八年级下册数学基础性作业46页

苏科八下学霸提重题第四十六页第二题，平行四边形折叠中考题，八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现，在 这个三角形 a、 b、 c 中呢？点 d， 在 这个 ab 上点 e 呢？在这个 ac 上将三角形 a、 d， e 沿直线 d、 e 翻折，得到了 e， d、 f 那 两个。关于翻折，我们知道对应边是相等的啊，对应角肯定也是相等的， 然后呢，连接 c、 f， d、 f 向右平移若干单位长度之后，与 b、 c 重合，那这个知道吗？知道啊，那他们两个是平行且相等啊，因为是平移过去的，所以说他俩 b 平行也 b 相等，是吧？所以说这个四边形是一个平行四边形。 然后呢，这个平行四边形的周长为二十二，那就说明一半是多少啊？一半就是十一呗，对吧？他说则 a、 b 的 长，那 a、 b 的 长呢？直接求肯定求不来，肯定得分出来，是吧？比如说，它可以理解为 a、 d 加上 b、 d， 那 a、 d 等于谁啊？由折叠的性质可以知道， a、 d 呢，是等于 d f 的， 所以说它就转换成了 d、 f 加上 d、 b。 好， 那他们两个线段之合，那就等于平四边形周长的一半，所以说呢，长度为十一，注意题干没有单位好，那我们写个十一就 ok 了。

太可惜了，免费教你，你都不学 八年级数学下册的这个小册子第十二页纸，我们看到第五题，你看呐，题目都写了提升题已知如图， a e 垂直于 e b a f 垂直于 c f。 好， 大家给我把这个垂直号给我做下来。好，代表着这个角 a， e d 角 a f c 啊，这里的是直角，还有什么条件呢？还有这个 b， e 的 c， f。 还有什么呢？还有角 a， b， c 等于角 a c b。 哦，还有这两个角下呢。好，题目，第一个是要求证的是 a， e 等于 a f， a e 等于 a f 在 哪里呢？ a e 在 这等于 a， f 在 这。 好， a， e 等于 a f。 呃，题目说这里是直角， 听说这里的这两个假象呢，那么这两个假象呢？哎，我们能够得到这两边音效呢？啊，间接的等角对等边好，然后现在回到这两个三角形当中。哦，现在就有了斜边直角边了。好，那么这题的证明我们从哪写起呢？ 我们第一题证明我们先得有，因为角 a， b， c 等于角 a c b， 所以 ab 等于 a c 啊， ab 等于 c。 嗯，下面又因为垂直 a， e 垂直于 e b a f 垂直于 f c， 所以 角 e 等于角 f 等于九十度。 好，那么这个 b， e 等于 c， f 等于九十度。好，我们用 h e 三角形 a， b e 于 r t e 三角形 a c f 中。呃，我们要按照斜边直角边的顺序， a， b 等于 a c。 先斜边相等，然后 b， e 等于 c f。 啊，一定要按规定的要去写，所以我们要写上 r t 两个字母，所以 r t 三角形 a b 全等 r t 三角形 a， c， f。 每一步都写清楚啊，有时没写的时间。说的啊， 好，两个三角形等的时候，所以 a e 就 等于 a、 f 切的三角形的对应边相等。呃，这第二个也是证明啊，那么这样呢，我们刚才这个， 刚才这个证明的，这个前面一，啊，我们就可以移到这边了啊，移到这里了一，因为都是证明，对吧？证明一，证明二， 好，我们现在来看看啊。啊，现在证明什么呢？ a、 d 是 bc 的 垂直平分 bc， a d 垂直平分 bc 就是 a 在 bc 的 中轴线上，且 d 也在 bc 的 中轴线上，而 ab 的 a、 c 上面有了，现在只要证明 db 的 bc 就 可以了。 由于这里是三点共线的啊，那么三点共线的，那我们看到这个， 现在我们证明 d， b 等于 d c， 看能不能证出来。哎，我们可以证明这个 d、 e 等于 d f， 因为刚才这两个相等是知道的。哎呀， d e 等于 d f 看了直接说吧。好，我们看了，在 r t 三角形 a， d e 于 r t 三角形 a， d、 f 中有 a d 的 a， d 斜边式公共边有 a， e 的 a、 f 刚才已经证明了，所以 r t 三角形 a， d、 e 前等 r t 三角形 a， d f 对 吧？ h l， 所以 d e 等于 d f 对 吧？因为 b e 等于 c f 对不？所以那么这个 d b 等于 d c 要，因为 a b 等于 a c， 所以 这个 a、 d 所在直线 为 bc 中垂线记题目最后的结果， a、 d 垂直平分线段 bc 啊，由于时间呢，有的每一步都写出来要花很多时间啊。好，那么这里就说到这里，我们下面看到第这里的第一题， 如图，在三点 a、 b、 c 中， ab 等于 ac 等于五， ab 等于 ac 等于五哎， ad 平分 ad 平分角， bc 哎，等幺三零顶角的平分线 d 底边的高线也是底边的中线。 好，现在题目告诉 bc 等于六，那就是这个都等于三， b， d 等于 c， d 等于三。好，那么这样呢，我们就可以把 a、 d 等于四求出来，为什么呢？因为刚才等腰在顶角的平行线，底边的中线，底边的高线计算垂直，根据勾股定律，这五，这是三，这是四，很容易求的。 现在以什么呢？以这个 a c 为中心，以大于二分之 a， c 的 长为半径作弧，两弧加入点 m m， 实际刚才这步就是做 ac 重叠线的意思，做 ac 的 重叠线。那我们就知道了，叫做什么东西呢？叫做这个 ap 啊，等于 cp。 题目最后求 ap 的 长是 ap 的 x， cp 就 等于 x， 那 么这个呢，就应该等于这个四减 x， 好， 所以我们就可以得到什么东西呢？ 这个三的平方加上四减 x 的 平方，对吧？ ap 等于 x 的 平方，好，我们来算一算啊， 那个九加上四十一，十六减二十八， x 加 x 的 平方等于 x 平方，九加一十二十五等于八， x， x 等于八分之二十五。好，那么这题那我们就应该选择 c 啊， ap 等于八分之二十五，好，这里的题目都是非常重要的题目，希望大家一定要跟着我一起练，转发点赞一下。好吧，有什么意见也可以评论一下告诉你的小伙伴，让大家都成绩好起来，记得点赞关注哦！

跟我一起预习课本八年级数学下册第二十六页纸， 我们来看到这里了，如果两个角是对顶角，那么它们相等，这就是对顶角相等的这个定律啊。两个角对顶角，那么这两个角相等，它的已知条件是先知道两个角是对顶角，结论呢，是它们相等的。 但是如果我们把它的已知条件和解了，咱们互换一个位置，如果两个角相等，那么这两个角是对零角。我们说，呃，这上面这个呢是真命题，是正确的。下面这个呢是假命题啊，两个角相等呢，他不一定是对零角 啊，以前我们讲过了，就不多说。我们看到如果 a 等于 b， 那 么 a 的 平方等于 b 的 平方，哎，这个是对的啊，这个命题是真命题。如果 a 的 平方等于 b 的 平方，那么 a 等于 b 或 a 的 负 b， 所以 这个写的是假命题。 但是他的条件和结论呢，是互换了个位置。我们看到一个三角形中相等的边所对的角相 等的边对等角。哟，这个是真命题。一个三角相等的角所对的边相等。等角对等边，这也是真命题。 就是如果一个三角形当中有两边相等，那么他们所对的角相等。当然如果三边也是对三角， 如果一个三角当中有两个角相等，那么他们所在的边也相等。好，那么这个条件和结论呢？这个是先知边 等。后知角等，这是先知角等。后知边等，就是把他的条件和结论互换一个位置之后。哎，这两个呢都是正确的，但上面有正确，有不正确的。 那么下面我们就来看到两个名词，一个叫互逆命题，另外一个呢叫做互逆定律。 好，我们先来看到这互逆命题，就是在两个命题中，如果一个命题的条件，条件就是前面的已知条件这一部分和结论啊，结论就是后面要求到的得到的结果，这一部分 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就称为互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另外一个命题呢？我们就叫它的逆命题。所以比如说，我们随便上面的， 呃，你把两个角对等角，那么他们相等叫圆命题，则两个角相等，他们是对等角，就叫做秘密题。当然呢，你如果把这个叫做圆命题，则上面这个就叫做秘密题。反正他们俩是互逆的关系， 互逆的关系只能代表一种互逆的关系，而不一定都是正确的啊，这句话不一定都是真命题， 所以这里我们就来看到这里一句话，当原命题是真命题时， 他的匿命题不一定是真命题。当然呢，原命题也不一定真的是真命题，原命题也可能是假命题啊，我们现在是假设原命题是真命题，那么他的匿命题呢？也可能是真命题，也可能是假命题。我们刚才在这说了，匿命题，假命题，匿命题，匿命题，真命题，对不对？ 那么如果一个定力的逆命题啊，通过证明是真命题，那么这个定力的逆命题呢，也就成了一个定力。这样呢，这两个定力我们就称为叫做互逆定力啊， 我们把其中一个定力称为另一个定力的逆定力。哎，这里就是互逆定力， 所以在我们上一讲当中所讲的好，我们看到这直角三角，两个锐角互余和，有两个角互余的三角形是直角三角形，它们就属于互逆定律。 比如说直角三角两，直角边的平方和等于斜边平方。如，如果两个三角形两边的平方和啊，如果三角形两边的平方和，如果一个三角两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角是直角三角 啊。像这两个呢，它也是互逆定律，因为把一个当的圆命题，另一个是逆命题，都是正确的 啊。但然后面我们还要补充很多内容，好，简单看看例题，如果角 a、 角 b 都是四十五度的角，对吧？如果角 a、 角 b 都是四十五度，那就是角 c。 直角 abc 等于三， ac 等于三，那么 ab 的 平方就等于三的平方，加三的平方三三得九三三九九一十八， ab 就 等于根号一十八，那就等于二九一十八，三，根号二， ab 等于三，根号二。 我们看到第二个，呃，第二个它是什么呢？在三角 a、 b、 c 中， a、 b 等于一十三， b、 c 等于十， b、 c 边的中线长是一十二。