重庆八下一次函数动点问题

同学们，今天我们来看一个期末的小压轴题，如图，一次函数与 x 轴相交于点 b， 与正比例函数相交于点 a， p 是 线段 ab 上的一个动点， 问我们 o p 的 长最小值是多少？那么很显然，点 o 呢，是一个定点，你点 p 是 一个动点，那么点到线段什么最短？当然是垂线段最短，是吧？所以呢，他就是实际上让我们来求 ab 上的高是多少，对吧？ 这个高怎么来算呢？在普通的三角形里面，要求一个边上的高，我们通常用等面积法来求，那么 首先我们要求出这个 a、 b、 o 的 面积，要求面积，我们就要知道底和高，那么我们一般用横平竖直的边来当底，这个 o b 就 来当底，那么这个 a 一 点的纵坐标，它就是这个三角形的高。 所以我们首先求出 ob 的 长，要求 ob 的 长，就要知道点 b 的 横坐标，那么点 b 呢？它是在 x 轴上，所以呢，它的纵坐标 y 是 等于零的，对吧？那么我们令这个 y 等于零，解出这个 x 就是 点 b 的 横坐标。好，我们来算一下， 零等于四分之三， x 加上二分之三，那么就是四分之三， x 等于负的二分之三， 两边乘以三分之四，对吧？负二分之三乘以三分之四，三和三约掉，得到了 x 等于负二，所以呢，这个点 b 的 横坐标，它就是负二， 然后求点 a 的 坐标，因为点 a 是 两根直线的交点，所以呢，我们将两根直线的解析式给它。连立方程组解出来的 y 就是 点 a 的 纵坐标，也就是这个三角形 o a、 b 的 高。解这个方程组，因为他们两个都是 y， 所以呢，左边相等，那么右边也就相等，那么我们就可以直接写成四分之三 x 加上二分之三等于二分之三 x， 然后给它两边乘以四啊，去掉分母 三 x 加上六等于六 x， 然后呢，我们两边减去三 x， 这边得到三 x 等于六，那么 x 就 等于二，所以呢，这个 a 点的横坐标呢，它是二，我们将这个二带到这个式子里面去，得到了 y 等于二分之三，乘以二就等于三，所以呢，这个点 a 的 纵坐标呢，它是三，也就是这里的高度是三， 所以三角形 o、 e、 b 的 面积就是二分之一乘以二，再乘以三就等于三。要求 ab 边上的高，我们还需要求出 ab 的 长度，那么 ab 的 长度呢，我们就在这个直角三角形里面，用勾股定律来解决它，因为这里是二，这里也是二，所以呢， 这个边长一共是四，而这个边长呢是三，所以呢， ab 呢，就是五，一组勾股数，对吧？三四五。 因为 a、 o、 b 面积是三，所以我们得到了二分之一乘五乘以 h， 我 们设这个高是 h， 就 等于三，那么也就是五 h 等于六， h 呢，就等于五分之六，所以呢，这个 o、 p 的 最小值呢，就是五分之六。搞定。

今天我们来分享一个一次函数动点最值的一道题，我们来读一下题，如图，直线啊，给了我们解析式，与 x y 轴分别交于 a 点和 b 点啊，这两个交点，这个直线 c 点 d 啊，点 c 点 d 分 别为线段啊，中点，中 点，点 p 是 o a 上一动点，也就是 p 是 动点啊， p 在 这个 o a 上是运动的， 那么当 p c 加 p d 的 最小值时啊， p p c 加 p d， 也就这条线段和这条线段 最小值时，让我们求出这个点 p 的 坐标，那首先我们就要找到这两个线段加起最小值是一种什么情况啊？在这个图像当中，一个定点，一个定点，是不是 和我们的将军印码是一样的，对吧？啊？将军在这到河再到营地 这个点选一个点，那这样我们直接把点 d 做关于这条和 x 轴的对称点啊， d 撇 d 撇点，那什么时候最短呢？对吧？