比例的思维导图六年级简单又好看简爱

什么是比例？比例和比到底是什么关系？今天我们来讲一讲比例的意义和比例与比的关系。先回忆一下什么是比，两数相除，又叫两个数的比来看， 三比四，它就等于三除以四，那么三比四呀，它就是一个比，再来写一个比，比如说六比八， 它就等于六除以八，它的比值就是 四分之三，那上面这个比的比值也是四分之三，那他俩的比值是不是相等？所以说呀，三比四，六比八，他们就中间可以写等号， 那么这就是一个比例。所以什么是比例呢？就是表示两个比相等的式子叫做比例。那么我们就要判断怎么样的比它能组成比例呢？ 有两个标准，第一个就是看比值是否相等，第二个化简比，看他们的结果是不是一样。 来看十八比，十六和八比九能否组成比例。我们判断方法就是看两个比的比值是否相等。来先看十八比，十六的比值就是十八除以十六等于八分之九， 那八比九的比值是八除以九等于九分之八，所以八分之九不等于九分之八，所以不能组成比例。 好，以上就是比和比例的关系以及比例的意义，如果你学会了，听懂了，可以点个免费的小心心，同时啊，可以把你的疑惑打在评论区，我们一起来解决。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天让我们学习比例尺。上课之前，这里有一个小疑问， 这个教室长八米，宽六米，那如果我们要把这么大的一个教室在纸上画出平面图，有什么好办法呢？我们来看 这里有两个长方形，到底哪个长方形可以表示出这个教室的平面图呢？我们在画教室平面图的时候，应该保持长方形的形状不变，也就是长宽比相同， 教室的长宽比是六比八。在这两个长方形中，第一个长方形的长宽比是六比八，第二个长方形的长宽比是三比八。所以第一个长方形是正确的， 他是按照一比一百的比缩小的，也就是说他的长和宽分别缩小到了自身的一百倍。第二个长方形是错误的，因为他的长从八米变成四厘米，是按照一比二百的比缩小的， 而它的宽由六米变成一点五厘米，宽是按照一比四百的比缩小的。长和宽缩小的比例不相同，所以它不能表示这个教室的平面图， 其中像一比一百，一比二百，一比四百，我们就叫做比例尺。说了这么多，那到底什么是比例尺呢？ 其实呀，在绘制地图和平面图的时候，我们不可能把实际大小画到图上，所以这时候我们就需要把实际距离按一定的比例缩小或者放大，再画到图纸上， 这时就要确定图上距离和相对应的实际距离的比，而这个比我们就叫做这幅图的比例尺。拿教室和这个长方形来说，画到图上的八厘米和六厘米就叫做图上距离， 而教室实际的八米和六米叫做实际距离。一幅图的图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺， 他有两种表示方法，一种是按照比的形式，就是图上距离比实际距离等于比例尺。还有一种是分数的形式，就是实际距离分之，图上距离等于比例尺。 我们来通过一个题深入了解一下比例尺，请看题，根据一比一百这个比例尺，说一说图上距离与实际距离的倍数关系。 因为图上距离比实际距离等于比例尺，在这比例尺是一比一百，也就是说图上距离比实际距离等于一比一百。来看第一题， 图上距离是实际距离的几分之几，因为图上距离比实际距离等于一比一百，所以图上距离是实际距离的一百分之一。 这里有一个简单的方法，图上距离占一份，实际距离占一百份，谁是谁的几分之几，就让谁去除以谁，也就是一除以一百等于一百分之一。再来看第二小题， 实际距离是图上距离的多少，同样，我们可以用刚才的办法，一百除以一等于一百倍。 第三小题，图上距离一厘米代表实际距离的多少厘米呢？因为实际距离是图上距离的一百倍， 所以图上距离是一厘米的时候，实际距离就是一乘一百等于一百厘米， 也就是一米，这些就是比例尺的含义。那如果换个比例尺，你还会说出它们的含义吗？我们来看，如果一幅地图的比例尺是一比一亿，那这个比例尺的含义又是什么呢？ 我们比着刚才的来说一说。首先在这个比利时中，图上距离是实际距离的对一亿分之一，那实际距离是图上距离的多少呢？实际距离是图上距离的对一亿倍，还有最后一条， 图上距离一厘米就表示实际距离的一亿厘米，也就是一千千米， 在这里的一亿厘米是怎样换算成一千千米的呢？你们会计算吗？我们来看，我们可以把厘米先变成米， 厘米换成米的净率是一百，并且是小换大，所以应该让一亿除以一百，也就是一百万米， 再将米换成千米，米换成千米的净率是一千，也是小换大，所以让一百万除以一千，也就是一千千米， 你们做对了吗？好了，我们接着来看。像这种用数字表示出来的比例尺就叫做数值比例尺，这种比例尺也非常的常见， 在地图上我们可以见到这种数值比例尺，在这个地图上它的比例尺是一比五万，这就是一个数值比例尺。