安徽八年级关于几何的题目

快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是安徽 c 二零联盟一模数学的几何压轴大题， 题目给了我们一个等腰直角三角形 a、 b、 c、 d 点在 b、 a 延长线上， e 点在 b、 c 边上，并且 d 一 和 d、 c 是 相等的，所以这个三角形是一个等腰三角形，然后再做 e、 g 垂直 ab， 他的题干就是这么的简洁。不知道大家读完题目之后有什么感想啊？反正我的感想就是，这道题他延续了安徽省前两年中考几何压轴题的特点，一是难度不大，二是不需要辅助线。 好，我们先来看第一小问，他让我们证明 e、 g 和 a、 d 是 相等的，那要证线段相等。我们的第一想法是不是去找全等三角形啊？ 可以看到 e、 g 在 直角三角形第一极中，而 a、 d 也在一个直角三角形中，并且这两个直角三角形的斜边还是相等的，所以说我们要么再找一组相等边， 或是再找一组相等角，要是根据题目条件来看的话，显然是不是倒角要方便一些啊。 可以看到角 e、 d、 g 是 等于 r 法减四十五度的，而这个角 d、 c、 a 它也等于 r 法减四十五度，所以角 e、 d、 g 和角 d、 c、 a 是 相等的，那现在全等条件就够了吧，所以说 e、 g 和 a、 d 确实是相等的。 好，再来看第二小问，题目说若 a、 f 和 c、 f 的 长度都是二，然后让我们求 cd 的 长度， 这答案是不是都写在脸上了呀？因为很显然三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 c、 d 是 相似的，所以 af 比 ad 等于 ad 比 ac， 这样 ad 的 长度就出来了，然后再用勾股定律就能把 c、 d 的 长度算出来了。 好，我们再来看最后一小问题目说若 a d 比 a， b 等于 c， 一 比 b 一 等于 k， 然后让我们把 k 的 值求出来。 就这个问题，怎么说呢？如果你还需要加辅助线的话，那说明你的反应还不够快。因为第一问我们已经证明了 e g 和 a d 是 相等的，又因为三角形 b g 是 等腰直角三角形，所以 b g 和 e g 也是相等的。 那也就是说啊， b 七比 ab 也等于 k， 然后再根据平行线分线段成比例， a 七比 b 七等于 c， 一 比 b 一 等于 k。 发现问题了没有？这个时候 a 七比 b 七等于 b 七比 ab 等于 k。 那 看到这个东西，不知道你们有没有想到黄金分割比啊？ 去年广东中考是不是刚考过啦？所以说这个 k 它是等于二分之根五减一的，你学会了吗？

同学们好，今天我们一起来看一道八年级下菱形期中必考题，今天两句口诀教你了解问题。来看题目，菱形 a、 b、 c、 d 中角 d， a、 b 等于六十度 b， e 等于 e， c 等于二点， e 为 bc 中点，那么由中点加平行，我们会想到构造八字形全等。在这张图上，我们可以延长 f 一、 ab 构造这两个三角形全等，也可以延长 a、 e、 d、 c 构造这两个三角形全等。具体看题目要求。往后读 又告诉我们一个二倍角关系，即角 d、 f、 a 等于二倍的角 e、 a、 b。 那 么在菱形当中，我们由对边平行内错角相等，可以知道角 d、 f、 a 等于角 ab， 那这两个小角就是相等的。再根据平行加角平分线，我们可以得到等腰。据这两个口诀，我们就可以构造八字形全等，即延长 a、 e、 d、 c 交于点记，那么这里这两个三角形就是全等的关系 问题。让我们去求 c、 f 的 长度，那我们就设 c、 f 的 长度为 x， 那 根据全等可以知道， c、 g 和 ab 相等都等于四， a、 f 等于 f， g 等于 x 加四， d、 f 等于四减 x， a、 d 等于四。那所有的条件都集中在这个三角形 a、 d、 f 当中，这 a、 d、 f 不是 一个直角三角形，我们不能直接用勾股定律。再看题目条件， 角 d、 a、 b 等于六十度，那么这个角 d 就 等于一百二十度。过 a 做 a、 h 垂直于 c、 d 的 延长线，构造这样一个直角三角形，这个角是六十度，这个角是三十度。 那么对于三、六、九直角三角形，我们有三边的比，是一比二，比根号三。因此我们可以求出 a、 h 的 长度是二，根号三 h d 的 长度是二。 那么最后我们只要把 x 放入一个直角三角形中，用勾股定律就可以解决问题了，可以放在直角三角形 a h f 当中。接下来的任务就交给同学们了，评论区打出这道题目的答案。

我们都知道八年级的数学是整个初中数学的分水岭，尤其是在八年级的上学期全等辅助线的构造，那你知不知道到了八年级的下学期，我们要面对的就是除了八上的全等辅助线以外，还要增加两个重要的板块， 第一个是勾股定律，第二个是四边形。在八下的几何综合体里面，我们必须将三者融会贯通， 既要利用八上的辅助线构造，又要用八下的四边形的性质，还要用到勾股定力的计算，只有这样你才能够解决一个真正的几何综合题。好，我们来看一下。 首先题目告诉我们矩形 a， b， c， d， 菱形 e， h， f， g， 然后呢， a， g 是 等于 c h 的， 同时题目中给了我们矩形的一条边为八，另外一条边为四，让我们来求 a e 的 长度。 好，那么拿到这个题目以后，我们该怎么处理呢？首先你会发现这道题目中给的长度是四和八，我能用勾股的话，可以把 a c 呢先求出来，等于四倍的根号五，但是呢，并不足以去算出我们要求的 a 一， 所以这个时候我们肯定要去增加辅助线，或者说要用到四边形的性质了。那么这个题目中有没有明显的八上的辅助线的特征呢？很明显没有，既没有中点，也没有角平分，也没有所谓的角直角，所以这个时候我们就要发挥八下的四边形的性质。 题目中告诉我们矩形 a， b， c， d， 还有菱形 e， h， f， g， 那 我们来看一下图形的特征， 你会发现在这个图形中的话呢，有一条线， a， c 呢是贯穿的菱形和矩形的，它是我们 矩形的一条对角线，也是菱形的一条对角线，所以我们可以去利用四边形的对角线性质。 那么在这里的话啊，这个地方 g h 是 菱形对角线，我们此时将 e f 连接起来，那你就应该知道这个地方菱形的对角线是互相垂直平分的，也就说此时的 o g 的 话呢，也等于 o h 了， 所以这里出现了一条垂直平分，那么在几何题目中，给了一个 a g 又等于 c h， 所以 我们可以推导出的是 o a 呢等于 oc。 