六下正比例教案反思

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的反比例。前面我们学习了什么叫正比例的量， 什么叫正比例关系，还记得吗？两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。只要两个量的比值一定，并且是相关联的，那么这样的两个量就是成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。 那如果用式子表示正比例关系， y 比 x 等于 k， k 一定就证明这两个量的比值一定，所以成正比例关系。既然有正比例，那一定就有 反比例。那什么叫做反比例的量和反比例关系呢？一起来看。例二，把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器。容器的底面积与水的高度的变化情况如下表， 容器的底面积是十平方厘米，水的高度是三十厘米，容器的底面积十五平方厘米，水的高度二十厘米，底面积二十高十五。底面积三十高十，底面积六十高五。 你们发现了什么？对，随着底面积的增大，我们发现水的高度在逐渐的变小。那好，请根据上表回答下面的问题。第一，表中有哪两种量呢？对，一个是容器的底面积，另一个量是水的高度。 那么水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的呢？大家观察表格，在体积不变的情况下，底面积越来越大，而水的高度却是越来 越小，所以我们得到水的高度随着容器的底面积变大而不断变小， 计算相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？我们一起来看，底面积是十，高度是三十，体积三百，底面积十五，高度二十，体积三百，底面积二十，高度十五， 体积三百，三十乘十三百，六十乘五三百。孩子们，你们发现了什么？我们发现他们的乘积都是三百， 那这个三百他表示的是什么意思呢？对，实际上就是倒入容器的水的体积，体积不变，那么用式子表示他们的关系就是底面积，乘高度等于体积， 体积一定，底面积不断的增大，水的高度逐渐的减少，但是他们两个的乘积一定。像这样 两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做乘反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 判断两个量是不是成反比例关系，我们要看什么？对这两个量的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量，他们的关系就叫反比例关系。在上表中，高度和底面积这两个量就是成反比例的量， 高度与底面积之间的关系就成反比例关系。那如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积，乘积一定反比例关系，那我们就可以用这样的式子来表示， x 乘 y 等于 k， k 一定，乘积一定，就证明这两个量成反比例关系。那根据反比例的意义，孩子们，你能举出生活中乘反比例关系的例子吗？ 来看，小梅举了，如果长方形的面积一定，长与宽乘反比例关系是这样的吗？我们知道，长乘宽等于长方形的面积， 面积一定，那就是长和宽的乘积一定，所以长和宽乘反比例关系。小兵举出例子，如果总价一定，价价与数量乘反比例关系正确吗？因为单价乘数量等于总价， 总价一定，那就是单价和数量的乘积一定，所以单价和数量成反比例关系。孩子们，你还能举出生活中哪些成反比例关系的例子呢？ 好了，孩子们，我们学习了正比例关系和反比例关系，那么他们之间有什么相同点和不同点呢？接下来我们来比较一下， 不管是正比例关系还是反比例关系，他们的相同点都是都有两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，那他们的不同点呢？ 正比例关系，两种量中相对应的两个数的什么一定对比值一定，而反比例关系呢？两种量中相对应的两个数的乘积一定。正比例关系用字母来表示就是 y 比 x 等于 k， k 一定，就是比值一定。 反比例关系用字母表示就是 x 乘 y 等于 k， k 一定。两个量的乘积一定。所以两个相关联的量， 判断他们是成正比例关系还是成反比例关系，关键看什么对，是比值一定还是乘积一定？ 好了，孩子们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？首先，我们理解了反比例的意义和反比例关系。另外会判断两种量是否成反比例关系。两个条件，第一， 两种量相关联，第二，两个量的乘积一定。接着我们还根据反比例关系能够解决生活中的实际问题，大家继续思考。正比例关系的图像还记得吗？是从原点零零发出的一条射线， 那么反比例的关系图像会是什么样子呢？请孩子们阅读课本第四十六页，你知道吗？这一部分内容相信你一定会有新的收获。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例第二章节正比例和反比例的第一课时。正比例来看例，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系，如下表，数量一米，总价三点五元， 两米七元，三米十点五元，四米十四元等等。根据给出的这个表格，我们回答下面的问题。 第一问题，表中有哪两种量？一种是数量，一种是总价，所以有数量和总价两种相关联的量。这两种量有什么样的关联呢？我们仔细观察，随着数量的增加，总价呢 也在增加，那随着数量的减少，总价也在减少。是的，数量增加，总价增加，数量减少，总价也减少。第三个问题，相应的总价与数量的比分别是多少？ 比值是多少？总价与数量的比，那就是三点五比一，七比二，十点五比三，十四比四，它们的比值分别又是多少呢？三点五比一等于三点五， 七比二，比值三点五，十点五比三，比值三点五。那么其他的呢？孩子们，你来算一算，他们的比值分别是多少？是的，这些总价与对应的数量的比值都等于三点五。 那么比值三点五，它表示什么意思呢？总价与数量的比值，它就实际上就是彩带的 单价。如果用式子来表示总价、数量，单价，他们之间的关系就是总价比，数量等于单价，并且单价一定。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量， 他们的关系叫做正比例关系。那根据上面的表格，总价和数量，它就是乘正比例的量。 总价和数量，它们两个的之间的关系，那就成正比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，并且比值一定，那么正比例关系可以用下面的式子来表示，那就是 y 比 x 等于 k， k 一定，也就是比值一定。大家继续思考，成正比例的两种量必须具备哪些条件呢？ 第一就是两种量必须相关联，一种量变化，另一种量也随着它的变化而变化。第二，两个量的比值一定。这时候我们就说这两个量成正比例关系， 那上表中的数据啊，我们还可以用图像来表示，数量是一米，它的总价三点五元。数量二米，总价七元。数量三米，总价十点五元。数量四米，总价十四元。接下来我们把五米、六米、 七米、八米他们所对应的总价秒点，然后把这些点连线，根据这个图像你发现了什么？我们发现正比例关系的图像是一条从原点零零出发的无限延伸的射 减。根据图像我们来看第二题，把数对十三、十五和十二、四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？十和三十五对应的是这个点， 十二、四十二对应的是这个点，然后我们把它们连起来，发现了什么？ 对，这两个点也在这条射线上，因为任何一个点，它所对应的总价和数量的比值都是单价，单价一定，所以它们都在一条射线上。