当然除了数值比例尺，我们还有线段比例尺 来看，这幅地图上，它用一个线段来表示，这个就叫做线段比例尺， 它表示图上一厘米的距离，相当于地面上二百五十米的实际距离。那如何把数值比例尺改写成线段比例尺呢？ 我们拿一比一亿来说，我们先把一亿来简化一下，一亿厘米就等于一千千米， 在这里表示的就是图上一厘米，在现实中表示的就是一千千米， 所以我们要画一个一厘米的小线段，上面标上零到一千米， 当然一千到两千也是一厘米，两千到三千千米还是一厘米？学会了把数值比例尺改写成线段比例尺，那线段比例尺能不能改写成数值比例尺呢？ 我们来看这一个线段比例尺。先分析一下它的意思，它表示在图上一厘米相当于地面上五十千米的实际距离，所以图上距离比实际距离就等于一厘米比五十千米。 这里要注意的是，把线段比例尺改写成数值比例尺的关键是比的前项和后项单位要统一， 所以我们要把五十千米换成五十万厘米，这样的话，我们就把数值比例尺给写出来了，也就是一比五十万。我们接着来看有一幅零件图纸的比例尺是二比一， 它代表什么呢？我们之前看的比例尺都是图上距离小于实际距离，那这个二比一表示什么呢？ 其实比例二比一表示图上距离是实际距离的两倍，或者说实际距离是图上距离的二分之一。 我们一起来观察一下前面的这几个比例尺，你发现了什么呢？对，前面三个比例尺都是图上距离小于实际距离，这种比例尺我们叫做缩小比例尺， 而最后一个图上距离大于实际距离，像这种比例尺就叫做放大比例尺。 所以比例尺有两种分类形式，如果按表线形式分的话，它可以分为数值比例尺和线段比例尺。 如果按实际距离缩小或放大分的话，它可以分为缩小比例尺和放大比例尺。这里还有一点需要注意，为了计算方便，我们一般把比例尺写成前项或后项是一的形式。 好了，比利时我们已经全部了解完了，我们来看题，题目中说两地之间的实际距离是一百二十千米，在一幅地图上，梁德两地的实际距离是二点四厘米。 问这幅地图的比例尺是多少？因为比例尺等于图上距离比实际距离。写数值比例尺的时候，我们要注意统一单位，所以我们先把一百二十千米换成一千二百万厘米， 接着我们再来写比例尺，也就是二点四比一百二十万。将钱像画成一的话就是一比五十万，所以这幅地图的比例尺是一比五百万。将钱像画成一的话，就是一比五百万， 所以这幅地图的比例尺是一比五百万。好了，我们找道题来练习一下吧。来看 一个圆柱形零件的高是五毫米，在图纸上的高是两厘米，这幅图纸的比例尺是多少？同样，我们要先统一单位，两厘米等于二十毫米。 其次我们要分清楚谁是实际距离，五毫米是实际距离，两厘米是图上距离比实际距离， 所以写出来之后就是二十比五，将后项化为一的话就是四比一，所以这幅图纸的比例尺是四比一。好了，今天的内容我们就学到这里，小朋友们你们学会了吗？

好，今天咱们来看关于比例变化的一道题，首先我们来看一下题，三比七等于六比十四，如果给三加上十一后，要是等式仍然成立，则应该给七加上几。 我们在看到关于比例的题的时候，首先要想到的就是它的基本性质，也就是内向相乘的积等于外向相乘的积。那我们首先先看比例变化成什么样了，是不是就要先看三加上十一后等于几？ 三加十一等于十四。好，那这个时候我们来看三比七等于六比十四的原式，是不是这个三已经变成谁了？十四了？ 那要想让这个等式仍然成立，这个三比七的比值是不是不应该变？也就是说十四比括号应该继续等于三比七。那这个时候我们来观察啊，括号乘以三紧挨着等号，它是不是两个内 向，那我们利用它的性质啊，一起来看一下， 也就是说括号乘以三，这是两个内项的积，等于十四乘以七，两个外项的积，对吧？那我们是不是可以先算出括号，也就是说先算出七变化成谁了？ 好，我们来看十四乘以七，再除以三就等于括号。好，我们可以在这列数是十四乘以七四，七二十八进二。好，九十八，所以是三分之九十八。 大家注意啊，我们在没有算出最终结果的时候，分数可以先写在这里，最后看能约分就约，约分不了我们再去计算它。好吧，啊，那这个时候我们已经算出了这里是谁，三分之九十八，对不对啊？那 给七加上几才等于三分之九十八，所以我们是不是直接用三分之九十八减七就可以了，来通分三分之九十八减三分之二十一 等于三分之七十七，等于我们把它化成代分数啊。七十七除以三，是不是二三得六十七，三五十五于二，所以是二十五又三分之二， 也就是说给他加上二十五又三分之二，这个等式仍然成立。好，同学们听懂了吗？