好，我们简单的画个图，大概是什么意思呢？看， a、 b 等于一十三厘米， b、 c 边的中线是一十二厘米。 好，这个是中线啊，中线，嗯，这个是一十二厘米。由于告诉 b、 c 边的中线 b、 c 等于十厘米， 那就说 b 的 等于五厘米， c 的 等于五厘米。那我们看呢？因为五的平方加十二的平方等于二十五，加一百四十四等于一百六十九，十三的平方等于一百六十九，所以五的平方加十二的平方等于十三的平方， 连短边的平方都是长边的平方，所以这个长边所对的角就是 九十度，对吧？长边所在的角是九十度，那我们就可以得到 a、 d 是 bc 的 中垂线，当然你也可以通过来证明两个三角形，等啊，你可以通过，因为我们这个中垂线呢，还在后面去讲 啊。我们可以证明 a、 b、 d， a、 c、 d 等于 c、 d 角 a、 d， b 等于角 a、 d、 c 九十度， a、 d 是 公共边，对吧？根据 s、 a、 s 证明两个三圈呢，所以 a、 b 等于 a、 c。 当然了，你也可以求证把这个 a、 c， 你 也可以把这个 a、 c 等于一十三厘米通过高不定你，你当把这个角直角得出来，这也是直角，那么这样把它求出来。哎，我刚才说，你根据这个中垂线， 对吧？ a、 d 是 bc 中轴线，哎，就是说每个的正法是不一样的，这个方法是比较多啊， 我们看到下面这个，说出它的逆命题，四边形是多边形，并判了每对命题的真假。四边形是多边形呢，这个是真命题。 好，我们看到的秘密题啊，秘密题，多边形是四边形，多边形不一定是四边形的，所以他的秘密题啊，是假命题，我就不写了啊。两知己明，同班内角互补，这是真命题。 它的逆命题呢，是同班内角互补，两证明也是真命题。如果 a、 b 等于零，那么 a 等于零， b 等于零，这是假命题吧。我们看一下，如果 a、 b 等于零，那么 a 等于零，或者 b 等于零， 对吧？ a 等于零，或者是 b 等于零的啊，但我们不能说 a、 b 都等于零， 那么我们来看它的逆命题，它的逆命题呢？如果 a 等于零， b 等于零，那么 ab 等于零， a 等于 b 等于零。 呃，那么 ab 当然是等零的，那么它的逆命题呢？是真命题啊！逆命题是真命题，记得点赞关注哦！

要想成绩好，坚持听讲，妙！ 我们看到这是八年级数学下册的数学小册子第十四页纸上的第五题提升题，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度角， a、 b、 c 的 平分线， 角 a、 b、 c 的 平行线啊，两角相等角 a、 b、 c 的 平行线，那么大角的两边距离相等，这里垂直哦，这里垂直哦，这是第二小题，有垂直的。那我们看的第一小题告诉 b、 c 等于六， ab 等于十， ac 就 等于八，六八十， 这个没什么好的要讲的啊，根据勾股定律对吧？这直角 ac 等于根号，六十四等于八， 好，第二个，那么刚才我们说角平分线上的点大小的两边距离下呢？就是 d， e 等于 d， c。 好， 这里的要求 d， e 的 长是 d， e 等于 d， c 等于 x， 那我们看到，呃，刚才说这两个角相等，所以这里我们知道这个三角形呢，这个 cbd 和 ebd 两三角形等直角，这个角，这个公共边，对吧？ a、 s 两三角，所以这样我们就知道 b 等于六，所以这个 c 呢，就等于四， c 等于四，那么刚才我们说这个 a、 c 等于八，所以这边是 x， 这是八，减去 x， 那 我们可以根据勾的理， 四的平方加 x 平方等于八，减 x 括号的平方好，一十六加 x 平方等于六十四，减二百一十六， x 加 x 的 平方，两边的 x 平方去掉一十六，到左边了，一十六 x 六十四减一十六等于四十八， x 等于三， 那么 x 等于三，所以也就是 d， e 等于三，那这样我们就求出来了。但是对于这道题来讲呢，其实，呃，刚才我们根据勾股定律啊，在 r、 t 三角形 a、 d、 e 当中 啊，根据勾股定律，但是我们有的同学你看也可以根据三角形 abc 它的面积，但是二分之 d， a、 c 乘以 bc， 那么 s 三角形 a、 b、 c 还可以等于什么呢？等于 s 三角形的 b、 c、 d 加 s 三角形 a、 b、 d， 就 说 b、 d 把它分成了 c、 b、 d， a、 b、 d 两个三角形的面积合起来就等于 a、 b、 c， 所以 二分之一乘以六乘以八，二分之一乘以六 x， 二分之一乘以高，二分之一乘以十 x。 嗯，两面都有二分之一，咱们去掉六、八，四十八等于这二分之一，就是六 x 加一十六 x， 对 吧？一十六 x 等于四十八 x 等于三，你看根据面积也可以根据购物地理也是行的。我们看到第十五页纸， 如图，某个小区的三栋单元楼分别位于 a、 b、 c 的 三个顶点，要想要在三级 a、 b、 c 内部建一个快递站，并使到每一栋楼的距离相等，也就是到到哪栋呢？并使快递到每一栋单元楼的距离相等。 这个单元楼是什么？ a、 b、 c 是 顶点啊， a 顶点 b 顶点， c 点，就距离相等，那就应该在 a、 b 的 中轴线， b、 c 的 中轴线， ac 的 中轴线，那么得到的焦点，所以这里应该写的 b， 因为这里它说的是到 a、 b、 c 三个顶点的距离相等，对吧？三栋楼在 a、 b、 c 的 三个顶点，然后使快的站到每栋楼，就是 a、 b、 c 的， 所以这题我们应该选择 b。 如果你要是说在这条路啊，这是一条路，这是一条路，这也是一条公路，对吧？到三条公路的距离下呢，那就在三个角平分线，呃，他的家里就是啊，所以你要把这个题目问什么问题啊？看清楚，我们看到第二题， 在 r t 三角形 a， b， c 中，角 c 一 点九十度，这个认认是直角，以点 a 为圆心，以任意长为半径作弧，再分别以以这个刚才两个夹里弧的两 a、 b， c 的 夹里 d， e 为圆心 啊，以大二分之 d 的 长为半径作弧，这个地方做的是做角平分线的意思。那么做了角平分线之后呢？我们就知道什么东西呢？知道这个 e， g， c 啊，是等于 g 的 这里的这个这个距离，但这距离多少呢？我们看题目下面问什么，现在 c， g 等于三，那就是这个距离等于三， ab 等于十。问 ab， g 的 面积， ab， g 的 面积是二分之 a， b， a， b， g 的 ab 是 十， c， g 等于三，就是这个垂直的啊，你比如说， 比如 g， h 也可以，对吧？那就是这个三，三是二分之三，是等于一十五。好，这个面积就应该等于一十五，记得点赞关注哦！

你家没有中学生你就划走啊。我们看八年级数学下册课本的第二章不等式。我们首先来认识一下不等式，用两根长度都是 l 厘米的绳子，分别为一个正方形和一个圆， 那么如果要是正方形的面积不大于二十五平方厘米，那这是 l 厘米。呃，这个也就是周长是 l 的 意思，那么周长是 l， 那 边长就是四分之 l， 对 吧？这个周长呢？这圆的周长，我们说 c 等于 r 帕 r 就是 l 等于 r 帕 r， 那 么这个 r 就 等于 r 帕分之 l 啊，这是正方形的边长啊。正方形的边长 a 等于四分之二，要是它的面积不大，那面积就应该是四分之 a 的 平方不大于二十五。小于等于二十五，对吧？也就是十六分之 a 的 平方小于等于二十五， 嗯，第二个呢，要是圆的面积不小于这么多圆的面积，那我们就应该是 pi， r 的 平方 r 多少呢？ r， 刚才我们说是二 pi 分 之 l pi， r 的 平方不小于就是大于等于一百， 不小于等于等于一百，嗯，那这个 pi 跟 pi 约分，所以那个就是多少呢？就是四。 pi 分 之 a 的 平方大于等于一百。 好，当 l 点八的时候，正方形和那个 l 点八的时候，当 l 点八十，对吧？ s 正正方形的面积，那应该等于这个，那就是四分之八，四分之八就是二二的平方等于四，对吧？哎，那么 s 圆呢？ 哎，那就是这个八八八六十四，六十四除以四，约分就是八分之一十六。 那么当 l 等于一十二的时候，那么 s 正正方形的面积，呃，一十二的时候，这个一十二除以四就三三的平方等于九，那么圆的面积呢？内角应该多少呢？那 sl 等于一十六，一十二的话， 哎呀，一十二是多少呢？就是一十二的平方，这里是四 pi， 呃，这就是一百四十四，一百四十四除以二就是七十二，再除以二，三十六，好 pi 分 之三十六，好，单位没得写了，现在为您比较一下改变 u 的 值，猜想一下。猜想，我们看到 不管这个 l 是 多少圆的面积，那就应该是多少等于四倍分之 l 的 平方，而正方形面积是等于一十六分之 l 的 平方， 当 l 的 平方相等的时候，那么 pi 等于三点多，对吧？四 pi 比一舍的小分子相同的分母大的反而小，分母小的反而大。哎，这个分母小啊，这三点多乘以四，分母小的反而大，那就是说我们得到的猜想是什么呢？嗯，同周长的这个圆的面积是大于正方形的面积。 好，把这个把它搞清楚，我们再来看看下面的铁路部门，对于这个行李啊，有这样的一个规定，长宽高的和不得超过一百六十，长 a 宽 b， 哎，高 c， 那 么这样列了个关系，那就是 a 加 b 加 c， 不 得超过一百六十，那就是小于等于一百六十，对吧？ 我们看到这个，这个数零呢，我们来看到数为开始加的时候是六，每年增加一厘米， x 年增加 x 厘米，那就是这个，对吧？所以六加上 x x 厘米超过了十大于十啊，那就是六加 x 大 于十 啊，这里不大于就是小于等于，这个小于等于，不小于就是大于或等于。把这个符号呢，我们要认清楚。好，现在我们看到第五十六页上的， 那么刚才我们所列的这些式子啊，他都是含有不等号的，小于号、小于等于号，大于号、大于号等于号，用这句话连接而成的式子叫做不等式，其实有的时候我们用这个不等号连接起来了，也应该叫做不等式啊， 啊，用适当的发来表示下列关系， a 是 非负数，那非负数就大于等于零的，对吧？直角三角形的斜边比它两，这就比较长，所以 c 大 于 a， c 大 于 b， x 于十七的和 x 加十七比 x 的 五倍， x 的 五倍比五倍什么小哦，这个边要小， 那么看到两数的平方和我们说这两个数是 a 和 b。 