好，那么这样的话，四边形的性质呢，倒是用了，但是还是不足以去进行长度的计算呢，那此时怎么办呢？我们想一想，这个时候的话，通过四边形的性质，我们会发现这个地方的 e f 是 垂直且平分 a c 的， 那就说我们看到了一条垂直平分线，这个时候你就会想到八上我们所学到的垂直平分线的性质，当我们看到垂直平分线以后，我们可以做连接得等腰，所以在这里就融合了八上的常规辅助线的构造， 所以呢，我们可以将 c 和一连接起来，这个时候你发现根据垂直平分线定理，我们要求的 a 一 实际上就是等于 c 一 的。 好，那么到这里来以后呢，你会发现此时的长度的位置呢，做了一定的转换，那么这里有一个 b c 的 长度是四，所以在长度计算中，我们肯定更偏向于用勾股定律了。好，那你看这个 c e 所在的位置呢，它有一个直角三角形 b c e， 它只有一条边的长度是知道的，另外一条边的长度不知道，也就是我们没有办法直接求出，所以呢，可以想到勾股方程的思想，那这个时候我们不妨来设我们要求的 c e 为 x， 那 么就说 a e 的 长度也应该是 x， 这样的话我们可以表达出 b e 的 长度为八减 x， 所以 这个时候在 r t 三角形 b c e 里面，我们可以用勾股定律列出此时的方程， 所以你看这个地方其实难度系数并不高，但是如果你的思维没有达到，或者说你没有想过要融合三个板块啊，八上的辅助线，八下的四边形，还有勾股的话，那么这道题你肯定还是做不出来的。 所以在八年级下学期的学习过程中，我们一定要注意了，就是辅助线来源于八上，也可以来源于八下的四边形计算，一定是利用勾股定力为主导的，所以从整个思想方面，大家一定要做一定的改良和更新，你学会了吗？

马上要考的第一次月考压轴考点一定有二次根式求最值题型，尤其是这种二次根式求最小值问题，如果咱们用纯代数方法，是非常难求出他的最小值的，今天韩老师带你彻底学会用几何勾股定律的方法，三十秒钟即可求解，一定帮孩子收藏保存学习，同时这套马 上要考的月考成绩卷一定给孩子练习月考稳稳拿分。我们一起来看这道题。求根号下 x 的 平方加九加根号下七减 x 的 平方加十六的最小值是多少？那这个时候就一定要想到数形结合几何的方法来进行求解，那我们就要将这个式子给它翻译成几何语言。 这个式子中会发现这里九是一个平方数，而这里的十六也是一个平方数，那其实这种式子就是根号下 a 方加 b 方的一个形式， 想要将它变成一个几何图形，那其实就是直角三角形中一条直角边为 a， 一 条直角边为 b， 那 么于是乎咱们的斜边就是根号下 a 方加 b 方。因为直角三角形中满足勾股定律， 直角边的平方和是等于斜边的平方的，那么斜边开根其实就是根号下 a 方加 b 方， 所以在这个地方其实就是一个直角三角形，他的一条直角边应该是为 x， 另外一条直角边为三，那么斜边就是他。 那么接下来这就是另外一个直角三角形，他的一条直角边为七减 x， 另外一条直角边为四，那么斜边就是他，那所以这个时候我求的应该是这两个斜边的和的最小值，是不是我们就可以将它放到一起，然后用两点之间线段最小来 寻求解？那接下来我们就需要进行一下图形的构造了，那我们再来观察一下这个 x 和七减 x， 其实它的和是七，那我不妨先画一条长度为七的线段，在这条线段上 找一段为 x， 那 么剩下的其实就是七减 x， 那 么我们使得它为直角边，那再构造一条直角边为三， 那使得它为直角边，再构造一条直角边为四，那于是上面这个斜边就是根号下 x 的 平方加九，底下这个斜边就是根号下七减 x 的 平方加十六， 那现在求的是它俩和的最小值。因为 x 不知道，所以这个点的位置也不知道。这条线段的长度我不知道，所以它可以随意的移动，当它移动到使得 a、 b 和 c 共线的时候，那于是两点之间线段最短就达到了最小值。那现在我 求的其实就是 ab 的 长度，那 ab 怎么求呢？我们可以把它放在一个直角三角形中，我们可以将右边的四给他，移到左边，那所以这是四。我也可以将上面的七给他，移到下面，那这是七，那所以在这个直角三角形 a、 d、 b 中，咱们有的是直角边三加四为七，直角边为七，那所以斜边 a、 b 的 值就是七倍。根号二，它也是咱们求出来的最小值。这种方法你学会了吗？

同学们好，今天我们来讲解 c。 二零二模数学几何压轴体正方形 a、 b、 c、 d 中 e、 f 分 别是边 b、 c、 c、 d 上的点 b、 e 等于 c f， b， e 等于 c、 f。 那我们读到这个条件的话，你应该要想到全等三角形啊，三角形 a、 b、 e 是 全等于三角形 b、 c、 f 的， 因为正方形嘛， ab 等于 bc， 然后还有两个直角 s， a、 s 可以 证明全等。好，继续读题。 em 是 垂直 ap 的 em 垂直 ap， 那 么这个角是直角，这个大角 b 也是直角。读到这里的话，你应该要想到四点共圆。 哪四点共圆？ a、 b、 e、 m 这四个点共圆。为什么要考虑四点共圆呢？因为在解几何题的 第一步，我们想到的应该是要倒角啊，推倒角与角之间的数量关系。好，那我们来看题目啊！第一小题，证明角 a、 g、 b 等于九十度。第一小题是一个很简单的十字架模型。好，这个我们就不讲了啊，正，这两个三角形全等。第二小题， 若 a、 e 等于 e， p 等腰三角形等边对等角，如果这个角是阿尔法，那么这个角 p 也是阿尔法。两直线平行内缩角相等， a、 b 和 b、 p 是 平行的，所以这个角也是阿尔法。 然后啊，我们刚才想到了四点共圆， a、 b、 e、 m。 四点共圆，我们根据圆珠角定义倒角 角 c、 b、 m 也可以用阿尔法来表示，因为这个角啊，角 e、 b、 m 等于角 e， a、 m 同弧所对的圆周角相等， 然后有一只三角形 a、 b、 e 全等于三角形 b、 c、 f。 所以 这个角 b、 a、 e。 我 们也可以用阿尔法来表示。 好，我们导角导到这里，我们就可以求得阿尔法等于九十度角 b， a， d 等于三，阿尔法等于九十度，所以阿尔法等于三十，阿尔法等于三十度，那么这个角 p 就 等于三十度。 角一等于角二，角一等于角二，还有三角形全等啊！三角形 b， a， e 全等于三角形 d， a， n。 