嗯， let's go！ 那你们写完没有？写完了来让王子欣来讲解他每一步算是并表示什么啊？只要你简单， 第一步三十六除以二等于十八厘米，因为周长是三十六厘米，他的长宽和长的比是四厘米，他的按比例分配的是一条长和一条宽，所以一条长和一条宽相加的和是十八厘米， 然后长就是因为然后长就是等于十八乘四加五分之五等于十里十厘米宽就是十八乘四加五分之四等于八厘米，然后长乘宽等于面积，所以八乘十等于八十平方厘米。谁听清楚他讲的最关键的一句话？ 大家说最关键的那句话，就是因为按理分配的是它一条长一条宽宽的周长，那么如果是棱长合适八十四厘米，所以有合适。 你说你读一次，因为一一个正方形，一个长方形有四条长，四条宽和四条高，我们按笔分配的是一条长，一条宽，一条高。关于笔的英语，我们要提醒大家注意，什么 都要按笔的顺序，按笔分配的是， 哎呀， 咳咳， on your speed。 来。好了， 我先设边长，先解设方程。嗯，先设边长为零点五米的方砖，用 x 块，然后他这边他说的是边长为零点四米，说明他要乘以它的平方是算出它的面积一块，然后再乘以砖数等于零点五米的平方 x， 然后算出，嗯，教室的面积是四十八平方， 然后再等于零点二五 x， 说明四十八除以要除以。呃，边长有零点五米的砖，所以 x 等于一百九十二方，所以教室要用零点五米。边长有零点五米方砖需要一百九十二块， 听清楚没有？听清楚了，那么用比例的知识解决问题，首先要注意什么？单方有问题？解字，解字，这是要提醒大家解单位要同意解字。那么我们首先要判断什么？ 判断什么？首先判断什么？ 你告诉大家新款的啊，因为他的是边尺，他是说是边，边长为零点四米，所以要求出他的一块砖的面积行不行啊？零点四和一点五方砖的边啊，面积和块数成正乘，反比例 七的面积就是方砖的一点方砖的面积和块数乘以，那么是不是整块地面的面积？不是，是几块方砖的一块，那么是。来来来，这么试一下， 十一块方砖面积乘所需的块数等于整个教室，所以整个教室的面积一定一定 就所需方砖的面积和一块砖的面积和一块砖的面积成法面积关系。好，坐下啊， 那么如果老师把它改一下，改成零点四平方米和零点五平方的一样吗？不一样，应该是这样的，不用去 直接求零点四，直接用它的什么面积？一块的面积和三块数乘， 这什么什么关系？那么如果老师已知的是一块砖的面积，老师踩的这一块砖的面积是一定的，那么这个教室的面积和谁成什么关系？有块说，有块说，有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块 说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说、有块说，有块说，有块说，有块说，有块说，有块，有块说， 听清楚没有？听清楚了来，那么大家要仔细观察，看清楚是成正比例关系还是成反比例关系。好，接着我们来继续用比例尺的知识进行 来，由于时间关系，其他说说你的思路。 这道题你准备怎么样做？嗯，教教好。嗯，因，因为他的比例值是一一比四十千米，然后呢就是 比例值是，呃，四厘米，一厘米比四十千米等于一厘米，嗯， 四百万四百万厘米，然后加在地球上加一两圈，相距十二点五厘米，然后就要用十二点五乘以四十万乘以乘以四十万厘米乘以四百万厘米，然后算出两两处之间的距离， 然后再用，嗯，一百二十千米加八十七米等于两两百千米，然后再用嗯，两地之间的十十一米的距离。两百千米用筷子的距离。 第一步就是他的实际，那么八十加一百二十是他的。对，加加一，加一，加一，速度，速度，这是我们以前学过的什么 尊香型，现在又加了比利时的知识，把我们以前学过的知识和现在学过的知识融合在了一起。那么我们今天只学习了比和比例的几道典型例子和应用， 那么明天我们继续将探讨比和比例的应用。下课，老师再见！

哈喽，同学们大家好，我是你们的刘老师，欢迎大家回到我们的比例法解行程。那今天是我们的第四题， 来，我们先看题。呃，甲、乙两人呢？分别从 a、 b 两地同时出发，匀相向的匀速而行。那么当甲、乙在图中 c 处相遇时，并从 b 地出发，我们来先画下其中这个图形啊， 一共是 ab 两个地方，甲、乙、丙三个人。好，那么甲、乙呢？先先走，在 c 处相遇，此时我们的丙从 b 处开始出发，匀速去 a。 那 么第二次呢？我们是甲与丙在 d 处相遇。好，那么甲、乙、丙再走了一点路程，在 d 处相遇，那此时我们乙是不是也要往前走一点？ 好，那此时甲要立刻掉头，并且速度降低为原来的百分之八十。 哎，你看这里是不是有一个变速，我们的甲掉头，并且速度为原来百分之八十了。好，那么当甲、丙同时到达 a、 d 时，已离 a、 d 还有七百二十米。