广东一模十四题几何法

表面上看，这是个圆锥曲线的题，实际上主要是一个初中平面几何知识。我们都知道，这次广东一摸出的质量很高，但是我才发现，这套卷子最有意思的题，你猜是什么题？原来是十四题。 本来我对这道题没什么兴趣的，仔细看了以后，我发现，原来用初中的平面几何知识就能解决。首先我把椭圆给它抹掉 啊， o 点肯定是 f 一 f 二的中点，对不对？然后 f 一 h 一 f 二 h 二是垂直直线的。好，那我就过 o 点做 o g 垂直这条直线，那显然 o g 是 中微线，对不对？所以 g 就是 h 一 h 二的中点。然后它还告诉你， h 一 o h 二等于九十度。那你想想 就说明，这个 o g 既是这个直角三角形斜边上的中线，也是他斜边上的高，那这个直角三角形显然就是个等腰直角三角形嘛，所以 o h 一 等于 o h 二。好了，这就是咱们初中经常碰到的三垂直模型吧。根据这个三垂直模型，很显然这两个直角三角形是全等的， 所以就有 h 二 n 等于 o m。 好， 接下来我过 b 点做 x 轴的平行线，交 h e m 为 n 一 撇，然后根据同位角，很显然这两个角是相等的，我都标为角一啊，同时还有一个小角，显然也是等于角一。我也给它标出来。 好，刚才 h 二 n 等于 o m， 那 o m 又等于 b n 一 片，所以 h 二 n 就 等于 b n 一 片。再结合这刚才那两个角相等，又是直角三角形，所以这两个直角三角形也是全等。好，这一全等啊，那就有 h 一 b 等于 h 二 f 二， 再加上 b f 一 等于 b f 二，为什么？因为它是等腰三角形，所以就有直角三角形 h 一、 f 一 b 和直角三角形 h 二、 f 二 b 全等。好，这一全等就不得了，这显然又是一个三垂直模型吗？显然就能推出 f 一 b f 二也等于九十度啊。 所以 f 一 b f 二，它也是个等腰直角三角形，因此就有 o b 等于 o f 一 等于 o f 二等于根号三。这说明什么呢？这说明这个直线的截距是横等于根号三的嘛。 也就说这条直线保证截距是根号三，它不管怎么旋转， o h 一 都是垂直于 o h 二的。好， 那接下来我们就要确定斜率了，对不对？要确定斜率呢，肯定要利用题干那个相切的条件了。好，现在的直线可以写成 y 等于 k x 加根三。哎，把它跟这个椭圆一连立， 令得它等于零，是不是就可以求出这个斜率啊？求出它的值是正负二分之根号。其实你选哪个都可以啊，比如说我们选斜率是负的二分之根号。好，这个时候 从图上看，我们就很容易能够算出根号六，减根号三， 然后又能算出 b k 的 长度是三。好，那我们所要求的这个直角三角形的面积，显然就等于 bo f 二 h 二这个四边形的面积，它等于大的直角三角形的面积，减去右下角那个小的直角三角形的面积， 而右下角那个小的直角三角形的面积，又可以用相似比的平方乘上大的直角三角形的面积。而大的直角三角形面积呢？二分之底乘高，你自己算二乘二嘛，带进去以后。好，我们所求的面积算出来等于二。哎，搞了半天，这个椭圆的唯一作用就是为了确定那个 k 啊，除此之外就没有别的作用， 搞得他这个角色还挺尴尬的。表面上看这是个圆锥曲线的，实际上主要是一个初衷，平面积和知识。

这个题是亚洲题，但是我认为是都能听懂，因为它就是个小学奥数题，它跟高中题没有关系啊。 a a l a 三 a 四 a 八，八个正整数 g s 是 七个数相加，这七个数到底哪七个数呢？ i 一 i 二 i 七，都在一和八之间，有可能是 i 一 i 二 i 三 i 四 i 五 i 六 i 七 i 八，也就是这里面是七个数，现在是少了一个。 然后呢，这个 s 里面所有的元素只有七个元素，要你求八个正整数，最大的最小数，这个数出的可以啊，出的是挺巧的啊，我们不妨令这个 a 一 是小于等于 a 二小于等于 a 三， 就是按照从小到大的顺序一排啊，从小到大的顺序一排好，排好了以后，各位，如果这八个数各不相等， 所有指标们，如果它们各不相等，那么在这八个数里面选七个数相加，总共有几种情况？ 从八个数里面选七个数出来，但是八个数各不相等，最后会几个好，不要 a 一， 会有种情况，不要 a 二会种情况，不要 a 三会种情况，不要 a 八又会种情况，所以应该是有八个。结果也就是这个集合里面会有八个元素， 但是你看一下题目数有几个。哎，为啥题目数只有七个呀？ 你们问一问自己，原什么，为什么只有七个？这八个数里面肯定有两个数是相等的啊。你不说 a 二跟 a 三相等，所以呢，我不要 a 二跟不要 a 三，得到结果是一样的，有两个数相等的，那么到底是哪两个数相等呢？好， 我们来接着分析。我先不要 a 八，不要最大的一直加到 a 七， a 一 一直加到 a 七等于几？ 来，你们说这个等于几？我把最大的数去掉了，你们这个等于几？这个题算有点点难度啊，但这个是很简单的，我把最大的去掉，肯定答案最小啊，八十二， 好，然后 a 二啊，我把 a 七给去掉，现在啊，我逐一来啊，先不要最大的， 接着我不要 a 七，就是加上 a 六，再加上 a 八等于几。你说到底是八十三还是八十二，都有可能性， 都有可能性，因为你不确定 a 八跟 a 七是否相等，如果 a 八跟 a 七相等，那么他就是八十二，如果 a 八跟 a 七不相等，他就是八十三，所以这个是不确定的。好 省略号。第一个是指是五 a 八的奥迪， a 八没有了啊， 其实 a 七也很帅啊，五奥迪 a 七的好省略号，一直到五 a 一， 五 a 一 呢，就有 a 二加上 a 三，省略号一直加到 一直加到 a 几呢？一直加到 a 八，你们说这个等于多少呢？ a 二加 a 三，一直加到 a 八等于几？你把最小的都去掉了，那肯定是最大的呀，这个是八十九，这确定的啊？这八十九，你们说 这里面有几个柿子？这总共有几个柿子？这总共是不是有八个柿子？没有 a 一， 没有 a 二，没有 a 三，一直到没有 a 八的啊？总共有八个柿子，对吧？ 我没有 a 八，没有最大的，这个数肯定是最小的结果就这个没有最小的数据，最大的结果，然后没有 a 八，没有 a 七，没有 a 六等等之内，这样就八个四全部写出来，全部写出来以后接着怎么处理呢？认真听， 你们哪一步看不懂？他各部相等就八个元素，结果呢？他有七个元素，就说明有七个元素，就说明他里面有两个是相等的，懂不懂？有两个相同的数， 两个项目数，接着怎么做呢？有点像累加法吧。接着我们把它一累加，这有 a 一， 这有 a 一， 这有 a 一， 除了最后项没有 a 一， 每一项都有 a 一， 请问有几个 a 一？ 回答，我有几个 a 一， 这个有 a 二，这个有 a 二，这个里面也有 a 二，中间倒数第二个没有 a 二，是不是有七个 a 二，每一项都有七个。 七倍的 a 一， 七倍的二，七倍的三，就知道七倍的 a。 八全部加起来就等于八十二，加上省略号加上八十九。 好，这里面有几个数呢？也是八个数，到底哪一个是重复？是八十二，八十二、八十五还是八十二，到底哪一个重复了呢？那么怎么样分析呢？你们想想， 七倍的整数等于它，所以这个东西一定要是七的倍数，你要七的倍数。然后我是这么分析的啊，你的八十四 除以七于零，八十三加八十五除以七， 不用废话，也是余零的，再变小一个，你变大一个，一箱加除以七也是余零的。好，八十四搞定了，八三，八十五搞定了，八二，八六搞定了，好， 八七加上八十九除以七于几。八七加八九除以七于几，他比八十四多了个三，他比八十四多了个五。三加五等于八，八除以七于几呢？于一，这七个数加起来 全部除以七于一，所以一定有个数重复了，这个重复的这个数 除以七应该于几。这七个数除以七是于一的，那么重复的数除以七应该于几，你要全部整除啊，所以是不是要除七于六啊？哎，负一，负一就是六二，负一就是六。 好了，这里面哪一个数除以七二能除尽，这是不是于六的？所以这个重复的数就是 八十三，所以这些地方就是八十二，加上八十三，再加上八十三，再加八十四，再加八十五，再加八十六， 再加上八十七，再加上八十九啊，这八个数是这样子的，所以我们看下它们的和等于几啊？每项都有八十，有 八个，八十八，八六百四，再加上二加三，五五加三十八，八加四十二，十二加五 十七，十七加六二十三，二十三加七，三十三十九，八八六十四，六百七十九。哦，这八个现在是六百七十九，然后那么我们的 a 一 加 a 二，一直加到 a 八，就这块等于几呢？这块是不等于六百七十九，再除以个七，六百七十九，除以七，我们来算一下啊，七九六十三， 七七四十九，九十七，这个题型做出来了，为什么？ a 一 加的 a 八是九十七，我把这个一减，我把这个一减算出来，是不是就是我们 a 八九十七减去八十二十五，然后再把这个一减 是不是给算出来？ a 一 九十七减去八十九，就等于八，所以最大的数十五，最小的数八，两个相加二十三，搞定结束。