根据这两个三角形全等，可以得到 e， c 等于 c n， 而让我们求的是 c p 与 ec 的 比值，那么就等于 c p 与 c n 的 比值， c p 比 c n， 那 我们先求这个 c， n 比 c p 啊，为什么呢？因为 c n 比 c p 就 等于三十度角的正切值啊，等于三分之根号三， 所以 c p 比 c， n 就 等于根号三分之三等于根号三， 那么我们就证出来了啊， c p 比 e， c 等于根号三，所以第二小题的答案是根号三。下面我们来看第三小题， 好先导角 a， b， e， m 四点共圆。刚才第二小题已经导出来了啊，这里是角平分线， a， g 平分角 b a m， 所以 有等腰三角形，三角形 a， b， m 是 等腰三角形， 等腰三角形。两个底角相等，如果这个角是 betta， 那 么这个角也是 betta， 这个角也可以用 betta 来表示。然后啊，在平行线进行倒角啊，角 a， b， m 等于角 m， f， n， m， f， n 也可以用 bet 来表示，就是个小角啊， m f， n， bet 等角对等边，所以这个 m n 是 等于 f n 的， m， n 等于 f n， 然后这个三角形 a， b， m 是 等腰三角形。结合这个条件， b， e 等于 e， c 等于二，一点是中点，那这个 f 点也是中点，对吧？ d， f 等于二， a， d 等于四， a， m 是 等于 ab 的 等腰三角形嘛， a， m 等于 ab， a， b 等于四， a， m 也等于四，那我们就可以用勾股定律了。在这个 r t 三角形 a， d， n 当中，我们先设一下啊，设 n， f 等于 x， m， n 也等于 x， 这个时候 a， n 就 等于四加 x， d， n 等于二加 x， a， d 等于四。好，直接用勾股定律建立方程，四加 x 括号的平方等于二，加 x 括号的平方，然后加上四的平方， 然后我们可以解这个方程啊，方程解出来之后， x 等于一，所以 n， f 等于一， n， f 等于 c， f 不是 等于二吗？ d， f 等于二， c， f 等于二。所以呢，可以求出 n， c 等于 一， n， c 等于一，那么 n， c 等于一的话， d， n 就 等于三，然后我们根据让我们求的是 c p 的 长度啊，我们根据这个八字形相似 这个三角形 a， d， n 和下面这个三角形 p， c， n 这两个三角形是相似的啊，相似比是一比三，所以 c p 比上 ad 就 等于一比三啊，就等于 c， n 比上 d， n， c， n 比 d， n 一 比三嘛，那么 c p 就 等于一比三，三分之一乘 a， d， a， d 等于四啊，所以 c p 等于三分之四。好，那么这一题我们就解答完成了， 实际上啊，这一题有没有难度呢？我个人认为难度是不大的啊。难度是不大的，但是呢，你前提是要想到啊，能想到这个四点共圆，用四点共圆倒角还是比较方便的啊。我看参考答案上给的是摄影地理啊，那个摄影地理的话不是很好想啊， 官方答案是用摄影地理来做的啊，它用摄影地理去证明这个 a， b 等于 a， m 有点麻烦啊，我个人感觉有点麻烦。我们根据这个引圆问题啊，引圆问题倒角还是 很方便啊，而且它步骤写起来的话也很流畅很只有两步啊，就是因为角 a、 b、 e 等于角 a、 m e 等于九十度，所以 a、 b、 e、 m 四点共圆， 进而我们就得到一个非常关键的条件，三角形 a、 b、 m 是 等腰三角形。好，这题就讲解到这里，再见。

这道题你需要几分钟？四边形 a、 b， c、 d 为正方形角 e， a、 f 等于四十五度， b， e 为六。问 c、 f 的 长度， 很多人应该注意到了，角 e、 a、 f 是 四十五度，那么就可以考虑半角模型。像这样做辅助线，此时三角形 a、 k、 b 全等于三角形 a、 d、 f 再连接 k e 和 e f， 那 么这两个三角形就全等。并且 k、 e、 f 好 像是共线的，我们可以尝试证明一下。换句话说，只需要让这两个角相等就好了。这样做平行后，不难看出，三角形 m、 e、 f 全等于三角形 k、 b、 e。 怎么证明呢？ 我们继续往下看，梳理一下目前知道的条件。 d f 等于 m f 也等于 k b， e， f 等于 t e 角 e， m f 等于角 k b e 我 们都知道这是 s s a， 不 可以证明全等，但我们可以造直角，用 h l 实现全等。 就像这样，现在这两个角为直角，于是这两个三角形全等，故 l f 等于 k n， 此时三角形 e、 l、 f 全等三角形 k n e， 那 么就成功地证明了贡献。所以三角形 a、 e、 f 就是 一个等腰直角三角形。 接下来就好办了，通过手拉手构造全等，此时两三角形全等，那么 h f 平行 bc， 因此 h b 等于 fc。 计算部分就不写了，你学会了吗？

这道题看起来有点唬人，实际上只要我们熟悉圆中一种基础的辅助线的话，二十秒钟就能轻松搞定。题中给了我们一个圆 o、 abc 三点是圆上三点角 b a、 o 等于七十五度角 bc o 等于四十一度。让我们求角 a、 b、 c 等于多少度，要求这个角的大小。首先我们注意到这个角实际上是 u 弧 a、 c 所对的一个圆周角，既然它是圆周角，那我们首先想到可以通过圆周角定义来进行转化，但是 其中对于 u 弧 a、 c 来说，除了角 a、 b、 c 这个圆周角之外，我们已经找不到其他的有效的圆周角来进行转化。 当然我们也可以把角 abc 转化成 u 弧 a、 c 所对的圆心角，也就是这个角的一半。但是呢，这个角用我们已知的这两个数据呢，也很难建立直接的关系，那怎么办呢？这个时候还是要从已知条件出发，充分运用好我们已知的这两个角度， 观察一下。这两个角度实际上都是弦与半径所形成的角，两个角都与半径有关，而且呢，同圆当中的半径是相等的，我们知道 a o 是 等于 c o 的， 怎么用好半径相等这个条件呢？分析到这里，大家有没有想到，初中几何当中，圆作一种与半径相等有关，最基础的辅助线就是利用同圆或等圆的半径相等来连接圆心与圆心的点，从而构造出等腰三角形。 图中 a、 b、 c 三点呢，都在圆上，这个时候只要我们连接 a、 o、 b o、 c o， 因为半径都是相等的，所以 a o 必然就等于 b o 等于 c o。 实际上三角形 a o、 b 与三角形 b、 o、 c 呢，都是等腰三角形。接下来我们就可以在等腰三角形当中来解决问题。在我们这道题目当中，我们只需要连接 b o。 很显然， a o 等于 c o 等于 b o。 三角形 a b o 与三角形 b、 c o 是 两个等腰三角形。在等边对等角，角 b、 o 实际上就等于角 a、 b o， 我 们可以把它标为角一。同理，在等腰三角形 b、 c、 o 当中呢，等边对等角角 o、 b c 自然也就等于角 o c b。 我 们把角 o、 b、 c 标为角二，很显然，角一就等于角 b a o 等于七十五度， 角二就等于角 b c o 等于四十一度。而要求的角 abc 实际上就可以转化为角一，加上一个角二，也就是七十五度，加上四十一度，也就是一百一十六度，轻松搞定。

