六年级下册第五单元正比例画图题

那这两个状态因为哥哥的速度发生了变化，哥哥是不是每分钟多走了，是吧？这能理解吧？那我们把这两个状态分别的来研究一下啊。第一个状态，第一个状态，这个哥哥和弟弟是什么关系啊？啊？哥哥写在这，是吧？哥哥写在这 啊，弟弟写在这。好吧，这弟弟啊，第一个状态，弟弟就不用说了啊。弟弟，这个，这个哥哥不用说了，哥哥就是用了二十五分钟时间， 这能理解吧？哥哥就是用了二十五分钟时间，那哥哥用了二十五分钟的时间，那请问弟弟是用了多长时间呢？弟弟应该是先走了五分钟，然后后来是不是还有二十五分钟，所以这个弟弟应该走了多少分钟呢？应该是二十五加五，应该，弟弟是走了三十分钟， 是这样吗？那么弟弟走了三十分钟，哥哥是走了二十五分钟， 这个时间的比就可以求了。那关键问题是路程是一定的，对吧？路程是不一定的，他们俩都是从家里出发，那最后呢？是不是哥哥追上弟弟？再说一遍，是不都是从家里出发，最后哥哥追上弟弟，他们走的路程是不一样的，路程一定 啊，速度乘以时间是不等于路程，那速度和时间是成反比的，这个很好理解，速度越快时间越少，是吧？那时间是啊，二十五比上三十， 这能理解吧？二十五比三十，那这个二十五比三十几比，是不是就五比六，是吧？五比六，那时间是五比六，所以这个速度是几比几呢？速度应该是六比五，速度应该是六比五啊，这是原来第一个状态时间的比，是啊，和速度的比是成反比，是吧？ 好，那么第二个状态呢？第二个状态，大家看一下第二个状态，第二个状态是这样的，如果哥哥每分钟多走五米，那么出发以后二十分钟，出发以后二十分钟，我们写在这啊，那哥哥走了多长时间呢？哥哥是不是走了二十分钟没有问题，是吧？那弟弟应该是走了多少分钟呢？弟弟是不应该走了二十加五是不走了二十五啊？ 啊？哥哥走了二十，弟弟走了二十五，那时间的比是多少时间的比是不是应该是四比五？是吧？是不是四比五？那还是相同的路程，那速度的比是不是五比四，对吧？速度的比应该是五比四， 看到没有，是不是就五比四对吧？那为什么这个速度比由六比五变成了五比四呢？因为有一个啊，量发生了变化，因为这个哥哥这个速度是不是每分钟是不是多走了五米啊？他这个速度每分钟是不是应该多走了五米， 这能理解吧？但是这个弟弟这个速度可没有发生变化，这能理解吧。咱们说这个比例问题，有三种题型，和不变差不变，还有单向的不变，这个就是单向的不变。由六比五这个速度变成五比四这个速度。 弟弟这个速度没有发生变化，不变量就是弟弟这个速度，那这个统一不变量呗。 这个五和四可以统一成什么东西呢啊？这个五和四是不是可以统一成二十，这能理解吧？二十好了，那这个六比五应该是几比几呢？这个五怎么样能变成二十？是不是乘以四啊？他应该乘以四啊。乘以四，那当然他是不也得乘以四是吧？ 比利时前两前向后向，那哥哥应该多少呢？哥哥是不是二十四分，是吧？那这个应该是二十，是二十四，比上二十，看到没有？那这个弟弟呢？弟弟这五比四也不对了，那这应该变成二十分，那这是不是应该乘以五？是吧？扩大五倍， 他扩大四倍，他扩大五，那这是不是也扩大五倍，是吧？好了，那这个应该是二十五，那这个应该比上什么呢？比上二十，就是我们看到的这个六比五和这个五比四，他是最减整数比，但是他不是真实的比， 不是真实的分数比，真实的分数比应该是二十四分，比上二十分啊。化简之后是六比五，那是二十五分，比上二十分，这就保证了弟弟永远都是二十分，弟弟不变，那哥哥是什么变化呢？是不是由二十四分到二十五分？ 哥哥由二十四分到二十五分，是不是增加了一份？是不是增加了一份？一份是多少？同学们，一份是不是就是五啊？ 一份是不就是五？那一份是五的话，那现在都搞定了，他求的是弟弟，弟弟是多少分？弟弟是不是永远都是二十分，是吧？那就是二十分， 乘以什么呢？乘以五啊，所以弟弟这个速度应该是一百，应该是一百。那这道题呢？啊，难度还是很大，它分成两大部分， 第一部分是什么呢？我们要由这个时间的比，这两个状态，由时间的比要求出来速度比，这是第一部分。那第二部分呢？我们要根据这个比例，应用题里面这个单向不变， 就是哥哥和弟弟，原来是六比五，后来变成了五比四，弟弟是不变的，抓住不变量，统一不变量来用，利用小乘法来算就可以了 啊，肯定有其他的做法啊。但是这个呢，应该是很快啊，比例算数方程和比例啊，感觉起来讲的比较烦，是吧？大家如果能够理解这样的方法，应该就很快了。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例关系图像 这节课的内容。一看题目我们就知道与图像有关。我们先来看一个表格，这个表格是数量和总价之间的关系，那这个关系可以用图像来表示出来吗？ 我们来看这个图，它的纵坐标标的是总价，横坐标标的是数量。我们画图的时候，要先把各个位置的点给找出来 来看，当数量是一的时候，总价是三点五，我们在横坐标上找到一的位置，在交叉的地方标上一个点， 以此类推，找到数量是二、三、四五、六、七、八的对应点在哪里。找到点之后，我们把这几个点连接， 这样就把图像给画出来了。接着我们来看几个问题，第一个问题，从图中你发现了什么呢？这上面所有的点都在同一条，对，上面所有的点都在同一条射线上。 再来看第二个问题，把数对十三十五和十二四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？ 我们先把这两个点给标出来，标完之后连接再延长，我们发现这两个点也在这一条射线上。 好了，正比例关系图像我们已经画出来了，就是这么简单，正比例关系图像就是一条从零零出发的无限延长的射线。 再来看第三题，不计算，根据图像判断，如果满九米彩带总价是多少？ 四十九元能买多少米彩带呢？从途中我们在横坐标找出数量是九米的时候，对应的价格是对三十一点五元，所以如果买九米彩带，总价是三十一点五元， 再从纵坐标找出四十九元，对应的数量是十四米，所以四十九元能买到十四米的彩带。再来看第四问， 小明买的彩带的米数是小丽的两倍，他花的钱是小丽的几倍呢？ 在这里我们要知道的是，彩带的单价是一定的，并且彩带的总价和数量成正比例关系，总价随着数量的增加而增加，当数量翻了两倍，总价也翻了两倍。 所以，若小明买的彩带的数量是小丽的两倍，那么他花的钱应该也是小丽的两倍。 好了，我们来观察一下这个正比例关系图像，你发现他特别像我们之前学过的什么呢？ 对，特别像我们之前学过的折线统计图。那正比例关系图像是折线统计图吗？正比例关系图像描述的是量与量之间的变化关系，两个量都是连续的， 即射线上的点有无数个，而折线统计图描述的是一些离散的数据， 所以正比例图像不是折线统计图。简单来说，正比例的图像不是一节一节的折线，而是一条直直的穿过零点的斜线，而折线统计图是一节一节的折线， 所以他们两个是不同的。好啦，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例。上课之前，我们先来看一个式子，速度等于路程除以时间，其中路程和时间之间有关系。 在数学中，我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做相关联的量。 我们之前还学过总价除以数量等于单价，这个式子中，我们可以说总价和数量是相关联的量。 还有工作总量除以工作时间等于工作效率这个式子中，我们可以说工作总量和工作时间是相关联的量。 还有一本书看来的页数加剩下的页数等于总页数，这个式子中一本书看来的页数和剩下的页数是相关联的量。 好啦，了解完什么事相关联的量之后，我们来看书上的利益。题目中说，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系如下表，我们根据这个表格来回答一下几个问题。 来看第一个问题，表中有哪两种量？表中有两行，第一行表示的是数量，第二行表示的是总价，所以表中的量是数量和总价。 再来看第二问，总价是怎样随着数量的变化而变化的？我们来看表格，数量是一的时候，总价是三点五。数量是二的时候，总价变成了七。 数量是三的时候，总价变成了十点五。所以当数量慢慢增多的时候，总价也在随着相应的增加， 也就是说数量越多，总价越高。再来看第三问，相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？我们先来看相应的总价与数量的比， 当总价是三点五元时，数量是一米，所以第一组总价与数量的比是三点五比一，也就是 一分之三点五，以此类推。第二组是二分之七，第三组是三分之十点五，第四组是四分之十四，第五组是五分之十七点五， 第六组是六分之二十一，第七组是七分之二十四点五，第八组是八分之二十八。 再来求比值，因为总价除以数量就求出来它们的比值，求出来比值都是三点五。求比值的时候是让总价除以数量，而总价除以数量求出来的是单价， 所以比值三点五实际上就是彩带的单价，用式子表示，就是总价除以数量等于单价。 像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 那到底怎样判断两种量是否成正比例关系？那到底怎样判断两种相关联的量的比值是一定的， 所以我们要判断是否是正比例关系，我们要先求出来它们的比值，如果比值一定，它们就成正比例关系。如果比值不一样，它们就不成正比例关系。 我们来看简单的记法，如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，这里的比值是一定的。正比例关系可以用下面的式子来表示， 也就是 x 分 之 y 等于 k， 这里的 k 是 具体的值。好啦，了解完什么是正比例关系之后，我们来看一道题。这道题说下表示小林家去年上半年每月用电量情况来看，第一问 分别写出个月电费与用电量的比，比较比值的大小来看，第一个月电费是六十元，用电量的 用电量是一百二十千瓦时，所以他们的比是六十，比一百二十。 第二个月的比是六十五，比一百三十。第三个月的比是五十五，比一百一十。第四个月的比是六十，比一百二十。第五个月的比是六十五，比一百三十。 第六个月是七十五，比一百五十，他们求出来的比都是零点五，所以他们的比值是相等的。再来看第二问， 说明这个比值表示的意义，因为我们求比值的时候是电费除以用电量，而电费除以用电量求出的是用电单价，所以这个比值表示的就是用电单价。 再来看第三问，电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么 在第一问中我们已经求出来电费和比，在第一问中，我们已经求出来电费和用电量，它们的比值是一定的，所以它们成正比例关系。好了，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

