其实很类似嘛，总之是有两个积分的，对不对？其中有一个是变现积分， 好，这里呢，它这个外层呢，它是一个定积分，但无所谓，总之它的型号非常相相似，是吧，一个积分里面再套一个积分，好，你的思路就应该往这个上面去想，就是分布积分或者转化为二重积分， 哎，我们做过啊，同类型我们得会啊，出类旁通啊，对吧，你做完一个题之后一定要去思考看看。哎，之前有没有做过类似的呀，是不是它是正名题的，哎，这个是 求具体的值啊，其实呢，思想都是类似的。好，同时我们呢，对于这个题这两个方法之外再补充一个方法，因为它现在证明的啊，是两个，可以有两个函数相等， 那左边我们定为 f， 右边定为 g 的 话，是不是就是证明 f 跟 g 相等呀，是不是就是证明大 f 等于它俩相减等于零呀，是不是？哎，既然证明了一个函数大 f 等于零的话，我们可以这样证啊，就证它的导函数等于零，并且再加一个出式条件等于零就可以了。为什么呀？可以简单看一下啊， 导函数证出来等于零的话，是不是就能够说明了大 f 就是 一个常数啊，因为常数的导数才等于零呀。 好，我们现在再把这个常数定出来，是一个零不就挣出来了吗？再搞一个数字条件。好，哎，比如说我带一个 a， 使得大 f 等于零了，那我就不定出来就 c 等于零了吗？是不是 c 等于零，那就是我挣出来了。大 f x 等于零，我想挣的就是它。 所以说看到变现积分函数这种啊，两边证明相等的，可以构造一个函数，证明导函数等于零，你可以理解为是中指定义的一个推论。好，那我们哎，都写一下。好吧， 那首先呢，还是按照啊这样的一个顺序吧。分布，先给他用分布积分，咱们做一下。好， 肯定是左边啊，是吧，左边分布积分，直接就分布积分了啊，这就是我们的 u d v 对 不对？好，这个这样写吧。啊，等式左边可以这样不？ 等式左边它是等于好开始分布积分 u v 是 吧，这个，这个就是 t 就是 v 了嘛。好，这个零 t f u d u 好， 扩一下啊，上下键再带一下呀，零到 x 是 不是减去零到 x。 好， v d u 对， 它求微分，求导，求导，很简单吧，就是 f t 是吧？哎，好，我们这个化简一下呗，看一下，上线一带的话，就是 x 零到 x f u d u 啊，下线一带是吧，零一带就是零呢。好，再减去一个零到 x t f t d t。 我们注意到啊，这里啊，他用 t 后边证明的。也是啊，这个变量积分变量是个 t， 这个 u 我 们完全可以改成 t， 是 不是？哎，你积分的话，这个用哪个字母无所谓嘛。好，并且你这个 x 也可以挪进来，是吧，因为为了啊，去凑他这个形正的这个形式型号嘛， x 可以 挪过来呀，是吧。积分变量 u， 我 们就换成 t， 没有任何问题吧？没有啊，好，这是 t f t， 这不就已经正出来了吗，是吧，你看一眼，零到 x， 我 们把 f t 往前面一提，因为它的积分的上下线一样嘛，背及函数合并一下 x 减去个 t， d t 是吧，这都等于等式。右边好就正完了啊，写一个正 b 或命题得正就行了。好，分布积分 再看一下。哎，转换为二重积分就得想到交换积分次序这一块啊。二重积分交换积分次序 你看啊，它这里呢，是先对 u 后对 t 积分嘛，你先对 u， 你 能记出来啥吗？记不出来是不是？哎，这也是抽象函数，记不出来。所以啊，我们应该是给它转化为先 t 后 u， 那 么就要把这一个积分区域给它还原出来，是吧。好，还原一下呗， 这是 t 是 吧，它现在是 t 轴和 u 轴了，别搞混了啊， t 的 一个变化的话是零到 x， 这就是零。好，这就是 x 了。 u 的 一个变化是零到 t， 那 u 等于 t， 我 们先画一下， 这是 u 等于 t， 它是 u 要小于 t， 看出来不？ u 小 于 t 大 于零是吧？小于 t 的 话，那就这根线下方还得大于零，那不就是这个区域吗？是吧， t 还得在零到 s 之间，那这个就是它的积分区域了呀，这个很好画出来啊。 好，我们先 t 后 u 的 话，那么你就是把区域给它画成 u 形域，是不是画成 u 形域的话啊，看一下 u 的 一个变化，那就是等式左边。 现在好，你看啊，这个动作表是多少呀？ x 呀，是不是当 t 等于 x 的 时候， u 也等于 x 嘛？好， u 的 一个变化。零到 x 是 吧， 那 t 的 一个变化呢？你，哎，画根线呗，是吧？线内画条线啊，先积后积，这应该是底 t 了是吧，就平行于 t 轴画根线，这是 t 等于 u 吧， 这个是 t 等于 x， 这不就定完上下线了吗？好，这里边呢是 f u， 把 f u 写到这就行了，我们看这是谁啊？零到 x 这里一积分不就是 x 减 u 吗？是不是 x 减 u 记完放前面不就行了吗？ 这直接就挣出来了，你看一下是不是等式右边，他用 t， 我 们现在用的是 u 而已，是吧，再给它换成。 哎， t 变量不就行了吗？是吧？哎， t， 这个是 x 减 t， 它写的什么你也写什么吗？用哪个字母无所谓啊。而这个呢，就是等式 右边结束了，是吧，两个我们已经讲过的思想就写完了。现在啊，因为它不是啊，求一个具体的啊，值了，它是证明两个函数相等，可以从这个角度再扩充一个方法，好，发三。哎，这就直接就发三了。好吧， 我们就令大 f x， 这就是小 f， 哎，这是小 g 是 吧？大 f 就 等于它减，它乘出来大 f 等于零就行了，大 f x 就 等于。好，左边再写一遍是吧， f u d u d t 减去零的 x f t x 减 t 好 d t， 因为我们要去啊，求导，求导的话就是变现积分函数求导了是吧？变现积分函数求导，你这里个整理一下它的一个形式，你特别是这里，是吧，你可以整理成两个部分吗？我们再写一下 第一部分，第一部分不需要怎么整理了吗？ f u d u d t 整理一下这个型号啊， x 的 话，这里可以提出来，零到 x f t d t 加上零到 x t 乘以 f t d t， 是 吧？好，换个笔啊，不然这个有点写的不清楚啊，我们去求导，求导的话看住这里了啊， 这个啊，你有些同学这块啊，变现函数求导看不清楚了，你还是注意我们现在啊， 他先别看这里，你就看这这个积分变量是 t， 我 们这里啊，上上线有个 x， 它属于变现函数，对不对？好，我们现在啊去求导的话是对 x， 求导看一下这个里边。哎，背奇函数，我们说了要检查一下有没有上限的变量，有没有 x， 没有，你会发现这个啊，因为它积分变量是 u， 它的一个，这个上限是一个 t， 对 不对？这个积分完是不是 喊 t 的 呀，函数对不对？这整个这块积分完肯定是喊 t 的， 刚好喊的就是这个积分变量，所以没有任何问题，直接就把 x 带到上限就行了，就这么简单是吧，你就按照我们的一个规则啊，变现积分函数求导的规则啊。好，这个整个是背记函数，把 t 换成 x， 就 这么简单啊， f u d u 就 行了。好，这这一部分就求完导了啊，再减去这一部分，求导这面求导，我们先画一个括号啊，待会就把括号去了。好，乘法求导公式啊， x 求导，后边不求导， x 不 求导，后边这块求导不就是 f x 吗？是吧，好，这个括号就去掉啊，减去它，再减去它， 再加上，哎，这边求到就比较简单了，是吧？这个直接把 x 代替这里边的 t 就 行了。 x f x 是 不是？哎，这个还没去完啊，看这里，这两个就消掉了，这里呢， 他俩是不是长得一样啊？这个 u 用 u 用 t 是 一样的，对不对？他俩消掉了，所以我们就证出来了啊，大 f p x 啊，就等于零的，现在再找一个出式条件。是的，这个啊，你因为你这要写一下原因的啊， 所以啊，这个大 f x 肯定是横等一个长竖的长竖求倒才等于零嘛。现在我们把这个 c 定出来啊，你找一个出条件，你看，哎，我们可以找零，是不是找零呀，也就是我们大 f 在 这呢，看这吧，大 f 在 这呢，你把零一带的话， 好，上下线是不是一样的？上下线是不是一样的？那肯定啊，这个结果就是等于零的。有，因为大 f 零等于零，那你大 f 零等于零，得满足，也得满足这个十字，是不是你零一代的话，好，这个 c 就 求出来了，就是等于零了，所以啊， c 就 等于零，那我们就挣出来了。 大 f x， 是 吧，就等于零，也即是好，他俩相等，我就不写了好不好。哎，这里为什么要想到求导，因为有变现积分函数吗？是不是？哎，给他定成一个大，给他找出来一个辅助函数啊，去求导，这就考察到变现积分函数。求导呀， 是不是因为变现积分函数，求变现积分函数的题目出现的话，你一定要想到他考察的大概率就是求导这块知识点呀，不然他还考察呢，对不对？ 好，梳理一下啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， f x g x 连续 x 在 a 到 b， 证明至少存在一点可塞，使得它跟它相等。你先在草稿上啊，划拉几下是吧？划拉划拉可能就出来了，先把中指点啊，这可塞啊，什么 e t 啊，这种见到之后先改成 x， 好 便于分析问题啊。好， g x， 这是 a 到 x， f x d x， 证明他跟他相等。哎，我们是不是就相当于证明他减他等于零，或者他减他等于零啊？哎，你这个分开看，可能有时候啊，看不出来所以然，所以我们要有一个思想，就是挪挪，挪到一起，一起观察。哎，集中到一起去观察，是不是就是后边减去左边或左边减右边，你观察一下啊。好， 所以就证明这个是等于零的呀。好，你，你再看一下啊，我们这个是上限函数，你这个下限我是不是可以改成上限保持一致啊，这也是一个一种思思想吧，是吧，保持一致啊。 x 到 b， 那 你这里是不是得变成加号来？ 好，这个时候你再去，哎，观察一下。主要就是观察啊，你这个眼力劲得有，是吧，你多瞄瞄嘛。好，这有 f， 这跟 f 相关的，你看它求导是不是就是它呀， 对吧，并且基本还是求导呀，而对于他呢，他求导不就是他吗？是不是好一个函数求导？是，哎，跑到这边了，一个函数求导跑到这边了，你自然要想到的就是 两个函数相乘的导数的公式。是不是两个函数相乘的导数公式？不就是一个导一个不导加上一个不导一个导吗？不就是这个这回事吗？我们的辅助函数是不是就来了呀？就是两个函数相乘吗？这两个函数是谁呀？不就是两个变现型函数吗？相乘呀，是不是它乘一个它 对好，这个上面我们要乘的就是大 f 一 撇 x 等于零问题，现在就转化为 对大 f x 求倒等于零的问题了，你看他求倒是不是就是他倒他不倒，加上他不倒他求倒呀，不就是这个东西吗？ 是不是？所以我们，哎，要想去正，他其实就是正啊，大 f 倒还是等于零，倒还是等于零，你自然就要想到多少定律了，是吧？哎，给了两个点，我们把两个点啊带到这个啊大 f 里面，你会发现两个点函数相等，那么自然就在这个区间上 至少存在一个点可赛十的 f 撇可赛等于零，是吧？这不就整出来了吗？等于零，想到多少定律了啊，这个就是简单的在草稿上分析一下，有时候就问题就出来了啊，答案就出来了。好，我们就写一下，简单写一下这个过程啊， 好，证明的话，那我们就是构造辅助函数，是吧？零，大 f x 就 等于好，这个 a 到 x 是 吧？ f x 乘以 b 到 x g x d x。 好，我们看一下两个点的函数值，对吧？你这个还不能着急啊， f a 的 话，这 a 一 乘是吧，上下线一样了，这是零了呀，零跟后边一乘肯定是等于零啊，好， f b 呢？ f b 也是一样的是吧？这边上下线一样，这边是零了，零乘以它，这也是零了，是吧？又因为 fa 等于 f b 等于零，你就可以由是吧罗尔定律， 或者你再说一下，大 f 呢，在 b 间连续开弦隔倒好，有罗尔定律可以啊，有时间的话就是把这些条件写一下。好，那么就是至少存在一点，至少存在一点可塞，使得 使得好，大 f 撇可塞就求倒了呗，是吧，它就求倒， 求导的话啊，求导就是就是这个东西吧，我们再把这个 x 全部换成可塞，对吧？因为它求导就是这个东西，我们把 x 再全部换成可塞吧，好，也就是 g 可塞，是吧？ a 可塞 f， 这个，这是 x 啊， d x 加上 f 可塞 b 到可塞是吧？ g x 好， dx 好， 这就等于零了，这不就是，这不就是它吗？是不是因为我们就这样分析的，现在只是把过程啊，正着去写，逆着推，正着写过程好，则就正出来了啊，再把这个， 再把整个让问你的，让你挣的是啥，你就把这个命题抄过来啊，你不要写成这个就不太不太好吗？是吧，问你啥你就答啥啊，是吧，他跟他就是相等的意思， a 到可算 f x d x 对 不对？就挣完了呀，就用一个罗尔定律构造一个辅助函数，你得能看出来。 好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，证明这两个积分相等，它是趋于无穷的。