上一个视频我讲了这次广东一摸的单选亚洲，那这个视频我们就干多选亚洲了。你看这种立体几何的题目，经常说啊，小题一般不见系，大题一般要见系。但是这个题不一样，我决定 ab 两个选项用间隙的方法解决， cd 选项用几何法解决。 因为 ab 选项我感觉用间隙的方法能给大家说的更清楚， cd 选项是又能说清楚又简单。 你们看这个题有个特点啊，他说 a、 b、 c、 d 四个点的位置实际上是不确定的。像这种情况，我强烈建议你一定要在不确定当中去确定一些东西，这样才方便后面的研究。比如他说 ab 是 直径， 那么 abc 一定在同一个大圆上，那我干脆就令这三点在一个竖直的大圆上，这样就很好接地气了吗？对不对？向右 o， a 是 挨个轴，正半轴，向上是外轴，再建一个 z 轴。 他还告诉你角 a、 o、 c 是 已知的，那我就把这个角用 c， 它表示。又为了方便计算，我就把球的半径啊，令它等于一好，这样 c 点的坐标就可以用 c， 它表示 ab 两点的坐标也是非常简单的。好，他还说 c、 o、 d 这个角度是已知的，那我干脆就那个角度是反。 那么显然， oc 和 o d 的 数量积就应该等于 cosine sine。 好， 这就得到了一个方程，再加上地点是在球面上，那么地点的三个坐标的平方和应该等于球的半径，这就又得到了一个方程。注意，这两个方程是根据题干条件得出来的，所以后面的选项是都能用到的。好，我们看 a 选项， 他说 a、 d 的 长度是已知的，那么根据两点间距离公式，就又得到了一个方程。注意，你看啊， 如果方程二减去方程三，你是不能求出一个唯一确定的 x 零，哎，再把这个 x 零带到方程一，是不是就能求出一个唯一确定的外零？再把这一组唯一确定的 x 零和外零带到方程二，是不是就能求出一组互为相反数的 z 零？ 它表示什么意思呢？它表示这样的地点是不是有两个？这两个地点的 z 坐标是互为相反数，说明这两个地点它是关于平面 abc 对 称的，说明这两个地点到平面 abc 的 距离是相等的，说明这两种情况下，三棱锥 abc 的 体积是相等的， 所以它的体积是唯一确定的，因此 a 是 正确的。再看 b 选项，他说 c、 b 和 c、 d 的 夹角是已知的，那我干脆就设这个角的为伽玛嘛。所以 c、 b 和 c、 d 的 数量基又可以表示成 c、 b 和 c、 d 的 模的乘积乘上 cos 伽玛。你看，这个式子很复杂， 只要等号左右两边展开再一合并，你会发现啊，方程四左右两边会同时出现 x 零乘 cos 加 y 乘 cos， 它 根据方程一这个东西，它是定值，等于 cos 与 f。 所以 方程四实际上就是一个关于 x 零的一次方程就能解出一个唯一的 x 零。好，再把它带到方程一，就能解出一个唯一的外零。 把这唯一的 x 零和 y 再带到方程二，哎，又能解出一组互为相反数的 z 零。你看，这就和 a 选项一样了吗？所以最后三棱锥 abcd 的 体积也是唯一确定的，所以 b 也是正确的。好，刚才我们用间隙的方法解决了 ab 选项，那接下来就用几何法解决 cd 选项。 几何法有一个好处就是看起来直观明了，一看就知道是怎么回事。好， c 选项，他说 c、 d 与平面 abc 的 夹角是已知的，那我就过 c 点做平面 abc 的 垂线，以这条垂线为轴，做两个全等的倒立的对顶的圆锥。 那么你想想，这两个圆锥上的两个底面的圆周上的点与 c 点的连线，与平面 abc 的 夹角，是不是都等于一个值啊？那这就有意思了吗？对不对？你不管题干说的 c、 o、 d 这个角度是多少，你都能做出这样的两个圆锥， 那这两个圆锥，两个底面的圆锥上的点，你不管能找出几个地点，它到平面 abc 的 距离是不是都是相等的，那体积当然就是唯一确定的了，所以 c 是 正确的。好了， abc 是 正确的， d 当然就是错的了。如果你非要判断 d 选项为什么是错的，那也简单， 你判断一个选项是正确的不容易，但是你要判断它是错的，你只需要找一个反例就行了嘛。我就找了这么一个特例， a、 o、 c 是 九十度， c、 o、 d 是 九十度，二面角还是九十度？那你想想，是不是只要地点在这个 红色的与 a、 b、 c 垂直的这个大圆的圆周上，它都满足前面的这个条件，而这些地点到平面 a、 b、 c 的 距离都是不一样的，体积当然不是确定的了啊。所以这道题选 a、 b、 c。

十四题呢，是一个圆锥曲线的题目，这里说的是 f e f 二为椭圆上的两个交点，过 f e f 二呢，分别做椭圆 c 的 切线， l 的 垂线垂直为 h e h 二，当 o h 一 垂直 o h 二的时候，三角形 o h e h 上的面积是多少？那么这一题考的是 圆内曲线的椭圆的一个光学性质，什么意思呢？假设切点是 p， 那 么我们把 f 一 p 和 p f 二这一个线连起来，那么过 p 做一条垂线，这个切线的垂线，那么这一个呢？这两个角度就相等，相当于是我一个光线从 f 一 发射， 经过 p 点反射，必定会通过 f 二。好，这个是椭圆的光学性质，那么这一个呢，就是 这两个角相等，从而隔壁这两个角相等。那这样的话，我再把 f 二 p 延长，交 f 一 h 的 延长线于 f 三这个点，那这两个角相等之后呢？这又是垂直，所以这两个三角形就全等。全等之后，我们的 p f 一 就等于 p f 三， 那此时我们的 f 二 f 三就等于 p f 三，加上 p f 二，那是等于二。 a， 这题 a 点二，那它就等于四。 f 二 f 三等于四，现在 o 为中点， h 一 为中点，那所以现在的 o h 一 就为三角形的中位线，它就等于二分之一的 f 二 f 三， 那这样的话呢，就等于二。同理，我把这一个往这边跟刚才一样的延长，但是这是 f 四，那我一样可以得到 f 一， 这里 f 四，它的长度呢就是二， a 就是 四，那么这个中线，这个也是二。 好，那这里的二级结论是什么呢？相当于我过交点往这一个切线做垂线，这个垂足到原点的距离就是 a， 那 么 这一个我们呃求出来之后呢？这里刚好是九十度，所以 s 三角形 o h 一 h 二的面积就是二分之一的 o h 一 去乘以 o h 二，那也就是二分之一，乘以二，再乘以二，答案就是二。