一定 是啊， c d 撇点连线，那这一点，这就是我们要找的这个点啊， 知道了这个我们能找到了最小值，下一步就是我们去找这一点， 那通过我们这条直线啊，这两个焦点给了，给了我们这个焦点，我们先把这两个焦点拿到，也就是当 x 等于零， x 等于零， b 是 等于零到四， 是吧。我们解析式，当 x 等于零， y 等于四，所以点 b 的 坐标拿到，当 y 等于零， x 应该是负八啊，负八都零好，点 a 的 坐标拿到，有了 a b， 那 就相当于我们知道了这一段， 这一段，这段是四啊， o a 这一段，这是八 啊，那有了啊，点 d 是 中点，那么 o d 呢？ o d 就是 二 啊。关于 x 轴的对称点，点 d 撇这一段，它不也是二吗？所以我们点 d 撇的坐标也能拿到啊，也就是零负二。 那有了，你看 a 点的坐标啊， a 点的坐标， b 点的坐标，我们也能拿到点 c 的 坐标， 点 c 的 坐标，这里需要我们用一个钟点坐标公式啊，也就是啊，横坐标 x b 啊，减去 呃这个 x， a 加上 x b 除以二，重坐标 y， a 加上 y， b 除以二，这个就是我们点 c 的 坐标，点 c 的 坐标，也就是横坐标应该是负四重坐标应该就是二啊，所以点 c 的 坐标负四。 go 二好，有了我们这个 点 c 的 坐标，有了我们点 d 的 坐标，我们是不是可以求出啊？ c d 所在直线的解析式，我们可以设 c d 所在直线解析式， y 等于 k， x 加 b， 将点 c 点 b 带进来，带到解析式里，也就是 r 等于负 四， k 加 b， 负二等于负二，等于 b 能解除，我们的 b 是 等于负二， b 是 等于负二， k 应该是等于 呃，负一啊，负一，所以我们 c d 所在直线， y 等于 呃，负 x 减二，这就是 cd 所在直线，那 cd 所在直线与 x 轴这一个交点，不就是我们点 p 的 坐标 是吧？也就是当我们的当 y 等于零时，我们的 x 啊， y 等于零， x 应该是等于一个负方，所以点 p 的 坐标， 这应该是负二等于零，所以答案负二等于零啊，这是一次函数与将军印满模型结合的啊，综合综合题，希望对你有帮助。

一次函数之前，我们没有任何的接触，所以非常抽象，老师帮我们总结了非常重要的一次函数知识点，关于 y 等于 k， x 加 b 的 图像和性质。在这里面主要学习 kb 的 取值范围 对图像的影响以及增减性。第一， k 大 于零，图像 y、 c、 x 增大而增大， k 小 于零，图像 y、 c、 x 增大而减小，与其具体位置无关。第二， 过象限。只要 k 大 于零，图像都经过一、三象限，同样， k 小 于零，经过观察图像，发现都经过二、四象限。 现在看 b 对 图像的影响。 b 是 一次函数图像与 y 轴的交点。首先看 b 大 于零，与 y 轴交于正半轴， b 等于零过原点， b 小 于零，与 y 轴交于负半轴。 所以这样我们再结合 k， 就 能找到具体函数图像经过的象限了。 k 大 于零，图像经过一、三象限。 b 大 于零，与 y 轴交于正半轴，所以图像经过一、二、三象限。同理， b 等于零，经过原点，这叫正比例， 所以 b 等于零，那么只有 k， 所以 经过一、三象限， k 大 于零， b 小 于零，图像经过一、三，与 y 轴交于负半轴，所以经过一、三、四象限。用刚才老师总结的方法， k 小 于零，图像经过二、四象限， b 大 于零，以 y 轴交于正半轴，所以经过一、二、四象限。 b 等于零，经过原点，所以经过二、四象限。 b 小 于零， k 小 于零， k 小 于零，经过二、四象限，同时以 y 轴交于负半轴，所以经过的是二、三、四象限。 老师帮我们总结了一次函数当中 k、 b 对 于图像经过象限以及增减性的影响。希望大家把这个表格记下来并背下去非常重要的知识点，以便于我们解题的时候直接套用。

