中职数学余弦函数的图像和性质教案

好，上课老师好，好，同学们好，请坐。 呃，上一节课呢，我们学习了正弦函数的图像与性质，那么这节课呢，我们将继续来学习余弦函数的图像与性质。 好，那么首先我们来看一下第一个余弦函数的图像， 在讲余弦函数图像之前呢，大家来回顾一下，正弦函数图像我们是如何来画的呢？我们正弦函数图像利用什么方法来画的呢？好，在这里呢，我们有第一个方法， 方法一，什么方法？列表表演连线。哎，我们可以利用列表描点 连线，可以画出这个图像，那么同样呢，能不能利用这种方法来画出鱼线函数图像？ 大家应该知道余弦函数和正弦一样，它的周期都是多少？二，二派，所以我们在列表的时候也是的取一个周期，取零到二派，这个范围内，我们取一系列值，然后列表从零，六分派，三分派，二分派一直到二派，我们列出这样一个表， 列出这个表过以后，我们秒点八拼八表中的数据，在平面直角坐标系中秒点，然后用光滑的曲线把它们连起来，我们就可以得到 y 等于 cos i x 在 零到二 pi 范围的图像。那么我们得到这个图像过以后，怎样得到在整个定域范围的图像呢？ 你那今天干嘛了？平移，那我在平移的时候，大家一定要注意一下，我们得到了这个图像以后，只需要在 零到二 part 图像向左或向右进行平移，每次平移二 part 单位长度，我们就可以得到函数 y 等于 cosine x 在 整个定义范围的图像。我们把这个图像呢称作是鱼弦曲线，鱼弦曲线，好，这是我们 y 等于 cos x 图像。那我想问一下大家，除了利用列表描点连线以外，我们还可以用其他的方法画图和图像吗？ 还可以用什么方法？五点，五点，五点，五点，大家看一下三 a 是 不是用五点法画图啊？当我们知道 y 等于三 s 图像的走势以后，我们在 列表的时候，是不是这个点就可以少取一些？那么同样大家看一下， y 除以 cos x 图像，得到这个图像过以后，我们在画图的时候是不是也可以少取一些点，看看哪些点起着关键作用。所以接下来我们对比正弦的画法，我们有个方法， 光法，五点法，五点法。那么大家告诉我， y 等于 cos x 五点和 y 等于 cos x 五点还是相同的五点啊，那么它的五个点是哪些呢？ 好，大家看一下，在这里呢，我们给出零到二派这样的那个图像，根据这个图像，你能看出哪几个点起着关键的一个作用呢？好，我找朋友来说一下啊，这位同学， 零零一好，第一个零一二分之派耶， 零派负一派也，负以二分之三派，零二分之三派也，零二派一二派也 一，对不对，很好，请坐。那么从这个图中我们会发现，这五点在我们画图中起着关键的一个作用，那么从这里我们会发现，这五个点应该说它也是的不适合 x 图的， 怎么了？焦点就是最高点或最低点，所以在这里呢，我们大家看一下，零一 二分之判零判负，一二分之三判，零二判一。这五个点起着关键的作用，他们分别表示了余弦曲线与 x 作交点， 其中二派二分派零，二分三派零。另外一个是取得最大值的点零一和二派一零一，二派一是取得最大值的点， 取得最小值的点派负一。那么这五个点在我们画图中起着关键的作用，我们把这种方法称为是五点法画出。那么除此之外，还有没有其他的方法画出函数图像呢？ 大家思考一下，你有没有发现余弦函数图像和正弦函数图像很相似，对不对？那么这两个函数图像之间有没有什么关系呢？有没有？有好，这位同学来看一下。那么能不能利用我们上节课学习的正弦函数图像画出余弦函数图像呢？ 啊，你为什么要往左平移呢？你的依据是什么？ 好，他说我还有一个方法，方法三，方法三说，他根据诱导公式，靠三 x 等于什么？ 三 x 加上二分之 pi， 那 么根据右导公式， cos x 等于 cos 加二分之 pi， 所以 我们只需要把 cos 图像向左平移， 对不对？很好，请坐。哎，很好，那么在这里大家看一下，我们只需要把 cos 图像整体往左移二分之 pi 单位，就得到 cos x 图像。 好，这是我们讲的第三种方法，第三种方法有一个导公式， cos x 等于 cos x 加二分之 pi， 所以 我们只需要把 cos x 图像向左平移二分之八的单位长度，我们就会得到 cos x 图像。 在这给大家看一下，我们这个蓝色的曲线是正弦的，我们这个红色的曲线是鱼弦的，我们会发现这两个图像应该说它的形状是一样的，就是什么不同，位置不同，哎，就把这个图像整体往左移，哎，往左移， 好，这是我们鱼弦函数的这样一个图像，那么图像讲完以后，大家来思考一下这样的问题，鱼弦函数图像中的五个关键点有什么相同点？不同， 大家来思考一下，相同点是什么？红色标。那么有没有话从图像上看他们相同点呢？你会发现这五个点不是和， 哎，怎么说了，不是什么点，最高点就是最低点，要么就是和 x 轴的交点，哎，在这里呢，我们会发现他的相同点都是最直时的点和 x 轴的交点，那不同点就是我们刚刚同学说的他是什么？思考 坐标，哎，点的坐标不同，好，这是我们余函数图像中五个关键点与他的。接下来思考二， 那么再换遇见函数图像的时候，我们给大家介绍了三种方法，我想让大家比较一下这三种方法，你觉得这三种方法各有什么样的优点和缺点呢？ 来思考一下，来，同学之间可以思考一下，你觉得这三种方法是不是优缺点？嗯， 我们在画图的时候，三张画都可以用，可以参考一下他们各自的优点和缺点是什么呢？好，这位同学，方法一，方法一的优点是， 哎，对不对？大家有没有方法？因为发发现我们方法用那个表，那个点学的比较怎么样？多，那也就是说点一旦学的比较多，说明我这个图画的就比较准确，但是他的 缺点就是，哎，对，很好，说明他的优点是画出来图形比较精准，但是他缺点就是处理起来比较麻烦。那么第二个方法呢？剪辑方面，哎，第二个啊，他的剪辑方法，但是我们只能画出他的一个什么图，草图，哎，草图，第三个呢？ 第三个是能可以看出他有正言含蓄的啊，很好，请坐，我们鼓励一下，他说的非常好， 那么应该说他说的，你看方法一更精准，方法二更便捷， 方法三，可以将正弦函数和余弦函数的图像结合在一起来记忆，看看这两个函数之间有什么相同点和不同点，相同点好，这是关于正弦函数的图像。这样一个画法 在我们这里呢，课本上也有，在这里大家客户可以把这三种方法放在一起来比较一下，比较一下，好，接下来我们看一下我们课本上的例四，我们共同来看一下课本上的例四，例四， 那么大家画出函数 y 等于 cos i x 减派在一个周期上， 那么在这里呢，我想让大家用五点法，你能不能利用五点法来画下来，那么我们如果选择的是五点法来画，大家应该知道我们是不是首先把这五个点找到，那么怎么找五点呢？通过什么来找？ 是不是列表，是不是列个表？通过列表我们来找出这个函数的五个点，大家告诉我，我们这个函数的五个点，在列表的时候，我们有一个思想，就是有一个整体思想， 我们应该把谁呢？ x 派当做是一个什么来整体， 好，在我们列表的时候，找这五个关键点的时候，大家看一下我列的这个表，那第一行是 x 减派的取值，把 x 减派当做一个整体，分别取零二分之派派、二分之三派、二派， 那么当 x 减派的取值一旦确定过以后，我们的第二行是，我们的第二行是 x 的 取值，我们的第二行是 x 的 取值。大家看一下 x 减 pi 如果等于零的话， x 应该等于几 pi？ x 减 pi 如果等于二分之 pi， x 应该等于二分之三 pi， 同样 x 减 pi 如果等于二 pi 的 话， x 应该等于三 pi。 接下来第三行是 y 的 取值， y 等于 cosine x 减 pi 的 取值， 那么第三行的取值，我们可以把第几行的整数给带一一。哎，有没有发现两行都可以，但是哪一行要简单一点，第一行我们把 x 减，它整体是零拷三，零是几？ 一拷三，二分之二是零。好，这样的话我们就会得到这样一个表，那么从这个表中大家能不能看出五点已经出来了？好，告诉我五点是哪五点？ 大家告诉我们这五点是哪五点呢？嗨，好，我找朋友来回答一下。好， 怕一二分之三怕零，二怕负一 二十五块零二分之五块零三怕一三怕一，对不对？对，很好，请坐。那我们在找五点的时候，他一定要注意能不能看这一行，不能，因为我们的五点应该对应的是 x 和 y， 所以 我会看 第二行和第三行。好，这样的话我们就会得到这五个点，那么五个点得到过以后，我们把五个点用描点，然后用光滑的曲线连一下，这样的话我们就会得到 y 等于 cos x 点派在一个周期内的图像。好，这样的话我就会得到他在派到三派的一个周期的图像。 那么根据我们刚刚的分析，大家有没有发现我们这道题的处理思路，我利用是无连法画图啊，那么你能不能用方法三来做一下，用图像的变化来做呢？ 可不可以利用图像变化来做呢？可以，怎么可以呢？我们看一下这道题，还有一种方法可以通过图像变化。怎么变化？ 大家没发现拷拷 x 减怕一个，我们首先利用这个公式，是不是可以给他处理一下？好，告诉我拷拷 x 减怕是多少。 cos x 减怕应该等于负数的 cos x， 所以 它这个图像我们可以根据 cos x 图像来进行处理，只需要把 cos x 图像怎么办？关于关于 x 图干嘛对称吧，哎，关于 x 图对称。好，这是这个，哎，这是这个，也就是说我们在处理的时候，也可以把 y 等于 cosi 的 图像沿着 x 轴对称，得到我们这道图像。好，接下来呢，给大家一个思考交流， 让大家画出下列函数在零到二 pi 上的图像。好，下面给大家时间快速的画出这两个函数的在零到二 pi 图像到底是哪一面？好， 换一下。 好，我看一下，应该说大部分同学都都画好了。好，如果画好同学，大家可以看一下， 把你画的图像和我们黑板上图像我们来对比一下。那我刚刚在巡视的时候发现，有时候在画这个图像，它就是一个抛物线， 他就是一条线，他没有这个弧度，在这一块我们是上铺，这一块是下铺，看见了没？所以我们应该画出这样一个弧度，画出一个弧度，同样的这个也是的，哎，这个也是一个，要有弧度。第二，不要画成直线了，哎，不要画直线。那么从这两个图像中，我发现在画的时候也是的，好多朋友基本上都是用的啊， 两种方法，一个就是五点法画，第二就得用图像。大家同学有没有发现，我们这个图像在在变的时候，他其实把 cosine 图像怎么样变向上，从它的图像往上移，几个单位，两个单位。那这个图像呢？ 这把 posix 的 图像后坐标怎么变了？没变，把它正坐标变为原来的三倍，哎，后坐标不变，正坐标变为原来的三倍。 好，这是我们课本上的四方标语，四方标语，那么这样的话，我们把余弦函数的图像如何来画，我们就教给大家。那么既然知道了图像，那么接下来我们就要利用图像来看一下余弦函数具有哪些性质好，这是我们这节课的第二个知识点，余弦函数的性质 好做对比，正弦函数性质再认识的学习方式。下面呢，我给出余弦函数图像，那么你能根据这个图像总结出余弦函数具有哪些主要的性质吗？ 正弦函数我们已经学过了，所以这一块的知识总结呢，应该说对我们来说还是比较简单的，在这里呢，我找同学来回答一下。好，这位同学， 你根据图像，你觉得余弦函数它具有谁性？定域好，第一个定域， 定域是负一到一。好，第二个直域 负一到一。同样的值域，我们什么时候取得最大值，什么时候取得最小值呢？呃，在二 k pi， 二 k pi 减 pi 时取得的是 最小值。二 pi pi 减 pi 减 pi 的 时候，我们取得最小值，也就是说 x 等于 二派 pi 减 pi， 其中派除以 z， 这时候 y 也会取到它的最小值，最小值是 负一，对不对？好，什么时候取到最大值 x 等于二派值，取到了最大值 x 等于二派派值。派除以 z， 此时 y 也会取到它的最大值。最大值是一，最大值是一，那么这个位置有的人说二派减派， 我说二派派加派，可不可以也是可以的哈，那也是可以的。好，这是它的值域，以及什么时候取得最大值和最小值。那么还有哪些性质呢？呃，周期是二派好。第三个周期性 周期性周期是多少？二派，那么大家应该知道二派应该是它的最小正周期。二派还有呢？ 呃，还有，在二 k pi 减派到二 k pi 时是单调低增。好，第四个英文是它的单调品 好，告诉我在哪上增，在哪上减呢？在二 k pi 减派到二 k pi 时是单调低增。在二 k pi 减派到 二派派是派与 z。 我 们从这里大家看一下二派派减派到二派派这个位置是单调递增是它的递增区间。那从你这个选择的时候，我发现你是想选择哪一个周期来研究呢？ 哎，你看，你不是选二派派减派到零吗？那你选的周期应该是负派到派。哎，这个区间可不可以？可以哎，可以的哈，我们选的是负派到派。 好，那么这个你要选这个周期的话，我们看负派到零的时候是递增，那就二派派减派到二派派是递增。那在哪行递减呢？ 二派派，二派派，二派派到二派派加派，二派派加派就等于 z， 它的 d 减区间， d 减区间。所以有时候我这个周期我没选的是负派到派这个范围，有时候我选择的是 零到谁？二派可不可以啊？可不可以？哎，你选择零的二派也可以，那我们一般讲话的处理思路都是什么呢？选择一个周期，那把这个周期那个性质我们 弄清楚以后，再加上周期的总和位，哎，就会走到在整个地域范围的。性质好，这是他的单，另，还有什么性质？救星好，第五个救星 记性。什么函数？偶函数，偶函数，如何判断它是偶函数呢？ uh cosine， uh cosine for x 等于 cosine 啊，利用 cosine 负 x 等于 cosine x， 我 觉得我们首先要看看来， 哎，对了，我们首先要看什么了？定域，大家看定域是谁？二，关于原点对称，然后又包又满足， cos 负 x 等于 cos 也 x， 所以 它怎么函数 o 还可以怎么样处理？ 包括图像，可不可以啊？可以可以。好，请坐。那么在这里呢，我们也可以通过图像来观察，我们会发现这个图像是关于 y 轴对称，所以它是 数学。哎，数学好，这是五个性质，在我们课本上呢，已经给大家罗列了，大家可以看一下我们课本上给大家的五大性质看五大性质， 课后把这五个性质叫去熟，那么这五个性质结束过以后，接下来给大家一个思考题，看一下 我们探索余弦函数图像的对称性，同样，大家来回想一下，正弦函数有没有对称性？ 有，哎，有，他不仅有他，还他还有什么对称值？他还有对称，对称性，那我们来看一下余弦函数有没有对称性有，好，接下来我们第六个，我们来看一下它有没有对称性呢？ 好，我们之间可以讨论一下，待会我找出来给大家，如果他有的话，他是关于什么对称 看一下啊， 考虑好了吗？好，好，这位同学，首先他有没有对称性好，他是有对称性，他是轴对称还是中非对称呢？既是轴 对称，又是中非对称，那你告诉我对称度是多少？ x 等于开叉。 好，从这里我们看一下这个图像，我把这个图像给大家展示了。好，对称轴是多少？ x 乘以太快， x 乘以太快， 写成太数 y， 大家看他写对不对？对， x 等于零，是不是对称轴是 x 等于 pi 呢？对，对， x 等于负 pi 呢？对，我们会发现相邻的 对称轴间隔 pi， 所以 我们是 s 轴以内 pi， 好， 这是我的对称轴。那么有没有对称中心？对称中心多少 pi？ pi 加二分之 pi 好， 对称中心是 pi， pi 加二分之 pi 零对称的对不对？对，好，很好，请坐。那么对称中心我们大家应该也能看，二分之 pi 零， 二分之三派零，是不是都是我的对称点？同样相邻的对称中心也是间隔 high， 所以 我们加上 high， 哎，加上 high， 好， 这是它的对称性。哎，对称性，那我们既然学习了 余弦函数的图像也性质以后，希望大家客户呢，可以把余弦函数的图像和正弦函数的图像放在一起来对比来记一下。