高考立体几何证明，难倒很多人？今天教你垂直证明，怎么用反推法让证明变简单。这节课我们将来学习空间几何中的垂直的证明的一个问题。然后垂直问题分三种，第一个就是线线垂直， 第二个就是线面垂直，第三个就是面面垂直。首先线和线垂直就很简单，对吧？就是证明，怎么证明呢？就可以用这个勾定里 是不是可以证明？你看如果他符合勾股定律，是不是这里就会有个垂直，对吧？这个就简单的，然后我们还有正余弦定律，就是通过算出边上也能算出来他是一个直角。然后重要的就是什么呢？就是我们这里面会有一个 菱形啊，菱形除了对角线会垂直以外，他还有个什么性质呢？很多出题的只要看到菱形和六十度角， 好吧，所以他会和六十度角去结合，有个隐藏的垂直就在哪里呢？如果这个角是六十度，我把一个顶点和这个中点连接起来，这个角会垂直，为什么呢？你看我把它连接起来，看上面这个三角形啊，是不是三边就会相等了，就相当于是， 对吧？所以这个是很多东西都忽略的一个问题。然后其他的，而且那个什么梯形里面也有那个对角线垂直的情况，那个就完全可以用那个国物理等等等等都能算出来的啊。好吧， 所以线线垂直是我去证明后面两个的基础，我只有线线垂直了才能证明线面垂直。那么怎么去证明线和面垂直的呢？就是要证明我一个面里面有两条线，看到没？分别和它垂直，那么下面这个面， 对吧？就是这样子的，所以我才会有这条线啊，这条红颜色，红颜色的线 和下面这个面垂直，这个就线面垂直。那么面面垂直是什么呢？面面垂直就是两个面垂直， 对吧？那两个面垂直我们怎么去判断的呢？就是说我这里面有这个面，里面有一根线垂直于下面那个面啊，好吧，就是垂直这个阿法， 那么你看我就可以说，如果啊，这个贝塔是过这个 l 的， 那这个贝塔就会垂直 r， 对 吧？所以它的本质是不是还是线面垂直，对不对？所以， 嗯，你要说它有平行兰吗？它没有，只是这里面会有一个方法，我们等一下后面会讲的叫反推法，因为很多人看不出来它是垂直的，对吧？然后这个面面垂直里面有个很重要的性质啊， 就什么呢？就是如果就用这个图来说啊，这个文字你们自己去看，就是如果我两个面是垂直了，然后这个 l 它垂直于这个交线，这个是交线啊， 好吧，那这个 l 就 会垂直于 r， 这个我们在平行里面也也经常用到，只要你看到面垂直于面，那这个定你是一定一定不要忘记的， 好吧？然后刚刚说了三个垂直，其实不管题目是让你证的线线垂直还是线面垂直还是面面垂直，它的本质都是要你去证明线面垂直，我才有线线垂直， 好吧？然后，嗯，面面垂直的，一样的，是线面垂直才有面面垂直吗？对吧？然后很多同学就说，为什么不是线线垂直去推出来线面垂直呢？ 但是你在大题里面，你，你随便去看，只要问的是线线垂直的，它里面一定是先正线和面垂直之后才去证明线和我的一个线去垂直的，很绕的，这个等下我们讲题你就知道了啊，好吧， 那我们就看一下，先从简单的开始，然后你看这个就线面垂直嘛，对吧？嗯，刚说的线面垂直就要找线和两条相交的线啊，相交的线， 嗯，然后他说在这个三棱柱中， a、 b 是 垂直于侧面 b， b， e， c， e， c 的， ok， 就 相当于这个这条线啊，垂直于左边那个面的，然后 ab 等于 bc 等于一， ok， 这是一，然后 bb 等于二 就等于二，然后 bcce 等于三分之派， ok， 这个角就是六十度。然后呢，我们证明的就是 c 以 b 垂直于这个底面， 那他一定要找 c， e， b 垂直于两条相交的线，对吧？ 这个简单，这个一眼都看出来。因为我题目里面看 ab 是 垂直于面 b， b， e， c， e， c 的， 所以 ab 是 不是垂直于这个面里面的任何一条直线，刚好里面有谁有 c、 e、 b， 对不对？所以第一条我们就有了，这是第一条，这是第一。第一条垂直， 那是不是再找另外一条垂直就可以了？我们那怎么去找呢？嗯，这里我们没有别的的条件了，因为它里全是 ab， abc， 你 自己看一下啊，我 ab 已经组合了，要不就 abc， 要不就 ac 嘛， 对吧？ ok， 我 们先从 bc 入手，这是很多东西看不到的时候啊，你们就这样自己去量的组合，看能不能证明，然后刚好他给了你边给了你角， 对吧？所以就相当于这里是一，这里是二，这个是六十度。我们要把这个 c 一 b 先算一下，看他有没有可能能算出来，因为 c c 一 他也是二嘛，测能会相等吗？ 对吧？所以刚好你这里啊，很多同学说有个六十度，有个一有个二，那我这里就直接垂直了。你考试的时候你要怎么写呢？你要说口算，以六十度是不等于 b c 的 平方，加上 c c e 的 平方，减掉一个 b， c e 的 平方，去除一个二，乘以 b c 乘一个 c c e， 你 要这么去写，然后我算出来 b c、 e 等于根号三啊，这一步很重要啊，很多东西都直接去写的，所以要用余弦定律去写，所以才有了勾股定律，你写了之后才有了勾股定律。 好吧，所以这里有勾股定律，你们就自己去算，我就不去写了啊。所以你看第二个垂直不就有了， 对吧？所以就是 bc 一 就会垂直于 bc 嘛。好吧，过程，这个总结的过程你们自己去写，这里就就很简单。但是重点是什么呢？重点就是这里，这个是第二条垂直了吧，第二条 垂直于两条相交直线，你看，我就说又因为 bc 交 a b， 对 吧？等于 b 点这个东西就代表我这两条线是相交的，就是我后面的它和后面的 a b， 对 吧？因为都是 c e b 嘛，垂直于两条相交的直线啊，所以 我才有了什么呢？然后还没有，且 bc 和 ab 都是属于面 abc 的， 对吧？所以 c e b 就 垂直于面 abc。 看到没？关键一点就在哪里，这在这一步，很多东西你要是不写的话啊，可能在高考中他会是又做成一个扣分点的啊，好吧，所以这个就线面垂直， 对吧？他，他比那个，呃，我们的平行要简单很多，因为他的平行都很固定。 好吧，那我们看一下这个第二题啊，他说，嗯， p a d 垂直于这个 a、 b， c d 就是 左边这个面垂直于底面，然后 p a 等于 pd 等于二， ok， 然后四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为二的菱形， ok， 看到没？菱形出来了， ok， 六十度出来了， ok， 他 肯定有隐藏条件的，不然他不可能这么给你，对吧？ ok， 这也是二，这也是二，这也是二，这也是二。然后 e 是 a d 的 中点， ok， 然后让我们证明的是， b e， b e 在 哪里？ b e 在 这里。 垂直于什么？ p a d， ok， 首先你看到这个东西面面垂直，然后看到这个有个等腰，等腰说明什么？等腰是不是说明 p e 啊？ p e 啊？ pe， 它是垂直于 a d 的， 所以你以后你们看到等腰等边，对吧？有中点，那它不就会垂直吗？然后这个东西刚刚说了，两个面垂直一定会有一个什么性质呢？就是如果 等一下我画个图给你们，就如果有两个面是垂直的啊，哎呀，这笔等一下啊， 算了，就用这个吧，两个面垂直的，对吧？然后他说也没了，但是我们这个结论可以用，就是 p e 是 垂直于 ad 的， ad 刚好是两个面的什么线？ ad 交线嘛，对吧？所以 p e 现在就是垂直于两个面的交线，所以我能得到一个什么线，一个什么结论，是不是 p e 垂直于面这个底面， 对吧？这个就是我们刚刚垂直里面讲的一个两个面垂直的一个很重要的一个性质啊，所以这一步啊，大家是一定不能忘记的，所以你看，我就根据条件我就能推出来 p e 现在在垂直于谁？ 垂直于，垂直于我们底面里面的这根线， b e 嘛，就是我们题目里面有的，所以第一条垂直，这个就是第一条 不就出来了？那么第二条在哪里呢？我说了，你看菱形六十度，会联想到一个什么点，我把它单拎出来， 你看不出来？有一个方法，就是你把我这个底面或者你要的面这样把它单拎出来，字母坐标，终点坐标，对吧？坐标之后，然后 b e 一 连我说了， 呃，他说谁啊？ d a b ok， 这个角等于六十度，所以这不就垂直了吗？ 对吧？你怎么说呢？你就说我连接这个，因为它是菱形，所以 a d 等于 ab， a d 等于 ab 之后有一个角是六十度的，等腰三角形，是等边三角形，所以就等边了，等边了，所以 b e 不 就垂直于 ad 了吗？所以我这个条件就能得到的就是 b e 垂直于 a d 啊，好吧，所以一一个个条件去分析，很多同学看到这个，你看不出来，对吧？但是我说了，题目给你的条件他肯定有特征，面面平行，想到什么？想到这个， 对吧？然后这个等腰或者等边，就想到中线垂直，菱形有六十度，就就就一样的想到这个模型，怎么可能做不出来呢， 对不对？所以啊，你看我现在这里相当于谁垂直于 b 了，就是 a d 垂直于 b 了，这个不就是第二条， 对吧？然后就说明他们两个相交就是 p e 交 a d， 你 自己看一下，看图嘛，这两个相交是不是交于点 e， 不 就证明了两条相交的直线分别和我这条直线去垂直了，所以我不就证明了 b、 e 垂直于 p a、 d 了吗？ 对不对？所以啊，这个就是教你们怎么去用这个题目给你的特征，因为很多高考题他考的很难，等一下我们后面会会讲一道浙江卷的高考题，那一年难倒了很多那个第一位，好吧？ ok， 然后我们来看一下面面垂直啊。呃，面面垂直，其实我说了面面垂直，它还是线垂直于面，对吧？因为我只要证明了线垂直于一个面之后， 那么我过这个线的一个平面看到没，它也就垂直于这个面了啊。 我们看下题，他说四棱锥 a、 b、 c、 d 是 一个边长为二的菱形， ok， 看到没？二就是菱形和六十度啊，所以这个条件我下意识的我就要知道它一定会有个垂直的， 对吧？嗯，然后 e 是 c、 d 的 中点，然后 pa 垂直于底面 ab， 让我们证明 p b， e 垂直于 pa， b， e 在 哪里？ p b 在 这里，对吧？然后 p a、 b 在 那里，前面这个面， ok， 看着就不垂直，对吧？但是图是会欺骗我们的，因为我们会有一个斜二侧画法吗？四十五度的角，我们就要在斜二侧里面画成一百三十五或者四十五吗？对不对？所以我们怎么去做呢？ 你一定要记住啊，证明面和面垂直，刚刚说了要找到线和面垂直，那就要在这里面，或者在这里面去找一根线和另外一个面去垂直就可以了。那怎么找？我们就要根据图像来了， 那么从谁入手，我们现在看不出来，对吧？你不可能一个个去试，题目会给你提示，一定要记住，题目一定会给你提示的啊。好吧，那这里的提示在哪里呢？就是这个，你看我把底面给展开了， 就这样子的点标下 a， b， c、 d， 然后连接的是谁啊？连接是 b、 e 这样子的，然后有个六十度在哪里？ b c、 d 这个角六十度，我刚刚说了，这个角一定是个直角，因为一样的变变成了个等边三角形嘛，所以这个条件它就能推出来谁呢？嗯？ be 它是垂直于 c d 的， 图是看不出来的啊。 好吧，但是我可以根据这个条件去找模型，对吧？ ok， 那 这里的提示不就出来了吗？他不就让你找 b e 吗？所以我是不是就把这个题目我就转换成了找 b e 垂直于面 p a b 了吗？ 对吧？那怎么就证明呢？你看 c d 又平行于谁？ c d 是 不是又平行 ab 的？ 是不是这里就相当于是 b e 垂直于 ab？ 看没第一条有了吧，这个就是第一条， 对吧？那么我们只用找第二条呗。第二条还有一个条件没用啊，看到没？ pa 垂直于面 a， b， c、 d 这个条件我就能推出来 p a 不 就垂直于 a b， c、 d 里面任何一条线刚好 b e 在 a b， c、 d 里面，看到没？ b e， 对吧？所以你看 b、 e 垂直于两条相交的嘛， a b 交 b a a p a 啊，等于 a 点，对吧？所以我是不是就说 b e 就 会垂直于面 p a b， 然后就说又因为，呃，这个 b e 是 属于面 p b e 的， 所以面 p b e 不 就垂直于面 p a b， 对 吧？重点啊，重点就是相交啊，因为垂直里面的第一个扣分，扣分点一定是这个，你写没写这个相交的啊？然后其他的反正我就就用文字给你们说的，我这里就不去写了啊。 好，反正还是那句话，你写的越详细越好，然后要点是必不可少的啊， 相信你们只要能听得懂，相信你们自己去写，一定不会扣分，好吧， 然后再来看一道，比如说这这道这是四轮锥，然后 ab 是 平行于 cd 的， 然后 ab 等于一， cd 等于三， ap 等于二，然后 dp dp 等于二，被勾上三，然后 p a， d 是 六十度， 六十度，对吧？然后 a， b 是 垂直于这个 p a， d 这个底面的，然后 m 在 p c 上面动，然后它又 证明的是 p a b， p a b 垂直于 p c， d。 把这两个面标一下啊，就是 p a， b， 然后就 p c， d， 我 给这两这两个面干脆他们都没有交线了，对吧？所以又更难一点了，对吧？那么这里我还是从 嗯条件去入手，因为我要找到是线垂直于面， ok， 我 现在我不不知道到底是找的 p b 还是 ab 还是还是那个呃， p a 去垂直于后面这个面，还是后面的线垂直于前面的面，对吧？所以先从条件入手， 或者你们有经验之后一眼都能看得出来啊。嗯，看出来之后，应该像我这里看图就是 pa 要垂直于呃， 这个面 p c， d， 对 吧？但是很多人可能有的题看不出来怎么办呢？就根据条件去入手。怎么去看啊？这里有一个六十度，就 p a， d， 然后 a p 等于二，然后 p d 等于二倍杠三，所以这里 先用口塞六十度呗，它是不是等于二分之一，那它是不是就会等于 a d 的 平方加上 pa 的 平方，减掉 pa 的 平方，去除于二，乘以 ad 乘以 pa， 对 吧？然后把数字一代 a d 是 几啊？没有 x 方把它数给 x， pa 呢？ pa 是 四 二的平方，四吗？然后 p d 呢？就是一十二， ok？ 去除以一个二，乘以 a， d， 不知道 x 去，再去乘以一个 p， a 就是 二，下面就是四 x 吗？就是 x 方加四减一十二， 所以四 x， 对 吧？你不能说有个一比二三，那我另外一边有个六六十度，我直接说它是个直角，你要像这么去算啊， 所以就四 x 就 会等于二 x 方，然后后面是减几啊，减去一十六吧，就交叉相乘之后，对吧？所以就是 x 方减去二， x 加上减啊，减， 减去八吧，等于零。你看 x x， 然后就是一个是负四，一个是二，对吧？所以 x 等于四或者负二嘛？所以 x 等于四啊，看到没？所以你要去证明出来， 对吧？所以你要证明出来它那个 a d， 所以 说就说 a d 算出来等于四嘛？等于四刚好就是 有个垂直出来了，就是二的平方加上二倍根号三的平方，会等于四的平方嘛？所以就能推出来 ap 是 垂直于 pd 的， 各位，所以你这样也能知道，我应该是找的 ap 垂直于后面这个面， ok， 那 第一条，这个就是第一条 已经有了，那第二条在哪里呢？