哦，这里甲不仅降速为原来百分之八十，并且此时的甲和丙还同时 到达了 a、 d， 这里说明什么呢？我把图形画出来啊，也就是说我们甲变速之后是虚线和丙同时到达了 a、 d， 是 不？说明我们看甲、丙两人同时从 d 处走，并且同时到 a 处， 那说明是不是此时的甲和丙应该是速度相等的？好，这里我们知道一个非常重要的信息，甲、乙、甲和丙速度相等，那么此时的乙距离 a、 d 还有七百二十米，也就是说我们乙到 a、 d， 我 们这一段路程 是七百二十米。好，那么他说 c 与 d 的 路程是九百米，我们也标记一下， c、 d 之间是九百米， 那么 a 与 b 之间全程路程是多少米的？好，我们看，首先我们先通过刚才读题得到信息，我们知道了第一次变速时，我们这里的微夹撇 是原来的百分之八十，就是零点八倍的微夹。好，这是我们的第一个信息。第二信息呢，我们知道甲与丙在这里同时出发，同时到达，也就是说我们这里的微丙 和我们第二次变速后的甲速是一样的，对吧？那么它也等于我们的零点八倍的微甲。好，那通过这个情形得到我们是不是甲与丙之间的速度关系，你就知道了，那咱们按比比例写的话，就知道应该等于 这里的微甲比上微丙，也就是一个五比四的关系。好，那么 我们来看，哎，我们看这个红色部分好，红色部分甲走了 c 到 d， 而丙同时走的是从 b 到 d 这边距离，对吗？ 那么这两个距离咱们知道他俩的速度比是五比四，所以呢，你是不是可以通过这个速度之比呢？你能够得到这两段路程比应该是五比四的关系，所以这里我们知道这里的 cd 和我们这里的 d、 b 二者距离之比应该为 五比四的关系。那你还知道 c、 d 是 不是九百，所以呢，你能够通过这个比值关系的得到我们这里的 d、 b 等于 七百二十米。好，那我们就这样子一步一步把我们所有全程，我们全程的所有路程全部哎，给它算出来，这边是七百二十米好，哎，我们看到这七百二十米，有没有感觉 好像似曾相识啊？你看这里的哎，已到 a 处，是不是也是差七百二十米到达？ 哎，我们来分析一下啊，你看甲是不是一共一开始从 a 到 d， 后来从 d 到 a， 那 么第一道走的路程就是全程少了七百二， 第二次变速走的路程呢，也是全程少了七百二，那么我们看以同样也满足的是走了全程少七百二十这么多距离，对吧？好，我们看假一两人他们的用时相同，并且他们走的路程有一定的倍数关系，那咱是不想通过这个去。哎，能 得到我们甲与乙之间的速度关系，因为我们这边是也得到了甲和乙的速度关系，但是同学们，我们发现这边的甲很讨厌他变速，他降速了，那如果甲不降速，咱是不是能很简单得出来这个关系？但甲降速了之后，好像咱们不会比了，是吗？ 那咱们有办法怎么办？哎，他既然降速咱不会比，咱就假如，那假设好，我们甲就是没降速，行不行？ 没降好，绿色部分甲没降速，但咱们这里知道，我们这里甲原本速度是要更快一些的，所以如果甲没降速，他要走的比这个绿色虚线要长一点，那我们原本绿色虚线是走的应该是全乘 ab 减去七八，那这一段走的应该是多少呢？ 好，我们这里知道假速度变成原来的速度之比是五比四的关系，那么它的路程之比应该也是五比四的关系，所以呢，我们这里 绿色实线部分应该就是我们原来的这里 ab 减去七百二十，那比它长一些，长多少呢？哎，乘以一个四分之五，那这里就是我们假设中加走的路程。好，那我们来这里写一下 若为 酵素的话，好，我们这里写。那我们甲走的路程是不是应该就是第一段是 ab 减去七八二，好，这是没问题，这是第一部分好，折回去呢，变成了 a， b 减七百二十，再乘以五分，乘以四分之五。好，那总和就是四分之九倍的 a， b 减去七百二十。好，这是甲走的路程，我们再看那乙，咱们刚说过吗？ 在图中可以看出，他走的路程也就是 a b 减去七百二十。好，此时我们得到了甲乙两人 在速度未变化情况下，甲走了九四分之九倍的 ab 减七百二，乙走的是 ab 减七百二，那么它们速度没变化，时间相同，那咱们就可以得到这里呢，我们其实微甲和微乙的关系就得到了 二者的速度关系之比，就是这个九比四的关系，他们的路程之比好是九比四的关系，也就是我们，我们且详细点呢，就是等于我们甲的路程比上乙的路程等于九比四的关系。好， 那此时我们再回到刚才，哎，我们甲乙相遇蓝色部分，甲乙相遇时， 我们这时候就知道了，好，他们在第一相遇时，甲应该分得，如果全程是一共是九加四十三分的话，甲中间分得九分，乙分得应该是四分，所以呢，通过这个我们就能得出我们 ab 全程是不就知道，那如果乙这里对呢是四分， 全乘就是十三分，所以呢，这里我们就知道了，我们全乘 a b 怎么算呢？我们 ab 就 等于那这里 s 已走的路程， c 到 b 这段距离，它所对应的 四分除掉，再乘以我们 a b 所对应的十三分，那么也就是我们的一千六百二十除以四乘以十三，等于五千二百六十五米。好，那这就是我们这题最后的结果。