这是初二的一道几何，这道题难度中等，考察学生基本功的一个应用。我们先来看看这道题它的一个基本条件， 三角形 a、 b、 c 中角 a， 这里是六十度， a、 d 是 它的一个角，平分线，满足 a、 b 加上 a、 c 等于六，我们的问题是来求 a、 d 它的一个最大值。通过读完题，我们发现这个图当中的这四个点 a、 b、 c、 d， 其实它并没有定点，那么我们如何通过条件来分析找到 与这个核心问题 a、 d 线段有关的一些等量关系呢？那么什么样的辅助线既可以关联到这个角平分线的性质，也可以关联到最终的这个 a、 b 加上 a、 c 这个和的一个问题呢？ 那么这个地方其实并不陌生，因为 a、 d 是 平分角 b、 a、 c 的， 那么按照平分线的常用定律，我们可以过 d 点向两侧啊，做一个高，那么这两条高它自然就是一个相等的，我们这里标个点 e， 这里标一个点 f， 那么根据这个高，它是相等的。我们最终要来关联到 a、 b 加上 a、 c 这个地方，应该是比较清晰，也比较简单的。我们如果能够把三角形 a、 b、 c 的 面积用 d、 e 和 d、 f 来表示出来的话，那么就会关联到这里的 a、 b 加上 a、 c 这个地方，我们直接用三角形 a、 b、 c 的 面积来进行一个转化，那么三角形 a、 b、 c 的 面积它应该等于，因为 d、 e 和 d、 f 这个高相等，它就等于二分之一，乘以这个 d、 e 啊，再乘以 a、 b 啊，加上这个 a、 c， a、 b 加 a、 c， 那 么这样的话就关联到了 a、 b 加 a、 c， 我 们直接把这个六拿进来，它就等于三倍的啊，这个 d e， 那么三倍的 d e 有 那个 d e 线段和这个 a d 线段又有什么样的关系呢？条件里面还有一个特殊角度，六十度，它又平分，所以这个地方应该是一个三十度，那么根据三十度所对的直角边等于斜边的一半，所以这里的三倍的 d e， 它实际上可以转化为二分之三倍的 这个 a d， 那 么通过这样一个转化，我们就可以看得出来，你最终要求 a d 的 最大值，那么我们就可以转换为求三角形 a b、 c 面积的一个最大值，可以再来进行观察。那么条件里面 a b、 c 它又是一些动态的点，没有一些链长，那么接下来我们如何来转化这里的面积呢？ 考虑到这个 a j 它是六十度，我们呢要表示面积的话，肯定离不开做高的问题，我们可以过 b 点向 a c 做一条垂线，是为了方便来啊，可关联到这个透数角六十度，以及也把那个高也给它做出来啊，这里我们可以做一个 h 点，对不对？ 那接下来我们来表示面积，由于这个图当中它一个定场都没有，左右是 a b 加上 a c， 它等于六，是一个和的问题，所以这个地方要很容易表示这个面积的话，我们可以把这个 a h 设一个 x， 那么这个 a b 让它就是一个二 x 对 不对？ b h 这个高就是根号上 x a c 的 长啊，因为 a b 加一 c 等于六，那么 a c 的 长就是六减二 x 对 不对？所以这个地方我们可以设 啊啊，这里的 a h， 它等于 x， 那 么这个 a、 b， 它就是二 x， a、 c， 它就是六减二 x 中间的这个高 b、 h， 它自然就是根号。三 x 所有的代数都表示出来之后，我们就来表示这个面积。啊，三角形 a、 b、 c 的 面积， 那就等于二分之一乘以啊 b、 h， 再乘以这个 a、 c， 你 把这个数据拿进来，他就是二分之一倍乘以根号三 x， 再乘以这里的六减 二 x， 那 么我们要求他的最大值，我们可以直接在这个地方进行一个配方操作，那么配方配出来最终是负根号三，呃，然后 x 减一个二分之三的平方，加一个四分之九倍高三， 很明显啊，当根据平方的恢复性，这里我就不讲了，也就是当 x 等于二分之三的时候，对不对？啊？三角形 a、 b、 c 面积，它有这个最大值对不对？啊？ 大于最大值等于这个四分之九倍高，那么面积的最大值对应的就是 a、 d 的 最大值，因为面积就等于二分之三倍的 a、 d， 直接拿进去就可以算出对应的这个 a、 d， 它的这个最大值应该就是一个二分之 三倍根号，所以这个题我们就算出来的二分之三倍根号。

好，我们来一起看一下这道题。如图，四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 c， d， e、 f 均是正方形 啊。点 g 是 对角线， d， f 上一点，点 g 是 对角线， d， f 上一点，那么 d g 等于 d c， 那 它的声肯定也是等于 d a 的 连接 a， g 过点 d 做它的做用 d， h 是 做这个角的角平分线，然后 d， i 垂垂直 分别连接好。第一问，若 d i 等于 e， 求 tan 角 d， a， i 的 值。 那首先我们根据题目里面呢，我们先分析一下这道题啊，那么 d g 等于 d， c 等于 d a， 那 么三角形 a， d， g 就是 一个等腰三角形， 它是个等腰三角形，它让你去求这个角的弹力值，那这个角和这个角是不相等，它其实也就是我们也可以去求弹 力角 d， g， r 啊，也可以去求弹力角 d， g， r 这个这个边是一 要求角，那我们肯定要去求它的值，肯定是需要知道这个边的值，那么这个边的值我们怎么去求呢？那我们因为它是正方形，所以这个角肯定是九十度，那它就是 四十五度，所以角 a， d， g 就是 等于一百三十五度， 那角 d， a， g 是 不等于角 d g， a 等于二分之一百八十度，减去一百三十五度，等于二十二点五度，它是二十二点五，它也是二十二点五。那么角 g， d， c 是 不是等于四十五度？因为它是正方形的角平分线所平分出来的，所以 d h 是 平分角 c， d， g 所以 角 c， d， g 是 等于二十二点五度， 但是它是二十二点五，它也是二十二点五，这个三角形的外角，那么所以角 d， h， i 是 不等于四十五度啊？ 那么 d h i 等于四十五度，那三角形 d h i 是 等腰直角三角形， d h i 是 个等腰直角三角形，那 d h 就 等于根号二。刚才说的这两个角也是相等的，所以 也是等于 h g。 那 么同时 tanning 角 d a i 是 不等于 tanning 角 d g i 等于一。比上根号二加一，那么分母幺零化等于根号二减一，这就是第一问。

