画法几何与土木建筑制图谢美芝

基本几何作图是平面图形作图的基础，主要培养大家的空间想象能力和图解能力。那么在作图前需要准备什么？一般制图的方法和步骤是什么？ 制图前的准备工作包括，一、准备工具和仪器。二、识读图样，选用适当大小的图纸和比例。三、在图板上固定图纸，绘出图框线和图标位置。 接下来是制图的方法和步骤，一、绘制图样底稿。二、检查图样，修正错误。三、底稿加深。 四、图纸整理。做好了准备工作，我们就来学习圆弧连接是怎样做图的。圆弧连接的关键是根据已知条件确定连接圆弧的圆心和切点，也就是连接的分界点。 接下来我们来看看点与直线间的圆弧连接的作图步骤。已知 e 点 a 和 e 直线 l 连接，圆弧半径为 r。 一、做直线 l 的 平行线， m 间距为 r。 二、以 a 为圆心，以 r 为半径画圆弧，交直线 m 于点 o， 三过 o 做直线 l 的 垂线垂足为点 t。 四、以 o 为圆心，以 r 为半径做圆弧连接， a 和 t 即为所求的圆弧。 两直线间的圆弧连接的作图步骤，第一种为大家介绍圆弧与斜交二直线连接。已知斜交二直线 m 和 n 连接，圆弧半径为二， 一，分别做出两直线 m、 n 的 平行线间距都为二。两直线相交于点 o， 二过 o 点分别做直线 m、 n 的 垂线垂足分别为点 t 一 和 t。 二。 三、以 o 为圆心， r 为半径做圆弧连接， t 一、 t 二即为所求圆弧。 第二种为大家介绍圆弧与正交二直线连接的作图步骤， 已知正交二直线 m 和 n 连接，圆弧半径为二，一、以正交二直线 m， n 的 焦点为圆心，以二为半径作圆弧，交直线 m 和 n 于点 t 一 和 t 二。 二分别以 t 一、 t 二为圆心， r 为半径做圆弧，交于点 o 三、以 o 为圆心， r 为半径做圆弧，连接 t 一、 t 二即为所求圆弧。 点与圆弧间的圆弧连接的作图步骤已知。一、点 a 和一半径为 r 一 的圆弧连接，圆弧半径为二。 一、以 a 为圆心，二为半径做圆弧，以 o 一 为圆心，二加二，一为半径做圆弧。两圆弧相交于点 o 二、连接 o， o 一 与 o 一 圆弧相交于点 t 一、 t 一 为切点。三、以 o 为圆心， r 为半径作圆弧， a、 t 一 即为所求圆弧。 直线与圆弧间的圆弧连接的作图步骤已知。以直线 l 和以半径为 r 一 的圆弧连接，圆弧半径为 r 一做直线 l 的 平行线 m 间距为 r。 二、以 o 一 为圆心， r 加 r 一 为半径做圆弧，交直线 m 于点 o 三、连接 o， o 一 交，已知圆弧于七点， t 一 过点 o 做直线 l 的 垂线垂足为点 t 二。 四、以 o 为圆心， r 为半径做圆弧，连接 t 一、 t 二即为所求圆弧。 两圆弧间的圆弧连接已知半径为 r 一、 r 二的两个圆弧 r 大 于 r 二，连接半径为 r。 第一种为大家介绍两圆弧间的内切圆弧连接的作图步骤， 一、以 o 一 为圆心，二减二，一为半径作圆弧，再以 o 二为圆心，二减二，二为半径作圆弧。两弧交于点 o 二、连接 o， o 一 延长胶原弧， o 一 于七点， t 一、 连接 o， o 二、延长胶原弧 o 二于七点 t 二。 三、以 o 为圆心， r 为半径作圆弧，连接 t 一、 t 二即为所求圆弧。第二种为大家介绍两圆弧间的外切圆弧连接的作图步骤， 一、以 o 一 为圆心，二加二，一为半径做圆弧。再以 o 二为圆心，二加二，二为半径做圆弧。两圆弧相交于点， o 二连接 o， o 一 交圆弧， o 一 于切点 t 一 连接 o， o 二交圆弧， o 二于切点 t 二。 三以 o 为圆心， r 为半径做圆弧，连接 t 一、 t 二即为所求圆弧。 请思考圆弧连接的关键是什么？点与直线间的圆弧连接的作图步骤是什么？

