八下数学书答案2026函数

大家好，我是大哲老师，今天我们来看到人家把八年级下册第二十二章这里要看到的是函数，那么我们说函数 要开始接触了，万物皆变。看这边这里说了一个问题，就是说行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，那么依据这个之后，我们去研究运动变化现象中的变量之间的关系， 数学中逐渐就形成了函数的概念，那么我们通过研究函数的 研究函数它的性质，可以去更深入的去了解到现实生活中的事物变化规律。那么在本个章节中，我们可以通过具体的例子 认识常量和变量，去学习函数的概念和表示的方法。 我们在这个基础之上呢，还会用函数描述一些简单问题中的变量之间的关系，感受 函数在刻画变量关系和变化规律中的作用了，那我们针对这个关系我们来去了解到，哎，接下来 首先要去看到的是我们说的函数，它最基本的概念，函数的概念在这里提到一个关系啊，他说在一研究运动变化现象中， 我们是为了去描述事物的状态，我们经常会引用一些量，通过研究不同量之间的关系，未来去认识事物变化的规律。那么下面有几个思考题， 我们可以去思考一下。一汽车以六十千米每小时速度匀速行驶，那么匀速行驶啊，当它怎么样？当行驶的时间分别为一二五个小时的时候，我们说行驶的路程 会是什么样子的啊？那么气球它的变化喽，路程 分别是多少？那 s 随 t 的 值的变化而变化，那第二个也是一样的道理， 呃，会随它的变化而变化吗？那我们去综合研究，去看这题目的时候，要想到它的对应的关系式是什么，我们怎么去列这个式子？ 那么第三个、第四个我们可以通过自己的一些思考和寻找啊，根据公式来去反映事物的变化。那么在上面的这些问题中，我们发现了反映了这个物体怎么样？不同事物的变化过程， 那么各个问题反映的都是这个不同的，那么也就是说在整个过程中，我们要去研究探讨它的变化过程， 我们就要去了解到什么叫常量，什么叫变量。一般的在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为变量， 那么例如在问题一和问题二种，汽车行驶的速度， 电影票的售价是常量，汽车行驶的时间 t 路程 s 售出的电影票数 x， 票房收入 y 是 变量了。那么在这些问题之中，我们能够去快速把控的时候，就想到 不，我们说什么始终不变的量是为常量，数值发生变化的量视为变量。那么看到下面的例题一， 在这个例题中，他要我们去找出下列问题中的常量和变量，一，某市居民生活用水的价格为五元每吨， 那某户用来开始蹲，那月缴费用为 y。 第二个在乘地铁的时候， 公交卡对吧？刷一次存了多少钱？公交卡坐一次是多少钱？公交卡中余额为 w， 怎么去表示他的？找一找哪个是不变的，哪个是变量？那么像 刚我们看到的一和二的时候，就会发现生活用水的价格是常量，它某户的月用水量 x 和费用是变量， 你用的水越多，你搅的碎也就越越多喽。所以这两个是变化的，而不是说固定不变的，固定不变的是价格，所以它是常量。那么变量用水以及 他的用水的费用问题啊。那么第三个绳子的长度也是长量，矩形的边长和面积，他是一个变量的，那么所以这里只需要去拿捏住 长量是什么意思？变量很好理解，变化的量，长量呢？哎，稳持稳定不变的量的，那对应的练习可以去 做一做了。那思考题，我们说两个变量到每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？那么这种问题中去表示，我们可以根据公式喽， 它的变量之间的一些数量公式，我就能写出它的关系式。好了，上面每一个 问题中的两个变量，我们去看的时候，呃，当一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值已知对应了， 也就是说什么呢？呃，一个值他确定向哪的，那另外另外一个值的时候，我们是说，哎， 一个值取取一个定值的时候，另外一个它就变量就唯一的一个定值与它对应起来了，那这个对应起来的时候就要去看看，哎，我们来去找一找这种关系。一些 用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有没有上面的这种关系。 下面呈现的是一个呃，朝夕的一个关系图，那么根据这个图，我们能看到什么？能发现什么？也就是说它时间与它的朝高这两个变量符合什么样的关系？ 然后第二个存整，存整取的存款期限以对应的年利率是怎么来表示的？那么看到存款的期限与年利率 对吧？三六十二，二十四，三六六十，那年利率是没有变化，越来越高，时间越久，他的年利率也就高了。 那么一般的我们在一个变化的过程中，有两个变量， x 和 y， 并且对于 x 的 每一个确定的值， y 都有 唯一确定值和它对应，那我们就说 x 是 自变量， y 是 x 的 函数， 如果当 x 等于 a 时， y 等于 b 时，那么 b 就 可以叫做质变量 值为 a 时的函数的值。那我们去思考这些问题的时候就会想到，嗯， 它路程和时间、速度三者关系。我只需要用 路程等于速度等于时间这个关系来去做出，列出他的一些函数式，就能知道哪一些是自变量，哪一些是他的函数了数值了。 那么我们练习题给的也相对来说是简单，所以大家对着练例题提出的进行一个讲解了，那么 这边练习题就不多说了，我们来看到例题二，从上面的内容我们可以去知道啊，函数啊是刻画变量之间对应关系的数学模型， 很多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示，那比如说汽车油箱油五十油，气油五十升，如果 不再加油，油箱中剩余的油量 y 与行驶路程是什么关系，对吧？