北师大初二下册数学三角形证明基础题

跟我一起做练习八年级数学下册的第二十一页纸。我们看到第四题， 已知 d、 e 分 别是等边三角形 a、 b、 c 的 两边上的点，并且 a、 d 等于 c、 e。 我 们看到，呃，他说的是等边三角形 a、 b、 c。 所以 a、 b 等于 b， c 等于 c， a、 c、 b 等于六十度。 三边向的三个角都是六十度啊，这是等边三角形。现在他告诉了什么呢？告诉了这个 a、 d 等于这个 c、 e 啊，把这两个看清楚， 没有了，已知条件没有了，现在要求证这个 c、 d 的 b、 e。 哎，你看啊， c、 d。 在 这个 a、 d、 c， 这个三角形 a、 d、 c， 这个 b、 e 呢？在三角形这个 c、 e、 b 中，三角形 c、 e、 b 中， 对吧？如果说这两个三角形全等的话，那么这个 c、 d 就 等于 b、 e 了。 现在这两个三角，我们看到，有了 a、 d 等于 c、 e， 你 看呢？有了 a， 角 a 等于角 e、 c、 b 都等于六十度。还有了 a、 c 等于 c、 b 啊，这个具体的过程我都不写了啊。 因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，对吧？所以这个角 a 等于角 e、 c、 b， 对 吧？等于六十度。呃，还有什么呢？还有这个 a、 c 等于这个 c、 b。 而已知条件里面是有了 a、 d 等于这个 c、 e， 所以 你看呢？ a、 d 等于 c、 e， 对 吧？角 a 等于角 e、 c、 b。 六十度 a、 c 等于 c、 b。 三角形 d、 a、 c。 切，等三角形。这个 e、 c、 b。 啊，根据 a、 c、 s。 啊，这里我就不写了，所以这个 c、 d 等于 b 啊。我们看到第五题， 第五题没有图形，这是第六题的七题，八题的第五题没有图形，对吧？ 那么第五题等幺三角形两个底角的平行线有什么数量关系？请证明自己的结论。那么这题是个成文字性的题目，那我们看来要自己去重新写已知，去画图了。 好，我们已知如图我都不写了，我嘴巴上说已知。如图，在三角 a、 b、 c 中， a、 b 等于 c。 角 a、 b、 c 与角 a、 c、 b 的 平分线，那它是两个底角的平分线， 那就说 b、 d。 平分角 a、 b， c， c、 e。 平分角 a、 c、 b。 呃，我们得到的结论呢是 b、 d 等于 c、 e。 求证 b、 d 等于 c、 e 啊，它们数量关系，我们回答它是相等的， 请证明。那么我们要证明 b、 d 等于 c、 e 的 话，我们可以来证明什么东西呢？三角形 b、 c、 e。 前等三角形 c、 b、 d。 我 们看到这个 b、 c、 e 的 呢，这个角 e， b、 c， b、 c。 公共边角 b、 c、 e。 这个角呢，等于 a、 c、 b 的 一半。 我们再来看到这个 c、 b、 e。 好， 这个角 d， c、 b。 等于角 e、 b、 c 然后呢？ c、 b。 公共边。所以这里啊，因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 角 a、 b、 c 等于角 a、 c、 b 啊， 所以也就是角 e、 b、 c。 等于角 d， c、 b。 对 吧 a、 b、 c 等于角 a、 c、 b。 就 这个啊， 那么还有这个 b、 c。 我 们要等于 c、 b。 然后这个角 b、 c、 e 呢，等于角 a、 c、 b 的 一半， 这个 cbd 呢，等于角 a、 b、 c、 d。 半，刚才角 a、 b、 c 等于角 a、 c、 b。 所以 它的一半也相等。好，这里呢，我们要大括号这样写，这里的全等的理由呢？是 a、 s、 a 啊，具体的步骤我都不写了啊。 好，两个三角形全等之后呢？ b、 d 就 等于 c。 好， 所以全等三角 a、 d、 b。 全等三角 a、 e、 c。 好，您看到角 a 是 公角对吧？ a、 b 等于 c。 如果角 a、 b、 d 和角 a、 c 啊，都等这个底角的一半，所以这地方呢？你要是证明三角形 a、 d、 b 全等于三角形 a、 e、 c、 e 也是可以的啊，只不过每个人的做法不同。我们看到第六题 好。第六题我们看到角 c、 a、 e 是 三角，那个外角哪里呢？在这儿呃， a、 d 平行于 b、 c。 角一等于角二，角一两，证明角一是等于角 b 的 角二呢，是等于角 c 的。 当角一等于角二的时候，角 b 就 等于角 c。 角 b 等于角 c， 所以 a、 b 等于 c 啊，这个比较简单，我们看到第七题 第七题 a、 b 等于 c， 同样，角 b 等于角 c 等 b 等于角。现在这里是垂直的， 我们要求证 a、 e、 f 是 个等幺三的形。我们说这个角 e 啊，跟角 c 是 互余的直角三角两锐，角互余，这个角一是等于角二的， 角二呢，跟角 b 互余，所以角二等于角 e。 为什么角等角的？角 e 等于角 e， 所以 a、 e 的 a、 f。 所以 三角形 a、 e、 f 是 等幺三的形 好，第七题我再说一遍，因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 角 b 等于角 c， 又因为 e、 p 乘以 b、 c， 所以 角二加角 b 等于角 e 加角 c 等于九十度。根据这两个等角，它的与角相等，所以角二等于角 e， 又因为角一等于角二对零角相等，所以角一等于角一。等量交换，所以 a、 e 等于 a、 f 等角对等边好。这样呢？所以三角 a、 e、 f 是 等幺三角形。那我们看到第八题第八题三角 a、 b、 c 是 等边三角形，这角六十度，这角六十度，这角六十度， 对吧？已知等边三角形现在有与 b、 c 平行的之间好 d 平行，所以这个同位角相等。同位角相等，您看 a、 d 三个角都是六十度，所以它也是等边三角形，很容易，不要做错，记得点赞关注哦！

同学们好，我们今天来讲一道北师版初二下册第一章三角形证明里面垂直平分线和飞镖模型的一个综合。 来，咱先来看一下题哈，题中说直线 l， 一 是 ab 的 垂直平分线，直线 l， 二是 bc 的 垂直平分线。好，到这里你肯定能已经能猜到了，我们考察的肯定是垂直平分线的性质，垂直平分线上的一点到线段两端的距离相等，所以我肯定要连一下 o、 b。 连完之后呢，我们有 o a 等 o b 等 o c， 然后你再看一下，题中给了角度，求的也是角度，所以哈，我们能得到这两个角相等，这两个角相等，这两个小角也是相等哈。 好，咱再来看一下条件，角 a、 o、 c 是 七十二度，这个角是七十二度。如果你足够敏感的话，你会发现这里有一个飞镖模型， 我把它画出来，然后用其中的符号去标一下 o 是 等于角 a 加角 b 加角 c。 如果你不知道啊，那我们来正一下，我们连一下 o， b， 连一下 b o， 然后延长这里标个点 d 吧，那角 a、 o、 d 是 不是就等于角 a 加角 abd。 角 c、 o、 d 是 不是等于角 c 加角 c b o c b d 吧，咱用一样的，它俩加一块，是不是就是角 b？ 那 所以角 a、 o c， 也就是角 o 就 等于角 a 加角 b 加角 c。 那 回到咱这个题啊，咱这个题中 a、 o、 c， 我把两个小点啊都标成阿尔法，把两个小叉都标成贝塔，那 a、 o、 c 是 不是就是两个？阿尔法加贝塔是七十二度，那所以阿尔法加贝塔，也就说角 abc 是 不是就等于三十六度，对不对？然后咱来看啊，它问的是 d o e， 哎，是这个角，然后你发现要求这个角，我是不是求出来角 d e o 就 行？我这个垂直，这里标个 m 吧。所以在直角三角形 b m e 中， 角 o e d 是 不是就等于九十度减 r 八加贝塔？因为三角形内角和是一百八，对吧？等于五十四度。 那所以角 d o， e 是 不是等于九十度减角 o， e d 啊？等于三十六度？因为我们是在直角三角形 o d e 中，三角形内角和也是一百八，所以这个题就 ok 了。

