张家口一模数学立体几何

好，同学们，好，呃，今天呢，我们主要讲解的是二零二六年的高三一模考试中的呃，填空题和解答题，那么填空题和解答题它的核心考点主要包含了函数、概率统计、排列组合、数列 例例、几何、导数与解析几何。那今天呢，我们就详细的来给大家讲解。那首先呢，我们来看一下这个啊，这是我们今天所要讲的题目啊，从以下六个试题啊，给大家讲解。 好，首先我们看从第十二题开始啊，第十二题呢，它其实考察的，我们先看考察的知识点啊，就是第一个，它给到我们这样的一个函数，那它实际上是一个指数型的函数， 横过定点 a， 然后呢，他又呃知道函数 f x 在 s 等于处的切线啊，又考察了函数的切线啊，所以第一个是对数型函数的一个定点问题啊，第二个是切线问题啊，那我们一， 我们逐个去突破啊。首先哦，我们来思考一下，就是对于这个对数型函数呀，他过的定点，我们是怎么去找定点呢？比如说我们是对数函数啊，对数函数移位 d x， 那 他过定点的时候，我们是让真数为一啊，函数值为零， 所以呢，对于本啊，本题中的一个对数型函数，我们就让它的真数为啊一啊，所以 x 此时就是二，那对应的外值呢，就是负二 啊，所以我们的 a 点啊，找出来就是一个二和负二。好，这是第一个啊，题干信息的一个筛选啊，也是非常基础的。第二个啊，函数 这个在 s 等于一处的切线。好，那这里面呢，我们的核心考点就是切切点切线问题是吧，我们说函数 f x 啊，在某点处的切线，在 x 等于 x 零处的切线方程啊，应该是怎么来求， 应该怎么求？那么我们这样来处理我们这个这个点呢，它就是切点，所以 x 零和这个 f x 零是吧？ 好，这是切点，那么切点处的啊，这个导函数值呢，就是切线的斜率，那么最后的切线方程我们写成什么形式呢？我们就是外减去 f x 零哈，然后等于 f 片 x 零 乘以 x 减 x 零，哎，这是切线方程啊，那么这个切线方程我们写完以后呢啊，我们再去解决本本期，那他说这个函数啊，第二问，第二步骤啊，他说这个函数 f x 啊，等于啊，令 x 减去 ax， 我 们想要求它的导数啊，想要求它切线方程，我们必然要第一步先求导啊，先求导，求导是不能错的，对不对？好， 然后呢，我们是切点呢，是 s 等于一处的切线啊，所以一就是它的切点，那么我们切点呢，是一，它的函数值啊，它的函数值 f 一 呢啊，是一个负 a， 所以 我们的切点是负 a， 那 么切点处的导函数值等于切线的斜率啊，所以这个时候呢，我的 f 偏一就等于一减 a， 因此呢啊，这个切线方程啊，切线方程我就可以啊，顺利的写出来，就是 y 加上 a， 然后等于多少呢？一减 a 乘以 x 减一 好，同时呢，他又说经过点 a， 也就是我们刚才第一啊段分段的时候，我们获得的信息，也就说这个二和啊，负二呢，他在这个切线上我们分别代入啊，那就是负二加 a， 然后等于一减 a 乘以 二减一是一，那因此我们看 a 就 等于多少了， a 就 等于这个二， a 就 等于三啊，所以 a 就 等于二分之三。好，那这个是第十二题的一个啊，答案。 好，那我们再来看一下啊。第十二题，首先呢，它考察的核心考点啊，就是我们看到一个题，我们知道它的考点，如果我们做错了，我们也是能够有 方向的去复习，比如说切线，切线方程啊啊，在某点处和过某点的方程，还有就是这个 啊，这个是对数型函数它的定点问题啊，我们都是一些很细致啊，很细节的一些啊，零碎的一个知识点啊，我们都要掌握个滚瓜烂熟，那这样的话，我们做题的时候才这个熟练度才有啊，这是第十二题考察的主要是切线问题。 好，接下来我们看第三题，那么第三题呢，它实际上是一个全概率，又结合了一个排列组合啊，我们首先来分析一下题啊，分析题是非常重要的，那么这个题呢，有同学他算不对的原因啊，当然这个排列组合的数是比较大的啊，可能导致有些同学他没有算对 啊，分析题也是非常重要的，就是我们首先来看他想要买啊，买一包是吧，买这个电子，这个电气原件， 那么他是，呃从一包中呢，要先抽查啊，抽查四个，如果这四个原件就是好的啊，其实也是跟这个买彩票一样，是不是看这个运气好坏了，他刚好抽到的四个是好的，那他才决定买下这一包， 那么我们看一下就是假定啊，假定，你看这里面有含有六个次品的包数，占的是百分之二十，那其实就是我们这个分类了，对不对？有百分之二十呀？啊？有百分之二十的这个产品呢？它是啊，十二个， 每包啊，你看啊，每包是十二个，对不对？是十二个，然后它含有六个次品， 那含有六个次品，那就意味着是六个正品。好，那么还有百分之八十啊，其余的包数啊，它含有两个次品，那么含有两个次品，那这个时候每包还是十二个？它每一包中啊，它含有两个次品 啊，两个次品，还有就是那就是十个正品。好，我们再去抽，那么他采购员随机的挑一包，拒绝购买，他为什么会拒绝？拒绝购买了？那说明啊，他买的这四个， 这个他抽查的这四个里面应该是至少有一个次品 啊，在抽查的时候至少有一个次品，那么至少有一个次品，其实他情况是比较多，那你可能是一个，也可能是两个啊，还可能三个、四个，所以这个运算的话，他就比较麻烦 啊，比较麻烦，那么至少有一个次品。我记为事件 b 的 话啊，那我能不能求事件 b 的 对立 事件啊？他对立事件就是都，为什么呢啊？都为正品， 都为正品。哎，这个就好办了，你四个都是正品，我就好抽了，是不是？所以我们在算啊，在算这个 p、 b、 e 的 时候啊， 这实际上就是都是正品的时候，实际上是一个全概率，那么在这个全概率中呢，又含了一个什么呢？超级核分布啊，这个考点还有一个是这个概率统计中的超级核分布啊，那大家 首先呢，对超级和分布啊，他的公式啊，了解不了解是不是？好，那接下来呢，我们看一下 啊，如果你不了解的话，你要复习相应的章节，复习相应的章节，那么首先呢，我们看啊，它是一个全概率，为什么全概率？就是如果我抽到这百分之二十的我，我拿着每一包啊，我去抽 啊，他是不一样的，所以呢，我们在算啊，抽到的四个都是都是啊，正品的时候我们含含啊，就是含有六个次品的包数，或者是两个次品的包数，所以分了两部分啊，这是第一部分，然后这是第二部分啊，所以我们在算的时候要啊算乘以百分之二十， 然后我们再看，就是在进来，你这百分之二十是六个次品啊，所以你在抽的时候是按超几何分布的，超几何分布，那么超几何分布它 x 服从超几何分布的话，它是十二个产品，里面有六个产次品，然后你抽四个产品 啊，问你次品的个数，那这里面我是抽，我是有六个正品，那我的六个正品是不是都来源于正品中的六个？我从正品中去抽四个，那我抽到的就全部是什么呢？就全部是啊正品了， 然后再加上这个通道啊，这个第二部分就是百分之八十啊，因为他这个含的次品个数少，那我就乘以零点八，我去乘啊，这个也是服从超级核分布的，那么他的啊，这个，呃，总的产品个数是十二个，他含的次品是啊，两个，然后他抽四个 啊，那接下来呢，我们看，那就是拿零点八，那你抽的四个正品呢，他是从正品中来的啊，所以这里面是 c 十四，然后去除以 c 十二四 啊，那么接下来呢，我们就是一个排列组合的一个预算啊，这里面其实预算量还是比较大的啊，就在考场上啊，这个作为这个第二个填空题 啊，这个预算量是是比较大的啊。好，那接下来就是我是是讲了一下思路，那我们具体呢啊，是需要啊，自己来去预算的啊。那么这个题呢，实际上我觉得他考察的 层面呢，也是比较多的啊，考察层面比较多的，第一呢，他考察了这个全概率啊，你要知道他是一个全概率的一个公式 啊。第二个就是啊，你要是会抄几何分布啊，会抄几何分布的这个模型啊，比如说它是抄几何分布，我给它帮助大家去复习一下啊， 大 n 是 总的产品个数，然后 m 是 次品个数，然后小 n 是 抽象个数。那这里面我们需要掌握的有以下几个方面啊，就是比如说我产品 n 小 n 个产品中含有 k 次品的概率， 那 k 的 次品它来源于次品啊，那剩的大 n 减大 m 啊，是 一个正品，那就是 n 减 k， 然后去除以啊， c 大 n 小 n 就 行了。那么这里面还有两个重要的公式，就是啊，在超级和分布中啊，它的期望和方差 啊，我们也要记住，借此机会啊，去复习，那么就等于 n 去乘以次品于啊， 然后接下来呢， d x 的 公式啊， d x 的 公式它是怎么？它是 n 啊，去乘以次频率，再去乘以正频率啊，然后再去乘以大 n 减啊大 m， 然后除以大 n 减一啊，这个地方应该是大 n 减小 n 吧。 好，大家看一下啊，你看我，我在，我在记这个这个公式的时候，实际上也是很容易就错，所以我们还是应该及时的去，去翻下笔记啊，翻下笔记这个超级和分布它的这个 方差呢，如果你用到了啊，你在做题时，做题的时候它就很快就出来了，但是呢，如果你要是没有记住，那做题的时候实际上是非常艰难的啊，非常艰难的， 这个地方要注意啊。啊，我刚才写的是没有错，我又翻了一下书本啊，他这个地方确实是啊，大 n 减去小 n 啊，这个别，别记错了，多记几次啊，这个是 n 啊，小 n， 抽象个数乘以次频率，正频率啊，和这个调和的这个数 啊，这个数记清楚，那么整个 d x 啊，它的方差就记住了啊，所以我们其实要以点代面的去复习啊，以点代面的去复习 啊，你，你不会一个题，那你相应的知识点呢？你一定要去啊，捡起来啊，这个题的话，他最后的答案是啊，五十五分之三十六，好，这是这个，呃，第十三题啊，第十三题，好，接下来我们再来看 下一个数列，嗯，那么这个数列公式中呢，其实，呃，我我在自己在做的时候呀，也是呃存在算错了好几次啊， 所以说大家在考场上他其实也是很容易出错。第一个，我认为呢，咱们的审题能力啊，审题能力是非常重要的，就是你要看清楚题啊，题干信息中每一个条件指的是什么。好，我们先来分析， a n 呢，它是一个等差啊，它没有说等差数列，对吧，它只是说它的前项和是 s n， 然后呢，它又告诉大家啊，又告诉大家这个 n， a n 和 s n 呢，它是依次成啊，等差数列，好，我们就先从这一段啊，先从这句话中去提炼信息 啊，它是成等差数列，那我们就有一个等差中项了，对吧？啊，能够得到这样的一个啊，式子好， 那么同时树立 b n 呢，它满足这样的一个关系，那其实它这个是一个递进的关系，就是你前面 a n 呢，必须去解决，然后你解决完以后，咱们才能去求 b n 啊，所以说这个地方呢，我的切入口就在于这个式子， 那从这个式子中啊，我看到这个式子，我就立马反应出来啊，它就是，嗯，咱们数列中计算中啊， usn 求 a n 的 一个啊，经典的一个模型哈。 usn 求 a n， 好， 那这里面呢， usn 求 a n， 我 先给大家梳理步骤，第一个必须先算 a 一 啊，等于多少？ 第二个呢，我们 s n 减去 s n， 求 a n 的 时候，是不是 s n 减去 s n 减一等于 a n， 那 么这里面强调 n 大 于等于二， 好注意啊，这个这个式子呢，有的时候正着用，有的时候是反着用的，然后第三个呢，就是我们最后还要检验啊，还要检验啊，也是有分的，大概是一分，如果你不检验啊，那那么这个分就不走分， 那所以说呢，我们按照刚才就是由 sn 求 a n 的 这个长通信通法啊，常规的一个 啊思路啊，我们去做题，那么第一步呢啊，我就先求 n 等于一的时候， a 一 是多少是吧？好，我二倍的 a 一， 然后等于一加上 s 一， 那就是 a 一， 对不对？ 所以说这个地方 a 一 就是一个递推关系 啊，我二 a n 啊，等于 n 加上 s n， 是 吧？然后我递推关系的话，我就二倍的 n 减一，等于 n 减一，加上 s n 减一。哎，那这里 这个地方呢，是不是 n 大 于等于二？好，两式作差，两式作差。那么左边呢，我们写成是啊，左边我们写成是二 a n 啊，减去 a 的 n 减一 啊，右边呢是一个一加上，哎，这里面啊，就用到了我刚才给大家补充的这个细节部分哈，就是 s n 减 s n 减一啊，就是这左边是二， a n 减去一个 a 的 n 减一 啊，右边呢是一加上，哎，这个地方就是啊， s n 减去 s n 减一，就是一个 a n， 好， 进而得到一个。关系，就是啊， 这个地方我少写了一个二，是吧？啊，这个也少写 a n 呢，就等于啊，二倍的 a 的 n 减一，再加 e a， 那 这个地方呢，我们啊，第一个考点呢，是由 s n 求 a n， 第二个是啊，用构造法 啊，用构造法去求 a n 同项啊，构造法去求 a n 同项。所以说实际上题目的综合式综合性特别强啊，就是你一个点不会，那你 这个题可能就会有出现很大的问题哈，那么这个是第二层面啊，我如何用构造法来求 a n 呢？我们看到，如果我盖住这部分不说，我们看 a n 是 二倍的 a n 减一，那它是不是一个等比数里， 但是他多了一个 a 一， 所以我要去配啊，我要去配，那我怎么配呢？我们这里面啊，我先假设啊，加了一个数啊，加了一个数，他再构成一个什么数列，等比数列， 然后呢，我再，我再给他还回来，是吧？你看啊，我再啊，还回来的时候就换成是，这是二 a 减 a 就是 a， 所以 我知道我设的这个 a 其实就是一啊，我满足啊，我原来呢，不是一个等比数列， 但是我加了一个一以后，它就成为了等比数列啊，所以这里面呢，我们可以说啊，我们可以说 a n 啊，加一，它就是一个等比数列， 那么它的首项呢？