他说随行驶路程 x 的 增加而减少，那么以及平均耗油量为零点一升每千米， 那么写出它关系式只需要 y 代表什么？ x 代表什么？零点一 x 又代表什么？ 那我们看到行驶路程 x， 它是自变量，那油箱中剩余的油量就是 y， 四 x 的 函数 y 等于总共是五十，减去零点一 x 减去消耗，这就是剩下的 一个油量喽，那也就是说它和它的观测值能够正确地表达出来。那么第二个指出自变量 x 的 取值范围， x 的 起始范围，那也就是把它化解，看看 x 的 范围在哪里了。这里的 x 注意了，是它的路程啊，是路程，那第三个两百，行驶两百，那我就把它带带进去喽，带进去两百喽，看看还有多少 升汽油就行了。那么他也说到了什么是指叫做图解函数的 这个形式啊？函数的一个形式，这种式子像什么样的式子啊？像五十 y 等于五十，减零点一 x， 这样用关于自变量的数学式子去表示函数与自变量之间的 关系，是表示函数的常用的方法，这种就是它的函数的解析式。 那么我们可以按照他的概念，一步一步去把下面那些题都写出来， 写完之后要检检查一下，看看上面提到的这些数据能不能带进去， 能不能符合啊，这就是我们说的这个部分的，所以这部分更多的是打下基础，是让我们去理解，去了解到他的一个整个的流程啊。当当当，在这里的时候要注意刚学的时候那几个概念， 质变量、音变量，以及我们说的他的一个关系式函数的解析式，这些都要能够去把握清楚。 练习部分我们就不再提了，那么这边还有个图说数学史，可以有空的时候去看一看啊。这一块的话我们就不再不再说了，我们作为一个信息点 自己去了解清楚了，那么下一节课要说的就是函数的表示怎么样？表示函数？函数是什么，对吧？通过什么关系的去表述啊？好了，这就是今天中午的家长课堂，就到这里了，拜拜。

hello， 广大们，上节课咱一起了解了平数和 频率，其实很简单，平数指的是出现的次数，频率呢是出现的概率。举个例子，咱班有个三百斤的小胖同学，他准备竞选班长，总共呢有五十个人投票，其中有十票给到了小胖，那么这个十啊，就是他的平数， 频率呢，是用十除以五十，也就是得票率百分之二十，那么零点二就是他的频率。 ok， 那 这节课我们接着看平数分布表和平数分布值方图。下面呢，有一个问题， 某校为了解八年级学生身高的范围和整体分布情况，抽样调查了五十名学生的身高，也就是下面这组数据。那怎么去描述这五十名学生身高的分布情况呢？ 首先我们可以看到上面的五十个数据中，最小值是一百四十八点三，最大值是一百七十五点六。 那我们把一组数据中的最大值与最小值的差称为极差，也就是上面的这组数据的极差是二十七点三。 利用最大值、最小值极差就可以大致描述这些数据的范围，但是要精确的描述这些数据的整体分布情况，我们可以采取如下的方法。第一步，根据极差把这些数据呢分成十组， 用二十七点三除以十等于二点七，三约等于三组，距我们就可以定为三。这样的话，我们把数据呢分成十组， x 表示身高，也就是下面这十组，你看每组的话都是相差三。 为了让大家更好的理解，我再举个例子啊，比如说某次数学考试，最低分只有二十分，最高分有一百分，我可以把它分成十组，怎么分呢？首先根据级差， 最高减最低就是八十分。那我分成十组的话，就是八十除以十等于八，这个八呢，就是组句， 我用 x 代表分数，那么这十组分别就是 x 大 于或等于二十，小于二十八。第二组就是 x 大 于或等于二十八，小于三十六。第三组就是 x 大 于或等于三十六，小于四十四。 最后一组就是 x 小 于一百大于或等于九十二。 ok， 第二步，把这五十个数据分别划记到相应的组中，统计每组中相应数据出现的平数。 比如说身高在一百四十八到一百五十一，划记了两次平数就是二，一百五十四到一百五十七划记了七次平数就是七，以此类推。像这样的表格就称之为平数分布表。 最后一步，根据平数分布表，用横轴表示各分组数据，纵轴表示各组数据的平数。绘制一个条形统计图，也就是下面的这个统计图，横轴一百四十八到一百五十一，他的平数是二，纵坐标就是二。 一百五十一到一百五十四，纵坐标是五。那么像这样的图啊，直观呈现了平数的分布特征和变化规律，称之为平数分布脂肪图。 那我们画平数分布值方图的一般步骤就是前面讲的，第一步，先确定组距。第二步，确定每组的范围，保证每个数据只属于一组，不能重复了。 第三列，平数分布表，统计每组中出现的平数。第四就是画图了，用横轴表示分组数据，纵轴表示平数，其中长方形的宽度表示组距，高度表示平数。 讨论一下，在上述的身高问题中，尝试把数据分成四组和二十组，分别画出平数分布脂肪图。你觉得四组、十组和二十组哪个比较合适啊？我觉得还是十组比较合适一点，四组太少，二十组呢？太多了。 最后，平数分布脂肪图与我们以前学习的条形统计图各有特点啊，也有很多相似的地方。后面这段话大家可以阅读一下啊，还是很简单的， 看到练习。一、根据某森林动物园监测的四十只梅花鹿体重的平数分布值方图， 每组包含起点值，不包含终点值。比如说这组啊，它就是用 x 表示体重吧，小于八十四点五，大于或等于七十九点五，包含了起点值，不包含终点值。第一个问题，体重在哪个范围内的梅花鹿最多？ 那肯定是八十九点五到九十四点五，用 x 表示体重的话，就是 x 小 于九十四点五 kg， 大 于或等于八十九点五 kg。 第二，体重不低于九十九点五千克的梅花鹿，占全圆梅花鹿的百分之几，不低于就是大于或等于九十九点五 k g 的， 那就是，哎，总共是五个，加两个，七个是不是七？除以总数是三加八加十，三加九再加七，也就是四十。好，然后把这个百分数算下就可以了。 第二题，一百名学生参加消防安全知识竞赛的成绩分组及各组的评述如下，画出这组数据的评述分布脂肪图自行完成。横轴表示分组，数据代表成绩，纵轴代表评述。 