2026年吉林单招数学真题卷子几何

大家好，这个视频给大家讲一下押题卷一的最后两道解答题。第十五题考察的是一个立体几何的题目，而这个立体几何呢，可以用间隙的方式来解决。大家可以先读一下题， 通过读题之后发现了我们 p 大 是垂直于这个底面的，然后 a 大 是垂直大 c 的， 所以那不妨就以大点为坐标原点，大 p 为 z 轴， a 大 a 为 x 轴，大 c 为 y 轴，建立了空间直角坐标系， 那过程就写解如图所示，以大为坐标原点，建立 空间直角坐标系，由题中数据可得。 题目当中说了， p 大 的长等于大， c 等于二，而 a 大 等于二倍根号二，那根据这些数据，所以 p 点的坐标就是零斗零斗二， b 点的坐标就是二倍根号二斗二斗零。 a 点的坐标二倍根号二逗零逗零。 m 点的坐标根号二逗二逗零。那所以 p、 b 向量的坐标就是二倍根号二逗二逗负二，而 a、 m 向量的坐标就是负根号二逗二逗零。 那我们接下来就要去计算这两个向量乘以 a、 m 向量，两个向量相乘等于横乘横。 二倍根号二乘以负，根号二加纵乘纵加竖乘竖，所以就等于负四加四加零等于零，两个向量相乘等于零，所以这两条直线垂直，那 p、 b 就 垂直于 a、 m。 第一问就搞定了。接下来看到第二个问题，第二位要求这两个平面的二面角，很显然，那就用向量法，不妨设平面 b a p 的 法，向量为 m 向量， m 向量坐标写成 x 一 y 一 z 一。 那这个时候我们就得在平面 a、 b、 p 里面找两条相交向量，因为 a p 由于待会是个公共的向量，所以 a p 向量就等于 p 减 a 等于负二倍，根号二负零，负二， 然后 ab 向量那就等于零，勾二勾零。所以说要算到这个法向量 m 向量是乘以 ap 向量等于零的法向量 m 向量乘以 ab 向量等于零的，所以把它们相乘等零，就可以得到这样的一个方程组， 负二倍根号二， x 一， 再加二倍 z 一 等于零，然后二倍 y 一 等零，得 y 一 等于零，然后在另一个 x 一 等于一，那么 z 一 就等于根号二，所以法向量 m 向量的坐标，那不就等于一到零到根号二吗？同理啊，同理，我们也可以算出平面， 可以算出平面 m a p 的 法向量啊。 m a p 的 法向量 一样的过程哈，为 n 向量 n 向量坐标，假如为 x 二逗 y 二逗 z 二，过程一样啊，所以得出来 n 向量的坐标就等于根号二逗一逗二， 那又因为二面角为锐角，那可以设二面角为 theta， 所以 说这一个 cosine theta 就 等于 cosine。 这两个法向量夹角的余弦值加绝对值 带入数据，那就等于 m 向量乘以 n 向量的绝对值，除以 m 的 模，再乘以 n 的 模带进去 m 向量乘以 a 向量，那就等于横乘横，根号二加纵乘纵零，再加一个二倍。根号二除以分母，根号下一加二，然后再乘以根号下二加一加四，所以这个地方就等于三倍根号二除以根号三，再乘以一个根号七， 根号三根三余个分是根号三，所以就变成了根号七分之根号六，分子分母同时乘以根号七，所以就变成了七分之根号死数，因此这道题最终答案余弦值为七分之根号死数。 接下来我们看到最后一道解答题，第十六题考察的是函数的知识点。读一下题，别人说要求这个函数的极值，那首先第一步先对函数进行求导， 因为 f x 一 撇来，旁边来算一下， x 被零 x 减 x 的 导数，那就等于前导后不导，加上后导前不导，再减一个一 x， 导数一乘以零 x， 然后再加 x 乘以 x 分 之一减一，所以就等于零 x 加一减一，加一减一抵掉。所以说 f x 一 撇就等于零 x。 而做函数题目，大家一定要养成一个习惯，定义域优先， x 大 于零，当 f x 一 撇等于零时，那推出的就是 non x 等于零， non x 等于零，得 x 就 等于一，因为 non 一 等于零。 而当 f x 一 撇大于零时，那推出的就是零。 x 大 于零，零 x 大 零，得出的结论就是 x 大 于一，当 f x 一 撇小于零时，推出的就是零。 x 小 于零，那得到的就是 x 小 一，但是定义域得大于， 这个时候就讨论出了导函数大于零小于零等于零的范围。接下来这里的步骤就要画一个表格比较清晰，由此可得下表。这个表格总共画三行， 第一行写 x， 第二行写 f x， 一 撇，第三行写 f x， 所以 把这些区间按照从小到大的顺序，从左到右的顺序给它排开，零到一，一，一到正无穷。所以得到了这么一个表格， 在零到一的时候，导函数小于零，一的时候导函数等于零，一到正无穷的时候，导函数大于零。导函数小于零，原函数单调递减，导函数大于零，原函数单调递增，那先减后增，所以叫什么值？极小值， 那所以 f x， 它的极小值就等于 f 一， f 一 带进去一乘以乱，一减一，零减一，所以等于负一， 而这个函数是没有极大值的，你得标注一下， f x 无极大值，一定不要写成 min 和 max， 这两种写法是错误的。好，这是第一个问题。接下来看到第二个问题。第二个问题说， 若函数 y 等于 f x 减 m， 在 区间一分之一到正无穷上有两个零点，求 m 的 取值范围，那这个零点 y 等于 f x 减 m 的 零点， 可以转化为啊，可以转化为 f x 减 m 等于零的根啊。 g， 那 就啥呀？ m 等于 f x， 那 也就是说， y 等于 m 与 y 等于 f x 在 一分之一到正无穷上有几个焦点？有两个焦点，那很显然，大家都知道 y 等于 m 的 图像就是这个样子的， 一条垂直于 y 轴的直线，那现在重点就要去算 y 等于 f x 的 图像，所以由一只 由一只 f x 在 零到一上单调递减，在一到正无穷上单调递增。那所以 当 x 趋近于零的时候， f x， 你 看哈， x 被 non x 减， x 趋近零啊，这是负无穷，对不对？这再减个零，零乘以它零零减零，趋近啥呀？趋近于零， 然后 x 趋近于正无穷时， f x 趋近于正无穷，那这个时候我们就可以画图像了，则 y 等于 f x 的 图像大致为画一个图像， 这是零，这是 x 轴，然后在哪呢？一啊，零到一，单调递减，一到正无穷，单调递增，而且，而且零的时候取进零啊，单调递减，然后再来单调递增，这就是 y 等于 f x 图像， 那现在我们找的自变量多少呀？一分之一到正无穷，假如说一分之一在这个地方就是一分之一，一分之一到正无穷，那不就是这一段图像吗？ 然后现在要让 y 等于 m 和它有两个交点，所以说 y 等于 m 的 这条直线只能是这个样子的，要大于最小值，最小值就是把一带进去， f 一 等于负一，而又因为 f 一 等于负一， f 一 分之一等于一分之一，被 ln 一 分之一再减个一分之一，那就是一分之一。被 ln e 的 负一上方再减个一分之一，拿出来，就等于负的一分之一，再减个一分之一，所以等于负的一分之二。那因此这个答案，所以 m 的 取值范围就应该属于负一到负的一分之二。 nice。

