2025衡水市三月联考三角函数题

三角函数周期秒杀第一题前面的二不用看，看 x 前的系数 g 等于二派除以 omega 的 绝对值等于二派，除以二等于派。 第二题前面的三不用看括号里的负四分之派也不用管，看 x 前系数 g 等于二派，除以 omega 的 绝对值等于三分之二派。 第三题出现了平方，应该怎么办呢？看公式，既等于二派除以次数乘系数，次数是二，系数是三，二派除以二乘三等于三分之派。

三角函数压轴题同学们好，今天我们带来的是一个三角函数的一个综合问题。 我们先读题，已知 f x 等于 c， 二 x 将它图像往右平移，往右平移， 嗯，我们说左加右减，呃，得到 g s 图像，说对于任意的 a， 总存在一个 b， 使得它俩相加等于零，也说 b 的 范围应该要更广一些，是吧？你 a 出一个牌 b 就 应该能加上它 v m 的 一个取值范围。首先我们把 g s 图像写 g s， 解析式写一下， g x 应该是等于，这是 sin 二倍的左加右减， 呃，也说是等于 sin 二 s 减去一个六分之一。对于任意的 a， 嗯，也就是说，我们应该先把 ga 的 值域给求出来。 对于任意的 a 属于负的十二分之五派到负的四分之派，那么此时二 a 减去六分之派，就应该是属于 这应二乘以负的十二分之五派。再减去一个六分之派，应该是等于负的六分之五派。减去一个六分之派，应该是等于这是负派。左侧是负派， 嗯，右侧呢，应该是二乘以负的四分之派。减去一个六分之派，应该是负的二分之派。减去一个六分之派，是负的三分之二派。 嗯，对于他的一个图像呢，我们给他画一下， 这是负派，往，这是负二分之派， 这是大概是负的三分之二，这个点是负的三分之二，也就是它真正的图像是这一段。 也就是说此时 ga 呢，它应该属于在负派的时候，应该是取零啊，零是它最大值，在负三分之二派，应该是取得这个最小值是负的二分之根三。 我们再来翻译这个题目，说这个 ga 加上 ga 等于零，也就是可以推出来 ga， 它应该是等于负的 ga 也就属于零到二分之根三， 也就是这贝塔的值域，是吧？要包含这一段，至少要包含这一段，因为 a 给 a 一个 x， 那 么这呢，一定，那个那个贝塔的一定得要管上，它得比它大。 所以我们，嗯，又因为他说是这个 beta 的 范围呢，是属于零到 m 的， 我们这里边二 beta 减去六分之派应该属于这是负的六分之派。到二 m 减去六分之派的，此时他的图像应该是这样的， 负六分之派大概在这个位置， 二 m 减六分之派是二分之杠三，我们先找到二分之杠三。对那两个点，一个呢是三分之派，另外一个是三分之二派，也就是我们这个右侧这个端点， 他得包含这三分之派，当然也能包，也能说，也可以最最远取到这，他又说唯一， 所以三分之二派不能取，三分之派能取，也就是二 m 减去六分之派应该是大于等于三分之派，小于三分之二派，我们给它解一下。 嗯，把六分之派两两边同时加上六分之派，也就是相当于是二分之派小于等于二分之 m 小 于二， m 小等于，这是六分之小于六分之五排，也就是 m 的 范围是四分之排 到十二分之五排，左 b 右开区间。所以这个题应该选第二个选项。好，今天的分享到此结束。

本题真是将三角函数考出了新高度，让人眼前一黑，不知所措。但是少侠可曾见过这个不等式链？这里 x 是 锐角本质还是单调性的问题，我来解释一下这个不等式链。先看前面一部分， 我们知道 x 为锐角的时候， x 的 正弦是小于 x 的， 那么 x 的 余弦在零到一之间肯定也是锐角， 所以我们可以得出左半部分。右半部分怎么推导呢？我们借助余弦在锐角上是递减的三 n， x 又小于 x， 所以 很容易得到右半边，也成立证明，过程大家可以自行研究。 接下来好难猜呀，莫非选 a？ 我 把 a， b， c 换个形式你再看看，够明显了吧。关注我，每天一题，每天进步一点！

我是一名高考考生，此刻正坐在高考考场，眼前这道三角函数已经盯了半天没有思路，此时我想到了阿数对于一名三角函数的转化。这里补充两个公式， sin 二幺发加二分之派等于口塞二幺发。口塞二幺发加二分之派等于负的塞二幺发。对于第一个公式，由塞变成口塞引，我们不需要改变符号。而对于第二个由口塞引变成塞引，我们需要在前面加一个符号。 所以对于异名三角函数的转化，我们优先选择塞隐阿尔法等于口塞隐阿尔法，也就是优先塞隐，其次口塞隐。 那么按照刚才的回忆， c 一 y 等于口塞 x， c 二 y 等于塞隐二 x 加三分之二 pi 我 明显就要变的是塞隐，所以我将其变成塞隐二 x。 后面先凑一个二分之派， 那么前面应该是加上一个六分之派。 sine r 发加二分之派等于 cosine r 发，所以应该等于 cosine r x 加六分之派。 那我不就变成将 y 等于 cosine x 变成 y 等于 cosine r x 加六分之派了？这样就简单多了。 a 选项，把 c 一 上各点的横坐标伸长为原来的二倍，那我们一个应该变为原来的二分之一，现在变为二倍，不对。 b 选项，把 c 一 上各点的横坐标伸长为原来的二倍。哼，和刚才同一个错误，还想难倒我。 c 选项，把 c 一 的横坐标缩短为原来的二倍，嗯，没问题。接着再把其向右平移六分之派， 那向右平应该在欧米茄之后平移，也就是 cosine 二倍的 x 左加右减减六分之派变成了 cosine 二 x 减去三分之派。 嗯，明减不对。 d 选项把 c 上各点的横坐标缩等为原来的二分之一，而我们的依旧变为二倍，横坐标不变。再把曲线向左平移，十二分之派就变成了 cosine 二倍的 x， 左加加十二分之派 等于口塞耶二 x 加上六分之派没问题。这样就对了，又可以美美扣分了，嘿嘿。

今天这个问题比较大啊，如何记住所有的三角函数公式？要记住所有三角函数的公式，要从本质出发，理解了本质，如果用上相应的口诀，就能够事半功倍啊。那它本质是什么呢？实际上是欧拉公式啊， 它是一的 i c 的 次方等于括号 c 加上 i 乘以十二 c， 这个就可以证明出极化和差的公式啊， 比如说，一的 i 阿法次方乘以一的 i 贝塔次方，它等于一的 i 阿法加贝塔次方也等于括号加 i 乘以三阿法，根据这个得到，而这个它是 括号加 i 乘以三倍，把它展开，它是括号。括号括号减 山阿尔法，山贝塔加上 i 乘以山阿尔法，空山贝塔加上山贝塔，空山阿尔法。那很显然，这个它是空山 alpha 加 beta 加上 i 乘以三 alpha 加 beta 啊，这两个相同对应的项也应该相等啊，这个等于这个，这个等于这个就是我们常见的奇幻和差的公式啊。 这个公式稍微变换一下， alpha 等于 beta 时，它是膨胀二平方减三平方，这个就是 二倍角公式。三二幺等于二倍的三幺。括号不只是二倍角公式，三倍角、四倍角，甚至 n 倍角都可以用这个来求啊。括号 n c 的 加上 i 乘以三 n c 的 等于一的 i n c 的 次方等于一的 i c 的 次方的 n 次方等于 cosine c 加上 i 乘以三 c 的 n 次方，这个等于。这个 就是涅莫夫定律啊，非常著名的涅莫夫定律。用这个就可以求出三倍角公式啊， 也就是 cosine sine theta 等于四 cosine theta 三次方减三 cosine theta 三三 theta 啊，这个就是三倍角公式啊，即使我们可以求出四倍角、五倍角、六倍角公式啊，除了倍角公式，它还可以求出半角公式啊！ 比如说，括号三 c 等于括号三 c 除以二方减，三 c 除以二方可以求出括号三 c 除以二等于一加括号三 c 除以二根号。半角公式三 c 除以二等于一减，括号三 c 除以二根号啊！我们用欧拉公式这个本质去理解三点函数的几何和差，实际上也可以用口诀去记一些公式。比如三，有点像 smile 开始字母是一样的，所以可以用笑来代表三狂闪可以像 cry 首字母一样，用哭来代表狂闪那和差化极。 这些公式就可以用哭和笑来记啊。比如说，两个三项相加，相当于笑加笑，它等于二倍的三。阿法加贝塔除以二， 狂闪阿法减贝塔除以二，它等于笑极了。悲，笑极生悲啊！我们把悲写成哭，笑极生哭，这边笑，这边哭啊。三，阿法减三贝塔，它等于笑减笑， 它等于哭笑不得。相当于二倍的狂闪阿法加贝塔除以二， 三 f 减贝塔除以二。再比如狂闪 f 加狂闪贝塔，他是哭加哭啊，他等于一哭到底一直哭。 等于二倍的狂闪阿法加贝塔除以二，狂闪阿法减贝塔除以二。 那如果是括号减括号减贝塔，他是哭减哭啊，表面上哭，实际上没有哭，那实际上他在假笑啊，他等于假笑。二倍的三 f 加贝塔除以二，三 f 减贝塔除以二啊！用几句有趣的顺口溜，就成功记住了所有的合成化学公式。当然呢， 这个的基础是在自己推导理解了这些公式的基础之上，如果没有经过严谨的推导过程，很容易记错。 ok， 系统的学习。大家可以订阅清华北大强基的专栏和数学思维训练的专栏，关注我，让学习变得更有趣。