今天我们来看一道经典好题，题目要求三角形 p c、 d 周长的最小值。因为 c 和 d 分 别在直线 a、 b 和 y 轴上滑动， p c、 c、 d、 d、 p 都在变化。 由于动点在两条直线上，我们通常通过轴对称将折线转化为直线，也就是将军印码模型。 首先动点 d 在 外轴上运动作点 p 负一到零的开区间。关于 y 轴的对称点 p 一 到零的开区间连接 p p， 由垂直平分线的性质可知， d p 等于 d p， 这样 p d 就 被转化到了 y 轴右侧。 然后看直线 y 等于 x 加二。有解析式得点 a 坐标为负二到零的开区间，点 b 坐标为零到二的开区间。 因为 a、 b 与圆点距离都是二，所以角 o， a、 b 为四十五度，这里点 p 到点 a 的 距离是一 作点 p。 关于直线 a、 b 的 对称点 p， 如图，由对称性可知，角 p a， a 也等于四十五度。由于两个角都是四十五度，所以角 p a， p 是 九十度直角。又因为 p a 等于 p， a 等于一， 所以点 p 就 在点 a 的 正上方一个单位处，坐标为负二到一的开区间，此时 pc 等于 pc， 现在周长就转化为了 pc 加 cd 加 dp。 当这四点共线时，周长之和最小，此时周长的最小值就等于线段 pp 的 长度。 最后在直角三角形 a p p 中利用勾股定律来计算距离，直角顶点为 a， a， p 的 横向长度是一，减去负二等于三， a p 的 纵向长度是一，减去零等于一。利用勾股定律计算斜边 p p 等于根号下三的平方，加一的平方等于根号时。 点赞加关注，我是戴老师，下期见。

八下数学一共有两大压轴难点，一个是依次函数，另外一个就是平行四边形了。平行四边形这里细分又有菱形、矩形、正方形，咱们每一种图形都有五种性质，五种判定， 所以在很多题目他会综合在一起去考察，而且他还会结合着上一学期三角形这个全等三角形轴对称对应的一些模型去考，所以到这，老师就把菱形 结合着将军一马模型这类综合的选填压轴题的技巧教给大家，让大家遇到这种题目轻松秒出答案。 那有关于平行四边形这个章节啊，老师也把历年考过的易错压轴真题都做了一个总结，菱形、矩形、正方形、平行四边形全都拆分开来来去，呃，给大家规范了啊。这个假期呃，家长们就可以帮孩子打印出来，咱们逐个题型的学习练习， 把这些几何思维学透了，我们再去做这类综合题就不难了啊。下面呢，我带着大家一起来看看。这道题 说在菱形 a、 b、 c、 d 当中，它的边长为十，哎呀，菱形四条边都相等这么多，十，太高兴了。对角线 b、 d 等于十六，由于菱形的对角线互相平分，所以我连接 a、 c 之后， b、 d 等于十六，一边不就是八呗，对不对？ 哎，那我们整个这是十，这是八，菱形的对角线还互相垂直。我们还有一个隐含条件，不就是这是六吗？ 所以隐含条件 a、 c 不 就等于十二吗？这是我边读题边分享出来的隐含条件，我才写在这，万一用到呢，对不对？下面说 p 和 q 啊，是两个动点，问你 a、 p 加 p， q 的 最小值，看到折线段和的最小值首选，我们这道题用到什么模型？ 对了，我讲过无数遍了啊，讲过将军印马模型，它是将军印马模型的基本型，两定一动型的变形，哎，一定两动这种题目我教过大家解析的技巧，这道题的解析技巧叫做什么？ 哎，四个字叫做缓兵之计，还记不记得？哎，你虽然有一个点是动点，那我可以先把这个动点固定下来， 变成定点，去找到初步的最直的位置，再去研究你这个动点，再去解决你对不对？