怎么快速记诱导公式和两角和差公式

接到好的事情，很多同学说对诱导公式记得不熟练，那在咱们解三角形中是一个最重的一个东西，那就是你的诱导公式就必须得去非常的熟练，能够记下来。 那之前呢，带大家推导一下诱导公式怎么去记最最简单最方便。让我们再我们画一个单位圆， 这是咱们的一个单位圆，那么的一个单位圆中呢？我们取定这一个角， 这一个角的是 alpha， 我 们的 alpha 交单位圆于点 p x y， 我 们把点 p 拿出来，我们拿到一个三角形里面去， 我们 p 点的坐标是 x y， 那 我们这一段长度就是 x， 这一段长度就是 y， 然后我们这一个角的是 r， 所以 那我们的一个散压法就是我们的一个对边，对边就是我们的 y， 那 么的斜边，斜边就是一，就是 y， 那 么的 cos 压法 就是一个零边，零，我们那里面是 x， 那 斜边是一，所以说最后我们会得到一个 y 等于三阿法 cosine， 阿法等于 x， 首先就是 p 点的一个基本的一个坐标，接下来我们就开始推导我们看，先看第一个，我们先看负的阿法是什么 负的法，我们可以向下做一个同样的点，然后记住你为 t 一， 那我们现在我们的 p 的 坐标呢？它就变成了 x 负外，这样咱们的第一个诱导公式就出来了，我们的 sin 负 r 法，我们的 sin 负 r 法等于负外，等于负的 sin 法， 那么的 cosine 法呢？就等于 x 等于 cosine 法。好，这是咱们的第一个诱导公式，然后咱们接着看第二个，我们看派减 alpha 是 什么？ 拍减 alpha 怎么去找？我们沿，这样我们沿 y 轴做一个对称线，我们得到这样一个点，我们这里记，这里为 pi， 那 pi， 现在咱们的坐标呢？我们的坐标现在呢？就是 啊，负 x y， 因为我们想一想，我们这一个角是 r， 那 我们这一个角也是 r， 那 我们是做 y 轴对撑过来的，所以说我们的 x 取相反数，那我们的 y 不 变，那我们现在我们这一个角， 那现在它就是一个 pi 减 r 的 一个角。接着我们就看 side 派减 r 是 不是 y 不 变， y 不 变，那就是 sine， 然后我们接着看 cosine， cosine pi 减 alpha 等于什么？等于负 x， 那 就等于负的 cosine alpha， 好， 这是咱们的一个第二个诱导公式。我们接着往下看，我们看 pi 加 alpha， 我们 pi 加法怎么去找呢？我们这一个角是 alpha， 我 们给它再旋转一个 pi， 再旋转一百八十。啊，这一个角， 这一个大角啊，就是一个 pi 加法。然后我们现在可以得到一个点 p， 我 们可以看出我们点 p 是 关于原点对称的，所以说我们的一个 p 三，我们这里的坐标是负 x 负 y， 那 么的一个 sin pi 加 alpha 呢？就等于负外，负外就等于负的 sine alpha， 然后我们的一个 cosine pi 加 alpha， 就 等于负的 x， 就 等于负的 cosine x， 然后这就是我们的一个诱导公式。然后我们还有一个关键的最关键的一个二分之差减法，这个我们直接找一个直角三角形就可以， 这个角是 r 法，然后这个角是垂直的，然后这个角就是 r 分 之差减法。我们，嗯，假设这里还是 x， 这里还是 y， 然后这里还是 e， 那 我们现在 sum 加法 等于我们的 y 比上一，那我们的一个 cosine 二分之 pi 减 r 是 不是也等于我们的 y 比上一，然后我们的 cosine r 是 不是等于 x？ 那 么的 sine 二分之 pi 减 r 呢？是不是也等于 x？ 那现在这就是我们的第四个诱导公式，我们的一个 sine 分 之 pi 减法等于 cosine x cosine 法，我们的一个 cosine 分 之 pi 减法就等于一个 sine 法。好，这是咱们的一个第四个诱导公式。那接下来我们的一个正切怎么诱导我们的正切？我们可以这样写，我们写正切它的算法， 给它写成塞牙法比上一个 cosine 法。然后当我们变的时候，假如说我们要变一个看见的负二法， 我们给它写成 cosine 负二法比上塞牙负的二法，然后它就等于 cosine 法比上负的塞牙法等于负的 ctrl 加法，那么呢一个 ctrl 加减法就等于 cosine 派减法 分之 sine 派减法，然后它还是得到一个负的 python， 然后我们的一个 time 加加法，然后还是得到一个 plus 加加法，比上 sine 加加法等于 time 的 加法。 那这样我们就可以发现我们的一个贪心的我们一个正解函数，它的周期，它的它的一个周期就是等于派的。那接下来还有一个贪心特 i 分 之派减加法，我们依旧这样写， 那就等于 cosine 二分之 pi 减法，分之 sin 二分之 pi 减法，然后这个就是一个 sin 减法，分之 cosine， 它就等于 tangent alpha 分 之一。 那么 cosine 是 怎么画的 cosine？ 我 们先去找这一个单元中，我们是从这一个点开始，然后我们的 x 先变小， 然后再变成负一，然后再变成零，然后再变成一，而它的起点在这，它的起点在一，这里就是在这样一个位置，在 p 点，我们 p 点这里垂直下来， 然后先变成零，再变成负一，然后再变成零，再变成一，这个是我们的一个 cosine x 这样的一个函数。那接下来我们看正弦函数，我们说正弦函数等于 y， 我 们的一个三幺八等于 y， 那 我们依旧回到我们的一个单位圆中，我们可以发现我们最开始 p 点，这里是我们的一个起点， 然后我们最开始我们 y 是 零的，然后先变成一，变成一，然后再变成零，然后再变成负一，再变成零，那我们的起点是零，我们先变成一，然后再变成零，然后变成负一，然后再变成零，然后这就是我们的一个正弦啊。

鸡变偶不变，符号看象限，这是刻在我们脑子里的关于诱导公式的数学暗号，但是我敢说有百分之八十的学生不知道他是啥意思，更不知道如何来用它。 我们人教 a 版中有六个诱导公式，但事实上在我们考试练习中会遇到更多。今天周老师挑战用两分钟时间讲透它。 要真正掌握一个公式啊，我们要考虑三个层次，第一，会推，第二，知道什么时候用它，第三，知道怎么用它。周老师先带大家一起来推导。首先我们来复习两个相关的概念。第一，在高中，我们用旋转来定义角的大小， 逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。同时我们规定，如果把脚的使边放在 f 轴的非负半轴上，这是它的中边，这就是 r 好。 它跟 单位元相交于 p 点，咱们把 p 点的坐标记为 x one。 那 么我们规定 y 就是 sign up， x 就是 sign up， 而 y b x 就是 它真的 r。 现在我们选一组公式来证明它，我们来选诱导公式 r 好， 这是 x y。 那 我们知道 pi 加阿尔法的意思就是在阿尔法基础上加了 pi， 因此它是逆时针旋转 了一百八十度，所以这就是 pi 加二法。好，这个点的坐标我们记为 p 一。 那么现在它的坐标是 负 x， 负 y， 因此它的重坐标负 y 就是 它的上一值，而负 y 就是 负上二法。 同样道理， cos 加二法就是它的横坐标负 x， 因此就是负的。 cos 二法 case 的 pi 加阿尔法就是负 y 比上负 x， 因此就是 y 比 x， 即为 theta 的 r 好。 我们再来选一组公式来推导一下诱导公式。我们怎么来理解二分之 pi 减阿尔法呢？ r 加上二分之 pi 减阿尔法 除以二，它刚好是等于四分之派，这是什么意思？对，这就是 x 一 加 x 二除以二的意思，所以它是关于四分之派对称的，所以我们可以画出此时它所定的点， 我们记为 p r。 那 么关于 y 等于 x 对 称后，它的点的坐标会变成什么呢？对，会变成 y x， 因此我们可以看到它的纵坐标依旧是它的 sin 值，那么纵坐标变成 x， x 就是 cosine， 同样道理， 它的 cosine 值就是 y， 那 么 y 即为 sin 啊，就有了诱导公式。五好，你已经可以通过旋转和对称来推导这些诱导公式了。那问题就来了， 诱导公式到底什么时候用它呢？我们可以看到这些公式啊，其实都是加减 r， 前边有的时候是派，有的时候是二 k 派，有的时候是二分之派，那么可以概括成二分之 k 派形式。 所以当我们遇到的角是二分之 k 派加减 r 的 时候，就可以用诱导公式。 这就是我们说的既变偶不变符号看象限，既偶指的是这地方的 k， 当 k 是 基数的时候，函数名要发生变化，当 k 是 偶数的时候，函数名不发生变化。比如说 我们的 pi， 它可以看作二分之 pi 的 两倍，所以函数名不发生变化， 但是二分之派是二分之派的一倍，所以函数名加发生变化。第二符号看象限，指的是我们把阿尔法当做锐角，这个时候等式左右两边的符号应该是一致的， 我们把阿尔法当做锐角，那么阿尔法加派就是第三象限角，第三象限的上引和上引都是负的，所以前面需要添加符号。 有了这一句口诀，我们就可以把诱导公式无限拓展，不相信我们来试一下，比如说我们来看一下上影，二分之七派减二法，好，二分之七派是二分之派的七倍，所以它是一个基数，因此 函数名将发生变化。同时我们可以看到，如果把阿尔法当做锐角，二分之七派减二法，在第几象限呢？ 我们可以把它看作是二派加上二分之三派，所以我们可以由二分之三派减阿尔法的符号来确定。那么二分之三派 再减去阿尔法，所以它会落在第三项线，而第三项线的算值是负的，所以前边添加符号即可以。最后呢，我们来挑战一下期末考试题，告诉周老师最后的答案是什么。