是比的什么？真好，对吧？对，好，下一道 仔细算一算啊。来，一坤二除以五等于四，比十等于等于等于十，五分之六等于百分之四十。 好，那你能说说这道题运用的是什么知识吗？来给写一下吧。 他认为是按比例分配。哦，老师，我觉得还要修改一下，是吗？嗯， 我觉得老师，这应该是比图除法和分数的关系是吧？这一部分应该属于比的 意义方面和比的基本性质都包含，所以你把题号写在他们中间两个后头就行了。中间也行好吗？嗯嗯，真好。好， 这个 王秉仪， 嗯，用三十除以五，用三十除以三乘以五。那你能说说三十除以三能求出来什么呢？嗯，求出来的是一份量，嗯，然后再再乘以五，就是假假假数的具体数，所以结论是，嗯， 结果是五十，同意吗？同意。来，你给写一下。这道题用什么 怎么样？有意见吗？没有啊，用的是按比例分配好下一道。 谁说的？含香，嗯，三乘零点八等于零点四八乘以五，嗯， 三乘零点八和五乘零点四八相等。哎，你这道题是利用的什么？告诉大家。嗯，比例的基本上。真好，来，你写一下题号。 嗯， 同学反应非常快啊， 谁说的？这道题高。一伟， 煤的总量一定每天烧，每天的烧煤量和能够烧的天数成反比例，同意吗？同意。好，真好， 能跟大家说说为什么吗？窦一伟，嗯，为什么成反比例？因为每天烧煤的量和那个能够烧能够烧的天数相乘，能得出来煤的总量，而且煤的总量是一定一定的。来，你给写一下。 这是第六题 对吗？对对对，你蹲 向之，如果图上距离是一厘米，实际距离是三米，这幅图的比例尺是一比三百。真好，一比三百，想着单位换算了，你真棒。来，你给写一下， 好，明白。 张泽能说说吗？ 一个直角三角形的两条直角边分别是三厘米和四厘米，把它们按二比一放大后的图形的两条边分别是六厘米和八厘米，怎么样对吗？对，六怎么来的？能给大家说一下吗？ 六是怎么算出来的？ 把三放大，放大两倍，这呢？把四也放大两倍，非常好。来，张泽， 好，下一袋。 你先说应该，嗯，教室地面铺地砖用边长为十五厘米的方砖需要三百块，如果改用边长为二十五厘米的方砖需要 二十五乘以二十五， x 等于十五乘以十五乘以三百，你这边选啊。 b， 嗯，请坐。 一块砖的面积乘一块数等于一块砖的面积乘一块数，体现了总面积相等。你先说来，你给写一下， 师傅做一个零件用五分钟，徒弟做一个零件用九分钟。师徒工作时间的比， 王秉仪是五比九，同意吗？同意。来，你给写一下。这几句话搁这找着呢， 够了哈。来来，那个谁，李良言，你帮他写一下，请回， 嗯，第十题的第一问用的也是笔的笔真好，好，再看下一个 工作效率的笔。李明辉 试图，工作效率的比是九比五，能说一下为什么吗？嗯，因为在工作总量一定的情况下，嗯，工作效率的比是工作时间的比的倒数的反比的反比，是吧？对，嗯，来，你给写一下。 嗯，好，看。下面第三问，师徒合作一段时间后师徒工作总量的比是多少？ 工作总量的比？你先说师徒工作的总量比，应该还是九比五，能说一下为什么吗？因为工作效率的比和工作总量的比是一样的。嗯，他们是成占比例的来。 好，这问大家就得在纸上算一下了。来，拿你带的那张纸在纸上算一下，看看师徒合作九十八个零件，师傅做了多少个。 做完的同学就做好了啊？ 好，很多同学已经算完了。谁说一说你是怎么做的？ 再说一说李良言，我用的分数法解的这道题，嗯，我先用九十八除以九加五的和，嗯，等于等于 求出，求出一份是师徒，一份做多少个，嗯，一份是多少个，然后再乘以九乘以师傅的份数，等于师傅的 个做的零件的个数，嗯，最后结果是六十三，跟他算的一样的同学举下手，我看好手，放下， 请坐。李良言，那刚才李良言说的方法，我找另一个同学，你把他的知识点写在网络上，谁来？这道题用的什么知识？王海新，你来 同意吗？同意，嗯，他也是按比例分配的啊。 同学们，我们看一下现在黑板上的网购题，看一下后面咱写了这么多题号，你想说些什么？ 说明这些知识怎么样啊？王家鹏，比和比例在实际应用中非常的广泛。嗯，比和比例的知识在实际应用中是非常广泛的。还有吗？ 瞅紫婷，在比例知识这块，正比例和反比例平常，嗯，只有判断出来正比例或者反比例才能，嗯，才能做题，才能用比例解决问题。嗯，你的意思是正反比例要判断准确，是吧？ 请坐。让我们看一下网络图，有的知识后面写了好几个题号了，说明，哎，更加广泛。那我们现在看到的网络图只是咱们学知识的一小部分， 那么后面咱要还要继续让这个网络图再扩大，学到更多的知识。但是我们学这一部分的知识的时候，就要把它学扎实学好，为将来把网络图的发展坚定好基础。基础。 那么这节课呢，我们主要研究了比和比例的网络知识图， 那么同学们回家的时候，把自己的那张网络图再给他完善一下， 这就是今天的作业。另外再补充一项作业，就是把数学书六十五页和六十六页这两页的相关练习题咱们再做一下， 强化一下咱们做题的速度和质量，行吗？行，好，那么这节课。

