六下数学苏教版基础训练第16页

全能量考卷第二单元检测题中的最后一道题目，孩子们普遍认为不太会。请看，明明用橡皮泥做了一个圆柱，他发现如果圆柱的底面直径增加二厘米，高不变，他的侧面积就增加六十二点八平方厘米。 如果他的高增加二厘米，地面直径不变，他的侧面积就增加十二点五六平方厘米。这个圆柱原来的体积是多少立方厘米？ 看问题。要求圆柱的体积先想公式，圆柱的体积 v 等于 s h 等于派，而方 h， 那 么要求体积，咱得先求出半径和高，或者直径和高，或者底面积合格。 现在这道题中都不知道高没有，底面半径也没有，怎么办呢？ 咱们看看他的两次变化。第一次变化，如果把圆珠的地面直径增加二厘米，高不变，他的侧面积就增加六十二点八平方厘米。他 研究的是侧面积增加了。那咱们就来看一看圆珠的侧面积展开，它有什么特点呢？看，把圆珠的侧面沿高剪开，可以得到一个 长方形。好，那么我们看一看，这就是圆柱侧面的两个展开图。 来，这个圆柱的侧面展开以后，来我们看一看，啊，他的直径增加二厘米，那么直径增加了，他的底面周长就增加了啊。假如说展开以后的底面周长就增加了这么一截， 这就是增加的部分，哎，这就是增加的部分，那么高不变，他的侧面积就增加六十二点八平方厘米，哎，假如说这个部分 就是增加的测面积是六十二点八平方厘米，哎，那么看一看，增加的测面积除以增加的地面周长就是高呀。 好，那咱们算一算底面周长，已知了增加的直径了，我们求入行 c 等于派底。好啦，那我们就来算一算啊， go 就等于增加的测面积除以增加的地面周长等于派的三点一四乘二。 好，六，十二点八除以六点二八，他的高就等于十厘米， 好，高就出来了。那么接着看第二个，如果他的高增加二厘米，来看图，这是他的侧面积高，增加二厘米来。高，我们往上划啊，高，增加二厘米， 这是高增加的二厘米，那么直径不变，这个边不变，他的侧面积就增加了十二点五六平方厘米。 从这一次增加当中，我们能求出它的底面周长。看侧面积除以高就是底面周长，然后再除以 pi， 除以二就是半径。好，就等于 十二点五六除以二，再除以三点一四，再除以二，好，就等于一厘米。 看半径有了，高有了，直接带入这个公式，就能求出它的体积，哎，所以就等于三点一四乘一的平方，再乘十， 好，就等于三十一点四立方厘米。好，我们就求出了圆柱原来的体积是三十一点四立方厘米。好，听明白的点个赞吧！

上个学期我们已经学习了六下第一单元和第二单元的内容，本学期我们利用两导两练的练习题，对前两道的内容进行一个复习巩固。请看两导两练十四页中的第三小题，如下图， 一个圆柱被拮据了五厘米厚，圆柱的表面积就减少了三十一点四平方厘米。原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 我们要求原来圆柱的表面积，咱们就得知道圆柱的底面半径和高，现在看高是二十厘米，缺的是半径，那么我们就要想办法从减少的这个部分里面找到半径。 好，我们来看，当这个圆柱减去五厘米高以后，表面积就减少了三十一点四平方厘米。那我们就要想一想，这三十一点四平方厘米是哪一部分的面积呢？ 来，请看。当我们把这角剪掉以后，请问这一部分的侧面积肯定是没了，那么上底面积呢？ 看，上底面积也没了，但是鞋面这里是不是又会出现一个等大的底面积呢？你没了一个，又出来了一个，说明这个上底面他没有发生变化， 减少的只是这一部分测面积好，也就是说这一部分测面积就是三十一点四平方厘米。快向圆柱的测面积公式， s 测等于 c h。 哎，现在呢？高有了，色面积有了，我们就能求出底面周长来。第一步，先求底面周长，用色面积除以高 等于六点二八厘米。知道了底面周长了，我们再求 圆柱的侧面积， s 侧等于 c h， 所以 六点二八乘，这次要乘圆柱的总高度，乘二十等于一百二十五点六平方厘米。 好，再求底面积。想一想已知的周长怎么求圆的面积呢？ s d 等于 pi 小括号， c 除以派除以二小括号的平方。因此我们就代入这个公式，三点一四乘小括号，六点二八除以三点一四除以二小括号的平方。来，你们看一看，括号里除下来就是一一的平方，还是一 三点一四乘一就等于三点一四平方厘米。好，最后我们求远处的表面积等于底面积乘二，再加一个侧面积 就等于一百三十一点八八平方厘米。

同学们大家好，今天老师来分享一道关于正反比例的题目， 如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 垂直于 b， c， e 垂直于 a、 b， 那 么我们也知道了 a、 d 和 c、 e 的 长度，也知道了 a b 加 b， c 等于二十厘米， 那么这是一道几何的初步问题，他出现在我们小学六年级的下册，如果像这样的题目同学们能够轻而易举的拿下，相信在初中以后你学到几何也会很轻松。那么我们一起来看这道题目。 这道题目最后让我们求的是三角形的面积是多少平方厘米，那我们就不得不来复习一下，关于小学阶段如何去计算三角形的面积。 我们所有人都知道三角形的面积等于底层高除以二，但是在像这样子的图形题中，我们必须要知道谁是底谁是高。比如同学们来看看，在图中 bc 可以 称作为是底， 而 a、 d 就是 bc 边上的高，那我们首先可以求三角形的面积，可以用公式 s 等于 bc 乘 a d， 当然三角形的面积还要除以二，这是咱们计算三角形面积的其中一个方法。相信有同学会提出其他想法，他会认为老师在三角形中三条边都可以作为底，所以我们也可以通过 a b 来作为底算面积，那么三角形的面积还可以等于底边， a b 乘以 a b 上的高，也就是 c、 e 除以二，能够求得三角形的面积，那么我们其实在求的是同一个三角形的面积，从而我们就知道了 b c 乘 a， d 等于 a， b 乘 c e。 同学们，在题中我们发现了，我们是知道 a、 d 的 长度是九厘米， c、 e 的 长度是六厘米，那么我们可以将式子进行简化，也就是 b、 c 乘以九等于 ab 乘以六。那么写到这样的式子，如果同学们在学过正反比例以后，一定要能够联想到 bc 与 ab 的 比是多少， 那么我们是根据什么依据来写的呢？在小学阶段，我们在学习比例问题中，我们有过这样的一个公式，叫做比的内向之积等于比的外向之积。那么那个公式是这样子的， a 比 b， b 等于 c 比 d， 而我们规定 b 和 c 为比的内向， a 和 d 为比的外向。所以我们有了这样子的一个结论，比的外向之积，也就是 a、 d 等于 b， c 比的外向之积等于比的内向之积。那么我们联想到这个公式的话，我们就能够立刻写出 b、 c 与 ab 的 比， b 比 ab 应该等于六比九，所以我们就知道了化简比， bc 比 ab 等于 二比三，那么我们知道了 bc 与 ab 的 比之后，最大的好处是，咱们还知道 ab 与 bc 的 和是二十厘米，那么这就转化为了最简单的比例问题了。 接下来我们利用六年级上册比例问题转化为分数问题，能够直接求出 bc 或 ab 的 长度，比如 bc 就可以是二十， ab 与 bc 的 总和除以 a 除以 bc 的 两份加 ab 的 三份，求得每份应该是四，而 bc 是 其中的两份， 所以 bc 是 八厘米。同样的道理，我们也可以求 ab 拿总长度除以 括号二加三，求得每分是四厘米， ab 有 这样的三分，所以乘以三等于十二厘米。 有了 bc 或 ab 的 长度，我们不管是利用上边的哪一个面积公式，我们都能够求出三角形的面积，比如我们可以用 bc 八乘以 ad 的 九除以二求得 三角形的面积是三十六平方厘米。当然你利用下面的这个面积公式也能够求出三角形的面积。那么本道题目首先我们求的是三角形的面积，不再是 简单的文字迅速题，而是一个图形题，同学们一定要学会观察图片上的每个线段与线段之间的关系。第二，我们在比例问题中要牢牢的掌握这两个公式，这两个公式能够快快速的帮咱们求出 两根 a， b 与 b c 之间的比，那么也就能够把这个题目顺利的解决了。同学们，这是几何的初步问题，如果你有信心把这样的题目做对，老师相信在初中以后你的几何一定会很棒的。

我们来看一下六年级练册的这个第二单元的圆柱的表面积，也就是练册第九页 圆柱的表面积呢？首先第一步我们得明确的知道圆柱表面积的公式是什么。上一课时呢，我们讲了表面积包含两部分，一个是侧面积，一个是上下的两个圆。 所以呢，我总结了一个这样的公式，我们可以来看一下它的底面积是两个加上它的侧面积，圆的面积公式是 pi r 的 平方两个给它乘个二，侧面积呢是二 pi r h， 这样的话，我们知道半径和高就可以来算它的表面积了， 前面有二派 r， 后面也有二派 r， 这地方可以提取公因数二派 r 出来，然后括号里面写的呢就是 r 加 h， 这样的话，我直接用这个公式进行表面计算就可以了。好，那接下来看题目，第一块是这个填空题，填空题里面呢，主要看的就是表面积的一些组成 和这个侧面展开是什么图形啊。然后第二块呢，就是求圆柱完整的表面积，那我们把直径转换成半径，然后呢套公式进行计算就可以了。 公式刚开始你可能记得不是很熟悉，所以做题的时候，你每做一道求表面解题，你就把公式呢先写一遍，哪怕就抄一遍，多写几遍，慢慢熟练就记下来了啊。那这个地方还有个小技巧，因为我们接下来再算复杂一点的表面积或者体积的时候呢，你要不停的去成派，成派成派， 不断的成这个小数呢，会增加你的计算量。那这个地方有个小技巧告诉你，就是我们先保留派 到什么时候再算派呢？到最后一步我算出来是多少多少派了，然后一次性带进去，把这个派给他算出来，不要在中间不停的乘三点一四，乘三点一四，这样太费劲，也太容易出错了。包括第二个也是一样的，我们算到最后一步，直接一次性把这个派给他算出来就可以了。 好，第二第三大题呢，是解决问题的能力，就给了三道应用题，他本质上来说也都是求圆柱的表面积，只不过呢，每一个题他的情境是不一样的。第一个呢，就说这个压路机的前轮，他是一个圆柱， 那么这个圆柱他压过的路面其实就是什么呢？就是这个圆柱的侧面积，他一圈一圈转的那个地方。第二个呢，是算这个铁皮的油桶，问你至少需要多少铁皮，这个就是算他的表面积了。 然后第三个呢，他说的是有八根圆柱形的立柱，那么这个立柱要注意的是他要刷油漆。 什么地方需要刷油漆呢？跟地面接触的这个面肯定不用刷油漆，跟顶接触的那个地方也不用刷油漆，所以刷油漆的地方其实就是圆柱的侧面积，我们用二派 r h 来进行侧面计算就可以了。要注意的是这个地方 他说的是每千每平方米用零点六千克，然后呢有八根柱子，所以最后一定要去乘八。好，来看最后一个呢，拓展应用，拓展应用说的是一个底面直径是十厘米，高八厘米的圆柱形木块，沿底面直径和高切成两半。这个地方你就要去 体会一下什么叫沿底面直径和高切成两半，其实就这样一个圆柱，我们沿着虚线这样竖着给他切下来，切成两个一样的半。圆柱切成两半以后，问你表面积比原来增加了多少？ 那首先我们要知道你切一刀面积肯定会增加，那切一刀会多两个面，这要注意，只要你切了一刀就会多两个面。多两个什么面呢？其实这就是这样子， 给他切开以后这样的一个结面，那这个面呢？其实就是一个长方形，长方形的长，或者说它的宽啊，就是圆柱的 直径和它的高，所以我把这个长方形面积算出来以后，乘二就是你新增的表面积了。这是练册第九页所有题目。

我们来看一下圆柱体积，这个课时的第二个练习就是练册第十二页。 首先第一部分呢就是，嗯，相当于是巧求圆柱的体积吧，因为第一个课时呢，它给的题都比较简单，直接用公式就可以了。那这个课时里面呢，它主要是让你去反过来求半径，或者反过让你求高，再去求圆柱的体积。 首先第一个看这个图啊，点两个数，一个是三，一个是十八点八四。十八点八四呢，是展开这个图的长度，其实就是这个圆的周长，我们叫底面周长，也就是说从图上看到的信息，第一个就是底面周长是十八点八四厘米， 这个竖起来这个宽长方形的宽就是圆柱的高，他就是个三厘米，那知道底面周长了，周长的公式是二 pi r。 通过这个公式，我们可以把半径算出来，那半径有了，高有了，那么他的体积就可以用计算了。 然后接下来看第二题，第二题呢，是一个告诉你的是侧面积和高侧面积，公式是二派 r h， 或者说学校讲的可能是派 d h 都可以，你可以求直径，也可以求半径，我这直接都求的是半径，因为半径可以计算它体积啊。 如果根据这个公式，我们就可以高，也告诉你了，就可以算半径了。用你的十八点八四测面积，除以二 pi， 再除以高，就可以算出来的半径。半径有了体积公式就是 pi r 的 平方乘 h， 算出来 十三派带进去算九点四二毫米。第二题比较简单说，如果每立方稻谷重五百四十五千克，那你用你的体积乘五百四十五，这要注意得数，要保留整数，所以先把准确结果算出来，再去四舍五入，而不是直接把九点四二给四舍五入啊。 好，第三题，这个呢，第二小题算起来比较复杂。第一题比较简单，就这样，一个圆柱形的木头，给他从中间一抛为二，平均抛两半，意思就是按照直径给他抛开的。那你抛面面积，抛面面积其实就是这个 长方体的面积，那就是长乘宽就可以了，所以就是十二乘二十，单位是平方厘米。第二个让你算这块木料的表面积和体积。 那这块木料呢？它原本是一个圆柱，那你可以用圆柱的体积除以二，就是这块木料的体积。它的表面积呢，不仅仅是圆柱表面积，去除以二， 还得额外加什么呢？加上你这个剖面的面积，因为切一刀会多两个面，而你只算其中一部分，所以就只加一个面面积就可以了，所以圆柱的表面积了。 然后接下来重点看这个突然应用，突然应用呢，说一个长方形铁皮用涂色的部分呢，恰好能做一个无盖的圆柱形水桶，无盖就是缺一个圆，他就他的表面积就是一个侧面积，加一个圆就可以了。问这个圆水桶的容积是多少，那就算体积呗。 但是呢，他只告诉咱一个数，就是总长呢，是十六点五六分米，里面包含了什么呢？包含了这个展开图的长， 这个展开图的长其实就是底面圆的周长，那么周长公式我们用二 pi r 来表示，而后面这一节呢，它其实表示的是底面的这个直径，我们用二 r 来表示，那我们就可以列这样一个方程，就是二 pi r 加上什么呢？二 r 就 等于的是十五， 第二十六点五六，十六点五六这样的一个数。那接下来我们主要来解这个方程就可以了，都有这个 r， 我 们可以提取公因数，把 r 提出来，里面剩的是什么呢？是二派加二， 结果等于的是十五点十六点五六，派取三点一四，那括号里面其实就是 r 乘上括号，六点二八再加二，等于十六点五六， 算出来，这就是八点二八。 r 等于十六点五六，那 r 除一下就可以了，十六点五六去除，以八点二八算出来， r 应该等于的是二 半径算出来的，那半径有了，高可以算吗？来看一下这个高有什么关系呢？这是圆柱的高， 这是圆柱的直径，比如说圆柱的高跟直径是一样的，所以呢， h 高就是二 r， 那 就等于四。好，半径有了，高也有了，就可以算它的容积了。我们的容积公式是 pi r 的 平方乘 h 就是 三点一四乘二的平方再乘四， 这样算出来，二的平方是四四乘四十六，那也就是十六派，十六乘上三点一四。常见的这个派的计算答案我们要记下来啊，所以这个地方我们来算一下，三点一四乘十六，结果等于就是五十点 二四。好，代表单位，这个地方代表单位是立方分米，但这个地方他问的单位呢？是声，所以我们用五十点二四立方分米，就等于五十点二四 生，然后最后把答句一写就可以了。这个题的关键呢，就是我们先要知道它的半径是多少，半径和高又有关系，所以只要有半径能算出来，那么高也有了体积或者容积就可以进行计算了。 还是要注意计算和单位的统一。这是第十二页所有题目。