接着看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 注意，不计算买九米彩带的总价，那我们找到九米，他所对应的总价就是和这条射线的交点，那这个点就是九米，三十一点五元。 那如果买四十九元，他和这条射线的交叉点对应的是十四米， 所以是十四米，对应的是四十九元，所以买九笔彩带总价是三十一点五元，四十九元能买十四米彩带。有了图像 不计算，我们就可以直接找到它们对应的量。第四题，小明买的彩带的米数是小丽的二倍，他花的钱是小丽的二倍，他花的总价也是小丽的二倍。 也可以根据总价比数量等于单价，可以知道，数量扩大了两倍，所以他们的总价也扩大到原来的两倍。因为单价不变，所以他花的钱也是小利的二倍。 那除了刚才我们的总价和数量，两个量成正比例关系。孩子们，你能举出生活中正比例关系的例子吗？小明举出了正方形的周长与边长成正比例关系，你同意吗？ 正方形的周长等于边长乘四，所以周长与边长的比值就是四，四一定，那么周长与边长就成正比例关系。小红说，如果汽车行驶的速度一定，那么路程与时间成正比例关系。 路程比时间等于速度，当速度一定的时候，那么这两个量就成正比例关系。王老师也给大家带来了几道题，判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。孩子们，请你按下暂停键，快速试一试吧！ 王老师相信这三道题啊，一定难不住大家。好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们理解了正比例的意义和正比例关系， 并且会判断两种量是否成正比例关系。了解了正比例关系的图像，不用计算就会直观的判断两种量的变化情况，并且根据规律我们会解决生活中的实际问题。孩子们，你学的怎么样呢？

同学们都喜欢猜谜语吧？喜欢，那下面就请同学们看图来猜几个成语。第一个，谁来猜？ 云龙玉，我认为这个成语是水涨船高，正确。第二个，刘雨涵，我认为这个词语是水啊，不对，风吹草动，你说，我认为这个成语是风吹草动，非常棒。第三个，卢爱文，我觉得这个成语是水滴石穿，同意吗？同意同意，真聪明。 那么我有问题要问，水涨船高，风吹草动，水滴石穿，这几个成语有什么共同特点？谁想说？刘永正， 每个成语中呢？都有两种事物，一种事物变动，那种事物也随之而变动。谁还想说？刘子瑜，这个每个成语里都有两种事物，前一个事物变动，后一个事物也随着它就变动，别人还想说吗？ 徐亚威，每个成语中都有两种事物，它们都是一个事物变化，另一种事物也随着变化。说的真好，像这样 一种事物变化，另一种事物也随着变化，我们就说这是两种相关联的事物，在数学里我们把它叫做两种相关联的。 接下来各组拿到的是这两张表格中的其中一张，然后我们采取同桌两人合作的方式，你们拿到哪张？就依据这个讨论提高 来进行讨论和研究。听清要求了吗？听清了，好，现在拿出你们的表格，先讨论你们组的研究成果。王海涵，林总，我们研究的是表中有数量和总价两种相关栏的量。好， 我们先来看他们组填的正确不正确？正确，同意吗？同意，每组研究也是这一章，你对答案都一样吗？一样。是啊，那你们组发现了什么规律？给大家来介绍一下，我们发现总价是随着数量的变化而变化， 数量扩大，总价也随着扩大，那你这时候就是从左从左往右看，从右往左看，数量缩小，总价也随着缩小。我们找出了三组相对应的总价与数量的比，它们分别是三点五比一，七比二， 十点五比三，我们发现它们的比值都是三点五。那，那老想问比值三点五它表什么意义？三点五表示彩蛋的单价，同意吗？同意。 那么你们能解释一下是怎么得到这个位置的？因为这个总价除以数量是单价，这里面所有的单价也就是比值都是三点五，那么我们就发现总价比上数量等于单价，单价一定 看了吗？看了，左右那词非常好，你别别，别停。好，一定的意思就说明什么？你与数量的比值都一样，一样，那个比值就是单价，所以就是单价一定定， 听懂了吗？嗯，好，必须得标示单价一定这两个字，听清了吗？听懂了。那么你们各组这一项相对应两个数的笔都是写的这几组吗？ 还有不同的吗？明明上您都写的什么？您都写的是七比二等于十四比四等于十七点五比五等于三点五，还有不同写法吗？ 刘毅，我们组写的是十四比四等于十七点五比五等于二十一比六等于三点五，可以吗？可以可以。那我想问我写二十八比六可以吗？ 不可以，怎么不可以？因为这俩不对应，不对应他们的比值就不可能是三点五，比值就变了，是不是？是真好， 同意他们的观点吗？同意，好，非常棒。请回。还有哪组研究的是刚才的第二张表格的这几组，魏梦琪代表你们组来给大家介绍一下。好， 我们先来看他们组填的对不对？对，同意。好，阿妈，你们发现的规律，给大家讲一讲，我们组所研究的表中有时间和路程这两种相关联的量， 我们发现路程是随着时间的变化而变化的，从左往右看，时间扩大，路程也随着扩大，从右往左看，时间缩小，路程也随着缩小。 我们写出了三组两种相关联的量的比，他们是八十比一，一百六十比二，二百四十比三，他们的比值都是八十，这个平方时 比之八十实际上就是速度，用一个式子来表示，他们的关系就是路程比时间等于速度。速度一定 同意吗？同意，都同意，每组研究的跟他们两组研究结论一样。举手。好，请放手，有的组没举手是吧？因为我刚才从下面来，你们请回收集了一张，你们看一看， 这是哪组的？举手，刘伟峰，银组的，你们看他们跟刚才那组哪不同了吗？哪不同？他们这什么两种量中相对应了两个竖的比，你看跟那组整相反。对，刚才我们是用路程比时间，现在是用时间的这种， 你们看整体这样比得八十分之一。可以可以，那八十分之一。刘伟峰，你告诉我们八十分之一表示什么？ 表示单位时间内，单位路程内的时间，对吗？对对对，一起得到这样的认知都可以，其实是非常的灵活，不过为了方便，我们是尽量用什么路程。时间等于速度，速度好，这个是刚才同学们的讨论， 这两张表的结论现在我放在一起，请前后四人一组对比一下这两个表，看看他们有什么共同特点，可以吗？可以。好，开始。宋佳琳， 每张表中的两种量都是两种相关联的量，同意吗？对，并且他们一总量扩大，另一种量也随着扩大，一总量缩小，另一种量也随着缩小，同意吗？同意啊，还想说，还知道这两种量中两种量中相对应的两个数的，他们的比值一定对？对对， 并且他们还能用数量关系式来表示，都能形容数量关系式，他一人都给包了，哈哈，因为这个一看我们就清晰的看出来了，是不是对好。那么重点是，我们由此就能得出 下面的结论，两种预备起两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个 数的比值一定，这的两种量就叫做正正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 好极了，这个就是我们今天要来学习的正比例的意义。这个概念好长，是吧？那从这一段话中我们概括一下 正比例有哪些特征呢？谁来试试？邱雨涵，正比例有两种相关能量，一总量随着另一种量的变化而变化，并且他们两个数的比值一定好，请说同意吗？同意。他刚才说了哪几点 你还记得吗？三点。第一点是什么？你说都有两种相关变量，好，我们给它简化一下两种变量，同意吗？同意。那第二种特点找对。再补充一下，周嘉联，他们的变化方向相同，怎么个相同法？ 同时扩大，同时缩小？好，我们能不能减记四个字，同错同错，真好，好，第三个一起说，比十一更漂亮，他们的比六好，这三个就是我们正比例的，能记得住吗？能减个正比例的一， 那下面这个关系式，我可以这样说，彩带的单价一定总价和数量是成正比关系，总价与数量成正比关系。好，仿照这个说法，谁能看着这个关系式来说一下。说一段话， 柴子曰，汽车行驶的速度，一定路程和时间成正是成正比例的量，路程和时间成正比例关系，所以成正比例的量肯定是几种量，两种是两种相关问题的量，你们知道吗？ 正比的关系我们还可以用图像来表示。