大家好，这个视频给大家，接着讲押题卷的填空题。首先我们一起来读一下十一题的题目。 已知向量， a 向量等于二到三， b 向量等于三到二，则 a 向量减 b 向量的周长等多少？很显然，这里面知道了坐标，所以我们先运算出 a 向量减 b 向量的坐标， 两个向量相减，坐标就等于横减，横都重减重，二减三负一，三减二等于一， 那知道了坐标之后，所以 a 向量减 b 向量的周长就等于根号下横坐标的平方加上纵坐标的平方，因此展开化简，等于根号二。所以填空题具体答案等于根号二。 然后我们看到第十二题。第十二题考察的是等比数列，计算量稍微大一点点，已知 a n 为等比数列的 a n 的 前项和 q 为 a n 的 公比，且 q 大 于零，待会如果算出来有 q 小 于零，那就得舍去 s 三等于七， a 三等于，那根据 s 三，我们一定把它处理成 a 一 加 a， 二加 a 三等于七。 又因为 a 三等于一，所以我可以把 a 三带到上面这个式子里面去，就得到的是 a 一 加 a 二加一等于七，把一给它移过去，所以 a 一 加 a 二等于六，那因此我们得出的就是这么两一个结论， a 一 加 a 六， a 二等于六， a 三等于把这个式子全部都化成 a 一 跟 q 的 形式，所以就变成了 a 一 加 a 一， q 等于六， a 三就是 a 一 乘以 q 的 平方等于，这是一式，这是二式。两个式子消除， 那就变成了上边 a 一 提出来， a 一 被一加 q， 下边就变成了 a 一 被 q 的 平方等于六。比上一 a 一 a 一 抵掉，然后交叉相乘相等，就变成了六 q 方等于一加 q， 然后把一加 q 移到左边来，所以就变成了六 q 方减 q 减一等零因式分解，三 q 二 q 负一正一交叉相乘相加等于中间的减 q， 所以 最终就变成了三 q 加一乘以二， q 减一等于零。所以得到的答案第一个 q 等于负三分之一，舍去或者 q 等于二分之一，这个答案才是可取的答案， 所以第二个填空题最终得到的答案 q 等于二分之一。接下来看到填空题的最后一题，十三题， 这个考察的知识点就是圆当中的弦长问题，那我们一定要记得的就是弦长的计算公式，在圆当中，任何一个弦长，它的公式都可以等于 a， b 弦长等于二倍，根号下 r 方减地方。 原理是因为我找到圆心这里一连就是半径二，做一个垂线是 d， 那 这必然是弦长的一半，那根据勾股定律就可以得到这个结论，接下来只需要代入数据就可以了。 a、 b 弦长等于四倍，根号二，那所以就是四倍根号二等于二倍，根号下二方等于九，九减地方， 两个是指左右两边同时处个二，然，然后就变成了二倍根号二等于根号下九减地方，同时平个方就变成了八等于九减地方，因此得到的是地方等一地方等一 d 就 等于，而这个 d 代表的就是圆心到直线的距离。 圆心到直线的距离的公式给他代开 圆形的坐标是一到三直线方程为 k x 减 y 减二等于零，那所以这个距离 d 就 等于根号下 a 方加 b 方， k 方加负一的平方，分之一到三带进去，那就是 k 减三，再减二的绝对值等于一。 稍微的化解一下，那就变成了 k 减五的绝对值等于下边乘过去，那就是 k 方加一。再开放 又有绝对值，又有根号，所以我们把它化简的最好的办法就是平方，左边平方就变成了 k 方减十， k 加二十五等于右边平方， k 方加一， k 方， k 方抵掉，把减一一移过来，减一就是二十四，负十 k 移过去就是十 k， 所以 得到的就是十 k 等于二十四，那么 k 就 等于十分之二十四。 你写成小数也可以，当然最好写成分数，同时约分组个二十二，约分组个二等于五。所以填空题第三题的答案就为五分之十二。 nice！

好，同学们，我们接着来学习二零二六单招数学模拟考试题啊，在讲题之前，呃，陈老师跟大家说一下，这好多同学在 要资料，然后的话有一些这个呃，这个码都过期了，然后也进不了这个群了，就是大家可以先进粉丝群， 然后下周一的话，陈老师会把一些建好的群的二维码，然后发到我们的粉丝群里边，然后我们对应着进到各个省份的这个粉丝这个这个群里边，然后去领取试题就 ok 了啊。 来，首先我们来看第一题，那设集合 u 等于这个集合， a 是 这个集合， b 是 这个，让我们求什么？求这个，那我们知道先算括号里边的 c u a 代表 a 的 补集， a 的 补集就是什么？看看全集里边哪些是 a 没有的就是他的答案。那我们来看看啊，全集里边哪些是 a 没有的？ a 都有，对吧？ b 都有， c 没有， d 没有， 所以就是补集就是 c d， 然后再交谁啊？交上 b 取他们俩，取这个跟 b， 他 们俩之间都有的就是谁啊？ c d 呗， c d 选二， b 来，这个直接就是代数的啊， f 负二加 f 四，那我们先求 f 二， f 负二， f 负二它是属于这个小于等于零的，对吧？带进去也就是负二乘二是负四，然后后边 f 四它是正好是这个的，然后带进去，四四十六加一十五，然后负四加十五，不就是十一吗？ 负四负四十六加一十七啊，十七，不好意思说错了啊，十七加负四，不就是正十十多少十多少啊， 负四负四加七十三嘛，十三啊，所以选择 c 啊，选择 c， 然后我们来看，嗯，第三题啊，第三题，然后求我们这个什么单调 地点区间，那其实我们来看啊，开口是不是向上，因为 a 大 于零，这个题我们讲无数遍了啊，一元二次函数的，如果有同学还不会的话，在评论区打上一元二次函数，然后陈老师明天单独给你们出一期一元二次函数的完整的视频啊。 那我们来看啊，首先他是开口干什么？向上，因为 a 大 于零，开口向上啊，我们就随便画了啊，画的肯定不准确，因为我们我们没有求他对称轴还有顶点呢啊，假如他是这样的，那我们来看他地点齐全，肯定是从他的这个中点对称轴，这 递减从对称轴哪啊？左边呗，负无穷肯定是负无穷开始，对吧？负无穷到他的对称轴这对称轴。以后我们来看，负无穷到对称轴的是哪个？是 a 和 c 里边 对吧？ a 和 c 里边，那到底是二还是负二呢？公式，负二 a 分 之 b， 看它等于多少啊。负二 a 分 之 b 好， 负二 a 是 几啊？ a 是 x 前面的数， x 前面没有就是一呗，负二乘一分之 b， b 是 谁啊？ b 是 x 前面的数， x 前面是多少？负四好了，负四除以下班负二不就是正二吗？所以就是选 a 啊。第三题，选 a 来第四题， g 函数的是，那我们再给大家讲一下啊，首先排除谁啊？ b 在 sin cosine 还有谁啊？