你要记住，等腰三角形经常考，中考百分之百考，把你的数学下册小册第五页纸上的第五题在等边三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 等边三角形， 等边三角形三个角都是六十度，三条边都相等，看题目问什么？ b、 e 垂直于 a、 c 直角 延长 bc 到一点 d 使 c、 d 等于 c， e、 c、 d 等于 c、 e、 a、 b 等于十厘米。 那么要求这个 b、 d 的 长 b、 d 呢？我们看到这 b、 c 等于十厘米，对吧？这个 c、 d 等于多少呢？ c、 d 等于五厘米，所以这个 b、 d 那 就应该等于一十五厘米 啊，有时间我就简单的说一遍，因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以 a、 b 等于 b、 c 等于 c， a 都等于十厘米。又因为 b、 e 垂直于 a、 c 根据三角合一，所以 c、 e 等于这个 二分之一 a、 c 等于五厘米，二分之 a、 c 等于五厘米。 呃，那么刚才等边三角时，我们可以把这个角 b、 c、 e 等于六十度同时说出来，又因为 c、 d 等于 c、 e 所以 角 c、 e、 d 等于角 d 等于二分之一角 b、 c、 e 等于三十度， 因为这角六十度，六十度等于和它不相邻的两个内角的和，而这个 c、 e 等于 c、 d， 所以 角 c、 e、 d 等于角 d 都等于三十度， 对吧？那么这样呢，我们就哦题目说了 c、 d 等于 c， 那 看来刚才我说的就不必要了，对吧，把 c 等于五厘米求出来呢？ c、 d 等于五厘米。好，这个就很简单的了，我们看到第六题已知点 d、 e 在 ab 上， a、 c 等于什么？等于 bc， a、 e 等于 b， d 是 说明 c、 d 是 等幺三就行。 我们可以证明 c、 e、 c、 d 等于 c、 e， 我 们也可以证明角 c、 d， e 等于角 c、 d、 e 都可以，这里的方法是多种多样的。呃，我呢觉得这样证明是不是觉得更好一些啊？大姐，您看到这里啊，呃，因为 啊， c、 a 等于 c、 b， 所以 角 a 就 等于角 b。 好， 我们看到角 a 就 等于角 b， 对 吧？ a、 c 等于 b 是 一致的，然后您看到这 a、 e 等于 b、 d， 所以呢，我们可以这样说，在三角形 c、 a、 e， 而三角形 c、 b、 d 中 看， c、 a 等于 c b， 角 a 等于角 b， a、 e 等于 b、 d。 啊，所以三角形 c、 a、 e 全等于三角形 c、 b、 d。 理由 s a、 s， 所以 c、 e 就 等于 c、 d， 对吧？前等三角都对应一边下的 c， e 等于 c、 d， 那 就说，所以三角形 c、 d、 e 是 等幺三角形。你看这样做的是不是很简单的？ 当然包括我们老师的参考答案上都不是这么写的。哎，我们老师的那个参考答案上呢，他把这个 a、 e 的 b、 d， 然后呢，他通过证明 a、 b 减 a， e 的 b， a 减这个 b、 d 得到 a、 d 的 b、 e， 当然了，我们得到 a、 d 的 b、 e 之后，我们得到三角形 a、 c、 d 与三角 b、 c、 e 两个三圈呢，当然是可以的啊，是可以的，不过我觉得就是说咱们均可呢，还是找更简单的，步骤又少啊，又正确 这样的，所以大家要多锻炼。我觉得这一题呢，这种做法我觉得是比较我认可比较好一点的方法。我们看到第七题 第六位置啊，哎，还是三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，那么现在这里有这个 b， e 等于这个 a、 d， 然后求角值什么呢？ e、 o、 b 的 度数，求这个角的度数。呃，要求这个角的度数，我们从哪要求呢？那当然我们得写解字。 首先我们来查，因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形啊，可以写正三角形，所以这个 a、 b 等于 b， c， 嗯，还有这个角 a， b、 c 等于六十度，嗯， ab， 那 么我们看到 ab 等于 b， c， ab 等于六十度。啊，角 a 等于角 a， b， c 等于六十度， 嗯，啊，角 a 等于角 abc 的 弧度。那我们看到在三角形 a、 b、 d 如三角形，你看呢？ a、 b、 d 如三角形 b、 c、 e 中看，这个怎么写好呢？ 我们来已知这两个相等，我们来证明， d， a、 b 边角 b， b， n。 角 b， 所以 我们看到 a、 d 等于 b e。 角 a 等于角 e， b， d， a、 b 等于 b、 c， 所以三角形 d， a、 b 全等于三角形 e、 b、 c。 啊，理由， s a、 s 你 看这样写是不是更好？那么这两个三角形的之后，我们就可以得到，角一等于角二， 所以角一等于角二，所以角 e、 o， b， e、 o， b 等于什么呢？等于角二加角三 等于角二加角三，那就等于角一加角三等于六十度。走完了，你看到这里我写的是不是？呃，这方法就比较简单多了，最好啊，模仿我的格式，认真的去写好，把每一步理记得点赞关注哦。

同学们晚上好。好，今天我们接着看第一张三角形的证明习题，一点一的第二题啊，我们在第一节中学了 一个定理啊，老师，原方不动搬过来啊，简称角角 a， 两个角相等，一个边相等，两个三角形全等。好， 继续推拓展为全等三角形对应边相等，对应角相等，这个都是推导出来要记住的啊，我们就不 详细讲了，我们主要是给大家讲课后题怎么做，检查一下你作业做的对不对。好，我们下面开始读题，如图，三角形 abc 啊，这个三角形和三角形 cda 啊，这个上面这三角形中，其中 ab 平行于 ab 平行于 cd， 我 们边读题边在图上给它标出来， ab 平行于 cd 啊，这两条边相平行，角 b 等于角， d a b 等于三， ab 等于三。让你求什么？求 cd 的 长， cd 的 长啊，就是这个长，怎么做？大家思考一下， 我们从这个图上是不是肉眼可见它其实是 cd 是 等于 ab 的，是不？就你观察出来它应该是等于 ab 的，是不就你要怎么算出来呢？大家想一下。 好，下面我们一起看一下这道题啊，怎么做？不管会不会，我们先把题给它写上， 咱平行。我们说了，课后的练习题，就是用来检测你这节学对了没啊，学会了没啊，你这个定力怎么去用它？所以说老师把这个定力都搬到上面了，你就照着去用它怎么用呢？ 嗯，两个三角形啊，怎么用呢？现在已知条件是两个边平行，两个角相等，要给了一个三角形一个边的长度，让你求另一个三角形一个边长度。 那我们通过定力我们肯定要什么要正，两个三角形怎么样？全等通过什么呀？这不是放这了吗？人家就是要检验你这节课学的这个定理，会不会用角？角边，那我们找吗？角是吧？角 b， 角 d 已经给了一个角 啊，边，哪条边相等呀？中间这条边他们不是重合了吗？公用，所以相等。好 a、 c， 那我们再找一个角相等了，就构成了什么角？角边怎么说？给了个平行，我们这个条件要用起来呀。给了个平行，那我们怎么用？ ab 和 dc 平行是吧？平行两条平行线，什么内错角， 内错角相等是不？那就说因为啊，我们从这给的条件一个一个去给他算，因为 ab 平行于 cd， 得到什么？平行线的 内错角相等就是角 b， a、 c 等于角 a、 c、 d 是 吧？这个条件就相当于间接的给你这两个角相等，又因为又因为什么角 b 啊，你这条件角 b 等于角 d， 且 a、 c 等于 a、 c 啊，老师，板数有点粗糙，能看懂就行。构成了什么？是不是构成了角？角边，所以三角形？ 三角形什么？ a、 b， c、 d 是不全等，所以全等三角形是吗？对应边相等，对应角相等， 所以 c、 d 对 应边， c， d 对 应啥？对应 ab， ab 是 不已知了给多少 ab 等于三， 就这么简单，你做对了吗？好，今天的课就讲到这里，咱们下节课讲第三题啊，检查一下，看你做的对不对，有问题在评论区啊，评论区留言，老师会，如果还有学生不太会，老师会加强去讲的。好，下课 记得点赞关注哦！

hello， 大家好，这节课咱们来讲解一下第一章的最后一个内容，三角形的证明及其应用的角平分线， 我们曾经探索过角平分线的性质，哎，之前咱们就了解并且学习过，说角平分线上的点到这个角两边的距离相等， 这个是呢，我们曾经就探索过的，但是呢，当时我们也是用折纸的方式进行学习的，是在揉对称的时候哎进行了解， 那么你能尝试来证明这一结论吗？跟同伴进行交流，其实它的证明啊，相对来说比较简单，就是我们用全等三角形的证明是不就可以了， 哎，所以呢，我们来进一步的看一下哈，只要说我们能证明三角形 o d， p 跟三角形 o e， p 全等，就可以说明 p d 等于 pe 了。根据角平分线，两个角相等，再加上两个垂直的直角，还有一条公共边 o p， 咱们就能说明全等了。那么我们进一步的来看一下怎么来证明啊？ 第一个探求角平分线的性质，已知如图， o c 是 角平分线，点 p 在 o c 上， p d， p e 两个垂直，让咱们来证明 p d 等于 p e， 哎，根据我们刚才的分析来，我们一起来看一下如何对称等。 因为 o c 是 角分线，所以角一得角二，再因为两个垂直，所以咱们得到这俩角都相等得九十度， 条件都具备了。开始标准的格式，在三角形 p d o 和三角形 p e o 中，将三个条件摆出，就能得到这俩三角形全等。根据角角边 全等后，咱们就根据对应边相等得到了 p d 等于 p e 了。所以呢，咱们再进一步的总结一下这个知识点，叫角平分线的性质定律，角的平分线上的点到角两边的距离相等， 此定理可以来证明线段相等。我们之前在证线段相等的时候啊，最常用的工具就是全等，那么今后如果我们再遇到角平分线，也可以考虑用这个方法来证明两条线段是相等的。 但是这个定理应用的一个前提条件有三个，第一 要具有角平分线，第二点要在这个角平分线上，第三，这个点要向角两边做出了两个垂直距离，这三个条件是缺一不可的。 在我们大题的证明过程当中，如何来书写这个几何语言，我们来再具体看一下。因为 o p 是 角分线 点， p 上 o p 上 o c 上的点， p 到两边的距离要体现出来， p d 垂直 o a， p e 垂直 o b， 我 们才能得到结论， p d 等于 p e。 哎，前提条件要体现出来啊，一个是角分线要说明，另外一个是两个垂直要说明出来。 