好，这是我们认识的方格图，你们看，这是我们刚才研究的其中之一。那个表，好，那现在我们用横轴表示什么？彩带数量，纵轴表示彩带的总价。好， 现在我们把表中这两种相关联的量，每组相对应两个数看，做一个数。对，仿照我们原来学过什么折线，懂地图的那个描点方法，在这个方格图上描点，你们会吗？会，好，现在开始动作非常快。 那我们来看看这个是这样描的点吗？第一个点，嗯，第二个是这样找的吗？对，是一共你们描了几个点？八个，谁对了？举手示意，哼，真棒，请放手！那喵想问你知道每个点在图片的每个点表示什么吗？ 表示什么吗？每个点都表示什么？方一涵，每表示每个数量对应的总价也是总价对应的数量，也就是说都是什么数量，数量和总价什么对应的数值，对应的一组数值，对吗？朋友们，好极了，现在 你们看这是零点，用哪个数？对，表示零零零。好，那请问 这个零零表示什么？你知道吗？第一个零表什么连？是宝，表示数量。说全了，第一个零，第一个零表示总价并数量。同意吗？你才来的，数量来的。好，那同样第二个零， 这样呗，这样呢？您表示总价呗，对吗？对，好极了。那下我请你们用尺把这些刚才你描的点顺次连接起来，连完了，非常棒，看一下谁是这样连的？你们都这样连的，请放手。 可是题里没有给零零那点，你们怎么把这也连上了？因为什么吗？因为虽然这个零零点没有数，但是它仍然表示这个总价和数量的对应关系。好，你请坐。 他的意思就说什么，虽然题里没给这数据，但是这个事存不存在？数量为零，那总价就为零，不存在。所以我们连线的时候一定要从 原点从这开始连到你要最后那一点。好，那么你发现什么了？你连起来之后怎么样？那线，这是一条什么线？断？ 那现在我们来看瞄这两个点十，你们看我在这，对吗？对，那我们看对不对？同意吗？同意，下一个， 同意吗？同意。好，那下一下一个，你明白吗？把上面图像连起来，你看我并延长了，对吗？对，好，那这时候你发现什么？正比例图像你发现了吗？它其实是刘伟峰，正比例呢？其实是一条经过人民检的射线，同意吗？ 非常棒，一起读一遍。正比例图像是一条从零点它的无限延伸的射线，它能无限延伸，而且是一条射线 从零点出发。好，还要知道这条线上所有点所对应的两种量的比值怎么样？下降的都是三点，对吗？能理解吗？嗯，好，下面我们列一下，根据图像判断，不请计算。 如果买九米彩带总价是多少？九米在这呢，谁能快速判断出来？ 李子环总价应该是三十一点五，同意吗？同意。那下面四十九元能买多少米彩带？你看四十九， 对，对，这数量应该是多少，看出来了吗？过延时十四，同意吗？同意，非常棒。好， 下面小童买的彩带米数是小华的两位，我们假设小华买的是四米，那小童买米。好， 那我们再看这个，这是什么小童呢？买两件。那你看小童的总价应该是多少？二十八，二十八，是不是十四的？对，二十六。好，我们再看一个， 如果买六米，下一个应该买十二六，对的是总量是二一一，下一个十二， 对的总量应该是十二。真好。说明什么问题？数量，你看数量，一个一个人数量是另一个人数量的几倍，那他的总量，这个是另一个人的特别，真好。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例。上课之前，我们先来看一个式子，速度等于路程除以时间，其中路程和时间之间有关系。 在数学中，我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做相关联的量。 我们之前还学过总价除以数量等于单价，这个式子中，我们可以说总价和数量是相关联的量。 还有工作总量除以工作时间等于工作效率这个式子中，我们可以说工作总量和工作时间是相关联的量。 还有一本书看来的页数加剩下的页数等于总页数，这个式子中一本书看来的页数和剩下的页数是相关联的量。 好啦，了解完什么事相关联的量之后，我们来看书上的利益。题目中说，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系如下表，我们根据这个表格来回答一下几个问题。 来看第一个问题，表中有哪两种量？表中有两行，第一行表示的是数量，第二行表示的是总价，所以表中的量是数量和总价。 再来看第二问，总价是怎样随着数量的变化而变化的？我们来看表格，数量是一的时候，总价是三点五。数量是二的时候，总价变成了七。 数量是三的时候，总价变成了十点五。所以当数量慢慢增多的时候，总价也在随着相应的增加， 也就是说数量越多，总价越高。再来看第三问，相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？我们先来看相应的总价与数量的比， 当总价是三点五元时，数量是一米，所以第一组总价与数量的比是三点五比一，也就是 一分之三点五，以此类推。第二组是二分之七，第三组是三分之十点五，第四组是四分之十四，第五组是五分之十七点五， 第六组是六分之二十一，第七组是七分之二十四点五，第八组是八分之二十八。 再来求比值，因为总价除以数量就求出来它们的比值，求出来比值都是三点五。求比值的时候是让总价除以数量，而总价除以数量求出来的是单价， 所以比值三点五实际上就是彩带的单价，用式子表示，就是总价除以数量等于单价。 像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 那到底怎样判断两种量是否成正比例关系？那到底怎样判断两种相关联的量的比值是一定的， 所以我们要判断是否是正比例关系，我们要先求出来它们的比值，如果比值一定，它们就成正比例关系。如果比值不一样，它们就不成正比例关系。 我们来看简单的记法，如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，这里的比值是一定的。正比例关系可以用下面的式子来表示， 也就是 x 分 之 y 等于 k， 这里的 k 是 具体的值。好啦，了解完什么是正比例关系之后，我们来看一道题。这道题说下表示小林家去年上半年每月用电量情况来看，第一问 分别写出个月电费与用电量的比，比较比值的大小来看，第一个月电费是六十元，用电量的 用电量是一百二十千瓦时，所以他们的比是六十，比一百二十。 第二个月的比是六十五，比一百三十。第三个月的比是五十五，比一百一十。第四个月的比是六十，比一百二十。第五个月的比是六十五，比一百三十。 第六个月是七十五，比一百五十，他们求出来的比都是零点五，所以他们的比值是相等的。再来看第二问， 说明这个比值表示的意义，因为我们求比值的时候是电费除以用电量，而电费除以用电量求出的是用电单价，所以这个比值表示的就是用电单价。 再来看第三问，电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么 在第一问中我们已经求出来电费和比，在第一问中，我们已经求出来电费和用电量，它们的比值是一定的，所以它们成正比例关系。好了，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