哈喽，欢迎来到范老师的小课堂。今天我们继续学习六项第二单元比例问题。我们先用比例基本性质解这个方程，比例基本性质是两内相积等于两外相积。解方程的时候记得写解 八， s 等于三十，乘以二十四，减得 s 等于九十。来，我们看一下第二个，第二个是以上结构的分数形式对不对？这里有一个方法叫做交叉相乘，我们交叉相乘起来， 依然先写解零点二五， s 等于一点二五，乘以一点六，解的这个方程 s 等于八。这两个非常经典的格式解方程相信你一定能掌握。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例第二章节正比例和反比例的第一课时。正比例来看例，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系，如下表，数量一米，总价三点五元， 两米七元，三米十点五元，四米十四元等等。根据给出的这个表格，我们回答下面的问题。 第一问题，表中有哪两种量？一种是数量，一种是总价，所以有数量和总价两种相关联的量。这两种量有什么样的关联呢？我们仔细观察，随着数量的增加，总价呢 也在增加，那随着数量的减少，总价也在减少。是的，数量增加，总价增加，数量减少，总价也减少。第三个问题，相应的总价与数量的比分别是多少？ 比值是多少？总价与数量的比，那就是三点五比一，七比二，十点五比三，十四比四，它们的比值分别又是多少呢？三点五比一等于三点五， 七比二，比值三点五，十点五比三，比值三点五。那么其他的呢？孩子们，你来算一算，他们的比值分别是多少？是的，这些总价与对应的数量的比值都等于三点五。 那么比值三点五，它表示什么意思呢？总价与数量的比值，它就实际上就是彩带的 单价。如果用式子来表示总价、数量，单价，他们之间的关系就是总价比，数量等于单价，并且单价一定。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量， 他们的关系叫做正比例关系。那根据上面的表格，总价和数量，它就是乘正比例的量。 总价和数量，它们两个的之间的关系，那就成正比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，并且比值一定，那么正比例关系可以用下面的式子来表示，那就是 y 比 x 等于 k， k 一定，也就是比值一定。大家继续思考，成正比例的两种量必须具备哪些条件呢？ 第一就是两种量必须相关联，一种量变化，另一种量也随着它的变化而变化。第二，两个量的比值一定。这时候我们就说这两个量成正比例关系， 那上表中的数据啊，我们还可以用图像来表示，数量是一米，它的总价三点五元。数量二米，总价七元。数量三米，总价十点五元。数量四米，总价十四元。接下来我们把五米、六米、 七米、八米他们所对应的总价秒点，然后把这些点连线，根据这个图像你发现了什么？我们发现正比例关系的图像是一条从原点零零出发的无限延伸的射 减。根据图像我们来看第二题，把数对十三、十五和十二、四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？十和三十五对应的是这个点， 十二、四十二对应的是这个点，然后我们把它们连起来，发现了什么？ 对，这两个点也在这条射线上，因为任何一个点，它所对应的总价和数量的比值都是单价，单价一定，所以它们都在一条射线上。接着看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 注意，不计算买九米彩带的总价，那我们找到九米，他所对应的总价就是和这条射线的交点，那这个点就是九米，三十一点五元。 那如果买四十九元，他和这条射线的交叉点对应的是十四米， 所以是十四米，对应的是四十九元，所以买九笔彩带总价是三十一点五元，四十九元能买十四米彩带。有了图像 不计算，我们就可以直接找到它们对应的量。第四题，小明买的彩带的米数是小丽的二倍，他花的钱是小丽的二倍，他花的总价也是小丽的二倍。 也可以根据总价比数量等于单价，可以知道，数量扩大了两倍，所以他们的总价也扩大到原来的两倍。