为什么 cos 阿尔法减贝塔等于 cos 阿尔法乘 cos 贝塔加上 cos 阿尔法乘 cos 贝塔呢？这个看似复杂的公式，其实就藏在简单的单位原理。今天用六十秒带你一眼看穿它的几何真相。 首先，我们在单位圆上取两个角，阿尔法和贝塔点 a 的 坐标是 cos 阿尔法 sine 阿尔法，点 b 是 cos 贝塔 sine 贝塔。我们要算的就是这两点之间距离的平方。 用两点间距离公式展开，你会得到一堆平方向。别慌，利用 sine 平方加 cos 平方等于一，这个老朋友大部分项都抵消了，最后只剩下二减去两倍的交叉项。 现在施展魔法，把整个三角形转一下，让贝塔角归零。这时两点间的夹角直接变成了阿尔法减贝塔。再算一次距离，结果竟然变成了二减去二倍的 cos 阿尔法减贝塔。 同一个弦长，两种算法结果必须相等，去掉相同的长数和细数。剩下的就是我们要找的真理余弦的叉角公式。 看数学就是这妖巧妙从几何直观直达代数本质。关注我，下集继续解锁更多数学魔法！

大家把这个视频暂停写几遍之后，我们再来继续讲。现在我有一二两个式子，我把这式子上下每一项作比，前面比前面，后边比后边，这是可以的吧？ 那我发现前面比前面，那就是我想要的 tangent 加贝塔，它等于注意后面比后面。这其实我们是能化解的， 因为这里面一共一二三四有四项对不对？我每项同除一个相同的部分，咱就除 cosine r 发 cosine beta。 因为我想凑 tangent， 所以 大家可以想象一下，第一项，如果我除以 cosine r 发 cosine beta， 原来人家是 sine r 发 cosine beta， 我 除以 cosine r 发 cosine beta， cosine beta， 没有了 sine 比， cosine 就是 一个 tangent 啊。第二项，类似的，我除以 cosine 二发 cosine 背它，它剩的是 tangent 的 背它。第三项，人家本来就是 cosine， cosine 你 出弯是一。最后一项， cosine 乘 cosine 乘 cosine， 应该是 tangent 乘 tangent， 这个就是 tangent 的 两角和差的展开啊，那类似的，这边这我也除，咱也能得到 tangent 的 二法减倍它的公式，它等于 tangent 二法减 tangent 的 倍，它除以一加 tangent 的 二法乘以 tangent 的 倍。 大家把这个视频暂停写几遍之后，我们再来继续讲。这公式有啥特点嘞？它是有分子和有分母的，分子是 tangent。 tangent 具体是加还是减，跟前面括号里是完全一致，前面加，后面加，前面减，后面减， 下边是一加减 tangent 乘 tangent。 大家有没有发现上下的符号正好是相反的，上面加，下边减，上面减，下边加。 那废话不多说，我们直接扭到小数，这公式能用来干嘛？那当然就能帮助我来求两个角和差之后的 tan 的 值呗。我能把它分解成两个分别自己的独立的角的 tan 的 值。 举个例子，先问 tangent 的 七十五度是多少啊？我一想啊，七十五度我们能写成这之前讲过了啊，四十五加三十吗？所以展开玩就是一起默念 tangent 的 阿尔法加 tangent 的 贝塔比上一。哎，上面加，我下边减，这两者相乘。 那我们知道，贪婪的四十五度它等于一，哎，我还知道贪婪的三十度它等于三分之根号三，这俩数往里一带啊，每一项全都有了，化简完就得到值了呗。 化简完之后是二加根号三。那类似的贪婪的十五度怎么算？咱比较简单的算法，咱把十五也看成三十的一半啊。大家把它看成四十五减三十。再次利用两角和差公式， tanthan alpha 减 tanthan 的 倍，它除以一，上面减，下边加 tanthan alpha， tanthan 的 倍还是刚才一样。我还能算，算完之后是二，减根号三。 因为说实话，这七十五跟十五这俩角啊，实在是太常见了，平时考试可能经常会有题目中间某一步会用到十五跟七十五的 sine cosine 的 值。哎，所以呢，我还是建议大家啊，作为小结论，大家把这两个角的三角函数值都背下来。 贪婪值，刚才我算完了，十五的是二，减根号三，七十五的是二，加根号三，谁是减谁是加。我们知道贪婪呢，人家那函数在正负二分之派范围内是递增的，所以相当于你这角越大，贪婪的值就越大， 所以七十五对应的是加，十五对应的是减，别记反了，而且它 size 跟凑数那也是有关系的，因为本身这俩角之间啊，是互余的，对不对？相加是九十度 最十五度的 sine 跟七十五的 cosine， 这俩值应该是一样的。十五度的 cosine 跟七十五的 sine 这俩值也是一样的，分别是谁？我们在上一个视频里面讲过了，十五度的 cosine 值比较小，这四分之根号六，减根号二这一项同理。 七十五度的 cosine 值比较大，是四分之根号六，加根号二。而这几个角如果大家有能力背的话，还是尽量要背一下。

公式会背，我不会用，上课一听，我感觉我是个学霸，考试一考我就变成了学渣，为什么呢？今天张老师通过一个公式，我给大家讲讲高中的公式到底应该怎么去背啊？三角函数，三角函数最大特点是什么？ 公式量大。来，我们来看这样一个两角和公式。在这里边，比方说我要学诱导公式，诱导公式我们可以用教材里边的诱导一，一直到诱导六，当然我们还可以用既变奥不变符号看线线，我们还可以用这个公式推导 你比方说在这里边，我让这个贝塔取到二分之 pi， 那 它就是积变偶变得到的是口乘以 pi， 那 二分之 pi 加 k 派，我得到了谁？正负口乘以 pi， 如果在这里边，我让这个贝塔取到这个，谁取到 k pi， 那 就是 ce 阿尔法。加 k， pi 等于谁？等于正负 ce 阿尔法。那么这个诱导的话，往下还会拓展， 它拓展出来是什么？是我们所说的奇函数或者说偶函数啊，函数的奇偶性就出来了。好，这是第一个，那你比方说我们继续往下你的变变变形啊，三十六变，哈哈。第二个，你比方说我令 我令这里边的 b 和 r 取相等，那么这个时候我可以得到谁？我可以得到 c 的 r， r 等于二倍的正弦乘上一个余弦，那么这个时候我们就得到了非常非常经典的叫什么角二倍角公式。 那二倍角公式出来的时候的话，我还可以得到谁？我还可以得到半角公式，比如说我们说正弦的阿尔法等于二倍的正弦二分之二法， cosine 的 二分之二法。在这里边我不关心这个阿尔法，取正取负取零都行，我们只关心什么？让他俩同位置，我们去看比例关系， 阿尔法和他他俩之间什么关系？角度二倍，这个角和这个角什么关系？二倍，所以二倍角最精髓的是什么？就是他的什么二倍关系啊。那我们把上边叫做二倍角，下边我们叫半角公式，那除此之外的话，我还可以得到谁？我还可以得到辅助角公式 啊。辅助角公式我们在用的时候，比方说啊，我们说 a 倍的 c 阿尔法，加上一个 b 倍的口 c 阿尔法。那么在这里边辅助角最经典的是什么？同角不同名，他是阿尔法，他也是阿尔法，正弦与弦，那么同角不同名，在用的时候它类比的是谁？ a？ b 是 不是？所以在这里边哈，三角函数公式到底应该怎么背？学推导，三角函数公式一定要学推导，否则的话就是上课我一听哪哪都会，一考试，我感觉哪哪都错。好，今天给大家分享这个公式啊。