下面我们来针对于这个角平分线的性质定理做一个呃练习。如图， 在三角形 a b c 中，角 c 等于九十度，说明这是一个直角三角形 b e 平分角 abc， 这是我们经常见到的一种类型。在直角三角形中给你一个角平分线，那这个时候呢，它已经自然形成了一个垂线段， 点 e 到角的一边， bc 的 距离已经出现了，就是用这个直角本身来定义的。而另一方面，如果它没有做 e d 垂直，我们是极大概率也要去这么做的，就是为了利用角平分线的这个性质定力。 如果说 a c 的 长是三，让咱们来求 a e 加 d e 的 长 d e， 根据角平分线的性质，它就等于 c e， 所以 a e 加 e d 就 等于 a e 加 c e， 其实就是 a c， 所以 这个空我们填的就是三厘米，记着带单位啊。 下面我们再来探讨角平分线的第二个叫做角平分线的判定，我们以前学习的都是垂直平分线的性质定律，角平分线的性质定律，但是呢，并没有研究过他们的判定。那角平分线我们是怎么证明的呢？ 根据以前我们所学习的说，怎么证明一个线是一个角的角平分线，无非咱们就只要证明这两个角相等就可以了，那有没有其他的方式也能够证明角平分线呢？我们一起来看一下啊。 首先先让我们来写出角平分线性指定里的逆命题，问他是真命题吗？ 请你证明自己结论的一个正确性。要写匿命题，咱们先看原命题进行分析，将他的条件和结论分别摘出， 然后让他的条件变成结论，结论变成条件就可以了，对不对？来看前边的这个原命题啊，角的平分线上的点到角两边的距离相等，那么他的匿命题我们就可以写成 角内部到角两边距离相等的那个点，它就在角的平分线上。 如果我把它转化成为几何语言，我们就可以这么说，如图，点 p 是 角 a b c a o b 内部一点，并且 p d 垂直 o a p e 垂直 o b 垂足分别是点 d 和点 e， 而且 p d 等于 p e。 让咱们来求证点 这块不应该是点啊，就是求证 o p 平分角 a o b， 哎，这个就是我们在要证明一下这个逆命题是否是正确的， 要想证明 o p 平分角 a o b， 其实就是正角一等于角二，那么正两个角相等，我们最常用的方法肯定还是什么呀？哎，全等啊，肯定还是全等，所以说我只要证明 三角形 a， 三角形 o p d 和三角形 o p e 全等就可以了，下面我们一起来尝试着证明一下啊。 因为 p d 垂直于 o a， p e 垂直 o b， 咱们就能得到两个相等的九十度， 因为 p d 等于 p e， 再加上一个公共的边 p o 等于 p o， 所以呢，在这两个直角三角形当中，咱们是不是就可以根据 h l 来证明它们两个全等了，咱就能得到角一等于角二， 所以呢，我们就能说明 o p 是 平分角 a o b 的， 就能证明了这个结论是正确的。 那么下面我们一起来总结一下这个定律啊。我们把它归结为叫做角平分线的判定定律，可以这样的来进行一下总结，在一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上， 这个定律可以判断点是否在角平分线上， 但是这个定律呢，应用也是具有它一定的使用条件的，首先要满足点，要在角的内部， 其次在数量关系上，这个点到角两边的距离要相等。哎，只有具备了这两个条件，咱们才能够判定角平分线。 那么我们把它的几何语言来写一下，因为 p d 垂直 o a， p e 垂直 o b， 并且 p d 等于 p e， 那 么咱们就能判断点 p 在 角 a o b 的 角平分线上了。 下面呢，我们来针对于这个判定定例来对应着做一道练习题。如图，角 a、 o、 b 等于六十度， p d 垂直， o a， p e 垂直 o， b， 并且 p d 等于匹一。很明显，后边这三句它就是给我指向，让我得出 o、 p 是 角 a、 o、 b 的 角平分线。让咱们得角一的度数，那肯定就等于角 a、 o、 b 的 一半，也就是三十度啊，也就是三十度了。 下面我们对应着来看两道例题哈，来，第一个，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b， a、 c 等于六十度啊，这里出现了一个六十度点， d 呢？在 b、 c 上， a、 d 的 长度是十， d， e 垂直， df 垂直，并且 d、 e 等于 df。 让咱们来求 d、 e 的 长。根据三句话， d、 e 垂直， d f 垂直， d， e 等于 df。 因为这三句，咱就能够判断 a、 d 为角 b， a、 c 的 角平分线， 再根据六十度，咱就能得到三十度了。让咱们求的是 d、 e， 那 么在直角三角形 a、 d、 e 中，我们就可以根据三十度的那个 定律，三十度所对的直角边就是斜边的一半，所以咱们就能知道 d、 e 的 长就是五了。哎，我们做所有的大题，其实基本上都差不多，我们先把这个思路给他捋顺，然后将你刚才的分析过程 用几何语言的形式书写下来，就是我们的证明过程了。好，下面我们来写一下这个证明过程。 因为 d、 e 垂直， df 垂直，而且 d、 e 的 d、 f， 所以 咱们就能判断 a、 d 平分角 b， a、 c。 哎呀，后边的括号可以不写啊， 又因为角 b、 a、 c 的 六十度，所以咱们就能得到角 b， a、 d 等于三十度。注意啊，我们得角 b、 a、 c 等于六十度，之后可以得到两个角都是三十度，但是我最终求的是 d、 e， 它是在直角三角形 a、 d、 e 当中的，所以我就只写角 b、 a、 d 就 可以了。哎，就不需要非得要把角 c、 a、 d 的 度数也介绍出来，完全没必要。 然后在这个直角三角形 a、 d、 e 中九十度十，我们就能知道 d、 e 长就等于二分之一的 a、 d， 也就是五了。哎，这个括号呢，咱们也可以不写，只是解释了我们为什么等于五的一个原因啊。 下面我们再来看第二道例题，如图，角一等于角二，角三等于角四，那说明出现了两个角平分线。让咱们来求证的是 ap 平分角 b、 a、 c。 正常情况下，让咱们来正 a、 p 平分角 b、 a、 c 啊，咱们通常是从两个方面去考虑，第一方面就是，那我就只需正出来角 b、 a、 p 等于角 c a、 p 就 可以了。哎，这是我们最原始的想法， 但是整个题呢，不太容易去正这俩角相等。第二种方法呢，就是证明我在 a、 p 上找到一个点， 让这个点呢到 a、 b 跟 a、 c 的 距离相等，咱就能说明 a、 p 是 角平分线了。而根据前边所给的条件，角一得角二，说明 b、 p 是 角平分线。角平分线就要发挥它的性质定理的作用了， 那么如果我们过点 p 向这个以 b 为顶点的距离，肯定就是相等的。 角三得角四，说明 p、 c 又是一个角平分线，咱们再做两个垂线，是不是也相等？哎，用等量代换，我们就能得到角 b、 a、 c 上的点 p 到 ab 跟 ac 的 距离是相等的，进而咱们就能证明出来这个 a p 是 角平分线了。哎，这个呢，就是我们的一个基本的分析思路。下面呢，我们再来看一下具体的书写过程啊， 哎，接下来我们书写一下它的几何语言，过点 p 作 p q 垂直于 a b， p n 垂直于 a c， b c。 哎呀，这个 p n 应该是垂直 a c 的 啊，这块写错了，然后 p m 呢？垂直于 b c， 因为角一得角二，这块咱们可以分布写啊，因为角一得角二，所以 pm 得 p q， 因为角三得角四，所以 pm 得 p n， 然后进而咱们得到 p q 等于 p n。 它这个混在一起倒是也可以啊，只是我们分着写，它的逻辑关系会更强一些。 哎，所以 p q 等于 p n， pm 这个是我们最终要得到的。这个位置写错了，不好意思啊，这块应该是 p q 等于 p n 啊， p q 等于 p n。 咱们要得到这个结论， 因为 p q 垂直于 ab， p n 垂直于 ac 这个位置写出问题了，所以 ap 就是 角 b a c 的 角平分线。哎，它的意图呢，是希望通过我们这节课所讲的， 在脚的内部到脚两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 这就是我们这节课所要讲的角平分线的内容。其中讲了角平分线的性质定理，是我们一直都非常熟悉的角平分线上的点到角两边的距离相等。 然后呢，我们又讲了角平分线的判定定理，指的是首先第一个条件在脚内部，然后到脚两边距离相等的点就在这个角的角平分线上。 呃，还有一个叫做辅助线的一个添加，就是过角平分线上的点，向角两边做一个垂线段，最终呢你证明这个垂线段是相等的就 ok 了。好的，后面呢有几道对应的练习题，大家可以看一下啊。 好的，我们这节课就上到这里。

