七下数学格子图怎么画

我们看第六题，如图，在方格纸内将三角形 abc 水平向右平移四个单位，得到它。 第一问补全，咱们就不补了，简单来看第二个，画出 bc 边上的高线 a d， 这个就比较简单，因为 bc 它是一条竖直的线，所以我只需要将它延长，对不对？哎？延长，然后呢？ a 垂过来就可以了。 ok， 你 需要注意的是，第一个，这个直角符号你得有第二个，这个垂足 d， 你 得写上去啊，这个要注意。关键是我补了一个题啊，后面也有相同的题， 画出 a c 边的高 b e， a c 边的高 b e， 嗯，就就就就，反正就可能这样，是不是？但是怎么画呢？在这里咱们先给大家补充一个小小的知识点，就大家来看，来，我在这里画一条线 啊，这是一条紫色的哎，我再画另一条不同颜色的线，这是什么颜色呢？啊？管他呢，他们两个垂直不垂直，因为你看这两个三角形一模一样， 是不是就这两个边啊？他所在的三角形一模一样， 所以你知道。呃，我这里写吧，这个角阿尔法跟这个贝塔呼吁是不是？ 然后呢，这个我们还是用度数来表示吧，如果这个度数是 x， 这个度数是 y， 那 么很明显，这个度数来看，这个度数，这个角是不是和这个角相等，它的度数是 y， 那 么这里呢？是 x， 是 不是 x 和 y 互余， 所以这个角加这个角是九十度，这里是垂直的，嗯，咱们再画一个，来画一个这样的， 请问你来看他们两个垂直吗？也垂直，为什么呢？原因也是一样事啊，原因是一样的，朋友们，好吧，这两个是不是也垂直？然后我们再来看 这个所在的三角形啊，直角三角形，他是这个竖着的直角边是不是二？这个横着的直角边是不是一？ 所以我们就从这条边啊，他在一个一乘二型的直角三角形里边啊，当然你找一个矩形也行，一样的。好吧，我们就以三角形为例了。好，同样的道理， 我们在这里写一乘二啊，一乘二啊，我们先写横着的，再写竖着的，横着的直角边是不是一？竖着的直角边是不是二？那么同样的道理， 这一条边它在一个横二竖一的直角三角形里面啊，那它就是二乘一。 ok， 咱们再来看这两个也垂直，对不对？这条边在一个横一竖三的直角三角形的一个斜边，哎，一个斜边啊，横一竖三，就在一乘三，就在一乘三，那么呢，它跟它垂直， 它在一个三乘一，也就是那个斜边， 没有问题吧？你就根据这样去找，那么它会垂直了吧。那有一个问题来了，就比如说啊，我把这条线给它平移，平移到哪里呢？咱们使劲往下走走啊，咱们给它平移到这里来，给它平移到这里来。 我想问的是啊，都在格点上啊，都在格点上，有的时候画的不准。我想问的是，这个和这个还垂直吗？当然垂直了，因为你平移的话，这个跟这个平行，这也跟这个垂直，那他们两个当然还垂直啊。 ok， 咱们就是根据这个思想来哈，懂了不？ 懂了不？我们这个必须要擦掉了。嗯，根据这个思想来，我看这个 a c 啊，它很明显啊， a c 是 不是三乘一啊？ 啊？以后练的六了， a c 就是 三乘一，那这个 b 什么那个高啊，是不是一乘三？是不是一乘三它就垂直了？一乘三，哎，横一乘三也就是什么在这里写了啊，横着是一，竖着是三， 也就是说竖的是三，横的是一，所以我先来个竖的，我先给 b 啊，先来个竖的三，再来个横的一，哎，我就找到这个格点了啊，你牢牢的记住这个格点，我们给他起个名字。叫什么呢？叫这个，嗯， w， 呃，算了，叫，呃 m 吧。 ok， 那 这个时候你发现 bm 肯定是垂直于 a c 的， 那 bm 所在的直线肯定也是垂直于 a c 的， 那那个垂足不就找到了吗？ 好，所以怎么呢？连接 bm 并延长。嗯， ok， 哎，我这里怎么有一个 e 呢啊，等一下啊，连接 bm 并延长啊， 一定 bm 在 格点上，对不对？哎， bm 在 格点上，朋友们， bm 在 格点上。 好吧，那这个时候这条直线与 a c a c， 你 延长 啊，当然我这个题出的有点失败。嗯，就那样吧，因为这，因为我，因为这个，此时此刻这个点意不在格点上啊，是不是不在网格点上？我们说我们但凡求的啊，让我们做的图一定都在网格点上啊，但我这个做的是对的。好吧，只不过我随便出了一个题，告诉你这种 啊，画出某个边的高它的做法，你像这种 bc 的 高，它太简单了，是不是这种横平竖直的啊？ 那这种斜着的怎么做高？就我刚刚所说的 a c 是 三乘一，那么 b 什么一定是一，一乘三啊？一乘三也就是横一，竖三也就是竖三。横一。是不是先找到这个格点，然后呢？哎，给它延长，哎，可以垂直了，哎，懂了，不？垂足符号别忘了哈， 懂了吧，那接下来看第三问说，若图中三角形 a、 b、 e 是 三角形 a、 b、 c 面积的两倍， 在格中描出所有满足条件的格点，一并标记啊。我们先来看我们的第一种方法啊，我们就先来说四五二吧，因为我们正好把这个勾画出来了。我，你知道啊，朋友们呐， 我这个有点问题的地方就在于我这个，哦，我们，我们，我们这个高，不是 b e 啊，我们，我们给它起个名字， b f， 因为跟下面冲突了，是不是啊？叫 bg 吧， b g 可以 吧，那这个点呢？不叫 e 点了，叫 g， 叫 g 点。 ok， 好， 接下来看下一本。呃，因为我会做三角形 abc 的 高，你会做吧？会做，每个边我们都能做出来，但是我们看啊，他说三角形 a、 b、 e 是 abc 面积的两倍， a、 b、 e 是 abc 面积的两倍，那我能不能认为这个底边都是 ab 啊？ abc 的 高，我就假设在这啊， abc 的 高，嗯，在这 abc 的 高， 假设吧。啊，是不在这叫 c h， 可以 吧，好，记住了啊， abc 的 高， c h 是 不是也是不也就是 ab 的 高 c h， 那我三角形 a、 b、 e 的 面积是 abc 面积的两倍，那我此时此刻这个高呢，它就水涨船高了啊，这个高呢，它，它的长度一定是两倍的 c h， 这个大家明白吧？就面积之比 啊，当底一样的时候，两个三角形底一样面积之比就是高的比，所以你的高是 cs， 你 这边必须是两倍的 cs， 两倍的 cs， 那 不就是把这个 cs 这个高我延长一倍就可以了吗？ ok， 大家能明白这个道理吧， c h 高，延长一倍就是我，这，对吧？这里 c h 的 高，我给他延长一倍，是不是？而且那个点 e 啊，我要看到它是不是在格点上，是，在格点上，那就很很成功啊，就这么一个思路啊，就这么一个思路， 那我们来呗，做勾怎么熟啊？我们现在让我做 ab 的 勾呢，我们来看 ab， ab 是 什么？ ab 是 横三竖六三乘六。我的妈呀，好大呀，能不能让它小一点？可以的， a b 啊，它不是横三竖六吗？其实你看这里，我找一个格点，这个格点是，这个格点是不是在 a b 上啊？ ok， 是 吧，那我就来代替了，让 a b 短一点，是不是？找高吗？你垂，比如说我这个地方叫 a 什么呢？ a q 吧，那你做一个高，你不要找高，是不是这个 c h， 它垂直于 a b 就 垂直于 a q， 是 吧？啊，所以呢，这个 a b 啊， ab 来 ab， 它就是在这个一乘二直角三角形的斜边，没问题吧？啊，当然你三乘六也可以，也可以，也可以啊，就，就是有点太大了，是不是？那么它的高呢？ 是不是二乘一啊？来点 c 二乘一，也就是横二竖一，先竖一，再横二，同志们来看一看，是不是这个点，我就找到了， 这个，是不就是那个一点，我给他起名叫一一，哎，看到没有？就这样找到了，这个一点 没有问题吧？ 其实是有问题的啊，我们只能说这个点啊，这个点你连接 e c 并延长，一定垂直于 a b， 没有问题，但你不能说这个点能够使得三角形 a b e 的 面积是 a b c 的 两倍。好吧，我们这个点，我们的初心是什么？ 是不是我要做出 ab 的 勾啊，对吧？所以你不要一激动啊，就把这个点认为什么了，那么再来看一下是不是呢？其实是的，来我们看啊，当我连接 这个点叫什么？给它起个名字叫 c m， 连接 c n， 并给它延长，哎，朋友们，这个高它就出来了，这个时候这里就是那个高，比如说我们叫 c h， 还有啊，这个时候 c h 就 垂直 ab， c h 就是 ab 的 高， 然后我们来发现，哎，你看啊，这个 c h 跟这个 c n 是 不是相等的？ 