分数的意义和性质日记＋画五年级下册

今天来进入分数的学习，先来看分数的意义，把桌上的物体平均分给两个同学，平均分说明每人要分得的同样多，那每人就平均能分到二分之一个苹果，二分之一个月饼和二分之一包饼干， 那在进行测量分物或者计算的时候，往往不能够得到整数的结果，这时我们就用分数来表示。先来看四分之一的含义， 那四分之一可以表示把一个正方形平均分成四份，其中的一份就是四分之一。把一个圆平均分成四份，其中一份也是四分之一。也就是说把一个物体平均分成四份，其中的一份就是四分之一。 那除了可以分一个物体，还可以把一些物体看作一个整体去分。这一盒粽子是不是代表一些粽子呀？把这一盒一整盒的粽子 看作一个整体，平均分成四份的话，那每一份就是这一整盒粽子的四分之一。同样的把这一整盒月饼看作单位一，平均分成四份的话，那其中的三份就是这盒月饼的四分之三。 那同样的，这一整盒糖如果平均分成两份的话，那每一份就是这盒糖的二分之一。 平均分成三份的话，其中的两份就是这盒糖的三分之三。 平均分成六份五份的话就是这盒糖的六分之五。那来总结一下，把一个物体或者一个计量单位或者一些物体都可以看作为一个整体， 把这一个整体我们可以用自然数一来表示，那用自然数一来表示的话，把它通常就叫做单位一。比如说把这一盒粽子可以看作单位一，这一盒月饼也是单位一，这一整盒糖同样还是单位一， 那在这里需要你来区分自然数一和单位一的区别。自然数一只能表示一个具体的事物，一个苹果，一个梨，一个月饼， 对不对？它只能表示一个具体的事物，而单位一它既可以表示一个具体的事物，又可以表示由多个事物组成的一个整体。比如说咱一个班级里面有很多学生，对不对？那我们可以把这么多个学生组成了一个整体，这一个整体就是咱这个班级就可以用单位一来表示啊。 那怎么来找单位一呢？如果把单位一平均分成若干份呢？我们去看把谁平均分了， 把谁平均分，谁就是单位一，那把单位一平均分成若干份，这样的一份或者几份都可以用分数来表示，表示其中一份的就是分数单位。比如说三分之二，那表示其中一份的也就是三分之一。那三分之二的分数单位也就是三分之一。 那再来看看说说上面这些分数的分数单位。二分之一，分数单位就是二分之一。三分之二的分数单位就是三分之一。四分之三的分数单位就是四分之一。六分之五的分数单位就是六分之一。 那也就是说一个分数的分母是几，那他的分数单位就是几分之一。那分子是几，就说明他就有几个这样的分数单位。比如说三分之二，他的分数单位是三分之一，他有两个这样的分数单位。

大家好，这节视频让我们来学习分数的意义和分数单位。首先我们来看一下这两张图，四块小蛋糕和一块大蛋糕，他们之间有什么关系呢？ 是的，大蛋糕可以平均分成小蛋糕。这时候我们就一起来继续学习分数，我们来看一下这四幅图，观察一下涂色的部分，你能用分数来表示吗？第一幅图，把一个圆平均分成四份，涂了一份 就是四分之一。第二幅图，把一个长方形平均分成八份，涂了五份，那就是八分之五。第三幅图，把一米平均分成五份，涂了三份就是五分之三。第四幅图，我们把六个圆平均分成了三份， 涂了其中的两份，所以就是三分之二。那我们来看一下，如果用一个自然数来表示一个物体，一个计量单位，或许多的物体组成了一个整体， 你认为应该是哪个自然数呢？那就是一，我们通常把这个自然数叫做单位一，我们通常把一个物体，一个计量单位，或许多物体组成的一个整体都可以用自然数一来表示。 那这里的一在数学中有一个特殊的名字叫做单位一。现在我们具体来说一说刚刚的这四自主分数的具体含义。首先我们来看一下月饼，把一个月饼看作单位一，平均分成四份，取其中的一份，用四分之一表示。第二幅图，把一个长方形看作单位一，平均分成八份， 取五份就是八分之五来表示。接着看第三幅图，把一米看作单位一，平均分成五份，取其中的三份，我们可以用五分之三来表示。接着看，我们把六个圆看作单位，一平均分成三份， 取其中的两份，可以用三分之二来表示，那我们的分数它由各个部分组成，那它的每一个部分也有它自己的名称。我们来看最上面的，我们用五分之三来说，就看三，在这里表示的是分子，中间的横线叫做分数线，下面的这个数叫做分母， 表示把单位一平均分成的份数，我们叫做分母。上面的数叫分子，表示有这样子的多少份。那么什么叫分数呢？我们就是把单位一平均分成若干份，表示这样子的一份或几份的数，我们就叫做分数。 而表示其中的一份，它有一个特殊的名字，叫做分数单位。比如说四分之一里面的分之单位就是四分之一， 那八分之五的分数单位就是八分之一里面有五个。五分之三的分数单是五分之一里面有三个，三分之二的分数单位是三分之一里面有两个。 那整一节课我们学习了分数的意义和分数单位，你学会了吗？评论区告诉我七分之三的分数单位是多少呢？它有几个这样子的分数单位呢？如果你喜欢这个视频，记得点赞，关注下节课，我们继续学数学。

好的，我们接着给大家讲一下第四单元分数的意义和性质的。第十二课是约分，本节课的话，我们先讲一下我们约分的一个基本情况。 第一个问题就是大家可以看一下，把一个正方形分成一百份，图七十五份，那么另一个图形的话，就是正方形分为四份，给他涂成三份。 你会发现一个问题，四分之三和一百分之七十五的话，它其实是相等的，也就是我们同时扩大二十五倍，或者同时缩小二十五倍，也就是我们分数的基本性质，也是我们除法的基本性质，所以 四分之三和百分之七十五它是相等的。这样的话就是把一个分子分母缩小的话，它其实就是约分。那么我们也不能再找得到比四分之三更小的分数了，因为四分之三的话已经是互斥的。好，我们接着往后看， 那么把三十分之二十四化成分子分母比较小且分数大小不变的分数，这个时候的话我们可以怎么去换算？ 那么第一方法，第一种方法就是用分子分母的话，除以他的公因数去除，我们可以除以二，偶数的话都是可以除以二了，除以二的话我们就等于多少？十五分之一十二，那么十五分之一十二的话还可以同时除以三， 那么除以三之后的话，我们的结果就变成五分之四就可以了，五分之四的话，他已经是互斥的。