我们来看一下六年级练册第二单元圆柱的体积三，这部分的题目，也就是练册的十三、十四、十五这三页的练习题。 这一节课时呢，它的练习题比较多，因为我们已经把表面积呢和体积都学完了，所以这里面呢融合了一部分表面积，还有一部分体积的计算。我们先来看第一部分填空题，第一题就是 简单的让你去算一个圆柱的体积，就是已经到圆柱练习的体积垫斜。第三课时了，他不会简单的告诉你半径和高，让你算体积，他可能告诉你是底面面积，或者是底面周长，或者是直径，让你来算他的体积，侧面积，表面积，底面积等等这些数啊， 所以前两道题呢，都是一个类型的，重点来看一下这个。第三小题说一个圆柱的底面积扩大为原来的四倍，高缩小为原来的二分之一，体积扩大为原来的几倍。 像这种题怎么去做呢？第一种方法，你可以设数，哎，我就设我原来底面积是一，我原来的高呢是二，然后算出原来的，再算一算现在的，然后看一下是几倍的关系，或者说我不设数，我用字母来表示圆柱的体积呢，我们可以用底面积乘高来表示，也就是 s 乘 h， 那 么底面积扩大为原来的四倍，那就是四倍的 s， 四 s 高缩小为原来的二分之一，原来是 h， 也现在就是二分之一 h， 那 现在的底面积呈现在的高，算出来就是二 s h， 那 s h 和二 s h 一 对比是一个两倍的关系啊。 然后接下来我们来看第四题，第四题呢是一个拼接的，它是把两个一样的圆柱拼接在一起，变成大圆柱。是什么地方重合拼接在一起呢？是圆的位置呢？ 重合在一起，所以他现在这高十八厘米，那说明原来这个圆柱的高只有十八厘米的一半，那也就是九厘米，表面积减少三十。我们说切一刀多两个面，那粘合一次就要少两个面，少的是哪两个面呢？少的是两个圆，所以一个圆的面积，也就是底面积呢，就是三十除以二十五平方厘米， 然后用底面积乘高，就可以算原来每个圆柱的体积了。好，第二小题呢，叫准确计算，主要就是让你算一下圆柱的体积。第一题给半径和高，用公式来算。第二题给直径 和高，是直径的几分之几。那第一步我们可以先把直径转换成半径，再把高呢算出来，还是用公式算就可以了。第三题，我们说底面几，呃，底面周长是十二点五六，那先把半径算出来，再用公式算体积。这个地方一定要注意单位， 第一题给的是分米，第二题给的是米，第三题是厘米。而第四题呢，前面是分米，平方分米，后面是米，所以一定要统一单位， 你可以统一换成米，也可以统一换成分米，都可以啊。那这个地方我是把八十平方分米呢，直接转换成了零点八平方米，然后用底面积乘高，直接算它的体积就可以了。这个地方要注意，你已经都换成平方米了，那后面就都换成什么呀？立方米就可以了，指第二大题， 然后我们再看第三大题，解决问题就是应用题，应用题里面要注意这个题的情境，比如说第一题，他说是一个圆柱形的钢材，告诉你底面直径和长，问你体积，那我们先算出半径，再去算体积。 这个地方要注意的是他给的半径是四厘米，直径是四厘米，而长是两米，单位是不一样的，而后面用的是立方厘米，所以我们统一换成厘米去进行计算。 第二题说每立方厘米刚重七点八克，问你重多少千克，而且要保留整数，所以我们先按照第一问算出来的体积乘七点八，算出来的是它一共有多少克，再用克转换成千克， 小数点往左移三位就可以了，但是要求保留整数，注意我们在转换完单位以后，再给他四舍五入变成整数，这样会更准确一点啊。 然后第二题就是挖一个圆柱形的水池，告诉你容积是九点四二，问你半半径是一米，问你挖多深，就问你高度，那根据这个 体积或者容积等于底面积乘高，那反过来高度就等于体积去除以底面积，所以我们用体积去除它的底面积，可以算出它的高度来。 然后接下来第三题两个小题，第一题问你要用多少铁皮，其实就是问你表面积，第二题问你能装多少升的油，这就是问你体积了，但是这个地方还是要求结果保留整数，所以最后一步约等于四舍五入就可以了。然后重点看第四题， 说将棱长为四分米的正方体削成一个体积最大的圆柱，怎么削体最大呢？先来确定一下，这个棱长是四分米的正方体，它的高度就是四分米，所以你这个圆柱的高最高，最高也就是四分米了。 接下来要算圆柱的体积，除了高以外，我还知道半径，那半径就是和底面这个圆有关系，那这个圆要最大，它的体积才可能最大，这个圆最大，那也就是说我们按照这个正方形最大画个圆就可以了，那你就发现这个正圆的直径，其就正方形的 边长，所以呢，我们先算出半径，根据高算体积就可以了。好，那接下来我们来看第五小题。说底面半径是一个一米挖三米的一个圆柱形土坑，问你占地多少平方米，就是问你底面积挖多少立方米的土，就是问你体积了。然后看第六题， 第六题呢，它其实是一个水中进雾的问题，这个地方还说了，你把一块矿石浸没在水中，水面呢，原来是十厘米高，现在到十二厘米高了，并且水没有溢出，哎，这个问题很关键，是水中进雾中水位溢出的这种情况， 那这种题怎么去理解呢？你可以简单画一画，比如说这就是这个圆柱形的容器，然后呢，原来这个水面高度，假如再在这个地方，这是十厘米的高度， 那我放进去一个石头以后呢，水面就上升了两厘米，变成了十二厘米了。你先搞清楚原理，为什么水面会上升呢？是因为原本人家前面全是水，你把这个石头给人家扔进去以后呢， 石头扔进去以后，原本石头这块的水就被挤到了上面了，哎，这部分底，所以说这个石头的体积和这部分水的体积其实是一样的，让你算矿石的体积就转换为了球上升这部分水的体积， 这部分水放在圆柱形容器中，它的形状也是一个圆柱形，所以相当于是算这个小圆柱的体积就可以了。 那么这个地方我们用十二减十，它的高度呢？是两厘米，用底面积乘高就可以了。然后接下来看第七题，说一个圆柱形水桶，容积是八十立方分米，装了五分之二的水，那根据这两个条件，我就可以算出来里面的水有多少呢？就是八十乘五分之二，算出来三十二立方分米， 然后告诉你底面积的，问你高度，那体积等于底面积乘高，反过来高度就等于体积除以底面积就可以了。然后来看第八题，八题里面要理解一下这个是什么意思啊？说底面直径是二十厘米，油在管道内的流速是五米每秒，你这个圆柱形的管道是这样的， 这是你的底面积，这是你的宽或者是你的高度啊，这圆柱的高，他的意思就是一秒钟，比如这是五米，一秒钟这个油可以从这个地方油到这个地方，也可以过五米， 所以这个五米相当于是一秒的高度。问你一分钟可输送油多少立方，那一分钟就是六十秒，实际上就是算，这是 算出来一秒内你的体积，那你要算的是六十秒，再乘六十，实际上就算出来是一分钟流过的石油，也就是一分钟内的体积过了多少。 然后接下来看这个突然应用，这个啊就是相当于巧求他的体积了，就是不规则图形，怎么来巧求体积呢？他画了两个图，一个瓶子正着放，一个瓶子倒过来放， 那么这个瓶子的容积他一部分装了水，虽然这个容积呢就两部分，一部分就是这部分空气的容积，一部分呢就是水的容积，所以这个瓶子的容积呢，就等于水的体积加空气的体积。 那水的体积怎么算呢？可以根据第一个图来算，因为第一个图这部分是水，水呢是一个标准的圆柱形，所以根据这个圆柱可以把水的体积算出来。 那么根据第二个图，你发现水到下面了，水变成不规则了，但是空气呢，变成一个规则的圆柱形圆柱体，所以我们用第二个图来算空气的体积， 那么水的体积加空气的体积就是这个瓶子的容积了，把它算出来就可以了，这就是圆柱体积克十三啊这三页的所有题目了。

我们接着来看一下六下学校配套练习练册的第一单元，单元练习，也就是第五页到第六页的题目。这个单元呢，内容上相对来说比较简单，计算上呢，主要延续了上个学期的分数应用题和百分数应用题， 我们来挨个先看一下啊。首先第一个填空题，第一题里面要重点看的是括号里面给的这句话说以上两空要填的是最减分数， 不是说你看见这个鸡蛋里面蛋壳占的是百分之十五就填进去了，你需要将百分之十五给它转换成最减分数才可以，同样蛋黄这个也需要转换。 然后接下来说一个鸡蛋如果重八十克，问你蛋白重多少，这个鸡蛋里面百分之三十二都是，呃，百分之五十三都是蛋白，所以用鸡蛋的总重乘百分之五十三就可以了。然后第二题呢，比较简单，主要靠观察，你就看这个图，看它的占比哪个多哪个少就可以了。 然后第二题呢，就是解决问题，他就是给了有条形统计图、扇形统计图和折线统计图，那么你根据这三个图呢，根据他的要求来填空就可以了，大多数只需要观察就可以了。所以说人家问到什么一定要去图上仔细观察，找到有用的信息就可以了。 然后这个第二小题呢，读题的时候要认真拿上你的笔去勾勾画画，这个 a、 b、 c、 d 代表什么意思，因为题目中他只说了 a、 b、 c、 d， 没有说句代表什么意思，所以你要对应过来看， 因为人家题目中问的直接也是问你 a 呀， b 呀， c 呀， d 呀代表什么东西？所以你要自己去把这个分卷清楚，然后去进行计算就可以了。 说这个第一题的计算问你一共是多少人，这个地方只给了一个数，哎，百分之五十， a 占百分之五十， a 的 具体人数是一百五十，所以你问你总共有多少人，就是求单位一，我们用除法，用对应的量除以对应的分率就可以了。 然后呢，他让你把这个补全就是 c 呢？不知道你要补全一共是三百人，第一问题算出来三百人减去 a、 b、 d， 剩下就是 c 的 呗。然后第二题的话说，如果全校有两千六百人，那么估计随手扔垃圾的，他现在呢是把 其中的一部分人进行了调查，然后呢，按照这个调查来看的话，随手扔垃圾的就是 d， d 算出来是三十个人，这全部呢是三百个人，所以呢 d 应该占全部的百分之十， 那算出这个百分之十，我们就可以估计全校里面估计也有百分之十是会随手扔垃圾的，所以用两千六百乘百分之十也是可以的，这就是第一单元的所有内容了。

二零二六春季新版王朝霞单元活跃卷苏教版六年级下册新课改同步，全套十六张，包含整个学期知识考点，活跃设计一张一套卷，方便练习。每单元过关检测卷， 让孩子单元检测，了解哪些考点和板块没有掌握牢固，查漏补缺。单元学完之后练一套，既能沆实基础，又能找出薄弱项。 阶段还有易错考点梳理卷梳理常考易错点考点回顾加习题练习，对知识融汇贯通。还有期中期末卷，紧跟考试趋势，学期综合检测，每周一张测试卷，孩子学习更高效。