好， a 的 平方加 b 的 平方和不小大于等于等这两个数乘积的两倍二 a b， 这个呢，我们可以跟大家证明一下啊，因为 a 减 b 的 平方是大于等于零的， 对吧？所以 a 的 平方减二 a， b 加 b 的 平方是大于等于二 a b 的 啊，这个呢，我们后面还有 好下面这个呢，我们说这个最大的深度，如果说深度为 x 米啊，如果深度为 x 米，则 x 大 于。呃，最最大深度下潜达到这个，所以它的深度啊，是小于一零九零八米 啊，最大的深度达到了这么多，对吧？觉得最大就等于这么多，它的深度有可能就是下潜的，如果说它下潜的深度是 x 比，它可能也有没有达到这里的， 那么它的连续作起的时间超过了八米，如果这个时间我们说是 y 小 时，那么 y 呢？是大于八，超过了八小时，那么它的行驶的路程，如果我们说这个距离为 z 千米，那么超过了 z 就 大于一十四，超过了一十四，是吧？记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十六页习题十九点三的一二三题。第一题计算， 第一个二倍根号十二，加上根号二十七。那按照二次根式加法加减法的方法呢？是第一呢，先将二次根式化解， 然后是被开放数相同的才能相加减，对吧？所以我们把第一个进行化减， 嗯，根号十二呢，是四乘三，所以是二倍根号三，再乘以它等于四倍根号三，再加上这是三九二十七，所以呢，是三倍根号三。 之后呢，你观察这两个被开方数是不是都根号三，都是根号三就能相加了，所以是啊，根号三不变，系数相加减，四加三等于七。 第二小题呢，也是同样，我们先给他化减啊，根号十八呢，是二九十八，九是开放得三的，所以二留下减去。这个呢，根号下二分之九呢，得进行分母幺化， 下面乘一个二，上面也乘一个二，等于两个二，开出去一个二，上面的九能开方得三，所以是二分之三倍根号二， 二分之三倍根号二。然后进行通分，等于二分之六倍根号二，减去二分之三倍根号二，等于二分之三倍根号二。嗯，这是第二个，第三个。 嗯，九 x 九能开方得三，所以是三倍根号 x， 再乘以三分之二，等于二倍根号 x， 再加上这个呢，是四能开方得四，能开方得二，然后 x 留下，再乘以六约分等于三倍的根号 x。 那根号 x 呢，是被开方数相同的，所以 x 根号 x 不 变，系数相加减，二加三等于五。然后最后这个第四小题， 嗯， a 方乘以根号下八 a 八呢，能够 开方得二，所以是二 a 方，根号下二 a 加上 三 a 乘以根号下五十 a 的 三次方等于三 a 乘一个二，十五乘以二乘以 a 方，再乘以 a， 所以 二十五开方能得五。 跟他乘是十五，他能开方得 a， 所以 是 a 方。剩二 a 留下，所以是十五 a 方。根号下二 a 留下，所以是十五 a 方，根号下二 a 留下，所以是十五 a 方数是不相同的，那么 根号下二 a 的 部分不变系数相加减是十七倍，根号下十七倍，十七 a 方倍的根号二 a 啊，这是第一题，第二题呢，它是数就是变多了啊，我们细点心，慢点算啊。 第一道题呢，你观察是根号十八减根号三十二，再加根号二，我们先给他化解一下。根号十八呢是二九一，十八是三倍，根号二，再减去三十二呢，是十六乘以二，所以是四倍。根号二 再加根号二，不变的话应该是三减四，再加一就等于根号二，不变的话应该是三减四，再加一就等于零。 第二小题呢，也是得四个数进行化简。七十五呢，应该是二十五乘三等于五倍，根号三，减去五十四是六九五十四，三倍根号六，再加上。嗯，九十六是十六乘六 啊，等于四倍。根号六，再减去一百零八是三十六乘三，所以等于六倍。根号三，然后合并一下呢就是，嗯，根号三不变，五减六等于负的根号三， 然后根号负，根号三负三倍，根号六，再加四倍。根号六，等于正的根号六 啊，这是第二小题。第三小题，我们在化简的同时呢，把这个括号去掉啊。 四十五呢是五九四十五，所以是三倍根号五，再加十八是三二九一，十八是三倍根号二，减去这个是二四得八是二倍根号二，然后这俩呢，负负得正，所以是二十五乘以五，等于五倍根号五， 合并一下啊。嗯，带根号五的是，合并完是八倍根号五， 然后根号二的是正的根号二。这是第三小题。来第四小题，第四小题呢？你看啊，他就稍微麻烦一点了，我们得先。 嗯，乘法分配，然后这个呢，还得化减，是不是？所以呢，我们两个步骤一起干啊。乘法分配是二分之根号二，加上二分之根号三， 减去四分之三倍根号二，这个化减是三倍根号三，对吧？再乘以它就是一号为负，四分之九倍根号三， 然后等于合并一下呢。这个是通分，等于四分之二倍根号二，减去四分之三倍根号二，就等于负的 四分之根号二，这个呢，是根号三的是四分之二倍根号三，再减四分之九倍根号三，等于四，负的四分之七倍根号三 啊，这是第四小题，第三题，第三题计算。那这里头应用的就是公式了啊。第一个呢，呃，是乘法分配率就可以算是吧？ 那我们这个呢，你就先别化简啊。先别化简，我们可以先乘法分配率，然后再化简。等于。嗯，根号十二乘以根号三十六， 然后加上五倍的根号二十四，就等于三十六，得六。二十四是二倍根号六，再乘以五等于十倍根号六，所以加上十倍根号六。哎，这个这么算是不就比较快了 啊？你要化简了就不好算了。那么第二个呢？你观察，这是二倍根号三，这也是二倍根号三，这是正的三倍根号二，这是负的三倍根号二，这不是两数合成一两数差吗？所以等于这两数的什么平方差？ 等于那二倍根号三的平方等于二的平方得四，然后根号三的平方得三三四，多少一十二减去啊，三的平方得九，根号二的平方得二二九一十八，然后最后等于负六 啊，这是第二小题。那么第三小题完全平方式，将首平方 两数乘积的二倍，他俩是和，对吧？二倍乘以五倍根号三，再乘以二倍根号五，再加上末平方， 然后等于五的平方二十五。根号三，平方得三三五十五七十五，再加上外面的相乘等于二十倍根号六，再加上二的平方得四四五，多少？二十，所以等于九十五加上二十倍根号六 啊，九十五加上二十倍根号，哎呀，怎么六的呢？这是三五一十五啊，你看，这不是错误了吗？ 这哪来的看哪看来的二啊。啊，所以这个是二十倍根号十五。然后第四小题呢，它就是 多项式除以单项式啊，那么用括号里边的每一个数与括号外面的数分别相除，对吧？那么根号四十八去除以根号二十七，哎呀，这个挺难算的，那我们可以这样先写上来， 看到了吗？加上，嗯，咱可以这么写啊，四分之一倍的根号六 呀，根号几，根号六，是不是去除以根号二十七？呀呀呀，七十二了，咋写的？ 然后来这头写不下，这头写来这个根号四十八除以二十七，咱们可以拉到一个根号下算算啊，商三约剩十六，商三约剩九，哎，这个能换成整，哎，三分之几啊？三分之四， 这个除是三分之四，那这个呢？稍微麻烦一点，四分之一除以外面的一等于四分之一，那么根号六除以根号二十七，是不是应该这样写 啊？这样写的话，商三约是根号下九分之二，然后这个九呢？能开方得三，所以是等于四分之一乘以三分之根号二，所以是十二 十二分之根号二啊，所以是十二分之根号二，那就是加上十二分之根号二。 这个步骤写的有点少啊，你也可以怎么算呢？你可以这么算，或者是这个呢，给他化解一下就是。嗯，十六乘以三等于四倍根号三，再加上这个化解不了了， 然后这个是三倍根号三啊，这个是三倍根号三，然后他除以他呢？是啊，根号三除以，根号三没了，剩三分之四，这个是不好算，然后呢？他再除以他就是外面除以外边的呗。加上四分之一除以三等于乘以三分之一， 然后呢？再去乘以个根号六，去除以根号三，就等于三分之四，加上十二分之 一倍的根号几根号二，这样也可以啊。

跟我一起做练习八年级数学下册课本的第二十二页上呢，我们看到第九题某物件的一部分，如图所示，其中 b、 c 乘以 a、 c， 这里是直角 角， a 等于三十度。好，直角三，三十角所对的直角边的斜边的半， a、 b 等于七点四，所以 b、 c 等于七点四的一半，那就是三点七 米啊，三点七米， d 呢是 a、 b 的 中点，那么这个 a、 d 和 d、 b 那 不也是三点七米吗？对吧？三点七米。 现在啊，又有什么呢？又， d、 e 是 垂直于 a、 c 的， 哎， a、 d、 e 又回过过来，它是个直角三角形，那么这个 d、 e 就 等于三点七的一半，等于一点八五米。 好，我们求完了， bc 等于三点七一米， d、 e 等于一点八五米。我们看到第十题 用两个完全相同的含四十五度角的直角，哦，对，三角尺拼出一个三角形，哎，他这拼出三角形，是吧？实际上我们能拼出很多图形出来，您比如说，呃，我们来画一个 啊，换一个单人等压直角三角形，好，这里是一个等压直角三角形，对吧？那么这里是直角，这个四十五度， 这个四十五度。刚才根据有一个九十度两样相等的，现在叫我们两个拼出来，那么两个往哪拼呢？如果说我们往这里拼的话，那么这拼出来是正方形， 对吧？这样拼成正方形，如果我们说我们把它往往哪拼呢？往这里拼，这里有什么拼法呢？哎，请您注意啊， 有不同的拼法，比如说我们这样拼的话，哎，这就形成了一个啊，这就形成了一个，是什么呢？ 呃，这个四十五度，这个四十五度，九十度，等腰直角三角形。当然呢，我们还可能是有什么拼法呢，就是我们把这边放在这里，我们这样去拼， 这样去拼，哎，这样拼出来的是一个平行四边形，好，我们说我们剪一剪，拼一拼，它能够拼出正方形，对吧？能拼出，平行四边形， 能拼出。但是本题不是问这个问题的啊，本题他问的是得到怎样的得到一个三角形，所以本题得到的，我们说这个结论是他能拼出等腰直角三角形 啊。我们这个书本上的问题是等要直角三角形，但我刚才说的就比较多，书本上呢，比较简单，但未来考试就不是一样的，未来考试不仅要得到什么形，还要求它的周长和面积啊，因为时间的关系，在这里就没有多跟你讲，我们看的理实一题， 已知角阿尔法和向量 a， 用尺规做一个等幺三就行，那么这地方呢，我们理论上做的就比较多，有时间的关系，我们就不能多说了啊，如果说我们在这里我们做一个 什么呢？如果说这个角 a 啊，如果说这个角阿尔法，我们当一个顶角的话， 当这个顶角的话，那么它就可以可以做出一个什么东西呢？