有没有更简单方法？ 第二种方法的话就直接去判定分子分母的最大公因子，那么最大公因子的话，其实我们二十四和三十的最大公因子，大家可以自己判定一下，就是六的倍数，那么六的话就是五六三十四，六二十四，直接就等于五分之四，也是可以的， 所以像这样把一个分数化成和他相等，但分子和分母都是比较小的分数，就叫做约分，就是我们这个换算的过程，他就叫约分。好吧， 我们约分的话可以这样来写，就是把元素化掉之后，在上面一直就是删除我们的公因子，然后除除到我们两个数，他互质之后的话，就不能往后除了，就最小的 一个数字了。分子分母之间的话，就只有公因子为一的时候就除不掉了，那他就是化简之后的一个分数，就约分之后的最减分数。 好，那么像五分之四这样，分子分母只有公因子是一的分数，那么叫做最减分数。那么今天的话，我们这这堂课的重点也就是约分和最减分数的学习。 好，我们接着看一下就是约分的常规情况，一般都要化简成最减分数的一个情况，这个大家一定注意。 那么关于约分我们可以说一下，与原来的分数相比，约分之后的分数大小一定不变，就是我们数值的大小不变，但是分子分母都变小了， 约分的时候每一次都要用分子分母的公因子或者最大公因子去除，通常约分的分子和分母只有公因子一 互质的情况才是最减分数，所以这就引入了我们约分和最减分数的概念。好吧，我们接着看一下课堂，练习一 下列的分数中哪些是最减分数，把不是最减分数的化成最减分数，那我们一一来判定，第一个的话它是互质的，那必然是最减分数。第二个的话也是互质的，它是最减分数，那么第三个也是最减分数， 第五个也是最减分数，那么接下来的话，第六个、第七个也是最减分数。好，那么我们就把最减分数全部圈出来，那么不是最减分数的四十五分之二十的话，他可以除以五，除以五之后的话，上面就是四分子，分母的话就是九九分之四的话，就已经是最减分数了。那么 十八分之四的话，我们怎么来算？就是可以除掉二，除掉二的话，上面分子十二分母的话就是九九分之二的话，也是最减分数。那么四十八分之一，十二的话，这个它是倍数关系，直接除以十二，那么就是一， 然后就等于四分之一就可以了哈，这个就是我们最减分数。那么最后一个十五分之九的话，我们的最大公因子的话是三，所以除以三就等于五分之三，也就是我们的最减分数。那么这一个过程的话，就是我们约分的过程，那么如果已经是最减分数了，他就不用去约分。好吧， 我们接着看第二题，把上下两行相等的分数用用就是线连接起来。那么第一个 六分之四的话，它其实可以除以二，它就等于三分之二，所以它连的是三分之二、七分之三，七分之三的话可以同时扩大三倍，它连的是第一个二十一分之九，五分之二的话可以扩大五倍，连的是最后一个二十五分之一、十 八分之六，八分之六，可以同时除掉二就等于四分之三，那么三之后的话就是分子分母同时除三就等于三分之一。好吧，我们来看一下辨识训练， 便是训练的话，这两个题目重点是给大家巩固我们的概念的，分子分母就分数的分子分母同时乘或者除以相同的数零除外， 分数的大小不变，这个就是我们的分数基本的性质。那么分子与分母只有共因子为一的时候，这样的分数叫做最减分数，而我们换算最减分数的过程就叫约分。好吧， 我们接着看变式训练二，我们来判断一个判断题，追减分数的分子分母没有共因数，这是错误的，因为它分子分母的最减分数的话是互质数，那么他们的共因数是一，所以这个判断题是错的哈，大家一定记住 好。第三题，我们把三十二分之二十四化成最减分数，这个题的话，我们找它的最大公因子明显是八四八三十二，三八二十四，所以它就等于四分之三，分子分母同时除以八就可以了哈。 然后约分的时候，我们一般将分数的分子和分母同时除以他们的最大公因子，这个是最快的一个过程，好吧，找到最大公因子，好。 第四题，把上下两行相等的分数用线连起来，跟刚刚我们的前面一个题就差不太多连线。十五分之一十，它等于三分之二好，那么七分之五等于二十一分之一，十五 十一分之二等于五十五分之十，那么十八分之一十二等于三分之二。最后一个九分之三等于三分之一， 所以这个题的话就解决了第五题，把下面的分数化成最减分数。那么第一个，我们上下分子分母的最大公因子是五，可以除以五等于四分之一。第二个题， 我们分子分母的最大公因子是六，我们同时除以六等于三分之二。第三个题，我们同时除以三，就是等于七分之四， 下面一个就是十六分之六等于八分之三，除以二吗？一百一十七分之七十八，然后我们也是同时除以三十九，就等于三分之二。好，这个题目也解答了， 我们通过本堂课的学习，重点的话，我们学习了约分，那么把一个分数化成 和它相等，但分子分母都是比较小的分数，叫做约分，但约分常规的过程的话，我们通常要把它换算成最减分数，这个就是本节课的重点。好吧，本堂课的话就到此结束了。

好的，我们接着给大家讲一下第四单元分数的意义和性质的。第十六课时分数和小数的互化。那么首先来复习一下以前所学的知识，零点三 里面有三个，十分之一就等于十分之三，零点一七的话就等于百分之一，十七，零点零零九的话就等于千分之九，也是我们以前学小数的时候所学的知识。 小数的一，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，以此类推。好，我们复习完之后来看一下第一题。把一个长 三米的绳子平均分为十段，那么每段长多少米，直接用三除以一十就可以了。如果平均分成五段，就用三除以一十就可以了。如果平均分成五段就等于零点六，一个等于零点零点六， 那么就得到我们评分的一个答案。但是我们在讨论的时候，如果用分数来表示的话，就是十分之三和十分之六，十分之六的话化成最减分数就等于五分之三，所以零点三等于十分之三，零点六就等于五分之三， 那么我们想一下哈，就是零点三可以表示为十分之三，零点六可以表示为十分之六。