同学们大家好，今天王老师给大家带来一道最值问题啊，它是关于那个引元这一块的 啊。嗯嗯，我们看下题目，如图，而 t 三角形 a、 b， c， 它是直角，然后告诉我们 ab 垂直于 bc， ab 等于六， bc 等于四， p 是 平面内的动点，他告诉我们 a、 p b， 他 告诉我们等于九十度。 第一个他没告诉我们 p 点是具体的哪一个点是动点。然后题目中告诉我们 e 是 中点， e 是 bc 的 中点，那他就是二和二。题目中让我们求 p e 的 最大值， 在求最值的过程中，我们要研究这个边长的两个点，首先 p 点它是动点， e 点呢？它是一个确定的点，我们叫它定点。我们要研究的是什么呢？我们要研究的是动点的运动轨迹。那毫无疑问，在这道题题目中，我们的 p 点的轨迹是什么样的呢？是以 a、 b 的 中点为圆心，以三为半径做一个引圆。 好，同学们看到了吗？这个就是 p 点的运动轨迹啊。那我们 p e 的 最大值是什么呢？同学们，我们的 p e 的 最大值就是连接 o e 做延长，交叉于 p e， 这个 p e 就是 最大值 啊。那这个怎么求呢？这是二，这是三，那这个是不是根号十三？所以我们的 p e 最大值 为根号十三加三。那 p e 的 最小值呢？ p e 的 最小值应该在这里啊，那最小值应当是什么呢？ 为根号十三减三啊。首先这道题目呢，他在我们的合肥各个地区的期末考试经常出现啊，还有我们初三下学期的中考模拟卷里面也经常性的出现，希望大家重视一下哈。

同学们好，我们来看一下安徽省刚考的啊，百校联营一模数学的几何压轴题。 这一题的难度不大啊！难度不大，第一小题和第二小题，这个八分是送一分，这个最后一小问啊，最后一小问主要是考察到 同学们的一个画图作图能力啊。那我们来具体的看一下题目。 a、 b 等于 a、 c 角 b， a、 c 等于九十度 点 d 是 b、 c 延长线，然后一点连接 a、 d， 将线段 a、 d 绕点 a 逆时针旋转九十度得到线段 a、 e， 所以 角 e、 a、 d 是 九十度，这个角 b、 a、 c 也是九十度。那么这是一个手拉手模型， 判断 b、 d 与 c、 e 的 数量关系和位置关系，数量关系是相等，位置关系是垂直。 那么第一小题我们只需要证明一组全等这个分儿就可以拿到了。三角形 b、 a、 d 全等于三角形 c、 a、 e。 为什么呢？因为 b、 a 等于 c a， b、 a 等于 c a 角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 e、 a、 e 就 等于 a d s a、 s 可以 证明全等，所以数量关系是相等，位置关系是垂直。这里面有一个八字形， 这个啊，我标红的这一个是八字形。由全等我们可以证出角一等于角二，全等的话，角一等于角二。 那么又因为角 e、 a、 d 是 九十度，所以你可以很轻松的得出角 e、 c、 d 是 九十度啊，角 e、 c、 d 是 九十度，那所以 e、 c 和 b、 d 是 垂直的。那么第一小题 的思路啊，就是这样，正全等，然后找八字形。好，我们看第二小题，延长 b、 a 交 e、 c 于点 f 连接 b、 e、 g 点是中点， g 点是中点。若 哦，当 ab 等于 ac 等于二， g、 f 垂直 g、 e 的 时候，如果这里是垂直， 让我们求线段 g、 f 的 长度，那你要这样想一下，第一小题没有无缘无故的第一小题啊，第一小题角 bce 是 等于九十度，角 bce 等于九十度。 哎，那这个时候我们就能得到中位线啊，哪一个是中位线？ g、 f 是 三角形 e、 b、 c 的 中位线啊，平行且等于二分之一 b、 c， 所以 第二小题我们把 b、 c 的 长度求出来就可以了。 ab 等于 ac 等于二，所以这个 bc 勾股定律，二倍的根号二， 那么 g、 f 就 等于二分之一乘二倍的根号二等于根号二。那么第二小题我们就解答完成了，到这里的话，我们就能拿到八分了啊，很轻松啊！ 好，我们来看最后一小题，在做最后一小题的时候，我希望大家能记得你第一小题用到了中位线啊， 所以我们像几何压轴下一问的思路，你要想一想上一问是怎么做的？好，带着这一个我们来读题过点 c 做 c、 h 平行 ab， 若三角形 a、 p、 f 与三角形 a、 c、 h 全等，求 c、 h 比 c、 d 的 值。好，我们来分析一下， 平行，那么角 c、 h、 d 角 c、 h、 d 啊，角 a、 c、 h， 角 a c、 h 等于角 b a、 c 是 等于九十度的，然后这个角 b、 c、 f 是 九十度，所以角 b、 f、 c 等于角 c、 b、 f 是 四十五度啊，角 c、 b、 f 是 等于四十五度的，这个是能证出来的啊。很简单，因为 a、 b 等于 a、 c 三角形 a、 b、 c 等腰直角三角形，所以我们可以得到角 b、 f、 c 也是等于九十度啊，也是等于四十五度， 那么等角对等边三角形 b、 c、 f 是 等腰三角形，是一个等腰直角三角形， 然后三线合一可以得到 a 是 b、 f 终点， a 是 b、 f 的 终点，又有一个终点，结合题干中告诉我们， g 点也是终点， g 点和 a 点也是终点啊。 而我们上一题用到了中位线，那么这一题需不需要用中位线呢？ g、 a 也是中位线呀， g、 a 是 三角形， b、 f、 e 的 中位线。好，我们写在这里啊， g、 a 是 三角形， b、 f、 e 的 中位线。 好，继续来思考这个题干中的这个条件，这两个变形题全等，我们还没有用上啊！