平面图形的尺寸标注是几何作图中的重点标注。平面图形的尺寸要做到准确、完整，要严格按照国家标准规定注写， 同时不要出现尺寸多余或遗漏的现象。平面图形的尺寸有哪些？分类画平面图形应注意什么？平面图形的尺寸分为定型尺寸和定位尺寸两类。 在平面图形中确定尺寸位置的点直线称为尺寸基准， 简称基准。常用对称中心线、圆心轮廓直线等作为基准。一个平面图中至少有两个尺寸基准以直角坐标或极坐标方式标注。 图画中图 a 和图 b 是 以轮廓直线为基准，图 c 是 以两条对称中心线为基准， 图 d 是 以圆的对称中心线为基准，图 e 是 以对称中心线和水平方向轮廓直线为基准，图 f 是 以水平轮廓直线和圆心为基准。 定型尺寸。定型尺寸适用于确定平面图形中各个组成部分的形状和大小的尺寸。 画面图 a 中用直线尺寸确定长、宽、形状及大小，其余各图中用 r、 f、 i 确定圆弧、圆形及其大小。 定位尺寸。定位尺寸是指用于确定平面图形中各组成部分的相对位置的尺寸。 如画面中图 a 所示，圆相对外轮廓图形间的定位尺寸是 l 一 和 h 一。 长方形相对外轮廓图形间的定位尺寸是 l 二和 h 二。图 b 中圆的定位尺寸是 x 和 r。 当两个圆形的基准重合时，定位尺寸为零和省略标注。 图 c 中圆位于外轮廓图形的上下方向的对称中心线上，所以只需要标注一个定位尺寸。 l 一、 图 d 中四个直径相同的均匀布置的圆只需标出一个定位尺寸， five。

今天老师要讲的题目是根据俯视图和左视图补画一个主视图，然后再把主视图画成一个全抛的视图。 呃，这个题目比较难，大家看，根据俯视图和左视图，我们要把这个立体想象出来， 那么毫无疑问，这个基本立体就应该理解成是一个圆台，然后加上一个圆柱，再加上一个半球形成的，这是一个实体，所以这就是一个回转体。所以大家在头脑当中第一步要把这个立体想象出来， 上面圆台中间这个是圆柱，那下边呢？就是球，当然柱球直径相等，所以这里没有棱线，只是相切关系，然后进行挖切。大家看啊， 这个虚线到头这个孔呢？这个虚线也是到头，所以左右应该有一个圆柱孔 啊，上下，首先大家看，上下这个虚线对应这个圆，所以啊，这上下有一个孔，但这个孔并没有贯通，所以这个大家要把它看出来啊，到这个轴线，这就可以了，这是第一个圆周孔，然后呢 左右这个大家记住这是实的，然后对应这两条虚线从左到右，所以这是贯穿 这个孔，贯穿以后大家要记住了，那么这个虚圆柱和里头这个圆柱属于等径相关，那么这个和这个这两个之间属于不等径，是虚相关，那么这个柱和这个球属于相关，这我们都学过， 然后啊，主要是这部分结构，大家看这部分结构对应的是这个，这是什么呀？一看这应该是一个方形槽，也就是说只有左边从底下往上又挖了一个方形槽，那这个结构不太好看，大家看， 哎，这是这个立体的，左边没挖这个槽之前左右对称，现在左边从中一线开始往上挖，挖了一个四棱柱，虚四棱柱啊，就是蓝颜色这个 形成这么一个立体，所以啊，这个立体不太好想象，大家把它想象出来， 想出来以后我们就画这个主式图，首先我们抄一个和侧面完全一样的这样一个式图 啊，然后画这两条虚线，画这两条实线，然后相贯，这是第一个知识点，大家知道了啊，这叫等境相贯，虚虚相贯，相贯，线是二次曲线，所以呢，这个就变成了 直线，我把这个给它压缩一下啊，大家看，所以这两条线，大家会就是图当中的这个线和这个线，这叫实形，是椭圆，那么由于它垂垂正面，正垂面，大家就变成一条斜线了，这个大家学过啊，这是一个知识点。