看那个第三题，嗯，求的是最终是 bce 的 正弦啊， bce 在 这求它的正弦， 嗯，像求一个角的算角函数。这种题，嗯，就是两个套路，要不然是把它放在直角三角形里面，要不然是找有没有与它相等的角，是那种好算算角函数的， 因为相等的角三角 h 值是一样的。这个题其实把它放在一个直角三角形里边，直接去算也好算啊。嗯，他没在的话，咱们自己可以做呀，点 e， 从点 e， 这给他做垂直 啊，做垂直让垂足。标为 f 吧啊，标为 f， 那 最终这个正弦，那就是 e f 比上 c 是 吧？ e f 比 c， 哎，好，嗯，现在看已知条件啊， a， c， b， 这是一个直角三角形啊，这是直角 c， d 垂直，这是垂直，然后有折叠，这个是虚线折过来，点 a 对 应点 e， 这 啊，这是折叠。 a， c 是 五 d， e 是 三，嗯，这是已知条件。那好，嗯， a， c 是 五 d， e 是 三，由于是折叠嘛，那 a、 d 这也是三，对吧？然后三五这 cd， 这就是四， cd 是 四，然后 a、 c 是 五的话， d， e 这 c， e， 这对应的也是五啊，这对应边都相等，这也是五， 那其实这个 c、 e 就 出来了啊，现在缺这个 e、 f 啊，缺 e、 f， 那 现在看这里面，这里面有相似三角形啊，有相似这三角形，那三角形 a、 c、 d， 呃，和这整个的大的三角形啊， a， b、 c， 还有和三角形 b， e、 f 这三个三角形其实都是相似啊，都是相似。你说咱们 e、 f 这做的垂直，你看和这垂直和 a、 c 垂直。 e， b， c， 这不平行吗？ 平行不就有 a 字形吗，对吧？有 a 字形，然后这 a、 c、 d 呢？这 a、 c、 d 和整个的三角形 abc 有 公共角角 a 啊，而且这有直角，对吧？两个点相等也是相似 啊，这是这三个三角形都是相似的啊，其实和那个 b、 c、 d 其实也是相似啊。那 就用的上这三个啊，相似，那相似，相似，比都一样呗，对吧？相似比都一样，都相等。那这个咱们设设 ef， 这设 ef， 这为三 x， 那 b e b e， 这就是五 x， 对 吧？你脚 b， 这看他的，呃，这个正弦相当于是三比五，对吧？这个三角形的三边比例就是三比四，比五，这个比例咱就按照这比例测未知数 e f 是 三 x， 那 b e 不 就是五 x 吗？ 那看整个的这个啊，啊，整个的大的三角形 a， b、 c， 那 这是 a c， 那 比上 ab 也应该是三比五，对吧？也应该是三比五，也就是 a c 比上 ab 应该是三比五，它对应等于 ac 是 五，然后 ab 是， 这是六，加上五 x， 哎，六加五 x， 这样就能形成方程了啊。能求出 x 来， x 求出来之后，嗯，对应这个，呃，三 x 再求出来，然后三 x 再比上五，就是这个角的正弦 就可以进行计算了啊。

三角函数等于送分题，看完这题，考试直接套用，同学们好，今天我们接着来分享一道三角函数恒等变换中的这个比较大小的问题，其实它的本质考察的还是二角公式，还有恒等变换，还有以及诱导公式这些。我们来看来读题 a 给的是一个方程是吧，一个二分之一 cosine 六，减去二分之根二三，这个 cosine 六，这个是吧，如果做的熟练的学生可以看出来，这应该是用辅助角公式给它变一下，而 b 选项呢，给的是二倍的 tan 的 十三， 比上一加贪点方十三，这好像是二比贪点的二倍角公式，而 c 选项是一减 cos 五十比上。我们在上一个视频中已经分享了 cos 的 两个三个二倍角公式，是吧，就得看他用哪一个比较合适，如果看不出来呢，我们可以都给它列出来。我们先看 a， a 呢，它是二分之一 cos 六度，减去二分之杠三 cos 六度，这个二分之一呢，显然是吧，可以写成 cos 呢，这是六分之一，就是 cos 三十度，我们都用角度，都用这个角度数表示， 这个二分之杠三呢，写上可以写成 cosine 三十度， cosine cosine， 所以 说可以写成 cosine 三十度，减去一个六度就等于 cosine 二十四度。 我们再来看 b， 看 b 之前，我们先回顾一下这个 tan 的 一个二角公式， 我们说 tanet alfa 加 beta， 应该是等于 tanet alfa 加上一个 tanet alfa， 比上一减去 tanet alfa 乘以 tanet alfa， 嗯，也就是 tanet alfa 呢，它就应该是把其中的一个 beta 写成 alfa， 就是 二倍的 tanet alfa 比上一减去 tanet 方 啊，目前到这我们发现好像还不太一样，是吧？下边是加号，减号，这是加号，所以说我们不能按二倍角公式的方法去处理了。嗯，我们应该是把 tan 给它写成 sin 比 cos， 因为 tan 的 东西我们知道太少了，我们这么给它化简一下， 然后我们此时上下同时乘以 cos 方， 同时乘以 cos 方十三度，也就是变成二倍的 sin 十三度，乘以 cos 十三度，也就是下面是一对吧，所以说等于 sin 二十六度。 呃，为此我们可以看到它好像是 sin 的 二倍角，所以我们再把 sin 的 二倍角公式复习一遍。 sin 二阿尔法应该是等于二倍的 sin 的 阿尔法。 cos 阿尔法，那说 sin 怎么变成 贪婪呢？我们可以给他上下同时除以一，也就是变成了二倍的贪婪二法。比上一加上贪婪方二法。 如果熟练的学生是吧？第一思想应该想到是贪婪，犯贪婪不对劲之后立即想到就是森啊，说森有了，那么 cos 是 不是也能变？那 cos 二法是不是第一个公式是 cos 方减去森方， 我们给他上下也同时除以一，就是一减去探对方，比上一加探对方，其中第一个式子和第二个式子叫做万能公式啊，叫万能公式。嗯， ok， 第二个也变成变形成功了。我们看 c 选项， 我看这个 c， 呃，一减去 cos 五十度，我们说探点，我们说这个 cos 二倍角有三个，第一个已经有了，那么还有两个就是 cos 二 r 法，应该是等于一减去二倍的 cos 方 r 法，还等于二倍的 cos 方 r 法 减去一，显然这是一减 cos 五十度，显然是用第一个，对不对？一和它搭配嘛，也就是相当于这就是根号，下 一减 cos 五十度的话，应该是等于二倍的，这是 sin 方二十五度，再比上一个也就开根号等于 sin 二十五度，也就是我们能看到。 嗯啊，换个颜色是吧？嗯，也就是我们能看到的是它是二十四、二十五、二十六。我们知道 c 的 第一项线，它是个单调递增的，所以说应该是 a 小 于 c 小 于 b， 所以 说应该选四 d 选项。好，今天呢，分享到此结束。