那么在这个表格中，我们看下左边这一块是 y 等于三 x 的 图像以及它的性质， 右边这一块是 y 等于 cos x 图像性质。在这个表格中呢，我们把它呢对应一个性质做了一个对比，希望大家课后的时候呢，一定要把它们的性质做一个比较，你发现一下它们哪些性质是一样的， 哪些性质是不一样的，哪些性质是不一样的？这样的话，我们会对这两盘会有个更加深刻的一个认识，和那深刻的认识。好，这是关于一些函数的这样一个图像，接下来呢，我们课本上还有一个例题，我们来看一下。例题 好，看一下，我们课本上还有个例题， 例题例五是让大家画出函数 y 等于 cos i x 减一在一个周期上的图像，并根据图像来讨论一下这个函数的主要哪片性质。那么这个性质的讨论呢，就按照我们黑板上 六大性质，你看看我们这个例五这个函数它的性质是什么样的。好，接下来我找同学上黑板上来把我们这道题来反演一下，反演一下， 好，反演一下，看看我们这道题怎样来处理。首先大家看一下我们这块 图像怎样来画，然后你根据图像，根据我们刚刚那道例题的讲解，根据这个图像，你看看这个函数具有哪些性质。 画好之后你可以看一下，我们直接可以看一下你们图像画的对不对，以及你们总结的性质。 大家在总结性质的时候，就按照我们黑板上第一个地域时域周期单调性、基础性性质写一下，写完这些性质以后，和我们 y 等于 cos i x 的 性质放在一起对比一下，你看一下哪些性质发生了变化，哪些性质没变。 其他同学如果画好的话，可以看一下这两个同学画的对不对。 好，我们来看一下这位同学处理的对不对， 那么这位同学利用的是五点法来，五点法来画图，首先 x 零二分之 pi， pi 二分之三 pi 二 pi 抛三， x 是 一零负一零一 y 等于抛三， x 减一是零负一负二负一零，这样的话我们会得到五点，应该说他这个表呢是列的是对的，得到五点，五点过以后，然后我们把这五个点呢给他 瞄脸，然后连线，从这里我们能发现他把这个图拿出来，要说这个图画的东西来说还是正确的，蛮正确的。那么具体的这样一个图形，大家可以看一下我们黑板，你可以把你的图看一下零到二，画一下图像。那么同样呢，在底下同学在画图的时候也有一种用另外一种方法， 我们这个图中大家应该能看出来，我们 y 等于 cos x 减一的图像是可以干嘛呢？是把 y 等于 cos x 整体往哪移下？哎，往下平移一个单位， 那么在利用这个平移的变化过程中，我们可以直接把这个图像画出来，图像画好过以后，我们看一下它具有哪些性质。首先定域，大家看一下定域变没变，没有没变定域，是啊，直域 变了，这就是算到零，哎，算到零。那么什么时候取到最大值，什么时候取到最小值的？ x 的 取值有没有变？没有没变哎，这个是没变的 哦，单调性，单调性，大家有没有发现我们这个图像只是出现了一个上下平移单调区间，有没有变？没变哦，他说的是在二块派减派到二块派是一增，在二块派到二块派加派是递减，这个应该也是正确的，正确的既有性，偶函数 既有性可变了，没有变，这个图像经过平移过以后，它还是关于否函数对称性对不对，大家看一下 对称性对不对？对称轴是 x 等于 kpi， 对 称中心是 kpi 加二分之 pi， 负一对不对？对好，这个位置处理也是对的， 那么我就怕他说的哪个位置出现错了，负一这个位置大家应该知道，我们的对称中心整体往下移一个单位，所以他送目标应该是负一。这位同学做的应该说还是非常不错的，很不错的 啊，这是我们课本上的一个例题，那么课本后面呢，在这里呢，我们把这个性质呢给大家罗列了一下，在这里呢，我们有一个思考交流，大家来看一下，也是我们课本上的一个思考交流， 说让你借助一下 y 等于 cos x 图像，求满足 cos x 大 于等于二分之一 x 的 水的范围， 那么在这里呢，我们把这个不等式我们称为是三角不等式。 cos x 大 于等于二分之一，让大家利用图像来把这个三角不等式给解了，看看这个不等式的解集是多少？ 好，大家来思考一下，根据这个图像，这个不等式的解集是多少呢？我们怎样来解呢？ 怎么样来做作业？ 大家有没有发现，我们在解这个不懂事的时候，幺三 x 是 大于等于 r b， 那我们在处理的时候，我们画一条线 y 怎么样？等于二分之一，我们画一条线 y 等于二分之一，在这个位置我们画一条线 y 等于二分之一，那么大约等于二分之一，应该是这个直线哪方上方？那你觉得在解这个不懂事的解，这个时候我选哪个周期比较好呢？ 负派到派，哎，有同学发现了，我可以选择周期是负派到派，大家看从负派到派这个范围内，在 y 等于二分之一这条直线的上方，是不是就是从这块到这块，大家看左端点是谁 负三十派，右端点是谁三十派。那这样的话我就会发现，在一个周期内，在哪个周期内， 我们就会发现在一个周期内负派到发派范围满足。这个不懂事的解析应该是从哪 负三分之派到多少三分之派。那么大家看一下我这一个周期内的性质处理好以后，那我怎样扩展到整个地域范围呢？再加上二派，所以大家在解决这个三角不懂事的时候，希望大家一定要选择一个 合适的一个区间，把这个周期上的性质我们给他处理掉，从而我们得到它在一定的性质。 好，这样的话我们就会得到这个不等式解集是负三分之派加二派派到三分之派加二派派，其中看属于 z 来看属于 z。 好， 这是我们课本上的这样一个思考题，思考题， 这样的话我们这节课呢就给大家讲这么多，这节课我们就上完了，大家回顾一下我这节课主要学习的哪些内容， 嗯，给大家看一下来。那么通过我们这节课的学习，我们会发现，首先我们是学习了一些函数的图像， 那么这个图像我们给大家介绍了几种方法来画三种，第一种方法是列哎，列表表点显。第二种方法我们利用的是图点法，哎，大家一定要把这个图像的画法和三元的图像画法要放在一起来比较， 那么接下来还有第三种方法，就是因为我们发现抛三元图像和三元图像是不是有相似之处啊，所以我们可以利用三 x 图像进行拼一，我们也可以处理到抛三 x 图像。好，在这里呢，我们介绍了三种方法， 那么三个方法学会以后呢？接下来我们利用图像来总结余弦函数的性质，哎，总结余弦函数性质，那么性质呢？一共是几大性质啊？六大性质，定域 域，周期性、单调性、既有性以及它的对称性。还是的，大家把课后把这些性质和正弦函数性质放在一起进行比较好，这是我们这节课还有思想方法的一个 总结。第一个类比归纳，还有个是竖形结合，类比归纳在哪个位置用不到的，但是他画图的时候，我们原先函数图像的画法是类比谁正确函数图像的画法，哎，类比归纳，竖形结合在哪个位置？ 由图像来总结什么来根据数形结合的一个思想。好，这是我们这节课的主要内容。那么接下来呢，是我们这节课的作业必做题教材第三十六页，练习一到六，还有一个选做题教材第三十八页必读的一二三。 好，这节课我们就上到这里，下课，老师帅气好，再见！

好，通过例题巩固知识，通过题型总结方法这一课，我们来继续讲解正与弦函数图像的进一学。下面我们看相关的例题。 首先看第一个题型，对于正与弦函数图像的理解，我们先看第一个题， 那么这个题目呢，是 sin x 绝对值，那么这个题主要考察了图像的变换，就是当 x 加绝对值时， 这个我们通过前面学习的函数知道，对于 x 加绝对值，我们可以考虑当 x 大 于零时，那么这个 sin x 加绝对值和原来的 sin x 应该是一样的，那因此呢，我们就想到， 那么当 x 大 于零，也就是 y 轴左边的函数图像应该就是 sin x， 这样我们就可以把 c d 排除。那么对于 ab 呢，我们来看，当 x 小 于零时， 写幺零时呢，我们想到这个 x 去掉绝对值以后，它就变成了 三负的 x， 其实呢就是负的三 x， 那也就是说当 x 小 于零时，它的函数图像应该是和原来有变化，那首先肯定 a 就 排除了，所以我们选 b， 那 么有什么样的变化呢？填上符号以后，它和原来的函数图像应该是关于 x 轴对称， 那我们就知道是 b 这种求，或者说我们从另一个角度考虑，那么在 x 加绝对值以后，它是一个偶函数， 那因此我们通过偶函数可以知道，那么当 x 大 于零的图像有了以后，那我们可以去根据偶函数关于 y 轴对称， 就可以得到它左边的图像，那么这个知识点呢，大家要熟悉。 好，下面再来看第二题。第二题呢，给出的是 y 零 q 三 x 加上 q 三 x 的 绝对值，那么这个地方的绝对值是加在整体上， 那我们可以回顾一下，前面我们学过函数整体加绝对值时，应该是 x 轴 下方的，其实就是函数之小于零的部分要变正，所以图像来说呢，就是下方的要沿 x 轴对折或者叫翻转。 那因此呢，我们知道，对于三 q 三 x， 我 们可以看一下，原来它在零到二倍图像是这样的， 那所以它在零到二分之派时，它的图像原来是正的，肯定还是正的，所以确定就这以后呢，就变成了原来的二倍，因此原来 这个地方焦点是一，那一次就变成了二，那这个零呢？还是零，所以形状呢，跟这一块差不多，那就是在二分之派到二分之三派这一段上，那图像原来是负的加角的值以后呢，就变成了正的，所以需要翻上去。 那所以当这两块相加以后呢，我们可以看出来这块零，所以它对应的图像应该就是 x 轴上的这条线段，那从这个看， ab 都可以排除了，那再加上刚才我们判断的零到二分派的图像， c 也可以判断去掉，因此选 d。 所以这个题呢，就是我们在熟悉以前已经认识的在 x 中加绝对值，也就是 f x 绝对值的图像和 f x 整体加绝对值的图像的变化问题。 好，这个考点呢，也是一个常考的问题。好，我们下面再看第二个问题，就是五点法作图， 那这里呢，让我们用五点法做出下面函数的图像。和上一课我们讲的基础知识一样，我们来回顾一下五点法作图。首先 要知道我们取的是 x 对 应的函数值的，把 x 对 应的打五点， x 取值应该是取零，二分之 pi pi， 二分之三 pi 以及二 pi 这五个函数，那么对应的 y 呢？你原来对应的 c， 那 么它是 三，零是零，那乘上负二加一以后，它对应的函数值应该是一，相应的，可以算出后边分别是负一，一减一。 那这样呢，我们有了这个函数以后，呃，图标以后我们可以建立， 都别洗。那当然我们这里呢画的是草图，尽量准确，当然呢，这只是草图，那么这时候我们对应这五个点，要注意，零的时候，他取的只是一 把点。描好二分之派，那么这个地方呢，咱们稍微注意一下，二分之派对应的应该要比一要大，所以呢，我们尽量的取值取得比一大一点，二分之派对应的值是负一， 然后派对应的值又是一， 二分之三派对应的是三，然后二派的时候呢 又是一，因此这样我们用要光滑的曲线，或者就初中说的要平滑的曲线把它连起来， 有笔的限制，这地方画的不够平滑啊，那么这就是他一个周期内的函数曲线。 那么我们画图的时候呢，对于这种五点法作图，一般情况下，我们首先要关注他要求的这个周期零的二倍， 那么如果是一个周期内，我们还要注意的什么呢？那一个周期的起点，如果它的函数值是一，那么它最后一个周期内，也因为要回到原点，所以这个地方对应的函数值一定是一， 所以这些呢，都是作为一些基本特征，是我们需要关注的。我们往往很多同学画图的时候画出来四个象啊，那么有的取不到一个周期， 那我们呢，一定要注意按照这种列表描点连线的方法把它画出来啊。好，这是第二个知识点，下面来看第三个，后边呢是关于它图像的应用， 那么这个地方，首先我们看题型三是与图像有关的焦点问题。那么这个题呢，也是一个非常经典的问题， 它要求看 y 等于 log x 绝对值，这个函数与 y 等于三 x 图像的交点个数。那所以这种题呢，我们通往往通过把两个函数画在同一个函数图像里边 去解决，那么因为我们知道对于这个 log x， 它 x 是 大于零的，所以我们只需要画出在外 y 轴右侧部分的图像就可以了。 那这里呢，我们可以先画出三 x 图形，那这个地方呢，我们因为是要研究焦点个数，所以画一个草图即可。 画草图呢，我们要注意它们的这些主要特征，就是这些零点，把它标一下， 那么然后我们再来画这个劳改 x 绝对值。那么这个我们前面比较熟悉，劳改 x 它本身是对数函数过一零点，那么我们尽量画的准确一些，那一零呢， 比二分的派要小一些，所以一应该在这儿。那么由于它是加了整体，加了绝对值，所以原本对数函数应该是从负无穷开始，逐渐呃是靠近外轴，以外轴为间隙线逐渐的增大， 那么这时候呢，加绝对值以后，它应该就是 y x 轴翻折，所以它应该是递减的，然后呢，从这个地方又开始递增， 那么至于这个地方增是增到什么情况，后边是不是一直会有焦点？那么这时候我们就要把握住这些函数的关键特征，那就是正弦函数， 那么这个地方他最大值是一，所以当我们这个函数超过了一以后，我们就知道他肯定不会有焦点，那他什么时候是一呢？ 已知 x 等于一的数是什么情况？我们可以解的是 x 等于十十，那我们知道三派大约是九点几，四派呢？就十二点几，所以这个十大约稍微超过了三派，那也就是说在这个地方它对应的函数值取到了一， 那因此我们就可以判断在这个点之前的数，它的值都不超过一，尤其是这个地方是一的话，那么函数图像应该在这一点之下，那么这一点就很很重要， 在它之下，那因此它要和这个函数还有两个交点，那过了这一点以后呢？后边它都超过一了，因此它就不会再有交点了， 那由此我们可以数出来它的焦点有一、二、三、四、零四个角。 所以这个题我们看大家在画图的时候，一定要把握住这个两个函数的关键特征啊。像三 x、 三 x， 一个关注他，关注他的零点，还有他的对值是一，最大值是一。那么对于 l x 呢，我们就要关注他什么时候会超过一啊？这是对这种问题的 重点关注的特点啊。好，下面我们看这个另一种，就是利用正弦函数余弦函数图像解三角不等式，那么这个解三角不等式问题呢？我们实际上在前面讲过 利用三角函数线啊，他说三角函数线也可以解决， 那现在呢？我们学习了三角函数以后，我们可以用正弦函数、余弦函数的虚线去解决，比如说像这个题， 它要解决 q 三 x 大 于等于负二分之三，小于等于二分之一，那么没有告诉我们 x 的 取值范围， 所以呢，我们可以先画出 q 三 x 的 图像，那当然一部分图像即可啊，比如说画出这一步， 那这是零，这零是二派。一般呢，对于这个三角函数来说，它没有告诉我们 x 取值范围时，我们一般研究它一个周期内的 这个二图像即可啊，因为其他的范围内呢，都是重复的。那因此呢，我们可以考虑研究零到二派上， 那么我们知道它最小值是负一，所以我们先找出它等于负二分之根三的点， 那比如说是这个这两这两个交点，然后呢，二分之一是对应的值，这是一， 那因此我们就可以看出来，夹在大于负二分之三，小于二分之一之间的函数值，对应的图像，在这一个周期内应该有这两段 啊，我们用不同颜色的笔把它描出来，有这两段， 那因此呢，我们就可以写出它对应的解集了。那这个地方是余弦等于二分之一所对应的，那么这时候我们想到这个锐角应该是三分之二， 那么这个地方呢，是余弦等于负的二分之根三。这时候我们想到等于二分之根三的锐角是六分之派，因此这个钝角呢，就是 派减六分之派，也就是六分之五派。那同样的这个地方，我们发现它是超过了派。在第三项线内，那对应的角， 那我们也可以用派加六分派，也就是六分之七派， 所以对于这样的三角函数值，呃，已知三角函数值求角时对应的角是谁？我们结合诱导公式，注意总结这样的方法啊。一般情况下，像笨角，我们一般就是用派减去对应锐角的 三角函数值对应的锐角，那第三象限时呢，就用派加上，那同样的，在这个地方对应的，我们就用二派减，那当然是二分之一的话，对应的应该是二派减三分派，也就是三分之五派， 这样我们就可以写出它对应的解集，那在这一个周期内，零到二派的范围内，它符合条件的解集就是 x 要大于等于 三分之派，小于等于六分之五派，或 这边呢，是六分之七派，小于等于 x 小 于等于 三分之五派啊，这是它们对应的 这个角的范围，那当然我们知道需要给它加上，根据中面相同的角啊，需要给它加上二 k pi， 所以 最后它对应的解集，我们应该写成 三分之 pi 加二 k pi， x 小 于 n， 六分之五 pi 加二可派或六分之七派 x 啊，加二可派， 显然 x 加上三分之五 pi， 加二 pi 属于整数。那么这个地方，首先大家注意总结这个方法。第二呢，提醒大家注意， 这个答案不是唯一的， 为什么呢？因为这是我们研究的这个范围决定的，那比如说我们要研究啊，这个范围里， 从这里开始研究它一个周期，那么夹子两段呢，就可以用这边来表示和这边来表示。所以呢，答案虽然不一，但是呢，最终它表示的结果是一样的。这个大家要注意 好，这是第一个，第二个呢，我们来看这个题要解决零到二派上能够使 cos 大 于三 x， 那 么这个函数这个不等式呢？我们也比较熟悉，前面我们曾经用三角 函数线来解决过这个问题，那么这个呢，也是同样，我们画出在同一个 坐标西向三 x 和 cos x 图像，我们先大致画一下 cos x 在 零到二 pi 范围内， 那然后呢，我们再描点，画出 cos cos 在 零的时候是一，在二分之 pi 呢是零 pi 的 时候呢是负一，这边是 二分之三 pi 时，它是零，二 pi 呢？六是一，所以余弦函数的图像应该是 逃脱，是这样，那所以一目了然。我们看在领导派范围内，正余险大于正险的，余险大于正险的，首先是这种， 然后从这里往后比正弦小，然后又从这个地方开始比余弦要大，那这样我们很容易结束。那在零到二分派范围内，两个正弦与弦相等的地方，我们知道它是四分之派， 所以第一段呢，就是零到四分派，那这个地方他这是超过了派，也就是说在第三项线内，他们两个相等的，那就是派加四分派，也就是四分之五派， 那因此我们就可以他得到对应的范围，那应该是零到四分派和四五分派到二派这个范围。 因此这个题有两个选项， a c， 所以呢，这个题是一个多选题。 好，这就是三角函数图像的命令。