是 a 一 加一，我们刚才已经算过啊，这里面是一啊，它就是二，所以呢，就是也，谁呀也啊？首项 啊，以二为首项，对不对啊？然后公比 q 呢，为二的等比数列，所以我们就得到了 a n 加一啊，它就是二的 n 次方，是吧？ 那因此我们能够顺利的算出来 a n 的 通项是二的 n 减一次方啊，其实是分了两个层面啊，两个层面啊，这是应该是第三啊，第三个过程， 第三个过程，然后 a n 求出来以后啊，第四步啊，第四步，我们再去求 b n 呢，那就很好求了，是吧？好， b n 呢，我们就代入这个对数运算的公式里面，那么 a 二 n a n 等于二的 n 次方减一，那么 a 二 n 减一呢，它就是多少二的 二 n 啊，减一，然后再减一，对不对？所以带到进去就是二的二 n 减一，减一啊，再加一 啊，他就换成了是以二为底，二的二 n 减一，那么按照对数的运算啊，运算法则，那就是一个二 n 减一，好，所以实际上呢，你看第一问的分呀，他也不是很好拿，是不是 啊？他也不是很好拿，那么这里面呢，我没有检验啊，我没有检验，是因为你看我这个地方实际上就是一个地推关系，从第二项起，每一项与前一项的比值是一个定值，那就是一个什么呢？等比数列 啊，当然了，你要想检验也行，那你 n 等于一的时候，我检验 a 一 呢，刚好是一，是符合题意的，是吧？ 好，所以第一问呢，我们其实考察了应该是有两个层面啊，两个层面，第一个呢，是由 s n 去求 a n 啊，用地推关系，那么遵循三步啊，遵循三步啊，哪三步呢啊？第一步啊，先求 a e。 第二步啊， s n 和 s n 减一与 a n 的 关系啊。第三步要检验。 那么还有一个层面，就是你用了 s n 求 a n， 还有一个就是用构造法来求啊，构造法，这都是竖列求通向的常用方法，也就说是通信通法啊，通信啊，通信通法。 好，大家注意一下啊，就是根基不牢，地动山摇，所以我们的这个基本方法，基本技能都要非常熟练啊，那在考场上才能够啊，应对这些万变的题啊。这是第一问啊，第一问， a n 和 b n 啊， 那接下来呢，我把 a n 的 公式啊， a n 求出来，是二的 n 次方减一 啊，边呢？是啊，二 n 减一啊。然后现在我们看第二问，就是第二问，其实也是很容易出错，我自己在算的时候可能就是有两个层面的出错。这个题呢，我其实自己算的时候算了两遍啊。啊， 第一个我们来看一下，就是他考察的是等比等差数列的性质啊，等差数列的性质， 什么样的性质呢？比如说啊，我们隔相同单位啊，隔相同的间距，我们抽取的数依旧成等差数列。你比如说原来一三啊，五七啊九，然后你隔几个数，隔两个数啊，隔两个，这个隔一个数啊， 抽出来以后，那他三五七，然后十一，他依次也成等差数列。所以首先我们看一下，就是左边呢，他是一个等差数列啊，他是一个新数列 啊，新数列等差数列。那么在这个地方呢，他很容易就看错。比如说我今天呢，在做的过程中，我就看成是啊， b m， 然后加上 b m 加一，然后一直加到二 k 啊，这个地方我就出错了，就是我把它看成是一个连续的啊，下标序列号是连续的，实际上它是不连续的 啊。第二个层面，我看错的，就是 s 四啊，我们成天说 s 前一项和前一项和，我就给它算成这个了，那实际上也是不对的啊，这个注意。 那么另外呢，这个 a n 其实它也不是一个等比数列，是不是我们在算 s 四的时候还是要谨慎，所以两个易错点，第一个就是它的下标啊，它的下标是隔两个单位的， 同时呢，我们看一下，还得注意左边，那你挑隔相同的间距，然后抽取出来的数，依次乘等差数列， 那同时我还得啊确定清楚啊， b 从 b m， b m 加一啊，到 b m 加四，一直到 b m 加二 k， 它究竟有几项？这是很关键的。那你比如说啊，你是 b m 对 不对？然后 b m 加二， 然后 b m 加四，那你这个是二乘一，二乘二，然后是 m 加啊，加这个减加个二四，应该加六，是二乘三，对不对？一直乘到 m 加上二 k， 实际上是二乘 k， 那 么这里面呢，就这一边呢，它实际上是 k 加一项啊，所以这个地方呢，弄清楚是 k 加一项。 好，那么接下来呢，我们分清楚了这个项数以后呀，我再去求和，因为呢，本身啊，这个竖列它是一个等差数，等差数列，所以我们再算啊，等差数列，天啊，前一项和的时候，我们有二分之项数啊，乘以啊，首项加上末项，对不对？ 所以我们试着左边呢，我们就是一个啊，就是一个二分之项数项数，我们刚才已经帮助大家分析了，是 k 加一，然后就是首项，就是 b m 项，然后加上 b m 加二 k 项啊，首项和末项， 然后左边我们来看一下，左边的话就是 s 四，那你这个地方呢，其实可以用公式，嗯，不过它比较简单，你就可以去一个一个算算也没有关系的啊，那么 a 二呢？就是啊四减一，对不对？ 然后 a 三呢，就是啊，八减一，一直到 a 四呢，就是十六减一，所以啊，他的 s 四呢，我们加起来是二十六，二十六啊，那么所以等式的右边呢是三十六， 好，那么接下来呢，因为我们的 b n 呢，它是一个啊等差竖列，所以我们要将相应的式子给它带进去，那么左边呢，它就是一个 k， k 加一啊，乘以 b m， 那 就是二 m， 然后减一，然后 b m 加二 k 呢就是，嗯，二倍的 m 加二 k， 是 不是？然后再减一啊，再减一啊，出来是这样的一个式子啊，我们先化简一下，那所以就是一个 k 加一啊，乘以里面，你看这个地方是一个啊，四 m 加四 k 啊，然后再减二的一个过程，然后再除以二啊，再除以二，那它就等于什么呢？它就等于 k 加一，然后乘以二 m 加二 k， 然后减一。好，所以呢，我们看一下，就是我想要存在啊，我想要存在 k 和 m， 那 么我必须要满足这样的一个式子啊，其实这部分呢，又是一个基本量的一个运算，就是等差数列前项和的一个求法，还有就是这种啊，这种， 这种，这个求和就是分足球和啊，分足球和，当然少的话，你就没举哈，没举，那么我们看 mk 呢，它是一个正整数哈，那接下来什么样的数，他俩相乘是三十六呢啊，是三十六，那其实我们离结果呀，离真相已经不远了。 首先呢，我们思考这样的数，那究竟什么样的数才能满足呢？对不对？ 我们观察，我们观察，其实这里面也是有技巧的，比如说，哎，这个数啊，二 m 加二 k， 它首先是一个偶数，对不对？偶数减一就是一个基数，所以我们在想什么样的基数跟另外一个数相乘是三十六，那四九三十六，那这边是九， 然后这边是四，对不对？是三十六啊？或者是什么呢？或者是三和十二，也是一个三十六，好，所以我们其实已经快见到啊曙光了，那就是啊，二 m 加二 k 啊，减一，它等于九的时候，此时我要求 k 加一等于四啊，或者是什么呢？或者是啊，二 m 加二 k 啊，减一它等于三的时候，我要求 k 加一等于十二，好，那么这里面呢，我们分别算出来， k 是 三，然后这个是 m 是 二，哎，这个就刚好都是整数，而且满足提议，那就存在对不对存在性问题的一个探索。 那么这组的话，它 k 呢啊，它 k 是 个十一十一啊，但是 m 是 一个负负值啊，所以这个就不符合其啊，我们就给它设掉。那因此呢，我们再去作答的话，就是存在啊，存在 mk 这个正整数式的，任量式的成立。 那这个题实际上你再去啊，就是我们考完试以后再去复盘这个题的时候，实际上他考察的是啊，很基础的，很基础的，但是呢，我们在考场上发挥的又不是很好，那就是很多基础的问题，很多简单问题啊，堆在一起他就难了 啊，其实任何复杂的问题都是简单问题的一个堆砌，大家想想对不对？ 然后我们把每一个单元，每一个小的细节啊，我们给他拆分开来看啊，我都是我们啊，已知的熟知的模型啊，这就要求了啊，如何来提升啊？我们同学们的 这个综合啊，解析能力，那就是你的这个基础啊，基础知识，基本题型掌握扎实，那以不变应所有的万变。好，这是十六题。 好，接下来我们看一下这个十七题啊，十七题的话，它是一个历期几何问题啊，历期几何问题，那这个历期几何问题呢？实际上啊，我我 啊，我们之前也是在讲课的时候也是会给大家讲啊，就是我先抛开这个题不说呀，我给大家补充一个东西啊，就是正三棱锥啊，正三棱锥要区分一下，跟正四面体，它是不一样的啊，它是不一样的，比如说我们画一个正三棱锥， 我们先把这个这个层，这个层面上的东西弄清楚，正三棱锥他有一个非常重要的性质，就是他的对棱啊，是互相垂直的 啊，这个这句话是作作为啊，本题的解析的核心，如果你知道这个知识点，那么你解决这个问题他就很容易了。 如果你不知道这个知识点，你在考场上去往这方面想，他就很难想了。好，我们来给大家推一推，为什么正三棱锥啊，他的对棱啊，结论是只有正三棱锥啊，他的对棱 啊，是互相垂直的 好。什么是对棱呢？好，就是比如说这个 pc 和 ab， 它就是相对的，那就叫我们就称之为对棱啊，称之为对棱 好。那么为什么呢？我们看，我们思考这样的问题啊，为什么对棱会是互相垂直的？不单单是 pc 和 ab 垂直， bc 和 pa 也是垂直的， pb 和 ac 也是垂直的好，为什么我们知道正三棱锥啊，它的侧棱相等，它的底面是正多边形啊，不能是正多边形，必须是正三角形。那我们想一下，就是，你既然是一个正 啊，侧棱都相等，是不是我在三角形 p b 中啊，我是不是一个等腰三角形？根据三线合一，我取了是 ab 的 中点，那我一定有 ab 垂直于 pm， 那 么同样的道理，在三角形 abc 中，我是不是也一定有 ab 垂直于 mc？ 好，我们来看一下啊， pm 呢，又交 m c 与 m 点，那因此我就能得到 a b， 它是垂直于 p c 的 好，在这个知识点啊，理论支撑下，我再去解决本问题， 那他就迎刃而解了。我们来看一下，他底面呢，是一个啊，正三角形，对吧？然后 p b。 看清楚啊，他给我了，是 p b 啊，跟谁垂直？跟 a c 垂直。 哎，那其实就是我们补充的啊，这个，这个论题的一个什么呢？一个反向的，是不是？ 然后 p 和 p b 都是二倍根号二，然后 e f 又是终点。第一步，我求证 p a 和 bc 垂直 啊，求证的是 p a 和 bc 垂直，那这个地方呢？我该如何来解决问题呢？好，我们先这样来做，我先取 a c 的 终点啊，我把它连接起来。 好，我们思考一个问题，那么反向证明又该如何证呢？啊？第一，我取的是啊 a c 的 终点，我取的是 a c 的 终点， 然后我们思考这样的问题，我知道 a c 肯定是跟 b m 是 垂直的。题干信息中又说 a c 呢和 p b 也是垂直的 啊，也是垂直的，那么 p b 呢？跟啊 b m， 它相交于 b 点，因此我能够得到 a c 是 垂直于平面， 平面 p pbm 的， 那我能不能得到啊？ p c 啊？能不能得到 ac， 它是垂直于，它是垂直于 pm 的。 好，我们看这个垂直用的特别好，我们知道在初中学的等腰三角形，三线合一， a c 和 pm 垂直，那么 m 又为 a c 的 中点， 是不是三线合一的逆应用啊？三线合一，那么我们就能得到什么呢？ pa 跟 pc 是 相等关系， 也是二倍根号二，那么到这里面，我们其实就得到了三棱锥啊，本题中的三棱锥 p abc r p a b c， 它实际上是一个什么样的三棱锥呢啊？ p a b c， 它是一个正三棱锥 啊，这个信息呢，是非常关键的，如果你知道它是个正三棱锥，对于后面我们做第二问也是非常有帮助的啊， 那么同学们，我们现在知道它是一个正三楞锥了，对不对？那我们该如何证明啊？目标中的 p 和 b c 垂直呢？其实这里面就易如反掌，就是我刚才给大家中的这个过程， 我们同样去取 n 点，是吧？我连结啊，连结 a n 和 p n， 是 不是？ 既然都是正三楞锥，那我的 p n 一定跟 b c 垂直啊，我的 a n 呢，也一定跟 b c 垂直，那么 p n 交 a n 于 n 点啊，与 n 点，所以我得到了啊，我得到了 b c 呢，它垂直于平面啊， 啊，垂直于平面， p a n， 那 么进而我得到了 p c 垂直于平面内的线是 p a。 好，那么这里面呢？其实我认为这个思路，当然那个答案上也有很多种方法，比如说他用项链啊等等啊，嗯，其实我觉得啊，就是我们在考场上，其实这个项链当然也能想到啊，就是你间系比较方便的话，那你第一问就开始用项链的方法， 那实际上就是如果我们知道这个知识点啊，有这个知识储备啊，有这个知识储备的话，我们再去啊，条件反射的去啊，看清楚出题人的意图，看清楚题目背后的一些东西，我们做起来就非常方便了。 好，这是这个问题啊，这是这个问题。好，这个立体几何，实际上第一问在考场上，应该是啊，就是如果你啊，就是 啊，对这个正三棱锥的一些相关特性了解的比较多的话，那你这个问题其实处理起来是相对容易的。好，接下来我们看第二问。第二问呢，我给大家提供了两种思路啊，其实正三棱锥是一个很有用的啊，这个，这个， 嗯，这个，这个知识点啊，就是如果你知道正三棱锥啊，他是一个正三棱锥，侧棱都相等，那你不管是间隙也好，用定也好，这个第二问都是能够去解决解决的啊，能够很好解决。 好，接下来我们看一下这个第二问，那么第二问呢，我们想要求这个啊，面面所成角的正弦值。哎，这里面其实也是有一些细节点需要大家注意的，比如说他求的是面面加角的正弦值， 那我们求出来面的啊，两个法向量啊，夹角一般都是余弦值，我们还要进行一个切换啊，所以这个细节点要注意好。