我们来接着看一下六年级练册，这个圆柱的体积就是练册第十一页。 首先第一步，我们得知道圆柱的体积公式是什么，那圆柱的体积公式课本上的推导过程呢，是把这个圆柱给它切成很多个小扇柱，然后可以拼起来近似看成一个长方体。 所有的柱体体积包括长方体，正方体，圆柱就上下粗细一样的。这样的柱体体积，它的体积公式呢，都可以用底面积乘高来表示，那圆柱也不例外， 我们用底面积乘高来表示，而圆柱的底面积是一个圆，所以它的圆柱的体积公式就可以表示成 pi r 的 平方乘 h。 第一题，填空题的第一部分呢，就是复习巩固了一下圆柱的体积推导公式。第二个呢，就是让你用字母表示一下底面积乘高。 第三题，这个填表主要就是告诉你圆柱的一些信息，比如说告诉你面积，半径，直径、周长，无论告诉你的是什么，切记我们的公式就是 pi r 的 平方乘 h， 只要知道半径和高就可以算体积。所以我们把圆柱这部分的面积啊， 半径呀，直径呀，周长呀，都先把半径算出来，然后呢再跟高一起去算。体积这块一定要注意的是，注意什么呢？注意单位要一致， 有的时候呢，题目特别坑，他给前后给的一会厘米，一会分米，一会又换成了升，你一定要看好单位，统一单位以后再去计算。 然后接下来应用题，应用题第一个告诉你圆柱的内直径是四十，内直径就从里面量，这个直径问你能装多少水，就是问你容积，容积就从里面量，所以我们还是按照圆柱的体积公式， pi r 的 平方乘 h 把内半径算出来，然后呢 再把这个圆柱的容积给它算出来，算完以后要注意这个地方给的是厘米，厘米，所以我们算出来的是立方厘米，而问题问的是什么呢？升，所以我们最后一步要把立方厘米转换成升就可以了，这个地方一定要注意计算啊。第二个呢，说这个圆柱形的量臀 半径告诉你了，高也告诉你了，那根据这两个条件，我们就可以把这个圆柱形的体积的体积算出来。 接下来他说每立方米玉米重七百二千克，那一立方米重七百二千克，你算出来这么多立方，再去乘七百二十，就能算出这个粮屯存放的玉米大约是多少千克，这个他的小数数位呢比较多，一定要认真去计算。 最后我们来看一下这个拓展应用，说一个圆柱的底面半径是一分米，我们可以来标一下他的底面半径， 这是圆心，是一分米。然后接下来关键信息来了，说他的侧面展开，我们知道他侧面展开呢是一个长方形，特殊一点的话可以是正方形，而这个题呢就刚好 他是一个什么呢？正方形就是说我们从这呢给他剪开，拆下来以后，展开以后，这个曲面就变成一个正方形了，那这个条件告诉我们什么意思呢？ 这是个正方形，那就意味着它的长和宽是相等的，那么它的长是什么呢？其实就是底面的周长，也就是说这个圆柱的高就等于底面的周长， 那么知道了半径，知道高了，就可以算它的体积了，所以这个地方我们可以来总结一下，侧面展开，如果是一个正方形，那就说明它的底面周长，我们可以用二派 r 来表示， 高呢，就用 h 来表示，那么你的底面周长和高就相等了。所以第一步我们可以把这个圆柱的高给他算出来，那就是二乘上三点一四乘上 r 是 一，算出来就是六点二八，单位是分米 高有了，底面半径也有了，我们来算它的体积，体积公式是 pi r 的 平方乘 h， 那 就是三点一四乘上一的平方乘上六点二八， 那实际上一的平方还是一只要注意啊，很多小朋友从五年级开始，他都不清楚一的平方到底是几啊，所以只要是三，其实只要算三点一四，乘上六点二八就可以了，算出来呢，等于十九点七一九二，这个地方单位是立方分米， 这是常规的算法。那接下来我们来说一说，如果这道题给我去做的话，我怎么去做呢？ 我们会先用，因为我们已经学过了，用字母表示数来进行计算，所以我们可以先用字母表示数来进行计算。 第一步我会先写公式，我的公式呢，是派 r 的 平方乘 h 好， 派呢？还是派 r 的 平方就是一的平方，而这个 h 呢，是二派 r， 所以 就是二派再乘一。 接下来我们来看一的平方还是一乘一还是一，所以这个题其实只要算什么呢？派乘派，再乘二就可以了，所以拿草稿纸算一下，三点一四乘三点一四，再去乘二，结果算出来，答案呢，其实是一样的，十九点七一九二，单位是立方分米。 这种算法有什么好处呢？就是你这个地方，你这算一步小数，这个地方又要算小数了。而我这个算法呢，我只需要这个地方一步把小数算一遍就可以了。 所以先保留 pi， 到最后一步，把 pi 等于三十一四带进去进行计算，能减少你的计算出错率啊。这是第十一页所有题目。

给六年级的小朋友推荐一本老师都喜欢的计算能手同步苏教版六年级下册，专门为孩子量身打造的练习资料，一周为例，共有十六周，完全贴合六年级数学课堂的进度，让孩子的知识不超前、不脱节，确保我们每一次练习都能够精准的对待。 通过天天练的理念来编排，周末更是有综合练习板块混合练习，全方位的从口算、笔算、数式计算、简变运算、托式计算、解方程等各种题型， 更是搭配了期中复习和期末综合复习、专项练习等板块，规范书写，告别孩子计算粗心。全书有一百二十二页，一本 同步六年级数学，千篇经略，让学生算的快，算的准。一天一练一进阶，数学计算不丢分，孩子就会更加自信。参考答案单独成册，家长好辅导，便与学生自查，也省心。我们每天十分钟练好计算基本功。

各位同学们好，我是数学石老师，今天我们来看一下四年级下册校内练习册第六页的拓展应用。首先我们先来看一下 题，他说一个整数的个级有三个零都读不出来，那我们要明白，零读不出来的时候，它是位于每一级的末尾， 然后它四舍五入到万位，近似数约等于八万，那么这个近似数可能是多少？ 那我们说四舍五入到万位，那他可能有什么呀？有四舍也可以有五入，所以我们先来研究一下四舍的情况， 也就八后面可以省略谁呢？八后面可以省略四三二一，因为他只有三个零，所以不可能出现零的情况。那八后面可以跟四，八后面跟三，八后面跟二，八后面跟一，然后后三位全是什么零 啊？零读不出来的时候是位于每一级的末尾，这是四舍的情况，那我们还有五入的情况，注意，入上去以后是八万，那没入之前就应该是七万多， 那可以是七万几。那五入五入，所以是五级，五以上的数可以是五、六、七、八、九，所以七后面跟五，七后面跟六，七后面跟八，七后面跟九，然后末三位全是什么零， 那由此可以得出这个整数啊，我们就可能有九种情况啊。答案如上，大家可以自己看一下。接下来我们看一下我们下册第七页的拓展应用， 他说上海世博会开园第一天有二十万人参观，这天最多可能有多少人参观？最少可能有多少人参观？首先人数参观要想最多，那我们满足的规律是什么呢？首先最多 满足的是四舍，所以二十万万后面跟的是四。要想人数最多，我们说四十，如跟这个数位的下一位有关，与其他数位均无关系。所以他的百位、十位、个位全部都是九，那读作二十万。四千九百九十九， 那最少就是五入，入上去是二十万，那没入之前可就要比这个二十万要小，也就是十九万填，谁填五？因为最小是五吗？跟其余数位无关，所以最小填零。那得到答案是十九万五千啊，这是我们这道题。 好，接下来我们再来看一下四年级下册第十页的这个拓展应用，他要求成绩是一个四位数，筐里最大可以填几，那四位数最大的话，我们采用的是估值的方法，首先筐里六可以估成 框零零三十二可以勾成三十，那填一的话是不三千，填二的话就六千，填三的话就九千，填四的话是不就会变成一万二超了？所以最大填的是三。 如果乘积是一个五位数，那么框里有几种填法？那五位数的话，我们说三的话是一个四位数吗？对不对？三的话是一个四位数，那五位数就是四。后面的四、五、六、七、八、九，有几种呀？六种。那最小填几？最小填四，那我们这个题就出来了。 好，再往后看一下第十一页的拓展应用，他说马两小时跑了一百二十千米，然后六分钟跑了八千米， 狮子三十六秒跑了五百八十米。问你谁的速度快？首先前后单位不一致，我们需要先进行单位的一个换算，那可以求下马一小时能跑多远？也就一百二十除以二，等于六十千米每时， 这是他一个小时跑的，那一个小时呢，刚好是等于多少分呀？等于六十分，所以我们换算啊，六十千米等于 六万米，然后一小时等于六十分，所以就可以求出一分钟，那就是六万除以六十。哎，得到的是一千米 每分，这是一分钟一千米。然后他又说了，他六分钟能跑八千米，那一分钟能跑多少呢？那就是写到这了啊，老虎，那就是八千除以六，那么 这个答案是除不尽的，那我们算下来，其实应该是一个，嗯，同时缩小两倍吧，那就四千除以三， 那我们大概估一下啊，四千除以三的话，应该是一千三百三十三点三三米每分，这是老虎，那我们再来看狮子，三十六秒跑了 五百八十米，那三十六秒跑五百八十米的话，那我们先来算一下六秒钟，为什么？因为一小，呃，一分钟是等于六十秒，所以我们先算六秒可以跑多远，那相当于给三十六缩小六倍，那也就是五百八十除以六 除以六啊，这个得到答案约等于是九十七米 啊，六秒钟可以跑九十七米，那一分钟相当于是六秒的几倍啊？十倍，所以九十七给他扩大十倍，那就是九百七十 米。哎，那就会发现这三个速度可以放在这比较一下，发现老虎是最快的啊。大家在这里先比较一下大小，比较完之后，我们回答一下，打老虎是最快的啊。这是我们的第十一页的拓展应用， 接下来我们再来看一下第十二页的拓展营，他说王老师呢，想买六十支钢笔作为奖品，发给获奖的同学，三家商店有同一型号的钢笔假商店呢，每支钢笔是六元，没有促销活动。以商店是每支钢笔七元，是买十送二。 饼商店每只七元，满一百可以减十块，你觉得哪家划算？那哪家划算呢？那我们可以分开计算，没有促销活动，一只六元，那六十只就是六十乘六，等于三百六十块。以商店是满十只送二只，也就是说我 每一组里边就可以得到十二只，那六十支钢笔可以分成六组， 看到了没啊？可以分成六组。呃，每一组是十二只，所以是六十，除以十二能分五组，而每一组只需要掏十只的钱，所以一只的钱是十乘七，那五组的钱就十乘七乘五，也就三百五十。元。 饼商店是满一百减十，那我们先来算一下啊，六十支钢笔一共要花费四百二十块钱，那四百二里头最多是有 四个一百，哎，每个一百减十块就能减去四十块钱，所以四百二减四十，需要掏的是三百八十块钱，所以对比一下，三百六十 和三百八十来说是三百八十大于三百六，而三百六又大于三百五，所以我们在以商店购买会更合适一点啊，所以我们选择的是以。

同学们，我是南京市南师附中数人学校附属小学的许建老师，今天我们要学习的课题是圆锥的体积。 今天这节课，我们将结合具体情境，探索并掌握圆锥体积的计算方法，学会运用公式计算圆锥的体积，并解决相关的实际问题， 感受转化思想，积累数学的活动经验，进一步发展空间观念。圆柱的体积是怎样推导计算的？ 我们把圆柱沿着底面直径平均分成若干份，再沿着高切开，拼成一个近似的长方形，由此我们推导出圆柱的体积公式， 圆柱体积等于底，面积乘高用字母式来表示就是 v 等于 s h。 通过之前的学习，我们知道圆锥有一个顶点，圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面， 从圆锥的顶点到底面，圆心的距离就是圆锥的高。 今天这节课，我们就来研究圆锥的体积。 在研究圆锥的体积之前，我们先来看看这两个长方形和直角三角形的直板，看看它们之间有什么关系。注意看哦， 这两个图形等底等高三角形的面积正好是这个长方形面积的二分之一。 现在我们把这两个图形分别旋转成圆柱和圆锥，它们之间又有什么关系呢？ 原来等底等高的三角形的面积正好是长方形面积的二分之一。通过观察，这个圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等， 那这个圆锥的体积会不会也是这个圆柱体积的二分之一呢？我们可以用等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器来验证一下。下面我们来看一段视频吧， 老师，这里有两个容器，一个是圆锥体容器，一个是圆柱体容器。我们首先来比一比，看一看它们的底面积是相等的，也就是等底的。 再来看高度，我们看它们俩的高度也是相等的，也就是等高的，那我们就可以称这两个容器是等底等高的。 下面我们就用圆锥体容器把水装满，再倒入圆柱体容器里面，看看倒几次能把这个圆柱体容器倒满呢？好，第一次， 我们先把圆锥体容器盛满水，倒入圆柱体容器里面。 好，同学们可以观察一下，此时水的高度差不多是圆柱体容器的三分之一。 好，第二次，我们继续，我们再把圆锥体容器装满，水倒入圆柱体的容器里面。 好，已经倒了两次了。第三次，我们继续。 好，我们来看一看，正正好倒了三次，就把这个圆柱形容器倒满了。通过观察刚才的实验操作，你有什么发现呢？ 你能试着把下面这段话补充完整吗？好，让我们一起来填一填吧。 有等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个，把圆锥形容器装满水，一共倒了三次，刚好把圆柱形容器倒满。 因此，圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一， 圆柱体积是与它等底等高圆锥体积的三倍。看来我们开始所猜测两个物体体积之间的二分之一的关系是错误的。 通过刚才的实验，我们不妨想一想，可以怎样求圆锥的体积呢？是的，等底等高的圆锥和圆柱， 圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，也就是用圆柱体积乘三分之一。 我们知道要求圆柱的体积应该是用底面积乘高。 圆锥与圆柱底面积相等，高也相等，因此圆锥的体积就可以用底面积乘高，再乘三分之一来计算。 如果我们用 v 表示圆锥的体积， s 表示圆锥的底面积， h 表示圆锥的高。圆锥体积的计算公式可以表示成 v 等于 s 乘 h 乘三分之一， 在这里我们可以省略乘号。圆锥的体积公式用字母式表示，就是 v 等于三分之一 s h。 求圆柱体积时，我们一般要知道圆柱的底面积和高，看来在求圆锥的体积时，我们也应该要知道它的底面积和高。 回想一下，公式中底面积乘高表示谁的体积呢？对的，它表示的是与所求圆锥等底等高的圆柱的体积。 为什么要乘三分之一呢？因为圆锥的体积等于与他等底等高的圆柱体积的三分之一，因此，在计算圆锥体积的时候，这里的三分之一可千万不要忘记写哦。 回顾圆锥体积公式的探索过程，你有什么体会呢？ 通过刚才的操作，我们探求出圆锥体积的计算方法，联系了我们已经学过的圆柱体积公式进行计算。 从圆柱体积公式想起，通过比较等底等高的圆锥和圆柱的体积想到可以用观察猜想来探索圆锥的体积公式。 通过实验验证，发现了等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，得到了圆锥体积的计算公式。由此可以看出，学习数学可以联系之前已经学过的相关内容进行思考， 并且实验也是解决数学问题的一种重要的方法， 学会了圆锥体积的计算方法，接下来我们就一起来练一练吧！ 这里有一个圆柱和一个圆锥底面积相等，高也相等，圆柱的体积是九点四二立方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米呢？ 这里圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，也就是等底等高。