其实反常积分是吧，并且啊，是正出来啊，这个积分也就是反常积分收敛于四分之根，二拍怎么正呢？ 哎，有些同学好像看到之后是没有思路的，其实我们已经跟大家说过， 就是在第九章的时候已经用过啊，同样的一个思想了，我们说过分母这多项式，分母的次数次方好，远远的大于分子的次方的时候，一般啊，大于等于二，都说是远远大于了啊， 好，倒代换的一个思想。你当时告诉你了，你有没有记下来呢，是吧？平时啊，问一下自己有没有定期的复盘，总结一些题的做题方法。 讲方法是很重要，思考点很重要，是不是这个题也是一样的，你看一下这四次方，分母就是分子就是零次方吗？这是二次方，四大于二是吧？来四大于零，这个就要用到倒代换的思想，哎，对，这就是出类旁通的，你得想到， 想不到，那就我们又讲了一次，请你再次记下来。好吧，倒代换的一个思想。好，我们去写一下。 既然是倒带换的一个思想的话，我们就零 x 等于 t 分 之一，是吧？好，这个 d x 也写一下吧，负的 t 的 平方分之 d t， 这都很熟练，是吧？那对于 左等号左侧的这个积分，这个不习惯写到这啊，写到写到这，它就换成谁的呢？ x 取零， x 取零， t 是 不是取于，因为它是零正，对不对？ t 是 取正无穷啊，正无穷分之一零正呀， 好，当 x 取正无穷的时候，那 t 是 不是就零了呀？零分之一无穷啊，是吧？好，那我们看一下这个被积函数啊， x 的 话，现在就是 t 分 之一四次方呢，那就这样了呗， d x d x 现在就是负的 t 方分之一底 t， 是 吧？好，我就是不喜欢这个下线比上线啊大，是吧，我们就给它调个了，好，调成下线小，上线大，那么就是符号作用于上下线了，是不是现在就换成啊？它 好 e 加上它，这个时候怎么整呢？哎，我肯定是想化简一下嘛，是吧，分子分母都乘一个 t 的 四次方呀。哎，分子分母都乘一个 t 的 四次方化简一下呀，好，分子的话 就变成 t 的 平方了呀，是吧，你这也就是 t 的 四次方加上一底 t 好， 瞄一眼瞄一眼，已经正出来了呀，是不是你用 x 表示的？我用 t 表示的，有啥区别呢？没有区别你就直接把 t 换成 x。 好， x 平四次方加一，一加 x 四方，一样的意思嘛，是不是所以这两个相等就正出来了啊，这一块就正出来了啊。 对，这个是也不能写正 b 吧，还没正完呢，是吧，还得正一下。他们积分的结果是相等的好，这个时候又有同学又要犯难了，这个怎么正出来？这个怎么积分呢，是吧，现在要算积分了吗？正完了怎么算这个积分呢？怎么算？ 好像没有什么思路是吧。好，那你再去盯一盯题目呀，盯一盯题目，题目为什么要给你两个积分相等去让你计算出来他的一个积分，结果为什么要给你两个呀？他想让你用的是合并的一个思想，整体的一个思想。 哎，既然你的积分，你的积分都是他，那你们算完的积分是不是就等于你的积分加上你的积分除一个二呀，是不是合到一起会发现这积分就可以啊，背记函数可以合到一起来。哎，就是这个意思啊，包括我们在后续的啊，这个十四章 二重积分这块你也要想到啊，我们，嗯，关于这个二重积分的时候啊，这个 对称性应用的时候也要用的啊，也通常会用的啊，这个合并那个思想，到时候我们再说。好吧，你现在有个印象，有一点点印象就行了。 好，那我们就知道了啊，我们要正的这个，我们就另这个结果为 i 吧。好吧，你可以在这个答题卡上简单说明一下啊，你这个 i 的 话是不是就是二分之一倍的这两个积分的一个 相加呀，是吧？一比上一加 x 四四方， d x 因为你们积分的结果相等呀。哎，既然相等， 你俩加到一起除以二，不就是你们各自积分的结果吗？是不是？不然你为什么要给我两个相等呢？我肯定要用这个信息嘛。好，一用的话你会发现这可以合并呀，因为上下键都是一样的，我直接合并被积函数了呀。 好，零到正无穷。底下是一加 x 四次方，这就是一加 x 的 一个平方，是吧。好，到这了，这个咱们也画一下啊，关键的点咱们都去圈一下啊，关键的点都圈一下，对吧，这都倒代画是关键的点， 为什么倒带换已经提过了啊，这里好，不会了又，这里还是要积累一些啊，这个做题的一些经验啊。积累需要积累，想不到也是正常的。这个时候啊，需要分子分母都除也 这个 x 的 平方，哎，除以 x 平方，不好想啊，你积累下来。好吧，积累下来这个积分的一些。哎，手法，手段，方法是吧，除以 x 平方，我们看目的是干什么啊？是不是变它了？好，底下除以 x 平方， 这里除以 x 平方是不是它了？好， d x 除以 x 平方的目的就是去凑为分，把分子凑到后边 除以，他的目的是凑微分。哎，这些做题的啊，思想积累，积累，只能说是积累吗？是吧，做一个你积累一个怎么去凑好？为什么又要去凑微分？哎，这就是一串的东西啊， 我们要想凑微分的话，就是谁的导是等于这个紫色的部分呢？好，我们知道 x 平方分之一，谁求导是他呀，不是他吗？他求导不就是 x 平方分之一吗？谁求到等于一啊，不就是 x 吗？好，现在就我们的目的就越来越显眼了，建立他跟他的关系，是不是？我们建立他跟他的关系，他跟他这个很好看出来了已经，是不是已经很好看出来了啊？ 好，你说这两个紫色的部分有什么样的关系？是不是我们把这个凑的微分这一块平方一下跟他就基本上联系到一起了？他平方一下是不是这一块减去个二呀？那你再加一个二不就是等于这个了吗？对不对？好，这个后面啊， x 减去 x 分 之一， 这个二的话，我们是不是可以写成根二的一个平方呀？好，现在会了吧，这就是一个我们常用的一个不定积分率，一个积分率公式，大家记住了吗？这就看这个 t 嘛，是吧， t 的 平方加 a 的 平方分之一啊，积分它的一个公式咱们都背过了，这就没有什么说的了啊，好，直接算了啊，是等于 a 分 之是吧？ a 就是 根二吗？ a 分 之一， ark 摊进的根 a 分 之 x， 这个题就是 x 减 x 分 之一，对不对？这块我不用再去把公式拿过来了吧。好，我默认都会了啊，不会的，你赶紧去查查书了啊。这你不会，那你前面这些就更感觉到有点困难了啊。好， 现在我们积分了啊，二倍的根二分之好，正无穷往这一带啊，这正无穷分之一是吧，极限零了，这就取极限了。现在啊，好，这个零不管了啊，那正无穷除以根二还是正无穷吗？阿克森，正无穷极限是二分之 pi 对 不对？ 好，下限零一带零，我们是零正吧，是吧， x 大 于零吗？是去零正的零，正分之一的话是正无穷呀，千个符号就是负无穷是吧，这个零也不用去看了，所以是 是负无穷是吧，根二也不用管他啊，反正这一块是去负无穷的。阿克泰尼，负无穷是负的二分之拍对不对？减去负的二分之拍，不要忘了啊，是减去负的，这都是取极限了。现在啊， 好，一比上二倍的根二好，二分拍减负。二分拍不就是一个拍吗，是吧，就是一个拍呀，分子分母，我们说根号一般写到分子上啊，这些小的点， 这不就完事了是不是，这不就是整出来了吗？好，这就是啊，写完了啊，你再写一个正 b， 它毕竟啊，也是个证明题吗，对不对？好，你看我们注意注意的点都已经给大家标出来了啊，一个是倒带换的思想， 到这的话，我觉得乘以四次方是很好看出来的。好，这里用到一个整体的，一个思想合并的一个思想。好，到这又需要啊，积累一些做积分的啊，做题的一个想法啊，这个 方法技巧是吧？小技巧啊，好，除以 x 方，然后凑为一分，凑为一分，建立啊，他俩之间那个关系就凑不出来。我们常用的啊，积分的一个，对吧，积分的公式的一个表示了 就就可以积分呀，是不是把一些题目啊，这个串联起来，串联起来，去记一些方法，需要记的啊，一些方法需要记一记，积累一下。好，这个题就讲到这了， 已知函数 f x g x 可导，它导函数大于零，它小于零，那就是 f x 递增， g x 是 递减的， 看着就眼花缭乱的，烦人，是不是？那么这种题啊，我们首先想到特殊执法呀， 法一，特殊执法，哎，你只要选出来答案就行了，你管我怎么做的呢？是不是啊，特殊执法就是排除法的意思， 我们令 f x， 哎，你一阶导大于零，最简单的一个函数 x 吧。好， g x， 你 一阶导小于零，那我就等于负 x 满足提议是不是？好， 那 a 选项，我们看它是 f x 乘以 g x， 那 乘完之后是负 x 平方吧。好， a 选项啊， 负一到零，这就是负 x 平方，对它进行积分是吧，那你积分一下，你看这简单吧，是负三分之一啊。好，我们再看后边这个零到一， 这也是负 x 平方， d x， 哎，这个积分结果也是负三分之一啊，你这好算吧。好，是相等的，那你说大于号不可以啊，我随便举个例子就把你排除了，是吧。好，选啊，不是选啊，看一下 b 选项， 他加绝对值了，加完绝对值，这个被积函数都是 x 平方了，是吧，那你积完的结果肯定也是相等的呀。那零到一，这是 x 平方，哎，他是负一到零，零到一啊，积分的结果都是三分之一了，你可以算一下啊，那你说大于号也不对。好， ab 都排除了 c 选项。好，我们仍然呀，负一到零， f g x。 注意啊， g x 是 不是负 x 呀？现在就是 f 负 x， 那 就是这里换成负 x， 那 最终不是一个负 x 吗？好，这就是负 x d x， 你 这个积分是等于二分之一的，我们看后边这个零到一，那这是一样的，都是负 x。 好，加个括号啊，好看一点，严谨一点啊。不是好看啊，是严谨，你这个积分，这积分都不给大家算了啊，直接负二分之一啊，很简单是吧？ 互为相反吗？负一到零，零到一。好，那这不是一个大于号吗？哎，暂时我们举了一个特例，他是正确的，但是他不一定其他的都对，那暂时是对的，是不是我们看 d 选项，你 d 选项排除的话，那你就选 c 了呀。 好，负一到零 f x， 这不就是 x 吗？好， f x， 它就等于 x 呀。好，现在就是 x， 我 们 d x， 这个是负二分之一吧。好，看一下，后边这个零到一 g g x 是 不是负 x 呀？ g 的 负 x， 那 就是负的负 x， 是 不是 x 呀？哎，这个你得会呀。 d x， 嗯，这是二分之一。好，你说大于号，小于号呀，所以错了，是吧？ a b d 都错了，那我只能选 c 了呀。哎，这个方法还是不错的，是吧，一定要学会这个排除法啊。那法二我们主要就是证明这个 c 选项， 主要先看 c 选项啊，剩下的我们一会也看一下。我们令大 g x 等于，你看啊，它背间函数是不是这个样子呀？复合的啊， 好，这个复合的，我们去看一下这个 g x， 它的一个单调性啊，负函数求导，大家都会吧。好，我们写一下啊，外层求导，然后内层求导。 好，我们看啊， f x 大 于零，哎， g x 是 小于零的，所以一个大于零，一个小于零。哎，你乘完之后是不是小于零的呀？所以 g x 是 不是单减的呀？ 好，单减的话，我们看单调性啊，用单调性去做题。现在是负一到零，零到一，哎，这个区间，这个区间跟这个区间积分，看一下它的情况是吧？你既然是递减的，假如说这个 g x， 哎，它是大于零的一个函数，那么就在上方，是吧？哎，你是递减的，好。负一到零是不是紫色的这一块呀？那零到一 我们换一个颜色好，是蓝色的这个面积是吧？那你很明显啊，是左边的这块面积大呀，那就是大于号，哎，对的是吧，那有同学有疑问啊， 那 g x 小 于零怎么办呢？一样的啊，你小于零的话，你递减对吧？负一到一是不是递减啊？我们 g x 是 递减函数啊，假如说还是这个样子的话，好，你看啊， 负一到零是不是这个面积啊？好，零到一是不是后边这个面积啊？还是蓝色的啊？ 哎，这个面积大，你面积大，你在负呀，你在是负的呀，你积分的结果是不是负值呀？你越大，你加个符号，你越小呀，所以说还是这个积分的结果是大的，能理解不？ 假如说这一块的面积啊，是一个三，这一块的面积是一个五，要加个符号啊，加个符号人家还是大的呀，对不对？你积分的结果 跟面积是两回事啊，如果人家说让你去求面积，你当然说这块面积大了，人家求的是积分呀，积分是分正和负的哟。所以，哎，无论 g x 大 于零，还是 g x 小 于零，最终都是前面大于后边的结果呀，都是前面大于后面，是不是？ 这还有一个方法啊，另一个方法，我希望大家也学会，哎，就是换元法。换元法的目的是什么？目的就是把负一到零这个区间，我们给它整成零到一这个区间，这样的话就两个， 这两个积分是可以合并的呀，这个思想啊，大家也要学会。好，我们令 x 等于 负 t， 好， 那你 d x 是 不是等于负的 d t 了呀？好，现在看一下，换元要三换，看住它啊，先看住它， x 等于负一的时候。好，你这个 t 是 不是等于一啊？ x 等于零的时候。好， t 是 等于零的，是吧？一到零好， f 那 么 g 好， x 现在是不是换成负 t 了呀？好，注意 d x， d x 是 负的 d t。 哎，你这个符号是不是可以作用于上下线呀？