hello， 大家好，我们来看一下十五题。第一问，求角 a、 b、 c 的 大小。然后它给了我们两个条件，一个是 cosine a 除以 cosine b 等于 b 比上 a， 一个是 cosine c 等于 cosine a， 那 我们可以先用一下正弦定律，把这个条件给它转化掉，那就是 cosine a 除以一个 cosine b， 它是不是就等于一个三引 b 比上一个三引 a， 对 不对？三引 b 再比上一个三引 a， 好， 那我们再来看，那我们可以给它整理一下，那左边就是 sin a 再乘以 cosine a， 它是不是就等于 cosine b 再乘以一个 cosine b， 那 我们可以用一下二倍角公式，那左边就是二分之一 cosine 二 a， 它是不是就等于二分之一 cosine 二 b？ 好， 那到这里我们就要分两种情况了， 我们先来看角 a 跟角 b 两个角的范围。首先你 ab 这两个角肯定是在零到派之间，因为它是个三角形， 那你 a 加 b 这两个角的大小相加是不可能大于派的，因为三角和三角形的内角和是一百八十度，你两个角相加肯定也是在零到派上，对不对？那你二 a 加二 b 这两个角的范围相加是不是也是在零到二派上面，对不对？好， 那这里有一句话分两种情况。第一种情况，当二 a 等于二 b 时，你要当二 a 等于二 b 时，那 sin c， 它是不是就等于 sin pi 减去 a， 再减去 b， 那 就是 pi 减去二 a， 对 不对？好， sin pi 减二 a， 它是不是就是一个 sin 二 a， 那我们是不是就可以得到三幺二 a 是 什么？三幺二 a 是 二分之一，三幺 a 乘以括三 a， 它是不是就等于一个括三 a， 所以 我们知道三幺 a， 三幺二 a 是 两倍的，对，是两倍的。三 a 乘以括三 a， 那 三 a 是 不是就等于二分之一？因为这个 a 是 属于零到 派的，所以这个 a 它是只能等于一个六分之派。那它为什么不能等于六分之五派呢？因为角 a 跟角 b 的 度数是相等的，你 a 等于六分之五派的话，那 b 也要等于六分之五派，这两个内角和就要比一百八十度角来的大了，所以说这个 a 只能等于六分之派。好，那我们再来看第二种情况。 第二种情况是什么？第二种情况是二 a 加二 b， 它是要等于一个 等于一个 pi 的， 对不对？好，既然二 a 加二 b 要等于一个 pi 的 话，那 a 加 b， 它是不是要等于一个二分之 pi， 对 不对？既然 a 加 b 等于二分之 pi， 因为我们知道三角形的内角和是 一百八十度，那你 a 加 b 等于二分之派的话，那这个角 c 是 不是也要等于二分之派？所以这个 c 要等于二分之派。既然 c 等于二分之派的话，那 sin c， 它是不是就等于 sin 二分之派？好，它是不是正好等于一个 一？那括号 a 等于一的话，那这个 a 是 不是要等于零啊？所以这个肯定是不符合题的。那这个情况不能要，对不对？好，所以说只能是，所以只能是 a 等于 b 等于一个六分之派。好，再来看第二位， 设函数 f x 等于三，二 x 加 a 加上三二 x 减二分之 c， 让我们求函数 f x 的 单调递减区间。 好，那我们先把它抄下来， f x 等于 c， 二 x 加上一个 a， 再加上 cosine 二 x 减去二分之 c， 对 不对？好？因为我们知道 a 是 等于六分之派，然后 a 等于六分之派等于 b， 对 不对？那 c 是 不是就等于 a 加 b 是 三分之派，那 那 c 是 不就等于三分之二派，对不对？好？所以说这里就是等于三引二 x 加上一个六分之派，再加上 cosine 二 x 减去 c 是 三分之二派，除以二就是三分之派，那就是二 x 减去三分之派，对不对？好， 那我们发现这个角减去这个角，二 x 加上六分之派，减去二 x 减去三分之派，它是不是就正好等于一个二分之派，对不对？所以说我们就可以得到 cosine 二 x 减去三分之派，它是不是就等于 cosine 二分之派减去一个二 x 加上一个六分之派，对不对？好，那 cosine 二分之派减去二 x 加上一个六分之派，它是不是就等于 sine 二 x 加上一个六分之派，对不对？ 好，所以说我们这里就可以有了，这里是不是就等于 两倍的 sine 二 x 加上一个六分之派？好，它先让我们求的是什么？让我们求的是这个函数的单调递减区间，那么它是个三，这个函数我们给给它画一下三这个函数，它是不是在 图像，是不是大概这个样子？它是不是在负二分之派到二分之派上？这样是单调递增的，对不对？那它的单调递减区间，它是不是就是在 二分之派到二分之三派，对不对？所以说我们就二 x 加上六分之派， 它是不是要大于等于二分之派加上一个二 k 派小于等于 二分之三派，加上一个二 k 派，其中这个 k 要为一个整数，对不对？好，那么给 x 的 范围算一下， x 是 不是要大于等于派，再加上？呃，这里不是派，这里是 k 派，加上二分之派，减六分之派，是三分之派，那再除以个二就是六分之派，它小于等于 k 派，加上二分之三派，减去六分之派，是，这是六分之九派，减去六分之派是六分之八派，再除以 二就是六分之四派，那就是三分之二派，对不对？所以说，最后大家去减去减，是 x 属于 k 派加六分之派，到 k 派加三分之二派，其中这个 k 要为一个整数。好，那这道题就结束了。

好，我们今天来讲三角函数的选择题里面的另一种题型，就是三角函数图像的变换，那这种题型呢，他一般是先给我们一个这种三角函数的式子，然后呢，要么就是告诉我们要怎么变，然后让我们得到一个新的函数， 那所以呢，搞清楚这种题，我们一般要先搞清楚它这个函数图像里的每一个部分，每一个参数，它代表什么样的意义，有什么样的意思？那我们首先来看 y 等于 a 倍的三，我们应该 x 加 f， 再加 k， 它里面这个 a， 这个 a 是 不是我整体呈在三这一串的前面， 它代表的就是我把这个函数拉高还是拉低了？按低了，那如果说 a 扩大， a 扩大，那是不是整个函数变得更高？ 好，那如果说 a 减小， a 减小，那是我整个函数变得更矮？ 好，那我们接下来看另一个第二个欧米伽，欧米伽它是不是呈在 x 的 前面？那我们知道，我们知道，通过之前的学习，我们知道 欧米伽是不是和周期有关， t 是 不是等于二派？除上欧米伽，那如果欧米伽变大的话，周期它是不是减小了？那周期减小，那这个图像是不是变得更瘦？ 也就说 omega 变大，整个函数变得更瘦，那 omega 减小的话，那 t 是 不是变大？ t 变大的话，那是不是整个函数变得更胖？ 那所以 omega 它是不是决定的是这个函数图像的胖瘦？好，那 fed 的 话， fed 的 话，它是不是相当于一个加，它在这里做了一个加减的运算，那我们之前在学函数的平移的时候，我们是不是学过左加右减， 左加右减，是不是要针对 x？ 针对 x 上加下减是不是针对 y？ 那 你看我这个斐是明显在 x 里面，但是我 omega 加斐代表向左平移了斐单位吗？是不是？显然不是，因为它们并没有加在 x 的 里面？那所以我们来举个例子啊。我们来举个例子，那比如说，比如说 我现在有一个函数 f x 等于三二 x， 我 现在要向左把这个函数图像向左平移 六分之派个单位，那我要，我要怎么变呢？我说要对 x 进行左加加六分之派，那所以我得到 y 是 不等于三二倍的 x 加六分之派， 那我化减一下是不是等于三二 x 加三分之派？那所以这里一定要注意啊，我左加右减针对的是 x， 只不过这个斐是我已经计算后表现出来的一个结果。 好，那我们接下来来看 k， 那 k 的 话，它是不是就是在整个函数上进行一个加减？那它是不是必然和上下平移有关？ 好，那到这我们是不是就已经知道了这个函数他各个地方的参数代表什么样的意思？那我们就来看两道例题啊。那首先第一道，第一道题他说 我把函数 f x 等于三倍的三三 x 的 图像向左平移四分之一个最小正周期后，所得图像对应的函数为，那我们首先是要解决第一个问题，这个函数它的最小正周期是什么？那是不是 t 等于二派？除 omega 欧米伽是不是三？所以 t 是 不是等于三分之二派？那第二个我们是不是要知道它平移的距离？那是就是四分之一个 t， 那 是四分之一乘上三分之二派， 那是不是等于六分之派？那第三步我们是不是就知道结果了？ y 是 不是等于三倍的三三左加是不是 x 加六分之派？ 好，那我们来把它化简一下，是不是等于三倍的三三 x 加二分之一， 那它是不是等于三倍的 cosine？ 三 x， 那 我们是不是选 c 选 c？ 好， 那到这可能有同学会有疑问啊，我怎么样就从这个 cosine 变成 cosine 了呢？那这个口诀是不是啊？积变 偶不变， 那变化后的符号我们是不是要看象限？符号看象限， 那我们来看这个这句话具体什么意思啊？那我们在做三角，三角变换的时候，比如说我现在我要变 y 等于三 x 加上加上二分之三派，那这个奇变偶不变里面的这个奇和偶，它代表的就是我 x， 这加的有几个二分之派？你在这个里面是不是有三个二分之派？ 那是不是？是三，所以它是奇数，那是不是说明我们要变把？ sum 是 不是要变成 cosine？ 好，符号看象限，什么意思嘞？那我们就要看我变之后前面有没有正负，我取决于原来这个函数这个角它的正负， 那本身这个 x 我 们就把它当成一个锐角，把它当成一个锐角，那我加了二分之三派后，我是不是我要先转 好，我加 pi 到这，然后又加了一个二分之 pi， 我 是不是到这里？也就是说它变换之后其实是到这好，它到这，它的三值是不是负的？那所以我们这里是不是要加一个负号，是不是变成了负 cosine x， 那这个是不是就是我们整个 sine 和 cosine 变换的一个规则就是既变偶不变符号看象限。好，那我们来看接下来立二， 立二，首先是不是首先是一道多选题？好，他说为了得到 y 等于二倍的 cosine 二 x 的 图像，我们只需要把函数 y 等于二倍的 sine 二 x 减六分之 pi 上涂 所有的点，怎么样平移？那我们想要得到的是不是这个结果？函数是 y 等于二倍的 cos 二 x， 那 并且呢？并且他是不是是多选题？那我们是不是要一个一个尝试一下？那我们在考试的时候，我们在考试的时候，我们其实我们其实 a b， 我 们是不是验证一个 c， d， 我 们是不是验证一个就可以了？为什么呢？因为 a b 它的三分之派和三分之派它们是不是 距离一样？那我向左成功的话，我向右是不是一定不能成功？因为我们可以先从最原始 y， y 等于三和 cos 的 图像来看一下， y 等于三呢？是不是这样子画 啊？ cosine 呢？我用蓝色的话是不是这个样子？ 那我们会发现 sin x 我 是不是向左或者向右，我都有可能，我都有可能和蓝色的重合，但是我向左向右的距离是不是明显不一样？我向左的话，我是不是只需要平移几个周期呢？ 是不是四分之一个周期？那我向右呢？我向右我是不是要平移四分之三个周期？那所以可以得到我向左向右平移的单位长度是不一定是不一样的。那所以这也就解释了为什么我们把 a b 当成一对，把 c d 当成一对，那这一块没有听懂的同学也没有关系啊，因为在考试的时候我们也可以把 abcd 都带进去算一下，那我们今天就只验证一下 a 和 c， 好， 我们先来看 a 选项，他说向左平移三分之派，那我们是不是对 x 进行左边加三就可以了？那就是 y 等于二倍的三， 二 x 加三分之派，再减六分之派。好，化减一下是不是二倍的三二 x 加三分之二派是不相当于加六分之四派？再减六分之派是不相当于加上二分之派？ 好，二分之派是不是里面只有一个二分之派？也就是积变，那我们是要变成二倍的 cos？ 好， 那 符号我们要看象限，本身我二 x 加二分之派，二 x 在 这，我加了二分之派，我是不是相当于是到这了，那我的三值说本身还是正的，那所以我这数就直接是正的 二倍的 cos 二 x， 那 所以是不是 a 对， 那必然 b 是 不是就错了？那我们接下来看 c 选项，他说向左平移三分之二拍个单位长度，那是不是 y 等于二倍的三 二 x 加三分之二拍，再减六分之拍， 那它是不等于二倍的三二 x 加加三分之四派，减六分之派是不是相当加六分之七派？ 好，我们现在想看，我们要把它变成 cos， 那 我是不是里面要凑出来一个基的基数倍的二分之派，有六分之三派，那我们是不是可以把它变成三二 x 加上 二分之三派？那本身人家只有六分之七派，我们现在是不是硬给他凑出来了一个六分之九派，那我们是不是要再减去一个三分之派？ 好，那我们现在就来变了，好，还是积变？那是不是要变成二倍的 cosine？ 二 x 减三分之派，那我们来看符号本身是，本身是 二 x， 在 这加六分之七百，加六分之七百，我就相当于转了一半圈，再多一点点，那我不管他在第三项线还是在第四项线，我的三值是不是一定是负的？所以我这是不是一定要有个负号？ 那所以他是不是和题目中我们的结果函数完全是不一样的？那所以 c 是 不是就错了？那 d 是 不是就对了？那所以这个题就选 a d， 那细心的同学们刚才也发现我们知道向左和向右平移的距离是不一样的，并且他们的距离之和是不是一个周期？ t， 那 我我刚才我们在验证 a 的 时候，是不是已经验证出来 a 是 对的，变向左平移了，是三分之派个单位， 那这个函数它的周期是不是二派？除上，我们应该除上二，它的周期就是一个派，那它向右平移的话是必然是三分之二派，那所以说一定是 d 对， 那这个类型题呢？我们到这我们就讲完了，那我们发现其实这种题是并不难，但是它蕴涵的知识点是非常多的，那所以我们一定首先一定要了解清楚这个函数它每一部分的参数代表什么样的意义。 那另一方面我们是不是也要把之前的一些基础的一些知识掌握，比如说我们这个三角函数的变换，以及以及我每一个角在哪一个象限，他对应的三值， cos 值， tan 值的值，他是正还是负，这些都要非常熟练，我们才能把这些题做出来， 那也是希望大家在下面平常学习里面多下功夫啊，一定要把这些东西记清楚，那我们今天的题就讲到这里，拜拜。