第二个我们看这个， 这边这个和这边这个，这是圆柱，这也是圆柱，时序相关，相等不相等，直径不相等在哪里呢？大家看，就这一段，哎哎，就这一段，这我们学的第二个知识点， 这大家一定要会啊，那时候这个点和谁对齐啊？自己去找去吧，上这个俯视图当中。然后下面这个知识点也非常重要，大家看这两条线， 这是什么线啊？这是直线，哪来的直线？是在这里，这个圆柱，这个孔，上边和半个圆柱 相关，下边和球相关，所以这就是考大家另外一个知识点，球表面这个相关，那这个相关键是什么呀？大家记住 这个实形是圆，由于它是侧平圆，所以啊，正面投影就是一条直线，从这往下就是一条直线，这可不是曲线，同理啊，前后都是一样，所以这有另外一个知识点， 所以这个题比较综合嘛。啊，接下来我们看下边这个结构是挖槽，大家看，从下往上挖了一个槽，这个槽的右边这个侧平面正好和这个轴线重合，所以这里大家看，从这到这， 这是虚线，这是实线，谁的投影啊？就这个面的投影啊，有虚线，有实线，那同理， 这边这个线，这个从这开始到这是虚，下边是实，是谁的投影？哎，就是 这个面的投影，看着了吧，一直到这个切点这块。好，这个知道了，知道以后啊，大家要知道这块为啥要画到切点，画到这， 这中间不能有线了，这块没有虚线，有这相切关系，这个槽的宽度恰好和这个直径相等，大家看，这个蓝的啊，这个，这个，这个叫黄的， 和这个栏呢，这里没有交线，但我这是显示的，电脑显示的原因，这里没有棱，因为他俩的，他的宽度和直径相等，这叫相切，听懂了吧，这也是个知识点，所以这里要不要画线，是吧？不要画线， 哎，然后这个东西是什么？这个东西就是我圆呗，就是这个东西，这个我们都学过了啊，当然这是前面这个啊，也是后边这个，我把它切掉在前面，然后这个呢，就是这个 球的这个，这个正四转向线最大那个圆，往侧面看，大家看，我把这块给它给它添上啊， 往侧面看，大家看，往侧面，往侧面就这样看，哎，这个就是个圆，那这个圆咋画？这个半径是不是大家都学过？那？同理，这个是球的最大啊，大圆，嗯，大圆，然后 从这开始往下，这条虚线加实线，这个虚线加实线，大家想想，这是谁的投影啊？哎，这是这个面，这个蓝颜色啊，这个面和这个面的侧面投影，所以啊，这个方形孔有四个面，分别是两个， 两个什么？两个正平面，两个正平面的投影就是这两条线，还有两个侧平面，两个侧平面的投影就是这两条线， 所以这个把它看懂，那么中间这条实线是谁？中间这条实线当然就是这个面的投影了，就这个，就我选中这个蓝颜色这个面，但这是个侧平面啊，所以啊，这就是这个题的主示图，就这么给他一点一点画出来啊， 然后这个半径，大家记住，大家得会选。哎，这个半径怎么选，大家就得上侧面去找去了啊，这就是一个委员法啊，委员法， 下面这个主饰图，我就把它画好了，虚线别漏掉。然后啊，把这个改成一个半抛的主饰啊，全抛，因为这个左右不对称，所以这个比较简单，大家想一想，这个应该咋画，改成全抛啊，所谓全抛，就是这么抛呗， 用一个正平面，一切，把前面这半都拿走，把这边，哎，画成 全貌是图，那毫无疑问，这条线是我给切掉了，给前面那一部分带走了，把它划掉。然后是不是所有的虚线都变成实线呢？大家想想，就这个题而言，的确是啊，哎，所有的虚线都变成了实线，所以啊，嗯，这个虚线就变成了实线， 不仅仅是它，还有其他的，嗯， 都变成实线 啊，还有一条啊，别拉，哎，这块还有。