看到题型一、为了调查某市造成污染情况，该市环保部门抽样调查了四十个造成测量点的造成深层级，结果如下，每组包含起点值，不包含终点值。 一、在造成最高的测量点，其造成升强级在哪个范围？注意他问的是最高，不是最多，所以不是这个答案，而是七十五到八十。用 x 代表升强级，那就是小于八十分贝，大于或等于七十五分贝。 第二，造成升强级低于六十五分贝，也就是小于六十五分贝的测量点有多少个？从五十五到六十五，总共是十四个。 第二题，某水产研究人员测量了五十尾小黄鱼的体长所得数据一，按组距为十，将上述数据分组，列出平数分布表，绘制成平数分布脂肪图。那你首先得找到最小值与最大值，算出它的极差， 确定好组距再分组。第二，根据平数分布表，平数分布直方图，对小黄鱼的生长情况，你能获得哪些信息？大家先自己画出来。然后呢，通过数据我们就大概知道小黄鱼它的体长大概集中在哪一个范围比较多，是不是 好？下面还有一个阅读统计的力量，大家自己阅读一下。今天的内容呢，还是比较简单的，就到这里，感谢大家的耐心聆听。

八下数学最难的十大必备公式，全部背熟，逆袭班级前三二零二六新八下数学重点公式加考点一、二次根式二次根式核心概念三大必备公式最简二次根式同类二次根式二次根式运算规律 二、勾股定律一、核心公式勾股定律勾股定律逆定律三、必备重要结论，勾股数直角三角形中常见的类型两点间距离公式四，高频考点 三，四边形一、平行四边形定义性质判断面积二、矩形特殊的平行四边形性质判定面积三、菱形四、正方形五、直角梯形等腰梯形六、四边形之间的关系以上就用例子吧。

好，同学们好，我们来看一下九中刚考完的周测二里面的选择题的最后一题，那这道题是一个函数与几何的综合问题，题目给了一个一次函数 a b 和一个反比例函数 相交于我们的点 c 点和点 d 点，那通过点 c 的 一到二，我们马上是可以推出来，我们的 k 二是有的吧，对不对？ k 应该是一乘二，就是二的，那也就是说我们的 y 二其上就会等于我们的 x 分 之二， 那这个有了，你的 m 点是不是就出来了，对不对？带入进来，我们的 m 一定会等于四，那所以两个点都有了，你是不是可以用带定系数法直接去把我们的 y 一 求出来，对吧？我们设 y 一 等于 y 已经设完了 k， x 加 b， 那 所以带入我们点 c 点，我们带它带入进来，那可以得到我们的 k 一 加 b 是 等于二的， 然后这边一样的把四加进去，我们得到四， k 一 加 b 会等于我们的二分之一，解出来就好了解出来，我们的 b 应该会等于我们的二分之五，那我们的 k 应该会等于我们的负二分之一， 所以我们的 y 一 就出来了， y 应该会等于负二分之一， x 加上我们的二分之五，那所以所有的点数都出来了，对不对？那因此我们的点 b 点也有了，点 b 点应该是我们的零到二分之五， 然后点 a 点带入进来，应该会等于我们的五斗零，然后点 c 点 d， 题目都给了，那这些都有了之后，我们标一下吧，这里是我们的一斗二， 这里是我们的四斗二分之一，那我们就可以开始看了，所以第一个 b 是 等于二分之五，肯定是对的，对吧？那往下这两颗面积相等，那我们可以算一下 s 三角形 b， o， c 会等于二分之一底乘高，我们以 o b 为底，那就二分之一，乘上二分之五，高就 c 的 横坐标，那就乘上一，所以这个面积是四分之五。那么的 s 三角形 a， o， d 也可以算算一下，二分之一，以 o， a 为底，就是乘五，再以 d， d 到 x 轴距离为高，那就乘二分之一，所以算出来还是我们的四分之五，因此点 b 也是 b 也是对的，那 c 这个呢？ 对 c 这个选项， s 三角形 c， o， d， 你 就用整体减全部是不就可以了，对不对？它会等于整个的 s 三角形 a， o， b 去减去那两个小的三角形，那就减一下，整个就是二分之一。底乘高，那就二分之一，乘上二分之五，再乘五，然后减去我们的二乘四分之五。因为第二位已经算完了，所以算出来应该等于我们的四分之二十五， 减去我们的四分之十，因此这个面积应该是我们的四分之十五。所以 c 是 错误的选择 c 选项，那么 d 来看一下，一到四，其就点 c 到点 d， 这两个点之中对不对？他说 y 一 会大于 y， 很 明显，对了吧，对吧？这样的点之中，你的一次函数是高于你的反比例的，所以 d 也是正确的。因此这道题选择我们的 c 选项。

随着新教材陆续起用，上海八下数学练习册答案也更新了，该版本与新版教材同步配套，内容包含整册练习题，方便学生进行课后订正与自查。目前，完整版答案已经整理完成，不少家长和学生也在关注这一资料，用于核对作业，疏理解题思路，更好的跟上新学期的学习节奏。

第三题，这个题他考察的是平行四边形和依次函数的一个综合，那下面我们一起看题目哦。在平面直角坐标系中，一个平行四边形的顶点是坐标原点， a 点， b 点的坐标都告诉我们了哎， b 点的坐标是一个具体的点哎，这个比较好，大家都喜欢。那么 a 点的坐标给的是什么？ 给的是用含有同一个字母，也就是同一个字母表示的它的横纵坐标。同学们在旁边写上，如果在考试的时候有一个点的坐标，如果一个点把它写下来， 如果一个点的横纵坐标用同一个字母来表示的， 用同一个字母来表示的同一个字母 表示。注意了，那我们能得到什么结论呢？这个很重要，以后在任何题目中，只要你看到某一个字母，这个点的坐标里面，它是用同一个字母，比如说 m 啊，横坐标也是用含有 m 的 数字表示的， 纵坐标也是含有 m 的 式子表示的哦，横坐标是含 a 的 式子表示的，纵坐标也是含 a 的 式子表示的。只要是同一个字母，只要是用同一个字母表示的，那么我们得到什么结论呢？则该点一定在某条 固定的直线上。