我在上头的过程中发现我们的高一同学在必修一诱导公式这一块存在一部分问题，很多人竟然是靠死记硬背来使用诱导公式的，那诱导公式的意义何在？今天我跟大家讲一下我们的导公式啊，我把它给你讲明白了。来，大家跟我一起来看。 大家可以看啊，今天我们的重点是诱导公式，哎，我们来看，你先看一下我们诱导公式的核心目的是什么？它的核心目的是把任意角的三角函数转化为我们熟悉的特殊角。那我们特殊角其实就是我们初中学过的什么呀？孩子们，三十度、四十五度、六十度等，是不是对不对？好，读到这还是不够理解，我写的更清楚，你可以想象成我们的任意角是一门外语， 然后经过我们诱导公式这个翻译器或者是词典，把它翻译成了我们三十度、四十五度、六十度这样等。特殊角的母语，能理解吗？相当于我们的诱导公式在这做一个，你可以想象成它是点读笔，或者它是你的词典。来，我们来看 如何去操作我们整个诱导公式，它的核心法则就是什么呀，既变偶不变符号。看上线，咱们来具体听清楚。来来，孩子们，首先我们把任意角拆成 k， 乘以个二分之派，加或减去一个锐角的形式。有些人在算的时候，老师，我发现有的时候做的时候不是锐角，没关系，默认锐角。好，下一步 我们来判断 k 的 奇偶，如果 k 为奇数，三引变为口三引，口三引变为三引。如果 k 为偶数，三引还是三引，口三引还是口三引，这个就叫做这个就是我们所谓的什么呀，变偶不变的意思，是不是对不对？好。第二个 把性质定下来以后，找角定符号，那在这一块会找到用到我们的什么知识呢？第一个是我们在我们高中这一块去学的时候，我们知道角度，逆时针为，逆时针为正，顺时针为负，对不对？这是第一个知识点，如果也就说如果他去，你看孩子们啊，如果他是加了一个锐角，说明就是在这个象限角的轴线角的基础上， 逆时针转过了一个锐角，如果减去一个锐角，就是顺时针转过了一个锐角，等会我们举一个例子大家就明白了啊。还有用到的一个知识就是三角函数在我们各项线的正负，那这个它是来自于我们三角函数的定义，这个我快速跟大家过一下啊，知识点我们就先暂时我先， 不过那么细啊，我来说一下我们如何使用。数学家提出来了单位圆的定义，他提出来了单位圆，什么叫做单位圆？他的以是我们的圆点为圆，心，以半径 r 为一为半径画了一个圆，那么最后定义成了，就定成什么。如果我们脚，你知道我们脚的所有，你看啊，我们随便画一个数，那个平面叫做不要写， 你们知道的我们所有的角的起始边是不是都是 x 出的正半轴，这是圆点 o 中间都 b 过一点 p， 对 不对？我们随机任选一点 p， 最后就记成了。如果我把这个 p 点的坐标记成 x 零 y， 在 我们提出单位圆的定义以后，那么我们直接就可以多它旋转完得到的，比如说随便给一个 c 它角，我们就可以知道 sin x 在 单位圆的点直接就等于 y 零， 口三引塞特就等于个 x 零，当然贪整的塞特就等于个三引，比上个口三引就等于个外零，比上个 x 零，意思就是什么呀？三引你就看它的中间在第几项线，主要看纵坐标 q 三引看横坐标，横坐标共同决定。那这样我们来看判断一下正负，看第一项线和第二项线纵坐标三引是不是我们看这是三引的啊？ 三引塞特，这塞特角一项线和这样塞特角，所以说正正负负口三引呢？孩子们，来，我们再来画一个口三引 x a 塞特吧。啊？口三引塞特， 你知道正正负负是不是因为我们我们的口算音，看谁横坐标就看这个，你看这个角任意就是这个象形内的横坐标的正负，我给他就正正负负他正，他就看共同决定是不是对不对，同好为正，异号为负。好，有了这个概念，那我们这会就清楚了，我们这会 练习一道题来看啊，我们来看一下这道题，比如说撒引负的二分之三派减随他，我尽可能出的已经让他复杂一点，让我们更能看清。 我准我怎么把它转换成跟我 c 它角有关，相当于这个是我的母语，我怎么转换？首先第一步把它化成 k 乘以个二分之派加或减去一个锐角的形式，所以说来画走等于个 三引这边是不是就是负三乘以个二分之派减去一个锐角 c 它角没有问题吧？孩子们，是不是下面我就知道了，哎，我知道了，我的 k 等于多少呀？我知道我的 k 等于一个 负三，还记得吗？孩子们，既变偶不变，符号看象限，负三是不是奇数？所以说变三引变成口三引，口三引塞他符号看象限，怎么来看呢？去找到我的这个角，任意角怎么找？首先第一步，确定轴线角负的二分之三派，你看吧，他是不是负角吗？我们是逆时针转，顺时针转，是不是对不对？那 负的二分之三派，这是负的二分之派，负的二派，负的二三派是不是在这？你先找到轴线角，轴线角是不是这么大，对不对？然后呢，它相当于是减去一个角，那就是顺时针转过一个锐角，因为减嘛，顺为 负，是不是对不对？顺时针转过一个锐角，所以说是不给转到第二项线去了，随机划转过一个锐角，所以这个是不是就是我们的任意角？我们来看他的，我们只看他的中边所在啊？中边所在看的是原来的三角，还是为正还是为负？你看第一项线，根据我们刚刚讲过的三以为正，是不是对不对？因为看动作表，所以说给他定符号，这就是正。 当然我们最后怎么样，我们正好是省略的，是不是对不对？这个就是整体我们的诱导公式，所以说啊，步骤说的非常清楚，大家可以理解了啊，诱导公式这个东西不只是我们高一上册必修一会使用的，等到我们高一下册，那我们预习过的同学就知道，在学到我们的第二章三角恒等变换的时候， 这一块我们要时常用到诱导公式，所以说这东西你必须要掌握，而且摒弃掉你的那个死记硬背。谁家学诱导公式在那死记硬背啊？必须就是，即便偶不变，符号看象限。第一步，把所有的任意角拆成 k， 乘以二分之一，加或减去一个锐角的形式。第二步，判断 k， k 为正还是为 k， 为奇数还是为偶数，奇变偶不变。 第三步，找角定符号。相当于先定性后定量后定符号吧。啊，先定性就是到底定下来是三还是口三。第二个，定符号去找角，找角我也说得很清楚，先找轴线角，然后顺为负，逆为正，这样的， 这样的话再根据我们三角函数的定义，很快就把这个语法公式出来了。这个啊，你高一上册的时候是一个学习内容，高一下册它是你的一个工具，也就是说你不能在这个上面再出现卡壳行为，我们要正儿八经使用它进行计算了。所以说，不会的孩子们赶紧去强调啊，这个一定要会的。