太阳里边只有 cosine 是 什么？是偶函数，其他的 cosine 都是谁啊？基函数，然后剩下的， 剩下的，老师昨天就给大家讲了啊，叫什么？我们需要让 x 等于一，还有 x 等于负一，带进去判 y 等于多少？如果 y 它们两个数相同啊， 它就是什么偶函数，如果不相同，那它就是什么奇函数。那我们来看啊， a 选项， a 选项 x 如果等于一， y 等于几啊？带进去二，然后 x 如果等于负一呢？同学们，负一是不是还是等于二？ 那相同，那他就是什么偶函数，对吧？是不是相同？然后 b， 我 们说过了啊。然后我们来看看 c， c， x 等于哎呀， x 等于等于一， 带进去， y 等于几啊？二减三负一，然后 x 如果等于负一呢？看 y 等于多少？负一负二减三，是不是负四了？那他两个 这叫什么？我们说的相同，看，同为偶，异为奇，指的是这两个数字必须相同，只不过是正负号的事。那 c 选项说明他是什么？非鸡非偶的啊，因为这两个数都不一样啊。 然后 d 选项， x 如果等于 y 就 等于一，然后 x 如果等于负一， y 是 不是等于负一？好了，他俩是不是互为相反，数异为奇，所以选择四 d 啊。同学们， 来第五题定义 e， 我 们知道上边的对数是要干什么？大于等于零， x 减减， x 平方减 x 减六，是要让它干什么？大于 大于零啊，不能等于零，大于零，对数，上边的真数是要大于零的，对吧？然后我们解这个是不是能求出来 x 小 于负二，或者是 x 大 于三？ 答案，选择 a 选项啊， a 选项来这个题啊，这个题我们可以给它变形，二分之一可以换成 sine， 三十度，然后乘以 cosine 十五度，加上二分之二，三是 cosine， 呃，三十度，对吧？然后乘以三十五度，三十五度，然后它就可以整理成三啊。诱导公式，三十度加上十五度 就等于三四十五度呗。三四十五度是不等于二分之根号二，所以选择四 d 来。第七题， 最小正周期 t 等于二派除以欧米伽，二派除以欧米伽，欧米伽我们看的是 x 前面的数， x 前面不是四吗？你说二派除以四，一约一约就是二分之派，所以选 b 来。第八题，下面命题正确的是来看啊， a 选项 a 大 于 b， c 大 于 d， 则 a c 大 于 b d。 像这种同学们，我们就可以举例子，比如说我们让 a 等于二， b 等于一， c 呢，等于负一， d 呢，等于负二，你带起来他就不成立，对吧？ b 选项的同学们， 在这种条件下啊，他说 a c 乘乘以大于 b， c， 那 a 大 于 b， 那 说明这个 c 是 什么？是大，就是正数，如果 c 呢？ c 小 于零呢？ 对吧？然后我们来再看，在 a 大 于 b， 则 a 方大于 b 方。举个例子，比如说 a 等于一， b 等于负二，你带进去负二，负二，你带进去，还成立吗？不成立，所以成立的是四 d 啊。来第九题，同学们，第九题我们看，让求 log 十八，对吧？ log 十八，我们是不是可以给它写成 log 十八，是不是可以写成二乘九，对吧？二乘九，那我们把它拆开，是不是可以写成 log 二加上 log 九，因为同底的相加等于上面相乘嘛， 对吧？那他就等于那个二，加上那个九，我们可以给他写成什么？那个三的平方， 三的平方，是不是我们可以把这个平方放到前边来？就二倍的那个三也是那个二，加上二倍的那个三，那个二是几啊？是 a 二倍的那个三，那个三是 b， 也是加上二 b 的 a 加上二 b， 所以 选 a 啊。 来第十题，知道 a 一， 知道 d， 然后前 n 项和 s n 等于二十七，其实就是什么前 n 项和公式吗？ s n 等于 n 倍的 a 一， 加上二分之 n， 乘以 n 减一括起来再乘以 d， 我 们把所有的数带进来就行了啊。 呃，算出来，然后的话是化简，你们自己去化简老师在这里就行了啊。呃，算出来，然后是 n 等于六啊，别跟你们说了， 不在这一点带数了，带数你要是再不会，那就没有救了啊。同学们，来等比数列，知道 a 二，知道 a 四，求公比。我们知道 a 二， 它乘以 q 的 两次方是等于谁啊？ a 四，然后 q 方就等于什么 a 四，比上谁啊？比上 a 二呗， 对吧？然后这样我们就能求出来这个公比来了，公比 q， 最后它是等于正负二分之一，所以选 a， 同学们学会了吧。

好，同学们，今天咱们来看几道单招历年考过的一些任意角的三角函数的真题啊！ 第一题，角 r 法中间上有一点一负一，问你塞尔法是多少？这题直接用三角函数定义就行啊，塞尔法等于什么呀？ y 比 r 是 吧？这个 y 是 谁啊？这是 x， 这是 y 啊，是吧？ r 等于什么呀？ r 等于刚好下的 x 方加外方， 对吧，所以直接代数就行了。外是一，比上 r 是 多少啊？根号下一的平方加一的平方是根号二是吧？分母有理化分子，分母同时乘以根号二，所以等于的是二分之根号二，所以答案选的是 c 选项。 第二题，问，口在 r 法是多少还是三角函数定义是吧？口在 r 法等于 x 比 r 啊， x 是 负三比上 r 根号下的它的平方加它的平方是吧？五 三四五，这是一组勾股数啊，把这个记清，所以答案选的是谁啊？二 b 选项是吧？ 第三题，问你口塞六分之十一派的值是多少？咱可以看一下啊，这个六分之十一派是不是非常接近这个二派啊，是吧，我让这个角加减整数个二派，他的值是不会发生改变的，是吧，所以他就等于什么呀？ cosine 六分之十一派减一个二派 就等于什么呀？ cosine 负的六分之派是吧？诱导公式， cosine 负而法就等于什么呀？ cosine 而法是吧，所以 cosine 负的六分之派就等于 cosine 六分之派。 cosine 六分之派，这个咱背过啊， cosine 三十度是多少啊？ 二分之根号三吧，所以答案选的是 a 选项。第四题， 他阿尔法乘以口塞阿尔法是大于零的。问你角阿尔法是第几相像角？好，这题咱就来分析一下啊，他俩相乘大于零说明什么呀？说明他俩要么就都是正的，要么就都是负的，是吧？俩负数相乘也是大于零的呀。 他俩要是都是正的话，你得考虑什么啊？贪着呢。阿尔法要是大于零的话，阿尔法是不是应该在一三象限里边，是吧？口在阿尔法大于零的话，那阿尔法在哪啊？是不是应该在一四象限里边啊？他俩都大于零的话，说明阿尔法在哪个象限？ 阿尔法在第一象限是吧？这是第一种情况啊，第二种情况他俩都得是负的了。 贪婪的阿尔法是负的，他应该在哪个向下？二四向下吧。口才，阿尔法要是负的呢？他应该在二三向下，是吧？还是说同时成立的话，应该在哪个向下，是不是第二向下了呀？所以这题答案是一或二向下角啊。 第五题，这题背过啊，探针呢？四十五度是二一，所以它是二，错了。第六题，口 c， c 它大于零， c 它应该是一四相线，是吧？一或四相线啊，所以这是错的。第七题， 探针呢？ c 它小于零，刚才说过了，它在哪个相线？是不是在 c， 它在哪个相线？是不是一二相线？一二相线的三值不是大于零的吗？是吧？ 他俩同时成立的话，那谁他应该在哪个生肖？谁他都在第二生肖吧。所以答案选的是 a 选项。好，咨询大招问题可以找我啊，不懂的可以问我。