那第一种方法呢，我给大家提供的就是一个间隙的方法啊，通行通法，那么间隙的话，隙在哪里间 啊？在哪里剪？好，那么我们在第一问中啊，获得了一个很关键的信息点，就是什么呢？就是啊， p b p a b c， 它是一个什么？三，它是一个什么样的楞锥呢？它是一个啊，正三楞锥，所以我们过屁呢做啊， pu 垂直于底面， 我们知道正三楞椎这个过屁座底面的垂线，它其实落在了应该是外心上，对不对啊？当然正三角形它三心合一嘛，那既是外心又是内心，对不对？ 然后我们间隙的话，那这里面其实啊有多种建法啊，并不一定说非非得是这种，我是这样想的，就是我能不能建到这个点上啊？那我 b m 就是 s 轴啊，然后我做一个 a c 的 一个平行线啊， 我就跟这个 ab 垂直了，这是两两互相垂直啊，我给它弄成做成，是啊， y 轴是吧？ 那么现在的话，我就需要一些相关量的运算啊，相关量的运算，比如说对于三角形来说，你要搞清楚啊，这个三角形，我们把 abc 呢给它给它拎出来啊，去处理 好，那么它的边长是二，它的边长是二，那我这个地方呢？ m 啊，甚至说 o 点，我要弄清楚，我的 bm 就是 正三角形的高啊，它的高呢，就等于二分之根号三 a 啊，所以就是多少是根号三，那我的 b o 呢，实际上是占高的三分之二，因为我的外心啊，将它分成二比一的关系，对不对？ 好，三分之二 h， 所以 就是三分之啊，三分之二倍根号三，那么我的 o m 啊，它是占的是三分之一 h 高，所以就是三分之根号三。 哎，我把正三角形的相关量分析清楚以后啊，我再来去给它对照到点的坐标啊，因为它边长是啊二，所以这边是一一，那么我们刚才已经预算过了，这个 b o 呢，是三分之二倍根号三， 那么 o m 是 三分之根号三，那么我们再去进行一个量的运算啊，这里面我们需要用到 p 点的坐标啊，所以我在 r t 三角形哈， r t 三角形这个 p o b 中，当然间隙的话，我们要啊，我们要去描述这个地方，它是有两分的啊，它间隙是有两分的 啊，然后接下来呢，我们勾固定里呢，我的 p o 算出来啊，它应该是根号下 啊，这个 p b 方，对不对？然后减去一个 o b 方啊，那它就等于什么呢？就等于是啊八减去，刚才这个 o b 在 这里面是不是就是三分之四 啊？所以我们看这个是三八二十四啊，三分之二十，那所以 p u 这个关键信息算出来是多少呢？是啊，三分之二倍根号啊，十五啊， 那因此我们做完这些量以后呢，我们现在啊，还需要就是这个面 a、 e、 f， 我 们要算 a， e、 f， 实际上还要算啊， p、 b、 c， 我 们就在这上面先标注一下，可能会更好啊，它的横坐标呢？我们看 a 点的横坐标呀，它就是一个 三分之根号三，纵坐标是负一零啊，然后 c 点的坐标啊， c 点的坐标就是你这个坐标呢，是非常关键的啊，非常关键是不允许出错的， 然后 b 点的坐标呢，也算出来，是啊，他这个是负三分之二，被根号三，然后零零。我们每次做题的时候，做题做完以后呀，一定要先检验一下你的坐标是否写的啊，正确呃，在 坐标找准确的情况下，再去算法向量，否则后面的话它就一步错，步步错啊。我们再算 e 啊，这个是终点坐标，公式是 p 和 b 的 终点，那就是负三分之根号三， 然后啊，是零，是吧，然后是三分之根号十五啊，然后我们再算 f 点， f 点呢，对应的是 p 和 c 啊，那它就是一个啊，六分之根号三， 然后二分之一，然后是三分之根号十五啊，终点坐标公式啊，相加除以二。那接下来呢，我们就算平面啊，就算平面， a， e， f 的 法向量 啊， a， e， f 的 法向量呢，我们设成是 n， 然后这里面是 x， y 和 z， 我们求的时候啊，求的时候啊，怎么简单怎么来啊，这个反向，其实我今天也是求了好几遍啊，确实在算的过程中呢，会出现各种各样的错误，那主要是减的坐标要找准确啊。我们先来看一下 a e 啊， a e 的 话，就是拿 e 点的坐标 减去 a 点坐标，所以它这个地方是负的三分之二倍，根号三，然后纵坐标差呢是 一，然后这个是三分之根号十五，然后 e f 啊，我们算 e f 实际上是比较好算的，那这个地方呢，它减去它的话，应该是 二分之根号三，二分之一零。好，那这里面其实啊，熟练的同学呢，他就直接算，如果不熟练的话呢，我们去借鉴一下这个方法，就是求法向量的方法，那我知道啊， n 这个向量，它与 a e 向量的数量级呢啊，等于零，然后法向量呢，与 e f 的 啊，数量级也等于零，所以我们就得到两个式子啊， d， 然后接下来再用负值的方法啊，负值的方法去运算就可以了， 加上三分之根号十五 z 啊，等于零，然后这个地方呢是二分之根号三 x 加上二分之一 y 等于零，那么这里面呢，我想负的是 x 等于一啊，在这里面去负值，我的 y 值呢就算出来，是啊，负的根号三啊，我再带入一式啊，我去 x， y 带进去以后，我的算出来的 z 呢，就是一个 啊，根号五，因此我的法向量是一负根号三和根号五。哎，这个地方是三分 啊，这个地方是三分。我看到你的，如果你最后结果错，然后这个法向量算对的话，我是给有给分给到你的，所以我们每一步骤都要啊去展现出来。那最后我们再算的时候啊，我们我们知道平面 abc 的 法向量 n 二法向量，它直接就是零零一了，对不对 啊？这个就不用再算了，所以我们先算 cos 两个法向量的余弦值啊，啊，这里面余弦值算出来应该是一个啊，三分之根号五，那对应的啊，对应的 这个法向量的加角的，就是啊，面面加角，是吧，所以啊，所以 n 一 和 n 二 啊，他等于什么呢？他就等于啊，三分之二啊，所以我们的答案正弦值呢？啊，这个法向量加角的正弦值跟谁呀？跟面面加角正弦值是相等的，所以最后答案要要答哦，要作答。 好，这是这个题啊，就是整个来说，实际上预算量的话，就是主要是正三楞锥的一个理解啊，理解，然后就是间隙啊，就是间隙啊，怎么方便怎么来，但是你要找准啊，这些 b o 啊， o m 的 这个值。 好，这是通过间隙的方法，我讲的这个呢，是通过间隙的方法来解决问题啊。好，那接下来呢，我们来思考一个问题，就是我不间隙，应该如何来求面面所成角的正弦值。 那么这里面呢，其实也是蕴涵了一些东西的，比如说，嗯，两个平面， 我们这里面用到了一个东西，知识点就是啊，线面平行的性质 啊，相面平行形，这个其实也很久没有用到了，如果线和面平行的话，过该直线的任意一个平面与已知平面相交 线和交线平行。好，那么这里面呢，其实我们是很容易去获得啊，很容易去获得。 bc 呢，它是平行于平面，这个地方，我就不再去给大家详细去证明，我只是说一下思路，好，我们 bc 呢，是平行于啊，平面 a e、 f 的 是不是 b c 是 平行于平面 a e、 f， 所以 我们过啊， a c b c 的 这个平面与已知平面啊，与已知的平面，它是不是有一个交线， 则线与交线是平行的，也就是说其实 b c 呢，跟交线 l， 这个是 l 平行哈，还跟谁平行啊？还跟 ef 平行。 好，这个平行呢？有什么作用呢？我们来看，我们来分析二面角，我这是用定义法， 用定义法去求二面角啊，那我是不得做二面角，那么怎么样做呢？对于两个半平面而言，我怎么去做？我从啊，这个公共棱是吧？我引啊，棱的一个垂线 啊，这个角就是二面角，所以呢，这个棱，我现在两个半平面啊， a e f， a e f 啊，和 b c a b c 的 两个半平面的交线啊，我是找到了， 那么我现在在两个半平面中分别做棱的垂线，那实际上我连几啊？我取 b c 的 中点和 a 这个 e f 的 中点 啊，这个，这个线画细一点，要不然，要不然一会这个区分不了哈，区分不了，就是哪个线呢？就是这个线啊，这个线 好，那么这个角就是二面角的平面角。为什么啊？为什么？为什么你就是二面角的平面角呢？我们知道，你看在三角形啊， 咱们来分析分析，为什么在三角形 a， e、 f 中啊？你看这个 a n 是 三线合一中的三线，对不对？中点是不是高？三线合一是不是垂直于 e f， 那 所以 a n 它垂直不垂直于 l 公共棱呢？ 同样的道理，在三角形 abc 中啊，它这个 a g 啊，它是垂直于 bc 的， 那所以 a g 也垂直于 l。 我 们看，通过二面角的定义，从公共棱上的一点引两个，在两个半平面中引棱，引棱的垂线，那么角 n a g， 它就是二面角的平面角 啊，就可以表示二面角的平面角，也就是二面角的大小，对不对？好，那么，哎，这个做二面角，首先你得找出来，另外呢，你这是做出来的，对不对？好，第二呢，你还得求出来啊，如何来求？ 那么这里面呢，实际上我给它转化到三角函数中的截直角三角形，我们把 b、 a， g 啊，给它摘出来，行不行？你看，我把这个三角形给它摘出来。 好，你看，这是 p 啊，这是 p， 这是 a， 然后这是 g， 那 么 n 呢？我们思考一下，就是 e f 的 中域线，那么 n 也必然是 e f 的 中点啊，所以我这个地方实际上是一个中点。 好，同学们，我们看，我们所要求的不就是这个角吗？对不对？那这里面呢，啊， p， 我 们是多少？是二倍根号二 a g 呢？我们刚才算出来，这是二，这是高嘛？正三角形的高是根号三， 对不对？好，然后这个 p g 当然也是需要算出来的，是不是 p g， 我 们该怎么算呢？ p g 呢？我们把它放到哪里去算？放到啊，你把该摘出来，你就给它摘出来，是不是啊？ p b， c 里面算 p b 呢？是二倍根号二 啊， p c 也是二倍根号二，底边长呢？是啊，十二，所以这个高啊，其实就是这个是 p g， 那么 p g 呢？它用勾股定律算，就是啊，根号七。哎，我们又摘出来一个很重要的信息啊，就是 p g， 根号七，那么 n 是 终点，所以上面和下面都是根号七。 好，我们同学们想一下，就是这个地方呢，如果你把它转化以后，那么后续所用到的知识呢？就是解直角三角形啊。 好，我们知道，以前高考的时候啊，这个解答题，要么出竖列，要么出直角三角形，如果直角三角形出了，那竖列就不再出了，如果 啊，竖列出了，解直角三角形就不再出了，那但是本题中呢，其实在解直角三角形的应用中，他隐藏在了立体几何中，实际上这也是一个必然趋势，因为所有的立体几何问题，实践最后呢，他都转化成什么呢？平面几何的问题了， 平面几何问题啊，那么接下来呢，我给大家来分享啊，就我如何来求这个角，我想要求这个角的余弦值，我必然还得求出 a n 的 长度，是不是 a n 在 这里面实际上是作为中线来 出现的，我们知道 a n 是 中线，那我就用中线理论啊，向量 a n 等于二分之一的啊， ap 向量加上 a g 向量对不对？然后平方，那就是 四 a n 方啊，啊，等于 a p 方，这个地方，如果说你啊，呃，就是解这样三角形应用的比较多的话啊，它中性理论啊，是非常好用的，这是二 a p 啊，乘以 a 几。 那大家再思考一个问题，就是中信呢，它通常跟余弦定律相结合，你比如说这里面 p g 方啊， p g 方，它又等于什么呢？它又等于 a p 方，对不对？ 是不是？然后加上 a g 方对不对？然后呢，这个相当于是余弦定律了，是不是减去二倍的 a p 啊啊，乘以 a g， 再乘以这个加角的域弦值，就是口塞啊，这个地方没没地方写哈，就是啊，或者说我把这个角乘以大角吧，就是口塞贝塔啊，我实际上是乘以口塞贝塔的，对不对 啊？这个地方还有一个口塞以贝塔。那么大家思考这样的问题啊，就是实际上这两个值啊， ap 乘 a g 的 向量数量积跟这个实际上是怎么样是相等的关系，所以我们这个式子和这个式子它可以连连立在一起，也就说是四倍的 a n 啊，魔方对不对？ a n 魔方加上 p g 方， p g 方刚才已经说过是七，等于这两个数的二倍，这两个数呢，又都非常清楚， ap 呢是二倍，根号二就是八，然后 ag 呢，是根号三就是 三 a， 所以 我们其实 a n 就 非常清楚明了的去求出来了啊，这个 a n 呢，我们算出来是一个二分之根号十五， 那既然 a n 是 二分之根号十五啊，那我再算口算 r 法就也是非常清楚的，就用余弦定律啊， a n 方，然后加上 a g 方，对不对？然后减去二倍的 a n 的 模哈，乘以 a g 的 模， 然后再啊，这个地方我好像是写错了啊，写错了余弦值啊，那这个地方呢，我们直接去求口算尔法的时候啊，求口算尔法的时候，直接就是啊， a n 方，然后加上 a g 方，对不对？ 然后减去 n g 方，然后除以二倍的 a n， 然后去乘以 a g， 这个算出来其实也是一样的啊，哎，这个方法它就比较巧妙，但是，呃，需要同学们的综合实力是非常强的啊。第一个就是你要会做出二面角，对吧？ 做完以后你还得去求，那我刚才说了一句话，就是任何的啊，立体几何问题，实际上就是啊，平面几何问题，那么在平面几何问题中又遇到了解直角三角形， 哎，实际上你单摘的去看，每个知识点都比较简单，但是你合在一起他就比较难了 啊，这是我们应该注意的。所以说综合是呢，总要求大家综合能力是非常强的啊。那我们刚才讲了一个是间隙，一个是几何法啊，希望同学们呢 啊，看完我们的视频以后呢，能够啊，能够更加的清晰啊，更加清晰，然后再动手去做一做。我觉得啊，光听听也不行，你得落到实处，你得去演算一下啊，看自己能不能啊，这个能不能做出来，这是更重要的一步啊。