怎样才能快速的把小数转化为分数， 那么最快的方式的话，小数就是表示十分之几，百分之几，千分之几的数，所以可以直接写成分母为一十、一百、一千的分数，再进行化简，这就是把小数转化为分数最快的方式。 好的，我们看一下刚刚我们说的这个转化，就是零点三等于四分之三，零点六等于十分之六，那么我们再除以二就是分子，分母就等于五分之三，这就是我们小数转化为分数的一个方式。那么 一个小数化成分数，分母是一十，小数去掉小数点作为分子就是我们一位数的，两位小数的话，分母就是一百，三位小数的话，分母就是一千，那么分子的话，就直接是去掉小数点之后的数就可以了。好的，我们来试一下， 零点零七，那么我们的分母就变成了一百零点二四，分母也变成一百零点一二三，分母变成一千，所以我们的答案是百分之七，百分之二十四的话，我们是可以除掉四的，那就等于二十五分之六，那么千分之一百二十三就可以。就是第三题， 那么我们是两位小数。好，然后两位小数第二个也是第三个的话，是三位小数，就直接把分母化做一千就可以了。那么把小数化成分数，原来是几位小数，就在一后面写几个零作为分母，把原来的小数 去掉了，小数点就作为我们的分子就可以了。说简单一点，一位小数就是十分之几，两位小数就是百分之几，三位就是千分之几，依次的去做内推就可以了。 好吧，我们最后的话，在小数化成分数的时候，需要注意，能约分，必须约分，就是要把它写成最减分数的形式就可以了。 好，我们看一下第二题，化成小数，把上面的分数除不尽的尽量保留两位小数。首先第一类就是分母为一十，一百一千的分数，直接写成小数就可以了， 十分之七等于零点七，百分之三十九等于零点三九，那么这一类分就是我们的分数化成小数的话就非常非常的简单，那么除不尽的 又怎么来解决？那么分母的话，不是十一百一千的分数，就根据分数与除法的关系，我们直接用分子除以分母来计算，然后保留对应的位数就可以了。四分之三等于零点七五，那么四四分之九就等于我们的零点二二五， 那么后面一个数的话，二除以九九分之二嘛，就等于零点二二，然后十四分之五的话，除掉之后就约等于零点三六，这个就是我们的一个 解析思路和转换的一个方法。那么其实根据我们分数与除法的关系，就直接用分子除以分母直接计算就可以了哈，这个也是一个比较简单的方式。 那么分数化成小数的方法，第一类就是分母是一十一百一千的分数，可以直接写成小数去掉分母就可以了。看分母一后面有几个零，然后就从分子的右边着数的数几位点上小数点 位数不够时用零去补足。其实说直白一点就是加我们分母是多少，就加几个零就可以了，比如说十分之十分之几分母时，那就是零点几，那么百分之几就是零点零几，千分之几就是零点零零几，然后分子是多少就在上面写多少就可以了。 那么分母不是一十一百一千的分数化成小数，直接就用除法来计算，那么就是分子除以分母，除不尽的就按我们题目的要求，四舍五入法保留几位小数就可以了。好吧， 我们来看一下课堂练习一把，零点七十分之九，零点二五，百分之四十三，二十五分之七，还有四十七分之一十三比较我们的大小，那么比较大小的话， 首先是这个题目既有小数也有分数，没办法我们只能把它换算，那么我们就把它全部换算为我们的小数，十分之七就什么第一类百分之四十三就直接写成小数好，那么 不是分母，不是一十一百一千的，我们就直接用除法，二十五分之七等于零点二八，那么四十七分之一十三就等于我们的约等于零点二七七。那么写进来之后的话，我们就直接比较大小，比较大小的话就是最小的是零点二五， 零点二五，然后第二个的话是零点二七七，第三个是零点四三，第五个是零点七，第六个的话是零点九。然后把我们刚刚转化的分数写进去，就直接把 从小到大的顺序排出来就可以了。所以这个题目的话，就典型的分数小数混合比较大小，我们就必须 把我们的分数换成小数，或者把小数化成分数同分母的去做比较，但是相对把分数换成小数的话会更简单一些。好的，我们接着看下面的第二，第二的话就是在下面表格中填上一些适当的数，那么在我们的时间单位以及我们的 重量单位以及我们的长度单位的话，我们如果用小数和分数表示的时候，大家一定注意，第一时间单位的话，我们是六十分钟为一个小时，所以就是四十五除以六十，那么的话就等于四分之三，同时约掉十五之后的话就是四分之三， 然后六百二十五千克的话就是一千分之六百二十五，然后我们小数就是零点六二五就可以了， 一米五厘米，那么就是我们的一点零五米，那么如果换算成分数的话，就是一百零五除以一百，然后约掉之后就等于二十分之二十一米就可以了。所以分数和小数的一个换算的话，要知道，比如特别是我们的时间，它是六十分钟， 所以我们一定注意。好的，我们看一下便是训练填空题一，零点八里面有八个十分之一，表示十分之八，写成分数的话就是五分之四，因为同时约掉二之后的最减分数就五分之四， 零点零五里面有五个百分之一，那么化成分数的话就是二十分之一，百分之五吗？同时约掉五之后就是二十分之一的最减分数。 ps， 训练二，把下面的小数化成分数，那么零点八的话就等于五分之四，那么第二个零点幺二五的话就等于八分之一，要换成最减分数零点三四的话就是一百分之三四，同时除以二等于五十分之一十七，第三个是千分之三三三， 然后第四个的话就是一百分之二十五，约掉二十五之后等于四分之一，一定要记得我们的结果要化成最减分数，那么便是训练三，我们看一下，把下面的分数化成小数，那么直接用除法就可以了，第一个是零点七五，第二个零点七，第三个的话 就是我们的零点一六，第四个就是零点八五，就是用分子除以分母就可以了，好吧，我们来比较一下三分之一和零点三三的大小，三分之一用一除以三就是我们的零点三三三三，三分之一明显要大于我们的零点三三。 好的，我们再看一下第五题，比较下面各组数的大小，九分之一和零点一，零点一等于十分之一，九分之一明显大于十分之一。当分数分分子相同的时候，分母越小，我们的分数的数值越大，那么十分之一等于零点一，所以零点一等于零点零九。 好，我们第三个三分之五的话等于一点六的一个循环，一点六的循环大于一点六六。