一分钟搞定一类单招必考的三角函数问题。这节课我们讲诱导和差二倍角公式。诱导公式口诀，基变偶不变，符号看象限基变偶不变。这里的基偶指的是二分之派的倍数，是基数还是偶数？基变，当我们的角是二分之派的基数倍的时候，三角函数的名称要改变，正弦变成余弦，余弦变成正弦偶不变。当角的度数是二分之派的偶数倍的时候，三角函数的名称是保持不变。 符号看相线推角关系的时候，把原式当中未知角看成是锐角。判断原式的角中间落在第几相线，结合原式的符号去确定诱导结果的正负。重点记一下各相线三角函数的符号，正弦一二相线为正，三四相线为负。余弦一四相线为正，二三相线为负，正切一三相线为正，二四相线为负。做诱导公式有关系的问题，从 这四步出发即可。第一步，拆角，把原来的角拆成阿拉法加九十度乘 k 的 形式，这个阿拉法的绝对值要小于九十度。定名去看一下 k 的 积偶， 用记变偶不变来决定函数是否变。名称定位，看一下元角，它所在的象限，结合元角所在的象限以及名称，确定诱导结果的正负，看一下例题计算。三、三百九十度。第一步，拆角， 把它拆成这种格式，三百九十度写成三百六十度，加上三十度三百六十度，它是九十度的四倍。第二步看是九十度的基数倍还是偶数倍。 k 等于四是偶数，所以偶不变， 名称跟原来一样。第三个，看一下原式的角，它在第几项线，三百九十度，它和三十度中间一样，所以在第一项线，在第一项线内的正弦为正，所以符号为正。那诱导之后的结果就是在 引三十度。诱导的目的就是把一个大角转换成第一项线内的角去计算。对于和差公式和二倍角公式，直接去背诵即可。如果出现四个三角函数，它一定考和差公式，和差公式当中只有两类角，如果大于两类的话，我们需要去转换二倍角公式当中的话，它一定考察二倍角公式。 第一题，计算在内。二百二十五度，把二百二十五拆成四十五度加一百八十度，一百八十度是九十度的两倍，所以不需要变名称，看一下原式当中的角中间。在第三项线，第三项线的正弦是正的，最终的结果是二分之根号。二选择 a 选项第二题，二分之三派，他是九十度的三倍，是基础倍，所以需要变名称。 在推导关系的时候，把未知的角看成是锐角，让它等于三十度。二分之三派是二百七十度，减去三十度。原式这个角它是二百四十度。在第三象限，第三象限的余弦是负的，所以诱导之后的结果。选择大选项第三题， 如果在式子当中有二派或者是二派的整数倍的话，可以是直接删掉的。把三派拆成二派，加派减阿了法，那先删掉一个二派，就变成派，减去阿了法。派是九十度的两倍，所以不需要变名称。把阿了法看成是三十度，派，减去三十度是一百五十度。那圆式的角，它是在第二象限，第二象限的正切是负的。选择 b 选项 第四题这边出现了四个三角函数，所以一定是和差公式塞扣加扣塞是正弦两角合的展开，把它写回来是塞引六十度，又是二分之根号三。第五题，四个三角函数，所以还是和差公式扣扣加塞塞，那是余弦两角叉的展开式，把它写回来变成扣塞引六十度是二分之一。选择 b 选项第六题， 散影 alph 等于五分之三，去求散影二， alph 有 一倍的角和二倍的角，肯定是二倍角公式把它展开，两倍的散影 alph 乘以扣散影 alph， 把数据带进来，散影 alph 是 五分之三，需要求扣散影 alph。 红角的正于弦的平方和它是等于一的， 代入一下数据二十五分之九，所以扣散影 alph 的 平方是二十五分之十六，扣散影 alph 是 五分之四。这边说 alph 是 锐角，乘以五分之四，代入一下 二十五分之二十四。选择 c 选项。第七题， cosine 阿拉伯是五分之四，这个角是注意角，去求 cosine 二，阿拉伯有一倍的和二倍的，所以用二倍角公式。余弦的二倍角公式有三个，但他已知条件给的是余弦，所以我们用两倍扣方减一去表示即可。二乘以二十五分之十六减去一，二十五分之三十二减，结果是二十五分之七。选择 a 选项。

谁说三角函数难，都在一个单位员诱导公式有六个，一半都在转圈圈，剩下一半做翻转诱导一，转整圈诱导二，转半圈诱导六，半半圈诱导三，竖着翻诱导四，横着翻诱导五， 斜着翻。咱们先来转圈圈，加二 k 派转整圈，因为二派是周期，所以谁都不用变，加一个派转半圈，正弦与弦都变号，只有正切不用变。加 半个派半半圈转完正弦变余弦，余弦变成负正弦。然后咱们做翻转，竖着翻用零减，翻完余弦不用变，横着翻用派减，翻完正弦不用变，最后一个斜着翻都用二分之派减正弦，翻完是余弦，余弦翻完是正弦。我是杜明老师，关注我，你真棒。

三月份了，开始押题，三角函数诱导公式，两个技巧，一个口诀，来一道题的这三种超长出线， 大家没必要硬背来看。 but in cosine， 它的只有 cosine 有 o， 所以 它是偶函数，剩余两个都是奇函数，有什么用来？偶函数只有一个符号， 奇函数有两个符号。好，你记着了，有偶的偶函数，一个符号，那负阿尔法就等于正，那剩余两个负号，负号，负号负号，所以全是对的。第二道题先看选项 b， cos 二派加阿尔法， 但凡阿尔法前面是二派或者是二派的整数倍，比方说四派，比方说八派，都是二派的整数倍，那我直接给它抹去就是等于 cos 阿尔法，算都不用算，所以这错了。这是第二个技巧，来一个口诀，积变，偶变符号，看象限。这里边大家先记一个前提， 全是天才。第一项线全部是正的，不论是 sin， cosine 还是 tanning。 第二项线只有 sin 是， 也就是只有 tan 是 正的。第三项线天，也就 tanning 是 正的，剩下都是负的。第四项线查也是，只有 cosine 是 正的， 谐音记法全是天才。好记好。我们看题怎么用来看我们的口诀，既变偶不变。符号看象限。既变偶不变的变，指的是是否要变成 cosine， cosine 是 否要变成 sine， 它念的呢？基本不考不学来 选项， a pi 加二法， pi 是 二分之 pi 的 二倍，那么它就偶数倍，偶数倍就是偶不变。 sign 呢？还写成 sign。 符号看象限，看的是口号里边这个角的 sign 值是正的，是负的。我们把 r 法角一律认为是锐角，你可以当做一度再加一度，那么就是一百八十一度，一百八十一度在第三象限，第三象限的 只有 tan 的是正的， sign 是 负的，所以应该等于负 sign 二法选项 a 错误。选项 b 刚说过了，那如果选项 b 是 cosine 二派减 r 法呢？直接二派划掉 cosine 负 r 法 偶函数符号，直接去调 cos 二法选项 c 即变。五变看二分之三派是二分之派的 三倍即变，那么泛值要变成 cos 值没问题。再来看符号，看象限，二分之三派加上一个一度，也就是二百七十一度。第四象限第四象限的泛值 是负的。第一次相减只有 q 三是正的，那么就是等于负 q 三 r 法选项 c 正确。再来看选项 d 带符号的二分之 pi 减 r 法，依旧是奇变偶变，二分之 pi 是 二分之 pi 的 一倍即变，那三要变成 q 三没问题。符号看相线，二分之 pi 九十度，九十度减一度， 八十九度第一项线，第一项线的泛值是正的，第一项线全正，那么这里应该是正 cos 阿尔法，这是超级常考第二种类型，第三种类型让你自己去配的。 cos 一 百七十九度，是不是我们可以写成 cos 一 百八十度减一度，我们写成 cos 形式 cos 减一度来，即便偶变，这里是 pi 二分之 pi 的 二倍，也就偶数倍， 偶数位不变，还是 cos 一 照抄太减一度，也就是一百七十九度的 cos 值是正的，负的第二项线，第二项线的 cos 值是负的，所以等于负 cos 一 度。这道题选择 b。