这个 c h 跟 c n 是 不是相等的？也就是底是 ab 高， n h 是 c h 的 两倍， 那 a a n b 的 面积不就是 abc 的 两倍吗？也就是三角形 abc 的 面积是不是两倍的？三角形 abc 的 面积是的，因为高是两倍吗？底一样吗？底都是 ab 吗？所以，哎，这个点，这个时候我可以自信的给它起名叫小 e 啊，叫 e 一， ok， 那 么接下来我就做平行就行了，接下来再做平行，找个点啊，做平行找个点，好，我们来做平行，做 e， 什么？平行于 a b， 那 既然平行的话， 那你这个啊，画出的直线一定是一乘二的，对吧？一乘二跟一乘二平行，一乘二，一乘二跟二乘一垂直，这个没问题吧？所以咱们来画直接非常快的就能画出来啊，只要是啊， 当然我们在这里啊，哎，看一下 来几个点，这里是一一，这里是一二， 是吧？它也是格点啊，这里是一三，这里是一四，这里是一五，对不对？好，我们标记一下，一一一二一三一四一五， ok， 没有问题吧？那五个点我们就找出来了啊。 这个时候呢，其实我想提醒一下大家，正常来讲，因为这个网格不够大啊，如果这个网格够大的话，在这个左上角也会出现点 e， 是 吧？完全可以。如果网格足够大，左上角是不也会出现 啊？一个 a b e 面积是两倍的三角形 abc 啊，对不对？ ab 是 底吗？是完全可以出现， 没问题吧？然后我再过这个点一做啊，一什么平行于 ab， 去找那个格点，但因为这个他这个图不够大嘛，是吧？所以你要知道对面也要有，就这边也有 a， 就 ab 的 右下方有，那么他左上方一定有，但因为你这个网格图不够大， 那我就没法画，哎，但是你要是知道，是吧网格图足够大的时候，你一定要画出来，因为后面我们还有这样的题啊。好吧， 总结一下这个思路叫面积两倍，那底一样高就两倍，先做出高， ok， 再延长，是吧？我们找到了其中一个点，一一，然后再啊做平行啊，再再平行啊， 不是带延长，带平行。大家明白这个道理，那么这个思路仪呢，咱们再做一个视频了。

好，各位同学，今天我们继续带着大家一起来学习一下，这叫我们数学七年级下册第六章第五节平数直方图，那么其实在上面两节课，我们仅带着大家学习了什么是平数，什么是平数统计表的相关概念，那么今天我们来继续学习一下什么是平数直方图。 其实像这个东西其实非常好理解，就是基于我们上节课他那个评述统计表，我们现在将他画成了一个图的形式，对吧？那比如说你看课本上可以说这张图他其实就是一个评述直方图， 那么通过我们本节课的学习，大家呢你就会掌握如何将一个评述统计表，将它化为一个评述直方图，好吧，那么首先我们先带着大家去了解一下，究竟什么是评述直方图，评述直方图它的组成有哪些呢？ 那我就来看基于我们这一幅图，我们来看一下什么是平数值方图，那么首先我们可以看到他有两个轴， 横轴呢？是不是表示时间，纵轴表示是平数，那么其实可以发现这个横轴他这里是时间，那么其实我们总的来看，这个横轴是不是就是我们划分的一个分类的一个主笔啊？对吧？啊？纵轴就表示平数，也就是他所出现的一个数目，然后现在他是用不同的一个长方形啊， 表示他不同组别所出现的个数目，那这里我们可以知道你可以发现是什么呢？落格个若干个宽，其实是等于主距的， 对吧？那么我们其实来看啊，他这里的主距是多少，大家能不能看出来？七点五到十二点五，所以他的主距肯定是五啊，没问题吧？然后他现在又说他的一个平数是六，那么我们现在呢就是以主距啊为他的一个 宽边，然后呢以这个出现的平竖为这个长方形的长变化出这么一个长方形，那这样子其实就组成了我们的一个叫做平竖直方图的一个东西。好吧，那这里大家其实你特别的可以注意到， 就是说我们用这个面积啊去表示每一组平竖的一个长方形，其实就是表示我们这一个 各个组别它所出现的一个平数。那么因为我们在划分的过程中，通常每一组他们的主局都是相等的，那这时候如果说每一组主局都看成一的时候，那这个时候我们的一个长方形的高，是不就表明了这一组它的一个这个平数是多少， 对吧？这是有关于平数值方图的一些相关的基本概念。那么下面呢，我们通过几道实际例题啊，来带着大家看一下如何。我们来看例题一， 他说抽查二十名同学啊每分钟脉搏的次数或者如下数据，我们可以看到这又是一些比较零散的一些数据，我们首先需要想办法对他进行分类整理， 那么现在他让我们画出平数值方图，那么这个时候大家其实你并不需要慌张，我们首先呢需要结合上节课所学习的知识，先对这些数据进行分类整理，也就是说我们先画出他的一个频速统计表，对吧？那么是不是首先我们先需要进行什么分组， 对吧？分组过程呢，我们是不是需要先对数据从小到大排列，然后可以确定一个组距，再求得组数。那这里呢，我们这个组啊，他最小是从六十七点五开始，因为他最小的是六十八吗？对吧？ 然后按照组距为五啊，给它划分成了五组数据，对吧？那这个时候呢，大家呢，再根据这个话记法，你分别统计出各组一个频数，我们可以求得这样一个数据。 好吧，那在这里其实大家可以看到他这个表中啊，多了一个我们之前好像没有见过的一个东西，叫做什么祖宗值，那这个祖宗值其实理解的非常好，理解 祖宗值就是说你这个祖啊，他前后两个边界值的一个平均数，就称为是祖宗值，好吧，那你就比如说像六十七点五和七十二点五，他这个祖宗值就是七十， 那这个主中值啊，他究竟有什么用呢？那在这里可以注意了，我们以后啊，再画这个平数值方图的时候，我们如果说上去反映他这个组别，他所一个 所占的一个人数的一个比例，那这个时候我们通常比如说你看六十七点五到七十二点五之间，那他这个数目肯定是都很多的，你可以是六十七点五、六十八、六十九等等，对吧？那这时候我们就统一啊，用这个七十啊，去代表这一组他的一个中间的一个数， 好吧？好，那你想我们有了这一个平数统计表以后，我们下面是不是就可以直接去画一个平数值方图，那么怎么去画呢？那么首先他的一个横轴啊，就表示他所出现的一个脉搏的一个数母， 对吧？那这个时候我们就直接可以利用祖宗之了，你看七十、七十五、八十、八十五、九十，对吧？那你看我们直接画七十、七十五、八十、八十五、九十，刚好是作为这个长方形他们这个 宽边的一个中点，对吧？然后呢，你看纵轴是不是就是平竖啊？那就是表示这个长方形的高度是多少， 对吧？那你看课本上这里也给我们做出解释，为什么我们需要利用到主中指啊？他说啊，平竖直方图啊，横轴上可以只表示出主中指，而不表示出这个主界，就是为了使这个图形清晰美观，对吧？那么当然大家其实你不采取这种主中指的一个方法， 你画这种，呃，把他的前后两个边界值都给他表示出来，那么同样也是可以的。只不过呢，我们采取祖宗指啊去画平数值方图这个方式啊，可以使得 这个数据啊，他我们可以更加直观的一个看出来，对吧？那其实同样的，就比如说我如果说只给你这么一张平数值方图，其实你同样的可以求出来他这个边界是多少，对吧？ 那么你看我这两个主中值的差值，是不就是我一个主他的一个主距，那么主距是五，那么你看这一半是不是就是二点五？所以他这一边的这个边界值是不是七十减去二点五，那另一边就是七十加上二点五，对吧？那是不，同样我们可以看出来 这个主他的一个前后的边界值，对吧？那所以说大家不要慌啊，看到主中值时候，我们同样是可以求出一个主他的一个边界值的， 好吧，那么像这样子其实我们就可以得到了一个呃，平数值方图，那么其实通过这个平数值方图，我们是不是可以更加清晰明了的可以看出来不同主别叉所占的一个比例，那你想比如说这里这个长方形最高，那我是不是就可以认为这一个主啊？他这个脉搏 这个次数每分钟卖补次数是最高的，对吧？那其实同样我可以再根据什么平数之合，我是不同样也可以求出他所所有调查的一个同学的一个人数啊，对吧？ 好，那下面我们接着再带大家看一道问题啊，现在是这么一道问题，他说各种矿泉水 ph 的 平数分布直方图啊，那也就说他的横轴表示 ph， 纵轴呢表示平数， 对吧？现在第一问问啊，被检测的矿泉水总数有多少种？那不就是平数之合吗？