好，这就是这里原来的这些虚线啊，包括这个，然后还有一步，别忘了画这个四十五度线， 大家想想这里哪一块是切平面和实体接触的部分呢？那毫无疑问，是不这几个地方有，所以啊，我们还要把这个把它给添上，画这个泡面线， 我们选择这个啊，哎， n s i 三幺选这个四十五度斜线就可以了，当然是细线了啊，懒的也行， 哪块有旁边线？是不是这块有，哎，左边这块啊，同理右边这块，然后下面这块大家注意，就这小角有，但是这个角有确定，我预览一下。嗯，还可以吧，或者说这个比例用小点。 嗯，所以大家看这个就叫全抛的主视图， 希望这个模型大家把它看懂，非常综合，也非常好。如果这个题你懂了，那么其他简单的题目大家都会做啊，我们这一讲就到此结束，谢谢大家收看。

yeah， i don't know， i don't know， i don't know， i don't know。

底边来对齐，对齐之后呢，移动到我们画的，这是最后， 这是最前。接下来呢，我们再来通过主视图把它的长度确定下来。 好，这是它的右侧， 这是他的左侧。好，那么这个虚线和斜线的交点呢，是我们中间这个槽，他的左侧的这一个边， 上面呢是他和上底面的这个交线。接下来呢，我们再来通过左视图来找一下他的宽度，这是我们和上底面的这一个交线， 辅佐宽相等，这是呢和我们槽的底部，他的这个宽度辅佐宽相等。 好，接下来呢，我们来做他的俯视图。好，这根线是和上底面的交线，我们要这一段， 这里呢也是和我们上底面的交线，也是这一段。好，中间的这一块线呢，我们可以给它擦掉。好，擦完之后呢，我们来看一下，这是他的这个 槽的底部，是一个水平面，水平面的话呢，是一个矩形，他的长度呢，我们刚刚已经在主视图上确定了，宽度的话呢，我们是通过俯视图的这两根线来确定的。哈，这个线给他连接起来， 那我们就把这个多余的线，我们可以给它擦掉这一块，也给它中间的这一块线也给它擦掉。擦掉之后呢，我们来把它的这个端点来给它连接起来， 这是可见的轮廓线，这也是可见的轮廓线，那么这根线给它连接起来，这对应的是这根斜线， 这根线呢也给它连接起来。好，那我们这个施工呢便完成了。

在投影理论中，对于物体只研究其形状、大小、位置，而它的物理性质、化学性质都不涉及到， 这种物体称为形体。任何形体都是由点、线、面基本元素构成的，点是构成形体的最基本的几何元素。 点的投影是研究直线、平面形体投影的基础。那么点的三面投影的作图方法是什么？点的三面投影的投影规律是什么？ 我们为了表达形体的形状，通常要画出三面投影图。点作为形体的几何元素，通常也要画出三面投影。 如画面中所示，做出点 a。 在 三面投影体系中的投影过。点 a 分 别向 h、 v、 w 面做投影线。投影线与投影面的交。点 a a 撇 a 撇撇就是点 a 的 三面投影图。 点 a 在 h 面的投影， a 称为点 a 的 水平投影。点 a 在 v 面的投影， a 撇儿称为点 a 的 正面投影。点 a 在 w 面的投影， a 撇儿，撇儿称为点 a 的 侧面投影。 在投影法中规定，空间点用大写字母表示，而在其 h 面的投影用相应的小写字母表示。在 v 面的投影用相应的小写字母右上角加一撇表示。 在 w 面的投影用相应的小写字母右上角加两撇表示。如点 a 的 三面投影分别为 a、 a 撇、 a 撇、撇表示。接下来我们看看点有什么投影规律。 