第二条我们还有个东西没用，看到没？然后又因为 a b 是 垂直于面 p a d 的， 所以就说， 哦，对，还有一个等一下，然后且 a b 是 平行于 c d 的， 是不是就相当于 c d 嘛？这里就相当于是，对吧？ 所以你看就 c d 垂直于面 p a d 嘛，然后就所以 c d 就 垂直于这个里面的任何一条线， 对吧？ ok， 那 这线里面刚好有 ap， 看到没，所以第二条看到没 ap， 所以 这个就是第二条。 所以你看，不就 c、 d 和 p d 交于点 d 吗？然后又因为 p d 交 c、 d 等于 d， 然后它们两个都属于这个面 p c、 d 的， 所以 p a 不 就垂直于面 p c、 d 吗？然后又因为 pa 是 属于这个面 p a、 b 的， 所以面 p a、 b 不 就垂直于面 p c、 d 了吗？ 对吧？所以我说说了面面垂直，你还是要去证明线面垂直，只是这里又稍微难一点，你要找到这根线，那怎么去找？找题目的提示， 你只用翻译出来一个题目的条件啊，翻译出来一个垂直，那我这这根线不就找到了吗？对吧？ 然后这个看一下啊，下一题就是他说四边形 abcd 为正方形， ok， 正方形先标一下，然后 b、 e 是 平行于 df 的， 就这两根线平行， 然后 ab 等于 b， e 等于 d， f 等于它，那我就先把它啊，比如说我把它设成根号二，那么前面的这三个东西都会等于一嘛， 对吧？所以， ok， 标一下 ec 就是 根号二，然后 ab 是 一， b， e 是 一，这个也是一，然后 d、 f 也是一， ok， 他 说了 ab 是 平，垂直于 bce 的， ok， 然后我们证明的是平面 a、 e、 c， ok， 先标一下 a， e， c 在 哪里， a， c 是 中间这个， 然后 b、 d， f， e 呢？ b d， f， ok， 是 这个， 对吧？ ok， 还是一样啊，我这个条件我还是要转换成线垂直于面，那么找哪一根线呢？题目看上去啊，是 a、 c 垂直于后面这个面，对吧？我，我有可能这个里面是找的 a、 c， 因为看图 对不对？ ok， 然后我们就从题目入手， ok， 这个正方形，这个条件它有什么用呢？正方形不就是对角线垂直吗？所以就是 a c 垂直于 b d， ok， 你 看，这不是有了天然的第一条吗？ 对吧？然后再去找一条就可以了。然后我们这个边还没用到边，起码这里会有个垂直，因为是相当于是一比一比根号二吗？ 对吧？ ok， 先写着 b 垂直于 bc， 对 不对？ ok， 这还有个条件，就是 ab 垂直于 bc， 那 么这个条件一定能得到 ab 垂直于里面的任何一条线嘛，对吧？那是谁呢？你看，这里有个 bc 嘛，那就找 bc 呗， 对吧？那为什么不找 b e 呢？等一下你，你也可以把，你们就也可以想一下，为什么不去找 b e， 因为如果我找了 b e， 你 看啊，就相当于 b e 又垂直于 bc， 又垂直 ab， 是 不是就相当于 b e 要垂直于 abc 啊？ 嗯，这么看呢，好像有用，对吧？所以你看它是不是就相当于我这里，其实你自己要在脑袋里面去想一遍， 那么我先把 b 啊，因为刚刚想了一下，好像有点用，对吧？所以你看， b 垂直于 bc， b 垂直于 ab， 那 么 b 就 会垂直于这两条线构成的面，就是 abc， 对吧？那 b e 垂直于 abc 的 是不是就相当于 b e 不 就垂直于 a c 了？哦，刚好看到没？刚好有了 第二条，所以你看，嗯，是不是 a c， 这有个 a c， 这有个 a c， 是 不是垂直于 b d 和 b e 形成的？然后就 b d 加上 b 等于 b 吧，对吧？然后就又说，他们两个都是属于这个平面 b d、 f、 e 的， 所以我就能得到 a c 不 就垂直面 b d f e 了吗？所以，又，因为，嗯， a c 又是属于 a e c 的， 对吧？ 所以就是 a e c 这个面垂直于 b d f e 这个面了， 对吧？所以，嗯，条件就是一个个去试的啊。好吧，因为高考提的那个图虽然很标准，但是你还是看不出来到底谁和谁是垂直的。 ok， 这个面面垂直还不难，难的是线线垂直啊。 接着就是线线垂直。我刚刚说了，其实线线垂直它还是要你先证明线面垂直，线和面垂直之后我们才有线线垂直啊。这个，嗯，有点绕。先看题， 他说 e、 b 是 垂直于底面这个 a b c d 的， 然后 a、 d 等于 c， d 等于二倍杠三， ok， 二倍杠三，二倍杠三，然后 ab 等于 ac 等于二 表一下，然后 abc 是 一百二十度，然后 g h 分 别是中点，然后 m 是 b 上面的动点，他说让我们求证 g h 永远垂直于 dm， g h 垂直于 dm， ok， 那 我为什么说这个东西要转化到线垂直于面呢？因为线线垂直。 呃，才有了线面垂直吗？但是那个线线垂直是他们在同一个平面，这个就相当于是意面了啊，就所有的意面直线垂直，其实都要转换为线垂直面，那什么意思呢？那这里其实就相当于我 g h 就 要垂直于一个面，然后这个面里面要含有 dm， 我 们一眼都能看出来，应该就是找的就是这个面吧，就是我现在标蓝颜色的这个面吧， 对吧？所以我就这里应该是垂直于面 dbm， 因为它垂直于 dbm 之后我才有 g h 垂直于 dm， 对吧？所以这个是我们能看出来的啊。等一下还有看不出来的，那能看出来就这里就很好证，因为就相当于我如果连接了 b d 之后，就连接 b d 之后，那我是不是就会两边的这个三角形，是不是就会全等呢？就相当于是，对吧？那全等是不是就肯定会有那个能证明出来 g h 这 g h 是 垂直于 b d 的， 对吧？就用全等去正就可以了啊，好吧， 有可能不会这样，你看就是，你看就这两个角它会相等吗？然后 g d 又会等于 d h 吗？然后他们又有他公共边吗？看到没？就两个三角全等，你们就这么去写就可以了。就是比如说，就说三角形嗯， g d 夹的这个点啊，这里有个点，好吧，这里有个点，设成 p， 好 吧。呃，就是 gdp 是 全等于三角形 hdp 的， 你们就这么写，然后才推出来的这个啊，那么就相当于它是个等腰三角形，那么对吧？ ok， 那 第一个垂直 我们有了，对吧？这是第一个，那还要找个谁啊？还有个条件没用吧？就是这里 e b e b 不 就是 mb 吗？所以就相当于 mb， 他 是垂直于面 a、 b c、 d 的， 所以我就能推出来 mb 是 不是垂直于 a b c、 d 里面任何一条线呢？ 里面刚好有 g h， 看到没？所以这个就第二条 g h 又垂直于 b d， g h 又垂直 m b， 所以 就有了 g h 垂直于面 d b m， ok， 所以 g h 垂直里面任何一条线，但是你写的时候就说 就这么写，反正前面的我都教你们怎么写，然后后面的啊，就说又因为嗯 dm 是 属于这个面的，对吧？ 这个要写清楚，所以嗯， g h 就 垂直于 dm， 看到没？所以这个就是我刚刚讲的所有的垂直其实都是线面垂直在哪里？在这里就是要你去找的这个线去垂直于这个面， 他不管是面面垂直啊，面面垂直就是一样的把它转换成线垂直面嘛，然后线线垂直，他也是线垂直面， 对吧？ ok， 然后再看一道啊，这个折叠的啊，折叠的有一点点难度， 他说 ab 等于五， ac 等于七，然后 d 为 ac 上的点，然后 b、 d 等于 c， d 等于四， ok， 所以 这是三，所以三四五刚好这里有个直角， 然后就是以，就是沿着 b、 d 这样折起来嘛，然后得到图案这种，然后 m 点是 b、 c 的 中点， 然后 am 又垂直于 b、 c， ok， 那 这两个东西是不是就是相当于，呃，就是等腰三角形呢？对吧？所以就是 ac 就 会等于 ab， 对 吧？所以你看到这这种很明显的模型问题，你就先把这个结论先写出来，就用铅笔在试卷上面先写出来， 那它的正面就是 ab 垂直于 c、 d， 那 么同理，我这里要找到的是线垂直于面，那线线垂直其实是垂直里面最难的，因为我到底是前面的这个线垂直于后面的一个面，还是后面的线垂直于前面的一个面呢？我都不知道， 对吧？所以还是要根据题目给的提示去做吗？嗯，刚刚我们得到那个 a、 c 等于 ab， ab 是 五，所以 a、 c 它也是。我们先把这里的边修都标一下，然后这是四， a、 d 就是 三，然后 c、 d 就是 四，看到没里边一标就能看出来三是五吗？就是就看这个三角形啊， 对吧？就是 a、 c、 d 这个三角形是不是就是一个勾股定律了？所以这个条件我又能推出来一个什么呢？就是 c、 d 是 垂直于 a、 d 的， 对吧？ ok， 所以 提示不就出来了，是不是？这里我其实就是要转化的 c d 垂直于一个面， 对吧？那么 cd 现在垂直于 ad 了，然后这里我就可以反推了，那 cd 又垂直 ab， 那 是不是就垂直面 abd 了？看到没找面，我就这么去找，所以反推去找面 是很好找的，所以一定要学会反推，懂了吧？就是根据，因为我们能够根据题目算出来的，一般情况下只有一根，对吧？那么我们再结合我们题目要证明的东西再去证明吗？等一下我们要讲的那个浙江卷的题，他更加啊，就要运用运用的这个反推啊， 那么这里我就证明呗，对吧？反正 c d 垂直于 a d 这个东西我们刚刚证明了，那是不是？呃，除了 a、 d 以外，现在题目是让你 a， 让你证明 ab 嘛？所以我是不是只剩下了 b、 d 了？所以我现在还要证明 c、 d 是 垂直于 b、 d 的， 对吧？就相当于我要你证明这个角是一个直角，然后这个角有没有了，有吗？你看我，我把这个三角形沿着它折起来的时候，这个是不是天然形成的， 对吧？所以两个垂直我们就都出来了，所以根据这两个垂直，我就能证明 c、 d 是 垂直于面 abd 的， 所以我才会有 c d 垂直于垂直于那个 ab 啊， 对吧？这道题很简单，好吧，然后我们再讲一段那个， 嗯，这张卷这题啊，这题也是当年很难的，对吧？但是你按照老师的这个反推啊，反推法很简单， 我们看一下题啊，他说四能追，然后底面是个平行四面形，不是这一题啊，应该这一题啊，一九年的这一题啊。 好吧，反正这题你不用反转音，基本上啊，可能很难看出来，除非你对空间想象很好啊。然后他说你这三楞柱，然后 a a e， 然后 c e c 是 垂直于地面 abc 的， 然后 这个角 abc 是 九十度，然后 a a 等于 这个东西，我把它设个值，好吧？比如说设个设个设个二，好吧，这个就是二，然后 a e c， 这也是二能等于 a c， ok， 然后他说，嗯， ef 分 别是中点，然后要我们证明的是 ef 垂直于 bc， 是 哪两条线呢？是这一条线， 然后 bc 是 这条线，对吧？这条线一样的，是意面嘛，所以我还是要先找到这线垂直面，但这里我们怎么去找啊？因为这个图真的， 嗯，很抽象，可以说是，对吧，所以你看我怎么去反推啊？反正我就先把条件去搞清，搞清楚，首先有个等边三角形，然后 e 又是终点，所以一定会有什么， 这个 a e 是 垂直于 a c 的， 对吧？就根据这个条件，然后根据终点能推出来它，那推出来它之后， 嗯，好像没用，你看这是 a c， 这是 a e， 这是 e f 测 bc， 对 吧？没一没一条边可以用的， ok， 那 么我们从谁去入手呢？还有一个条件，九十度，那这个九十度是不是就相当于是 bc 垂直于 ab， ok， 你 看现在不就有了？然后题目这里有个 bc 垂直于 e f， 看到没？我就先把这个题目的条件拿来，这是要证明的嘛，我就拿来，我就去反推，到底是要我证明的是哪一条线垂直于哪一条面，对不对？ ok， 然后乍眼看去啊， a b e、 f 好 像都没有交点，但是我们会有一个平行的性质吗？就什么呢？ a b 和谁是平行的？ a e b e 看到没有？所以 bc 垂直于 a e b e。 现在 a e b e 和 e f 是 不是就会有一个交点呢？就是 f 看到没，所以它这个面积是隐藏的很深，它没有画出来， 所以应该是我这个红颜色的面，所以 b c 就 垂垂这个红颜色的面了吧，就是 a e b e， 懂不？所以你看这个题目，其实你如果不会这个反对，你要看半天的， 对吧？ ok， 所以 我现在只用去证明他不就可以了，对吧？那题目这个条件是不能用的， 对不对？但是 bc 垂直于 ab 这个条件我们可以用，所以这是第一条，因为我就可以把它说成 bc 垂直于 ab， 因为这两 ab 和它是平行的，所以这个条件是我们可以用的，那么还差一条，对吧？ 抬出一条在哪里呢？在这里嘛，看到没？面和面垂直。说了，面和面垂直有一个很重要的特征，刚好看到没？它垂直交线，两个面的交线在哪里呢？是不就是 a c， 对吧？这条线就是他们的交线，所以我这里又会多出来一个结论，就是什么 a e 要垂直于底面嘛？ a b c， 所以 它又垂直于底面之后，所以 a e 它不就垂直于谁啊？ b c， 对 吧？所以这个就是第二个，这是第一个，所以两条线看到没？所以第一条线刚刚证明了，就是 b c 垂直于 a e b e， 然后第二条线就是 b c 垂直于 a e e， 对 吧？然后这两条线 a e b e 和 a e e 是 不是都是属于哪一个面面？ a e b e e， 所以 我是不是就得到了 b c 垂直于这个面？ 所以我是不是就能知道 bc 是 垂直这个面里面的任何一条线吧？所以不就垂直 e f， 对 吧？所以这个就是反推法啊，好吧，当然了，如果你第一眼能知道我面面垂直，先推出来它，再再推出来它，再推出来它，一样的也能知道 bc 应该是垂直这个面的啊。 好吧，所以反正两个方向都是去反推，好吧，所以这个就是，嗯，线线垂直。线线垂直是高考题里面就我觉得啊，是属于那种让你证明平行和垂直里面最难的题型了， 好吧，因为线线平行，垂直里面它既有那个，呃，证明线面垂直，对吧？主要是这个线和面就我们很难去找，就这一步啊， 很难去找，所以我们才会用反推法，就是把题目的条件当做已知条件，然后去带入到我们能算出来的条件里面去，然后他才会有线和面垂直，对吧？因为我不知道到底是选 e f 还是选 bc 去垂垂面啊。 好吧，反正原理就是就是这个原理，但是根据他题目的不一样啊，反正第一步 根据题目的提示去啊，一定不要看图。嗯，如果你空间感很强，那你看图就没有， 呃，错误了。但是如果你空间感不是很强，你去看图，对吧？可能会让你白算很多啊。那为什么不把题目条件一个个去翻译呢？对应的模型面面垂直，就去找交线，看有没有垂直的，对吧？然后菱形中点有六十度的话，它也是垂直吗？ 然后等腰、等边它也是垂直嘛？然后要不就是给了你边，给了你一个角，你用口上引去算嘛， 对吧？所以每一每一个条件都是对应一个模型，就就是相当于是，所以你先把这个模型的结论先一定要熟练。好吧？反正我们也讲了这么多嘛，特别是这道高考题，对吧？ ok。