各位同学你们好，今天我们来讲三角函数的诱导公式，首先哈， 对于这个章节的知识呢，他比较简单，其实大家只需要记住一句话就可以了，叫做既变偶不变，符号看象限。那首先啊，我们来解释一下什么叫既变偶不变，符号看象限哈，所谓的既变偶不变，讲的就是 如果我们的任意角里面的二分之派，也就是九十度，他有基数个的话， 那么三角函数的符号名就要改变，由 sin 变成 cosine， cosine 变成 sin， 贪心特变成可贪心特，可贪心特变成贪心特。那什么叫偶不变呢？那如果是偶数倍，那么三角函数名的 呃，就照抄，这是我们的既变而不变。我们接着来看符号看象限。什么叫符号看象限，其实就是确定我们的三角函数的最终的正或者负。 那我们要看的是什么符号呢？看的是原三角函数符号 符号，那么在这个地方啊，在这个地方啊，呃，会将我们的任意角转化成 把它拆分后面的剩下的那个角，我们不管拆分的剩的是什么，那么我们都把它默认是什么呢？锐角，当然也要记得我们前面的知识哈，正弦上为正，余弦又为正，正弦看一三。那我们来看一下 练习，那具体流程是怎么做的呢？来，首先第一步，我们要先将这个 角任意角转化为正角，那怎么转化为正角呢？就看三角函数的奇偶性。正弦函数，它是奇函数，那就是负号，可以被提到括号外边去，那就是负的三引 x， 那 余弦函数呢， 它是偶函数，就这个负号会被抵消，就变成 cosine x 正切函数呢？它是一个奇函数，就是符号可以被提出去。 好，这是我们的几个函数的奇偶性。那在这个地方它是不是奇函数啊？当然它里面是正的，我们就不管了。接着第二步，将我们的任意角拆分为 九十度或二分之派哈，乘上一个整数，加上一个锐角的形式。刚才我们讲了，这个地方就是锐角啊，这个地方是个整数，既变偶不变，就看这个 n， 它是奇数还是偶数。那我们来拆分一下 来，三角符号名照写 sin 七百五十度，可以写成什么？九十度乘上八八九七百二嘛，再加多少度啊？ 三十度。好，我们拆分完整以后去看这个 n， 他 如果是奇数，那就改变，偶数就不变。这地方是不是八，他是偶数，偶数。三角符号名照抄，三引照抄，后面的锐角照写。 接着绕这个角，看他是第几象限角，然后看第几象限角的正弦为正为负，我们来绕一下呗。 七百五十度，那是不是绕八个九十度啊？顺负逆正啊，那我们逆时针去绕，这是不？四个五六七八，再绕一个正的锐角，好，到这中间是不是绕到这个地方， 那么他是第一向前角，第一向前角的正弦为正为负啊，就为正。当然这个正好，你可以不用写那三以三十度，我们都知道是多少啊，那是不是就是二分之一？ 那后面也一样啊，是由角度字用变成了弧度字，弧度字一样的算法呗，那就是什么？这个符号要被什么呀抵消，那就变成什么 cosine 六分之十一派。那接着干嘛呢？ 把我们的六分之十一派拆分成二分之派，乘上一个数，再加上一个锐角的形式。那六分之派里面有多少个二分之派呢？我们去 数一下就知道了，小学学过吗？那是不？六分之十一派除以二分之派，那是不等于六分之一派。乘上派分之二，约分约分，这是不是？三十一除以三等于什么？ 三点几，对不对？没到四，那这地方填最大整数填三，那这个空里面填多少呢？那是不是有六分十一派减去这个地方就行了，那就是六分之十一派，减去六分之九派，还剩多少呀？ 六分之二派，那就是我们的什么三分之派，所以这地方就是我们的什么三分之派，那又即变而不变，这是不是基数？可塞印变成塞印后面的锐角造血。接着这是第几项角啊？我画一下呗。 三个九十度，一个，两个三个好，再加一个锐角，是不？绕到这中间，在第四象限余弦，什么余弦？右为正，那就第一第四啊，都为正，所以也填个正好。这也是什么三引三分之派。 三十三分之派是多少呀？三分之派是六十度，那就什么二分之根号三。那正切也是一样啊，首先把它转正角，它是正角，我们就不用管了。那就是什么？照写 可以写成二分之派，乘上一个数，加上一个数的形式。那四分之十三派里面有多少呀？我们来看一下， 我们算一下哈。四分之十三派就是四分之十三派，除以二分之派，就等于乘上什么派分之二约分，约分、约分啊，这变成二，二分之十三等于几啊？六点五， 对不对？那写几啊？写六啊，那还剩多少呀？这是不？四分之十三派减去四分之十二派，还剩多少呀？ 四分之派，好，这是不是偶数？偶数，贪婪的不变，照抄后面的锐角。四分之派照抄这是第几向前角啊，绕一下嘛，绕六个九十度， 一二三四五六，再绕一个锐角到这儿。第三向前角，正确的为正，为负为正，那是不就是贪婪的四分之派？就是贪婪的四十五度等于几啊？等于一。 好，我们来看一下接下来的这道题哈。首先， 这个地方，像这样的题，我们就分开，把它单独化简就行了。这个地方我们是不是可以写成塞 二分之 pi 乘上二减阿尔法偶数个啊？这个地方偶数个负三角函数符号面照抄阿尔法，当锐角照写它递几向下角啊， 来，转两个九十度数，转到这，再减二法，好，记住哈，顺负立正。那既然是减，那就顺时针转呗。那是第几象限角？第二象限角，第二象限角的正弦值为正负啊， 是不是为正好？那填个正好，好，第二个是不是也一样啊？它可以看作什么？ cosine 阿尔法去乘上一，那是不是就是基数变什么？ cosine 变成 sine 阿尔法。这第几线段啊？ 二分之派是不是到这顺时针转到这再减个阿尔法嘛？那是不是第一线段也为正好？这个呢，是不也一样 等于什么 cosine 二分之 pi 乘上四，减阿尔法，好，偶数对不对？四是偶数，即变，偶不变吧。那就照抄阿尔法，照写第几线段啊，我们去画一下， 转四个九十度，转到这再减阿尔法是不是转到这第四象限角的余弦为正为负啊，余弦右为正，第四象限在右边，所以他为正这个地方等于什么呀？ 他是不是可以看成三二分之派乘上一，那基数个塞印变什么？可塞印阿尔法造写， 这是第几象限角啊？画一下是不和前面一样？他是第一象限角，转个九十度，再顺时针转个锐角。第一象限角正弦值是不是就为正？好？那我们的这个四字就可以写为啊，原式 就等于什么啊？ sine 派减阿尔法提换成 sine 阿尔法，乘上 sine 阿尔法，再加上什么 cosine 阿尔法，乘上 cosine 阿尔法，那前面是不是有 sine 阿尔法的平方啊？ 加上什么 cosine 阿尔法的平方。我们知道这是个横等式，它等于几啊？等于一来，我们再看下面一道例题， 我们知道 sin 阿尔法减派等于三分之一哈，三分之一，这是三分之一，阿尔法是第四象限角，求可选阿尔法的值，那这个和前面是不一样的，我们先把它化减嘛。好，当然我们前面的是派减阿尔法的那种形式，对不对？ 好，这个地方和阿尔法减派和派减阿尔法有什么关系啊？它是不是互为相反数？那我们就可以写 什么提一个符号出来， r 法减 pi 等于什么？ sin 的 负的 pi 减 r 法。 我们把这里面哈看做一个整体以后，那这个前面是不是有个负号啊？它是个奇函数，那这个符号就可以干嘛呀？提到外面去，那就变成什么负的 sign， 什么 pi 减阿尔法，那和前面是不是又一样了？把它拆分，就等于负的 sine 二分之 pi 乘上二减阿尔法。好，偶数个对不对？偶数个，我这写在这了哈， 就符号照写不动 sine 是 不是抄下来变照样是 sine， 然后阿尔法照写第几三角啊？我画在右三角啊， 转两个九十度，转到这儿，再减一个 r 法是第二个向量，第二个向量角的正弦值为正，负为正，前面再添个正，好可以不添。这就是负的 sine r 法对不对？它等于什么？三分之一的？所以我们的什么 sine r 法就等于几啊？ 负的三分之一。那既然 sin 负 r 法等于负的三分之一，那是不是就可以和前面学习的知识联联系起来啊？知道他第四项链讲知道 sin 二法求 cosine 二法怎么求啊？是不就是 sin 二法的平方加上 cosine 二法的平方等于一？利用这个公式来求呗。那就代入进来呗，代入进来呗。 cosine 二法的平方那是不是就是九分之一？ 加上 cosine 阿尔法的平方等于一？然后解方程呗。 cosine 阿尔法的平方就等于九分之八。 cosine 阿尔法就等于什么？正负的三分之二倍根号二。又因为什么？又有什么？它是第四象限角，阿尔法为第四象限角。 第四象限角的余弦取正取负啊，余弦又为正嘛。所以尔 cosine 尔法只会为什么？正值等于什么？正的三分之二倍根号二。好，今天的课就讲到这个地方。