试卷分享，高三全科一模，张家口一模河北省张家口市二零二六年普通高中学业水平选择性模拟考试试卷及答案视频时常有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。

具体做法呢，分三步，第一步，回归基本概念，用自问自讲加默写的方式过关，先把课本啃干净，每天十来分钟，第一件事就是对着定理自己讲出来，写出来。比如问自己，线面平行怎么正，线面垂直怎么正， 你能讲清楚才叫真会讲不出来，就是概念夹上每天默写一遍，平行四条，垂直四条，判定加性质，把文字语言、符号语言、图形语言都写对。这一步啊，是立体几何不丢分的根。 第二步，画思维导图，把必考题型锁死。例题几何大题呢，三年只考这几类，你把框架呀梳理出来。第一问，考两类，平行线面平行面，面平行垂直，线线垂直垂直。 第二问，考这几种二面角线面角点到面的距离。新高考二卷呢，最常考的是二面角，你把这个思维导图啊画在错题本的第一页，看到平行，要想中位线平行四边形，看到垂直呢？要想勾股等腰 面面垂直推线面垂直，看到球角直接间隙，用法向量框架一清啊，做题就不慌了。那第三步是回归错题，只做溯源复盘。把最近的月考模拟卷的例题，几何错题啊，全都拿出来，只做三件事，第一， 错在哪一步，是概念不会证明跳步坐标写错，还是法向量算错？第二，对应哪个知识点补回去，重新默写定律。第三，同类型的题呢，再做两道，直到不再错。 错题呀，不是用来抄的，是用来堵漏洞的。例题几何错一次就要堵死一个坑。 四步，每天针对性的精练，不搞题海战术。每天咱就练三道题，一道 证明题，练第一问一道间隙求角，主要是练第二，问一道选填主要是关于体积表面积或切接问题。 每道题都要限定时间，只练常考模型，能追十三棱柱啊，折叠问题啊，不求多，一定要做一道会一类。 最后建议每周再给数学加一个现实的综合卷，训练一模前还有三次机会，把握速度，规范，计算准确率。 你要记住啊！立体几何最容易丢分呐！不是不会，是坐标写错法，向量算错证明少写条件，知道常见问题，再针对性练习，上考场啊，就稳了。立体几何不是只靠空间，想象也要靠规范，靠步骤，靠套路。 一毛钱把概念讲清楚，题型锁死，错题复盘，每天精练，每周限时。那这二十分你一定能稳稳拿住！三周复习时间，给大家一些实用的复习建议。