那么首先来看，第一组是一个，第二组呢是四个，第三组六个，第四组是十个，第五组呢是五个，第六组呢？ 第六组这边应该是六个，它中间有一个，这个 ph 值啊，是没有的，好吧，那么你总的一个总数就是一加上四加上六加上十加五加六嘛，那么大家通过计算一下总数应该是三十二，好吧， 然后呢大家呢，你再去啊看一下第二文，他说被检测矿泉水的最低 ph 值为多少，那么非常简单，那其实这个最低 ph 值其实也就相当于是让我们求解这个第一个组它的一个边界值吧，那么很明显我们可以看到它这个组距啊，其实是零点四的， 好吧，那么你第一个数据它其实就是五点九减去零点四除以二嘛，所以最低 ph 值应该是五点七，好吧？那么现在第三问，他说主界如果说是六点九到七点三，那么请问它的一个平数和频率是多少？那么首先我们先找到这个主句是六点九，呃，主是六点九和七点三嘛， 那就是这一个范围内，这是六点九到七点三这一组，那么它的频数，我们根据这个频数值方图可以直接读出它的频数是十，那么它的频率呢？就是用总的十除以三十二最终求的一个频率，对吧？那么现在来看第四位， 他说根据我国颁布的这个生活饮用水的卫生标准，他说饮用水的 ph 值应该在六点五到八点五范围内，也就是只有在这个范围内的矿泉水它才是合格的。那么先来问不符合这标准有多少种， 那是不就看哪一些矿泉水它所检测的 ph 值不在这个范围内，那你看六点五到八点五，它是不是在这两个区间之内都是符合标准的，对吧？那是不是只剩下第一组和第二组是不符合标准呢？那么一共是不是有五种不符合标准， 那么他所占的一个百分比是多少？那就是五除以三十二吧，没有问题吧？好，那么下面呢？最后啊，课本上又是给出提出来这个小问题啊，他说啊，这个平数值方图啊，问我们 他与这个条形统计图相比，他有哪些特点？那么首先我们其实可以看到这个平数值方图，他其实可以直观的反映出什么呢？ 是不是就是不同数据它的一个分布情况，那你想我是不是横轴它都是表示我们所画的一个不同的一些主笔啊？那我是不是可以在这个图上我可以清晰读出，比如说在不同的主笔当中，它所各自对应的一个频数以及频率，对吧？那是不是可以就可以直接的得出啊？有关数据的一个分布情况， 对吧？当然我们也可以看出数据的一个集中情况，那什么叫集中呢？就是说哪一组数据它所出现的这个数目最多，那就说明这个数据主要是集中在这里，对吧？那所以说我们采用这种平数值方图，其实是可以更加帮助我们去分析大量数据它的一些 集中的一个趋势的，好吧？皆是他的一个内在规律的好。那么现在我们可以看一下这个条形统计图是什么东西啊？我们都可以注意到这个条形统计图它和我们平数值放度很像，都是用这种长方形的一些形式去反映数据的， 对吧？但是当时大家其实我们可以知道，这个条形统计数它只是反映的是某一个数它所出现的次次数的。大家有没有印象这个条形统计数，它比如说是统计什么？一出现的次数，二出现的次数，三出现的次数， 对吧？所以说它们这个条形统计数你画出来它应该是呈这种趋势的，就说它不同的两个长方形之间其实是有空隙的， 大家有没有注意到？而我们这个平数值方图是什么？我们是根据不同类别将它划分起来，那前后两个主别应该是无缝衔接的， 对吧？而且呢，我们还可以注意到它这个平数值方图，它这个横轴划分的是我们不同主别，就是我们根据不同的类型划分的一个主别。而条形统计图，它的横轴啊，其实是表示的是什么？是不同的一些项目的， 对吧？不是数据的不同区别，而是不同的类别，或者说是项目的。这是我们这个平数值方图啊，他和其他统计图相比的一些不同点，对吧？那时候我们最直观的一点就是说，平数值方图他的好处就在于可以帮助我们去了解不同数据他的一个分布情况， 好吧，好，那在最后呢，我们再通过几道课内那些题目再来巩固一下。那么第一题一次啊，统计这个七年级若干名学生每分钟跳绳次数的平数值方图，如图啊， 那么根据直方图回答下，没问题，那就是看图说话嘛。其实那么第一问，参加测试总人数是多少，那时候就是平数相加，所以一共是十五人。 第二问，数据分组时组距是多少？那你看啊，是不就是任意两个组中值相近啊，所以应该平组距是二十五，那么组距有了，那我们来看， 自左至右最后一组两个比例值分别是多少，那是不就是一百三十七减去二十五除以二和一百三十七加上二十五除以二啊，对吧？因为我的组距是二十五嘛， 然后呢，他这个一百三十七又是这一组的一个组中值，没问题吧？然后他现在又问了，这一组的平数和频率分别是多少，那么平数直接从图上可以读出是三频率呢，是不就是三除以十五啊，对吧？等于百分之二十，非常理解吧。 好，那么再看第二题，他说回答本节节节节语中的一个问题，那么节节语就是我们刚才看到的这么一个平数值方图，对吧？他现在让我们根据这个统计图读出三条信息，那非常好看，我是不是可以得出什么？总的观看时间是多少， 对吧？就什么意思呢？也就说我们可以看出总的测试人数是不是六加十九加上十五等于四十个人，对吧？我还可以读什么？你看中间这一个组别，他的一个对应的长方形高度最高，那我是不是可以认为在这个时间段，他们播放时长这个所占的人数之比是最多的， 对吧？那你看我还可以读出什么？我是不是根据可以根据他的祖宗值可以得出他划分的不同祖籍其实是五啊， 对吧？这些都是我们可以从平数值方图当中所获取的一些信息。好，那各位同学到这里，我们本节课呢，有关于这个平数值方图的相关概念就已经给大家讲解完毕了， 下面我们带着大家规范总结一下我们这节课学习了哪些核心内容。其实今天这节课，我们在上节课的基础上，让大家通过平数统计表去画了一下平数值方图，对吧？我们可以发现平数值方图与这个条形统计图其实是非常类似的，只不过它不同的长方形之间是紧密的连在一起的， 对吧？那么其实通过这个平数值方图呢，我们也可以直观的去看出来，不同数据在各个组别当中他的一个分布情况，对吧？那么我们在画这个平数值方图的时候，我们为了更加直观明了的去表示，我们通常呢会直接用他不同组中间那个组中指啊去画。 好吧，那这个时候其实有组中指，我们同样其实可以求出啊，这个组距和一个组的前后的两个边界值的 没问题吧。好，那么在最后的课本上，他也是给出了我们些有关于这些平数直方图的一些相关的练习情况，那大家自己在课下呢抽空呢将这些题目给他完成掉。 好吧，好，那各位同学到这里啊，我们本节课有关于平数直方图的所有相关内容都已经给大家讲解完毕了，我们下节课再见。

前两天说过初一下册就开始真正的几何学习，这两天就有不少的初一去问我辅助线的问题，所以今天就把辅助线一次分享完。 我是在西安高新分享数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。初一下册的第二张虽然说是相交线与平行线，但其实认识这些东西是很简单的，难的就是对于辅助线的画法，所以一起看一下下面这几个图。 这四类图是经常会出现咱们初一下册集合里面的图形，而辅助线都该怎么画？来一个一个看。第一个 叫做猪蹄模型，我们在猪蹄模型时会发现 ab 是 平行于 cd 的， 而中间会有一个点屁，这个点屁就是我们画辅助线的地方，一般情况下我们的画法都是过点屁做 ab 和 cd 的 平行线 同理。第二个图叫做铅笔模型，铅笔模型也是同样的道理， ab 平行于 cd， 一般情况下我们的辅助线也是过这个凸出来的点屁做平行线。而第三和第四个图同理，我们看到会有两条平行线， 而凸出来的地方就是我们要做辅助线的地方，所以通常情况下会过点屁，这样子做一个平行线， 所以我们记住，看到此类图形，辅助线的画法就是在他凸出来的那个地方。好，我们接下来一起看一下这道题。 说 ab 平行于 d、 e 两条平行线，且角 abc 等于七十度，角 c、 d、 e 等于一百四十度，问角 b、 c、 d 的 度数，这个红色的地方，这个角。我们看到这种图形肯定是要做辅助线的，刚才说过从凸出来的地方 去画辅助线，所以这道题要过点 c 画 a、 b 和 d、 e 的 平行线，记作 c、 f 有 平行线了之后，因为我们这个角 abc 是 七十度，我们其实就可以得到 内错角也是七十度。我们现在知道 b、 c、 f 的 度数之后，我们要求 b、 c、 d， 我 们就还要求一个角，就是这个 d、 c、 f 的 度数，而 d、 c、 f 和角 d 其实是一组同旁内角，所以我们要知道，又因为这个同旁内角 c、 d、 e 等于一百四十度， 所以角 d、 c、 f 就 能算出来等于四十，所以最终我们的角 b、 c、 d 就 等于角 b、 c、 f 减去角 d、 c、 f 啊，所以最后的答案就是三十度。题目难度不大， 最重要的是我们如何去画出这条辅助线，所以把上面四个模型的常见辅助线的画法记住就可以。好吧，好，今天的分享就到此结束，希望各位能够继续的关注，持续的点赞，多多转发给身边有需要的人！