那么他们两个的体积之间存在什么样的关系呢？ 通过之前的学习，我们知道圆锥的体积是与他等底等高圆柱体积的三分之一， 圆柱的体积是与它等底等高圆锥体积的三倍。因此要求圆锥的体积 可以用这个等底等高的圆柱的体积乘三分之一，或者直接除以三。因此我们列式九点四二除以三等于三点一四立方厘米。 那如果圆锥的体积是九点四二立方厘米，圆柱的体积是多少呢？ 还是等底等高？我们可以用这个圆锥的体积乘三来求与它等底等高圆柱的体积列式是九点四二乘三，等于二十八点二六立方厘米。 通过刚才的练习，我们进一步认识了等底等高的圆锥与圆柱的体积之间始终存在一个三分之一的关系。 那如果直接告诉你圆锥的底面积和高，相信一定也难不倒你哦。 有一个圆锥形的零件，底面积是一百七十平方厘米，高是十二厘米，这个零件的体积是多少立方厘米呢？通过读题我们可以知道圆锥的底面积和高。 根据我们刚刚学习的圆锥体积的计算公式，我们可以这样列示， 一百七十乘十二乘三分之一。计算时，我们可以利用乘法结合，率先算十二乘三分之一等于四，再去和一百七十相乘，因此它的体积是六百八十立方厘米。 值得我们注意的是，在求圆锥体积时，可千万别忘记乘三分之一哦。答，这个零件的体积是六百八十立方厘米。 接下来这里还有两个圆锥，看看题目中已经告诉了我们哪些条件呢？ 第一个圆锥告诉了我们，他的底面半径是两厘米，高是六厘米。根据圆锥的体积公式，我们可以列综合算式， pi 乘二的平方乘六，再乘三分之一，结果等于八 pi 立方厘米。 第二个圆锥，从图中我们可以看出它的底面直径和高都是三厘米，那我们依然要先求出它的底面积，再来计算体积。 列式为派乘三，除以二商的平方再乘三，再乘三分之一，结果等于二点二五派立方厘米。看来这样的题目一点也难不倒你们，真好！ 放假了，有同学跟着父母到郊外游玩，他们搭了一个近似于圆锥形的野营帐篷，里面半径是三米，高是二点四米。 帐篷的占地面积是多少呢？帐篷里的空间有多大？ 从题目中可以知道这个圆锥形帐篷的地面半径和它的高。 这里要求帐篷的占地面积，实际上就是求这个圆锥形帐篷的底面积的大小，也是 pi 乘三个平方等于九 pi 平方米。 再来求帐篷里的空间有多大，实际上就是求这个圆锥的容积是多少。 利用刚才求出的底面积，九派来乘高二点四米，再乘三分之一，求出它的容积是七点二派平方米。 答，帐篷的占地面积是九派平方米，帐篷里的空间是七点二派平方米。 有两个玻璃容器，在圆锥形容器里注满水，倒入空的圆柱形容器。圆柱形容器里的水深多少厘米呢？ 要求倒入圆柱形容器里的水深多少厘米？我们首先想到了用水的体积除以圆柱容器的底面积， 而水的体积就等于原来圆锥的体积。因此，我们可以通过求圆锥形容器的容积，把水的体积先求出来。 也综合算式， pi 乘十除以二商的平方，再乘十二乘三分之一等于一百 pi 立方厘米， 再来算圆柱的底面积， pi 乘十除以二商的平方等于二十五 pi 平方厘米。 最后用水的体积除以圆柱的底面积，也是为一百 pi 除以二十五 pi。 根据商不变的规律，一百派和二十五派同时都除以派，就等于一百除以二十五等于四厘米。当然，我们还可以用另外一种思路来进行思考， 因为圆锥与圆柱是等底等高的。回想我们一开始做过的倒水的实验， 想一想相信你一定也想到了，圆锥里注满了水，倒入等底等高的圆柱形容器以后， 水面的高度也就是水深应该是圆柱形容器高度十二厘米的三分之一，所以我们还可以这样列式， 用十二除以三等于四厘米。这样做是不是非常的简单呢？ 是的，我们抓住了等底等高圆锥与圆柱之间的关系， 就能很好的解决这样的一道问题。最后别忘记答哦！答，圆柱形容器里水深四厘米。 同学们，这节课我们通过操作观察实验经历，圆锥体积计算公式的猜想， 体会用实验研究问题获得结论的方法，并且应用了公式计算圆锥的体积，解决了圆锥体积相关的简单的实际问题。 今天这节课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶维奇老师。今天我们要学习的课题是圆锥的体积练习二， 相信通过前两节课的学习，同学们已经对圆锥体积的计算方法有了较深刻的理解。 今天这节课让我们继续走进生活，在解决实际问题的过程中，探求圆柱和圆锥体积之间的内部联系，感受数学图形之间的内在奥秘。 首先让我们一起来看一看数学书上第二十三页练习四的第七题。张师傅要把一根圆柱形木料加工成圆锥形。 第一小问，圆锥的体积最大是多少立方分米？ 如何理解这里最大的含义呢？同学们可以在脑海中想象一下，将圆柱削成最大的圆锥会是什么样？ 是的，这是与这根圆柱形木料等底等高的圆锥。 从图中我们可以找到圆柱形底面直径和高，也就是把它加工成最大圆锥形的底面直径和高。 那么圆锥的体积可以列示为 pi 乘二除以二的商的平方乘三乘三分之一。 通过约分我们可以得到等于派立方分米。我们再来看第二小问，你还能提出什么样的问题？ 我们可以提出消去木料的体积是多少立方分米？ 我们知道消去的木料就是用圆柱体积减去。刚才第一问求出的圆锥的体积 列式为 pi 乘二除以二，商的平方乘三减， pi 乘二除以二，商的平方乘三乘三分之一， 这是圆柱型木料的体积减号。后面就是刚才第一问求出的圆锥的体积，两者相减， 三派减派得到消去的木料体积是二派立方分米。 我想一定会有同学想到，还有更简易的方法，就是利用消去木料的体积与原来圆柱之间体积的关系来解决。 我们知道加工成圆锥体积是原来圆柱体积的三分之一， 由此我们可以列式， pi 乘二除以二的商的平方乘三乘一减三分之一的差。 这里的一减三分之一就是消去的木料占原来圆柱体积的一减三分之一的差，也就是三分之二。 同样我们可以求出消去木料的体积是二派立方分米，这样我们的算式看上去就简洁多了。 到这里我们来小节一下，在圆柱内削一个最大的圆锥，就是与圆柱等底等高的圆锥，占圆柱体积的三分之一，那么削去部分的体积就占圆柱体积的三分之二。 接下来我们来看数学书上第二十三页的第九题，有一块直角三角形硬纸板，分别绕他的两条直角边旋转一周，能够形成两个大小不同的圆锥，你能计算这两个圆锥的体积吗？ 要想解决这个问题，我们首先要搞清楚这个直角三角形硬直板绕着某一条直角边旋转会得到怎样的图形。我们来分别研究一下这两种情况。 第一种，以四厘米的直角边为轴，旋转一周，会得到一个怎样的圆锥呢？我们可以闭上眼睛想象一下， 看看是否和老师的一样呢？会得到一个底面半径为三厘米，高为四厘米的圆锥。 第二种，以三厘米的直角边为轴，旋转一周会得到一个怎样的圆锥呢？对，此时是一个底面半径为四厘米，高为三厘米的圆锥， 和你脑中的图像一样吗？现在我们可以分别计算一下两个圆锥的体积。 第一种情况，圆锥的体积是 pi 乘三平方乘四乘三分之一，算出的结果是十二 pi 立方厘米。 第二种情况，圆锥的体积是 pi 乘四平方，乘三乘三分之一等于十六 pi 立方厘米。 通过比较不难发现，第二种情况，也就是以三厘米为轴旋转一周得到的圆锥体积较大。 下面我们来看一看第十一题，右图的蒙古包由一个近似的圆柱形和一个近似的圆锥形组成， 这个蒙古包里的空间大约是多少平方米？要求这个蒙古包里的空间大约是多少平方米，其实就是要求下面这个近似的圆柱形和上面这个近似的圆锥形的体积之合。 观察直观图，我们发现这个圆柱和圆锥的底面直径是相等的，也就是底面积相等，我们可以求出这部分的底面积， 这样可以避免重复计算。 pi 乘六除以二的商的平方等于九 pi 平方米， 那么圆柱部分的体积就可以用九派乘二等于十八派立方。圆锥部分的体积用九派乘一乘三分之一等于三派立方， 再将它们相加，十八派加三派等于二十一派立方。 这道题目我们还可以尝试用另一种方法来解决，下面老师来向大家介绍一下。 首先我们将这个蒙古包的直观图改成一个轮廓图，由于圆柱和圆锥底面积相等，圆柱的高是圆锥的两倍， 我们可以将下面的圆柱从水平方向一分为二，那么分成的每一个圆柱就和上面的圆锥是等底等高的。 如果我们将上面的圆锥体积看成一份，那么下面两个被分开的小圆柱体积都是三份。 因此圆锥和整个大圆柱的体积比就是一比三加三的和等于一比六，也就是圆锥的体积是下面圆柱部分体积的六分之一。 我们的算式可以写成派乘六除以二的商的平方乘二乘一加六分之一的和。 前面这部分我们求出的是圆柱的体积，把它当成单位一。圆锥的体积占了圆柱体积的六分之一， 那么整个蒙古包的体积就占了圆柱部分体积的一加六分之一的和等于六分之七。 经过计算，我们可以得到圆柱和圆锥的体积之和是二十一派立方米。 利用圆锥和圆柱之间的体积比，也可以求出蒙古包的空间大约是二十一派平方米。 我们通过比较这两种方法可以发现它们其实本质是相同的，都是抓住了底面积相等这个重要的条件。 最后我们来看一看书上的这道思考题。一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积比是一比六。如果圆锥的高是四点二厘米， 圆柱的高是多少厘米？如果圆柱的高是四点二厘米，圆锥的高是多少厘米？ 同学们，我们想要解决这个题目，首先要将已知条件中圆柱和圆锥底面积以及高的关系整理清楚， 可以借助表格帮助我们。题目中告诉我们，圆柱和圆锥的底面积相等，也就是它们的底面积的比是一比一，我们可以 将它们的底面积都假设为一。由于圆锥和圆柱它们的体积比是一比六，如果把圆锥的体积看成一， 那么圆柱的体积就是六。现在我们可以把它带入公式里算一算，看看圆锥和圆柱高的关系。 由于圆锥的体积是底，面积乘高再乘三分之一之后得到的，现在已经知道的是体积一，就要反过来先用一乘三得到底面积乘高的积， 再除以底面积得到圆锥的高。算式是一乘三除以一等于三，得到圆锥的高是三。 如果有同学思考起来有些困难，我们也可以列个方程解设，圆锥的高是 x， 圆锥的底面积是一，高是 x， 体积是一。我们可以列方程，一乘 x 乘三分之一等于一， 解出 x 等于三，同样得到圆锥的高是三。 我们再来求圆柱的高是底，面积乘高。 已知底面积和体积求高，可以直接用六除以一等于六， 算出圆柱的高是六。算到这，我们发现圆锥和圆柱的高比就是三。比六等于一比二， 说明圆锥的高是圆柱的二分之一，反过来也就是圆柱的高是圆锥的两倍。 知道了圆锥和圆柱高的比，再根据题目条件中给出的已知数据再来解决问题就简单了。 第一问，已知圆锥的高是四点二厘米，求圆柱的高用四点二乘二等于八点四厘米。第二问，已知圆柱的高，求圆锥的高用四点二除以二等于二点一厘米。 当然，这道题目我们还可以这样思考，当圆柱和圆锥等底等高的时候，圆锥的体积是圆柱的三分之一， 圆锥和圆柱的体积比是一比三，而现在它们的体积比是一比六。 想一想，圆柱的体积在三倍的基础上又扩大了两倍，而他们的底面积是相等的，说明是高发生了变化。想一想，圆柱的高应该是圆锥高的几倍呢？ 对了，两倍，可以想象成在圆柱上又落了一个和它完全一样的圆柱，这样圆锥与圆柱体积的比就是一比六。 我们同样可以得到圆锥和圆圆柱高的比是一比二，从而求出答案。 同学们，这道题我们通过不同的方法找到了圆锥和圆柱高之间的关系， 进而解决了问题。真棒！大家还可以思考这样一个问题，仔细对比一下这道思考题和上面蒙古包的题目有没有什么相同之处呢？老师，相信细心的你一定能发现一些有意思的联系， 通过这节课的练习，你有哪些收获呢？圆锥的体积在我们的生活中还有哪些具体的应用呢？ 在解决实际问题的过程中，我们需要有意识的寻找条件当中圆柱和圆锥之间的内在联系，注重题目中方法之间的关联， 在观察和对比中及时总结数学学习的经验和方法，相信同学们会有更多的收获。 今天的数学课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶维奇老师，今天我们要学习的课题是圆锥的体积练习。一、 上节课我们学习了有关圆柱、圆锥的体积计算，今天我们结合所学知识来进行一些练习，通过练习将进一步巩固圆锥体积的计算方法， 并能灵活运用体积计算公式解决一些实际问题。首先我们来回顾一下上节课的学习内容， 通过操作实验，我们发现圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一。 那么根据圆柱体积公式，我们推导出圆锥体积公式，等于底面积乘高乘三分之一，用字母表示 v 等于三分之一 s h。 根据圆锥与它等底等高圆柱体积之间的关系，我们来解决这样的两道题。 打开数学书第二十二页，我们先来看第五题的第一小题，一个圆柱的体积是一点八立方分米和它等底等高的圆锥的体积是多少立方分米？ 题目中已知圆柱和圆锥等底等高，又告诉我们圆柱的体积，那么圆锥的体积就是圆柱体积的三分之一， 可以用一点八除以三等于零点六立方分米。第二小题，一个圆锥的体积是一点八立方分米，和它等底等高的圆柱体积是多少立方分米？ 这道题目中圆锥和圆柱还是等底等高，那么圆柱体积就是圆锥体积的三倍。用一点八乘三等于五点四立方分米， 得到圆柱的体积是五点四立方分米。我们来比较一下这两小题有什么相同点和不同点。 相同点在于这两题里的圆柱和圆锥都是等底等高的，不同点在于，第一小题是已知圆柱体积，求圆锥体积要除以三。 第二小题是已知圆锥体积，求圆柱体积要乘三。 所以圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，反过来，圆柱体积是与它等底等高圆锥体积的三倍。 带着这样的学习经验，我们再来看看第六题下面的圆锥与哪些圆柱的体积相等。 请同学们仔细观察题中的一个圆锥和四个圆柱的直观图，比较它们底和高的数据。 我们可以先估一估圆锥与哪个圆柱的体积相等呢？借助直观感受，我们首先可以排除一号和四号。 