哈喽，大家好，我是你们的杨杨老师，这两天老师直播的时候呢，就总有很多同学在问，说老师老师，今年单招数学题这么难的情况下，咱们的分数线会不会下降啊？今年单招的数学呢，同学们普遍反应都是比较难的，因为前两天我不是也是去考场陪考了吗？ 啊，考完语文出来之后，大家都笑呵的，考完数学之后，我一问啊，说今年数学题难呐，比二四年二五年都难，还有新题型，而且据主播了解到，像长春周边的一些考场吧，还有很多缺考的情况下，还有一些同学，咋的呢？他写一写哦，太难了，不答了，我就趴下睡觉了， 但是不排除有很多同学，他一直都在努力认真的写。那今年的分数线到底会不会下降呢？我们具体的可以等一等，四月十号出分之后， 我们再多关注一下吉林教育考试院啊，看一看一分一段表，那个时候就可以知道到底分数他有没有下调，但是我觉得咱们分数线可能会稍微的下降一点啊，具体的咱们还是等官方通知，祝大家全都金榜题门，前程似锦，一举夺魁啊！

大家好，这个视频给大家讲一下押题卷的解答题。首先看到解答题的第十四题，这道题考察的是频率分布直方图的知识点， 一起来读下题目。某市数学竞赛初赛结束后，为了了解竞赛成绩情况，从中抽取了一百人，得到他们的成绩，分成了五组，每一组的组距为十， 并绘制了如下图所示的频率分布图。第一，若只有前百分之三十五的学生能进入决赛，则入围分数应为多少？ 这个地方，前百分之三十五，那我们的分数排名是从高分到低分，所以应该是从右往左的百分之三十五，那就是零点三五， 那也就是从左往右的话，那应该就是零点六五。所以在这里，第百那个百分之三十五，其实也就是第六十五百分位数。那这道题的解析步骤就可以出来了解。第一问，有题可知 啊，有体可知，入围分数为第六十五百分位数，这是一个陷阱，同学们一定要注意。 那因为第一组的频率频率等于面积，所以第一组的频率是零点零幺五乘以十就是零点幺五，来，再加上第二组的频率零点三等于零点四五，很显然是小于零点六五的， 且接下来零点四五就是前两组加起来，再加下一组的零点四，那就等于零点八五，而且大于零点六五。所以 第六十五百分位数就在七十到八十这一组之间，那不妨设它就为七十加 x， 那也就是说在七十这一组，我们去给他借 x 这么长一截出来，那所以得到的就是前边的两组加起来已经是零点四五了，所以零点四五加下一组，这个地方 高度是零点零四，宽度是 x， 所以 就是零点零四。 x， 那 算出来他要等于零点六五，得 x 解出来，这个零点四五甩过去等于零二，所以算出来 x 等于五，则入围分数就出来了，入围分数就为七十加五，那不就是七十五吗？这是第一个问题。接下来我们看到第二个问题。 第二个问题说采用随机抽样的方法，从成绩为八十到一百的学生当中，随机抽取容量为六的样本，再从该样本中随机抽取两名学生进行问卷调查，设 x 为其中达到九十分以上的学生人数，求 x 的 分布列及方差。 那很显然我们知道啊，八十到一百是两组，那这两组的频率我们也是非常容易能够算出来的。第二问，因为 八十到九十，他的频率就为零点零一乘以十就是零点一，九十到一百的 频率就为零点零五，所以频率之比就为二比一，则平数 之比，那也就为二比一。现在我们需要在八十到九十和九十到一百里面去抽六人， 所以八十到九十这一组应该抽六乘以三分之二等于四人，而九十到一百，那就应该抽六乘以三分之一等于二人。 现在我们需要再在这六人当中随机抽取两人，记九十分以上的人数，那很显然这两人当中可以 一个都不在，九十分到一百分可以只有一个，在九十到一百分也可以有两个。因此，所以这个 x 就 可以取零一二，则 p x 等于零的时候，这个概率就是 c 六二 分之 x 等于零，代表的是九十到一百组里面选零人，那就是 c 四二乘以 c 二零，然后化简约分 c 四二等于二乘一分之四乘三。 c 二一等于一。 c 六二，二乘一分之六乘五，化简约分三。因此这张等于三乘五，约分二，二乘三约个三，所以它就等于五分之二， 那这是 x 等于零的时候概率。当 x 等于一的时候，这个概率就等于 c 六二分之 c 四一乘以 c 二一，那就等于二乘一分之六乘五。 c 四一等于四。 c 二一等于二，约分这三，所以等于三五十五，十五分之八。 p x 等于二的时候，那就是 c 六二分之 c 四零啊。乘以 c 二二，算出来就等于十五分之 c 四零， 算出来就是十五分之一，那这就是这三个变量所对应的概率。那所以我们就可以写出分布列，就为分布列，写两行，第一行写变量 x， 第二行写 p 零一 二。当 x 等于零的时候，概率五分之二。当 x 等于一的时候，概率十五分之八。当 x 等于二的时候，概率十五分之一。则我们要算方差，就得先算七万 期望 e x， 那 不就等于用每一个变量去乘以相应的概率，再相加零乘以五分之二，加一乘以十五分之八，加二乘以十五分之一，运算出来就等于十五分之十，约一个五二三，所以最终答案等于三分之二。 而这道题要算的是方差，所以方差 d x 等于每一个变量。减期望的平方乘以相应的概率， 一，减期望的平方乘以相应的概率加二减期望的平方乘以相应的概率，这个地方运算出来，零减三分之二等于 负的三分之二的平方。九分之四乘以五分之二加一减三分之二，那就是三分之一，就是九分之一乘以十五分之八加二，三分之六减二三分之四，九分之十六乘以十五分之一， 那这里都是九乘以十五，因此我给它乘个三变成十五乘个三，那就变成六了，所以等于九乘以十五分之四六，二十四加八，再加十六，那二十四加十六等于四十八，除以九乘十五约分，这约个三，这就三十六。三乘十五等于四十五， 所以最终答案就等于四十五分之十六，这里就是方差最终的结果等于四十五分之十六。 nice。