好吧， 我们再往后看思维训练，思维训练这个题的话相对他会比较难一点点，但是的话我们可以把解析思路给大家详细讲一下。 首先我们看一下七分之三化成小数，小数点后的二千零一十六位上的数字是多少。首先我们看着很大的一个数字的数位上的数字的时候，我们就要反映出 我们这个七分之三一定是一个循环小数，因为只有循环小数的话有循环结，他才会有一个很多位置上的一个位置。找到循环结之后，我们除以循环结就知道我们剩下的在哪个位置。首先把七分之三换成小数就是零点四二八五七幺， 那么我们循环的话就是四二八五七幺是循环，循环的话就是一二三四五六，那么六位的话我们就用就是两千零一十六，除以六就等于三三六 三三六的三无余数的话，我们就在两千零一十六位上的话，我们数字的话就是最后一位，他是整除的，就最后一位，所以他的数字是一，如果余下几个就依次往后去内推，推到几，余到几， 然后我们就是几，有这个题的话就是一定是循环的，有循环节，然后除以循环节之后，看一下我们的余数，就可以确定我们这个数值是多少。好吧，这个练习的话我们就做完了， 我们来看一下本堂课的小节。本节课的话我们学习了小数到分数的一个互换，也学习了我们分数到小数的一个互换， 那么小数到分数的话，第一首先是化成分母，是一十一百一千的分数，这个是没有太大问题的，然后再化简为 最简分数就可以了，那么分数化成小数的话，就直接用分子分母直接算除法就可以得到答案。好吧，本节课我们就讲到这里。

点点今天早晨绕操场跑了五圈，一共跑了两千米，用了十三分钟。给我们两道除法算式。两道除法算式的含义是什么？ 好，首先其实这道解决这道题用我们以前的归一问题，是不是很容易就可以转出来？对，对，但是老师想告诉大家，他用他的含义去理解算式，不要每次都用归一法。好，我们一起来看。那首先一定要一二两题是不是都给了我们一道除法算式？对，是给了一道除法算式，那我们就要理解除法的含义是什么？ 厨房的含义是平均分。那接下来我们来看这道题，先来复习一下这道题。来，我们先来复习一下整数。厨房如果把八个月饼平均分给两个人，那每人分几个？ 八个月饼平均分给两个人是分给两个人啊？对，那这里面总分数指的是谁？总分数是两个人啊？哎，八，八是总分数，八是总量，是不是总数量？对，总数量有八个月饼， 总数量是八个月饼，分给两个人，两个人，所以你要分给两个人，说明要把它分成几份？两份一人分一份是不是？好，所以每人分几个月饼？ 二分之八可以，可以，用厨房上试试。八除以二，八除以二等于四个，就直接可以九个等于四个。对呀，好， 那第一个老师要告诉大家，平均分我们常常用厨房，那第二个谁除以谁要理解清楚，要能够识别出里面的总分数跟总数量，在这里面分为两个人就意味着你要分几份，所以这个两个人指的就是总分数。 另外一个就是总数量，除完以后，每次除完以后，他的问题都是每份是多少？是每份是多少？每人是多少？那接下来我们来看第一个问题来 算式，二除以五解决的问题是什么？首先二指的是什么？二指的是什么啊？两千米五指的是什么？圈？五圈。 那你肯定是跟千米跟圈有关系，对不对？好，两千米平均分成五份，是平均分成五份。对。那后一句话是什么？ 把两千米平均分成五份，平均分一份，哎，一份是多少？这里面一份其实就是一，什么？一圈谁？这道题的问题是一圈有多少千米？ 一圈对了，一圈跑多少千米？那我写一圈几千米可以不？类似的，类似的都可以，所以老师告诉大家用含义来判断，会不会判断。 那第二个我们用归一问题来验证一下，归一问题来验证一下，我们说归一问题里面的公式是谁归一，谁做除数，哎，这里面除数是五圈，说明要把它归一了，五圈归一就变成了一圈，或者是每圈， 哎，一圈。好了，每圈是不是有没有问题？没有，很多同学听晕了。接下来第二题有请同学用类似的方法，你来说一说。首先这个这句话你给我展开，带上他的单位去展开，把五圈平均分成十三份，是把它分成十三份，对，那这里面份的份的单位是什么？ 分钟，对了，是分钟吗？十三份是不是三分钟？对，所以求每份，那每份对的单位就是这里面的总分数单位是什么？分钟？所以他的问题就是 把五圈除法，手指的除法就能听到平均分三个字，把五圈平均分成十三份， 是不是三份说明这个总份数是多少？总份数把它分成十三份吗？总份数就是十三份，是十三。那十三那后面是不是求每份每份多少？是不是每份？那这里面的份是对应的是份，对应的是分钟，还是都说了十三份啊？十三单位是不是分钟？ 所以每份其实就是。这里面是不是份，每份就对应的是每分钟。 谁要提示每分钟怎么样怎么样怎么样？每分钟跑多少圈？有没有问题？因为第五个是圈，你只能用圈跟分钟两个单位，这是它的含义，能用含义写出，理解出这个问题的举手。 第二个，你不，你各位同学实在基础比较薄落，你就用归一问题归一，谁归一谁做徒数，这里面是谁归一的？谁做徒数。十三分钟做徒数，那我就得把十三分钟给它归一， 那就变成一分钟，是变成一分钟，翻过来就是每分钟，一分钟是每分钟。第三题， 十位数两个单位分别是什么？分钟和分钟和铅笔。分钟和铅笔，那我们来写分钟的数字是谁？十三分钟数字是十三，签名的数字是谁？二，那我们就用。 如果你看到这里的话，我们就用归一问题，谁归一谁做，这里面谁归一了？十三，谁要加十三，谁除以十三二谁？正确答案是十三分之二，十三分之二。