余弦函数的图像和性质，我们上节课呢，先做出了正弦函数 y 等三， x 在零到二派上的图像，然后通过不断的向左向右平移，就是每次平移二派个单位 就得到了正弦函数在整个定律就是整 x 属于 r， 就是在整个实数集上的图像，然后通过对正弦曲线就是 y， x， x， 这是正弦曲线在整个定律上的图像呢。研究了函数的性质， 那么对于余弦函数在整个定义上的性质，我们可是否可以同样的方法来研究呢？当然是可以的，好，我们首先呢，用秒点法做出 余弦函数 y 等 q， 三， x 在零到二派这一个周期上的图像，那同样呢，我们也是要也是要三步就是列表， 然后呢秒点，然后连线，那列表呢？还是在零的二派呢？我们分成十二等份，然后得到十二个点， 也就是 x 等零， y 等于 x 等六位置 pa 呢，扣上 x 等二分之根号三， x 等三位置 pa， 扣上 x 等二分之一，然后呢一共得到十三个点的坐标，然后把点的坐标呢描在坐标系上， 还是要为了描的准确一点呢，我加上几个虚线，这就是 y 等二分之一， y 等二分之根号三啊，然后呢 两点，那 x 等零， y 等一，这是零一， x 等六分之派， y 呢，等二分之根号三。 好，要提醒大家的就是这个表呢，我们要这是通过诱导公式得到了这些特殊，这这些特殊角的三角函数值，这个是这个是要熟记在胸， 要我们要下功夫把这个表里边的数据要背下来，背的时候呢，就结合着单位元，就类似于正弦函数的那个值一样，结合单位元把它记下来。啊。 好，这次到了六分之五派，那就等负二分之根号三，然后派呢， x 等派 y 等负一， x 等六分之七派 y 等，这， 这个，呃，负二分之根号三，这样一路划过来， x 等二，派 y 等一啊，然后呢，最后呢，连线就是平滑曲线连接就得到了 y 等 q 三， x 就是余弦函数在一个周期零到二派上的图像。 好，那很明显呢，我们看起来这五个点就是零，一 二为是派零派负，一二为是派零和二派负二派一。这五个点 是确定余弦函数在一个周期上的图像的关键点，因此呢，和正弦函数类似，余弦函数的图像呢，也可以用 这五个点来画出图像，所以说我们就叫做这个，就是用五点法做出来。余弦函数的图像 原先还是图像，这个同样也是起点也是最高点，终点是最高点，然后中间的点是最低点， 然后有两个零点，就是二分之派和 x 等二分之三派，这两个呢是和 x 轴的焦点，就是零点。 这五个点呢，也是特殊的值，很容易接近。好，有了一个周期上呢，呃，图像以后呢，我们有诱导公式是吧？ cosin 二派二，开派加 x 等于 cosin x， 可以知道，将函数 在零到二派上的图像呢，沿 x 轴左右平移，二派啊，四派就得到了余弦函数在整个定义上的图像。好，这是零到二派，然后呢，我向左平移，再向左平移 啊，那，然后不停的向左平移到了负无穷大，然后向右平移， 再向右平移，然后呢，不停向右平移到了正无穷大，这样就同样我们得到了是一个 连绵不断的波浪起伏，连绵不断的一个曲线，他是和图像形状和正线函数的图像是一样的啊，就是他的在一个周期，就是零到二派的一个周期上， 形状呢，不一样啊，那么我们知道这个鱼线函数的图像呢，也是一个波浪起伏的连续光滑的曲线。 好，那我们把正弦函数的图像和余弦函数图像放在一个坐标系里边。好，这是余弦函数的图像，就是 y 等扣三， x 在 x 属于二，上面 我们可以看出呢，嗯，这是，呃，余弦函数，然后呢，我们看这个呢是正弦函数，就是 y 等三， x， x 属于 r， 这条线呢是正线函数。正线函数一个周期就是 x 等零， y 等零， x 等于二倍拍 y 等一， x 等二，拍 y 等于是这一段整个函数的图像呢，那么这是 起伏，这是这个粉色的虚线，就是正弦函数的图像。我们可以看到将正弦函数的图像呢，向左平移二分之派个单位向左平移。你看，我们看这个起点， 这是我们看这个零零点向左平移，二分之盘就到了这个点。好，向左平移，和这个点 平移二分之派。以后呢，我们就发现正弦函数和余弦函数的图像呢，是完全重合了，也就是说把正弦函数图像向左平移二分之派的单位，就得到了余弦函数的图像， 那向左平也可以，我们再进一步弦，那我们把这，这是，这还是正向还是图向，这是 绿色的线，我们说那向右平移，可以不可以呢？啊？这个点，这个点向右平移，要平移到哪呢啊？这个零零点向右平移，要平移到 这个位置才能和余弦函数的图像重合。我们看平移好，向右平移二分之三 pad 单位好，他就完全重合了。好， 这就是说啊，下一个问题，说，若将正弦函数的图像向右平移，是否可以得到余弦函数的图像呢？如果是，需要平移多少呢？ 相应平移二分之三派个单位就得到了。那我们说那再考虑到的周期性是二分之三派加上二开派都可以，就是 连续移动二分之三派，然后再移一个二派的整数倍，同样可以得到余弦函数的图像。说，那会不会错位啊？不会啊，我没想到那个他的 x， 这个正弦余弦函数的定义都是 x 属于 r， 那个 r 呢？是一个无边无际的啊，他没有尽头，没有有负的最大值，有正的最大值，他都是无穷无尽的，你平移多少个单位，他都是重合。 好，接着我们看余弦函数的性质啊，余弦函数图像得到了。看余弦函数的性质，是吧？我们观察余弦函数啊，这就是余弦函数在整个定余弦的图像啊，这个没画完啊，还有这样，然后类比正弦函数的 图像啊，就得到了，没就得到。关于啊，余弦函数在整个定义上的性质，也就是说类比正弦函数什么呀，我们是从定义域、值域、 周期性、单调性和旧性这五个方面来研究的。同样呢，余显函数也是定域呢，是全体实数级。直域呢，就是负无穷，大到正无穷啊，负一到正一啊，是这个 b 区间啊，直域就是负一到正一。那么 当什么时候取到最大值呢？就是当 x 等呃零， 呃， x 等零， y 等于 x 等二 pa y 也等于，是不是余弦函数的图， 所以说当 x 等二开派的时候呢， y 取到了最大值是一，当 x 等派就是二开派，然后向前进派个单位啊，那这这个向前进派个单位到了最小值，所以说当 x 等派加上二开派的时候， y 呢，就取到最小值，最小值是负一。好，我们说得到了最小值是负一 啊，这是定义值域。接着看周期性，同样的余弦函数的，因为余弦函数和正弦函数的图像完全一样，他的周期呢，都是二派的， 是二派，是他的最小正周期，也就是二 cap， 都是他的周期啊，他应该准确的说应该是二 cap， 但是呢，说太周期太多了，我对我们研究没没有什么用处，我们考虑的性质就是最小正周期，最能够简洁明了的描述他的性质。好，这个周期的。 也就说怎么样每间隔二派，你看这三条虚线，红色的虚线呢？间隔呢？都是都是二派，那么这个虚线向左或者向右平移。 好，我们看他每一个区间里边的形状，你看每个区间里边的形状，都是他无论停在哪个位置，每一个，呃， 每一个段里边，那个整个图像呢，都是一个一个周期上的图像啊，这就是周期性啊。接着看教性，我们说 有这个图像呢，关于 y 轴对称，你看整个余弦函数图像，是关于 y 轴对称的，或者说有诱导公式，是吧？ q 三负 x 等于 q 三 x， 可以知道啊，它余下函数呢，是偶函数。关于外轴对称呢，是通过这个，就是在这个点，在这个图像上任意找一个点，他关于外轴对称的点呢？还在这个图像上， 同样我们还可以找到这个点，关于外轴对称点也在这，也在函数的图像上啊。 最后呢，我们看到的单调性，嗯，单调性呢，就是因为整个定义 它是没有单调性的，它是时而增，时而减，时而增，时而减，但是增减呢，它都是有规律的。所以说我们要说这个余弦函数呢，在每一个 b 区间，就是在 二开，就是零的零，向前数零到，这个什么呀？向前数， 向左数派，派个单位到零，这就是二开减一派到二开派，或者说是副派加上二开派， 它上边呢都是增函数，都是这个是增区间，这个也是，这个也是，你看这这些呢，都是增区间。 然后函数值呢，是从负一增长到了正一，在每一个 b 区间上，也就是说他从二派到派加二派，二开派啊，就是二开派到派加二开派，就是这一段，这一段啊， 这一段我们看到的这个区间上呢，都是减函数，减函函数值呢，是从正一减到了负一，你看这一个是正一减到了负一。 讨论了余弦函数的性质呢，我们就看这个利用五点法做出来函数的图像啊，这个函数呢，则余弦函数前面加了个负号啊，我们就用利用秒点 点法，五点法嘛做出来啊，那第一呢也是要列表，列表呢，我们列一个，我们还是我们要熟记上面这个表格，就是 x 等零二派这五个关键点，五点到五点嘛，五个关键点。然后呢再取他的 扣三 x 的相反数，就是负扣三 x， 然后呢取这个函数值的相反数啊，然后秒点，秒点的话是就是 y 等负扣三， x 的图像就是 x 等零， y 等负于 x 等二 pa， y 等零，然后把这几个点描出来， 最后呢用平划曲线连接就可以了啊，描点的时候呢，在这个图像里面描， x 等零， y 等负一， x 等二派， y 等零， x 等 ty， y 等一， x 等二分之三， 三派外等人， h 等二派外等负余好这五个点由平滑曲线连接 就得到了 y 等负扣三， x 在零到二派上的一个图像，就是一个周期上的图像，就是这个，就是反着的一个，像一个小三包一样，你看余下函数图像是把它反过来，就是绕着 x 轴旋转 一百八十度，它是一个小三股啊，这是余弦函数的图像，它，它这两个呢？这两个函数的图像就是关于 x 轴对称的 好看。例题二，呃，求函数 y 等三倍， q， 三 x 加一的最大值，最小值以及取到最大值最小 值的 x 的集合，这个也是利用函数的那个呃，单调性来求的，就是有什么时候值域吧，加和含利用函数的值域啊，我们说这个 呃，三倍的 cos x 加一是什么呀？我们首先呢，画出来这个 y 等 cos x 的图像加着呢， 他乘三乘三呢，就是把这个函数的图像呢，上下拉伸，拉了三倍，就叫 x 的取值范，零到二，二派不变， 拉了三倍，然后再加一呢，就是函数的图像呢，向上平移了一个单位，好，这样就得到了，这就是 y 等扣三倍，扣三 x 的就是 他的图像。就是啊，然后，当然我们做题的时候，这是在言传纸上画啊，我们做题的时候是什么呀？我们说 我们把这整个过程写用文字写出来，因为考试写文字比画图要简单的多，因为脑子里有图， 然后在纸上写的时候，就是我们由余弦函数的性质之道。 cosinex 呢，是大于负一，小于小于等于一的好，这是它的值域，利用它的值域，然后呢把这三个，把这个不等式呢，我们三边同时乘上三就得到了，它 加的呢，三边同时加一就得到了，就是你看这个加一，这个加一，这个再加一啊，就得到了三倍扣子。 x 加一是大于负二，大于等于负二小， 小于等于四，好，这个呢就是 y， 所以说 y 呢，取之呢，就是小于等于四，在这个四和这个 four 之间啊这是这还有一条线，就是 y 等于 four 啊，这是负一。 函数的最大值呢，就是正四，最小值呢，就是负二，就是这条线啊， y 等负二，那说它还为什么呀？取到最大值时候那个 x 的集合，因为这个只是一个周期上的，我们要考虑的， 接着就考虑函数的单调性啊，周期性他需要加上而开派，所以说那么当 y 就是这个，当 y 等 cos x 就是这个 余弦函数取到最大值的时候，这个 y 呢就是三倍，扣上 x 加一也是取到最大值，所以说函余弦函数取到最大值的集合就是这个函数取到最大值的 x 的集合，那么余弦函数取最大值的集合就是 x， x 等于二，开派开水 z 啊，就是它等于零二派，四派负二派，负四派就是二派的整数倍， 那函数余下函数取到最小值的集合是这个函什么数啊？求这个函数取到最小值的那个集合，就是他是等于二开派加派， 或者你写个二开派简派也行。但是我们如果能写假，我们就就都是习惯啊， 就是因为二开派减派是这个点，这个点照样是取到了最小值啊，就是这个副派这个位置啊。我们写成二开派，统一的规定就是二开派加派比较，因为在这个图像上可以看到在这个位置，这是立体二。 接着看 bt 三所不比较啊，不求值，比较下列各种数值的大小啊。这个就是利用函数的余下函数的单调性啊。 第一个呢是什么呀？好，这是余香函数的图像。在整个定律上，第一个是五分之二派和五分之四派， 那我们说这个五分之二和五分之四呢，就在这个单调区间，零到二 派上，这个单调区间上，五分之二派在这五分之二点五就是二派吗？所以说他在上面五分之四派呢？在这，那很明显，这个五分之二派和五分之四派呢，是在这个单调递减的区间上面。 这个图像是这样的，我们要把它写出来。怎么写呢？我们说因为这个五分之二派是小于五分五分之四派，它又大于等于零小于派，也就说五分之二派和五分之四派都在一个， 都在这个区间。零到二派啊，零到派这个减区间上啊，好，余弦函数在这个区间上是一个减函数，那减函数了五分之二派小于五分之四派，所以 说口算五分之二派就大于五分之四派，这是利用函数的单调性就可以了。但下边这个图呢，咱们做题的时候呢，不用画上，但是你 如果你要是没有把握，最好是在研究纸上画一个草图，帮助你不容易犯错误啊。 所以说这个就要求什么呀，我们这个五点法画这个余下函数的图像要非常熟悉。第二题，口三负十分之八派和口三啊，负十分之派和负八分之派。 那同样的，我们说这个鱼线函数的图像，根据鱼线函数的图像，这个负十位置派和负八位置派的都在负派到零这个单调的递增区间上来说，这是负十 分子派，负八分子派在这好，所以说，因为负负八分子派是小于负十分子派， 同时呢，它都大于，都大于复派小于零，并且余下函数在这个区间复派到零上是个增函数啊，所以呢，它既然是增了，那么 cosine 负是非数，哎，这是负的啊， 好，这个是负的啊，负八分之判小于负十分之判，他呢，在这个区间上，这个曾函是说一说，那负扣三负十分之判就大于扣三负八分之判。