今日知识来了，今天来看两个易错题。第一个，圆的周长和半径成正比例关系吗？为什么？先来回顾一下正比例，正比例是两个相关联的量相处，他的比值是一定的，他二者成正比例关系。 题目中问周长和半径周长是等于二 pi r， 那 周长和半径是否成正比例，取决于它的比值是否一定，那 c 比上 r 之后是等于二 pi。 在 圆的计算过程当中， pi 取值为三点一四，所以 c 比 r 是 等于六点二八，那六点二八是固定的值，所以它成正比例关系。 第二个，圆的面积和半径成正比例关系吗？为什么？圆的面积公式 s 等于 pi r 的 平方，那么 s 比上 r， 它的比值是否固定？我们来看 s 比上 r 之后，比值是等于 pi r， p 是 固定的，我们取值三点一四。但是当 s 变化或者 r 变化的时候，这里的 r 也会随之变化，所以它不是固定的，它不成正比例关系。

今天我们来看这道题，如果四分之 y 等于 x 分 之二， x 和 y 均不为零，那么 x 和 y 成什么比例？我们先来看第一问， 四分之 y 等于 x 分 之二，交叉相乘积相等，那么 x 乘以 y， 乘号可以省略， 就等于二乘以四 x， y 就 等于八，那么乘 x 乘以 y 等于八，它们两个的乘积一定。所以说它们乘 x 和 y 乘反比例。 现在再来看第二问，十四乘 x 等于 y， x 和 y 均为零，那么 x 和 y 乘什么比例？ 十四乘以 x 等于 y， 那 我们两边都先除以一个 x， 都先除以一个 x， 把 x 抵消，就变为了十四等于 x 分 之 y， 那 么他们这是比值一定。所以说 x 和 y 乘正比例，记得点赞关注哦！

今天我们来做三道填空题，我们先来看第一题，若七分之 a 等于 b 分 之八，则 a 和 b 成正比还是反比？首先这个七分之 a 等于 b 分 之八是比例的，那我们可以把它转换成等积式，也就是 a 乘 b 式等于七乘八，也就是五十六，那这个相当于是积一定，那么 a 和 b 就 成反比。 我们再来看第二题，若八 a 等于七 b， 则 a 和 b 成正比还是反比，那八 a 乘八， a 等于七， b 的 话，这个肯定就是等积式。我们要把它转换成比例，那么 a 比 b， 这个 a 是 外向，那么这个八肯定也要在外向，七就是内向，那 a 比 b 等于七比八，也就是等于 八分之七，那它们相当于是比值一定，所以 a 和 b 成正比。 我们再来看第三题，若十一分之 x 等于七分之 y， 则 x 和 y 成正比还是反比，那这个十一分之 x 等于七分之 y， 它是比例。我们把它转成等积式， 那就是七 x 等于十 y， 然后 x 这个时候在外向，那七肯定也要在外向，十一就是内向， 那么 x 比 y 等于十一比七，也就是等于七分之十一，那这个也是比值相等，所以 x 和 y 成正比，你学会了吗？

今天我们来看这道题，甲乙两数互为倒数，那么它们成什么比例？我们先来看第一问，甲乙两数互为倒数，那么它们两个，它们两个数之间是倒数的关系，那么它们的乘积就必须为一， 那么乘积为一，那么乘积也就是一定的乘积一定，也就是乘反比例。我们再来看第二问，甲数的五分之四等于乙数，则甲数和乙数成什么比例？ 甲数的五分之四得可以化为乘号，那么就是甲乘以五分之四 等于乙，那么这两等号两边我们都除以一个甲，那么也就等于五分之四等于甲分之乙，那么这个式子比值一定， 所以说它们两个处之间成正比例。记得点赞关注哦！