这样的一个等幺三角形，对吧？顶角。当然如果我们要把这个他说叫我们做个等幺三零，如果说这个底角 是阿尔法的话，那么它就做出这么一个等角三角形，也是等幺三，所以也就是这个 a， b， c， a， b， d。 当然呢，我们对于这个角呢，理论上我们要重新去画一个， 因为这里没有数的时间，所以没跟大家画啊，只是简单跟大家说明一遍，所以这个设的三角形呢，它应该可能是画以一个锐角的，还有一个钝角的，也就是它画出来有两种情况， 那如果说把这个角阿尔法改为角 b 的， 那么这样呢？他就只能画出这一个钝角三角形，所以那这里我们以这个顶点为圆心，对吧？ a， 那 我们来看到这样呢， a 在 这里对吧？所以这个三角形啊，这个拍视频的时候啊， 有的是不好弄啊，这个书没放平好，那么就是这样的一个三角形，大家可以写上字母，写上结果啊，大家写字母，写结果有时间呢，没有办法去多跟大家写 啊，我们看到第十二题，一、所能穿从 a 出发，以十八哈里每小时的，这里是哈里啊，哎，也叫做节啊，一点八万二千米，每时 就是一十八哈利。每时的这个速度向正北航行，经过十小时，一十八乘以十就是一百八十哈利，一百八十，当然我们可以用就是， 哎，这个这里没有写字母是吧？没写那个 m、 r、 l、 e 好，分别以 a、 b 两点望灯塔。 c， 这个是四十二度，这八十四度，八十四度等于和它互相的那两个内角的和，那么这角也就是四十二度，所以这个 b、 c 等于 b， a， 那 也就是一十八哈利，一百，哦，说错了，一百八十哈利， 对吧？也就是 b， c 等于 b， a， 也就是等于一百八十哈利。我们看到第十三题， 三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，那就是这角六十度，这角六十度，这角六十度，过它三个顶点做平行线，能看到这个六十度，那平行这角六十度， 对吧？过做平行这角六十度，过平行这角六十度。做哪个平行呢？比如做这个跟这个平行，这角等于这角六十度，这角等于这角六十度。你看两个六十度，两个六十， 哎，这个跟这比，这六十度，对吧？所以两个六十度，两个六十度，两个六十度。那么第三个角当然也是六十度，所以这个三角形，这个三角三角形呢？啊，他全是等边三角形，全是等边三角形，那就是 a、 e、 b， e， a、 b， 对 吧？ a、 f、 c， f、 c， d， d， b 就是 全是相等的 啊，所以这样我们得到三角形 df 啊，我们可以得到角 d 角、 e， 角、 f 都是六十度，所以我们得到 df 是 等边三角形。还能找到其他的吗？比这三个角三角形 a、 b、 e 三角形 a、 c、 f 三角形 b、 c、 d 也都是等边三角形， 当然这个点 a、 b、 c 也是 e、 f， e、 d 和 d、 f 的 中点， 有时间就不多说了。第二个问题，如果三角形 d、 f， 它如果先知大的是等边三角形，呃，知道这节是中点，那我们后知三角 a、 b、 c 呢？我们说也是等边三角形。如果先知大等边三角角，都是六十度， 三边相等，中点、中点、中点，那么 a、 e、 a、 f、 c， f、 c， d， b、 d， b、 e 都是等于什么呢？都是等于大边长的一半，所以相等，相等，相等。呃，六十度，六十度，六十度，有一个角，六十度的等腰才是等边三角形，等边等边，所以这三个角都是等边三角形， 而且它们的外面的边长相等，所以 a、 b、 b、 c， a、 c 啊，都相等。总之这里的证明比较简单啊。呃，未来的就更复杂，记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第四十九页练习。 这个练习呢，主要讲的是四边形内角盒啊，一个是四边形的内角盒，那么第一题和第二题呢，考察的是四边形内角盒，第三题考察的是啊稳定性，嗯，那么四边形内角盒呢？它的，嗯， 这呢，四边形的内角和呢？他永远都得三百六啊，所以我们依据这个四边形内角和呢，我们可以来求第一小题。 首先我们确定这个，这个是一，这个图形呢，是一个四边形，那我们四边形的内角和就等于三百六十度，所以呢，你观察啊，这角标的是直角符号，说明他九十度，一百四 x， 那 就是 x 度加上 x 度再加一百四十度，再加九十度 等于三百六十度，然后计算一下，二 x 度等于他俩是二百三，移过来是一百三，然后所以 x 应该等于六十五度啊， x 应该等于六十五度，这个可以不写单位了啊。 然后第二个呢，首先你确定来一二三四，它也是一个四边形，那么四边形的角和呢，就应该等于三百六十度，那三 x 加上四 x 加上三 x 加上二 x 应该等于三百六， 那么加到一起，你观察啊，这是十二 x 等于三百六十度，那 x 呢，应该等于 三十度啊， x 应该等于三十。那么第三个呢，你观察一二三四也是四边形，那么四边形的角还是三百六十度，那已知的三个角还给了一个外角， 那么你想三角形内角和是一，那个三百六，我说得把这个邻补求出来，那这个邻补呢，应该用一百八减 x 来表示啊，他俩不互补的吗？所以用一百二十加上八十，再加 一百二十度，加八十度，再加七十五度，再加上一百八十减 x 度，等于三百六十度。那前面这些加在一起是两百七十五度，然后再加这一百八，两百七十五， 加上一百八，等于五五四，四百五十五，也就是四百五十五度减 x 等于三百六十度，那么 x 应该等于减去三百六五七八九啊，应该得九十五 啊。这是第一题，那么第二题呢？他说一个四边形的一组对角互补，他的另一组对角有什么关系？首先我们确定他是四边形， 那么跟角有关，所以呢，四边形内角和是三百六，那要是一组对角互补了，说明有一组对角的和应该是一百八，那另一组对角的和也应该是什么样？ 也应该是一百八，所以应该是互补的啊。那第三个呢？说下列图形中哪些具有稳定性？那我们知道应该是三角形具有稳定性，而四边形、一边形它不具有稳定性，所以这里面不能包含什么四边形。那 第一个他是有两个三角形组成的，所以他具有稳定性。那第二个，两个都是四边形，那他是肯定不具有稳定性了。第三个呢，上面是一个三角形，下面是四边形，上面稳定了，下面不稳定，所以他也不行。 那第四个，一二三这三个小图形是不都是三角形，所以它具有稳定性。那么第五个肯定不行。左右这两个都是四边形，它是具不具有稳定性的，所以具有稳定性的啊，就是一和四具有稳定性。

你会做吗？八年级数学下册练习册的第二页纸，我们看到 e， 如图点 c 是 角 a、 o、 b 的 o， a 这条边上， 如果 c、 d 垂直于 o， b 垂直于 d， d 平行 o、 a。 如果角 e、 d、 b 等于四十度，角 e、 d、 b 在 哪里？这个角角 e、 d、 b 等于四十度， 嗯，那么刚才说 d 平行 o、 e， 所以 这个角 o， 也就是四十度，两直线平行，同位角相等，所以这个角 a、 c、 d， 这个角等于多少呢？就等于这两个不相邻的，那角的和等于九十加四十等于一百三十度。所以第一题我们选择 c、 e， 第二题他说这个斗空竹，嗯，这里的 e 为斗空竹的，这个第二个是它的形象的图形，关键有一个 a、 b 平行 c、 d 两直线平行，那我们有什么同位角，同旁 内角之类的？所以我们把这个 a、 b 跟 c、 d 啊，这里的啊延长 d、 c 加这里有一点，比如说我们说 f 吧， 那么这个角 e、 a、 b 等于七十度，这个角等于七十度，那就是说这个角 e、 f、 c、 e， 这角也是七十度，对吧？角 e、 c、 d 在 哪里呢？ e、 c、 d 在 这里，这个角是等于一百一十度， 一百一度则和它不相邻的两个内角的弧，这七十加四十啊，所以角 e 就 应该等于四十度 啊。当然你把这个角 e、 c、 f 的 这个七十度求出来也可以，对吧？然后一百八十减七十，再减这个七十，这样当然也行。好，我们看到第三题， 第三的角 b、 c 等于角 b、 c。 这个角等于三倍的角 a、 b、 c 等于三倍的角 a、 c、 b。 好， 咱们设角 a、 b、 c 等于 x 度，那么 这个角是 x 度，这个角也等于 x 度，这个角那就等于多少度？三 x 度，所以三 x 度加 x 度加 x 度，五 x 度等于一百八十度， 对吧？那么 x 就 等于三十六， x 等于三十六，这个是三十六度，这个三十六度，那么这个角就等于七十二度，所以这个角 a、 c、 d， 嗯，那就等于一十八度， 因为这里是直角，题目上说这里高啊，这里说了高，那么就是角 a、 d、 c 的 九十度。 好，这个奇差都是三题，外角等于和它不相邻的两个内角的和啊，然后这个角就是直角，三角的两个锐角互如。好，第四题就比较难了 啊，这个相反人题，其视域图如图所示啊。这些由时间关系文字我们就不多说，我们要来看它主要的，这里有一个叫始终平行， a、 b、 g、 h、 m、 n 始终平行，这是一个关键的词。 好，哎，刚才这里是如图一，是图二啊，图二，图一是个相反问题，图二呢，是它的几何变化图形，所以现在我们就来看到这个图案。 现在题目说角 e、 f、 h 等于五十六度， e、 f、 h 在 哪里呢？这个角啊，这是五十六度， b、 c， b、 c 在 这里跟 e、 f 是 平行的。哎呀，然后求角 a、 b、 c 求这个角，你看这两个平行呢，咱们要求这两个角布在一起呀，所以咱们想办法把它作辅的线弄在一起来，对吧？ 咱们可以做这个，把这个平行线呢，与第三条直线 好，比如说我们这个 a、 b、 c、 d， e、 f、 g、 h、 m、 n。 好， 这里比如说我们加一个 p， 延长 c、 b 与 h f 交入一点 p， 由于 e、 f 平行于 b、 c， 就是 e、 f 平行于 c、 p 两直角明同位角下呢？这五十六度，所以这个角就是五十六度。 哎，已知，刚才说 a、 b g h m n a b g h g h 就是 这个 p h， 对 吧？好，这两直角梯内侧角相等，所以这个角 a、 b、 p， 也就是这个角多少度呢？五十六度， 所以角 a、 b、 c 是 多少度呢？因此第一个这个角 a、 b、 c 就 等于一百八十度，对吧？减去五十六度等于一百二十四度， 对吧？这是五六，这就一百二十四度。一百五十六，加啊，一百二十四加五十六等于一百八十度。这里我们要想办法做这个辅助线。好，我们看到第二小题， 为了参加另一项高空救援的工作进行调整。嗯，现在有一个垂直，什么垂直 bc 跟 e f 所在的直线垂直啊，然后角 e、 f、 h 等于七十度，还是求角 abc 啊？现在图形在这里，现在有个什么呢？叫 bc， 如 e f， bc 在 哪里？ bc 在 这儿 跟 e f， e f 在 哪里？ e f 在 这儿，所在的直线是垂直。 哎，这，这里是直角，但图上没有画出来啊。但是题目又有一个，刚才这里所说的这个平行 a、 b， g h m n 是 平行的，所以我们来看了这个 a b， 你 看 a b， 好， 我们把这里一直做到这来。嗯，比如说这个是 p， 这个是 q， 也就是 a b 平行，介值就是 a q 平行 f h， 对 吧？好，刚才这个角，这题目上说，这里是多少度呢？这里是七十度啊，七十度，好，这个七十度，那这个角也就是七十度， 好，这个角就是二十度，为什么呢？因为这是直角啊，所以角 abc 就 应该等于一百六十度， 对吧？ abc， 呃，就一百八十减二十等于一百六十度，好，那么这个关键呢？是我们要把这个角之间的关系，把这个辅助线，把它给它做出来，记得点赞关注哦。