欢迎同学们来到这节课，今天我们介绍二零二六异模解析几何的综合空间内容。这节课主要围绕抛物线与椭圆两大核心展开，题目均来自异模真题。 本次的考点和方式非常明确，重点集中在三个方面，一是向量垂直的证明，二是定点存在性的探索。三是三角形及四边形面积的最大值与最小值求解， 这是解析几何大题的经典攻坚方向，适合一轮复习后期的综合训练咱们直接开始，我们先看第五题，这是典型的抛物线压轴题。 第一问是基础核心考察的是向量垂直的分析。题目给出过点 p， 做直线与抛物线交于 ab 两点，要证明 o a 与 ob 垂直。 这里的关键思路是设直线连力，利用维大定律算出坐标关系，再通过向量数量积为零来证明垂直。同时，第二问的核心突破口 在于角平分线定律的运用，题目给的线段比例条件等价于 t， p 是 角 a t b 的 角平分线， 这是快速锁定定点位置的关键一步。我们要解决面积最小值的问题，这一步的核心点在于必须先把 t 点求出来，只有通过几何性质转化确定了定点 t 的 坐标，我们才能后续带入面积公式。接下来用斜长公式求 a、 b， 再求点 t 到直线的距离，最后代入面积公式。通过分析这个关于斜率的函数，我们发现当直线斜率为零时，面积取到最小值八。 这部预算量较大，大家暂停视频，自己再核度一遍。接下来看第六题，这是椭圆综合题。第一问求轨迹方程， 这一问属于难题类型。核心解法是利用椭圆的几何法，题目背景是动圆与定圆内切同时过对称点，我们需要把这些几何的内切和过点条件转化为距离关系， 会发现圆心 p 的 轨迹满足椭圆的定义，所以直接利用椭圆参数就能写出它的轨迹方程。这种几何法的思路是解决轨迹问题的核心引导方向。 现在看第六题第二问的第一小问。求定点这一面我们主要通过韦达定律来处理。介绍非对称根的解法，设直线方程连力椭圆，利用韦达定律处理出坐标关系，核心是把斜率倍数的条件转化为代数等式。 这里要特别注意，这种题目运算量非常大，是这类题目的典型特征，同学们在答题时要细心注意运算的每一个步骤。我们继续看定点问题的优化解法这一面介绍的是其次化的方式，这是求定点模型的一个高效技巧， 用其次化的方法去处理，能有效降低相应的运算量，大幅减少计算错误和时间。通过其次化转化，我们能更简洁的求出直线所过的定点，这是解析几何大题中 能大幅提升解析效率的核心技巧。最后，求面积最大值，这一步主要利用维他定律去分析面积的变化过程。这里有个关键问题要注意， 如果在第二题第一小问已经用过其次话，那么我们在处理面积时，还需要再用一次维达定律来生成新的坐标关系。把四边形拆成两个三角形， 利用维达定律结果把面积表达式转化为单变量函数，再通过换元转化为二次函数。求最值，最终求得面积的最大值是三分之八。从几何图形到函数最值，这就是解析几何面积问题的完整闭环。

搞定相似三角形，中考数学多拿二十分！今天我们来讲一下相似型的一个常考模型，那么众所周知，我们这个相似型呢，在中考当中呢，属于重难点啊，智商非常高，而且难度呢通常不低， 但是呢，很多的一些相似三角形啊，都是在一些模型上就延伸出来的啊，进行加工改造。我们初中常考的有八种模型啊，比较常考的 a 字模型，八字模型以及一线三等角相似模型，包括我们后面这这三种呢，比较基础啊，今天呢就不说，我们主要说的是后面边共角模型，这是第一个 摄影定和角平分线相似模型。我们今天呢，把这三个给讲掉啊，比较常见而且常考的一种 我们现在的一个共边共角模型，像这样，如果图形出现了，这样有一个公共角角 a， 同时呢，题目有的时候会给你另外的一对角或者一直角是相等的，比如说题目有可能会给你角三等于角四，或者题目会给你角一等于角二，又或者题目不给你，让你自己去， 这又与直角相等。那么完了之后呢，这两个相，这个三角形是不是就相似了？相似之后，他有什么样的结论呢？是因为他这叫共边共角，这是一条公共边呢， a、 b 是 公共边，这个角呢是公共角，还有一个角是他们自己找的相等的，或者题目给的啊，共边共角得出的结论， 三角形 a、 b、 d 一定相似于三角形这个大的 a、 c、 b， 那 么 a、 d 对 应边成比例啊， a、 d 比上 ab 就 等于 ab 比上 ac， 交叉一相乘，会发现 ab 方这个公共边的平方等于 a、 d 乘以 a、 c， 也就是公共边的平方等于半公共边的乘积，总是属于半公共边啊，公共边的平方等于半公共边的乘积啊， a、 d 乘 a、 c， 这个结论一定要记住。第二个就是非常常考的摄影定模型， 给了你一个直角三角形，过这个顶点做垂线下来，那么很容易得到有三组相似三角形，而且得到的每组截的都一样。第一组相似三角形，就是这个小的 abd 和这个整个大的 cba 相似，你看他们是不是也有一条公共边呢？是 ab， 这条公共边是不是也有半公共边呢？ d 和 bc 的， 那么他是不是就可以得出这样的一个结论，就是公共边平方等于 半公共边的乘积。第二组相似三角形呢？是 a、 c、 d 啊，这一块跟整个直角三角形相相似， 同样 a、 c 数又是公共边公共边平方等于半公共边，乘积等 于 c、 d 乘以 c、 d， 那 么这两个小的直角三角形是不是相似呢？也是相似的，而且也有公共边 a、 d， 同理，这个公共边 a、 d 呢，平方会等于 b、 d 乘以 c、 d 啊，比较就能出来了，每个结论都要知道，他们一定要敏感。 第三个讲角平分线相似模型，角平面相似模型给了你一个三角形了， 从这个延伸一说一条角平分线，使得角一等于角二焦点为 d， 那 么你就可以得到结论，就是 ac 边比上 ab 边等于 cd 边比上 ab 边，那么这边如果是 a 的 话，这边是 b， 这边是 x， 这边是 y， 那 么就是 a 比 b 等于 x 比上 y 永远成立， 为什么会成立呢啊？做两条辅助线，用等面积法证明出来。比如我们做过 d 点做两边的垂线，这叫 e 点，这边做垂线，这叫 f 点啊。我们都知道角平分线定义角平分线定义是角平分点到两边之间的距离相等，那么 这个 df 和 d、 e 就 相等了呀。那么你看三角形 a、 b、 d 的 面积是不是等于以这个为底的话，就是二分之一 ab 乘以这个 d、 f。 三角形 a、 c、 d 的 面积就等于二分之一 a、 c、 b、 d 乘以 d、 e， 把它们两个比一下，就是 s， 三角形 abd 比上 s， 三角形 a、 c、 d 就 等于它俩一比， 你看他俩一比划，上下都 d、 f、 d、 e 相等啊，觉得只剩下 ab 比上 a、 c 了。除了这种面积求，我们是不是还有一种面积求啊？就是过 a 点做垂线，高于 g， 以 b、 d 为底球不也行吗？三角形 a、 b、 d 等于二分之一，以 b、 d 为为底乘以高 a、 g。 三角形 a、 c、 d 的 面积是不是等于二分之一？以 d、 c 为主，就 c、 d 乘以 a， 共共一条高啊，共一条高啊！那他俩一比的话，你会发现上下约了， 只剩下 b、 d 呀，比上 c、 d 了，它俩是一样的呀。那么是不是就可以用 ab 比上 ac 来代替？就等于 b、 d 比上 c、 d 是 谁呀？是 b， a、 b 是 b， ac 呢？是 a 就 等于 b、 d 是 多少哇？ cd 呢？是 x， 它俩 倒过来一下，是不还是一样的，就正过来了？所以说这三个模型都是非常常见常考的题型，模型一定要知道，一定要会啊！

