立体图形6年级下册教程

面动成体是六下以及小升初数学里面出题老师最喜欢的题型之一，因为它能充分考察孩子的空间想象力以及拆解能力。接下来我们看一下今天的这道题目。在三角形 a、 b c 中， a b 是 等于五的，如果以 a b 为底，它的高就是三。 现在以 a b 所在的这条直线为轴，旋转一周后能得到一个立体图形。题目问的就是这个立体图形的体积是多少？首先我们要想象到并且画出这个旋转后的立体图形，好给三秒钟的时间给大家思考一下。 没错，这个立体图形它就长这个样子了，但是该立体图形如何求它的体积呢？接下来吴老师画出一条透视的弧线，大家应该就知道了，我在这里把这个 c 点和这个 c 撇点这里画一条这个弧线出来。 好了，现在大家是不能发现这个立体图形，它是由上下两个圆锥组成的， 并且这两个圆锥有一个共同点，他们的底面是相同的，因为他们的底面是共面。好，提起圆锥，我们回顾一下圆锥的体积公式，体积 v， 它是等于三分之一的底面积乘以高。好，现在我们把上面的这个圆锥 这条高，我们称作为 h 一，下面的这个圆锥的这条高，我们把它称作为 h。 二。那现在整个立体图形的体积，它是不是等于上面的这个圆锥的体积三分之一 s h 一， 加上下面的这个圆锥的体积也就是三分之一 s h 二。好，我们看一下，由于底面积相同，这个三分之一都是一样的。那我们提取一下公因子，它是不是三分之一底面积乘以什么 h 一 加 h 二啊？ 好，公式就出来了，那接下来我们只要把所有的数据还原回去就可以了。好，首先一个圆锥的底面积是不是拍 r 的 平方？好，所以它是三分之一乘以三点一四， 再乘以 r。 好， 这里的 r 是 多少？你看一下，我连一条虚线，大家就会发现，这里的 r 就是 原来这个三角形以 a b 为底的时候它的高，所以它就是三了。这里 那也就是说它是乘以三的平方。好，现在看一下 h 一 h 二分别是多少我们并不知道，但是 h 一 加 h 二加起来是多少？加起来是不是五啊？所以最后再乘五， 那最终我们就能算出来它是等于四十七点一的，这就是本道题目的答案了。最后总结一下这种面动成体的题型，第一步我们要想象得到 旋转后是一个怎么样的立体图形，那第二步就是我们要学会把这种不规则的立体图形拆分成两个或以上的规则立体图形，最后就能通过体积公式实现轻松的解析。

五年级下册第三单元要用到的几何体演示器，家长提前准备，不然上课老师要求买可就来不及了。翻开新版课本第三单元需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形，可以看到正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六体积是边长乘边长乘边长。表面积和体积的计算是五年级下册学习的重难点，孩子借助教具更直观。采用透视原理设计，还是可拆卸的，让孩子清晰看到几何体的内部结构，提升空间想象力。 全套常见的立体几何图形，每个都标有图形名称，孩子容易分辨。自带收纳盒，携带也方便。

五年级下册第三单元要用到的几何体演示器，家长提前准备，不然上课老师要求买可就来不及了。翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形，可以看到正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六。体积是边长乘边长乘边长。表面积和体积的计算是五年级下册学习的重难点，孩子借助教具更直观。采用透视原理设计，还是可拆卸的，让孩子清晰看到几何体的内部结构，提升空间想象力。 全套常见的立体几何图形，每个都标有图形名称，孩子容易分辨。自带收纳盒，携带也方便。 五年级下册要用的几何教具一定要提前准备，不然上课要用的时候来不及买。翻开新版课本第三单元，需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形，可以看到正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六。体积是边长乘边长乘边长。表面积和体积的计算是五年级下册学习的重难点，孩子借助教具更直观。 采用透视原理设计，还是可拆卸的，让孩子清晰看到几何体的内部结构，提升空间想象力。全套十五个常见立体几何图形，现在给孩子准备起来，开学就能直接用上。

同学们，我们喜欢喝牛奶吗？ 看到茶杯和牛奶，你想到哪些数学问题呢？ 小姐姐，一个茶杯可以容纳多少牛奶呢？哦，这个茶杯能容纳多少？牛奶还有吗？ 吴敏芝，牛奶的容积是多少？装这瓶牛奶的容积是多少？还有吗？ 茶杯的容积是多少？茶杯的容积是多少？好，最后那位同学，牛奶盒的包装材料要多少？牛奶盒的包装盒的材料是多少？这当中我们就涉及到了 牛奶盒的表面积，表面积和茶杯的体积。这是什么形状？圆柱体，这是什么？长方形？长方形？对于这些 液体图形，今天我们对它进行整理和复习。长方体、正方体、黏住和别追 同学们进行了预习，把这些液体图形的表面积和体积进行了规划和整理。下面请同学把长方体等这一类的表面积体积 方式在黑板上展示一下。陈一芬，还行，一个地方帮忙快速的把长方体，正方体、圆柱，然后剪辑， 两个人一起来合作完成。好，看清楚， 认真看清楚，看清楚， 合作完成对了吗？好，请下去，谢谢！ 长方体的表面积跟正方形的表面积，圆柱的表面积找对了没有？找对了，这是 长方体的体积公式，正方形的体积公式，圆柱的体积公式。圆锥的最后这一个刚才乘以一个比例，应该放到哪儿合适了 最好，因为他是这三个都可以用，都可以用什么？平面肌层膏，说明这些长方体之间的公式的推导，他们之间有没有联系呢？有谁能说说 他们的体积公式有什么联系？小姐姐，他们的体积公式都可以用底面积层高来表示，都可以用底面积层高来表示，不错，那这些体积公式的推导回忆下是怎么得来的？ 有什么公式能够推导出什么公式，记得吗？回忆下， 长轴体的体积是长成宽成高，正轴体的体积是边长，边长也变长，也就是边长的立方。那么在学圆柱的体积的时候，把 圆柱的圆柱的分割和径直平行，所以我们在学习圆柱的体积的公式的时候， 就把圆柱的体积转化成长方形的体积，把它拼接成一个近似的长方形，所以我们得到它的体积公式是 泰尔日的平方。 h， 说明这些例子之间他们有内在的联系，对于他们 所得到的通用的公式都可以用底面积乘高。今天我们再来对为什么没用底面积乘高，我们来进行一下整理和复习。 赵老师今天拿了一个用什么来代替的长方体扑克牌，对，扑克牌现在它的形状就是长方体，那你能从长方体当中能找到 一些什么平面图形呢？你从平长方体当中能找到一些什么平面图形呢？ 颂，我能找到长方形和正方形，和正方形是抽出一张扑克牌， 你看他的一个面就是什么长方形，一个面就是什么呀，长方形。对了，那你怎么小姐姐你说说，为什么你说还能找到正方形呢？因为如果他的其他四个面的面积相等的话，那他的两个 两个宽乘高的这个面的面面积就相等，也就是一个正方形， 你们能够听说有什么什么过程吗？他说能有一个长方形，能有四个面是长方形吗？ 最多只有几个面，两个面，也就是他的两个侧面或者两个正面，可以为什么正或相反，也就是他的长或宽相等的时候，那么他的正面有可能是什么 长方形？长方形当中我们能找到什么？长方体？正方形，你们看这长方形， 如果这样一张一张的字母，各位你看就是由长方形，一个一个的长方形里面怎样叠起来？叠起来就成了一个长方形，所以我们说 莜面可以得到什么？得到一个什么，对不对？你们学习的数学书本，从一年级到六年级，假如把你们的数学书或语文书把一本一本的叠加起来，也就成了一 一点，好高的什么呀？长方体就成了一个比较高的长方，说明你们学习的知识就怎样积累越多。所以长方体是由一个长方形的面， 祝他的什么呀？垂直啊，他这一个面往上垂直运动，也可以把它看成是由这样的扑克牌一张一张的减压 而成，就成了一个什么长颈鹿，这个框体是不是一样的？对，因为这框体是特殊的。什么长颈鹿，你用的这个血盆壁是正方形的 啊，一张一张的这样叠起来，变成了一个什么正方体，就是特殊的长高体。那么圆柱你能找到平行图形吗？成了一个圆柱你能找到平行图形吗？ 有上下两个相等的圆。是有两个上下两相等的圆就能组成一个圆柱吗？还有一个弯曲的侧面。哦，弯曲的侧面，弯曲的侧面就是什么形？ 长形侧面就是一个什么长形，他刚才说 它的上面和下面就只有两个长方形吗？长方形圆柱，它就只有两个长方形吗？ 它只有两个吗？桌子这里的这个圆柱拼成的这个圆柱只有两个长方形吗？一个有多少个？可以有多少个？ 可以有多少个？对，可以有无数个的。什么圆形对不对？如果我还有十九可以怎么样？哎，继续一下，那么这个圆珠就怎么样， 列高列高，所以它的一个底面是圆形， 他就是能找到什么？从圆柱体当中我们能找到什么？能够找到圆形，从他的侧面能找出，找出什么 长方形，圆柱的侧面展开就是一个什么长方形或正方形这三个 立体图形。我们发现了这样的图形呢？我们都可以叫做直柱体，因为他们的底面和上面也就是上下粗细怎样？他们的上下粗细都相等，相等的， 上下的粗细都相等的。这样的物体我们都叫做什么呀？直柱？大同学，闭上眼睛想象一下，假如是 是五边形，六边形，有无数个这样的五边形呀，六边形呀，七边形组成的这样的一个物体，它的体积也能折叠条了。 闭上眼睛想象一下，假如是一个五边形或者三边形，无数个这样相同的平面图形啊，一个一个的往上叠加，好，把眼睛睁开，把你的答案告诉我。 红领巾也能用底面积唇膏来算出它的体积，也能用到底面积唇膏，对， 想到了没有？所以像这样的图形，这样的立体图形，我们都叫做什么呀？ 只有只要是他的上下粗细相同，那么他们的体积公式都可以用到什么？米业精成功对结束 一个底面的面积是多少？假如我这样的一个底面啊？假如他是很薄的一个底面面积，他是一立方分米。我这里有几个呀？对啊， 有多少个？十一个。那他的体积是多少？十一个体积是一平方分米，我有十一个这样的一平方分米的一平方，所以就得到了他的体积。是用一平方得到 这样的立体图形的什么？所以我们的这个图形就是一面一层高。那圆锥的体积 我们是和谁来？由谁来得到的？圆锥怎么推导出来的？熟悉的 好，圆柱的体积是圆锥体积的三倍，而圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。 输的完不完，只是又输的必须怎样？我说对这圆柱和圆锥，他们两个人必须怎样？等腰，圆锥的体积 是与他等底等高的圆柱体积的三分之一，所以我们求圆锥体积的时候，就是根据圆柱的体积公式， 胎儿也可以切成三分之一，所以也可以用到里面的一层高成三分之一。我们有长方形、正方形、圆柱和圆锥。 圆锥的平面图形是什么呀？你能找到吗？圆是什么？圆，他的一个底面是什么？圆，说明立体图形与平面图形之间有着内在的关系， 我们从观察当中能够找到立体图形中的平面图形，我们还动手能不能够找到平面图形呢？能，能不能能，老师带来了一个胡萝卜，萝卜啊，你有什么办法 能再找到他的平面图形呢？ 有没有想到什么？一个什么好办法？切割？可以怎样切割？你有什么办法切割？ 把玉茭沿着圆柱的高，你们试一试，你们试一试， 注意小心一下啊。这个 沿着他的什么高？是沿着他的高吗？还。现在沿着的是他的什么半截直径？垂直切下。对，垂直往下切。哎，对， 切完之后你发现了什么呢？哦，里面是个什么长方体？我们把这个长方体沿着它的高往下切开。啊，刚才以为是防止不锋利啊，切开得到的是 长方形。那如果要把这个长方体切开之后，就增加了几个两面，这两个面是什么形？长方形，这是我们沿着它的直径 垂直往下切开的，所以切开之后增加了两个长方形。这个两个长方形的长就相当于它的高和直直平行。所以 把圆柱切开也能找到什么长方形？那 还有其他的办法切吗？还有其他的办法切吗？刚才他是重切的，还有什么办法切 好吃，可以沿着它的横切面，行吗？哦，沿着它的横切面。那小杰你们两个来合作，你帮一下他的忙啊。这是个圆桌，怎么切？横切点，横切点好，切。行，对， 切好了吗？切好了，切好了，把它一切开，又增加了两个圆，谢谢。又增加了两个什么圆？ 增加了两个面积，这两个面积就相当于它的什么底面积。什么呀？底面积，切一下就增加了几个面，两个面， 每一个面就是这个圆锥。原来的什么平面形？我们用铅的办法从长图底当中又找到了他的什么平面形？ 那对于圆锥呢？这是一个圆锥，你除了从观察里面当中，观察当中，你找到他有一个平面是圆形，那你还有什么办法 找到圆锥里面的平面图形？圆锥当中他的平面图形是什么？我们用什么办法找到？比思思， 把他沿着顶点切开，沿着顶点这样垂直，也就是他的什么要 直径，那么就把这个圆锥就切割成了两个三角形，增加了两个什么面？三角形增加了两个三角形的面。 那你如果说说这个三角形的底是相当于圆锥的 圆锥的直径，圆锥的直径高啦，相当于圆锥的高，对，高就是相当于圆锥的高。住下去， 我们动手切，能找到圆柱。圆锥当中的什么平面图形？那我们还能有平面图形？怎么得到一个 立体图形呢？有没有办法？有没有办法能够得到？如果有一张长方形纸，你有什么办法能得到一个立体图形？好者嘞，通过旋转，哦，通过旋转，对，这是一个 圆柱，它是怎么来的呢？我们看就是由一个长方形的，这个长方形的一条边是六，这个长方形的长是， 呃，也要六厘米，宽，是呢，五厘米，它刚才旋转的时候是怎么旋转的？ 圆四四四时针，而且我们得尽量把它旋转成一个别墅。以什么为圆？中六厘米，为什么 中中形？我们说什么轴？对，要以它的六厘米，为什么轴以另外的五厘米？ 荒为什么？在这里怎样旋转？顺时针，顺时针旋转也行，逆时针旋转都可以得到一个怎样圆柱？赶快算一算， 由六厘米为轴，五为半径。学校时的这个圆柱的体积是多少米长？六厘米为轴宽，五厘米为半径。 只要一说等于多少 pi 就 行了，一百五等于十，一百五十块。肖圣杰，你的啥是 pi？ r 等于八， h 就 等于 pi 乘五乘五乘六就等于就等于一百五十块，对了吗？对了， pi 乘五乘五，因为它的半径是几五 五，光是几六乘五乘六，多少拍？一百一百拍，对吧？这一种旋转法，你还有其他的旋转法没有？刚才我是以它的长六厘米为轴旋转的，还有什么旋转方法？ 蒋诗颖，还可以怎样学章画出完整怎么学？再说具体一点，以他的什么为轴， 这里有没有半斤关？几厘米？一五厘米，为什么轴旋转右厘米？为什么半米旋转一周 也能得到一个不同的什么圆度？那你们再算一算，如果这样旋转的话，他的体型会读什么？他的轴是 五厘米，半径就是几厘米了。八八，这只有学校得到的圆周体积大一点。 你说一说，你得到的这一个圆周的体积是多少是多少？步？你含 等于 pi 二乘平方 h 等于 pi 乘六乘六乘五等于一百八十。 pi 哪个圆做的体积大？ 以 pi pi 为幂，幂幂？对，以 pi 为轴，不是以六厘米为轴了，它得到多少？ pi 一 百八，所以你们发现了吗？ 如果他们的什么相等，这是他的这个圆柱的什么相等？侧面，侧面侧面积相等。半径长的圆柱的体积怎样大？ 那圆锥是怎么旋转的？圆锥是怎么旋转的？圆锥是由什么旋转而成的？ 好，最后他的同学就用一个三角形，哦，用一个三角形颜色，它的什么高颜色？它的一个直角变为 九，不能说什么呀，高是什么九？三角形的一条边为轴，旋转之后它就成了一个什么圆，那么它的这一条直角边就相当于这个圆锥的高。你算一算， 如果以它的六厘米为轴，另外一条直角边五厘米为半截学长的这个圆锥的体积你算是只要瞧瞧我们合拍就行了。 所以啊，圆锥的体积怎么计算呢？一定要记得怎样三分之一？好，有请坐下去，吃完没有？吃完了，二十八。 小马琴，你算出来的这样旋转出来的下面这个圆锥的体积是多少？ 等于三分之一 pi， 二 h 乘高等于三分之一乘 pi 乘五乘五乘六等于五十 pi， 对 了吗？对了，这样旋转是五十 pi， 那 还有其他的旋转后果没有？谁再说 谁的速度？以四以他的五厘米为轴，五厘米为轴旋转轴以六厘米为 半径旋转而成的。什么？用它的体积算一下，你试试 圆锥的体积，一定记得是一样是圆锥等底等高圆锥体积的，它的半径是几厘米？六六是以五厘米为轴旋转的，就是五厘米为它的什么高？ 罗姨，你算出来的这个圆锥的体积是多少？这个圆锥的体积是六十块，六十块，那与之前这样学算得到的体积哪个大一些？ 以一米为圆的三角形？对，就是因为它的半径长高相等的话，他们高不相等，但是他们是同样的一个什么三角形，所以 半径长的体积嘞，越大越大。好，同学们，你们手中都有一呃独珠之间头有一张卡纸，刚才我们旋转知道能够得到 立体图形，你能用你手中的卡纸，你能租一个圆柱吗？ 给他做一个圆柱吗？他是不是一个圆柱？如果我们要做圆管呀，要做 水管呀，就是用什么做成的，有什么做成的，有什么造型，我们就只要把它做成样子 怎样起来就成了什么圆圈数成了什么圆圈数？那说最后的圆数几组数啊？两组。 小姐姐你到前台说说你怎样用你手中的这张长方形纸组成一个 通风管或水管瓶？是一个圆柱，首先可以以它的长为轴是轴吗？以它的长边哦为轴 为什么高为高，长为高，宽为。这个圆柱的半径是半径的吗？多高好， 这是一种住房，就是以它的华为圆柱的中堂。华为圆柱的什么呀？中堂 长为圆柱的什么高？筑成了一个什么圆柱？那你还有第二种不好吗？还可以怎样筑一个圆柱？还可以以它的宽为宽为高，以它的长为上面那个圆的周长，这样卷起来 也可以做成一个圆柱。同不同意？同意， 以他的长为圆柱的周长，以他的宽为圆柱的什么高也能做成一个嘞？好，那同学们对于圆柱叠锥长度与正常题啊， 多了一个大致的疏通和理解，那我们来用一用吧。 爸爸的工具箱的下半部是能长为二十厘米的正方形，下半部是圆柱的一半占到的表面积的直径上的肉粒上 写的是这样子，往上按一下就行了啊， 就在底下的 洗澡一种啊。需要的条件下半步是一个能长为二十厘米的正方形。就只给了你一个数据，你有什么好清楚的这个工具箱的 啊？ come on come on。 这个工具箱的下半部是正合体的时候啊，你发现了没有，这个正合体的表面就只有几个面，几个面上面是一个 虚列。是一个什么虚列？也就是圆柱体的侧列型的。什么呀？ 你孩子去玩了？ 哎呀，自己算起来了。可以啊，只要乘一个三乘一次，很快能够算出得数。