是什么？我觉得黄老师会考虑路程量，选校的时。呃，选校的时间 好，也就是路程，速度和时间。那他们之间的数量关系是什么？速度等于路程，除以时间。除了关注这一个数量关系以外，刚刚有个同学提到了黄老师会比较关注和油价有关的， 那就是涉及到的数量关系是金钱。总价，总价，总价和单价数量。对了，那就是单价数量不占，单价等于 总价除以数量，单价等于总价除以数量。好，这是黄老师一次加油的一个视频，那请你仔细看一看这个视频，请问你看到了哪两个量的什么变化趋势？ 好？谁来回答一下？ 哪两个料的什么变化趋势？请你来油量和金龙。好，我们在上面看到了油量和金龙。那你还发现了什么？不变的量没有 三价。哎，很好，在我们的加油视频当中，有一个料始终是没有发生变化的。三价三价没有发生变化， 那变化趋势是什么呢？油量和金鹅它在变化。变化趋势是什么？好，杨明熙， 从低到高，从低到高。我没听太明白，谁能把这一个变化趋势说的让我能听得更明白更细致一些？ 油价上升还是谁上升？油量 谁在上升？金额金额在上升，金额上升是因为谁上升了？流量？对，好，请坐。那这里就是当我们的油量越来越上升的时候，金额就会越来越高。那所以这两个量是哪两个量呢？ 数量是什么数量？来两个量，总价数量和总价，也就是这个具体视力当中的油量和心和。 那这两个量是不是单独来发生变化的？不是不是，不是，是因为有， 我们要 x 变化，才会有肌肉力量的变化，所以我们在表示变化趋势的时候，我们要表述的更加的完整， 也就是随着一个量增加，另一个量也会增加。哎，那除了这样的变化趋势，那我们的实际生活当中还会有其他的变化趋势吗？ 想一想，这里是随着一个量的增加，另一个量增加，还有没有其他变化趋势？ 好，你来买文具，嗯，高速变化趋势，随着 市场，你买一支钢笔的话三块五，买两支钢笔的话就是七块，所以越来越高，那也是随着数量的数量，数量的增加，金额也增加。 好，相同的变化趋势，我们暂时先不讨论还有没有其他的变化趋势。 油墨和铅笔，嗯，但你刚用笔买了一支笔，嗯，你用过笔，假如那支笔也是铅笔， 你这个千米十厘米用多少厘米？他剩下的量就跟你比啊，那就是随着一个量的增加，另一个量反而在减少。哎，那我们刚刚发现了两种变化趋势，一个是随着一个量的增加，另一个量在增加。刚刚 各位同学提到了，随着一个量的增加，反而另一个量在减少，那还有没有其他的呢？那我们就从下面的几个具体情境当中，我们来找一找，发现一下。 请拿出你的学习单，读清楚我们的学习要求，先独立思考三分钟，然后小组合作四分钟，完成学习单的分类要求开始， 请自己把握时间。 老师， 你们在写变化趋势的时候，黄老师刚刚提醒大家了，要表示完整，那就是一个谁在增加，另一个量也在怎么样？ 但是其实这个就是一个亮晶晶，那么一个亮晶晶的小姐姐， 我发现难点都在第二上面，那我给大家一个小提示，这个 r 是 一个什么工具呀？收藏，谁的收藏工具？我的东西。好，那它应该属于哪一类呢？仔细想一想，继续 好吃。好， 你讲一下， 看这里树上的是边角，角角角有一个吗？有，对啊，那这个是什么？ a 是 什么？ a 是 什么？ 这是正方形，边长边长角， c 代表的是周长，等于边长乘四。好，再想一下 啊，现在这个时间大家可以讨论一下，有同学已经出来了，但有同学可能还没有想法，听听别人怎么说的。犀利， 我发现了，有好几个同学已经能够第一次， 嗯， 就是， 哎呀 啊，抓紧时间啊 啊， 经过讨论以后，有些女的同学， 有些同学已经分类越来越准确了啊。好，时间到来，我们先停下来， 先来看一下这个同学的 好，首先谁来具体的说一说，你觉得哪一个是最容易的，最容易去判断的？七和三是几和几？七和七四，三和七五。好，来，我们先来看一下三， 他的变化趋势是什么？一个一个三和，一个两两两两， 一个数量一二三四五六一个数量在这增加面积的长度在减少，也就是总长度。铅笔总长度一定的时候，你用的长度越来越 多，那剩余的长度就越来越少。好，和他一个量在增加，另一个量在减少，和他相同变换形式的七个三三和七七七七。听到你们的呼声说七，我们来看一下 这是什么东西？一定唯一在成都，唯一在成都，四十，什么东西不变？四十八，四十八是他们的什么结果？一，一个乘法三十里面的积不变的时候，一个因素 增加，一个因素减少，一个因素增加，另一个因素在减少。所以三和七是一类，他写的是随着一个量的增加，另一个量就在减少。正不正确？正确，还有没有和他同一类的？ 和这一个变化是是统一的，还有没有？没有？好，那么我看到了，他说一、二、四五是以内，那我们具体下来看一看。一， 先来这里说一说。好，你来觉得一个量在增加，另一个量也在增加，哪一个量在增加？数量在增加，总价也在增加。哎，数量在增加，总价也在增加。好，那我们来看看。二，二，谁想清楚了？ 因为我发现二是错误率最高的。好预备。二是正方形，二是正方形的周长公式，而那个周，而那个周长如果扩大两倍，那他的那个四 a 也会跟着扩大两倍，也就是谁增加会引起谁增加。正方形的周长必然会引起 他的边长的增加。好，周长增加，边长也会增加，那我们一般是说边长增加， 通常也会增加。好，刚刚对二有疑问的同学，现在还有问题没有？没有对，好，他只是和我们这个表格的表示方法是不一样，不一样，他的变化趋势其实是一样的。好，再来看四， 怎么来？说。好，小明的年龄增加，黄老师的年龄也会增加。哎，小明的年龄在增加，黄老师的年龄也在增加，增加的幅度是怎么样的？ 你增加一岁，那黄老师也会增加一岁。记住这个小秘密啊，如果我们需要讨论到他来，再来看。五， 这个是不是随着一个量增加，另一个量也在增加？没错，是的，是还是不是是看这个人。是的，增加。从六岁到十二岁，他表格上的身高也在增加，一百一十六厘米到一百四十二厘米。 一百四十二厘米。好，也就是在小明六到十二岁的过程当中，随着他的 年龄增加，他的身高也在增加，那所以一二四五都是随着一个量的增加，力量也在增加。六嘞， 没有，没有规律哎，这是一只股票的价格图，它随着时间的变化，它有上有下，所以它的变化趋势是不是固定的？不是。好，所以 you 这位同学把它分成了三面。同不同意？同意，半分钟的时间，你的学习单上有问题的同学可以修改一下。 好，做专区的同学，我们那里已经修改好了。那我们继续头脑风暴一下。刚刚我们是通过 变化趋势将七个情境图分成了三类，那我们拿出来了四个图，这四个图都是哪一个变化趋势里面的？ 一个量增加，另一个量增加，另一个量也在增加，他们都是随着一个量增加，另一个量也在增加的四幅图。那你能根据他们的变化规律再进行分类吗？ 先思考，开始思考。好的同学举手告诉我。 小智同学已经想好了。那没想好的王老师给你一个小提醒，我可以把它分成有规律和没规律。哎，对了，有规律和没有规律，没 有规律的一二四，一二四。那你就是说一二四是有规律， 然后剩下的五。好，那我们首先先来看啊，单独的没有规律的这一个五怎么说？ 好，请您的增加他的，他的身高是飘忽不定的，有时候 听明白意思吗？听明白，我们的身高的增长，他是有快有慢，而且就是六到十二岁的身高，估计， 那可能到了二十岁的时候，我的身高还会不会变化？不会，不会，他就会一个趋于一个稳定的一个状态了。好，所以他的变化就是没有规律，那意思就是说一二四都有规律喽，一的规律是什么？一个 好减零，一，这个数量再增加一这个价，这个价格也在也会增加三厘米。 听懂意思的同学举手。好，那就还有很多同学没听明白？好，他的电话规律开展 数量每增加几一，单价呢？单价呢？加三点五，三点五，也就是数量每多一的情况下，它的总价就会增加三点五，三点五元。 这个三点五元是什么东西？他的单架，那也就是在这一个变化的当中，什么东西？单架？单架，对了，他有一个面的量，也就是单架面。好， 那这个思路给大家开放了啊，今天来说说啊，他的变化呢？就是，嗯， 不管它变成五 a、 六 a， 哎，能不能把它变成五 a 或者六 a？ 不 能，你不能改变这一个，因为它只有四个。对，不能改变这一个。四，它不变的量，所以就等于三辆 a， 就是 a， 我 们刚刚说了，这是一个正方形的周长，对，他是正方形的周长， a 是 什么？边长？ a 是 他的边长， 一条边的边长，他在变化当中，周长和他有什么关系？他的变化。 听明白意思的同学举手。好，手放下，这个老师听明白多一些，也就是无论边长 怎么变，周长怎么样也会变。变周什么变啊？也会变，变怎么变 啊？我们特别喜欢那一个图表比较清晰，对不对？好，那我们就把它变成一个减一的怎么样？ 当我的周长是一的时候，周长是四四。怎么来的一个四？当我的周长是二的时候，变成二十二的时候，变成八四八四了吧？ 想明白没有？你就是边长，我无论怎么变，周长都是边长的四倍，四倍。来，再说一遍，怎么变的？ 无论边长多少，然后周长都是边长的，都是边长的四倍，那所以哪一个是没有发生变化？ 四四，这个四是什么东西？四条边，四条边，也就是中长和边长的 倍数学倍数。