把这句话写下来，这个很重要，这是这道题的一个精髓所在。好，紧接着下面我们来看一下。 a 点的横坐标是 m， 纵坐标是四分之三个 m 再加上三分之八。这句话的言外之意就是， a 点的纵坐标永远都等于它横坐标的四分之三加三分之八。所以根据题目的意思，我们瞬间就能得到哦，原来 a 点的 坐标，它的纵坐标也就 y 永远都等于它横坐标的四分之三加上三分之八吧，这就是 a 点的 所 a 点所在的直线吧。好，那接下来根据我们画图，可以画一下这个平面直角坐标系，然后呢 把这条直线给咱画出来，这个还是比较容易的吧，那么这个点是 x 等于零的时候， y 等于三分之八，这个点是 y 等于零的时候， x 等于负的九分之三十二，很快能出来。 这是一个 o 点，还有个 b 点， b 点是什么 b 点呢？横坐标是四，纵坐标是三， b 点大概在哪里呢？噢，大概我就画一下， b 大 概在这个位置，我随便画的啊。 b 点的坐标是四、三， 现在它要求的是平行四边形 o、 a、 b、 c 的 面积啊， o、 a、 b、 c 的面积，是吧？能看懂吗？也就是说 o、 b 是 对角线， a、 c 是 对角线，它是有顺序的，而不是 o、 a、 b、 c 这样顿号表示的，顿号表示那叫分类讨论，那么它是用一个平行四边形符号，然后 o、 a、 b、 c 表示的，就是很明确的告诉你， o 和 b 是 对角线， a 和 c 是 对角线， 看得懂吗？它的顺序已经固定了，那此时此刻它要求的这个四边形的面积，那我们是任意的随便找个点就是 a 点，比如说这个点就是 a 点，我们来画一画这个平行四边形， o、 a、 b、 c、 c 大 概在这个位置，可以对它进行微调一下。 诶，没调好 这样一个平行四边形吧。好，我们这样一个平行四边形就出来了。那接下来根据这个题目我们看一下，这是 a， 这是 b， 这是 c。 好， 那么这个平行四边形面积，我们都知道 a 在 动，这个 c 肯定也在动，但是 o 和 b 不 动， o 和 b 不 动，那我就首先把它连起来，看看能得到个啥？把这个 o 点我也得调一调啊， 大概 o 点调到这个来 好，微调好了之后呢，接下来，那我不妨把这个 o b 啊给咱连起来，可以吧？哎，通过 途中啊，我们能够发现啊，大家看一下， o 点固定， b 点固定，我们试试看这个 o b 怎么感觉跟它平行的感觉到底平不平行呢？那我们可以把 o b 的 直线表达式来算一算，因为 o 点知道， b 点坐标也知道，所以 o b 的 直线表达式通过计算瞬间能够发现，原来 它的 k 值也是四分之三啊。哎呦，如果两条直线的 k 值相等，则这两条直线是相互平行的，原来这个 o b 和这个 a 点所在的直线相互平行啊。那么题目中要求这个四边形的面积，大家看一下，是不是就等于两个 s 三角形？ 我们 s 平行四边形 o a b c 是 不是就应该等于两个 s 三角形？谁 a o b 啊？而 a o b 的 面积我们会算吗？ 根据平行线间的等级变换，我们知道平行线之间的距离是处处相等的，也就是说 a 点到 ob 的 距离永远相等。 那么无论 a 在 这条直线的什么位置，这个三角形的面积，它的大小都是固定的吧。好，那我们不妨取一个特殊位置，因为在是既然在什么位置面积都一样，那我随便找个特殊位置，比如说我就找 a 点，在这的时候，此时三角形 aob 的 面积对于我们来说简不简单？ 横坐标是三分之八，重坐标是，哦，不是底，是三分之八，哦，这个高是四，所以这个 s 三角形的面积不就算出来了吗？哦，等于两倍的乘以它的面积是二分之一，底，底是谁底？比如说这个在这个 a 在 这个位置的时候，是吧？ 也就是说三分之八乘以高，高是几？高是 b， 点的横坐标就是四，那么通过计算，我们瞬间发现它的答案就是三分之三十二。那么注意了， 这就是我们要求的平行四边形的面积吧，正确答案就选 b 这个地方。通过这道题，我们学会了什么呢？首先第一个就是，当你看到如果一个点他的横纵坐标是用同一个字母表示的，你一定要记住，他一定在某个固定的直线上， 那么这个固定直线怎么看呢？你只要看他的纵坐标如何由横坐标得到，你看他的纵坐标永远是横坐标的四分之三加三分之八，所以由此可见，他所在的直线就是这条直线吧。另外一个就是平行间的等级变换， 如果两条直线平行，那么此时此刻上面这两条直线距离是不是处处相等啊？那么在一条直线上取一条线段哦，在另外一条直线取个点，那么此时这个线段和这个点构成的面积，无论你这个点怎么运动，它的面积都是固定不变的吧。

八下数学最难的十二大压轴题全部吃透，稳进班级前三！八下数学一次函数十二类压轴题题型一，两个一次函数图像共存问题 题型三，一次函数与三角形全等问题题型四，一次函数与三角形存在问题 题型五，一次函数中折叠问题题型六，利用一次函数解决分配方案问题 题型八，利用一次函数解决行程问题。完整版分享！