形，三角形的特征，还认识了轴对称图形。五年级学习了多边形的面积的计算，研究了长方体、正方体的表面积和体积。 六年级，最后我们认识了圆，研究了圆柱和圆锥。 是啊，在不知不觉之间，我们竟然学习了这么多的几何知识，它们就像一颗颗散落的珍珠。 今天这节复习课呢，我们就要将这些珍珠串起来，就像我们平时把数学知识点串起来一样，你们能做到吗？能，非常棒。好，那这节课我们主要是对图形的认识进行整理和复习。 首先我们一起看一看图形是怎么构成的呢？请大家仔细看。这里有一个什么呀？点一个点， 点动成线，线构成了面，面有维成了。 是的，其实我们对图形的认识也是按照点线面体的顺序进行的。那今天我们的整理和复习也按照这样的顺序来进行，可以吗？可以，好的，非常好。 在课前，翁老师已经给大家布置了一项自主复习的任务，截止到现在，我已经收到了全班同学提交的 导学单。请看每一个同学的导学单，翁老师都认真的读过了，同学们做的非常的认真。好的， 那我们就开始进入今天的复习吧。好，我们知道点构成了线，那谁来说一说在小学阶段我们学习了哪些线？ 嗯，举手，真积极。好，请你说，我们学习了直线、射线和线段。好的，这些线，它们分别有什么特点，又有什么联系和区别呢？ 好，请你来。直线和射线都是线段上的一部分。嗯，呃，再再想一下是谁是谁的一部分，别着急。 好，谁来帮帮他。好，请坐，你来。呃，应该是射线和线段是直线的一部分。哦，他说的其实就是这三种线的联系，对吧？那谁来说一下这三种线各有什么特点？ 好，请你来。线段有，有两个端点他不能延长，射线有一个端点可以延长，直线没有端点可以无限延长，向两端无限延长。大家同意他的说法吗？同 意，非常完整，请坐。其实我们在课前已经在导学单上对这部分知识进行了整理。那我们用的是什么样的方式进行整理的？ 表格，表格，对不对？嗯，这个表格是一种非常简单非常好的整理方法，那么在接下来的复习课中，我们就可以用这种方法进行整理和复习。好， 同一平面内两条直线又有怎样的位置关系？谁来说一下？ 好，请你说。平行或相交。哦，平行或相交，那老师在这个上面看到了一个互相垂直，这又是一种怎样的关系呢？谁来补充一下？好，请你说。 互相垂直是是相交的一个比较特殊的一个 情况。情况。嗯，他怎么特殊了？他的四个角的度数都是九十度。嗯，也就是两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直。好的，那我们知道有一个点 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。哎，那小学阶段我们又认识了哪些角？你能不能按照从小到大的顺序给我们说一说？好，请你来。 我们学习了锐角，直角和钝角。哦，还有补充的吗？锐角，直角，钝角。好，请你来补充。 还有平角和周角，同意吗？好的，很完整了。这是我们在课前导学单上也整理过的知识。 嗯，我现在把他这个投屏上去的这个同学，他的这个作图啊，我们老师非常欣赏，他很规范，用到了铅笔和直尺作图，向这位同学学习。好， 看来啊，对于线和角这一部分的知识，同学们掌握的还是非常不错的。那么翁老师这里呢，有一套针对性的练习，我们先来看一下， 一共有五道题。好，我现在将它推送到大家的电子书包里面，请同学们完成。完成了以后迅速的提交好。准备好了吗？好的， 试一下。嗯，我看到已经有同学全部都完成并提交了。好，我们稍微的等一下， 看一下作答的情况。 在所有同学里面，我们发现八号同学提高提交的速度是最迅速的，八号同学，请举一下手试一下，老师你真厉害。好， 嗯，在这这个绿颜色呢，表示正确的，红颜色表示错误了。那我们来看一看这个第三题吧， 整体的正确率还是非常高的。经过一个点可以画多少条直线？谁来说一说你是怎么做的？你是怎么想的？好，请你说。嗯，经过一个点可以画五， 嗯，经过一个点可以画无数条直线，因为因为一个点他他这边可以可以经过无数条直线，划过去的话，他是，他是没有，他是可以完成他的这个题目的要求的哦，好的，请坐，大家同意他的意见吗？ 同意。好，我们来看一下这个正确答案，确实是无数条。好，这个题如果做错，同学，请你下一次注意。好，那么通过刚才这个练习啊， 我们可以看出，同学们正确率还是非常的高的。看来对于这个线和角的知识大家已经掌握的非常好了，那我们就赶紧进入下一个板块的学习，好吗？ 好，那我们知道点和线是构成图形的基本元素。那想一想，在我们小学阶段，我们一共学过哪几类图形？ 好，请你说， 我们学过平面图形和立体图形，也就是一共几大类？两大类，两大类。好的，平面图形和立体图形。 今天这节课呢，我们主要是对平面图形的相关知识进行复习和整理。好，那我们小学阶段又认识了哪些平面图形啊？好，来，请你说说。 我们学习了三角形，正方形、长方形、梯形、平行四边形和圆，还有扇形。哦，学习了这么多， 大家同意吗？同意，好的，我们在课前已经在导学单上用思维导图的方法将这些平面图形进行了分类，并且我们还在电子书包中提交了，还互相是不是互相点评了呀， 互相的点了赞。那到底哪一位同学他的人气最高呢？我们来看一看， 这是大家的这个思维导图的提交情况。好，我们来看一下哪一位同学人气最高？ 哪一位？十五号，十五号同学坐在哪里？好，来，请你起立，我们来点开一下，看一看十五号同学的思维导图是怎样的。 好，这是这位同学整理的思维导图下面。嗯，吴老师，想请你到我们这个黑板上来。嗯，首先对着自己的思维导图，然后将这些平面图形分一分，再说一说自己是怎么想的，可以吗？好，请 我把这些平面图形分为了三大类，分别是四边形的一类， 三角形为一类，圆形和扇形为一类，我是按他们的边来分的类。哦，好，请三位。哎呀，看来这个同学他不仅是分的很好，得到了大部分同学的认可，而且呢，他表达也很清晰。好的，我们把它整理一下， 我们现在已经将平面图形分成了这样的三类，并且课前呀，每一位同学都在导学单上对这 几类图形进行了深入的整理。那么接下来老师给大家发布一项小组任务， 每个小组选择合适的方法对这三类图形中其中的一类进行系统整理，明白了吗？好，现在开始， 你们想选什么？行，好好，行，讨论一下， 说一下怎么分工。想一想，两条边的长度是相等，这两条两条边的长度是相同的，两条边的长度 是相同的，你是圆形是吧？好，待会指示哦。好， 好的，他的两组对边平行于相等，而且对角相等，他一把平行于。 你们是哪个哪个形状？你们是准备整理哪一种形状？ 四边形还是什么形？继续吧， 我待会是他在服务我们，用 ppt 的 程序来做，帮我直接撑一点。 对啊，准备好了，一二三，开始一下。 说，对了，你整你完了， 你们已经准备好了是吧？ 都整理完了，看来你们的课程准备真的是非常的充分啊。好，那接下来的这一块时间，翁老师想教给你们。 嗯，我也来当一回学生，请你们来当小老师，我也坐在下面听一听好不好？好好，那刚才哪些小组整理的是有关三角形的知识，哪个小组愿意汇报？好，来，请你们来吧。 师，我们小组想利用白板上的绘画工具来展示我们的汇报成果。嗯，很好，欢迎。 有点慢， 你们现在是要打开白板？好的好的。嗯，好，不着急， 我们小组梳理的是有关三角形的知识， 三角形是由三个顶点三条边围成的封闭图形。下面我们来看看三角形角的特点，像这样三个角都是锐角三角形，叫做锐 角三角形。 像这样一个角是钝角三角形，叫做钝角形，钝角三角形。 所以按照三角形角的特点，我们可以分为三类，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 我们来看看三角形边的性质， 这是一个任意三角形，它的三条边都不相等， 这是一个等腰三角形，它的两条对边相等，两个底角相等，两条边相等，对吧？ 这是一个等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是六十度， 所以按照三角形边的特点，我们可以把它分为两大类， 任意三角形与等腰三角形。等腰三角形中又有一又有一类特殊的三角形等边三角形， 它也叫正三角形。老师老师，我，我想打断一下可以吗？不好意思，请问一下这个这个这个小的圆是应该被包含在了这个大圆的里面还是画到它的外面来？ 呃，这个圆是，呃包含在等腰三角形的类边里面的里面的。哦，好的，谢谢，谢谢。三角形还具有稳定性，生活中人们常常会利用三角形不易变形的特性，例如篮球架、桥梁建设方面等。 下面还有哪些同学想补充一下？梁启宇， 我想补充一下。我们还知道三角形的底和高，我们可以任意取三角形的一条边作为它的底，那么从这条边，从它对边的一个顶点上做下一条垂线段做的，它的高三角形有三个底和三条高。你说的非常好，谢谢。还有谁吗？ 张文寻，我想补充一下三角形的对称轴，三角形有普通三角形，普通三角形有没有对称轴，还有等腰三角形，等腰三角形有一条对称轴，还有等边三角形，等边三角形有三条对称轴。 你的补充非常有价值，谢谢。我们的汇报结束。好，谢谢你们，非常感谢 刚才这个小组，他们用的是学科工具，然后画维恩图的方法对三角形的相关知识进行了整理。维恩图也是一种非常好的进行整理的方法。好，那还有哪些小组选的是有关四边形的知识进行整理的？ 哦，有这几个小组。好，那我想请你们小组来汇报。 老师，我们想通过思维导图的方法来进行梳理。好的，请 这个需要吗？好， 我们这个小组来研究四边形，我们是通过表格和文图的方式来进行梳理的。 四边形分为平行四边形、长方形、正方形和梯形。正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。 平行四边形的对边平行且相等，对角度数相等，内角和为三百六十度，它没有对称轴。 长方形的对边分别相等且平行，四角都是九十度，内角和是三百六十度。有两条对称轴。 正方形四条边都相等，四角均为九十度，内角和为三百六十度，它是轴对称图形，有四条对称轴。 梯形只有一组，对边平行，它的内角和是三百六十度。梯形分为三类，一般梯形、直角梯形和等腰梯形。 直角梯形有两个直角，它没有对称轴。等腰梯形有两条腰相等，它有一条对称轴。 我们的汇报完毕，有哪些同学可以补充一下？ 呃，圣子贤，平行四边形中有一种特殊的平行四边形，它叫菱形，菱形的对角线就是它的对称轴，它有两条对称轴。谢谢你的补充， 我们的汇报完毕，谢谢大家！嗯，非常棒，好，请回位。好，翁老师来吧。 好，我感觉刚才这个这个小组的汇报特别的完整， 那么他们又是使用的什么呢？他们使用了表格和文图是吧？呃，是结合了这两种整理方法， 那么这种多种整理方法的结合可以让我们对知识点整理的更加的细致，更加的完整。好，那关于圆形的知识又是哪些小组进行整理的呀？刚才 好，哪个小组愿意汇报，都想来。好，请你们来。我我，我想先采访一下， 你们想用什么方式给大家汇报啊？我们小组在课前预习的时候提交了一份 ppt， 我 们想用这种方式来汇报我们的学习成果。哦，你们那个 ppt 我 看了，做的非常的精美，好，请吧，需要这个吗？好的， 我主要汇报的是圆的概念，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆心决定圆的位置，圆的半径决定圆的大小。早在战国时期，墨子就为圆下了一个定义，圆一中同长也。 我主要汇报的是圆的半径和直径， 如图，连接圆心和圆上任意一点的距离叫半径，一般用字母 r 表示，半径的长度就是圆规两角之间的距离，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示， 两倍半径的长度就等于一个直径的长度。在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 我主要汇报的是圆周率，古人发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母派表示， 它是一个无限不循环小数。世界上第一个把圆周率精确到七位小数的数学家，是我国的祖冲之，在实际应用中常常取它的近似值 pi 约等于三点一四。 我主要汇报的是圆的对称轴，我们把圆沿着任意一条直径对折，两边可以完全中和，说明圆是轴对称图形。 这就是我们小组的实验成果。直径所在的直线就是圆的对称轴，也有无数条对称轴。我们的汇报完毕，哪些同学还想要补充一下的？张一泽，你来 呃，我来汇报一下我们。我们在六年级还学过扇形，扇形是圆的一部分，圆心角的角度取决于了扇形的大小。你的补充非常有价值，课后我们会把它做进我们的 ppt 的。 我们的汇报完毕，谢谢大家。哎，老师，老师，我想提问 可以吗？可以，我想问问这个圆形和其他的这些平面图形之间有什么不同啊？ 圆形是由一条曲线围成的封闭图形，他没有角。但是其他的图形都是由。呃，几个线段围成的封闭图形，他们有角。哦，大家同意他们的说法吗？同意，好，谢谢你们好，谢谢大家！谢谢大家好，请站位好， 感谢刚才这三个组的同学的精彩汇报，通过我们大家的共同努力，现在啊，我们已经对平面图形的知识进行了非常全面的归纳和整理， 那么接下来呢，翁老师这里还给大家准备了一套平时我们在练习中出现的易错题，请大家先把题看一看啊，一共有五道题，哎呀，同学们都迫不及待的拿出了电子书，包好，现在准备答题。 嗯，有些同学的动作非常的快。好的，现在好像大部分同学都已经完成了任务，我们来看一看。 嗯，正确率相当的高。看一下这个第二题吧，有一个同学答错了，圆心角是九十度的扇形，是与它半径相等的圆的面积的四分之一。谁来说一说，你是怎么判断，是怎么想？ 好，来，请你说，这道题是正确的，因为圆的圆心角是三百六十度，这个扇形的圆心角是九十度。扇形圆心角的大小取决于这个扇形的大小， 决定了扇形的大小，用九十度除以三百六十度，可以得出四分之一，所以这个圆心角是九十度的扇形，是与它半径相等的圆的面积的四分之一，大家同意吗？同意，好，我们来看一下正确的答案 是正确的，非常好，而且解答的很清晰。这个题有两个同学做错了，看一下，任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形，这句话正确吗？好，谁来说一说你是怎么想的？ 好，请你说一下。我认为这一题是错误的。嗯，因为就算他等底等高，如果一个是直角梯形，一个是一般梯形，他们也不能拼成一个平行四边形。那是怎样的 两个梯形才能拼成一个平行四边形呢？两个完全一样的，完全一样或者完全相同的，同意吗？同意，非常棒，请坐。 看一下解析。任何两个完全相同的梯形都能拼成一个平行四边形。好， 这些题啊，都是平时我们作业中的易错题，那通过我们今天的整理和复习，我们明显的感受到正确率提高了。看来啊，同学们对于这个平面图形的知识已经掌握的相当好了。好的，好，请大家先作证。 我们刚才是对平面图形的知识进行了整理，那么现在大家看这里平面图形和立体图形之间到底有怎样的关系呢？好，有同学已经有想法了，我们先看一段小视频 感受一下。 嗯， 好，你这个同学，你刚才有想说的是吗？好，你来说一下，你觉得他们之间有什么样的关系？ 就是立体图形是由许多平面图形围成的，围成的是它们构成的，对不对？好，请坐。其实通过刚才的对比和演示，我们发现平面图形经过平移、叠加或者是 旋转都可以构成一个立体图形。关于立体图形的知识，我们会在后面的复习课中对它进行整理。好，刚才同学们一直都在动脑筋，下面我们来动动手吧。好，请看 谁来读一读这个题目的要求。好，请这个女同学你来读一读。 做两个一样的平行四边形纸片，把它们重合在一起，将上面的平行四边形绕它的一个顶点旋转一百八十度，再通过平移使它与下面的平行四边形重合。 观察两个平行四边形的各条边与各个角，你有什么发现？声音真好听，读得非常好，大家现在明确了这个题的提议了吗？ 好，那现在请以两个人为一个小组，先坐一坐，再说一说你有什么发现？准备好了没有？好的，开始。 先摆在上面摆好，先重合。先摆在上面摆好，先重合。注意看一下顺序，按照那个步骤可以摆在桌上，你和他一起做 试验一下。先重合，按照顺序按照顺序试一下，然后再想想，再互相说一下。 就是他这个脚，脚一和脚三，这两个是相同的，而而红色的脚 怎么样，你们发现了吗？我们发现了，对不对？好，所有的脚 怎么样，我们发现了吗？我们发现了，对不对？我们发现了，对不对？ 好，已经发现了这个里面的规律了吗？那谁愿意来说一说？ 好，请后面那个男生，嗯，我发现他把上那个，把其中一个平行四边形旋转，叫一个顶点旋转一百八十度，再重合后发现他们两个图形，嗯，完全重合，而且他们的脚那个都是一样的。 好的，这是他们的发现。有没有哪个同学想补充一下？好，请你来。对边相等，对角也相等，什么形状啊？ 平行四边形，平行四边形的对边相等，对角也相等，大家同意吗？同意。 好，那我们刚才通过旋转和平移再次的验证了，平行四边形，对边相等，对角也相等。好，老师，这里有一个小动画，我们一起来感受一下这个过程， 而且刚才那个同学用到的一个词特别好，完全重合。我们以后还会认识更多的平面图形，我们可以把这样的方法运用到这些图形中，去，发现它们的特征。 好，同学们，我们知道我们的数学知识啊，其实都是来自于生活的对不对？那么他也会运用到生活中去。下面我们去一起去看一个生活中的数学问题， 这有一个储蓄罐，想一想如何判断一枚圆形硬币是否能放进下面的储蓄罐中？请结合今天复习的知识说一说。注意，储蓄罐的开口是一个长三厘米，宽零点四厘米的长方形。 好，有想法了吗？哎，好，你先说。呃，我们要先求出这这枚硬币的。呃， 他直径如果直径大小于存钱罐的长，那么就可以放进去，等于也可以放进去，但是很困难。 呃，而且还要求他的厚度，如果厚度也是小于这个长方形的宽度的话，他是完全可以放进去的。嗯，一定要小于吗？呃，等于，很难小于或等于，对吧？好的，请坐。大家同意他的意见吗？好，那还有没有哪个同意？用自己的话来说一下，怎么样判断？ 好，请你来。就是当这个圆形硬币的直径小于等于这个长方形，这个长方形小于或等于。好，接着说， 当这个圆形硬币的直径小于或等于这个长方形开口的长圆形硬币的厚度小于或等于这个长方形开口的宽的时候，他是能放进去的。嗯，同意吗？同意，非常清晰，表扬他很好 看。来呀，我们这个解决实际问题的能力也增强了。好，同学们，现在今天的课上到这里，现在请大家回顾一下，通过今天这节课你有什么收获？ 好，你来说。通过这一节课的复习，我更深的了解了他们之间的关系。哦，非常好，还有补充的没有。 好，那个男生，你说一下。通过这一节课说，我知道了，油点可以组成线，油线可以组成面，然而油面可以组成体。哦，其实我们刚才复习的时候也是按照这种顺序复习的，对不对？也就是说我们复习的时候可以找到一种顺序来进行复习。很棒，还有吗？好，你来说一下。 我知道了，我们可以用图表、文图、思维导图等方式来整理我们所学过的知识。嗯，也就是我们在进行知识的整理的时候，可以选择不同的方法进行有效的整理，很棒，还有吗？ 好，那个中间那个男生，你说一说。嗯，通过这节课，我了解了直线射线线段的它们的关系以及它们的区别。 好的，看来同学们的收获还真不少。好，那么今天通过我们大家的努力，现在已经将平面图形的知识整理的非常的全面了。