其实这一小题很多同学没做出来，他认为这个 a p 是 等于 a c 的， a p 和 a c 是 对应边，是这样的吗？ 肯定不是啊，因为这一题给你的是文字型全等，文字型全等，他没有给你这个全等符号，所以 ap 和 ac 他 不是对应边。而我们刚才分析的是三角形 a、 c、 h 这个角 a、 c、 h 是 等于九十度的， 然后 ac 是 等于 af 的， 所以 ac 与 af 才应该是对应边， ac 与 af 是 对应边，那么我们就可以得到角 afp 应该等于九十度，这是一个重要的条件，角 af、 p 等于九十度，所以这一题的难点就出来了，它这个角给的很明显不是九十度。那这一题就考察到同学们的作图能力了啊，你要把这个图形给它画出来。好，那我们来画一下。 所以这个时候 g 点应该在这里啊，这里是直角，所以 p 点， p 点就要在这边了。 好，然后这个中位线啊，中位线我们也给它连上。现在中位线有什么用，我们可能还不知道。好，再来分析一下啊， a、 f、 p 与三角形 a、 c、 h 全等，那么我们就有对应边相等， a、 c 等于 角， f， a、 e 全等。三角形对应角相等， 然后还有一个 a、 d 绕点 a 旋转，所以它等于 a e 这个 s a、 s 又可以得到一组新的全等三角形。 三角形 a、 c、 d 全等于三角形 a、 f、 e 这两个三角形全等，那么我们就得到这两个三角形全等，然后啊， a p 等于 a h， a p 等于 a h， 所以 这个 pe， pe 和 h d 是 相等的，对吧？同时减去 a p 和 a h 嘛。 好，那所以 a p 与 pe 的 比值，也就是等于 a、 h 与 h d 的 比值喽，对吧？因为你根据这两个 c 形全等，那我们就可以得到这一个好用黑色的笔写啊， a p 与 pe 的 比值， a p 与 pe 的 比值等于这个 a、 p 的 对应边，我们可以替换成 a h， pe， 我 们就替换成 h， d 等于多少呢？这个时候中位线我们就用上了啊， a g 平行且等于二分之一 ef， 所以 a g 比 ef 等于一比二，所以 ap 与 pe 的 比也是一比二， 那么 a h 与 h d 的 比自然也是一比二。如果说 a h 我 们设成 t， 那 么 d h 就 可以用二 t 来表示 啊，是 a h 等于 t， 所以 这个 d h 就 等于二 t， 那 这个时候 d h 比上 d a 就 等于二比三了。 结合题目中的 c h 平行 b a 这个蓝色的小三角形和这个大三角形一个 a 字形相似啊，三角形 d， h， c 相似于三角形 d， a、 b 相似于三角形 d， a、 b。 好， 让我们求 c、 h 与 c、 d 的 比值，那么我们来设一个数吧啊，我们设 ab 等于一，那么 ac 也是等于一， bc 就 等于根号二， 这个时候 c h 就 能求出来了，对吧？ c h 就 能求出来了，我们来求一下 c h 啊， 这个时候 c h 比 ab， 对 吧？这两个三角形相似啊，这个 a 字形相似。 k 是 等于二比三的，所以 c h 比 ab 就 等于二比三， 那么 c、 h 就 可以求出来了， c h 就 等于三分之二。乘 ab、 ab 的 长度我们设为一，所以 c、 h 是 三分之二，下面再把 c、 d 求出来。 c、 d 怎么样求呢？ c、 d 比 b d， c d 比 b d， c d 比 b、 d 是 等于二比三的，我们 c、 d 用 m 来表示啊，所以 c、 d 用 m 来表示，那么 b、 d 的 话就是 m 加根号二， 它们的比值也是等于二比三。交叉相乘二， m 加二倍的根号二等于三 m， 所以 m 等于二倍的根号二， 那 cd 的 长度就知道了，所以 cd 是 等于二倍的根号二的。那么第三道题我们到这里的话就可以解出来了。 c h 等于三分之二， cd 等于二倍的根号二，所以 c h、 c h 是 比上 c、 d 就 等于 c h 是 二分之三，然后比上二倍的根号二乘二倍根号二分之一，约分二和二消掉等于三倍的根号二分之一。分布有理化， 同时乘根二，六分之根号二，所以最后一小题的答案是六分之根号二。好，这道题就讲解到这里，再见。

好，亲爱的同学们好，给大家带来一道二五年安徽中考的几何大题，希望通过这个题目的讲解，给大家一点点思路上的启发。 首先第一小题我们就直接跳过，比较简单，大家可以自行阅读题目的条件进行求解。 主要讲第二小题的一二小题。第二小题的第一题，让我们证明这个 c a、 f 一 撇是一个定角 题目条件给了我们原始条件，大条件给了我们 be 啊，是 a a 一 撇的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，我们不难得到这个 a e 跟 a 撇 e 的 长度是一样的， a 撇 b 跟 b a 的 长度是一样的， 因为这个 b a 是 正方形的边长，所以这个跟 b c 也是一样的。我们在标记的时候可以尽可能的多标记，方便我们的解析，这是我们的基本的标记习惯。 然后题目的目标是让我们证明这是四十五度。我先讲一下这一题的出题背景，这一题出题的背景，我们不妨以 b 为圆心，以 bc 为半径画一个圆，这里面就考了一个隐元的现象， 那么通过这隐元我们可以发现这个不难发现，这个 c a、 p、 f 就是 圆的一个外角，圆的一个外角，而我们圆里面有个重点的知识，就是内接四边形的外角等于内对角，我们在这里随机取一个 b 一 撇， 虽然 b 一 撇的位置取的比较随机，但是它的角度是一个固定的，这个圆心角显然是九十度，那么外角等于内对角就出来了，这也是四十五度。这个题目可以通过画圆去速解的。 虽然我用圆去讲了一下这个出题背景，但是呢，我们真正解题的时候，我们可以用八年级的知识，这这样的话可以节省我们的书写这个时间。用圆的话可能表达语言会这个啰嗦一点， 我们这个四边形它有个特制，就是它有是有两个等腰三角形构成的，并且有个角是九十度。我们不妨假设 b a a 撇是 x， 那 么 b a 撇 a 也是 x， b a 撇 c 是 y， 那 么 b c a 撇也是 y。 然后我们通过四边形的这个内角和是三百六，我们不难列出这个二 x 加上二 y， 这里面有个九十，加上九十度等于三百六十度。 