二零二六年高考，数学函数题绝对是必考题，整体分值占比高达三十到五十分，题型分布非常固定，选择题会出四至五道题目题一道，还会单独考一道函数大体，且极大概率是创新型综合大体。 想要数学拿高分，函数这块必须牢牢抓稳。今天学长就分享一个函数板块最基础零门槛考好上手的秒杀方法， 不用死记硬背复杂公式，也不用繁琐推导计算，零基础学渣也能快速掌握落题效率直接拉满，逆其题风格外轻松。接下来就教大家十秒钟破解三角函数求值域问题，总共分五种核心情况，三种关键特征，直接秒出答案。第一种，不管是 c x 还是 cosine x， 只看前面系数， c x 本身值域负一到一，系数乘二就是负二， 二到二直接描述答案。第二同理， cos 负一到一，乘系数二得负二到二，式子后加一就给区间两端都加一，值域就是负一到三。第三种，不用管括号里的内容，只要前面系数是一，值域直接负一到一。第四种，括号省略系数一对应负一到一，式子加一则区间两段 同步加一，值域就是零到二。第五种，括号不用看系数乘二得负二到二。遇到四减这个式子就用四分别减区间两端四减二等于二等于六，值域直接得出二到六，是不是又快又肿？ 这只是函数值域的基础秒杀技巧，高考常考的一百二十七个解体大招我都整理好了，有需要的同学后台告诉学长你的年级，例如高二高三加数学。最后我们思考一个问题，高考状元 四十分钟就能拿到一百五十分，靠的不是天赋，也不是写字快，而是会用这些高级解体工具。你要是也能掌握这些技巧，数学考一百二、一百三十分真的不难。高考就像从深圳到北京，别人选择坐飞机快速直达重点，而你却在走路费时又费力，两者的差距就是这么来的。

