初二下册勾股定理画图类型题

我们先一起来回顾两个旧知识，第一，勾股定律的内容是什么？谁能举手说一说？第二，我们之前学过哪些三角形全等的判定方法？ 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 当时我们是通过画图叠合，直观感受得到的，并没有进行严格的数学证明。今天这节课我们就带着刚学到的勾股定律来完成这个证明。 同时我们还要解决一个新问题，我们知道任何实数都能用数轴上的点来表示，那像根号十三、根号十七这样的五理数又该怎么在数轴上精准画出来呢？ 今天就让我们一起走进勾股定律的应用世界，用代数的工具解决几何的问题，用图形的直观感受数的奥秘。

这是一个你看过就想让我删掉的视频，毕竟没有人想把提分的秘籍拿出来共享。搞定勾股定律最值问题就是提前锁定中考九十加你学不学？那么勾股定律最值问题呢？亮亮把它分为两类，一类是长方体的爬行最值，另外一个呢，是我们圆柱内外壁的一个问题。 好，我们首先来看第一类，也就是长方体的爬行最值，他是这么描述的啊，给这个长方体，他的长宽高啊？长是三， 宽是二，高呢是四。好，现在问题来了，一个蚂蚁从 a 出发，嗯，从这里出发到 b， 那 吃食物，好让我们求它爬行最短路程是多少？那像这种题，正常情况下，我们需要分三种情况去讨论，然后计算呢？做比较来得出我们的结果啊，你花个五六分钟，我觉得是很正常的，虽然在这里面我直接教你一个方法技巧。 首先我们给出一个直角三角形，现在这两条直角边是什么呢？这三个数里面，你把最小的两个数，你把它加在一起，当做一条直角边，二加三等于五。 好，现在你把最大的那一条边脑长宽高中最大是四，对吧？把这个四拿出来，当做另外一条直角边。好，我告诉你啊， 这个直角三角形的斜边，就是我们最终的答案，也就是我们的最短路程，百分百乘以，没有例外。最终你会发现，根据勾股定律，你的平方等于多少呢？十六，对吧？你的平方二十五，所以我的平方等于十六，加上二十五，也就是等于四十一，平方等于四十一，所以我的最短路径呢？选 b 搞定。那当然，这个题如果你用标准答案来做，他大概长这个样子，你会发现求出来的和我们的答案是完全一样的，根号四十一选 b。 好，我们再来看第二个圆柱的内外壁的问题。首先呢，我们给出一个圆柱形，这个玻璃杯呢，高度是十四厘米啊，就整个高度也就是十四了，现在底面周长是三十二啊，就是你底面这个周长呢是三十二厘米。我们先放一下在杯内，注啊，在杯子的内部，离我们这个杯底五厘米的点壁处有一滴蜂蜜啊，就在这个杯子的里面，对吧？ 哎，在离底面五厘米处呢，有一滴蜂蜜，所以我们就索性把这个十四给清掉了啊，整个图形呢，大概长这个样子，好，继续往后了， 现在有一只蚂蚁，干嘛呢？在杯外哦，我在杯子的外面干嘛啊？就一个杯子，对吧？在这里面，蜂蜜在里面，哎，这个蚂蚁在外面是不是离杯上沿三厘米啊？就是这个呢，是三，其实这段也可以求出来，对吧？我们先放下与蜂蜜相对的 a 点，什么叫相对的？ 就是说白了，你把这个蚂蚁呢放到杯子的上沿，对吧？放到这，你把这个蜂蜜呢移移移，移，移到我们这个杯子的上面，哎，你会发现什么叫相对，你把它移上去，把它移上去，你连一下， 刚好是直径，这个叫做相对位置，理解了吧。好，那问题来了，那这个蚂蚁从外边啊，就从这个整个杯子的外面 爬爬爬爬，我要爬到杯子里面去吃蜂蜜，请问我的最短距离是什么？你看上一题，我们用的是一个流氓法，对吧？直接口算的，其实像这种方法量真的超级多，包括这个东西它也有流氓法。好，但是这个题我就带你们用我们的标准方法来进行分析， 呃，来去讲解它的原理了。好，这个怎么求呢？首先大家理解，比方说我们现在有一个杯子，你这个蚂蚁 a 在 哪？蚂蚁在这里，懂了吧？ 哎，这个蜂蜜在哪呢？哎，蜂蜜它在杯子的，它不是在这啊，在这的话就是在杯子外面，对吧？它在杯子的里面，懂吧？这里有开水，我不敢伸进去啊， 伸进去我手就废了，哎，在在在，在里面，大家懂我的意思吧？哎，所以你得怎么爬？你得走走，走走走，你到走到杯子的口里面，再往里面钻进去，你才能吃到蜂蜜，大家懂了没有？ 所以其实这个图呢，你会发现蚂蚁先要走到杯子的上沿再翻进去，对吧？在里面走，在里面走，你看不到了，所以他画的是虚线， 他其实已经在努力给你提示了，就是你沿着这条线，你拿个剪刀把它剪开，好不好？把它展开，我们就可以得到一个长方形，这个长方形可能不是特别的标准，对吧？ 因为我们知道你这个杯高十四厘米，所以这个就是十四嘛，你整个底面周长三十二，整个周长三十二， 我沿着你的直径把它剪开，对吧？所以你这一段长度，这一段长度，那不就是我们这个长吗？等于周长一半，所以也就是等于几啊？等于十六，对吧？好，现在你要知道这个蜂蜜在哪呢？蜂蜜在上面的五个单位啊，也就是这个是五，这个是九，对吧？ 蚂蚁呢？在这边，也就是在上面的三个单位 a 点，这是三。好，您亮亮，那你看你这个蜂蜜在这吗？那照你这么说，从 a 点到 b 点是不是直接连过去呢？不是的，我跟大家画一个俯视图， 比方说，哎，这是一个长方形，对吧？你这样往下看对不对？你像这样看啊，你的眼神往下瞟，你的俯视大概长什么样子？我跟大家说一下啊。这是一张，你就把它当做一个一个玻璃片， 你这个 a 在 外面， a 在 这里，明白了没有？你这个 b 在 哪？ b 在 这里，懂了吧？哎，他在这个玻璃片的两边，懂吧？所以你先怎么样？你先要走到这个杯子的上沿， 然后再钻到杯子，你先跑到上沿，再翻到另外一边去，明白没有？跑到这个玻璃的背面去，跑到 b 点那去，理解了吧？ 好，那这个是什么呀？这个不就是我们上次所学的将军一马的问题吗？从一个点先到一条线，哎，走过去再到这里，对吧？请问这个点在哪可以取得最小值呢？最小值这两边，这个怎么求？ 将军一马嘛？你只要做 a 点或者 b 点关于它的对正点就行了，是吧？好，在这里面我们随便选个对正点吧，比方说，我们就把 a 对 正过去，可不可以把 a 对 正过去，那就是 a 撇了。 好，将军，密码问题我们就不再说了，根据对乘记，你是三，所以这个边也是三，对吧？我也是三。好，接下来怎么办？好，接下来你直接连接 a 撇，连接对称点过我们 b 点嘛，所以我们要走的最短路径就是这条线段， a 撇 b， 懂了吧？好，那问题呢，我们这个 a 撇 b 长度怎么求呢？剩下就简单了，求斜线段，我们学的勾股定律。好，接下来我们直接把这条斜线段放在一个横平竖直的直角三角形中，咔嚓做垂线， 你这个边十六，所以这个边呢，一定是十六，对吧？剩下我索性把这个 a 拿走了。啊，你这个三我不要。嗯，你这个边是九筐，所以这个边呢，也是九，没问题吧？所以你会发现在这个这个这个大的直角三角形中，你这边三加九十二， 你这个边十六吧，十二的平方加上十六的平方，等于你 a 撇 b 等于这条线段的平方，是吧？那你说它等于几二十，计算过程我们就过了。搞定，跟着亮亮无脑学习。