这三个角在一块，正好这两个是 x， 这两个是两个 x， 这两个 y 正好是二 x 加二 y， 所以 二 x 加二 y 代表了这三个人之和。加上九十度等于三百六，那么很容易算出 x 加 y 等于我们的一百三十五， 进而呢，我们就可以证出来这个外角，这角 c a p、 f 就 等于四十五度。 好，接下来我们来解决我们的第二题。第二题这些语言，呃，不给大家解读了，给了一个新的条件，就是我们的 c g 跟 c b 是 一样的。 好，那么说明 c g b 是 一个等腰三角形，然后让我们判断 a 撇 d g 的 这个形状。 我们介绍两种方法啊，主要讲第一种方法，第一种方法比较简单粗暴，首先我们解几何题的思路不一定来自于纯理性，如果出题老师出题的逻辑比较长，我们可以感性的猜一猜 就是。呃，中考的图画的也是比较准确的啊。我们可以看出这个 a 撇记非常像一个等腰直角三角形， 如果这个直角呢？不好去猜，可以用量角去量一下啊，量角去量一下，我们也可以量出来这九十度， 这个时候就是我们猜出这是一个等腰直角三角形，那我们的这个无序的思维就可以进入，进入，进入了第一步就是我们怎么去证明这个是呃，等边，这两个腰是相等， 所以我们最有从最原始的原认知和第一性原理去出发，就是越简单越好啊，越越容易实操。就是我们能否找到两个三角形，也是含有这两个边的，并且大小在视觉上是一样的， 所以这里面我们也比较容易能找到这两个三角形，好像长得是一模一样的。那么我们来幻想一下，假如话我们挣出来的这两个三角形全等，那么是不是这个两个边就一样，他就等于三角形， 然后呢这里面我们第一题挣出来是一百三十五，那么这隔壁呢？如果全等这一百三十五，那这是不是九十就完美的这个映射了我们的这个 想象。所以接下来我们就最原始的思路就是证明这两个三角形全等这个思路就基本找到，接下来我们看看能不能实现它啊。首先这两三角形，呃，这个有一个公共边，有公共边， 并且这个 dc 呢也是正方形边长，那么 dc 呢，肯定是等于 bc， 肯定等于 c g， 那 么现在这个三角形判定只差一个角了， 只差一个角啊，在这个找角的道路上可能比较曲折啊，我自己在做的时候也花了不少时间，这时候我给大家介绍一个这个比较，这个能够这个 第一次就能达成的一个思路，就是我们的几何代数化，比如说我们现在啊，很难找到，很难通过简单的这个题目条件的这个推理，直接找到这两个角相等。 我们可以先假设啊，我们可以先假设这个角度是 x， 看看是否能够推推，通过严密的推导，最后证明出来这个角度也是 x。 接下来我演示一下，呃，其中一个比较顺的思路啊，首先这个是 x， 我 们可以得到它的余角，也就是 a 撇 c， b 是 九十度减 x。 然后呢，呃，我们抓住这个三角形是一个 b， a 一 撇 c 是 个等腰三角形，我们可以得到这个底角也是九十度减 x， g r 得到，嗯，这个角就是我们的 r， x， 根据三角形内角和是一百八。 然后呢，我们在想方设法，我们最终的目标是得到他，其实把隔壁的表示出来，要利用到我们题目的这个条件，我们要把这个底角，这两个底角搞定，是不是顶角就有了，最后他就能得到，但是这个底角呢？还差一个这个角 啊。开心的是这个这两个三角形在第一题我们就可以证明他们全等这两个角是一样的，那么我们换种颜色啊，我们可以得到这个角度，呃，是九十度减二， x 除二，也就是四十五度减 x， 这个角度也是四十五度减 x。 好，因为这个角度是九十度减二， x， 这两个角又相等好，从而我就把这个底角搞定，这个底角我们口算一下，它俩一加，那么正好就是四十五度加 x， 那 我们就转战我们的，呃，跟我们题目第二小题题目条件紧密相关的，这个条件就这这两个边相等 啊，我用紫色的也，这个底角呢，你标出来的就是四十五度加 x， 他 俩是一样的，那么我们就可以成功的得到。根据三角形对角和一百八，这个两个加起来就是九十度加二 x， 那 显然这就九十度减二 x。 好，最终我们顺利的得到了这个角度也是 x。 好 的，那我们我们就可以成功的证明出来这个三角形全等，从而这两个边一样啊，再复习一下，这个角度是一百三十五，这一百三十五， 那么这个就九十，所以我们不写节约时间，不写任何格式。法一的核心思路就是证明 三角形 c a 撇 d 全等于三角形 c a 撇 g。 好， 接着我们来分享一下法二，也就是主流答案的这个思路， 这个简单讲一下，大家可以自己自行搜答案去，呃，放慢脚步去看啊，答案的思路是从一个基本必考的考点出发，呃，想到的第一步 就是说，呃，题目中给了这等腰三角形，我们说安徽中考等腰三角形一般百分之九十的概率会考三线合一，所以我们在这里面做一条垂线，就产生了我们的三线合一， 然后我们进行这个延长，但这里面我就没有去搭建这个整个四四路框架，主要给大家讲一下它的流程是怎么做的啊？然后进行一个延长，产生一个这个呃，焦点称为 m。 这里面，呃，首先呢，能用到我们的这个经，根据我们经验能用到三线合一。其次呢，这里面有十字架啊，这个三角形跟这个三角形构成十字架，所以我们看能不能把这个思路打通啊，大概给大家分享一下，跟答案没什么区别。 首先我们做出这个，呃，这个垂足是 h， b n 是 中点， 然后呢，这个是直角，这个直角就两只线平行，根据根据我们的中位线的这个判定，我过一边中点做一边的平行线，那 m 也必然是我们的中点。 好接，接下，接下来我们通过十字架可以证他俩全等这两个三角形。首先，呃，有两个等边， 然后呢，有两个直角啊，还有同一角，这个简单的标一下啊，这是一，这是二，这是三啊，角一加角二是九十度角，三加角二也是九十度，一跟三是同一角，角都是角二的余角，说明这两个三角形全等。我写一下，第一步，我们可以 非常轻松地挣出来这个三角形，全等，实际下三角形 cbm 全等于三角形 cbm， 我 们对应好啊， cbm b a e， 其实我们非常容易证明这个是中微线啊，刚才在挣圈的之前就可以挣出这中微线了啊，接下来又可挣这个 hm 为中微线。 那么接下来这个，因为这个，呃，两个三角形全等，所以 a e 就 等于 b m。 因为 b m 是 ab 的 一半，那么 a e 肯定是 ad 的 一半，所以这个 a e 啊，就等于 b m 也就等于二分之一 ab 也就等于二分之一 ad。 那 接下来我们得到一个关键的信息，就是 e 是 我们的终点 点， g 呢，又是 a a 撇的中点，中垂直平分线肯定中点，所以我们得到了 e， g 是 中微线啊， e g 是 中微线，那它俩平行，那么同一角相等，这个直角就被我们挣出来了，所以我们 e 正 e g 为中微线。 