那负一到零，我们给它写成零到一，哎，你看看现在是不是可以跟它进行合并了呀，我们左边就换成这个样子了， 你要想证明大于右边的，我这一块减去右边这一块大于零不就行了吗？是吧？好， dx， 你 注意啊，你现在的话，我们这个 t 字母可以随便换了，是不是？你这个得知道啊，你现在可以随便换了，给他换成 x 这个目的是为了啊，跟他保持一致，看着舒服呀，是吧，我们现在证明出来他大于零 c 选项是不是就对了呀？好，这个是我们的目标，要大于零。 哎，你们两个上下线整成一致了，是吧？我们的目的就是把上下线整到一致啊，那这可以合并了吧。背肌函数我们合并到一起，前面的减去后边的是吧？好， 这个啊，再用个大括号扩一下，这样看着舒服一点啊。好，现在怎么样呢？我们去根据单调性呢，你既然区间都一样了，我看这个积分哪个大小，我就看背肌函数就行了，是不是你背肌函数啊？ 如果背记函数，哎，这是大于零，那就是你减，你是大于零的。好，你就大于他，是吧，钱就大于后来。好，我们看一下啊， 现在 x 是 不是在零到一之间取值呀？你看啊，这不是底 x 吗？ x 在 零到一之间呀。好， g x 是 什么样的呀？ g x 是 不是一个单减的呀？那你既然单减的话， 谁的自变量小，谁的函数值大，是吧？那 g 的 负 x 是 大于 g 的 x 的 呀，你注意， x 是 取正的呀，你看 x 取正的，那负的 x 是 比较小的，这个自变量小，那你函数值就比较大呀。 好，现在，哎，你是大于你了，那你们又作为自变量，作为谁的自变量啊？作为 f x， 一个自变量 f x 递增的呀，好，你是不是大的呀？哎，你大，你自变量大，你 f 又是一个增函数，所以前面的整个函数值是不是大于后边函数值呀？ 那你这个减完之后，那不就是大于零的吗？所以啊，这个你这个区间已经整成一致的了，你这个里面，哎，大于零不就是得出来的，就是 整个的，哎，这个表达是大于零吗？是不是我们画个图啊？你这个不要不清楚啊，你看零到一区间，现在我们背积函数是不是大于零的呀？哎，我们背积函数是大于零的，所以你这个整个积分的结果不就是个面积吗？是不是，哎，这个不要乱啊。 好，我们已经证出来了，被积函数是大于零的。好，这个就是我们被积函数啊，我们还说是 g x 吧，是吧，你是大于零的好，在零到一区间上进行积分。好，你不就这个面积吗？那你肯定是大于零的呀。已经确定啊，被积函数大于零了，结果大于零，那你可不就是你 减去你大于零的意思吗？是不是我们就是合并到一起，现在再拆开呀，那就大于零证明出来了呀，是不是这个换元法大家也学会一下啊。 那么我们也看一下 a 和 b 啊，你看啊， a 和 b 的 话，我们可以 令大 f x 吧，好，等于它的背机函数。背机函数是不是 f x 乘以 g x 呀？哎，我们求个导看看是吧，求个导看看，研究一下它的单调性呀。好，你导，你不导，加上你不导，你导， 我们现在已知的信息是你是大于零的。好，你是小于零的，那你们加到一起我不知道呀，我不知道你啥情况，你啥情况我都不知道。这些给的信息相当于太少了。我不知道 f x 是 大于零 还是小于零，我就不知道你这个被积函数单调性，我们不知道被积函数单调性就无法去判断，你看啊， c 选项我们如果知道单调性的话，是可以去判定这个积分的一个大小关系的，是吧？你不知道，那你没法选 b 选项也是一样的呀。你看啊，如果 f x 和 g x 都取正的话，那你对于 第二个选项跟第一个选项就一样了呀，都取正的话，你加上绝对值，是不是你可以把绝对值直接去掉呀？哎，你直接去掉是不是就 a 选项了呀？ 那，那如果 a 选项成立，那你 b 选项是一定成立的。你因为我们假设如果两个函数都大于零的话， ab 就是 相同的两个选项了，你选项的话是不可能同时选两个的，对吧？也是不对的，哎，你不管怎么去整，这个 ab 都是不能选的好，你看 d 选项啊， 我们把它的背极函数求个倒，哎，他求倒，大家会把外层求一下，然后内层求一下。好， f x 它大于零的，乘完以后是大于零的。好，它的背极函数你也是求一下倒。好，这是外层求倒，然后内层求倒， 两个小于零的相乘，哎，是大于零的啊，你们两个背极函数都是递增的是吧？你两个都递增，我没办法去 去比较积分大小呀，因为你不是同一个函数呀，你是两个不同的递增的一个函数，没法去比较。你不像人家 c 是 吧，我是同一个背及函数，他那个单调性是一致的，这可以好，这个题目啊，再梳理一下啊。好，那就讲到这里了。 好，我们看这个题啊， f s， g x 在 零到一区间上连续。好，这，这边的积分大于等于这边的积分成立的条件，哎，这是两个积分相乘大于这边是一个积分啊，成立的条件是什么呢？在零到一区间上好， f x 啊，关于这个单调性的是吧，你 a、 b、 c 都在说单调性， d 选项在说奇偶性，那根据啊，这个多胜少的原则是吧。哎，跟这个奇偶性一般来说没啥关系，你大概率就是来凑一个数，把选项凑成 还四个而已，是吧。人家都在说增减性吗？你这说基友性，你看一般跟基友性也没什么关系，所以这个就是凑数的好，我们就知道了啊，也就是说 f x 他们啊，这个单调性是什么情况下？好，这一个，哎，不等式成立的，你得知道题目的意思，首先啊， g f s g x 是 抽象函数，那我们就要想到了，哎，特殊指法是吧，这个能用特殊指法的，咱们就用特殊指法，能选出来答案，就是 就是，王道，是吧？好，咱们第七题不也一样了吗？好，我们看一下， 特殊指法是用来排除的，你得知道啊， a 选项说他俩都是增函数，我们就举例子了，那既然都有增函数，我就举简单的，哎，都是 x 可以 吧，这不是增函数吗？满足提议啊， 那我们看他能不能使得这个等式成立呢？看一下，这是 x， 这是 x， 这积分很显然是二分之一。零到一虚线的积分应该能描出来吧，一描他就是一个二分之一，这也是二分之一，就是四分之一，是吧？ 四分四分之一是不是大于这边什么呢？ x， x 就是 x 平方啊，这零到一区间上，积分是不是三分之一啊？ a 四分之一大一点三分之一，你说什么瞎话呢，是吧，不能选啊。好， 那我们再看 b 选项，哎，举一个特例就把这个 a 选项排除了吗？啊，好，他说都是减函数啊，那都等于负 x， 这不是满读 t 的 吗？是吧？举一个特例， 好，这是负 x， 这是负 x， 负 x 积分的话，这边是不是负二分之一啊？这边也是负二分之一，乘到一起是不是四分之一啊？好，右边呢， 负 x 负 x， 那 就是 x 平方，积分三分之一啊，他可跟这个说的一样了是吧？这怎么可能，四分之一大一等于三分之一呢？好，又排出来一个，我们再看 c 选项，哎，他说一减一增， 哎，根据我们刚刚说的啊， d 选项你不考虑的话，其实你现在大概率就选 c 了，是不是？好，那我们也是啊，继续举例子看一下，为了更安心一点嘛。减函数，那我还是，哎，就是 负 x， 是 吧？增函数，我就是 g， x， 我 看一下啊，这是负 x 的 话，这边积分就是负的二分之一，这是 x 的 话，积分是二分之一，就负四分之一，是吧？好，右边负的 x 平方啊，对不对？那就是负的三分之一， 哎，左边确实大于等于右边，是吧？负四分之一，你四分之一不能大于等于三分之一。负四分之一是可以的呀，这是对的，而对的你其实特殊执法我们是排除的嘛，你暂时还不能选，对吧？那我们再看一下 d 选项， 你再举吧，哎，虽然你你觉得啊，可能跟奇偶性没关系，为了确保你可以，哎，也就举个例子嘛，是吧。奇函数，那就它呗。好，偶函数，嗯，简单的，是吧，就它。好，我们看一下， x 的 话，这一积分就是二分之一， x 平方，一积分就三分之一，这不就是六分之一吗？好，它说大于等于， 这是 x 三次方，是吧？哎，一积分不是四分之一呢，是吧，所以也是错的呀， 那我们就排除了三个选项了，就选 c 啊，是不是？好，他特殊执法，总之你选出来答案就行了啊，在考场上也不用去纠结啊。他考哪个知识点，我们课下的时候可以研究一下他考的什么知识点，是不是这个题呢？可以从这个二重积分这一块 二重积分的一个角度去理解，你看这边啊，出现了两个积分，是吧？我们从二重积分的一个角度，那很多同学还没学到啊。没关系，你可以先在你的笔记本上啊，上岸笔记本是吧？记上啊，这个是一张第八题。哎，学完二重积分你回来看一下好不好？那学过的你就听一下呗， 好，转化为二重积分的话，我们变量是不是，哎，得改一下，搞成两个变量了，是吧？你这里用哪个字母是无所谓的呀，所以我们就把这边的啊这个 x 改成 y 呀，好， 二重积分，这就是零到一 f x d x。 好， 他说零到一，我 g x 完全可以改成 g y 呀，没问题吧？ 哎， d y 啊，跟哪个字母没关系？好，我们现在呢，就是让这个等式成立，然后推我们看一下啊，这等式成立需要满足什么样条件？就这样，哎，对了，逆着推就可以了啊。好，后面的话， 哎，怎么去写呢？你注意啊你，你要从从二重积分的角度，你左边是二重积分，你右边也给他写成二重积分，你现在看的话是一个定积分是吧？你补一下，就是 f x， g x d x， 你再补一个一吗？是吧？来，零到一，一抵 y， 你 把另一个啊变量给搞过来吗？这积分不就是个一吗，是吧？好，你看左边的话，我们是不是可以知道啊，它是在哪个区域上？ 对， b 级函数积分呢？我们的，我们的积分的一个区域是什么呀？你看 x 零到一， y 是 零到一，所以它的积分的一个区域啊，就是一个正方形是吧？对，是一啊，这是一， 这区域啊，就这样的。哎，正方形的时候你得注意了，它是关于 y 的 x 对 称的积分的区域 d， 关于 y 的 x 对 称，你就要想到轮换对称性了啊，待会再说。好， 嗯，这样的一个啊，二重积分，现在就转化为我们的被积函数，就是 f x g y。 好， 哎，在区域 d 上，积分是不是就写成这个形式？好，右侧也是一样的啊， x y 都是零到一嘛。所以啊，它的积分区域也是这个 d 啊，就这个正方形区域 好。呃， f x， 它的背记含是 f x g x， 哦，对呗。好，那接下来怎么办呢？我们说了啊， y 关于 x 对 称的区域，你要想到轮换对称性，你现在没学到，你肯定 没学到，肯定不知道啊，学过的同学都是知道的，二战同学，你对吧？考我们第十四章很关键的啊，一点就是在积分的时候一定要去考虑一般的对称性区域 d 啊，关于一般对称性和轮换对称性啊。好， 那这个时候啊， y 的 趋 d， 关于 y 的 对称，我们就要用的啊，它常考的两个知识点，这个题用第一，用第一个知识点就行了。也就是说，我们把被积函数的 x 跟 y 对 调，积分结果是一样的。好，既然积分的结果是一样，我就把 x， y 跟 y， x 跟 y 对 调啊，说好，为什么这样干啊，还是不太好想的啊。好，这就是 n g x 了，对不对？你这个积分啊，就是等于我这个积分，你这边也是一样的，去 d 也是关于 y 的 两个对称。好， x 跟 y 就 可以对调， x 的 全部换为 y， 是 吧？也就是说这个等式成立，这个等式也成立，那么左边加上左边是不是也是大于等于右边加上右边呀，对吧？好，那我们就加到一起啊，再去合并就行了。 嗯，左边是 f x g y 是 吧？这个都加到一起啊。 f y g x， 这是左边的好，加到一起它得大于等于右边的，是吧？ f x g x 加上 f y g y， 不好想啊，不好想，可以积累一下做题经验。 好，那你大于你，其实这还可以再去再去整理一下，是吧？哎，我可以把你这样大于等于把这边移过来，是不是大于等于零啊？也就是减去，因为他们的基本区域都是 d 嘛，整个背接还是移到一起没问题吧，是不是？所以啊， 也就是由这个推出来了，哎，这边，然后两边加到一起也是满足啊。哎，大于等于零的，是吧？好，这里边就是可以合并了啊，这时候我们看一下。 好，这有 f x， 我 看一下 f x 的， 我挪到一起。那这左边是一个 g y， 这边是一个 g x 嘛？减去一个 g x， 是 吧？再加上这里有 f y， 是 吧？这有 f y， 那 我就把 f y 再提出来。 好，左边就是一个 g x 啊，这点应该是减号，对吧？这减号啊，因为我们是整个的啊，挪过来，这应该是减号。好，减去 这个 g y， 是 吧？好，这是整个的一个背记函数啊，这个加一等于零啊，把这个括一下，括一个大括号。好吧， 你还可以再整理哦，你瞅一下啊，再整理一下，这里面这个 g y 减 g x， 这 g x 减 g y， 我 是不是可以提个符号就可以又合并了？再填一个符号，符号作用，这里面就变成 g y 减去 g x 啊，是吧？ g y 减 g x， g y 减 g x， 不 又可以提出来了吗？哎，又可以提出来了啊，好，也就是 g y 或者啊，我们就把 啊就这样写吧啊， g y 减去一个 g x 就， 哎，作为一个公因式提出来了，那剩的就是 f x 减去一个 f y， 是 吧？