好，请你来跟大家说一说，其他同学可以看屏幕，你拿着你自己的作品，我们给他一点掌声好不好？好，请你到前面来跟大家分享，面向大家， 你整理了哪些知识？呃，我整理了长方体来。嗯，我们一起跟着他的目光来看一看长方体的什么？长方体的 顶点、棱和面可以更具体一点吗？ 长方体有六个面，相对的两个面面积是一样的，有十二条棱，相对的四条棱互相平行，而且平等相等。长方体还有八个顶点。 我还整理了正方体的正方体也有六个面，每个面面积也是相等的， 它有十二条棱，每条棱长度相等，有八个顶点。圆柱有两个底面，两个相等的圆， 两个圆是相等的，有一个侧面，无数条高高是相等的 圆锥，有一个底面，一个侧面，侧面展开是扇形，还有一个顶点和一条高。同学们觉得它分享怎么样？嗯，好，谢谢你的分享。那你们觉得它有什么要补充的吗？ 好，你来，我觉得他可以把每个立体图形求表面积和求体积的公式写上去。嗯，还有表面积和体积的计算方法对吗？好的，还有同学要补充的吗？ 那老师再选一个同学来跟大家分享一下怎么样？看看他能不能够更有条理。 这是哪位同学的？非常的美观哦。好，请最后一号来。 嗯，很棒。呃，你准备了哪些知识？ 我想到了以前学过的长方体、正方体、圆柱和圆锥。嗯，能够更具体一点吗？ 长方形的特征有六个面，相对的面相等，每个面一般是长方形特殊，两个面是正方形，有十二条棱，相对的四条棱互相平行且相等，有八个顶点， 表面积等于 a， b 加 a h 加 b h 乘以二，体积等于 a b h。 还有正方体有六个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有十二条棱，每条棱长 像每个棱长的长度相等，有八个顶点，表面积是 b， a 的 平方体积是 a 的 三次方。圆柱有两个底面是相等的，两个圆有一个侧面是个曲面， 沿高展开，一般是长方形。当底面周长和高相等的时候是正方形，有无数条高，每条高长度都相等，表面积是二 pi r r 平方体积 s h。 圆柱一个底面是一个圆圆圆形，一个侧面是个曲面，展开是个扇形，有一个顶点有一条高 长方形长方体长方形是一个特殊的长方体，长方形是一个特殊的长方形，正方形是一个特殊的长方形。等底等高的圆锥和圆等底等高的圆柱是圆锥的三倍。怎么样？ 同学们觉得他分享的怎么样？我来采访一个同学，你觉得？嗯，我觉得他说的 就是很具体，每个方面的知识点都就是归类到，嗯，很完善。是吗？ 还有吗？还有要说的没？好，你来。我觉得作者对对话这个思维导图注入了很多的心血，他查他应该查了很多资料去做这个思维导图。嗯，你还看到他背后的辛苦，是吗？很好，那都没有补充的了。 同学们在这一块呢，做的也还不错，确实很完善了，是不是？但是你们刚刚有没有仔细听，他好像有一点紧张，所以那个有个小姐姐，你说就是他在读正方体的 两面体的时候，他的六可能看成了 b， 然后就把六 a 的 平方看成了 b a 的 平方。哦，读法的时候有点紧张，说错了，但是我们纠正一下，非常棒，听得很仔细。 没错，那同学们在做这个的时候呢，老师也发现大家大部分同学啊，都可以像这样把我们学过的知识来罗列出来，那我们今天的复习课就是这样就可以了吗？ 今天我们来对立体图形整理与复习哦，我们不仅要知道这些知识，我们还要去寻找知识之间的联系，再来进一步的规范概括，你们有信心吗？ 有，好的，那我们刚刚同学们是从这四个立体图形的哪几个方面来进行整理的？表面题哎，是的，我们整理了长方体，正方体，圆柱和圆锥的什么？ 呃，还有他们的以及他们的，那我们今天也从这几个方面来进行整理好不好？但是老师要提高要求， 请听清楚了啊，老师，这里呢，给大家准备了这些立体图形，但是我要请同学们先找到一组有关联的立体图形，再来说一说他们之间的相同与不同， 听明白了吗？听明白了。好，那谁敢来挑战一下？好，请那个男生请你上来，你可以上来说吗？ 我发现了长方体和来它们的相似点哦，你找到了他认为这两个有联系，你们同意吗？同意。好，那你来说，他的顶点数量相同，都是八个， 然后人长数量也相同，是十二条，然后一样有六个面，怎么样？嗯，相同点说的非常棒，还有要说的吗？它的不同点就是长方形是相对面面积相等，而这个正方形是所有的面面积相等 正方，哎，正方体的六个面都是怎么样的相等？嗯，非常棒。好的， 刚刚这位同学给大家快速的就找到了我们长方体和正方体相同与不同的地方，对不对？那他们之间的联系呢？ 在哪里？好，你说。就是那个正方体，那个正方体也是特殊的长方体。嗯，请坐下来，我们一起来看一下。是这个意思吗？ 当长方体的长宽高都变成相等时，就形成了一个什么，所以我们才说正方体是特殊的长方体。很好， 剩下的这两个立体图形他们之间有联系吗？有，嗯，我看到中间两组的同学好像举手不快，积极，还有更多同学，老师想看到更多同学能够积极的发言好不好？ 好，那个女生，你来，等底，等好，你也上来，可以借助老师的这个立体图形来跟大家说说。嗯，我发现他这圆柱和圆锥如果等底等高的话，那么圆柱，圆柱就是圆锥的， 圆柱的体积就是圆锥的三倍。嗯，找到了体积之间的关系。是吗？那他们之间有其他的相同和不同吗？嗯，他他们的底面都是圆形， 有不同还有吗？暂时没想到还有谁要来补充的。好，你来。 他们的不同点是上面这个平面，他的上面的平面是尖的，这上面的平面是圆的，而且他们这个图形的斜面是个曲面，这个图形的斜面是个 正常方形哦，展开之后是个长方形，但是他们这一个面都是什么？ 都是都是他的侧面哦，都叫侧面，而且他们都是曲面，是这个意思吗？好的，请下去。很好，那同学们刚刚也找到了这两个立体图形之间的相同与不同， 还说到了一点点联系，还有不同的联系吗？他刚刚讲到了一个，这些立体图形都可以有哪样的平面图形旋转而成呢？还记得吗？一起说 什么形？长方形和三角形，对吧？ 他们旋转可以得到这两个立体图形，并且刚刚我们那位同学还说到了，当这一个圆柱的一个底面缩小说小成一点时，就变成了一个圆锥，哎，圆锥，这也是他们之间的联系。 好了，那我们现在对于这些立体图形的特征觉得自己掌握的怎么样了？有信心啊，感觉很好了，对不对？那我们来玩个游戏怎么样？好好来 猜一猜，里面是圆形，它可能是，一起说吧， 圆锥，圆锥，还不能确定，是吗？再给你一个条件，侧面圆高展开都确定了，都觉得是圆柱。介绍答案， 真的哎，再来，有六个面，十二条能八个顶点。嗯，那再给你一个条件， 只有两个相对的面是正方形，你说长方体，你呢？长方体，长方体，都觉得是长方体，是吗？揭晓答案。 咦，怎么跟你想的不一样了呢？想一想，如果要变成你们所说的长方体，那我们的条件可以怎么修改一下？现在给你一点点时间，同桌之间相互讨论一下， 可以怎么改，两个相对的面都不相等的面积。嗯，非常棒，好，有想法的同学，用你的坐姿告诉我。 好，我现在看到有同学已经有想法了，对吗？好，请你说。应该要求把一下。嗯，相对两个面的面积相同，也就是说是这个意思吗？相对的两个面要完全相同的，而且还是一个什么 还是必须是正方形，这个时候我们就可以得到一个什么立体图形了，请坐下来对吗？ 好的，看来我们数学是一门非常严谨的学科对吗？所以我们在描述的时候也一定要怎么样描述清楚，哎，要准确很好， 再来复习一下我们的表面积。什么是立体图形的表面积你还记得吗？好，可以一起说，你说一起说 所有的面的面积总和。那刚刚由前面几位同学的分享大家应该对于这些立体图形的表面积计算方法比较熟悉了吧， 那老师随机的来抽取一组看看能不能全部答出来好不好？好，请这一组同学来。你说第一个 长方体，它的表面积长加宽乘二，嗯，还有吗？ 长方体的表面积有几个面？六个，嗯，所以它该怎么计算？除了长加宽要乘二还有什么 好坐下来哪一组再有信心的？好，这一组来， 嗯，长乘宽的和，加上宽乘高的和，再加上长乘高的和，然后扣起来相加就乘以二，同意吗？同意哎，非常棒。下一个。同学，你说正方体呢？正方体是，呃 嗯，每个面的每个面的面积乘六，呃，就是单面的面积乘六，也就是这样的对吗？对，好，请坐。下位同学。半径的平方乘以派乘以根，这个算出来的是什么？ 所以我们应该怎么来算？半半径的平方乘以它乘以二，加上 底面周长乘以高，对吗？对，他开始算的那一部分是就是这两个什么底面积再加上一个侧面侧面积对吧？好的，那对于圆锥的你有想说的吗？ 啊，因为我们没有过多的去研究对不对？所以我们以后有时间再来研究它。好，现在请同学们仔细观察这些立体图形的表面积，你能发现它们共同的地方吗？ 它们有共同的地方吗？你说。嗯，长方形和正方形它们都是往每个面，嗯， 每个面的面积加起来，然后上面那个是为了减面，其实可以把它拆开来， a 乘 b 乘二，然后再加 a h 乘二，再加 b h 乘二。哦，你是 然后继续，然后因为长方形是两个长方体，纠正一下你的说法，两个相对面，所以要乘二， 你是在解释这一个为什么了，对不对？好，请坐下来。可能没听懂老师的问题啊，老师是说这几个立体图形他们的表面积计算方法有共同的地方吗？ 是不是之前从来没有思考过这个问题？没关系，我们把他们的表面积都展开来仔细观察一下，现在你有发现了吗？ 你说都可以是两个底面加一个，一个侧面，能说说两个底面在哪里？就是比较红色的哦， 同意吗？不同意，这两个红红色都是他的底面，而其他的是他的什么侧面？请坐下来。我再请一个同学来说一下你这个圆柱的侧面。我知道，你知道了，这个长方体和正方体的侧面指的是哪几个面，你知道吗？ 你来指一指他指的是哪几个面？这里是底面。哦，这两个是两个底面，同意吗？同意，所以他的侧面就是 这里，也就是前后左右这四个面非常棒。是的，那大家都同意这三个立体图形的表面积，我们就可以怎么来表达他， 它可以等于两个底面，两个底面再加一个侧面，那我就把它记录下来了。好的， 再来看一下这些立体图形的体积你还记得吗？ 什么是立体图形的体积？占占占空间了。哦，物体所在空间空间的大小是吧？ 那这些立体图形他们的体积计算方法你还有印象吗？有，好，那我也随机的抽取一组同学来说一下。好吧，呃，请这组同学你们来说。 第一个，第一个长方体的体积公式是长乘宽乘方，同意吗？同意。好，第二个呢， 第二个正方形的体积是 a 的 三次方，对吗？嗯，第三个圆柱的体积呢？它的体积公式是半径乘以半径的平方乘以， 也就是底面积乘以高。 哦，还记得我们这个圆柱的体积是怎么推倒出来的吗？宽宽成长方形 切割。好，你来说。嗯，把圆柱体切割拼成一个长方形。长方形，哎，拼成一个近似的长方形，结果发现他们的面积相等。面积相等吗？只是他们的底面都是怎么样 一样大的，然后体积也是一样的高也是怎么样一样高。很好，所以我们就把这个圆柱转化成了长方长方的体积来计算对不对？请坐下来，从而得出了 圆柱的体积计算方法。好，最后圆锥谁还记得它是怎么推倒的？ 呃，啊，你说吧，圆锥的体积是三分之一乘以帕尔的平方乘高，它是如何得来的你还记得吗？它的体积是与它等底等高的圆柱体的三分之一。 好，你说你还有补充？应该是，嗯，等一个等底等就是圆一个圆锥和一个和圆锥等底等高的一个圆柱往 往圆锥体的里面装水，然后，呃，再把水倒进圆圆柱体里面，然后一共倒进圆圆柱体里面，然后一共倒了三分之一， 对不对？哎，非常棒啊。给我们手回忆了一下这两个立体图形的推导过程，其实我们都是把它把新知识转化成什么？旧知识？对，转化成已学的知识来进行的，对不对？这是我们以后学习数学的一个非常重要的思想。 那同学们能够像前面一样来观察一下这些立体图形的体积计算，他们有相同的吗？好，你说。对，都可以，底面积乘以高。嗯，很好，那你们有没有思考过为什么都可以用底面积乘高？ 没事，你蹲下来。好，那个同学你讲。因为他们一开始本来就是一个平面的，这一层一层叠上去，他就成为了一个立体图形，所以我们一个平面乘以高度就等于一个立体图形。 哇，你觉得要不要给他一点？嗯，这个同学非常善于思考啊。那我们来把他的想法来看一看 这三个立体图形，你发现了什么？ 好，你讲。我就是把他们的底面都往下升，但是他们的那个底面还面积还是不变，然后他们的高度也是不变的，也就是说请坐下来，这些立体图形，他们从上往下和从下往上每一处的面都是怎么样的？ 哎，没有改变一样，对吧？那像这样的立体图形，我们就可以把它叫做 柱体，所有的柱体呀，他们的体积都可以用 对底面积去乘以高，我们就可以得出这三个立体图形，他们的体积都可以用什么来计算？底面积高，哎，现在你明白了吗？明白了，很好 啊，同学们，如果当一个物体要用它来装东西的时候，我们需要知道它的什么容积。哎，容积？什么是物体的容积？ 一起说这是什么？哎，它所能容纳的这个物体的一个， 那他跟体积有区别吗？有一点点啊，区别在哪里？你说。嗯，就是因为他，他的，他的这个东西他会有厚度，所以就会导致他的长宽高都会导致，呃，就会变黄。 嗯，也就是说我们的容积他需要从哪里面去测量里面，而体积呢？但是测量完了以后他们的 计算方法是怎么样的？哎，没错，这就是他们的区别与联系。好，现在同学们在看，我们现在就把小学阶段所有的立体图形的一些知识梳理出来了，比较你之前的，你有什么想说的吗？ 你有想说的吗？嗯， 觉得更加的怎么样了？就是没想好，是吗？好，你来。 我觉得经过这次复习我把之前的学之前遗忘的旧知识又吸收吸收吸收了新的知识正在消化。嗯， 好，你有想说的？嗯，以前我是不知道。嗯嗯，都可以用五 s 表面积等于二 s 底面积加 s 侧面积，但是我现在知道了， 哎，很好，也就是说我们现在开始寻找这些知识之间的什么联系了，哎，联系了对吗？好的，谢谢。那我们 这一个把我们知识的联系也找出来以后在课前老师还要求同学们对这方面的知识去寻找一下相关的易错题，是不是啊？可能没办法把所有同学的易错题都展示出来，老师 找了两位同学的，我们一起来看一下这是哪位同学的五心怡，好啊，五心妍，请你来跟大家同学们跟着他一起来读一遍这道题啊，来看一看来，五心妍你来跟大家读读题吧！ 一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽两米，直径一点二米，前轮转动一周，压路机的 面积是多少平方米？那你觉得这一道题同学们一错的地方在哪里？嗯，一错的地方可能就是不知道轮宽两米到底是指的是什么？ 你知道吗？轮宽我们可以，这个可以作为那个轮胎吗？你能跟大家指一指轮宽指的是哪里吗？轮宽其实就是指这条高，同意吗？同意，嗯，除了这里要注意的还有吗？还有就是压路的面积， 压路的面积其实就是这个圆柱体的侧面积，一起看屏幕拿着 是这样的吗？所以经过我们呃，夕颜同学的提醒，你们现在知道这道题该怎么计算了吗？知道好谁来口答一下，你会吗？ 就是这个压路机的面积该怎么算？侧面机，侧面机乘 他的那个，里面的周长乘以他的高，就是一点二乘以他应该是一点二乘以二， 同意吗？一起揭晓答案对不对？对哎，非常棒，请坐下来。好，也谢谢你的分享。那这是我们第一位同学的错题，我们再来看一下第二位同学，他又有什么样的困难呢？ 这个是谁的？胡志勋，来跟大家先读一读题，同学们跟着他一起来看一下题目。 好，一根，你说一根长方形木料，长十米，横截面是一个正方形，将它截成三段，表面积增加十平方平方分米，请问原木料的体积是多少？ 好，你觉得这道题同学们哪里容易错？你说就是 可能不会注意到那个表底面积的大小。哦，那个单位，单位说错了，单位是吧？嗯，一个是他们的单位，要注意换算。是吗？还有吗？然后 就是木料截成三段之后，它增加了几个面，同学们，这个地方知道吗？ 截成三段它会增加几个面，四个面。对，我们来看一下，我们切一刀就会增加几个面，四个。那三段我们只需要切，所以会增加四个面，四个面。那根据这个条件我们又可以得到什么呢？ 他的这个长方形横截面的大面积怎么计算？你们会了吗？会了，好，你来跟大家说一下这个横截面是怎么算的？呃，十 十平方分米除以四，对吗？当我们算出了这一个横截面的面积以后，后面来求体积，同学们会做了吗？会，好，那我请一个同学来说一下这个体积是如何把它算出来的？好，你来。 首先要把这个十米画下来，画成一百平米，因为这个单位不同。嗯，然后呢？有二点五乘以一百，等于二百 五十一方公里，接手答对不？对？对哎，非常棒啊，而且口算也很厉害。好的，现在这样的题目都难不到你们了吧。嗯，那你们知道吗？现在其实正是草莓成熟的季节， 你们喜欢吃草莓吗？喜欢哎，老师也很喜欢，所以老师就想去摘一点草莓来，可是老板给我出了个难题，你们能帮帮我吗？能，你看。 来到草莓旁边，老板告诉了我一些信息，他就要问我了，这个大棚的空间有多大呢？覆盖在这个大棚上的薄膜，它的是多少平方米？好， 同学们有想法了吗？有。现在请你们拿出你的练习单，先独立思考，再来做一做，好不好？ 会算吗？空间是要算什么？