同学们好，今天我们把三角函数值和诱导公式一次性讲透，很多同学觉得公式多，记不住，符号总搞错，其实根本不用死背，今天就用最直观最简单的方法，带你彻底搞定这一块。 e， 三角函数从哪来？一切都从角的中边和单位圆开始，角的中边和单位圆交点，横坐标是 cosin alfa， 纵坐标是 sin alfa， 正切就是比值，它 alfa 等于山 alfa 除以 cosine alfa， 谁在哪个象限是正 谁是父。不用背口诀看横坐标纵坐标正负一眼就看出来，这就是所有题目的根。二、诱导公式不用背，看图就会！诱导公式本质就是对称 旋转关于 y 轴对称， sine 不 变， cosine 变号关于 x 轴对称， cosine 不 变， sine 变号关于圆点对称， sine cosay 都变号。你只要记住，对称看横纵旋转看象限，函数名该变就变， 不该变就不变，比其变偶不变，符号看象限更好理解，更不容易错。三、核心解题思路我给大家总结成三部，所有题通用。 一、先看角在第几象限定正负。二点用中边坐标写出 sin cosine 三，其次是题目统一化成 tan alph， 直接代入计算。不管是给点求三角函数，还是给泰安求式子，还是诱导公式化简， 这一套方法全部通杀！四、练习提醒后面我给大家准备了四页练习题， 正好用来巩固今天的方法，每一道都可以用我们刚才讲的思路去做，做完你会发现三角函数真的不难，记住理解定义比背一百个公式都有用，把这些课吃透，三角函数基础直接打牢，听懂的同学评论区扣个懂了！

大家好，同学们在学到诱导公式这一块的时候，看到书上有几页的公式，瞬间就感觉到有点头疼，根本背不下来。那么后面老师又说了，这这些公式不需要背，我们只需要记住十个字，即变偶不变符号看下线瞬间就开心了。 那么一做题又发现各种各样的错误，不是符号错，就是其他地方错，还是没有掌握这十个字的本质和一些细节。那我们今天这个视频就一起来探讨一下这十个字里面包含的一些细节。好，首先我们看一下 这个这几个三角符号的在每个象限里的正负符号，这个是作为背景我们都需要掌握的，因为符号看象限，这一个符号我们要记牢。首先散映看的是纵坐标，他在第一象限，第二象限都是正的，第三象限负的，第四象限负的。 cosine 是 正负负 正切，他看的是他两个笔直，第一象限正的，第三象限负的，第四象限负的好，考残题我们就不写了。 好，呃，那么这种方法看坐标当然可以，看坐标当然可以。呃，如果你这个记不住的话，我们再推荐一种方法，呃，也就是我们看每个象限里的正的符号，在第一象限它全是正的，在第二象限只有 tan 是 正的， 在第四象限是 tan 是 正的。 嗯，那我们把所有正的记住，其他的都是负的。啊，那通过什么来记呢？这个我们看它的首字母可以组成一句话，全，这个 s 是 是 t， 可以 安填这个 c 塞菜，全是甜菜啊，我们可以通过全是甜菜 这四个字来把它记住。好，这个记住之后，我们看一下诱导公式的三要素。 第一个要点，即变偶不变。这里的奇偶指的是二分之派的倍数，如果是奇数倍变三角符号，如果是偶数倍不变，我们来看一下上面这两个二分之七派的七倍，所以奇数倍这个需要变。那有很多同学看到这个三之后，就觉得是奇数就变三角符号，变成 考 sine， 这个是肯定不对的，也就是我们看的是二分之 pi 的 九，那这个是 sine， 六乘以二分之 pi 就是 六倍，所以这个也不需要变三角符号，所以它还是 sine， 这个是 cosine 好。 第二点，所剩部分均看作锐角，也就是你剩的。你想要在下一个括号里面剩的内容 都看作锐角，这里面也是锐角，即使它是 log， 以 l a 比 b 的 倍数减 alpha 加倍塔这一这一坨都看作锐角。即使你剩的是全世界，那也看作把这个全世界看作锐角好。因为有很多同学到这里，他剩的角如果超过二分之 pi， 例如， 哎，他也不知道该转到哪个象限了啊，所以都看作剩的部分都看作锐角。第三点，符号看象限，我们是看的是原来三角符号的正负，这里有很多同学在变，变过之后有个正弦，有个余弦，我看哪个三角符号的正负，这就分不清了啊。这里通通我们看的是原来没有变之前的三角符号的正负。 这个加逆减顺是什么意思啊？呃，也就是说我们这个有的是加一个角，有的是减一个角，还比较容易混淆啊。如果是加一个角，我们看一下这这个二分之七块，应该是这条线 加一个角，加 r， 我 们逆时针转，逆时针转到第四项线，那第四项线看，原来三是负的，我们在前面加一个符号，保留的是 r， 这个最终结果就是负和三呀。我们再看这个三派，是这条线， 我们减一个 r 法，这里有两种变化啊，减一个角，我要保留的是负 r 法，那我就加上一个角， 那就是如果我要保留的是 alpha， 那 我就相当于减一个角，那我就顺时针转，这就是减。为什么是顺时针转， 那我就按照减顺时针转，转到第二项线，第二项线算，以实证的，那我就直接算以 alpha， 这就可以了。这是对于有一些减的角比较容易混混消。如果要保留负 alpha， 那 我就相当于加上负 alpha 这个角，那我就逆时针转， 那我逆时针转，转到第三项线，第三项线是反是负的，所以这个它就等于也等于负三负二法，那这里有个符号，我们还需要通过诱导公式再给它转转化一下，呃，再提，相当于再有个符号，负负的正，所以结果还是这个。所以对于减呢，我们可以顺时针来转 好，除了这种基本的。那么我们看一下下面这个，就有很多同学在变换的过程中会觉得，哎，我变的样子是不是一定是对的啊？实际上一个像这种复杂的角，它的变换方式有多种，有可能都是对的。我们看为什么 我可以把这个三写成负五派，加上四分之派，再加 r 负五派，我找到这条线还是这条线，然后我加的一部分 ctrl 锐角一直转，转到第三项线， sin 是 负的，所以负的，这是偶数倍啊，所以还是 sine alpha 加上四分之二，这个是对的。那我们再看另外一种变换形式，它可以是负四派减去四分之三派，再加 alpha， 等于这个也是偶数倍，所以还是 sine。 我 要保留的这个是 alpha 减去四分之三派， 先找到这个负四派这条线，负四派就是这条线，那 这个时候是加上保留这一部分，所以逆时针转，转到第一项线，第一项线全是正的，所以这个就等于正的。 好，那这两个实际上变化都是正确的，都是正确的啊，所以不要纠结我们哪种好一点呢，因为根据题目啊，同时，呃，我们看保留的越简洁会越好一点。这里面还有一个负二分之派啊，没有转化出来。 好，那这就是我们今天要分享的诱导公式的三要点。我们再回顾一下，第一个要点是二分之派的计数倍和偶数倍。第二个要点，我们转角的时候转到第几象限，左上的部分都看左锐角。第三符号看象限看的是原来 这里，如果是加一个角，那就逆时针转，如果是减一个角，那我们就顺时针转，如果你加一个负角，那我们还是逆时针转。 呃，这里给大家留了一个化简的题目，如果这个有八个变化，那其中一个变化错误，那这个结果就有可能不对。呃，如果这个题能化简正确的话，那说明你遇到公式已经应用的比较熟练了。好，这就是我们今天的内容，感谢大家的观看。