好，同学们，前几节课呢，我们说了三角函数的一些概念啊，我们也说了三角函数呢，是我们在高中阶段非常重要的一个概念， 是难点也是重点。那么从这次开始呢，我们来啊，实战一下啊，来做做题。在做题之前呢，我们回过头去看看之前我们说的任意角三角比的时候啊，说了一些这些三角 sine 和 sine tangent 它们之间的一个运算关系，我们再来复习一下啊，复习一下，复习的同时呢，我们再来说一下其中的一些什么一些细节和一些技巧啊。首先呢，我们来看第一组公式啊，这是什么叫两角和差公式对不对？两角和差公式大家都很熟啊，我就不多说了啊，好，两角和差公式，我们看出一个什么特点，就是如果一个 一个三角函数啊，一个三角啊，它里面如果是什么，两个三角相乘，是不是 啊？其实也就是一个什么次数相上升了，是不是？本来是一个两个相乘，是不是相当于两次啊？先先有这样一个印象啊，我们再往下看第二组，我们称之为什么两倍角公式吧，两倍就说出来什么就是两角合差公式，一种特例，是不是啊？一个特例 就什么？就 alpha 和被它相等的情况下，那就是两倍的 alpha 啊，从这点上来看，我们是一样的啊，你看如果两 alpha 的 话，它本来是一个什么，本来是一个三角，现在变成两个相乘是不是？来再看这 cosine 就 更明显了，是一个三角称中间是两倍的啊，它就变成什么，哎，平方对不对？这是一个什么？一个深刺的过程对不对？ 什么叫怎么？什么情况下深刺深刺结果什么？就是中间的角怎么样啊？角被拆开了两倍角就变成了一倍角，那他就会深刺啊，天天也是一样的，从形式上来说是不是都一样的，是不是？好，我们再来看啊，下面这个公式他其实是什么？是从这个两倍角公式，把它倒过来， 把它给倒过来啊？倒过来整理一下之后会发现是什么就会变成这个，是吧？这个把它倒过来 是不是就是三亿两倍的 alpha， 把这个把它倒过来，就是扩三亿两倍的 alpha 啊？好，我们从这个形式上来看的话，是不是叫什么次数下降了？这是两次，这是一次次数下降了，这是一个什么？降次的操作对不对？降次操作情况下怎么样？次数下降，但是它的角怎么样？角升上去了，角是两倍的 对不对？所以这个整个现在拿出来看的这一一系列公式，什么都符合这样一个一个什么一个特点啊，而且他们怎么样都是从两角和差公式演变而来的啊。那么这两组后面我说的这两组公式啊，就是我们在计算或这么运算过程中经常用到的。什么叫升次降次公式 啊？这是今天要说的第一个啊，从计算上来说要注意的地方啊。第二个要就是这个，这个我们称之，为什么？称之为辅助角公式， 这个是我们啊高中阶段非常经典的一个东西，大家看一下我们叫什么？就是我一个阿尔法和北单，如果什么如果是相加的情况下，他中间中间有系数，我可以把三元和三元把它合并成一个三角函数啊，这就是一个辅助角公式，这个辅助角公式说明什么？ 从形式上来说什么呢？我把两个不同的三角合并起来了，在研究我们三角函数的时候啊， 对于每一个函数我都有它的特点，比如说增函数，减函数，对吧？呃，对称性对吧？奇偶性啊，但是如果两个相加的话，是不是我要去分析它很麻烦？但是如果说是 sine 和 cosine 正弦和余弦的情况下，我是可以怎么样把它并起来并成一个函数 啊？并成一个函数的话，它是一个三角函数啊，我只要研究 sin 这个函数性质来解体就可以，是不是？好，大家，大家再仔细看啊，这个形式我怎么去把它记住啊？首先第一啊， 两 sine 和 cosine， 我 把它并成一个 sine 啊，它的系数怎么样？就是根号加 a 方加 b 方，其实我可以从勾股定律的角度去记住，对吧？ a 方 b 方 啊， a b c 就是 根号 a 方加 b 方，对不对？好，那么它需要在阿尔法情况下移动一个单位，这个单位的 five 满足什么条件？哎，大家记这个啊，记这个 five 满足什么？ five 就 满足 ten 的 five 等于 a 分 之 b a 什么？ a 是 这个 sign 的 系数， b 是 或 sign 系数。有时候同学会记到啊，啊，怎么记啊？就是大家知道 tenant 是 不是等于 sign 除以或 sign。 那为什么这边是 b 处 a 呢？因为一般跟 sine 搭配两个人过家家组合对不对？它这边是嘛？ cosine 跟 cosine 过家组合，我就把它认为是 sine， 也就是 sine 除 cosine， 大家这么记就把它记住了，好吧，这个在今天课前给大家再复习一下，其实之前都学过的，对吧？好，我们这些呢，就是用来我们后面做三角函数必然会用到的一些方式。 那今天我们先来看一个题啊，先看来看一个题，已知这样一个函数啊，它是什么？ sine x， cosine， 加上跟它上面 cosine x 平方，它要求什么？它第一求它的最小正周期，求周期性啊，其实就是什么，我们怎么分析啊？它就是来做这个 f x 函数的一个性质，来分析性质，如果这个 f x 仅是 sine， 仅是 cosine， 那 我很容易做，对不对？因为我我们学过之后就是它的它的性质了，但是呢，现在它是什么？是这么一串东西，啥都不是， 那我们从就是刚才我说过，你看这个是什么？两个相乘对不对？从三角函数来说，我们可以认为它是什么？是两次，对不对？这个呢？哎，这个也是两次，对不对？ 大家都是两次的话，其实我可以认为他们是其次的，对吧？好，我们再来看，哎，我们这个是不是可以？我们的目标是什么？反过来说啊，我们的目标是我们目标最好是把它变成一个三角函数， 一个上一个上一个上一个上一个，对不对？好，我们尽量把它往前缩啊，现在看上一个上一个，这个能不能把它缩一下？哎，我们想到什么？想到的是两，就是两倍角公式，对不对？大家不要去管它什么两倍角，不两倍角，关键还是什么，看它是两次，我要把它合起来，它必然会 在系数，在那个什么，在那三角度那里会往往上升啊，这个其实大家熟悉的话就也很清楚，是吧？就是嘛，就是三两倍角公式嘛，对吧？三，二 x 等于什么？等于 sine x cosine x 的 两倍对不对？好，它现在是一倍的话呢，那它其实就等于等于二分之一的 sine 二 x， 对 不对？好，再来看这个 啊，再来看这个，这个的话，同样的我们思路啊，思路也是两倍，它是 cosine， 两个 cosine 相乘，两个 cosine 相乘，或者两个 cosine 相乘，我们想到什么？它其实也是个降次吧，怎么降来，还记得吗？我们回回来看一下是不是这种情况， 是不是这种，所以 cosine 的 话其实就等于什么？哎，根号下什么？两倍的，哎，我们再看一下一加 cosine 二 f 对 不对？所以这些公式啊，咱们要数一加 cosine 二 f 是吧？所以啊， x r 二 x 对 不对？所以怎么样？我们也把它，把它怎么把它给缩了？好，我们整理一下，这边是二分之一的 sine 二 x 对 不对？这边呢，是二分之根号三的 cosine 二 x， 后面还拖了一个，不要忘记拖了一个， 这个是不是？好了，大家再来看一下，哎，这个熟不熟？哎， si 二 x cosine x， 我 们会把辅助角公式好，怎么样子的？就是 a b a 方加 b 方，四分之一加四分之三，正好等于一，对不对？好， si 二 x 加什么？加上一个，我们先写个 five 啊，加上一个 five， 加上二分之根号三，对不对？好，我们看一下 five 等于多少？ 或者叫 ten to five 等于多少？欸，看一下 sine 除以 cosine sine 和 sine 应该是和 cosine 它怎么样配是吧？所以是二分之根号三是不是好？除以 cosine 就 二分之一，所以等于什么？等于根号三是不是 ten to five 等于根号三？这个 five 等于多少？欸，我们用最小那个啊，是吧？三分之 pi 对 不对？ 所以呢？原式我们就可以把它写成什么？就等于 sine 二 x 加上三分之 pi 加二分之根号三。好，它的周期性怎么求啊？是不是？其实就是看啊，看这个 x 前面系数啊，就是我的 omega 对 不对？所以它的最小正周期等于等于二， pi 除以二就等于 t， 这就是它的最小正周期啊， 得解，是吧？主要这道题的最关键的地方啊，就是我们要知道说，哎，看这个式子目标是什么？把它做成一个三角函数的形式 啊，怎么做成一个三角形函数的形式？就是我们要去看什么？哎，次数一个是对下次数这边两次，这边两次可行，可行，之后我们再往下做 好第二题，第一题会做之后第二题其实简单啊。第二题怎么样？他说这个 f x 在 负六分之派到二分之派上的最大值和最小值，是吧？好，那么大家看一下 x 是 属于什么？属于负六分之派到二分之派的话，哎，那么我看一下，再往下看，二 x 是 属于什么？ 二 x 是 不是属于负三分之派到派对不对？好，二 x 加三分之派呢？它是不是属于正好从零开始，对吧？零到三分之四，派对不对？ 好，那么我们整体来分析这个 sign， 我 其实我们这个时候就把它看成个整体，对不对？相当于说我，比如说啊，我把它叫成 t， 大家也就是我们看 sign t 这个三角函数其实就是一个正规的三角函数，对不对 啊？它什么？它周期是 pi， 是 不是？这里是周期是二 pi， 对 不对啊？这里是 pi。 好， 零，从零开始到三分之四， pi 是 不是啊？那么它的 最大值是什么？最大值是不是就是一啊？最小值呢？最小值就取到这个三分之四派的时候，对不对？三分之四派，那么也就是说 sine， 我 知道 sine， 三分之四派等于什么 啊？是不是等于负的？ sine， 三分之派等于二分之二分之根号三，是不是？好，大家看还要加上一个二根号三，对不对？所以最大值是一加二分之根号三，是吧？最小值就是零，对不对？ 好，所以最后结果怎么样？最后的结果就是什么？就是 f x 啊，他的值域就是什么，从零到一加二分之根号三得减。好，大家仔细再考虑一下啊，这个是比较比较基本的题目。

来学习一下高至高考三角函数的最值参考题目。那么在做题目之前呢，我们先记一下。呃，三角函数的一个常见的形式，首先第一个形式就是 y 等于 a， sin 啊， omega， x 加上 f 加上 k， 第二个形式是 y 等于 a， cosine omega， x 加上 f 加上 k， 那么这两种形式的最大最小值都是一样的啊，最大值是怎么样子的呢？我们记一记最大值，最大值就是绝对值， a 加上 k， 最小值 就是负。绝对值， a 加上 k， 那 么这里面我们啊要注意，就说我们找最大最小值呢，主要找这个 a 和这个 k 就 可以了。 至于括号里面的呢，是另外一个知识点，我们先不用管它，后面我们会学。那么我们现在来接看题目， 例题，让我们求这个函数的最大值，那这个例题呢，它对应的是哪一个呢？对应的是第一个形式，那第一个形式我们它的 a 是 什么？ a 就是 五嘛， 那这个 k 呢？ k 没有，没有就是零啊，也就是说它的最大值是绝对值， a 加上 k， 也就是五的绝对值，加上零，那就等于五，那最大值就是五。那我们现在来看第二题， 第二题它给了一个这样的函数， y 等于负二，扣在三 x， 那 我们这里的 a 是 什么呢？ a 就是 负二， 那 k 是 多少？没有 k 吗？ k 就是 零啊，那他让我们求最小值，最小值，要注意前面多了一个符号，也是负绝对值， a 加上 k， 那 就等于什么呢？前面给一个符号符号，然后负二的绝对值加上零，那就等于什么？负二，也就是说这个最小值是什么？是负二。 好，我们看一下第三题，第三题他说止欲，什么是止欲呢？函数的最大最小值啊，加在一起就是他的止欲了。那么我们看一下这个第三题，第三题，我们一样的，我们先找出这个 a， a， 什么 a 是 三 k 呢？没有 k， k 就是 零了，那么我们来看一下那这个题目， 那它最大值是什么呢？最大值就是 a 的 绝对值，加上 k， 也就是三加零等于三，那么最小值呢？就是这个 负绝对值， a 加三 k， 也就是负三加零等于负三。所以说这个值域是什么呢？负三到三对吧？左右两边都是这个 b 区间。好，那我们开始第四题， 第四题呢？它是啊，我们这个常见的形式的第二种，那么我们直接找这个 a， a 是 二嘛？ 这都这里有没有 k 呢？有 k， k 就是 一了啊，刚刚都是没有没有 k 的， 没有 k 就是 零嘛。那我们最大值是什么呢？就是绝对值 a 加上 k， a 是 什么？ a 是 一，那这二加一等于什么呢？等于三，那么最小值呢？就是负绝对值 a 加上 k， 也就是负二加一，嗯，等于什么呢？ 负一也就这个执意是什么呢？负一到三对吧，左右两边都是这个 b 虚线。那么第五题， 第五题呢？这个是一个呃，理解型的题目了啊，就不能单纯是记公式了，那么我们看一下，要让这个有意义，嗯？什么什么意思呢？也就说这个扣赛，单独扣赛，他是 最大最小值是多少？它是属于负一到一的，为什么？因为它前面系数，前面系数是一啊，当然了，有些同学不会的话，你直接记就可以了，它这个都是属于负一到一的啊，它就是一个知识点，那么我们想一下 扣赛，它属于负一到一，那我们这个扣赛呢，又等于三 m 减二，也就是说三 m 减二属于什么呢？负一到一啊，也就是说啊，这个三 m 减二 大于等于负一小于等于一。那我们解一下不等式，它就出来了。那我们解一下，首先左右两边加这个二二，对吧？加二，那负一加二等于一， 三 m 减中间是三 m 嘛？然后右边的话一加上二的话就三，然后两边除以三，也就是这边是三分之一 m， m 大 于三分之一小于等于一。那这个答案是什么呢？就是三分之一到一。 嗯，那我们五道题就做完了，那么其实前面四道题就单纯记公式就可以了，第五题呢，就要稍微理解一下。然后我们今年高考的话是考到了这个的啊，就是二零二六年的高质高考考到了这个，这个啊，它很简单，它就是 y 等于二三 x， 它让你求这个的最大值是二吗？对吧？就很简单，所以说呢，同学们要把这个常见的三角函数的一个形式要记住，然后呢 套一下这个公式就可以了。那么我们今天的内容就讲到这里，希望对同学们有帮助，我们下节课再见。