那我们下面就可以利用将军印马模型解题三部曲来解决了，叫做定对连，找定点对称连接，这里面 a 点的对称点就是 c 点 对称之后，然后呢，我去连接 c q 好 了，连完了之后，与这条线的交点就是最小值的位置，可是这个 q 点我们刚才把它固定下来了，它实际上是动的对不对？那它移动起来会怎么样呢？ 来，他移动这条线还会变短，因为点到直线的距离什么最短？垂线端最短对不对？数学有两大压轴难点特别重要，一个是依次函数，一个就是平行四边形。平行四边形继续往下细分，还有菱形、矩形、正方形， 所以对应的性质判定太多了，足足三十条，很多同学遇到这类综合的大题都做不出来，但是其实呢，平行四边形这里解题是有技巧的，我们把平行四边形这里常见的十五个模型掌握，像很多题目咱们都是可以秒杀的啊。 今天我就带着大家一起来说一说正方形这里相关的一个模型，十字架模型，那有关于平行四边形这一个章节，我们每一个图形、菱形、矩形对应的基础证明题，老师都给大家做了一套总结，都是历年 考试的真题，大家这个假期就可以打印出来，逐个题目逐个模型的来啊，这个学习和练习，这样的话，你把你的证明过程还有思维都固定下来以后咱们再去拔高就容易的多。

这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五的学霸都很难做出来，这是一道刮豆原理和一次函数综合考察的一道几何最值问题，它的难点之处在于如何利用我们的一次函数坐标系去寻找我们的动点轨迹，难度系数 特别大。来，同学们，我们今天一起来分析一下这道题，好吧，来题目是这样做的，他说直线 ab 解决是告诉我们是 y 等于三， x 再加六，然后呢， g 点是直线上的一个 动点，然后呢，告诉我们一个定点 h 点为三斗零，然后呢，连接 g h， 以这个边去构造一个正方形啊，形成了两个点， n 点和 m。 好， 最后呢，题目求的是，哎，连接 o m 求的就是我们 o m 啊，这个边的最小值应该等于多少？好来，同学们，哎，我们先来一起分析一下题目当中的动点和定点的运动关系，好吧，首先来题目告诉 g 点呢，在直线 ab 上运动，所以呢，它应该是一个 动点好，题目的唯一的定点呢，就是我们的 h 点，它为三斗零，那么怎么动的呢？哎，相当于以这个边连接 g h， 在 这个边的上方去构造一个 正方形，对吧？那这边是动的，所以正方形呢，也是在变化的，所以 m 点这个顶点呢，也是动点好，所以读到这个地方，如果比较熟悉瓜豆原理同学就看出来了哈，这里面它应该是我们的主动点，它应该是我们的 从动点，对吧？好，主动点相当于绕着这个定点，然后呢，我们的顺时针旋转九十度，因为正方形嘛，它是九十度，好到我们的 h m， 这两个边是相等的， 所以呢，连接解开，应该是一个等腰直角三角形，那么主动点和从动点，我说种瓜得瓜，种豆得豆，哎，主动点和从动点的轨迹应该是保持一致的，主动点轨迹为直线，那么从动点 m 点的轨迹呢？也应该为直线，对吧？那这个直线应该如何去找呢？ 哎，这是我们的难点哈，来，我们一起来分析一下。在我们坐标系里面哈，我们要去证明一个点的轨迹为直线， 那么我们只要证明这个点的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 满足一次函数，它的轨迹就一定是我们的直线，对吧？那如何证明呢？哎，接下来需要从我们这个 等腰值入手，这是我们的限制条件，对吧？等腰值来什么？看到等腰值，我们第一时间应该想到我们的一线三等角的辅助线，对吧？好，这里已经有一个直角了，要构造三等角，所以呢，我再过 m 点 和 g 点啊，这两个点分别向我们的 x o 做两条垂线，这个是 t 点，这个是我们的 s 点。