课本预习打基础，斯文训练真本事。各位好，红妈数学今天来说说正比例，首先我们看一下正比例他当时的定义是什么？我们的正比例说的是如果两个数的一个 商一定或者比值一定，那么这两个数成正比。首先前提是两个相关联的量，一个量的变化，另一个量也要变化，这是我们的一个前提。那么我们先来看一下关于我们的正比例和反比例，这个位置呢，我们经常考的其实就是我们的很多公式。 那首先看一下第一个每块砖的面积一定砖铺成的总面积和砖的块数怎么样？ 这个首先我们来看一下说每块砖的面积一定，比如说每块砖是三平方分，三平方厘米，三平方分比，那么砖铺成的总面积和砖的块数，总面积除以他的一个数量，他是不是等于这个每块砖的面积？所以呢这个叫比值一定，那么他是正比例。 第二一个工作效率一定工作总量和工作时间，工作效率，这也是我们的一个工程问题的一个公式，那也就是工作总量和工作时间什么关系啊？效率一定的情况下，总量他确实等于， 他除以时间，除以时间确实等于的是效率啊，这个是也是成正比的。下一个 这个菜籽的出油率如果一定的话，那么榨出油的质量和油和这个菜籽的总质量出油率等于什么呀？大家想想，出油率说的是一个你出了多少油，你的油除以什么油，除以你的全部 乘上你的百分之百，这叫出油率，所以他说如果出油率一定，如果这个要是一定的话，那么怎么样出油的质量和油 这个总量成正比，这个也是对的。所以我们从某种意义上来说，如果是正比例的话，那么他只能是乘除关系，不能有加减关系。那接下来我们就到了下一个了， 说减数一定被减数和差，我们刚刚有说过他们是个加减关系，被减数等于减数加差，所以他是错误的。那么接下来的时候 我们再看，我们这里是不成比例的哈，我们就给他打一个不成比例的，我们打一个叉乘比的，打个对勾哈，下面长方形的宽一定，那么周长和长，首先你要知道一个周长公式，周长等于什么？周长等于的是长加宽， 括号乘二哈，这是周长，所以他说如果周长一定的话，那么是如果宽一定的话，那周长和长，周长和长宽一定的时候，你看一下，我们周长除以二， 周长呢？我们除以个二等于长加宽，长加宽中间还是加减的关系，所以这个第五个不是， 那么我们接下来再看一下长三角形高一定，那么面积和底高，三角形的面积公式等于 s， 三角等于二分之一底乘高，底是 a， 高是 h， 那 么这种情况下说谁呢？是三角形的面积和底， 面积除以底等于二分之一乘上高，他说高是一定的，所以这个位置是一定，他是对的。那么给大家总结一句话， 我们关于正比例这个它到底成不成正比例，或者我们后面成反比例的时候，送给大家一句话，商一定成正比，积一定成反比，加减不成比。好了，今天的分享就到这里。

六、年级下册六、单元正比例和反比例立一的试一试购买一种铅笔的数量和总价如下表，我们表格当中所给出的是总价和数量。问题一天写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。 观察表格，我们可以发现，我们购买一支铅笔的时候，总价是零点四元，购买两支铅笔的时候总价是零点八元，购买三支铅笔的时候，总价是一点二元，以此类推。我们可以发现 购买数，我们购买铅笔的数量越多，总价就越多，购买数量越少，总价就越少，所以我们总价是随着数量的变化而变化的。 问题二，写出几种相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小来看总价和数量的比，所以零点四比一等于零点四，零点八比二等于零点四，一点二比三等于零点四， 一点六比四也等于零点四，以此类推，它们的比值都是零点四，所以它们的比值的大小是相等的。 问题三，这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价数量之间的关系吗？ 因为我们知道总价除以数量是不等于单价，而我们问题二当中的比值我们求出来它的比值是相等的，所以总价除以数量等于单价，单价是一定的。 所以我笔直表示的实际意义是购买铅笔的单价，也就是铅笔的单价，总价除以数量等于单价，单价是一定的，或者我们也可以写成数量分之总价等于单价，单价是一定的。 问题四，铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？在这里老师就强调了我们判断这两种相关联的量是否成正比例，我们说白了，它其实就用的是除法， 他们的比值或者是商一定的时候，我们就可以说他乘的是正比例关系。所以我们来看，总价除以数量等于单价，我们单价求出来的比值是一定的，所以他乘的是正比例关系。 所以铅笔的总价和数量成正比例关系，因为总价除以数量等于单价，单价是一定的 问题，生活中还有哪些成正比例的量，你能举例说明吗？我们来看，老师举出了两种，第一种，长方形的长一定长方形的面积和宽成正比例。我们来看， 面积除以宽是不就等于长方形的长呢？而长方形的长是一定的，我们用的是除法，它的比值或商是一定的，所以我们乘的是正比例关系。 速度一定，路程和时间呢？我们来看，因为路程除以时间等于速度，速度是一定的，速度是不就指的是比值或商呀，用的是除法，所以我的路程和时间成正比例关系 来看列一列。第一题，张师傅生产零件的情况如下表，我们表格当中给的是生产零件的时间和生产零件的数量。问题一写出几组相对应的生产零件数量和时间的比比，比较笔直的大小， 我们来看，通过表格我们可以知道生产零件的数量和时间的比值。我们用的是除法，所以用二十五除以一等于二十五，五十除以二等于二十五， 一百除以四等于二十五，一百五十除以六也等于二十五，二百除以八还等于二十五，以此类推，我们的比值的大小是相等的。刚才老师生产零件数量和时间用的是什么法？求出比值的用的是除法，是不是求出的比值？ 第二问，生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？因为我们知道生产零件的数量除以时间是不，它们的比值是相等的呢？ 所以我们生产零件的数量和时间成的是正比例关系，而我们的这个比值其实就是我们的工作效率。生产零件的数量是我们的工作总量，工作总量除以工作时间等于工作效率，而我的工作效率是一定的。 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，表格当中给的是用布的数量和服装的数量，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么？ 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，我们表格当中所给出的是用布的数量和服装的数量。问，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么 我们来看我们用布的数量去除以服装的数量，二点二除以一等于二点二，四点四除以二等于二点二，六点六除以三等于二点二，以此类推，他们的比值是不都是二点二呢？而且我们用布的数量 是随着我们服装的数量而变化的，他们两是两种相关联的量。做的套数越多，我们用布的米数是不是会越多呀？ 做的套数在变化，用布的米数也随着变化，而且用布的米数和我做的套数的 笔直是一定的，用的是除法，他们的笔直一定，所以我们就可以说做的套数和用部的米数成正比例。