今天还是八年级下音式分解的分享，前两天已经把公式法还有提公音式法分享完了，所以今天讲一下十字相乘。我是在西安高新分享数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。来一起看一下十字相乘的问题。 我们在做十字相乘时，一定要先明白，若一个式子 x 平方加 p 加 q 倍的 x， 再加上 p 乘以 q， 好，我们就可以分解为 x 加 p 乘以 x 加 q 这样的形式，这就叫十字相乘。因为我们可以写作 x x 一个 p 一个 q， 他 俩相乘加起来的系数要等于中间的系数就可以。好，这就是咱们简单的十字相乘， 所以来一起做一下题。第一个， x 平方加六， x 加八，我们先要明白， x 的 平方可以写作 x 和 x， 而八 可以写作一乘以八或者二乘以四，都可以得到八，但是中间的系数为六，所以我们可以试一下。比如说你写一和八的时候，交叉相乘一个是八 x， 一个是一 x 加起来是九个 x 不是 六 x， 所以 一和八不可以， 所以我们就可以修改一下，变成二和四，因为二四也等于八，然后交叉相乘之后可以得到四 x 和二 x， 所以 合起来刚好是六 x， 所以 我们横着去写，就可以写作 x 加二乘以 x 加四， 这就是咱们简单的十字相乘。好，接下来一个也是一样的道理， x 平方写成 x 乘以 x， 负八负八，我可以写成负二乘以正四，或者负四乘以正二，或者负一乘以八，也可以是负八乘以一， 但是我中间的系数是多少是正奇，所以我要写作的是八和负一 相乘等于负八，刚好八乘以 x 等于八， x 负一乘以 x 等于负 x， 两个合起来刚好是七个 x， 所以 我们写的时候一定要注意是横着写，它的分解后就是 x 加八乘，以 x 减一， 这就是咱们简单的十字相乘的因式分解。这个方法一定要记住，因为在咱们到初三学一元二次方程以及二次函数时，都可以用此方法去解方程啊。 好，接下来系数不为一，我们会发现，系数为一时，我们是 x 和 x， 那 系数不为一，我们就可以写作是一个三， x 乘以 x 就是 三， x 方 后面是一个负三，那谁乘以谁等于负三呢？只有一乘以负三，或者负一乘以三，但是中间的系数一样的是个负八，所以我们要写作一个是负三，一个是正义，因为这样写负三乘以三等于负九，加一个 x 就 等于负八了。 好，所以我们的答案就是横着写，三， x 加一乘以 x 减三。好，这就是咱们的十字相乘因式分解。最后一个一样的道理，可以写作，五 x 乘以 x， 负九就可以写作，因为中间是十二，谁乘谁， 两个一加又等于十二呢。好，只有三乘以五等于十五，十五减三等于十二，所以我们要写作，三和负三交叉相乘，刚好就等于正的十二， 所以我们写的时候一定要注意是横着写，所以最后答案等于五， x 减三乘以 x 加三。好，这就是咱们简单的十字相乘的也是分解，因为这种式子里面是不含有 提供音式的，公音式的也没有公式可以去做，所以说只能用于十字相乘。好，今天的分享就到此结束，希望各位能够持续关注，持续的去点赞，多多的转发给身边有需要的人。

八下数学最难的一次函数全部吃透逆袭班级前三八年级下册数学一次函数必考知识点一、一次函数的概念与图像二一次函数的斜率与截距三、两点确定斜率四一次函数的最值问题五一次函数的定点问题六，一次函数图像的平移七、一次函数图像的翻折八、一次函数交点问题 九一函数函数解析式求解问题十一数形结合求等式十二用分段函数图像研究最值的最值以上应用题吧。

八下数学最难的七大知识点全部吃透，稳进班级前三二零二六新版八下数学必备公式考点梳理相关概念，二次根式、代数式、最小二次根式、同类二次根式。二次根式的运算法、乘法、除法、加减法分布有理化。二次根式的性质， 这是点一。二次根式定义，这是点二。最减二次根式，这是点三。二次根式的性质，这是点四。最减二次根式和同类二次根式，这是点五。二次根式计算分母有理化，这是点六。二次根式计算二次根式的乘除，这是点七。二次根式计算二次根式的加减法。以上应用公式吧！

那好啊，咱们继续来讲解北京八中开学测的导函数。 第一问，已知 f x 等于 x 倍的 e 的 x 方加 a 倍的三 x， 当 a 等于零时，求证，那把它化简一下呗， a 等于零时， f x 比 x， 其实也就是 e 的 x 方， 这是常见结论啊，但得得写个过程啊。那就构造个新函数呗，令 g x 等于 e 的 x 方，减啊。不好意思，抄错了，这没有等号啊。 嗯，减一减一，大家注意一个细节啊，我们原来正的这个式子里面， x 本身出现在分母上的，所以实际上我所证明的这个式子， x 是 不能为零的。所以在这儿的定律大家要注意一下，它是负无穷到零，并成零到正无穷。 求它啊， 很简单一个式子啊，令 g 到 x 等于零， x 等于零。呃，表格率不写了啊， 你会发现，整个 g x， 它其实在零处取得最小值。虽然我定义域没有啊，但我可以这么写，在零处取得最小值。所谓 g x 最小值， 它得大于 g 零，因为零取不到 e 的 零，四方减零，减 e 等于零，所以实际上整个 g x 是 大于零，横成力的，那所以就是 e 的 x 四方大于 x 加 e， 也就是。 哎，这又正完了，正完了，它图像长什么样，我们可以画一下。 取不到怎么画？你看，它在左右两侧是先减后增，只不过在这是圈而已，先减后增。 哎，长这样，大概这么一个东西啊，就左侧，它其实有渐近线的啊，左侧应该是无限趋近于 y 等于负 x， 那 条直线就是二四相交的角平分线。哎，右侧是一个单增的一个曲线，大概长这样啊，在零，这是圈取不到。 看第二个。若 f x 大 于零，对于 x 属于零到派，横乘力求 a 的 取值范围有区间，有和零的大小。端点效应啊，看看端点是不是 f， 零就是零，加零等于零，发现没有，这个函数是 零处，就是在端点处正好是零一，要求在零到派内大于零，恒成立。典型的端点效应啊，它是不是就得保证在零这个位置？在零这个点必须有一种单增的趋势，先求个导， 在零这有一个单增的趋势，那是不是也就意味着，所以 f 到零，也就是一加 a 要大于等于零，即 a 大 于等于负一。 哎，但是啊，大家注意，这只是一个充分性的证明，相当于我在这是个单增的趋势就可以了。那之后是不是一直单增啊？那不知道，后面还有可能减呢？所以说这只是个充分性，我们还得进行成必要性的证明， 它证明在零到派上大于零就可以了。好，我们来看下在零到派上怎么去证明它大于零。前期是 a 大 于等于负一啊。 我们直接来看一下 f 到 x， 你 会发现直接看正负不太好判断。