好，同学们，我们接着来学习二零二六单招数学模拟考试题。我们来看第二十九题，袋子当中有七个质地大小相同的球，然后是三个红的，四个白的，然后从袋子当中 啊不放回的随机摸两个球，摸到两个都是白球的概率是多少？那我们首先来第一次，我们第一次来看一下啊，同学们，我们第一次拿到白球的概率是多少啊？总的是七个球，然后拿到白球的概率是七分之四， 对吧？然后我们不放回，拿出来一个球之后，然后我们拿第二次，还是不还有六个球，总的因为拿走了一个吗？六分之六分之几啊。同学们，拿走了一个白球的是不是还有一个白球？不是还剩三个白球，所以就乘以六分之三呗，这等于多少啊？这是 除以二，这是二三三三，这不一吗？所以是七分之二吗？所以选四。 d 三十题，第二项线的扣三派加二法等于五分之三，让我们求什么？三派减二法，那我们知道扣三派加二法，它是等于负的扣三二法，所以负的扣三二法等于五分之三，那扣三二法不就等于 负的五分之三了吗？对吧？然后三派减二法呢？三派减二法是塞引二法，因为是它是第二项线的，那我们知道扣三二法求三二法， 因为散养阿尔法的平方加上扣散养阿尔法的平方等于一。现在我们知道扣散养阿尔法，求散养阿尔法不就求出来了吗？答案是五分之四啊。选 c 来三二一题。 呃，这个题是老师今天要结合前天这个画画长方体，正方体的 要去，要去那个什么的，哎呀，这边是实的，里边是虚的，我不换了不换了不换了。同学们，这个题我在这不讲了，因为老师今天要讲的这道题，还有我们前两天那个正方题，然后让我们求，比如把那个线换来，求某一个角度的， 然后那道题我们是综合到一块去讲的啊，因为老师要讲几道啊，这样去画图的，因为有的同学不会画这个图，画不出来，你要连图画不出来，那你更解不出来了。对啊，来三十二题， 它是偶函数，然后呢？零到正无穷上是增。问我们什么 f 负七， f 四和 f 负二，因为是偶函数啊。同学，偶函数我们知道， f 负 x， 它就等于谁啊？ f x， 所以 f 负七它就等于多少啊？ f 七 对吧？ f 负二呢，它就等于 f 二，因为是偶函数啊，另外的话，零到正无穷是增，所以是二最小，然后小于四，然后小于七，对吧？所以是七最大，然后是四，然后是二，我们这个七最大，然后是四， 然后是负二，所以选什么？选 a 啊，下边既是奇函数又是增函数的四 d 啊，这不对，对吧？然后 b 呢，它在定义以内是不单调的啊， a 呢，它是什么？减函数，因为 k 小 于零嘛。 三十四题啊，我们来看定义，那就满足两个条件，根号下要大于等于零，但是它是分母的位置，所以三减去 x 要干什么？大于零，后边呢？大于等于零， x 减一大于等于零，然后取它们干什么？共有的是一到三啊。选 a。 三十五题， 三十五题，同学们，我们来看啊， f 四等于二，那我们就让什么带进去呗， log log a 四等于二，我们是不是能求出来？也就是 a 方等于几啊？等于四， a 不 就等于二吗？那我们这 a 等于二了，我们就代进去 log 二 x 等于多少，然后八嘛， 对吧？八，所以就是 log 以二为底，八等于多少？那八不是能写成 log 以二为底二的三次方吗？然后这个三我们能提到前边 log 二，二是一，所以就是三乘一等于三吗？所以答案选 c 啊。 来三十六题，某中等职业学校机电专业有一百名男生测他们的身高，并绘出如图的这个频率图啊，然后则身高在一百七到一百八的人数多少？一百七啊，这到一百八，问我们这的人数是多少？ 根据这个频率啊分布图我们来看啊，一百七的时候他是多少啊？零点零七，对吧？然后一百八的时候呢？是这零点零四啊，零点零四括起来，对吧？ 然后呢，他是多少啊？然后我们给他乘以五呗，乘以五呗， 然后啊，我们看啊，乘以五他就等于零点五五，对吧？零点五五，然后是一百名学生吧，所以我们用一百乘以零点五五，最后得出的结果不是五十五个人吗？所以选择二 b 啊。 来第三十七题，最高点外，函数外等于它图像在一个周期的最高点，左边是这个，最低点是这个则函数的什么解析式啊？这个就当成一个大题去做了啊。首先我们知道， 嗯，最高点和最低点，然后我们看它的什么半周期， 半周期，半周期就等于二分之 t 嘛，啊，二分之 t 它就等于三分之七派，减去什么三分之派 等于二派，对吧？然后我们就能推出来 t 等于多少啊？四派，那 t 等于四派，我们的 omega 是 不是就能反推出来？二派，除以 t 它就等于多少？二分之一？然后又说了 a 点 啊，我们 a 等于四，带进去，带入谁啊？带入最高点四就等于 四倍的赛耶。二分之一乘以什么三分之派，再加上范往下推化简就成了赛六分之派，加上范拖起来干什么等于一， 所以啊， five 它就干什么。哎，这小于二分之派，然后 five 它就要等于多少啊？三分之派，所以解为是 y 等于四倍的塞眼，二分之一倍的 x 加上三分之派啊。所以答案选择四 d， 同学们学会了吗？

搞一件事我也不说啥了，造人余文卷子发起来， 什么拱日心日心克己发禅反省，弥足精神啊，中华弥足精神如车行啊，背两片，嘴一片 祖国的五一科技发财，世代双星。第二篇客人称赞青春和青春之告呀，再加五千的最后两头塔梯英文写作文， 他骂特我吧，作文开头写到英文写促上我，我说怎么塔梯卡有三条横杠那一副牌呀， 还有三句三横吧， 我身后怎么两篇作文和二个一我都写不毛的，除非能写帽子 一切三，一切三，而我就写一切三分啊，得亏呀，我写卷的快，剩最后一个小时四十分钟无法写， 然后握住监控镜下第一派将在座旁边昂左膀右臂肆意出响两句话，这是 go go 吧，不是取向力小 go 三力，快点做决定。然后你说老师， 我有一个事情呢，需要你帮忙，然后你跟他休息，坐第二坐，然后老师就去唱喷火 音乐。在学校都怎么解决这个事情呢？我说一般都是找借口老师，然后老师就明白了，出去找， 当时就想一共剩一个小时四十分钟，咋地我都能卸碗，我给他一个小时我也能卸碗，哎，老怪了。哈尔散床就出来了，然后就洗吧，然后健康。老师看我这么多作文， 你跟我说你轻点 low 啊，就切掉完了，写太多的，然后就结尾就看我一遍 说让我看日神你多好，写多了就不算份了。我说好的老师一天就结束了， 然后中午我怕没给我手机带回来，我走回家我才有手机， 拿手机我就打开番茄，然后就刷断机。最气爆，吴医生真死了。哎呦我气了。就爱吧，总得想住我。爱死了， 昨天刚刷完什么半路什么玩意，今天就刷了他两个迷过的就。哎呀，爱死了爱死了， 各家都不刷，就刷一两级，没个这两不几级，就等着考完试回家刷，刷到现在刚刷完 好输血回归正题。考发卷的时候第一篇哎，不错，第二篇什么鬼呀， 我做从二零一九年的卷到写二零二五年的卷。我从来没有做过这么难的卷。 咋的啊，你们高考生自己都外报腾炸，我跟我们这群志高生成。什么成高，我们就瞅着家门的经验卷简单就学第二遍永念。 我们啥也不会呀，这下好了，一刀选择四份装成一盘不错了 现在啊，哼，忧郁暂时还不会背这个老没课。忧郁由你决博吧， 千万不要背哦。我想他消愁，但是不好，俺资助一下这颗屎。