hello， 大家好，这节课咱们来学习第一章三角形证明及其应用。一点四线段垂直平分线的第二课时， 我们先来看这样的一个情境，前面呢，我们用尺规做出了满足一定条件的直角三角形，那么你能用尺规做出满足一定条件的等腰三角形吗？ 接下来我们就要来看一下如何用尺规啊来做一个呃，等腰三角形，满足一定的长度以及角度之类的。 比如说已知三角形的一条边长是小 a， 以及这一条边上的高是 h， 那 么你能画出满足条件的一个三角形吗？ 整个呢是让我们来做一个画图，所以呢，我们需要先把这个已知还有求作给它写上， 已知条件就是三角形的一条边和这条边上的高 h， 然后让我们求作的是一个三角形 abc， 使得 bc 的 长等于小 a， bc 边上的高呢是小 h。 按照题中的这个要求啊，其实我们可以做出很多很多个这样的三角形，我们只需要先将 b、 c 的 长度画出来是比较好画的。先画一条射线，再截取一个 b， c 等于小 a。 接下来呢，我就可以做 b、 c 上的垂线， 因为过直线外可以做无数条垂线，在这条垂线上我再截取一个 长度 h， 使得它为 bc 边上的高，这样的话，咱们就能做出来无数个满足条件的三角形。比如说咱们这里边画了三个，你看先把 bc 画出来，然后呢再做它的高， 再截取出来 h 的 长度，这样的话，这个点 a 就 形成了三角形 abc 也就形成了。你看，我们可以画出很多个这样的三角形，它们呢并不是全等的， 它们并不全等就代表着我能画出无数个，如果它们是全等了，也就意味着这个三角形就是有唯一的一个了，这个就是我们如何用两个 条件来画等腰三角形，但是我们发现呢，用这两个条件并不能确定唯一的三角形，那么接下来我们来探究一下。第一个探究尺规作图， 已知等腰三角形底边及底边上的高。你能用尺规做出满足条件的等腰三角形吗？ 能做几个？与同伴进行交流，刚才我们做的并不是等腰三角形哎，就是一个三角形，那么它的高就不唯一，可以在左一点，右一点。 但是呢，我们要想等腰三角形，那就不一样了，我们画的就只能是居中了，哎，等腰三角形底边上的高一定是底边的垂直平分线对不对？ 那么底边确定了，底边的垂直平分线肯定也是确定的高，又有一个固定的长度，所以咱们在上边截取一下， 就会形成一个三角形，当然，我们是不是还可以在这个底边的下端截取一段相同的高啊，所以应该就会有两个满足条件的三角形了。来，我们看一下， 你看，我们先画到中间的线段，让他是底的长度，然后呢做他的垂直平分线， 在垂直平分线上截取要求的高的长度，但是呢，我们上面可以截取一个，下面也可以截取一个。这样的等腰三角形有两个，并且这两个呢是全等的，他们分别位于已知底边的上下两侧。 二、梳理上述做图过程，请你总结出已知底边和底边上的高，用尺规做这个等腰三角形的方法和步骤，那么咱们把它具体写成一下我们做图的一个规则啊， 如图，已知线段 a、 h， 让我们来用尺规做三角形 a， b、 c 使得 ab 等于 ac， 等腰三角形 bc 等于小 a， bc 是 底高呢， a， h 等于 a， d 等于 h。 那么接下来我们给出相应的一个作图方法，左边是做法，右边是图形。首先第一步我们要先做线段 bc， 使得 bc 等于小 a。 咱们的方法是什么呢？我们得先做一条射线， 做射线之后，再以 b 位圆心小 a 长为半径，画一个弧， 截取的这个长度就是 b c， 焦点就是点 c。 接下来根据等腰三角形三线合一，所以咱们呢就做 b、 c 的 垂直平分线。垂直平分线的方法在这里咱们就不过多的坠数了， 一定是出现了这样的两段小弧，将它连接起来，就是我们的垂直平分线。 接下来我们在直线上截取以 d 为圆心哎，去截取一个长度，使得它等于 h， 咱们是不是就把这个高给他截取出来了？ 好，接下来呢截取 h， 那 么点 a， 我 们就进行确定了，下面我们把 a、 b、 a、 c 连接起来。最后别忘了下结论，三角形 abc 就是 我们所要求做的一个等腰三角形。 呃，下面我们来思考一下这个哈说，还记得用尺规过直线上点 p 做 l 的 垂线的方法吗？也就是过直线上一点，做已知直线的垂线。 这种方法将直线的垂线问题转化成了做线段的垂直平分线的问题。咱们是用这个点向左右各画一个相同的弧，然后再做这段弧的垂直平分线，对不对？ 如果点 p 在 直线外呢？也就是如何过直线外一点做已知直线的垂线的问题了。此时还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，跟同伴进行一下交流。 如果这个点 p 在 直线外，那么我们仍然能将它转化成做线段垂直平分线的方法来做直线的垂线的。 做图的一个基本思路就是，先以直线外这个点 p 为圆心画个弧，让这个弧一定得跟这个直线有俩交点。 然后呢，我们再做这两个焦点所在的这条线段的垂直平分线，就能够做出我们所要的垂线段了。 梳理上述作图过程，让我们写出总结出过直线外一点用尺规做已知直线的垂线的方法还有步骤，那么我们来一起总结一下啊。 如图，已知直线 l 和直线 l 外的一点 p， 让我们利用尺规做 l 的 垂线，使它经过点 p， 就是 刚才我们总结的方法啊。 接下来，我们左边做法，右边作图。第一步，先任取一点 q， 使得 q 与 p 在 直线 l 的 两旁。 哎，在直线 l 的 下侧，我们任取一个点 q， 接下来呢，以 p 为圆心 p， q 长为半径做弧。以 p 为圆心 p， q 为半径做弧。 第一步吧，其实大家不这么写也行，但是就不太好表述。我们第一步的目的是为了以 p 为圆心，某个长度为半径去作弧， 但是我们的目的是必须与 l 交在两个点上，但是这个半径就不太好表述。 所以呢，我们为了让产生两个点与 l， 所以呢，我们通常会在 l 下方取一个点 q， 这样的话，连接 p q 之后，它画出来的弧就一定会有两个焦点，如果你这个点 q 在 直线 l 的 上方，那么就没有焦点了。 如果点 q 在 直线 l 上有可能有两个交点，也有可能有一个交点，所以我们尽量就取在 l 下方。第三步，做线段 a、 b 的 垂直平分线，它就一定会过点 p 了，哎， 下结论，直线 m 就是 所要求做的一条直线了。好，下面我们对应着 看一道练习。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 得 bc， 说明它是等腰三角形，角 a 等于四十度，我们马上说明角 b 也是四十度，并且上方角 a、 c、 b 就是 一百度。 观察作图痕迹可知，那做这个就是垂直平分线的三线合一角 b、 c、 g 的 度数将一百度平分，所以就是五十度。选择 c 选项， 下面我们来看一下。第二个，探求三角形三边的垂直平分线的性质。三角形三条边垂直平分线具有什么样的性质？ 分别做出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三边垂直平分线。你发现有什么规律？跟同伴进行交流来，我们分别以三种三角形来做一下，第一种是锐角三角形，我做了三边的垂直平分线， 第二个是直角，第三个是钝角。咱们观察一下，发现这三个垂直平分线，他们最大的一个特点是发生了什么样的变化呀？好像就是在焦点的位置有所不同。 锐角三角形，这个三个焦点在三角形的内部，而直角三角形它在斜边的中点上，而钝角三角形呢，在三角形的外部。通过观察咱们就能发现这一个特点， 三条垂直平分线的焦点呢？等到九年级的时候，我们会具体的再学一下，它的名字呢，叫做三角形的外心，因为它属于三角形外接圆的圆心，这个是以后我们要接触到的，现在我们只需要知道这个点在哪里就可以了啊。 下面我们来看这道例题，已知如图，在三角形 a、 b、 c 中，边 a、 b 的 垂直平分线是 p d， 它与边 b c 的 垂直平分线 p e， 这个 e 没有打出来，在下边啊， 交与点 p 到两条边的垂直平分线。求证，边 a、 c 的 垂直平分线也经过 点 p。 哎，让我们来证明 a、 c 的 垂直平分线也经过点 p。 要想证明某个点 在某条线段的垂直平分线上，我们就只需要证明这个点到这条线段两个端点的距离是相等的就可以了。所以呢，我们就一定要将 pa 跟 pa 连接起来， 而根据 p d p e 式垂直平分线，我们也一定要连接 p b pa 跟 pc， 利用垂直平分线的性质啊，所以说相对来说难度就不大了。哎，只要证明 pa 的 pc 问题就要解决了。来我们看一下 要证明 p 在 a、 c 的 垂直平分线上，我们需要什么条件。已知两线段两条垂直平分线交于点 p， 你 还记得哪些相关结论？我们肯定是要利用垂直平分线最重要的性质到连线段两端点的距离相等啊。 来看 l 是 ab 的 垂直平分线，咱们就能推出 pa 等于 pb， 而是 bc 的 垂直平分线，咱们就能推出 pb 等于 pc， 进而呢，等量再换，我们就能得出 pa 等于 pc 了啊，就能说明点 p 在 ac 的 垂直平分线上，下面我们来看一下这个过程啊。 第一步，做辅助线啊，连接 p a， p b， p c。 辅助线要用虚线表示啊。第二步，因为点 p 在 a b 的 垂直平分线上，所以 p a 就 等于 p b。 哎，同样的道理， p b 也等于 p c。 能量代换我们就能得到 p a 等于 p b 等于 p c， 所以 点 p 就 在 a c 的 垂直平分线上。 由此呢，我们可以总结出一个相应的性质，叫三角形三边垂直平分线的性质。 三角形三条边的垂直平分线，首先肯定一点，它一定交于一点，并且这点到三个顶点的距离是相等的。那么几何语言就可以描述为， 因为点 p 为三角形 a、 b、 c 三边垂直平分线的交点，所以 p a 等于 p b 等于 p c。 对 应的看一道立体练习， 三角形 a、 b、 c 的 边， abac 的 垂直平分线交于点 p， 连接 p b， p c。 如果角 a 等于七十度，则角 p b、 c 的 度数是多少？ 