哎，倍数关系，也就是中长和边长的哎。你刚刚学到的 这是什么？ a 和 c 一个数，与商商也可以叫做可以。对了，是它的笔直不变。好， 这是单脚不变，这是周朝宇边上的笔直券，请问他是什么不变？你们刚刚说了他有肖子璇应该最记得，因为皇上只给了你一个小琴琴在前面。 好，姚丽熙比你快。就是小明的年龄增加与王老师，那我和小明的什么东西不变？年龄差不？非常好。听明白意思，同学举手。 好，放下，也就是黄老师始终比小明要大二二十岁，黄老师永远要比小明要大二十岁。好，那也就是说我们刚刚在研究了这么多以后，发现 有规律和没规律，我们是要看什么东西不变的量，看有没有不变的量，有没有不变的量。 八，那刚刚我们有规律的有一二四四，还能不能再分类呢？不确定。那我们尝试一下， 请你根据它们规律的不同，再进行细化的分类。 又给大家一个提示，刚刚说他是什么不变，等价等于什么？等 价等于总价等于总价等于总价。除以数量除以数量。 二是什么不变？二笔直，一条笔直，四不变，四不变。谁和谁的笔直？ 中中长和边长的笔直不变，边长的笔直不变。他是什么不变？年龄年差年龄差，那就是黄老师的年龄年龄意见，小学的年龄 等于二十。我已经提示不够多了，请问他的规律不同，为什么不变？不变？不变？ 他说笔直不变和哈哈哈变，那所以 谁和谁是一类？一和二和二类，那所以一和二是一类，剩下的四是一类，四是一类。 好，请坐，那我们经过分类了以后发现，哎，首先我们研究了变化趋势，刚刚我们拿出来的一二四五都是随着一个量的增加，力量也在增加，那变化规律里面我们会发现， 一和二都是一直变，四是差别。那我们分完了，这一和二就是我们今天要重点研究的一个内容。 像这样两个相关联的量，一个量变化，另一个量也跟着变化。而且无论这两个量怎么样变化，他们的 一直变变总是一定的，那我们就称为这两个量成正比。好，一起读一遍。像这样两个行， 像这样两个相连的，一个样，一个样变化，另一个样也随之变化。 但不管这两个量怎样变化，它们的比值总是一定的。我们就说这两个量成正比。好， 那像总价和数量的比值，周长和边长的比值还有没有更多？其他的比值 有没有？好，你一下子想，具体的例子可能想不出，那肯定是有，有的。那所以我们可以 统一的把它表述为 y 除以 s 等于 k， 其中 k 是 怎么样一定变， k 就是 那一个月亮，也就是它是一定的，一 定了。好，这就是我们今天要研究的正比例的比例。那请你现在来再来说一说，用自己的话说一说，为什么一和二他们相关的能量它是呈正比例关系的。谁来说一？ 好，那我随意点一个十二好吗？好，来，你来一具体数，一数它为什么成这比例，谁和谁我只要一增加，然后你交一等于是一比三等于 一比三等于你，就是数量在，然后谁和谁的比值不变， 数量和总价的数量和总价的比值不变，数量和总价的比值都是多少？ 一比三等于零五，然后呢？二比二，比 七，他都是三点五分之一。那我们按照数学习惯来说，我们会把它干嘛呀？反过来， 总价比数量等于单价。 好，请坐它符合正比例乘正比例的两个量的条件。第一个，它的变化趋势是随着数量的增加，总价也在增加。

正比例优惠啦优惠啦！啊，这些衣服多少钱一件呢？一件二十，我买两件能便宜点吗？两件四十。 那我要是再多买几件呢？三件六十，五件一百，十件两百，买的越多越划算啊。哈哈，那我买十件好了，真的是买的越多越划算吗？ 虽然他买的数量多了，但是花的钱也多了呀。所以我们要算一下每件衣服的单价。我们知道单价乘数量等于总价，因此衣服的单价就是总价和数量的比值。 可以发现，每次衣服的单价都是二十，单价没有变，那么财主实际上是没有占到便宜的。像这样比之一定的两个量总是同时变大或者同时变小， 我们就说他俩是成正比例关系的。生活中还有很多正比例的现象，比如汽车以一定的速度行驶时，路程和时间就是成正比例的。 还有圆的周长和直径也是成正比例的，你知道这是为什么吗？ 选 b 判断两个量是不是正比例关系，最关键的是看它们的比值是否一定。圆的周长和直径的比值是一个固定的数， 我们把它叫做圆周率，记作 pi。 两个量同时增大或同时减小，并不一定是正比例关系。比如圆的面积和半径，很明显，半径越大，面积也越大。不过我们来算一下它们的比值， 比值中含有半径 r， 也就是说半径越大，这个比值也越大，它不是一个固定的数， 因此圆的面积和半径就不成正比例关系。如果用字母 x 和 y 来表示两个相关联的量，用一个不变的数 k 表示它们的比值，那么正比例关系就可以用 y 比 x 等于 k 这个式子来表示， 我们还可以用图像来表示正比例关系，比如前面表格中的数据就可以画成这样的图像，它是一条倾斜的直线， 而且根据这个图像，我们还可以不用计算，就得到一些问题的答案，如果财主要买八件衣服，那么要花多少钱呢？看好了， 我们找到八件对应的位置往上走，与这条斜线相遇以后，向左拐弯， 走到代表总价的这条线上，他对应的数字一百六，就是我们所需要的答案，也就是说他买八件衣服需要一百六十元，怎么样？是不是和计算的结果是一样的？ 今天这节课我们认识了正比例关系，判断两个量是不是正比例关系，关键就是四个字，比值一定，而且我们还学习了用正比例的图像进行计算。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例关系图像 这节课的内容。一看题目我们就知道与图像有关。我们先来看一个表格，这个表格是数量和总价之间的关系，那这个关系可以用图像来表示出来吗？ 我们来看这个图，它的纵坐标标的是总价，横坐标标的是数量。我们画图的时候，要先把各个位置的点给找出来 来看，当数量是一的时候，总价是三点五，我们在横坐标上找到一的位置，在交叉的地方标上一个点， 以此类推，找到数量是二、三、四五、六、七、八的对应点在哪里。找到点之后，我们把这几个点连接， 这样就把图像给画出来了。接着我们来看几个问题，第一个问题，从图中你发现了什么呢？这上面所有的点都在同一条，对，上面所有的点都在同一条射线上。 再来看第二个问题，把数对十三十五和十二四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？ 我们先把这两个点给标出来，标完之后连接再延长，我们发现这两个点也在这一条射线上。 好了，正比例关系图像我们已经画出来了，就是这么简单，正比例关系图像就是一条从零零出发的无限延长的射线。 再来看第三题，不计算，根据图像判断，如果满九米彩带总价是多少？ 四十九元能买多少米彩带呢？从途中我们在横坐标找出数量是九米的时候，对应的价格是对三十一点五元，所以如果买九米彩带，总价是三十一点五元， 再从纵坐标找出四十九元，对应的数量是十四米，所以四十九元能买到十四米的彩带。再来看第四问， 小明买的彩带的米数是小丽的两倍，他花的钱是小丽的几倍呢？ 在这里我们要知道的是，彩带的单价是一定的，并且彩带的总价和数量成正比例关系，总价随着数量的增加而增加，当数量翻了两倍，总价也翻了两倍。 所以，若小明买的彩带的数量是小丽的两倍，那么他花的钱应该也是小丽的两倍。 好了，我们来观察一下这个正比例关系图像，你发现他特别像我们之前学过的什么呢？ 对，特别像我们之前学过的折线统计图。那正比例关系图像是折线统计图吗？正比例关系图像描述的是量与量之间的变化关系，两个量都是连续的， 即射线上的点有无数个，而折线统计图描述的是一些离散的数据， 所以正比例图像不是折线统计图。简单来说，正比例的图像不是一节一节的折线，而是一条直直的穿过零点的斜线，而折线统计图是一节一节的折线， 所以他们两个是不同的。好啦，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