单招数学必考题型之定域来求，定域一共五点，第一点，根号下大于等于零。第二个根号下做分母只能大于零。第三个分母不等于零。第四个，零的零次密无意义。第五个，真数大于零 来第一题，根号下大于等于零，二 x 减一大于等于零，二 x 大 于等于一， x 大 于等于二分之一啊选第四个， 第二题，分母 x 减五， x 减五不等于零， x 不 等于五选 c。 第三题，真数大于零， x 加一大于零， x 大 于负一选 b。 第四题，根号下 做分母 x 减一大于零， x 大 于一，三减 x 三零的零次幂无意义。三减 x 不 等于零， x 不 等于三啊大于一且不等于三选 c。 第五题，根号下大于等于零，二 x 减一大于等于零， x 大 于等于二分之一分母不等于零， x 减二不等于零， x 不 等于二大于等于二分之一且 x 不 等于二选 c。 关注我，每天学习更多秒杀技巧！

好朋友们，今天咱们来看几道单张历年考过的一些多面体和旋转体的历年真体啊。 第一题，已知正方体的棱长是二正方体的全面积，这个比较简单是吧？正方体是六个面一个面的面积，二乘二，再乘以六就完了。四六二四答一下四 b 就 行啊。第二题，长方体的棱长扩大到原来的两倍，他说体积扩大到原来的八倍，对吧？长方体，你求体积的话，是长成块乘高是吧？ 长宽高都扩大到原来的两倍了，是吧？那体积是不是二乘二乘二倍啊？就八倍呗，所以这对的啊。第三题， 看一下题啊，他说圆柱体的底面直径和高是二，那你体积是多少？只要是柱体，体积都是什么呀？底面积乘高是吧？ 咱简单画一下这个圆柱啊，这有一个圆柱是吧，他说什么呀？底面直径是二，所以半径是一，那底面圆的面积就是 pi r 方是吧？等于 pi 乘一的平方呗，半径不是一吗？是吧？ 这是底面积，有了再乘以谁啊？再乘以 h 勾呗，勾是多少啊？二，所以咱们直接选二 pi 就 完了，是吧。第四题啊，正方体绕一条边旋转一周，形成了几何体，选 a 是 吧？圆柱啊，只要是矩形，绕着一条直角边旋转一周，所形成的几何体啊，都是圆柱。第五题， 棱长是一的正方体，木块削成一个体积最大的球，问你球的体积是多少？像这题你得好好想想啊，咱把正方体削成一个球了，是吧？这个球是正方体的什么球啊？这叫内接球 是吧？你这个球他相当于怎么着？他是不是贴着这个谁呢呀？贴着这个正方体那个正方形的面呢，是吧？内切球啊，内切球，然后 再算他的体积呗，是吧，你得知道什么等量关系啊？这个球在正方体里边是吧？ 他在正方体里边的话，球的直径就是 r 呗，等于正方体的棱长 a 呗，就是一是吧？那 r 等于什么呀？ 是不是等于二分之一啊？球的半径有了体积三分之四 pi r 的 三次方，是吧？把 r 是 二分之一带进来，那就是三分之四 pi 乘以多少啊？八分之一呗，等于六分之 pi 啊，是吧？四和八约一下，答案一下，四 d 就 行啊。 第六题，一个球的体积扩大到原来的八倍，他说表面积扩大到原来的几倍？体积公式刚才写了三分之四 pi r 的 三次方是吧？ 体积扩大到八八倍，那半径呢，是不是扩大到原来的两倍啊，是吧？你表面积里边是不是四倍 r 方啊，是吧？ r 的 平方，所以你扩大的是二的平方倍是四倍啊。选 c 就 行啊。第七题，这题稍微难一点啊，看下第七题， 在这个四边形 a、 b、 c、 d， 这有图啊。 a、 b、 c、 d， 你 知道 ab 和 ad 和 cd 相等长度都是一，还知道 b、 d 的 长度是刚好二，那这是垂直的是吧？还知道 b、 d 和 cd， 这是垂直的，他说怎么样沿着对角线 b、 d 把它折起来，折起来之后呢，得到 a 撇 b、 c、 d 了， 这个面 a 撇 b、 d 和这个面 b、 c、 d 这两面是垂直的，是吧？它四面体 a、 b、 c、 d 的 顶点。这四个顶点啊，都在同一个球面上。问你球的表面是多少，表面积是谁啊？四排 r 方吧，是吧，也说你求表面积呢，你只需要把半径 r 求出来就行了，是吧？ 这题其实难，难在证明，就是如果说你空间想象能力好的话啊，这是直角三角形，这也是直角三角形，是吧？那， 那在这个直角三角形这个面里边啊，这些圆面里边啊，他那个什么呀，球心都在哪条线上？他球心都在这样一条线上，是吧？在这个面上的话，就 bcd 这个面啊，这个圆面上，他的球心都都在哪？是不是都在竖着这条线上，是吧？他在这相交了，所以这个焦点就是谁啊？就是那个球心， 也就说球心是谁啊？ b c 的 中点，如果想不明白的话，你就得证明了，证明起来就比较麻烦了啊，看一下怎么证明啊？ 刚才写了一一根号二，一，是吧？下边是直角三角形，所以这个斜边上根号三，是吧？在这个斜边里边，在这个直角三角形里边啊，咱知道什么呀？斜边的中线等于斜边的一半，也就是说 o d， o b， o c， 它三长度是相等的，是吧？只要你能说明 o a 撇跟它三 长度都相等。好，那这个点是不是球心了？因为球面上任何一个点到球心的距离都是球的半径啊，都是相等的呀，是吧？所以接下来你要证明什么呀？证明 o a 撇跟 o b， o d， o c 都是相等的，是吧？怎么证明啊？你也可以证明 b a 撇 c， 它是直角三角形，去， 它是直角三角形了，还能再用什么呀？斜边的中线等于斜边的一半去，是吧？那它又等于它，等于它，等于它呗。所以接下来的重点证明 b a 撇 c， 这是直角三角形，怎么去证明？ 咱看一下知道哪些条件了啊？我是不是知道 b、 a 和 a、 d 是 垂直的了，是吧？那你 b、 a 撇和 a、 d 撇 啊， a 撇 d 啊， a 撇 d 是 不是也是垂直的？ b、 a 撇和 a 撇 d， 它是不是也是垂直的呀？我还知道什么呀？我还知道谁啊？这个 b、 d 和 c、 d 是 不是垂直的是吧？这两面有垂直， 所以 dc 是 不是相当于垂直于什么呀？这两面的交线了，那 dc 就 垂直这个面， a 撇 b d 了，是吧？他垂直这个面， a 撇 b、 d 的 话，那 dc 就 垂直于 a 撇 b 了吧。你要说 b、 a 撇还垂直于谁啊？还垂直于 dc 啊， 是吧？好，现在我知道 b、 a 撇垂直于这两条相交直线了，是吧？那 b、 a 撇就垂直于什么呀？垂直于这两条线所在的平面，哪个面啊？面 a 撇 d c 了是吧？ b、 a 撇垂直于这个平面了，那 b、 a 撇就会垂直于面里边任何一条直线。因为 a 撇 c 在 这个平面， a 撇 d、 c 里边啊，所以 b、 a 撇就垂直于直线，谁啊？ a 撇 c 了，所以这是这样算行， 那斜边的中线又等于斜边的一半了，是吧？所以证明出来这个点就是 bc 的 中点，是不是恰好是球心啊？球心有了那半径就能求了吧？半径，刚才说了斜边中线等于斜边一半，是吧？我知道这个斜边 bc 的 长度是根号三，那一半呢？不就二分之根号三吗？所以咱能知道 r r 是 多少？二分之根号三 是吧？往里边带数就行啊。四派乘以二分之二三平方是吧？它平方是多少啊？四分之三啊， 等于啊，三派，所以大家选 a 就 完了。好，自己整理一下这题啊，看这题能听明白吗？第八题，几何体的三十图，图所示在这呢，是吧？这是一个什么呀？这一个圆柱是吧？ 问你，它的表面积呢？表面积是什么呀？