好，这个视频咱们一块来学习运用勾股定理啊，求线段长啊，进而求开点的坐标的题啊，当然也是一道了，直角上角形分类讨论啊，相比较是一道有难度的题啊。 呃，说如图啊，点 b 是 x 乘以动点，点 a 的 坐标已经给了是零到四，那定的我们就能算开这里边 o a 的 长度啊，就等于四 点 c 的 坐标是四到一点 c 的 坐标是四到一 c e 垂直 s 轴啊，所以这个 c e 的 长度我们就能算开是一。以及这里边 o e 的 长度啊，可以算开是四。 呃，问，当这个点 b 坐标是多少的时候，三角形 a b c 会是以 a c 为直角边的直角三角形。既然 a c 是 直角边，那就可能啊，角 a， 这是九十度 啊，当然也可能是角 c， 这是九十度啊，也就是这里边的角。呃， b a c 是 九十度，跟这里面的角 b c a 是 九十度。所以这道题需要分两种情况。好，第一种情况，如果角 a， 这是九十度啊，横面这个九十度，被这个 o a 分 成了左边的一个角 b a o， 右边的一个角 c a o。 那 就想到我们在初二上册学全能的时候学过有一个东西叫一线三垂直。 所以我们过点 c 啊，向外轴做一条垂线啊，垂足刚好落到了一的这个点，这个位置好，此时啊垂足，我们给它标上 m。 好， 所以此时的这个 c m 啊，就等于 c 的 横坐标，就等于四。 然后因为刚才说了，刚好垂到的是一这个点，所以上面的这个 a m， 它的长度我们就可以算开啊，等于的是三 啊。那既然勾股定律能算开 a c 四五啊，大家看用不用它啊？好，刚才说了哈，角 b a、 c 是 九十度的时候，这两个角的和是九十，然后呢，这个 o a 和 o b 啊，本身就是坐标系里面的，肯定也垂直，所以这个角 b a、 o 啊，加上这里边的角 abo， 它也等于九十度，所以这个角 abo 就 等于此时的角 c a、 o。 然后我们会发现这个三角形 aob 中这个 oa 的 长度是四，跟我们刚才在三角形 a、 m、 c 里边啊，算开的 cm 的 长度相等啊，都等于几四， 再加上都有个九十度啊，所以我们就可以通过这里边的 a a、 s 啊去证出来，三角形 a、 m、 c， 它是全等于这里边的三角形 b、 o、 a 的， 它俩是全等的啊，理由啊，我在旁边给你梳理一下啊，就是这里边的角 b、 o， a 等于这里边的角 a、 m、 c 都等于九十度，垂直的好，以及刚才我们找的这个角 b a、 o 的 与角啊，同角的，与角相等，推出来，这里边的角 a、 b、 o 等于这里边的角 c a、 m， 以及刚才通过啊点坐标啊推演出来的，这里边的啊， a、 o 等于这里边的 c、 m 都等于四，所以 a、 a、 s 挣开它俩权呢，它俩权呢，就可以得到这里边的 a m 就等于这里面的 o b。 而 am 啊，刚才我们分析过了啊，等于 a 的 中坐标啊，减去 c 的 坐标上还是三，所以 o b 就 等于三， o b 等于三，横面指示，这个 b 应该在 s 的 负半轴上啊，所以点 b 的 坐标就是负三到零， 这是角 a， 这是九十度的时候。好，第第二种情况，呃，角 c， 这是九十度，角 c， 这九十度，那我们就过 c 啊，注意一条线，让它和这个 a c 垂直， 然后交 s 轴，就是我们所谓的点 b。 好， 这个时候我们解设这里边的 o b 的 长度是 x， 那 我们只需要把这个 o b 给求开就可以了，是不是只要求开它，那 b 点不变就有了？好，这个时候你会发现右边的三角形 c m， 右边的三角形，它也是个直角三角形，直角三角形就可以用到什么？就可以用到我们的勾股定律 啊，如果 o b 我 们解释了 x， 那 么此时这个 b e 就是 用 o e 的 四减去 x， 而 c e 是 固定长度。一。好，我们把这个 a b 连开， 那么此时还会有一个我们本身要让它成立的直角三角形 abc， 而在这个直角三角形 abc 中 啊，海面此时这个 ab 是 斜边，那么这个时候的 c b 方加上 a c 方就等于 ab 方。好，当然这里面除了这个，还有就是刚才我们运用的主要系啊，这里边的三角形 a o b， 它也是个直角三角形， 所以在第二种情况里面，它会出现三个直角三角形，三个直角三角形，我们就可以用到三次勾股定律。好，再回顾一下啊，在三角形 c b e 中啊，我们解释了 o b 是 x， 那 么这里边的 b e 就等于的四减 x， 而 c e 本身就等于一啊，所以我们由勾股定律就可以把这里边的 b c 方啊，给它算出来，就等于这里边的 b e 它的平方啊，四减 x 括入的方加上 c e e 的 方， 这是在这个三角形 c b e 中。好，再看三角形 a b c， 在 三角形 a、 b c 中啊，这个 a c 是 直角边啊，而 a c 我 们在第一问的时候，其实已经算开了啊，这个 a、 c 方， a、 c 方在第一问已经算开了，就是这里边的三的方加四的方 好， b c 方啊，这边我们也算开了，在三角形 b、 c 也算开了，那还差一个谁？还差一个 ab 方好，那看 ab 方， ab 方我们可以给它放到这个二次方程 a、 o、 b 中。在这个二题上， a、 o、 b 中 o a 啊是第一问，我们就算开了，是四 o b， 我 们解释的是 x， 所以 在这个二题中，我们就可以把 ab 方啊给它表示出来，那么 ab 方就等于这边的 o a 方加上 o b 方，也就等于四的方加上 x 方。 这样的话，在三角形 c、 b、 e 中啊，把 b、 c 的 平方给算出来，把 b、 c 方给它算出来， 然后在三角形 a、 o、 b 中，把这里边的 ab 方给它算出来， 然后再把这里边的 a、 c 方通过点的坐标特征给它表示出来。最后我们放到这个二 t 三角形 abc 中，利用勾股定律，也就是这里边的 a、 c 方啊，加上这里边的 b、 c 方，就等于 ab 方列方程，所以方程就是三方 加上四方加上四减 x 叉的方加上一的方，我就直接写 a 了。一了啊，就等于四的方加上 x 方，这样的话去减 x 就 可以了。最后算开这里边的 x 等于四分之十三， 所以第二种情况对应点 b 的 坐标就是四分之十三，对应。

翻到课本三十八页，我们来看一下勾股定律、逆定律的复习巩固。第一题是判断由线段 a、 b、 c 组成的三角形是不是直角三角形， 那我们就需要找到较短的两条直角边，让它们平方之后再相加，能不能等于第三条边的平方？先看第一个 较短的是这两个，对不对？那么 a 的 平方加上 b 的 平方是等于九的平方，加上四十的平方就等于八十一，加上一千六 等于一千六百八十一啊。再看 c 的 平方等于四十一的平方，四十一的平方正好等于一千六百八十一， 这是因为所以 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，你看这两个是相等的嘛，对不对？所以是 r、 t 三角形。再看第二个较短的是哪两个呢？ 我们可以直接把整数变成二次根四去比较根号，这个四等于根号十六 五，等于根号二十五，所以你可以看到最长的是根号四十一，对不对？那我们就拿 b 的 平方加 c 的 平方等于四的平方，加上五的平方等于十六，加上二十五等于四十一，而 a 的 平方等于根号四十一的平方等于四十一， 所以 b 的 平方加上 c 的 平方等于 a 的 平方啊，这两个是相等的，所以四、 r、 t 三角形，也就是说四直角三角形。再看第三个， 第三个谁最长呢？我们把这个 e 通分变成四分之四，那最长的是四分之五，那就拿 b 和 c 啊，这两个比较短，那么 b 的 平方加上 c 的 平方等于一的平方，加上四分之三的平方，那就等于一加上十六分之九，通分一下变成十六分之十六，加起来等于十六分之二十五啊，而这个 a 的 平方 等于四分之五的平方，等于十六分之二十五，你看这两个是不是相等的，所以 b 的 平方加 c 的 平方等于 a 的 平方，所以四 r、 t 三角形。 再看第四个，那这里谁最短呢？那谁最长呢？六十，对吧？所以我们就拿 a 的 平方加 b 的 平方等于四十的平方，加上五十的平方等于一千六百， 加上两千五百，它加起来等于四千一百，而这个 c 的 平方等于六十的平方，等于三千六百， 它俩不一样，对不对？所以 a 的 平方加 b 的 平方，它不等于 c 的 平方，所以不是 r、 t 三角形，不是直角三角形就可以了。 已知三条线段，它的长度分别是六十， x， 以这三条线段为边，恰好能够构成一个直角三角形，叫我们求 x 好， 那么这里一定要分类讨论，它没有给我们画图啊，对不对？所以我们不知道哪一条边是最长边。第一种情况我们画一下，假如说 这个是六，这个是十，这里是 x， 这种情况下 x 小 于十，对不对？好，这种情况下 x 小 于十，那么如果是第一种情况下的话，那么这个 x 的 平方加上六的平方就会等于十的平方， 那 x 平方就会等于一百，减去三十六， x 平方就等于六十四， x 就 等于八啊，负数舍去 好，第一种情况是这样的，那么第二种情况呢？这个 x 万一是最长边怎么办呢？啊？ 假如说这里是六，这里是十，这里是 x， 对 不对？好，这种情况下 是 x 大 于十，所以我们构造个五厘米，就是 x 的 平方等于六的平方，加上十的平方， x 平方就会等于三十六，加上一百 x 平方就会等于一百三十六， x 就 等于一百三十六。开方好，负数舍去， 那么这个 x 就 会等于根号下四乘三十四， x 就 等于两倍根号三十四。所以它的答案有两个 x 等于八，或者是两倍根号三十四，这才是它的答案。 第三题，刘伟向东走了八十米，然后又换了一个方向，走了六十米，再换第三个方向，走了一百米，此时恰好回到原地。刘伟向哪个方向走了六十米呢？请说明理由。好，我们先把它大概画出来，上北向南，左西右东， 这是东，这是西，上北向南，往这边换一点。 假如说这个是原地，他先向东走了八十米啊，走到这里，这里是八十米 啊，他换了个方向走，对不对啊？再最后又换了一个方向，走了一百米，回到原地。那首先你看下他的数据，六十、八十和一百，对不对？好，他是不是一个构造直角三角形，对吧？这三条边构造出来了一个直角三角形，因为 六十的平方加上八十的平方，正好等于一百的平方，所以以六十、八十、一百为边，构造出一个直角三角形。 并且呢，直角边是六十和八十，且六十、八十为直角边， 那它既然是直角边，所以这里是一个直角，以八十为边转弯，这里走了六十米，那么它肯定就走了一个直角，这里一个直角， 它说明往上走了六十米，这个时候再换一个方向，走到原地，这里是一百米，是不就刚刚好？这样的话，我们就把图画出来了，所以他第二次换方向的时候，是往正北方向走的，这个是北方向， 这个是南方向，所以他是正北方向，对吧？但是呢，他也有可能往下走啊，对不对？那万一他是往下走了六十米，再往回走呢？再往回走， 再换个方向走到原地，这也是可以一百米，所以他有可能是向正北方向，也有可能是向正南方向走了六十米，知道吧，所以我们就说刘伟 向正南或正北方向走了六十米就可以了。 在三角形 abc 当中， ab 等于十三， bc 等于十， bc 边上的中线 ad 等于十二。教我们求 ac 的 长度。好，我们先把这个三角形画一下，你可以画的随意一点啊，只要数据不错就可以了。那 ab 等于十三， bc 等于十， bc 边上的中线 ad。 好， 我们把中线画出来， ad 这中线中线会把 b、 c 一 分为二，分成两个五，他说这个 a、 d 中线等于十二， 你看五、十二，十三，它是不是勾股数啊？满足勾股定律，所以这里是一个直角，那这里是直角， 又是中点，说明这个 a、 d 是 bc 的 垂直平分线啊，垂直平分线，所以呢，那么这条边也是十三啊，垂直平分线嘛，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以 ab 是 等于 ac 的， 对吧？所以这里就等于十三 啊。思路，就这么个思路，我们写一下证明过程。好吧，因为 a、 d 为 bc 中线， 所以呢，这个 c、 d 就 会等于 b、 d 等于二分之一， b、 c 等于二分之一，乘上十等于五，那这两条边就是五好，因为 b、 d 等于五， a、 d 等于十二， b、 c 等于十三，所以 b、 d 的 平方加上 ad 的 平方等于五的平方，加上十二的平方等于二十五，加上一百四十四，等于一百六十九，而这个 ab 的 平方等于十三的平方也等于一百六十九，就可以得到 b、 d 的 平方加上 ad 的 平方等于 ab 的 平方，你就可以得到三角形。 abd 为 r、 t 三角形，所以角 a、 d、 b 等于九十度，那也就是说这个角等于九十度，就证明出来了，它既然是九十度啊，又是中点，所以这个 a、 d 垂直平分 e、 c 好 了，它就是垂直平分线。还记得垂直平分线的性质吗？我这里写一下垂直平分线上的点，垂直平分线上的点 到线段 两岸的距离相等 到这两个距离相等，所以我们就可以知道 a、 c 等于 ab 等于十三， 好，就证明完整了。第五题，如图，在正方形 abcd 当中， e 点是 bc 的 中点， f 是 cd 上的一个点， 并且 cf 等于四分之一 cd。 好， 这个 cf 等于四分之一 cd。 叫我们求证 角 a、 e、 f 等于九十度， a、 e、 f 这个角等于九十度，那怎么正呢？用勾股定律去正啊，我们先把这个正方形的边长设为未知数，你看怎么去设？你不想算分数，那么就以 四啊作为基准，你不想算分数，那你至少要等于四 a 或者四 x 也可以，看你喜欢，对吧？好，我们就设 a、 b 等于 a， d 等于 b， c 等于 c， d 等于四 a。 好， 它是四 a， 我 们写一下线段，这里是四 a， 这里是四 a， 因为 e 为 bc 中点， 所以 b、 e 会等于 ec 都等于二 a， 它俩等于二 a， 因为 c、 f 等于四分之一 c、 d， 所以 它等于四分之一，乘上四 a， 它就等于一个 a， 那这个 df 就 会等于四 a 减 a 等于三 a， 这就是三 a， 那 这就是为什么它设为四 a 的 原因。如果你设为二 a 的 话，那么如果是二 a 乘上四分之一，它这个就会等于二分之一 a， 它就会等于二分之一 a， 那 你就要算分数了啊，我们尽量不算分数，知道吧？好，那么再通过勾股定律去求，因为它是正方形，这个是九十度，这个是九十度，我们把这三条边分别表示出来啊。 第一个是在 r、 t， 也就是直角三角形，在直角三角形 a、 b、 d 当中，这个 a、 e 会等于四 a 的 平方，加上二 a 的 平方再开方，它就会等于十六 a 平方，加上四 a 平方再开方，它就会等于二十 a 平方再开方，那么这个时候你再把 a 平方和几啊和这个四提出来，就等于二 a， 根号五，或者是我们直接把它写成这个样子，因为我们等会还是要用勾股定律的，所以我们就干脆直接写成 a、 e 的 平方， a、 e 的 平方就会等于二十 a 平方，那这里开方的时候，你记得写一个负舍，负数舍去，因为未知数开方是有一正一负的，对吧？好，那么这个 a、 e 就 算出来了。好，接下来再看，在直角三角形 b、 c、 f 当中，这个 e、 f 的 平方会等于二 a 的 平方，加上 a 的 平方等于四 a 平方，加上 a 平方，它等于五 a 平方。好，这里是等于五 a 平方，它的平方啊。再算 af， 在 rt 三角形 a、 d、 f 当中，这个 af 的 平方就会等于四 a 平方加上三 a 整体平方等于十六 a 平方加上三加上九 a 平方， 它等于二十五 a 平方。好了，你去观察一下这三个式子，一、二、三，它们满足什么关系，对吧？五 a 平方加二十 a 平方等于二十五 a 平方，那我们接下来就可以证明出来了，对不对？ 因为这个 a、 e 的 平方加上 e、 f 的 平方等于 af 的 平方，所以三角形 a、 e、 f 为直角三角形，所以角 a、 e、 f 就等于九十度，那这里就垂直了，对不对？好，九十度咱们就证明出来了。再来看到拓广探索第六题，我们知道三、四、五它是一组勾股数，那么三 k、 四 k、 五 k 它也是一组勾股数吗？啊，这里的 k 是 正整数啊。一般的如果 abc 它是一组勾股数， 那么 a k、 b k、 c k 也是一组勾股数吗？这个需要我们证明一下啊，你学完这个之后以后再算勾股数，你就可以直接用比例去算，知道吧？ 三、四、五它是公股数，所以我们可以直接得到三的平方加上四的平方会等于五的平方，对不对？那这个怎么写呢？好，又因为三 k 平方加上四 k 平方等于十六 k 平方， 等于九 k 平方，等于二十五 k 平方。再看，那么五 k 平方， 它会等于二十五 k 平方，对不对？好，所以这两个式子是不是相等呢？所以我们可以得到三 k 平方加上四 k 平方会等于五 k 平方，所以三 k、 四 k、 五 k 是 一组勾股数。 再来证明第二个，如果 a、 b、 c 是 一组勾股数，那么就因为 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么 a k、 b k、 c、 k 照样算，又因为 a、 k 平方加上 b、 k 平方会等于 a 平方， k 平方加上 b 平方、 k 平方，把它合并起来，就会等于 a 的 平方加上 b 的 平方乘上 k 的 平方。好，这是这样的，然后这个 c、 k 呢？ c、 k 的 平方会等于 c 平方， k 平方。那么因为我们前面说了， a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，它这个 和这个是相等的，所以我们可以得到 a、 k 整体的平方加上 b、 k 整体的平方会等于 c、 k 整体的平方，那因为这两个是相等的嘛，它们系数相等，后面的 k 方也相等，对不对？好，所以 a、 k、 b、 k、 c、 k 是 一组勾股数， 你学会了这个之后呢？以后再做勾股数的计算，你可以用比例去算。举个例子啊，我这里举个例子，我们知道有一组勾股数是不是五的平方，这是我举的例子啊，上面是答案， 五的平方加上十二平方等于十三的平方，对不对？那如果有一个三角形，它的两条直角边告诉我们，一个是两两百六或者两千六，这个是多少呢？这个是五百一千， 他叫你求这条边叫你求 x， 对 不对？那你就先算一下，先算一下，你看 这里的一千比上两千六，它是等于五比十三的，所以这条边你带入就它就等于十二，知道吧？它的比例就是比十二的，就是比十二的，所以你可以立马知道它从一千变成五，它是不是除了两百， 是不是除以两百了？那么我们从这个十二返回去，你就乘两百， 它等于两千四百，所以我们就可以直接写出来啊， x 它就等于两千六百的平方，减去一千的平方再开方， 直接等于两千四百就完事了。这个就是用比例去算啊，如果真要叫你算两千六百的平方，数字太大了，不好算啊。不是怀疑你的计算能力啊，只是这样算会更快一点，知道吧？