底边上的高，那相当于是过 b 点做 a、 c 的 直线呐。 第一步就是以 b 为圆心 a 句，然后作为断符，跟 a、 c 有 两个焦点呢。 a 句跟 a、 c 有 两个焦点呢？ 这有两个焦点，再以这两个焦点 分别作为圆心，取超过这两个交点一半的长度一半就行。把两段分，如果没有交上去，要交上去， 那么连接这个点跟 b 点就是所做的高了。 ok， 没有这第一条。 第二个做 b、 c 边上的高， b、 c 边上的高就是一个蹬脚，那 b、 c 边上的高就在三角形外面。第一步先延长 b、 c 当老命。下一步就跟做 b 引 a、 c 缺陷一样，过 a 引 b、 c 的 缺陷也是以 a 做圆心，画一段弧，以 b、 c 有 两个焦点来 两个焦点，再以这两个焦点为作为圆心，去超过这两个焦点一半的长度，来一半就行了，超过一半就行。画脸半红一半 两段，你这有个焦点。二二，连接 a 点跟这个焦点微摇而过这一条，这一条 a、 d 就是 b、 c 边上的杠，这个 b e 啊， b e 就是 a、 c 边上的杠。

你记住啊，八年级是成绩变化的关键时期，今天我们开始讲八年级数学，这个数学，这个配套的这个数学作业本啊，我们俗称为叫小册 啊。八年级下学期的我们看到第一节第一章的第一节三庭的证明，就应用第一个三庭内角和地理的第一课时的。 好，我们看到如图，一角一等于一百度，角一等于一百度，那么这个我们说这是个零倍角，这个角就等于八十度。角二等于一百四十五度， 那么这个角呢，那就等于三十五度，对吧？一百四十五加三十五呢，等于一百八十，那么这样呢？八十度加三十五度，一百一十五度，所以这个角三等于多少度呢？所以这个角三就等于一百八十度，减去八十度，再减去三十五度， 一百度减三十五度，等于六十五度。好，第一题，我们选择 b 六十五度。 好，这里的图形看清楚。第二题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 平分，角 b、 a、 c、 a、 d 平分，这两个角相等，我们做个记号， 角 b、 c 于 d， 如果 d、 e 平行， a、 b 加 a、 c 于点 e， 如果角 b 等于四十六度，好，咱们写个抄出来。角 c 等于五十四度， 那么四十六加五十四就是九，十，就是一百度，那么一百度，那么根据三角形内角所得一百八十，所以角 b、 a、 c， 那 就应该等于八十度。 角 b、 c 等于八十度， a、 d 平分，所以这两个角每个角都是等于四十度。好了，角 a、 d、 e、 a、 d、 e 在 哪里？ a、 d、 e 在 这， a、 d、 e 应该等于角 b、 a、 d。 因为刚才这两直线平行，在这里，两直线平行内错角相等，所以角 a、 d、 e 等于角 b， a、 d、 e 等于四十度，好，那我们就选择 a， 好。 第二题选择 a， 我 们看到第三题， 好，第三题没有图形。角四一比角 a 小 二十度，那就是角 a， 比角四一大二十度，角 a 减角四一等于二十度，对吧？由于角 b 等于八十度，三年的内角和等于一百八十度，呃，所以那么角 a 加角四一就是一百八十减八十等于一百度。 好，我们现在求的是角 c， 我 们用下面减上面角 a 减角 a 等于零一百八，一百减二十等于八十，角 c 减去负角 c 就 二角 c 等于八十，角 c 等于四十度。 好，角 c 等于四十度。当然呢，角 a 等于六十度啊，题目没有问角 a， 角 a 等于六十度。好，我们看到第四题， 角 a 等于这个六十五度，我们再做个记号，角 a 六十五度，角 b， 七十五度。 七十五度加六十五度，就是切了一百三，一百四十度。三角形 a、 b、 c 的 内角和一百八十度，所以这个角等于四十度。一百八十减一百四十。好，那么由于这里是折叠啊，关键的词是 c 落在这个 c 一 撇的位置，所以这个角 c 一 撇也就等于四十度。 已知这里有个这个地方是角二，这地方角二，那么我们看到这个四十度加上这个角二就是五十五度啊，五十五度，那么题目问的是角一， 那么五十五度是多少呢？那我们可以得到这个角啊，就应该等于五十五度 呀，这涉及到我们后面的角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和啊，这个角加这角是一百八十度，这两个角合起来加这角一百八十度。好，所以这个角就应该等于五十五度，加四十度等于九十五度 啊，这个小圆圈度下写清楚。 第五题， 在三点， a、 b、 c 的 a、 d 是 高 b、 e 是 角平分线啊，一个是高，一个是角平分线，它们相交于 f。 角 b、 a、 c 等于五十八度。角 c 等于七十二度。求角 d、 a、 c。 如角 a、 f、 b 的 度数好，有如图形的在另外一边。 好，我们现在看到这里的啊，这里它刚才是垂直的。 a、 d 是 角平分线，这两角相等，刚才说角 b、 a、 c 啊，他说是五十八度 啊，角 c 呢，等于七十二度，角 c 等于七十二度，所以这个角就等于一十八度， 这里是直的啊，那么角 d、 a、 c 等于，呃，一十八度。角 b、 a、 c 等于这个五十八度。角 b、 c 五十八度，所以这个角就是五十八度，减一十八度等于四十度。 角 b、 a、 d 等于五十八减四十度。那么由于这里是直角三角形 a、 d、 b。 那 么如是角 a、 b、 d 等于一百八十度，减四十度，减九十度。实际上可以理解，直角三角两个锐角互余，那就是角 a、 b、 d 等于五十度，因此这每个角都等于二十五度，所以角 d、 a、 c。 刚才听不懂。角 d、 a、 c 等于一十八度。嗯，这个角 a、 f、 b。 刚才我们说这是二十五度，这也是二十五度，所以这个 a、 f、 b 啊，等于九十度加二十五度，对吧？呃，那就是一百一十五度了啊，一百一十五度。 好，由于时间，这个过程呢，我就没有细细的写，我们看到第六题， a、 c 等于 df， 角 a 等于角 d 由于 ab 平行于 d e， 所以 内错角相等，那么于是跟你角角 b， 对 吧？这个角角 b， 那 么这样呢？我们就可以得到两个三角形，切等三角形 b e f 现在 b f 等于四， f c 等于三，那么刚才两个三千呢？是 bc 就 等于 e f 啊， bc 等于七， e f 等于七，七加四就等于一十一，所以 b e 等于一十一啊，这个就比较简单了，过程大家自己去写，记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十四页练习。 这页练习呢，主要讲的是有理数的加减法啊，不对，二次根式的加减法啊，二次根式加减法的方法呢？是这样的，他说二次根式加减时啊，先将二次根式化简，再将被开放数相同的二次根式合并。 什么叫做被开方数相同的呢？你比如说三倍根号三和二倍根号三，他俩就能合并 啊，那你要是根号三加根号二，那你看这两个被开方数不相同，那他就不不能相加减了 啊，他就不能相加减了，那你看相加减的方法啊，根号二十七加根号十二。那首先呢，他说了，先将二十七化简，那你看根号二十七化简为三倍根号三， 根号十二化解为二倍根号三，然后呢，再将被开方数相同的啊，那你观察这两个被开方数相同不？那这两个被方的被开方数如果相同了，那么你观察是根号部分不变，然后他们前面的系数相加减 啊，三加二等于五倍根号三，这就是有理数加减法的方法。那我们看一下这个题型，第一小题说下列计算是否正确，为什么？ 那第一个根号四加根号九等于根号下四加九，咱们这个根号加减法呀，他还没有说把这两个数拉在一个根号下来算的，是不是？所以呢，你得进行化减啊，所以这道题呢，是错的 啊。那么这道题啊，为什么错了呢？是因为你的这个方法错了啊，方法错了，那正确的呢，应该是根号四化解为二，根号九化解为三，所以他等于五，这才是正确的，他没有拉着一个高下来算的方法啊， 所以第二道题也是错的啊，他俩就啊，不可能拉到一个高下的算，那按照法则是不应该是先将根号进行化简，然后呢，被开方数相同的，才能够进行相加减， 那加减的时候呢？是啊，根号部分不变，系数相加减，而这个题，你看他用的方法就是错的。 那么这道题正确答案呢？你先把根号八化简为二倍根号二，然后再减根号三，你观察根号二和根号三被开方数是不相同的，所以他不能加减了，那这就是结果了。 那第三个啊，你观察这个被开方数是根号二，这个被开方数也是根号二，他已经是最减的了，所以呢，根号二部分不变，系数相加减三减去一是不等于二，所以这道题是正确的 啊，这道题是正确的。第二题，计算第一道题啊，括号一，二倍根号七，减去六倍根号七。你观察 第一呢，这两个数呢，都是最减的根式啊，并且呢，跟被开方数是相同的，所以呢，这个两个数是能够进行计算的，那么在计算的时候呢，就是系数相加减，根号部分，那么等于负四倍根号七。 