因为单价不变，所以他花的钱也是小利的二倍。 那除了刚才我们的总价和数量，两个量成正比例关系。孩子们，你能举出生活中正比例关系的例子吗？小明举出了正方形的周长与边长成正比例关系，你同意吗？ 正方形的周长等于边长乘四，所以周长与边长的比值就是四，四一定，那么周长与边长就成正比例关系。小红说，如果汽车行驶的速度一定，那么路程与时间成正比例关系。 路程比时间等于速度，当速度一定的时候，那么这两个量就成正比例关系。王老师也给大家带来了几道题，判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。孩子们，请你按下暂停键，快速试一试吧！ 王老师相信这三道题啊，一定难不住大家。好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们理解了正比例的意义和正比例关系， 并且会判断两种量是否成正比例关系。了解了正比例关系的图像，不用计算就会直观的判断两种量的变化情况，并且根据规律我们会解决生活中的实际问题。孩子们，你学的怎么样呢？

六年级小号意识后复盘汇总来了，总有人说复盘是重复刷题，浪费时间， 实则复盘是精准查漏、吃透知识的关键。这份总结是沉淀，更是马年新学期的底气。重视复盘，让每一份努力都有回响。

同学们大家好，今天我们继续进行北师版教材六年级下册第二单元比例的学习。 关于比例，同学们在单元之初提出了一些非常有价值的数学问题。 通过上一节课的学习，让我们知道了什么是比例，以及比例的各部分名称，并且能够运用求比值、化简比这样的方法来判断两个比能不能组成比例。 这就让我们对比利有了一些比较初步的认识。这节课我们就继续走进比利，看一看它还有哪些奥秘。 既然我们现在已经知道了什么是比例，现在就请你打开作业本，在本子上写出一个比例，并且在头脑当中梳理一下你是怎么确定出这个比例的。 我们来听一听同学们的想法。 我首先想到的是二比一，这个比只要等号的左右两边的比都等于二比一，就能形成一个比例了。二比一可以变成十二比六，二比一也可以变成八比四，这样就写出十二比六等于八比四这个比例了。 我是先随便写出一个偶数比六比四，因为偶数比一定是可以化简的，把六比四的前项和后项同时除以二，就变成了三比二，这就形成了一个比例。 我先写出来的比是三比二，它们的比值是一点五，只要再写一个比值为一点五的比就行了。我觉得比较好想的就是十五比十。 佛系的这个比例比较好想，只要两个比都做到前项是后项的五倍，那肯定就能组成比例。所以我想了两个比，一个是十比二，一个是十五比三。 这几位同学他们确定比例的思路虽然不一样，但是他们都很好地抓住了两个比相等这个关键点。 下面请你仔细观察一下这四个比例，相信你会有新的发现。 我发现第一个比的前项和后项同时乘一个相同的数，就会变成第二个比。比如第三个比例三和二同时乘五，就会变成十五比十，其他的比例也都类似。 这位同学的发现，让我们再一次的感受到了比和比例之间的密切联系。只不过这还不能称之为是新发现，因为这实际上就是我们学过的比的基本性质， 如果在表达的时候再加上零除外，就更严谨了。我们再来听一听其他同学的发现。 我发现每个比例中，两个内项的乘积都是等于两个外项的乘积的。比如六乘以八等于四十八，十二乘以四也是等于四十八的。四乘以三等于十二，六乘以二也是等于十二的。 二乘以十五等于三十，三乘以十也是等于三十的。 最后一个比例，内向肌和外向肌也都是等于三十的， 你写的比例也是这样的吗？如果也是这样的，两个内向的肌等于两个外向的肌，那咱们再写几个比例试一试，看看这个发现还成立吗？ 老师，我又写了两个比例，发现内相机和外相机都是相等的。第一个比例，内相机和外相机都是七十二。第二个比例，内相机和外相机都为一百二十。 我也写了两个例子，因为我们现在的例子都是整数的情况，所以我想看看小数和分数的情况成不成立。 零点二比零点八和零点四比一点六，化简后都是一比四，所以我写的比例是成立的。我们来算一下他的内向机和外向机，内向机是零点三二，外向机也是零点三二机是相等的。 把四分之一比五分之三化简，就会变成五比十二，所以这个肯定也是比例。内向机是五分之三乘五等于三，外向机是四分之一乘十二也等于三。内向机和外向机也是相等的， 因此我觉得在一个比例当中，内向机等于外向机应该是成立的。 老师必须要给这位同学一个大大的赞，因为通过他的举例，一下子让我们把目光由整数扩展到了更大的范围。 所以说举例不代表着举几个简单的例子，实际上好的例子，特别能说明问题的例子，同样是需要深入思考的，甚至有的时候我们还可以考虑举一举反例。 