半圆柱形的表面积怎么算？我们来看这个半圆柱形啊，有几部分组成，首先是两个半圆形的底面，还有一个一个曲面，侧面还有一个长方形，这个侧面啊，就是整个圆柱侧面积的一半，两个底面加起来呢，刚好是一个圆柱的一个底面的面积， 再加上一个长方形的面积。我们来看啊，先算这个侧面积，它等于圆柱侧面积的一半，那就等于二分之一乘上一个圆柱侧面积，底面周长三点一四， 乘上一个底面直径六，再乘上一个高，算出来等于七十五点三六平方分。那这两个底面啊，都是半圆，加起来就是一个完整的圆，所以 s 底就等于一个圆的面积三点一四乘上一个。注意这个六是直径， 所以是半径的平方，等于二十八点二六平方分别别忘了，半圆柱形还有一个长方形，所以 s 长等于长乘宽， 八乘六，等于四十八平方分。最后把这三部分加起来等于一百五十一点六二平方分，所以这个半圆柱体的表面积是一百五十一点六二平方分。记住，半圆柱的表面积一定要加上这个长方形的切面。点个关注，持续更新。

大家好，我是王老师，今天给大家讲解一个立体图形的一个表面积的计算方法。首先我们在拿到题目之后，我们要观察哈它是哪几种组合图形，而且我们最确定的就是它的单位，那在这个立体图形当中它的单位 是啊分米，那我们就在回归到这个图形当中，我们发现它是一个棱长为两分米的正方体和一个那高是五分米的圆柱体组合的一个图形。那 无所谓，求表面积的话就是正方体的六个面再加上圆柱体的表面积。但是我们去发现 这个正方体和这个圆柱体是不是正方体的下表面和圆柱体的上表面是不是紧紧的贴合到一块？那老师同学就可能说了，老师我是不是要用这个正方体的表面积，再减去这个圆的 上圆的表面积，然后再加上这个圆柱体侧面的面积以及下表面圆的面积。 但是我们会发现一个点，你看这个没有的情况下，是不是我们就可以把圆柱体的下表面平移到上面补全，那我就发现了它是不是一个正好是一个正方体的表面积，再加上这个圆柱体的侧面积。 好，首先我们看一下正方体的表面积是不是就棱长乘以棱长乘以六，所以说它的公式是不是就六 a 的 平方，那我们代入是不就等于二乘以二，再乘以六，是不就等于四乘以六等于二十四，单位是平方分， 那我们再去看一个圆柱的侧面积，圆柱的侧面积是怎么求的？圆柱的侧面积它是不是就是相当于如果我们把这个圆柱展开之后，它的侧面积是不是就是一个长方形？ 那长方形的面积，长方形的长，他是不是就是这个圆的周长？圆的周长是派 b， 那 展开图形长方形的宽是不相当于五，所以说就是这个圆柱的高派 b h， 那 就等于三点一四的去乘以。注意这个 d， 我 们发现这个圆的直径正好是这个正方形的 冷藏，所以说再乘以二，再乘以五，他就很显然是三点一四，乘以十，等于三十一点四平方分米。然后我们再把正方体的角面积再加上这个圆柱的侧面积 等于多少？ i 五十五点四平方分米。那我们就求出了这个立体图形的表面积。好，同学们学会了吗？关注王老师，让我数学。

今天我们来学习圆柱的侧面展开图。 首先我们来看一个立体圆柱，这个圆柱有上下两个底面圆和一个侧面。现在我们将圆柱的侧面沿母线剪开，逐步展开，展开后圆柱的侧面变成了一个长方形。 圆柱展开后得到的平面图形包括两个全等的圆和一个长方形。长方形的宽等于圆柱的高，长等于底面圆的周长。因此圆柱的侧面积等于底面周长乘以高，这就是圆柱侧面积的计算公式， s 等于二， per 乘以 h。