各位老师好，欢迎收看柚子老师人教版小学数学说课分享频道，资料获取请看我主页介绍哦，喜欢就收藏关注我吧，万一有需要的时候可以找我哦！ 今天我说课的内容是第四单元，比例二、正比例和反比例。第一，课时正比例。我将结合课间的设计思路，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重点难点、教法学法、教学过程、版书设计和教学反思等方面展开说明。 正比例是在学生学习的笔和比例等知识的基础上进行教学的，它是对数量关系的进一步探究，揭示了两种相关连量之间特殊的变化规律，是后续学习反比例、比例尺以及初中函数知识的重要基础， 在数学知识体系中起着承上启下的作用。本节课主要内容包括，理解正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系，认识正比例关系的图像，并运用图像解决简单问题。教材通过彩带销售的实力，引导学生观察分析数量与总 家的变化规律，从而抽象出正比例的概念，这种从具体到抽象的编排方式符合学生的认知规律。六年级学生已具备一定的观察、分析和归纳能力， 对数量关系也有了一定的认识，在之前的学习中积累了一些数学活动经验，但正比例概念较为抽象，学生理解起来有一定难度， 尤其是在判断两种量是否成正比例关系时，容易忽略两种量是变化的量以及比值一定这两个关键要素。

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师。今天我们来学习正比例，我们来观察这个表格，并回答下面三个问题。文具店有一种彩带 销售的数量与总价的关系，如下表，第一行代表销售的数量，第二行代表总价。先看第一题， 表中有哪两种量，这个比较明显，有数量和总价这两种量。 第二小题，总价是怎样随着数量的变化而变化的？如果从左往右看，数量越来越大，那对应的总价也越来越大。如果从右往左看呢？ 数量越来越小，对应的总价也越来越小。像这样一总量随着另一总量的变化而变化， 这样的两种量称为两种相关联的量。那在这里，数量和总价就是两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化。第三小题， 相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？让我们求每一列总价与数量的比和比值。 我们先看第一列，数量是一，总价是三点五，那总价与数量的比就是三点五，比一，比值是三点五。 第二列，数量是二，总价是七，总价与数量的比是七比二，比值也是三点五。第三列是十点五，比三比值是三点五。 第四列，第五列比值都是三点五。那后面呢，你自己可以计算一下。那这里的比值表示什么意思呢？我们是用总价除以数量 得到的比值。那总价除以数量等于什么？等于单价，也就是这种彩带的单价，彩带的单价都是三点五元。那我们来看一下什么叫做成正比例的量，什么叫做正比例关系。两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。首先是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 然后要满足它们的比值一定，这两种量才叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。那像这个表格， 数量与总价是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。满足这个条件，那他们的比值一定吗？ 我们用总价除以数量，得到的是单价，我们发现彩带的单价都是一定的，那就可以说总价和数量是成正比例的量，总价和数量成正比例关系。因为满足这里的条件， 所以在判断正比例关系时，首先要确定它们是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 其次要确定它们的比值是一定的，如果比值一定，它们才成正比例关系。这个关系我们可以用字母来表示，字母 y 和 x 表示两种相关联的量， 用 k 表示它们的比值，比值是一定的，所以正比例关系就可以用这个式子来表示。 y 比 x 等于 k， y 和 x 是 两种相关联的量， 它们的比值是一定的，所以 y 和 x 就 成正比例关系。我们来看一道练习题，判断下面各题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 我们先把正比例关系的式子写出来， y 比 x 等于 k， 比值是一定的， y 和 x 成正比例关系。那我们来看第一小题，如果汽车行驶速度一定，路程与时间，让我们判断路程与时间是否成正比例关系。 首先，它们是两种相关联的量吗？汽车在行驶，那么行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化，所以它们是两种相关联的量。 然后看比值是否一定。路程与时间的比值，也就是路程除以时间，求比值，用除法，路程除以时间等于速度， 而题上说行驶的速度是一定的，所以路程和时间成正比例关系。再看第二小题，一个人的身高与他的年龄， 这是两种相关联的量吗？一般情况下，人的身高会随着他年龄的增长而增长，但是到了一定年龄后，他的身高就不再增长了，所以不是正比例关系。 第三，宽一定，长方形的周长和长。首先判断是不是两种相关联的量。先想一下长方形的周长公式，长方形的周长等于长，加宽的和乘二 跟长有关系，所以周长会随着长的变化而变化，它们是两种相关联的量。 然后看比值是否一定。这里提到了宽一定，那根据周长和长，怎么得到宽呢？ 我们可以用周长，先除以二，再减去长就等于宽。长方形的周长除以二， 减去长等于宽。宽是一定的，这是比之一定吗？比之一定，我们用的是除法，而这里是减法，属于差一定，所以不成正比例关系。 再看第四题，圆锥的高一定。圆锥的体积与底面积，它们是两种相关联的量吗？先想一下圆锥的体积公式，圆锥的体积等于三分之一，乘底面积再乘高， 所以体积和底面积是两种相关联的量体机会随着底面积的变化而变化， 再看它们的比值是否一定。圆锥的体积除以底面积，看得到的是什么？体积除以底面积等于三分之一， h 等于三分之一乘高。而题上告诉我们，高一定 高一定，它再乘三分之一也是一定的，属于比值一定乘正比例关系。 第五题， x 和 y 是 两种相关联的量，并且 y 等于八， x 问 y 和 x 是 否成正比例关系？首先它们是两种相关联的量，再看一下比值是否一定。我们由这个式子可以得到， y 除以 x 等于八， 比值是一定的，所以成正比例关系。我们接着来看正比例关系的图像。例题中的数据还可以用图像表示，根据图像回答下面的问题，第一，从图像中发现了什么？我们先观察这个图像， 先看横轴和纵轴分别表示什么，横轴表示数量，纵轴表示总价。 再看这些点，这个点表示数量是一米，总价是三点五元，说明横轴这一格表示一米，纵轴这一格表示三点五元。那这个点写成数对，就是一三点五，这个点数量是两米，总价是七元。二 七，这个点总价是三米，数量是七，再加三点五十点五元。三 十点五，也就是他把表中的数量与总价都用竖对来表示，然后秒点连线，形成了这个正比例关系的图像。我们从这个图像中也能看到两种量，数量和总价，而且是相关联的量， 数量变化总价也跟着变化，而且它们的比值是相等的，总价与数量的比值是单价，这种图像就是正比例关系的图像，有什么特点呢？首先经过零零这个点，然后它是一条直的， 后面会继续再延长，所以是一条射线。所以正比例关系的图像是从零零这个点出发的一条射线。 我们接着来看第二题，把这两个竖对所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？我们先看十三十五这个点，横轴是十， 纵轴是三十五，相交于这个点。再看十二、四十二这个点，横轴是十二，纵轴是四十二，相交于这个点，我们跟这个图像连接起来再延长，发现它们是在同一条射线上。我们来看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 我们先看九米彩带对应的总价，九米是数量。