那第二小题呢，继续进行化简了，根号十二呢，是四乘三，四能开方得二， 所以它等于二倍根号三，根号七呢，是九三九二十七，九能开方得三。嗯，一个三留下减去 三倍的根号下三分之一。这个呢，咱们来啊，化简一下啊，这个在烟草纸上化简完，咱们写上三倍根号下三分之一，因为你分母呢，被开放数里含分母了，对吧？所以进行分母由里化 啊。三乘三，一乘三，然后三乘以个，这个开放得三，上面是一，三得三，然后约分，他等于根号三，那这应该减根号三， 那我们把这三个数都化简之后，你观察他们被开方数是不都相同的，那如果被开方数相同了，那么他们的，嗯，方法呢？就是把你的系数相加减，也就是二加三，再减一，最后等于四倍根号三啊。第三道题呢， 同样，你观察这三个数啊，都不是最减的，所以第一步要化减。嗯，十八呢，是二九十八，那九能开方得三啊，余下个二， 然后括号直接去了啊，这个九十八呢？嗯，你看九十八，我们是不能一目了然看出来，那我们可以用短除法啊，先商二 等于四十九，那你看四十九是不就是平方数了？那就不用算了，四十九开放得七， 然后二留下，然后减去。因为你这块是减加号，所以去了括号呢，符号是不变的，那根号二十七呢，是三九二十七，那么九能开放得三，那个三留下， 然后这个时候呢，你观察前两个数，能够进行计算，后面这个数跟他们被开放数是不相同的，也就是他们不属于同类二次根式， 被开放数相同的叫做同类二次根式，所以呢，前两个能计算，那么根号二不变系数相加减三加七等于十，然后再减三倍根号三， 那这两个呢，就算不了了，放在这就可以了。那么第四个题，你观察这几个数是不都需要化减啊？这个是最减的，这些都得化减啊。那你的根号二十四呢，是 四六，二十四是二倍根号六，然后加上零点五呢，是根号下二分之一，然后等于二分之根号几啊？二分之根号二， 然后直接去括号啊，减去根号下八分之一啊，等于根号下八呢，去乘以几呢？ 嗯，乘以二是不就变成平方数了？所以二六二八一十六是得四的，所以是四分之根号二，减去四分之根号二，然后这负负得正，加上根号六。 那这时候呢？你观察啊，这个二倍根号六和根号六是同类二四根式，这两个根号下面都是二的，这是同类二四根式。所以呢，二倍根号六加上根号六，等于三倍根号六， 然后这个是通分四分之二，再减四分之一等于四分之一，加上四分之根号二 啊，四分之一被根号二，不就是四分之根号二吗？所以这是第四小题，第五小题说如图啊，两个圆的圆心相同，那圆心相同，我们把它叫做什么？叫同心圆，对吧？ 他们的面积分别是六十二点八和一百一十四点三，求圆环的宽度。 d。 那 圆环的宽度不就是大半径减小半径吗？是吧？大半径减小半径。那你说大半径减小半径的话，那么已知面积来求什么？ 来求半径呗，是吧？那我们来列式计算一下啊。我们先设一下，来设大圆半径为大二， 小圆半径呢 为小 r 啊，然后大半截儿大 r 呢？呃，大圆面积是六，呃，大圆面积是一百四十一点三，对不对？所以呢，就是派大 r 方等于一百四十一点三， 然后大二方等于派分之一百四十一点三，所以二呢，应该是等于呃，正的根号下派分之一百四十一点三 啊，然后派取三点一四，对不对？所以大 r 呢？就约等于。哎呦，这个一百四十一点三除以三点一四，这也不太好算呢，是不是？嗯， 一百四十一点三去除以三点一四，哎，这个等于四十五。 因为 pi 是 一个记时值啊，所以这我给写个约等号，然后化解一下，等于三倍根号五，这是大 r， 那 么小 r 呢？就是 pi 小 r 方等于六十二点八， 那小二方呢？等于派分之六十二点八，那小二等于根号下派分之六十二点八，然后小二约等于六十二点八除以三点一四，这个还挺好算的，是吧？ 等于根号二十，然后化简一下，等于二倍根号五。 四五二十吗？啊？四五二十啊，那么 d 呢？就应该等于大 r 减小 r， 所以 就等于三倍根号五。减二倍根号五就等于多少根号五，所以答环宽 圆环的宽度 d 为根号五。

你记住啊，八年级是成绩变化的关键时期，从今天开始我们讲八年级数学下册，北极大版的 下册共六章，我们今天开始讲第一章三角形的证明及其应用。 第一张，三角形的证明及其应用。本学期的时间特别短，所以我们在这里理一些重点的跟大家讲，大家自己做好预习。第一节三角形内角和定力在前面已经学过了这一些， 我们第一个我们就要探索三角形的内角和的它的度数，我们看到这里三角形， 对于这里一个三角形呢？我们怎么探讨他的内角和。 我们在前面已经知道三角形的内角和是等于一百八十度的，那么于是我们就怎么想呢？我们想我们在哪里学过有一百八十度的？比如说我们学过了一个平角是一百八十度，所以我们可以把三个角变成一个平角。 当然我们也学了两直线平行，同旁内角互补，也就是在两直线平行的时候，如果他出现了有同旁内角的话，把三个角变成两个角啊，两个同旁内角平行当中的同旁内角。 那么在这个地方呢，你看到我们这书本上的这个三角形 a 比 c， 我 们可以把这个角 a 啊放在这里了，放在角一的位置把它撕下来。你比如说我现在这里有一张这个三角形的纸片，好，我们把这个纸片撕下来，你们看我们放到这里来， 对吧？当这个内侧角相等的时候，这边和这边就平行了，你看我现在这指这边和这边平行，那么这个角 b 就 等于补充了这里有空缺的这个角， 对吧？那么这样的角 a 加角 b 加角 c， 那 就刚好拼成一个平角。好，我们看到这里的图形，我们可以先做角一，等于角 a， 我 们也可以先做这个平行线，都是可以的。 好，有时间我们直接看到我们这里书本上这个证明过程。呃，书本的证明过程呢，是在这里先做 c， e 平行于 a， b 做 c， e 平行于 b， 则这个角 a 等于角一， 角 b 就 等于这里的角二，也就是做 b c 的 延长线啊，那么角 b 等于角二，由于角 a、 c， b 加角一，加角二呢，刚好是一个平角一百八十度， 于是就是角 a 加角 b， 加角 a， c， b 就 等于一百八十度。那么这样我们就可以证出来三角形的三个内角的和等于一百八十度。 当然我们也可以换一种探讨的方法。好，我们看到这里， 比如说我们过点 a 做 p， q 平行于 b、 c， 那 么则这样角啊，过做 p p， q 平行于 b、 c， 两只线平行，则内侧角相等，所以这个角 p a、 b 等于角 b， 角 q， a， c 等于角 c， 所以 原来的角 a、 b、 c。 现在我们有三个字母啊，就是角 b a、 c 加角 b， 加角 c 就 等于角 b a， c 加角 p a， b 加角 q， a， c 就 等于一百八十度，因为它是个平角， 对吧？角 p a、 q， 平角一百八十度，一个平角等于一百八十度。当然呢，我们不同的同学还有很多不同的方法，因为时间的关系，我们这里只说一些主要的方法， 所以在这里我们首先要学会探讨三角形的内角和的一百八十度。当然这里涉及了有一个叫做辅助线，辅助线是为了证明的需要 啊，这里我呢，这里也手插了一部分的我们的一些笔记啊，我们探讨三菱的内角和辅则线，为了证明你需要在原来的图形上填画的线，叫做辅则线，辅则线呢，用虚线来表示， 好，这里我们用虚线啊，就是这中间呢，就是断断续续的，不是连起来了，那么这个 a、 b， 我 们叫做实线，对吧？中间没有控制空的，那么这个呢，叫做虚线，为了证明的需要，在原来的途径上添花的线叫做辅助线啊，为了证明的需要， 好，辅的线，我们要了解，我们用虚线来表示啊，要记住，那么这样呢，我们说三零的内角和呢，等于一百八十度，要把它背下来啊，背下来之后呢，我们看到这个例题，如果角 b 等于三十八度， 角 c 等于六十二度，我们学会跟我一起啊，学会在图上标出来六十、三十、九十，这就是一百度，三年呢，也获得一百八十度，所以这个角 b、 a、 c， 呃，一百度，那就等于八十度，对吧？而 a、 d 是 角 b、 a、 c 的 平分线， 对吧？那么于是这个角 b、 a、 d 等于角 d， a、 c 啊，那就都等于八十度的一半，等于四十度，大家学我一样在图上标出来，所以这个角 a、 d、 b 等于多少呢？一百八十度，也减去这两个角， 对吧？这个四十，这个三十八就七十八，一百八十减七十八等于一百零二度。好，这个角就等于一百零二度。当然呢，我们通过后面我们所讲的三角的和它不相邻，两个内角的和啊，我们在后面所讲到的， 嗯，也是可以的，因为时间的关系，这里我们就不多说， 对于我们要记住两边两角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形呢，这个呢，原来我们老课本把它叫做一个推论，这里写定力，定力其实也是一个推啊，也就是一个啊，通过证明是真命题 啊，这些都要记住啊，还有前两三年的性质，前两三年的对应边向的，对应角向的。那么当然在这里我们也要把这个八个基本事实要把它记清楚。两点，确定掉这些两点之间线的最短， 同一平面内过一点，尤其只有一条直线与已知直线垂直过直线外一点，尤其只有一条直线与已知直线平行同外角相等。两直线平行两边及其夹角分别相等的两个三角缺等。两角及其加边分别相等的两个三角缺等。三边分别相等的两个三角缺等。 红笔呢，就是有的暂时还没学的啊，两条直线被一组平行所截的对应线的乘比利，这个在九年级去学，刚才我们要记住的 a、 a、 s， 还有熟练的掌握前的三年级的对应边形的对应角相同，记得点赞关注哦！