好，接着我们看练习题，还是同学们自己要先动手做，然后呢 呢，咱看答案啊，这五点法做出来，函数 y 等扣三， x 减一， 嗯，在零到二派上的图像，那其实呢，我们就说他是把余弦函数的图像呢，减一了吗？就是向下平移一个单位就可以了。好，我们的列表这是 x， 呃，那 cos x 减一好，好，列表的话，我们就算 cos x 减一， 那么 q 三 x 等零啊， q x 等零， q 三 x 等一，一再减一是等零。好，我们依次算出来。 q 三二分之派呢是等零，零减 零减一呢，就是负一口算 pa 呢，等负一负一再减一呢，就是负二啊，我们依次得到。 好了，这个也是负一扣三，二拍呢，是一，一减一是零。好，把这五个点呢，描在坐标系上， 这个就是零零， rfith pi 负一 pi 负二，这个 rfith 三派负一和二派零这五个点。然后呢，平滑曲线连接，这个是 函数的图像，它其实就是什么呀？啊，就是这个，因为余线函数的图像是这样的啊，它就是图像呢，余线函数的图像，这个啊，向下平移了一个单位。 第二题是吧，求下列函数的最大至最小值，以及取到最大 追效值是质变量 x 的集合。这个呢，和我们的例题是例题三是类似的啊，我们做就行了。好，我们说 现在呢，我们说有余弦函数的性值，我们知道这个 q 三 x 是大于等于负于小于等于一的，然后就开始往这变啊，两边同乘二就得到了这个值，再减一就得到二倍 q 三 x 减一， 好，这个呢，就算出来是二位扣三， x 减一呢，是大于负三，小于等于一。好，知道了，他的那最小值就是负三，最大值呢，就是一，什么时候取到最小值呢？就是， 所以说啊，这个函数的最大值就是什么时候呢？当 x 函数，就是 当 q 三 x 取到最大值的时候，那么这个二倍 q 三 x 再减一就取到了最大值，所以说他取最大值的那个 x 的集合就是 x x 等二开派开水 z。 好，这样，这就这个就是余显函数取到最大值的 那个 x 的所有的结合要考虑到周期性。这个开水 z 呢，不能漏了啊，你不能只写一个 x 等零，等零就错了， x 等零加上而开盘啊，加上呢？那什么时候取到最小的负三呢？就是 x 等于 派加上，而开派开属于 z 的时候，就是取到了最小值。这是第一题，第二题呢，是同样的，这个是负，这是 负的二分之一扣三。 x， 那这个乘负二分之一以后，那个它的负。呃， 这个式子就是 cos， x 大于等于负一小于等于一同城负二分之一以后，他就变成什么样？还是这个负二分之一是大于等于负一小于等于二分之一，不过是 他是怎么样？他是乘乘负二分之一要变号，这个就是负二分之一扣三。 x 本来是小于等于负二分之一的一乘负号呢，他要改符号，所以说这边就变成了大于等于负二分之一，他转到了左边来了啊，这个做两次题就熟练就有这个结果了啊，那么我们有这个结果，知道函数呢，取到最 最大值呢，就是二分之一，什么时候取到最大值呢？是这个 余弦函数 y 等扣三， x 取到最小值的时候，它取到最小值负一的时候，那么它又成了个负二分之一，是它取到了最大值。所以说好，我们 做解答题的时候，只要简练的这样写就行了，你只要把答案写出来就可以了。就是我画的图呢，就是害怕有同学呢不理解，所以说加上图以后讲解， 真正我们对于下函数的性质已经了解以后，你直接就出来给他结果，他为什么我答什么，你答对就得分啊。那也就是说，当 x 在这个集合里边，就是 x 属于 x， 在 x 等于派加上二开，二开派开 three z 的时候呢，函数取到了最大值，那同样呢，这个余弦函数取到最大值的时候呢， 这个函数呢，所求的这个函数就是负二分之一。 q 三 x 呢，取到了最小值，函数最小值是负二分之一，也就是 x 等 二开派开谁的？你看这个恰好是这两个，是因为你看这个第一题呢，这 q 三 x 前面的系数是大于零，那么它就和 呃余下函数的取值那是一样的，取最大值最小值一样，如果他成了一个负数，就是负，这是负二为之一，那么他取最大值最小值的那个集合呢，就颠倒过来就可以了。 好，下面我们看第三题，说不求值比较下列各组数的大小啊，这个相对来说也比较简单啊，就是利用余项函数的单调性。第一个呢， t v s 派， t v s r 派，好，它都在零的 pi 这个单调区间里边， 都在这个，这是个单调递减区间。我们说因为余下函数在这个领导派上是减函数，并且呢，这 cosine 派呢？呃 呃， cosin 派派呢？呃， tibetapine 呢？就小于就大于 tibeta 二派 啊，这个啊，这还少一些。好，接着呢，我们补一下啊，就是这个应该写上，因为这个字变量，七分之 派和七分之二派都在这个单调区间，就是零到派里边。我们这样写，所以说有这个结果，就是，那么因为它是减函数，所以说扣三七分之派呢，就大于扣三七分之二派。 第二题是同样，是吧，因为这个余下函数在零到派里，副派到零里边呢，是一个真函数，也就是这段是真函数，并且呢这个 扣在负八位置派在这，扣负负七位置派在这，也就是说那么负八位置派是大于负派，小于等于负七位置派有小于零，所以说他也是在这个单调区间里面，我们就这样写， 所以呢就有了 cosine， 嗯，负八分之派要大于，这是 cosine， 负八分之派大于 扣上一副起飞者牌。好，这样我们好，这节课呢，我们就 内容就讲完了，我们小结一下，我们讲的是余弦函数的图像，就是要知道五点法 图做下孩子的图像就可以了。那把它变到整个周期就简单了啊。接下来呢，就是看他的整个周期上的性质，就是定义域、值域，周期性、单教性和单调性啊， 这五个性质和正向函数是类似的。好，这节课呢，我们就讲到这里，好，同学们再见。

上课同学们好，请坐前面！我们学习了三角函数的概念，那谁来回顾一下它的内容呢？嗯，第二排那位同学，非常好。正弦函数是 y， 等于 sin 的 函数， 定义域是 r， 余弦函数是 y 等于超赞 x， 定义域也是 r。 正切函数是 y， 等于贪婪的 x。 要注意，它的定义域是 x 不 等于二分之派加 k 派， k 是 除以 g 的。 好，那哪位同学可以说一说，我们是如何得到三角函数的定义的呢？第三排那位同学，哦，非常好！通过研究单位圆上点的运动，得到了 射线 o a 绕着点 o 逆时针旋转角阿尔法， 其中边与单位圆相交于点 p， 那 么点 p 的 纵坐标 y 就 表示 alpha 的 i 正弦函数，点 p 的 横坐标 x 就 表示 alpha 的 i 与弦函数。非常好，请做 那本节课呢？我们就从三角函数的定义出发，来研究正弦函数与弦函数的图像。我们先来研究正弦函数的图像， 我们知道单位圆上的任意一点， 在圆周上旋转一周，就会回到原来的位置。那这个现象我们就可以用公式表示为 sine x 加减二 pi 等于 sine x， 那就说明自变量 x 每增加二派或减少二派，正弦值是不变的。那么利用这个特性，我们就可以大大简化正弦函数的作图过程。那我们是不是只需要做出正弦函数在零到二派上的图像， 然后呢，通过不断地向左向右平移，就可以得到整个定域域上的正弦函数的图像了。 那下面呢，请同学们分成小组来思考这样一个问题，在零到二派上，任取一个点 x 零， 我们该如何利用正弦函数的定义来确定它的正弦值 sin x 零呢？进而做出正弦函数图像上的一个点 t x 零， sin x 零。好，给大家一些时间， 好，哪个小组？第二小组哦，你们组先做出 x 零，然后呢，记其中边与单位圆相交于点 b。 根据正弦函数的定义，点 b 的 纵坐标就是 sine x 零。 那你们是如何确定出横坐标 x 零的呢？ 非常好！弧度值的定义，根据我们之前所学习的弧度值的定义，弧长 a b 与半径的比值就是 x 零，那因此 x 零的大小就是弧 a b 的 长度。 那我们可以将弧 a b 拉直，将其平放在 x 轴的正半轴上，那这样呢，我们就找到了 x 零。接着呢，我们就可以确定点 t 的 坐标。 第二小组对之前指示的掌握非常到位，很好，请坐。那下面我们将零到二派分成十二等份，那分别就是零，六分之派，三分之派。 那同时呢，这些角中边与单位圆的交点，也将这个单位圆分成了十二等份。 那接下来，如果我们要是按照化点 t x 零， sin x 零的方法，我们就可以做出自变量取这些角时对应的函数图像上的点。 当 x 等于六分之派的时候，对应的函数值是二分之一，这是二，分之根号三，这是一。 其实当我们用信息技术软件在零到二派上取足够多的值，做出足够多的点，将这些点用一条光滑的曲线连起来， 于是呢，我们就得到了正弦函数在零到二 pad 上的图像。接下来，我们通过将图像不断地向左向右平移二 pad 单位，那么我们就可以做出哎，正弦函数在整个定义域上的图像， 我们向右平移可以得到二派到四派上的图像，通过向左平移就可以得到负二派到零上的图像。 我们发现这是一条哎波浪起伏，连续不断的曲线，我们把正弦函数的图像叫做正弦曲线， 让同学们观察一下，我们做正弦函数图像的时候，我们应该抓住哪些关键点呢？那下面我们介绍一种作图方法，五点法来作图。 我们在正弦函数图像上，零到二派之间取五个关键的点，分别为零二分之派 派二分之三派二，然后呢，相应的函数值就是零一负一零，然后呢，我们做出这些点， 我们发现这五个点就大致确定了正弦函数图像在零到二派上的形状。如果我们对图像的精确度要求不高，那么我们就可以用一条连续光滑的曲线将其连接起来， 那么我们就可以得到正弦函数图像在零到二派上的减图了。那这种近似的五点作图法在我们今后的学习当中是非常常用的，同学们之后在画正弦曲线的时候，我们都是采用的五点法来作图。 好，那以上呢，便是正弦函数图像的内容。 利用三角函数的定义，我们知道正弦函数与余弦函数之间存在着紧密的联系，那下面呢，我们就利用这种联系来由正弦函数的图像画出余弦函数的图像。 那我们应该利用正弦函数与弦函数的哪些关系，通过怎样的变换来做出余弦函数的图像呢？ 哎，非常好，右等公式，我们知道利用右等公式 sin x 加上二分之 pi 是 等于 cos x 的， 那这是不是就说明我们只需要将正弦函数的图像向左平移二分之 pi 的 单位，就可以做出余弦函数的图像了呀， 那么这条红色的线就是正弦余弦函数的图像，我们将其称为余弦曲线。 同样，对于余弦函数图像上，我们也是取五个关键的点，我们来计算一下相应的函数值， 然后呢，做出这些点， 用光滑的曲线连接起来，我们就得到了余弦函数在零到二拍上的简图了。 那在今后的学习过程当中呢，我们都是采用五点法作图，来做出正弦函数余弦函数的简图，然后呢，通过向左向右平移，我们就可以得到其他去进行的图像了。好，那本节课的理论内容我们就介绍这么多，那我们做一道练习题， 请同学们画出 y 等于一加三 x 在 零到二 pi 上的图像，以及 y 等于负的 cosine x 在 零到二 pi 的 图像。 好，谁来说说？嗯，第三排同学好，非常好，采用五点法作图，我们取零二分之派派二分之三派，二派， 我们可以先计算一下 sin x， 然后呢，就可以计算出一加 sin x， 然后呢，我们再做出这五个点， 再用光滑的曲线连接起来，于是呢，我们就得到了这个函数图像在零到二 pad 上的图像， 那 y 等于负的 cosine x 呢？我们也是采用同样的做法，我们可以计算出 cosine x， 然后呢，再计算负的 cosine x， 描出这些点，再用光滑的曲线连接起来，我们就可以得到它的图像了。好，本节课呢，我们从三角函数的概念出发， 利用它的定义来研究正弦函数与弦函数的图像。同学们课下一定要掌握利用五点法来作图的方法，在今后的学习当中，这是非常常用的好课下呢，请同学们完成相关练习题，本节课就上到这下课。

好，上课起立，老师好，我们是三角形中边和角的对应关系， 我们这节课的学习目标是用向量方法证明余弦定力，掌握余弦定力及推力公式，会用余弦定理解决基本的解散你们问题。 我们首先复习一下我们向量的减法口诀，我们一块说同负极点连中点，方向指向被减向量向量向量向量的向量 b 乘以向量 b 的 模乘，向量 b 的 模乘 cos c 的， 这样是我们向量减法的。 今年中国飞速发展，基建呢成为了中国的名片，我们建造了许多举世闻名的建筑，有些在建筑的施工过程中需要进行各种各样的测量，我们呢来看其中的一个 高铁需要呢修修建一个，修建一个隧道，其中由于 a 和 b 在 三角两边被山所挡住，这样呢没法直接测量，那我们怎么来测量 a b 两点之间的距离，那么用我们初中所教的办法能不能解决， 示范一下对吧？然后学了我们今天所的内容之后，我们可以轻松的解决。那么我们来看今天我们所学习的知识点。首先在初中我们就探索过三角形中边和角的关系， 首先在我们直角三角形中，我们把三角形的直角边和斜边，我们通过他们的比例呢，我们通过正弦和余弦的方式来做了规定，那么其中我们还有一个他们角和边的对应关系，我们都知道的叫什么东西啊？ 勾股线，知道 c 方等于 a 方加 b 方，大家立马就联想到有一个角，哪个角啊？ 角 c 等于多少度啊？角 c 等于九十度，能不能想到它们边的对应关系啊， c 方就等于 a 方加 b 方，如果角 a 是 九十度呢？那就有 a 方等于我们初中所探讨过的三角形中角和边的对应关系。 那么在任意的三角形中有没有类似的数量关系来表示边和角的关系呢？那么这就是我们今天所要研究的。 我们首先三个角，大 a， b， c 三个对应的边，小 a， b， c， 我 们来看，在直角三角形中， c 方等于 a 方加 b 方，那么在我们的锐角三角形中， c 方有没有类似的式呢？我们来看 我们这时候看怎么去算这个 c 方，这儿 c 对 应的是角， c 要算它的值，我们还是采用初中的做一个垂线，这儿做个直角啊，这儿是一个 d， 这一个就是一个直角三角形，我们利用 这个方式也可以求得那边 c 的 长度， c 方等于什么呀？ c 方也就是 ab 的 平方喽， c 方等于 c 方加 a、 b 的 平方，再加上 b、 b 的 平方。 利用我们正弦与弦的定义，在三角形中，我们用所有的关系都用边和角来表示， 那么 ab 的 长度可以用在三角形 a、 c、 d 中来表示出来，那么 c、 d 呢？也在这个里边用余弦来表示出来，这样的话呢，所有的我们的边长都可以用哎，我们的角和边来表示，那么 ab 相应的已经求出来了 ab 的 长度， ab 的 长度也知道，所以下一步我们直接采用一个什么就可以求出 ab 的 平方，也就是边 c 的 平方用 什么东西啊？勾股定律好，大家算一算我们 a、 d 的 平方加 c， d 的 平方应该等于多少，那么算一算，然后把它给化简出来， 写完之后大家就可以放下我们手中的笔， 大家在代数的时候， b d b d 等于边 a 减 b 层除以 c， 对 吧？ 大家算了吧， 好，我们看这呢，直接画完之后，这是一个完全平方公式，展开之后，这边就有三个 c 的 平方加 cos 的 平方等于加，所以是不是就画出来个式子啊？我们看一看， 这样的话呢，我们就得到了我们三角形中 c 方等于 a 方加 b 方减二 ab 乘以口舌 c， 然后下边在对角三角形中，我们求边 c 的 平方， 我们怎么来解决呢？也是画一个三角形，看这也一样，做一个什么线，垂线，那么这时候我们通过固定里得到这两边的平方和，是不就求出了边 a b 一个边 c 的 边 c 的 平方， 对吧？那么下边我看看它的解法，表示出因为角 c 是 个什么角， 角 c 是 个钝角，所以在我们表示的角的时候呢，我们用了派减 cos 派 减 c， 然后呢下边一样的式我们也知道了， c 方等于 a 方加 b 方减二 b 乘以 cos。 