d k 无解数学格子法 大家在干嘛呢？我们在玩跳房子呢！看起来好有趣啊，加我一个。不过你们知道吗？这些格子还有更大的作用呢？ 克罗尔，快跟我们说说还能做什么呀？大家还记得之前我们用长乘法进行整数乘法和小数乘法计算吗？ 其实我们还可以利用格子法进行整数乘法和小数乘法计算哦。哇，这么神奇吗？快给我们演示一下吧！ 我们来用格子法计算七十八乘六十四。由于这是两位数乘法，所以我们需要画出长和宽都是二的格子，并沿着格子的边写下算式中的两个数字。在格子右上角写上乘号。 在每一个小格子中，从右上方往左下方画一条对角线。注意要将对角线延伸到格子外面哦。 接下来我们把每一列上面的数字与每一行末尾的数字相乘。当我们计算七乘六时，实际上是计算七十乘六，答案是四百二十。把四写在格子中对角线的上方，法二写在对角线的下方。 这相当于是把数字按照百位和十位分开了，百位上是四，十位上是二。 继续将每一列上面的数字与每一行末尾的数字相乘，六八、四十八、四七二十八、四八、三十二，直到填满所有的格子。 最后从右下角开始，把每条对角线上的数字相加。第一条对角线下只有一个数字二，所以我们在对角线末端的边缘格子的外面写上一个二。 现在将第二条对角线下的数字相加八加三加八等于十九。把九写在对角线末端。把一进位到下一条对角线里， 并在下一步计算中将它加上。我们继续把每一条对角线下的数字相加，直到计算到最左上角，这样我们就分别得出了数字四、九、九和二。所以从左上方往右下方读，答案就是四千九百九十二， 你们明白了吗？嗯，明白了。格子法和扩展长城法有点像呀，都是将不同位置的数字依次相乘，然后相加得到答案。 只不过格子法的位置是用斜的对角线来区分开的。哎，可是用格子法怎么进行小数的乘法运算呢？小数点应该放哪里呢？当然可以了，我再来举个例子吧。 我们以三点五九乘二点八为例。首先，我们分别在格子的上面和右边写下算式中的所有数字，包括小数点哦。 然后我们按照整数乘法的步骤进行计算，将两个乘数中的所有数字分别相乘，依次得到六十、十八、二十四、四十和七十二。 记得把六写成零六，以便计算进位哦。接着我们再沿着对角线，将格子里的数字分别相加，按照从右下往左上的顺序进行，依次得到了二五、零零一。 这些我都会了，关键是小数点怎么办呢？我们从上面的小数点往下看，从右边的小数点往左看，找到他们在格子中相遇的点。 从相遇的点开始，沿着对角线到达格子的底部，把小数点写在格子边缘的两个数字之间就可以了。所以三点五九乘二点八等于十点零五二。 嘿嘿嘿，这个方法真好玩。嗯，是呀，这很简单，画个格子就算出来了呢。嘿嘿嘿， 朋友们记住下面的口诀，遇到乘法画格子，好玩有趣又好记。小树相乘要牢记，小树点拐角来相遇。接下来轮到你们了，试一试用格子法完成这两道题目吗？ 数学无处不在，我是你们的思维训练员卡罗尔，我们回头见吧！

家长们同学们好，今天我们来讲一道我自己孩子做错的，我们先看一下题目有一个很重要的细节， l 二和 l 三是相互平行的，并且与 l 一、 l 四相交。很多孩子在途中逐一地去找同旁类角，这样很容易找少或者找重复。 正确的方法是我们一步一步来数，保证不重不漏。我们先看一条结线的情况，当 l 一 作为结线，结 l 二、 l 四时，会形成两对同旁内角。我们来再看原图， 同样，当 l 一 作为结线时，我们一个一个数完。 l 一 结 l 二、 l 三形成两对同旁内角。 l 一 结 l 三， l 四形成两对同旁内角。由于 l 二、 l 三平衡，当 l 二作为结线时，不能结 l 三，只能结 l 一。 l 四形成两对同旁内角。 l 三作为结线时，也只能结 l 一、 l 四形成两对同旁内角。当 l 四作为结线时， l 四结 l 一、 l 二形成两对同旁内角。 l 四结 l 一、 l 三形成两对同旁内角。 l 四结 l 二、 l 三形成两对同旁内角。现在我们把所有的情况加起来，二对乘八等于十六对。希望家长孩子们都能真正理解，明天见！

好，大家好，这一期视频呢，给大家再讲解一下削字型，哎，它又叫平分线的考点，好吧，然后呢，如果大家有什么不会的，请打在评论区给大家一一讲解的。 先看这道题还是什么呢？遇到这种题就是，哎，看平行对吧？这是模型，你看什么模型呢？你看朝里向外是不是削字型？削字型考什么呢？ 还记没记得拐角，拐线和拐线的夹角对不对？拐线和拐线夹角，拐线和平线的夹角对不对？ 对吧？是不是这个这个这三个角的关系啊，对吧？怎么写呢？还记不记得两个小角的和等于大角，对吧？第一步，完成了，角 abp 等于角 p 加角 cdp， 对 不对？ 看，写完以后我说过遇到角平分线，第二步，标角对不对？设这为 x， 那 这呢？是不是 x？ 这为 y， 它是不是也为 y， 对 吧？所以角 a、 b、 p 等于什么呢？是不是二 x 等于角 p 加上 c， b p 是 不是二 y， 对吧？所以角屁等于什么呢？是二 y 减去二 x， 这不就完事了吗？对不对？当然让你用角屁表示什么呢？用 f 来表示对不对？你看这个角还没用到角 f、 e、 d 等于什么？ f、 f、 e、 d 是 这对不对？你看这又是什么模型？老铁， 再看还有什么模型，哇哦，这不是 m 型吗？是不是 m 型？所以角 f、 e、 d 等于什么呢？等于 f 等于这两个角的和吗？是吧？ 那 a、 b、 e 你 是不是得用刚才你设的 y 来表示呀？怎么表示呢？你看这设这设的多少？这设的是 x 对 不对？ x 以后，所以 a、 b、 e 怎么表示？一百八十度减去 x 对 吧？角 d 呢？我设的是 y 加上 y 等于二 f 啊， 对不对？对不对？那人家你看角 b 是 二 y 减 x 吧，提个二 y 减 x， 所以 你要用什么把它变为什么形式？ 变为 y 减 x 的 形式，你看这是不是就是 y 减 x， 对 不对？所以 y 减 x 等于什么？把一百八移过去，到弦了， f 减去一百八十度，这不就是等于二倍带进去 f 减一百八，等于二倍的 f 减三百六，这不就是答案？所以以后遇到一个角，用 y 和 x 来表示的，把它看成个整体，求这个整体就完事了。明白了没？大家都不要害怕。好，这道题就讲完了，谢谢大家。

宁波家长朋友，这种网格题啊，是咱们中考题目选择题里面的送分同志啊，很多孩子一看到这个歪歪扭扭的三角形啊，找直角找不到，开始就发慌，拿这个尺子一动量，结果还是选错。其实这个题根本不需要量，只要你会数数，小学一年级也能把它做。对啊， 艾老师教我们一个口诀来，正切找直角，没有直角找格点什么意思呢？那从丁点开始，顺着网格垂直往下切，一直切到哪里了？切到和 b 同一条直线上，是不是来到这里了？切到这里了啊？好， 那我们就正确是什么呢？对边比斜边对吧？那我们看一下，这个对边就竖着这个边有几个格子切到的。从切到这个点开始数，一个格子，两个格子，三个格子，是不是三啊？ 那么横着的往回数看一下，一个格子，两个格子，三个格子，四个格子是不是就四分之三啊？所以选 b 是 不是比我们在草稿纸上算半天要快多了？ 好，这种网格题除了正确以外，还有政学、语学，甚至还有网格里面的语言。关注艾老师，下期带我们解决三角函数里面的坡度问题。