下面这道题是合肥一等考的几何压轴题，它将在三角形 a， b， c 中加 a， c， b 等于九十度啊！这里 a， c 等于 b， c， d， e 等于 d， b， b， c 和 e， g 都垂直于 a， d。 第一个要求证的是 e， g， e。 对 已知的也成这样变，那我们可以看出来，这两三角形可能是全等边，因为这两个角是相等。那么在三角形 d， c， b， d， c， d 和三角形呢？这个 e， g， d。 角 e， g， d。 角， 那么这里也有两个直角啊，角 d， c， d， c， b 啊 d， c， b。 等于角 e 及 d， e。 那 么这个角能不能等于这个角呢？我们看角 c， b， d， c， b， d， c， d。 它是等于 一百八十度。减角 a。 减四十五度，再减角 a， b， d。 角 a， b， d。 再看这个角 g， e， d， g， e， d。 它是等于一百八十度，这个角也是四十五度啊，因为这两条线平行的，要减四十度，它减的是这个角，减去角，角一一 平 d， e， d， e。 等于 d， b。 所以 d， e， d 啊，是等于角 e， b， d 啊，所以角积一 d， e， d， 它是得一到二十度，减四十五，减角 也是 a， b， d 的 a， b， d。 这两个角是相等，所以角 c， b， d， c， d， d。 它是等于角 g， e， d 的 g， e， d， c， d， d。 等于角 g， e， d。 这里就找到啊，两种角相等，那么右呢？ 这个三角形的斜边 b， b， b。 等于这个三角形斜边 b， b。 所以 三角式 b， c， b 啊 b， c， d。 它是全等于三角式 e， g， d 的 e， g， d， e， g， d。 所以 c， d。 它就等于 g， e， c， c， d 啊，等于 g 啊，就得到证明。第二， 如图啊，它加 c， f 等于 f， b 等于二十。求 b， d 的 场，那我们知道 c、 d 的 场是知道的，那我们能不能求出 c、 d 的 场呢？我们设 c， d 啊，等于 x 啊， c， d 等于 x， 那 我们看这两三个圆心，因为这两条线平行的啊，这三个圆心呢，就等于 x 啊，那我们看这两三个弦是平行的啊。 那么这个地方的 x， 根据刚才的任意选等，则记 b 记忆，记忆也得也得根据条件，已知条件 d， g， 它是等于 bc 的， bc 等于四四， 因为 d、 c 平行于记 e 啊，记 e， 所以 三角形 d， c， f， d， c、 f 它是相似的三角形 d， g， e 的 d， g， e， 那我们所以这里 c、 f 的 长 c， f 是 等于二 c， f 比上 g， e 等于 d， c 比上呢？ d， g， d， g， 这里 c、 f 等于 d， c 的 也是等于 d， c 的 也是点 x， d， c 的 长 d， c 的 长是不是 x， d， c 的 长，这里 d， g， d， g 是 等于 d， c 等于四，所以 x 的 平方是等于八八。那么 那么在这个实验当中，所以 d、 d 的 平方是等于 d、 c 的 平方， d， c 的 平方就是八，加上 d、 c 的 平方， d、 c 的 平方就是一次性二个四，二个四，所以 d、 d 就是 点 d 格号二十四，也就是二，点，格号内就是 b、 e 的 长度。第三步，就将 d、 c 比上 c， a 等于 b， e 比上 e， a 对 k 要求这个 k 值，那我们联结一下 c， e 看，我们联结一下 c， e， 那 我们看到 c， e 啊， c， e 啊， 这 c 一， 它是平行于第一的，嗯，现在这个角加一下角平行，平行，相切平行，所以我们得到，所以得到角 a， c， e 啊 a， c， d， 它是等于角 a， d， b， a， d， b 那 么 a， d、 b 这个角是等这样的啊，是因为是全，刚刚证明是全等关系，等于角呢？ g， e， d， g， e， d， 那么等于，因为是平行，因为这两个线平行，所以它就等于角，一样的，一样的， 所以我们知道这个角跟这个角是相等的，这个角跟这个角是相等，那我们在这个三角形中，在三角形这个 a， c， d， a， c， d 和三角形 b， e， f， d， e， f， d， 因为这个角的是角 c， a， e 呀，角 c， a， e， c， a， e， 它等于角 f， e， f， e。 找到前面的条件，角 a， c， a， c， e， 它是等于角 e、 m、 d 的， 所以这两个三角形呢，是相似的，所以三角形 a， c， d， a， c， d。 它是相似于三角形 b， e， r， b， e， r 这两个也相似，所以这里 b， e， r， b， e， b。 一 比三呢 a， a， 它就等于这个 b， f 比上 a， c 的 b， f 比上 b， c。 这里 b 一 比 a 一 b 一 比 a。 又你看这个 b 一 比 a 呀 b 一 比上 a 一， 它是等于呢？ b， c， b， c 比上 c， a 的 c， a。 所以 b， f 比上 a， c， 它就等于呢 d， c， d， c 比上 a， c， a， c 啊，所以我们得到 b， f， 它是等于 d， c 的， 这里 b， f。 就 等于 d， c。 然后呢，再进一步看，在三角形这个三角形，在这个三角形当中，这里有一个公共角啊，这一个，因为这个角呢，这个角它是等于啊，这个角对角在三角形 dcf， dcf 和三角形 dcf， 那 么就是 dc 啊， 就是 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中，那么这里有个公共角啊，角呢？ c， d， d， c， d， d， c， d， d。 刚刚已经证了是等于 e， f， d 的 e， f， d， e， f， d， 那 么也就等于角 c， f， d， c， f， d。 这个角跟这个角相等，这里有个公共角，所以这两个角也是相似，所以三角形 d， c、 f 相似于三角形 b， c， b， d， c， d， 这是子母相似。子母相似，有一个公共边，这里有一个公共角，这里写成子母相似，所以得到 d， c 的 平方 d， c 平方，它是等于呢？ c， f， c， r 乘以 b、 c 的， 那么这个 c， f 啊，这个 c， f， 它是等于 dc 减去 b， f 的， 所以 dc 的 平方，它就是等于 c， f， c， f 是 等于 dc 减去 b、 f 的， 也就是等于 a、 c 减去呢？ d， c， d， c， d， c 是 等于 a、 c 方，等两边同时除以 a、 c 的 平方，同时除以 a、 c 的 平方，那么就得到 d， c 除以 a， c 的 括号平方。括号平方等于， 这里是 a， c， a， c， 这里是 a， c 减去 d， c， 也就说等于啊 e 减 d， c 除以 a， c， 那 我们得到这样的公式，那么 d， c 除以 a， c， d， c 除以 a， c 就是 k， 就是 k， 所以 k 平方等于一减 k， 那 我们讲的 k 啊，是等于二分子幺五减 e， 幺五减 e。 这个是做这题很多的相似，关键在你老讲啊，这里有一个字母相似啊，这是大家第一，这题也有点难。

好，我们再来看一下第三位，如图二，延长 d h 交 c、 f 以点 g 求证点 h 是 d g 的 终点，求证终点，也就是让你去求 d h 是 等于 h g， 一 般求线段相等，我们肯定是转全等。 那么来看一下这个图 h 在 这，现在让你这这两个边相等，这两边相等，它是在一个直角三角形里面抱正，那因为 h 界不在直角三角形里面去，所以我们就需要去 构造，把它放到一个直角三角形的。怎么去构造？连接 b、 d 连接 b、 d。 以后 我们去证三角形 d、 b、 h 全等于三角形， 借 b、 h 就 可以了。那这个证证明就比较好证了 啊。用 b、 d 是 正方形 a、 b、 c、 d 的 对角线， 所以角 d、 b 借是等于四十五度。 我们从第一问就可以得出来，因为角 c、 d、 j 是 等于二十二点五度， 角 c、 d、 j 加上角 d、 j、 c 是 等于九十度。角 h b、 j 加上角 d、 j、 c 也是九十度，所以角 h、 b、 g 是 等于角 c、 d、 g 等于二十二点五度， 那所以角 d、 b、 h 也是等于二十二点五度啊，所以 这个边是公共边，这两个都是九十度。 三角形 b、 d、 h 全等于三角形，借 d b、 h 啊，所以 d h 等于 g h， 所以 d a、 h 为 d g 的 中点。

我们再看一下第二位，求证角 d， h b d d， h b 这个角是九十度啊！根据第一位，我们已经知道这个角是四十五度，那我们现在只要求证这个角是四十五度就行了， 那它要求它是四十五度。那么在这个三角形，在三角形 a、 b、 h 中，想求它是四十五度，不好求，没头绪。但是四十五度一般是不是出现在等腰直角三角形里面？ 它没有怎么办？没有，我们就构造，哪怕把它放在等腰直角三角形里面，那就过点 b 做 b， a， b， k 垂直于 a， g， 这是 k， 那 做完以后我们会发现， a、 b 是 等于 a d 角 b， a、 k 加上角 k， a、 b 等于九十度。角 d， a， i 加上角 k， a、 b 也是九十度，所以角 d a、 r 是 等于角 a、 b、 k 所以 三角形 a、 b、 k 是 全等于三角形 d， a i 的， 那么这两扇形全等，我们就可以得出 a， k 是 等于 d i， 它是不是等于 h i 啊？这是第一问可以得出来的，它等于 h i 啊。三角形 a， d， g 是 等腰三角形 d， i 是 垂直 a g， 所以 i 是 a g 中点， 那它是中点，所以是不是 a， i 是 等于 g i 那 已经是 a， k 是 等于 i h， 那 i k 是 不是等于 h g i k 是 等于 h g 那 所以 kh 是 不等于 k i 加上 i h， 那 它是不是就等于了 a i 呀？那它也就等于了 b k 所以 三角形 bkh 是 等腰直角三角形，所以角 a、 h、 b 是 等于四十五度，所以角 d、 h、 b 等于九十度啊！我们可以转化一下。

一模和高考到底什么关系？张家口的高三家长同学们注意了啊，今天呢，是二零二六年张家口的高三一模考试正式拉开帷幕。最近好多家长在问呢，杨老师，一模和高考到底什么关系？ 一模考不好，是不是高考就没戏了？今天我用一句话给大家讲透啊，一模呢，不是高考定局，但是高考最准的体检报告。为什么这么说呢？因为一模是咱们张家口全市统一命题、统一阅卷、统一排名的第一次全政大考， 是完全对标河北省新高考题型，难度呀，节奏呀，高度贴合高考真题。今年情况还比较特殊，开学晚，时间紧，只有两次模考，一模就是第一次让孩子真正感受高考节奏的机会。 所以家长们记住啊，一模考的呢，不是最终的分数，而是帮孩子看清三件事，第一，知识的漏洞在哪？第二呢，孩子答题节奏对不对？第三呢，在全市到底处于一个什么位置？ 记住两句话啊，看排名不看分数，找问题，不纠结得失。为啥看排名不看分数呢？因为题难呢对吧？分数低对吧？题简单呢，分数高。但全市排名呢，才是孩子真真实实的为次参考。 从一模到高考呢，还有八十多天的黄金提分期啊！往年呢，咱们家口有很多孩子啊，一模考砸了，家长呢，急得睡不着，结果呢，从一模后查漏补缺，高考逆袭，三十分的，五十分的，甚至八十分的，大有人在。 我去年呢，这有一个学生，一模考试考了四百九十多分，也就是本科线的水平，他自己都泄气了，然后教他呢提分方法，练习专项， 让他把一模错题呢，一道一道抠出来，查漏补缺。最终呢，高考考了五百五十三分，一模到高考提了六十多分， 一模就是孩子的哎，给孩子照一个镜子，让你看清啊，自己哪不行，然后去改。所以呢，今天开考的家长，张家口的孩子们呢，放平心态，正常发挥，考好了别飘，那是你应得了，考砸了也别慌， 对吧？那是给我们提个醒，一模呢，是起点，不是终点，是方向啊，不是定论， 家长们在评论区为孩子打出一个必胜，给孩子接接福气，关注杨老师，一模出班后，我教大家怎么用一模成绩换算全省排名，帮孩子定学校，选专业。

我手上拿到的是程俊熙初三年级开学以来，三月份为了准备备战 六月份的长沙地区中考所进行的所谓的一模数学测试的第二十五题，压轴的几何题。 我跟各位详细分析和拆解一下这个压轴几何体的第一问、第二问和第三问。 我们先看第一问题目的已知告诉我们，圆内接了一个四边形，其中角 a、 d、 c 是一个直角的圆周角，同样角 a、 b、 c 也是一个直角的圆周角，也就是 a、 c 是 直径。 另外 b、 d 是 角 a、 d、 c 的 角平分线 a、 b 跟 b、 c 这两条弦已经相等。 好，那我们来看第一问所要求的三分的三个填空题啊。第一扣 涉及到一些线段的平方的比，那我们看一下这些线段， a、 d、 d、 c， 那 不是在直角三角形 a、 d、 c 当中吗？ a、 b 和 c、 b 那 不也在直角三角形 abc 当中吗？而且这个直角三角形 abc 是 一个等腰，直角三角形 ab 跟 bc 是 相等的。 所以第一空我们可以在直角三角形 a、 d、 c 当中利用勾股定律，就是 a、 d 的 平方加上 c、 d 的 平方等于 a、 c 的 平方，而 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方等于二倍， a、 b 的 平方等于 a、 c 的 平方。你要把这些关系式代入第一空当中，就自然得到第一空的答案是二好。第二空和第三空同样涉及到线段的比， 在这些相关的数值的计算啊，我们看看观察下这些线段啊，通常来说，我们一般 由线段的比会自然想到三角形的相似啊，通过分析这些线段啊，我们 比较容易的找到图一当中两组三角形相似啊，我们来看看第一组三角形 a、 d、 m 对 应相似三角形 b、 d、 c 啊，这个对应不要搞错了啊，因为这个三角形的位置啊，在不同的方向所对应的线段不能比错了啊，要得到三组对应的线段比， 另外还要找到一组三角形相似，它就是三角形 c、 d、 m， b、 d、 a， 同样得出三组线段成比例的一个等式关系。回到填空的这个第二空和第三空当中，找出 b、 d 分 之 a、 d 用其他 相等的线段比代替，同样那里 b、 d 分 之 c、 d 也用其他的线段比代替 啊，我们用其他线段笔代替的时候需要注意啊，这当中啊，涉及到 a、 b 线段跟 b、 c 线段是相等的， 同时 am 线段加上 c、 m 线段刚好等于 a、 c， a、 c 跟 ab 之间是有已知的， 这个现在没得关系的，所以我们找替换的时候需要注意找准。也就是说我们的第二个填空啊， b、 d 分 子 a、 d 加上 b、 d 分 子 c、 d， 就 会等于 bc 分 子 a、 m 加上 ab 分 子 c、 m， 然后 bc 跟 ab 相等，这个分母相等啊，所以就等于 ab 分 之 am 加 c m 加 c m 就 等于 ac， ac 比 ab 呢，刚好等于根号二，所以第二个的答案 就是根号二。同样的道理，第三空的答案也是根号二，方法也是一样的， 这就是压轴九制的。第三空的答案也是根号二，方法也是一样的，这就是压轴九制的。第一问三空的答案也是根号二，方法也是一样的。 当然第二空、第三空稍微难一点点，我们也可以采取特殊指法。看到图一当中啊，我们这个 d、 b 这条线段 用特殊指法的话，可以把 d、 b 扶正啊，扶直经过圆形 o 点，使 b、 d 这条角平分线变成直径。 复制以后你会发现这个圆的一些四边形 a、 b、 c、 d 是 不是一个非常特殊的正方形啊？那么第二空的向量比，第三空的向量比，它的答案就自然很简单就出来了。