要想成绩好，天天听我讲 半年级数学下册数学小册子的第十五页纸第三题，两个城镇 a、 b 与两条公路 o、 c、 o d 的 位置如图所示，其中 o c 是 东西走向的公路。 好，这里的图在这个 o c 东西左右啊， o d， o c 是 公路， a、 b 是 两个什么呢？两个城镇啊，这个在 o d 的 两边。 好，继续我们看图，现在电信部门需要在点 e 处修一个，这哪来的点 e 呢？修建一个信号发射塔， 要求发射塔到哪里呢？在角 c、 o d 的 内部，并且到城镇的距离相等，到 ab 的 距离相等，并且到公路的距离啊，也相等。那么点 e 应该写在哪里？请在图中用尺规作图，找出符合要求的点 e， 不 写做法，保留痕迹。 好，对于这里呢，我们未来都是这样的，不写做法，保留痕迹。现在对于这个图，刚才说到 ab 的 距离要相等，所以我们现在怎么做呢？我们现在把 ab 可连可不连，其实连起来哈，为了说明方便 啊，我们做 ab 的 垂直平分线。当然呢，题目上也说到角的平行线，我先把角的平行做出来，再来做中垂线啊。 角的边以点 o 为心，以任意长为半径作弧，再分别以这个两个角的 o 为心，以大二分之一两点的长度为半径作弧，对吧？这个加入一点好，现在我们看到过这里这个点，这里他们的加点和这里的这个点 做一条射线啊，这就是角平分线，那就是那个点 e 应该在这条线上。刚才我们说到 a、 b 的 距离相等，所以我们以点 a， 点 b 为圆心，以大于二分之 a、 b 的 长为半径做弧， 关键是这两弧的焦点要找出来中间，你说这个东西要不要做无所谓了，我们只是把这个两个两点确定一条直线 啊，这个是 ab 的 中垂线，好，慢一点画好啊，好了，他们的加点 e。 好， 这个图形它的字母痕迹，但是我的要求呢，还要写个结果点 e 啊，写在这里，既为所求，既为所作都可以，你就简单的写一下就行了。啊。好，我们看到第四题在刚才的做图题啊，有人 有的同学这个连圆规都没有，如果有的家长刷到我，你一定要叫孩子跟着我一起做啊，那你一定成绩，你那个这个又不要钱的，是吧，你那个在外面要听花许多钱，你看，跟着我讲，跟着我听多好。如图，在三角形 abc 中，角 c 九十度， 现在呢，第一步，取个作图作角 a， 什么 a， b， c， 哪讲呢？这角平分线加 a， c 与 d， 保留痕迹，不求做法，标明字母。你看好，那么这个做哪个角？ a， b， c， 那 我们就以点 b 为圆心，以任意长为半径啊，我稍微做短一点 好，那么加这个角的两边为两点，再分别以这两点为半径。好，这里呢？啊，慢一点 好，他现在呢，就加入一点。加到哪里来了？哦，刚才加到这里来了啊，刚才好像这个挡住了，对吧？啊， 加到这里对吧，看，你看见吗？啊，加这里。好，那么过这个地方和这里做一条。哎呦，这里注意问题啊，什么问题？ 就是三角形的角平分线呢，他是一条线段，角平分线是，是做这个角的平分线呢，他应该是射线，可是这又在三角形当中， 所以这又怎么办呢？对吧？本来角平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，可这题目又说做角平分线， 所以我觉得这么处理一下，咱们这地方虚线来表示，这地方实线来表示，那我觉得这个题目还是有点表述不太妥的啊。那么他加 a、 c 于 d 好， 点 d 在 这第一个横截图形写了，不写做法 啊，点 d 即为所求啊，比如说这条怎么的结一如图啊，点 d 即为所求 啊。第二个，在一的条件下，如果 b、 c 等于六， a、 c 等于八， 那么 ab 就 应该等于十，那么这样 ab 等于十，要求 d 到 ab 的 距离。好，这里我们做垂直。注意啊，现在做垂直是负的线啊， 做，比如做 d、 h 设置 a、 b， 那 么这地方你用高固定，你也可以利用那个面积也可以啊。过程呢，我就简单的提一遍，如果我们这个设 d 大 a、 b 的 距离为 x， 而假平方线呢？点大家在里面去建立下来，所以这个点 x， 这个点 x， 这个点六，这个点六，这个点四。呦，我们前面不是刚刚讲了吗？那就是四的平方加 x 的 平方， 嗯，四的平方加 x 平方就得，这个呢是八减 x， 因为这个等于 x， 这整个等于八，等于八减 x， 括号的平方一十六加 x 平方等于六十四减一十六， x 加 x 的 平方一十六， x 等于四十八， x 等于三。 刚才我们前面呢，求的也是三，这里求的也是三，对吧？这里怎么也还是三呢啊，这是一种方法，所以 d 的 a、 b 的 距离等于三，那我们也可以来利用面积， 对吧？如果面积 s 三角形 a、 b、 c 等于二分之 d， a、 c 乘以 b， c 等于二。分之 d 乘以这个什么呢？ b， c 乘以 x， 加上二分之 d 乘以 a， b 乘以 x。 有 这个方法跟前面讲的一样的， 跟这里讲的一样的，也等于三啊，这个也等于三我们就不多说了，记得点赞关注哦！

多做好题，出成绩。八年级数学下册小册子的第六页纸，我们看到第八题，以至于图在四边形 a d b c 中， b c 等于二倍的 b d， 这句话什么意思呢？ b c 等于这个两个乘 b a 平分角 d b c 啊，这两个角相等， ab 等于 c， 哎，这里有个等幺三角形， ab 等于 c 等幺三角形，那我们就有底边上的高，底边的中线， 嗯，那么这里要证明的是，这里是直角，哎，我们说我们能不能得到这里直角，这个或者说都什么东西呢？我们看到如果说我们做 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b c 于 h， 呃，因为 a b 等于 a c， 对 吧？所以这个 b h 等于 c h， 那 就等于二分之一 b c 了。 当然了，你要是做中线，做中线可以得到垂直，做垂直可以得到中线， 当然您做这个角平分线其实也是可以的，为什么呢？因为等腰三角形，底边的中线，底边的高线，顶角的平分线呢？是同一条线段是互相重合的啊。当然你就看您这做哪个你证明比较好。写好， bh 等于 c h， 那么刚在这里我们来看到这个因为什么？因为这个 bc 等于两倍的 bd， 那 么它也等于两倍的 bh， 两倍的 bd 为 h， 所以 这个 bd 就 应该等于 bh， 对吧？就说 bc， 以这条结论说 bc 的 bd 的 两倍，我们刚才 bh 的 c h 的 二分的 bc 就是 bc 的 两倍的 bh 的 意思好要因为 b a 平分角，呃，叫什么角 dbc， 所以 角 dba 等于角 hba， 那我们看到在三角形 dba 与三角形 hba 中， 那我们就有这个 bd 等于 bh， 刚才正了角 dba 等于角 hba 刚才与这里面角平行，然后这个 b、 a 是 公共 b a， b， a 等于 b a， 所以三角形 b， d， a 全等于三角形 b， h， a 好， 这里理由叫走 s a， s 边角边好，那么所以有了角 b， d， a 就 等于角 b， h， a 就 等于九十度， 好，九十度就是垂直的意思，所以 a、 d 垂直于 b、 d 好， 这样我们就正完了。那么在这地方呢，我们要证明这两个三角形呢？这个地方跟这地方角都是直角，就意味着垂直好，合理利用三线合一的内容。 好，下面我们看到第九题，在这如图，在三个 a、 b， c 中，角 a， b， c 等于四十五度，好，这个角是四十五度，然后呢？ cd 垂直。呦，垂直到这角不也是四十五度了吗？ 嗯，这角不也是四十五度啊。那么我们再来看到 d 等于 ad， d 在 哪里？ d 在 这里等于 ad b 的 这，哎，这是直角，我们看到 a、 d， c 和 b， d， e 好， 这个过程我都不写了。在三角形 b、 d、 e 和三角形 c， d， a 中， b， d 等于 c， d 哪来的 b， d 等于 c， d 呢？因为这个 c、 d 垂直 ab 啊，并且这个角 abc 是 等腰直角三角形，所以 b、 d 等于 c、 d， 对吧？这里直角那是车的油，那么这个 d， e 等于 d， a， 所以 三角形 b、 d、 e 且等于三角形 c， d， a。 这里的理由是 s a， s 啊，这个比较简单，我都不写那么多了，没有数的时间写了啊。 好，第二个呢，若 ab 等于 bc， 如果 ab 等于 bc 的 话，那么这个 abac 就 成了等幺三角形，对吧？就成了等幺三角，等幺三角形。那我们看到这里 等幺三角形之后呢？那我们能够得到什么呢？你看题目求证的是什么？求证 b 等于两倍的 c、 f 啊。求证 b 等于两倍的 c、 f、 b、 e 等于两倍的 c、 f。 在 那里，刚才我们证明这个三角形 b、 d、 e 与三角 c、 d、 a 两个三圈等的时候啊，那就有了一个叫做 b、 e、 d、 c、 a 了 啊，有个 b e、 d、 c、 a 好 b、 e、 d、 c、 a。 要求成 b、 e、 d。 两倍的 c、 f 就 求成 c， a 等于两倍的 c、 f 要求成 c， a 等于两倍的 c、 f。 哎，那 f 如果是中点就好了啊， f 至终点呢？我们刚才是 b、 a 的，是 b、 c 的 时候，如果我们要能够得到，得到什么呢？得到这个， 哎，得到这个 b、 f 是 角平分线，等幺三角形顶角的平分线，也是底边的高线，也是底边的中线就可以了， 那我们哪里能得到角平分线呢？我们再来看啊， b、 d、 c。 刚才这说明是等腰直角三角形， 那么等腰直角三角形之后，我们刚才证明的 b、 d、 e。 等于 c、 d、 a。 这个角四十五度，那我们就可以得到角 a。 等于角 b、 c、 a 等于多少呢？一百八十减四十五除以二，六十七点五度， 对吧？角 a 等于这角六十七点五，六十七点五度，那我们就可以得到这个四十五的这个角叫做角 a、 c、 d、 e 呢？是等于刚才这个角 d、 b、 e 的 等于角 d、 b、 e 的， 那就应该等于六十七点五减四十五，二十二点五度，那么这个角二十二点五度，这个角也是二十二点五度，所以这个角 c、 b、 e。 对，就等于角 a、 b、 e 也是等于二十二点五度，所以我们就可得到的 b、 f 平分角 abc 好， 由于时间的关系啊，这过程没有写清楚啊。 b f 平分角 abc 好， 等腰三角形 ba 等于 bc， 顶角的平分线也是底边的中线，所以 c a 等于 c f 的 两倍。由于第一个证明 b e 等于 c a， 所以 b e 等于 c f 的 两倍。好，自己把这过程把它理。记得点赞关注哦。