好，朋友们，今天我们继续来讲解三角形啊，今天我们来看几个题啊。好，先看这个题，这个题的话是一个比较标准的解三角形的题目啊，放在一个什么？放在一个四边形里面就把拼了两个三角形啊，我们把啊题目的条件标上去， a 底我知道的是十，是吧？ a 底我知道是十四啊，还知道什么？还知道这个角和这个角 是不是？好？知道了这些条件之后啊，我怎么样？我想要把哪条边救出来？我要，我要求的是这条边，是不是？好，我们看求这条边在 bcd 里面什么？我条件够不够？我条件不够对不对？因为我只知道一个角，顶多我还知道是这个角吗？对吧？因为这是个直角，那这两边两个角都知道，那我怎么样？我至少还要知道一条边 啊。那我们看一下，我不知道的话，我先看这个 a、 b、 d 这个三角形对不对？这个三角形里面我知道两条边一个角啊，我们这是看用正弦定力还是余弦定力啊？ 如果我用什么正弦定点的话，就是对边，相比等于对边啊，相比对不对？所以说如果用正弦定点，我可以把这个角求出来， 把这个角求出来，我能不能求出这个 b 底？还不能，对不对？我要通过这个角求出来之后，再通过一百八十度减去两个角，直到这个角，我才能求出这条边，相当于我要做两步，对不对？好，那还有种什么方式？还有种方式就是我要求这条， 这这条边嘛，是不是？我知道是两条边，为啊？为 c 的 话，我用余弦定点也可以做，这是一步就能出来，是不是 啊？那么到底我选用正弦还是用余弦定力来做，其实没有什么讲究，都行，只不过在计算程度上，可能在计算量上会有一定的区别啊，比如说我们看，如果我们用正弦定力，是不是啊？我们是不是得出什么十四，他的对角是多少？ 对角是六十度对不对？乘以六十度等于多少？等于十，比上我要求的这个角吗？对吧？我如果这个角是 x 的 话啊，那么我这个大家看三六十度等于多少？等于二分之根号三，上面是一个十四啊， 这样子的话， x 求出来什么啊？它既有一个七七是个很麻烦的数字啊，又有一个是根号三，所以啊，对于这把这个角的三影值啊，这其实是三影 啊，就是那个一个角嘛，对不对？这个角的三影值来说，我是很难把这个角求出来，求了这个角我还再要去减嘛，是不是？所以这种情况下用正弦力怎么样？我们相当于就碰壁了啊？那我马上就反过来看，我用余弦力，余弦力怎么说的还记得吗？这两个是零边对不对？好？ a d 平方加上什么？加上 b d 平方，是不是啊？再说减去两倍的邻边相乘对不对 啊？再 cosine theta 对 不对啊？等于什么？等于对边对不对？等于 ab 的 平方对不对？好，我们把知道条件全部带进去啊，我 a d 是 知道的， a d 是 多少， a d 是 一十对不对？十个平方加上 b d 平方减去啊，二十对不对啊？ b d 乘以 cosine theta， cosine 六十度对不对？ cosine 六十度， a 是 个很好的数值，是二分之一，是不是好，等于什么？ a b， a、 b 是 吧？是十四的平方对不对？好，虽然说我这是一个什么是要解一个 一元两次的方程啊，但是大家看一下，这一元两次方程不难解啊。减去多少？十 b、 d， 把这个移过来一百一百九十六嘛，就减去九十六，好，大家熟悉的话，九十六就是嘛，就是十六乘以六，对不对？所以 b、 d 等于减去十六啊，我配个配一下对吧？ 加上六对不对？等于零啊，这个是负值，我不取，那笔底我求出来就是等于十六，也就这条边出来个数字非常好，所以我们这个时候选择什么？选的就是鱼弦的 啊，所以到底选鱼弦还是选正弦啊？不一定就是我这一步能出来，我就用鱼弦，方便，主要还是看什么，还是按数值好吧。好，这样的话我就求出来这个笔底等于多少？笔底等于十六是吧？啊？ b、 c， 我 还要求 b、 c， 好， 那么我知道 b、 d 的 哎，对角，又知道 b、 c 的 对角，那这个就肯定什么肯定用啊，正确的是吧，怎么求它就是我十六，对不对？比上我这个的对角就是 b、 c、 d， 看一下 b、 c、 d， 我 们知道吗？哎，知道，是一百三十五就 sine 一百三十五对吧，等于什么？等于我要求的 b、 c 是 吧？等于我要求的 b、 c。 比上 b、 c 的 对角就这个角这个多少？九十度减去六十度对吧？就三三十度是吧？好，我们整理一下啊，就是十六除以啊。三，一百三十五就三四十五，二分之根号二是吧？等于 b、 c 除以二分之 一，好， b、 c 出来就是就是，根，就是根号二分之一约掉了，对吧？那么就是八根号二，这就是我们求出来的 b、 c 啊，这是一道非常基本的一道解三角形啊，就是我们知道正确的理解能力要怎么用啊，然后呢不停的一个一个叠带这个三角形解出来的，影响到下一个三角形就可以做了， 大家回顾一下。好，下面呢，我们再看一个题，因为我们啊解三角形这个东西啊，我们今后在高考或者在练习题中啊，大部分情况下不太会直接给你三角形解的太简单了，他所要考的难度的话，他肯定跟什么跟我一些三角比，包括一些三角的应用结合在一起考，那这样的话他出的题目就花样就会比较多。我们来看这么一道题， 好，告诉你呢，这个 a、 b、 c 是 这么一个三角形中的内容，对吧？包括它的边，它的角啊，知道两个条件，让你求什么？求这个参数啊，在这个条件里面，其实我有个参数 k， 这个参数 k 的 一个最大值，也就是满足这种关系，这个 k 它是有个范围的。 那么大家回顾一下，这个，我们来求一个数的最大值的话啊，到现在高中阶段，我们一般会用几种方式，或者往哪几方面想啊？来总结一下。第一种呢，我们什么二次函数，对不对？二次函数，二次函数，因为它有最大值最小值的，所以这个是一个方向。第二个呢，我们就基本不等式，是吧？我们一直说了好久的一个基本不等式， 好，这边说第三个是什么？哎，就是我们学了三角之后啊，我们的 sine 正弦或者 cosine 与弦，哎，其实是一样啊，他是有一个最大值，就是负一到一， 是吧？啊，所以说我们这三种啊，我们都可以去想啊，那么我们既然是一道三角的题目嘛，大概率是用这个方式 啊，那么我们看一下现在我们知道的都是边的关系，对不对？我们把它列出来， a 方加 b 方等于 k， a b， 啊，是三条边的关系啊，这里只有两条边是吧？好，还有呢，另外一条边，它告诉你是二分之 c 平方，它是一个什么？它是个面积，好，面积公式，它其实就是二分之一 a b sine 多少啊？ a b 三 c， 对 不对？好，那么都是边，如果我们要去往角那里考虑，是不是要把这些边啊全部去掉，最好是只能只把它啊，统一成一个角或者角，一个三角，三角或者三角，我这道题就能解决了。好，那么考这个的话，既然它在三角形的面，它就必然会满足我们的。正弦定律与弦定律对不对？ 我们看到 a 方加 b 方，我们想到的什么？还有 c 方，对不对？我们肯定想到的是啊，余弦定律，我们拿出来是吧，就是 a 方加 b 方等于什么？ 等于 c 方说，哎，是多少？加上二 a b cosine c， 对 不对？哎，因为公式是在另外一边，我们把移过来啊，一样的好，哎，这两个我们看看，如果把 a 方和 b 方去掉，哎，是不是又又出现一个 cosine c 了，好，那是什么？哎，就 c 方加二 a b cosine c， 是吧，然后呢，等于什么？ k 倍的 a b， 对 吧？好，大家看，哎，有点像了啊，这里有 c 方，这里有 c 方是吧？这里有 a b， 这里也有 a b， 哎，这个我把二分之一去掉啊，放过来是不就是 c 方等于什么？二分之没有二分之啊，等于什么？ a b sign c 是 不是？好，我们看，哎，这个 c 方 c 方在这里， a b a b， 哎，这边也有 a b， 那 我把这个往这边移点好不好？也就说我把这个变成什么 c 方等于什么？哎，把 ab 踢出来 就是 k 减去两倍的或 sine c， 是 不是好？到这里位置是不是很有，我们很有做头了是不是？我上下比一比，我其实就想把这个边都去掉嘛，是不是？当然我可以就是直接 c 方替代掉，对吧，也是一样的可以把它约掉，这就什么就是 sine c 啊，它是不就等于 等于什么？ k 减去两倍的 cosine c， 哎， k 我 直接就可以看表是什么，就表示 cosine c 加两倍的 cosine c 了吧。到这里为止，我们是不是想，哎，就全是角了对不对？而且只有一个 cosine c 啊，那我怎么用三角的方式求最大最小值呢？哎， 别忘了我们还有一个什么辅助角公式啊，就是 sine 和 cosine， 我 们把它给综合起来，对不对？等于什么啊？根号下一加二的平方对不对？ sine c 加上一个角是吧？加上一个角，当然这个角是什么我们也知道对不对？当时说角等于什么？角就等于 tangent sine 在 这里， cosine 在 这里吧，就等于 tangent 阿法等于二，是不是啊？其实这个对我们什么不是太有用啊，没关系，没用，那么我们就来看这个， 看这个的话，我们是看它什么，哎，就相当于根号五三里面一个角嘛，那我不用管它是什么角，那么我看到最小值是负根号五，最大值是根号五，是吧？所以答案就是就是 b。 所以 这个题目啊，以后可能涉及到的就是类似这种，这道题还算是比较比较简单，没有绕的很厉。