大家来看这两个式，一看无论是锐角三角形还是钝角三角形，这两个式的形式怎么样？ 完全怎么样一样，那我们直角三角形能不能改写或写成类似的形式呢？ 大家看可不可以呢？因为这里边有加角是多少度啊？ cos 九十度等于零，可以解决问题吧，可以这样的话，我们无论是直角，钝角还是锐角，都可以写成我们 c 方等于 a 方加 b 方减 a b 这个形式， 所以我们有特殊，我们就可以看一下是不是把我们就可以说任意三角形中都有 c 方等于 a 方加 b 方减二 b， c 后乘 c 呢？可不可以这样说明， 可以吧，我们三角形总有几种啊，形状有锐角，直角，钝角都有了吧，那么可不可以统一写成， 写成这个形式。可以，这又反映了我们的数学思想，由特殊到什么，一般由直角三角形，钝角三角形，锐角三角形，可以，我们可以推广到什么三角形？可以啊， 任意三角形是不都可以啊？哎，这是我们用几何法来进行了这个式，证明这是几何法， 然后下面我们这一章呢，学习的是向量知识点，那么用向量能不能证明这个定义呢？我们下边来看三角形 a、 b， c 中，我们设三个边水域的向量为小 a， 小 b、 小 c， 然后 根据向量 c 减向量 c 等于向量 b， 向量 a 减向量 b， 是 不是可以写成一个啥？那么下边我们通过向量的运算，那么看一看能不能得到我们边和角的对应的关系。好了，大家抓紧时间把这个字开始往下写啊，写完之后呢，我们投影展示一下 抖 音， 好，写完，写完了吧，写完同学举手看一下，看一看多少，写完了没有，好，放下。 好，我们看这呢，在我们 好，我们看在这个在他的证明过程中，直接两边一平方，我们就把向量的方向，我们就把向量的方向给 给去掉了，那么这样的话呢，我们就经过这样的话，我们利用向量的预算是不是也得到了这样一个市场， 哎，好了，下边我们看一下，这样呢是向量的，但是我们用向量也得到了公式，那么这样的话我们可以看一下用向量的证明和我们几何法证明它们之间相比较，向量法具有哪一个方法会更好？ 向量法，向量法是一个式，就算出了所有的角，那么向量在处理我们图形，我们计算的时候，它有一个非常大的优势，我们通过平方的方式，那么把方向给怎么样摘掉，就只剩下了它们的长度和它的形状下和它们的夹角。 好，下边 来看 这呢我们看这样得到了我们的这一个四之后，下边有类似的 a 方和 b 方，那么会有类似的结论呢？ 那么下边看一下它的结构， c 方和 a， 一个是 c， 一个是边，这个是角，这个是边，这个是它的对，怎么样？角，这是它的两个什么边啊？邻边。那么大家那么类似的，把 a 方和 b 方看一下有类似的结论，能不能给写下来。 好，写完了没有类似的，我们可以得到 a 方和 b 方的值，那么我们呢把这一个我们找到了边和角的对应关系，我们称之为与弦定比， 我们呢还可以使用坐标法来进行这个式子证明，大家呢可以通过建筑学系的方法课下进行研究。我们下边来把我们域线定律，那么来看一看第一个他们的我们的符号语言，我们一块来朗读一下， a 方等于 a 方等于 b 方，加 c 方减二， b， c 乘 cos a， b 方等于 a 方加 c 方减二 a， c 乘 cos b， c 方等于 a 方加 b 方减二 a， b 乘 cos c， 大家看他们之间的数和形的对应，这呢有，以这个式子看，这是边 c， 边 c 对 应的是角， c 对 边对角 a 和 b 是 角 c 的 两个什么边啊？邻边，因为他们的关系，大家看一看他们这三个式子是不是同一个结构， 是不是？那么是的话我们这三个是客户用统一的文字语言来描述，我们用统一的语言来看一看，另一边的平方等于另外两边的平方和减去 减去其余两边和余弦值，加角余弦值记得多少？二倍，我们统一一块把我们的文字描述读一下。三角形任意一边的 方等于其他两边平方的和减去这两边与他们加角的余弦的积的两倍， 这就是余弦定律。大家注意看一看我们边和角它们之间对应的关系，它适用于所有的三角形。好，下班 看一下它的适用情景，公式的左公式的左边是边，公式的右边是 ab， 是 两个邻边和它的什么夹角，所以它的适用情景适用在什么地方呢？哪种类型呢？ 就是知道两边及及夹角，我们可以简写成 s a s。 好，下边我们回头再来看我们情景中所给的问题，这是个直线，直线中我们怎么来解决的问题呢？直线我们能不能使用预算定量 可不可以啊？直线当然不行了，直线有没有三脚丫？那么下班我们怎么来解决这个问题呢？那么用我们初中的方法可以用，高中的方法应该也可以，大家讨论一下，研究研究。我们起立我们一， 你想一想你初中的方法，现在的方法啊，还有我们讲到了没讲到的方法，你看一看，自己思考一下， 初中的方法可以怎么做，高中的方法又可以怎么做？ 打完之后也可以前后的交流一下 我们现在所学的知识点和原来知识储备，我们有什么办法可以解决的问题？那么哪位同学把你们的思想大家交流一下？ 好，那个风火轮你说在轴外找一点 c， 然后连接 c、 a、 c、 b， 使其 a、 c、 b 等于一百二十度，然后测出 a、 c 和 b， c 的 长度，然后利用偏点解除 a、 b 的 长度， 这里是一百二十度吗？ b 可以 到 a、 c、 b 等于九十度，九十度，利用公股定力解除 a、 b 的 长度，用其他的可不可以啊？特殊的词。 呃，想法，大家，这个先我们具体操作一下，如果说是勾股定力的话，我们能不能操作 勾股定力的话得怎么办？取一个左角直角，这个角是任意的还是这个必须得有一定的限制， 是不是做一个角和 c， a， c、 b 它们垂扎，那么这个点好找吧？好找不好找？那么取六十的角好，好不好找？ 利用，我们初中我们可不可以造一个等边太小形，可不可以啊？可以吧，用，如果说能找到这个直角点的话，我们利用勾股定律可不可以啊？ 可以，但是他有诸多的限制，是不是不是每一个角都是直角？哎，这个地方啊，你们想，那么我们呢？学了高中之后，我们现在是不是就比较任意了？ 我们就可以找取 ab 都能看见一点，我们可以用仪器可以测量 c、 a 和 cd 的 什么距离，直线距离，因为 ab 是 三挡住他看不见。 测量完之后还需要测量 c、 a 和 c、 b 的 什么和 c、 c 的 夹角，我们有专门的这样的这个仪器可以测出他们这个夹角非常的精细，或者说这个精确度非常的高。大家想一下，我们现在科技这么发展了，我用 gps 能不能直接测 ab 两点之间距离啊？ 可以吧，但是 gps 它的精确度，大家想一下这个有没有那么高，现在还没有那么高，所以呢，我们最精确的，那么我们要这个它的精确度要甚至精确到厘米，那么这样的话呢，我们只能要精细的测量 啊，这样的话呢，我就把它放在三角形中，我们通过算的方式就解决了两个三角之间 a b 的 距离。 好，下边我们呢去把它们之间的长度，我们取三个数，然后呢大家来算一算我们三角 a b 的 距离，我们让其中一个边长为三，一个边长为二，加角为一百二十度。大家抓紧时间算算我们两面之间的距离， 学以自用，看看谁接受的更快，算的更快。 好，学完动作举手试一下，好，放下，我们 说完之后呢，它的值等于 n 号下十九，这个答案对不对？对，好，非常好。下班我们来看 余弦定律，除了我们这一个形式之外，还有一个推论，这个推论的形式是这样来展现给大家的， cosine a， cosine a， 也就是通过计算是不是把它整理成 cosine 的 形式。好，拿上一本，抓紧时间自己整理 好，重新来读一下你的结果， 对吧？好，下边和我们余弦定律一样，大家看好坐下 有 cosine a， 那 么是不是有 cosine b 和 cosine c 啊？大家观察一下我们余弦定律，我们的推论的形式，左边是 cosine a， 右边对应的什么颜色呢？是这样， 他的对边也是 a 方，那么大家根据我们的例比，能不能不经过我们的预算直接写出 q c d 和 q c d， 可以 吧？可以抓紧时间去试试， 好，喜欢的同学继续试一下，好，放下。这样的话我们得到了余弦定律的，我们辅助我们推论的三个形式，我们一块把这三个形式我们一块朗读一遍。 cosine 等于二 b， c 乘以 o 乘 a 等于二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方。 o 乘 b 等于二 a， c 分 之 c 方加 a 方减 b 方。 o 乘 c 等于二 a， b 分 之 a 方加 b 方减 c 方。 好，我们第一步看这个比例的形式，大家看左边是角的余弦值，右边是什么？ 那么大家找个同学来说一下这个矩形，告诉我们它可以解决哪样的问题。 椅子边来求椅子边啊，和椅子两个边，还有哦，一个还有一个夹角来求另外一个角，说他理解的对不对？椅子两个边和夹角对不对？左边是角，右边是 几个边啊？那么根据什么求什么呀？根据三边求求角的什么线，是不是任何一个点的线呢？ 可以吧，可以，好，下边这样呢，就我们根据他的特征我们就发现了他可以解决什么什么样的问题。 好，下班我们可，我们呢，把我们的语言来，把我们的余弦定里的推论用我们刚才这个我们余弦定里那个语言呢，一块来去做一遍，任何一个角的什么弦啊？余弦等于 两二乘以两个零边，分支两个零边的， 把它翻译成我们的我们的文字语言。 好，下边我们利用余弦定零来求一个角的余弦值，你知道三个边求角 a 的 大小 好，差不多已经球完了，这球出来之后，这个脚是一百二十度， 用了一百二十度，负弦值呢等于负二十分之一，这样的话呢，我们就找到了它们边和角的它们之间的对应。好，下边大家来看， 这样的话，我们三角形已经求出来了它的一百二十度，所以对应的角，那么是也相应的就求了出来。好，下边我们看一看 余弦定律和勾股定律的关系，再先看特殊的直角三角形。 cosine c 等于 等于零，那么然后再往下对应的 cosine c 等于零，余弦定律中就是分子和分母 c 等于零， 分子的零是不是就得到了它的勾股定律的形式啊？那么反过来说，哎，等于勾股定律，分子就等于加零，这是特殊。那么一般的情况下是不是有不等于零的？不等于零就怎么样？ 不等于零，那就大于零或者是小于零，那么大家来看，大于零的时候，那么 cos 大 于 c 大 于零，所以谁就大于零， 然后再往下是不是有三边的关系啊？然后再往下对角，是不是 cos 就 小一点， a 方加 b 方就小于 c 方，从这里边大家也可以体会到我们一个内容，这是直角，这时候 c 变怎么样了？ c 方变大了，变成什么角？那这 c 方变小了，变成什么角？我们有一个初中学的一个性质，叫大边对大角， 看一下我们特殊到一般，一般到特殊的思想，还有我们根据边的关系可以找到它们之间角的关系，根据角是我们可以体会他们边的关系，这我们就是边和角的对应。 好，下边大家来看，这是三角形，三角，第一个题，三角形三边为三、四、五，所以这个三角形是一眼就看出来了，那么然后三边为四、五六，什么三角形， 看出来了吧，那就算一算， 有的同学已经算完，有的同学呢？还在计算。西米月，说一下你第二题的结果，这个题算完之后是一个什么概念？ 什么概念？对角，那么算出你算到哪个角啊？可得 c 等于四分之一，对不对？四等于八， 取根旁，你算的 cosine c 等于 几？ 好，我们两步下大家再算， 不难算，我们计算，我们计算能力，大家得算得得，算准了，我们得提高我们的动手能力。好， 大家看这个题算了个数等于几啊？八一，那个这个三角形，什么三角形，算了几个值啊？ 那个，下边那个小元芳说一下，你算的哪一个值啊？为什么不算 cosine a， cosine b 啊？ 因为三角形的形状是由谁来决定，对吧？哎，好，这样这样呢，我们算出这角的 u 弦值等于八分之一，对吧，所以是一个什么角？锐角，所以三角形呢？是锐角。好，下边 我们来看解三角形的概念，一般的在三角形中三个边 abc 和三角角大 abc， 我 们的叫做三角形的元素总共有六个，那我们知道其中几个元素，求其他元素的过程，我们叫做解三角形 要记住的概念，解三角形要求出三边和三个角六个元素。好，下面我们来看课本当中一、 在三角形 a、 b， c 中知道边 b 和边 c 子还有角 a， 我 们画出它的草图，那么竖形结合，竖形结合的思想，那么根据我们给的公式，余弦定律和它的推例， 大家来看，我们应该用哪一个公式来解决的问题呢？ 应该用用余弦定律还是用它的推论？用余弦定律，因为这个值呢，是特殊，不是特殊值，所以说我们通过这个题呢，来研究它的思路和方法 看一下，这样的话呢，我们通过余弦定律就求出了 a 方，然后呢再往下 a 呢，就等于它的进式子开方，然后 a 求出来之后，它的条件和已知就发生了补充，就变成了已经知道了一个角和几个边了， 几个边？三个边，那么这个三角形还需要，还需要求什么呀？还需要求 几个角？一个角，一个角，那么下边彭丽君说一下，求几个角，为什么求一个角？ 对，这样的话，我们只需要求出了几个啊一个，这样的话呢，你又就节省了我们鱼线定律，它的计算量过大的麻烦。好，非常好。说一下， 这是我们知道三边，知道已知的条件，那么求出已知条件的过程。这儿是剪三角形，好，下边我们做一个具体的问题，看下边练习剪一下我们这节课学习的成果， 三角形 a， b， c， 中间 b 边 c 和角 a。 剪这个三角形 还是先塑形，结合画出图像看，织什么求什么 i， 哈哈 啊啊， 看这个中国男同学写的，首先呢，求出 b i a 等于 d 三，这个有问题吧？ 然后呢，再求出其中一个角，用我们的符，用我们的推论求出了角 b 的 二分之一，有没有求角 c 的 同学， 求角 c 扣整数有没有求到，对吧？没有，都选择了角 b q c 等于两 等于加零啊，然后我们就知道结果，这样的话呢，用一百八十度减去两个角，另外得了第三个角，那么这个三角形呢？他连三角形的形状也一块判断出来了，是直角三角形，对不对？对对，好 好，大家思考一下，我们这节课学到了什么知识点？那么我们是有哪些应用？ 我们都学到了哪些知识？学到了鱼弦定律和推论， 然后有什么应用呢？ 解决了无法测量的生活中的问题，然后解决了三角形中解三角形中位置的什么呀？位置的边和角位置的量，哎，非常好，坐下。然后他体现了哪些数学思想， 我们这节课都用了哪些数学思想？哪位同学来回回答一下？好，大家好，特殊到一班，特殊到一班的时候啊，我们呢通过几个公式，直角三角形，正角三角形，锐角三角形，是不是推广了一班啊？ 测试到一般还有吧竖形粘合，我们每一个题之前是都先画一画图啊，竖形粘合，然后还有吧类比，我们有没有类比啊？有吧，知道 a 方类比出了 b 方，是吧，知道 cosine 类比出了 cosine， 测出 t。 好， 这样 我们这节课所所学的知识点，那么以及的题型，以及的数学思想，还有培养了我们数数学抽象，逻辑推理，直观想象，还有数学运算的，我们的数学的核心素养。 我们今天的作业必做的课后练习，课本第四十页的第一题和第二题，做到作业本上，然后选做题，我们这节课就到这，下课， 老师再见。