这位同学在举例之后得出这样的结论，说比例当中内向机等于外向机应该是成立的。 这里边用了应该一个词，我们细细的品一品。它其实有两层含义， 一方面表示这位同学对这个规律是认可的，另一方面也在说明对于这个规律是否真的成立，它还不是特别的确定， 有什么办法能够确定这个规律是必然存在的呢？ 我可以证明这个规律是成立的。把比例写成字母形式， a 比 b 等于 c 比 d， 让 a 和 b 同时乘 c， c 和 d 同时乘 a 等式还是成立的。这样我们就得到了 a， c 比 bc 等于 a， c 比 a、 d 两个比的前项都是 a、 c， 那 么它们的后项肯定也是相等的，感谢这位同学的精彩分享！ 用字母来说明问题是一个很棒的选择。这位同学运用比的基本性质， 让第一个比的前项和后项同时乘 c， 第二个比的前项和后项同时乘 a， 这样做并不会改变两个比的比值，所以等式仍然是成立的。 这么做的目的就是要把两个比的前项变成相同的 a、 c， 这样我们就可以说明两个比的后项 bc 和 ad 是 相等的了，而 bc 就是 两个内向的乘积， ad 就是 两个外向的乘积，这样就可以说明这个规律是存在的了。 同样的道理，如果我们把两个比的后项变成相同的，同样可以说明这个规律是存在的。 但是这个时候，第一个比的前项和后项要同时乘 d， 第二个比的前项和后项要同时乘 b， 这样的话，两个比的后项才能变成相同的 b、 d。 实际上，在比例里，两个内向的肌等于两个外向的肌。这个规律我们并不是完全陌生的， 在学习分数的时候，有的同学就曾经总结出了交叉相乘积相等这个规律， 现在我们用比例的视角回看这个规律，你有什么新的感悟吗？ 哦，我明白了。四分之三就是三比四，八分之六就是六比八，三乘八就是外向的积，四乘六就是内向的积。交叉相乘积相等实际上就是外向积等于内向积。 是的，这两种不同的表达表述的是同一个规律。所以说学习有的时候就是要换一个视角，不同的视角来观察，会有不同的感悟，不同的收获。 现在我们掌握了这个规律，它能帮助我们做些什么呢？ 通过内相机和外相机是否相等，我们同样可以判断两个比能不能组成比例。 下面就请你运用这样的规律判断一下，下面这几个组当中，哪几组的两个比是可以组成比例的。 一点五乘以八等于十二，十乘以一点二也等于十二，内向肌等于外向肌，所以是可以组成比例的。 这种判断方法你听懂了吗？下面就请你快速的判断一下后面的这三个组。 九乘十二等于一百零八，六乘十八也等于一百零八，内向积等于外向积，所以六比九和十二比十八是可以组成比例的。 九分之一乘三分之一等于二十七分之一，四分之一乘二分之一等于八分之一，这两个积不相等，所以组不成比例。 十二乘以六分之一等于二，九乘以十八分之一等于二分之一，两个乘积并不相等，所以九比十二和六分之一比十八分之一不能组成比例。 现在我们判断两个比能不能组成比例的方法就又多了一种。 我们除了可以用求比值化简比，运用笔的基本性质，我们还可以选择内相机和外相机是否相等来进行判断。 下面咱们来挑战一下更有难度的问题，能不能根据乘法算式来写出比例呢？ 我发现九除以三等于三，一点二除以零点四也等于三，所以我写的第一个比例就是九比三等于一点二比零点四， 把数交换一下位置，第二个比例三比九等于零点四比一点二就出来了。 我们来看一看这位同学所写的两个比例调换位置，这样话就会把原本处于外向位置的九和零点四调换到了内向的位置， 把原本处于内向位置的三和一点二调换到了外向的位置，这样调换内向肌和外向肌肯定还是相等的，因此调换得到的新比例仍然是成立的。 这位同学的这种方法其实是很考验大家的观察能力和计算能力的，有没有更简单一点的方法呢？ 我的方法是把九乘零点四看作内向机，九和零点四填在内向的位置，把一点二乘三看作外向机，一点二和三填在外向的位置，这样就行了。九和零点四可以换位置， 实际上一点二和三也可以换位置，只要保证内向机是九乘零点四，外向机是一点二乘三就行。 而且也可以九和零点四做外项，一点二和三做内项。当我写完发现这样写出来的四个比例和原来的都会重复。 这位同学写比例的方法是不是就简单多了？运用这样的方法，相信你也可以很轻松地依据第二个乘法算式写出比例。 这节课我们一起探索了在比例中，两个内向的肌等于两个外向的肌，这个规律我们可以称为是比例的基本性质， 大家要牢固的掌握这个性质。此外，我们在探索过程当中所运用的研究方法以及灵活的运用这个性质也是同等重要的。 通过这节课的学习，我们对比例应该有了更进一步的认识。下面我们重点来探索这个问题。 比例有什么用？我们怎么能够运用比例来解决实际问题？