这道题太难了，只有两成的同学能做对，为啥呀？蚂蚁爬行路线最短的问题，我们啊，平时从这一点到这一点还会爬，但是从这一点到这一点，你发现了吗？它的爬法可就多了， 我们可以选择这两个面爬，可以选底下的面爬，可以选择上面的面爬，看没看见。所以这道题难在，我们需要把展开图打开，三种路线分情况讨论。 但是今天我不给你讲分情况讨论，我教你一个秒杀这类题目的口诀，一个口诀，所有这类题目都能让你在五秒之内秒出答案 来。我们这类题型啊，老师也给大家把最短路境问题做了一个汇总，你可以试一试，利用老师的方法，这套题目都可以秒出答案啊！家长们不信的话，听完这个视频可以打印给孩子来一起看。一个蚂蚁从顶点 a 沿长方体爬行到 b， 那这个时候怎么算它的最值呢？难道我要分情况都算完了再填回去吗？那考试没有那么多时间呀，怎么才能又快又准呢？就是这一句话叫做短短相加勾股最佳。 由于这长方对应的长宽高分别为八、四、五。短短相加什么意思？找到这三个数当中两个较小的数加在一起，哎，再和另外一个数去应用勾股定律， a 方加 b 方， 所以这个时候我们就可以找到最短路径的值。四加五不就是九的平方吗？九的平方再加八的平方开方，我们就可以求出最终的答案。所以这就是我们所说的啊， 短短相加购股最佳。所以在这里我们就可以总结一下这种题目解析巧算的公式，哎，短加短， 在和那条最长的边，利用勾股定律开方，我们就直接可以秒出答案了，快去试一试吧！

八下这种题目太经典了，月考期中一定是必考的，他考察了利用勾股定律、几何构造法来去求什么？求最值？那咱们来一起看一下啊，本来这道题他是没有图的，他只有这个题干， 那这个题干看样子是一道代数题，但是我们却可以用几何法去解题，方法就是巧妙啊！那今天依依老师就教你几何法去解题，方法就是巧妙啊！那今天依依老师就教你几何法去解题，方法就是巧妙啊！那今天依依老师就教你做不出来的压轴题。 那有关于勾股定理，这里历年必考的这些压轴题，老师也给大家分题型做了一个整理，如果这类题型你还没见过，还没有这种解析技巧的话，一定要把它打印出来，咱们分题型进行练习。下面呢，老师带着大家一起来看一下这道题。 a 加 b 等于四啊， 那么说明两个数的和是四， a 方加一，加 b 方加四，哎，我在这啊，就有蹊跷了，为什么呢？因为我看 a 方加一，这不是 a 方加 b 方的形式吗？ b 方加四，那 b 方再加二的平方，哎，这不也是 a 方加 b 方的形式吗？所以由它我想到了勾股定律的基本型哎！勾股定律的基本型是啥？ a 方加上 b 方等于 c 方，对不对？ 所以合着它是求两直角边为 a 和一，两直角边为 b 和二，两个直角三角形斜边和的最小值。 那我们现在就可以构造了，来两个直角三角形构出，构造出来 a 和一， b 和二，而且还告诉你 a 加 b 等于四，那是不是就说明这条线段的长，它不就是四吗？ 对不对？下面想要求这两条斜边，他不就是根号下 a 方再加一吗？他不就是根号下 b 方再加二的平方吗？再加四吗？他俩斜边和的最小值怎么求呢？ 两点之间线段最短，我们直接啊这两点连线就可以了。连上线之后啊，我们把这个图形哎给他 构造出来新的直角三角形出现了，这是二，这也是二，整个这条边是三。这条边人家题里告诉你了， a 加 b 等于四，那这是三，这是四。来，请问斜边长是多少啊？ 对了，斜边长一定就是五了，所以这两边和的最小值也就是五了，直接秒了。所以你有几何构造法这种思想，咱们可以轻松构造出图形，利用两点之间线段最短，解决这类最值问题。

我们一起来看两道八年级下册关于勾股定律的应用的题目。第一道题，在 r t 三角形 abc 中，斜边 bc 为根号二，则 bc 的 平方加 ab 的 平方加 ac 的 平方等于多少？ 我们先来画一个直角三角形，斜边是 bc， 长度是根号二，那么直角就是角 a。 通过勾股定律我们知道 ab 的 平方加 ac 的 平方等于 bc 的 平方。 而题目上面让我们求的是 bc 的 平方加 ab 的 平方加 ac 的 平方，那么我们不就可以把 ab 的 平方加 ac 的 平方转化成 bc 的 平方吗？所以 这条式子我们就可以等于 b c 的 平方加 b， c 的 平方，那就等于两倍 b c 的 平方。 而题目上面告诉我们 b c 是 等于根号二的，那我们带进去不就等于二乘以根号二的平方了吗？所以就等于二乘以 二等于四，所以这道题的答案等于四。再来看第二道题，在平面直角坐标系中点 p 负四三到圆点的距离是多少？我们先画一个平面直角坐标系， p 是 负四和三，所以在第二象限点 p， 在 这里 p 是 负四三，我们过 p 点做 p a 垂直于 x 轴，那么我们可以连接 p o， 这样子就可以组成一个直角三角形，而 p a 的 长度它是等于方， 而 o a 呢，它是等于负四的绝对值等于四，就是说 o a 这里等于四， p a 这里等于三。那通过勾股定律我们就可以知道， po 是 等于根号 p a 的 平方加上 a o 的 平方就等于根号 三的平方，加四的平方就等于五三，四五是一组勾股数，所以这道题的正确答案是 c， 这就是这两道题的解析思路和方法，大家听明白了吗？自己在本子上面做一下吧！关注小朱老师，我们下期再见！