好，接下来我们再证明一下，这两个边相等，就可以证出来这是等腰直角三角形了。首先是呃，我们的 a g 一 撇正好是 a a 一 撇的一半， 然后呢，这里面又有一个，呃，比较容易发现的这个全等，这两个三角形是全等的，呃，斜边是一样的，直角是一样的。然后同一角 啊，这个四五，这个四五，一加五是九十度，四加五就是同一角，所以我们容易证明这两个三角形全等，全等的话， a 撇 d 就 等于 a g， a g 又等于 a 撇 g 就 完事了啊，这个题目就讲完了。 好，第三步，我们正三角形 a a 一 撇 d 全等于三角形 a g b， 所以这个 a 撇 d 呢，一定就等于我们的 a g 就 等于我们的 a 撇 g， 从而证明出它是等于二直角三角形。所以这里面给大家这个讲完之后，大家可以总结一下我们做题的思路 啊，梳理一下，也就是这个题目一开始我们难以硬猜然得到一个初识的全等，这就是我们解几何的圆论之 啊。有了原认知之后，我们就不用去学很多模型，做很多联想，就是一步一步稳稳的去分析就行了。 第二个方法，这个还是比较难想到的，我们我是根据这个主体是根据这个三线合一进行打第一步，然后想到我们平时的模型，有一点经验，十字架的这个模型，然后慢慢的推动我们这个事情的发展啊，谢谢，谢谢同学们观赏，希望对大家有一点帮助，拜拜。

同学们好，今天我们来看一道八年级下平行四边形中的最值问题。先来看题目，如图，菱形 a、 b、 c、 d 中 ab 等于二角， a 等于一百二十度， 点 p、 q、 k 分 别是线段 b、 c、 c、 d、 b、 d 上的任意一点，则 p、 k 加 q， k 的 最小值是多少？ 那么根据我们之前学过的最短路径问题，我们可以在图中找到对称线，在这里对称线就是菱形的对角线 b、 d， 所以 我们可以做点 p。 关于 b、 d 的 对称点 p 一 撇， 这个 p 一 撇肯定是落在 ab 上面，连接 p 一 撇， q 和 b、 d 的 交点则为点 k， 那么我们要求 p k 加 q， k 的 最小值就转换成了求 p 撇 k 加 k， q 的 最小值在图上就是 p 撇 q 的 长度，那么再看一下 p 撇和 q 所在的位置，它是在两条平行线上面，那我们知道平行线上的距离是最短值，因此 当 p 撇 q 垂直于 ab 的 时候，我们就可以求出它的最小值， 那么平行线之间的距离处处相等，我们现在画的这个位置还不够求出 p 撇 q 的 长度，所以我们可以把 q 平移到和 c 点重合， 构造一个直角三角形是垂直的，这个是 p 撇，那 q 和点 c 重合，那么在这个直角三角形里面，由菱形角 a 等于一百二十度，我们可以得到角 abc 等于六十度。 那么再根据菱形四边相等， bc 长度为二，那这里我们就构造出了一个三六九直角三角形三边比是一比二，比根号三，因此 p、 k 加 k， q 的 最小值就是根号三。 所以这道题目的方法我们总结为以下几个点，一、找对称轴图中的对称线在这道题目里是菱形的对角线。二，做对称点，将其中一个洞点关于对称轴做对称点，把折线距离转换成直线距离。 第三步，确定最短位置。一般是两点之间线段最短，垂线段最短，那这里就是平行线之间的距离最短。 第四步，算长度。可以利用几何的性质，比如说勾股定里面积公式，那这里比较特殊，我们用了三六九直角三角形的性质，那当然也是勾股定律的一个应用。

马上期中考试了，想考高分的娃建议跟着夏老师一起来看一道几何压轴题。矩形 a、 b、 c、 d 中 ab 等于五， bc 等于八， a 一 等于 c， g 等于四，则 b 一 等于 d， g 等于一， a、 h 等于 c， f 等于二，则 b， f 等于 d， h 等于六。这些我们都可以计算出来。点 p 为矩形，内部一动点四边形 a、 e、 p、 h 和四边形 c、 g， p、 f 的 面积即为 s 一 和 s 二， 我们要求 s 一 加 s 二，那 p 为矩形内部一动点 s 一 加 s 二，却是一个定值。 那这里我们就有一个比较聪明的方法，就是让点 p 的 位置特殊化。我们可以让点 p 在 矩形的边上或者是顶点处，这样可以方便我们计算。如果点 p 和点 b 重合，那么这个四边形 a、 h、 p、 e 就 变成了 a、 h、 b、 e、 a 这个三角形四边形 c、 g、 p、 f 就 变成了 c、 g、 b、 d、 f、 c 这个直角三角形。那么根据直角三角形的面积公式，我们就可以计算出三角形 a、 b、 h 的 面积是五，三角形 c、 g、 b 的 面积是十六，因此 s 一 加 s 二就是二十一。 那么这个方法就是让动点的位置特殊化，我们可以用来描写填空题或者选择题，当然 我们在做大题的时候还是要去证明的。那再仔细观察这张图，在图中呢，有很多线段相等，那线段相等，结合矩形，我们会想到连接 h 和 g、 f， 那 么这个三角形 a、 e、 h 和三角形 c、 f、 g 就是 全等的，用的是边角边 全等以后我们就可以推出 e、 h 等于 f、 g， 那 么同样的，这里面有一六一六两条相等线段，那我们选择连接 h、 g 和 e f， 由角边角同样可以得到三角形 h， d， g 和三角形 f， b， e 全等 s， a， s 推出 h， g 等于 e、 f， 那 么由两组对边分别相等，我们是不是可以得到这里有一个平行四边形 e， f， g， h 啊？ 那么再来看一下我们要求的面积， s 一 和 s 二，在这里它就被分成了两个三角形， 我们记三角形 e、 p， h 的 面积为 s 三，三角形 g， p， f 的 面积为 s 四一加 s 二的面积，我们就把它分为了 s。 三角形 a， e， h 加上 s， 三角形 f， c， g 再加上 s 三，再加上 s 四。 由图上可知，这两个三角形的面积都是四，那接下来我们只要去计算 s 三和 s 四这两个三角形的面积， 那么 s 三和 s 四。在这个平行四边形里面，我们知道它们两个的面积和是等于平行四边形的一半。因此我们只要去计算出平行四边形的面积，我们可以选择用外面矩形的面积五乘八 去减去周围四个直角，三角形的面积减去八减去六等于二十六，所以这个三角形的面积就是二分之一的二十六，加起来就等于二十一。那么这两种思路都可以帮助我们解决这道问题。