师好，请坐，谢谢老师！昨天咱们已经对小学阶段所学的平面图形进行了整理和复习，今天这节课呢，咱们就对小学阶段所学的立体图形进行整理和复习。 嗯，课前啊，老师已经让孩子们在家里边自己对这部分的知识进行了回忆和再现，并做了一个小小的整理。下边请孩子们把你的整理的图拿出来， 从哪几个方面进行整理，还有呢， 哎 呀， let's do it！ 好，都吃完了，老师在嗯，看听大家整理的过程当中呢，我们收集了几个孩子的，好，我请这几个孩子请站下来， 请你们来说一说自己是怎么样进行整理的。 我是我是用表格的形式来呈现的，我主要分为图形的名称以及图形的样子，还有图形的特征以及表面积的体积这几个方面介绍， 我也是用表格的方式来呈现的，我是用立体图形，四个立体图形的基本特点，表面积和体积来呈现的我，我做的这一个是表格的整理和复习， 我是用思维的图的形式来整理长方体、正方体、圆柱、圆锥的特点，表面积和体积的。 我是以知识网格的方式来整理和复习的。我是以正方体、长方体、圆柱和圆锥的构成，表面积和体积来复习的。 我觉得孩子们的整理的形式非常的多样，那么看了他们的整理，你有没有什么建议呢？ 来，你来说，我想评价一下，就是最右边的这幅关于立体图形的框架整理了，整理了复习，这个我认为他的条理呢就特别的清楚，然后 呢，看起来也非常的明了，但是呢，我想提出一个小小的建议，我希望在就是比如说是圆锥、圆柱这些旁边都画上他们相应的图形。立体图形， 比如说在圆，在圆柱这个板块旁边画上一个圆柱体，嗯，在圆锥这个板块旁边画一个圆锥体，嗯，画一个圆锥体，这样的话，看起来，这样的话会让他看起来更加的直观。哎，这是谁整理的？ 接受他的建议吗？接受了，很好。好，请坐。还有吗？还有谁想坐一坐？来，你来说。 我认为第一，第一幅图它的颜色有点单调，可以多多增添几多，增添点颜色，然后看起来更加明亮。哦，他从美方的角度上面来说，如果咱们增添点颜色的话，就会更加吸引人的眼球，更好看，非常好。还有吗？曾经班里说， 我觉得四个同学所做的整理都整理的非常好，而且形式也很多样，比如说有表格的形式、思维导图的形式和知识网格的形式。但是我觉得如果把各个图形之间的联系再加上，就更方便我们记忆了。 如果咱们能抓住这些立体图形的联系，然后进行整理的话，那么就更加的清楚明白，这也将是咱们这节课努力的一个方向。好，我们也从 特征表面积和体积这几个方面来进行整理。老师有一个小小的要求，咱们先看特征，我的要求就是请你找出有联系的立体图形，然后说一说他们的特征有什么相同和不同的地方，好吗？好，先来说一说。 好，那个女孩子，你来。我觉得正方体和长方体他们的相同点是他们都拥有六个面，然后八个顶点，然后十二条， 十二条棱，然后我觉得他们的不同点是正方体的六个面全都是正方体， 然后长方体的六个面有两种情况，第一种情况是六个面都是长方形，然后有一种特殊情况， 就像是这个一样，他有两个相对的面是正方，是正方形，然后其余的四个面是长方形，然后正方体还是特殊的长方体，因为正方形也是特殊的长方形。 然后他们还有一个不同点，就是在计算能长的时候，计算长方体的能长是长加宽加高的和乘四，因为他们有三组的长，三组，呃，四组的长，然后四组的 宽和四组的高，然后计算正方体的能长时，他们他则用的是能长乘十二就直接可以求出了怎么样 和相同的地方和不同的地方，说的非常的清楚，那咱们来看一看是不是这个意思？刚才说的长方体的 长宽高，你看发生变化，当它们变得一样长了，这个时候这个长方体就变成了正方体，它的长宽高都叫做正方体，正好也是特殊的长方体。 好，还有谁再来找出其他的立体图形来说一说它们的相同点和不同点？柠檬你来。 我觉得圆柱与圆锥它们是有互相有关系的，因为它们两个底面都是一个圆形，并且它们的侧面都是曲面。嗯， 然而他们的不同点就是圆柱有多条高，而圆锥就只有一条。嗯，并且圆柱是由一个长方形绕轴旋转，以一条边为轴绕轴旋转所得到的一个图形， 而圆锥是由一个直角三角形的直角边为轴旋转而得到的一个图形。哎呀，说的真好， 你看圆柱，它就是有一个长方形绕着它的一条边 旋转得到的，这是圆锥， 它是用直角三角形绕直角边旋转一周得到的。 还有你看当这个圆柱的上底面不断的变小，最后变成一个点的时候，这个时候这个圆柱就变成了我们说的圆。真好，好， 刚才我们从特征上面进行了一个概括，找出他们的联系。那么什么叫做图形的表面积呢？什么叫图形的表面积？你来说 图形的表面积就是图形各个面面积的和正好，立体图形所有面面积总和，那咱们把它读一读立体图形，预备起立体图 形所有面的面积总和。那长方体的表面积咱们是怎么算的？谁能够用简单的字母公式来表示呢？ 来那个郑文琪来说，长方体的表面积是长乘宽加宽乘高加长乘高的和乘二正好。如果用字母公式来表示的话，就是 a b 加 a， h 加 b h 的 和乘二正好，那么正方体的表面积咱们又是怎么算的呢？请直接用字母公式来回忆一下。你说满月 正方形的表面经用字母公式是 a 的 平方乘六， a 的 平方乘六正好，那么圆柱的表面经咱们又是怎么算的呢？ 圆柱的表面经来，你来说圆柱的表面经用字母表示的是 pi r 的 平方乘二加 c h， pi r 的 平方乘二加 c h。 来我们来看 pi r 的 平方乘二其实就是算的是什么两个角面，然后 c h 其实就是算的这个圆柱的侧面正好， 我也可以说他等于两个底面的面积加上一个侧面的面积。好，圆锥的表面积呢？咱们小学阶段没有做要求，那么孩子们这几个立体图形的表面积，他们有没有什么相通的地方呢？ 好，你来说他们都可以用底面积乘高来表示，他们都可以用底面积乘高来表示它的表面积吗？ 那你自己知道。哎，你，你自己站起来说，怎么样？他们都他们都可以。嗯，没关系，刘老师给你一个小小的提示。那咱们来看一看， 这是他们的三个图的一个展开图，长方体的展开图，正方体的展开图，圆柱的展开图。你看一看，咱们求他们的表面积，有没有什么共同的地方？ 谁发现呢？ 来，那个男孩子，戴眼镜的男孩子，你说都，都。嗯， 都要求六个面，都要求，都要求，都要求每个面的面积。嗯，都要求每个面的面积，每个面的面积合起来就是他们的表面积有什么相同的地方？ 陈金帆，你说。而且我发现他们求他们的表面积都是两个底面的面积加一个侧面的面积。真会总结，你看是不是都是有两个底面的面积 加上，你看两个底面的面积加上一个侧面的面积来来看，是不是这样？是不是由两个底面的面积加一个侧面的面积组成的？ 这样的正方体也是，我也可以把它看成两个底面的面积加一个侧面的面积，圆柱也是一样的，我也可以看作两个底面的面积加一个侧面的面积。真好， 那我就可以把这样的三个公式，我用一个公式来表示，读一读 s， 预备起 s 幺等于二 s 一 加 s 四。嗯，明白这意思吗？明白，很好。那刚才我们整理了表面积，咱们接着来看，什么叫体积？ 体积就是物体所占空间的大小，那么长方体的体积咱们是怎样算的呢？ 长方体的体积。来，那个孩子，你想长方体的体积等于 a b h， 长体的体积等于 a b h 正好，那谁能够结合这个图，所以说这个体积公式我们是怎么来的呢？ a b h。 好，张成伟说，嗯，就是我们把这个长方体的长看成看成两个长度单位，然后，然后再把它的宽看成两个长度单位，然后， 然后乘起来，我们就知道了，最底下的那一层有四个长方体，然后因为他有三层，然后我们就乘三，就得到了十二，也就是这个长方体的体积。真好， 那正方体的体积又是怎么计算的呢？正方体的体积。来，你来说，那个女孩子正方体的体积计算公式是 a 的 三次方， a 的 三次方 v 等于 a 的 a 的 三次方，正好。圆柱的体积呢？ 圆柱的体积咱们是怎么算的？嗯，来，你来说，圆柱的体积是拍拍，二角平方乘高，二角平方乘高。很好，那圆柱的体积公式咱们是怎么来的？就来讲一讲。来，廖浩宁， 哦，我们先沿，我们先把圆柱沿半径和高切开，分成若干个相等的扇形， 然后就是这种样子，然后再把它拼成一个近似的长方体。 呃，因为长方体的体积公式是底面积乘高，那么圆柱的底，那么圆柱的体积公式也是底面积乘高 啊，所以说就是 pi r 的 平方乘高，体积公式就是 pi r 的 平方乘高， 能听明白吗？能，真好，好，其实我们就是在推导圆柱的体积公式的时候，咱们就把这个圆柱啊转化成了我们以前学过的 长高。对，转化的思想是咱们在数学里边一种非常重要的思想。真好，那圆锥的体积呢？圆锥的体积。吴海燕，你说底面积乘高的底面积乘高乘三分之一，底面积乘高乘三分之一。 好，谁来说说圆锥的体积流是怎样推导出来的？来，那个女孩子，你说 我们先用，我们先把，我们先把那个圆圆柱装满水，然后倒到圆锥里面，然后圆锥刚刚好倒了三杯，所以呢，要省三分之一。 不同的意见。好，谁来补充？杨俊强，你说，我觉得应该是我们先准备两个同等等低等高的一个圆锥和圆柱，我们先把圆圆锥装满水，往圆柱里面 倒水，我们要倒三次才能把圆柱给它倒满，所以我们证明了圆锥是圆柱的三分之一，等底等高的三分之一。哎，对了，刚才那个女孩子就说掉了关键词，这个圆锥和圆柱必须要有一个什么样的特点？等 底等高，高，对了，圆柱等底等高的圆柱如果装满水的话，可以倒三杯和他等底等高的圆锥，对吧？ 嗯，可以倒这样的三杯。好，那你观察这些体积公式，咱们能不能也找，也像刚才表面积这样，能找到一个通用的公式来进行计算呢？来，周一玲，你说他们的体积都等于底面积乘高，他们的体积 都等于底面积乘高。嗯，你想补充？呃，我认为是长方体，正方形和圆柱的体积都是底面积乘高。哦，这三个图形的的体积都是底面积乘高，同意吗？周玉玲，那这个能够底面积乘高吗？ 哎，还要怎么样？乘？三分之一乘。好，好，那我们来观察一下这三个图形为什么可以用底面积来乘高，求出它的体积呢？ 底子脏，因为他们都有两个底面。嗯，他们都有两个底面，还有一个侧面，还有一个侧面， 有两个底面和一个侧面的，就可以用底面集成钢来表示吗？你说，而且我认为两个底面，而且我认为，而他们的两个底面必须相等。嗯，他给出一点，两个底面必须相等，两个底面必须相等就可以了。 杨志勤补充，嗯，我发现长方体、正方体还有圆柱，他们都是由一个讲，比如长方体，我们他都是由一个正方形向另一边平行运动过去，就成了一个长方体，正方体是一个正方形向另一边平行运动，得了一个正方体圆柱像就是一个圆 平平行运动到另一边就是成了一个圆柱了。总结它的关键点，它都是这样运动的，那就说明它们怎么样呢？中间怎么样？中间怎么样，是不是也是一样的？嗯，好，我给大家看一个图，你就明白了。 是这个意思吗？那如果光是两个底面相等，中间不相等，能用底面积唇膏吗？不能，不能。孩子们，这样的图形你知道叫做什么名字吗？ 他们都叫直柱体，对，都叫柱体，柱体的体积咱们都可以用底面积唇膏来表示。真好，那也就是我把它们的体积公式都可以用底面积唇膏来表示。 如果刚才咱们把我们的长方体、正方体、圆柱、圆锥都看成一个一个的容器，那我要算它能够装多少东西，实际上就是要求他们的什么容积？什么叫容积？什么叫容积？还记得容积的概念吗？ 谁来总结一下什么叫容积？ 来试一试。你知道容积是物体能容纳 容纳的那个物体的体积，对吧？好，咱们把容积的概念读一读，不熟悉没关系，不喜欢就好了。物体能容纳预备起容器能容纳预备起 容器，容纳了物体的气息，叫做它的容积。容积和我们说的体积有什么相同和不同的地方呢？ 来，你来说。哎，容积和体积的计算公式是相同的，但是容积是从物体的内部量，而体积是从物体的外部量。说的真好，找到他们的不同之处，那从理论上来说，物体的容积应该比它的体积怎么样 小，嗯，对，小，因为这个东西啊，都是有厚度的，很好， 好，孩子们。那么这节课啊，我们就把刚才的知识进行了再次的梳理，对比一下你们课前梳理的知识和现在我们展示出来的这个图形，你有什么想说的？ 陈静丹，你想说什么？我觉得找到他们的相同点规律的时候就变得简洁多了。哎，现在这个图形跟这个这样的一个总结表就显得怎么样简洁多了。刚才这么多的 公式，咱们就可以用这样的简单的一个通用公式把它表示出来。有的时候咱们学习就是这样的，咱们就可以把厚厚的一本书读饱，然后抓住其中的精髓就可以了。好， 这一节课我们的整理就到这个地方，接下来我们来练习一下。好，我们先来做一个小游戏，图形猜猜猜。 我说这个哈，有三个面，底面是两个同样大的圆侧面圆高，圆高，展开是长方形，一起猜是什么图形？圆柱，圆柱 真好，圆柱好。第二个有六个面，十二条棱，八个顶点，只有两个相对的面是正方形，你猜是什么？我猜是长方形。长方体，长方体，你，你猜是什么？呃， 我猜，呃，他应该 都认为是长方体。来，咱们来揭底揭晓一下。嗯，为什么不是长方体？ 你说，因为他在条件里面没有说其他相对的面都是长方形。嗯，因为他在条件里边他只说有两个相对的面是 正方形，而没有说其他的面的特点，对吧？这样的话，我们能不能够确定他一定是长方体？不能，所以啊，孩子们在审题的时候一定要看清楚题目当中的每一个字啊。好，接下来我们来 用刚才我们整理出来的知识解决问题，请孩子们拿出你们的题吧。好，这里啊，表示有四个立体图形，请算出表面积和体积，主页上是不尽效。 大家好，孩子都已经做好了 好三次。好，王思涵，你来说一说第一个图形的表面积是怎么做的？ 第一个图形的表面积等于五乘四加五乘八加四乘八的和乘二，同意吗？同意，哎，非常好。体积呢， 接着做一个图形的体积等于四乘五乘八。嗯，长乘宽乘高，非常好。好，第二个图形正方体，谁来说？周一鸣，你说 正方体的表面积等于五乘五乘六，嗯，我问一下，五乘五算的是什么？是它一个面的面积，六是它乘六等于它的表面积，正好体积等于五乘五乘五，嗯，五乘五，乘五，还可以写成 这个圆柱，圆柱的表面筋来，这个孩子，你说 圆柱的表面筋等于三个平方派乘二，加上二乘三乘派乘六，同意吗？同意。那这个二乘三的平方派咱们算的是什么？ 二乘三的平方，他来算的是他的底面积，哎，算的是两个底面对的面积，然后再他的体积等于三个平方拍乘六。真好，他的体积等于三个平方拍乘六。圆锥的体积呢？咱们怎么算的？好，你来说。 全军的体积是三个平方派乘六乘三分之一，嗯，三分之一，一定不要忘了，三个平方派乘六，再乘三分之一。真好，全军的孩子请举手。 真不错哈，咱们用，请坐，咱们用刚刚整理的知识会算了一体图形的表面积和体积，现在我们来解决生活当中的一些问题。请看， 这是多功能厅，有底面直径为两米，高五米的大立柱。 修建这个立柱需要多少平方米的建筑材料？第二个，给柱子装修贴上墙纸，需要多大面积的墙纸？ let's do it。 好，这道题大家都做好了吗？做好了，好，我，我们请个同学上来讲一讲他是怎么想的？来，约好你来。 呃，这个问题是修建这个立柱需要多少立方的建筑材料？我们就可以锁定一个关键就是立方米。呃，因为，因为要求这个这个立方米，所以我们就可以，呃，直接求这个这个圆柱的体积， 我们直接可以用圆柱的体积公式 pi 二的平方乘 h， 但是里面有一个关键点，他给的条件是一个直径，所以我们要把这个直径转化为半径，就是二除以二等于一，就是等于 pi 乘二分之二的平方，乘五 等于十五点七平方米，就直接写。答，需要十五点七平方米的建筑材料。第二题，装修时给柱子贴上墙纸大约需要多少面积的墙纸？因为我们的柱子是上顶着，上顶着屋顶，下顶着地板的，所以我们的底面积就可以不刷墙纸， 所以我们只用求它的侧面积了。侧面积就等于 s， 等于派 e h， 那我们就可以直接求圆柱的侧面积公式等于 pi 乘二乘五等于三十一点四平方米。 答，需要三十一点四平方米的墙纸，同意吗？同意，真好，哎，我还还想问问大兵，你觉得在做这两道题的时候最重要的地方是什么 啊？最重要的地方我们先要审题啊，审完题之后有一个直径，这个细节，我们要把这个细节抓住好，要把把这个直径转化我们的半径啊。第二题的重点就是 啊，因为柱子是上顶着天，上顶着上顶着屋顶，下顶着地板的，所以我们就可以不用求他的两个底面的面积，我们就直接求他的侧面就可以了。好，谢谢廖浩宇的提醒，就是孩子们在审批的时候一定要仔细，他说看清楚这个细节写的是什么 直径。另外咱们在求贴多大墙纸的时候，不要简单的把它理解为圆柱的表面积，他这个时候咱们只需要求他的什么侧面。真好，所以当在解决问题的时候一定要认真审题。好，谢谢廖浩义， 刚才我们用它解决了咱们生活当中的一些问题， 可是在实际实际生活当中，我们常常还需要测量一些不规则的图形的体积，遇到这种情况，我们要测量这块石头的体积，又该怎么样来进行测量呢？我想请孩子们设计一个测量这个石头体积的一个方案。 好，请看你的第三题，作业题的第三题。 嗯，我请和企鹅说说，你想怎么样来测量这个石头的体积？可以怎么样来测量它的体积？ 来，你来说。嗯，我们可以准备一个玻璃杯，里面加一点水。嗯，然后呢？我们把石头放进去，把石头放进去，嗯，然后先，然后之前先晾那个玻璃杯的水的是多高，现在再晾一遍。嗯， 求他们两个的差，再乘以面积，就是这个石头的体积，同意吗？同意，真好。而且这个孩子在这里也用到了一个 什么样的思想转化，对不对？排水法，那么就把这个石头不规则的石头的体积转化成了不规则的这个圆柱的体积。真好，好，我告诉你他的一些条件。 let me see you next time。 来，我起个名，起来说说你是怎么想的？呃，林雨桐，你来说。 我是这样想的，我先求出圆柱的高圆，圆柱的半径也就是十二除以二等于六厘米，这是圆柱的半径，然后再算出。呃， 现在比原来高多少厘米？也就是十六减十二等于四厘米，这是上升的那部分的高，上升的高就是四厘米。对，然后再，然后再用圆柱的体积， 这是，呃，六的平方块乘四等于四百五十二点一六立方厘米，这就是不规则物体的体积。哦，然后就是这样的一个计算，对吧？嗯，真好，等于四百五十二点一六，做对了，孩子记上， 真棒哈，手放下，好，孩子们。你知道这个用排水法来求不规则的图形的体积是谁最心烦的吗？ 你，你。