每日一题，广州一模立体几何这道题是选择压轴，不少同学没思路就跳了。实际上这题本质是初中几何，就是大家都学过的将军印码。第一步，把图画出来，可以发现 b 点要在 a c 上才能取到最小值， 这样就把立体变成了平面，再把平面图画出来，通过题目的二分之根号二，可以想到构造三角形， 从而把系数去掉，然后就能找到最值了。你学会了吗？别忘了复习初中数学哦，有时也能派上用场呢！

c 二零的一模卷是必做的，但他难度怎么样？哪地方是重难点？那么整张卷子呢？我也是全部通做了一遍，我喜欢把整张卷子给拆分，把精华部分从主一张卷子和选什么做。那么具体来看， 那么首先整张卷子难度是比中考大的，而且是比中考灵活的。那么具体来看题目，你想你的七八九十这四道题出来就很棒，也很难，像第七题，第八题考的就很灵活，那么第七题考的是 k 的 几和 e e， 那么第八题呢？考了四四边形的灵活应用，这两个知识点都是中考必考点。然后第九题考的是二次函数的数形结合题目，这个题目就上难度了，很多同学做不掉， 但是这个题目又非常重要，因为很多二次函数的压轴题都会有这里面的知识点，所以第九题我是强烈推荐大家一定要学会。然后第十题考的是我们的相似三角形，也是很有难度的，然后十十一、十二、十三， 这三道题都是一个正常难度。然后十四题他是完全套着二五年的中考题型出的，那么我觉得今年不会再出这种题型了，因为你翻看一下子最近几年的这中考卷子，第十四题这个题目，他没有哪一年是连续两年出一样的题型的，也就说他每年的题型都在变化。 然后再往下看看第十八题，十八题是一个三角函数题目，也是一个必考题，这个题目的难度和中考难度是一样的，那我推荐大家做好那十九题是一个数据处理题，也是与中考难度相平的。 然后第二十题，二十题这个圆是比中考难度大的。圆这个题目我们正常中考是考一个大题，一个小题，一般是十五分左右，是一个重点知识点。那么二十题这个圆，特别是第二问，他比中考难度大，然后百分之八十到九十的同学应该都做不出来第二问。 然后二十一题，二十一题这个题目，呃，大家好好做一做。二十一题这个题目，它也是完全套着去年的那个中考试卷出的一样的题型，大家好好做一做，难度也差不多的。然后二十二题这个几何压轴题是与中考难度相持平的。然后二十三题，这个函数压轴题 啊，他是没有中考难度大的啊，比较简单。然后中考的二十三题，这个，呃，函数幺题，难度是很大的。然后整张卷子呢？我是建议大家把我刚才讲的题目去通做一遍，对你帮助很大。

张家口应硕成绩出来了啊，大家赶紧去查，有家长在问划线，等划线出来以后呢，我们会做直播，帮大家做转化。

好，五十一模刚刚结束。这个我翻看了一下，我们班同学是这个立地几何做的很不好，我在思考一个问题，由你说我们语文复习到现在，这个立地几何学生做的还不是很好。 我参与了这个课版，其中放了一下人教版的教材以及书教版的教材。在这两版教材中都有一的题目就是有关这个四面体 空间四边形，有一个很经典的知识点，就是如果它的两对能垂直的话，按于说 a、 b、 a、 b 垂直于 c、 d， 这是第一对， a、 c 垂直于 b、 d， 这是第二对，对吧？如果这两对垂直的话，那么但是第三对 a、 d 和 bc 也必然垂直，那么大家证明它证明也很简单，对吧？我们这个地方没法间隙，那么只能用 空间向量极限量这么一个方法来解决。那具体的具体的，首先呢，就是 a、 b 和 c、 d 的 垂直转化成缩敛剂， 那么其中 c、 d 项链可以分解为 a、 d 和 a、 c 的 差项链，那么经过计算得到了第一个档次，那么同理我们可以得到第二个档次。 那么这两个等式当中都有 a、 b 和 a、 c 的 缩减机，所以得到 a、 b 和 a、 d 的 缩减机与 a、 c 和 a、 d 的 缩减机怎么办呢？相等，那么再根据下来的运算， 我们就很容易得到 a、 d 和 b、 c 的 缩减机等于零，进而得正 a、 d 垂直 bc， 这是我们一个很经典的性质，那我们如果同学们掌握了这个性质的话，那我们再来看这个驻马店市一模的这个题就很有意思了，为什么很有意思呢？首先这几个咱们已经说了，皮 皮，我不要说了，皮皮和谁呢？和 a c 式的吗？谁知道这是第一等奖，那我要证明什么呢？ p a 垂直于 bc， 你 用正的肯定是正确的对不对？ 那是不也意味着这个几何体当中有两对能是垂直的，那么是否意味着它还有另外一对能，那么这个屁屁 和 a c 是 第一对，那么要证的是 p a 和 b c， 那 么是不是就隐藏了一个知识点，就是我们的 p c 和 ab 就是 垂直的，那么这样我们就很容易想到我们的下底面 a b c， 对 吧？是一个等腰三角形， 这个侧面 p a b 是 一个等腰三角形，那么这个图形呢？在一块就很容易想到，就取出 a b 的 中点，然后呢，连接这个中点，比如这个中点是 h， 连接这个 p h 连接 c h， 那 么得正得正， p c 和 ab 垂直，那么一旦正出了 p c 垂直于 ab， 那 么就很显然可以得到。根据。我们刚才置点那时候就证明出了 p a 垂直于 bc k a c b c， 那 么进而我们可以探求出来，这个三能追呢，而且还是一个正三能追。那这样我就扒了扒，那即使到二零一九年全国第一卷就考的那个之点。对啊，有兴趣的可以练习巩固一波。