好来，这个时候这个三角形就跟这个三角形是全等的，那么既然有全等，我们就可以倒边了， 但是呢，题目当中没有一个边的长度已知，那怎么办呢？我们需要去设点，因为只要知道坐标，就可以把坐标转化为我们的长度，那 g 点在 a b 上东来，所以呢，会把 g 点这个动点给它设出来， 横坐标设为 a， 好 重坐标呢，它满足这个解析式，所以把 x a 带进去，那就是三 a 再加上六，看到没有好， g 点出来了，那么坐标出来了，长度就出来了呀， g s 正好是它的 重坐标，对吧？这个为三 a 再加六，这个呢，也是为三 a 再加六， ok， 好， 那么我们的横坐标，你看， s h 也出来了啊，这个是三 a 加六哈，那么 s h 怎么表示呢？ h 点的横坐标为三，那么 s 点的横坐标就是 g 点的横坐标为 a 啊，然后这个长度就是大减小，两个横坐标相减，对吧？三，再减 a， 好， 它为三减 a， 那 这个长度也是为 三减 a， 全等倒边嘛。好，我们最终目的是要求 m 点的坐标，你看，没有，重坐标已经出来了，三减 a， 那 横坐标是哪个？ 比如说 o t 嘛， o t 很好算， h t 三 a 加六，我们的 o h 这个边应该为几？应该为三， h 点的横坐标为三，对吧？好，来，所以我们的 o t 就 等于三 a 加六，再加三，等于三 a 再加九来，所以我们的 m 点的坐标就出来了，横坐标为三 a 再加上九，纵坐标为三减 a。 哎，这个时候，你看，我把这个设为 a， 开始， 这个是 y 中坐标，我要求的是 x 和 y 的 关系，对吧？哎，这两个都有同一个参数 a， 那 么所以呢，接下来我们需要去消参，把这个 a 底消掉，那么 x 和 y 的 关系就出来了，相当于 a 是 一个什么呀？中间变量，对吧？来，我就把 x 设为三 a 再加九 y 呢？等于三减 a。 好， 我们的目的消参，这个是一式，这个是二式，把 a 底消掉，那你看，我应该把二式乘以三啊，二式乘以三就变成三 y 等于九减 三 a 啊，这是我们的三式哎，减三 a 加三 a， 看到没有，正好可以递消掉。那所以呢，我们的三式和一式相，加 x 加上三 y 就 等于这两个正好递消掉。好，九加九等于 十八出来了哈，所以整理一下，三 y 就 等于负 x， 再加上十八 y 就 等于负三分之一 x， 再加上， 看到没有，所以呢，我们的 m 点的轨迹呢，它满足 y 等于 x， 再加上 b， 它的轨迹呢，就一定是直线，而且具体是哪条直线，我们也给它算出来了，对吧？好，接下来。哎，轨迹出来之后，那就很好算了， 它求的是 o m 的 最小值， o 点是一个定点。好， m 点呢，是一个直线，在直线上动，就变成一个定点到一条定直线的最小值了。来，把这个叉掉哈，我们来算一下，哎，已经算出来了，这个直线是 y 等于 负三分之一 x 再加上六啊 m 的 轨迹来，接下来我把这个直线给它划出来，首先斜率是小于一的，往下走，经过了，经过零到六， x 为零， i 为六，哎，这个直线 ab， 它也经过零到六， x 为零， y 为六，所以它们都会经过 b 点这个点啊， b 点这个点正好是零到六，对吧？好，然后呢，我 f 点又是直线上的一个点，所以呢，我连接 bm 就是 我们的轨迹啊，轨迹看到没有？好，我们的轨迹大概会转化出来了啊，那么这个时候呢， 他就是结是 y 等于负三分之一 x 再加上六， ok， 好 吧，好吧，那么这个时候看，我们来算算哈，那就非常好算啊，非常好算，你看，呃，怎么算呢？