免费带你预习课本，你不看真可惜了， 八年级数学下册的课本啊，如果你们家有孩子读八年级，或者现在读八年级以下的年级，其实也是可以保存的，以后我还会一直坚持讲下去。其实跟着我这里一起学啊，这个你基本上这个成绩都有个差不多了。 好，我们下册第课本四学之第五讲的第一张，第五讲的角平分线， 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这是咱们曾经知道的，这里就简单的提一遍， 就是如果知道一个角的平分线啊，这个角一等于角二，那么角平分线的一点呢？到角的两边这个距离，我们说是相等的， 为什么相等的呢？您看呢？这里是直角，因为距离嘛，直角，由于角一等于角二，这是公共边， 对吧？所以根据 a a s a a s 两个三角形全等，全等三角形呢，对应边相等，所以这个 p d 等于 p e 啊，这个就比较简单了，我们就不多说了，把它背下来，角平分线上的点到这个角的两边的距离啊，是处处都相等的。哎呀，这里所说处处相等的意思就是你随便 p 在 哪里，比如你 p 到这里，对吧，你这个距离也就等于这个距离， 对吧？你 p 在 不同的地方，当然呢，这个距离的长短也就不一样，但是呢，不管你 p 在 哪里，到两边的距离啊，都永远是一样的啊。这个把这个背下来， 那么我们在前面讲了互逆命题互逆定律，那我们看到这里的这个定律啊，呃，他应该怎么理解呢？他说如果有一个点在角平分线上，那么这个点到角的两边距离相等，反过来 如果有一个点到角的两边距离相等的话，那么这个点在不在角平分线上呢？我们说这也是正确的， 我们说到角的两边，如果有个点到角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上，我们书本上加了一个在一个角的内部，实际上在以前的课本上是没有这句话的 啊，我以前在教书的时候，课本上没有这句话，这是后来加的，其实我觉得不要这句话也是可以的。那角的话不对，大角的两边距离相等，不也在角平行线上吗？好，我们来看图来跟大家说明。好，我们看到这里啊， 如果说有个点大角的两边距离相等，所谓距离，那一定是有垂直的，对吧？有垂直，如果这两个距离相等，然后这只公共边， 那么这就说两个直角三角形 o p d 与 o p e， 那 么根据斜边直角边两个三角就确定两个三角，确定角一不就等于角二了吗？对吧？当角一等于角二的时候， 不就是说这个 o p 是 角 a o b 的 平行线吗？对吧？啊，所以书本上的证明的过程我就不大念了。那么刚才我说啊，这里有个在角的内部的这句话，实际上我们来看了什么为的角，我们课本上所说的角啊，指的是小儿平角的角， 那如何来看我们这个 u 角呢？哎，这个角我们把它叫做 u 角，对吧？当然我们课本上没有啊，我们说这个 u 角，哎，他的那个，比如说这里有一个点到这边的距离， 等于到这边的距离，就是到他两边两个角的两边的反向延长线的距离相等， 那么这一点，那么也就在这样的一个角平分线上。好，这里不多说了吧，大家自己理解一下，因为我们现在主要是讲了我们这个角呢，只是小日平角的角来讲的啊。 我们看到下面的在三角形 a b c 中角 a， b c 是 等于六十度， 哪里呢？哦， b c 这角角 b c 等于六十度，呃， ad 等于十，这里是垂直的，这里是垂直的，现在 d e， d f， 我 们说这个 d e， d f 啊，呃，那么就这到这个角的两边距离相等的点，那么就说明这个在这个角的平分线上， 刚才这两个角都是合起来六十度，所以现在每个角等于三十度。三十角所对的 b a 呢？斜边的一半， a d 等于十，这边等于五 啊，所以这个 d， e 的 d、 f 等于五，在直角三角所对的 b， a 呢？等于斜边的一半啊，这些也背下了啊，上面有例子我就不多说了，我们看到第 下面这题说某一个工地到 a 区啊，某工地在 a 区，大公路铁路的距离相等，哎，就是到这里这里的距离相等这个 a 区啊， 那么这样呢，就应该在这个这个地方在哪里呢？叫我们突然标出它的位置。 刚才说什么到公路的距离，铁路的距离下面，就是到这两条线的距离下面，那实际上就在他的这个角平分线上，所以我们可以以点 o 人心以任意场为半径作弧， 好，再分别以这两个点 o 人心以大于二分之一两点的长度为半径作弧， 好过这个点和这里的这个点，我们做出这个角平分线，好，那么这样呢？ a 区就应该在这条直线上设线上，现在说到公路铁路交叉处，这个地方的距离相等， 那么这个位置在哪里？这个距离相等的话，那么我们说这个 什么到公路铁路交道距，距离是五百哦，五百就是这个距离是五百五百米，那么现在我们根据比例是一比 二赫米，一二三四四个零，别抄错了，好，图上的距离比十距，但图上的距离呢？我们说这个距离为 x 米吗？这里是米，那我们这里没办法画米啊，那设这个 o a 等于 x 厘米，对吧？那么 x 厘米，这就五百米，那就是再补两个零分米厘米，哎，这就是去掉四个零，二 x 等于五， x 等于二点五，那这个时候我们就得要拿尺了， 对吧？二点五。但这题也没说叫我们非是取怪作图，但是我们能取怪作图，我们取怪作图，所以这个 a 区就应该在这个位置， 对吧？啊，这个位置，所以点 a 既为所求，但题目只是说在这个某工地，在 a 区啊， a 区的，比如说我们换个字母 p 吧， 点 p 即为某工地位置，对吧？在 a a， a 区只是一个范围啊，整个这个范围，对吧？记得点赞关注哦！

想要好成绩，就坚持 听我讲八年级数学下册的这个数学小册的第十四页纸。我们看到第一题，在三角形 a、 b、 c 中， ad 平分角 b， a、 c。 好，这是角平分线。做个记号，角平分线上的点，大家的两边距离相等。呃，题目已经有了 d、 e 测出 ab， 那 么很显然 d、 e 是 等于 df 的 角平分线上的点，大家的两边距离相等，所以咱们做 df 测出 ac。 现在如果三角形 a、 c、 d 的 面积是一十六， ac 等于八。好，那我们根据 s， 三角形 a、 c、 d， a、 c、 d 等于二分之一乘以 a， c 乘以 d， f 等于面积多少等于一十六，那二分之一乘以八，乘以 d， f 等于一十六，那二分之八就四四， d， f 等于四， d、 f 等于四，那 d、 e 就 等于四。那么这样第一题，那我们就选择 c。 我们刚才说角平分线上的点到角的两边距离相等，要牢牢的用上这个。我们看到第二题，在三题 a、 b、 c 中， a、 c 等于 b， c 等于五。看看 a、 c 在 这五， b、 c 在 这是五， a、 b 等于六。好，这是等幺三角形。嗯，现在这里告诉了 c、 d 乘以 a、 b 等幺啊，这两个是幺啊，等幺三零。这个是底边，底边上的高线，这里有，这只就是底边上的中线，也是顶角的平行线。 嗯，这两角相等，这里已知说了垂直，那也就说这个 d 是 a、 b 的 中点。现在 a、 b 等于六，那就是 a、 d 和 b、 d 都等于三， a、 d， b、 d 等于三，所以 c、 d 那 就应该等于四啊， c、 d 就 等于四。勾三，不是先五， 现在说角， abc 的 平分线加 c 的 如 e。 好， 这又来了角平分线，这角平分线上的点 e 到这个角的两边距离下来，所以 e、 d 就 应该等好，我们这里作垂直。好，我们也写个 f， e， d 就是 e f， 题目要求这个 e， d 是 多少？好，我们说 e， d 是 x， 则 e， f 就是 x， 那么 e f 这 x， 那 我们看到这个 b d e 和 b f b f e 这两个算清呢？我们说是全等的 啊，为什么？因为这个直角，这直角，这两个角相等，公共 b a， 对 吧？两个算清呢？来，也就是这个 e， d 等于 e， f 等于 x， 那 么 b， d 等于三， b， f 等于三，那我们这样呢？ f， c 就 等于二， 那么刚才我们说 d， c 等于四，这是 x， 这个 e， c 就是 四，减去 x。 好， 现在我们就可以得到 a， 这这家边的边，根据勾的 x 的 平方加上这个是二的平方，等于这个长的平方。四减 x， 括号的平方。 好，怎么算好了？ x 平方加四等于一十六减二十的八， x 加 x 平方，两边的 x 平方去掉了。八 x 移到左边来，负八 x 到左边，正四移到右边来。一十六减四就是一十二， 八 x 等于一十二 x 用四四二等于四三，也就是 d 等于一点五啊， d 也就等于二分之三等于一点五。 好，我们看到第三题， b p 是 角 a， b， c 的 平分线， b p 角平分线上的点大小的两边距离相等，就是 d， e 的 d， f 这里已经有确定， d， e 确定啊， d， f 确定，已经有了。 哎，这两个是相等的，现在题目又要告诉了什么呢？ dm 等于 dm， 有 这两个直角三角形，看清楚啊，斜边相等，呃，直角边相等。那么另外呢，就是 m e 就 等于 f n 了， f n 等于二， m， e 也得等于二，而且这个 b， n 等于六的话， b、 f 就 得等于四， b， f 等于四， b， e 等于四， b， e 等于四， b， m 等于四加那么 b， d， e、 b、 d、 f 两个三角是相等的。我们看到 第四题 b、 d， e、 b、 d、 f 两个三角是等的，我们看到第四题 b、 d， e， b， d、 f 两个三角形 b、 d 是 角，角平分线上的点到角的两边距离有，这没有垂直的 a、 b 的 c、 b。 好 a、 b 的 c， b， a、 b 的 c、 b。 角 a、 b、 d 的 角 c、 b、 d 是 光棍边好，那么这样我们得到三角形 a、 b、 d 就 全等于三角形 c、 b、 d 啊，有时间过着我们写啊。 a、 b 的 c、 b 是已知的，这角平分线说明这个角 a、 b、 d 等于角 c、 b、 d 的 公比。两三角相等的是 s， a、 s， 我 们就得到这两个角相的哪两个呢？就是角 m， d， p 等于角 m、 d， p， 哎呀，就这两个角就是角 a、 d， b 等于角 c、 d、 b 的 意思 哎，这个 p 到 a、 d、 b 的 距离 p， n。 因为这里有差值 p， m 差值 a、 d， 所以角平分线上的点啊。把这垂直抄一遍，所以这个 pm 就 等于 pm 啊，垂直抄一遍，因为这垂直，所以 pm 等于 pm。 因为时间关系，有的我就没有写完了啊。先证明这两个三相等 啊，我们得到这两个角相等，然后把这个角平分线上的点，大家的里面这个垂直的抄一遍，就是距离，所以这距离相等。记得点赞关注哦！