哎，就是这样的啊，好，现在被减函数就它俩相乘了嘛，对不对？这有一个啊，积分 好，我们现在就得说它得大于等于零呢，好，二重积分它的一个几何意义什么呀？ 取顶柱体的体积，是不是被积函数大于等于零就行了？被积函数什么时候大于等于零？那你就看 f f 哎， x 与 g x， f 与 g 的 一个单调性嘛，它俩单调性得是相反的，你可以啊，自己举例看一下。单增和单减都是不行的，你比如说 f 单增，好吧， g 也是单增的，你看啊，当 x 大 于 y 的 时候， 我们不是 g y 减 g x f x 减这个 f y 吗？要比较自变量的大小吗？当 x 大 于 y 的 时候，好，这个是 x， 这是 y， 而且 i 这个是竖轴的话啊，好， f 是 单增的，单增，单增的话，那 f x 减 f y， 这就是正的，是吧？这也就是正的了啊，对，正的好，那么 g x 也是 g g x 单增的话啊，那 g y 减去 g y 减 g x 是 负的，是不是？是负的啊？一负一正，这倍积函数就是负的了， 是吧？负的，那就不满足题了，倍积函数也是小于零的，包括你 x 小 于 y 的 时候，你也可以试一下，倍积函数也是小于零的，而它们两个只要单调性相反，那就满足啊，这两块都大于零的了。我们也可以举下例子，比如说 c 选项， f 单减， g 单增， 你看，当 x 大 于 y 的 时候，好，这是 x， 这个是 y， 这个是 x 啊， x 大 于 y， f 不是 单减的吗？ f 单减，那 f x 减去 f y 是 不是负的呀？这里就是一个负的啊，怎么不能这样写啊，这是负的。那左边呢？ g g x 是 单增的，单增的话， g y 减去一个 g x， 那 很显然也是负的。负负得正是不是？总之，正的呀，背负还是正的，所以 g 分 了一个，结果就是大于等于零的。那 x 小 于 y 的 时候，我们的是背记函数啊，负负得正 x 小 于 y 的 时候， 这是 x， 这是 y 啊。这竖轴好， f 单减 f 单减 f 单减 f x 减去 f y， 那 很显然是正的，是吧？这是正的。那看这一块， g x 是 单增的， 那 g y 减去 g x， g y 减去 g x， 正的呀，是吧？正正好，它俩合到一起相乘也是正的。所以啊，哎，你包括啊，你这里 f 单增， g 单减也可以，只要单调性，相反都是可以的。 那这个地方啊，我们这样的答案也提供一个思路，这个也可以去学习一下啊，学有余力的话可以学习一下。不太好想啊， 我们也提一下。好吧，可学可不学啊。嗯，这个思想其实还是可以的，可以借鉴一下。就说我们刚刚也说了啊，我们转化为二重，二重积分的时候，你看左边就可以转化二重积分，而右边的话，其实他是一个定积分，对不对？我们要统第一件事就是统一量级， 统一量级，统一量级的目的是干嘛？我们现在想去啊，说明出来它大于等于它，那我们通常，哎，可能想去构造一个大 f x， 就是 左边这个函数。好写过来啊， 减去右边的这个函数。哎，我们正过这样的题啊，是不是我想去证明它大于等于它的话，是不是左边减去右边，我能证出来大于等于零就行了呀？好，那这个时候我为什么要统一量级再去构造函数呢？ 如果你不统一量级的话，那么你构造出来函数你就做不出来。为什么统一量级？也就是说你就可以从二乘积分定积分的一个角度。好，那我这里就给他加一个 x 就 统一量级了。好吧，这个不太好想 对不对？哎，这边就相当于两个变量，你这边只有一个变量，我再引入一个变量，哎，两个变量两个变量对应着，这就是量级就统一了。好，除了除了这一块啊，你还得想到这个常数变量化啊。还有常数变量化就是不好想啊。 常数变量化的话，我们在前面章节证明的话也有学过这个思想，只不过结合到这个题里面就不太容易想到啊。也就说我们做的辅助函数是把这个这个常数啊给它变量化了啊，把一全部改成 x。 好， 那你既然改成 x 的 话，这里边的啊， 这就区分得区分变量了，是不是这里边 x 就 得全部改为 t 了啊？改为 t。 好，提提，我现在就是想证明你大于等于零的时候应该满足哪一个条件。 是这个意思啊，需要注意的就是我们构造函数的时候需要统一量级，并且构造函数的时候，哎，想到常数变量化，你想去对吧？你想去构造一个函数去研究问题吗？你这都不是，你看 这上面是吧，这上面都不是变量对吧？先给它搞成一个变现级的函数，哎，函数的形式再去啊，去求导呀，研究函数的一个形态啊。这个还是可以想到的啊，就这个统一量级才好，想到就是给它加一个 x， 这样我们啊函数就构造出来了。 好比较难啊，你可以积累一下这个想法。好吧，积累一下那我们那个目的的话是干嘛呀，是不是想去证明出来 f 一 啊，你看 f 一 对不对把一一带吗？我想证呢就是 f 一 大于等于零的时候好要满足的一个条件对呗，我看一下 f 一 大于等于零需要满足什么样的条件吗。而这个零你会发现就是大 f 零呀， 对吧，你看零一带上下线都是一样的呀。所以其实我现在要中的就是大 f 一 大于等于大 f 零。其实我想要的是什么呀。 f 大 f x 我 想要你单增，看到没是吧。大 f 一 要大于 f 零我想要的就是 f x 单增。什么情况下哎。 abc 哪种情况满足哪一种情况我的大 f x 才是单增的呢。这样去思考问题啊。那就研究函数啊，单调性了。求导好求导呢。就是左边求导， 哎，就变基本上求导了啊，右边呢是不求导再加上左边不求导好右边求导是吧。再减去好这两两部分了啊。左边求导右边不求导 还减去，你注意是减号啊，左边不求导右边求导 是这样的吧。好，这个时候你看这是大 fpx 我 想要大 x 单增，我是不是得判定你是大于零的时候是吧。什么时候大于零 那我得去想着啊，把这些啊，哎。把这些背心函数能合到一起是吧。哎，整个都是零到 x 这个背心函数合到一起的一个思想嘛，那你就整理呗。整理啊，整理这块也是需要有这样你慢慢去培养这个思想，后续一些证明题也会用到，特别是处理这的时候啊， 真题里面已经体现过了，所以说我为什么说这个题这个思想也会给大家讲一下呢？哎，这个地方啊需要注意一下。好，我就统一这个就把型号给写成一致的啊，好，去合并背及函数。那我 f x 完全可以提到这里边呀是吧，你基本上是提你现在相当于一个常数，我提进去没有任何的影响啊。提进去为了合并啊， 这边呢，哎，这个 g x 可以 提过来是吧，提到这个放到这个背接号儿里面没事儿的啊，好，后边儿这也这已经是零到 x 了，这个什么写少写了啊， 好， f t g t d t 啊，你现在并不是我想要的这个型号，你就改是吧，这里就是需要大家注意的啊，我给写一下啊，就说你给写成零到 x 好， f t g t d t 哎， 不就是它吗？是不是我要凑成这个零到 x 这个型号的话你看。对啊，这个是 f x 啊。 sorry 好，我积分变向是 t， 你 f x g x 就 相当一个数，我可以提出来是吧，而倍积分就是个一了一积分的话是不是上限减下限就是个 x 啊，不就这个东西吗？这个啊得会改写，我们在后续一些证明体面会遇到会遇到的啊，所以说我讲一下这里了啊好，我就合并了啊 是吧，零到 x 好， 合并合并你会发现跟我们发二后边就是都一样了啊好，这个减去这个是吧，加上好，他跟他加，减去一个，他跟他加，他跟他减，再减去一个，他跟他减，其实就已经跟， 对吧？第二个方法一样的呀，我们写的那一那一那一那四个，是吧？四个相乘相加的，然后你再去提一个 f x， 再去提一个。好，这个，呃， f t 都可以啊，你提谁之后，然后再一次又可以合并合并同类项，好再去研究啊，它什么时候是大于零？我们先写，再写一下，好吧。 好，这个零到 x， 你 比如说我提 f x 出来 f x 的 话，左边这里有一个 g t 是 吧？这个呢？是 g x 减去一个 g x。 好， 那后面呢？我再提一个 f t， f t 的 话，它前面是一个 g x 是 吧？ 嗯，这里是减去一个 g t 减去一个 g t。 好， 因为这是 g t 减 g x 是 吧？这是 g x 减 g t， 所以 我把符号放到前面，这个符号就来到了这里，是不是所以 g t 减 g x 就 可以提出来了嘛？这个上面一样啊，再写一下。 好， g t 减去一个 g x 就 可以作为新的一个公式提出来了。 好，那剩下就是 f x 减去 f t， 这跟刚刚说的没啥区别了，是吧？好，我现在想要的是什么我们是知道的，我们想要你单增，就想要导函数也是大于等于零的，是不是？你什么时候大于零？好，下限小于上限对不对？ x 是 来个大于零啊，对吧？下下线小于上限，背积函数大于等于零的时候。好，我们的积分再大于等于零吗？是不是什么时候啊？他俩相乘是大于大于零的，跟我们刚刚啊这个二重积分是一样的吧，是吧？只要背积函数啊大于零就行了， 这里也是一样的，背积函数大于零，下线小于上限，积分的结果是大于零的那个是从从二重积分的角度，再从积分的一个定积分的一个角度，是吧， 是不是好那一样的啊，我就不写了。哎，只有他俩，他们两个啊，这个增减性相反的时候就可以满足啊。他俩相乘的结果是正的，要么俩正，要么俩负就正的。积分就是大于零的好，或者大于等于零。等号考虑不考虑都行，是吧，哎，总之，哎，你得 知道啊，这个第第法三呢，你就是可以作为扩扩展你的一个视野吧。好吧，可以学习一下。常说变量化，这个我们是遇到过的啊，前面的证明题就同量级这一块不太好想的好，梳理一下啊，梳理一下这几个，这几个想法。好吧，好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，这些就不读了啊，证明的呢，是它小，也等于它，我们看到了 f x， 看到了 f 撇 x， 我 们可以想到什么呀，证明的一些手法，哎，想法方法的话 想到中指定力是吧。拉尔，中指定力还能想到啊，牛顿莱布尼斯公式啊， 这个后续在一些证明题里面也会体现到的啊，还有数一数三同学在急数哪一张啊。啊，这个思想得有的啊，可以慢慢去培养一下。 f x 与 f p x 出现的时候想到中指定力，想到牛顿莱布尼斯公式啊，这个题用中指定力你会发现证不出来， 那我们就考虑牛顿莱布尼斯公式。好吧，好，慢慢培养一些做题的方法，不用着急的 看一下，我们就把它写过来啊， f x 正这边是， 是不是 f x 啊，是吧？我们这 f x， 它这个是减零啊，我们这个题它是 a 跟 b 嘛，是吧？你把这个零给改成 a 跟 b 就 行了啊，这不是把这个零改成 a 或者是改成 b 啊，它就可以写成，哎。零到 x， f t 一 撇底 t 是 吧？因为他求出来的话，不就等于 f t， 然后上下线一带是吧？这个不是零啊，是 a 是 吧？好，这个没有问题了啊，因为 fa 是 等于零的，那这块其实不用去看了是吧？所以啊， 就 fa 等于零，不用管了啊，你这里要也可以写一下是吧。 fa 等于 f b 等于零，所以那么 f x 减去零就别减了，就等于 a 到 x， f 撇 t， d t 是 不是？哎，你看啊，已经很接近了啊， f x 就 已经出来了，待会我们再取绝对值。怎么出现这个这个二分之一什么的呢？这些是吧你，你这现在用到了 a， 你 还没有用 b 呢，你 b 也用下来是吧？那你同理啊， 一样的呀，是吧，这里的 a 全部改成 b， 那 我们又能得出来 f x 就 等于 b 到 x， f 撇 t， d t， 是 不是？你这里可以写成英文嘛？好，接下来呢，接下来就让两个 f x 相加，相加的话不就出现二倍的了吗？哎，这个二分之一很快就出来了啊，好， 对吧？两个有 a 有 b， 你 就两个都出来嘛，出来相加就有二倍的了，就跟二分之一很接近了嘛。好，左边两个相加，右边两个相加， f 撇 t， d t 加上哦， b 到 x， f 撇 t， d t。 好，这两倍的两倍。我，其实这个二我就可以一会挪到这边了，是吧？好，现在不挪也行，我接下来就得是，哎，你让我干啥我干啥，是不是？取绝对值吗？那就取呗，左边取绝对值，这个二就可以出来是吧？右边我也取绝对值， 可以吧。哎，右边取绝对值，现在就要用到按我们这个绝对值不等式和积绝对值。关于积分的啊，这块加绝对值的有不等式，这些啊，都是常考的，必须要很熟练。 好，现在就是 a 加 b 绝对值是不是小于等于？好，这个 a 的 绝对值再加上 b 的 一个绝对值啊？好， a 到 x， f 撇 t， d t 绝对值加上一个 b 到 x， f 撇 t， d t。 好， 那这里还要多提一句啊，这里是加或者是减的话，后边儿放缩的长的是不是一样的呀？为什么要提它？我们待会儿看 现在啊，继续可以放缩是不是？哎，积分的绝对值小于绝对值的积分，这也是经常要考到的啊。好，我们直接往后边下啊，小于等于把绝对值放到背其函数里面了啊。 f p t。 好， 这绝对值 d t 加上一个 b x 是 吧？ f p t 加个绝对值好， d t， 好，这个时候我是不是可以把二分之一挪过来呀？好，所以啊，你看好把二分之一挪过来，但跟我们的结果啊，我想正的是不太一样的啊，所以这绝对值就小于二分之一倍的。好，后面 这两部分相加对不对？ d t 加上一个 b 到 x， f p t 啊，绝对值 d t， 你 看他跟我们想要的还差在哪呢？ 它是 a 到 b， 你 现在是 a 到 x， b 到 x 是 吧？我是不是可以我想着把它们两个合到一起，然后区间，利用区间的可加性呀，是不是 a 到 x， 如果我能写成 x 到 b 的 话，背机好像长的一样呀，我自然就可以，哎， 这两个加到一起就可以写成 a 到 b， 哎，这个背景函数是吧，哎，积分就行了。好，你现在合不了，合不了，这就回到我们刚刚说的啊，你这个地方可以去处理一下。刚刚我们是加，我们写成减，没有问题吧，对不对？也就说我这里的话 把上下线对调一下，我其实想把上下对调，上下线对调一下就可以合并了吗？是不是 这个地方我可以改一下上下线吗？好， x 到 b， 可以 吧， f 撇 t d t。 好， 那这个地方，哎，我就 改了啊，改成负的 x 到 b 了， a 减去 b 绝对值。我们说了，你这是减号的话，放松的其实是长得一样的吧，是吧，长得一样的啊，只是说我们现在啊，就是这个 x 到 b 了， 对呗， a 到 b 就 小于等于啊，它这个绝对值加上一个后边的这个绝对值，对呗。好，这个时候啊，上下线都改了，你看还是加号啊，这还都是加号好。 x 到 b， 哎，这是 x 到 b， 是 不是根据区间的可加性， a 到 x， x 到 b， 这不就可以合并到一起了吗，这不就正出来了吗，是吧，二分之一倍的好，就可以正出来了。 a 到 b， f p t 绝对值 d t 看到， 哎，这个就完事了啊，你再写一个正 b 就 行了，我再写一下吧，正 b 就是 让探监老师知道你中完了的意思啊。好，你看咱们总结一下啊，这个题你看到他跟他你就联想到要么用牛顿来宾尼斯公，要要么用 啊，这个中日定律是吧，拉拢中日定律，发现啊，中日定律用不了啊，你可以自己试一下是吧？以 f x， 你 可以减去一个啊，这个 f a 往题里面等于 f x 三，哎，这个 x 减 a， 你 发现很难搞出来，哎，搞不出来， 好，就想了 new 的 例子公式。好，那就，哎，写过来，写过来之后得到了一个 f x， 这有二分之一倍的，那还有，对吧？这也出来一个 b， 我 再搞出来一个 f x， 加到一起就除以两倍的了。两倍的这个二分之一往右边一挪，不就出现二分之一了吗？是不是 这个两边相两两个啊，加到一起的一个思想前面也已经提到过了。好，还有啊，这个常见的不等式得记一记。对呗，常见不等式记一记，该改上下线的改一下，哎，曲线的可加性用一下。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，证明题，那观察到啊，有 f x 有 f x， 是 吧？想到我们说的啊，要么你，哎往牛顿莱布尼斯公式上面想第九个题嘛，要么你往中指定力拉个中指定力这里去想是吧，建立 f 啊，与 f 撇之间的一个关系， 我们都可以试一试啊，我们都可以试一试。你比如说我们先试一下啊，这个牛顿莱布尼斯公式它是可以的啊，这个题两个都可以直接就在这里啊，去写就行了。 要用它的话，是不是 f x 减去一个 f 零就等于好，零到 x f 撇 t d t， 而 f 零刚好是等于零的嘛，所以这就是等于 f x 是 吧？ 好，这个时候怎么办呢？我们要往这个上面进行靠拢，现在知道 f x 等于这个，那可能要想到了啊，哎，你是取 求积分的吗？那我就是去求积分，但你求积分的话，发现这边也是积分，再去积分就，哎，麻烦了是不是？好，这个时候你就直接啊往绝对值这去靠了呀，是不是？哎，积分我感觉有点麻烦，我就先取绝对值，你看看嘛。好，先去取绝对值。那右边也是啊， 加一个绝对值吗？这肯定就是相等的是吧？好，我们是往大了放松吗？那就放松呗，这就是积分的绝对值小于等于绝对值的积分，这个用烂了是吧，必须要记住啊。好，零到 x f 撇 t d t 取绝对值 d t。 好，他的话我们知道，哎，在零点一区间上最大值我们记为 m 了，还是往大了放松，我直接把你放成大 m 不 就行了吗？对吧，最大的不是大 m 吗？好，这个积分是不是可以算出来呀，就是等于大 m x 呀。 好，现在的话，我们这个绝对值 f x 跟他又怎么联系呢？哎，你看，这不就是积分的绝对值吗？那自然我们还是要想到这样的一个放缩，是吧？好，这个题目呢？你看，是 这里啊，题目是积分的一个绝对值，它肯定小于等于我们说的把函数啊加个绝对值，是吧，绝对值的一个，哎，积分往这往这上面去靠拢呀。 好，而这个 f s 取绝对值已经知道了，是不是我们，哎，你现在盯住它就行了。好，那我们就是绝对值已经有了，我就在，哎，零到一上面进积分不就行了是吧？零到一区间上， 好，绝对值 f x 积分，那同样这边，哎，这边积分是吧，它就小于等于。好，零到一区间上 m x 积分吗？这积分很显然就是二分之大 m 是 吧？好，你呢？不就是小于，这不是已经算出来了吗？就是小于等于二分之大 m， 对呗。好，这就联系起来了，你小于他，他小于他，那不就是你小于他就挣出来了，是吧？哎，这个要注意啊，你直接在这个地方啊，去求积分的话，这里还积分就会 很繁琐，是不是你就直接取绝对值，怎么建立联系呢？还是看到了啊，积分的绝对值，那就小于等于绝对值的一个积分，这里可以盯住这里去。哎，绝对值弄完之后好再去积分，这样就联系到一起了，是不是记好这就挣完了啊？对， 这就是用牛顿来宾尼斯公式。那我们看一下这个中指定律。拉格是中指定律是吧？拉式定律。好， 那第九题啊，它是给了两个点的函数值相等啊，用它就不太方便，那用的是它这题只给了一个点的函数值，哎，我们尝试一下用拉式定律。好，用拉式定律的话，那就是 f x 减去 f 零就等于这些套话你要写一下啊，哎， 区间连续开减可到 f， 撇可删 x 减零，那就是 x， 而 f 零是等于哎零的嘛，是吧，这个是没问题的吧。那既然没问题的话，好，我这个时候我就可以，哎，你让我干嘛我就干嘛了，是吧？你让我干嘛我干嘛啊？ 因为这边的话，它不是积分那个形式好处理一些吗？你是积分，我现在就是积分呗，这里它是一个积分的形式，这是哎， 哎，医医院喊出的形式，是吧，好处理吗？好，我两边哎，都在领导一区间上进行积分啊，是吧，盯住我们的目标，你让我干嘛我就干嘛。好，两边去积分， 那这个积分的话我们先放在这是吧？哎，我已经干完这件事了，我在干什么呀？取绝对值这件事吗？是不是？那我就取绝对值 相等，那我都都可以加一个绝对值吧。好，这就可以放松了呀，不，就积分的一个绝对值就小于绝对值的小于等于绝对值的一个积分是吧？把里边这里加一个绝对值。 好， x 再零到一 x 是 大于零的吗？是吧？那既然大于零的话，我 x 是 可以取出来的，对不对？好， f 撇 去绝对值直接去就行了。好，他的话就可以往大的放松吗？是吧？最大的去大 m 吗？那就小于等于零到一 x， 我 们放松为大 m 就 提前面了。这个放松为大 m 啊。好， d x， 你 看这里对应积分的话，就二分之一乘一个 m， 二分之 m 是 吧，这不就是从前，这不是题要正的吗？这就正完了是吧。用了一个拉式定力啊， 写一些套话啊，快写一些套话，写一下。哎，这个 f x 是 吧，必须先连续开，先可导，然后再零到零到 x， 区间上一定是存在一个点可塞使得 f， 是 吧？使得啊，这个， 这个式子是成立的吗？有拉式定力是不是？哎，想到啊， f 和 f 撇出现的时候，哎，能够有两个思路往这上面靠拢就行了。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，这题是有点难度的啊，有点难度，哎，做不出来也是正常的，可以积累一下做题经验就行了啊。好，我们观察到 f x 是 一个变现积分函数，证明 x 大 于零的时候，绝对值 f x 小 于等于 x 分 之一。 看到变式函数，有同学说我把它记出来，这里记出来，记不出来呀，你告诉我这个 c e u 的 一个平方元函数是谁？不知道是吧，不知道就记不出来，你就没办法啊，写出来元函数，把上岸线一带，求出来表达式是吧，再取其对值，搞不出来这条路是走不通的。 好，他用到了变量代换啊，这个可以积累一下这个做题的一个技巧。好吧，你这其他的方法也很难想到嘛，是吧，想不到别的路啊。这个 u 的 一个平方嘛，平方出现了会很影响你做题的，对不对？所以我们，哎， 积累下来，哎，就是进行变量代换，我们令 t 就 等于 u 的 一个平方，那么 u 呢，就等于根号 t u 啊，你看是介于 x 到 x 加一之间， x 大 于零吗？所以 u 肯定是大于零的啊。好，那底 u 就 等于二倍的根号 t 分 之一 记 t 是 吧，做变量代换啊，做完这个题你就学到一个啊，做变量代换这个思想就行了。变量代换， 好，那我们看这个 f x 现在长啥样了吧。这个先抄过来一下啊， c u 方 d u 换元是吧？当 u 等于 x 的 时候， u 等于 x 的 时候，那么 t 就 等于 x 的 一个平方呀， 当 u 取 x 加一的时候是吧，一这个 t 就是 x 了啊， d u d u 就是 它。 接下来怎么搞呢？好，凑微分了是吧，两类函数，你想着去凑微分呢，好，一天说凑它，你凑它的话，难搞的，你可以试一试。好吧，我们就把三角函数凑过去啊，就做题的一些 这个经验技巧吧，你是随着你的提量的一个增加，你会慢慢的积累出来的，也不用着急啊，测三角函数好， x 平方， x 加一的一个平方，好一，比上二倍的根号题 d cosine t 要添个负号是吧。好， 得，横着写还得竖着写呢，这样吧，就这样了啊，好负的，这个你凑完之后就是开始分布积分了嘛，对不对？就是 u 乘以 v 好， 上下线 减去，那就是还有一个减号，就是加上了啊，加上 x 方， x 加一的一个平方 v d u 是 吧，对它进行，哎，求导啊，好，求微分，这是 t 的 负二分之一次方，是不是？求导一个草稿上别搞错就行了，负的二分之一对不对？它就等于 t 的 负二分之三次方是吧。所以啊，这应该是 t 的 负二分之三次方，还有一个系数，负二分之一，负二分之一跟二分之一乘就是负的四分之一，是吧。好，第一题，这个认真算啊，我们看第一部分啊， 你这个负号的话，我们是不是可以作用于上下线啊？负号啊，就作用于上下线了，这是 x 的 一个平方， x 加一的一个平方，这样不容易出错啊。我们看上线一带的话啊， 二分之一 x 方再去开方，不就是个 x 吗？我们说 x 取正的呀，对不对？所以这个就是这样的了。 cosine 呢，这里就是 t 给它换成 x 方嘛，减去下线啊， 这是二倍的，这应该是 x 加一再乘以 cos x 加一的一个平方，就这样的吧。它第一部分啊，减去四分之一倍的， 这个时候没有必要啊，你非得把这个积分算出来，为什么？你看我们最后啊，是这样一个不等式呀，是吧，你再去算的话，这很麻烦的是吧，你再凑一分可能还搞不出来啊，搞不出来，那你就先放在这， 有些时候你不要去着急，非要把每一步啊打破砂锅问到底，是吧，我就放在这里， 好，放在这里之后我就开始往目标上进靠拢了呀，那我们的一个目标的话，是去取绝对值，往大了放松吗？是吧，我就取绝对值了，现在对不对？左边取绝对值，右边也取绝对值了啊？好，既然取绝对值的话， 这个吧，二 x 分 之一啊，都给它加到这个绝对值里边，好，再 整个的吧，是吧，我们先整个的加个绝对值， x 加一的一个平方除以二倍的 x 加一。好， x 方 x 加一， 加完绝对值之后，我们就往大了放松就行了，是不是？好，现在往大了放松啊，这绝对值里面不相当于三个部分吗？是不是我们绝对值不等式要求大家啊，必须得记熟练了，是不是你这里啊， a 加 b， 我 们说你不管是加还是减，都是小于等于 a 的 绝对值，加 b 的 绝对值的，是不是好，往大了放松啊，小于等于，这就是第一部分，第二部分，第三部分。是不是我不管加减啊，都小于这一部分，这一部分这一部分，哎，加绝对值就行了，对不对？好，这就是二 x 分 之一 cos x 方，对吧，加上 这个二 x 加一分之 cosin x 加一的一个平方，好，加上，对吧，我不管负的正的啊，都是四分之一倍的 x 方 x 加一，好，平方 cosin t t 的 负二分之三四方 d t， 好， 其实啊，这个绝对值还可以再去整理一下。怎么整理啊？ x 不是 大于零的吗？是吧，它都是大于零的，那大于零其实绝对值，这个大于零的我就可以从绝对值里边拿出来呀，是吧？大于零的拿出来呀，可以吧，是吧？