在画面 a 中过空间点 a 的 两面投影线 a a 和 a a 撇儿决定的平面与 v 面和 a 值面同时垂直相交， 交线分别是 a a、 x 和 a 撇 a x， 因此 o x 轴必然垂直于平面。 a a a x a 撇，也就是垂直于 a a x 和 a 撇 a x 有 a a x 和 a 撇 a x 是 相互垂直的两条直线，即 a a x 垂直于 a 撇 a x a a x 垂直于 o x a 撇 a x 垂直于 o x。 当 h 面绕 o x 轴旋转至与 v 面成为一个平面时，点 a 的 水平投影 a 与正面投影 a 撇的连线就成为一条垂直于 o x 轴的直线，即 a a 撇垂直于 o x。 如画面中图 b 所示，同理可分析出 a 撇 a 撇撇垂直于 o z a y 在 投影面展平之后被分为 a y h 和 a y h 垂直于 o y h 和 a 撇撇 a y w 垂直于 o y w， 即 a a x 等于 a 撇撇 a z。 从上面的分析可以得出点在三面投影体系中的投影规律。一点的水平投影与正面投影的连线垂直于 o x 轴，即 a a 撇垂直于 o z 轴，即 a 撇 a 撇撇垂直于 o z。 三点的水平投影到 o x 轴的距离等于点的侧面投影到 o z 轴的距离，即 a a x 等于 a 撇撇 a z。 在 图 a 中给出了空间点 b c、 d。 在 三面投影体系中的立体图， 这三个点分别位于 h、 v、 w 三个投影面上。从图中可看出，三个点中每一个点都有一个相应的投影与其本身重合，另外两个投影在相应的投影轴上。 图 b 为这三个点的三面投影图。注意点 b 的 侧面的 o y w 上 点 d 的 水平投影 d 应位于 h 面的 o y h 上，它们也都符合之前所说的三条投影规律。 这三条投影规律说明了在点的三面投影图中，每两个投影都有一定的联系，只要给出点的任意两个投影，就可以补出第三个投影。 最后给大家讲解一个例题，已知 a 点的水平投影 a 和正面投影 a 撇，求侧面投影 a 撇撇。 首先分析这是已知点的两个投影，根据投影规律求出第三个投影。然后我们来作图，第一步，过 a 撇，引 o z 轴的垂线 a 撇 a z。 第二步，在 a 撇 a z 的 延长线上截取 a 撇撇 a z a a x a 撇撇即为所求的侧面投影。通常情况下，我们按图 d 或 e 中箭头所示的步骤求出 a 撇撇。 请思考点，在三面投影体系中有什么投影规律？什么是二补三作图。

同学们好，接下来老师要讲两个题目，大家先看左边这个题目，这个要求补画这个主式图，那么已知是俯式图和左式图，当然立体是没有， 那我们首先要根据辅和左把这个立体想象出来，那这个立体大家一看并不复杂，呃，可以理解成是一个切割型立体，那么它的原型是什么呢？它的原型就是这样一个 立体，可以这样理解，就是把啊，右边挖这个半圆柱给它去掉，把底下这个槽再给它去掉啊，再把这块给它去掉， 那么他的基本立体就是这样一个东西，大家看，所以啊，你们画图的时候一定要先这么画，用铅笔，我这个就草稿了哈，就相当于草稿，哎，画这么一个立体，哎，画到这就行， 哎，这个就是它的基本立体，这是第一步，然后第二步呢，再画前面这个切槽结构啊，这个这个正平面，把它截切，也就是说和这个有一条铅垂线啊，要画这条铅垂线啊， 哎，这个欠缺线，我画到这就切掉了，然后再画这个切槽结构，这个挖槽结构，那么很显然又产生一个欠缺线在这里，所以啊，我接着画线， 哎，把这个画上，然后这有一个水平面，哎，给它画到这里，画到这以后，下一步就得进行这个所谓的新陈代谢了啊，那很显然这块就给切掉了， 所以啊，这做了，呃，两个这个结构，接下来我们就画这个啊，右边这个，那这个虚线，毫无疑问，是不是 一下就可以把它画出来呀？