我岳云鹏讲二零二六届广东一模的压轴多选择题，这里半径而已知，阿尔法等于角，右系贝塔等于角 c、 o、 d 也已知，进而根据题设四面体 a、 b、 c、 d 中这四条边已知，且 a、 d 垂直 b、 d、 a 选项 a、 d 已知，则根据勾股定律可以求出 b、 d。 进而四面体的六条棱都确定好了，进而面积也确定好。 a 对 b 选项角 b、 c、 d 已知。在三角形 b、 c、 d 中使用余弦定力可以求出 b、 d。 再用高股定力可以求出 a、 d。 同样的也能得到 b 选项正确。 至于新选项，我考虑做 d h 垂直底面于 h， 此时 c、 d 与底面加角西塔为角 d、 c、 a 进而高 d、 h 已知，而底面面积同样也已知，进而体积可以唯一确定。 至于 d 选项，如果是已知的角 a、 o、 c 和 c、 o、 d 均为直角，此时可以验证二面角为九十度，这时候点 d 取法并不为一，进而体积不为一增加。这个条件无异于画蛇添足，并不能唯一确定体积。 d 选项错。

好，今天我们来讲解一下近期学生提问的这个广东一模的这个填空压轴题啊，他说这个题参考答案或者学校老师讲的很复杂，我们有没有什么很快速的做法呢？可以 有的啊，我们这个题的话，我拿到的话就用了二十秒就做完了。我们来看一下 f 一、 f 二为椭圆的两个焦点，过 f 一、 f 二分别做椭圆 c 的 切线， 垂足分别为 h h 二。他说当 o h 一 垂直 o h 二的时候，问我这个面积，那如果说你积累过这个结论的话，其实非常简单， o h 一 就是 a， o h 二也是 a， 然后因为它垂直，所以它 s 就是 等于二分之一 a 方，那这个题目的 a 方就是四， 所以他答案就是二，我做的话应该大概不到三十秒就做完了，把题目读完就做完了。好，那我们来解释一下，为什么 o h 跟 o h 二一定是 a？ 这是蕴涵在椭圆光斜性质中的一个比较重要的结论，我们来推导一下，我们来看这么一个椭圆， 椭圆的光斜性质大家都知道，就是由一束焦点发射出去的光，最后反射光线一定经过另外一个焦点，这是椭圆的光学性质， 对吧？好，那我们就有这样的一个结论啊，过椭圆的焦点，向任意向任意一条切线，我们做垂线，那他的垂足的轨迹必然满足 o h 等于 a 啊，那这是为什么？我们来解释一下，比如说这是一条切线，那我这里 f 往这里做一个垂线，叫做 h， 对 吧？那因为我们有椭圆的光线性质，知道 这两个角，这个角阿尔法的话，这个角一定是阿尔法，为什么呢？因为这是镜面，相当于，那么这个就是法线，然后这是发射出去的光，入射光线，反射光线，这个就是北塔，北塔这两个角一样，这两个角一样，然后这是九十度，所以说这两个角是一样的， 对吧？这角是阿尔法，这角阿尔法。好，那我们如果说把这个 f 一 做这个这条切线的一个对称点，比如说 f 一 撇吧，我这里可能 有点画不下了，我们就是往上看，比如说做这个切线的对称点是 f 一 撇，对吧？那我们知道这个 f 一 撇，它延长下去肯定是这样子共线的，这是为什么呢？这其实很简单，因为如果你记这个角是阿尔法，那么我做对称点的过程中，这个角是不是阿尔法？那由对定角相等的话， 这两个是对顶角相等的，那么他一定是贡献的，一定是这样子的，对不对？好，那一定是这样子的话，那这个题就做完了。相当于这个是 f 一 撇，这个 f 一 撇和这个 p f 二一定是三点贡献的，因为这个角阿尔法，这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法，那么他是不对顶角，一定要是对顶角了，那他肯定是贡献的。 好，那知道这个结论之后，这个题就很快做完了。为什么这个 o h 一定是 a 呢？我们来看这个 o h 是 什么？ o h o 点是不是 f 一 f 二的中点？那这个 h 是 不是也是 f 一 f 一 撇的中点？因为它是对称点嘛，所以 o h 就是 平行且相等于二分之一的 f 一 撇， f 二 就是二分之一的这条线段长度，对吧？那这条线段长度是什么？这条线段长度 f 一 f 一 p 就是 这条这条线的长度，然后，哎，然后就是这，然后呢？这一段线段长度加这一段线段长度是二 a 啊，那么我们是不是可以把这一段线段长度折到这里来，那么就意味着这一个整段线段长度就是二 a， 整段线段长度是二 a， 所以 o h 就是 a 了。 所以说我们有这么一个结论过，椭圆的交点向其任意一条切线做垂线垂足，必然在圆点为圆心长轴二 a 为直径，圆上相当一定在圆点为圆心， a 为半径的一个圆上， 所以 o h 一定是 a， 这是由椭圆的光斜性质推来的。好，那你知道这个问题的话，那这个题我们就迎刃而解了，你看这是不是切线交点向切线做垂足，那么 o h e 和 o h r 都是 a a a， 所以 就有有了。一开始的我们为什么是二分之一 a 方直接就是二，就把它做完了，所以这个题目呢，我们本质上是用可以用椭圆的光学性质来给它进行秒杀的，那我们本题就讲解到这里。

每日一题，广州一模立体几何这道题是选择压轴，不少同学没思路就跳了。实际上这题本质是初中几何，就是大家都学过的将军印码。第一步，把图画出来，可以发现 b 点要在 a c 上才能取到最小值， 这样就把立体变成了平面，再把平面图画出来，通过题目的二分之根号二，可以想到构造三角形， 从而把系数去掉，然后就能找到最值了。你学会了吗？别忘了复习初中数学哦，有时也能派上用场呢！

我萨贝尼用两种方法解二零二六届广东一模的压轴填空题。方法一，我直接设切线凹方程，连力凹于椭圆方程，根据相切得到判别式等于零， 进门得到仪式 f 一 h 一 垂直凹，由此写出 f 一 h 一 方程，并求出 f 一 h 一 与凹焦点 a 七坐标同理，求出 a 叉坐标。翻译 o h 一 垂直 o h 二可以求出 m 的 平方， 带入这一式可继续求出 k 的 平方。接下来求出底和高，进而求出面积。方法二，需要用到一个结论，椭圆焦点在椭圆切线处的射影横在以椭圆长轴为直径的圆上， 由此很容易得到 o h 等于 o h 二等于二，进而推出面积为二。可以看出，就本题来看，直接使用二级结论确实更为简易，但不使用二级结论同样也能解决此题。

同学们，欢迎来到今天的数学专题讲解，我们来看这一套广东二零二六届高三一模试卷的填空题，共三道题，每题五分，总共十五分。这三道题分别考察了等差数列的性质、圆的标准方程求解， 以及椭圆的切线与几何性质综合应用。接下来我们逐一拆解每道题的核心解法。本页包含三道经典填空。第十二题，等差数列基础性至巧用中项公式秒杀球和 第十三题平面几何与圆的结合，利用半径相等球圆心。第十四题椭圆综合压住融合切线垂直 其面积问题。先看第十二题，已知等差数列中第五项是三，求前九项和这里有 各秒杀技巧。利用等差竖列的性质前九项和等于九被的第五项直接得出答案二十七。然后是第十三题，求月牙形对应的圆 c 的 标准方程。 题目说，两段圆弧半径相同，意味着圆点到 a 点的距离等于圆心 c 到点 b 的 距离。通过设圆心坐标代入两点距离公是连立方程，就能快速算出圆心是一逗号一半径 底平方是五，从而写出标准方程。最后是这道椭圆的压轴题，难度三颗星。 题目给聊团圆方程，过焦点作切线的垂线，求垂足形成的三角形面积。我们先设出切点，写 出切线方程，然后利用几何性质，通过角度关系和勾股定离线力等式，结合圆点到切线的距离公式 层层推导。这里有个重要结论，椭圆上某点的切线斜率与该点和圆点连线斜率的乘积是个定值。最终通过计算，我们发现这个三角形的面积其实是一个定 值，等于二，同学们掌握表示这个模型以后遇到类似题就能直接套用第十四题。还有更简变的几何解法吗？欢迎在评论区讨论。