这四分之一可以拿出来呀， 对吧？好，拿出来之后，我们知道这个正弦也好，余弦也好，它是有界量，对吧？小绝对值是小于等于一的，所以我们就继续往大了放松就行了。把你放成一，可以吧，那前面就是二 x 分 之一加上啊，这是二 x 加一分之一，后面 四分之一倍的四分之一倍的。好，这里我们现在整个都在往大了放缩，是吧？它也可以往大了放缩啊。又，这是积分，取决于值， 积分的绝对值就小于等于绝对值的积分，是吧？我可以把这个绝对值往里边拿一拿呀。可以吧，反正我往大了放松啊，这就是 x 方 x 加一的一个平方。好，取，取这个绝对值了啊， cosine t 的 一个绝对值，好，整个本来啊， 真的整整个，他俩应该写到一起的，我可以分开写吧，是吧？我分开写的目的是什么呀？因为 t t 是 正的呀，是吧？你这二分三次方也是正的，我想把你拿出来的意思，对不对？好，我继续可以往大了放松这里啊，是吧？靠近绝对等于它小于等于一，我就再把你放成一。哎， 一直就往往大的，放松就行了啊。好，你不放松的话，你处理这一块很难受，是吧？处理这块很难受，我们尽可能的放缩到这个一啊， 就变成长数的时候，你这积分你就会了呀，这搞成这个样子很难很难受，是吧？好，放成一了，这就是 t 的 负的二分之三四放 d t， 这时候啊，你就会 求它原函数了，这块都可以求出来了，加到一起你会发现就是它。好吧，你，你考试的时候啊，你如果真的不想算了，你直接出一个结果，可能会扣一点点分，那你就再把原函数求一下来计算一下就行了，是吧？二， x 分 之一加上这个啊，朝这前面朝一下， 我们看 t 的 负二分之三四方去求积分了，是吧？原函数求积分，这上面要加一个一，对没加一个一的话，加上二分之二也负二分之一了， 是吧？好，那我们这里原函数负二分之一，那是不是得补一个？它求导的话是多一个负二分之一吗？所以你要补一个负二，前面要补一个负二啊，系数不要忘了。好，这就是 x 方 x 加一的一个平方。 好，再写一步啊，再写一步就出结果就行了。加上，哎，这就是减去二分之一倍的，是吧？好，乘以我们看上限啊，这负二分之一次方不就是 开方分之一嘛，对不对？好，上限一代就是 x 加一平方，开方就是 x 加一嘛，再分之一嘛，是吧？这就是 x 分 之一，你看 是不是消掉一部分就剩我们想要的了？这里是加上它减去它这两块就没有了，是吧？还剩它跟这里减去负的，那加上二分之一倍的，加上二分之一倍的 x 分 之一，其实就是它的两倍吗？它两倍不就是 x 分 之一吗？ 是吧？也就是进行一个变量代换，这个题目啊，就做出来了，就是一直在往大去放松，是吧？用到啊这个 cosy 吗？有介量是吧？小于等于一，还有我们常见的这个绝对值不等式以及，哎，积分的绝对值小于绝对值的积分，还是这些常见的不等式，掌握一下就行了。 做一个题不会做也没关系，听完之后有所有所收获，那这个题做的就是有意义的好不好？好，这个题就讲到这了。

同学你好，我们来看一下一千题第五章的第二题。若函数 f x， 它的极值点是小于零的，让我们求 a 的 极值范围，那首先呢，我们要判断它极值点的位置，接着再去跟零作比较。 首先是对 f x 进行求导，也就是 f 撇 x， 它是等于负 a， e 的 负 a x 次方减去 e 的， 令其为零。 我们之前在总结视频中知道基点的位置是在哪里呢？一个是以导为零的点，另外一个是不可导点，那 f x 是 它是一个连续函数，并且还是一个可导函数，所以是不存在不可导点的。 所以呢，节点是不是就只能是在一阶导为零的点？我们看节点跟注点之间的关系，注点呢，它是导数为零的点，是后选的节点之一，而节点呢，可能是注点，也可能是导数不存在的点，所以我们刚刚是排除了这里是没有导数不存在的点，那节点是不是就只能等于注点了 它？这里我们如果按照常规的解析思路的话，直接求解 是不是就是求出它这个 x？ 然后呢，根据这个 x 零，也就是记点小于零这个条件去反退 a 的 去质范围对不对？但是直接求减呢？这里有一个问题，如果我们直接求减，那是不是 是要利用对数运算的？因为在这个 f x 中，我们令其等于 e 的 话，这里有 a， 也就是说指数形式上有 a， 乘积函数中也含有 a， 那 是不是需要两边求对数？如果是两边求对数的话，这个计算过程就非常的复杂，不是不能做，是非常的复杂。所以呢，我们就要联想到间接求解的方法，也就是 a 令 a 等于 e， 负的 e 的 e 加 x 零次方，这个 x 零呢，是我们假设的注点， 总结下来就是，如果方程无法显示的解出变量，但是却要求让我们求参数范围的话，就优先尝试反解参数，利用不等式和函数的单调性求解。 这个解析思路已经总结过了，我们来看一下它怎么做呢？ f 撇 x 等零，刚才我们说了用间接的方法求解，那就是 这部分它是等 e 的， 那 a 是 不是就能够得出一个用 x 零表示的一个式子？我们刚才说的注点，设注点 为 x 等于 x 零，那现在的话是不是就是负 a 乘以 e 的 负 a， x 零次方减去 e 啊？直接等于 e， 那 这样的话， a 是 就等于负的 e 加上 a 的 x 零次方。 如果我们令 u 等于一加上 a 乘以 x 零的话， 那 a 是 不是就等于负的 e 的 u 次方啊？那我们看看看一下这个负 e 的 u 次方，它这个函数图形是怎么画的？这样画，这里是 x 轴，这里是 y 轴，这里是 e， 这里是 啊。函数图像应该是这样子画的，这是 y 等于负的 e 的 u 次方写成，那这里就写成了 u。 说它这个函数是一个单减的图像，那这样 a 起码是不是能判断出来它是一定小于零的对不对？ 因为它 a 是 等于这个整体的函数，而这个函数是不是函数值都是在零以下的，所以呢， a 是 一定小于零的。 得出 a 小 于零，我们再来利用这第一步，接着再来利用极点 x 零小于零这个范围，进一步再缩小 a 的 范围，利用极点 x 零小于零去推导范围，已知 x 零是小于零的，且刚才我们知道 a 是 小于零的，因为 a 它是这个函数，等于是这个函数的函数，而这个函数值的符号呢，是不是都是在零以下？这是它的图像， 因此呢， a 乘以 x 零，负负得正，它是大于零的吧，那这样是不就能够得到一加上 a 乘以 x 零，它是大于一的，一加上一个正数，它肯定是要大于它原来的本身的。所以呢，我们 令 g u 是 等于负的 e 的 u 次方，它是一个严格 单减函数吧，根据图像我们就能够看得出来。所以呢，当 u 大 于一的时候，也就是它这个自变量是大于一的时候，我们是根据图像是不是能够得出 g u 它是小于 g 一 的吧？ 假设这个点是一，那在大于一的时候，是不是很能够很清楚的看到它的函数值是小于这个点的吧？所以呢， g u 它是要小于 g 一 这个位置的函数值的。那 g 一 是等于什么呢？一代数是不是就能够得到它是负 e？ 那这样，我们将 u 等于一加 a 乘以 x 零，代入 a 等于负的 e， 一 加 a x 零次方中，那就能够得到 a 是 等于 g 一 加 a x 零小于负一的，对不对？再验证验证，并且确定它的取数范围，结合 a 小 于零和 a 小 于负一，是不是就能够最终得到 这个 a， 它是属于负无穷到负 e 的？ 再看一下，如果它给出的是极值点大于零这个情况呢？这个情况我们只是书本上没有要求，我们只是联想一下，若极值点 大于零的情况， 刚才已经知道 a 是 小于零的， x 零它是大于零的，那 a 乘以 x 零是不是小于零？也就是说一加上一个小于零的数，肯定是小于一的吧。 g u 是 等于负的， e u 次方它是单调递减的， 我们再来看一下它这个函数图像，这里是 u， 这里是 y， 函数是这个样子的。假设这里是一这个点， 那一加 a 的 x 零次方，它是小于一的，也就是说它是在一的左边的那一的左边，根据图像的话，它是不是就左边的函数值是肯定要大于一这个函数值的？所以呢，是不是就能够得到 g 一 加 a x 零等于 a 是 不是大于负一的呀？那再结合 a 小 于零这个条件，是不是就能够得到 a 是 属于负一到零的？这是我们根据 刚才的解题思路，联想一下几点大于零的情况，那如果按照直接求解的方法呢？它是怎么做呢？从注点方程出发，是不是就得到负 a e 的 负 a x 零减 e 是 等于零的，那整理出来是不是就得到负 a x 零，它等于什么呢？它是等于负 a 分 之 e 的， 而这个 e 的 负 a x 零次方，它是大于零的吧？因为函数图像它是这个样子的，所以呢，它的函数值是一定大于零的，所以是不就能够得到右边这个等式？它也是大于零的？ 它是大于零的，那是不就能够得出 a 是 小于零的？ a 小 于零的话，我们再来看，如果两边取自然对数，是不就能够得到这个等式啊？ 这就是我们刚才说，如果涉及到对数运算的话，它计算过程是非常复杂的，这样去解这个 x 零的话，它其实等于负 a 分 之一，一加上 line 负 a 分 之一 这样子的，然后接着是根据 x 零小于零的这个条件，是不是能够得到右边的这个等式，它是小于零的，再结合 a 小 于零的话，负 a 分 之一大于零，那不等式的话，它整体是等于什么呢？是不是一加上 line 负 a 分 之一是小于零的， 最终呢，是 l 负 a 分 之一是小于负一的，也就是负 a 分 之一是小于 e 的， 负一次方是等于 e 分 之一的，两边我们现在是同乘以 a 的 话， 注意这里 a 是 小于零的，那不等号方向是不要改变，所以呢，负一是大于 e 分 之 a 的， 这样也能得出 a 是 小于负 e 的， 并且呢，在结合 a 小 于零这个条件，那是不是最终能够得到 a 是 属于负无穷到负一的？总结下来的话就知道，如果是直接求解的话，涉及到对数计算，再加上它的计算步骤还比较多，所以呢，我们是优先考虑间接 间接求解的。而间接求解呢，刚才我们说了，如果涉及到它没有显示的给出 x 它的范围的话，那就并且还要要求我们去求参数的范围，那就优先考虑利用函数的单调性 去求解。像这种题呢，常常求参数范围的，在第五章的时候，后面也会遇到很多具体的题，那这一视频讲解到这里，感谢您的使用。

好，我们来看八点一。哎，你看这零到二分之拍区间有 c x 有 x， 你 就要记住几个我们正的一个结论啊，零到二分之拍的时候好，要记住啊，这个我们在一千题里面已经正过这样的结论了，特别是这个啊，正过了 好，这些啊，直接就可以利用啊，这选择题吗？同样，我们在三十讲里面也证明了一个零到四分之拍的时候，贪婪的 x 小 于拍分之四 x， 就 刚整没多久，还用了两种方法，对不对？用单调性或者使用凹凸性整的这两个啊，给我记下来啊， 没有记住的，记下来，记住的，那你就很棒呦，好，我们去。哎，利用这些不等式去做这个大于号小于号的题吗？ 好，那你看啊， a 一 的话，它这个背积函数是 c x 除以 x， 我 们在零到二不是拍，刚刚说了，那用的就是这一块的，是不是你 c x 可是小于 x 的， 你除以一个 x， 那 你就是小于一，那么我们这个 a 一 好，我们首先能够得到的是啊，他是小于。哎，我们从零到二分之拍对一进行积分呀，啊，背积函数谁大，那结果谁又大呀？因为他们的积分区间一样啊，这个积分结果是二分之拍，拍是三点多，除以二是一点五多， 对这个题暂时没什么用啊，我们得到 a 一 小于一点五多，那人家是跟一比，那你得不出来是不是得不出来跟一的关系。那我们再看一下 a 二呢， a 二是 x 除以 c x， 哎，我们知道 x 是 大于 c x 啊，在这个区间，所以它是大于一的，那么首先我们知道 a 二就大于零的 r 分 之派对一定积分，哎，这个我们说了是一点五多，那你 a 二是大于一点五多的，那肯定是大于一的呀，那 a 二是大于一的，这个是大于一， 那这个 l 小 于一，不对，那 l 这个小于一也不对， l 大 于一。好，那么我们再再看一下 a 一 跟一的一个关系呢？哎，我们刚刚说了，这边是不是你得用啊，你这个结论记下来，你得用好，所以啊，这个我们知道啊，这个 c x 是 大于 拍分之二 x 的， 那你 c x 除一个 x 之后，这不就变成 这个 pi 分 之二了吗？哎，这个被积函数，它不是 i 一 的一个被积函数吗？所以 i 一 就大于，哎，零到二分之 pi， 我 们对这个被积函数积分，你看看这积分的结果不就是一了吗？ 所以我们得到了 a 一 是大于一的，那 a 一 大于一，那就这个了，是不是我们刚刚说的 a 二是大于一的，嗯，然后呢？ a 一 现在又大于一，那你 a 二跟 a 一 比呢？那肯定是这个 a 二大于 a 一 啊，是不是 因为我们刚刚就已经能够得出来了，一个 a 二大于一点五，一个小于一点五， a 二肯定大于 a 一 啊，好，那这题就出来了，选的是啊 c 选项， 所以啊，这个给我记住，这个记住啊，你记不住的话，你可能你找不到方法做题了呀。