今天我们来练习几道正比例图像的题型，熟悉一下他的做题方法。我们先看第一题。一天小明去上学，他刚走不久，妈妈发现他忘记带数学书，于是就去追小明，先观察图像，再回答问题。 横轴表示时间，单位是分。纵轴表示路程，单位是米。实线表示小明，虚线表示妈妈，这是小明的图像，这是妈妈的图像。我们先观察小明的图像，看可以得到哪些信息。 从零零出发的一条射线，这是一个正比例图像。路程与时间比值是一定的，那路程与时间的比值等于什么？ 路程除以时间等于速度，说明小明的速度是一定的，能求出他的速度吗？我们可以找一个点，比如这个点表示他一分钟走五十米，速度就是路程除以时间，五十除以一，等于五十米每分。 或者再找一个点，这个点表示他两分钟走了一百米，那速度就是一百除以二， 也是五十米每分。同样你也可以找这个点，表示他三分钟走了一百五十米，速度就是一百五十除以三，也是五十米每分。再看妈妈的图像，妈妈是从这个时间开始出发的， 也就是六分的时候开始出发。那我们根据这个图像能求出妈妈的速度吗？我们同样是找点，找能看出具体数的点，比如这个点 对应的时间是八分，路程是一百五十米，是妈妈八分钟走了一百五十米吗？这一百五十米是妈妈几分钟走的路程，他是从六分钟开始出发，走到八分钟，经过两分钟， 所以一百五十米是妈妈两分钟走的路程，所以速度是一百五十除以二，等于七十五米每分，这是妈妈的速度， 或者我们再找一个点，这个点对应的时间是十分，路程是三百米，那这三百米的路程是妈妈几分钟走的呢？ 从六到十经过了四分钟，四分钟走了三百米，我们可以求出它的速度，三百除以四也是七十五米每分，这里要特别注意所用的时间，减去出发的时间 才是他所用的时间。图像我们已经看懂了，那来看一下问题。第一小题，妈妈出发时小明已经走了多少米？妈妈什么时候出发的？六分钟的时候出发的，求小明走的路程，要找准小明图向上对应的点应该是这个点， 表示小明六分钟走了三百米，所以第一个空，小明已经走了三百米。第二个空小明的速度是多少？我们刚才已经算过了，他的速度是五十米每分， 怎么算呢？我们还是在他图像上找点用路程除以时间。第二题，小明行走的路程和时间比值是一定的， 成正比例关系。第三，照这样的速度，妈妈出发几分钟后可以追上小明，这是一个追集问题， 求追集时间，用路程差除以速度差，路程差是多少呢？小明走了三百米的时候，妈妈出发去追小明，所以路程差就是三百米 除以速度差，妈妈的速度是七十五米每分，小明的速度是五十米每分，那速度差就是七十五减五十的差。求出追击时间等于三百除以二十五等于十二分钟， 十二分后能追上小明。这种题型就是我们要先能看懂图，才能去回答问题。我们来看第二题，笑笑和小丽借助表格和画图的方法，探究当梯形的上底和下底的长度不变，梯形的面积和高之间的关系。 梯形的上底和下底长度不变，也就是上底下底长度的和不变。那么梯形的面积和高之间的关系如下表，我们先通过这个表格判断一下这两种量有什么关系。从左往右看，梯形的高越来越大， 梯形的面积也越来越大，这是两种相关联的量，然后发现这两种量它的比值是一定的。我们用梯形的面积除以高，二除以一等于二，四除以二等于二，六除以三等于二，比值都是二。 梯形的面积与高的比值是一定的，所以它们成正比例关系。第一题，在图中描出梯形面积与对应高的点并连线。 我们先来瞄点，横轴表示高，纵轴表示面积。第一个点是零零，第二个点是一二在这个位置。第三个点二四在这， 第四个点三六这个位置。第五个点四八在这里，第六个点五十在这里。再连线并延长，是一条过零零的射线，这是正比例的图像。 再看第二题，当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成什么比例关系？理由是什么？刚才判断过了，是成正比例关系， 它们是两种相关联的量，而且比值是一定的，所以成正比例关系。那我们来看一下梯形的面积与高的比值求出的是什么？我们想想梯形的面积公式，等于上底加下底的和乘高除以二。 用梯形的面积除以高，得到的是什么？是上底加下底的和再除以二，也就是梯形的面积除以高等于上底加下底的和再除以二。 我们来看一下比值是不是一定的。上底跟下底长度不变，那他们的和也不变，除以二也不变，所以比值是一定的， 所以梯形的面积与梯形的高成正比例关系。那我们这里在写理由时可以写完整一些。梯形的高和梯形的面积是两种相关联的量。梯形的面积与高的比值等于上底加下底的和除以二，比值一定，所以成正比例关系。 第三题，根据表格呈现的数据，这个梯形的上底和下底的和是多少米？根据表格我们知道梯形的面积与高，它的比值都是二，那这里的比值表示什么？刚才已经推导过了，是上底加下底的和除以二， 也就是上底加下底的和除以二等于这里的比值二。我们可以求出这里上底加下底的和，用二乘二等于四米。第四题，梯形的上下底之和不变。 当梯形的高是七米时，对应的梯形的面积应该是多少平方米？高是七米时，那我们在这里填七，让我们求梯形的面积。我们已经知道他们之间的关系了，面积与高的比值是二， 那么梯形的面积就是二乘七十四，那这个空答案就是十四平方米。我们来看最后一道题。科学课上，小斯进行了蜡烛燃烧的实验，记录了实验的过程。 第一，根据右图完成下表信息填写。我们先观察这个图像，这个图像是蜡烛燃烧剩余的长度与已经燃烧的时间的关系， 所以横轴表示已经燃烧的时间，单位是分。纵轴表示剩余的长度，单位是厘米。需要注意横轴和纵轴分别表示什么， 我们由这个图像看能得到哪些信息。当零分时，剩余长度是十厘米，表示什么意思呢？零分时，说明蜡烛还没有开始燃烧，它的长度是十厘米，那这十厘米实际上就是蜡烛的长度，蜡烛长度是十厘米。再看这个点， 燃烧了五十分钟时，剩余长度是零，那说明燃烧完这根蜡烛一共用了五十分钟。我们来填写这个表格，第一行表示蜡烛已经燃烧的时间， 第二行表示蜡烛剩余的长度，第三行表示蜡烛已经燃烧的长度。当燃烧时间为零时，就是还没有开始燃烧。蜡烛长度是十厘米，已经燃烧的长度是零， 就还没有燃烧呢。当燃烧时间是五分钟时，蜡烛剩余长度是九厘米。那已经燃烧的长度呢？蜡烛的总长度是十厘米，用十减去剩余的长度就是已经燃烧的长度一厘米。 第三列，蜡烛燃烧十分钟时，剩余长度。我们看图像，这是十分钟，找到对应的点，剩余长度是八厘米，那已经燃烧的长度我们用十减八，已经燃烧了两厘米。 十五分钟时，剩余长度是七厘米，那已经燃烧的长度十减七三厘米。第一小题，蜡烛已经燃烧的长度和已经燃烧的时间成什么比例关系？ 这是已经燃烧的长度，这是已经燃烧的时间。我们要观察第一行和第三行之间的关系。第一列是零零，第二列是五一，第三列十 二，第四列十五三，他们之间有什么样的关系呢？ b 值一定，我们用已经燃烧的时间除以已经燃烧的长度都等于五。五除以一等于五， 十除以二等于五，十五除以三等于五，所以成正比例关系。如果 s 表示蜡烛已经燃烧的长度， t 表示蜡烛已经燃烧的时间，它们之间的关系用字母表示。为什么 这个是 s， 这个是 t， 它们的比值是一定的。用 t 除以 s 等于五， 那这就是他们之间的关系。把答案写上去， t 除以 s 等于五，能表示出比之一定。第三，根据第二题中的关系，求蜡烛已经燃烧十四分钟后，蜡烛已经燃烧的长度是多少，根据这个关系来计算， 也就是已知 t 等于十四分，让我们求 s， 我 们把 t 等于十四带进去。如何求 s 呢？可以用十四除以五等于二点八厘米，或者列方程 解设蜡烛已经燃烧的长度是 s 米，将 t 等于十四带入，可以得到十四除以五， s 等于二点八。 第四题，照明一天至少需要多少根这样的蜡烛？一天按二十四小时计算，结果保留整数也就是多少根。这样的蜡烛能照明二十四小时。那我们首先要清楚一根蜡烛的照明时间， 一根蜡烛的照明时间是多长呢？五十分钟，五十分钟这根蜡烛就燃尽了。那现在要照明二十四小时，需要几根蜡烛？我们就看二十四小时里面有几个五十分钟就有几根蜡烛。 我们先进行单位换算，把小时化成分钟等于一千四百四十分钟，再看这里面有几个五十， 一千四百四十除以五十等于二十八点八，结果保留整数，那应该约等于几根呢？进一法至少需要二十九根这样的蜡烛。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