同学们好，请坐下。那先请同学回顾一下，在小学阶段我们研考了哪几种立体图形？ 对啊，走，你说在小学阶段我们研考了长方体、长方体、正方体、正方体、圆柱、圆柱、 圆锥，圆锥算。好棒，那这节课我们一起来探讨立体图形的体积与面积的复习。 那现在谁能说说这些立体图形体积公式的字母公式呢？嗯， 牛！中长方体体积公式字母表达式是 a b h 体积体积。什么体体积用 v v 等于 s a a b h a b h 正方体的体积公式是 v 等于 a 的 立方， v 等于 a 的 立方。请坐下，还有两个，我再请同学回答。 好，你说圆柱的体积公式是 v 等于 s h， v 等于 s h。 圆锥的体积公式是 v 等于三分之一 s h， v 等于三分之一 s h。 嗯，好棒，还有谁有补充的吗？ 好，王子，你说长方体、正方体和圆柱都可以用一个统一的公式来表达它的体积公式，嗯，你说 v 等于三， v 等于 s h。 哦，它们可以统一成 v 等于 s h。 很 棒。请问下，那这些立体图形的体积公式，它们又是怎样推导出来的呢？ 每个同学选齐整一个就汇报，就选一个汇报啊，看你喜欢哪个，你就来试数一下这些这个铁鸡公笋是怎样编导出来的，想好的举手！ 好，尤敏，你说长方体的体积推导公式是把它分成许多个体积为一， c m 立方的小正方体，然后它的体积就是它的那个小正方体的数量推乘以一 啊，所以它很多，可以说是。我们从这就可以得出，长方体的体积公式就是长乘以宽乘高。很棒。 好，接下来选了下一个。何艳婷，你说圆柱的体积是把圆柱的直沿直径把它平均分成若干份，然后再把它拼成一个类似于长方体的图形。嗯，近似于长方体图形。 然后我们就可以得出圆柱的体积公式是 v 等于 s h。 好 棒，还有哪个哦？ 高准。你说正方体，它是特殊的长方体，它是龙龙长和三等的长方体，那么所以可以得出 v 等于 a 的 立方。对， 正方体是特殊的长方体，特在什么地方，它的能伸长，能伸的相当，它能伸都相等，从而得出它的体积公式是 v 等于 a 的 地方。表现不错。最后一个了， 丸子，你说圆，我圆锥的体积推导公式是，我们把圆锥里倒满水，然后倒到 它和它等底等高的圆柱中，然后倒了三次就倒满了，从而可以得出圆锥的体积是体积公式是三分之一 s h。 有补充的吗？请你说。应该说是圆锥的题是他与他等底等高，圆柱体的三分之一。你听的真仔细， 前提是必须与他等你等高，很棒。好，那在小学阶段，我们先探讨的是谁的体积公式？长方体。我们为什么要先探讨长方体的体积公式呢？ 好，你说，因为我们可以从长方体来推导出其他三个图形的体积的推导过程。你具体说一说，因为长，因为正方体它是特殊的长方。对，我们就可以由此推导出正方体的 推导过程。而圆柱呢，也可以根据它，从它的直径来把它切割，然后再拼成类似于长方体的图形来求它体积很棒。 而最后的圆锥看上去跟长方体没什么关系，但是可以从以长方体来推导出 体积公式的圆柱来入手，因为圆锥它的体积是与它等底等高的圆柱的三分之一，所以呢，我们也可以由长方体推出圆柱的体积公式后，再推出圆锥的体积公式。你真的很棒，请坐下。说得非常清楚，那 我们这些图形都是以长方体体积公式为基础推导 出来的，这些图形当中看似毫无关联，但是他们有着千丝万缕的联系，并且我们往往在学一种新图形的时候，我们要把它转化为你学过的图形。 那么这的数学思想和方法在我们数学上称为转化。对，转化 这个转换的数学思想和方法不止现在有用呢，在我们中学他也有用。好， 刚才呀，还有同学补充呢，他说长方体、正方体、圆柱体的体积公式可以统一重 v、 v 等于 s h。 那 问题来了，为什么它们三个可以统一成 v 等于 s h， 而圆锥体不可以呢？你能把想法在小组内说一说吗？ 啊啊啊啊啊， 因为有尖的小组全举手！ 前面你说长方体、正方形体、圆柱，它们都是柱体哦，都是柱体，往下往上都是一致的。嗯， 而且上下面两个面是平行，而且，而且相等。但是，但是圆锥下下面和上面不一致，而且他不是柱体啊，不是柱体，而且呢，他没有两个一样的面面，对不对？那么因此， 因此想具备这样一类特征，有两个底面，有两个底面，且两个底面的相等，请请您相等， 从上到下，从下往下的重心是一样的，生产要特匀称啊。那么具备这一类特征呢，也是我们同一批所说的，他就是什么？注意， 那么很明显，圆锥体是，它们是柱体，它是什么？锥体体很好，那么现在呀，老师就教给大家一个任务喽，请看清楚 下面哪些立体图形呢？体积可用底面积乘高来计算。 高配，你说第一个，第一个它可以用底面积乘高来表示，嗯，而且第三个也可以用底面积乘高来表示，嗯， 因为他们第二个可以吗？不可以。好，第三个可以，其他的都不可以。那么我就问一下，这一个怎么不可以呢？第四个，因为他们从上到 从，他是个骨的，但是我们的，但是我们。呃的要求是他必须从小到大的上司出身是一样的，身材要特匀称，他是一个胖子 行吗？不行，很棒，请坐下。所以从这里我们就知道只有谁可以用你面积承担的计算顶替我们承担的，因为他们具备 顶上角的角，面向表面啊，有两个底面，尤其是朝上角的东西，向晚上的出息要，所以我们就可以用底面肌层高来计算。 刚才我们探讨了并且复习了这些立体图形的体积公式，那现在我们能够用这些公式去解决实际问题吗？能，能吗？能，请接着看 谁来读一读题。请个声音非常洪亮的同学啊， 读题好完整，你来读吧。 如果把一个棱长十厘米的正方形铁块断铸成一个底面直径二十厘米的圆锥体，这个圆锥形铁块的高约是多少？结果保留整数。心真很亮。那同学们，你们能根据老师的提示 先努力思考这道题吗？能，如有困难想准备交流，并且把并且把讨论的结果记录在学习单上面开始 两个物体之间会有什么关系呢？体积相等啊，体积相等值是什么？变了形状，形状变了，但是体积不变不变， 有些主可以有困难你可以交流一下啊。 咳 咳， 三十， 请注意，这里是几乎保留整数，所以要除到十分位 啊，重要。如果呢啊，谁也想展示一下来分享一下你的成果好吗？同学很积极啊，我觉得中间这一块很积极的。 好的，一会来吧。 好听小邓老师的，因为他说这是熔铸成一个底面直径是二十厘米的圆柱圆锥 体铁块，所以他的体积就是不变的。我们先算出正方的体积，就是能长乘能长乘能长等于一千立方厘米， 一千立方厘米圆 h 圆锥就等于三 v 除以 s 就 我们先要算出，因为它圆锥的高就等于 体积乘以三除以它的底面积。我们先算出它的底面积，因为它这指出了直径。我们先把半径算出来， r 就 等于二十除以 r 等于十厘米 s 就 等于 以嗯，半径的平方乘以三点一四就等于十的平方乘以三点一四等于三百一十四 cm 的 平方。 再用一千乘以三除以三点一四就等于三千除以三点一四约等于十，这个圆锥约等于三百一十。 哪里算错了？写错了写错了，有一个小小的笔误，他本来算起来是三百一十四，但是这里写的是多少？三点一四看得很仔细， 待会那么请上位，所以我们平常一定要细心一点哦。那么 来回到黑板仔细看着，刚才的同学告诉我了，解决这道题的关键是什么？ 体积变，体积五变，它体积相等，尽管它的形状变了，尽管它的形状变了，所以这里体积相等是一个关键啊。 那么当我们分析这题目的时候，我们可以根据题目的题意画出 啊有福，我们可以根据题目的要求画出示意图，所以我们可以根据 注图并且标上数据。当然刚开始我们我所看到大部分同学基本上都是采用的这种方法，也就是说利用算术方法，利用变形公式。那么当我们遇到这整题知道体积 要求高或底面积的时候，我们可以用方程， 因为方程是数学上思维，更便于解决这个问题。那么我们第一步根据题 发出相应的示意图，并且标上数学，让表，让条件具体化好，那么现在求什么？圆圈？圆锥的哦，那我们不妨设 圆锥的高为 h 厘米，根据什么？根据哪个等量关系得出方程。当它们的体积相等，体积相等 十，乘十，乘十，这是谁的体积？重合体？三分之一乘三点一是乘二十除以二三的平方乘 h， 这是谁体积？圆锥的体积是三等的好，那么 解这个方程一定要注意相关的技巧。那么第一步我们可以先 两边都算出来。两边怎么样？算出来？算出来，有必要算出来吗？没有，我们可以两边先乘山。 可以乘山吗？可以，乘山的目的是干嘛？把山移出去，把山移去三分之一，把下分积分数化减数。所以第一步我们两边同时乘以山。 好，接下来我可以两边同时除以多少？ 三点一是乘十，乘十我有必要算出来吗？没有这样写，可以约，约成多少约成十啊？十乘十，约成几个十，两个十，所以结果约等于 十，约等于十，约等于十。那么对于这个减去的过程，我们一定要注意计算的技巧。那么现在请用何词来 把老师归类一下，用方程解决这个问题的时候，它基本的步骤是什么呢？第一个，我们先干嘛了？它是一组啊，它是一组，它是一组的表面上的什么数据？ 第二步，解设。解设的目的是得出这个方程成为力方程， 接下来是解方程，力方程， 接下来呢？解方程。那么解方程的时候我们还要注意注意计算的技巧，约分的要约分，这个能够使计算减面， 那么我们先约分啊！当然最后是对作答并 yes。 同学表现越来越棒啊，不过接下来挑战会越来越难哦，有信心没有？请接着看！ 先请同学来读一题，先要很认一些啊！吴 超辉，一个圆柱和一个圆锥的体积之和是九十四圆的立方，圆锥的高是圆柱高的两倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的四分之三。求圆柱和圆锥的体积各是多少立方厘米？ ok， 它读的是圆柱的底面积是圆锥底面积的四分之三，因为是圆锥的底面积是圆柱底面积的四分之三。圆柱的真仔细，请读一下。好，那接下来老师给出了对应的提示哦！ 先把提示读一读好不好？好好，小声读一读。如果设圆柱的高为 h， 得圆锥的高是多少？如果设圆柱的底面积为 s 平 高。黎明德元在的体验之中要用字母表示他的成绩，你能根据老师的提示完成这个表格吗？能，快点， 有困难小姐姐可以交流一下啊。 好，你觉得吗？有觉得的小主举手。好，还等一分钟啊，小组内可以交流一下你们的意见。 好的同学都完成了啊。好，坐好， 来第一个。在这个表格中知道 圆的高和圆的高和圆面积分别是用 h 和 h 表示，那么你能够对应到用中文表示出圆锥的高吗？看唱，因为题目中说圆锥的高是圆柱高的两倍，那么我们就可以用字母表示为二 h。 很棒，请坐下，下一个圆锥的底面积。王雨涛，如果说圆锥的底面积是圆柱底面积的四分之三，就用四分四分之三 s 表示对不对？很棒，底面积 尤米，圆柱的体积是三分之一 s h 哦，三分之一 s 的 体积是四分之三 s 二等一下，圆柱的体积怎么表示圆柱的体？因为底面积乘以高。用字母 s h。 想一下，那么圆锥的 圆锥的体积完折 圆锥的体积就是二 h 加乘四分之三 s， 二 h 乘四分之三 s， 啊，还有三分之一，还有乘三分之一哇，一定要记得乘三分之一。 那现在你能根据这个表格得出对应的方程吗？ 丁俊，哪个数量关系可以得出方程？ 骆总，你说一个圆柱和一个圆锥的体积之和是九十立方厘米，可以得出方程。对，你说一声方程 s h 加三分之 一乘以二乘以四分之三 s h 等于九十，这个是谁的体积？ s h， s h 是 圆柱的体积，这个是谁的体积？圆锥的体积很棒，它们的和等于九十。好，暂时停下来， 看着这个方程，好像和我们平常有点不一样，这两个位数没关系，看着我们先把它 约等于多少？四分之一，二分之一 h， s h 加二分之一 h， 几个 h， 二分之三个 h， 那 么就把 s h 看成一个乘以 算一算 s h 等于多少？六十、六十，六十，六十 s h 等于六十，这个六十就是圆柱的体积。对，圆柱的体积， 那连这题是多少？九十六减六十等于三十，九十减六十等于三十立方厘米。那像这种，当我们遇到条件 比较多，而且有点复杂的时候，我们可以用表格的形式帮助我们进行分析，那么这种方法我们称为表格法。对，取个名字叫表格法。 现在我们是对图形的体积和容积进行复习的，那么谁能说说什么是物体的体积与容积呢？ 什么叫体积？ 你说物体所占的空间大小就叫做体积。很棒，物体所占的空间的大小，那么什么是物体的容积？ 你说物体所容容纳空间的大小叫做容积，对，物体所容纳的物体的体积大小，我们就称为容积。那么我们进量一个物体容积的时候， 那么要注意什么呢？你说要从里面量，要乘里面乘。对，好， 现在请大家告诉我怎样求这个土布的体积，它是长方体吗？不是。它是正方体吗？不是。它是我们学过的 线段弧线的任何一个吗？不是，它是一个不规范的题型，怎么办呢？ 不规则就怎么样转化为规则，转化为规则的保存，说一说你具体的操作的方法。 李胜想，你说我们可以在一个容器里放满水，或者说不放满水啊，这个容器里面，这个容器可以是 在里，把里面的水放在里面放糖水，或者说不放糖水。这个容器必须是一个规则，规则必须是一个规则的，可以是圆圈，可以是圆圈，可以是叉棒棒糖。 好，继续说。然后，然后这个马铃薯放 这个水面上升的部分就是马铃薯的体积，我听说过的，就是刘敏，你说必须让这个马铃薯完全浸在水中啊，必须让这个马铃薯完全渗入到水中， 然后水面上升。如果你装满了水，水装满了，溢出来了，溢出来的水就是这个水瓶，就是这个马林虎的瓶。所以 我们再一次感受到转化，转化的数学思想和方法。那通过一节课的复习里右成中 得出了哪些解题的技巧和策略呢？你能帮老师微浪体验一下吗？ 好，这个晴雨。你说把一个或几个物体被 组成另一种形状的物体时，它们的体积相等。剪辑的步骤是，先画图标数据。可列方程，容易能约分的先约分检验作答 啊。可列方程亦是也，可以算什么验算术方法？对，但是遇到这样的题，我更建议的是用方程。 不规则的不，不规则的体积。物体的体积不能直接求出时，可采用转换，转换的方法。最后一个表格啊，表格法，表格法。 那同学们，你们能够用这些侧面和方法去解决实际问题吗？能，好，指令是 第一个，坐反， 第一个，我们是要求长方体的体积，长方体的体积就等于长乘宽乘高，我们就用四乘五乘以二。很棒，下一个王颖涛，下一个我们用六乘以六乘以五， 因为它是，因为它是一个鱼缸，它只要五个面，它上面还要放鱼进去，所以不要用盖子。对，这个实际问题一定要实际分析，它只有几个面，五个面。好，下一个 流星，三点一四乘以二十个平方乘以一十五，它这里是有多少体积？体积公式就等于，呃，还 三点四乘以二十平方乘以十五，三点一是乘以二十的平方乘以十五等于它的体积，这是什么？圆柱的体积？圆锥圆锥圆锥圆锥圆 锥圆锥，它的体积公式是 v， 圆锥，它的体积公式是 v 等于三分之一 s h， 希望二十的平方乘以三点一四乘以一十五乘以三分之一，一定要记得乘三分之一，一定要看清楚题，圆圈，圆圈，圆圈与圆。注，你得看的清清楚楚啊。好，请接着看。 好，这边这边三组到这里完成第一个，然后这边后面两组完成第二个，看哪个组更快一遍。 指令是 好做完。举手举例式啊， 第一个，第一个 完整，第一个它解设。这里是钢柱的底，面积是 s 平方分米，那么这个钢柱的 这刚出的体积就是三点三十一点四 s， 那 么他的，那么他和他的和他体积一样的圆锥体的体积就是 十的平方乘以三零一四乘以九乘以三分之一，那么他列出的这个方程就是三十一点四 s 等于十的平方乘以三零一四乘以三分之一。很棒，但这题我们也可以用算术方法啊。 好，下一个相应，三点一四乘二分之八的平方乘三。 你信的什么啊？你信的什么方法啊？我用的是方程啊，方程你说呢？ 三点一四乘二分之八的平方乘以三等于三点一四乘以三的平方和 h。 啊，对，很棒，当然我们几个 h 等于十六。这题我们也可以用什么算什么，也可以用限速方法。 那通过自己的学习，你有新的收获，或者是说你有什么提示要给大家来个温馨提示吗？ 好，你说。对，如果是要算圆，要看清楚题目是算圆锥的体积还是算圆柱的体积，这一定要看清楚题目好，还有什么好，你说。如果说是算圆锥的题的话， 都要乘三分之一。嗯，圆锥的体积一定要记得乘三分之一，在解决实际生活问题时，我们要结合生活实际来解决。嗯，对，很不错。还有吗？ 一定要知道圆柱的体积是它直径的高圆锥的体积 是他等底等高圆柱等积的三分之一，那么反过来圆柱的体积就是与他等底等高圆锥体积的三倍。