因为 a b、 a、 c 的 垂直平分线交于点 p， 出现垂直平分线了，我们利用性质一定要将 p a 连接起来，连接之后就形成了三个等腰三角形。 这里边告诉了我们，角 a 的 度数是七十度，相当于是将七十度分割在了两个等腰三角形当中。 在三角形 a p b 和三角形 a、 p c 当中，哎，这两个角的和是七十度，我们就能知道角 a b p 加角 a c， p 也是七十度。 然后呢，我们再看一下三角形 abc 的 一个内角和一百八十度，就能知道剩下的角 p b、 c 加上角 pcb 的 度数就应该等于一百八十度，减去两个七十度，所以呢，角 pbc 加角 pcb 就 应该等于四十度， 然后呢， p b 又等于 p c， 所以 每个角也就是角 p b、 c 就 等于二十度啊，就等于二十度了，其实就是一个等腰三角形在里边来回转化的一个问题啊，下面呢，我们来对应，看两道例题分析。第一个 如图，三角形 abc 中 ab 等于 ac 啊，没说等于 ac 啊， abac 的 垂直平分线分别交 bc 于点 d 跟点 e。 好， 这是第一个非常重要的条件。垂直平分线， 大家记住一点，今后无论你在什么时候，什么地点遇到垂直平分线，那么它最最主要的作用就是向我们交代 垂直平分线上的点到线段，两个端点的距离相等，如果没有出现，你就必须做辅助线。通过图观察，我们能够看到，因为 dm 是 垂直平分线，那这个 d、 a 一定等于 d、 b 已经体现出这两条线段了，我们就不需做辅助线了，你要盯住这两条线段相等，再看右侧 e、 n 是 垂直平分线，所以 e、 a 一定等于 e、 c 啊，一定有这个相等关系了。 接下来告诉了三角形 a、 d、 e 的 周长是六，那么周长必然涉及到三条线段，刚才我们的线段相等是为了什么呢？ 百分之百是为了进行一个线段的能量转化。哎， a、 d 我 可以把它转到 b d， a， e 我 可以把它转到 e、 c， 这样 三角形 a d， e 的 周长就变成了 b， d 加 d， e 加 e， c 刚好就是 b c， 所以 它的长度就是。 哎，就这么进行了一个奇妙的转化。然后接下来我们具体看一下，梳理一下这个过程啊。我们首先是由垂直平分线进行线段关系的转化， 因为这俩是垂直平分，所以得到 a、 d 得 b， d， a、 e 得 c、 e。 然后呢，我们再分解这个周长，因为周长是六，所以原周长的三条线段等于六，再进行等量，再换 b、 d 加 d， e 加 c， e 就是 六，而它们三个的核就是 b、 c， 所以 b、 c 的 长就是六了。哎，这也是一个非常典型的线段垂直平分线的使用方法啊。 下面我们再来看一下第二个例题，如图所示，三角形 a、 b、 c 中 a、 b 得 a、 c， 说明这是个等腰三角形。角 a 等于四十度，那么两个底角角 b、 角 c 就 分别是一百八减四十除二七十度。 第一步，做线段 a、 b 的 垂直平分线，保留痕迹，不写做法，稍微解释一下吧， 叫做 ab 的 垂直平分线。那么我们就首先以 ab 为圆心大于而以 ab 为圆心啊，大于 ab 长度的一半长度为半径做弧，但是这个弧啊，上下都得做两弧，交于 m n， 连接 m n， 就 能得到这个垂直平分线了。当然，我们这里边不需要写作图，方法，只是我们再表述一遍，加深大家的学习印象。这是第一步，做完了这个垂直平分线。第二步，在一所做的图中， 若 m、 n 交 a、 c 于点 d， 那 么咱们就把这个点 d 给它标注出来，再连接 b、 d， 求角 d、 b、 c 的 度数，找到角 d、 b、 c。 要想求角 d、 b、 c 的 度数，那么我们就要进行一个分析，利用垂直平分线的性质， d、 a 等于 d、 b， 所以 咱们根据等边对等角，就能得到角 d、 b、 a 等于角 a 都等于四十度， 而我们刚才已经算出来角 abc 等于七十度了，所以七十减四十等于三十。七十怎么来的，我们也要说明一下。哎，根据内角和还有等腰三角形的底角相等对不对？好，下面我们来看一下过程。 因为 a、 b 是 a、 b 的 垂直平分线啊，所以 a、 d 等于 b、 d， 根据等边对等角，所以咱们就得到角 a、 b、 d 等于四十度， 然后呢，角 a、 b、 c， 因为 a、 b 得 a、 c， 根据等边对等角，所以咱们得到角 a、 b、 c 等于七十度，然后我要求的角 d、 b、 c 就 等于它们两个相减，也就是三十度。 好，这就是我们这节课所学的线段垂直平分线的第二课时的内容。主要我们介绍了尺规作图，已知等腰三角形底边及底边上高做等腰三角形，还有过直线外一点做已知直线的垂线 三角形三边垂直平分线的性质交于一点，并且呢到三个顶点的距离是相等的。后面有一些对应的练习，希望大家能够看一下啊， 这些练习的题要更多一些，大家有时间希望能多做一些练习啊，到时候你静止就好了，暂停，然后做完之后呢，再对照着一下答案啊。课堂的时间有限，讲的没有那么多，主要就是以几个典型例题为例来进行一个简单的说明啊。 好了，这节课呢，我们就上到这里，谢谢大家。

优生提问， 每天跟我做好的题目，这是八年级数学下册第一张三角形的，其实这道题目难度也并不很大， 呃，对于这种题目呢，大家就是一定要动手动笔要去写啊，你老是盯着看，你可能一旦你没看明白，你可能就真的不明白。 好，我们看题目，在三角 a、 b、 c 中， a、 d 平分角 b a、 c。 第一个条件，角 b 小 于啊，这是这个图形的限制， p e 为 a、 d 上一动点，这好像也看不出什么太多的已知，重要的已知 p、 e 垂直于 a、 d。 好， 第一个条件呢，这里是垂直角，平分线，垂直的没记得，就这，重要的就这个，这个只要是图形的限制条件，如果角 b 等于三十五度的话， 角 b 等于三十五度。角 a、 c、 b 等于八十五度，八十五加三十五就是一百二十度，这样的角 b、 s、 e 就 等于六十度。 由于这角平行，这个角等于三十度，这个角等于三十度。三十，这是三十五度，那么这个角就等于三十加三十六十五。呃，这里是直角，这个角 e 呢，就等于九十减六十五，等于二十五度，对吧？角 e 等于二十五度。第一题， 那么第二题，也就是点 p 在 线的 abad 上运动的时候啊，点 p 也可能在这运动时候，角 e、 角 b 和角 a、 c、 b 啊，刚才这三十五度，这八十五度，就现在我们不管它是多少度，与它之间什么数量关系呢？叫我们来证明。 那么这样你老盯着看，那就不行了。好，这是我这里的解答过程啊，在这里呢，呃，跟大家解释一遍，大家给我看着我这里的图形啊， 刚才我们说这个角三十五，这角八十，现在我就不管多少度了啊，但是这里已知它的这两个角是相等的，对不对？这里垂直的就这么两个已知，所以您看呢？由于这里是垂直的角 e 就 等于九十度减去角 a、 d、 c。 角 e 等于九十度减角 a、 d、 c。 角 e 等于九十度减去这个角，对吧？好，那么九十度减这个角，九十度减角角 a、 d、 c。 等于什么呢？等于角 b 加上这个角 b、 a、 d。 角 b。 加上角 b、 a、 d。 这两角相加。好，我们再来算一遍，等于九十度减角 b。 减角 b、 a、 d、 b、 a、 d。 是 多少呢？ b、 a、 d。 等于角 b、 a、 c。 的 一半二分之一角 b、 a、 c。 好，我们再来化解。等于九十度减角 b。 减角二分之一角 bc。 二分之一的角 b、 a、 c。 的 话呢？一百八十度减角 b， 减角 a、 c、 b。 好， 我们化解好。换哪里来了呢？ 这个角 e。 啊，就等于九十度减角 b。 减二分之一角 a、 c、 b。 九十度减九十度等于零，对吧？二分之一角 b， 减角 b。 哎，这是负的是吧？啊，那么这个就放前面，二分之一角 a、 c、 b。 负角 b 加二分之角 b 就是 减二分之角 b。 好了，那这就是题目的结果，对吧？角 e 等于二分之一，括号角 a、 c、 b。 减角 b。 当然，你这么去行，呃，这道题啊，你觉得难吗？ 就是一定要动笔去化解，要去算，你看是看不出名堂的。 好，每天讲好的题目，希望大家都能跟着我一起做好题，提高你的成绩，记得点赞关注哦！