我们前面讲了乘正比例关系的两种量，它们的比是相等的。乘反比例关系的两种量，它们的比是相反的。我们今天通过这三道题再来巩固一下。我们先看第一，思思和维维参加百米赛跑， 维维还有十米到达终点，思思还有二十八米到达终点，照这样的速度，当维维到达终点时，思思距离终点还有多少米？他们参加的是百米赛跑，所以全程是一百米。 先分析这个条件，维维还有十米到达终点，思思还有二十八米到达终点，能求出他们各自的路程吗？我们先看维维跑的路程。行程问题中， s 指的是路程， v 指的是速度， t 指的是时间。 维维还有十米到达终点，全程是一百米，那维维跑的路程用一百减十，他跑了九十米。 再看思思跑的路程，他还有二十八米到达终点，全程是一百米，那他跑的路程我们用一百减二十八，等于七十二米。那这里有一个量是相同的，他们所用的时间是一样的，也就是时间一定 路程除以速度等于时间，时间一定路程和速度成正比例关系，那么他们的路程比就等于速度比，能求出路程比吗？他们的路程已经知道了，我们可以求出路程比。 维维跑的路程与思思跑的路程比等于九十比七十二。我们化简一下，等于五比四， 说明他们的速度比也是五比四。我们可以得到维维的速度与丝丝的速度比也等于五比四。我们再往下分析，照这样的速度，说明他们的速度是不变的。速度比还是五比四？ 当围卫到达终点时，说明围卫的路程是一百米，求丝丝距离终点还有多少米？那我们只要求出丝丝的路程，就可以求出他距离终点的路程，他们的时间还是相同的，那路程比就等于速度比。 我们已经知道速度比是五比四了，说明路程比也是五比四。已知围卫的路程是一百米，是不是可以按比分配求出思思的路程？ 用一百除以五再乘四等于八十米。也就是当围卫跑一百米时，思思跑了八十米，那距离终点还有多远呢？我们用一百减八十， 距离终点还有二十米。当然我们也可以画图来理解，这是百米赛跑，全程是一百米，维维还有十米到达终点，思思还有二十八米到达终点，我们可以求出他们各自跑的路程。维维跑了九十米，思思跑了七十二米，他们所用的时间是一样的， 所以路程比就等于速度比是五比四，这样得到速度比也是五比四，然后继续往前跑。 当围卫到达终点时，也就是围卫一共跑了一百米，我们只要求出丝丝跑的路程，就可以求出他剩余的路程，他们所用的时间是相同的。路程比等于速度比。 速度比是五比四，说明路程比也是五比四。已知围卫跑的路程，我们可以按比分配 求出思思跑的路程。思思一共跑了八十米，那距离终点就还有二十米，我们也可以用剩余的路程来计算。 当维维跑到终点时，他需要再跑十米，也就是维维要跑的路程是十米，那思思要跑多少米呢？ 同样是按比分配，十除以五再乘四，思思需要再跑八米，本来距离终点是二十八米，他需要再跑八米，那剩下的路程我们可以用二十八减八，同样是二十米，这种方法也可以。 这道题的关键是要知道时间一定，路程和速度成正比的关系，那路程比就等于速度比。我们来看这道练习题，加一辆车的速度比是五比七，两车同时从 a、 b 两地相对出发， 相遇时甲车比乙车少行驶十八千米，那么 a、 b 两地相距多少千米？这是一个相遇问题，那它们的什么是一样的？同时出发，相向而行，最终会相遇， 他们所用的时间是一样的，那路程比就等于速度比。已经知道速度比了，是五比七，我们可以得到相遇时甲和乙的路程比也是五比七。 题上说相遇时甲车比乙车少行驶十八千米，这不就是他们路程之间的关系吗？我们可以直接按比分配， 先求出一份的量，假车行驶的路程是五份，以车行驶的路程是七份，那假比以少了两份，少了十八千米。那一份的量我们用十八除以七减五的差一份是九千米，这样可以分别求出假车和以车行驶的路程。 假车行驶的路程他占了五份，九乘五四十五千米，以车行驶的路程占了七份， 九乘七六十三千米， a、 b 两地的距离就是它们的路程和四十五加六十三等于一百零八千米。当然这里求全乘，我们也可以直接用这里一份的量乘五加七的和， 因为全程是十二分。我们来看例二，甲、乙两人在同一段路上沿着直线滚铁环，甲的铁环一共可以滚五十圈，乙的铁环一共可以滚四十圈。 已知甲的铁环的周长比乙的铁环的周长短十一厘米，求这段路全长多少米？ 首先来分析一下条件，他们两人在同一段路上沿着直线滚铁环，同一段路上，说明什么是一样的？他们滚动的路程是一样的，也就是路程一定 假铁环一共滚五十圈，以铁环一共滚四十圈，那这里的路程应该怎么算？滚动一圈的路程等于铁环的周长，那这里的总路程应该等于铁环的周长乘它滚动的圈数。 用铁环的周长乘滚动的圈数等于总路程，而总路程是一定的， 说明铁环周长与滚动的圈数成反比例关系。已经知道他们滚动的圈数了，我们可以求出圈数比，从而求出他们的周长比。甲乙两铁环的圈数比是五十比四十，化简之后是五比四， 圈数比是五比四，那么铁环的周长比就是四比五，因为这两个量成反比例关系，所以它们的比也是相反的，得到了甲乙两铁环的周长比。那根据已知条件， 假铁环的周长比以铁环的周长短十一厘米，我们可以按比分配，先求出一份的量短了十一厘米，少了一份十一，除以五减四的差一份是十一厘米，可以求出假铁环的周长 十一乘四等于四十四厘米。让我们求这段路的全长等于铁环的周长乘滚动的圈数。 如果用假铁环来算，就用假铁环的周长乘它滚动的圈数，四十四乘五十等于两千两百厘米，最后单位是米，需要单位换算等于二十二米， 当然也可以用以铁环来算，需要求出以铁环的周长占了五份。十一乘五等于五十五厘米，用以铁环的周长乘以铁环滚动的圈数。五十五乘四十，两千两百厘米，再画成米 等于二十二米。最后答一下这道题的关键是，首先要发现它们滚动的总路程是一定的， 然后看这里的总路程怎么算。等于铁环的周长乘滚动的圈数乘积一定，那这两个量就成反比例关系。根据已知条件，我们可以求出圈数比，从而得到他们的周长比，再按比分配。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