原来这个才是广州一模，昨天搞错了，做了一个广东一模，这个是广州一模，我们一起来挑战这份吧，三分钟我们把试卷看一看。首先呢，我们等下要定上目标的选择题的话，那经过昨天的经验呢，我感觉 好像即使再难的试卷呢，也没没有必要把那个目标搞得那么夸张啊。昨天目标还改个幺幺五，就是严重超额完成任务啊。那这个难一点我们就幺三零，简单一点我们就幺三五， 按这个模式来就可以了，因为压轴题我也并不是说每次都不能写的，偶尔还是非常有机会的好。这里一个正三轮柱啊，出现一个这个玩意让我想到了什么考点呢？八十元对不对？十一题应该说有一定难度，但是可以选到一定的选项，这次我再也不贪怕了。 多选题，不要贪了，昨天贪掉了四分。这是一个什么问题呢？解色醒吧。好的，这个简单，这俩都很常规的，这里还有参考公式。 哼哼，怎么还有无穷大这个玩意，不知道什么鬼啊。极限版，然后这边导数，这边圆锥曲线，那么把这个洗掉。哎，这个怎么感觉见过呀。这不跟昨天那个题一模一样吗？啊，跟昨天题好像啊。是吧，很像的。 ok， ok， 很 常规的很常规的，不要想那么多 是吧，直接目标幺三零。这个满意，都是广告啊，签名。嗯，好像也没有什么需要做的事情了。我们这边打水卡也准备好了。那就直接开始吧。好，计时两个小时开始。 每次考完都是一声叹气啊。嗯，这个试卷肯定也不说比那套难吧。我感觉差不多啊，这边稳的十八题，这边也是稳的，这边十七题我都拿不满。那后面两个十五分， 十八十九，两个十五分加在一起，这里估计还要扣五分，就已经扣了二十了。那我能保证前面选对吗？这边肯定没错，这一面三个题没有问题，就看这个题对吧。这个答案看起来好悬啊。这个题蒙的，根据统计学啊，我们已经有三个 c 了，不可能再选 c 了，这个 a 也有两个了， 也不用再选了，因为 c、 d 这 b、 d 他 各一个啊，所以该选谁的问题那么就在 b、 d 里面产生，又因为选最小，那就选倒数第二小，这是不是倒数第二小我还没验证啊。差不多吧。 所以呢，这里我就选择了 b 选项。我还说随便带个值，带个特殊情况带进去，然后排除一些再来选来着，但时间不够了，就这样吧。 那就直接开始改卷，好像永远都是一百二十，这把应该也不例外。好的， c、 d、 b 没问题的，前六题都只要两分钟时间，然后 c、 a、 a 没问题的，前面做对面蒙的时候特别容易蒙，对的就统计学嘛，然后 c、 b 没问题。大家看啊， 就我们先排除一些再来蒙对吧，很稳的，很稳的，多个角度都要懵逼。那我肯定懵逼了，胡不归， ok， 胡不归这个问题我要去学习一下。 a、 b、 d。 第十题， b、 c 完蛋了， a， b， d， b， c。 嗯，这里我是判断过的，没有问题的。 a、 b、 d 是 吧，难题都写对了，这个题考理解过程呢，非常的简单，比这个简单多了。这个我最后时刻写出来的，但为什么最后是错的呢？嗯，有点奇怪，老规矩又扣六分，跟上套好像啊。 第一个四，第二个一到正无穷，也就是大于等于一，第十五倍刚好二。完了，这次填空没做对， 我分了那么多类，结果居然没有多倍，很奇怪的啊。这个 n 等于十五，那这边扣了十一分三十一，那这个顶天就是一百二了，所以 n 最大值为十四。这种基础题不会 需要仔细看啊。二分之根号三没有问题，我们也是二分之根号三，完美啊。那十七 t 我 就很好奇了，第一个屁就是阿尔法一减，阿尔法一减贝塔，这个没有问题的，难道只有三分吗？以前射击以获胜的概率为无穷等比数列，他写出这样一个式子，最后呢，他也是化了减的。 我是没有划剪的，但是我是可以看到其实就是我这个玩意，而且我觉得没有必要划剪啊，剪就是这个玩意没有问题。 r 发一剪。对的，这很简单的，没有问题。 然后他说 p 大 于 p 角，也就是被它大于，这个也就是这个。这个我也有啊，你看一模一样，这个东西等于这个东西单真，我这也能判断。单真到这我都没问题了。我有个小数二分之一。哦，忘了忘了，我只认为阿尔法大于零。忘记阿尔法呢是零到一之间这个范围了，把这个给我搞忘了呀。 那你说到这都没问题了。但这我没说，但是我已经能看出来啊。嗯，所以呢，这个最后我只只打算扣个两三分。两分吧，前面扣了那么多了。 哎呀，可惜了，这题差一点点。怎么忘了，阿尔法还小于一呢。一带进去不是二分之一吗？可惜了十九。哎，十八了啊，十八还没看十八题。第一， 十八题的这边我们的过程也是解要严密一点啊。嗯，四根法没有问题的啊，最后减区间一到这么穷，那正区间就零到一没问题。第二问先看他的解答吧，搞了半天，反正中上 a 等于一。 嗯，然后也是有极限的判定的。我也是有的，我一开始干了，后面打个勾啊，都是有判定的，没有问题，也就是等于一。 这边的话，他没有给分数，让我很为难啊。是吧，让我很为难啊。这边扣七分吧， 这边扣七分，后面扣八分，反两个题十五分呢，每次都是这样子，只要我这对了，那么后面呢，我就给自己扣一个，扣一个八分，反正两个题超过十五分， ok， m 最大值为四，没问题的。 都是硬着头皮去化简的呀，这个怎么可能错呢，对吧。这个没问题，负八分吧。第三位，那么直接算分的，这套试卷难度我觉得跟上一套是相当的，就广州的跟广东的模考难度相当的， 这里十七分，二十八就是幺二二。嗯，确实差不多，不同的地方就是上一套我是有失误，所以最后最后没达到一百三。这一套的话，说实话，除了这个题以外，我觉得其他地方我都不能算失误了。 这个题胡不归我确实是不会，但是啊，但是还是弄对了。算算吧，但是也是靠实力弄的。这个题我完全会的啊，我六种情况就算完了，最后取了个二十，难道还有比他更小的？很奇怪啊。 即使说概率题，多扣个两分也没关系，反正呢，一百二肯定是有的，差不了多少。所以这套试卷的难度我觉得还是一个中档偏一丢丢上啊。就总体难度而言呢，他也就比普通试卷稍微难那么一丢丢。 嗯，就是这样。好，明天汕头。

新鲜出炉的广东一模保姆级讲解来了，我将携手思源学长一起共同创作。 hello， 大家好，我是思源学长。由于时间过长，我们分两期发布，先点赞后关注，掌握知识，快人一步。 好，我们首先来过一下前几道送分题，首先我们来看一下第一道啊，他说已知集合 a 里面有两个元素，二和 a， b 集合呢， 有负二和 b 两个元素，然后他说 a 集合， b 集合是相等的，那它俩相等的话，说明它俩所含的元素是相等的，那么 a 就 等于负二， b 呢就等于二， 所以 a 加 b 就 等于零，这道题就选择二 b 选项。好，我们来看到第二题，那第二题的话，他是让我们求什么呢？求的是 x 的 平方的一个系数， x 平方向的一个系数。好，这很明显就是我们之前讲过的什么二项式定律。 那么二项式定里它含有 x 的 平方向，因为这里是加嘛，所以前一项和第二项，我们只要分别求出它的一个二项和后面这一项的二项就可以了，把它们再加起来就行。好，那有二项式定的那个公式，我们 打开式给它写一下，就是它含有二项的就是 c 四二的一的二次再乘以一个 x 负的平方项。好，它呢，算出来的话，前面的系数就是四乘以三除以二等于六。那么我们同样的，在 第二项里面，它的一个平方向的二次项系数是多少呢？就是 c 五二乘以一的平方乘以一个负 x 的 平方向。好，那我们就知道 c 五二的话就等于一个十，所以含 x 平方向的系数就是十，加上六等于十六，我们这个题呢，就选 好，接着我们来看一下第三题啊，第三题呢，他是考的负数，他说 z 等于这一大串，然后让我们求 z 的 膜，那么首先肯定是要把 z 它给化简出来的，对吧？那我们看啊， z 的 话，它等于什么呢？我们就每一项相乘就可以了哈。第一个是 cosine 七十五度乘 cosine 十五度加 i 乘 散七十五，扣散十五度，再加上 i 乘散十五度，扣散七十五度，再加上 i 方乘散七十五度散十五度，对吧？这是它的展开式，那么首先看谁和谁相关呢？第一个是不是扣乘扣和散乘散它们是相关的， 因为我们知道 a 方它是等于负一的，所以说呢，我们的式子数就变成扣扣减散散了，那扣扣减散散的话，我们就可以给它化简成扣散七十五度加十五度的一个形式，对不对？那后面我们看啊， 后面的话，这一串是不是 i 乘上这些散扣加扣散，所以说呢，是 i 乘上散七十五度 加十五度，那我们来化解一下，第一个它是等于 cos 九十度， cos 九十度呢是一个零，那后面的 cos 九十度呢？是不是一个一，所以说呢，就相当于它是等于 a 的， 那么 z 的 模就是选择 a 选项。 好，我们看到第四题，那正三角形的顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，那么这个抛物线呢，是 y 的 平方，等于根号三 x。 好， 我们就可以大致的把这个图像画一下，这个就是那个抛物线，然后正三角形的话大概就转个这样，那么因为我们知道它是正三角形， 所以我们应该是可以去简单的几何分析一下，我们就可以知道呢？我假设我设这个长度是 x， 那 这里的话应该就是根号三 x， 所以我们就可以知道，又因为这个点啊，它是在这个那个抛物线上嘛，所以我们就可以知道了。当我把根号三 x 带到这个 x 中去，或者说我们把这里设成 a， 如果不太好看的话，那么这里就是根号三 a， 或说我把这个根号三 a 等于 x 代到 y 的 平方，等于根号三 x 的 图像上去，我们就会得到一个关于 a 的 方程，最后代入的话，我们求得 a 就 等于三，所以最后这个 a 啊，它就是边长的一半，所以我们的边长呢，最后就选择 d 就是 六。 接着我们看一下第五题哈，他说第一句，已知数据 s 一 s 二的平均数为一，那平均数为一的话，我们能列出来什么式子呢？是不是 x 一 加 s， 二加 s 三 除以三等于一，所以它们相加就是等于三的。然后第二句，方差为二，方差为二的话，又能列出来什么数据呢？是不是 x 一 减去平均数，减去一的平方 啊？后面也是一样的，所有的数字减去平均数的平方，我们加在一起除以三是等于二的， 所以说他们相加就是等于二三得六的，这是前两个信息，我们得到的两个方程。然后我们看他问的是什么，问的是这一串数据的方差，这一串数据的方差的话，我们怎么列呢？ 我们看啊，我们要求这组数据的方差，那我们首先要求这组数据的平均数对不对？那他平均数怎么求呢？是不是把所有的数加在一起，我们把所有的数加在一起之后，除以六就是他的平 均数了，因为有六个数嘛，然后我们看我们是不是有三个 x 一， 三个 s 二和三个 s 三相加，并且减了一个三，是分子嘛？除以六的话， 我们看 s 一 加 s， 二加 s 三不是等于三吗？这是我们第一个方程，我们把三带进去，然后再减三除以六，九减三等于六，六除以六是不还是一，所以说这六个数的平均数就是一，然后我们再求方差， 方差的话呢，我们列这个式子啊， s 一 减一的平方，前面三个都是不变的，对不对？前面三个列完之后，我们看后面的是不是也是二四一减一，它减去平均数的平方数，就像二 s 一 减二的平方，对吧？ 好，我们把分子求出来了之后，除以六是不就是方差了？那我们看啊，前三个 我们是不是给了信息，前三个平方相加是不是等于六啊？那后三个平方相加等于什么呢？他的话是不是就相当于乘四倍了？就是四倍的左边这一条，他是可以化简的，对不对？ 所以说呢，就相当于是四乘六除以六，那最后就是等于五的，所以这道题呢，选择的是 b 选项。 好，我们现在来看到第六题呢，这个题其实还是比较有意思的，因为我们先看一下题目吧，右图边长 为三的九宫格，实际上到这呢，其实我们就可以啊，用一个什么像那个坐标的思路吗？但是这里会有个问题，就是十六个节点最后要求的是 a b 乘 a c， 我 们并不知道 a b 的 一个长度，也不知道它那个点在哪里，只知道它们是不 同的点，所以这个东西呢，它如果说我们按照求法的话，我们就会知道它实际上是 a b 的 模长向量的向量积， a b 的 模长乘以 a c 的 模长，再乘以它们的夹角，可算 c 塔好，它要求最大。在这里的话，实际上是会有三个变量，因为 因为我们并不知道每一项的具体的是多少，所以这就是这个题目有意思的点，你不能够去想三个变量怎么去统一，这个时候呢，因为它限制的只限制在一个一个的格点上，所以这里的话，你要不就是直接看出来，要不就是穷举一下， 但是呢，这里也非常容易找得到，就是我们要逆 a b 啊， a c 和 c theta， cosine theta 的 话是 c theta 角度越小， cosine theta 越大嘛，在这个图里面，所以我们就是刚好找到的是一个这样的项链和这个项链，这两个项链呢，它们的长度在 这个图里面是最长的，假设这里就是 a， 这里是 b， 这里是 c， 在 这个状态下， a b 和 a c 的 周长是最长，然后夹角 c theta 最小， cosine theta 呢就最大。这个时候呢，我们就可以去代入一个坐标，然后用坐标预算的话，可能就会快，因为如果你还要去想它那个 cosine theta 什么的话，可 就比较慢。如果说我们以 a 为坐标原点的话，我们就知道 ab 向量的坐标， a 是 坐标原点， ab 向量的坐标就等于一个什么呢？三二 a c 向量的坐标是多少呢？三三，他们俩的最大值就是三乘三加二乘三就是九加六选我们的 c 十五，所以这个题的答案就是 c。 那我们来看一下第七题，第七题他的考点就是立体几何的一个结面问题，我们看如图，这个正方体的棱长为四，并且 p 是 正方形的一个中心点， p 在 这里点 q 呢，是滴滴撇的一个中点，然后我们看过点 a、 p、 q 这三个点的一个中点，然后呢左边这个 一点，我们的洁面是什么样的呢？我们首先看我把 b、 b 撇平均分了一个四等分点，我把 c、 c 撇呢，也是这样分的哈，然后它的洁面就什么样的，我连接一下 这个粉色的面，就是它的洁面。然后我们看它是把正方体分成上下两个部分，并且它要求的是较小的那一部分的体积。那我们看这个不规则的 立体图形，我们如何求它体积呢？肯定是要转化成我们会求的这些立体几何嘛，对吧？那我们看一下怎么转化，我首先设这个点为 m， 这个点为 n， 然后我连接一下 m n， 那 我们看啊，我用绿色笔画出两个 平面，我们看这两个平面和这三条高所形成的图形是一个什么图形呢？是 是一个三棱柱啊，我们看因为下面这个部分肯定是较小的那一部分嘛。然后我把这个较小的部分呢给分成了一个三棱柱，绿色的两个面，就是它的上底面和下底面。那我们继续，我们看下面这一部分也是一个什么呢？ 也是一个三棱柱，这个蓝色的面和后面这个蓝色的面，就是这个三棱柱的上底面和下底面，所以我们把这道题就转化成为两个三棱柱体积 之合，那我们首先求第一个绿色底面的三棱柱的体积，这个绿色底面三棱柱的体积，我们首先求底面积，这个大家应该没什么问题吧？ 二分之一底乘高，然后我们再乘三棱柱的高就可以了。乘个四，然后再加上蓝色底面的这个三棱柱的体积，二分之一 底乘高，依旧乘一个高四，然后我们化解一下，十六加八就等于二十四了，所以说第七题他选择的是四 d 选项。 好，我们来看到第八题这个题呢，其实说难吧，其实也不难，就是他给的这个式子啊，给的这个曲线方程啊，可能大家一看到了就觉得非常的困难，但实际上我们稍微去拆解一下还是比较简单的。然后整张试卷我感觉单选做下来的话，包括到压轴啊，这张试卷单选的一个难度还是比较低的， 可能后面的一些大体难度会高一点。好，那我们来看到第八题吧，所以这个第八题他说曲线 c 为一个这样的曲线方程，那么在 c 上 离圆点最近的点的距离就是距离的最小值为多少。那么这个题啊重点就在怎么去处理这个曲线方程，如果你这么去看的话，实际上是很难看出来这个曲线长什么样的，但是这里会有个问题，就是我们三的指数次 和三前面的这个乘的系数，它都是一个东西，这个时候我们会想到怎么办呢？就是 t 画完圆之后，换成 t 的 话，就是 t 乘以一个三 t 啊，等于八十一， 哎，那这个是个什么东西啊？这个东西啊，就是一个关于 t 的 方程嘛，就从关于 x、 y 的 方程转化成了一个关于 t 的 方程，那么这个 t 实际上这个方程有几个解呢？或者说我们用图像去思考的话，它是只有一个解的，我们可以把它看成是一个三的 t 次 等于一个八十一除以 t 嘛，当然这个 t 过不过零点就再说了，如果你去理解成这样的话，它就是我们理解的两 函数的一个焦点，解就变成两个焦点了，一个是三的 t 次和一个八十一除以 t 嘛，他只会有一个焦点在这边，这边呢是没有焦点的，所以整个方程呢，是只有一个解的，那这个解怎么去解呢？这就是这个题比较难的一个地方了，就是你需要去把这个解猜出来，但是如果 感觉上来说数感比较好的话，你就可以知道它就是一个整数解，并且 t 是 等于三的三，乘以一个三的三次方，那就是三的四次方嘛，就是八十一。我们得到 t 等于三之后呢， 这个曲线方程就被我们化简了，它就化简成了一个什么 x 的 平方减 y 等于一个三，也就是我们的 y 等于一个 x 平方减三。 好，到后面这个曲线方程呢，就是我们的一个抛物线，那么我们去找这个抛物线上的到原点的一个距离呢，就非常好找了，你只需要去设这个点曲线上的点为 a， a 的 平方减三，然后我们去套那个点到点 距离公式就可以了。我们点到点的距离公式，他是到原点吗？那么就会是我就写到下面来了啊，就是 a 的 减去一个零的平方，加上到原点的距离的平方吗？最后那个根号我就不开了，就先算平方，最后再开个根号就行了。 a 减零的平方，加上一个 a 的 平 方，减三，再减去一个零的平方吧。好，就等于 a 的 平方加上一个 a 的 四次方，加上一个九，减去一个六倍 a 的 平方。这样的话，其实我们可以把 a 平方看成是一个 t 啊，或者其他什么的，实际上还是一个二次函数的一个求最值问题最后我们求出来它的最小值，这个函数的最小值的话就是四分之十一，最后开个根号根号了之后就变成了一个二分之根号十一。 所以这个题的答案我们就选 a。 由于后面时间有限，关注我，我们下期继续。