跟我做好题，你的成绩就会好。 这是八年级数学下册的。呃，我的一个学生在家里做的一些难题啊，他问我的，我们看到这里在三角形 a、 b、 c 中 一直在 a、 d、 b、 e 分 别为 b、 c、 a、 c 边上的高 a、 d、 b、 e 是 垂直的啊，这里垂直。这垂直的 第一个条件两差高，然后 a、 d 的 b、 d 啊，加点这个就看图去了， a、 d 的 b、 d 很 关键啊，两差高，两线的相等没了。现在就问这四个问题，第一个 b、 f 的 ac 好，我们看到我这里的图形啊，当然这里每一个我这第一个是正确的，我的过程写在这里啊，我们刚才刚刚在题目有那个 a、 d 等于 b、 d， 由于这是高，所以这个整个角是四十五度， 这整个角是四十五度，对吧？ a、 d 等于 b、 d， 这个 a、 d 是 等腰直角三就行。 那么第一个问题说 b、 f 等于 a、 c， 怎么理解呢？你看它这个 b、 d 等于 a、 d。 这个角 b、 d、 f 等于角 adc。 然后我们看到这里的这个角，角 f、 b、 d 等于角 dac。 为什么呢？因为这里角，比如说我写个一字，在这，这个如果说这角角一加上角 a、 c、 d， 因为这里也是直角嘛， 这两个角互余，那么这个角，比如我们写角二，角二呢？如这个角 a、 c、 d 有， 这里是直角嘛，所以角一等于角二， 对吧？当然呢，你也可以得到这个角等于这个角，角 b、 f、 d 等于角 b、 c、 e。 你 得到这两个角是可以的，因为这个角 b、 f、 d 加角 e 九十度，有这里九十度的话，那么这个角 b、 c、 e 加上角 e 也等于九十度。所以您根据同角的余角相等 啊，不管同角的入角线呢，得角一等于角二，还是得到角 b、 f、 d 等于角 a、 c、 d。 总之，三角形 b、 d、 f。 三角形 b， d、 f。 前等三角 a、 d、 c。 好， 所以第一个它的斜边 b、 f 等于 a、 c。 我 们看第二个 c、 f 测出 ab， c、 f 是 测出 ab 的 吗？哎，首先它的两条高的焦点，我们说两条高的焦点呢，就是三条高的焦点，所以你只要根据这一句话，马上 cf 就是 测出 ab 的。 哎，我们这里的有一套特殊情况，我们再来说一次啊，我们刚才是这四十五度，这四十五度，哎，刚才我们说了 b、 d、 f。 呃，三角形切呢上去 a、 d、 c， 所以 d、 f 等于 d c， d、 f 等于 dc 直角，所以这个是四十五度角，这里也是四十五度的角，加 d， f， c 等于角 d、 c、 f， 所以 你看这个四十五度加这个四十五度，所以延长 cf 到这 h， 你 看呢？这四十五加这四十五，这个不就是九十度吗？ 所以第二个是正确的啊，第二个是正确的，我们看第三个。 第三个他说如果补充 b， f 等于 r e、 c， 则 f、 d、 c。 如果补充 b， f 等于 r e、 c。 刚才我们说了 b、 f 是 等于 a、 c 的， 那么 b、 f 等于 a c， a c 等于 a c， 那 就是 e 是 a、 c 的 中点呢？ e 是 a、 c 的 中点的话，那刚才这里有垂直啊，所以这个 b、 e 就是 a、 c 的 中垂线， 对吧？已知中点，这个垂直重叠性，那么重叠线上的点到现在两段距离线呢？所以 f a 等于 f、 c， 所以 f、 d、 c 的 周长 就是 f d 加 f， c 加 d， c 加 d， c 等于 f a 就是 f， d 加 f， c 就是 ad 好， ad 呢，又是 b、 d， 所以 b、 d 加 d， c 呢就是 b、 c， 所以 f、 d、 c 的 周长就是等于 b、 c 的 长度。好，具体的这个写法呢？第三题我写在这里了 啊，那么第四个就是错误的，所以正确的是一二三写 a。 第四个它说角 f、 c、 d 等于角 d， a， c， d 是 四十五度， 角 d a、 c 这角小于四十五度啊，因为这是直角，对吧？那么这里四十五度，这里就是比四十度还大，这个就小于四十度，因为这两个这这直角，所以这里的角如这里是九十度啊，所以一看第四个是错误的 啊，你看呢，这是一道选择的一道好题，特别好的题目，那我呢，就把这个过程写出来了啊，你也可以把我的过程自己看一看，好题一定要跟着做，记得点赞关注哦。

大家好，这节课咱们来学习第一张三角形证明及其应用的第四节线段的垂直平分线。第一课时 我们来看这样的一个情境，如图 a b， 它表示两个仓库， 现在呢，要在 a b 的 同一侧河岸边建造一个码头，让这个码头到两个仓库的距离是相等的，那么码头应该建在什么位置？ 这个码头建立的位置啊，其实就是相当于让我们找什么呢？让我们在河岸上找到一个点，让它到 a b 的 距离相等。其实我们以前在学习 三角形的时候，就学习过有这样的一条线上的点，能够达到这个要求，就是垂直平分线， 哎，垂直平分线呢，有一个非常重要的性质，叫做垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以我们就可以考虑做线段 a b 的 垂直平分线。 那么这个码头啊，肯定要建在垂直平分线上，并且还要建在岸边，两个条件一结合，我们就能确定出码头应该建立的位置了，就是相交的这个点， 然后下个结论应该建在 c 处，你能说说理由吗？就是我们刚才所解释的垂直平分线的重要的性质， 虽然这个以前呢，我们在讲三角形的时候，主要是在轴对称图形，哎，当时咱们介绍了，那么今天呢，我们会更具体的进一步的来专门学习一下线段的垂直平分线的相关问题。 我们来看第一个探究线段垂直平分线它有什么性质？我们曾经利用折纸的方法，哎，就是在学对称的时候， 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，请你尝试来证明这一结论，并且跟同伴进行交流。哎，之前我们并没有证明，而是呢以一个生活经验来进行总结的这一定律。 要想证明的话呀，其实相对来说也很简单，那么我们得先把这些条件写出来，包括已知和求证，对应着画一个图， 已知如图， m n 垂直 ab 垂足是 c， 并且 a c 等于 b c， 这样两项一交代，就相当于在告诉我们 m n 是 线段 ab 的 垂直平分线， 并且点 p 呢，它是 m n 上的任意的一个点，让我们来求证 pa 等于 pb， 那 么我们可以思考一下，要想证明两条线段相等，就目前来说，我们掌握的主要工具就是全等， 所以我们就要想办法来证明 ab 啊， ap 跟 b p 所在的两个三角形全等。 找一下条件直角中点公共边，那么我们就可以根据边角边证明它俩全等。三角形 p a c 跟三角形 p b c 全等了，那么我要的这个结论是不就解决了？好，下面我们一起来看一下这个证明过程。 因为垂直，所以得到两个相等的九十度，再加上另外俩条件，公共直角边和 a c 得 b c， 所以 这俩三角形就全等，所以 pa 就 等于 p b， 能够证明出这个结论的一个正确性，并且呢它的使用频率比较高，后来就把它总结为一个定律了，那就可以直接拿出来用，大家在用的时候就不需要再次进行一个证明了，那么我们把它总结为 线段垂直平分线的性质定律，还是跟我们以前记的概念是一样的，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等， 那我们在用的时候当然得是用它的几何语言，几何语言又怎么说呢？因为点 p 在 线段 a b 的 垂直平分线上，所以就有 p a 等于 p b， 同时我们要注意，这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一。我们之前呢，证明两线段相等最主要的依据就是全等，但是呢，我们学了垂直平行线之后，大家也要想到这个方法， 下面我们来利用这个结论来做一个练习。如图所示，直线 c d 呢，它是线段 a b 的 垂直平分线， p 是 c d 上的一个点，已知线段 p a 等于五，则线段 p b 的 长啊，太简单了，根据定律肯定也是五就 ok 了。 下面我们再来看一下第二个探求线段垂直平分线的判定定律。哎，这个是我们之前并没有接触和了解的， 那这个判定定律是什么意思呢？就是如何来证明某条直线是某条线段的垂直平分线，这是一个新的知识， 我们来思考一下，你能写出定理，这个定理他的逆命题吗？这个定理是什么？线段垂直于弦的点到线段两段的距离相等。 要想写逆命题的话，我们知道逆命题跟原命题的区别就是条件和结论给它互换位置，所以呢，我们要先将原命题的条件和结论找到，然后把它俩换位置就可以了。 原命题的话是说某条线段垂直平分线上存在一点到两个端点的距离 存在一点，那么这个点到线段两端点的距离相等。如果连接的叫条件，那么连接的叫结论，那么我们给它反过来的话，这个结论就是， 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，它就变成了逆命题的条件，那么这个点就在这条线段的垂直平分线上， 简称为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。哎，所以说我们如果能够证明出这个条件，咱们就能说明垂直平分线了。 当我们在写逆命题的时候啊，就要想到判断它的真假，如果是真的，你得需要证明它，如果是假的，就需要用反例来进行说明。哎，这是命题，如果是定理的话， 它一定是真的啊，有些定律它是没有逆命题的，嗯，没有逆定律的，因为它是假的，有逆定律的，无论是圆定律还有逆定律，它俩肯定都是真命题啊，肯定都是真命题。 好，我们再来熟悉一下这个判断线段垂直平分线的方法啊，到线段两端点距离相等的点，这是前提条件。 哎，有一个点，如果他到某条线段两个端点的距离相等，那么咱们就能判断这个点就在这条线段的垂直平分线上。 我们来具体的看一下这个定律为什么是正确的啊？要需要稍微证明一下， 同样写出已知和求证。已知线段 a b 点 p 是 平面内的一个点，并且 pa 等于皮 b， 就 相当于交代了 平面内的一个点，如果它到线段两个端点的距离相等，让我们来证明点 p 就 在 a b 的 垂直平面线上。 想正垂直平分线，根据我们以往的方法，无非就是正垂直在正平分，是不是？哎，既有垂直又有平分，那它就在线段的垂直平分线上了，这是其中一种方法。 另外一种方法呢，我们也可以考虑，嗯，也是相当于正垂直跟正平分，只是用不同的方法来正罢了啊。