是环球教育刘老师，接着上一个视频呢，我们来看一下易错考点四，判断两个量是否成正比例关系。知识点回顾，这两个呢是课本上的知识点，一个是正比例关系，一个是反比例关系。当然这两个都有技巧啊，看我红色 穿出来的地方。第一个比值一定，也就是我们说的商一定对，他就成正比例关系。那下面这个呢？乘积一定，那成反比例关系。好，具体我们来看一下啊，如何运用 来看，第一，三角形的面积一定它的底和高。首先我们知道面积是不是等于 a h， 那 a 和 h 之间是不是相乘的关系，面积一定是不是就是乘积一定，所以就成反比例。 第二，正方体一个面的面积和他的表面积。我们来看正方体一个面的面积，方体有几个面？是不是有六个面？那一个面乘以六是不是就可以得表面积？ s 表我这样写啊。好，那现在来看一下他说的是这一个面和这个表面积他俩的关系。首先我们来看他们俩的关系，是不是用表面积再除以一个面， 除以一个面他是不是等于六？那你看这个六是不是笔直，笔直是不是符合一定，那笔直一定也就是商一定他应该成什么关系， 是不是成正比例关系？好，继续第三题，圆柱的高一定圆柱的体积和底面半径来，这道题其实有一个小坑坑，他说的是底面半径， 如果他说半径的平方， r 的 平方，那就对了，但是他说的是半径，所以这个题不对，那我们就说他是 不成比例啊，不成正也不成反，他根本就不成比例啊，说的时候体积是和 r 的 平方，他才可能是成比例啊。好，来看第二题，张师傅加工的数量和加工的时间表如下， 上面这个表格填的是每小时加工的数量，下面呢是加工的时间。我们来看一下，每小时加工十个，那时间呢？是六十，那如果二十个了变成三十，二十个是二十，你发现每小时加工的越多，那他用的时间是不是就越少？ 好，来看一下表中有什么和什么两种相关联的量，那这样的题呢，比较好填，直接抄表头就可以了。每小时加工 的数量和下面是什么呀？加工的时间这两种相关联的量，每小时加工的数量越多， 那说明他加工的时间就看上面是不是往这画，箭头越多的，这是不是就越少啊？时间就怎么样，时间越短。 第二题，每组相关联的量相对应的两个数的乘积都是来十乘六十是不是等于六百？二三得六是不是还是六百，二三得六是不是还是六百？所以每一次是不是都是六百？那这个积表示的是什么呢？是不是这批零件的总数量？ 好，来看第三题，表中相关联的两种量成什么比例关系？那你看啊，他们是不是都得六百，那六百是不是一定？所以当乘积一定的时候成什么比例，是不是直接成反比例关系？ 这就是今天正比例反比例的知识点。那下一个知识点呢？还是关于比例这单元尺图形的放大与缩小。

嘿，同学们好，我们又上课了，今天呢，我们来学习变化的量以及正比例这一部分，我们可以想一下，随着年龄的增长，我们的身高和体重是不是在变化？哎，我们身高变高了，体重呢，也变得越来越重了。 骆驼呢，我们都很熟悉，其实骆驼的身体的体温，每天上午到中午的时候呢，它会逐渐增高，而等到下午到晚上的时候呢，它会逐渐降低。 随着时间的发展，骆驼的体温在变化，随着时间的发展呢，我们的身高体重也在变化，这个呀，就是变化的量。那同学们，我们现在看黑板上的情景，一辆汽车， 他以九十千米每小时的速度行驶，他行驶的路程和时间之间是不是一组变化的量？是不是我行驶的时间越长，我走过的这个路程也越远呀，对不对？那我们可以将下面的信息给补充完整， 一小时呢，我可以走九十千米，两小时，一百八十千米，三小时，二百七十千米。 在每个阶段他走的过程中，什么是不变的？是不是速度是不变的呀？也就是用路程除以时间等于速度， 是不是第二个就变成了一百八十除以二，第三个小时呢？就是二百七十除以三，他们最终是不是都等于九十千米每小时，他们都等于九十，那我们可以将后面补充完整 来，六小时时行驶多少千米？九十乘六， 五百四十千米七小时呢？七九十乘七 八小时，九小时，九十乘九。 好，那我们再继续观察后面这些令算到一起，随着时间的发展呢，路程在变化，随着时间的变化在变化，那在这一个过程中，我们能够看出路程和时间的比值是怎么样的呀？ 是不是路程和时间的比值是固定的，都是九十，我们可以验证一下后面是否都是九十。路程除以时间，五百四十除以六，九十， 六百三十除以七还是九十，是不是路程除以时间等于速度，这个速度的比值是不变的呀？像我们在生活中呢，遇到的类似这种， 路程和时间两个量，随着时间变化，行驶的路程也随着变化，并且呢，路程和时间的比值它是一定的，我们就说路程和时间成正比， 来，老师用绿，老师用白色的粉笔写啊，在这种情况下，我们就能可以说路程和时间 成正比，同学们可以怎么记呢？ 路程除以时间，它的比值是不变的，这种情况下，随着时间的增长，路程也会增大，那我们就说它们是成正比的来，老师可以写到这里，路程除以时间， 他是不是等于速度呀？那我们看速度是不是不变的，那时间要是增长，路程是不是也增长？如果同学们觉得啊，以这种分分数的形式不是特别的好理解，那我们可以写成直接的城市 速度乘时间 等于路程，那同学们现在看这个速度是不变的，时间越大，路程是不是就越大，对不对？ 因为速度不变，一个不变的数字乘以一个数字，这个数字越大，它的乘积也就越大。这种情况下呢，我们就说路程和时间是成正比的，这两个量它们之间呢成正比例。 好，那我们可以想一下，那我们生活中还有哪些是成正比例的呢？还有什么是成正比例的？比如老师给大家想一个情境 来，老师用叉色的笔写，比如正方形，现在呢，我们这里有一个正方形，它的周长 还有边长是否成正比例，那正方形的面积 和边长是否成正比例呢？同学们课后可以思考这两个问题，思考的时候呢，可以像老师一样给他写出来，周长等于什么？面积等于什么？ 他这里面是否有一个固定的值，有一个固定的值，以后看另外两个数据是否成正比例。好，这节课内容呢，我们就到这里了，大家一定要记得课后思考这个问题，老师会将答案写在评论区，好下课。

六年级数学下册重点来了！比例本视频将从基础概念到正反比例一次讲透，带你搞定核心考点！一、比例的定义表示两个比相等的式子叫做比例。 这里要注意这笔字比和比例有什么区别？举个例子让你快速明白。比，两个数相除，如，二比三等于四比六。判断两个比能否组成比例， 关键看它们的比值是否相等。例如，二比三等于四比六，因为两个比的比值都是三分之二，所以相等。二、比例的基本性质在比例里，两个外向的积等于两个内向的积。即，如果 a 比 b 等于 c 比 d， 那 么 a 乘 d 等于 b 乘 c。 三、解比例，求比例中的未知项，叫做解比例。方法，根据比例的基本性质，将比例转化为方程，再求解例题，一解比例四分之三比 x 等于六比，八解根据内向基等于外向基。 四、正比例与反比例一、正比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的比值商一定，这两种量就成正比例。 关系式。 y 比 x 等于 k， k 一定生活实力。单价一定时，总价与数量成正比例。 二、反比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的乘积一定，这两种量就成反比例 关系式。 x 乘 y 等于 k， k 一定生活时力。路程一定时，速度与时间成反比例。例题一，一辆汽车两小时行驶一百四十千米，照这样的速度，五小时行驶多少千米？ 分析速度一定，路程与时间成正比例。解，设五小时行驶 x 千米，一百四十比二等于 x 比五，根据内向积等于外向积德二 x 等于一百四十乘五，求德 x 等于三百五十千米。 例题二，一间教室用方砖铺地，每块面积零点一六平方米，需要三百块，如果改用面积零点二五平方米的方砖需要多少块？分析教室总面积一定每块面积乘块数等于总面积乘积一定乘反比例解设需要 x 块。 零点二五乘 x 等于零点一六乘三百零点二五乘 x 等于四十八，求得 x 等于一百九十二块。