好，今天是我们梯子滑落的第五个题目，第五个题目了，不知道你前面第四个前四个题目有没有学好，还是我们用的是 呃，人民出版社的课本？好，在这个过程中我希望你能够学的轻松，我讲的明白，如果你有疑问的话可以提出来，如果你不懂的地方，你可以暂停实践一下。 好，如果有问题可以再提问啊。 看，这个也是一种梯子滑落的一个梯，那么它核心不变的还是那个梯子，梯子是不变的，对吧？ 我们一起读一遍，梯， 消防云梯。好，消防消防云梯它就是梯子了，梯子它它是固定不变的，它只能伸长二十五米， 然后已知消防车的高度，那车的高度它是有的，它是五米。五米，然后消防云梯，嗯，不说 ab 等于的是 c d， 它都是消防云消，都是消防云梯吗？都是二十五米，然后某呃某栋楼发生火灾， 发生火灾在 b 就是 楼房，楼房处有一个老人需要救援，然后救人时，消防云梯伸长最长，伸长的最长就是二十五米了。此时消防车的消防车的位置 与楼房的距离为 a o 楼，消防车距离楼房的距离 a o， 它是二十米，那么相同的 e f a o 等于 e f， 它都等于二十米喽。 然后这个他也是一个矩形吗？楼房，楼房他肯定是九十度，房子与地面垂直吗？肯定是垂直，所以说这边一定是九十度，一定是可以符合勾股定律的。 然后他问的我们是 b 点距离地面的位置，那么我们一定要加上消防车的高度，这个五米我们一定要加上。然后其实这个题让我们去求的就是 b o 再加上五就 ok 了呀。 啊？ b o 怎么求？ b o？ 它首先得放到三角形 a o b 里面去看呗，这是二十五，然后 a o 是 二十，那么 b o 就 可以用勾股定律进行求结了，对吧？ 然后我们看一下这个，这个，这个才是这个，嗯，粉色的图适合我们刚才的这个题目吗？ 我们老人是在 b 的 位置，然后消防云梯是 a b a b 啊，然后 a o 是 二十， a o 是 题目中题目中怎么说的？是 a 与楼房 a o 的 距离是二十吗？所以说 a o 是 二十，我们看答案， 嗯，这就是勾股定律嘛。求出来了， o b 等于的是十五，十五，再加上那个五米就是二十米了， b 离地面的， b 离地面的距离就是二十米了， 然后下面，嗯，呃，再看下面是怎么求的。 第二问，他说在 b 点处救援完之后，消防人员在 b 的 上方， d 处， b 的 上方就在 d 处，就是在这个位置发现有一个小孩没有撤离，为了能够成功的救出小孩，然后他，他要他要往 d 上面走， 所以说车得往前走，这样 d 它才能这个梯子，它才能再往上高一点嘛。 消防车从 a 处向楼房，就是向这个方 向，向左侧嘛，向左侧移动， a c 至少多少米才可以？那么我们知道了 d 是 九，那么我就知道了 o d 的 长就等于 九，再加上 o b o b 刚刚算出来了是十五吗？我们做第二问的时候，要看第一问求出来的 o b 的 长度是十五吗？看一下 就是用的这个图形，呃，对，是十五，十五， 那就是九，加十五就等于的是二十四，就是我知道了 o d 等于的是二十四，然后我知道了 c d 等于的是二十五，然后我去求 o c， 求出来 o c 之后我们就拿 a o a o 等于二十 a o 减去 o c， 其实就等于的是 a c 嘛？ a c 就是 移动的距离嘛，对吧？ 好，也就是在这个图形中，如果你不太会的话，你可以试试着标记一下我刚刚说的那几个数值，比如说这个是九，这个是十五，这个是二十五吗？对， 好，然后你看，就是就是这个方法，二十五的平方减二十四的平方等于七， 然后那个这段是七，然后我知道了总长，然后其实让我们去求的就是这一段的距离吗？就是用二十减七等于三米。

我们一起来看一下这一道八年级下册的题目。如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b、 c、 a 是 九十度角， a 是 三十度， ab 等于四， cd 垂直于 ab 于 d。 求 cd。 这道题，首先它告诉我们其中一个角是三十度，而且是直角三角形，那么我们就可以知道三十度所对应的直角边是斜边的一半，那么 c、 b 就 等于二。用勾股定律，我们就可以把 a、 c 算出来，等于根号 a、 b 的 平方减。 b， c 的 平方等于根号四的平方减二的平方等于二倍根号三。 现在题目上面要求我们求 c、 d。 注意了这个直角三角形，我们在图上可以看到两组底和高，第一组是 直角边， bc 和 ac， 第二组是斜边 ab 和 ab 上的高 cd， 所以 我们可以用等面积法把这道题算出来。好，那我们把解的过程写一下。解 在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，因为角 a 等于三十度，所以 b、 c 等于二分之一， ab 等于二分之一，乘以四等于二， 所以 a、 c 就 等于根号 a、 b 的 平方减， b， c 的 平方等于根号四的平方减二的平方等于二倍根号三。因为 s 三角形 a、 b、 c 等于二分之一 乘以 b， c 乘以 a， c 等于二分之一乘以 a， b 乘以 c、 d， 所以 二分之一乘以二，乘以二倍。根号三等于二分之一乘以四，乘以 c、 d， 所以 c、 d 就 等于 二，乘以二倍。根号三除以四等于根号三。这就是这一道题的整个解析思路和解析过程，大家听明白了吗？自己在本子上面做一下吧！关注小朱老师，我们下期再见！

这类题目堪称勾股定律天花板，同时也是高频考点，能做出来的同学屈指可数，因为你会发现学校教的 a 方加 b 方等于 c 方无处安放。为什么呢？因为老师是不会告诉你勾股定律，还有个孪生兄弟叫一垂直两勾股， 老师今天就用一个视频教你彻底学会这个原理，学会后，考场再遇到这类题型，直接拿分来看题 说，如图，在 r、 t 三角形 abc 中， a、 b 长等于根号下六十一， a、 d 长等于根号下三十四， b、 d 长等于三。让我们求 a、 c 这条直角边的长是多少？题目非常的简洁啊，那这里边，我们除了已知了直角三角形 abc 之外，我在图形中是否观察能发现一些 其他的信息，所以这时候需要大家睁开一双慧眼，仔细来观察一下啊。因为题目中啊，你如果直接利用勾股定律去计算，你会发现 这条边 c、 d 长我并不知道，显然不可以直接算出来啊，所以我观察发现呀，除了直角三角形 a、 b、 c 之外，图中还隐藏了一个蓝色阴影的小小直角三角形 a、 c、 d。 所以这里边啊，一个垂直出现了两个直角三角形，就可以用老师教给大家的绝招一、垂直两勾股，直接快速解题！好，那怎么来操作呢？首先，在小兰直角三角形中，问号线段也是它的一条直角边，也就是说， 小兰和大的直角三角形 a、 b、 c 中，两直角三角形拥有的是弓 共边，公共的直角边就是 a、 c， 抓住公共边怎么样呀？同时去表示这条公共边，或者说公共边的平方， 未知的蓝色 c、 d， 我 用小 m 表示其长度来大的 r、 t 三角形 a、 b、 c 中怎么表示 a、 c 或者表示 a、 c 的 平方呢？直接利用勾股定律，也就是斜边根号下六十一的平方，减去直角边 三加 m 的 平方，这我表示的是什么呀？是 r、 t 三角形 abc 中利用勾股定底表示出的 ac 方。 好，同样道理，我在蓝色阴影直角三角形中也来表示一下直角边 ac 的 平方，它也就是斜边 a 地方， 根号三十四的平方，减去直角边 c 地方，减去 m 方，所以等号右边呢？我还是表示的是线段 a、 c 的 平方。直角三角形 a、 c、 d 中利用勾股定律表示出来的， 所以两边是相等的，一垂直两勾股。得到这样个等式之后，你只需要进行认真计算来化简。整理一下， 左边六十一减去括号的平方，注意符号啊，减九减六 m， 再减去 m 的 平方，等号右边开方再平方之后三十四，再减去 m 的 平方， 两边都减掉 m 平方，所以我利用等式的性质，两边同时加上 m 平方，消掉不见了，整理一下，这不就是解什么呀， 关于小 m 的 一元一次方程嘛。所以六 m 我 挪挪到等号一边，常数部分六十一减九，再减去三十四，所以六 m 等于十八， 算出小 m 的 值来。等于三啊，你看小 m 都有了，你算 a、 c， 是 不是等号左边或者等号右边都能算出来，对不对？所以啊，我比如在蓝色的 小直角三角形 a、 c、 d 中直接利用勾股定底，我知道 a、 c 就 应该等于根号下斜边根号三十四的平方减去直角边 小 m， 也就是三的平方，这是三十四减九根号下二十五，所以 a c 的 长等于五 完事了。所以这道小题啊，回过头来总结一下。出现一个垂直的条件，但图形中会出现多个直角三角形， 两个直角三角形，一垂直，两勾股，同时去表示公共边，或者说公共边的平方啊，那我两边开方也可以吗？当然可以啊， 两边平方之后，我表示公共边的平方计算更加简单，最终把未知的一条边长，一条线段长给它算出来，再来求解我们想要的公共边即可。