然后这块给了，给了几个特殊的柿子，理论上理论上去想的话，可能可以折出来的应该是一个 喷着的阿尔法加贝特的，然后这个因为前提都给了，对吧？但是不好说啊，也不好说，所以还有这个阿尔法加上四分之派啊，这个东西的话他 以后会经常用，对吧？然后把这东西展开，展开完了之后 find 加上四分之二应该是个什么呀？这个东西今后做多的话应该直接知道他是可以提出一个二分之根二的，对不对？那他就变成一个二分之根，二倍的一个 find 阿拉法加上一个 cosine 阿拉法了， 对吧？然后这个时候的话再把这个数是不是就可以往里带了？往里带的话前面刚好这个二分之根二的话，他就可以 再抄一遍。嗯， find alpha 加 beta， 然后呢再减去一个 cosine alpha 加 beta， 这理论上后面的二倍的 find alpha 乘以一个 find beta， 然后呢再加上一个二倍的 cosine alpha 乘以一个 find beta， 那 不出意外这就不好说了，这个东西就左右两边得同时 得去给它展开了，然后而且猜一猜的话，应该跟这个这个这个 alpha 减 beta 有 关系了， 想办法把这个东西展开，我就不不写了啊，它应该是一个塞抠加抠塞的形式，然后再减去一个抠抠，然后应该是是是加上一个塞塞的形式，等于这个啥呀？二倍的塞乘塞，加上一个二倍的抠塞乘塞， 然后消一消呗，这块和这块可以消掉，然后这个东西和这个东西可以消掉，然后呢左右两边我们再同时 做个一项，做个一项的话，这个挪过来就是一个三乘 cosine 减去一个 cosine 乘 cosine 的 形式， 这个是谁？这个是不是一个 cosine alpha 减 beta 了，对吧？这个呢？这个东西就是应该是一个 cosine alpha 减 beta 了，然后左右两边给它除过去啊，除完了之后能能得到什么呀？吞着它 对吧？除完了之后吞着呢？ alpha 减 beta 就 应该是等于一个一的啊。所以这题应该是一个选 b 的。 刚刚我看到公屏上好像有一块答答对了哈。

两角和差、画积以及三角和等变换所有的公式。大家好，我是在宁夏教数学的石老师，然后今天我给大家分享一下高一数学下册，也就是必修二数学第二单元以及变形的二阶公式的应用和公式的解析，大家可以点赞收藏一下，视频比较长。 然后咱们看刚开始的公式，你比如说第一种公式是不是三英的公式，那三英阿尔法加贝塔，咱们根据萨克考萨去展开三英阿尔法加贝塔是不是就等于是不三英阿尔法，然后是不考三英贝塔，然后是不加考三英阿尔法，然后是不三英贝塔，是不这样去写？然后那你比如说像三英它是不是阿尔法减贝塔，是不这样去写？ 然后那你比如说像三英它是不是阿尔法减贝塔，是不是这样去写？然后那你比如说像三英它是不是阿尔法减倍，它的公式是不是这个加号变减号而已， 那是不就是三考考三三英阿尔法考三英贝塔减考三英阿尔法是不是三英贝塔，是不是这样去写吗？然后接下来的话，那这就正常的它的和差，也就是说加号和减号的公式，和的公式和差的公式。那么接下来还有一个公式是不背角公式，我直接给你们按照模板剪掉看， 因为那你再想一下，那三英阿尔法呢？阿尔法这样写， 三英二法加二法的话，展开三口口三展开，它是不为三英二法考三英二法，然后加是不考三英二法是不三英二法是不这样写， 那么这两个公式是不一样的，那它是不就等于三英是不二法，也就说三英二法它是不是也就是变成了是个什么样子？三英二法是不是变成 二倍的三英二法？是不乘以，是不考三英二法是不这样写吗？那么当咱们把它这样写出来之后，这个公式叫做圆形公式，这个公式叫做圆形公式。那三英二法等于二倍的三英二法乘烤三英二法，那三英二法呢？ 那三英二法它不就等于二倍的？是不三英二分之二法乘烤三英是不二分之二法，是不是二法吗？ 那比如说三音十二法呢？那三音十二法他是不是就等于二倍的三音？是不五二法乘以烤三音是不五二法，是不是这样去做？所以的话，关于三音的正常的展开公式，以及 以及它的背角公式是不是就这样转换的？这个能听懂，各位同学，然后咱们接下来再看烤三音的，看 考三英的公式的话，那你比如说像考三英阿尔法加贝塔，咱们根据公式展开考，考撒撒展开，它是个考三英阿尔法，考三英贝塔， 考三英的话加号变减号，减三英阿尔法，然后是不是三英贝塔？是不是这样去写，对不对？那么他，那么他的考三英阿尔法减贝塔呢？ 减号展开变加号，它是不是就变成了考三英阿尔法？考三英贝塔，然后是不是加？是不是三英阿尔法？然后三英是不是贝塔？是不是去这样写？这是不是考三英的？是不是和的公式？和差的公式？ 然后接下来咱们来看重点，那考三英阿尔法呢？考三英阿尔法它是不是就等于考三英阿尔法加阿尔法， 那么咱们把这个展开括号三三展开，是不考三因子的平方，是不减三因子的平方，这是不？第一个公式。那么咱们又知道考三因子的平方是不等于一减三因子的平方，那代换掉之后，那它是不是就变成了是不等于一减二倍的是不三因子 平方，然后把三因子的平方换成一减，考三因子平方负负得正是不为二倍的考三因子的平方减一，那他是不是就等于二倍的？是不是考三因子的平方是不是减一？ 那么这个时候，也就是说他最后考三因子的公式，他是不是有这个三个样子？考三因子的公式是不是有三种？那么也就是说这个公式考三因子，它等于考三因子的平方， 减三音是不是 f 的 平方？那么这个公式以此为基础，咱们是不是有很多的变形公式？ 你把它写成考三音，考三音二分之二法，那考三音二分之二法是不是就等于是不考三音，是不是四分之 f 的 平方？减是不三音，是不是四分之 f 的 平方，对不对？是不可以这样写吗？ 那么接下来的话，那咱们再来看，咱们再来看这两个公式的变形，考三一，考三一二 f， 他 是不是等于一减二倍的，是不是三因子的平方？这个没问题啊。 然后咱们移过来，移过去，它是个二倍的三音，是不是 f 的 平方，是不等于考三音是个二法，是个减一？那三音二法的平方，它是不等于二分之，是个考三音二法是个减一，那这个公式它是不一个非常重要的 生角降密的公式，阿尔法变，阿尔法是不生角，平方变成一次项，是不叫做降密，那么根据这个公式，它变形公式是不特别多看。那你比如说三音，嗯，三音 三 f 的 平方，那它是不就等于二分之？是不考三音是不六，阿尔法是不减一， 是不是这样可以变形？然后再接下来呢？你看这个考三英二分的公式，因为考三英二分，他是不是等于二倍的考三英二分的平方是不是 减一？那也就是说他二倍的考三英二分的平方，是不是等于考三英？是不二分减一？ 考三英二法是不是加一？对不对？那么这时候考三英二法的平方等于是不二分之，考三英是不二法，是不是加一？是不是这个公式？那么咱们根据这个公式，也就说你知道考三英二法的平方，你是不是可以把考三英二法是不是直接求出来？ 那么这时候这个公式的变形公式也很多呀？那你比如说像考三英二分之二的平方，那他是不是就变成了等于二分之，是不是考三英，阿尔法是不是加一？那么这个公式怎么变的？你看他的原几何圆形公式，阿尔法是不是变成阿尔法了？ 平方变成是不是一次项？那考三英二分之 f 的 平方，二分之 f 的 增大一倍，它是不是就是 f？ 是 不是考三英 f， 是 不是加一？所以的话像这个公式， 这个公式，然后再比如说像这个公式，这三个公式一定是不要会，这公式是不是比较常用？再接下来的话，这个公式，这个公式是不肯定要会吗？然后再过来考三英的，这边的公式是不肯定要会， 然后再接下来撒引的是不？这两个展开公式是不摇会，这就是两角和叉的公式和背角的公式。还有一个 是不贪婪特的公式，贪婪特阿尔法加贝塔和贪婪特阿尔法是不？这个背角公式和贪婪特阿尔法加贝塔和贪婪特阿尔法减贝塔公式。因为黑板上位置不多，再写不下，但是这些公式是不就咱们比较常用的 excel 的 公式和考 excel 的 公式吧。所以的话，各位同学和家长如果有什么问题可以在评论区留言。