这个虚线这个槽，哎，从这和它对齐以后啊，从这里一直给它画到底， 哎，这个虚线画到底，那这个结构就完事了呗，啊，然后我们画这个结构，这个也是上下，那么我们继续画虚线，但这个轴线得画出来啊，画到下边，然后呢，这个也是和这个龙纹线对齐画到底， 这样就可以了，最后我们画左右贯穿这个挖槽结构，这个时候我们就可以 画这样的线了啊，那么这个高和它平齐以后，哎，从这边和这对齐，这有一条交线，大家看啊，这个画到头这个线， 但这是啊虚线了，是吧这个结构，然后呢，看看把这个新的交线画上，大家看哪里有新的交线， 是不是这里有新的交线，哎，就产生一条牵垂线和它对齐，哎，把这条线画上， 这条线画上，然后呢，再把多余的给它切掉就可以了，大家看哪块没有了，哎，这块没有了，呃，这，这块没有了啊，这两段没有了呗，然后还有哪块没有了呢？这么一切啊，是不是 这里这个虚线被切没了，哎，这个切线都被切没了，所以啊，最后就变成这样一个图，所以呢，这个图要分成这么几步画，但老师画的是一个草稿了，你们画图也是啊，先实后虚， 然后呢，把这个虚体每切一步，都要把这个虚体每切一步，都要把这个虚体给画出来， 把原来龙纹线当中切掉的过给擦掉就可以。大家看右边这个题，那这个题让大家补画一个左仕图，根据主辅补画左，这一看就是平面立体挖切，那基本立体，那如果你给他补全了，那就是一个四棱柱， 如果不补全，去掉这一个角，依然是一个注题，所以这个题大家要画的话啊，第一步要画的是这样一个东西， 第一步要画这个，我把这个角给它切掉， 哎，这个就是个基本例题，这就是一个一二三四五六六棱柱， 然后挖切，大家记住啊，这个挖切啊，这有一个水平面，这个四边形水平面对应这条直线啊，那这个四边形是正平面，对应是这条直线，所以这块就挖掉了。这个题目的难点在这块，大家看水平都有，这条斜线 往上一对齐，对应这个一二三四四边形铅垂面，同理，正面投影这条斜线往下一对应水平投影，一二三四四边形，正垂面，大家看 牵垂，正垂，而且这两个面俩俩相交，所以啊，这里就有一条非常重要的线，这叫什么线？同学们，这叫一般位置直线， 所谓一般位置直线，就是三面投影都是斜线，这叫一般位置直线。所以侧面投影这条斜线如果你画不出来，那你这条一般位置直线投影就没有，这就叫线面分析法。所以呢，这个线大家一定要把它画出来，这就是 a 撇 b 撇小 a 小 b， 然后这把这个面的侧面投影就是它， 这个水平面的侧面投影就是他，所以把这两个面的侧面投影再画出来，这个题就完事。所以啊，这个就是呃，最后的解，最后的解 重点就是这条一般位置直线，那么希望通过这个讲解对大家有所帮助。我们这一讲到此结束，谢谢大家收看。

由平面几何可知，平面可由一条直线和线外一点来确定。那么，如何判定直线是否在已知平面内？点是否在已知平面内？ 点在平面上的几何条件是，如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上。 如画面中图 a 所示，点 e 在 两相交线 ab 和 ac 决定的平面 p 内的直线 ab 上，所以点 e 在 平面 p 上，图 b 为其投影图， 平面 p 的 投影用两相交线 ab 和 ac 表示。点 e 的 投影在已知直线 ab 的 同名投影上， 即 e、 e 撇分别在 a、 b、 a 撇、 b 撇上，且符合点的投影规律。 