好，那这个题目就讲到这里了， 好，我们看八点二分段函数 f x 正确命题的个数，看一下在说什么呢？ f x 在 区间上面有没有原函数，哎，可不可积这个大 f x 变现积分函数是否连续啊？是否可导的问题？ 你像这样的题目啊，咱们总结的，哎，是有相应的一个知识点的，你把它掌握住了，那就没有问题。哎，这三部分是吧？原函数存在定力，哎，三条 小 f x 在 b 圈里可记的话，哎，有两条，哎，这两条知识点，记住啊，变上限基本函数的一个性质，五条要给它 记得滚瓜烂熟吧。也就说你看到好这 f x 有 没有原函数，我们要去看什么呀？要看一下连不连续间断点那个问题是不是？那其实就主要就看零这个点了呀，他除了零这个点之外，其他的点肯定都是这个连续的嘛。 那我们就看啊，零这个点连不连续的问题了，是吧？哎，零这个点如果连续的话，那整个 f s 就 连续的，如果 x 等于零这个点它不连续，它到底是哪一类的间断点，你要判断清楚了，我们看 f 零是等于零，哎，等于二分之一的 这个左极限呢，这很显然，哎，零呀，右极限呢？一呀，左右极限也不相等，是吧？所以这一点肯定是不连续的，这个很快就能看出来了。这点不连续的话，那他是什么类型的一个间断点呢？ 因为左右极限不相等，它就是跳跃间断点，是第一类间断点，对不对？第一类间断点中的跳跃间断点呀，那么你看，哎，原函数存在定理的第二条就说了，如果 f x 有 第一类间断点的话，它必无原函数，你说有错，你给它记住了啊。 好，第二条 f x 在 b 区间上，哎，可积可积的话，那你看一下咱们这个题，已经看出来了啊，这个零六点呢，就往这里看了，就不要看这一条了。 好，它是有有限个第一类间断点。确实啊，它就是有一个第一类间断点呀，跳跃间断点呀。好，所以啊，这个在 b b 区间上 f s 可积，也就这个定积分是存在的啊，没有问题。好，第三和第四条呢，说的是变现积分函数了。好， 这变现积分函数的一个性质，我们看一下啊，这个题考到的跳跃啊，这个是跃。 好，那大 f x， 大 f x 在 x 等于零处是连续但不可导啊，连续但不可导，直接它就是对的，你说可导就是错的，所以就很快嘛，二和四是对的，正确命题的个数就是两个 课架的话，同学们要把相应的知识点对应的讲解视频给他听明白了，这样的话，你做题的时候才能够准确的定位的。他考的，哎，哪一部分的一个知识点是吧？元函数的话，他是说的是不定积分 是吧？找元函数就是求不定积分的，可积的话，那这是关于定积分啊，是不是 这些课下的时候得搞清楚啊？咱们现在讲题就不没有那么多的时间，再去把熬这些原理再讲一讲，这是咱们课下需要做的一个事情，把对应的知识点这个听明白之后。好，我们再去做题，是吧？好，这个题就讲到这了。

好，咱们继续来讲考研数学证明题全题型解析第三十题啊，这也是一个不等式的证明啊，二零一八年的一道十分的题啊，这段当年还算有难度的题目，咱们来看一看啊。 好，来正一下啊，咱们先分析一下啊，一只常数 k 大 一等于二减一，哎，专门给你加个 k， 那 难度就上稍微上升一点，并且人家还说了， 那么 x 减一乘以它大于等于零，哎，咱们发发现说没有就是大于等于零，就证，证明这个式子非负是不是？哎，证明这个式子非负， 那在这里面，那首先有 law， 说明 x 大 于等于零。 x 大 于零啊，不能等于零啊， x 大 于零，因为有 law， x 嘛， x 必须大于零好， x 大 于零好，那它就有比一小的和比一大的 比一下，比一小的时候，也就是类似它俩同号的意思，它比一小的时候，这就是负的，它比一大的时候，这就是正的， 对不对？那随着 x 从比一小到比一大的过程，那 x 增加了，哎，后面这个原来也是负的，到正的也增加了。那所以啊，弄了半天就是正这个，这个，后面这个式子它 单增，不就这意思吗？是不是？哎，好一分析哦，是这样的，所以说你不要着急拆开，有同学老师我就喜欢讨论，我就分成大一和 x， 大 一和 x， 大 零小一可不可以？可以，但是你计算量相对就大一点啊，所以说能不分的尽量不分，先看看他是啥情况，哎，看清楚了之后再处理，你不要着急，证明题完你急啥？ 哎，上去就是推，推着推着啊，放弃是吧？那不行啊。好，那么要证，咱们简单的说一下啊，他 大于等零，即非负。嗯， x 呢，是大于零， 零， f x 就 等于 x 减去洛 x 方，加上二 k， 洛 x 减一，那即正。什么？ 这个 x 大 于零的时候有比一大，有比一小的，比一小的时候，那 x 减一就小一等于零，这个也得小，但同号，哎，它俩就是同号的意思。这东西就是同号 可以等于零，但是主要是同号，是吧？哎，不能异号。嗯，就这意思。好，那极增，它小于等于零的时候，它也小于零，它大于等于零，它也得大于等于零，那不是同号吗？极增 f x 单增，哎，随着 x 从零到一再到无穷，它也是单增的，它单增了就可以了，这个设置就成立了。那看它单增不单增。咱们求一下啊，是不是？ 那且，哎， f 一 等于零耶， 他也神奇，但那点他俩都等零，那也就是真的是证明他在等啊，这更验证了。对啊，把这个写前面更好理解啊。 由 f 一 等于零，好，他俩在一的时候都等零， 那在它小的时候，那它也得是负的。负，负得正嘛，在它是正的时候，它也得正的。这两个是 x 减一和后面这个 f x， 它俩必须是同号，对不对？哎，好，那就好吧， 那积正 f x 单增，没毛病， 来，来，求个道吧，同志们。哎，因为 f 一 是等于零，那在大于一的时候，它必须得大于零， 大于零必须得大于零，在小于一的时候，它必须小于零，那它俩那没问题，它俩乘了之后，肯定大于等于同号，对不对？一点问题都没有。 好，那就等于一减去二倍的洛 x， 再乘 x 分 之几。好，再加上 x 分 之二 k， 嗯，那就等于 x 分 之 谁？嗯， x 减去二倍的洛 x 再加二 k。 好， 那咱来看啊。那么首先分母这玩意它是大于零的，证明啥？就整分子大于零，它就等于是不是？那你看，还有个 k， 那 咱带进去 x 减去二倍的洛 x 加二 k， 它就大于等于 x 减去二倍的洛 x， 那 再加上二倍的洛二减二。哎，那这 x 减不了，是不是减不了啊？减不了呢？不知道大不大于零，那怎么办？再求导，是不是？再求导 f x 两撇。嗯，那就不用对那个了，只对上面那个， 因为下面这个 x 一定大于零，那就令 g x 就 等于 x 减去二倍的幺 x 加二 k 啊，对不对？不用对那个 x 求连接到了啊。分母还有麻烦， g x 一 撇求到，嗯，那就等于一减去 x 分 之二，后面的没有了。 哎，那我们发现，当令 g x 一 撇等于零， 得 x 等二，当 x 大 于零小于二时， 那么二除以它肯定大于一，这个时候 g x 一 撇小于零，当 x 大 于二时， g x 一 撇 a 零，则 g x 是 先减后增， 故 g 二往里带， 那么等于，呃，二减去 二倍的 l 二，再加上二 k， 它大于等于把二 k 带进去，二 k 带进去也是二倍的 l 二减。哎，刚好对应过了，大于等于零是最小值 唯一的基值嘛。那么故，所以， 所以，那 g x 那 就大于等于 g 二，嗯， g 二是大于等于零的， 对吧？那则，嗯，它大于零， f x 偏大， 所以 f x 啊，单增， 那没问题，单证就可以了。结论得正啊。好，这是这道题。

大家在解决这个不会做题的问题上的时候呢，就是不要硬卷，首先我就是必须要大家啊明白一个道理，就是忠言逆耳，就是一定不要形式主义，形式主义的意思是说我们的题型化只能解决一部分的简单题， 当然你不能完全这个扔掉题型，这个是不对的，不能说完全扔掉题型，但是你一定要记住题型只是我们整个解析这条道路上的一个部分，因为这部分能解决的问题是不多的，但是有一定有啊， 你比如说我极限计算，极限计算有罗密达法则，要记住会定时吗？对吧？啊？我见到无穷大减，无穷大该怎么处理？这属于基本的题型，那这个还是要会，但是呢，他实际上来说就不应该成为你们的这个障碍， 是吧？所以呢，从这个角度来说，大家首先你不要把题型作为你的百分之百，这个是一个要觉醒的地方啊。那第二个呢，就是你要知道 需要有意识的去做这个划规转化，等价转化或者是变型啊，那么这个工作多做了，那么你既能够熟悉这个知识本身，他是等于他的第二个呢，你还能够在考题遇到题的时候想得到把他写成他，哎，就这两个啊，你仔细品味我这两句话，一个你也知道他等于谁， 第二个你这个要主动的去把他写成那个正确的变型啊，这需要就是练这个东西，你这两个东西都练会了，那么你考试就没有问题了。

那么好，我们对七年级数学的课堂内容的重点进行一个回顾，在昨天这堂课当中，我们讲的是一个不等式相关的内容， 不等式即基本性质，一元一次不等式和应用。在书上当中，他拿了很多的章节来讲述不等式的，不等式的内容也是非常复杂，但是我们抽去其中一些不必要内容，以及一元一次不等式和应用，就这三块 分别对应好其中内容，我们就可以来了解这个知识点讲的是什么，我们怎么去做题。首先看不等式及其基本性质，主要讲的两块内容，一个叫概念，什么叫不等式？ 叫做利用不等号。什么不等号呢？大于、等于、大于、小雨小于、小于、等于、等于这五种符号形成的 一个式子，我们称之为什么不等式？所以在这我们注意一下，这是我们的大于啊，这是逗号啊，这是大于等于，这是小于，这是小于等于，这是不等于，我们称之为不等式。与不等式相对应的，我们称之为等式，就用等号来代替的 好。那么紧接着第二个内容就是它的性质，其实书本上讲的很多性质归纳总结最核心的其实这条性质， 但是我们不急着说，我们按照顺序从上往下开始。首先第一个性质， a 大 于 b， 就 说明 a 的 值比 b 的 值要大的情况下，那么 a 加减 c 是 始终要大于 b 加减 c 的。 用文字的形式来描述，就是 不等式，两边同加减同一个数，或者是式符号不发生任何的变化，这个叫做性质。一， 你们可以看到书上的汉字表述是不是这么表述的。第二个同样 a 是 大于 b， 告诉我了，告诉我 c 大 于零， 紧接着可以看到 a 乘上 c 大 于 b 乘上 c， 或者说 c 分 之 a 大 于 c 分 之 b。 这个用汉字来描述的话是这么说的，不等式，两边同乘同一个正数符号不发生改变，看到没有？是两边同乘同一个正数符号不发生任何的变化。好，最重要 也是最难的。第三点要来了， a 大 于 b， 那 么 c 小 于零的情况下，我们发现了 a， c 小 于 bc， 用汉字的形式表述就是不等式，两边同乘或同除同一个负数的时候，符号要发生改变， 所以从大于号就变成什么号小于号，这就是我们性质三，他是最难的。做题目当中想考你只在性质三，考你别的题没有什么好考的。这是不等式及其基本性质，看似很多，其实就这个两块内容。那么下面我们要把它形成了一元一次不等式，进阶了， 就跟那个奥特曼一样变身，对不对？变得更厉害了，变成了一元一次不等式，那不等式我们要干什么呢？首先第一个要了解什么是一元，一元我们称之为只有一个未知数， 那有两个未知数，我们称之为二元，有三个未知数称之为三元。有一百个未知数，我们称之为一百元。 那一次指的是这个未知数的次数为几啊？为一。那么如果这时候我说二元二次是不是有两个元，并且未知数的次数为几啊？为二次，那么它这个形成的叫二元二次不等式。 那说到不等式，我们还是要根据等式当初说的一个解析步骤，叫做去分母，去括号一项和同一项系数化一， 我们会发现，同学们通常喜欢把我们的去括号和移项这两个内容放在一起来算，这是不可以的。朋友们，同学们，为什么不可以？你一下走了两步路，必然会出问题， 你即使今天不问题，你会来，也会出问题。所以按部就班的写，去分母就去分母，去括号就去括号一项就一号一项。虽然你写起来可能有点繁琐，但是你的准确率提高了。你考试不就是为得分吗？你把题写完，这不得分，那你写它的目的是什么呢？所以还是要 要求严格，要求按照逻辑顺序来。最后一步就是应用题的问题，应用题叫做应用类型，给了你一个实际的 文字表述，是一个生活案例，通过我们的一元 x 不 等式来解决它，或者自己列出一元 x 不 等式来解决它，这个叫应用题，在这一块是同学们的难点。原因有二，第一个文字特别长，你没有耐心读下去。第二个你不会列式子， 这是两个最核心的问题。闲话不多说，我们开始进入到我们最核心的题型这款内容。首先第一个就是利用性质三来做题，利用性质三来做题，主要我们看看是出了三道题，帮助同学们理解。你看，我在这详细写上了每个题的做题步骤。 第一个五分之一减三， x 大 于负一这个数值。首先我们观察一下，这是一个分母，那怎么去分母？ 他这个地方只有一个分式，那我只要他把他这个五去了就行了，怎么去五？