两个底面积再加上一个侧面积呗，是吧？底面积就是底面圆的面积呗，是吧？直径是几啊？圆的直径是二，那半径就是一是吧？派 r 方就等于派了呗。 r 是 一啊， 这是一个圆的面积，俩圆呢，就是二派了是吧？再加上侧面积。侧面积就看它的侧面展开图啊。它的侧面展开图是一个矩形是吧？矩形的长是谁啊？底面圆的周长二派 r 二十一是吧？矩形的宽就是谁啊？就是圆柱的高了呗，三是吧，这侧面积是多少？六排长成宽吗？矩形的面积是吧？这不是六排吗？再加上两个圆的面积加上二派是吧？这是二派，这是二派。 c， 答案是多少啊？ 哎，不是这个二派是谁？他俩一共是二派是吧？他的面积上面是派，下面也是派啊，再再加上一个二派，答案是 b。 第九题，简单啊，三十图都是直角三角形，所以它应该是一个三棱锥啊，小 a 就 行。 第十题，已知圆锥的底面半径和高了，让你求圆锥的体积是吧，还是你就自己动手简单画一个圆锥就行了啊，然后看什么呀？半径这段长度是一是吧？高是二，这段长度是二呗，是吧？体积？体积怎么求啊？锥体的体积啊，不管是圆锥还是棱锥，都是三分之一的 底面积乘以高是吧？三分之一乘以底面积就是底面圆的面积呗。 pi r 方就是 pi 是 吧？ r 不是 一吗？再乘以高是几啊？二就行了。这个答案是三分之二， pi 是 对的吧，是没问题是吧，这是对的。好，再看一下最后一道题， 体积是八的正方体顶点都在同一球面上。问你球的表面积是多少？表面积四排二方。先写啊，八个顶点都顶在球面上了，说明球是什么呀？球是正方体的外接球，外接球满足什么条件？ 嗯，外接球满足的条件是球的直径二，是吧，等于正方体的体对角线根号三 a， a 代表的是棱长啊，体积是八的正方体好棱长。 a 是 几啊？二吧是吧？ a 的 三次方等于八吗？是吧？ a 是 二， a 是 二了二， r 等于根号三乘以二呀，二是不是就消了 c， r 等于根号三是吧？ r 是 根号三，有了往这一带， 表面就出来了四派乘以三，等一下十二派就完了。所以答案选的是 a 选项好，看一下多面体和旋转体这几道题大伙都听明白了吧，可以关注一下我啊，然后给你们发一下这个真题卷，还有押题卷啊。

好，同学们，我们接着来学习二零二六单招数学模拟考试题，我们来看第十二题啊，下列函数当中，在零到正无穷内是增函数的式，那我们首先来看 a 负 x 负 x， 它是一次函数对吧？没有后边的啊，但是它是前面值，是负一， 负一的话，负的就是减的，这个也一样。一次函数看 k 的 值， k 的 值也是负的，也是减的。 c 呢？ 二次函数对吧？开口向下的，开口向下对称轴负的二， a 分 之 b， 我 们求出来对称轴是零，对吧？也就这是零，所以他在零到这无穷是干嘛？是减的，所以答案应该是选择四 d 啊。来十三题求大小关系。 我们首先就来看啊，同学们，首先看中间有特殊的啊，首先 b 选项 log 二分之一的一次方，任何数的一次方对数还是数里边啊？任何数的一次方，他都是等于多少啊？等于零，所以中间的数零，那我们就让他们都跟零或者是一作比较。 那首先来 c 选项二的三分之一次方，他肯定是一个大于一的数啊，大于一点多少肯定是大于一的啊，所以说 c 是 大于一的，那我们就来看 a 跟零做比较，那 log 以三为底，二分之一跟 log 以三为底一做比较， 对吧？那我们知道啊，这他跟零做比较，他首先三的一次方，他是零，对吧？那好了，我们就来看比较这两个数，那同底的啊，同底的看这个数是大于一还是小于，如果说是大于一，这个值，比如说是 a 啊， a 如果是大于一的，上面的数越大， 上面的这个数越大，反而干什么，反而它就越大。如果 a 的 值是大于零，小于的上边数越大，反而越小。现在我们来看三是不是大于一，所以上面的数越大，它就越大，所以是这样，所以 log 三的二分之一是干什么？小于零的，那这个时候我们知道了， a 最小，因为 a 小 于零， 对吧？ a 最小， c 最大， b 在 中间，所以是 c 大 于 b 大 于 a， 对 吧？ c 大 于 b 大 于 a， 所以 答案选择 a 选项啊。然后我们来看第十四题，同学们 看一下第十四题， log 以 a 为底，然后 x 加二，再加一 的图像必定经过的点是什么？看看必须经过的点。 我们来看啊。首先 log 以 a 为底，上面是 x 加二加一的图像必经过的点啊。有的同学说，那我就代数呗，怎么代呀？同学们，怎么代数啊？我们来看啊，我们假如说 log 以 a 为底， 以 a 为解，对吧？我们让上边的干什么？上边等于零，也是让它整体等于一， 等一的时候，是不是等于零啊，对吧？所以那这个时候我们就令谁啊，令 x 加二干什么？等于一，那 x 不 就等于负一吗？那这个时候 y 不 就等于零，加一 不就等于一吗？所以他必过的这个点就是多少啊，负一，一，所以选什么？选四 d 啊，哎，十五级 f 四分之一，四分之一是不是大于零呢？先在这，也就是 log 以二为底，四分之一， 对吧，然后他就等于多少啊？负二。有的同学负二怎么来的？落个仁为底，呃，四分之一，我们可以给他写成二的负二次方嘛，对吧？然后负二提到前边嘛， 然后是负二，负二，然后再再进来，也就是三的负二次方，三的负二次方三的负二次方不就是多少啊，九分之一嘛。所以选择二 b 啊。十六题， 三八分之派乘以扣三八分之派。考我们什么二倍角公式吗？二倍角公式是什么？三阴二倍的二倍等于二倍的三阴二法乘以扣三阴二法，对吧？所以三八分之派乘以 扣三八分之派，我们可以给它写成二分之一倍的三四分之派，它就等于二分之一乘以二分之根号二等于四分之根号二啊。 选二 b 十七题，要向量符号正确的。三负一，它就等于负的塞一，然后呢？ cosine 二百五十度可以写成 cosine 一 百八十度减 加上多少啊？七十度它就等于负的。 cosine 七十度也是干什么小于零的啊，人家问你是正的啊。 c 选项，太阳负一百六十五，他就等于啊，太负的太阳一百六十五，那负的太阳一百六十五其实就是多少啊？太阳十五度，太阳十五度是大于零的啊，是正的，所以选 c。 七分之十一派，我们可以写成太阳干什么？二派减去七分之三派，对不对？然后二派减去七分之三派，他就可以写成负的太阳七分之三派，所以是小于零的啊。来十八题， 我们来看向右左加右减，对吧？左加右减指的是谁啊？指的是 x 啊，指的是 x， 所以 它就是四倍的赛眼中括号，然后把二提出来，然后小块 x 干什么？减去十六分之拍， 化简四倍的赛眼二 x 减去八分之拍，对吧？成开就是了啊。答案选择二 b， 十九节一致，这个 这个角是第二象限的，然后知道 cosine 让我们求什么？求太阳，那我们知道 cosine 是 不是先能求出太阳来啊？太阳啊，太阳谁他太阳谁他首先是大于，因为是在第二象限吗？