勾股定律的五种正法在书本的三十二页，先来看到勾股定律的第一种正法， 这个是弦图的另外一种正法，它用的是以斜边为边的正方形的面积加上四个三角形的面积。这里是以斜边 c 为正方形的一个面积，加上外面四个三角形的面积，会等于整个大正方形的面积，是这个意思。 那么这里里面，这里有这个正方形的面积，它就会等于 c 的 平方啊。以斜边为边的正方形的面积，对应的是 c 的 平方加上四个三角形的面积，这四个三角形的面积是外面四个三角形的面积。这一段是 a， 那么这一段就是 a， 这一段是 b， 所以 这一段也是 b 啊。同样的，这段是 a， 这段是 b， 这段是 a， 这段是 b， a、 b 就 这个意思，所以这四个三角形的面积，它就会等于二分之一 a、 b， 然后再乘上一个四啊，就这个意思，等于外面正方形的面积。外面的这个正方形，它的边长是 a 加 b， 所以 是 a 加 b 的 平方。然后再打开 c 的 平方，加上二 a， b 等于 a 的 平方，加二 a， b 后面是完全平方。公式打开， 那加二 a， b， 加二 a， b 抵消掉了，就剩下 c 的 平方，等于 a 的 平方，加上 b 的 平方，你看这个是不是就是个五厘米，对不对？这个是第一种正方。 第二种正法是传说中必达格拉斯的正法。这里提示把图一当中拼成的正方形与图二当中拼成的正方形面积相等就可以了。你看图一，这里是一个正方形，边长是 b， 所以 它的面积是 b 的 平方，这个是 a 的 平方， 然后这四个三角形呢？它的两条直角边分别都是 a 和 b， 所以 它的每一个三角形面积都会等于二分之一 a、 b， 对 吧？好，这里有四个，所以第一个图就是 a 的 平方加上 b 的 平方加上 四乘上二分之一 a、 b， 这是第一个图，第二个图拼成的正方形面积是，这里是 a， 加上 a 加上 b， 是 这个整体的面积啊。但是我们要的不是这个整体的面积，我们要的是把它拆分出来的面积，这里是四个二分之一 a， b， 这里有四个，所以也有四个二分之一 a、 b， 然后中间这个正方形的面积，它是 c 的 平方，它的边长是 c， 所以 我们就可以把它写成四乘二分之一 ab 加上 c 的 平方， 然后四分之一乘二分之一 ab 和这边是可以抵消掉的，就只剩下 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方了，你看勾股定律就出来了，对吧？ 再来看到第三种方法，折矩积矩法，那么它是什么意思呢？它是把三四五这个直角三四为边，往外画了一个正方形，那就是这里， 这里是直角，这里是三，这里是四，这里是五，你可以看得出来，这个正方形就是四的平方， 这个正方形面积就是三的平方，而这个蓝色的正方形，它的面积就是五的平方，它就通过这种方式割补法， 把这个两个正方形的面积割补成一个大的蓝色的正方形的面积，就把这两个三角形的，就把这个两个正方形的面积填充到里面去了。啊，就这个意思。然后后面就是它的割补过程，看一下， 先画成这个样子，然后呢他在这里连条线，原本呢这段是四的，原本这里他是四的，啊，这里割一下，这里就变成了三了啊，他这里结了一个三下来， 所以这一段是三，那这一段也是三，然后接着他又在这里，这一段他是四，是不变的，这一段是四，他是不变的，然后在这个上面又结了一个一下来，所以这一段 是一，这一段是三，所以呢，因为这里是一，这里是三， 这里是一，这里是三，所以这一段或者是反过来画，这一段就是四，所以这条边他也是四，看到了吗？啊，所以刚才的这里的三，四， 这里的三，四，这个三角形它就可以旋转过来填充到这里来了，这里是三，这里是四，对吧？好，然后把这个哎补过来，因为它这里是一，这里是三，正好这里也是一，这里也是三， 那就把这个小长方形补过来了，补过来了之后，那这一段它就是四，原本这里是三，这里是一的，那补过来之后，这里就变成了四，这里变成三了啊，那同样的道理，这里也是三，这里也是四， 所以他就把这个三角形的面积填充到这里来了，这个三角上面这个三角形的面积填充到这里来了，最后整个 大三大正方形的面积就是五的平方，这就是五的平方， 那就把三的平方和四的平方填充到五的平方里面去了，就可以得到三的平方，加上四的平方等于五的平方，它是以这种形式割补法去凑出勾股定律的， 这个是勾股定律的第四种证法。在一本书里面有记载，这本书叫做原本，它也是用面积法去证的， 让直角三角形的三条边往外做三个正方形，如果把这个直角三角形的三条边边长分别叫做 a、 b、 c， 那 么这个三个正方形的面积就是 a 平方、 b 平方、 c 平方。我们的目的就是为了证明出 a 平方加 b 平方等于 c 平方就可以了。 他把下面这个大的正方形分割成两个长方形，让小长方形的面积等于小正方形的面积，大长方形的面积 等于中等正方形的面积，就可以得到这个式子了。好，他这里有提示，正方形的面积等于这个三角形面积的两倍， 然后小长方形的面积等于这个三角形面积的两倍，然后让这两个小三角形全等， 全等之后面积就相等，就可以说明这个小正方形的面积等于小长方形的面积了。好，我们写一下这个过程啊，你连接一下 ig， 再连接一下这个 a、 j， 我 们先证明这里的三角形面积和这个三角形面积相等， 这个三角形面积和这个 a、 d、 j 三角形面积相等啊，怎么来的？都是等底同高。你看， 因为 id 等于 id 同一个三角形，它们的底是相等的，底是同一条，那肯定是相等。然后又因为 这个 h、 c 平行 id， 所以 平行线之间它们的距离处处相等，这个距离指的是垂直距离， 在平行线之间作高，看到没有？高是相等的，所以三角形 i、 d、 g 与三角形 i、 d、 c 它们的这个面积相等，是因为同底等高， 所以我们可以得到三角形 i、 d、 g 的 面积会等于三角形 i、 d、 c。 的 面积，那么由于这个正方形的面积会等于 i、 d、 g。 面积的两倍， 因为 a 的 平方会等于两倍的三角形 i、 d、 g。 的 面积，所以这个 a 的 平方也会等于 两倍三角形 i、 d、 c。 的 面积。好了，这样的话，我们就把第一句话证明出来了，再看第二句话，这个小长方形的面积等于这个 a、 d、 g。 面积的两倍。怎么来的呢？同样的方法， 因为 a、 d 等于 a、 d， 这两个三角形它的底是同一条，那然后这个 a、 d 和 g、 k 是 平行的， 又因为 a、 d 平行 j、 k， 所以 三角形 a、 d、 j 与三角形 a、 d、 g 也是同，也是同底等高， 它们是同底等高的，那高都在这里， 高在这，对吧？然后 g 往下做垂线，高在这，这两条高会相等，所以三角形面积会相等，所以三角形 a、 d、 g。 的 面积会等于三角形 a、 d、 j 的 面积。 面积是相等的。好，那么不难看出，这个矩形面积的一半就等于 a、 d、 j， 因为这个 a、 d、 j 应该是这个 a、 k、 j、 d。 这个矩形的面积 会等于这个小三角形面积的两倍，等于两倍的三角形 a、 d、 j。 的 面积，所以这个 a、 k、 j、 d。 的 面积就会等于两倍的三角形 a、 d、 g。 的 面积。 那么剩下的就是你要证明这两个三角形全等了，那么这个小矩形的面积就等于这个小正方形的面积了， 怎么证明全等呢？你看这两个三角形 i、 d 等于 j、 d、 a、 d 等于 c、 d， 再加上它们中间的夹角是相等的，就是这个角和这个角是相等的，都等于九十度，加上同一个角，对不对？好， 因为算了，我写个全等五好吗？ 在三角形 i、 d、 c 与三角形 g、 d、 a 当中， i、 d 等于 g、 d 角 i、 d、 c 等于角 g、 d、 a， 它都等于九十度，加上这个角 g、 d、 c， 然后最后一个就是 cd 等于 a、 d， 所以 我们可以得到三角形 i、 d、 c 全等于三角形 g、 d、 a。 全等。条件是边角边 全等之后，所以我们就可以得到这两个三角形的面积也是相等的。 好，它们的面积现在是相等，就这两个面积相等了，所以 这个 a、 k、 j、 d 的 面积 a、 k、 j、 d 这个面积就会等于 小正方形的面积 a 的 平方。好，这里我们就证明了。左边的那还有一边呢？这个时候你要连什么呢？哎，你就要需要连这里和这里了，我们连一下。 思路是一样的，那你同时也要连 b、 j 和这个 e、 g。 证明过程我就不写了，思路我写一下。另外一层，就是让这个中等正方形的面积等于这个三角形的面积的两倍，从而也会等于这个三角形的面积的两倍。 这个我写一下。 b 的 平方会等于三角形 g、 c、 e 的 面积的两倍啊，写一下，两倍， 而这个 g、 c、 e 的 面积和这个 d、 c、 e 的 面积也是同底等高的，这两条线平行，对吧？这个是正方形，上下肯定平行的，高相等啊，同底等高，棱底等高，对吧？好，等于两倍的三角形 d、 c、 g 的 面积。好，得到了这个，然后再拿这个长方形的面积，它会等于这个 b、 c、 j 面积的两倍，而这个 b、 c、 j 的 面积会等于 b、 c、 g、 c、 j， 它会等于两倍的三角形 b、 c、 j 的 面积就会等于两倍的 三角形 b、 c、 g 的 面积就等于两倍这个 b、 c、 g 的 面积，而这两个三角形是全等的，你看这里也是九十度， 中间夹了一个角，然后这两条边相等，就是 e、 c 等于 g、 c， 然后这个 b、 c 会等于 dc， 对吧？好，再加上中间的夹角，所以这两个三角形全等，知道吧？啊？又因为三角形 bce 会等于等，它的面积会等于三角形 bcg 的 面积，原因是全等， 因为我在这边已经正过一遍了，我这里就写不下了，就不写了，所以我们就可以得到这个 a、 b、 c、 j 的 面积会等于 b 的 平方的面积，看到了吗？好，现在你再把这两个面积加起来 就会等于 c 的 平方了，知道吧？啊？这是一式，这是二式，你把一式和二式加起来，一式加二式， 你就会得到这个 a、 a、 k、 j、 d 的 面积，加上 a、 b、 c、 j 的 面积就会等于 a 的 平方加 b 的 平方， 这是让左边加左边，右边加右边，而这两个长方形面积加起来就会等于 c 的 平方，所以我们就可以得到 c 的 平方，会等于 a 的 平方加上 b 的 平方，这样的话，我们就可以得到勾股定律的结论了。 欧古定律第五种正法是没文顶的正法，它这里提示是正方形 a、 g、 e、 f 的 面积加上正方形 h、 j、 d， g 的 面积会等于正方形 a、 b、 c、 d 的 面积就可以了。那么它具体是怎么操作的呢？ 也是一样的， a、 g、 d， 这个是一个直角三角形 r、 t， 三角形 a、 g、 d， 然后分别以它们的三条边往外做一个 正方形，不过这条边是往里做了一个正方形，那它这条边是 a， 那 这个就是 a 平方，这条边是 b， 它整个面积就是 b 平方，然后斜边是 c， 那 么这个就是一个 c 平方啊，就是大概是这个意思， 然后进行分割。怎么分割的呢？你看它这里画完之后， 把这个正方形你挪到这里来啊，这边也是 a 啊，因为你看这里是 a， 这里是 b， 你 做了正方形之后，这条边就是 b， 然后这个是一个矩形，对称过来，这条边就是 a， 那这条边就是 b 减 a 啊。接下来你要用全等去证一下，这条边是 c， 这里做垂直，这个是垂直，这个也是垂直，对吧？你可以证明这两个三角形全等， 全等之后，这条边就是 a 了啊。具体的就是九十度，九十度啊，这里是角一、角二、角三角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度，所以角一等于角三，所以这两个三角形是全等的，你全等之后，这里是 a 对 称过来，这条边也是 a 啊，这条边也是 a， 然后呢，因为这条边它是 b 啊，这里垂直了，对不对？这条边就是 b 减 a， 这条边是 b， 这条边也是 b 减 a， 这个是一个直角，所以中间就是个正方形，中间就是个正方形。全等之后，这条边是 b 嘛，这条边也是 b 嘛，对不对？然后这条边是 b 减 a， 这条边是 b， 这条边是 b 减 a， 所以 这条边就是 a。 好 了，这就是一个正方形，对吧？直角不用考虑，它画的都是垂直， 所以它这个正方形，那么这个正方形小的空白的正方形，就和上面的这个正方形的面积是一样的啊，边长都是 a 的 正方形，然后接下来把这个移下来之后，哎，它把现在它的这个面积就变成了这样的了， 好进行分割，把上面这部分的面积平移下来啊，平移下来覆盖这里，然后把这部分的面积移到右边去，你看用割补法就补出了这个正方形，正方形 c 的 平方就可以了。 如果要写这里的证明过程就太多了啊，我把这个思路大概写一下啊，首先你先证明这个 a、 d、 m 和这个 a、 b、 i 全等三角形 a、 d、 m 全等于三角形 a、 d、 i， 这里有个 i 哦，我遮住了 全等全等条件，角角边全等之后的话，你就可以得到 a、 i 等于 a 啊，然后等于 b、 l 等于 b、 l， 然后再证明这里是一个正方形，就是 四边形 k、 j、 m、 i 为正方形， 你就可以得到这个 b、 k 也等于 a， 那 么这个正方形啊，这个矩形两边都是 a， 所以 它就是正方形，所以我们就可以得到四边形为 四边形 l、 b、 k、 h 为边长 等于 a 的 正方形。好了，那么接下来把这个面积移过来再进行分割就可以了，把它进行拆分， 这里拆分一下这个 c 的 平方会等于什么呢？会等于 这里拆分出来的四个小面积，中间正方形加四个三角形。我们这里写一下三， a、 b、 c、 d 的 面积，这 a、 b、 c、 d 的 面积会等于三角形 a、 b、 i 的 面积，加上三角形 a、 d、 m 的 面积，加上三角形 a、 g、 c 的 面积，加上三角形 a、 b、 c 的 面积。最后再加上中间这个正方形的面积， 那么现在这个 a 的 平方加 b 的 平方会等于什么呢？ a 的 平方加上 b 的 平方会等于这个 a、 f、 g、 h 的 面积。 a、 f、 g， a， 不 对，是 a、 g、 e、 f， 再加上这个 g、 h、 j、 k， 呃， j、 d 的 面积， 而这个面积咱们又可以把它转化成 这个正方形的面积， 是 l、 b、 k、 h， 加上刚才的这个 g、 h、 j、 d 的 面积。好，现在我们就变成了这两部分的面积， 而这两部的面积它又可以拆分成什么呢？它又可以拆分成这个，加上这个，加上这个，再加上这两个。看到了吗？好，我们把它写出来，就是三角形 a、 b、 l 的 面积，加上三角形 a、 b、 i 的 面积，再加上三角形 a、 d、 m 的 面积，加上上面这个三角形 a、 g、 d 的 面积，最后再加上一个最中间的一个正方形，就最中间这一个正方形就是上面这个 整体，往这边挪一点。 好，接下来就一一对应了。那接下来就一一对应了。首先这个面积这三个面积是不变的，这三个面积是不变的。 a、 b， i， 找到 a、 b， i 这个面积不变， 以及 a、 d、 m、 a， d、 m 不 变，还有个正方形的面积不变，那么接下来把这个面积和这个面积分别平移到这里和下面这个位置。啊，注意，这个面积移下来之后，这个空白的地方是补起来了的啊。 好，对应一下。 a、 l、 b， a， b， l 对 应哪一个？对应这个？ d、 j、 c， d， j、 c， 在 这里它们两个可以互换， 然后最后一个就是 a、 g、 d 和 k， b、 c 进行互换， 那 e 对 应相等的，所以你会发现 a 平方加 b 平方得到的五个面积和 c 的 平方得到的五个面积是相等的，所以我们最后就可以说，所以 c 的 平方等于 a 的 平方，加上 b 的 平方就可以了。