在这种题里面，大家一定要有一个意识，就二阶导一定算是个常见考点，再导它一次呗。 f 两撇 x， 也就是 x 加二倍的 e 的 x 方， 哎，加上 a 倍的 cos 就 减去 a 倍的 cos， 哎，你会发现，当 x 属于零到 pi 时， 开 b 啊，开。当 x 为零到 pi 时， x 加二倍的 e 的 x 方是正的 a 倍的三， x 是 负的，一个正数减去一个负数，那所以 f 两撇 x 大 于零，横成力啊，即 f 到 x 单增啊。好，判断出 f 到 x 单增之后，那我就可以说了，所以 f 到 x， 它不也大于 f 到零，相当于最小值取不到呗。我在零，这还是个圈，取最小值，把零带进去， 也就是一加 a， a 要是大于等于负一的，那就大于等于零呗。那 f x 就 单增了， f x 单增了，那所以 f x 也大于 f 零 等于零啊，相当于我通过 a 大 于等于负一，我正出了 f x 大 于零，那最后说明我这个范围是对点，所以 a 属于负一到正无穷， 这就结束了。这是一个典型的端点效应类的，先猜后正，我通过端点处的一个单调性，先猜出 a 的 范围，进一步再求出，就反着去证，证明 a 的 范围成立就可以。这是第二问。看第三问， 若存在 x 一 x 二属于零到派，使得 f x 一 等于 f 倒 x 二等于零，求证 x 一 小于二倍的 x 二，这是典型的一个极值点偏移啊， 就两个自变量比大小，而且大概率还会可到阴零点，因为这个 x 二求不出来啊。好，我们来看在这个式子。 呃，像导数这种题啊，第二问的结论不能白写啊，一定要有用啊。第二问，是不是给了一个单增的情况下，它是负一到正无穷啊？那我们第这个第三问不可能让单增啊，那单增的话，是不是就没有这个 x 一 了， 没有 x 一 啊，所以相当于由二问可知， a 大 于等于负一时， f x 在 零到派上无零点， 那就不行了。所以 a 实际上得小于负一放下来。这个可能就在北京有的时候用不到啊，但是可以放这了，它一定是占分的。好，有了 a 的 范围之后，那下面我就知道了， a 小 于负一，随在零这个点，这个函数一定是一个单减的趋势，它的先减又为了保证它有零点，所以函数图像大家可以大胆猜测一下，应该长这样， a 一定得先增，它先减再增上去。先减增上去，你它 a 小 于负一，在零这儿先减下去，为了保证有零减，肯定再增上去。那老师有没有可能再减下来呀？没可能，因为这个导数图像，或者看导数解析式吧，在这儿 它后面是 a 倍的 cos x， a 小 于负一，当后面这个值如果开始往上走的时候，它已经不可能再往下走了，因为前面是 e 的 x 四方，它就会一直是正的，就只要开始是正的了，开始正的了，它就会一直是正的，一直一直正的。那好，那我们再来看， 它正的是 x 一 小于二倍的 x 二，不相当于告诉我们二倍的 x 二在这吗？ 所以我就可以说了呀， x 一 小于二倍的 x 二，等价于 f x 一 小于 f 二 x 二，这就是极值减偏移，相当于通过单调性把自变量直接变成了函数值， 再进行消元。因为 f x c 是 零啊，所以让我们去正的，也就是 f 二 x 二大于零，这是让我们去正的，这个写出来也是给分的，基于直线偏移。 好，那看看 x 二满足什么条件。 f x 二是我的一个导函数的零点，肯定求不出来，那么这就是我 x 二需要满足的关系式。而 f 导 x 二等于 x 二，加一倍的 e 的 x 二次方加上 a 倍的 cosine x 等于零。好，这就是引零点，这是一个含餐型的引零点，而且 大家记住了啊，含餐引零点怎么处理？一般都是约餐， 这个一般能到百分之九十五以上。把 a 分 离出来，也就是 a 等于负的 x 二加一倍的 e 的 x 二方。比上 cosine x 二。 有同学说老师这么复杂，他会这么复杂吗？后面是可以约的啊，在这就是约餐，复杂也约餐，复杂也约餐啊。那下面去正 f 二倍的 x 二吧。 s 倍的 e 的 x 三加 a 倍的三 x， 所以 f 二 x 二就是我们需要证明的这一项， 也就是 x 二倍 x 二倍的 e 的 二 x 方加上 a 倍的三二 x 二，把 a 带进来化解。二 x 二倍的 e 的 二 x 二加上 cosine x 二分之负的 x 二加 e e 的 x 二乘以 cosine 二倍的 x 二。被角公式呗，可以约一个二倍的 cosine x 二。 cosine x 二。哎，约掉了，约掉了。好，下面化解。 也就是二倍的 x 二倍的 e 的 二 x 二四方减去一个二倍的三 x 二 乘以 x 二加一乘以 e 的 x 二四方。哎，你会发现有一个共因式，我可以提一个 e 的 x 二四方出来啊， 也就是二倍的 x 二倍的 e 的 x 二次方减去一个二倍的 x 二加一倍的 sine x 二。 真好，这个数，真好，这个数。而且第一问的结论没白正，我们分开看啊，看直线和直线部分，曲线和曲线部分。那么 由第一问可知，是不是 e 的 x 二是不是大于 x 二加 e 大 于零，都是正的啊，在零到派都是正的， x 二大于三也 x 二大于零，这样是不是都横乘立啊。那么两个正数和另外两个正数乘积比大小，那么两个大的乘积是不是肯定大于两个小的乘积啊，那就直接大于零了， 那么如果 f 二 x 大 于零了，那不就证出了，所以二 x 二大于 x 一 吗？那结论就证出来了，这个题就结束了。哎，这个就相当于利用我们已知的结论就可以了。 这我们补充一下这个 x 和散 x 图像，大家要做个对比啊，我在前面的视频里讲到过，这个就是导数里面三个常见的结论啊，大家可以有疑问的可以回去看一下， 他们大概长这个样子， 这就是散 x， 这就是 y 等于 x 图像。 x 和散 x， 它们两个在零零处相交，就原点处且只有这一个焦点，哎，相当于它们在这相切了。在右侧大于零的时候， x 比散 x 大， 在左侧 x 比散 x 要小， 所以因为是正数啊，所以这个题里面 x 二一定比散 x 二要大，哎，所以我就正出了结论。 这是一个非常典型的即质检偏移加引零点的这么一个处理方式，特别是啊喊餐引零点，大家一定要注意啊，喊餐引零点一般都是约餐，主要方向都是约餐啊。 好，这就是巴中特卷，大家多看多思考啊，咱们回头再说，拜拜。