大家好，我们现在来讲一下第四单元分数的意义和性质，其实分数的意义是什么呢？其实你就把它当成分数的含义就可以了啊，这个呢就是比较便于理解分数的意义是什么，其实就是把一个整体啊， 把一个整体它平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，这个叫做分数。哎，这在这个里面呢，我们说一个物体或者一个计量单位，或者许多物体组合在一起，把它看成一个整体，我们把它用成自然一来表示啊，自然一来表示， 我们用通俗的话来讲什么呢？就分数什么呢？分数就是一个商品，它本身它是一个，它是一个整体，一个整体呢，但一个整体它在实际生活中它不够分，所以它需要把它平均分成若干份， 那么其中的一份或者几分就叫做分数。所以说我们说分数的一，首先就要清楚什么叫分数，其实就是分数的含义。 而在这个四年，在五年级下这个地方学习的，我们学的什么呢？我们学习的就是在分数意义里面非常重要的一条，就是单位一啊，就是单位一这一块，把单位一平均分成若干份，表示这样的几一份或者几分的数叫做分数，其中的一份 其中表示其中一份，读叫做分数单位，叫做分数单位。我们看这里把一个三分成四分，那么就是四分之三块，那么其中的一份就是呢，就是四分之一，所以他的分数单位呢，就是四分之一这一块啊， 这边的理解呢，就是一定要非常清楚，要清楚，并且呢我们始终要记得这里面非常重要的知识点是什么？是平均这两个字，平均这两个字这块啊， 我们这边的话要认真来看，我们重点看一下这个小蘑菇、小辣椒这边啊，每个人分得的不满一块，可以用分数表示，这就是分数存在的意义，他没有达到一个 每人不能每个人分的一块，然后把它平均分啊，平均分他四个人，所以每个人分的是四分之一，四四分之一块啊这一块。 然后我们继续来看这个，就说我们分数和除法相里面的关系啊，被除数相当于啊分数的分子，除数相当于分数的分母，所以你看被除数和除数这是什么呢？他们的一个关系， 然后在分数里面这什么这是分母，这是分子这一块。同样的情况下，在这里面，在因为在储盘里面这个分母他不可以为零，所以在分数里面，所以他的分母部分也是不可以为零的，也是不可以为零的这一块。然后这边呢，就是拿 那个我们用一个基本的分数和我们单位换算相结合在一起来考察，相结合在一起考察， 哎，这一块什么呢？用我们线段，用线段和我们的分数再去考察，哎，这个章节最核心的是什么呢？就是单位一，单位一这一块有脑袋里要梳理这种单位一的一个概念，单位一的概念， 这边的题目要足够的完成，要足够的完成。我们尤其是什么呢？我们要把哪个作为单位呢？要把四后面的数字或者比后面的数字，把它作为单位啊，比后面的数字作为单位， 这里面的题目都是这样的，我们来做一个小题目来看一下。第十三题有十二支铅笔，平均分给 两个同学，每支铅笔是铅笔总数的什么呢？你看，我们首先看每支铅笔，那就当然就是一支铅笔，铅笔总数是什么呢？就一共有十二支铅笔。四是我们把四后面这位这个单位一，所以四，它整个什么？它整个就是十二， 那么十二，那每支铅笔就是一，所以每支铅笔是四。铅笔总数什么？十二分之一，那每个人分的两个同学，十二 除以二等于六，所以每个同学分的铅笔是六，那总数是什么呢？总数他是什么呢？他是十二，所以这就是什么呢？这个单位， 这就是拿六，除以什么呢？除以十二，那么这个地方就是一个十二分之六，十二分之六。因为我们现在是 五年级的那个时候，所以我们这里要把它写成一个最简单的一个分数，所以我们这里要把它写成什么呢？ 是二分之一，二分之一。这一个这个章节就和我们前面那个因素为倍数相关联，所以我们要把它化成最减的， 最减的一个分数，因为分子、分母同时除以六，然后呢分子还剩下一，分母还剩下二，所以这个题目要清楚， 在这个例题里面动手做这个例题什么呢？进一步把我们这个单位一样，然后呢进行一个加深，一个理解。我们在不同的 时候，你看我们这单位把这个整个长方体长方条分成单位一，如果把它分成两份，那就也解释这根长长条把它分成平均分成三份，那么也是把这个长条啊，这个长条这一块啊， 这里面呢，我们就是运用的什么呢？用了这个分数的性质，那分数的性质是什么呢？分数的性质就是分子分母同时乘一或者同时除以一个数字， 它分数的大小不变，前提是什么呢？当然是不能乘以零，或者分子分母不能乘以零，也是不能除以零的。 好，所以这个什么呢？这个三和六的边上，三乘以二等于六，那么一要乘以二，这样才能等于相等。好，同样的道理，这个等于什么呢？四分之二等于八分之四，八分之四，你可以无限的扩大，无限的扩大十六分之多少，一万分之多少一万分之多少二分之一，万分之五千，一千分之五百， 无限的扩大，这可以无限的扩大这一块啊，涂色这一样的东西啊，一样的这一块啊，所以在读题的时候，什么呢？我们请看一个 是什么呢？把一个图形分成几分，分成几分，这一个我们注意来看啊，在这个里面我们进一步把这个分数，因为分数我们有个分类，分类呢它有一个比较的比较的标准，就是分子分母的大小， 当我们分子小于分母的时候，就我们叫真分数。什么叫真分数呢？我们的最普通的理解就是他真的不够分，真的不够分。我们打个比方，三个苹果分给四个小朋友，他真的不够分，那么四分之三他就什么呢？他就一个真分数。 那如果我们是五个苹果分给四个小朋友呢？五个苹果分给四个小朋友，那我们如何能做到平均分呢？那我们首先四个小朋友每个人拿一个苹果，那么另外还剩下一个苹果，怎么还剩下那个苹果再平均分啊？所以每个人手里他已经有了一个， 然后剩下的剩下，最后剩下的一个，然后再把它平均分成四分，所以每个人是一，然后加上每个人后来先分的一个，后来再分得了四分之一， 所以每个人就是一加上四分之一，一加上四分之一，其实就等于一又四分之一啊。所以我们刚开始一个苹果， 三个苹果分成四份，那么这是真的不够分，这叫三四分之还是真分数，那么呢，五个苹果分给四个小朋友呢？那么四分之五，四分之五，那么他就是个假分数。 同样的情况下，这个里面还有一个特殊的情形，就是他相等的情况下，如果我们四个苹果分给四个小朋友，那我们平均分出来什么？就是每人一个， 每人一个的话，这是不是分数呢？四分之四是不是分数呢？是的，他也是分数，只不过他不是一个真的分数，并不是每个真的他，他每，因为他每个人可以分到一整个，所以呢他也是属于假分数， 所以呢区分真分数，假分数就是看分子和分母的大小问题，大小问题，如果真的是小于分母，那么就是真分数，如果是大于或者等于分母，就是假分数。看似说的有点啰嗦，刚才我们举了小朋友的例子，就是为了便于大家的理解， 这边是一样的情况，这是一样的情况。这个啊，好， 这就是什么呢？这里我们做的是什么呢？