一号圆柱与圆锥等底等高，它的体积应该是圆锥的三倍，可以排除 四号圆柱也比较容易判断，它相对于圆锥来说太小了。 那么我们重点来看一看二号和三号。首先我们可以通过计算的方法进行比较， 先算圆锥的体积，用派乘九除以二的商的平方乘十二乘三分之一等于二十点二五，派乘四等于八十一派立方厘米。 我们再来算二号圆柱，它的体积用 pi 乘三除以二的商的平方乘十二等于二点二五， pi 乘十二等于二十七 pi 立方厘米。 三号圆柱的体积用派乘九除以二，商的平方乘四等于二十点二五，派乘四也是八十一派立方厘米。 通过计算或者比较它们的算式，我们能将答案锁定在三号圆柱，它的体积与圆锥相等。 当然，有同学可能想到了更简易的方法，二号圆柱猛的一看有点像，但请同学们要注意了， 这里的九和三是它们的底面直径，也就是圆锥的底面直径是二号底面直径的三倍。 那么底面积呢？就是二号圆柱的九倍，它们的高相等。 由于圆锥的体积要乘三分之一，所以圆锥的体积是二号圆柱体积的三倍。 再来看三号圆柱，它们的底面直径都是九，也就是底面积相等。 圆锥的高是圆柱的三倍，因此它们的体积相等。我们通过推理分析同样可以得到正确答案是三号圆柱。 同学们让我们结合第五题和第六题，再来整理一下圆柱和圆锥体积的关系。当圆柱和圆锥等底等高时， 圆锥的体积是圆柱的三分之一，反过来，圆柱的体积是圆锥的三倍。 当圆柱和圆锥体积相等，底面积也相等时，我们用等积等底来表示它们之间的关系。 由于圆锥的体积是底，面积乘高再乘三分之一后，与圆柱的体积相等，它们的底面积又相等，因此圆锥的高就是圆柱的三倍。 当圆柱和圆锥体积和高都相等时，它们的关系我们可以称作等积等高。 同学们想一想，此时圆柱和圆锥的底面积又会是什么关系呢？ 爱动脑筋的你一定会发现，此时圆锥的底面积是圆柱的三倍。 这里老师要提醒你，底面直径或底面半径之间的关系可不等于底面积之间的关系哦！ 下面我们来进行一组对比小练习，看看我们的同学掌握的怎么样。第一小题， 圆柱和圆锥底面积相等，高也相等，已知它们的底面积是十二立方分米，则圆锥的体积是多少立方分米？ 这道题目中，圆柱和圆锥等底等高，那么可以将圆锥的体积看成一份，与 它等底等高的圆柱的体积可以看成三份体积，和就是四份， 对应的是十二立方分米，所以圆锥的体积可以用十二除以三加一的和等于三立方分米。 这里的三加一的和就表示圆柱和圆锥体积和的总分数 消除后，得到每一份，也就是圆锥的体积是三立方分米。 第二小题，一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等。已知圆柱的底面积是九平方厘米，则圆锥的底面积是多少平方厘米呢？ 这道题目中，圆柱和圆锥是等积等高，那么圆锥的底面积应该是圆柱底面积的三倍，用九乘三等于二十七平方厘米。 第三小题， 一个盛满水的圆锥形容器，水深三十厘米，将水全部倒入和它等底等高的圆柱形容器里， 水深多少厘米？同学们，你知道这道题目中圆柱和圆锥是什么关系吗？ 将圆锥形容器里的水全部倒入与它等底等高的圆柱形容器中，说明水的体积不变，底面积也不变。 而倒入圆柱形容器中，水位会发生变化，也就是高变了，所以它们是等积等底。 此时圆锥的高是圆柱高的三倍，因此我们用三十除以三等于十厘米得到圆柱形容器，水深十厘米。 完成了这组练习。我们将目光聚焦到生活中的圆锥， 在农田、建筑工地等等这些地方，人们常常会把麦子、碎石或是泥沙堆成圆锥形。我们一起来看看数学书第二十三页练习题的第八题， 右图是一个圆锥形的小麦堆，根据题中的数据， 你能算出小麦堆体积是多少立方吗？从图中我们能知道， 圆锥的底面直径是八米，高是一点八米。由此我们可以列式， pi 乘八除以二商的平方乘一点八乘三分之一等于 十六派乘一点八乘三分之一 等于十六派乘零点六等于九点六派立方米，算出圆锥形小麦堆的体积是九点六派立方米。这题的结果我们可以保留派。 这里老师要提醒你，求圆锥的体积一定要记得乘三分之一。 接着我们来看第十题，一个近似于圆锥形的碎石堆，底面周长是十二点五六米，高是零点六米， 如果每平方米碎石大约重两吨，这堆碎石大约重多少吨？题目中告诉我们，圆锥形碎石堆想一想计算时要注意什么呢？ 并且每平方米重两吨要求最后碎石堆的重量。我们首先要求出圆锥形碎石堆的体积， 而题目中给出的条件是底面周长，所以我们可以先利用底面周长求出底面半径， 用十二点五六除以三点一四除以二等于两米，得到底面半径是两米， 进而求出圆锥的体积。用派乘二的平方乘零点六乘三分之一等于四派乘零点二等于零点八派立方米。 为了方便求后面碎石堆的重量，我们在这里可以进一步求出圆锥的体积是二点五一二平方米， 再用二点五一二乘二等于五点零二四吨，这就是这堆碎石堆的重量，请同学们要注意， 当最后的结果求的是重量、价钱等时，结果不能用派表示，要求出最终的结果。 同学们，这节课我们利用所学的知识解决了一些生活中的实际问题。 在练习中，我们学会了利用题目中不同的条件求出圆锥的体积，并且在思考中善于观察、比较、推理，对于圆柱和圆锥的关系理解也有了进一步的加深。 课后同学们也可以对自己的这些知识进行归纳和整理，今天的数学课就上到这，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶伟习老师。今天我们要学习的课题是圆柱和圆锥的练习与应用。一、 圆柱与圆锥的知识在生活中有着广泛的应用。这节课我们将继续走进生活，在解决实际问题的过程中，探求圆柱和圆锥体积之间的内部联系，感受数学图形之间的内在奥秘。 我们先来看整理与练习的第四题，有一个近似于圆锥形的稻谷堆， 底面直径是四米，高是一点五米。如果每平方米稻谷大约重零点五五吨，这堆稻谷大约重多少吨？得数保留整数。 首先我们来看计算圆锥形的体积，用四除以二的商的平方 pi 乘一点五乘三分之一 等于四派，乘零点五等于二派平方米。再求这堆稻谷的重量，二派乘零点五五等于一点，一派等于三点四五四吨。 由于得数要保留整数，所以三点四五四吨约等于三吨。同学们要牢记，在计算圆锥体积的时候不要忘记乘三分之一。 接着我们来看第五题，一块圆柱形的橡皮泥底面积是十五平方厘米，高是六厘米。 第一小题，把它捏成底面积是十五平方厘米的圆锥形，高是多少厘米？将圆柱形的橡皮泥捏成圆锥形，想一想什么变了，什么没变？ 对，橡皮泥的形状变了，体积不变，也就是圆锥的体积等于圆柱的体积。 那我们可以根据这个等量关系来列方程解答。解，设列成的圆锥形的高是 x 厘米，十五乘 x 乘三分之一，等于十五乘六， 算出 x 等于十八。也有同学可能会列式用十五乘六先算出圆柱橡皮泥的体积，也就是圆锥的体积。 由于圆锥的体积等于底，面积乘高除以三。现在知道了体积和底面积反过来求高，我们需要把体积再乘三，得到底面积乘高的积， 再除以底面积得到高。由于题目中圆柱和圆锥的底面积都是十五平方厘米，可以在算式中把两个十五直接约去，等于六乘三，等于十八厘米。 第二小题，把它捏成高是六厘米的圆锥形，底面积是多少平方厘米？这里捏成的圆锥体积仍然不变， 利用等量关系可以列方程解。设捏成的圆锥底面积是 y 平方厘米，六乘 y 乘三分之一，等于十五乘六，解得 y 等于四十五。也可以列式 十五乘六，算出圆锥的体积，再乘三，得到圆锥底面积乘高的积，再除以六，因为高都是六厘米，直接约去， 等于四十五平方厘米。现在我们来比较一下这两题有什么相同点和不同点。相同点都是把圆柱形捏成了圆锥形，体积是不变的， 不同点在于，当捏成的圆柱与圆锥底面积相等时，也就是它们等积等底，圆锥的高是圆柱的三倍，所以我们要用圆柱的高乘三。 当圆柱和圆锥高相等时，也就是圆柱与圆锥等积等高，圆锥的底面积是圆柱的三倍。要将圆柱的底面积乘三。 运用这样的结论，我们来看看这样的几小题。第一题，一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的两倍，圆柱与圆锥体积的比是几比几？ 这道题已知圆柱与圆锥底面积和高的比，让我们求它们体积的比是一个顺向思维，相对比较简单。我们根据条件，圆柱和圆锥底面积相等， 可以假设圆柱和圆锥的底面积都是一， 圆柱的高是圆锥的两倍，可以假设圆柱的高是二，圆锥的高是一， 那么圆柱的体积就是一乘二等于二，圆锥的体积是一乘一乘三分之一等于三分之一。二比三分之一。化简得到六比一。 第二题，体积和高都相等的圆柱和圆锥，它们的底面积之比是几比几？如果圆锥的底面积是十二平方厘米，那么圆柱的底面积是多少平方厘米呢？ 圆柱与圆锥体积相等，高也相等，说明它们等积等高。 圆锥要想和圆柱体积和高都相等，那么圆锥的底面积就要是圆柱底面积的三倍，所以圆柱与圆锥底面积的比是一比三。 当然，这道题目我们也可以和上一题一样，运用假设的方法，假设圆柱和圆锥体积都是一，高也都是一， 圆柱的底面积用一除以一等于一。 助理，这里在计算圆锥的底面积时，要先用一乘三得到底面积，乘高的积，再除以高一等于一比三。 第二问，这里已知了圆锥的底面积要求，圆柱的底面积应该怎么算呢？ 圆锥的底面积是圆柱的三倍，所以要用十二除以三等于四平方厘米。 接着我们来看第六题，一个圆柱和一个圆锥底面直径都是六厘米，高都是十二厘米，他们的体积一共是多少立方厘米？你能用不同的方法计算吗？ 第一种方法，我们可以根据题目中已知的条件，分别求出圆柱和圆锥的体积，再将它们相加， 得到体积的和是一百四十四派立方厘米。细心的同学一定观察到， 题目中告诉我们，圆柱和圆锥底面直径和高都相等，观察算式也能看得出圆柱和圆锥等底等高， 那么圆锥的体积就是与它等底等高圆柱的三分之一。 那么我们可以先算出圆柱的体积，再乘一加三分之一的和，这里的一指的是圆柱的体积。 把圆柱的体积看成单位，一，圆柱和圆锥的体积就相当于圆柱体积的三分之四，同样可以算出它们体积的和是一百四十四派立方厘米。 反过来，如果我们将圆锥的体积看成一份，圆柱的体积就是这样的三份 合在一起就是四分，也就是体积和是圆锥体积的四倍。这里可以先算出圆锥的体积，再乘四，通过计算也可以得到体积和是一百四十四立方厘米。 回顾一下这些方法，无论是先分别算出圆柱和圆锥的体积，还是将圆柱的体积看成单位一，又或是将圆锥的体积看成一份，其实它们的本质都是一样的， 同学们在做题时，根据已知条件灵活选择合适的方法，请同学们在思考这样的一个问题，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相差十八立方厘米，则圆锥的体积是多少立方厘米？ 题目中告诉我们等底等高的圆柱和圆锥体积之差。如果把圆锥的体积看成一份，与它等底等高圆柱的体积就是三份，它们体积之差就是两份， 也就是问题要求的圆锥体积的两倍。用十八除以二等于九得到圆锥的体积九立方厘米。 熟练掌握圆柱和圆锥体积变化之间的关系，可以让我们准确快速的解决相关问题。 第八题有两个不同形状的装饰瓶，里面放满了五彩石。从里面量，圆柱形的装饰瓶底面直径是十厘米，高是十厘米，长方形装饰瓶的长和宽都是十一厘米，高是九厘米。 哪个装饰品里的五彩石多一些呢？通过读题我们了解到两个装饰品，一个是圆柱体，一个是长方体。 要求哪个装饰品里的五彩石多一些，就要分别求出圆柱体和长方体的容积再进行比较。由于题目中告诉我们装饰品都是从里面量的， 所以我们可以按照计算体积的方法来计算它们的容积，来算一算圆柱的容积，用 pi 乘十除以二的商的平方乘十等于两百五十， pi 等于七百八十五立方厘米。长方体用长乘宽乘高 等于一千零八十九立方厘米，七百八十五小于一千零八十九。通过比较发现长方体装饰屏五彩石多一些。 我们一起来看第九题。一根自来水管的内直径是二十毫米，如果水流的速度是零点八米每秒，这根水管一分钟可以流出多少深水？ 读完题目后，我们发现题目中的单位名称很繁杂，有毫米米每秒深。 问题中的单位名称是深，所以我们可以将单位统一成分米，二十毫米等于零点二分米，零点八米每秒等于八分米每秒。还有时间单位， 因为前面已经将水流速度换算成八分米每秒，所以这里将一分钟换算成六十秒。 问题中要求水管一分钟可以流出多少深水，其实是在求什么呢？同学们可以想象一下，是不是可以将水管中流出的水看成一个圆柱形的水柱， 那么求水管内流出水的体积，也就是在求一个圆柱的体积。 通过已知条件中底面直径可以求出圆柱的底面积。 pi 乘零点二除以二的商的平方等于零点零一 pi 平方分米。 那么圆柱的高呢？就是一分钟，也就是六十秒。水管内流出多长的水柱， 可以用水流速度乘时间，也就是单位时间内水柱的长度，也就是圆柱的高。 圆柱的体积用零点零一派乘四百八十等于四点八派立方分米。 也有同学可能会想到，先求出水管每秒钟内流出水的体积，用底面积零点零一派平方分米乘水流速度八分米每秒， 算出一秒钟流出的水的体积，把它看成一个小圆柱， 再乘六十，得到六十个这样的小圆柱，算出一分钟水管内流出水的体积是四点八派立方分米。最后不要忘记将立方分米转化成生。 老师要提醒大家，这样的图题目务必要流行，单位名称的正确改写，以及所求问题的实际含义，根据条件准确地找出相关数据进行计算。 同学们，这节课我们练习有关于圆柱和圆锥相关知识，你的理解又加深一步了吗？ 做题时要注意找到方法之间的联系和区别，发现其本质之间的共通之处，找到题目之间的勾连，才能做到举一反三。 今天的数学课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶维奇老师。 今天我们要学习的课题是圆柱和圆锥的练习与应用。二、通过前面两节课的回顾整理与练习，相信有关圆柱和圆锥的知识同学们已经掌握的很牢固了。 