初中阶段包括中考最后一道压轴题，要么考动点，要么考最值。今天呢，谷老师就带来一道非常经典的一道求最值题目，我们来一起看。如图，圆柱形的玻璃杯高是十二厘米，底面的周长为十八厘米， 在杯内离杯底四厘米的点 c 处有一滴蜂蜜，此时呢，一只蚂蚁正好在杯的外壁，离杯上沿四厘米与蜂蜜相对的点 a 处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是几厘米。好了，我们把这个图放大，蚂蚁在杯外沿， 蜂蜜是在杯内沿，是在里面。那同学们会说，我直直的直，直接从 a 走到 c， 不 行，同学们，蚂蚁在外面，蜂蜜在里面，所以说我们直直走不过去，他肯定是要干什么？ 这是要先哎走到这里，然后从里面进去吃这个蜂蜜，我们要画它的侧面展开图 好了，我们画好之后呢，你看，由于我是一个圆柱，正面有，背面也有，所以说我会把它从中间分开好。由于我们底下这个圆的周长题目中告诉我们是十八， 那么就说明这段的长度是不是十八，所以一半这段长度呢，就是九了。我们的蚂蚁呢，在 a 处，也就是在这，他距离这个地方是四， 蜂蜜呢是在这里。哎，这段距离也是四，那我们的蚂蚁啊，他是不是要从 a 点走到大概其在这个位置，然后再走过来？ 好，那我们要找的就是这段最短距离，那如何找呢？各位同学，在这我是不是就想到将军营马做对称，我们做 a 点，关于这条线的对称点坐在这里， a 撇点在这个地方啊，好，我们把 a 撇点呢和这个点 c 连接，蚂蚁呢，肯定是先从 a 走到这个 p 处，再从 p 走到我们这里的 c， 它会使最短距离， 为啥它是又是最短距离？因为我们知道 a 点和 a 撇点是关于它对称的，那所以这段和这段是相等的，同理，这段和这段也是相等的，那 他加他就可以理解成他加他了，他俩相加两点之间线段最短，所以说我们就得到了。哦，这是我们的最短距离。因此我的最短距离是不是就可以理解成是这段长度了？那这段长度我们要如何求呢？好，我们可以构造 直角三角形，利用勾股定律来求点 c 做一个垂直。我们假设这个是 f， 老师呢，现在描出来的这个蓝色的直角三角形，我们在这个三角形中来去求我们这一段长度， a 撇 c， 那 我们就要知道它的两个直角边长，这段长是九，所以这段也就是九了。 那整个这段是多少呢？因为题目中告诉我们，他的这个圆柱的高啊，是十二，好，所以说这段也就是十二了。那你看这段距离是四的话，说明整个这段距离就是十二，减去这个四，这段距离就是八。 而我们的这段呢，题目中也告诉我是四，所以八再减四，这是四好。由于 a 点和 a 撇点是对称的，所以这段是四的话，那这段也是四，所以说整个这段距离它就是三个四，也就是十二，也就是我们的整个这段距离啊，它就是十二， 好，这段呢是九。所以我们的勾股定律是不是就可以算出来我们的斜边长度了？勾股定律下 九十二十五，所以说呢，我们的蚂蚁它走过去的最短距离就是十五。这道题呢，希望同学们一定要搞会啊，因为它是一道非常非常经典的经典好题！好关注，吴老师数学不迷路，记得点赞关注呦！

我们一起来看一下这一道八年级下册关于各股定律的题目。如图是一块四边形场地， a、 b、 c、 d 边 c、 d 上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度。经测量得知， a、 b 等于 a、 d 等于六十米，角 a 等于六十度， b、 c 等于八十米。角 a、 b、 c 等于一百五十度。如果你是数学兴趣小组的成员，请根据测量数据求出 c、 d 的 长度。首先我们 看到 ab 和 ad 是 相等的，而且有个六十度，那我们立马就想到有一个知识点，就是有一个角为六十度的等腰 三角形，是等边三角形。屏幕上面告诉我们 ab 等于 ad 等于六十米， 我们就不妨做一个等边三角形出来。我们可以连接 b、 d， 这样子的话， a、 b、 d 就是 一个等边三角形，而这个角就可以知道它是等于六十度， 这条边也等于六十米，而 a、 b、 c 它是等于一百五十度的，那么角 d、 b、 c。 那 就等于一百五十度。减六十度就等于九十度，那么三角形 d、 b、 c 就是 l、 t 三角形。 在一个直角三角形当中，已知直角边的长度要求斜边，那么我们就可以用勾股定律 c、 d 等于根号， b、 c 的 平方加 c、 d 的 平方就等于根号八十的平方，加六十的平方，那就等于一百。我们把这道题的一个解的过程写出来解，如图连结 b、 d。 因为 ab 等于 a、 d 等于六十米，角 a 等于六十度， 所以三角形 a、 b、 d 为等边三角形，所以角 a、 b、 d 等于六十度， b、 d 等于六十米。 因为角 a、 b、 c 等于一百五十度，所以角 d、 b、 c 减角 a、 b、 d 等于一百五十度，减六十度等于九十度。在 r、 t 三角形 d、 b、 c 中， b、 d 等于六十米， bc 等于八十米。 所以 c、 d 就 等于根号 b、 d 的 平方，加 b、 c 的 平方就等于根号六十的平方，加八十的平方就等于一百米。这就是这一道题的解析思路和解析过程， 大家听明白了吗？自己在本子上面重新做一下吧！关注小朱老师，我们下期再见！

八下勾股定律这里啊必考八大题型，其中有一类比较难的就是勾股定律，蚂蚁爬行的这类最值问题了，绕着正方体、长方体、圆柱体爬行，问你何时路线最短？见没见过 那有关于勾股定律必考的这八大题型，老师早给大家总结好了啊，学到这，如果你还没有题型思维，每一类题出现，你脑子里还没有方法解析的步骤， 一定要把它打印出来。咱们带着孩子啊，分题型来进行练习，这样我们整个孩子的思维咱们就可以建立起来了。学数学要巧到八年级，综合程度那么强，再靠刷题是不可能再得高分的啊。 下面呢，咱们就来一起看一下啊，蚂蚁从 a 爬行到 b 的 最小值，哎，这里需要注意的是啊，他这从 a 爬行到 b， 他 需要绕几面啊？ 哦，是不是需要从这绕到这一面，绕到后面这一面，再到侧面这一面啊，对不对？ 所以啊，在这我们要找到它爬行的轨迹，就必须把这个长方体怎么样？来两个字，大家敲一敲，叫做展开，我们要找到它的展开图，进而找到它爬行的轨迹，那我把这个长方体沿着这条边给他剪开， 翻翻翻，想象到了没？那我们就变成了这样的展开图，哎，这个面呢就是他，那同样蓝哎，绿色的这个面呢就是他了， 那这两个面分别是后面和侧面，能想象到不？那从 a 到 b 不 就是从这一点到这一点吗？所以直接我们怎么样啊？哎，让他 算这两点之间的最小值就可以了，那怎么排呀？由于两点之间哪最短，线段最短，所以直接连线就 ok 了。 三一三一，那这里他的长度就是八，而这条边的长度和他的高是不是一样是六啊？所以想要求 a 到 b 撇这条线段的最小值好不好，求 勾股数六八十直接就可以秒出最终的答案。所以这类展开图蚂蚁爬行求最短路径的问题，一定是找到展开图，利用两点之间线段最短来解决终极的问题。