嘿，同学们好，我们又上课了，今天呢，我们一起来学习正比例的图像，我们看看能怎么画。首先呢，我们先回顾一下什么是正比例，我们想在路程，速度，时间这个关系中呢，路程 和速度还有时间，咱们可以想啊，如果速度保持不变的话，是不是时间越长，路程就越远呀？ 所以说呢，路程比时间它是一个固定的值，在这种情况下呢，我们就可以说路程和时间它是成正比例的。那我们一起来看一下黑板上的问题， 全班同学呢，去看电影，看电影的人数和所付的票费如下表，那我们一起看一看。 嗯，一个人看电影的话，票费是二元，两个人是四元，三个人是六元，那这我们能够看出来，这个票费是不是随着人数的增长在增长呀？ 那他们之间有没有什么固定的关系呢？那我们看两个人是一元，那一个人是多少元，那一个人是多少啊？ 是不是四除以二是不是也等于二元呢？那六个人除以三，六元，除以三人呢？ 是不是还等于二元？所以它是不是有一个固定的值，它是二元呢？对不对？那我们现在一起看， 那如果是六个人看应该多少钱？六个人是不是固定的票费单价是二元，那就应该是十二元，七个人呢，二乘七等于十四元，八个人二乘八等于十六元。那好， 那现在呢，咱们甚至都将表格补充完整了，你们告诉老师，所付的票费数和人数，他们是否成正比例啊？哎，因为有固定的值了，所以他是成正比例的。 那好，那现在呢，老师教一下同学们怎么画正比例的图像，现在呢，我们可以将每一个数字我们都给标注到我们的表格中来，我们一起看， 根据已有的，我们继续往下标看最后一个，这是四个人，花费八元，那我们再看那五个人呢？五个人，老师这样给画上来，五个人花费多少元？在这 是不是五个人十元，对不对？那六个人呢？我们是不是可以继续一次这样上来六个人，那就到这十二元这里都有，对不对？六个人十二元，那七个人呢？七个人看 十四元，哎，十四元，七个人十四元，来，我们再看八个人， 八个人十六，看是不是可以划过来，在这里八个人十六人。好，那现在老师随便给同学们挑一个点来，我们就看 五个人这个点，看这个，老师让它为点 a， 你 告诉老师点 a 是 什么含义，代表什么意思？这是不是横轴是人数，这是五个人，纵轴是不是十元？点 a 代表什么呀？ 来，老师可以写到这儿， a 代表的是五个人，票费是 十元，对吧？五个人，票费是十元。那好，那现在呢，我们可以将这些点呢给连接到一起，我们看看能看出来什么内容，来，我们将我们画出的所有的点都给连到一起。 好，同学们来看老师连接的，我们能看出什么呀？ 是不是正比例的图像它长这样，这是一条什么样的线？这是一条什么样的线？是不是一条直线？所以呢，我们可以知道正比例的图像是一条直线， 好，正比例的图像是一条直线，这个呢，同学们要记住啊，那现在老师还有其他的问题，那 老师给大考考大家啊，如果出现了一个点点 b， 点 b 呢，它是一百二百，那这个点在不在这个图像上，在不在这个图像上？同学们可以好好考虑一下， 点一百二百，它在不在这个图像？首先你们告诉老师点一百二百它是什么含义？它是什么意思？ 看看点 a， 他 是什么意思？五个人飘飞十元，那这个呢？是不是这代表一百人，这个呢？代表 二百元，他在不在这里啊？是不是二百除以一百，他有个固定的值，和他是一样的，是二元，所以呢，是不是他也在这条直线上， 也就是说这条直线它可以无限去延长，延长的所有的点它都符合我们这个正比例的图像，符合我们正比例的含义，这个呢就是正比例函数的图像，同学们会画了吗？ 课下呢，我们可以给自己出几个小问题，之后来再尝试着画一画这个图像，一定要注意我们所画的图像，最终呢，它要是一条直线，一定是一条直线，千万不要画成曲线啊，曲线的话那就不对了。 好，这节课呢，我们就上到这了，我们学会了正比例函数的图像怎么画好，下课。