呃，我求的是 o 点到这个直线的最小值啊，最小值，所以呢，我再过 o 点 向它做做垂线就可以了，所以垂足点就是我们的最小值， o m 一 就是最小啊，那 o m 一 该怎么去算呢？接下来就是算这个长度，大家看一下如何去算 啊？首先你看，我们可以用等面积法，这个正好是这个三角形，以这个为底，它的高，对吧？哎，所以呢，我用等面积法，那么我们的 o b 知道吧？ o b 为 六，对吧？那么这个是 o t， 我 们也知道 o t 细点正好是这个直线与 x 的 交点，那么所以当 y 等于零，你把它带进去吧。哎，与 x 焦点 y 为零， x 就 等于等于是十八， 对吧？好，来，所以呢，细点坐标就应该是十八到零，那这个长度就应该是十八 出来了，是吗？那非常好算啊。好，那我的斜边 b t 也出来了， b t 就 等于根号下六的平方，再加上勾定义嘛，十八的平方，哎，等于几呢？等于六倍根号， 六倍根号式啊，斜边为六倍根号式，等面积它又出来了，底乘以高，等于底乘以高，对吧？好，来，下面我们来算一下啊。所以得到我们的 o m e 就 等于 底乘以高，六乘以十八，再除以这个底，六倍根号十等于根号十八，那个十分之 十八倍根号十啊，约掉就等于五分之九倍根号十，所以呢， o m 最小值就出来了，等于五分之九倍根号十。这道瓜豆原理和一次函数的综合问题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！

动点问题是初中数学的难点和易错点，也是拉分板块，初中数学要拿高分，一定要多练习动点问题，给大家推荐这套动点压轴题专项训练。七年级这本主要是以数轴上的动点为主，一共五十道题。 八年级这一本主要是关于三角形、四边形和函数的动点，一共五十道题。九年级内容就比较多，一共一百道题， 把初一、初二、初三的重点问题都总结融合在一起，一共安排了四轮复习，而且难度是由一道难逐渐拔高，并且每道题的答案都非常详细，右边是学生作答区域，左边是详细的手写版参考答案。 每道题目都是由数学战神宁浩老师亲讲解，宁浩老师有十八年的一线教学经验，每道题目的讲解都很耐心细致，学生在家也能轻松自学压轴题。中考数学想拿高分的同学，这套书一定得准备重点，压轴题一定要攻克下来。

这道关于最短路径的题，大部分人都算错，今天我带你一分钟搞定它！已知 a、 b 是 八， a、 c 是 五， e、 f 等于三， d、 e 为动点，且 d、 e 等于二，求 c、 d 加上 d、 e 加上 e、 f 的 最小值。这是一道典型的将军六马模型题，核心思路就是平移化动为静。首先 d、 e 是 定值二，所以我们只需要求 c、 d 加上 e、 f 的 最小值， 最后再加上二就可以了。接下来用平移法把线段 c、 d 平移至点 e 处，根据平移的性质，那么这两条线段就得相等，所以 c、 d 加上 e、 f 就 转化成了 c 撇， e 加上 e、 f。 接下来我们就以 ab 为对称轴，做点 f 的 对称，点 f 一 撇，然后连接 e 和 f 一 撇，根据对称的性质，那么这两条线段就得相等。 此时这两段线段相加的最小值就转化成了这两条线段的最小值。那么这两条线段的最小值就是根据两点之间线段最短，当这三点共线时，取到最小值，也就是直接连接 c 一 撇和 f 一 撇。然后我们只需要求出这条线段的长度就可以了。 这个时候我们只需要把它围成一个直角三角形，以这条边为斜边，像这样，因为 a、 c 是 等于五的，然后 b、 f 等于三，又因为我们是向右平行的两个单位，所以这条边就等于二， 那么总共它是等于八的，那么这条边就等于八，减二等于六。此时我们通过勾股定律很容易算出这条斜边就等于十。最后别忘了把二加上哦，自己动笔算一算，看看我有没有算错。