我发现大家把这道题想的太过于复杂了啊，很多人是按照简答题的套路，连力设点之类的去做的哈，那可能就跟这道出这道题的初衷南辕北辙了，因为纵观咱们考过那么多关于圆锥曲线类的选填 或者说填空题啊，他从来没有使用过简答题套路，要么是使用二结论，要么使用几何性质。所以说 这道题标准的更加简洁的做法，实际上使用它的几何性质。大家跟我一块看下这个题目啊，他说 o 为坐标原点， f 一 f 二为椭圆的两个焦点，过 f 一 f 二分别做椭圆切线 l 的 垂线啊，这两条呢，很明显就是 跟这个直线 l 是 相互垂直的，垂足分别为 s 一 s 二。当 o h 一 跟 o h 二是相互垂直的时候，那求一下这个三角形的一个面积。那很多人他的第一步想法是比较好的，就是我过 o 点做一条线，让它垂直于这个 l 啊，我先做出来吧，要不然 我假设垂直度为 a 吧，那么立马就能够知道 o h o a 这条线一定是这个图形的中位线， 所以说这里是相互垂直的，那既然是相互垂直的，并且 a 点又是中位线嘛， a 点又是 h 一 h 二的中点，那那么因此我立马能够知道这个三角形，它是一个等腰三角形， 又加上这里是直角啊，所以说是一个等腰直角三角形，这两段是相等的，那我立马能够知道 s 三角形 o h 一 h 二，它应该等于个二分之一这个 o h 二的平方吧， 咱们的任务是只要我求出 o h 二的平方就可以了，那接下来咱们就使用一下它的几何性质来推断出这道题的一个比较简洁的一个做法来啊。 ok， 我 先是 这个焦点，为这个点吗？就焦点的切点啊，为这个点，然后我连接 f 一 跟焦点 啊，不对，跟切点，然后我再延长，我延长之后，然后让他跟 f 二 h 这条线上的延长线交于点，两个焦点是在哪呢？我假设这个切点啊，为 a 点吧， 然后这个点呢？为 b 点嘛？然后我再连接 a h a f 二啊，好，我连接完了，那么 因为这条线是一个椭圆的切线，所以说从椭圆上，不对，从椭圆的焦点出射了一条光线，经过椭圆反射之后，它一定会反射，光线，一定会经过另外一个焦点， 因此我如果说把 f 一 a 这条线看成是一条入射光线的话，那 a f 二这条线就应该是它一个出射光线，并且这条线实际上就是反射面。 ok， 那 么那么咱们再把它想的更加复杂一点，我就是过 a 点做一条线，让它垂直于 l 的 话，那么这条线实际上就是它的发线， 那因此这个角度一定跟这个角度是相等的。一个是入射角度，一个是出射角度吗？经过反射之后，这两个角度是一样的啊，是相等的。 ok， 那 又因为这两端都是九十度啊，所以说这两个角要相等的话，那么注定了这两个角也得相等。 那又因为这两个角是这个对角，所以说也是相等的，那因此这个角跟这个角也是相等的，因此， ok， 这个三角形 他是什么？他是一个等腰三角形，原因是在哪？你看这两个角相等啊，然后这条线呢，又跟这条线是相互垂直，所以说就相当于是底面的高，还是这个上面那个角度的一个角平线， 所以说这两段就应该是相等的，这两段它也应该是相等的。我立马能够知道 h 二点，它一定是 f 二 b 这条线段的一个终点。 一只哈，咱们就直接写了啊，一只 h 二是 f 二 b 终点 好， o 点 o 是 f 一 f 二重点，所以说 o h 二是三角形，这个 b f 一 f 二 的中位线，咱们就变成它的一个中位线的这么一个概念了啊，那也就是说 o h 二，它一定等于个二分之一 f 一 b， 对 吧？而 f 一 b， 我 可以把它写成什么呢？就是二分之括号里面 f 一 a 再加上 ab 了， 能接受吧？那又因为 ab 等于什么呢？咱们刚才推了这条线跟这条线相等啊， 所以说它就等于二分之一，括号里面 f 一 a， 再加上个 a f 二，你说这两个和是什么？根据椭圆的第一定义是吧？它就等于二 a， 所以 说它就等于个 a， 也就是什么，也就是二。能接受啊，这个是二 a 吗？乘以二分之一啊，所以说它就等于个二，那所以三角形的 面积就出来 o h 一 h 二啊，它就等于一个二分之一， o h 二的平方就是二的平方，它就等于一个二。这是最后答案。你看，如果说你使用它的几何性质来做的话，实际上这道题真的一点都不难吧？ ok， 这样。