好，今天我们再来看几个三角函数题目啊，都比较基础啊，主要是概念和运算方式。首先来看第一个题，哎， 这个题看上去好像哎，怎么这么奇怪，对不对？但我们仔细分析就不会那么难了，大家看一下，首先这是一个什么？哎，我们仔细来说了一下的话，它其实是一个叫复合函数，对不对？就是在 log 的 里面套了一个三角函数，也就是我们可以把它看成什么啊？它是一个 g x， 里面套了一个 f x 啊？这个几 x， 我 们可以认为什么几 x？ 就是 把这个作为一个整体的话，我可以认为是一个 log， 以派为底，是不是 x 对 住，首先是这样一个好，那么然后这个大 x 其实它是另外一个函数，对不对？这个函数是一个三角函数，对不对？ 那这个题其实让你做的是什么？是单调区间，单调区间的话，我们知道，如果说啊，我的复合函数，一个函数是真函数，外面一个函数也是真函数的话，它怎么样啊？真，真它也是真，对不对？如果是，如果是什么，里面是减，外面是真，怎么样，它就什么，它就是减，对不对？大家都是减，它就是真，对不对？哎，为什么 啊？因为什么叫正？函数中函数就随着 x 的 增大， y 也增大，那去套两层的话，就是随着这个 x 的 增大，这个 f x 也增大啊，如果后面也是个正的话，就是随着 f x 增大， g x 也增大，两个一加就是增大，同样的，对吧？负负 它就变真了，对吧？正负它就是真啊，就这样一个原理。那么所以说这道题目我们考虑的情况其实就是就是考虑这两个函数分别的一个单调性，就可以得出整个的一个单调曲线，对不对？好，首先我们来看这个极，这个函数，极这个函数，由于 log x， 我 们再来回忆一下， log x 的 图像的话，是一个什么？是在 x 大 于零那一边，对不对？过一和零 这一点好，只要这个底数是大于一的，它就是一个这样的图像，也就是说就是都是真函数，对不对？都是真函数啊，但是大家不要忘记一点啊，都是真函数不算，就是，至少我们要知道点，它这个东西也就是个 f， 就是 个 f x 啊，它肯定是要大于零，对不对？小于零就没有意义。 因此我们第一个要知道的是我们的三 x 加三分之派啊，它必须大于零啊，必须大于零啊，所以这道题目其实这边有个小小的陷阱啊，小小的陷阱。好，再来看这个三 x， 三 x 我 们知道是一个周期函数，它可能增，可能减， 那么我们要求它的单调区间也就什么时候增，什么时候减的话啊，那我们就知道了，因为我极 x 是 增函数，所以怎么样？ f x 是 增函数的时候，它就是增函数， f x 减函数的时候，它就是减函数。好，我们来看 所谓的我们这边的 f x 的 话，其实就是一个，就是我们的一个什么，我们的一个三角函数的 sine 值，对不对？ sine x 加三分之派，也就是原来它的图像啊，就三 x 图像，是不是这样子啊？零到 派对不对？一个周期，二派，二派一个周期，对不对？好，如果说我们的加上一个三分之派呢？其实就是往这个单位移，什么移动三分之派的单位？负三分之派啊，它整个图像就变成这个样子，对不对？这里的话就移过来。三分之派吗？啊？那就是多少啊？就是三分之五派，对不对？ 好，那么这样一个图像啊，或者说这样一个它的一个三角函数，它的单调递增区间是哪一段？我们来看，我们来考虑它单调性的，考虑它单调性的时候，哎，我们注意啊，这个时候我们要把什么？我们要把它小里面的那段怎么样忽略掉，就这一段，其实我们是没用的，我们只看这段， 是吧？只看这，只看这段的话，我看什么情况下增函数，就是负三分之派到零的时候，它是一个增函数，对不对？好，然后呢？它从零到多少？这是一个周期，是不是啊？半个周期啊？半个周期就是个派啊，就到三分之二派的时候，它是一个减函数，对不对？然后这一块我都不去管它。 好，那么怎么样？我对于这个周期函数来说，我怎么样要把它周期要加上去，所以最终的情况，什么？就是二 k 拍减三分之拍，到二 k 拍的时候，他应该是一个增函数，是吧？二 k 拍到二 k 拍加三分之二拍的时候，他是一个减函数 啊。这道题目为什么拿出来给大家说啊？因为很多同学都知道，哎，复合函数，我去同时考虑它的单调性就行了。但是这里有一个陷阱，就是什么？就是 log 的 这一块啊，它必须大于零，必须大于零的话，从图像上来，我们要把什么？把下面那一块要去掉。好，这是第一个题。好，我们来再再来看一个题啊，再来看一个题。哎， f x， 这是一个概念的题目啊，有一个 f x 是 一个三角函数，然后呢？我有一个什么？我有一个什么二次函数，对不对？这个我们之前很熟了。好， 三角函数，我们知道它是一个周期函数，它其实不是一个周期函数，对不对？它只是有个对称轴啊，对称轴左边是越越来越小，对称右边是越来越大，这样的函数。好，那么我们来考虑如果这两个函数相加，它是不是一个周期函数啊？这个地方怎么考虑啊？如果和我 f x 加几 x， 如果是个周期函数，它必然会等于一个什么？等于一个 f x 加上一个某个周期 t 加上一个 g x 加上一个周期 t， 对 不对？好，由于它 f x， 它是一个周期函数，它的周期是多少？大家看一下。 它这里是个派啊，它周期不是二派啊，它周期是什么？ omega 二派除以 omega， 对 不对？ omega 就是 派嘛，所以它就二派除以派，所以它周期是二，对不对？好，也就是说这个啊，它等于永远等于 x 加二的，对不对？所以它其实一直在二这个区间啊，就是把它图像做出来的话，它其实一直在这样的变化，一个一直是一样的，而它呢？ 它我们再仔细看一下，我把它给做出来，是吧？是 x 减去二分之一的平方，对不对？加上一个什么？加上一个四分之三，对不对？ 好，也就说对他来说他其实在什么？哎？呃，他的周期是二，是不是？那这是一，这就二分之一，对不对？就在在二分之一这边，他会越来越大，也就是他们俩加起来之后，会使得这个周期函数怎么样？不停的往上移动？往上移动 是这样一个形式，是不是同样在那边的话，怎么样？他会不停的往下移动，往下移动，往下移动。那这样一个图像画出来什么？他是不是周期函数？他肯定不是周期函数，所以一怎么样？一肯定是错的啊。我们来看一下二 二这个题目呢？刚才其实我们两个两个函数啊，图像或者两个性质其实我们都清楚啊。首先看啊， f x 它是什么？它是一个刚才说的一个图像，刚才已经说了，对吧？ f x 是 什么？ f x 就是 刚才说的一个啊，以二为周期的一个图像，对吧？一个周期函数，对不对？好，这样周期函数，那么这个周期函数三的这个周期函数啊，它其实有个什么特点 啊？他关于什么？只要是一个波峰或者波谷的地方，他把他怎么样？左边折过去啊？把他对折，把他沿着 y 轴对折，他怎么样？哎，他是可以重合的，对不对？ 所以说他其实也是一个轴对称图形，他的对称轴是什么？对称轴是他但凡取到波峰或者波谷的时候，他是一个对称轴啊。再来看一下 g x， g x 刚才说过了，是这样的图像，也就是他是在 二分之一这一点，也是 x 点二分之一这条线怎么样？是关于它对称的，对不对？那所以两个对称的图形，我把它叠加起来，发现他们有一条对称轴啊，是相同的情况下的话，怎么样？他也必然会针对这条对称轴是对称的，这点能理解吗？ 啊？如果大家不能理解的话，大家再来想一下，之前其实我们说函数性质的时候说过一个什么，如果我关于 x 等于二分之一对称，我的图像其实我是是什么？就是 f 二分之一加 x 等于 f 二分之一减 x， 对 不对？ 所以这两个函数其实都满足这样一个形式，二分之一加 x 等于极的二分之一减 x， 所以 这两个函数一减，这两个函数一减，是不是这个式子仍然成立， 所以整个的这个相加的相减的，整个的相减的这个图像是不是也是对称？那理解吧。啊，这是从严格证明的话，是这样子图像的话，大家也要能去理解这样一个图像的情况。好吧，好，再来看第三个题 啊，第三个题的话说，哎，这两个数呢？我现在是相乘了，相乘的话，关于原点对称，好，我们再来回顾一下啊，关于原点对称说明什么？说明它这个积函数，也就说 f x 乘以几 x， 它其实要等于什么？等于 f 负 x 几负 x， 然后呢？哎，我是有是相反数，要满足这样一个条件对不对？好，我们看一下这两个函数现在本身是一个什么情况啊？ f x 是 不是个奇函数？三 x 是 个奇函数对不对？所以 f x 它其实是满足什么？ f x f 负 x 负 f x， 对 不对？ 所以说只要它不等于零啊，我们把等于零这个式子解，没有意义啊，只要它不等于零的话，如果这个式子成立的话，和它连立，其实我们会退出。几 x 是 等于几负 x， 也就是说它变成一个偶函数了，对不对？对，它是偶函数的话，我们就能退出。哎，这个东西是关于原点对不对？但它是不是个偶函数啊？它不是对不对啊？ 它是关于二分之一对准求对称的，也就也就是说这个几 x 是 推出是偶函数的话，它怎么样？矛盾了？矛盾了。说说明，假设不成立，就是这个不成立啊，所以什么三是什么是错误的，好吧？好，再来看一下四 四这个的话，它是什么？两个数相除对不对？好，它来看，它说它有最大值。那么我来分析一下 f x 和几 x， f x 和几 x。 f x 它是一个周期函数，它一直在变，一直在变，一直在变，但是它一直变， 一直在这样做一个周期的波动运算的，对吧？那么所以说他在这段区间内呀，他必然怎么样？他也被框死了， 框死他有个负一到一的啊，那对于他来说，他肯定是有个最大值，对不对？最大值在哪里？他有好几个地方有最大值，只要是什么二分之一加二 k， 对 不对？在只要是二分之一加二 k， 他 就是最大值，二 k 加二分之一，他的最大值去掉是不是？好，再来看一下几 x， 几 x 的 话，他怎么样？ 因为它几 x 的 话，它是有什么？开口方向向上，它是有最小值的，对不对？它是有最小值的，说明什么？说明 x， 我 把它放下来啊，几 x 分 之一啊，那么几 x 怎么样？几 x 分 之一啊，那么几 x 分 之一怎么样？它就有一个什么最大值是三分之四，对不对 啊？三分之四，所以说 f x 它去，它被框死在一个放，而它又有个最大值，那么它们两个加起来怎么样？必然会找到一个这个函数怎么样？函数最大值能理解吗？所以四怎么样？四也是正确的啊，最终答案应该选什么？选择二和四。 好吧。啊，所以这个概念题呢，就是让我们训练啊，这个函数图像，包括以前我们说抽象函数的那些函数性质怎么样去用啊？大家再回想思考一下。