我们先在横轴上找到九米的位置这里，然后纵向找到图像上的点，再看他在纵轴上对应的数是多少。这一格是三点五， 那他对应的数应该用二十八加三点五，等于三十一点五元，实际上这个数对就是九， 三十一点五，数量是九米，对应的总价是三十一点五元。再看总价四十九元对应的数量是多少米，找到总价四十九元的位置。然后横向找到图像上的点， 再看对应横轴上的数字，十四米，所以这个点用竖对表示，就是十四四米，对应的总价是四十九元， 所以四十九元能买十四米的彩带。再看第四题，小明买的彩带，米数是小粒的两倍，他花的钱是小粒的几倍，彩带的单价是一定的，那我们在图像中任意找两个数对，比如 四十四，还有十二、四十二，对比一下他们的数量与总价，看有什么样的关系。数量一个是四米，一个是十二米，我们求出他们的数量比， 数量比是四比十二，化简之后是一比三，对应的总价一个是十四元，一个是四十二元，再求出他们的总价比 十四比四十二，化简之后还是一比三，我们发现他们的数量比和总价比是相等的，所以小明买的数量是小利的二倍，那他的总价也应该是小利的二倍， 那在这里我们就要记住成正比例关系的两种量，它们的比是相等的，这在行程问题中用的比较多。我们知道路程除以速度等于时间，如果时间一定，那么路程和速度就成正比例关系，这个时候路程比就等于速度比。 还有一种是速度一定，路程和时间成正比例关系，那路程比就等于时间比，这用到的就是这里的知识点。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

六、年级下册六、单元正比例和反比例立一的试一试购买一种铅笔的数量和总价如下表，我们表格当中所给出的是总价和数量。问题一天写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。 观察表格，我们可以发现，我们购买一支铅笔的时候，总价是零点四元，购买两支铅笔的时候总价是零点八元，购买三支铅笔的时候，总价是一点二元，以此类推。我们可以发现 购买数，我们购买铅笔的数量越多，总价就越多，购买数量越少，总价就越少，所以我们总价是随着数量的变化而变化的。 问题二，写出几种相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小来看总价和数量的比，所以零点四比一等于零点四，零点八比二等于零点四，一点二比三等于零点四， 一点六比四也等于零点四，以此类推，它们的比值都是零点四，所以它们的比值的大小是相等的。 问题三，这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价数量之间的关系吗？ 因为我们知道总价除以数量是不等于单价，而我们问题二当中的比值我们求出来它的比值是相等的，所以总价除以数量等于单价，单价是一定的。 所以我笔直表示的实际意义是购买铅笔的单价，也就是铅笔的单价，总价除以数量等于单价，单价是一定的，或者我们也可以写成数量分之总价等于单价，单价是一定的。 问题四，铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？在这里老师就强调了我们判断这两种相关联的量是否成正比例，我们说白了，它其实就用的是除法， 他们的比值或者是商一定的时候，我们就可以说他乘的是正比例关系。所以我们来看，总价除以数量等于单价，我们单价求出来的比值是一定的，所以他乘的是正比例关系。 所以铅笔的总价和数量成正比例关系，因为总价除以数量等于单价，单价是一定的 问题，生活中还有哪些成正比例的量，你能举例说明吗？我们来看，老师举出了两种，第一种，长方形的长一定长方形的面积和宽成正比例。我们来看， 面积除以宽是不就等于长方形的长呢？而长方形的长是一定的，我们用的是除法，它的比值或商是一定的，所以我们乘的是正比例关系。 速度一定，路程和时间呢？我们来看，因为路程除以时间等于速度，速度是一定的，速度是不就指的是比值或商呀，用的是除法，所以我的路程和时间成正比例关系 来看列一列。第一题，张师傅生产零件的情况如下表，我们表格当中给的是生产零件的时间和生产零件的数量。问题一写出几组相对应的生产零件数量和时间的比比，比较笔直的大小， 我们来看，通过表格我们可以知道生产零件的数量和时间的比值。我们用的是除法，所以用二十五除以一等于二十五，五十除以二等于二十五， 一百除以四等于二十五，一百五十除以六也等于二十五，二百除以八还等于二十五，以此类推，我们的比值的大小是相等的。刚才老师生产零件数量和时间用的是什么法？求出比值的用的是除法，是不是求出的比值？ 第二问，生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？因为我们知道生产零件的数量除以时间是不，它们的比值是相等的呢？ 所以我们生产零件的数量和时间成的是正比例关系，而我们的这个比值其实就是我们的工作效率。生产零件的数量是我们的工作总量，工作总量除以工作时间等于工作效率，而我的工作效率是一定的。 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，表格当中给的是用布的数量和服装的数量，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么？ 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，我们表格当中所给出的是用布的数量和服装的数量。问，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么 我们来看我们用布的数量去除以服装的数量，二点二除以一等于二点二，四点四除以二等于二点二，六点六除以三等于二点二，以此类推，他们的比值是不都是二点二呢？而且我们用布的数量 是随着我们服装的数量而变化的，他们两是两种相关联的量。做的套数越多，我们用布的米数是不是会越多呀？ 做的套数在变化，用布的米数也随着变化，而且用布的米数和我做的套数的 笔直是一定的，用的是除法，他们的笔直一定，所以我们就可以说做的套数和用部的米数成正比例。

六下数学最难的正比例反比例，就这六大考点吃透逆袭班级前三六下数学判断正比例反比例知识点，一、四种关系二、正反比例对比要记要背。三、常见的正比例反比例在比例尺中，售价问题，工作量问题圆的相关问题，长方形相关问题， 榨油问题正方体相关问题。长方形面积等于长乘宽，总人数等于每行人数，乘行数以上均用变量。

路程和时间他们两个总是九十倍，那么这个九十倍实际上就是什么呢？ 速度就是其中所给的速度，那也就是说路程和时间之间呢？它存在着一定的。呃，统一的一个规律是这样，也是每个里边用路程除以时间，或者说路程比上时间那个比值，总是一个什么呀？固定不变的数，那也就是什么 在这里边这公里不变的数，实际上就是速度，对吧？好了，那就是路程比上时间在这里边走是几啊？九十，九十，我知道这九十实际上就是速度提提供给的条件，是不是？好了，我看一下。嗯， 刚才我们研究的表格一和表格三里边的内容，周长与边长，路程与时间也说呢，其中一个量总是随着另一个量的变化而变化，对不对？而且他们的什么总是一定的笔直，笔直总是一定的， 那么我们就说周长和边长，或者说路程和时间是成正比例的，成什么？正比例？ 这就是这以后我们要研究的两个变化的量之间的一个重要的关系。成正比例关系。那我反过头来看一下，如果如何判定两个量是否成正比例关系，他必须得符合哪些条件呢？ 欢迎来说。我觉得他应该有两个变量和一个不变量，两个变量指的是，哎，这里边的周长、边长、路程、时间那个不变的量指的是什么？ 是什么？哎，就是咱们的笔直，对不对？那也说呢，他们要符合其中的一个条件，就是笔直必须得是不变的，对不对？是这样。然后另外一个条件是什么呢？就是其中一个量 要随着另外一个量变化，变化，我们说这两个量必须是相关的量，说特别好，也说呢，如果两个量复合了这两个条件，我们就说这两个量是虫 虫比非常好啊。好了，那我们就带着这个收获一起看一下下面这个问题， 看一下这两个量是否成正比，这是同一时间、同一地点量得足花的高与其影子的长度表中的一些数据。