今天我们来运用这些知识继续解决一些实际问题，在动手操作的过程当中探索并发现新的数学结论。 首先我们来看练习第十题，一个圆锥形沙堆 底面积是二十四平方米，高是一点二米，用这堆沙子去填一个长七点五米、宽四米的长方体沙坑，沙坑里的沙子的厚度是多少厘米？ 有提议可知，将圆锥形沙堆变成了一个长方体的沙坑，形状发生了改变，但体积不变， 也就是圆锥形沙堆的体积等于长方体沙子的体积 问题，求的是沙子的厚度，也就是长方体的高。所以我们可以先求出圆锥形沙堆的体积，用二十四乘一点二乘三分之一， 等于九点六立方，再用圆锥形沙堆的体积除以长方体的底面积， 或者分别除以长方体的长和宽，得到长方体的高，也就是沙子的厚度用九点六除以七点五除以四等于零点三二米，问题的单位是厘米， 所以不要忘记单位名称的换算等于三十二厘米。 当然，这里也可以根据变化前后沙堆体积不变这样的等量关系列方程来解答。解设沙坑里的沙子厚度是 x 米， 七点五乘四乘 x 等于二十四乘一点二乘三分之一， 解得 x 等于零点三二。再将零点三二米进行单位换算，等于三十二厘米。 我们用了算数和方程两种方法解决了这个问题，但其实本质都是一样的，要抓住题目中的不变量，再根据等量关系灵活地选择适合自己的方法。 第十一题也是我们生活中常见的问题，让我们一起看看吧。 一种圆柱型饮料罐，底面直径是七厘米，高是十二厘米。 将二十四罐这种饮料放入一个长方体的纸箱，如图，纸箱的长宽高吗？ 观察实物图，我们发现纸箱的长宽高一方面与圆柱形饮料罐的直径和高有关，另一方面饮料罐在纸箱内的排列方式也起到了极决定性的作用。 细心的你一定看得出长方体的长在这是几个饮料罐直径的和呢？我们一起来数一数 一二三四五六，求出长方体的长是四十二厘米，长方体的宽在这是用四个饮料罐相加的直径和， 那么我们可以求出宽是二十八厘米，因为纸箱内的饮料罐只摆了一层，所以长方体的高就是饮料罐的高，等于十二厘米。 这样我们就可以求出长方体纸箱的长宽高。 第二题，纸箱的容积至少是多少立方厘米？我们可以直接利用长方体的体积公式求出纸箱的容积，用四十二乘二十八乘十二 等于一万四千一百一十二立方厘米。第三小题， 做一个这样的纸箱，至少要用多少硬纸板？题目中告诉我们，箱盖和箱底的重叠部分按两千平方厘米来计算， 想一想要用多少硬纸板，其实就是在求什么呢？对，就是长方形纸箱的表面积，再加上重叠部分的两千平方厘米。 用四十二乘二十八加四十二乘十二加二十八乘十二的和乘二，不要忘记加两千。最后算出等于六千零三十二平方厘米。 在解决圆柱和圆锥的实际问题时，常常和长方体、正方体密切相关， 这要求同学们认真审题，看清问题的本质在求什么，找出相关条件，进行相应的方法，正确求解。 通过这部分的练习，相信同学们对于圆柱、圆锥的学习体会又加深了。接下来让我们进入数学书探索与实践部分。 我们先来看十二题，有两个圆柱形容器，它们的高相等底面半径的比是一比二，它们的体积比是几比几？ 想要解决这个问题，我们首先要知道它们的底面积和高的关系。题目中告诉我们，它们高相等底面半径的比是一比二。 那么底面半径的比和底面积的比有什么关系呢？解决这样的题目，我们可以利用假设的策略。首先根据底面半径的比一比二这个条件，我们可以假设两个圆柱的半径分别是一厘米和两厘米， 那么小圆的面积就等于派乘一的平方，等于派平方厘米，大圆的面积就等于派乘二的平方，等于四派平方厘米。 化简后得到小圆与大圆的面积比是一比四。 同学们也可以假设其他的数据只要符合一比二这个倍数关系就可以了。为了验证这个答案，我们也可以将他们的半径关系用字母式代入试试。 用 r 表示小圆的半径，因为它们的底面半径比是一比二。大圆的半径可以用二 r 来表示。小圆的面积就是 pi r 的 平方，大圆的面积就用 pi 乘二 r 括号的平方。 这里可以将分子分母先同时缩小派倍，此时面积比就是 r 平方比四 r 平方， 再同时缩小 r 的 平方倍，得到最后的底面积比是一比四，与 r 的 大小无关。 经过这样的推导过程，我们发现，当底面半径的比是一比二时，它们底面积的比就是一比四。有兴趣的同学可以尝试。当底面半径的比是其他数据时，底面积又会是怎样的情况呢？ 有了底面积的比，现在我们可以看看它们体积的比。 根据高相等这个条件，我们可以假设两个圆柱的高都是一 底面积，可以分别假设为一和四，再算出两个圆柱的体积。小圆柱的体积是一乘一等于一，大圆柱的体积用一乘四等于四， 那么两个圆柱的体积比就是一比四。让我们来回顾一下解决这个问题的过程。当题目中没有明确告诉我们数据时，可以利用条件中给出的数量关系进行假设， 但无论你怎样假设，都要符合题目条件中给出的已知数，然后选择正确的计算公式进行求解。 第十三题，选择一种圆柱形的饮料罐，测量有关数据，计算出它的容积，在与商标纸上的标出容积比一比，你能发现什么？ 老师选择了这种金属材质的易拉罐，这样的饮料罐形状规则，且材质很薄，可以直接从外面进行测量，计算它的容积。 我测出它的底面直径大约是六点五厘米，高大约是十一点五厘米。 如果你选择的饮料罐底面弧度较大，不方便测量底面直径，也可以测量罐身的底面周长和高。 我测量出饮料罐的容积，通过计算得到大约是三百八十一立方厘米，等于三百八十一毫升。 从图中可以看到，饮料罐的净含量是三百三十毫升，这显然小于三百八十一毫升，也就是商标纸上标出的容积小于计算得到的容积。 这是因为用容器盛装液体时，为了安全和方便，一般都会留出一定的空间。 而商标纸上标出的容积或净含量表示容器内液体的体积，一般都会比它的实际容积要小，也比饮料罐的体积小。 接下来我们来看第十四题，你能按照题目中的要求，将长方形卷成两个大小不同的圆柱吗？比较一下你卷的方法和图中的方法一样吗？ 先估一估哪种方法卷成的圆柱体积会比较大呢？再动手试一试，验证你的想法。 如果要分别计算出两个圆柱的体积，需要测量出长方形的长和宽， 分别就是圆柱底面周长和高。以老师的这张长方形纸为例，测出长方形的长是六点二八分米，宽是三点一四分米。我们来分别算一算这两个圆柱的体积。 如果沿长卷，那么长方形的长就是卷成圆柱的周长， 长方形的宽就是卷成圆柱的高。我们可以通过底面周长先算出底面半径，六点二八除以三点一四除以二等于一分米。 圆柱一的体积用 pi 乘一的平方乘三点一四等于三点一四 pi 立方分米。如果沿宽角 长方形的宽卷成了圆柱的周长，长就是圆柱的高。用长方形的宽算出圆柱二的底面半径，用三点一四除以三点一四除以二等于零点五分米 体积就用零点五平方派，再乘六点二八等于一点五七派立方分米。 比较它们的体积，我们发现第一种圆柱，也就是沿着长方形的长卷，把长作为圆柱形的底面周长，宽作为圆柱的高，卷出的圆柱体积较大。你的结论和我一样吗？ 最后我们一起来阅读。你知道吗？ 我国古代劳动人民早在两千多年前就会计算不同形状物体的体积。九章算术中记载的圆柱体积计算方法是，周字相乘，以高乘之十二而一， 也就是底面周长的平方乘高，再除以十二。这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过取圆周率的径四值为三。书中记载的圆锥体积计算方法也与现在的算法一致。 阅读这段文字，让我们来思考。周字相乘以高乘之十二而一是我国古代劳动人民在计算圆柱体积的方法。 周是指底面周长，周字相乘是指底面周长乘底面周长，也就是底面周长的平方以高乘之，再用它乘高 十二而一，可以理解为十二分之一，也就是除以十二。 得到这样的算式后，我们可以将它 c 替换成二派 r， 那 么 c 平方就写成二派 r， 括号的平方乘高，再除以十二， 进一步展开，可以得到四派平方 r 平方乘 h 除以十二。这里将四和十二进行约分， 因为圆周率的径四值取的是三，所以可以将 pi 平方中的一个 pi 和分母当中的三相约分，整理算式以后，得到 pi、 r 平方 h 与我们现在计算圆柱体积的方法是一致的。你能用同样的方法推算古代劳动人民计算圆锥的方法吗？ 这个问题留给同学们课后自己去研究学习。到这里我们不得不感叹中华民族劳动人民的智慧结晶，以及我国灿烂悠久的文文明历史。 我们要循着古人的足迹，在研究数学的道路上继续孜孜不倦。有关圆柱和圆锥单元的学习，到这节课就高一段落了， 你对自己的表现还满意吗？做一个客观的评价吧。在这个单元的学习当中，我们不断的通过观察、操作、比较、推理，成功的解决了许多的问题。 同学们一直在尝试对自己解决问题的过程和结论做出合理的解释，努力寻找他们本质上的联系，这就是反思的过程，希望大家能这样继续保持下去。 今天的数学课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是南京市民生实验小学陶维习老师，今天我们要学习的课题是圆柱和圆锥的回顾与整理。 通过本单元的学习，我们已经认识了圆柱和圆锥。这节课我们将对本单元的知识进行系统的回顾与整理， 通过整理进一步加深对圆柱、圆锥特征的认识，解决常见的有关圆柱表面积的问题。 首先我们来回忆一下圆柱和圆锥有哪些特征？怎样来计算圆柱的表面积？ 解决有关表面积的实际问题时要注意什么？你是怎样发现圆柱和圆锥体积公式的？圆柱和圆锥的体积公式之间有什么样的联系？ 有关于特征，我们来看一看。圆柱有上下两个底面，是两个完全相同的圆形， 还有一个侧面是一个曲面，展开后是一个长方形或正方形，两个底面之间的距离是圆柱的高。圆柱有无数条高 圆锥，有一个底面是圆形，侧面也是一个曲面，展开后是一个扇形。圆锥的顶点到底面圆心之间的距离是圆锥的高， 圆锥只有一条高。我们还学习了圆柱的侧面积和表面积。我们先来看看侧面积，把圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形 或正方形，这个长方形的一条边等于圆柱的底面周长，它的棱边等于圆柱的高， 因此圆柱的侧面积等于底面周长乘高用字母表示是 s 侧等于 c h。 有时候题目中没有直接告诉我们圆柱的底面周长，也可以通过派 d h 或者是二派 r h 来求圆柱的侧面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和叫做圆柱的表面积， 所以圆柱的表面积等于侧面积加底面积乘二。 在解决有关圆柱表面积的实际问题时，要正确判断问题中求的是哪几个面的面积，在灵活运用面积公式相应解答。圆锥表面积相对较为复杂，在小学阶段我们暂不研究。 还记得我们是怎样推导出圆柱体积公式的吗？先来回忆一下。圆柱体积是通过把圆柱进行切割拼合， 随着平均分的分数越来越多，拼成的物体就越来越接近一个长方体。拼成的长方体的体积与圆柱的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积 高，等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高，用字母表示是 v 等于 s h。 转化后的长方体和圆柱相比，体积不变，形状变了，表面积也变了。 你知道表面积是怎样变化的吗？和原来的圆柱相比，长方体的表面积多了左右两个面，每个面的长相当于圆柱的高， 宽相当于圆柱的半径，所以增加的每个面的面积就等于半径乘高。 长方体比圆柱表面积增加的部分就是两倍的 r h。 根据这样的推导过程，我们来看这样的一道题。如图，把一个圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体， 表面积比原来增加了二十平方分米。圆柱的体积是多少立方分米？题目中告诉我们表面积增加了二十平方分米， 这表面积增加的二十平方分米就是刚才说到的两个半径成高长方形，也就是二 r h。 我们可以先用二十除以二，得到增加的每个小长方形的面积是十平方分米。 题目中告诉我们，圆柱的高是五分米，那么半径就用十除以五等于两分米。 有了底面半径和高，就可以求出圆柱的体积了。用二平方派乘五等于二十派立方分米，圆柱的体积是二十派立方分米。 接下来我们来回忆圆锥体积公式又是如何推导的呢？ 实验时，我们准备了等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个，在圆锥形容器里装满沙子，再倒入空的圆柱形容器里，正好三次可以倒满， 说明圆锥的体积正好是与它等底等高圆柱体积的三分之一。由此，圆锥的体积等于底面积乘高乘三分之一，用字母表示是 v 等于三分之一。 s h 以上的这些有关圆柱圆锥的基本概念你都理清了吗？下面我们来看一些练习，请同学们看第一题。填表前，请同学们要仔细观察表格中的已知条件以及单位， 告诉我们底面半径是两厘米，圆柱的底面直径就是四厘米，求表面积。我们用二平方派乘二加四派乘五 算出两个底面积和侧面积的和等于二十八派平方厘米，再求体积用二平方派乘五等于二十派立方厘米。 第二个圆柱已经知道了底面直径是十米，底面半径是五米，高八米，求表面积，用五平方派乘二加十派乘八等于一百三十派平方米， 体积用五平方派乘八等于两百派立方米。 下面我们来求圆锥，已知底面直径是五厘米，底面半径是二点五厘米，高一点二厘米，体积二点五的平方块乘一点二乘三分之一。 这里在计算时，可以先用一点二和三分之一约分得到零点四，零点四先乘一个二点五等于一，再用一乘二点五派等于二点五派立方厘米。 第二个圆锥底面半径是零点六米，底面直径是一点二米，高一点八米，求体积用零点六的平方派乘一点八乘三分之一， 通过约分得到体积是零点二一六派立方米。 到这老师要提醒同学们在计算时要注意技巧，进行减算，能约分的要先约分，能凑整的可以先凑整。 