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师。今天我们来学习正比例，我们来观察这个表格，并回答下面三个问题。文具店有一种彩带 销售的数量与总价的关系，如下表，第一行代表销售的数量，第二行代表总价。先看第一题， 表中有哪两种量，这个比较明显，有数量和总价这两种量。 第二小题，总价是怎样随着数量的变化而变化的？如果从左往右看，数量越来越大，那对应的总价也越来越大。如果从右往左看呢？ 数量越来越小，对应的总价也越来越小。像这样一总量随着另一总量的变化而变化， 这样的两种量称为两种相关联的量。那在这里，数量和总价就是两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化。第三小题， 相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？让我们求每一列总价与数量的比和比值。 我们先看第一列，数量是一，总价是三点五，那总价与数量的比就是三点五，比一，比值是三点五。 第二列，数量是二，总价是七，总价与数量的比是七比二，比值也是三点五。第三列是十点五，比三比值是三点五。 第四列，第五列比值都是三点五。那后面呢，你自己可以计算一下。那这里的比值表示什么意思呢？我们是用总价除以数量 得到的比值。那总价除以数量等于什么？等于单价，也就是这种彩带的单价，彩带的单价都是三点五元。那我们来看一下什么叫做成正比例的量，什么叫做正比例关系。两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。首先是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 然后要满足它们的比值一定，这两种量才叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。那像这个表格， 数量与总价是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。满足这个条件，那他们的比值一定吗？ 我们用总价除以数量，得到的是单价，我们发现彩带的单价都是一定的，那就可以说总价和数量是成正比例的量，总价和数量成正比例关系。因为满足这里的条件， 所以在判断正比例关系时，首先要确定它们是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 其次要确定它们的比值是一定的，如果比值一定，它们才成正比例关系。这个关系我们可以用字母来表示，字母 y 和 x 表示两种相关联的量， 用 k 表示它们的比值，比值是一定的，所以正比例关系就可以用这个式子来表示。 y 比 x 等于 k， y 和 x 是 两种相关联的量， 它们的比值是一定的，所以 y 和 x 就 成正比例关系。我们来看一道练习题，判断下面各题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 我们先把正比例关系的式子写出来， y 比 x 等于 k， 比值是一定的， y 和 x 成正比例关系。那我们来看第一小题，如果汽车行驶速度一定，路程与时间，让我们判断路程与时间是否成正比例关系。 首先，它们是两种相关联的量吗？汽车在行驶，那么行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化，所以它们是两种相关联的量。 然后看比值是否一定。路程与时间的比值，也就是路程除以时间，求比值，用除法，路程除以时间等于速度， 而题上说行驶的速度是一定的，所以路程和时间成正比例关系。再看第二小题，一个人的身高与他的年龄， 这是两种相关联的量吗？一般情况下，人的身高会随着他年龄的增长而增长，但是到了一定年龄后，他的身高就不再增长了，所以不是正比例关系。 第三，宽一定，长方形的周长和长。首先判断是不是两种相关联的量。先想一下长方形的周长公式，长方形的周长等于长，加宽的和乘二 跟长有关系，所以周长会随着长的变化而变化，它们是两种相关联的量。 然后看比值是否一定。这里提到了宽一定，那根据周长和长，怎么得到宽呢？ 我们可以用周长，先除以二，再减去长就等于宽。长方形的周长除以二， 减去长等于宽。宽是一定的，这是比之一定吗？比之一定，我们用的是除法，而这里是减法，属于差一定，所以不成正比例关系。 再看第四题，圆锥的高一定。圆锥的体积与底面积，它们是两种相关联的量吗？先想一下圆锥的体积公式，圆锥的体积等于三分之一，乘底面积再乘高， 所以体积和底面积是两种相关联的量体机会随着底面积的变化而变化， 再看它们的比值是否一定。圆锥的体积除以底面积，看得到的是什么？体积除以底面积等于三分之一， h 等于三分之一乘高。而题上告诉我们，高一定 高一定，它再乘三分之一也是一定的，属于比值一定乘正比例关系。 第五题， x 和 y 是 两种相关联的量，并且 y 等于八， x 问 y 和 x 是 否成正比例关系？首先它们是两种相关联的量，再看一下比值是否一定。我们由这个式子可以得到， y 除以 x 等于八， 比值是一定的，所以成正比例关系。我们接着来看正比例关系的图像。例题中的数据还可以用图像表示，根据图像回答下面的问题，第一，从图像中发现了什么？我们先观察这个图像， 先看横轴和纵轴分别表示什么，横轴表示数量，纵轴表示总价。 再看这些点，这个点表示数量是一米，总价是三点五元，说明横轴这一格表示一米，纵轴这一格表示三点五元。那这个点写成数对，就是一三点五，这个点数量是两米，总价是七元。二 七，这个点总价是三米，数量是七，再加三点五十点五元。三 十点五，也就是他把表中的数量与总价都用竖对来表示，然后秒点连线，形成了这个正比例关系的图像。我们从这个图像中也能看到两种量，数量和总价，而且是相关联的量， 数量变化总价也跟着变化，而且它们的比值是相等的，总价与数量的比值是单价，这种图像就是正比例关系的图像，有什么特点呢？首先经过零零这个点，然后它是一条直的， 后面会继续再延长，所以是一条射线。所以正比例关系的图像是从零零这个点出发的一条射线。 我们接着来看第二题，把这两个竖对所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？我们先看十三十五这个点，横轴是十， 纵轴是三十五，相交于这个点。再看十二、四十二这个点，横轴是十二，纵轴是四十二，相交于这个点，我们跟这个图像连接起来再延长，发现它们是在同一条射线上。我们来看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 我们先看九米彩带对应的总价，九米是数量。我们先在横轴上找到九米的位置这里，然后纵向找到图像上的点，再看他在纵轴上对应的数是多少。这一格是三点五， 那他对应的数应该用二十八加三点五，等于三十一点五元，实际上这个数对就是九， 三十一点五，数量是九米，对应的总价是三十一点五元。再看总价四十九元对应的数量是多少米，找到总价四十九元的位置。然后横向找到图像上的点， 再看对应横轴上的数字，十四米，所以这个点用竖对表示，就是十四四米，对应的总价是四十九元， 所以四十九元能买十四米的彩带。再看第四题，小明买的彩带，米数是小粒的两倍，他花的钱是小粒的几倍，彩带的单价是一定的，那我们在图像中任意找两个数对，比如 四十四，还有十二、四十二，对比一下他们的数量与总价，看有什么样的关系。数量一个是四米，一个是十二米，我们求出他们的数量比， 数量比是四比十二，化简之后是一比三，对应的总价一个是十四元，一个是四十二元，再求出他们的总价比 十四比四十二，化简之后还是一比三，我们发现他们的数量比和总价比是相等的，所以小明买的数量是小利的二倍，那他的总价也应该是小利的二倍， 那在这里我们就要记住成正比例关系的两种量，它们的比是相等的，这在行程问题中用的比较多。我们知道路程除以速度等于时间，如果时间一定，那么路程和速度就成正比例关系，这个时候路程比就等于速度比。 还有一种是速度一定，路程和时间成正比例关系，那路程比就等于时间比，这用到的就是这里的知识点。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

这节课呢，我们来一起学习六单元正比例和反比例。第一主要学习的是正比例的意义。一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表， 表格当中给出的是路程和时间问题，观察表中的数据，你有什么发现？ 我们来看我们行驶的路程是随着时间的变化而变化， 行驶的时间越长，行驶的路程就越多，行驶的时间越短，行驶的路程就越少。所以老师就可以说，我们当时间在变化的时候，路程也随着变化， 这两种量我们就可以称它为是两种相关联的量。一、总量也随着在变化。 我们来看这两种相关量的量，计算相对应的路程和时间的比的比值是否相等。我们因为路程除以时间等于数度，所以我的比值其实是数度。 八十除以一等于八十，一百六十除以二等于八十，二百四十除以三等于八十，三百二十除以四还等于八十。依次进行计算的话，我们发现我们行驶的速度是不发生变化的。 你能写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值吗？我们来看路程和时间的比是八十比一，老师在这里写成了一分之八十，他的比值是八十。 二分之一百六十，比值是八十，三分之二百四十的比值还是八十五分之四百的比值还是八十，依次进行计算，它们的比值都是八十，而我的比值表示的是路程 除以时间等于速度，速度是一定的，所以我的比值表示的是行驶的速度。 根据路程和时间的关系，我们来理理解正比例的意义，路程和时间是两种相关联的量，这第一个重点，时间变化，路程也随着变化。 当路程和相对应的时间的比的比值总是一定，也就商是一定时，是第二个重点，行驶的路程和时间就成正比例关系。行驶的路程和时间是成正比例的量， 所以判断两种量是否成正比例关系，我们就看符合不符合两种条件。第一种条件，他们是不是两种相关联的量。 第二种条件，我们再看这两种相关联的量的比值或者是商是不是是一定的。如果这两种条件都符合，这两种量就成正比例的量，反之，不成正比例。 总结，一、两种相关联的量，一、总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值也就是商一定，这两种量就是成正比例的量，他们的关系就叫做正比例关系， 比值也就是商。所以我们肯定考虑的是用的是除法进行计算。二、如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值一定 正比例关系可以表示为 x 分 之 y 等于 k， k 是 一定的。在这里老师写 x 分 之 y 是 不？其实就是 y 除以 x 呢？把分数的形式写成了除法的形式， x 除以 y 除以 x 等于 k， k 是 一定的。三、判断两种量是否成正比例的方法首先第一步，我们先判断这两种量是否成相关量的量。 二、再看这两种量中相对的这两个数的比的比值是否是一定，说白了就是他们是不是用的是除法，如果用的是除法，他们的比值或商是一定的，这两种量就成正比例，反之不成正比例。