就是代分数，就是五个苹果分给四个小朋友，平均如何进来？分有四个，每个人先分了一个，还剩下了一个，然后他平均分成四分，所以首先有一个，有一个了，然后每个人又拿到四分之一。所以我们把 有整数和真分数一定要清楚，他是有整数和真分数， 整数和增分数合成的数，然后我们把它就是代分数，这个变变一，那个要准确理解，这里的数字也非常简单，你看 i 又四分之三，其实就是 i 加上四分之三， i 加上四分之三这一块好， 这个这就是 i 好 不好，这两个是相等的，相等的这一块。然后这边的话，你看一个如果一个假分数如何把它化成，如果假分数把它化成这个待分数呢？你看是用这种方法 啊，这是一个假分数把它化成待分数，直接拿这个消除，消除，消除啊，然后得到的伤放在这里， 三分在这里，然后这个什么呢？这个是除数，这是除数。这什么呢？这是余数啊，这是余数这块啊，就是如何把假分数化成啊？化成这个叫代分数，所以这个里面有一个很好的例子。好的例子，这个啊， 这边的这些题目每个都要认真做完，能够准确理解。任何有不清楚的随时留言啊，我们会及时给予解答及时给予解答，这个啊， 这边也是的，这边是啊，哎，我们看这一题就是完整的，怎么呢？非常漂亮的字，把它什么呢？把它 真分住和假分住的一个定义，把它说出来啊，这两个啊，我们一看是换成整数，是整数，是成整数什么呢？是成整数的时候，当然是什么呢？是 b 是 什么呢？ b 是 a 的 倍数， b 是 a 的 整倍数。整数倍数啊， b 是 a 的 整数倍数，这个这个是什么呢？它 a 分 之 b 才能化成整数，才能化成整数啊。 我们前面刚才已经提到了，关于分数的基本性质是什么呢？分数的基本性质啊，就是分子、分母同时除以或者同时乘以一个不等于点的数，然后分数的大小不变。在这个里面分数的分子分母就谈不上 同时加上或者同时减上一个数，但不是，不是的，不是我们在分数的基本性的在在这里是的，是同时乘以或者同时除以一个不等于点的数啊，不等于点的数。然后这边有个总结性的，我们来看一下，一个分数他有无数个和他相等的分数， 相等的分数，然后画图和操作能够帮助我们发现规律。学习过程中要注意沟通知识之间的联系啊，知识之间联系，这个他的可以无限 相等，代表我们刚才前面二分之一等于四分之二等于八分之四等于十六分之八等于三十，三分之十六，则有无数的这个相等的分数啊。当然它的分母呢，它不会是相同的，这个因为分母不同啊，分母不同， 你看这里面的知识点，这里面如何来判断它们是否相等呢？所以来相等的，我们需要把什么？ 把这个发木分母运用分数的这个基本性质，这不是六吗？六，我如何变成三十啊？六，它要乘以五才能变成三十。分母乘以五，那么分子同样要乘以五。如果分子和母都相同的情况下，那我们说什么？就这个两个分数相等，如果不同，这样就不相等。一个十六，一个是八， 那么这个如果呢？这个呢？八乘以二分，母乘以二，分，子也要乘以二，那么就是十六分之二，十六分之二和这个生命相等，当然就不相等了。好， 永远不要小看书上这些出的小题目，他就在于巩固你的基本的概念和思维的理解啊，这点不能疏忽。 这个章节的知识点还是不少的，还是不少的，这个你看我们这里谈了个约分，其实约分是什么？约分就是把我们分子分母啊，然后同时除以啊，就是越来越变小， 越来越小，因为同样相等的一个分数，如果分子、分母都越来越小，是不是更加便于我们理解啊？更加变得理解，然后约分到最终的结果是什么呢？是能够达到最减分数。那什么叫做最减分数呢？就是分子分母啊，他从 通过约分呐，同时乘以或者同时除以一个数字，最后的结果达到什么呢？分子分母的公因数只有一，只有一这一块，并且一定要注意，分子分母都要是整数啊，分子要是整数，分母也要是整数。 哎，这边的这一块什么，你看这边的这个立体都是运用的什么呢？都是运用的我们在上一个章节因素与倍数里里面的知识点。因素与倍数里知识点啊，我们如果能够直接像这种化解这种情况，直接除以他的这两个数的什么 最大公因子，最大公因子，那我们可以一步到位，一步到位这一块啊，最大公因子啊，至于什么叫最大公因子，这个章节我们可以从前面的知识点认真来看， 这个题目非常有意思，如果有任何需要给好很好讲解的这一块，我们欢迎留言，就给大家讲解，因为这个里面涉及到什么呢？涉及到三角形的面积公式啊，三角形的面积公式，这个好， 异分母，异分母，这是涉及到加和减的时候，如果我们把异分母把，就说两个分数分母不同时，我们如何把它 变成分母相同？因为我们在之前，在五年级之前，我们学习的分数的最初初互认识的时候，我们是什么呢？如何来判断一个分数大和小呢？就是当两个我们都把这两个分数同时化成分母相同的时候，然后哪个分子大，那么他就是什么呢？ 那么他就是哪一个分数大，分数大这一块啊，这题非常有意思啊，需要讲解的话就是给我们留言啊， 如果能够准确的掌握住分数的意义呢，对于我们解决很多应用题啊，也是非常有帮助的。这个章节的知识点不少啊，这个章节的知识点不少，所以说要很留意 我们看这个题目啊，这个题目也一样的情况下，这个题目呢，你要比这个大，比这个小，那么它里面有多少个呢？有多少个呢？其实这里面可以有无数个，可以有无数个这样一个分数，无数个这样的分数啊， 如果不能理解啊，还是这句话就是留言，我们会单独发视频给讲解 这些就是每个数学的章节里面，最终它都有这么一个知识点，它是为了考察你对整个这个知识点的章节，你是否能够基本上能够把它说出来，基本上能把它说出来，这个 如果能够很好的把它做出来，题目能够就书上的题目，我们只局限于书上的题目，就能够很好的做，把这些文字性的东西，千万不要小看这一块， 这一块文字性的东西是什么呢？是学霸与学神之间的关系，你学霸很厉害嘛，但是学神他又能够融会贯通，因为这是知识点所在，知识点所在啊， 这个是对这个章节的附带的这个知识点啊，附带的知识点啊，看一下清楚就行啊。了解常识，我们任何的数数学学习不能离开生活常识，我们也会看到越来越多的数学学习的一个题目，它会从市场生活中相 关联啊，相关联这一块啊，全关于这个章节，我讲清楚了吗？啊？