接下来我们来看第二题。一种压路机的前轮是圆柱形的，轮宽一点六米，直径零点八米。前轮滚动一周压路的面积是多少平方米？ 前轮滚动一周压路的面积是多少平方米？你是怎样理解的呢？ 轮宽相当于圆柱的高，底面直径是零点八米。 压路机前轮滚动一周，就相当于把它的侧面积展开后平铺在路上。所以前轮滚动一周压路的面积就等于圆柱的侧面积， 侧面积等于底面周长，乘高列式为零点八派乘一点六等于一点二八派平方米。 解决完这道题目，同学们可以回忆一下，在本单元的学习中，我们还碰到过哪些求圆柱侧面积的实际问题呢？ 是的，例如求圆柱形烟囱需要多少铁皮，求通风管的面积，还有给圆柱形的柱子四周刷上油漆或涂上油漆的面积。 第三题也是一道与圆柱表面积相关的题目，一个圆柱形水桶高六分米，水桶外围的一圈铁箍大约长十五点七分米。 第一问，求做这个水桶至少要用木板多少平方分米？ 观察直观图，我们发现求这个水桶至少需要多少木板，就是求水桶的侧面积加一个底面积的。和 题目中告诉我们水桶外围的一圈铁箍长大约是十五点七分米， 这就是圆柱底面周长。可以通过底面周长先求出底面半径，用十五点七除以三点一四除以二，得到底面半径是二点五分米， 底面积是二点五平方，乘派等于六点二五派平方分米，侧面积用十五点七乘六，这里可以看作五派乘六等于三十派平方分米， 再将两者相加，等于三十六点二五派平方分米。 注意，这里加的是一个底面积。想一想生活中还有哪些情况像这样求圆柱的侧面积加一个底面积的情况呢？ 例如，求一个圆柱形鱼缸玻璃的面积。再比如，给一个圆柱形的水杯做布套，求布套的面积，这些求的都是圆柱的侧面积和一个底面积之合的情况。 第二问，求这个水桶能乘一百二十升的水吗？ 看能不能乘一百二十升的水，就要把水桶的容积和一百二十升作比较。 求水桶的容积，我们可以用上一题求出的水桶底面积，六点二五派乘高六，得到三十七点五派等于一百一十七点七五立方分米。 一百一十七点七五立方分米等于一百一十七点七五升，小于一百二十升。 由于题目中没有告诉我们木板的厚度，我们可以将水桶的体积等同于它的容积， 并且木板有厚度，水桶的容积一定小于它的体积，而体积已经小于一百二十升了，那么它的容积也一定比一百二十升小，所以这个水桶盛不下一百二十升的水。 关于圆柱表面积计算的几种情况，我们可以归纳一下。第一种，有底有盖。这种情况计算时要用一个侧面积加上两个底面积， 三个面一个也不能少，例如，求有盖有桶的表面积。第二种，有底无盖。这种情况计算时用一个侧面积加一个底面积，两个面相加。 例如，做一个无盖水桶需要多少铁皮？第三种，无底无盖。 这种情况两头空中间通，只求一个侧面积，例如，求通风管需要多少铁皮？ 现在我们来看看这样的一道题。一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，大棚的占地面积为八十平方米，横截面是一个半径为两米的半圆， 求搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜。 大棚的占地面积是指所占地面的面积是一个长方形，这个长方形的长相当于半圆柱的高，宽相当于底面直径。 题目中告诉我们半径是两米，那么直径也就是长方形的宽是四米。我们可以先用大棚的占地面积除以底面直径，得到这个半圆柱的高， 列式为八十，除以二乘二的积等于二十米，这是高。下面我们要思考问题中搭建这个大棚需要的塑料薄膜分为哪几个面， 那就是侧面积的一半和两个半圆。我们先来求侧面积的一半，可以想成底面周长的一半 乘高，直接用半径乘派乘高列示为二派乘二十等于四十派平方米。接下来可以将两个半圆拼成一个完整的圆， 两个半圆的面积就可以看成一个底面积。用二平方乘派等于四派平方米，再将两者相加等于四十四派平方米。 第二问，大棚内的空间大约有多大？大棚内的空间也就是求半圆柱的体积， 已经知道了半圆柱的高和半径，用二的平方派乘二十除以二等于四十派平方米。 由于圆柱体积的一半，所以我们算出圆柱的体积，不要忘记除以二。 这节课我们回顾了本单元学习的有关圆柱与圆锥的一些基本概念，以及圆柱、圆锥之间的联系。 通过练习，我们具体分析了有关圆柱表面积的几种情况。同学们在课后可以自己进行相关整理， 从整体上把握所学知识的实质，体会他们相互之间的关联，有利于我们在脑海中形成完整的知识结构。网状图 今天的数学课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们，大家好，我是南京师范大学附属小学的张来老师。今天我们要一起来学习苏教版小学数学六年级下册第三单元 选择策略解决实际问题的第一课时。 通过这节课的学习，我们要学会选择和运用合适的策略解决实际问题，进一步体会策略在解决问题过程中发挥的作用。 首先我们来回顾一下我们以前学过了哪些解决问题的策略呢？ 同学们一定能想到很多，三年级时我们学习了从条件出发，从问题想起的策略。四年级我们学习了列表画图的策略， 五年级学习了猎取转化的策略，到了六年级，我们还学习了假设的策略。那请你想一想，什么时候我们要用到策略呢？ 对遇到陌生的、稍复杂的解决问题，我们就要用这些策略来帮忙。今天我们就要继续学习选择和灵活运用策略解决实际问题。 一起来看这道例题。星河小学美术组男生人数占总人数的五分之二，已知女生有二十一人，男生有多少人？ 读完题是不是觉得有些复杂？想一想这道题复杂在哪呢？ 你一定发现了男生人数占总人数的五分之二这句话中，单位一是总人数。 根据我们对分数意义的理解，可以知道总人数乘五分之二等于男生人数，或者男生人数除以五分之二等于总人数。 可是题目中只告诉我们女生有二十一人， 男生人数和总人数这两个条件都不知道是多少。也就是说，男生人数占总人数的五分之二和女生有二十一人，这两个条件之间没有直接的联系。 看来我们需要运用学过的策略来分析数量关系，想想能否化难为易，找到解答问题的思路。 首先我们可以来画图，根据男生人数占总人数的五分之二， 我们可以先画一条线段，表示美术组的总人数，然后把它平均分成五份，其中的两份就是男生的人数， 剩下的就是女生的人数。这里我们就可以把女生有二十一人在线段图中加以表示， 最后在线段图上标注出男生有多少人这个问题。 从图中我们可以看出，男生占总人数的五分之二，那么女生就占总人数的五分之三， 这样女生二十一人和女生占总人数的五分之三相对应， 题目就变简单了，我们可以用二十一除以一减五分之二的差，算出总人数有三十五人。 接着用总人数乘五分之二，算出男生有十四人。 当然在这里我们也可以用总人数三十五减去女生有二十一人，算出男生有十四人。 还有的同学会从线段图中发现，男生占了五份中的两份，女生占了五份中的三份， 三份有二十一人，就可以算出每一份是七人，接着用七乘二算出男生有十四人。 通过画图就使我们的数量关系更加的清楚和直观。 当然受前面的启发，也有同学会想到其他数量关系，例如男生占女生人数的三分之二，或者女生占男生人数的二分之三。 虽然还是分数关系，但因为男生和女生他们之间建立了直接的联系，题目就变得容易多了。 还有的同学会用转化的策略，根据男生占总人数的五分之二，我们可以知道总数有五份， 男生占其中的两份，那么女生就是剩下的三份，这样我们就可以转化成男生和女生的人数，比是二比三， 分数转化成了比，题目就变成了六年级上学期学过的按比例分配的实际问题了，相信大家肯定很熟悉。 当然算法和前面的基本一样，先算出一份是多少，再算两份是多少人。 还有的同学会用到假设的策略来列方程。 根据提议，我们可以找到数量关系，总人数减男生人数等于女生人数。 再根据题目中的条件，男生人数占总人数的五分之二，我们可以知道总人数是单位一， 这样我们就可以设总人数为 x 人，男生人数就是五分之二 x 人。 根据前面的数量关系，我们就能列出这样的方程，并通过计算得出总人数是三十五。 要提醒大家注意的是，现在算出的三十五人是妹数组的总人数，我们还要用三十五乘五分之二来算男生的人数。 刚刚我们用画图转化假设的方法都求出了男生有十四人，那该怎样检验答案是否正确呢？ 可以用男生的十四人加上女生的二十一人，算出总人数是三十五人，再看看男生人数是不是总人数的五分之二， 通过计算发现结果正确，这时我们就可以写上答句。答，美术组男生有十四人。 现在让你解决这个问题，你准备采用什么策略呢？ 有同学会用画图的策略，这样能使数量关系更直观更清楚。 有同学会选择转化的策略，把分数转化成比或者分数，更容易理解数量之间的关系。 还有的同学会选择用假设的策略来列方程，可以表示出题目中的等量关系。 虽然这些策略不同，但都是把较为复杂的问题变成了我们已经学过的简单的问题加以解决，起到了化难为易的作用。 下面就让我们一起来做几道练习题吧。第一题， 一杯果汁喝了几分之几，还剩几分之几，你喝的和剩下的果汁比是几比几 会甜吗？仔细看图，从图中我们可以知道，一杯果汁平均分成了五份，喝了其中的两份，还有三份没有喝。 看懂了提议再来填空就容易了。一杯果汁喝了五分之二，还剩五分之三，已喝的和剩下的果汁比是二比三。 第二题，花彩带与红彩带长度的比是五比七， 花彩带比红彩带短七分之二，那红彩带比花彩带长几分之几呢？ 这里要提醒大家，这个填空和前面一个填空的单位一是不一样的，我们需要仔细看图，认真填写。 答案是，红彩带比花彩带长五分之二， 看出来了吗？这道题是考察我们分数与比之间的转化，大家不仅要能填出这些答案，还要能举一反三，想一想其他的信息呢。 那么第一题，根据图，其实我们还可以写出，已喝的与整杯果汁的比是二比五，剩下的与整杯果汁的比是三比五。 第二题，花彩带有五份，红彩带有七份，一共就是十二份。 这样我们还能想到花彩带占总长度的十二分之五，红彩带占总长度的十二分之七。 如果这些你也都能想到，说明分数和比的转化已经非常熟练了。 再来看这样一道练习题，赵大娘家养的公鸡与母鸡之数的比是四比七， 公鸡比母鸡少三十只，赵大娘家养的公鸡有多少只？ 先想一想你准备用什么策略进行解答，记得还要检验呀！ 是的，题目中告诉我们公鸡与母鸡之数的比是四比七，我们就可以用画图的策略来进行表达， 公鸡画同样多的四份，母鸡就画这样的七份。 在线段图上我们能清楚的看出公鸡比母鸡少三十只，在对应的就是三份的位置。在这里我们就要把公鸡比母鸡少三十只加以标注， 并且标出问题。接下来我们就可以列这样的算式进行解答，算出公鸡有四十只， 该怎样检验呢？先用四十加三十算出母鸡有七十只，再算一算公鸡与母鸡之数的比是四比七， 答案与题目中条件一致，说明我们的解答是正确的。答，赵大娘家养的公鸡有四十只。 通过今天的学习，我们首先回顾了小学阶段学过的解决问题的许多策略， 接着通过例题的学习，明白了如果能合理选择策略，就能起到化难为易，化繁为简的作用。最后再根据练习对策略进行了熟练的运用。 好了，今天的学习就到这里，谢谢观看同学们再见！ 同学们，大家好，我是南京师范大学附属小学的张来老师， 今天我们要一起来学习苏教版小学数学六年级下册第三单元选择策略解决实际问题的第二课时。 希望同学们通过这节课的学习，知道同一个问题可以用不同的策略进行解决，并且根据问题的特点灵活选择策略，分析数量关系，寻求解析思路，提高解决问题的效率。 首先我们来看例题，全班四十二人去公园划船， 租十只船正好坐满，每只大船坐五人，每只小船坐三人。租的大船小船各有多少只？ 题目中告诉我们总人数和船的总支数， 还知道每只大船和每只小船分别坐几人，要我们求大船小船分别有多少只？ 同学们，你们觉得解决这两个问题有困难吗？ 题中要求两个未知量，而这两个未知量都不能根据已有的条件直接求出，看来数量关系还是比较复杂的。 我们不妨先来猜一猜，大船有几只，小船有几只呢？ 可能有同学会猜，大船有九只，小船有一只。也有同学会猜，大船有五只，小船有五只。 发现了吗？大家虽然猜的数量各不相同，但大船和小船之数之合都是时之总数，是没有变的。 那哪一个答案是正确的呢？看来光猜是不够的，我们还是要运用学过的策略来尝试着解决这个问题。 首先可以用画图的策略来解决这个问题， 先画出十只大船，每只大船坐五人，十只大船一共就能坐五十人， 与全班实际人数比就多出了八人，为什么会多这八人呢？对的， 因为我们把十只船全看成了大船，所以人数会多。接下来该怎么办呢？ 我们需要把一部分大船改成小船，去掉多出的八人，让总人数正好是四十二人， 一只大船坐五人，一只小船坐三人。如果我们把大船改成小船，每只船就要去掉两人， 一共多出八人。在这里我们就要去掉四个二，所以应该有六只大船，四只小船。 如果我们全画的是小船呢？ 可以先画出十条小船都坐满的话，一共能坐三十人，比四十二人少了十二人，我们就要把一部分小船改成大船。 我们知道一只小船改成一只大船，每只船要增加两人，一共需要增加十二人，我们一起来增加一下吧！ 二、四、六，八，十，十二， 看出来了吗？六只小船改成了六只大船，这样总人数就和已知条件一致，我们同样可以得到大船有六只，小船有四只。 刚才我们通过画图把十只船全部看成大船，或者把十只船全部看成小船后，得到的人数会和实际人数有一定的差别。 这时我们就需要通过调整确定了大船和小船的支数，用画图的策略表示，思考的结果直观而又清楚。 其实我们还可以把大船小船合起来，是十只的情况都列举出来，从大船九只，小船一只开始响起。 大船九只，小船一只，一共可以坐四十八人，比四十二多了六人。 这时我们就需要减少大船的支数，增加小船的支数。 大船八只，小船两只，一共可以坐四十六人，比四十二人多了四人，需要继续减少大船之数。 大船七只，小船三只，一共可以坐四十四人，比四十二人多两人。