在这个地方的时候，他有三个表述的方式，一种是直径一定，一种是半径一定，一种是周长一定。他无论怎么表述的话，他他们之间都成正比例关系。其中这个第四题，刚才我听到了徐哲同学说要将这个 y 等于五 x 改成比的形式，谁听到了他改的那个比？ 再来说一说来段雨菲， y 比 x 等于五比一等于五比一，比值是多少？比值是五，说完整哈。那么当我们把它改成这样的形式的时候，是依据什么呢？ 把 y 等于五 x 改成这样比的形式是依据什么呢？来，江正浩，依据比值的性质，内向之即等于外向之即好，内向之即五 x， 外向之即 y。 看清楚了吗？那也就是说我们在判断 y 和 x 的 关系时，当它们是这种的等式时，都可以把它改成这样的比的形式。如果你不能像这个地方 ab 直接看出它们是乘积关系， 清楚吗？清楚，清楚。那这个时候我们就可以说成 y 与 x 成正比例，它们的比值一定。谁能再举一个这样的例子？ y 等于五 x， 再举个这样的等式的例子。我说二， y 等于十 x， 行不行？行。好，那你举个例子来，谁能举个这样的例子？ 试一试？来江中宝，三 y 等于十五 x 好， 三， y 等于十五 x， 能不能把它改成比的形式？ 谁来把它改成比的形式？好？刘志祥，来试一试， y 比 x 等于十五比三， y 比 x 等于十五比三，对不对？对，一起来验证一下。根据内向之机等于外向之机，刚才刘志祥这地方有一个，他没有说什么 比值，比值是多少五啊？十五除以三等于五，说明比值一定，因此这个时候的 x y 依然成什么正比例，正比例能看懂吗？最后一次，来再举个这样的例子， 好给你小组加分哈。来试一试那个董浩林，四四 y 等于十十六 x 好， 四 y 等于十六 x 好， 谁来把它改成比的形式 来？李世元， y 比 x 等于十六比四，又没有说笔直，笔直是四，笔直是四，我们可以确定他们之间是什么关系，正比例关系很好。那么之所以说张老同和江振浩他们的精选题很有价值的原因就是刚才这个第四题，我们。

学过了正比例之后，小美老师让大家分享自己见过的各种正比例关系。豆包张口就来，我们吃的多少和体重的胖瘦就成正比例关系。听起来很有道理啊， 可豆花却不同意，吃的多少和体重的胖瘦虽然相关，但它们的比值却并不一定，所以不成正比例关系。到底谁说的对呢？这个视频我们就一起来学习如何判断两个量是否成正比例关系。 我们先来看个简单的例子，豆包骑车去给大家买吃的，他骑车的速度是一定的，这是他离开的时间和路程是否成正比例关系呢？ 两种量要想成正比例关系，就必须满足三大特征，首先得是相关联的两种量，这里的时间和路程肯定是相关的。其次，一个量变化，另一个也随着变化，这从表里也很容易看出来。 最重要的是这最后一条，两者的比值要保持一定。你来看看这里路程和对应时间的比值保持一定吗？ 选 a， 用表中的数据计算一下，路程和对应时间的比值都是三百，因为路程比上时间得到的就是速度，而这里豆包的速度是一定的，所以路程和对应时间的比值也就保持一定，也就有豆包的时间和路程成正比例关系。 所以要判断两个量是否成正比例关系，除了看它们是否相关联，一个变化，另一个也随着变化之外，最重要的还是要看它俩比值是否一定，只有比值一定了，才会成正比例关系。 现在我们来看看豆包说的吃的多少和体重的胖瘦成正比例关系吗？显然，吃的多少和体重的胖瘦是相关联的，吃的不一样多，体重也会随着有变化。 但问题是，两者的比值并不一定多吃多少，并不一定对应长胖多少呀，所以吃的多少和体重的胖瘦并不成正比例关系。在数学上，也还有许多和成正比例关系有关的问题，比如你看这个圆形烙饼，它的半径和面积成正比例关系吗？ 显然，这个圆的半径和面积是相关联的，半径改变，面积会随之而变。那判断的关键就要看面积和半径的比值是否一定啊。 我们可以用 s 表示圆的面积， r 表示半径，根据圆的面积公式，又 s 等于 pi， r 的 平方，那你觉得圆面积和半径的比值一定吗？ 选 b， 圆面积和半径的比值就是 s 比 r， 再用面积公式， s 比 r 等于 pi， r 的 平方比 r 等于 pi r， 这 pi r 是 一定的吗？ 圆周率 pi 是 一定的，约等于三点一四。但是半径 r 可不是一定的，它是一个会变化的量，所以 pi 并不一定。所以圆的面积和半径虽然相关联，但是比值不一定，也就不成正比例关系。 研究完了圆面积和半径，有的同学可能就会问了，那圆周长和半径呢？它俩成正比例关系吗？我们用 c 表示圆的周长， r 表示半径，根据圆周长公式，有 c 等于二倍 r， 你 觉得圆周长和半径成正比例关系吗？ 选 a， 圆的周长和半径肯定是相关联的量，半径变周长就会改变，关键还是要看周长和半径的比值。 周长比半径等于 c 比 r 等于二 pi， r 等于二 pi 比值，二 pi 约等于二乘三点一四，也就是六点二八是一定的，所以圆的周长和半径就成正比例关系。 这个视频我们学习了判断两种量是否成正比例关系。如果两种量相关联，一个变，另一个也随着变化，那关键就是看它俩的比值是否一定，你学会了吗？

四只玩具青蛙二十元，那么随着这个数玩具青蛙数量的变化，它的什么也在变化呢？ 杀菌，我认为随着玩具青蛙数量的变化，玩具青蛙的总价也随之变化，同意吗？同意，同意。我们图形当中也有这样的关系，我想把十二的边长是一厘米的正方形摆成一个长方形。我是这样的， 一条边是一一厘米，另一条边是十二十二厘米。你们可以一起告诉我，一条边是二厘米，另一条边是六厘米， 一条边是三厘米，另外一条边是四厘米， 一条边是四厘米，另外一条边是三厘米，一条边是六厘米，另外一条边是二厘米， 一条边是十二厘米，另外一条边是一厘米。那随着这一条边的变化，长方形的什么也在变化。 圆其啊，随随着底下这一条边的变化，长方形侧面的那个边边的长度也在变化，非常好，请坐。 随着长方形一条边的变化，它的另外一条边也在变化。我们来回顾一下，刚才对于路途来说，时间在变化，温度随着在变化。啊， 你能像我这样说出玩具青蛙吗？什么在变化？什么也随着在 变化，然后总价也在变化，总价怎么在变化？总价在就是随着他在随着数量在翻倍的变化，在变化，是吧？很好。再说一遍， 数量在，数量在变化。玩具青蛙、玩具青蛙和总价随着在变化。很好，请坐。 那对于长方形来说呢？一条边在变化，另一条边也随着变化，像这样 一条边在变化，另一条边也随着它在变化。像这样啊，是一种量，跟你不谋而合。好，第一个，十二，四，十二，十二，四十二，应该在这个位置。好，你看对不对？ 很正确，请稍为。好，我接着把这两个点和刚才的这个图像连起来并延长。你又发现了什么？ 刚才徐峥宇还说了一点，很好，他说这条线在上升了，再上升你会发现，嗯，现在果然验证了。嗯，你还发现什么？徐峥宇，我发现这个数量不断的在增加，然后它的总价不断的增加。 很好，数量在增加，总价也随着他在增加，所以这条线在在上升。还可不可以上升？还可不可以上升？特别穿过房子， 穿过太空。那它是一条什么线？无限的线？什么线？射线？射线，射线。对了，它是一条从零零出发的向上延伸的无限延伸的射线。这个零零，你知道表示什么吗？你告诉我好吗？零零， 高子阳，哦，施浩军说错了啊，零零，表示起点，表示起点。对，在这里表示什么呢？在这里表示这个图的左下角的那个零点。 那表示数量是多少呢？嗯，是零，总价呢？总价也是零，买了没有？没有买，相当于没有买，是吧？买了零米的彩带付零元，相当于没有买，哈哈哈。这条从零零出发的向上无限延伸的射线， 那么这条线上的每一个点所对应的两个量的比值都是相等的， 不计算，请你根据图像判断，如果买九米的彩蛋总价是多少？