家人们好，我是栗子老师。分数的意义和性质是不是孩子学起来感觉最晕，考试扣分最多的一张？别慌，今天这条视频把全单元核心考点做成一句话，公式，看完直接拿分。 首先，三大基础概念必须背熟。第一，分数与除法的关系，被除数除以除数，用分数表示分母不能为零。第二，真分数和假分数。分子小是真分数，小于一分子大是假分数，大于等于一带分数，是假分数的变身。 第三，分数的基本性质是灵魂分子、分母同时乘或除以相同的数，零除外，分数大小不变，这是约分和通分的唯一依据。 好，接下来是必考的两大计算约分的技巧。要找到最大的公因子，记住分子、分母同时除以他们的最大公因子，一步到位，最减分数搞定通分绝招，找最小公倍数，把异分母变成同分母，分母统一了大小比较和加减运算就全都会了。 还有分数画小数，直接用分子除以分母，出不尽的按题目保留位数。最后两道，解决大题，千万别掉坑！ 第一，求几分之几，要分清楚谁是单位，一用部分除以整体。第二题，平均分配的问题，要看清楚是要求具体的数量 还是求占比，求具体数量就用总数除以分数。求占比呢，就用一除以分数好！评论区扣满分，听懂的点个赞，想学更多干货关注我，数学轻松拿高分！

好的，我们今天接着给大家讲一下第四单元分数的意义和性质的。第十课是最大公因数及其求法，这一节课的话是非常重要的哈，大家接着好好学就可以了。首先我们先复习一下什么是因数和倍数， 我们看一下下面的一个例子哈，老师就快速的给大家过一遍。第一，如果 a 乘以 b 等于 c， 那 么 abc 都不是 为零的整数的情况，那么 a 和 b 是 c 的 因素， c 是 a 和 b 的 倍数。因素和倍数的话是互相依存的，不是单独成立的。 以六十除以一十为例子，等于六，那么六十就是十和六的倍数，那么十和六就是六十的因素。那么这里的话，我们复习了一下因素和倍数。我们接着往后看 第一个题，我们来找一下我们公有的因素八和十二，那么公有的最大的因素又是多少？那么这种题目的话，我们采取的方式就是把八的所有因素先罗列出来，就是一、二四八， 找因素的话也是我们前面所学的知识大家都是会的，那么十二的因素的话就是一、二、三、四、六一十二，所有的数都出来了哈，它的因素那么重复的部分的话，就是我们共有的，就是八和十二共同就是都有的因素，那么一是共有的， 二是共有的，那么还有一个就是四是共有的，所以我们共有的因素的话就是共因素，它是一二四就是八和十二的共因素，那么最大的话就是我们的 最大的公因子，就是我们所有公有的因素的最大值，那么最大的就是四，所以八和十二的公有的因素叫做公因素，其中四是最大的因素，它就叫做最大公因素哈，这个也是我们比较重要的一个概念，大家务必的话，要知道，我们接着看一下 我们怎么去找两个数的共因数的方法。第一种方法的话，就是分别把两个数的因素全部列出来，再找他们共同的因素，然后找出最大的，我们就可以找到最大共因数。 第二种方法的话，就是我们先找一个数的因素，再从一个数的因素里面找另一个数的因素，哪些可以被它整除，那么找出最大的一个因素就是它的公因子也是可以的，就是第一种两个都找出来，第二种话先找到一个，再从一个里面去找另外一个就是数的因素就可以了。 好吧，我们接着来看我们所有的方法，第一种方法就是列局法怎么去确定十八和二十七的最大公因数，那么我们就把十八的因素全部罗列出来，那么就是一二三六九十八。 好，然后二十七的因素的话就是一三九，那么就列出来了，所以我们最大的公因数的话，就最大公因数就是九就可以了。这第一种方法， 第二种方法筛选法，就是先找到一个数的公因子，我们把一十八的因素全部找出来，就一二三六九十八，然后再从十八的因素里面去找二十七的因素，一肯定是二十七的因素， 三是二十七的因素，九是二十七的因素，所以我们公因子的话就是一三九就是二十七的因素，那么也是一十八的因素， 就是先找到一个数的因素，再去筛选出第二个数的因素就可以了，那么最大的公因子肯定也是九。好，这是前面我们罗列的两种方法，那么我们来讲一下第三种方法。 第三种方法的话就是分解质因子法，就是我们先把一个数分解成质因子，质因子的话，比如一十八可以分解成三乘三，乘三再乘三， 那么先分解了知因数之后的话，将共有的知因数相乘所得的积就是这两个数的最大共因数，那么就是三和三就最大的，所以三乘三等于九，我们的最大共因数就是九。这种分解知因数的方法的话，大家不理解，可以用短除法或者其他方法都是可以的。 好，那么短除法的话，应该是在以后我们用的最多的就短除法，那么短除法的话很简单，就把两个数横向的一个平平平列的一个排布，然后我们找到公有的支因数，比如三相除，再除以三，然后除到两个数的三，只有公因数为一为止， 所以我们除下来之后的话，就有两个公公有的自因数，那么两个自因数相乘，就是左边标红的三乘三，就得到了我们的最大公因数，所以短除法的话也是比较实用的，也是我们常用的。 好的，我们接下来来观察一下下面一个图形，你会发现我们公因数的个数它是有限的，就是公因数里面的话，它有两个比较重要的点，第一 就是公因数的个数肯定是有限的，我们八和十二，他有一二四三个公因数，十八和二十七一三九三个公因数，所以他的数值是有限的。 第二点，所有公因数就是所有公因数都是最大公因数的因素，那么什么意思？就是比如第一个八和十二的最大公因数是四，那么我们第二个八十八和二十七，那么九的话，肯定他是我们的 值一和三的倍数，一和三也是我们最大公因子的因素，所以他这个是必然成立的，这是一个比较重要的概念哈。然后我们接着往后看课堂练习，我们看一下哈，就是 第一把十六和二十四的因素公因子分别填进相应的位置，再圈画出他们最大的公因子。十六的因素有哪些哈？我们看一下，一肯定是二，肯定是四肯定是八肯定是十六，肯定是二十四的话就是一、二、 三、四、六、八，还有十二都是二十四，都是我们的因素。