这个地方我们注意三点，第一点错位了可解决问题。这个版本不一样，第一是两个变量， x 跟 y， 第二是 y 是 x 的 变化，额，变化 x 是 变量， y 是 函数。第三 就是 x 没取一个确定的值， y 都以唯一确定的值，所以函数 y 怎么样？唯一？唯一取个意思，你这个 y x 函数是为什么呢？因为 x 每取一个值确定的值， y 都有唯一的唯一，所以 y x 的 函数函数，这个是圆的面积公式。 x 是 r 的 函数吗？是，而且怎么样？唯一，那这个 y 是 x 函数吗？不是，为什么呢？取幺，因为 y 是 二次方，所以它算对结果有正负两个数，对开方的时候有什么？正负零加一分比， x 等于 y 等于多少， y 等于零分。二， y 等于 x， 所以 不唯一。对不对，这不是，但反过来， x 是 y 的 函数吗？是， y 都取确定的值， x 怎么样？唯一确定是吧？好，这上面都是函数关系式了。函数关系式也叫什么？解， 好，这我们今天学习的目标，我们读一遍。学习目标，学习目标，一、了解函数图像的意义，会观察函数图像，获取信息。 二、会根据图像初步分析函数的对应关系和变化规律。三、激励化函数图像的过程，体会函数图像建立 数学年级的关键是分别用点的横坐标表示字变量和对应的函数值。好，我看这位他认识这个数学家华罗根，华罗根，对华罗根是吧？请坐， 华罗根，大家了解不？了解？不了解，他是一位很优秀的数学家，他是很多数学学术的创始人跟开拓者， 也有很多科研成果，比如华师弟、林华师不等式。他不仅是一位优秀的数学家，他还是一位浪漫的诗人。他一生写了很多诗，我这有位有，我这里有首诗，我们一起来欣赏一下，我们一起读一遍好了，开始。 树知勤时少之，官，勤少树时难入微。树形结合百般好，隔离分家万事休。能看懂吗？ 看不懂，他大概讲的，因为也能看懂。百合不是古文，他大概讲的是塑形结合的好处。就初中塑形结合思想。 今天我们这节课再来体会一下塑形结合的好处。好，我们看下面，这是张什么图？奇异图，奇异图，它反映了心脏部位的生物电流 y 随时间 x 的 变化情况。 当你能否用这个解释来表示图中 y、 x 的 函数关系，能写出解释吗？它们关系式能写出来吗？好的，看动手啊，这么简单，能写出来吗？ 别动手了，很难写的了。笑，很难写，看到没有？是不是砸了我们的是不是有点忘？ 所以有些函数问题很难用解析式来表示，但是可以通过这个图来直观的反映，你们看一下能看懂不能？你刚开始读这个电流怎么样？很平稳是不是？突然之间怎么样？很难？突然之间怎么样？很小又怎么样？很平稳是不是 又很大很低？来看懂吗？嗯？什么意思？是要蹦蹦就轻便？事实上，既只能用函数表达，是表示的函数，如果没有图形来表示，则会使函数关系更加清晰，又很直观，对不对？更加直观， 这就是我们这节课要学习的知识。函数的图像，我们一起来学好，现在呢？第一个，正方形的面积 s 与边长 x 的 函数解释是什么？ s 等于 x 是 不是啊？很简单了，那字母 x 取的范围是任意？他说的类似说 错 c， c 等于等于他的所表示的意义， x 是 什么意义？ x 肯定是什么数，证书是吧？所以 x 应该等于等于等于美女。我们知道对于字母 x 没取一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，是吧？下面我老师列出来一部分， 那我就是一部分。这边的纸看到没有？总共有几个？九个，你看这九个有什么特点吗？每盒加两个，每盒相差零六，对不对？就很均匀，我是取的均匀，取，这有什么好处？就更具有代表性，你再全部取的一块对不对？均匀取，分开一点均匀。 那这样的这个算数相印的是什么？函数的对不对？函数 s， 把下面的算一下，在导旋上面，然后导旋前面一块口算一下，钱包能算出来，这样就好了，很快这样算就好了，应该可以在那我们一起对好了。第一个是 零，零点五，一，二点四六点九一，十二点五十六，这样我们就得到了九对质分量跟函数的值是不是九对？ 我看这里第一个是 x 等于零， x 等于零，那我们把这边的 x 等于零，把它作为一个点的函数表，函数是 x 等于零的，作为点的纵轴表，我们就得到一个什么坐标，一点坐标对不对？同样我们看第二个位置， 把这个 s 分 了， x 等于零点五作为横坐标，那函数值 s 等于二，零点五作为度的表，那这个点是多少？零点五到零点二五一直都可以得到，其他的点 没问题吧？第三个点是一到一，零点五到二点五到四，幺零点五到幺九，总共可以得到九个点，九个点没问题吧？九个点， 那么下面我们我们来把这九点，把它描到这个直角坐标系上去，也可以描上去，那么它的横坐标是图是什么？是不是 x？ x 动作是什么意思啊？面积 s 是 s， 看到没有？来描，在导向上面描还是九点描上去？九点描点记都忘记了，大学学的应该记得东西。 先找到函数标，再对到动作标，瞄准一点，那老师心中有数，那虚线比较花，你就得打对上去。对，就找三个点描出来。 九个点变好了，第一个右键好了，这个方向很好，要抓紧时间差不多了，没有九个点好，这里描一下第一个点是多少给你，你是不是？ 第二，零点五，零点二五对不对？第三个点，一点一，是不是？第四个点？一点五，二点五，二点五对不对？ 