们进行了观看，并用自己喜欢的方式初步进行了整理，对吗？对，嗯，老师在课前也仔细地看了我们同学们的作品，并且还把它给收集进来了，我们一起来欣赏一下好不好？好， 老师看到了同学们的认真。那老师想要从中随机地抽取几位同学来跟大家分享一下好不好？看一下会抽到谁的呢？ 这是哪位同学的？好，请你来跟大家说一说。 其他同学可以看屏幕，你拿着你自己的作品，我们给他一点掌声好不好？好，请到前面来跟大家分享。面向大家， 你整理了哪些知识？呃，我整理了长方体来。嗯，我们一起跟着他的目光来看一看长方体的什么？长方体的 顶点棱和面可以更具体一点吗？ 长方体有六个面，相对的两个面面积是一样的，有十二条棱，相对的四条棱互相平行，而且平等相等。长方体还有八个顶点。 我还整理了正方体的正方体也有六个面，每个面面积也是相等的，它有十二条棱，每条棱长度相等，有八个顶点。 圆柱有两个底面，两个相等的圆，两个圆是相等的，有一个侧面，无数条高高是相等的 圆锥有一个底面，一个侧面，侧面展开是山形，还有一个顶点和一条高。同学们觉得它分享怎么样？嗯，好，谢谢你的分享。那你们觉得它有什么要补充的吗？ 好，你来，我觉得他可以把每个立体图形求表面积和求体积的公式写上去。嗯，还有表面积和体积的计算方法，对吗？好的，还有同学要补充的吗？ 那老师再选一个同学来跟大家分享一下怎么样，看看他能不能够更有条理， 这是哪位同学的，非常的美观哦。好，请最后一号来。 嗯，很棒。 呃，你整理了哪些知识？我想到了以前学过的长方体、正方体、圆柱和圆锥。嗯，能够更具体一点吗？ 长毛体的特征有六个面，相对的面相等，每个面一般是长方形特殊，两个面是正方形，有十二条棱，相对的四条棱互相平行且相等，有八个顶点， 表面积等于 ab 加 ah 加 bh 乘以二，体积等于 abh。 还有正方体有六个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有十二条棱，每条棱长 相，每个棱长的长度相等，有八个顶点，表面积是 b a 的 平方体积是 a 的 三次方。 圆柱有两个底面是相等的，两个圆有一个侧面是个曲面，沿高展开一般是长方形。当底面周长和高相等的时候，是正方形，有无数条高，每条高长度都相等， 表面积是二 pi r h 加二 pi r， 平方体积 s h。 圆柱，一个底面是一个圆圆圆形，一个侧面是个曲面，展开是个扇形，有一个顶点有一条高 长方形。长方体，长方形是一个特殊的长方体，长方形是一个特殊的长方正方形是一个特殊的长方形。等底等高的圆锥和圆等底等高的圆柱是圆锥的三倍。怎么样， 同学们觉得他分享的怎么样？我来采访一个同学，你觉得？嗯，我觉得他说的 就是很具体，每个方面的知识点都就是归类到。嗯，很完善。是吗？ 还有吗？还有要说的没？好，你来，我觉得作者对对话这个思维导图注入了很多的心血，他查，他应该查了很多资料去做这个思维导图。嗯，你还看到了他背后的辛苦，是吗？很好，那都没有补充的了， 同学们在这一块呢，做的也还不错，确实很完善了，是不是？但是你们刚刚有没有仔细听，他好像有一点紧张，所以 那个有个小姐姐，你说就是他在读正方体的表面体的时候，他的六可能看成了 b， 然后就把六 a 的 平方看成了 b a 的 平方。 哦，读法的时候有点紧张，说错了，但是我们纠正一下，非常棒，听得很仔细。没错，那同学们在做这个的时候呢，老师也发现大家大部分同学啊，都可以像这样把我们学过的知识来罗列出来，那我们今天的复习课就是这样就可以了吗？ 今天我们来对立体图形整理与复习哦，我们不仅要知道这些知识，我们还要去寻找知识之间的联系，再来进一步的归类概括，你们有信心吗？ 有，好的，那我们刚刚同学们是从这四个立体图形的哪几个方面来进行整理的？表面题哎，是的，我们整理了长方体，正方体，圆柱和圆锥的什么？ 呃，还有他们的以及他们的。那我们今天也从这几个方面来进行整理好不好？但是老师要提高要求， 请听清楚了啊，老师这里呢，给大家准备了这些立体图形，但是我要请同学们先找到一组有关联的立体图形，再来说一说他们之间的相同与不同， 听明白了吗？听明白了。好，那谁敢来挑战一下？好，请那个男生请你上来。你可以上来说吗？ 我发现了长方体和来它们的相似点。哦，你找到了他认为这两个有联系，你们同意吗？同意。好，那你来说。他的顶点数量相同，都是八个， 然后人长数量也相同，是十二条，然后一样有六个面，怎么样？嗯，相同点说的非常棒，还有要说的吗？它的不同点就是长方形是相对面面积相等，而这个正方形是所有的面面积相等， 正方，哎，正方体的六个面都是怎么样的相等？嗯，非常棒。好的， 刚刚这位同学给大家快速的就找到了我们长方体和正方体相同与不同的地方，对不对？那他们之间的联系呢？ 在哪里？好，你说。就是那个正方体，那个正方体也是特殊的长方体。嗯，请坐下来，我们一起来看一下。是这个意思吗？ 当长方体的长宽高都变成相等时，就形成了一个什么，所以我们才说正方体是特殊的长方体很好。 剩下的这两个立体图形他们之间有联系吗？有。嗯，我看到中间两组的同学好像举手不快，积极，还有更多同学，老师想看到更多同学能够积极的发言好不好？好，那个女生，你来， 等底等。好，你也上来，可以借助老师的这个立体图形来跟大家说说。嗯，我发现他这圆柱和圆锥如果等底等高的话，那么圆柱圆柱就是圆锥的， 圆柱的体积就是圆锥的三倍。嗯，找到了体积之间的关系，是吗？嗯，他他们的底面都是圆形， 有补充吗？还有吗？暂时没想到还有谁要来补充的。好，你来， 他们的不懂点是上面这个平面，他的上面的平面是尖的，这上面的平面是圆的，而且他们这个图形的斜面是个曲面，这个图形的斜面是个 正方形，展开之后是个长方形，但是他们这一个面都是什么？ 都是都是他的侧面，哦，都叫侧面，而且他们都是曲面，是这个意思吗？好的，请下去。很好，那同学们刚刚也找到了这两个立体图形之间的相同与不同， 还说到了一点点联系，还有不同的联系吗？他刚刚讲到了一个，这些立体图形都可以有哪样的平面图形旋转而成呢？还记得吗？一起说 什么形？长方形和三角形，对吧？ 他们旋转可以得到这两个立体图形。并且刚刚我们那位同学还说到了，当这一个圆柱的一个底面缩小说小成一点时，就变成了一个圆锥，哎，圆锥，这也是他们之间的联系。 好了，那我们现在对于这些立体图形的特征，觉得自己掌握的怎么样了？有信心啊，感觉很好了，对不对？那我们来玩个游戏怎么样？好好来 猜一猜，里面是圆形，它可能是，一起说吧， 圆锥，圆锥还不能确定，是吗？再给你一个条件，侧面圆高展开都确定了，都觉得是圆柱。介绍答案， 真的哎，再来，有六个面，十二条能八个顶点。嗯，那再给你一个条件， 只有两个相对的面是正方形，你说长方体，你呢？长方体都觉得是长方体，是吗？揭晓答案， 咦，怎么跟你想的不一样了呢？ 想一想，如果要变成你们所说的长方体，那我们的条件可以怎么修改一下？现在给你一点点时间，同桌之间相互讨论一下 可以怎么改两个相对的面都不相同的面积。嗯，非常棒，好，有想法的同学，用你的坐姿告诉我。 好，我现在看到有同学已经有想法了，对吗？好，请你说。嗯，相对两个面的面积相同，也就是说是这个意思吗？相对的两个面要完全相同的，而且还是一个什么？ 还是必须是正方形，这个时候我们就可以得到一个什么立体图形了，请坐下来，对吗？ 好的，看来我们数学是一门非常严谨的学科对吗？所以我们在描述的时候也一定要怎么样描述清楚，哎，要准确，很好， 再来复习一下我们的表面积。什么是立体图形的表面积？你还记得吗？好，可以一起说，你说，一起说 所有的面的面积总和。那刚刚由前面几位同学的分享，大家应该对于这些立体图形的表面积计算方法比较熟悉了吧， 那老师随机的来抽取一组，看看能不能全部答出来好不好？好，请这一组同学来，你说第一个 长方体，它的表面积长加宽乘二，嗯，还有吗？ 长方体的表面积有几个面？六个，嗯，所以它该怎么计算？除了长加宽要乘二，还有什么 好坐下来哪一组再有信心的？好，这一组来， 嗯，长乘宽的和，加上宽乘高的和，再加上长乘高的和，然后扣起来相加就乘以二，同意吗？同意，哎，非常棒。下一个。同学，你说正方呢？正方是，呃， 嗯，每个面的每个面的面积乘六，呃，就是单面的面积乘六，也就是这样的，对吗？好，请坐。下位同学，嗯，半径的平方乘以派乘以，这个算出来的是什么？ 所以我们应该怎么来算？半半径乘以派乘以二加上， 对吗？对，他开始算的那一部分是就是这两个什么底面积，再加上一个侧面侧面积，对吧？好的，那对于圆锥的你有想说的吗？ 啊，因为我们没有过多的去研究对不对？所以我们以后有时间再来研究它。好，现在请同学们仔细观察这些立体图形的表面积，你能发现它们共同的地方吗？ 它们有共同的地方吗？你说。嗯，长方形和正方形，它们都是把每个面的面积加起来，然后上面那个是为了减变， 其实可以把它拆开来， a 乘 b 乘二，然后再加 a h 乘二，再加 b， h 乘二。哦，你是 然后继续，然后因为长方形是两个长方体。纠正一下你的说法，两个相对面，所以要乘二， 你是在解释这一个为什么了，对不对？好，请坐下来。可能没听懂老师的问题啊，老师是说这几个立体图形他们的表面积计算方法有共同的地方吗？ 是不是之前从来没有思考过这个问题？没关系，我们把他们的表面积都展开来仔细观察一下，现在你有发现了吗？ 你说都可以是两个底面加一个一个侧面，能说说两个底面在哪里？就是比较红色的哦， 同意吗？这两个红红色都是他的底面，而其他的是他的什么侧面？请坐下来。我再请一个同学来说一下你这个圆柱的侧面。我知道你知道了，这个长方体和正方体的侧面指的是哪几个面，你知道吗？ 你来指一指，他指的是哪几个面？这里是底面。哦，这两个是两个底面，同意吗？同意，所以他的侧面就是这里， 也就是前后左右这四个面非常棒。是的，那大家都同意这三个立体图形的表面积，我们就可以怎么来表达他， 它可以等于两个底面，两个底面再加一个侧面，那我就把它记录下来了。好的， 再来看一下这些立体图形的体积，你还记得吗？ 什么是立体图形的体积？占占占空间了哦，物体所在空间空间的大小是吧？ 那这些立体图形他们的体积计算方法你还有印象吗？有，好，那我也随机的抽取一组同学来说一下。好吧，呃，请这组同学你们来说。 第一个。嗯，第一个，长方体的体积公式是长乘宽乘方，同意吗？同意。好，第二个呢？ 第二个，正方形的体积是 a 的 三次方，对吗？嗯，第三个，圆柱的体积呢？它的体积公式是半径乘以半径的平方乘以， 也就是底面积乘以高。哦，还记得我们这个圆柱的体积是怎么推倒出来的吗？宽宽成长方形 切割。好，你来说。嗯，把圆柱体切割拼成一个长方形，长方形平行于长方形。哎，拼成一个平行的长方形，结果发现它们的面积相等。面积相等吗？只是它们的底面都是怎么样 一样大的，然后体积也是一样的，高也是怎么样一样高。很好，所以我们就把这个圆柱转化成了长方长方的体积来计算，对不对？请坐下来，从而得出了 圆柱的体积计算方法。好，最后圆锥谁还记得他是怎么推倒的？ 呃，啊，你说吧，圆锥的体积是三分之一乘以 pi r 的 平方乘高， 它是如何得来的？你还记得吗？它的体积是与它等底等高的圆柱体的三分之一。好，你说。你还有补充，应该是呃， 等一个等底等就是圆，一个圆锥和一个和圆锥等底等高的一个圆柱往 往圆锥体的里面装水，然后呃，再把水倒进圆圆锥体里面，然后一共倒了三次才装满圆柱。所以，嗯，圆锥的体积是圆柱的三分之一， 对不对？哎，非常棒啊。给我们手回忆了一下这两个立体图形的推导过程，其实我们都是把它把新知识转化成什么旧知识，对，转化成已学的知识来进行的，对不对？这是我们以后学习数学的一个非常重要的思想。 那同学们能够像前面一样来观察一下这些立体图形的体积计算，他们有相同的吗？好，你说。对，都可以，底面积乘以高。嗯，很好，那你们有没有思考过为什么都可以用底面积乘高？ 没事，你蹲下来。好，那个同学你讲。因为他们一开始本来就是一个平面的，这一层一层叠上去，他就成为了一个立体图形，所以我们一个平面乘以高度就等于一个立体图形。 哇，你觉得要不要给他一点？嗯，这个同学非常善于思考啊。那我们来把他的想法来看一看 这三个立体图形，你发现了什么？ 好，你讲，我就是把他们的底面都往下升，但是他们的那个底面还面积还是不变，然后他们的高度也是不变的， 也就是说请坐下来，这些立体图形他们从上往下和从下往上每一处的面都是怎么样的？一样，哎，没有改变一样，对吧？那像这样的立体图形我们就可以把它叫做 柱体，所有的柱体呀，他们的体积都可以用 对底面积去乘以高，我们就可以得出这三个立体图形，他们的体积都可以用什么来计算？底面积高，哎，现在你明白了吗？明白了，很好 啊，同学们，如果当一个物体要用它来装东西的时候，我们需要知道它的什么容积，哎，容积，什么是物体的容积？ 一起说这是什么？哎，它所能容纳的这个物体的一个。 那他跟体积有区别吗？有一点点啊，区别在哪里？你说。嗯，就是因为他，他的，他的这个东西他会有厚度，所以就会导致他的长宽高都会导致，呃，就会变黄。 嗯，也就是说我们的容积他需要从哪里面去测量里面，而体积呢？但是测量完了以后他们的 计算方法是怎么样的？哎，没错，这就是他们的区别与联系。好，现在同学们在看，我们现在就把小学阶段所有的立体图形的一些知识梳理出来了，比较你之前的，你有什么想说的吗？ 你有想说的吗？嗯， 觉得更加的怎么样了？就是没想好，是吗？好，你来。 我觉得听说这次复习我把之前的学之前遗忘的旧知识又吸收吸收消化，新知识正在消化。嗯， 好，你有想说的？嗯，以前我是不知道。嗯嗯，都可以用五 s 表面积等于二 s 底面积加 s 侧面积，但是我现在知道了， 哎，很好，也就是说我们现在开始寻找这些知识之间的什么联系了，哎，联系了，对吗？好的，谢谢。那我们 这一个把我们知识的联系也找出来以后在课前老师还要求同学们对这方面的知识去寻找一下相关的易错题，是不是啊？可能没办法把所有同学的易错题都展示出来，老师 找了两位同学的，我们一起来看一下这是哪位同学的五心仪。好啊，五心妍，请你来跟大家同学们跟着他一起来读一遍这道题啊，来看一看。来五心妍你来跟大家读读题吧。 一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽两米，直径一点二米，前轮转动一周压路机的 面积是多少平方米？那你觉得这一道题同学们一错的地方在哪里啊？嗯，一错的地方可能就是不知道轮宽两米到底是指的是什么， 你知道吗？轮宽，我们可以这个可以作为那个轮胎吗？你能跟大家指一指轮宽指的是哪里吗？轮宽其实就是指这条高，同意吗？同意。嗯，除了这里要注意的还有吗？还有就是压路的面积， 压路的面积其实就是这个圆柱体的侧面积，一起看屏幕拿着 是这样的吗？所以经过我们呃，夕颜同学的提醒，你们现在知道这道题该怎么计算了吗？知道好谁来口答一下，你会吗？ 就是这个压路机的面积该怎么算？侧面机，侧面机乘， 呃，他的那个里面的周长乘以他的高，就是一点二乘以他应该是一点二乘以二， 同意吗？一起揭晓答案对不对？对哎，非常棒，请坐下来。好，也谢谢你的分享。那这是我们第一位同学的错题，我们再来看一下第二位同学，他又有什么样的困难呢？ 这个是谁的？胡志勋，来跟大家先读一读题，同学们跟着他一起来看一下题目。 好，一根，你说一根长方形木料，长十米，横截面是一个正方形，将它截成三段，表面积增加十平方平方分米。请问原木料的体积是多少？ 好，你觉得这道题同学们哪里容易错？你说就是 可能不会注意到那个表底面积的大小。哦，那个单位，单位说错了，单位是吧？嗯，一个是他们的单位，要注意换算。是吗？还有吗？ 就是木料截成三段之后，他增加了几个面，同学们，这个地方知道吗？截成三段他会增加。

有了这套小卡尼透明几何体教具，孩子不用为想象立体图形的展开图发愁了。配置十二套几何立体图形配置教学视频，扫码进行观看学习数学相关知识点 分析立体几何图形的展开图，立体转化为平面直观演示长方体和正方体的展开图，对于学习立体图形的表面积推算非常有帮助， 也有利于学生认知立体图形。把数学知识看生活实际联系起来，透明设计更有利于孩子理解立体的内部结构。 对应课本课程学习知识点，通过展开与折叠的实践操作，轻松培养孩子几何空间感，构建空间思维。小学学习立体几何，有这一套就够了！