看到课本三十四页，我们来看一下勾股定律的逆定律，通过前面学的勾股定律，我们知道直角三角形当中， 它的两条直角边的平方加起来，也就是平方和会等于斜边长的平方，那如果反过来 一个三角形，它的三条边满足这样的关系，也就是两条直角边的边长的平方和会等于第三条边，也就是斜边的平方。那么这个三角形是不是一个直角三角形呢？哎，我们这里来研究一下， 他这里给了一个图，他说在一个长的绳子上面啊，给一个非常长的绳子打上等距离的十三个结啊，这十三个结每个结之间的距离是相等的，叫做等距离， 然后以三个结间距以及四个结间距。五个结间距，这里是三个结，一二三三个结，这里是四个结，一二三四四个结， 这里五个结间距，一二三四五五个结间距。好，那么它的 三边关系满足三四、五这样的比例，他就说有一个角就是直角，那么这个直角指的就是这个角， 他说这个角就是直角了啊。上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别是三、四、五，他们满足三的平方加上四的平方等于五的平方，那么围成的三角形一般的满足两条边长的平方和 等于第三条边长的平方，这样的三角形是不是三角形呢？我们来观察一下，这叫我们画一画。如果三角形的三边长分别是二点五、六以及六点五， 单位是厘米，那么他们满足二点五的平方加上六的平方等于六点五的平方，他是满足这个等式关系的，也就是满足勾股定律画出的三角形是不是直角三角形呢？画成三条边，分别为四厘米、七厘米、八厘米，再试一试啊， 这里我们回答是的啊，为什么呢？因为它是满足勾股定律的，所以这是一个直角三角形。那么勾股定律的逆定逆定律怎么证明？我们等会再说啊？后面会讲到的，这里教我们画出三角形是直角三角形吗？哎，这个回答是的， 然后换成三条边，分别是四厘米、七点五比上八点五， 他其实就是等于八比上十五，比上十七啊，这是一组勾股数，对吧？所以他也是满足的。这里我们写一下，因为四的平方加上七点五的平方，会等于八点五的平方，所以四直角三角形。 好，这个回答是直角三角形，这里同时也告诉你另外一个结论，什么结论呢？我们画一个三角形，这是一个直角三角形，如果是直角三角形的话，那么 abc， 它就会满足 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方，这个是直角三角形。 那如果它是一个钝角三角形的话，这个角是一个钝角的话， abc， 那 么你就会得到这样的结论， a 的 平方加上 b 的 平方，它会怎么样呢？它就会小于 c 的 平方啊。这里还有个结论，就是锐角的，相信大家也应该猜到了，假如说是一个锐角三角形，这样的啊，这个是 a， 这个是 b， 这个是 c， 这是锐角，那你就会发现 a 的 平方加上 b 的 平方，它是大于 c 的 平方的啊。那么咱们勾股定律的逆定律就是，如果三角形的三条边 分别是 abc， 并且满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，那么这个三角形它就是一个直角三角形。所以你在证明题过程当中，你只要写出来三角形满足这个关系，你就可以直接判定它是直角三角形。 这个猜想就是勾股定律的逆命题，那么下面我们来证明一下是怎么来的，我们来证明一下勾股定律的逆定律， 逆定律就是三角形的三边长为 abc， 满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，那么这个三角形就是一个直角三角形。它这里给了一个题目，它这个题目的条件就是让这个三角形的三条边分别是 abc， 并且已经满足 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。 因为我等会要放大，所以我先把这两个条件写上来啊，这里三角形 a、 b、 c 当中啊，这是已知条件， a， b 等于 c， a， c 等于 b， b， c 等于 a。 已知条件还有一个就是 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方。 那书上的思路是什么呢？书上的思路就是通过这个三角形，他这里不是没有直角吗？对不对？所以他就构造一个另外一个三角形出来，并且让他的两条边和他相等， 然后我们这里构造的是一个直角三角形，这样的话，当这两个三角形全等之后，哎，这个角 c 就 可以等于直角了，他这里构造一个三角形。我们写一下 构造 rt 三角形， a 撇 b 撇 c 撇，并且令有两条边是相等的，令这个 b c 也就是 b 撇， c 撇是等于 a 的 a 撇， c 撇等于 b， 那 还有一个就是角， c 撇等于九十度，它构造的是这三个条件 和前面的三个条件是不一样的，它不是三条边都相等，但是我们可以证明三条边都相等，通过边边边全等证明三角形全等啊，好了，那因为这是一个直角三角形，所以我们可以算出， 因为啊，三角形 a、 a 撇 b 撇 c 撇为 r、 t 三角形，所以它可以满足 a 撇 b 撇的平方会等于 b 撇 c 撇的平方，加上 a 撇、 c 撇的平方，就可以得到 a 撇 b 撇的平方等于 a 的 平方加上 b 的 平方，我们可以得到这个这条边的平方等于 a 的 平方加 b 的 平方。而在前面 这个题目给的三角形当中，它本身就可以得到 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。我们写一下，因为 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，这个 c 的 平方是等于 ab 的 平方的，等于它的平方呢？你来观察一下这两个式子， a 撇 b 撇的平方等于 a 方加 b 方， ab 的 平方也等于 a 方加 b 方。所以我们可以得到什么？我们可以通过这两个式子立马可以确定， ab 的 平方等于 a 撇、 b 撇的平方， 就可以得到 ab 等于 a 撇 b 撇。好了，刚才我们构造这个直角三角形的时候，已经让 b、 c 等于 b 撇 c 撇了， ac 等于 a 撇 c 撇了，现在我们又证明出来了，第三条边，也就是 a、 b 和 a 撇 b 撇相等了，那么这个三角形是不是三边都相等，那是不是就全等了，对不对？所以 我们就可以得到，在三角形 abc 与三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇当中，全等五行， ab 等于 a 撇， b 撇， bc 等于 b 撇， c 撇， ac 等于 a 撇、 c 撇，所以三角形 abc 全等于三角形， a 撇、 b 撇、 c 撇，全等条件是边边边。而在我们构造出来的这个三角形当中，它有一个角， c 撇是等于九十度的，所以 三角形全等，那么对应角就相等，所以角 c 就 会等于角， c 撇等于九十度，所以在前面的这个三角形当中， 所以三角形 a、 b、 c 为 r、 t 三角形就可以了。那它这里也写了比较详细的证明过程，大家可以一个步骤一个步骤看过去，知道吧？那这样我们可以我们证明了勾股定律的逆定律是正确的， 它也是一个定律，就叫做勾股定律的逆定律，它是判定直角三角形的一个依据。 例题一，判断由线段 abc 组成的三角形是不是一个直角三角形。第一个， a 等于八， b 等于十五， c 等于十七。好，我们来算一下， a 等于八，那么 a 的 平方就会等于八的平方，等于六十四，然后 b 等于十五，所以 b 的 平方就会等于十五的平方，等于二百二十五， 然后是 c， c 等于十七， c 的 平方就会等于十七的平方，等于二百八十九。我们来看一下，那么 a 的 平方加 b 的 平方是等于六十四，加上二百二十五的，它正好等于二百八十九， 所以 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，所以四直角三角形。 再看第二个它，这里 a 等于，这里，注意，我们一定要拿这个最长边当做斜边，知道吧？好，这里的 a 等于十四，那么 a 的 平方就等于十四的平方，它就会等于一百九十六， 那 b 的 平方 b 是 等于十三，所以 b 的 平方会等于十三的平方等于一百六十九，就是 c， c 等于十五， c 的 平方等于十五的平方等于二百二十五，我们加一下 a 的 平方，加 b 的 平方就会等于一百九十六，加上一百六十九，它加起来等于三百六十五。 哎，你看 a 平方加 b 平方等于三百六十五，而 c 的 平方等于二百二十五，那么这里我们写一下，因为三百六十五，它不等于二百二十五，所以 a 的 平方加上 b 的 平方不等于 c 的 平方，所以不是直角三角形， 只要它不满足勾股定律当中 a 平方加 b 平方等于 c 平方，这个是指它就不是直角三角形，如果满足它就是直角三角形。 来看到练习判断由线段 abc 组成的三角形是不是直角三角形，这里有四个，一个一个来算， 第一个最长边是六，对吧？另外两个算一下他们的平方，四的平方加上五的平方，四的平方等于十六，五的平方等于二十五，加起来等于四十一，而六的平方是等于三十六的，对不对？所以我们可以得到这个 a 的 平方加上 这个四十一是不等于三十六的，所以 a 的 平方加上 b 的 平方不等于 c 的 平方，所以它是不是直角三角形呢？所以第一个就是不是 再看第二个，这里我们也要算一下才知道最长边是二点五，对吧？我们就算两个短边的平方，二点四的平方 加上零点七的平方，二点四的平方等于五点七六，零点七的平方等于零点四九，加起来等于六点二五，我们再算二点五的平方，二点五的平方，它是等于六点二五的，对不对？所以我们这里可以得到 这个六点就可以得到他的平方，他们两个的平方加起来等于他的平方，所以二点四的平方加上零点七的平方等于二点五的平方。他满足勾股定律，所以他就四直角三角形， 再看第三个，那注意这一个才是最长的，分子相同的情况下，对吧？分母越小，它的分数值就越大啊，当然前提条件它是正数，对吧？好，分子都是一，所以这个是最长的，所以我们要算的是四分之一的平方 加上五分之一的平方啊，四分之一的平方等于十六分之一，五分之一的平方等于二十五分之一。通分一下，他们的最小公倍数是四百，那么加起来的话，他们就等于四百分之四十一， 而再算三的平方，三分之一的平方，三分之一的平方等于九分之一，很明显，四百分之四十一他是不等于九分之一的，对不对？所以我们可以得到五， 这个四分之一，往那边移点啊，四分之一的平方加上五分之一的平方，他不等于三分之一的平方，所以他是不是直角三角形呢？就不是。 再看第三个啊，第四个最长边是什么？根号三，对不对？那我们就要算什么呀？我们就要算 一的平方加上根号二的平方，他们加起来呢？是等于一加二的，一加二就等于三，而根号三的平方也等于三，对不对？好，所以我们可以得到一的平方加上根号二的平方等于根号三的平方，所以它是一个直角三角形，所以 它是不是直角三角形？回答是就可以了。如图，以三角形 a、 b、 c， 它的三条边为直径，分别往外画三个半圆，这三个半圆的面积分别是 s 一、 s 二和 s 三， 如果它们满足 s 一 加上 s 二等于这个 s 三的话，判断三角形 a、 b、 c 是 不是直角三角形，并且说明理由。 我们要判断一个三角形是不是通过他的三条边判断他是不是直角三角形，你就看他的两条短边平方加起来能不能等于长边的平方。也就是说，我们最终的目的是要求出 ab 的 平方加上 bc 的 平方等于 ac 的 平方，你就可以直接判定 它是一个 r、 t 三角形 abc 了啊，就是直角三角形 abc。 接下来我们就根据面积公式算一下这个 s 一 啊，它是以 ab 为边长的，它以 ab 为直径的，它的面积 就会等于这个圆的一半圆的面积等于 pi r 平方。 然后呢，它是半圆，所以我们还要乘个二分之一，所以它等于二分之一 pi， 它这个时候的半径 a、 b 是 直径，那半径就是 ab 的 一半 平方。打开二分之一 pi 乘上四分之 a、 b 平方，你拿这两个分数，一乘二分之一乘四分之一等于八分之一，它就会等于八分之一 pi 乘 ab 的 平方。同样的道理，我们在算 s 二， s 二是以 bc 为直径的圆的一半，所以它会等于二分之一 pi， 而平方等于二分之一乘上 pi 乘上 bc 的 一半做半径，平方等于二分之一乘 pi 乘上四分之 bc 的 平方， 二分之一乘四分之一等于八分之一 pi 再乘 b、 c 的 平方。好，最后一个就是 s 三，它也是二分之一 pi r 平方啊，也是整个圆面积的一半，它就等于二分之一。乘上 pi 再乘上 a、 c 的 一半做半径，半径要平方，所以等于二分之一。乘 pi 乘上四分之 a， c 平方就等于八分之一 pi 乘 a、 c 平方好了，那么在代入这个式子当中算一下，因为题目条件告诉我们， s 一 加上 s 二等于 s 三，所以我们可以一一对应八分之一派 乘 a、 b 的 平方加上八分之一派，乘 b、 c 的 平方再减等于 八分之一派 ac 的 平方，那么由于它这些边长的平方前面的系数都是八分之一派，所以我们两边同时除掉一个八分之一派，那么这个式子它就只剩下 ab 的 平方加上 bc 的 平方等于 ac 的 平方。满足勾股定律，我们就直接说它是一个直角三角形就可以了。