来一道非常难的填空题，将九个各不相同的正整数填在三乘三表格的 九个格子中，一个格子填一个数，使得每个二乘二的子表格中四个数的和都恰好等于一百。二乘二的子表格啥意思呢？ 就是三乘三表格中形状为填字的表格，二乘二。哦，那好，理解了，如图一，请你将这五个填入表格时期，符合条件，就是符合这个条件，让它都等于一百。 问 x 等于多少？发现他给了四个数，又给了你五个数，那总共九个格，那 x 一定是这五个数当中的其中一个数。哎，我们先来 看看技巧在哪啊？突破点，我就找数最多的这个天字格漏，那就这个 四个数加起来等于一百，已经给了你三个数了。十五加五等于二十加三十，五十一百减去五十，这不就是五十吗？ 啊，这是五十，那我就这个五十就可以先划出来，填到这，然后就剩下四个数了。这四个数填进来，发现这俩不知道。 这四个数，这俩不知道。这四个数，这俩不知道。我全是两个数，两个数不知道了，这个时候咋办呢？哎，你只能设字母了啊。假设这是 a， 这是 b， 这是 c。 好， 我来列式子， a 加 x 看看等于几。 这是四十五，一百减去四十五，那不是五十五。然后 x 加 b， x 加 b， 它是四十，一百减四十，六十， b 加 c， b 加 c， 是 三十五减一百，那就是六十五。 好，然后来看看它的可能性，嗯，反正是这四个数，对吧？那哪两个数加起来等于五十五呢？找一下，五十五、五十五，这俩数加起来等于五十五了， 那就是二十和三十五，但这俩可以互换，是吧？不一定谁是 a， 谁是 x。 好， 所以我把可能性都写中，那 a 还有可能是三十五， x 还有可能是二十， ok， 那 看下面这个，哪两个数加起来等于六十呢？这俩数加起来也等于六十。哎。 哦，但是这有个 x， x 已经是这两种可能了啊。当 x 等于三十五的时候， b 是 多少？二十五 哦，当 x 等于三十五的时候，那它就和它加起来是六十。那当 x 是 二十的时候， b 就是 三十五喽。 哦，当 x 等于它， x 等于它时， x 等于它时，那它就是四十喽。哦，这写错了，那这应该是四十，这俩不是互换啊。但这是二十的时候，这是四十。 ok， 那 没有重复的啊。没有重复的。然后再看 b 加 c， 那 b 是 有两种情况，当 b 等于二十五的时候， c 是 几？ b 等于二十五的时候，那 c 就是 四十喽。哎，那就是这个啊，那当 b 是 四十的时候，那 c 就是 二十五喽。 你填一填，相当于 a、 b、 c 都没有重复的，都有两种可能，所以 x 的 结果就是二十或者三十五喽， 没有重复答案。你看，你看，绿色的， a 是 二十 x 三十五， b 就是 二十。嗯，都对。你看，红色的 a 是 三十五， x 是 二十，那 c 就是二十五。没有重复的，都在这四个数里面打转转，也和其他的数没有重复的，所以我 x 两种结果。好，我们再来看第二问， 这九个正整数总和的最小值是多少？ 和第一位已经没有关系了啊。但是这第二问我还得看已知哦。我把九个各不相同的正整数填到这个三乘三的 表格里面，我得使得每一个二乘二的表格子表格中四个数的和都等于一百，然后我把这九个数找出来， 然后它总和，这九个数的和。九个数的和不就是竖和吗？这九个数的和还得找出它的最小值来。 那你这个考的不就是又是竖和跟线和之间的关系吗？因为你已知条件都只是告诉我，四条线和是四百， 相当于和有一个数定值，但是你要求的是这九个数的数和的最小值。 ok， 提议理解了啊，这数已经不是第一位里面的这几个数了啊，是要让你自己找九个数， 而且得是正整数，正整数是大于零的，还得是整数，那不就是自然数吗？那就是一二三四五。你想让这九个正整数的总和最小，那不就从最小的开始数吗？ 一二三四五六七八九。哦，你发现这九个数，你想找九个和最小的数， 但是你这四个数四个数加起来不是一百呀，所以呢，你还得找一个一百的数， 哦，那这个时候数和跟线和的关系，那你就看这四条线哪一个数重复了，哎，先观察一下啊， 啊，这四条线，这四个数，这四个数，这四个数总共四条线，你先观察一下，这个数两次，呃，这个数两次，这个数用两次， 这个数用两次。你发现中间的那个数好像用了四次，哎，这四条线合加起来的话，四百，中间这数数了四次，最边边上的这四个顶点的数就数了一次， 蓝色的点点是数了两次。记住它啊，记住它。好了，那我现在把它再擦掉，我给它标上字母。呃，假设这是 我把四个边标成四个零点标成 a、 b、 c、 d， 这是用了一次的数，然后呢？ a、 b、 c、 d， e、 f、 g、 h， 这用了两次的数， 中间 h、 i 九个数，中间这个数用了四次。好了，那这四条线合我是不是就能写出来它等于啥？用了一次的 a、 b、 c、 d， 用了两次的 e、 f、 g、 h， 加上二倍的 e、 f、 g、 h， 用了四次的 i。 哦，它这个加起来等于四百。好， 那数和是啥呢？你想求的这九个正整数的数和是啥？不就是 a、 b、 c、 d， e、 f、 g、 h、 m 这九个数， 分析一下这个限和，这是一个定值啦，你想让这九个数的和最小， 对吧？求最小值。哦，那我这个线盒里面发现除了这竖盒，把 e、 f、 g、 h 和 i 都拉出来一个，不就组成了一个竖盒了吗？ 这一个竖盒再加上剩下一倍的它了啊。 e、 f、 g、 h， 好， 再加上一个 i 还用了一个，那就剩下三 i， 你这几个数的和要等于四百。这个定值想让数和最小， 那你这边的数不得最大吗？ 他要小，你就得大，再来看，他要大，尽量大啊。但是我这几个数加起来还得最小呢，所以我这还得小吧，我这得稍微小一点吧。 哦，对吧，因为我这加了四个数呢。我这只有一个 i， 只有加了一个 i， 可是我这个 i 加三个呢？我这个 i 增加一，那我还得乘以三，那就增加了三。 不，那我这最大 i 最大的时候， 我竖和不是最小的吗？它越大，哎，它越小，反正我保持这个大就好了，我保持整个这个最大就好了。 这整个这个最大里面的它还得最大。为啥呢？因为它是乘三， 它增加一个，它就增加三个，那么它增加，如果它大了的话，它大了的话，它对整个这个核的贡献就比较大，对不对？那这个呢？ e、 f、 g、 h 和 abcd 去比较呢？ 你看人家这是二倍的，所以说这个稍微大一点， 这个稍微大一点，它就能大二倍，那么它不就小了吗？整根的这个核不就小了吗？ 所以你确定好了关系，它 a 是 最大的一个数，次之， e、 f、 g、 h 是 稍微小一点的数， 那 a、 b、 c、 d 呢？就得是最小的数。哎，搞清楚啊，它得是最小的，因为它的系数乘下来只有一一乘以它，它呢是次小。呃，次大， 它呢是最大。哎，它就是稍微大一点，但是它得最大，因为你看啊，中间的这个数用了四次，我中间数越大，那我其他的数就越小喽，因为我的和是一定的。 嗯，好了，那我开始找了，从正整数里面去找， 然后先从最小的找不就好了吗？因为最大的没有最大数啊，只能说里面，所以我先从最小的里面。那这不就是一二三四吗？ 然后 e、 f、 g、 h 比它稍微大一点，但还得小，还得小，它越小，我这个总和越小啊，所以五六七八呗， o 再加上一个四 i o， 别忘了还要等于四百呢。那我算一下啊，那这个最大的值是几？一二三四加起来是， 这是五五十，这个加起来是。啊，啊，五加八十三，六加七十三，二十六，这个加起来是二十六， 他的和是四百，那二十六还得乘以二，二十六乘以二，那就是五十二。 好，五十二加上十六十二，那我用四百减去六十二，呃，八九减六三， 三百三十八，也就是说四倍的 i 得等于三百三十八，这个和才能等于四百。 哎，那三百三十八得是 i 的 四倍呀， i 也是正整数啊。三百三十八好像除不尽似呀。 完了完了，这又卡壳了。三百三十八除以四四八，三十二于十八，四四于十六，还余下二 出不进，那么我这个 a 就 确定不了呀。我想让它是八十四，但它还余了个二，那我只能往倒着往前推。余了一个二， 我只能在这里面找啊。调这个数，因为它的增量比较大。调这个数，那我还要尽量的使前面这个小，那我只能调这一个喽。我要增加一个二，你不就不余二了吗？ 增加一个二，那我这数里面不就增加一吗？你看啊，如果我调这个数的话， 把它调高一，那我这里面加的时候不就六七八，我就多加了个三呀。多加了三，那我这不就多加了六吗？