好，通过例题巩固知识，通过题型总结方法，下面我们继续学习正余弦函数的行招，主要是单调性，嗯，对值以及它的对称性。 下面我们先来看第一个题型，关于它的单调性，那么这节课里面单调性的应用应该是最重要，那第一个问题呢，就是关于求单调区间问题，第二个呢，还有利用单调性去比较大小。那我们先来看第一个题型， 那首先这个地方让我们求解这个二倍的 cos 二 x 减四分之 pi 这个函数的 单调递减区间。那么首先呢，对于这种函数，首先我们要明确啊，它们都是复合函数。 那前面呢，我们在函数这部分学习过啊，一些符合函数的单调性的处理问题，我们这个地方做一个简略的回读 啊，那比如说 y 等于 f， g x 这个函数是复合函数，那么我们可以把它拆成 t 等于 g， x 和 y 等于 f t 啊，那么他们两个函数它的单调性决定了复合起来以后的函数的单调性。那当时我们记得有个口诀叫同增异减， 那也就是说当他两个函数的单调性相同时，那么合起来就是相等，那如果是单调性相相反，或者说叫不同，那么 和复合起来就是 b 减了，那么所以这个函数呢，我们就可以看成是啊， 它是由 y 等于二倍的 cosine， 我 们把里边看成一个整体，就 cosine t 和 t 等于二 x 减四分之派。 那么对于这个后边这个呢，我们把它看成是一个关于 x 的 一次函数，那所以这个一次函数前面系数是二，我们知道它一定是单调递增的， 所以我们要想求它的减区间，那就是求 cos t 的 减区间就行了啊，它俩一减一增合起来呢，就是减， 那因此呢，我们这个题如果想解决它的话，那就是求 cosine 的 减去，那这时候我们想起来啊，余弦函数的图像， 那想到再减去减指领导派，那加上周期你就更清楚了。好，所以我们可以直接写出来啊，当 t 大 于等于，那这边是二开派， 小于等于 pi 加二 k pi 时，它是单对递减的，那所以这是 t 我 们要取的区间，应该是指 x 的 区域范围，那因此呢，我们把 t 换成二 x 减四分之 pi， 那 让它小于等于 pi 加二 k pi， 然后呢，大于等于二 k pi， 这样我们解出 x 的 范围就是它的单调区间，那所以我们可以直接口算解一下，那这个地方呢，移过来是四分之五派除以二，以后是八分之五派 加，那这里除以二是开派，那然后这边呢，是大于等于八分之派加开派， 注意最后开属于整数，几 好，这就是我们解决这个题目啊，简单总结一些方法。其实呢，我们刚才的分析很复杂，以后解决的时候注意只要把啊这个里边 这个复合函数的这个里边看成一个整体，然后呢，我们根据外层函数的单调性去直接解决 啊，写出单列区间，然后令这个整体符合这个范围去解除 x 值就可以了啊。所以那当然最后这个地方我们要写成区间的形式，那它可以写成 八分之派加开派，到八分之五派加开派，那在这个地方写上开水，对啊，这样写就可以。 第二题呢，和刚才这个题差不多，是类似的一个题目， 那么我把它又写在这个地方呢，其实叫你观察一下，它有一个细微的区别，那就是这个里边这个函数 啊，它是一个递减的函数，所以要想求增区间的话，应该求外层函数的增区间， 那如果我们看不到这一点呢，我们就很容易求错啊，可能用四分之 pi 减 x 啊，属于它的外层函数的一个增区间解出来，那就错了，或者说这个题还可以怎么办呢？还可以直接把它化成 y， 等于 构成 x 减四分之 pi， 那 么这样的话，我们把这个 x 系数化正以后，因为里边是个增区间，所以求增区间就是求外层的增区间， 那这样就不会出现刚才的问题了啊。因此以后我们遇到如果负函数里边 这个 x 系数为负的情况，我们尽量用的方法就是化正啊，这样比较容易解决。那这个过程呢，大家可以自己求解一下啊。 那这个地方呢，我主要是通过这个题还想说明一个简单的方法，那就是我们要判断它的一个 z 区间时，我们还可以用什么方法呢？就是把下面的区间的端点带入以后，求这个四减 x 的 区域范围 啊，那么四减 x 范围求出来了，那这个余弦在这个区间上是增还是减，那就很容易判断了啊。比如说这个题，我们看 a 选项 代入的话，应该是四分之派减 x 属于什么范围呢？那因为负 x 属于负派到负二分之派，所以加上四分之派以后，那就是负四分之三派 到，那这个地方应该是负二分之派加四分之派，那就是负四分之派在这个范围里，所以根据余弦函数的图像， 我们参照这个图像去看一下，那这个地方是负派，所以在负四分之派到负四分之派上，那么 这个函数应该是，那么又由于这个函数本身啊，内层四四分之派 减 x， 它是单调递减的，那所以一个增一个减，那合起来就是递减，所以 a 是 不行的，那 b 选项呢？那么 在零到四分派上，四分之派减去 x， 应该属于 零到四分之派，那我们看零到四分之派上，余弦函数是递减的，那么这个四分之派减 x 呢，也是递减，两个减合起来就是递增，所以这个选 b 就 可以了 啊。当然呢，我们刚才说的第一种方法，这个直接去求解他也不麻烦，所以呢，我们可以考虑用第一个方法啊，这个排除的方法呢，虽然也比较简单，但是每个选项都得挨着使啊。 好，这是前两个题目，下面再看这个题，这个题呢，也是和这个前面差不多啊，只不过呢，注意它的规定的一个条件是 x 属于负二派到二派的单调增区间。 那么这种题呢，呃，应该说经常考察还是比较重要的，它是求固定范围内的一个增区间， 所以他没有这么自由了。那么这个我们通常一是可以用刚才那个办法去求求出来，因为刚才我们看到他这个能区间应该是含有这么开的一个区间，所以呢，我们只需要看采取什么知识，他在这个区间内， 从而锁定他的低能区。那这个地方呢，我再讲一个另一个方法，那就是我们可以先把里边这个整体的范围求出来啊，那就是二分之 x 减六分之派，看他是属于什么范围， 那相信这个大家应该都会求啊。那么首先左边除以二以后是负派，负派减六分派，那就是负的六分之七派，那这边呢，是派派减六分派呢，是六分之五派， 好，这个整体的范围求出来。刚才我们说了，如果把它看成一个整体 t 的 话，我们还是观察一下余弦函数的图像， 所以它这个地方呢，是这里是负派，负六分之七派应该在这里， 那然后六分之五派呢，是超过了二分派不到派，那所以它大约在这儿。 好，这是我们把它看成 t 的 话，这个 cos t 的 范围啊，是从负六分之七派到六分之五派，我们比较容易看出这一段区间上的递增区间应该是从负派到零， 所以也就是说这个整体 t， 也就是当二分之 x 减六分之派，在负派到零时是单调递增的， 那这样的话，我们就可以求出这个 x 的 去式范围，所以 x 是 属于。好，我们口算一下，先看右边，把负六分派移过来，六分派乘二以后是三分的派， 然后呢，这个负派这边移过六分之派来啊，负派加六分之派是负的六分之五派，然后再乘二呢，就是负的三分之五派。 好，这样求出来的这个区间就是原函数的极增区间啊，所以我们把它的增区间写在这， 那就可以了啊，这两种方法都行，那么推荐大家使用这个方法啊，这个方法呢，因为我们先锁定了它的范围，所以，呃，比较容易求出画图，比较容易看出它的。 呃，我们要求的这个区间啊，好，大家可以总结一下这个地方的方法。 好，下面我们再来看第二个题型，就是关于利用单调性比较大小。那么这个地方呢，我们前面曾经遇到过，我们可以利用单位员的定义里边出现的正弦线，余弦线也可以比较， 那么这个地方有了这个正余弦函数以后就更方便了。那么比较时我们主要利用的方法就是，首先 一般比较的时候是转化为同一个单调区间啊，因为你要利用单调性。那再一个呢，就是结合图像直观地去看 啊， 好比如说我们看，先看第一题，这个略微简单一点，那么一看是比较两个 sine 的 值，那这时候呢，我们想到正弦图像 划出一部分，那我们看它的两个值是负八分之派和负十分之派，显然都比负二分之派要大，比零要小，所以在这段增区间上， 那么又很容易比较出负八分之派和负十分之派，那显然负十分之派能大一些，那它在等曲线上，所以这个地方应该是小于，所以 a 是 错的。 那这两个比较呢，都是余弦，首先呢，这两个角的差距比较大，它肯定不是在同一个单位区间上，所以呢，我们首先利用诱导公式对它们进行化解，像 cosine 四百，我们想到它是三百六 加四十，那这样的话，我们就很容易得出它就是 cosine 四十度， 那同样的这个呢，直接把符号划掉，勾三五十度，那么对于余弦函数， 我们也是画出它的图像，那么大家经常用这种图像应该就比较熟悉啊，快速画出图像， 那么四十度和五十度都是在零到二二分之派范围，所以它是递减的，那因此四十度的余弦要大于五十度的余弦， 那么这个呢，我们也要注意三和二，三和二一定要注意，它们都是弧度啊，弧度， 所以那我们来看的时候找正弦函数图像都大于零。首先二分之 pi 这个地方它是小于二的，那 pi 这个地方呢，又大于三， 所以我们知道它两个在啊二分之派到派之间递减的函数，所以呢，呃， c 三应该是小于 c 二。 好，然后再看下最后，最后呢，首先它两个一正弦一余弦，并且这个角首先它超过了派，我们可以用右的公式化简，它可以写成派加七分之派， 那这样的话这个我们就可以写成负的三七分之派，那同样的，我们看一下这个 cosine 八分之七派，我们看到它接近派，可以写成派减八分之派， 那这样的话它的余弦我们可以画成负的 cosine 八分之派。 好，然后呢，就是比较这两个 七分之派的正弦和八分之派的余弦谁更大？那当然呢，我们这个地方也是可以利用正弦函数图像的话， 因为它在两个图像里边它不好比较，所以我们想利用它，可以考虑把它转化为这个同名的三角函数，比如说它可以写成 sin 八分之七派，哦，不是八分之七派，是 sin 二分之派减八分之派，也就是八分之三派， 那显然八分之三派呢，要比着七分之派的正弦要大，那么添上符号以后呢，就小了，所以 d 是 对。 当然这个地方呢，我们也可以利用， 呃，我们现在前面已经学过的知识，因为七分之派和八分之派都是在零到四分之派范围内， 那么在零到四分之派上，那么这个正弦值它是小于二分之二，而余弦值呢，是大于二分之二，那么利用这个也可以把它比较出来。好，这是第一个题， 下面我们来看第二组。第二组这个呢，虽然形式上和刚才差不多，但是呢，这个稍微复杂一点，我们来看一下。首先第一个呢是扣算八分之十五派，那么这时候我们也是看到，呃，他这个地方 八分之五派，十五派接近八分之十六派，所以可以考虑呢，这个写成二派减八分之派，这时候，所以这个可以写成 cosine 八分之派，利用诱导公式，那这个九分之十四派呢， 我们可以考虑给它写成， 因为它也是接近二派，九分之十八派，所以如果把它写成二派减去九分之四派， 那么我们就可以把它写成扣三九分之四派， 那么这个九分之四派和八分之派呢，都是锐角，都是锐角，显然九分之四派要比八分之派大， 那在零到派上，余弦函数是单调必减的，所以呢，我们就很容易得出啊，这个是前面的大于后面。 好，这是第一个，第二个没有出，出现了这种情况啊，就是一个正弦和一个余弦去比较， 那么对于这个一这个弧度来说呢，它们都是在零到二分之 pi 之间的锐角， 那么所以和刚才那个方法一样的话，我们可以考虑它们和四分之 pi 之间的关系。那我们知道一是四分之 pi 呢，因为 pi 是 三点几，所以大于四分之 pi 的， 而它又小于二分之 pi， 所以在四分之派到二分之派之间，余弦值应该比正弦值要大啊，所以我们可以用这个方法来解决啊。呃，说反了啊，应该小于弦值上面，越越大，它的值越小。 那么当然呢，我们也可以像刚才一样把它画成这个，呃，同名的，那你像这个根据 正弦值可以画成二分之 pi 减一，根据 u 的 公式，那么所以我们只需要比较二分之 pi 减一和一的大小就行。那刚才我们已经说了啊，这个一，它是 二分之 pi 减一比一呢，应该要小一些啊，所以在零到二分之 pi 上， sin 是 单调递增，也可以比较出它小于 sin。 好，再看第三题。第三题呢，也是我们看同样的这个地方， sin 这个值比较接近一百八十度，所以为了便于比较，我们可以把它画成 sin 一 百八十度减去十六度，这样它可以直接写成 sin 十六度。 那么这时候呢，这边是余弦，余弦，那我们可以考虑直接给它画成 cos 九十度加二十度，这样既画小了角，又把它变成了同名的反向数，那我们知道九十度加二十钝角的余弦是负的，所以是负的。再二十度， 那对于这两个锐角的正弦来说都是正的，那这个带着符号，所以明显它是大于 好。所以这个地方，呃，我们大家在比较的时候，就是主要总结这样的规律啊。第一呢，我们要把这些角利用诱导公式画的更小啊，这写一下，利用诱导公式 尽量把角画成小角， 画成小角的目的呢，是为了便于把它们放到同一个单调区间啊， 单调区间尽量相同，这是第一。第二呢，就是尽量用一个公式把它画成同名的 啊，同名的更好，比较主要是采用这两个方法啊。 好，这是单列型的应用，下面我们再看第二个类型，那就是呃，它关于它的对值或者说值域，这个地方呢，主要选了一个题目，那这个题目呢，其实可以代表这个地方大部分题型。 那第一呢，我们来看一下这个函数的最小正周期是 pi， 这个地方设置了一个条件，那根据前面 pi 等于二 pi 除以毫米，我们可以知道毫米是二，所以呢，这里我们可以得到 f x 其实是三倍的 sine， 二 x 加上三分之一派，那然后呢，它让我们求的是在这个区间上的最小值， 那么这时候呢，我们可以想到这个函数像刚才求单列区间的时候一样啊，可以看成这个负函数，这样我们把里边看成 t 的 话， 那么求出 t 的 范围，再通过 sin 图像，正弦函数图像就可以求出来，那么这时候我们可以根据条件先把它的范围写出来，因为这个 x 属于负十二分之派到六分之派， 所以这个二 x 加上三分之派属于，我们算一下乘二以后，先算这边是负六分之派，那加上三分之派，那应该就是六分之派， 那最大这里二一乘以后，三分之派加它是三分之二， 所以呢，相当于求啊，这个三 t 三倍的三 t 在 这个范围内的最小值，那这时候我们也是啊，参考图像， 那么在这个地方有六分之派标出来三分之二派呢，已经到这个地方， 所以在这个范围内，那最大值我们能看出来，那这里求最小最小呢？我们看六分之 pi 对 应的正弦是二分之一，这个呢是二分之三弦，六分之 pi 是 更小，所以这样代入就可以求出 f x 最小值应该是二分之三， 也就是 d 选项。所以这种题的求解还是比较简单啊，就是我们还是利用这个整体法啊，把它看成一个整体，求出角度范围，然后再利用函数图像，其实就是结合它的单调性。 那么这个地方还有常考的一个题目会问到啊，取得 最小值时的 x 是 多少，那么这时候因为我们看图的时候，这很容易，刚才看出来是六分之八十，所以呢，那就是可以填上是六分之八十啊， 所以这种题用这个方法的好处就是我们还比较容易解决，这个，什么时候它能取到最小值啊？ 好，就是这个题目最后这个对称性呢，在这个地方还是比较简单的啊，因为对称性呢，我们是通过函数的图像直观的看出来，所以这个地方呢，我们在解决对称性问题的时候 啊，也是可以直接利用这个结论就行。那和刚才同样道理，求 sin 二 x 减六分之 pi 图像的对称中心和对称轴，那我们来看一下， 把它看成 t 的 话，那么这个 sin t 的 对称中心和对称轴，我们很容易就知道了，那怎么求出这个函数呢？我们就直接利用这个 t 为二 x 减六分之派减出 x 就 可以了。比如说我们先来看它的对称轴， 那它本来三 t 的 对称轴是 t 等于多少呢？我们前面也总结为结论，二分之派加开派开属于 z， 那么这时候我们只需要让这个二 x 减六分之派，整体等于它解出来就可以了。所以这样的话，我们解出来 x 等于先把它移过来，这是三分之二派，除以二是三分之派， 再加上二分之开派，那么这个就是它的对称轴。 那同样的对称中心我们来看一下， 那么对称中心呢？一样道理，因为对称中心是一个坐标啊，我们先看它的横坐标，横坐标那就是让二 x 减六分之派，应该是等于开派， 这样我们可以解出 x 是 十二分之派加上二分之开派， 那这时候呢，我们只需要把它写成它的坐标形式就行，那就是十二分派加二分之开派，零开属于整数， 这样就可以啊。所以呢，这个题和前面对值一样，方法呢，就是利用 呃，整体法啊，把内存函数整体看成 t 以后去求减就行。好，今天这节课我们先讲这。