其实啊，线段的旋转是我们这个单元学习的一个重要的知识基础， 接下来，我们就将在线段的旋转基础之上来研究一些简单平面图形的旋转。那简单平面图形的旋转和线段的旋转有联系吗？我们紧接着往下看图形的旋转。二、 我们先从一面小旗子的旋转说起吧，请你画出图中的小旗，绕点 m， 顺时针旋转九十度后的图形， 这应该怎么画呢？我知道小旗其实就是由线段组成的，我们还可以把图形的旋转转化成线段的旋转。 你们俩真是善于学习，将新问题转化成了我们已经学过的旧知识。其实啊，这种学习方法在我们的数学学习中经常会用到， 那我们应该从哪条线段开始划起呢？ 这面小旗子是由旗杆和旗面组成的，我们只要先画出旋转后的旗杆，再画出旗面就行了， 所以我觉得旗杆是关键的线段。我也觉得旗杆是关键的线段，但我想给这位同学补充一下，小旗子绕 m 点，也就是旗杆的底端进行旋转，所以旗杆的旋转其实就是线段的旋转， 而旗面和旗杆是连在一起的，只要先确定旗杆的位置，再画旗面就简单了。 嗯，感谢这两位同学的分享。刚才这两位同学的回答中都不约而同的提到了关键线段，我们一般将与中心点连接的线段称为是关键线段， 在画图时，我们可以先画出关键线段的位置。现在就让我们一起先来画出旋转后的旗杆吧。旗杆绕着 m 点，顺时针旋转九十度就到了现在的位置， 那旗杆画出来了，旗面我们应该怎样画呢？ 同学们还是不要着急画。老师，这里有一面小旗，请你观察老师这面小旗在旋转的过程中，旗面的位置是怎样的？ 小旗绕着点 m 顺时针旋转九十度。 我知道了，棋面一直在棋杆的右侧，所以我们画出旋转后的棋面时，在棋杆顶端右侧画出一个边长为二的正方形。 你观察的可真细致，的确，图形在旋转时，图形各部分之间的位置关系是不发生改变的，图形的形状和大小也不会发生变化。 同学们，那你能通过刚才我们画小棋子的旋转过程来做一个梳理吗？我们在画图形的旋转时，应该从哪些方面入手分析呢？ 首先我们要找准中心点，紧接着要确定旋转方向和角度， 然后再找到与中心点相连的关键线段的位置。然后我们要先把关键线段按照要求旋转完成，这时再根据其他部分与关键线段的位置关系画出其他部分。 这个过程要注意，图形旋转的过程中，它的形状和大小不会发生改变， 图形各部分之间的位置关系也不变。就像刚才这面小旗子旋转的过程中，旗面一直是在旗杆的右侧一样。 那让我们来一个三角形小旗，巩固一下刚才所学的内容吧！将三角形小旗子绕点 a， 逆时针旋转九十度。 老师啊，选了四位同学的作品，你能帮助判断一下吗？哪位同学画的是正确的？ 第一幅图肯定不对，旗面应该是在旗杆的右侧，而第一幅图旗面在旗杆的左侧了。 第二幅图，旗杆绕着点 a 逆时针旋转九十度没有问题，但是小旗子看着有点别扭，应该是三角形旗面的短的那条直角边贴着旗杆的右侧才对。 第三幅图也不对，这位同学画的虽然也是短直角边贴着旗杆的右侧，但是三角旗面的直角在旗杆的中部，这个直角跑到旗杆顶部去了，所以是错的。 因为旗杆绕着点 a 逆时针旋转， a 点在旗杆的底端，所以旗杆是关键线段。旗杆绕着点 a 逆时针旋转九十度没有问题，旗面在旗杆的右侧，并且是短的直角边和旗杆贴着 直角在旗杆的中间，所以第四幅图是对的。同学们可真是火眼金睛，看来在画图形的旋转时，我们紧紧找对关键线段的位置，然后把关键线段旋转正确还远远不够， 还要注意观察与关键线段相连的图形的特特征，要把它也画对才可以。接下来，让我们再紧接着挑战一个三角形的旋转问题吧。 同学们，还是咱们先不着急画画之前呀，还是先请你在脑海中想一想，三角形小齐绕，三角形绕点 a 顺时针旋转九十度后的位置可能在哪里呢？ 想不出来也没关系，请你再次拿起你手中的笔来转一转 三角形 a、 b、 c 绕 a 顺时针旋转九十度， a 点是中心点， 那 a、 b 与 a、 c 就是 我们要找的关键线段。你可以用这支笔来表示线段 a、 b， 将它绕着点 a 顺时针旋转九十度，看一看线段 a、 b 旋转后的位置在哪里。 同理，再用这支笔表示线段 a、 c 看看将 a、 c 绕着 a 点顺时针旋转九十度，旋转后的位置又在哪里？这时你再连出斜边，那三角形就画好了。 同样，你也可以用两支笔分别表示三角形 a、 b、 c 的 两条直角边，然后按照要求再转一转 三角形 a、 b、 c 绕着点 a 顺时针旋转九十度，你看一看旋转后两条直角边的位置分别在哪里？ 这时两条直角边的位置确定了，那斜边的位置也就确定了。 这样操作之后，请你再在方格纸上画出旋转后的图形。画完图形以后，再请你观察旋转前后的三角形的对应对应边，看看它们之间有什么联系。 咱们看看同学们是怎样画的吧！ 我们也还可以通过找关键线段的办法来画出旋转后的三角形。 这个三角形要绕点 a 进行旋转，而 a 点既是这条直角边 ab 的 端点，也是这条直角边 ac 的 端点，所以这两条直角边就是画图的关键。 我们先让这条直角边 a、 b 绕 a 点顺时针旋转九十度到 a、 b 撇， 再让这条直角边 a、 c 绕 a 点顺时针旋转九十度到 a、 c 撇，这样斜边的位置也就确定了，再连线就画好了。 同学们，你画对了吗？现在再让我们一起观察旋转前后的三角形，它们对应边之间有着怎样的联系吗？你有什么发现吗？ a、 b 这条边与 a、 b 撇是一组对应边，它们互相垂直， a、 c 与 a、 c 撇也是互相垂直。将 b 撇、 c 撇延长后，也与 b、 c 互相垂直。 哦，看来旋转前后的三角形，它们的对应边是互相垂直的。 同学们，其实我们将三角形旋转多少度，那他们旋转前后对应边的夹角也就会是多少度。 通过这种方法，不仅可以帮助我们画出旋转后的图形，也可以帮助我们检查图形旋转后你画的对不对。 在画三角形 a、 b、 c 绕点 b 逆时针旋转九十度的时候，有三位同学都画出来了，但是他们画的却不一样，你能判断谁画的是正确的吗？ 通过刚才的学习，我们知道图形旋转后对应边之间的夹角也是九十度，而第一幅图，这两个三角形斜边之间的夹角并不是九十度，所以第一幅图肯定不对。 这个三角形绕点 b 进行旋转，而 b 点是短直角边和斜边的共同端点。 所以我认为这个三角形旋转过程的关键线段是 ab 和 bc。 我 们先看 ab 这条线段绕着 b 点顺时针旋转了九十度， bc 也是绕着点 b 顺时针旋转九十度。 所以第二幅图表示的是把三角形 abc 顺时针旋转九十度后的图片。我们要画的是绕点 b 逆时针旋转九十度，所以第二幅图也不对。 我又剪了一个三角形，让我手中这个三角形绕点 b 逆时针旋转九十度，发现边线上的直角边 a、 b 和 a、 c 的 位置，然后看它们的长度是几个格子，画出来再连线， 我发现三角形 a、 b、 c 绕点 b 逆时针旋转后的图形就是这样，所以第三幅图是对的。 同学们，其实呢，在画图形的旋转时，旋转的三要素依然很重要。那通过本节课的学习，你能通过画小旗和画三角形的旋转过程中 总结一下我们在画图形的旋转时应该有哪些注意事项吗？先要找准中心，明确方向和角度，确定与中心相连的关键线段，确定它们旋转之后的位置， 再根据图形其他部分与关键线段的位置关系，把旋转之后的图形补充完整。最后别忘记根据垂直关系检查旋转前后的线段是不是九十度。 感谢你的回答，你的总结真好，看来我们在画将一个图形旋转九十度以后，需要按照以下的方法来进行，最后千万要记得一定要再检查。

哈喽，同学们好，我是喵老师，今天我们一起来学习圆柱的认识。在生活之中啊，我们会有各种各样的立体图形，比如说在建筑之中，哎这样子有一个岗亭，还有这里是客家的一个围屋，它是非常有它的一个建筑结构的一个特色的， 那么还有我们挂在外面的灯笼啊，纸灯笼，那么还有蜡烛以及哎，这是一个非常著名的建筑，叫比萨斜塔， 这一些物体它的一个形状，如果说我们去把它抽象出来，它们有什么共同的特点呢？就是它外面都是非常的光滑，非常的哎，圆的一个侧面， 那么上下底面呢？哎都是一个圆，这样子图形把它抽象成一个数学的立体图形，那么它就叫做圆柱。 那么形容这样子的图形，我们一起来研究一下哎他有什么样子的一些特征。首先圆柱呢，就是这样子的一个立体图形，他有三个面组成，一个是上下的 底面，我们可以看到上下的底面应该都是圆形的，还有另外一个面叫做侧面， 侧面由这样子的三个部分组成的呢，哎就是图形，它就叫做圆柱，其中侧面这里的高度，它叫做圆柱的高。 那我们一起来看一下哎苗老师手上这里啊，就拿了一个生活之中非常常见的一个圆柱体的一个盒子啊，这一面，哎外面的这一侧啊，他就是这个圆柱的侧面，其中我们可以看到上下底面的这两个圆，他应该就是上下 底面两个的底面。然后哎这一个就是我们日常生活常见的一个叫高的概念啊，所以呃圆柱它的一些基本的一些概念，哎就是非常的形象的展示，哎，在这里哎我们日常生活之中也是非常的常见，那么接下来我们一起来进一步的来认识一下它圆柱形哎， 圆柱体以及它的各个面之间哎，我们该怎么样来认识？首先的话哎，我们来看一下这里有一个圆柱体， 这个圆柱体呢，为了让你更加方便的去研究它的各个面之间的关系，我们这里啊把它中间假设哎想象成是一个用纸糊成的圆柱，上下是两个圆的纸哎，然后外面是围了一圈哎纸，然后形成它的侧面， 把它一刀剪开了之后把它展开，展开，你会发现上下底面这是两个圆，而中间这是应该是圆的一个 周长，对吧？啊，这里是糊在了底面上面的一个一整个圆的周长，把这个周长一展开，哎拉直了之后就会形成我们右边这里的这一个图， 那到右边我们来看一下这里上下底面哎，把它翻过来可以看到非常的显然他是两个圆，是两个大小相同的圆，这个时候侧面把它展开了之后是一个什么样的图形？应该是一个长方形，其中 圆柱的高就是这个长方形的高。那么我们来想一想，哎这样子的一个哎 宽度应该是什么样子的呢？由于他与上下底面之间啊，这是展开下面应该是等于底面这里的 周长的，所以我可以知道这样的一个宽度应该就是底面这里的圆的周长，所以侧面展开之后是一个他一个非常标准的长方形，其中他的高度应该就是圆柱的高， 它的长度，或者是说这个地方哎下面的宽度应该就是上下底面圆的圆周长， 所以有了这样子的一个度量，我们基本上啊对于圆柱的它的上下底面以及它的侧面会有一个更加精准的认识，那我们接下来一起来看一下 这里的三个图，哎，应该都很符合我们圆柱的一个展开的一个形状，那么问你哪一个才是真正的圆柱的展开图形呢？ 那么首先我们来看到这样子的一个图之中啊，它给我们提供的是半径以及高度，还有展开的这里的长方形，它的宽度， 那么这个时候我们就来看到了，由于宽度这样的一段应该是会等于底面圆的周长的，周长等于 d 乘以 pi， 直径乘以 pi， 所以 我们要知道的就是哪一个才是圆柱形，要看它的展开的长方形的宽度，哪一个会等于底面圆的圆周长，所以我们来通过计算可知道第一个哎，三 乘以 pi 就是 等于三乘以三点一四会等于九点 四二，所以第一个是正确的。至于其他的几个，那显然是非常错误的啊，我们可以知道四去乘以三点一四肯定不会是四，而一乘以三点一四也肯定不会是十，所以这两个 不是圆柱的它的一个展开图形。那么接下来我们再来看一下哎这一个问题，一种易拉罐哎，它的形状是圆柱形， 那么如果说底面的直径呢是六厘米，高是十一厘米，这个时候将二十四罐这种易拉罐按照图中的一个形式，把它放入一个纸箱子之中，这个纸箱子的长宽高至少要是多少呢？ 这至少的概念就是说一定要把它放下，哎，这是一个长方体的纸箱，一定要放下这二十四罐啊，但是呢，按照这种方式的话，你可以大，但是不能小了啊，不能小，我们这个时候可以看到这样子的方法，应该是四乘六，哎，横排是六个， 竖排这里是四个一排，所以这个时候我们可以知道哎，这个易拉罐，它的上下底面，他说了直径是六厘米，所以这样子的一个长应该就是六乘以， 哎，六厘米总共是六个啊，那乘以每个六厘米等于三十六厘米，这是它的长长至少要是三十六厘米。然后我们再来看一下这里的宽度， 宽度应该是多少呢？这里是四个啊，四个为一排，那也就是用四再乘以这里的直径六等于四六二十四厘米。接下来我们来看一下高度， 那高度很简单，高度就本身就是哎，因为它们是一样高的，本身就会是这里的易拉罐的高度，也就是说至少要是十一厘米 啊，非常的简单哎，把它排进去了之后啊，简单的利用我们这里的圆柱的上下底面以及它的高的相关的知识来直接进行计算。最后呢我们再一起来看一下 第三题，有一个长方体哎，这样子的一个木料个边的长度呢，如图所示，这个时候要把它加工成一个底面最大， 使底面最大的这样子的一个圆柱，我们知道这个底面应该是怎么样，应该是一个正圆形，那么问你这个圆柱的底面圆的面积是多少？ 那我们来看一下这样子的一个盒，哎，这样子的一个，呃木料。那么有的同学可能会觉得，呃，这个地方是不是应该把圆柱 这样子画正它的底面，然后竖着来放，于是乎呢？哎，就说这个题啊，非常的简单，这里呢半径 r 是 等于一的啊，因为整个这里是两厘米啊，那么所以说它的这个地方的面积很简单， s 等于 pi r 的 平方，等于 直接等于三点一四，哎，这样子算出来了，但是我们来想一想，这是一定是他的最大的一个圆吗？在这个地方你可以竖着加工，事实上还可以横着加工，也就是说，我们把这个圆 这样子来放啊，让它横着来放这个圆柱，然后进行欸加工，在它的侧面这个四乘四分米的这样子的一个正方形的面去加工，欸，画出一个圆形，然后欸往下欸切割， 然后把它割出一个圆柱形，这样子应该是会得到一个，嗯，底面圆最大的一个圆柱，所以三点一四这个答案显然是错的。正确的来说的话，应该是在他的右侧面，以右侧 面来来做底面这个底面圆的加工 啊，因为这个右侧面呢，是一个正方形， 这里是四分米，这里也是四分米， 所以在这里他的一个圆应该最长的一个半径应该就会等于 两分米，于是乎这个时候，我们可以在这个以正方形四分米为边长的正方形之中，哎，你可以加工出这里半径 r 就 会等于两分米，这样子的底面圆， 于是乎面积会等于 pi 二的平方，等于三点一 乘以二的平方，那么算出来这里应该会等于一十二点五六平方分米，所以答 加工出来最大的圆，它的一个底面圆的半径啊，面积应该是一十二点五六平方分米，而并不是说必须要以上这里来找它的底面啊，你可以看不同的面。好， 这里呢是我们相关有关圆柱它的一些基本概念，以及它的基本的度量。那我是苗老师，我们下次再见，拜了个拜。

五年级下册第三单元要用到的几何体演示器，家长提前准备，不然上课老师要求买可就来不及了。翻开新版课本第三单元需要孩子借助透明几何体演示模型来学习长方体和正方体。你看，把正方体展开成平面图形，可以看到正方体是由六个面积完全相同的面组成， 所以表面积的计算公式是边长乘边长，再乘以六体积是边长乘边长乘边长。表面积和体积的计算是五年级下册学习的重难点，孩子借助教具更直观。 采用透视原理设计，还是可拆卸的，让孩子清晰看到几何体的内部结构，提升空间想象力。全套常见的立体几何图形，每个都标有图形名称，孩子容易分辨。自带收纳盒，携带也方便。

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