还要调整 大船六只，小船四只，刚好能坐四十二人。 大船五只，小船五只，一共可以坐四十人，比四十二人少了两人。 从表中我们可以看出，大船之数减少一只，小船之数增加一只后，总人数就会减少两人。 那么同学们想一想，还需要继续往下猎举吗？ 是的，不需要了。当大船五只，小船也是五只时，能坐的人数已经比四十二少了， 说明大船的数量不能再减少，所以不需要继续猎举。 刚才，同学们通过一一列举，找到了大船和小船的支数， 通过有序列举，算出了每一种情况下称作的总人数，再与四十二人进行比较，最后确定了大船有六只，小船有四只。 除了画图一一列举的策略外，我们也可以用假设的策略， 假设大船和小船同样多，各有五只，这时一共能坐四十人，比四十二人少两人，说明大船少了，要增加， 增加一只大船，就要减少一只小船，这时总人数刚好是四十二人。 根据总人数调整，我们也能得到大船有六只，小船有四只。 同学们，如果是列式计算，你会怎样解答呢？ 可以按画图的思路来解答。假设十只都是大船，那么十只大船一共能坐五十人， 但是实际只有四十二人，多出了八人，看来需要把大船调成小船，一只大船调成小船，就少坐了两人。 八里面有四个二，那么小船就有四只，大船就有六只， 这样的方法你听懂了吗？那如果假设十只都是小船呢？ 十只小船一共能坐三十人，但实际是四十二人，少了十二人，我们就需要把小船调成大船， 一条小船调成大船，就要多坐两人。十二里面有六个二，说明有六条大船，剩下的都是小船。 做完了，我们当然也应该进行检验，先算一算六加四是不是十只船， 再用大船和小船算出每种船的人数，进行相加，算出总人数是多少， 我们发现答案符合题目中的条件，说明解答是正确的，所以答案还是租的。大船有六只，小船有四只。 其实我们在列式的时候也是用到了假设的策略，把十只船都看成大船或者小船，再进行调整。 如果有同学根据题目中的等量关系列方程计算也是可以的。 下面我们来回应一下刚刚的解析过程。我们分别用到了画图、 列举假设的策略，这些都是解决问题的有效策略。 分析和解决同一个问题可以用不同的策略，当然也要学会根据具体问题灵活选择策略。那么方法不同，这里有什么相同的地方呢？ 是的，都是先假设大船有几只，小船有几只，再按照大船和小船相差两人进行思考。 如果总人数比四十二人多，就要把大船调成小船。如果总人数比四十二少，我们就要把小船调成大船， 通过合理的调整求出正确的结果。 下面我们一起来看练习舞的第四题，你准备采用什么策略解决这个问题呢？ 首先我们先来读一读题目，六年级同学制作了七十八件蝴蝶标本贴在九块展板上展出， 每块小展板贴六件，每块大展板贴十件，两种展板各有多少块？ 通过读题我们会发现标本的总数是七十八件，这个数量是比较多的。如果我们用画图的策略来解答，会显得不是那么方便。 所以我们可以先假设两种板的快数，再通过调整找到答案。 先假设大展板有五块，小展板有四块，通过计算可以算出标本的总件数是七十四件，比七十八件少了， 该怎么调整呢？ 总数少了四件，说明大展板少了，所以我们要把小展板换成大展板， 变成大展板有六块，小展板有三块，这时一共可以展出的标本刚好就是七十八件。 在调整的过程中，抓住少了四块来进行准确分析，这非常重要，只有分析对了，我们才知道该怎样调整。 最后我们可以知道答案是，大展板有六块，小展板有三块。 今天这节课，同学们运用了画图、列举、假设等有效策略来解决问题。 可见，解决同一个问题，我们可以采用不同的策略，我们在这里需要根据问题合理选择，自主辨析，寻找恰当的策略。 好了，今天的学习就到这里，谢谢观看同学们，再见！

我们来看一下五年级这个列测，第六页列方程，解决稍复杂的实际问题。一、这个课时，首先第一部分呢是让你填空，我们来看一下这两个填空题啊。 首先说五年级值数 x 科，六年级值得科数比，哎，我们一边读题可以一边把关键字儿给它圈起来，说这个六年级值得数比五年级的二倍还多九科。 这句话其实我们在三四年级的时候讲这个和差倍应用题，你就可以通过画线段图，把这两个量呢完整的给他表示出来，谁多谁少，谁是一份，谁是两份，再多九颗， 这样的话是六年级比五年级的两倍多九颗。比如说我们原来在画图的时候，把五年级就是笔字后边这个呢当成是一份去画线段图的， 现在告诉你五年级是 x 科，那五年级的二倍，那就是二 x 还多九科，再加九就可以了，所以六年级就是二 x 加九。第二题说黄河的长度是 a 千米是黄河笔，来再圈一下这个笔字， 黄河比长江少，长度少八百三十六米，那谁比谁少呢？是黄河比长江少，所以长的长度呢是黄河，加上这个八百三十六就是 a， 加八百三十六就可以了。第二题解方程，第一步写解等号，这一题依次往下解就可以了。 第二第三题呢是把数量关系补充完整，他其实和第一题很像啊，说汽车每小时行六十四千七千米，这是汽车的速度，汽车比 还是全关键字，比自行车的每小时的路程的两倍还多，二十七就是汽车快自行车慢自行车的两倍，再加上二十七才是 汽车的每小时的路程，也就是它的速度，所以我们用汽自行车每小时行的路程乘二再加二十七就可以了。第二题很类似啊，说科技书的本数比故事书的三倍还少 二十一本，是科技书，比故事书的三倍还少二十一本，所以就是故事书的三倍。故事书的三倍，那就是故事书去乘三少二十一，你就减二十一，算出来就是科技书的本书了。这个地方有个小技巧， 谁是谁的几倍是字，我们可以看成什么呀？除号，那谁的几倍多几，或者谁的几倍少几这个的这个字，其实我们可以把它认证，什么呀？是乘号， 这样的话就是故事书乘三减二十一，自行车的速度乘二多二十七。哎，就这个意思来。接下来第四题是完整的列方程解应用题。 一条水渠已经修了一零五五米，比未修长度的四倍还多十五米就是已修，比未修多的四倍还多十五米。问你未修的， 那鼻子后面就是未修的，所以嘛，我们把这个未修的长度设成 x， 未修的四倍，那就是四 x， 还多十五，你就加十五，结果等于已经修的长度就可以了。 第二题，一个等腰三角形。首先你要知道等腰三角形，这两条腰是一样长的，它的周长就是两个腰加上一个底边的长度， 所以告诉你腰长是十八厘米，问底长是十八厘米，问你腰长是多少，那我们设腰长为 x 的 话，那就是底长加上两个幺二 x， 等于的是四十二，然后解方程就可以了。 好，我们来看最后一个突然应用这个出租车收费标准，这跟我们的生活实际就很契合了啊，说某市出租车收费标准是里程不超过三千米，负八元 以后每增加一千米付二点五元，不够一千米按一千米算，这是什么意思呢？比如说我就走了三点五千米，首先三千米是按八块钱去付，剩下的零点五千米呢， 是按照一千米去付的，只要你超过了三千米以外的部分，不是说四舍五入，哪怕你走了零点二千米，也是要按照一千米算，他是不足一千米，按一千米算，说小红乘出租车从家到少年宫一共付费十八元，问你他的距离是多少千米， 让你回答的什么呀？整数就让这个千米呢？要算出来是整数的就可以了。那首先我们刚刚了解了这个分段计价，就是说三千米以内都是八块钱，三千米以外的部分，比如说我走了二点一千米， 那这二点一千米也是，要不是四舍五入，也是按照多少千米三千米去算的，就这样的一个区别。那接下来我们来解下这道题，说问你从家到少年宫有多远？让你列方程来解答的话，那第一步我们先把这个问题呢，假设成 x， 解设加距少年宫 x 千米，一共是 x 千米，怎么收费呢？首先不管是什么样的前三千米都是负八块钱，所以首先有个八块钱的存在，超出三千米的部分，那就用 x 减三，这就是超出三千米的部分， 那每千米呢，按照二点五元去付费，所以这部分是按照二点五元一千米去付费的，这样两部分加起来一共就是十八元了，我们来解下这个方程。第一步，先算括号里面的乘法分配率，去括号二点五乘进来，那就是二点五， x 减去二点五乘三，那就是七点五，结果等于的是十八。这个地方我们可以先把八和减七点五算出来，八减七点五，剩零点五，那左边就剩的是二点五， x 加零点五，结果等于的是十八， 那二点五 x 就 等于十八，减去零点五，二点五 x 就 等于十七点五。最后 x 算一下，那就是十七点五，去除以二点五， 列个数字算一下，十七点五除以二点五。第一步，商七五七，三十五二，七十四，十七刚好可以除完，所以算出来 x 就是 七千米，刚好算出来就是它符合要求的整数。最后一步呢，写答句就可以了。 哎，这就是一段分段计价问题，我们用列方程来解决。

各位同学们好，我是数学史老师，今天我们来看一下四年级下册校内练习册第十三页的拓展应用，他说小猴和小熊练习跑步，小熊的速度是二百五十米每分，他跑了十六分钟，小猴想让自己跑的路程呢？是小熊的二倍， 如果时间相同的情况下，那我们要看清楚啊，时间相同，路程是他的二倍。首先路程等怎么求？路程等于时间乘速度，所以就是二百五十乘上十六，那么这个得到答案是四千米， 这个是小熊跑的路程，那猴跑的路程要想是他的二倍，所以就是四千乘二，得到的是八千米， 那要保证时间相同，也就他也要跑十六分钟。所以求速度等于路程除以时间也就八千除以十六，等于的是五百米每分，所以我们这个题的得到答案就是五百米 每分，最后写答就可以了。然后第二题，如果他们跑的速度相同，那时间又是多少？同样路程是不依然是八千，速度是二百五十米每分，所以八千除以二百五，同时划掉一个零， 相当于用八百除以二十五，那么这个题得到答案是三十二分钟，最后写答就行了，小猴跑的时间就是三十二分钟。 接下来我们再来看一下第十四页的拓展应用，他说在方框内填上合适的数字，使得最终等式成立。这个题啊，答案并不唯一，他要的是两位数乘两位数， 所以也就是说，其实最简单的做法是什么呢？我们把这个十二进行分开，十二能写成十二，一千，二百能写成十二乘一百， 但因为一百是一个三位数，所以我们把它变成两位数就行了。给他缩小两倍，变成五十，那他就扩大两倍，变成二十四。所以这个题答案就是二十四乘五十啊。当然这个答案不为一，老师说其中一种思路， 那同样这个题也是一样道理啊，最简单的方法，两千八百可以变成二十八乘一百。所以呢，这题第一问答案二十八乘一百直接就出来了啊，比较简单。 然后再往后看一下第十六页的拓展应用，他说小虎在计算一个三位数乘十位数的题目时呢，不小心将整十数末尾的零漏掉了，那我们随便举一个啊，三位数，比如说一百乘十 是不等于一千，他不小心把这个零漏到了，就变成一，那一百乘一是不就一百？所以一千变成一百是不缩小了十倍。 所以我们漏掉一个零，其实代表的含义是缩小十倍。那对比出来，是不是现在的数偏小，而原来的数偏大？所以我们画一个图，现在的设为一倍，那原来的数就是它的十倍，所以我们要画等同的十厘米。 等同的十厘米，看到了没有啊？然后呢？正确的结果跟呃比原来的结果，那现在是什么？现在就是错误的结果呗，原来才是正确的结果，比原来怎么了？少了二千四百八十四， 所以会发现两千四百八十四恰好是我们之间相差的九倍，那求一倍用除法，所以是两千四百八十四，去除以九。那我们来算一下答案，得到答案是 二千二二百七十六。然后人家问题问正确的结果，正确的结果是不得扩大十倍，所以二百七十六乘个十 等于的是两千七百六十，这是我们第十六页的拓展应用。接下来我们再来看一下第十七页的拓展应用。 十七页拓展应用，他说呀，呃，用零、二、三、五、八这五个数字组成一个两位数和三位数，要是乘积最大，应该怎么填？我们说了乘积最大，那你大数就要往前放，所以最大的两个数是五和八， 然后接下来就选择二和三，最后一个是零，然后如何配呢？我们说乘积最大，怎么就能乘积最大？举个最简单例子，比如四四可以写成一加三，二加二，但是一乘三等于三，二乘二等于四。发现这两个数越接近的时候，乘积越大， 那怎么就能越接近呢？那让我的大数小一点，小数大一点，是不是这两个数就会越接近了？所以那我们匹配的原则叫什么？匹配的原则叫大配小， 小配大，看到没？大数越小越好，所以五和八来说是五小八大，二和三来说是二小三大，所以大配小，小配大。 至于零无所谓，因为零在末尾，他跟着谁都无所谓。所以是可以是五十三乘八百二十，也是八十二乘五百三十啊，都有可能。那么这个题就有两个答案，这是最大的。 那要想成绩最小，首先在选数上，你就得先选最小的两个数，但是因为首位不能为零，所以首位呢，只能选二和三，其次选零和五，最后选八。 然后接下来怎么配？还是标大小啊？这是小，这是大，零和五来说零小五大。那我们刚说了，最大的原则是大配小，小配大，那最小的原则是不就大数越大越好，小数越小越好，所以就是大配大，小配小， 大配大，小配小，那就是二十乘三十五。然后至于这个八跟着谁，那我们要明白，你是不大数越大越好，所以 让这个大数越大一点越好，所以八跟着这个三走啊，八跟着三走，那么得到答案就是二十乘三百五十八，这是我们第十七页的拓展应用。 接下来我们再来看一下第二十页的拓展应用，他说让你想办法又快又准的算出零一零二零三，一直加到二零一九的结果。那这个题我们可以怎么做？根据题目中的意意思啊，他不是让你想办法最快吗？ 那我们其实就会发现，每一个数都是两千两千，那从两千零一到两千零一十九是不有十九个两千，那十九个零两千就是三千八百。接下来把末尾的一加二加三加四一直加到十九，给他加起来就可以了呀， 对不对？一直加起来就可以了。然后这个题呢，是满足我们之前学过的一个东西，叫等差竖列。 等差竖列有一个求和公式，它等于首项加末项乘项数除以二，所以就是一加十九一到十九十九个数再除以二，也就二十乘十九除以二等于一百九十。 那最后我们直接把三千八百和一百九十加到一起，就等于三千九百九十，那是不我们就做出来了啊？这是我们这个题的一个做题思路， 还有这少写了个零，不好意思啊，是三万八千加一百九十，那就等于三万八千一百九十啊，就是我们这个题。