直线在平面上的几何条件是，如果直线经过平面上两点，或经过平面上的 e 点，且平行于平面上的一条直线，则此直线必定在该平面上。 如画面中图 a 所示，在平面三角形 abc 决定的平面 q 上，点 m 在 直线 ab 上，点 n 在 直线 bc 上， 则直线 m n 在 平面 q 上。下面看它的投影图平面 q 的 投影用三角形 abc 的 投影表示。 点 m、 n 的 投影分别在直线 a、 b 和 bc 的 同名投影上，则直线 m、 n 在 平面三角形 a、 b、 c 上。 如画面中图 b 所示，在两相交线 a、 b 和 a c 决定的平面 r 上， 点 e 在 已知直线 a、 c 上过。点 e 作直线 ef 平行于 ab， 则 ef 在 平面二上。下面看它的投影图， 平面的投影用两相交线 ab 和 ac 的 投影表示。点 e 的 投影在直线 ac 的 同名投影上， 即 e 和 e 撇分别在 a、 c 和 a 撇、 c 撇上过， e 作 e、 f 的 投影。平行于 ab 的 同面投影，即 e、 f 平行于 a、 b， e 撇、 f 撇平行于 a 撇、 b 撇， 则直线 ef 在 两相交线 ab 和 ac 决定的平面上。从点和直线在平面内的几何条件可以看出，欲在平面内取点，需先在平面内取线。 欲在平面内取线，又需先在平面内取点，这种关系是互相制约的。下面我们来看两道例题，加深印象。 例一，已知三角形 abc 平面上点 m 的 正面投影 m 皮求它的水平投影图 m 见图 a 分 析点 m 在 三角形 abc 平面上必然经过平面上一直线， m 撇和 m 应分别位于该直线的同名投影上，因此要补全点 m 的 投影，需先在三角形 a、 b、 c 内做出过点 m 的 辅助线。作图方法一，一 在正面投影上，过 a 撇和 m 撇做辅助线， a 撇、 m 撇并延长与 b 撇、 c 撇相交于 d 撇。 二自 d 撇向下引 o x 轴的垂线与 b、 c 相交于 d 连 a、 d。 三自 m 撇向下引， o x 轴的垂线与 a、 d 相交于 m m， 即为所求的水平投影图。 作图方法二，一过 m 撇做辅助线， e 撇、 f 撇与 e 撇、 f 撇平行于 a 撇、 c 撇，并与 b 撇、 c 撇相交于 e 撇。 二自 e 撇向下引 o x 轴的垂线与 bc 相交于 e 作 e、 f 平行于 ac。 三自 m 撇，向下引， o x 轴的垂线与 e、 f 相交于 m m， 即为所求的水平投影图。 例二，已知平面四边形 abcd 的 水平投影 abbc 的 正面投影 a 撇、 b 撇和 b 撇 c 撇是完成该四边形的正面投影。 分析已知四边形 a、 b、 c、 d 为一平面图形，所以点 d、 b 在 a、 b 和 b、 c 两相交线所确定的平面内， 因此完成四边形平面的正面投影。问题实际上是已知 a、 b、 c 平面内点 d 的 水平投影 d 撇的问题。作图方法， 一、连接 a、 c 两点的同面投影 a、 c 和 a 撇 c 撇。二、连接 b、 d 两点的水平投影 b、 d 与 a、 c 相交于 e。 三、过 e 向上做 o、 x 轴的垂线，与 a 撇、 c 撇相交于 e 撇，连接 b 撇 e 撇。 四、自 d 向上作 o、 x 轴的垂线与 b 撇、 e 撇的延长线相交，得 d 撇连接 a 撇、 d 撇和 d 撇 c 撇。完成作图。 请思考如何判定点或直线是否在已知平面内，如何在平面内取点和线。