老师好好，同学们好，请坐。 呃，上一节课呢，我们学习了正弦函数的图像与性质，那么这节课呢，我们将继续来学习余弦函数的图像与性质。 好，那么首先我们来看一下第一个余弦函数的图像， 在讲余弦函数图像之前呢，大家来回顾一下，正弦函数的图像我们是如何来画的呢？ 我们正弦函数的图像利用什么方法来画呢？在这里呢，我们有第一个方法， 方法一，什么方法？列表表演接线，哎，我们可以利用列表 秒点连线可以画出这个图像，那么同样呢，能不能利用这种方法来画出鱼线函数的图像？ 大家应该知道余弦函数和正弦一样，它的周期都是多少？二，二派，所以我们在列表的时候也是的取一个周期，取零到二派这个范围内，我们取一系列值，然后列表从零，六分派，三分派，二分派一直到二派，我们列出这样一个表， 记住，这个表过以后，我们描点，把平，把表中的数据在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线把它们连起来，我们就可以得到 y 等于 cosi x 在 零到二 pi 范围的图像。那么我们得到这个图像过以后，怎样得到在整个定域范围的图像呢？你给他进行干嘛了？平移，那我在平移的时候，大家一定要注意一下，我们得到了这个图像以后，只需要在 零到二 pi 图像向左或向右进行平移，每次平移二 pi 的 单位长度，我们就可以得到函数 y 等于 cosi x 在 整个定义范围的图像。我们把这个图像呢称作是鱼弦曲线，哎，鱼弦曲线，好，这是我们 y 等于 cos x 图像。那我想问一下大家，除了利用列表描点连线以外，我们还可以用其他的方法画图和图像吗？ 还可以用什么方法？五点，五点，五点，五点，大家看一下三 a 是 不是用五点法画图啊？当我们知道 y 等于三 x 的 走势以后，我们在 列表瞄点的时候，是不是这个点就可以少取一些？那么同样大家来看一下， y 除以 cos x 图像，得到这个图像过以后，我们在画图的时候是不是也可以少取一些点，看看哪些点起着关键作用。所以接下来我们对比正弦的画法，我们有个方法， 方法二，五点法，五点法。那么大家告诉我， y 等于 cos x 五点和 y 等于 cos x 五点还是相同的五点啊，那么它的五个点是哪些呢？ 好，大家看一下，在这里呢，我们给出零到二 pi 这样算的那个图像，根据这个图像你能看出哪几个点起着关键的一个作用呢？好，我找同学来说一下。好，这位同学， 零零一，好，第一个，零一二分之 pi， 二分之 pi， 零派负一派也。负一二分之三派，零二分之三派也，零二派，一二派也。 一，对不对，很好，请坐。那么从这个图中我们会发现，这五点在我们画图中起着关键的一个作用，那么从这里我们会发现，这五个点应该说它也是的不适合 x 族的， 怎么了？焦点就是最高点或最低点，所以在这里呢，我们大家看一下，零一 二分之派，零派负一二分之三派，零二派一，这五个点起着关键的作用，他们分别表示了余弦取向于 x 作焦点，其中二派二分之派零，二分之三派零， 另外一个是取得最大值的点零一和二派一零一，二派一是取得最大值的点， 取得最小值的点怕已负一。那么这五个点在我们画图中起着关键的作用，我们把这种方法称为是五点法画出。那么除此之外，还有没有其他的方法画出函数图像呢？ 大家思考一下，你有没有发现余弦函数图像和正弦函数图像很相似，对不对？那么这两个函数图像之间有没有什么关系呢？有没有？有好，这位同学来看一下。那么能不能利用我们上节课学习的正弦函数图像画出余弦函数图像呢？ 啊？你为什么要往左平移二分之 pi 呢？你的依据是什么？根据诱导公式三拷三 x 等于三 x 加上二分之 pi。 好， 他说我还有一个方法，方法三， 方法三说，他根据诱导公式敲三 x 等于什么？三 x 加上二分之 pi， 三 x 加上二分之 pi， 那 么根据右导公式， cos 等于 cos 加二分之 pi， 所以 我们只需要把 cos 图像向左平移， 对不对？很好，请坐。哎，很好，那么在这里大家看一下，我们只需要把 cos 图像整体往左移二分之 pi 单位就得到 cos 图像。 好，这是我们讲的第三种方法，第三种方法有一个导公式， cos x 等于 cos x 加二分之 pi， 所以 我们只需要把 cos x 图像向 左平移二分之八的单位长度，我们就会得到 cos x 图像。在这里大家看一下，我们这个蓝色的曲线是正弦的，我们这个红色的曲线是余弦的， 我们会发现这两个图像应该说它的形状是一样的，就是什么不同，位置不同，哎，就把这个图像整体往左移，哎，往左移，好，这是我们余弦函数的这样一个图像，那么图像讲完以后，大家来思考一下这样的问题， 余弦函数图像中的五个关键点与正弦函数图像中的五个关键点有什么相同点不同？ 大家来思考一下相同点是什么？同桌表，同桌表。那么有没有法从图像上看出他们相同点呢？ 你会发现这五个点不是和，哎，怎么会说了不是什么点最高点就是最低点，要么就是和 x 轴的差一点， 哎，在这里呢，我们会发现它的相同点都是最直时的点和 x 轴的交点，那不同点就是我们刚刚同学说的他是什么？思考 坐标，哎，点了，坐标不同，好，这是我们余函数图像中的五个关键点与他的。接下来思考二，那么再画余弦函数图像的时候。

信息差就是分叉，你的余弦函数还在死记硬背，抱歉，这已经是一场不公平的竞赛了。考场里你对着周期单吊区间抠破头，别人早用技巧了解韩餐问题也能轻松拿捏， 这从来不是智商的差距，而是方法的差距。今天从基础靠塞音到娴行函数，层层拆解图像性质，教你换元法破解最难含残题， 一个视频带你搞定余弦函数！我是小舒老师，今天我将会用二十分钟时间带你系统梳理余弦函数与余弦型函数的图像性质与解析方法。最后一种方法，换元法非常重要，请你一定要看到最后。首先呢，我们先来看一下余弦函数图像性质啊，我在屏幕当中呢，已经把这个余弦函数图像给大家画出来了。大家可能在这个地方会有一个疑问说，老师，那这个余弦函数图像到底是怎么画出来的？ 它跟我们的正弦函数其实是一样的，本质上是由描点法的方法给绘制成的。那么什么叫做描点法呢？我给大家举个例子，例如我令这个 x 等于三分之派，那么我们就可以得到这个 f， x 呢，它就等于我们的 f， 三分之派就等于我们的 cosine， 三分之派就等于我们的二分之一。 由此呢，你就可以得到一个点，横坐标呢是三分之派，纵坐标呢是二分之一。原则上来说，只要你瞄的点足够的多，我们是不是就可以把这个函数的完整图像给它绘出来了？那么有了这样的一个图像之后呢，我们就可以借助这个图像来研究余弦函数的相关性质。首先呢应该是它的定义域， 就是我们总得知道我们是在一个什么样的范围当中研究它的吧，很明显，余弦对于次变的 x 是 没有特殊的限定的，那么它的定义域呢就是二。那么说完了定义域之后，下个是什么？那就是它的值域，定义域呢是 x 的 范围，那值域是什么范围值域呢？就是我们的这个 y 的 范围。 看这个图像大家可以看出来，我们当 x 等于派的时候，它取的最小值负一，而当这个 x 等于零的时候呢，它取的最大值一呗，所以呢，它的值域呢，就是负一到一。 然后大家仔细看这个余弦函数图像，你会发现一个特别有意思的事情啊，就是他跟我们的正弦函数是一样的，就是左右两边无限延伸，并且是一个周期函数。什么叫周期函数？就是他每隔一定的区间呢，他的图像就重复出现了，比如说这个余弦函数的最小重复单元呢，就是我给他画出这一段这样子的， 你会发现他就是这样的一段图像，一直 control c control v， control c control v 这样重复出现的吧。那么所以说我们就可以知道，这个余弦函数图像的最小正周期 t 呢，它就等于我们的二派，当然呢，这个二派是它的最小振周期啊，也就是它最小的重复单元。你像是四派呀，六派呀，八派呀，本质上也是它的周期啊，就是它每隔二派之后，它的函数值呢，是保持不变的。 那么研究完了这个函数的定义域、值域和最小振周期之后呢，我们要研究它另外两个非常重要的性质，就是它的对称轴和对称中心。我们先来看对称轴啊，大家仔细观察一下这个图像，你会发现后，当中这些所有的蓝色线条， 他其实本质上都是他的对称轴。那比如说我给他画一下啊，有这条线，你这样给他画一条线之后，你有没有发现他左右两边是完全一样的？大家可能说这看着也不一样，但是大家注意了，余弦函数图像他是会往左右两边无限延伸的，也就是你这样乍一看他好像不对称，但实际上因为他左右两边无限的重复， 所以它其实从这个位置开始，左边和右边是完全一样的，所以这是它对称轴吧。那么换一个，换成这条线，你会发现它同样符合这个特点。那么有没有什么样的方法可以把这些所有的对称轴给它统一起来呢？哎，可以的，我们观察一下它的数值关系就可以了。比如说这个余弦函数的最中间的这个对称轴呢，就是 x 等于零，其次呢是 x 等于 pi， x 等于二， pi x 等于三派， x 等于四派，发现了没有？它们都是派的整数倍吧，所以说我们可以把这个对称轴呢，统一写成 x 等于 k 派，然后呢， k 属于 z， 同样的道理呢，这个对称中心呢，也有无数个，比如说我们的二分之派零， 二分之三派，零，二分之五派，零，二分之七派，零，二分之九派零，发现了吧，都是二分之派的基数倍，所以说我们可以把它统一写成二分之派，加上 k 派都是零，因为它是点嘛？同样的 k 属于 z， 就是 k， 可以 取所有的整数，比如 k 等于零的时候，就是二分之派零， k 等于一的时候，就是二分之三派零， k 等于负一的时候呢，就是负二分之派零吧。那我们就可以把它所有的这个对称轴和对称轴性都给它呈现出来了。除了这五个性质之外呢，还有两个非常重要的性质，大家也需要记一下，就是它的 单调增区间和单调减区间，那么它的单调增区间是多少呢？大家看这个图啊，我在图像上面给大家画了一段，就是从负派到零的这一段，你会发现这段图像它是越来越高的。我在图像上呢给大家画了一段出来，就是从负派到零的这段，你会发现从负派到零的时候，它的函数值是不是越来越大， 这就是它的单调增序键。而且它的单调增序键呢，也不是唯一的，这是不是也是它的增序键？这，这是不是都是它的单调增序键啊？跟我们的对称轴和对称中心一样的，我们可以用统一的一个表达式呢，把它的所有的单调增序键呢都给表示出来，我们只需要写它其中的一段就好了，就是我们的负派到零。 但是我们刚给大家讲到过这个余弦函数，它是个什么函数？它是个周期函数，最小正周期是多少？是二派，所以说我们需要怎么样加上它周期的整数倍，加上二 k 派，别忘了后面 除以 z， 这就是它的单调增区间啊。那么有了单调增区间之后呢，我们来看它的减区间其实就是从零到派的这一段，你看这个图像是不是越来越矮，这就是它单调减区间，但这只是它众多单调减区间当中一个，你比如你看这些， 这些是不是都是它的单调减区间啊？跟我们刚刚的增区间是一样的，我们用一个统一的表达式把它都给呈现出来，我们只需要写最靠近于 y 九的这一段，就是从零到派， 同样的也需要加上一个周期二 k pad k 除以 c 就 完事了。在这个地方有一个小细节，大家需要注意什么？小细节就是大家可以看到我们在这个写增区间的时候，这写的方括号，在写减区间的时候，这也是方括号。大家注意，以后做题的时候，如果他既求了增区间和减区间的话， 你就不能同时写方括号，你要把其中的一个呢改成圆括号，如果只是单纯的求增减区间的话，那就都写成方括号，这个我解释清楚了吧， 这个呢就是我们余弦函数的最基础的图像性质，那么有了这样的一些图像性质之后呢，我们就可以借助这个函数的图像性质来解答相关的问题。首先呢，我们先来看一下第一道题啊，它是这样说的，让求这个 f x 等于 cosine x 在 三分之派到六分之五派上的值域。那么这道题应该怎么做呢？其实方法非常简单啊，我们只需要借助我们刚刚所讲到的余弦函数图像 来做就可以了，我们刚是不是已经把这个余弦函数图像给它画出来了，就是我们的 f x 等于 cosine 图呢，就长成这个样子的。 那么有了这样一个图像之后呢，大家还需要知道这个图像上的一些关键点的坐标啊，比如说这个地方呢，是我们的负二分之派，这呢是我们的二分之派，这个地方是派， 这个地方是我们的二派，这些点坐标大家需要知道，因为它有助于我们去定位吧，不然的话，你怎么知道三分之派和六分之五派在哪吧？有了这样的一个准备工作之后呢，找题就会非常简单了，你看他不是让你求这个三分之派到六分之五派上的值域吗？那么第一件事情我们先找着三分之派的呗，就是三分之派呢，在这个位置上， 六分之五派呢，他肯定是挨着派的，所以这个点呢，在这个位置上，那所以说这个函数图像，他从三分之派到六分之五派的这段图像呢，就是这个样子的，给大家用这个波浪线给大家描述一下，你看这个图像 是不是就可以找到这个函数图像的最高点在哪？是不是就在三分之派这取得最大值，在六分之五派这取得最小值吧。所以接下来的步骤就会非常简单了，你只需要把三分之派和六分之五派的函数值求出来就可以了。 第一步，你令这个 x 等于三分之派，那么这个 f x 呢？它就等于 f 三分之派就等于我们的扩散三分之派。我们都知道扩散三分之派等多少等于二分之一吧， 然后我们再令这个 x 呢，等于我们的六分之五派，那么则这个 f x 呢，它就等于 f 六分之五派，它就等于扩散六分之五派，就等于我们的负二分之根号三， 你看你最高点有了，最低点有了，最小值和最大值，是不是也就有了？所以它的值域是多少值域呢？就是我们的负二分之根号三 到二分之一就做完了，是不是特别简单？紧接着我们来看下第二种题型啊，就是利用余弦函数图像性质来解不等式。那么这种问题应该怎么去解呢？根据我们刚刚所讲的方法一样，我们肯定要借助这个余弦函数图像来解了，比如我们先把这个余弦函数图像给它画出来啊，就是 f x 等于 cos x 五就长成这个样子的。 我们之前是不是给大家讲到过，我们在研究周期函数图像的时候呢？其实不用研究它整个区间上的图像啊，我们只需要找到它最常用的那个周期内的图像性质，然后再加上周期不就得了吗？我们先把一些关键点的坐标给大家标一下，比如这个点的坐标呢，很明显是负二分之派，这呢是零，这呢是我们的二分之派，对称轴这个地方呢是我们的派， 然后这个地方呢，是我们的二分之三派，我们只需要研究这个曲线就好了。那么既然他要扩散 x 大 于二分之幺三的话，那就是整个的这个函数图像呢，是位于 y 等于二分之幺三这条水平横线以上的，我们给它画这样的一条水平横线 y 等于二分之根号三， 那你想啊，要这个扩散 x 大 于二分之幺三的话，那我们是不是只需要保留位于这条水平横线 y 等于二分之幺三以上的部分就好了，那就是这段儿 以及它周期出现的剩下的部分呗，当然，因为它是左右两边无限延伸呢，所说我们肯定不能都画出来了，我们只需要研究它在一个周期内的范围就可以了，比如说这段，比如说负二分之派到二分之三派这一段， 那么我们令扩散 x 等于二分之根号三，我们就可以得到这个 x 一， 它就等于多少，它就等于负的六分之派，或者是 x 二就这个位置， 它就等于我们的六分之派，所以这个扩散 x， 它要大于等于二分之根号三的话，那么则我们的这个 x 呢，它就是大于等于负六分之派，小于等于六分之派的，没问题吧？当然呢，这肯定不是它最终答案，因为我们讲的过它是个周期函数啊，所以它最终的答案呢，需要加上它的周期二。 kpi 说解集是多少方？