一般去法就是直接乘上他的一个什么分母的数字， 他不是五吗？那直接乘上五，左边乘上五，右边乘乘不成五也得乘五，所以等式两边同乘个五，这边得出来就是一减三， x 这边乘上一个五，就得出一个负五，下面一步就移项，那么移项的过程当中，同学们要始终的记住， 你是为了求解 x 值这个未知数的，所以你需要把 x 放到一边去，并且只能有它， 对吧？那这个地方有负五，这个地方又有一，那肯定是把一移过去，而不是把负五移过来。那么一移过去的时候，同学们很多时候要变变号会忘记，所以一定要注意啊，变过来就是减上一，所以变成负六，负三， x 大 于负六，那么这时候我们发现了一个问题， 哎，这个时候我们的 x 前面系数是谁？是不是一个负数？所以说要利用到性质，三不等式两边同除同一个负数符号要不要发生变化？要把因二要从大于号变成，是吧？小于号，得出答案是 二。还有很多同学在除的过程当中，负六除以三都能得出来是个负二，这个也是错的，一定要除完整了，这些都是小问题，但是小问题你得不了分， 就这么现实啊。第二个呢，式子肯定稍显麻烦一些，去分母，我们看看有几个分式，一个分式，两个分式，三个分式，所以要找到他们分母当中的最小公倍数。来，我们说一说同学们，按照我这个速度来做，清不清晰，非常清晰吧， 三二四最小公倍数多少？如果你找不出来，最简单的一点，就最直接一点，把三和二和四在一起相乘就可以了，如果能找的出来呢，就是十二。所以按照我的形式，是不是写上十二倍的？好，记住，在原本的式子上要打个括号，这样可以保证你 不会漏乘。这个地方也乘上一个括号啊，打上一个括号，保证你不会漏乘。下面一步就是我们要把分母去掉，十二乘上三分之一，减 x， 得到四倍的一减 x 减上十二 x。 这边呢，二和十二一约得出六五六三十，十二跟四一约十三三 x， 最终得出这一个式子是不是有括号了，所以要进行去括号，得出这一步的式子。下面就是一项合并同类项。西周花一 这个地方，我们发现它的系数是十三，并不是负数，所以直接除过去符号，不用发生任何的变化，直接得出 x 小 于二。那么写到这，有同学会说，哎，这么简单，那题我都会写，对不对？好，现在难题来了，我把它的题反过来， 题目当中给出了你这一个不等式，又给出了不等式，让你求解，求出来。现在问这个 a 的 取值范围是多少？好，同学们注意下。 在这个过程当中，我们发现了一个非常重要的点，就是这个地方是大于号，而这个地方是小于号。发不发生变化了？发生变化了，发生变化了，说明性质几，产生了作用性质三，也就说明我的除数 二减上 a， 它应该是个什么数？负数吧，所以表明二减 a 小 于零，二减 a 小 于零，那么 a 只能等于几啊？啊，只能大于几啊，只能大于二，也就是说 a 的 趋值范围是不是就做掉了？所以看到没有，当这个题反过来时候，难度系数就上了一个 level， 就 上了一个台阶。一定要观察 或者说不等式，最重要的一个是计算，这不用说了，毋庸置疑。第二件事情就是观察他的不等号有没有发生变化，如果发生变化了，那么这个题就存在一个性质。三。还有一点要特别注意一下我们的， 因为这道题是给了 x 小 于二减上 a 分 之三给出来了，那有的题当中是没有给，就给出它，你要对它进行讨论，为什么？因为我们的除数不是不能为零，这一定要明白啊，一定要明白好不好 啊，这就是我们今天的什么主要内容，所以讲到这儿，同学们一定要及时的去复习啊，记得去复习它。 下面我们要看的是一元一次不等式和方程组在一起的综合。说到综合，很多孩子就会觉得啊，很难，其实恰恰相反，综合的题，题目给的条件越多，他给的思路其实越清晰的。 那么看一下题，他说的 x y 的 二元一次，方程组给出来了，他的解是满足 x 加 y 大 于负一，让你求出满足条件的正整数 m 的 值到底是多少？ 好，说到这，我们首先来看一看这个式当中有没有一些值得我们玩味和学习的地方，比如说在这 x 加上三 y 等于六减 m， 这个地方是不是三 x 加上 y？ 很多同学们在做题过程当中是一股脑，抬头就是埋头继续做，你有没有观察观察？这个题目当中还是有一些特点的，比如说这两个数字加起来是四 x， 这两个数字加起来是四 y， 哎，如果说把四提出来时候，是不是满足了 x 加上 y， 我 怀着这样的想法，咱们来看看这个题。 由题知，将我们这个式子列为一式，这个式子列为二式，两个式子在一起相加，我们就会得到一个 四倍的 x 加上 y， 对 吧？当然是括号打上等于一个八，减成四 m， 这个时候等式两边可不可以把四给它同时去掉，可以把这个地方得到 x 加 y， 这个地方得到二，加上 m。 好， 现在 题目当中说了， x 加上 y 是 大于负一的，是不是大于负一，那么也就意味着二减上 m 也是大于负一。下面进行计算过程当中，发现了 m 是 小于三， 又因为 m 是 什么数啊？正整数。在这需要同学们注意点，该写的汉字表达式千万不要省，该写的一些描述性的话也不要省，那是你思路的体现。看，我写了因为 m 为正整数，所以 m 只能等于一或者减或者二，这个题就做掉了， 那再回忆回忆关于不等式以及基本性质，还有它的一元一次不等式这个内容，它的主要做题最关键的就在于计算，你不能计算错，如果你说这个题我看明白了，我也会做，但是算错了，那就很可惜， 这点是我们要务必要注意的，一定不能挑步骤，那么这就是只能各一部分重点内容。

好，我们看这个证明题啊，这个是需要大家记下来的。好，我们需要。呃，记得啊，一些不等式零的二分之 pi 的 时候， c x 小 于 x 小 于它的 x 大 于等于啊， pi 分 之二 x， 这些都记住啊，赶紧赶紧背一背，记一记。那你光背的话可能不太好记，你自己推一推，这都是很好推的，是不是好这个像这块啊，这个考试的时候是可以直接用的，可以直接用的，但你这是一个证明题了，是吧，这是基础阶段吗？你就要学会怎么去正它， 而在其他题目的时候，可以用啊，可以用好，怎么去正呢？我们啊，推荐用拉格朗日中指定力去正，或者用单调性去正，是吧？哎，用单调性啊，你可以先正这边的，再正这边的，但是拉格朗日中指定力更快啊，咱们都讲一下， 好，手推拉格朗日中指定力，那我们就写拉式定力了啊，减省点 字，少写的字。好，那我们这得找一个函数是吧，因为这个函数是谁呢？ lone 一 加 x 啊， f x 是 等于 lone 一 加 x 的， 我们得出现 f 减 f 是 吧？ f 减 f， 那 么 f x 好减去谁呢？我们知道 lone 的 话啊，你要想到一个，嗯，就是我们再减去一个 lone 谁，那其实就相当于减去一个零嘛，是不是？那不就是 lone 一 嘛，一的话，其实就是，哎，一加零对不对？所以它其实 f x 减去 f 零啊， 我们通常用这个拉式定理的时候，有时候这一块啊，它就是零给省略了，隐藏起来了，隐身了，你给它显现出来，对不对？或者有一些题目啊，给出来了， f 零等于零， f 几等于等于零，你要注意啊，给它还原出来啊。好， 老，减一是等于零的，那 f 减 f 是 吧，我们就相当于啊， f x 在 零。好，这，这个就相当于 x， 是 吧，我们取的是一个零，那么另一个 x 呢？自变量啊，就取的是一个 x 了，对呗， 是不是？哎，在这个区间上啊，这个反应过来，别搞错了，应用拉式定力，拉杠中式定力的意意思啊， 你看是不是 f x 不 就是劳力加 x 吗？好， f 零不就是它吗？对不对？好，零到 x 啊，对，区间上用拉拉拉定 k， b 间连续 k 间可导啊，都满足啊。 好，它就等于 f 撇可塞，我们知道 f 撇 x， 它就等于好，一加 x， 我 们把 x 换成可塞。 好的，乘以好 x 减零就是一个 x， 是 吧？好，你看可三啊，是不是介于零和 x 之间呀？ 那它是，哎，大于零，小于 x， 我 们可以精确的给它写出来它的一个这个区间，是吧？因为 x 是 大于零的呀，它介于它俩之间，那肯定就大于零，小于 x 啊。好，我们要把它给证出来的话， 那其实就把，哎，用这一个不等，用这个不等关系就够了，是不是？好，你看一加可塞分之 x， 不 就是扔一加 x 吗？我们把这一块啊，看一下它的一个范围，一加上可塞的话，哎，都加个一啊，小于 x 加一是吧，左边呢，是不是？哎，加个一啊，也记 继续。好，我们要取一个倒数，是吧，先取一个倒数一点点来啊，取倒数之后，那他俩就反过来了啊，就是一加 x 加一分之一是吧，一的倒数，那就是一个一， 我们现在呢，需要再搞搞过来一个 x， x 大 于零的，所以啊，这都乘一个 x， 就 乘一个 x， 都乘一个 x， 这不就正完了吗， 是吧。好，那我们就写一下啊，命体得正或者直接正臂，你可以少写点字啊，省点力气是吧，好就完事了啊。用一个拉式定力比较简单啊。这个好，反二你就是 正正这头，正正这头证明不等式。常见的一个方法就是用单调行正好 那两头啊，这个就写的过程多一点了。先正这边的吧，我们先正这边的话，你拎出来一个函数，那 x 减去 long 一 加 x 或者 long 一 加 x 减 x 都行的啊，我们拎着它的话就证明它大于零，是吧。 这个是可以直接用的啊，在其他题目这是个证明题，你就别直接用了，你懂，不能直接说它就大于它，你这不行啊。好，那单调性求导呗，是吧，求导。嗯，一减去一个一加 x 分 之一吧， 通过分一加 x 分 之一加 x 减去个一，那就变成一个 x， 我 们知道 x 是 大于零的呀， x 大 于零，它整个就大于零的，所以啊，一阶导函数你会发现是大于零的，也就是说函数是单增的，对不对？在零到正无穷啊。单增， 哎，单增，那既然单增的话，我们的 f x 是 不是就得大于 f 零啊？零虽然我们取不到，但没关系，它肯定是大于零的。大于 f 零的是吧， f 零的话你看就是零。好，我们要的就是让 f x 大 于零就挣出来这一半了，这一半挣完了啊，我们再另 一个函数 g x 左边的，你看它减它或它减它都行的啊，我们就 long 一 加 x 减去一个 x， 比上一加 x， 其实它还有嗯，一个 想法，这个想法的话，希望同学们也是，嗯，多多积累啊。你看一下啊，这有一个一加 x， 这有一个一加 x， 它俩要凑到一起的话， 哎，他不求倒，他求倒的时候是不是他俩合成一个一了，因为他求倒的话是一加 x 分 之一啊，这个一加 x 一 加 x 一 乘是不是一了？所以这块啊，同学们平时都，呃，都那个什么啊，哎，都观察总结。嗯，复盘一下，你看我们把这一块的话， 哎，给它等价为 x 小 于要乘的是一加 x， 把一加 x 往前面写吧， 不过这是一个很简单的题啊，你不这样也没事，这个思想是想告诉大家的啊。这个想法好，那我们就是另一个 g x 等于好一加 x 这个上面没有减啊，这个没有减 x 啊，然后一加 x 我 们减去 x， 想正他不就是正他吗是吧，正他的话不就是正他大于零吗？对不对？哎，正他大于零的话，我们看啊， g 一 撇 x， 你 求倒啊，你倒你不倒啊。前面倒的话不就是一吗？后边不倒，再加上你不倒你倒，哎，这就是我们说的他俩，你不你不倒，哎，你倒的时候就是这这一弄是个一啊，这搞是个一是吧，后边一个一，一根一削掉来， 哎，你会发现啊， g 一 撇 x 它是大于零的，因为 x 大 于零是吧。这个字变量大于一啊。 long 大 于一的话，字变量大于一，那就是大于零的嘛。 long 大 于零的话，好，那我们就知道了。 g x 又是单增的是吧，我就简写一点了啊你，你不能考试不能这样写啊。 所以啊，那 g x 既然单增的话，那它肯定是大于 g 零的，哎， g 零你会发现就是个零，是吧，这也挣出来了，我们要挣的就是 g x 大 于零。好，这一半。 哎，这个这个，得看能看出来啊，以后遇到类似的题目得有这个想法。好，你刚开始做完没有这个想法，那就这样，这样可以的啊。好，你看啊，就拎出来他，减去一个，他也是 ok 的。 小题嘛，求个导 撇啊，左边的话就是一加 x 分 之一减去右边一加 x， 平方分子求导是个一，分母不求导，减去分子不求导，分母求导是个一，这是不是没有了呀？ x 减 x 没了啊，剩个一，你通过分呀，也是比较 容易的呀，前面相当于一个一加 x， 后面呢，就是减去一个一是一个 x。 我 们知道 x 是 大于零的呀，所以记一撇 x 是 不是大于零的，那我们就知道了， g x 在 零到正无穷，是单增的。好，那 g x 那 就是大于 g 零，是吧？ g 零，你会发现，哎，也是个零，这就正出来了啊， 是吧，两边都正出来了啊。综上就行了，写一下结论就行了。 know， 一 加 x 小 于 x 小 于 x， 比上一加 x 就 完事了。正 b， 好。哎，这个啊，他的一个证明思路的话，用拉丁朗诵，定力更快一点啊，这些自己啊，私下里都去正一正，给他印，印到脑海里面啊。好，这个题就讲到这了。