没让你继续秒，二二四二四，然后呢？二点二点二五，六点二五，六点二五，然后呢？三九九三，九点五，十二点五，三点五，要高啊，四十六，四十六会得九点没问题。好，我们一起看，一起看。这个函数 x x 八只能取这九个点吗？有多少个点？无数点。为什么取无数点去啊？因为正数有无数个， 这个点是哪里来的？这个点是哪里来的？这个点新来的对不对？取的字面上跟函数的值对不对？他有多少对，所以他有多少点？无数个点，那这个点你也可以这样一一的描出来吗？ 可以，你可以都可以描，对不对？那你描得完吗？描不完，还有无数点对不对？其他的点 我怎么样画出来？怎么画出来呢？好多点对不对？找规律。我看这个其实他没两个人之间，他也有多少个点，五十个点是不是？他这五十点可能，但是两个人两个点怎么样？去接是不是？去接呗， 我看他这个走他的走势在怎么样？转弯是不是弯？我们可以用一条从左到右，可以用一条光滑的曲线把它连起来， 光滑的曲线来连一下动作看好在你画功的时候到了，画的漂亮一点。光滑的曲线从左到右，慢点光滑光滑光滑光滑变歪了，光滑 歪了。还可以，一般是从左到右光滑的曲线把它连起来，先连左手三分之一对半， ok。 这个光滑的曲线它就很近似的，代表着无数个点，看到没有？这上面这边有很多点近似的，但不一定完全是近似的，光滑的曲线连起。 大家发现这个点刚刚有没有血记得吗？我血是不是，但他的血少了，有没有？没有？是不是？这个点有没有？那我为什么画？因为他是什么？是旗帜点，从这开始对不对？开始我把它画出来，这个更好画， 但这个点不不包括对不对？不包括我们用什么东西来表示，他今天也学不等式吗？用什么？空心把它挖掉是不是？这不把它挖掉一般是多少点？不要的用空心挖掉。 谢谢红心的人到了没有？嗯，还一定要注意这个点。有没有，有没有人没伸出头的？有没有？有，肯定有人没伸出头的。看到没有，有人摇头了，是不是？不伸头？不伸出头行不行？不行，你不伸头说明他是个什么点？光点还能延伸吗？ 不能，是不是？而他上面还有多少个点？五十个点，是不是？所以画图一定要注意，如果他前面还有点一个，把它延伸，伸出头，看到没有？ 来这个解释，把它标一下，在旁边跟上标落下，再跟规范标到这个图的旁边，好了没有？好了，写错了，好，对对对对，看来眼睛还是比较尖锐。 ok 了， 我这里还有函数 f x， 我 们可以用同样的方法来画出他的图形。看我这里挨吧，我都取了几个。这个来的字母有什么特点？每次都加一，对，不对？均匀，对不对？还有什么特点？ 正，负到正，有正有负，对不对啊？前值取的什么数？正，正数。因为这边 x 取的范围是什么？正数，正数，还有零，像正数我们一般都取正数，取负数也取，一般是对正数 这个负一，这一，这更具有代表性。那这样可以算出它的函数值，对不对？那我标错了四，四， 标错了四，这是二，这是奖励，四标反了。 好，这样不可以把它写上的。什么坐标？是不是坐标？每一个值组值一个点的坐标有几个点？五个点，五点。我们来描点，把它描上去，五点，下面再用什么？黄花，黄花，谢谢。连起来是不是？我连一下，光滑的 好像是个什么直线线，那他本身就是一条直线线，他是直的，前面那个是什么曲线线，这时候我们最好用一把尺子直接勾到就好画，这样更规范。好像我们刚刚得到了两个图形，对不对？ 这条曲线是他的图形，这条直线是他的图形，那这两个图形我就叫做这曲线啊，和直线就叫做这两个函数的图像。我看图像的电影 一般的对一个函数，先先看下这个值，如果把正的量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，记得吧？刚刚已经取过了吧。嗯，那么坐标平面内这些点有多少个点？十五点组成的图形 就是这个函数的图像，大家看这个像是什么像？有单刃法吗？没有，不要写错了，大象的象。把地划一下树上后面，在后面，在七十六页上面，到时候自己用一分钟把它理解一下。 图像的理解一下。我，概念很重要啊，概念的理解，这样我们也要学，做题就更快理解透的举手。 四个五个六个七个，快哇，三分之一一个举啊，老师心中有数对不对好吗？好，再来你看一下这个图像它是由什么组成的？点高点，这无中点，它构成，什么图形它就什么图形，什么 曲线，它图像是个什么曲线，它的图像就是条曲线。所以要对这个地要理解那地是怎么来的。 有边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边 吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃边吃。 换句话说，这个点的坐标他就满足这个函数。解释能理解不啊？那就来的是不是对，来的好。通过，有了图像之后，我们通过图像就可以跟就可以竖形结合的研究函数，比如这个图像，看这个曲线 他的往往哪里走？往上走也可以理解成上坡路。是不是上坡路？你看 当 x 增大的时候， s 如何变化？变大是不是也就是 s 随 s 的 增大而增大，能理解吗？上坡路。是不是上坡路？我看这个他是往哪里走？往下走，你看是什么？下坡路？下坡路很陡，慢一点很陡。下坡路。 那么当 x 增大的时候， y 如何变化？ y 越小越小，是不是往下对不对？ x 是 x 的 增大和减小，对，减小， 往上一伸增大，往下一伸减小好，往下。我们来做 v 来想刚才这个图像的画法。第一步，我们是第一步怎么做的？描 x， 描那个表是不是？那个表应该很明显的，对不对？ 一个表，是不是啊？早说取相应的这个样的值，所以取，我们一般取五到九个比较好，五到九个太少，五到九个， 那注意取的怎么取？取这个具有代表性，具有的取，如果有负数还取负数，对不对？再算出相应的函数的值，再把它们每一个值组成点的坐标。第二步，哪点？哪点？第三步，息。