翻到课本三十六页，我们来看一下勾股定律的逆定律如何解决一些实际问题。 a t r 如图所示，港口 p 位于东西方向的海岸线上，远航号和海天号它们的这个轮船同时离开港口， p 各自沿着一个固定的方向航行，也就是说它们的这个方位角是不变的。远航号每小时航行十二海里， 它们离开港口一点五小时之后，分别位于点 q 和点 r 处，并且相距三十海里，这个之间相距三十海里， 然后这个海天号每小时航行十二海里，它是十二海里，那么航行了一点五小时，我们先可以把 pr 求出来， pr 就是 一点五，乘上十二海里，它就会等于十八海里，所以 这就是十八。然后 p q 的 话，这个远航号每小时航行十六海里，也是一点五小时，那我们就写这个 p q 等于一点五，乘上十六，它等于二十四海里， 这里是二十四，他问的是什么呢？他说如果这个远航号沿着东北方向，那么东北方向是正东北方向，也就是东北方向的角平分线，也就是可以通过这个条件可以得到角一等于四十五度， 这个角是四十五度，那么海天号沿着什么方向航行呢？ 那这个沿着什么方向？那我们就可以尝试着用这三边关系看看能不能构成勾股定律的逆定律，判断它是九十度，如果它是九十度的话，用九十度减去这个四十五度，就可以得到角二，也是四十五度了，对不对？好，我们来写一下 这个 p r 的 平方加上 p q 的 平方，它会等于十八的平方加上二十四的平方，十八的平方等于三百二十四， 二十四的平方等于五百七十六，加起来是等于九百的，而这个 p q 的 平方，它是等于三十的平方，也等于九百， 所以 p r 的 平方加上 p q 的 平方等。哎，写错了啊，不对， r q 前面写错了，这里是 r q 等于 r q 的 平方， 所以我们可以得到角 r p q 等于九十度，所以这里是一个九十度，它既然是九十度的话，我们这个角二， 所以角二等于九十度。减去角一也就等于九十度。减去四十五度，它就等于四十五度，所以角二等于四十五度。上北下南，左西右东，这里是北，这里是南， 左西右东。好，那么它是北偏西四十五，北偏西四十五度，那么也就是西北方向，所以海天号沿着什么方向航行，所以我们这里最后再说一下，海天号沿着 西北方向航行 就可以了。大家看到例题三，如图所示，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， ab 等于五， bc 等于三， ad 等于三分之五， c、 d 等于三分之十三。如果 a、 c 垂直， b、 c 判断 a、 c 与 a、 d 是 否也垂直，并且说明理由。好，我们这里有一个直角三角形，因为这里是一个九十度，所以我们可以直接用勾股定律把 a、 c 算出来，再通过勾股定律的逆定律判断 这个角是不是九十度就可以了，对不对？这个就是思路，好吧，好，因为这个 a、 c 是 垂直， 是垂直 bc 的， 所以这个角 a、 c、 b 是 等于九十度的，那么在直角三角形 a、 b、 c 当中，我们就可以用勾股定律了，对吧？这个 a、 c 的 平方 就会等于 ab 的 平方，减去 bc 的 平方就等于五的平方，减三的平方 等于十六，所以 a、 c 就 等于四。好， a、 c 等于四，我们求出来了，再用勾股定律判断一下啊，用勾股定律的逆定律，好吧，好，我们来算一下。 因为 a、 c 的 平方加上 ad 的 平方等于四的平方，加上三分之五的平方，它就等于十六，加上九分之二十五，合并起来就等于九分之一百六十九。 那么再看一下 c、 d 的 平方， c、 d 的 平方等于三分之十三的平方，也等于九分之一百六十九啊，所以 a、 c 的 平方加上 a、 d 的 平方等于 c、 d 的 平方。 所以我们就说三角形 a、 c、 d 为 r、 t 三角形， 则这个角 d、 a、 c 就 等于九十度。好，这个角等于九十度了，所以这个 a、 c 就 垂直 a、 d。 好， 这样写就可以了。 再来看到练习 abc 三、 d， 它两两的距离如图所示， a、 d 在 b、 d 的 正东方向， a、 d 在 b、 d 的 正东方向，也就是说它实际上呢，是把这个 b 点当做中心了啊。咱们来画个轴， 这个是东西方向，那这里画下来的话，其实就是南北方向啊， 因为这道题里面已经没有其他角度的提示了，所以我们唯一能判断的就是要判断出这个角 b， 它等于九十度，那这样的话，这个 c、 d 就 在 b、 d、 b、 d 的 正北方向啊，因为上北下南， 左西右东。好，你分析完之后，那接下来就是证明这个角是九十度了，怎么证明呢？ 它这里围成了一个三角形，它的三边都告诉我们了，所以我们要判断呢，就是通过勾股定律的逆定律去判断它是一个直角三角形就可以了，对不对？好，直接写在三角形 abc 当中。先算两条短边的 bc 的 平方 加上 ab 的 平方加上十二的平方，那么它就会等于二十五，加上一百四十四等于一百六十九。 然后再看 a、 c 的 平方， a、 c 的 平方等于十三的平方就等于一百六十九，所以 b、 c 的 平方加上 a、 b 的 平方等于 a、 c 的 平方，满足勾股定律对不对？我们就直接说，所以三角形 abc 为直角三角形， 它是一个直角三角形，所以角这个 a、 b、 c 就 等于九十度。再说，所以这个 c、 d 在 b、 d 的 正北方向 就可以了。第二题，高师傅有五根长度分别为六、八、十、二、十四和二十六的钢条，这些钢条的单位都是分米， 准备选三根焊接成一个直角三角形的钢架。请你帮高师傅找到所有可能的钢条组合，这里把，要把所有的组合全部找出来，那我们就要先把他们的平方全部算一下， a 的 平方等于六的平方等于三十六。我们这里最关键的就要找到什么呢？就要找到 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方，但由于这道题里面有 abc， 所以 我们这样写的话容易有歧义，知道吧？好，我们先写 a 的 平方等于六的平方等于三十六， b 的 平方等于八的平方就等于六十四， c 的 平方等于十的平方等于一百 d 的 平方等于二十四的平方，它就等于五百七十六， e 的 平方等于二十六的平方，它就等于六百七十六。我们看一下哪两个相加会等于另外一个，这两个相加会等于正好等于一百，你看 a 的 平方加 b 的 平方等于一百，哎，你看是不是和 c 的 平方相等啊？ 所以 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方，所以其中有一个组合，第一个组合就是 a 等于六， b 等于八， c 等于十，这三个可以 组成直角三角形。 好，那么第二组再找一下，有哪两个相加行不行？哎，这两个相加行不行 啊？这两个相加行不行？你看这两个相加正好是可以的，对不对啊？因为 c 的 平方加上 d 的 平方等于一百，加上五百七十六，正好等于六百七十六， 而这个 e 的 平方也等于六百七十六，所以 c 的 平方加上 d 的 平方，所以第二个组合就是 c 等于十， d 等于二十四， e 等于二十六，这个一组也可以组成直角三角形。 好，还有其他的吗？没有了啊，再找的话就找不到了，只有这两个组合。 第三题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， ab 等于三， bc 等于四， cd 等于十二， ad 等于十三。我们一个一个标上去， ab 等于三， bc 等于四， cd 等于十二， a、 d 等于十三角， b 等于九十度，那给我们标上，求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，求它的面积，它不是特殊的四边形， 比如说长方形，你可以用长乘宽，如果是平行四边形，你可以用底层高，对不对？但是它都不是，那怎么办呢？那我们就把它分割成两个三角形来算，对吧？先把 a、 b、 c 算出来，再算 a、 c、 d， a、 b、 c， 它是直角三角形，好算，底和高直接可以看得出来，但是 a、 c、 d 这个三角形能不能直接看出来呢？其实你也大概能看出来，只是你不确定这里一定是九十度，所以我们要用勾股定律的逆定律去证明一下它，这个是九十度就可以了。怎么证明呢？先把 a、 c 算出来， 在 r、 t 三角形 a、 b、 c 当中啊，这个 a、 c 会等于 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方再开方啊。负数要舍去， 所以它就会等于三个平方加上四个平方，开方就会等于九。加十六开方就会等于根号二十五，就会等于五，所以 a、 c 等于五， a、 c 等于五。之后你再看这个三角形， 在三角形 a、 b、 c 当中啊， a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方等于五的平方，加上十二的平方等于二十五，加上一百四十四，等于一百六十九，而这个 a、 d 的 平方 等于十三的平方，也就等于一百六十九，所以 a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方会等于 a、 d 的 平方，所以这个三角形 a、 c、 d 为直角三角形， 所以角 a、 c、 d 等于九十度，那么这个四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，它就会等于三角形 a、 b、 c 的 面积加上三角形 a、 c、 d 的 面积，这个九十度我们已经求出来了，标一下， 那么它们的面积呢？这个三角形就等于底层，高除以二就三乘四除以二，就会等于二分之一，乘上五，再乘十二，三四十二除以二等于六， 这里一乘等于六十六，十除以等于三十，所以加起来就等于三十六。看一下题目里面给有没有给单位，没有给单位，它的四边形面积就是三十六就可以了。