高考遇到三角函数题怎么办？直接用五博士尺子，三秒直接量出答案！别怀疑，就是这么简单！

hello， 大家好，我们来看一下十三题。已知三引 r 发加括号，三引白搭等于二分之三，然后括号三引 r 发加上三引白塔等于二分之根号三，那我们求三引 r 发加白塔的值， 那首先三引而发加白塔，它等于个什么？我们是不是可以给它展开？那三引而发加上一个白塔，它是不是就等于三引而发乘以一个扩塞引白塔，再加上一个扩塞引而发，再乘以一个塞引白塔，对不对？好， 那要求这个的值，我们是不是想办法把这两个东西给它算出来，对不对？好，那怎么算？我们肯定是要用到前面这两个条件， 我们可以对，假如这个就为一式，我们这个就为二式，那我们可以对一式，二式分别平方，那对一式平方下来之后，他是不是就是 三引而法方再加上括号三引白塔方，加上两倍的三引而法，再乘以一个括号三引白塔，他是不是就等于一个四分之三？好， 那对二十点型平方的话，那就是扩三引阿尔法方，再加上一个三引白塔的平方，再加上两倍的扩三引阿尔法，乘以三引白塔，他是不是就等于一个四分之三？ 如果说我们两这两个相加一下，假设我们这记为三，这个记为四，我们三加四加一下，那他是不是就是三引阿尔法方？不是？不是。三引白塔，是 扩三引阿尔法方，那这两个相加是不就是扩三引白塔方，再加上三引白塔方，再加上两倍的这两个相加，就是三引阿尔法乘以扩三引白塔， 再加上扩三引阿尔法乘以三引白塔，他是不是就等于四分之三？这里是，这里是四分之九， 这里写错了，这里是四分之九，他是不是就是四分之九加四分之三，那就是一个三，对不对？好，那么大家再注意看， 我们这一项他是不是就等于一的，对不对？那这一项是什么？这一项是不是就是三引 r 发加白塔？所以最后我们可以整理一下，那就是二加上两倍的三引 r 发再加上一个白塔，他是不是就等于一个三？ 所以我们知道 sine r 加 betta 它是等于一个二分之一的，那这道题的答案就是二分之一。

函数性质题不会做一个图像全部解决。呃，设常数啊， m 使方程呢？ cos x 等于 m 在 区间 二分之派到三派上恰有三个解， 三个解依次为 x 一， x 二、 x 三，我们给它规定一下大小啊，且 x 二的平方等于 x 一 乘以 x 三啊，则 m 的 值等于多少？ ok 啊，这样一道题目呢，它就是在考我们一些图像上的一些基本性质啊。好，那 m 等于个 cos 是 二分之派到二分之三派之间，所以我先第一步，我先要把这个图像找二分之派找到它， 二分之三啊，三派找到它在这儿啊，在它们两个之间呢，我们在这儿 能看到它是这么一个图像啊，那作为这样一个图像呢？呃， m 等于它有三个减，所以对于这条线来说的话啊，我基本上知道应该是画在 x 轴以下啊，大概在这个位置 啊，有三个点。好，它们对应的横坐标呢，分别叫做 x 一， x 二， x 三啊，三个横坐标啊，如果要是画在 x 轴以上呢，就是有只有两个焦点了。 好，那作为有三个点的情况下，我们会发现他们两点之间呢，会有一个对称关系，比如说 x 一 和 x 二，他们是关于 x 等于把这条线对称的，所以 x 一 加 x 二， 我能确定他等于二派啊，终点公式，那 x 二和 x 三呢？他们两个中间也有一个对数高，应该是二派，所以他俩和应该是四派。 ok， 这是我们在做完图之后能发现的一些性质啊。那他还给我一个条件，他说 x 二方 等于 x 一 乘以个 x 三，所以在这里我可以替换一下，比如说我可以把 x 二给它求出来啊，那又说 x 二的平方等于 x 一 转化成 二派减 x 二， x 三呢？转化成四派减 x 二。好了，到这就是我们熟悉的一元二次方程，把它打开啊，我们的问题基本就得到解决了，叫八派方减去一个 六派 x 二加上 x 二方啊，两边的 x 二方呢？我把它给它消掉啊。所以也就意味着 八派方等于个六派 x 二好消一消 x 二，在这等于三分之四派。好了， x 二等于三分之四派，那作为 m 的 值呢？是取个点的总坐标，所以 m 呢，其实可以等于 cosine 三分之四派。好了，这个数值是不也就结束了，对吧？那 cosine 三分之四派等于一个多少呢？啊？你可以说我这个地方用一下诱导公式， cosine pi 加三分之派，这是没问题的啊，偶不变，所以等于个 cosine 三分之派啊。然后根据象限判断一下，它是一个负的，所以最后的结果呢，负的二分之一 ok 啊，考了一个图像的对称性。