那么相重复的部分，我们就填到蓝色的区域就中间， 然后单独的，我们就左边的蓝色的就是我们十六的因素，然后右边粉红色的就是我们二十四的因素，那么他们就是分别的因素。所以这个题目我们按这个一个集合图形的方式，就很快的可以得到我们答案。 那么中间几个数的话，就是我们共有的最大的公因数的话，就是八就可以了哈，找出来就可以了。那么第二下面哪些数是十二的因素，哪些数是十八的也不是十二的，哪些数是十二是八的公因数，所以这个题它是一样的，就是找我们的一个集合， 哪些是两个共有的因素，哪些是十二单独的，哪些是十八单独的，所以我们把它罗列进去就可以了。十二和十八的话，一二三六他们肯定是共有的， 那么四的话他是十二的因素，他不是十八的，六的话，我们是中间已经有了九，我们肯定就是十八的因素，不是十二的，那么十二的话就是十二的因素，不是十八的，那么最后一个十八就是十八的因素，我们就一个去判定，就填进去就可以了。大家在做题的时候也可以画个图形， 把它一一的去罗列进去，基本上就不会错。好吧，我们接着讲下一个题目哈，就写个答，把对应的因素答进去就可以了。 第三，找出下面每组数的最大公因数，你会发现什么问题？四和八。那么首先第一个问题，四和八他是倍数， 八的话他有一二四八，四的话是一二四，前面三个是重复的，所以最大公因数的话肯定就是四了。 十二和三十六，你会发现我们最大的公因数的话，他就是一十二，因为十二的话他是三十六的因素，所以这个必然成立的。一和七 有个什么问题？前面两个数的话，它是倍数关系。四和八，十二和三十六，下面两个的话是互斥的，就一和七的话，最大公因子肯定是一，因为它没有其他的因素了，八和九的话也是互斥的，那么它就是最大公因子，也是一。所以这里的话我们要说明什么问题？ 五和十一，它的最大公因子也是一，十二和三十五，它最大公因子也是一，所以如果一个数是另一个数的最大公因子，大家可以记住哈，这是一个比较重要的概念， 如果两个数的公因数只有一，那么他们的最大公因数也必然只有一，就是一哈，没什么问题，这个记住就可以了。我们在题目里面去具体判定 好填空题十八和十二，那么公有的因素的话，刚刚我们前面已经列过了，我就不细讲了，就一二三六，下来之后的话，大家可以在草稿纸上把分别列出来，或者用短除法都是可以的。 那么最大公因子的话，我们如果用短除法的话，直接就除以六就可以得到，前面就三，后面一个是四，所以用短除法的话是最快的。找最大公因子 一百和二十五的话，首先第一个问题，一百和二十五它是倍数关系，所以最大公因子必然就是二十五，那么共有的因素的话，就我们的公因子一五，二十五就可以了，直接在二十五里面去找，我们能够整出就是一百整出的就可以了。好，我们接着看下一个题， 这个这个题的话就复习我们前面的一个概念哈，就倍数关系和和相复复制的一个关系哈。十六和四十八的最大公因子是八，对不对？八只是他们的公因子数，但是不是最大的，因为十六和四十八是倍数关系，三倍关系，所以最大公因子必然是一十六。好，这个题的话也给大家再巩固了一下我们刚刚所学的。 第三，我们写出下面分数的分子，分母的最大公因子也是找公因子，二十五和六十四必然是一哈，没有，没有用任何办法，他就没有相互的一个互斥的，他是哈，二十一和一十五的话是三都可以除以三，三的话，上面的话就是五乘三吧，下面就三七，二十一， 十二和十六的话，最大的肯定是四，四的话，除以四之后的话，他就是四分之三，可以用短除法。三十分之二十的话，公因数的话，最大的肯定是十十八分之七，那就是一就可以了，因为他是复制的。 好，我们看一下，找出每组数的最大公因数，填在括号里面，五和十五倍数关系五四十八和二十四的话，二十四，倍数关系十五十六，那么公因数是一六和八的话，他们可以整出二，用短除法二就可以了哈，四和八倍数关系四就是最大公因数二十二和三十三， 我们最大的话肯定是一十一，都可以整除。好吧，最大公因子的找法的话，大家熟悉之后的话就会很快，第一是倍数关系，第二的话就是我们的互质关系好，然后剩下的话就可以用，就是我们前面所学的四种方法，任何一种都可以找出来。 好，五的一个题，我们讲一下哈，求下列个数的最大公因子。第一个的话是倍数关系，十二一眼就看出来了，就不用说用短除法吗？ 除以二除以一十二也可以得到，九和十肯定就是一， 那么第三个二十三和四十六的话也是倍数关系，那么直接除以二十三，他就等于一和二，就是我们最后的三的话就一和二，所以我们最大公因数的话就是二十三， 那么十一和一十七，九和十，他是互质的，所以互质的他们叫互质数，公因数只有一到两个数叫做互质数，就互质的哈，就没什么问题，他的最大公因数就只有一，所以这个题目的话，又给我们巩固了一下我们所学的概念， 那么我们来看一下这个拓展阅读，利用分解质因子的方法，可以比较简单的得到两个数的最大公因子，那么我们的短除法也是常用的哈，就是这两种方法 好，短除法的话一样的哈，公有的质因子是二除以二就二十四和三十六码，我们就依次往下除就可以了。除到两个数的三公因子只有一，就是我们的互值数，开始的话，他的就是把我们前面所有的公有质因子相乘，就得到我们的最大公因子了。 那么二十四和三十六的话，其实可以直接除以一十二，那就得到二和三。好，这种情况的话就比较简易。那么我们去打草稿或者做题的时候，也可以参照我们上面的一个写法，必须严格按照格式去写就可以了。好吧， 我们本节课的话给大家做个总结，我们就学了四种方法去找我们的共因数，并且找到我们的最大共因数。其实每一种方法都有它的一个好坏，就是每个同学可能觉得列绝法 比较好，有些同学可能觉得筛选法比较好，有些同学觉得分解字音数方法比较好，还有一些就是短除法，但是短除法的话是实际上应用比较多的，并且倍数关系，包括我们用短除法去找一些就是相应比较复杂的题目的时候的话，他会用的比较多好，同学们下来之后的话，需要自己动手去多做一些练习题， 我们的因素公因子以及理解我们最大公因子和我们的互质数的一个概念。好，这样的话我们做题的时候就没有任何问题。好吧，本节课的话我们就讲到这里了。