多加了六，我这就不是最小值了，所以我肯定得调这个大值啊， 那么我相当于增加二，那我把八调成九就好了。把八调成九啊，八调成九，我用黑色的，不清楚了啊。八调成九的话，那这加二，这加了二， 那不就是五十四了？五十四，那这就是六，那这就是三三六 三三六除以四，正好，这是六整除八十四还是八十四。哦，那我这个 i 的 值就求出来了，就八十四。 好啦，那我 a， b， c， d， e， f， g， h i 全确定了，那我这个值就是最小值喽。 然后你再来确定一下它四个数加起来能不能等于一百。好，我先把这八十四写下来啊。八十四看不清，写红的，这是八十四， a b、 c、 d 是 一二三四，这个不用动，它一二三四摆上最小的，然后中间的这个我得去算一下来，对不对？ 哦，那你这看一下啊，这一加 f 是 等于，这是八十五，一减是十五， f 加 g 是 八十七，那十三 啊，这加 h 是 八十六，那是四，呃， e 加 h 是 八十六，哎， 这也是八十六，刚才哪算错了，这加 h 是 八十八， 八十八，那十二，那 e 加 h 八十六，那这十四，哎，十二十三，十四，十五，这差俩，这差一个对，正好和我们的五六七九这四个数对应上啊。那看一下谁加谁能等于十五？ 十五，那不就是九加六吗？那 e 就是 九， f 就是 六， 再来， f 加 g 等于十三，这俩能互换啊。嗯， f 加 g 等于十三，谁加谁等于十三，那只能六加七等于十三喽。 六加七等于十三，那 f 只能是六喽。哎，正好写的对了啊，这是七 好，嗯，那这就出来了， e、 f、 g 还有个 h， g 是 七啦，那么 h 不 就是五 好，那 g 是？ 我来标一下啊。嗯，标成黑色的吧。 e 是 九， f 是 六， 这是七，呃， h 十五。好啦，验算一下，一加九十九，十一百，呃，八十四加 哦，三加七十八，十四加六，九十一百呃，十二八十八，一百八十六，十四，一百搞定。那这就是 总和最小了哦，人家问你总和的最小值是多少呦，那我得给他算出来啊，一加二加三加四加五加六加七加九加上八十四， 这是十了，这是刚才算下来是二十七啊，加上八十四， 那就是三十七，等于一十一，一百二十一，答案就是一百二十一，学会了吗？关注我吧。

排列组合中的跳格子以及爬楼梯的问题呢？它其实符合的就是我们菲波纳奇竖列型的特征啊。我们先来看到题目，等下我们给同学们总结一下，他为什么符合这个菲波纳奇竖列。我们看到第一个题目， 一个楼梯共有八阶的台阶，某人从第一级台阶开始向上走，每一步呢，可以跨一级或者两级的台阶，那么他走到第八级台阶一共有多少种方法？好，那我们来思考一下，他有八个台阶， 首先他是从第一节开始走的，那么最后呢，他必须要走到第八节，对不对？但是他中间走的方法是有很多吧，他可以一节一节的走，也可以呢，偶尔走一节，偶尔走两节都是有可能的，所以我们这里怎么去考虑呢？首先第一种情况啊，第一种我们要思考的就是一跟八这两个台阶 他是必选的，必须要走的，对不对？必选。然后呢中间的我们剩下的就是二、三、四五六，他开始的时候是在一，对吧，然后呢最后要走到八， 所以我们这里有几种方法，你中从中间这些呃楼梯来看，我们可以怎么样？先跳到一，先跳到二，你可以直接跳到三，然后呢从三可以跳到四，也可以跳到五，对不对？所以我们这里从什么来考虑他从我们省几个格子或者省几个楼梯去考虑他，那么我最多省几个， 最多省的话，那就是我每一步都走两级，对吧？那么开始在第一个台阶的时候，我首先走到第三个，然后呢走到第五个，最后走到第七个啊，这里还有个七，不好意思， 然后从一走到三，然后走到五，走到七，最后呢？走到八，他这里省了几个？省了一个、两个、三个，对不对？所以最多省了三个，对不对？那他当然也可以怎么样？一个都不省，那怎么办啊？一二三，这样挨个跳呗。 所以我们这里思考的方向就是以省几个来思考。第一个省了一个，或者说一个都不省吧？省了零个，那么他的方法多少种？是不是只有一种？然后第二种情况呢？ 省了一个，省了一个，我们怎么去分析啊？我们中间的格子一到八是必选的，我们不去管他二三四五六。好，二三四五六，二三四五六，还有个七， 我们想想看他省的是哪一个？你有可能是二，有可能是三，有可能是四，有可能是五，有可能是六，有可能是七，对不对？都有可能吧。那我们这里怎么去讨论他呢？我们这里肯定有那么一点点抽象啊，你省掉了一个，说明你还要走几个，中间一共是六个格子，对不对？ 六级，六级台阶。好，那么我省掉一个，是不是我只需要走五个？一个、两个、三个、四个、五个，那么我省掉的那一个在哪呢？如果这个是三、四五六七，那么我省下的二是不是在这边？ 如果我的我省掉的是三，那么这里应该就是二四五六七，那我省下的三是不是在这？如果呢？我省掉的是四、二三五六。 好，五六七，所以呢？我省下的四是不是在这？他跟什么很像？跟我们的插空法很像，对吧？好，我们现在有五个格子，那么你省掉的那个呢？也有可能 在这，在这，这里，这里，这里以及这里都有可能吧，所以我们从这几个空，一个、两个、三个、四个、五个、六个空，所以呢，就是 c 六一，我六个空里面选一个出来，代表就是我省掉的那个格子， 应该能理解吧？啊？如果不能理解的话，自己快退一下，再看一遍。好，所以这里就是我们怎么样省了一个的情况，然后呢？第三种情况，省两个，那么你既然省下了两个，所以我有五个格子吧，应该就是一二三 四，应该是四个格子，我们省掉了两个，中间一共是六个吗？那那两个放哪里呢？你有可能省掉了二四，对吧？如果省的二四，那边就是三五六七，那么二跟四是不是在这对不对？如果省掉的是三五呢？那这里二四了，所以这边是三五，都有可能吧，所以我们怎么样 从这里的几个空，一个、两个、三个、四个、五个空，我去选两个空出来，这两个意味着什么呀？就是我们省掉的那两个格子，对不对？为什么是 c 五二，不是 a 五二啊？我们刚刚已经明确了吧，如果你省掉的是二三，那么这里必然就是四五六七 啊。二三应该不能直接省啊，你挑太多了。如果省掉的是二四的话，那这边就是三五六七，我们的二跟四，他的位置是固定的，不可能是四二，所以是 c 五二，明白吧？所以我们这里省两个，那么最多省的是几个？最多省了 三个啊。第四种情况，最多省了三个，省三个，那么我现在剩的格子有几个？三个格子吧，一二三，所以几个空？一个空，两个空，三个空、四个空，从四个空里面 选三个空，然后呢？我们最多是省了三个，要么就是一种都不省，是不是？讨论完了，然后把他们全部加起来，就是我们这里的不同的走法。我们这里的第一种省了零个，其实就是怎么样？我们中间六个格子都要排吧，然后一共有七个空，从七个空里面呢去选出零个来插空， 所以最后我们加的话，应该就是 c 七零，加上 c 六一加 c 五二，一直加到最后 c 四三。好，同学们自己算一下，等于二十一种，那我们现在来换一下，把这个台阶换成九个台阶，那怎么办？一样的方法吧，首先他的一和九他是必须要选的， 然后中间有一共是九个吗？你减两个，中间有七个，对不对？所以七个格子有八个空，那么你八个空，我要么就是一级都不跳，那就是 c 八零，对吧？就是全部啊，要走 那最多省几个？最多不就省了四个吗？然后第二种呢，就是省一个了， c 七一，对吧？然后第三种情况 c 六二，第四种情况呢？ c 五三，那么最多就是第五种情况， 省了四个，对吧？第五种 c 四四号，所以他这个就是九个的算法，那把它全部加起来啊，同学们自己算一下。 那最后这里算出来呢，就是三十四种啊，同学们自己去加一下就可以了。那其实他这里是有规律的，我们当我们的台阶为偶数的时候，我们的规律是怎么样的？你就是当我们的台阶 n 他 为偶数， n 等于二 k 的 时候，那么 k 呢？他肯定是属于我们的正整数，对吧？ 那此时我们的总共的方法，他有多少种呢？你看看，这里是八个台阶，所以他是 c 七零，一个都不省的话，如果他是二 k 个呢？那他应该是什么呀？第一个情况应该是 c n 减一零，对不对？ 你一共有多少 n 个台阶吗？ n 是 偶数的时候，比如是八的时候，他第一个一个都不省的话，是 c 七零，所以呢，这里是 n 减一零，然后加上 c n 减二，一一直到最后呢？