所以啊，太阳谁他 勾股定律五十二十三不是勾股定律吗？所以他肯定是等于十三分之五呗。然后我们知道太阳二法等于三除以口三元，对吧？所以再去化简就 ok 了啊。答案是负的十二分之五选四 d 啊。 来第二十题，告诉我们在外轴上的结句是多少？在外轴上面结句就令谁等于零啊，令 x 等于零，带进去你就行了啊。 y 等于二选二 b 二一题啊，焦点到下边这几个都比较简单了，我们知道 a 方 a 方等于等于多少啊？等于二十五啊，椭圆谁大谁是 a 方啊？ b 方 等于九，然后 c 方等于 a 方，减去 b 方，所以就等于十六 c 就 等于四交点是什么？因为在外轴上吧，所以是零四和零负四选四 d 双曲线 渐近线啊，双曲线是这个，然后渐近线方程是什么？那我们来看，我们知道双曲线 渐近像方程，我们就让它干什么？等于零九分之 x 平方减去十六分之外方等于零，然后渐近方程我们化成 y 等的形式， y 等于什么？正负三分之四 x 啊， y 等于三分之四正负 x， 所以 是 c 来二十三题， 嗯，八分之一外方，我们可以给它画成外方等的形式等于八 x， 所以 我们是不是就能求出？因为外方等于二 p， x 我 们就能求出来。 p 等于 四，所以转向方程应该是等于外 x 等于负的二分之 p， 也就是 x 等于负二呗。 x 等于负二，所以选 a 同学们学会了吗？

好，同学们，今天我们接着来学习二零二六单招数学模拟考试题，我们来看第一题，下列关系正确的是，那其实还是考我们元素跟集合啊，我们要记准，元素跟集合 之间用的是这个，然后呢，集合跟集合之间用的是这个啊，然后挂括号的，挂大括号的，他都叫集合啊， 集合没有的，纯数字的就是什么元素来，我们来看他元素应该是属于他，对吧？他打了个不属于，所以 a 错 b 呢？ 他说零属于空集啊，空集是不包含任何元素的啊，所以这个不对。 c 呢？ c 是 正确的，对吧？ c 是 属于的， d 呢？ d 应该用这个，属于，对吧？ 然后第二题 a 的 范围， b 的 范围，求 a 并 b， a 并 b 就是 取所有呗。大从大于最小的这边开始，大于负一，然后小于几啊，大于负一小于五呗，直接选 a 这个题啊，大家会把成开就 ok 了吧，成开化简就行了啊，比如一乘一乘四，呃，一， 一加上，我们先给他干什么去？括号一加上二，二 i， 然后干什么减去四，然后加上五 i， 对 吧？然后一化减， 负三干什么？加上七 i 呗，负三加上七 i 选什么？选四 d， 哎，第四题看，我们知道三 x 词方等于五，三 y 词方等于七，让我们求什么？三的二 x 加 y， 那 我们来看，先把后边的三的二 x 加 y， 同学们，我们是不是可以可以给他分开，改成三的二 x 乘以什么？三的 y， 对 吧？然后我们再给它三的二 x， 我 们可以让 x 写到里边来，把二写到上面去，对吧？ 然后再乘以谁啊？三 y 它等于几啊？五的平方乘以七呗， 二十五乘七等于一百七十五啊，所以选 a 来。第五题，如果 a 大 于 b， 则下列横等式， a 方大于 b 方，这个不对啊，不对，因为如果 a 是 负的呢？负一负二呢，对吧？这个也不让，因为 c 的 值是不确定的。然后 c 选项呢， 它是 a 减 b， a 减 b， log a 减 b 大 于零，那我们知道啊， log a 减 b， 它是属于哪啊？零到一的，对吧？那 log 如果说是 log a 减 b 属于零到一这个范围，那 log a 减 b， 它就会变成什么小于零，所以答案应该是四 d 啊。 第六题，现在定义 e， x 属于二，其 x 不 能等于零的。是，我们首先来看 a， a 选项 x 是 不是全体实数二都行， b 选项呢？ b 选项 x 的 二分之一，它可以写成根号 x， 那 根号 x 是 不是要大于等于零啊？所以 b 也不对， c 呢？ x 的 负二，我们可以给它写成 x 平方分之一，对吧？然后定义 x 是 属于二，并且它在分母的位置， x 是 不能等于零的啊。然后 d 呢？ d 负二分之一，也就是根号 x 分 之一，那下边是干什么 要大于零，对吧？也就是它的是零到正无穷啊，就选 c。 第七题， 我们来看啊， f x 等于二的 x 角 a 值的单调增区间，那我们来看它的定义域啊， 那二 x 绝对值我们可以啊，一个是二的 x， 它要大于等于零，还有是二的负 x， 它要干什么？小于零。所以当 x 大 于等于零的时候， 二 x 呢？它是什么增 x 小 于零的时候呢？二的负 x 是 什么？是递减的，所以它的单调增区间应该是什么？零到正无穷，选 c。 第八题啊， 价值 a 万，然后呢？由于磨损每年比去年干什么降低百分之 b， 然后 n 年后，那我们就用什么总的价值的 a 乘以什么一减去磨损的 b 的 百分之 b 括起来的 n 年后吗？ n 次方啊，所以答案选择四 b 来。第四题，这不是第四题，第九题，它加上它等于三。问， m 乘 n， 那 它同底的相加不就是上边的干什么相乘吗？ m 点 n 吗？等于三，那 m 点 n 我 们是不是给它变成什么？ 从对数变成指数函数啊？指数函数 m n， 它就等于什么四的三次方呗，等于六十四啊，六十四 怎么变的？ log a 的 b 次方等于 c， 我 们就可以给它写成 a 的 c 次方等于 b 啊。嗯，所以第九题答案选四 d 啊，选四 d 来四三次方，六十四，所以选 c 啊，怎么选四 d 了，看错了，看，看错位了啊，所以选 c 来这个 log 八的九次方啊，除以 log 二的三次方，那我们来看啊，上面这个 log 八的九次方 写到下边吧，那个八的九次方，我们可以给他化简成那个八二的二的三次方，对吧？九呢，可以写成三的平方， 然后他就可以化简成三分之二的那个以二为底三次方， 这是他，然后下边 log 一 二为底，然后他呢？再除以谁啊？ log 一 二为底三次方，这，这一边怎么剩了三分之二，所以选 a。 有 的同学，这，这怎么变的？ 我们来看啊，像这种下边是这种次方的，上面也是次方的，我们就把下边的这个数写到前边三，上面的数写到上边分之二，然后剩下的圆超过来就行了啊。 十一题， y 等于二的 x 方的大致图像我们知道，首先它是指数函数，指数函数这个 a 的 值，这不是 a 吗？ y 等于 a 的 x 四方吗？ a 如果是大于一的，那它就是增， 如果 a 大 于零小于一，那它就是干什么减，所以它是增，增的话我们来看 哪个是增啊？ b 是 减， c 是 增， d 是 减，只有 a， c 是 增，对吧？然后我们看让 x 等于零，带个数 x 等于零，任何数的平方不都是一吗？ 所以当 x 等于零的时候， y 等于一，所以过的是零。一这个点啊，所以应该是选择 a， 同学们学会了吗？