在这里边呢，我们一共展现两种方法，来我们看一下第一种方法， 无论是用哪种方法，咱们都得先把这个垂线做出来，因为我要正它在垂直平分线上嘛，我们先做个垂线，然后接下来你主要是要证明终点就可以了， 有垂直有中点，它就是垂直平分线，过点 p 做已知线段的垂线。接下来咱们就是全力正中点，正 a、 c 等于 bc， 那 么这两条线段相等，我们想到最常用的方法是不就是全等啊？ 因为 pa 得 pb， pc 得 pc 斜边，直角边对应相等了，咱们就能证明这两个直角三角形是全等的。 它们全等之后，咱们就能得到点 c 是 ab 的 中点了，也就是 a， c 等于 bc， 有 垂直有平分，就能下结论，它在垂直平分线上。这是第一种方法，咱们做的是垂直。 那么第二种方法呢，我们也可以做中点，取 b、 a、 b 的 中点 c 将 pc 给它连接起来， 那么我们做中点，接下来的目标就是要正垂直。哎，你做垂直咱就正中点，你做中点，咱们就正垂直。 但是方法仍然是借助全等，只有这两个三角形全等了，才能得到 pca 等于 pcb， 都等于九十度嘛，方法的话 主要是这两种。那么这第二种方法的话呢，咱们做完中点之后，很容易发现，这两个三角形的三组对应边都相等， 因为 c 为中点，所以 a c 得 b c， 另外两个相等已经告诉了，哎，一个是公共边 p c， 另外一个是 p a 得 p b， 所以 这俩三角形全等， 全等的话，这两个角就相等，并且都等于九十度，那就说明 p c 跟 a b 是 垂直的，有中点，有垂直下。结论，垂直平面线。 这就是用两种方法来证明了我们刚刚所说的线段垂直平分线的这个判定定律，当然今后我们在做的时候就直接使用，不需要证明了。 证明完之后呢，咱们就总结一下线段垂直平分线的判定定律，到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 在使用的时候，我们具体的几何语言描述是这样说的，如图， pa 得 pb 就 一个条件就够了，所以点 p 在 a b 的 垂直平分线上，后边写的是原因就是咱们这个定律。 在用这个定理的过程当中呢，我们需要注意，这个结论经常用来证明点在直线上的根据之一啊，你想证明点在这条直线上，我们可以用这个方法来证明。 好，下面我们针对于这个定理啊来对应看一道练习，如图所示， a c 得 a b。 哎，第一个条件出现了，根据我们这节所学的内容，咱们能够立刻判断出来，点 a 在 bc 啊 cd 的 垂直平分线上， 则问谁在谁的垂直平分线上，或者谁跟谁垂直 a 选项说 c d 垂直平分 a b， 你 看图都不像对不对？说反了， b a b 垂直平分 c d 啊，那这个说的是正确的， 所以选 b 选项下边是一个解释分析啊，很简单，不看了， 这就是我们这节课所说的一个垂直平分线的定理及其逆定及其逆定理啊，也就是它的判定。下面呢，我们对应着来看两道例题。第一， 已知如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 得 a c 出现， a b 得 a c。 我 们今后就要想到两个方面，第一，等腰三角形。第二 点 a 在 b、 c 的 垂直平分线上，其实它俩有共同的地方。等腰三角形，我们无非也是为了利用三线合一，而这个点 a 在 b、 c 垂直平分线上呢，也有点类似于咱们等腰三角形的三线合一啊。 o 是 三角形 a、 b、 c 内部的一点，而且 bo 等于 c o 哦， bo 还得 c o， a b 还得 a c。 那 通过观察这个图，咱们是不是也能看得到 这个三角形 a、 b、 o 跟三角形 a、 c、 o 它俩也是全等的呀，也是全等的。然后这道题让我们求证的是什么呢？ a、 o 垂直平分线段 b c a o 垂直平分线段 b、 c。 要想证明垂直，我们就要说明上边的点在 b、 c 的 垂直平面上。 根据第一个条件， a、 b 得 a、 c， 咱们能知道点 a 在 b、 c 的 垂直平分线上，然后我们再根据这个 bo 等于 c o， 咱们也能知道点 o 在 线段 b、 c 的 垂直平分线上。 这两个点都在同一个线段的垂直平分线上，那么这两个点所在的直线 a、 o 也一定在 b、 c 的 垂直平分线上。来，我们看一下这个证明过程， 因为 a、 b 的 a、 c， 所以 点 a 在 它的垂直平分线上啊。后边括号原因咱们就不说了。同样的道理，点 o 也在线段 b、 c 的 垂直平分线上，这两个点，它们的连线 a、 o 就是 线段 b、 c 的 垂直平分线。 问说你还有其他的证明方法吗？我们再来给大家举一个方法，大家作为参考就行了，主要很简单，就这样写就行，大家在写的时候，这个括号里头可以不写啊， 来再给大家推荐一种方法啊。第二种方法，我们可以延长 a、 o 交 bc 于点 d， 那么这个延长的目的，咱们可能就是想要正垂直，正平分，哎，这是我们最传统的一种证明线段垂直平分线的方法，分兵分两路，一路人马去证明垂直，一路人马去证明平分。 延长之后，在三角形 a、 b、 o 和三角形 a、 c、 o 当中满足三条边对应相等，所以咱们就能够证明三角形 a、 b、 o 和三角形 a、 c、 o 是 全等的， 全等之后咱们是为了得到角 b、 a、 o 和角 c、 a、 o 是 相等的，得这步的相等呢？我们最终的目标是想证明两个大的全等啊，证两个大的全等， 因为 ab 等于 a、 c， ad 等于 ad， 这个 d 没有出来啊，在第一步的时候，这个 d 没有标，就是 bc 跟 ao 延长线的交点，这里啊有个 d， 那 么根据 边角边，咱们就能证明三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 是 全等的，它俩全等了，所以中点出来了，垂直出来了，那么垂直平分线就是油了。哎，这个就是我们的第二种证明方法。 好，下面我们再来看第二道例题，如图，在三角形 a、 b、 c 中边 a、 b 的 垂直平分线 e、 f 分 别交 b、 c、 a、 b 于点 e 跟点 f。 好， 那这句话虽然长，但是就交代了一个问题，就是 e、 f 是 a、 b 的 垂直平分线，垂直平分线出现了，咱们一直在强调，最主要的，我就是利用它这个性质， 我要找到它上面的一个点，除了垂足之外啊，然后将这个点到线段，两个端点连起来就相等。很明显，在这道题过程当中，这个点肯定是谁啊？点 e， 所以我一定会将点 e 跟点 a 连起来，并且连完 e， a 跟 e b 就 相等，这个就是垂直平分线最重要的一个应用，几乎给你垂直平分线，咱们就必须这么做。 然后接下来他又说过，点 a 做一个 a， d 跟 b c 垂直，而且 d 是 c e 的 中点，哎，这个蛮重要的。来看第一问，求证 b e 等于 a c。 正常传统意义上来说，我想证明两条线段相等，咱们首先想到的是全等，哎，但是你观察一下，这个 b e 跟 a c 所在的两个直角三角形长得根本不像， 所以呢，如果我们最开始就想到将这个 a e 连接起来的话，我会发现正 b e 等于 a c 就 相当于是正 a， e 等于 a c， 那 么它们两个是不是就在两个长得像的三角形里了，我就可以通过全等来 实现了，哎，这就是我们的基本的一个分析思路。来，咱们写一下第一问的证明过程啊。证明先做辅助线连接 a e， 因为垂直于点 d， 所以 d 是 c e 的 中点， 咱们先正这个全等，哎，当然这里边用直，直接用垂直平分了，没有正全等可以的，所以它就是垂直平分线，那么 a e 就 等于 a c 了。 然后呢，再说 ef 是 垂直平分线的这个问题，因为 ef 垂直平分 ab， 所以呢， a、 e 等于 b e， 然后再等量代换，咱们就得到了 b、 e 等于 a、 c 了。 第二问，这里说如果角 b 等于三十五度，好的，就读到这儿，咱们得马上先计算一下，你角 b 是 三十五了，咱们很明显就能得到角 b、 a、 e 肯定也是三十五度， 角 b、 a、 e 也是三十五度，然后呢，其他角再去推，这里边让我们求的是角 b、 a、 c 的 度数，角 b、 a、 c 的 度数。 得到角 b、 a、 e 是 三十五度之后呢，大家还不能停，这里边有一个等腰三角形，当出现等腰三角形底角的度数的时候，我们一定会能求出它的顶角以及外角的度数，所以咱们很明显就能知道，角 a、 e、 c 肯定等于角 b 的 两倍 七十度。然后下边这个三角形 a、 e、 c 又是个等腰三角形，所以角 c 也是 七十度，那角 b、 a、 c 是 不就能求出来了？哎，一百八，把角 b 三十五减掉，把角 c 七十减掉，减掉一百零五，那最后答案是不是就七十五了？这就是我们的一个基本的证明思路啊。下面我们来看一下过程 解，因为 a、 e 等于 b、 e 等腰嘛，角 b 的 三十五，所以角 b、 a、 e 就是 三十五了。因为 a、 d 呢垂直于 b、 c， 所以 角 a、 d、 b 等于九十度啊，它是从这个角度来说的， 所以角 b、 a、 d， 它先去求 b、 a、 d 等于五十五度，角 b、 a、 d 等于五十五度，那这五十五，再把那个 b、 a、 e 减掉是不就行了？所以角 e、 a、 d 就是 二十 角 c、 a、 d 是 不是跟角这个 e、 a、 d 是 相等的呀？哎，所以说呢，那个角也是二十度，然后它又因为 a、 c 等于 a、 e， 所以 角 a、 e、 d 就 等于角 c， 因为它们相加是九十度，所以角 c、 a、 d 等于二十度。它这么写麻烦了，大家发没发现哎， 因为上一步的话，其实我们就可以得到角 c、 a、 d 等于角 e、 a、 d。 咱只不过上一步没有证明出来啊，你是根据等腰三角形三线合一啊，也行，然后根据全等啊，也可以。 哎，我们直接就可以得到角 c、 a、 d 等于角 e、 a、 d 都等于二十度，然后把这个五十五度跟二十度加在一起，就可以得到角 b、 a、 c 的 度数是七十五度了。 难度不大啊，主要是一个分析思路和过程的问题。好，这就是我们这节课所学的线段的垂直平分线的第一课时，在这里边我们介绍了线段垂直平分线的性质定律。哎，这是一个大家都熟悉的定律啊。 然后呢，我们又学习了判断定力。判定定力就是如何证明一个点在线段的垂直平分线上，或者说是某条线是线段的垂直平分线到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上啊 及，大家可以对应看一下。 好的，那么我们这节课啊，就上到这里。