最后是多少啊？ 这边是八的话，那最后一项就是 c 四三，所以最后他就是 c。 好， 我们这里八变成了四，所以这 n 的 话，应该变成了二分之 n 吧，你可以写二分之 k， 也可以写二分之 n 啊，我们写个二分之 n 好 了，二分之 n， 然后呢？二分之 n 减一，这就是我们 n 为偶数的情况下，他的总共的方法。当然你如果觉得分数不好看的话，我们最后一可以写成什么呢？可以写成 c， 然后呢？ k， 对 吧？然后 k 减一就可以了，这就是我们的最后一项的表达形式。那它的台阶如果为基数的话呢？我们怎么去总结？ 此时我们的 n 等于二 k 减一啊？你这里写加一为减一都无所谓，你主要注意这个 k 的 范围，我们的 n 呢，它是可以等于一的，对不对？ 所以你如果是二 k 减一的话，你这里最小的话，它是一吧，所以我们的 k 最小，它为几，它就为一的时候，所以同样我们的 k， 它是属于我们的正整数的时候。好，那么我们现在来看一下它的总共的方法。 n 呢？ 你这里是九个台阶，所以你这里是 c 八零，一个都不是什么，所以我现在变成了 c 二啊，写 n 减一好了，零没问题吧？然后一直加上 c n 减二一，那么最后一项是多少？我们主要看最后一项 c 四四，对吧？我们这里是九个台阶，那九个台阶四怎么办？你是减了一再除二，对吧？所以我最后一项应该就是 c 二 k 减二，然后上面是多少啊？上面应该也是一样的吧？ 二 k 减二，呃，我们这里还要除以二？不好意思啊，应该是除二，所以最后一项它其实就是 c k 减一， k 减一，这个呢，就是我们的最后一项，没问题吧？ 下面我们来看一下，如果它这个台阶啊，它变成了 n 阶台阶啊，不要考虑它爬不爬得到的问题啊，变成 n 台阶呢，它此时就跟我们的菲波纳就树立是一模一样的特征了。我们来看一下 n 阶台阶的时候，我们又该怎么去写。 在讲 n 级台阶之前，我们先来看一下，我们用 an 表示他的总共的方法就是爬台阶的方法。 an， 那 我们想一想看， a 一 他是多少？ a 一 什么意思啊？就是一个台阶吧，那么一个台阶的话，我们想想看，是不是只有一种啊？没有任何方法吧，不管你是走一个还是走两个，那么 a 二呢？我们画两个，一个两个，这里是一，这里是二，对吧？首先你的人肯定是在这里， 是不是只有一种情况，他只能跳到二，对吧？所以你跳两个都不行了，跳两个怎么样？你就跳出去了，所以呢，他也是一种 a 三，我们看下 a 三，再多一个格子，你站在这里，你就是要到达三，对不对？你可以直接跳到三，也可以怎么样？先到二，再到三，所以他这里应该是有两种情况，然后我们再看到 a 四， a 四怎么样？ a 四，你从第一个台阶开始，你可以先跳一个，一个一个，对不对？这里是一种吧，你当然也可以跳一个，然后呢再跳过去， 然后呢？你当然开始跳一个，然后呢再跳过去，所以它有几种方法，它是有三种。好到这里我们不往下写了，那么其实到这里同学们规律也看出来了吧，那我们的 a 五应该怎么办？ a 五呢，就等于五，你会发现后面这一项啊，他永远的是等于前面两项的和，对不对？我们 a 一 等于一， a 二等于，那么 a 三呢，就等于一加一，那么 a 四呢， 就等于一加二， a 五呢就等于二加三，当然你要写 a 六的话，那就等于八了，对不对？我们前面是几个台阶啊？那我们往下写一下看， a 七，他就等于八加五十三，那么 a 八呢，就等于二十一， a 九就等于三十四，我们前面刚好吧，一个是二十一，然后呢一个是三十四种，所以他是不是刚好符合这种特征？ 那我们从这个规律里面能找到什么呀？我们的后一项是不是等于前两项的和，所以我就能得到这样一个递推式，我的 a n 等于 a n 减一，加上我们的 a n 减二，当然我这里的 n 它是有要求的，对吧？ n 呢？大于等于三。 好，那么从这个竖列我们怎么样去把 a n 求出来？当然我这里知道 a 一 等于 a 二等于一，这个相当于已知条件，那我的 a n 怎么去求呢？我们这里用到我们的呃特征根法， 特征根法我在竖列的那一期视频有讲到过，同学们可以自己去搜一下特征根法求竖列通项，如果不懂的话，所以我们这里直接就是 x 方等于 x， 然后再加上一，我这里还是帮同学们再复习一下好了。如果我们得到了我们的 a n， 好 用别的颜色写，等于 p 倍的 a n 减一， 加上 q 倍的 a n 减二，那我们就可以构造一个 x 方等于 p x 加 q 的 形式。我们去把我们的 x 一 以及我们的 x 二求出来。如果 x 一 与 x 二，它们是相同的两个根，或者说 不同的两个根，我们的 a n 怎么去表示？我们先看到 x 一 x 二为两个不同的根，就是两 e 根，那此时呢，我们的 a n 就等于 c 一 x 一 的 n 次方，加上 c 二 x 二的 n 次方，我们用 a 一 a 二这个已知的值，把 n 等于一， n 等于二分别带进去，然后呢求出 c 一 跟 c 二，然后带到这个式子里面来，我们就能把 a n 求出来吧。 如果第二种情况 x 一 等于 x 二的话，那我们的 a n 它就等于 c 一 加上 n 倍的 c 二，括号 x 一 的 n 次方。这个呢是我们两个根相同的情况。我们再回到我们的刚刚这个题目啊，这个我们是帮同学们回顾一下，如果忘掉的话，可以去看一下前面的竖列那里 来，接着看到这个，现在我们去解这两个根，对吧？这两个根同学们自己求一下，用求根式都可以。 x 一 它是等于二分之一减根号五，那么 x 二呢？就等于二分之一加上根号五，它们两个很明显是不相同的吧？所以我们这里的 a n 应该直接写成 c 一 x 一， 这里是二分之一减根号五的 n 次方，加上 c 二二分之一加上根号五的 n 次方。然后我们把 a 等于二等于一带进来，当 n 等于一的时候，那这边 a 一 就等于一，等于 c 一 二分之一减去根号五，加上 c 二二分之一加根号五， 那么当 n 等于二的时候呢？它也是等于一，对吧？ a 二也是一嘛。所以 c 一 二分之一减根号五的平方，再加上 c 二 二分之一加根号五的平方。我们通过这两个式子呢，能把我们的 c 一 以及 c 二给求出来，那最后我们算出来， c 一 它是等于负的，根号五分之一。好，那我们对应的菲律，那就竖列的 a n 的 通项是不就能够写出来？ 我们这个 c 一 c 二带回到这里就可以了，我们提取个根号五分之一，根号五分之一括号，那我得把这个是负的，对吧？那我得把这个写到后面去啊， 就是二分之一加根号五的平方，在不是平方，是 n 次方，然后减去二分之一减根号五的 n 次方。好，就是这样一个梳理，这是我们的什么呀？总共的方法啊，应用到这个爬楼梯的这里， 那比如我们前面的 n 等于八，就是八个台阶的时候，以及 n 等于九，你带进去求出来肯定是前面的答案，对不对？好， 那么这个 n 级台阶呢？那我只是帮同学们稍微的拓展一下，其实我们能够接受的话也行，他这里接受量比较大哈，如果接受不了的话，但是我们前面这两种题型呢？哎，你首先得会吧。好，那么这期视频呢？我们讲到这里，希望同学们有所收获，再见。

好，我们来看第一题，如图， k 表示以图中的阴影部分面积比上假图中的阴影部分面积啊，则有 k 等于多少？那我们要把两个面积都表示一下， s 以图中的面积，它应该等于什么呢？这个就是 a 减 b， 所以 a 乘以一个 a 减 b 啊。那么假图中的阴影部分面积等于什么呢？等于大面积减小面积 就等于 a 方减 b 方，所以 k， 它就应该等于 a 乘以 a 减 b 比上一个，这个这个 a 十分解， a 加 b， 括号乘以一个 a 减 b， 也就等于 a 加 b 分 之 a 啊， a 加 b 分 之 a， 所以 我们可以算看一下这个范围的一个大小。那，那这个怎么算呢？这个这个的话，我们这边字母太多，我们把它给处理一下，它就等于分子分母通除以 a 一 加 a 分 之 b 啊，然后全部跑到这边来了，这个时候我们再去看范围啊，因为 a 分 之 b， b 是 小于 a 的， 所以 a 分 之 b 啊， a 分 之 b， b 是 a 是 大于 b 的， 它，所以它是大于零小于一的 啊。大于零小于的，所以一加上 a 分 之 b， 应该是大于一小于二，所以一加 a 分 之 b 分 之一，它就大于二分之一小于一了。所以最后答案选择 c 选项。那好吧。