刚考完的广东一模数学卷大家都做了吗？这套卷子我整体刷下来，最大的感受是稳中有新，好题密集。比如第六题的九宫格向量，第八题的指数型曲线最值。中档题考察思维，比如第十题的背页思概率， 第十一题的例题几何动态问题，压轴题更是有亮点。第十八题的双曲线内切圆，证明第十九题的地推组合模型都非常有新意。今天只挑六道最值得反复刷的好题，咱们一起看看它们好在哪里？坑在哪？怎么破？第六题 九宫格向量几何直观加代数计算，这道题好在哪里？他把向量点击放在九宫格的节点上，考察的是什么时候向量点击最大。这个几何问题， 本质上点击 a b a c cos theta。 要最大就需要两个向量同向且长度最长。坑在哪儿？很多同学一上来就每举十六个点选三个，组合数太大，根本每举不完，怎么破？ 想清楚，点击最大等于两个向量同向且最长。在九宫格里，最长的向量是梯对角线不对，这是平面图形，最长的是从一角到对角， 长度三勾二。但这样的两个向量要同向，只能是同一个方向，所以最大点击等于三勾二乘以三，勾二乘以一，等于十八。选 d。 刷题建议，这道题告诉我们，要想清楚再算，几何之观往往比暴力计算更有效。第八题 指数型曲线最值换元加基本不等式，这道题好在哪里？曲线方程 x y 三 x y 等于八十一， 这种形式在模考里不常见，他考察的是同构思。想看到 x y 重复出现，就要想到换原坑在哪儿，如果直接想解出 y 等于 f， x， 那 就掉坑里了，怎么破？令 t 等于 x， y 则方程变成 t。 三 t 等于八十一，观察的 t 等于三十成立，且左边是 t 的 增函数， 所以 t 等于三为一解。于是 y 等于 x， 三点到原点距离 d 等于 x 加 y 等于 x 加 x。 三换原 u 等于 x 大 于等于零的二次函数。求最小值，最后最小值勾二分之二十二，选 d。 刷题建议，这种换元加观察特解的思路在导数压轴题里也常见，值得掌握。第十一题，例题，几何动态问题，唯一性判定。这道题好在哪里？给了一个求， a、 b 是 直径。已知 a、 o、 k 和 c、 d。 问，添加什么条件能让四面体 a、 b、 c、 d 体积为一？ 这题考的是空间想象和逻辑推理，四个选项都需要分析坑在哪，体积由底面积和高决定。 已知两个角相当于固定了 c、 d 的 相对位置，但整个图形可以绕 a、 b 旋转，所以体积可能不唯一，怎么破？分析每个选项 a、 i 的 长，固定了 d 的 位置，体积为一。 b、 b、 c、 d 旋转时 b、 c、 d 会变，但己定值可能对应两个位置。 c、 c、 d 与平面 a、 b、 c 所成角也类似。第二面角 c、 a、 b、 d 恰好固定了旋转角度，所以选 a、 b、 c。 刷题建议。这类条件唯一性问题，高考常考，需要多练习空间想象。第十四题， 椭圆切线加垂足三角形面积，这道题好在哪里？过焦点做椭圆切线的垂线垂足分别为 h、 h， 当 o、 o 实求 o、 h 面积。这题把椭圆性质、切线方程、垂直条件、面积计算全揉在一起了， 坑在哪儿？计算量不小，需要设切线方程，求垂足坐标，用垂直条件列方程怎么破？椭圆 x 四加 y 等于一设切线 y 等于 k， x 加 m 代入判别式 delta 等于零的平米等于四 k 加一 焦点 f 勾三零， f 勾三零做垂线，求垂足坐标。由 o o 的 斜率积等于负一化简的 k 等于二分之一，最后算面积，发现是定值。二、刷题建议，这道题计算量大，但每一步都是常规操作，适合练计算能力。第十八题， 双曲线内切圆几何证明 a p q 等于二 f p q。 第三问的几何证明非常巧妙，用到了内切圆性质，双曲线定义对称性。坑在哪儿？如果没有发现 p 与 m n 切于 f， 后面就卡住了，怎么破？关键一步， 由双曲线定义和内切圆性质推出 m f m f 等于二，结合切线长相等得到点， f 就是 切点。然后设 p 坐标，由 p f 等于 p f 加四角的 p， 横坐标等于二分之一 在做对称，发现 a d q 共圆，且 f 等于 d， p q 等于 q p f， 所以 a p q 等于二 f p q。 刷题建议，这种几何证明题思路比计算更重要，建议多练几遍，体会每一步的几何意义。第十九题，地推组合模型新定义压轴，这道题好在哪里？ 题目背景是男女组队加认识关系。第一问，简单概率。第二问， i 求 a m， 并证明地推式 e i 求以社区满足条件的概率。这道题把组合技术地推关系概率计算全考了，而且地推式的证明有两种方法都很精彩。 坑在哪？第二问， i 的 递推式证明，如果直接代数运算，容易算错。方法二的分类讨论更直观。考虑特定女生 x 和男生 y 分 四种情况讨论。最后相加的 a m 等于 a m， 加二 n m a m 一 怎么破？第二问， e i。 先建立 b m 的 递推式，发现和 a m 完全相同，且出使值相等，所以 a m 等于 b m， 最后概率等于 b m c c a 等于 c c。 刷题建议，这种地推介模的思想是高中数学的最高境界之一， 如果你能独立做出来，说明你的组合数学已经很强了。刷题建议，九十分以下的同学重点刷第六八题，感受思维第十四题，练计算 第十八题，前两问，第十九题，第一问，九十到一百二十分的同学重点刷第十一题，空间想象第十四题，计算过关第十八题，第三问，体会几何证明第十九题，第二问，爱掌握地推建模。一百二十分以上的同学全卷通刷，重点研究第十八 提第三问的几何证明思路。第十九题，第二问， e i。 的 概率推导，看看能否自己独立完成。觉得视频有用的话，点赞、收藏、转发给需要的同学！下期想看哪个城市的模考，评论区告诉我。

同学们好，今天我们来拆解这道正方体洁面体积的经典难题，这也是一模拟很容易拉开分数的空间几何题，咱们一步步把原理和计算讲透。洁面作图原理一，延伸找焦点。 先连接 a 和 q， 再把这条线往外延长，交到正方体外面的一个点 e。 目的，把 a、 q 两点的连线延伸出去， 方便后续找到结面和正方体其他面的交点。二、找侧面交点连接 e 和 p， 这条线会和侧面 c、 c、 e， d， e、 d 相交，交点即为 h。 原理，因为 e、 p、 a、 q 都在同一个平面上，所以 e、 p 这条线也在结面上，自然就能找到结面和侧面 c、 c、 e、 d， e、 d 的 交点 h。 三，继续延伸找交点，把 e、 p 继续往外延长， 交到正方体前面 a、 b、 b、 e、 a， e 的 外面得到点 g。 目的，进一步拓展洁面平面，找到和正方体前面的连接线索。四、找棱 b、 b、 e 上的交点连接 a 和 g， 这条线会和棱 b、 b、 e 相交，交点即为 m。 原理， a、 g、 e 在 结面平面上，所以它和棱 b、 b、 e 的 交点 m 就是 结面在棱 b、 b、 e 上的关键连接点。作棱 c、 c、 e 上的交点。连接 q 和 h， 这条线会和棱 c、 c、 e 相交，交点即为 n。 原理， q、 h 在 结面平面上， 所以它和棱 c、 c、 e 的 交点 n 就是 结面在棱 c、 c、 e 上的最后一个关键连接点， 确认结面形状，现在我们把 a、 m、 n、 q 四个点连起来，就是完整的结面了，它是一个平行四边形。原理，正方体对边互相平行，结合我们的作图步骤，能证明 a、 m 和 q， n 平行， a、 q 和 m， n 平行， 所以这个结面是平行四边形体积计算，我们把较小的这部分体积拆成两个部分来算， 第一部分，一个底面是直角三角形，高为四的支棱柱，体积是十六。第二部分，从另一个支棱柱里取一半，底面也是直角三角形，高为四，这部分体积是八，把两部分加起来就是较小部分的总体积二十四。 好了，这道题的结面错图原理和体积计算就拆解完了。如果同学们对哪一步找焦点的方法还有疑问，欢迎在评论区留言，我们一起讨论。

与广东异模、广州异模并列的还有广东大湾区异模。试卷小提出的非常棒。压轴大题题型常见，但计算量超级大，而且又建立题。几何压轴选择题只有第八题略微有点难度。三角函数见模和易错题 三道多选择题层次分明，都是非常优质的考题。尤其是第十题的两组数据合并后的统计量变化十分重要。第十一题是例题，几何综合有难度填空。第十四题传球问题是概率中的经典模型，考察马尔可夫列的思想。 大题中第十七题是常规极指点偏移问题，考烂了。第十八题又建立题。几何压重体积比，通过延长线构造台体，利用相似比求解有计算量。第十九题也是今年考的较多的解析，几何与数列结合压轴题主要难在计算量过大。

广东医模这篇读后续写太有欺骗性了，那看上去呢，就好像是小屁孩过家家。但是呢，其实他在拷问作家一个问题，赚钱的本质到底是什么？ 故事情节很简单嘛，说 lucas 和 nova 是 一对亲兄弟，这哥俩呢，盯上了 mister henderson 商店里的一辆红色自行车。但是呢，哥俩没钱，正没主意呢，天降大雪，哥俩一合计，我们可以给人扫雪呀，一定可以赚到钱。 然后呢，这哥俩就从自家的小区开始找活干。但是呢，他们住的小区是平民小区，房子小，门口也没有多少雪，哥俩忙活大半天才赚了七美金，钱不够啊。于是呢，哥俩跑到隔壁的枫叶大街，这是一个富人区，全是有钱人住的大 house， 门口的车道是又长又宽，哥俩刚敲第一家的门，威廉姆斯大姨就出来了，他一看就秒懂，这小孩出来打工赚钱呢。大姨二话没说，爽快掏出二十美金给哥俩。 二十美金，这可是一大笔钱，哥俩开始甩膀子铲雪，但铲雪呢，是个体力活，而且威廉姆斯大姨家门口的车道还特别的长，干到一半呢，哥俩累的手脚发麻。 这个时候， lucas 心生一计，他跟 noah 说，要不咱俩撂挑子跑路吧，剩下的不管了，兄长意下如何？ 这时候， p 一 p 二的首句就来了， p 一 说， noah's aching hands seemed to agree with brother words。 说 noah 也累的腰酸背疼，他差点就同意 lucas 的 主意了。但是 p 二首句说， as they clean the final shovel of snow mrs william's car returned。 说，哥俩刚铲完雪，威廉姆斯大姨就回家了。那根据 p 二这句话，我们很容易知道，哥俩在 p 一 并没有撂挑子马，而是决定留下来把活给干完了。那么 p 一 的本质呢，就是要回答一个问题，哎，这哥俩为啥没有提桶跑路，而是决定留下来完成工作呢？ 普通的座题家肯定会说啊，哥俩认识到做人一定要诚实，诚实就是正能量啊，那读后续可不就是正能量吗？如果呢，只说诚实，那你就是小学生座题家的格局了。你身为一名高中座题家，你要看清楚这个故事的本质呢，其实是告诉我们一个长期赚钱的基本道理， 第一呢，就是价值 value， 比如说你帮人家扫雪，你就提供了价值。但是呢，你要想长期赚钱，就要加上另外一个字了，信任 trust， 你 有信用，你就能赢得更多的客户。 能！我在批能说服自己，说服弟弟的理由，一定不是认识到说诚实是一个优秀的品质，而是说他们想明白了应该如何保护自己的长期利益。为啥这么说呢？故事原文里告诉我们了，这哥俩要赚钱买自行车，那先在自己家社区干活，忙活半天挣七美金， 然后这哥俩跑到富人区干活，一下子就赚到二十美金。这前后对比，你要想快速赚钱，就必须留在富人区赚有钱人的钱呢。你看，威廉姆斯大姨是第一个大客户，一下子就赚二十美金。 原文里边有这句话， twenty dollars more than they had made the entire day。 以前可是一天都赚不到二十美金呢。这就说明，如果今天在威廉姆斯大姨家里，哥俩不好好干活，把威廉姆斯大姨给惹毛了，那这哥俩的招牌就开始砸了，以后在富人区也没生意了，梦想的自行车也就只能是梦想了。 所以呢，根据 p 一 的手距，我们知道，哎， nova 呢，也很累，他自己呢，也想提桶跑路，但是呢，终于决定留下来。我们用一句话来衔接 p 一， however glancing at the snow still covering part of the driveway noah pointed out that mrs williams would be disappointed if they left the job unfinished。 交代清楚，威廉姆斯大姨一点都不傻，我们不能耍小聪明， 所以下一句话就很关键了， he asked lucas to take a short break， while explaining that it was not only about honesty， but also about their future customers on maple street。 首先呢，弄，我让弟弟先休息一会，同时解释，咱哥俩绝对不能跑路。这可不仅仅是诚信问题，更主要是我们不能砸了自己的招牌， 丢了富人区里的潜在客户，那还买个毛线自行车啊！你要想说服一个人吧，就不能光用道德绑架， 一定要结合他的切身利益，这样才能让人心甘情愿的保持一个道德水准。总结一句话，一切跟钱有关的读后续写，那都是非常优秀的读后续写，因为钱可以教会我们的东西，那实在是太多了。