来看一下二十中月考题的第四题，给了一个三角形 a、 b、 c 角 b， c， a 等于九十度角 b， a， c 等于二十四度。将三角形 a、 b、 c 绕点 c 逆时针旋转 r 法度，然后得到三角形 d， e、 c， 那 么找到这个旋转角，就是 a、 c 旋转到 cd 这个位置，所以它的夹角是旋转角，旋转角不止一个，还有第二个，那么 bc 旋转到 c、 e 这个位置，所以这里也是 r 吧。 告诉我们 c、 d 和 ab 的 交点是点 f， 问当 alpha 的 多少度的时候，三角形 a、 d、 f 为等腰三角形，那我们看一下三角形 a、 d、 f 这个位置。既然要和 alpha 找关系，我们就把三角形 a、 d、 f 中三个内角全部用含 alpha 的 式子来表示出来。首先我们先看最简单的一个角，就是 a， a、 f、 d 这个角 a、 f、 d。 先观察一下这个角，这个角的话它是三角形 afc 的 外角，所以它可以直接写出来，就是二十四度，加上 alpha， 这是最快速能够表示出来的。接下来我们就剩另外两个角了，另外两个角怎么表示？这个时候就要想到旋转 b 处等腰，那这里边我们把 ca 逆时针旋转 alpha 度，得到的是 c、 d， c， d， a 就是 一个等腰三角形。顶角是 alpha， 所以 两个底角就可以表示出来。底角 fda， 它等于角 cad， 他俩相等就等于一百八十度减去零角的度数，然后再除以二。好，这两个表出来，把这个位置写到这二分之一百八十减 f。 好， 那现在三个角里边就剩最后一个角了，也就是这个角 f、 a、 d， 它怎么表示？ 角 f， a、 d 加上角 f、 a、 c 就 等于二分之一百八十度减 f， 所以 再把二十四度减掉就可以，所以这个角度就是二分之一百八十度减 f， 再减去二十四度。 所以三角形 a、 d、 f 三个内角全部表示完成来，我们把最散最后一个角也写上，就是角 d， a、 f 就 等于二分之一百八十度减 f， 最后再减去二十四度。 三个角表示好之后，他说了他是等腰三角形，所以三个角两两相等，理论上应该是三种情况。但是通过观察我们发现有一个角是二分之一百八十度减 f， 另外一个是二分之一百八十度减 f， 再减二四度，这两个角是不可能相等的，所以我们排除了一种情况。接下来就剩最后两种情况了，也就是剩余的这两个角都和二十四度加 f 相等， 列两个关于 r 的 方程。首先我们先让二十四度加 r， 等于上面这个二分之一百八十度减 r。 好， 减方程，我们先去分母，所有两边同乘以二四十八度，加上二 r， 就 等于一百八十度减 r。 一 项和分同类项三倍的 r 就 等于一百三十二度，那么 r 法就等于四十四度，所以第一个情况就算好了。接下来第二种情况，我们让二十四度加 r 法，这个角就等于它 二分之一百八十度减 alpha， 再减二十四度。好，我们可以直接去分母，或者先一项再去分母，先把负二次移过来，这个就是四十八度加上 alpha， 等于二分之一百八十度减 alpha， 左右两边同时乘以二九十六度，加上二倍的 alpha， 等于一百八十度减 alpha。 好， 一项合并同一项，我们可以算出来三倍的 alpha 等于 这个是八十四度。好，那么这个 alpha 等于二十八度或者是四十四度。 就两种情况，这是等腰三角形里边如果求度数的话，最难的一类就通过旋转旋转角 alpha 去表示三角形 a， d， f 中三个内角的度数，表示完之后，让它们两两相等解关于 alpha 的 一元次方程，就可以得到我们想要的结论。好，这道题就结束，下次见。

锻炼你的思维不香吗？这里是一道我的方法，还不如我的学生的方法啊，我做的，等一会我下面的答案呢，比我学生做的方法还麻烦一些的 啊，我觉得这道题啊，推荐给我们同学来做。我们看到在三角形 a 比 c 中， a、 b 等于 a c 啊，它是个等腰三角形 e 是 边 a、 b 上一点连接 c， e 在 b、 c 的 右侧做 b， f 平行于 a c 啊，平行，并且这个 b、 f 等于 a、 e 啊，平行的这一边等于这一边连接 c、 f 之后，如果 a、 c 等于一十三，这个 b、 c 等于十。求四边形 e、 b、 f、 c 的 面积。好，我们把这个已知条件呢，咱们再来看一遍啊。 a、 c 等于一十三， a、 b 等于 a c， a， b 等于十三， b， c 等于十， 这个 b、 f 等于 a e， b、 f 平行 a， e 好， b f 平行 a e a c 啊， b f 平 b， f 平行 a c b f 平行 a、 c 就 有内错角相等，而 a、 b 又等于 a c。 哈，这里有什么的关键的呢？就是有这个角 c、 b、 f 等于角 a， c、 b 等于角 abc， 就是 说这个角两这篇内错角相等，等边的角，所以也就是告诉了 b、 c 是 角 a、 b、 f 的 平分线， 那么这个角平分线上的点呢？大角的两边距离是相等的。好，我们做 c m 垂直， ab 做 c， n 垂直于这个 b、 f 好，角平分线上的点，大角的两边距离就相等了。好，那么这样呢？有了 c、 m 等于 c n 之后，又根据这个 b、 f 等于 a e 啊，有时间这过程我都不行了，这边等于，这边等，底等高，这个 a、 e、 c 的 底是 a e 高是 c m b、 f、 c 的 面积相等，所以 s 三角形 a、 e、 c、 e 啊，是等于 s 三角形 c、 b、 f 的 好，那么这个 e， b、 f、 c， 求这个面积 e， b， f， c 的 面积等于 e， b、 c 的 面积加 b， f c， 而 b f、 c 三角形面积等于 a， e、 c， 所以 也就是 e， b， f、 c 的 面积啊，就等于整个三角形 a， b、 c 这个三角形面积， 那么 ab 三角面积，它高是一直啊，它的是等腰，这两腰是一直三，底边是十，所以底边的一半呢，那就是五，对吧？做 a、 h 乘以这个 b， c， 那 么根据三角形一，这边等于五，这边等于五，那就是一十二，对吧？五十二十三，所以这样我们就可以得到 s 三角形 a， b、 c 等于二分之一，乘以十乘以一十二，等于六十。 好了， a， b、 c 这个三角形的面积等于六十，所以，呃， e， b， f， c 这个四角形的面积就等于六十，那么这样看起来，这道题也就不是很难了，不过我自己在做的时候开始啊，哎呀，没想到那么多， 我开始是从上往下看的啊，我开始从上往下看的，当然这个 c， m 等于 c、 n 呢，呃，还是稍微容易看到的， 对吧？由于这个两直线平行内侧角相等，角 a， c， b 等于角 c， b、 f， 然后呢，角啊，由于 a， b 等于 c e 角 a， b， c， e 等于 ac f， 所以 这个 bc 平分角 abf 做 c 到两面的垂线段，所以这个 c， m 等于 c， n 啊，然后呢，这个根据这个底边下呢， a， e 等于 b、 f， 所以 a， e， c， e 的 面积 三点 s 三 a， c 等于 s， c， b， f， 所以 四边形 e， b， f， c， d 面积等于三厘米啊，但是我自己在做的时候呢，我就眼睛从上往下看的啊，你看呢？我这个做法就比较麻烦，设 b m 等于 x， 那 么 a m 就 等于十三减 x， 然后呢，根据 c m 的 平方等于 ac 的 平方减去 am 的 平方等于 bc 是 十，这边是一十三，所以，呃，我这里根据一十三的平方减去一十三减 x， 跨的平方等于十的平方减 x 的 平方。 哎呀，这个数字怎么算起来就比较别扭， x 十三分之五十，而且 x 算完了，我求 c m 啊， c m 等于一至三分之一百二十，这也是比较别扭的啊，虽然二分之一乘以一至三， 乘以一至三分之一百二十也等于六十，但是这种做法，但是一开始的时候呢，眼睛没有看到这么斜着这样来看，你看 平时如果说我们说这边一至三，一至三，这边是十，可能看得清楚一点啊。呃，当然，虽然是老师，也不是说每一次做的都那么好，所以也希望大家提出更好的做法， 平时多练习，多总结，我们找好的做法，记得点赞关注哦！