平行线中的角度数量关系一定是我们七年级下学期第一次阅卷一个必考押注题型，那么这一类题目屏幕前你会做吗？今天呢，我来给大家一起来讲一道经典的题目，我们来看一下这道题。 如图， a、 b 平行于 c、 d， 点移在 a、 b 的 上方， f 在 移的延长线上，角 a、 b、 f， 角 c、 d 移到平分线， b、 g 与 d、 g 交于点距。 那么这里让我们求角 b、 e、 d 与角 b、 g、 d 之间的数量关系是什么？好，读完题目，我们在图中先把图中的题目中的几个关键点给它标出来一下， 那一个关键点就在于他说的这句话，角 a、 b、 f， 角 c、 d、 e 的 平分线 b、 g 与 d、 g 交于点距。那从这句话我们可以得到角 c、 d、 g 和角 e、 d、 g 这两只角，它们应该是相等的，我们用两个圆圈来表示它们相等，然后还有一个就是角 a、 b、 g 和角 a、 b、 g 这两只角也是相等的，我们同样的用三角形来表示它们两个是相等的。 好，那现在的话，让我们来根据这个条件呢，去求说这两个角之间的数量关系是什么？那是这里的话，我要教给大家的第一个方法叫做万能射元法， 那这里的话，我们分别设角 a、 b、 g 等于阿尔法，角 c、 d、 g 等于贝塔，那分别跟它们相等的长着角，角 f、 b、 g 就 应该等于阿尔法，而角 b、 g、 d 就是 应该等于贝塔。好，那我们第一步完成了万能生成法，现在我们来讲一下第二步，找模型。 这里的话，我们就要在图中找出几个模型，然后再用他们的这结论模型的结论来列出关键词。首先我们先来看一下角 b、 e、 d 也是这角移嘛，那角移它所在的一个模型的话，我们称之为鹰嘴模型。那首先这是鹰嘴模型的结论，我们讲一下鹰嘴模型 里面的话，会涉及到三个角，我们分别命名为这角为角一，这角为角二，这角为角三。那得到一个结论就是这角三呢，它是等于角二减去角一，也就是大角减去小角。那由这结论我们给它放到本道题目当中就可以得到，那这边的话就可以得到角 b、 e、 d， 它是等于这个 二倍，它减去一百八十度减二。而法这个角，因为它是一个平角减去这样的角，所以它的角度是一百八十度减二。而法 那这边我们在去括号编号以下的话，就可以得到角 b、 e、 d， 它应该是等于阿尔卑塔加阿尔法减去一百八十度。那这是我们的第一个模型，我们再来看一下第二个模型，也就是角 b、 g、 d 这个角，我们发现角距所在一个模型是不是就是猪蹄模型？ 那珠体模型的一个结论呢？就是外面的这角等于里面这角的内角和，那也就是角二等于角一加上角三。好，那我们再同样的把这个结论给它带入我们本道题目当中，就可以得到 角 b、 g、 d， 它是等于阿尔法加贝塔的。好，那照下来我们是不是就把角 b、 e、 d 和角 b、 g、 d 间的这个数量关系都用含有阿尔法和贝塔的式子给它表示清楚了？那下面我们来看一下它们之间有什么数量关系， 那我们知道因为阿尔卑塔加阿尔法减一百八十度，等于两倍的阿尔法加贝塔减去一百八十度，又因为角 b、 g、 d， 它是等于阿尔法加贝塔， 所以我们就可以得到角 b、 e、 d， 它是等于两倍的角 b、 g、 d 减去一百八十度。那这样一来看我们的数学关系，我们是不是就搞清楚了？怎么样这类题目你学会了吗？

七下数学最难的平方根立方根全部背会，逆袭班级前三。七下数学平方根立方根素记表开平方数字表从一到二十开立方数字表从一到十开平方分解表 估算二十以内的算数平方根用于比较大小十五以内的算数立方根电子版可分享。

家里有七下的娃，看看这种数形结合，很多娃不会处理，他经常出现在选择填空的最后一题，今天教你一招怎么结合，下次碰到直接拿下来吧。像这种小题的关键呢，你就把条件里的信息对应的标注在图形上表示出来， 如果需要一些线段不知道，那你就可以设未知数来代替。我们来看看，说有两个正方形 a b， 把 b 放在 a 的 内部，得到图一， 这外边一圈就是 a， 说将 ab 并列放直后，构造了一个大的，如图二，它告诉你两个阴影部分的面积是五和四十五，让我们求图二这个大正方形的面积，所以关键就在这两个小阴影面积把它表示出来。 那你一看，这也没有标什么字母，怎么办呢？那咱就可以把需要的线段设成未知数来表示。 那先看图一这小的，那你看它的边长是不是由正方形 a 的 边长减去 b 的 边长，这边也是同理，所以我们需要这两个正方形的边长，就是未知数 ab， 那 这里就是 ab， 自然得到它是 a 减 b， 所以 第一个信息就来了， a 减 b 的 平方等于五， 那第二个信息四十五怎么表示你看到这个阴影呢？也没有必要呢，上来就把它去分割，因为这个阴影加上咱两个正方形的面积，不就是要求的大正方形吗？而大正方形的面积就是这里的 a 加 b 括号方吧。 所以我们用大正方形的面积减去两个小正方形 a 方 b 方，这不就是阴影的四十五吗？那化简一下，前边是完全平方，展开，这边剪掉之后都没了，剩一个二 a b， 得到二 a b 是 四十五。 那把这两个条件都翻译好了，我们现在要求的大正方形面积就差个 a 方加 b 方了， 所以这两个条件直接求 a 方加 b 方。怎么求？之前说过完全平方的变形，这里有 a 减 b， 那 他是不是等于 a 减 b？ 括号方，他减了二 a b， 我 就加上二 a b 呗。 直接代入 a 减 b 方是五二 a b 四十五，一加直接搞定。这两个相加是五十，记得要加上上边的四十五，所以最终九十五。 如果你想不到这一步，你把这个式子展开也行，展开之后能得到 a 方加 b 方，把这二 a b 带入也可以。所以你下次碰到这种数形结合的，先想办法把条件和图形联系上。需要的线段题目没告诉就设未知数，你学会了吗？点赞收藏练起来吧！

今天我们就以四十七乘以二十二为例，讲一下铺地锦的方法。首先我们把四十七和二十二这两个因素分别写到这个正方形的上方和右方， 现在我们来具体计算一下，他的计算步骤是什么呢？以右边的数字分别乘以七和四，乘以七的得数呢，我们就写到七的下方，乘以四的得数呢，我们就写到四的下方，现在我们实际来操作一下， 二乘以七等于十四，我们写到这里来，也就是说上方的位置是写个位的位置。 以同样的方法我们来算一下其他区域。二乘以四等于八，那它的十位怎么办呢？我们之前数学学过一个方法，叫什么来着，添零补位，那我们这里就写一个零，同样的 二乘以七等于十四，二乘以四等于八，添零补位到这里我们的计算就结束了，那结果怎么办呢？我们来看一下，这里是不是有三条斜线，这三条斜线呢，分别把这个正方形是不是划分成了 四个区域，那我们来看一下，这是第一个区域，这是第二个区域，这是第三个区域，这是第四个区域，对吧？得数呢就藏在这个四个区域里， 我们把这四个区域的数字分别相加，得出来的结果呢，写在对应的位置就可以，我们就能得到最终的结果。那对应的位置在哪里呢？我们沿着三条斜线给他延长一下，给他延长一下， 那大家能发现他们对应的位置在哪里了吗？好，那我们来算一下。算结果的顺序非常重要，我们一定要从最右下方开始算，那右下方这个区域只有四一个数字，那我们就把四写到他对应的区域就可以了。 然后第二个区域是四加一加八，那这个数字加起来之后得数是十三，是不是有进位了？ 进位，我们之前竖式的进位是怎么办来着？是不是向前一个位去进位？那同样的在这里边呢？我们的进位就往上一个区域去进位，那进位写十三， 看见了吗？然后我们再算第三个区域，是一加八等于九加零还是九，那这个进位 我们也要给它加上，那就是十十。同样的是不是仍然要进位？那最后一个区域就是零加一等于一，那它最终的结果就是一零三四。 学会了吗？如果学会了，你就用同样的方法来算一下，四十五乘以二十一，看看是多少吧。