忘记了诱导公式，你们就拿出这个视频来看，学长直接带你们拿捏诱导公式哈。来来来，鸡变，偶不变符号，看下先，什么意思？首先我们先来理解前面这一句话，鸡是要变的是什么意思呢？鸡，我们直接记住，鸡就是二分之多少多少派， 你们看到有二分之几派的，就是以二分之分数为底的，就是鸡，你们直接记住就好了。偶呢？偶是什么东西啊？偶就是整数派，就是派啊，二派啊，这些都是整数派，直接记住哈， 偶就是整数派。好，符号看相线，我们先不看，我们先来变一下哈。你看第一题，刚刚是不是讲了，鸡愿我变符号看相线，这个是鸡还是偶啊？是不是讲了二分之几派的他就是鸡，是不是？我们要变该怎么变？ 就是三人变成谁，变成口三人，三人直接变成口三人，口三人。然后呢？把角度写下来，就是把这个角度写下来，是不搞定了？第二个是不是二分之几派啊？他是不是变成三人了呀？这个是它的角度吗？直接写下来第三个，二派是不是二派是不是整数派啊？二派 它是不变了，它原本是 seven， 我 们就把 seven 写下来吧。 seven alpha。 第四个， cosine 减 alpha 整数 pi 是 不是不变嘛？ cosine alpha， 对 吧？来看第二个符号，看下线怎么看？来看符号，看下线怎么看？看 里面的角度是多少？你看二分之 pi 是 多少度？我们的 pi 是 一百八十度，是不是？那二分之 pi 是 不是等于二分之一百八十度？等于九十度啊？是不是？九十度加谁啊？ 九十度加谁？这个阿尔法我们统一看成一度，可不可以看成三十度或者是一度？你们就看着其中一个度就好了，等于多少度？是不是等于一百二十度呀？一百二十度在哪？九十度是不是在这里 加上个一度，是不是跑到第二项线去了？第二项线的三是不是三？它是不是正的，所以它就是正的，对吧？第二个九十度 加上谁？阿尔法，三十度等于一百二十度，对吧？口算一百二十度，九十度加一个三十度，第二项线是不是他是不是负的？口算的第二项线是不是负的，所以给他负的，对吧？第三个二派加上阿尔法二派是不是三百六十度啊？加上一个三十度等于三百九十度吗？在哪里？ 是不是三百六十度？在这里是不是跑到第一项线去了？第一项线的三 n 是 正的吗？所以是正的。 第四个派减阿尔法派是不是一百八十度减去一个三十度，对吧？在哪派？在这里是不是减去一个三十度？是不是往这边转，跑到这边来了呀？第二项线的谁啊？口塞是不是负的呀？所以还是负的？口塞阿尔法知道了吗？听懂了吗？听懂的扣一。大家 对 alpha 统一看成三十度或者一度，它就是一个锐角，看成三十度或者一度，它是好去判断的， ok， 好， 我们来总结一下， g 变是二分之几派，它就是 g， 偶不变，它就是整数派。符号看象限看的是谁，看的是这个角度是多少度， 看的是前面这个东西哈，不是变了之后的，是看它原来的。原来的是三 n 还是口三 n 不是 看变了之后的哈， ok。

小李老师来喽，今天给大家带来一个知识点是诱导公式。 好，诱导公式总共有六个公式，我们来看一下诱导公式一，先来看一下 诱导公式一，我们在前面其实就已经在接触过了与角阿了法中边相同角的集合，在这一块知识点是接触到的，举个例子，什么意思？看给一个角角阿了法，那么与角阿了法 中边相同角的集合， 我们可以表示为阿尔法加上二 k 派，那么注意的是 k 是 属于 z 的。 好，那么既然是为同一个中边， 那么他的三角函数值，那么一定会一样的，因为我们在接触三角函数定义时说，我们的三角函数值与角阿尔法有关，但是与中边上的位置没有关系，所以说只要他是同一个中边，那么他的三角函数值就是相等的。所以说我们推出来了诱导公式一，塞 阿了法加上二 k pi 就 等于塞阿了法。 cosine 阿了法加上二 k pi 就 等于 cosine 阿了法。看成它阿了法加上二 k pi 就 等于叹气阿了法。 这是第一组诱导公式。好，那么我们来看一下这组公式如何来运用啊？那么值得注意的是，我们的 k 是 属于 z 的。 好，举个例子， sin 二分之五 pi 啊。好，我们来看一下我们的诱导公式是说二 k pi 的是不影响它的函数值，所以说我们只要把偶数倍的 pi 找出来，把它扔掉就可以了。好，来看这个例题， sin 二分之五 pi 里边是含有谁呀？ sin 二分之四派加上一个二分之派，那么我们化简得知是 sin 二派加上二分之派，所以说这是那个偶数倍的派，那么不影响他，因为你是转了一圈又回到了这个角，这你说我一开始是九十度，我转了一圈，我又回到了九十度， 所以说是不是不影响我们的三角函数值，所以说是我们的诱导公式一，当 k 取一的时候，我们的 sin alpha 加二 pi 是 等于 sin alpha， 所以 说不是没有任何影响，最终解得我们的 sin 二分之 pi， 然后再结合我们的特殊三角函数值，我们就得到了 sin 二分之 pi， 等于一，就求出来了我们相应的值。 好，那么我们再来做一个例题， 那我们做一个 cosine 三分之七派， 好，来，我们解一下，还是一样把二派还有偶数倍的派先给它拿出来，要说我们把二派全部给它扔掉，有多少个二派就给它扔掉多少个二派。好，这儿是三分之六派，再加一个三分之派。 好，我们换出来是 cosine 二派，加上三分之派，不影响，所以说 cosine 三分之派，结合我们的三角函数值，最终二分之一。好，这是我们诱导公式一的运用， 那么他主要是干，干干什么的？他主要用他来给我们大角画小角，比如说把大画小起到一个这样的作用。好，我们再来看用到公式，用到公式二， 因为我们角是具有旋转的啊，旋转性的，所以说我们的公式都是通过角进行旋转我们得到的啊，这样的一个结论，就说这个我们考虑旋转的角就是负阿了法与阿了法之间的关系。 好，我们来通过画一下图像，假设阿了法为第一象限角， 说为什么不假设第二项线，第三项线，第四项线呢？其实也可以假设它在第二项线，第三项线，那么推出来的结论是一样的，只不过我们在假设它在第一项线的时候，是比较方便我们推结论的啊，好，我们来看一下啊，它在第一项线，那么这个角就是角阿勒法，那么负阿勒法，那肯定就是 我们的，怎么样呀，哎，顺时针旋转一个阿勒法，那么我们可以发现，哎，它在这个直角坐标系当中，它是关于谁呀？哎，关于一个 x 轴对称的， 那么关于 x 轴对称，那么我们就能知道它的 x 是 并没有改变的。它的什么呀？ y 是 变为了原来的相反数，所以说对应到我们的三角函数直里， 对应到我们三角函数直里，那么 sin 是 和 y 相挂钩的，所以说它就变为原来的相反数。负的 sine， 那 么 cosine 是 和我们的 x 挂钩，它没有变，所以说还是 cosine 阿了法 t 负阿了法， 哎，也会变为原来的相反数。这个时候我们可以通过上述关系式，你看 sin 比上 cosine， sin 比上 cosine 是 得到了 tanty 的 负 alph， 所以 说这儿有个符号，所以说负的 tanty alph 啊，好，就推出来了。诱导公式二， 好，还是一样，我们来给它做上两个例题， tan 正的负三分之七派。 好了，我们通过诱导公式二可以发现把负角是怎么样的，可以画成正角的，哎，所以说我们可以先把符号给他整一整，能拿出来就给他拿出来，拿不出来我们就给他消化掉了啊，你看这个就是自己消化了 啊，好，对，贪提的，我们把公式给他背过啊，是负的，所以说负的贪整的三分之七派，好，继续结合我们的大角画小角，所以说把二派往外窄， 三分之六派加上三分之派来完之后，剩下负的他真的三分之派结合特殊向量函数值，负的根号三就得到这样的值。那么他的一个导公式二起到的作用就是负角画正角， 这是属于我们化解当中的第一步，比如说先孵化正，其次我们再大化小。好，这是我们今天讲解的知识点，我们先讲解一和二诱导公式。明天继续讲解，再见。