几何快带竖纹心领意，还能提智商。 hello， 大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二五东城一模的几何综合题， 那这道题呢，我们可以看到啊，它给了很多个等腰值，那但凡我们看到等腰值，我们就要想到，哎， 那肯定是共端等长提醒我们有旋转全等的，对不对？那我们呢？哎，到底要做哪个全等呢？咱们不知道，所以呢，我们先做好哎，基本功，基本工作什么呢？标图，把信息都一目了然，标图上， 哎，首先是告诉我们 a、 c、 b 是 等腰值，对吧？那我们呢，就标出来，这是垂直，这是四十五，这是四十五。 然后呢，他又给我们来了一个 e d 垂直 b d 啊，但凡垂直就要倒角，这是垂直倒角，这有四十五度，所以我们发现 这个是哎四十五度，所以又改了一个大的等腰值，蓝色的是吧？哎，然后啊，面条石还不过瘾，又来了一个以 c d 为底做等腰直角三角形， c d f 也就是 c， 也就是 d f 和 c f 相等，然后这是垂直， 哎，那这个时候呢，我们又发现一个四十五度啊，当然了，我们发现，哎，这给了那么多等腰值，在提醒我们旋转，现在能直接看出来有旋转全等吗？ 哎，没有现成的是吧？说明这道题啊，米老师喜欢考我们构造呢，怎么构造呢？就是当我们看到，哎等腰值，就比如说这个绿色的等腰值，这个顶点和这个黄色等腰值的这个底角，它的位置合在一块， 哎，这样的话，怎么办呢？这样的一会啊，如果你想构造等效值的话，你就把这个黄色的给它补成一个，哎，大的， 哎，这样的话，你看是不是比如说 c d m 就 和我们的 a c b 就 共顶点两个等效值了， 只要你这么一连，是不是就旋转全等了？就这个和这个全等，是不是啊？所以呢，就是管他共不共顶点，只要看到等腰值，等边这种共端等长，咱就先想到旋转，哎，如果他后面让你做了，你呢也知道怎么做的就行了。 好，这是我们哎，三个等腰值，我就关注了旋转，接下来我们再看啊，第一问是补全图形补全了，第二问呢是求证 e d， e d 在 这等于 b d。 哎呀，这我做完题已经出来了，是不是？ 好，这两位已经搞定了，来看第三位。第三位呢，是用等式来表示线段 a e， a e 在 哪？在这和线段 b、 f 的 数量关系，并证明。首先呢，我们看到用等式表示，那就先猜， 反正他常考的也就四种，很好猜，对不对就是相等二倍，根二倍和根三倍，那我们可以快速判断他肯定不相等， 对吧？然后在这两个是不是根号二倍呢？有同学就比较纠结了，哎，同学们，如果是根号二倍的话，那你看，你就把这画一个呗。哎，画一个等腰值，哎，根号二倍的 b f 就 这么长， 他显然不等于 a e， 对 不对啊？所以不可能是根号二倍，那可不可能根号三倍啊， 对吧？也没有三六九，也没有一百二十度，它不可能根号三，所以只能是二倍了。那我就猜出来了，二倍的 a e 啊，二倍的 b f， 它等于 a e 啊，也可以说 a e 的 一半就等于 b f。 好，那猜完了，咱们就开始证明了，对不对？咋证呢？哎，我们要证谁和谁相等，我们通常都说就找全等，但是现在 a e 有 了， b f 有 了二分之一， a e 有 了吗？ 二分之一没有，你怎么证全等啊？证不了对不对？所以你既然猜出来二分之 a e 等于 b f 了，那你把二分之 a e 表示出来才行啊。 好，怎么表示呢？来，我们观察一下， a e 是 谁？ a e 是 哎， a、 d、 e 的 斜边。哦，斜边的一半儿，想到什么了？ 斜边中线对不对？来，我们在这取一个点 h， 取 a e 中点 h， 那 我们只要连接 h、 d， 就 有个斜边中线了，对吧？哎，那然后呢？因为我们刚标图标得非常好，我发现 a e 可不只是 a、 d、 e 的 斜边呀，还是谁的 a e 还是谁的斜边？哎呀，它还是 a、 c、 e 的 斜边呢，是吧？哎呦，这个也是直角啊，它也是 a、 c、 e 的 斜边 啊，那这个也是直角的话，那斜边中线我也得连 c h 啊， c h 也是斜边中线，对不对？好，连上它啊，连上它。我们呢，我们就知道，那 c h， 它和 d h 都是 a e 的 一半。 好，这就有斜边中线了。那无论任何时候，咱们只要看到斜边中线，一定要提醒自己，斜边中线最喜欢考的就是双等腰，所以呢，我们要学会用双等腰倒脚挖出引寒的提醒 啊。倒角的时候怎么倒呢？就是有度数标度数，没有度数标字母，而且标的时候你就标小标就行啊，比标标小角哈。来比方说，哎，我们标这个角比较小，我们就标这个角是 r 法， 哎，那这个角就是九十减 r 法。因为斜边中线 h c 等于 h e， 所以 这个角呢？哎，也是九十减 r 法， 那所以这个角呢？哎，俩发，对吧？啊，这个不知道哈。然后呢？继续，哎，咱们下边这个角呢，哎，我们能看能不能标一下呢？ 啊，下边这个角，我现在发现，哎，这，这角的位置好像标不出来了，是吧？哎，但是我们能标这个角是四十五度，是不是？啊？哦，这个角是四十五度，那这个角能不能标？ 哎，对吧，初中几何倒角的第一大功就是内角和这个角呢，在三角形 h a c 中，哎， h c 等于我们的 h a， 又是个等腰嘛，是吧？哦，这是 r 法，这个也是 r 法，是不是？ 哎，果然还是用的双等腰哈，还是用的双等腰，那我们就知道这是 r 法，这是 r 法，那这个角也是四十五加 r 法，对吧？ 哎，那这两个都是四十五加 r 法，我们可以求出来这个角由内角和来求，那这个就是九十度减二 r 法，对不对？哎呀，隐藏的信息发现了啊，这是个直角， 对不对？那这要是直角的话，亲爱的同学们，本来我们说 h c 和 h d 相等，都是 a e 的 一部一半，现在又给我们说这是直角，说明三角形 c h d 是 个什么玩意儿， 哎，对吧，它是个等腰值了。又来个等腰值，又来个等腰值，那赶紧标上啊， c h 等于 h d， 这还垂直，那，这是四十五，这也是四十五，哎，稍等一下啊，我们刚刚还得到这个也是等腰值，自己画的，对不对？哎，这是直角，这是四十五，这是四十五，对吧？ 哎，那我们发现这两个等腰直，他们俩的斜边是一样的，说明这两个等腰直，这个绿色的和这个黄色等腰直是全等的， 哎，说明什么呀？既然全等，那说明这几个边都相等，说明这还是个正方形的，是不是啊？这是个正方形。好，那这么一弄，我发现，哎呀，那这就是一个垂直， 对吧？哎，这会儿啊，如果说你有命题嗅觉，如果说你能感受到我们命题老师非常温暖的提醒，你知道，上一问，重点提醒你的是 e d 等于 d b， 那 你就发现什么了，同学们， 哎，发现蓝边等于蓝边，紫边等于紫边，这垂直，这也垂直，角一还等于角二，是不是？哎，我们就发现咱们这个三角形啊，它和这个三角形，它就全等了，是不是？ 哦，那 b f 它就等于 h e 了， h e 就是 我们 a e 的 一半，对不对？ 哎，就证完了，好，复盘一下我们这个方法啊，这个方法呢，我们主要从结论出发的，我既然猜出来了，哎， a e 的 一半等于 b f， 那 我呢，就知道我要证边等了，我得找全等，我得找全等，那 b f 有 了，那 a e 的 一半也没有表示出来呀， 所以我要把 a e 的 一半表示出来。我发现 a e 是 斜边，那斜边的一半就斜边中线呗，哎，而且 a e 还不是一个三角形的斜边，它是 a d e 和 a c e 的 斜边，那就想到，哎， hd 连上， h c 连上，它俩都是斜边中线， 斜边中线呢，就出双等腰，双等腰，咱要学会双等腰的倒角，对吧？哎，在倒角的过程中啊，注意，你但凡卡了，你肯定是，比如说，刚刚发现了一堆等腰值没用上 啊，我刚刚是把等腰值标在这了啊，所以换个图的时候呢，有时候，哎，会卡住，哎，但是我知道我只要卡了，肯定是有条件没标上没用上，所以呢，我是能够解决的。 哎，那这个再加上我们在读的学生啊，像我的双提学生，他们都知道上一位是对下一位温暖善意的提醒，这个蓝面相的我一定得用上，哎，我就很容易发现这有个旋转圈，等 好，这是这个方法哈，那再给大家再讲一个方法，就是我们很多学生都会想到的一个方法， 就是我既然猜出来了二倍的 b f 等于 a e， 哎，那我还是我一定要把二倍的 b f 表示出来， 因为现在 a e 在 这待着， b f 在 这待着，但是二倍的 b f 没有，那没有我怎么去正边等啊，对不对？我怎么转化成我最熟悉的正边等就找全等呢？ 哎，所以我必须把二倍的 b f 表示出来，那怎么表示呢？二倍的 b f， 那 我们最容易表示的就是，哎，中位线对吧？ 啊，那我们做中位线呗，怎么做呢？做中位线就简单了。哎，那我们从哪做啊？就直接把 f 和 b 弄成中点就行了，是不是怎么弄啊？ 哎，非常简单是吧？延长 d b 啊，到点 q， 我 们让 b q 等于 d b， 好， 然后怎么让 f 是 终点？ 哎，对了，我们就延长 d f 啊，到 h， 我 们让 h f 等于 d h， 接着连接谁就有中位线了， 哎，连接 h q， 对 吧？连接 h q 啊，那这个时候呢，我们就可以发现这个 h q 它就是 b f 的 两倍啊，那它既然是两倍了，那我们接下来这个结论边就转化成证谁和谁相等了呀， 这是二倍的 b f， 这个是 a e， 我 们就转化成证明这个边等于这个边就可以了，是不是？ 哎，那要正边等，首选全等，哎，那我们就选择这个所在的三角形和这个所在三角形，它得全等 啊。当然，目前来看哈，这个 a e 所在的三角形，无论是这个还是这个，它和这个 h q 所在的这么大的三角形，它都不全等，所以需要我们构造了，怎么构造呢？ 哎，那我们就要知道条件提供工具对不对？哎，以及命题老师是非常善良的，哎，命题老师上一问 是对，下一问温暖而善意的提醒，所以呢，我们首先要先关注一下，哎，上一问特意提醒我们的 e d 等于 d b， 这是上回特意关注我们的啊，那这个东西它在提醒我们的就是旋转圈等，是不是？ 哎，这个东西在提醒我们的是旋转圈等，但是怎么搞这个旋转圈等我还不知道。好，那接着再来，只要没思路，就看看哪个条件没用上吗？对吧？你只要卡住了，就看哪个条件没用上。接着再看这个条件没用上，哎， 对吧？这第一个条件都没用上，不对劲啊，必须得用。这个条件没用上，还有什么条件没用上？哎，对吧？这个等腰值，哎，这个等腰值，这个条件也没用上。 好，那现在呢？我们发现都没用上，那赶紧开用啊，怎么用呢？对不对？赶紧看怎么用呢？首先这个绿色的哎和这个黄色的，他们俩呢，就可能在提醒我们旋转圈等，哎，刚巧我倍长一个 d f 到 h， 那 这个时候呢，因为它垂直，它还是相等的，这就在提醒我们有等腰三角形，三线合一，或者说中垂线，所以连接谁， 哎，连接 c h、 c、 h 就 一定等于 c、 d， 哦，这时候出了个什么，绿的和绿的，黄的和黄的，哎，这不是非常 经典的旋转相等吗？是不是标标角啊？你看，这是九十度，这也是九十度，所以这个角一等于这个角二，然后这个黄色的 a、 c、 d 和这个黄的 c、 h 相等，这个绿色的 a、 c 和这个绿色的 c、 b 相等。哎，所以我们只要连个谁就有旋转相等了， 对吧？只要连个 h、 b， 哎，就有旋转全等了，对吧？好，连一下。那只要得到旋转，全等，马上倒角到边啊，我们只要得到全等，别犹豫，赶紧把角和边倒了。重点倒什么呢？重点倒有度数的角 啊，我们这里面有一个有度数的角，大家看到了吗？哎，这个四十五度就叭一下，就到这来，咦，那这就是垂直了是不是？ 好，那接着我们还要导一下边，哎，这个 a、 d 这个边，它就等于这个 b、 h 这个边了， 好，这是一个旋转圈。等，这个时候呢，我们就把绿色的 a、 c 等于 c、 b 这个等腰值和黄色等腰值都用上了。接下来还有一个条件，没用上，上一问提醒的， e、 d 等于 d、 b 没用上， 哎，同学们，咱要用上，赶紧用上啊，这个等于这个，哎，还等于这个，对不对？现在发现什么了， 对吧？这个时候我们赤裸裸的发现，哦，上一位给的蓝边相等，在我做了备查的情况下，妈耶，他竟然提醒我一个全能，谁和谁全能呀？ 哎，我们发现这个蓝的等于这个蓝的，这个紫的等于这个紫的，这是九十度，这也是九十度边角边，我们可以得到这两个这个三角形和哎这个 h b q 三角形，它们是全等的是不是？ 那它们全等了，我们就可以得到我们想要的二倍的 b f， 也就是 h q 等于 e 就 结束了。 好总结一下啊，这个题目呢，哎，咱们命题老师呢，他真的是他非常想让大家做出来，所以给我们提醒，但是呢，他同时也要筛选一些优秀的学生，所以呢，这个提醒有点拐弯。 那同学们，如果说你有命题嗅觉，你知道上一问是对下一问温暖善意的提醒，那你肯定能够关注到我们的蓝面。 同时你还知道彩虹老师一直在强调，只要你卡了，你马上去看哪个条件没用上，哎，你自然而然的就会找哎呀，我这个哎绿色等腰值没用上，哎呦，我这黄色等腰值没用上，我得想办法让它用上， 这样的话，你就会结合你自己做的一个哎 d h 被 c f 垂直平分，自己就能想到连接 c h 出一个大的黄等腰值，对不对 啊？所以同学们，如果说你现在哎呀就是不会画辅助线，那可能是你从结论上想不到，哎，像我们的在读学生，我们都能想到，哎，只要看到二倍的，我就要把二倍的表示出来，或者要把一半的表示出来， 这是第一点。第二点呢，如果你还是没思路，还有可能是你对条件不敏感，你看到一个条件，现在还不知道要想到什么工具，就是你看到个等腰值，你想不到旋转，你看到一个直角三角形斜边中线，想不到双等腰，哎，这也会导致我们没有思路， 然后在考场上呢，哎，可能遇卡了之后你不知道怎么办？这个可能是因为你之前没有总结过，哎，考场上只要卡了，就看哪条街没用上，以及我们的提速技巧命题嗅觉，上一问是对，下一问温暖善意的提醒。这个如果没有总结过，确实也不太好用。 嗯，但是如果你总结过，用我们的方法去做，还是非常简单的。那我在咱们哎一魔扣呢也给大家开了几何专题课。大家呢，如果说想要跟着彩虹老师学习怎么快速想到辅助线， 以及怎么着在卡了的时候能找到方法，那可以来报名彩虹老师的几何专题课。