括号负六分之派加上二 k 派，到六分之派加上二 k 派，然后 k 属于 z， 这才是这个解集的最终答案。所以你会发现，无论是求值域也好，还是解不等式也好，我们都可以借助它的图像 求解。讲完了余弦函数图像性质之后呢，紧接着我们来给大家讲一讲余弦型函数图像的基本性质。那么什么叫做余弦型函数啊？跟我们的真弦型函数是一样的，就是形如 a 倍 cosine omega 加 f 这样的函数。比如为了方便呢，咱们这道题呢，就以四倍 cosine 二 x 减三分之 pi 为例哈，我们都知道这个余弦函数定义是多少，是 r 吧， 那么我们的余弦型函数就是后面这个函数，它的这个定义呢，自然也是 r， 对 于这个 x 是 没有特殊限定的。 刚刚我们讲了过，余弦函数值域是负一到一，对吧？那么如果说我们这个余弦函数前面有个系数四的话，那它的值域呢，就是我们的负四到四，这个没有问题吧， 就相当于把它扩大了四倍呗。同样道理，余弦函数最小正周期呢是二派，那么我们余弦函数的最小正周期 t 呢，就等于二派 以上我们加的绝对值，那就等于二派比上一个二就等于派，没问题吧？二派比上 x 系数的绝对值就是我们的余弦型函数的最小正周期。大家还记得我们刚刚讲到这个余弦函数对正轴是多少吗？是 x 等于 k 半没有问题吧？ 那么余弦型函数的对称轴应该怎么去求呢？我们只需要令括号里面这坨二 x 减去三分之派等于 k 派就可以了，这能看得懂吗？就是令括号里面黄色荧光笔的这个整体等于我们的 k 派就可以了，然后你把它化简解出来就行， 那就是即我们的二 x 等于三分之派加上 k 派，即 x 等于我们的六分之派加上二分之 k 派。但是不要忘了 k 属于 z 哈，前面也把这个 k 属于 z 呢给补上，因为它能够表示它所有的对称轴。 到这个方法呢，我们是不是也可以把它对称中心给求出来了？我们刚讲到过这个余弦函数对称中心呢是二分之派加上 k 派都是零，后面呢，有一个 k 属于 z， 那 我们要求它的对称中心的话，其实只需要令这个 二 x 减去三分之派等于二分之派加上 k 派就可以了。那就是即二 x 等于六分之五派加上 k 派，即 x 呢，等于十二分之五派加上二分之 k 派， 这个 x 呢，就相当于是对称中心的横坐标吧，所以它对称中心是多少？就是我们的十二分之五派加上二分之 k 派，都是零 k 除以 c 也就做完了，是不是非常简单？有了上面方法的启发之后，你再来去求单调增区间和减区间，是不是简单多了？我们刚是不是讲到过余弦函数增区间呢？是 x 大 于等于负派加上二 k 派，小于等于二 k 派， k 属于 c 没问题吧？ 当然你得写成区间或者是集合的形式。那我们要去求这个四倍 cos 减三分之派的单调增区间的话，我们只需要怎么做？我们只需要用这个二 x 减三分之派，怎么样替换掉 原来的这个 x 就 可以了。所以说你就可以得到负派加上二 k 派，小于等于二 x 减去三分之派小于等于二 k 派，后面呢，有一个 k 属于 z， 你 把这个不等式化减一下不就得了吗？怎么化减？先左右两边都加个三分之派呗，那就是二 x 小 于等于三分之派加上二 k 派， 然后呢，大于等于负的三分之二派加上一个二 k 派。你在左右两边除一个二呗，那就是 x 呢，就大于等于负的三分之派加上 k 派，然后小于等于六分之派加上一个 k 派， k 除以 c。 当然呢，你得写成区间或者是集合的形式啊，比如你可以这么写，这样才是规范表达的结果。我们再来看下减区间是不是一样的道理？我刚是不是讲到过，余弦函数减区间是多少？就是我们的 x 大 于等于 二 k 小 于等于派加二 k 派， k 属于 c。 同样道理，我们只需要用我们的这个二 x 减三分之派替换掉这个 x 就 行了。那你就可以得到二 k 派小于等于二 x 减去三分之派小于等于派加上二 k 派， k 呢？ 属于 z 是 吧？一样的操作方法，左右两边先加个三分之派呗，那就是二 x 小 于等于三分之派，大于等于三分之派加上二 k 派。 然后你在左右两边除上一个二就可以了，那就是 x 小 于等于三分之二派加上 k 派 大于等于六分之派加上一个 k 派， k 属于。对，同样道理，你需要写成区间或者是集合的形式。 你现在还觉得余弦弦函数图像性质很难吗？非常简单哈，知识点讲完了，接下来我们来做几道题。我们先来看第一道题啊，它要求这个 f x 的 最小正周期啊，超级简单。 t 就 等于多少？就等于二？ pi 比上什么？比上 x 的 系数？二啊，就等于 pi， 这不有数就行吗？ 对称轴怎么求？我们刚是不是讲的过，我们是不是只需要令括号里面这坨怎么样？我们只需要令二 x 加上六分之派等于 k 派即可。当然 k 属于 z 哈，那就是即二 x 等于负，六分之派加上 k 派，那就是即 这个 x 就 等于负的十二分之派加上二分之 k 派， k 除以 z 完事。那对称中心是不是一样的道理？我们只需要令括号里面那坨二 x 加六分之派 等于多少？等于我们的二分之派加上 k 派就好了，那就可以得到二 x 就 等于三分之派加上我们的 k 派。 那么所以说这个 x 呢，就等于我们的六分之派加上二分之 k 派， k 属于 z， 但是别忘了这是对称中心啊，它是个点，它的动作表是多少是零啊？ 求它答案呢？应该是六分之派加上二分之 k 派都是零，后面有一个小尾巴， k 属于 z， 那 么求这个单调增区间呢？也是一样的方法。我们是不是只需要令这个二 x 加六分之派，怎么样？ 令这个二 x 加六分之派大于等于负派加上二 k 派，然后小于等于二 k 派， k 属于 c， 你 再化简就行了呗。那就是二 x 就 小于等于负六分之派加上 二 k 派，然后呢，大于等于负六分之七派加上二 k 派，没问题吧？然后左右两边除一个二，就是 x 呢？小于等于负十二分之派加上一个 k 派，然后呢，大于等于负十二分之七派加上 k 派 就算完了。当然这个 k 呢，怎么样是属于 z 的？ 同样的注意细节，你需要写成区间或者是集合的形式。然后大家观察一下这个第五问和第四问有什么区别，其实只有一个小小的区别，就是这个第五问呢，它多了一个限定条件，就是求 f x 在 零到派上的单调层区间就是限定呢，这个 x 怎么样限定呢？这个 x 呢，是大于等于零 角等于 pi 的 呀。你想我们刚刚求出来的这个单调增区间是怎么样？是它所有的增区间呢？ k 是 能够取所有的整数的吧，所以我们需要在第四位的基础上赋值。会有很多同学说我们为什么要令 k 等于零，为什么要令 k 等于一，就是这个目的，因为它限定了 x 只能在零到 pi 这个范围当中。那你比如说你令 这个 k 等于零啊，就是在刚刚第四问的基础上赋值啊，那这个时候你可以算出来这个 x 怎么样？它是大于等于负十二分之七派，小于等于负十二分之派的怎么样？很明显不在零到派这个范围当中啊。然后如果你再令 k 等于一，那这个时候你算出来这个 x 怎么样？它就是大于等于 我们的十二分之五派，小于等于我们的十二分之十一派，这个范围就是可以的。那如果你再令 k 等于二呢？那这个时候呢，你会发现这个 x 呢？就是 x 大 于等于十二分之十七派，小于等于 十二分之二，十三派很明显就不在零的派这个范围当中了。所以说最终符合题的范围只有哪个？只有十二分之五派到十二分之十一派就做完了。 其实会有很多同学在这个地方想半天说，为什么要赋值啊？就是因为题干当中限定的 x 是 大于等于零，小于等于 pi 的， 所以说你需要通过赋值的方式把 x 的 范围限制在零到 pi 的 范围当中啊。然后呢，我们来给大家讲一讲换元法的使用啊。其实这种方法我们是不是在给大家讲正弦型函数图像的时候也讲到过啊？ 那么具体是怎么操作呢？我们来看下这道题，他是这样说的，他让你求这个 f x 在 零到二分之 pi 上的值域，你直接去求值，不太好求啊 啊，因为我们并不知道这个扩散二 x 加六分之派的图长什么样，那么在这个时候应该怎么办呢？哎，换元，如何换元？我们只需要令括号里面那坨二 x 加上六分之派等于 t 即可。请问这个 x 有 没有范围？有范围吗？ x 呢？它是大于等于零小于等于二分之派的，对吧？ 那么 x 大 于等于零小于二分之派的话，那么二 x 呢？它就是大于等于零小于等于派的。那么这个二 x 加上六分之派呢？它就是大于等于六分之派，小于等于六分之七派的， 这就是谁的范围？这就是 t 的 范围啊！ t 是 大于等于六分之派，小于等于六分之七派的。那么由此呢，这个问题就可以转化为求这个 y 等于扩散 t 在 这个 t 大 于等于六分之派小于等于六分之七派上的值域。 这样的话，是不是就和咱们今天所讲的第一道题是完全一样的了？我们只需要先画出这个余弦函数图像长成这个样子的，然后呢，我们只需要在图当中找到这个六分之派和六分之七派的位置就可以了。六分之派在哪？六分之派肯定是挨着这个二分之派的，大概在这六分之七派呢，肯定比派要稍微大一点，大概在这。 所以说这个 y 等于 cos 呢？在六分之派到六分之七派上，图像呢，就长成这个样子的，看这个图像是不可以看出来，那最大值在哪取得？最小值在哪取得？在派这取得呀？所以我们就可以知道，这个 y 的 最大值就等于扩散六分之派就等于二分之一，而这个 y 的 最小值呢，就等于扩散派就等于负一。 你由此的话，不就可以知道值域了吗？因为我们讲到过，值域其实本质上就是最小值到最大值呗，那就是我们的负一到二分之一，就契合了 同样的道理，大家可以来解这个不等式，它不让你去解这个扩散二 x 加上一个六分之派。怎么样？大于等于二分之一吗？是不是看起来好像不太好解啊？我们说如果你不是很熟悉的话，你就换个圆，你就另这个二 x 加上一个六分之派等于 t， 那 它可以转化，为什么呢？ 这个扩散 t 大 于等于二分之一了。哎，你看这是不是又变成了咱们今天讲的第二道题了，它就会从一个相对来说比较复杂的函数呢，变成一个简单的函数。 跟我刚所讲的一样，你是不是只需要把这个扩散 t 的 图给他画出来就好了呗？就刚刚那个图呢，还可以用大概长成这个样子。然后呢，我们找到一条水平的横线， 比如说 y 等于二分之一，大概在这个位置上，我们是不是可以把这两个绿色点的横坐标给他算出来？大家要对三角函数值非常熟悉啊，你应该要知道，这个扩散人负三分之派等于二分之一，这个扩散人三分之派 也等于二分之一吧。所以说这两个点的坐标呢，就是一个是负三分之派，另一个呢是我们的三分之派，你想它要大于等于二分之一啊，那就说明这个 t 的 范围呢，是位于负三分之派到三分之派之间的，那我们是不是可以得到一个不等关系，比如 t 大 于等于负三分之派，小于等于三分之派，但是你不要忘了它是一个周期函数啊，所以你还需要怎么样？你还需要加上一个二 k 派， 当然呢，这是我们谁的范围？这是我们 t 的 范围啊，我们要求出谁的范围？求的是 x 范围，但是别，别忘了，这个二 x 加六分差，它不等于 t 吗？你最后再给它换回来就好了，那就是二 x 加上六分之派，然后呢，大于等于负三分之派加上二 k 派，然后小位等于三分之派加上一个二 k 派， k 除以 z， 你 再画点就做完了。当然大家可能说可不可以不这样换元啊，直接去写可不也行？我们给他换元呢，是希望大家能够看得更加直观一些， 你直接去解不等式，其实也是 ok 的 啊，换元法呢，不仅可以用来求值域和解不等式，它还可以用来求参。比如说这道题他是这样说的，他说已知函数 f x 呢，在这个零到 a 上单调递减，然后让求参数 a 的 取值范围 你就可以使用。我们刚刚所讲的换元法就是你先甭管那么多，你首先第一步先换元，只需要另括号里面那坨二 x 加三分之派怎么样？等于 t 就 可以了。 这个 x 有 没有范围？有啊， x 呢？是大于等于零小于等于 a 的， 对吗？那么 x 大 等于零，小于等于 a 的 话，那么这个二 x 呢，它就是大于等于零，小于等于二 a 的。 那这个二 x 加三分之派呢？它就是大于等于三分之派，小于等于二 a 加上一个三分之派的，那这个就是谁的范围？这个其实就是我们 t 的 范围呗，因为刚令 t 等于二 x 加三分之派吧，那我们就可以知道 t 呢是大于等于三分之派，小于等于二 a 加上三分之派的。 然后我们这个问题是不是就可以转化为 y 等于二倍扩散 t 在 这个三分之派，小于等于 t 小 于等于二 a 加上了三分之派上，怎么样 e 减，然后让你求这个参数 a 的 范围呗。那应该怎么去求呢？他其实还是要记住我们刚所讲的图像来做。我们首先呢，先把这个二倍扩散 t 的 图给他画出来，大概呢就长成这个样子的。 然后我们只需要在这个图像上找着三分之派和二 a 加三分之派的位置不就得了吗？那我们先标记一下三分之派，它是一个具体的值，就在这个位置上。你想一下，这个函数要从三分之派到二 a 加三分之派上是单调递减的，那左端点是固定的，它的右端点是一定不会超过谁的，一定不会超过派的。 为什么呀？因为它一旦超过派，它又递增了呀，因为别人说的是递减呀，所以说它从这个二分之派到它的右端点的时候，是不可能越过派的，因为它一旦越过派，就不会单独递减了。所以说这个二 a 加三分之派这个右端点一定在哪？它一定要在这个派的左边，这个位置呢，是我们的二 a 加上三分之派， 由此你就可以得到一个不等关系，那就是二 a 加上三分之派，他是小于等于派的，他不能越过派啊，那就是即二 a 小 于等于三分之二派，那么这个 a 呢，就小于等于三分之派，别忘了还得大于零哈，因为你这个区间是零到 a 吧，他肯定要比零大呗。 所以你有没有发现这种换元法，他无论是在我们今天所讲的余弦函数当中，还是在我们之前所讲的正弦函数当中，都是非常好使的一个方法，大家一定要掌握的。 以上呢就是我们今天关于鱼弦函数以及鱼弦型函数图像性质的讲解，希望对大家的三角函数学习呢会有帮助，我也会把对应的笔记和学员呢给大家同步到小学里头，如果大家有什么问题的话，欢迎大家随时来提问，我是小树老师，关注我带你掌握更多的高中数学知识。

大家好，我是教中值数学的曾老师，这个视频呢，我来讲一下余弦函数的性质。第一个定义域啊，我们知道给定任意角 r 法呢，它与单位元的焦点的坐标呢，我们肯定是能找到的啊，这里的 x 呢，那就是等于这个 cosine r 法嘛啊，所以呢，我们这里如果以这个 x 为自变量的话，那么这里 x 啊，会属于 r。 第二个值域，我们看到图像呢，他的图像始终在这个 y 等于一和 y 等于负一之间，并且呢，负一和一我都是能取到的，所以我这个余弦函数的值域呢，是这个负一到一的 b 区间，那么什么时候取到这个负一和一呢？这里负一是这个最小值 呃，最大值是等于一，那么当 x 等于，我们看一下负一的位置啊，负一的位置 pi 或者负 pi 都是可以的，这里写哪个都行，那么这里的话，我写 pi pi， 然后加上周期啊， k pi 啊， k 除以整数，这时候呢，我能取到这个最小值， 那么最大值呢，那么零啊，零这个位置，当 x 等于零，加上二 k pi， 所以 二 k 这个零就不写了。二 k pi， 当然 k 属于整数啊，所以取到这个最大值了。 第三个周期性啊，由 cosine alpha 加上二 k pi 等于 cosine alpha。 知道呢，这里面二 k pi 呢，就是它的一个周期了 啊，但是呢， k 不 能取零啊，周期是不能为零的啊，那么一般呢，我们以这个 ip 呢，对 k 取一的时候作为它的一个周期啊。 第四个记偶性啊，由这个诱导公式， cosine 这个负 alpha 等于这个 cosine alpha 啊， 这一点加上它的一个啊，定义域呢，它是属于 r 的， 肯定是关于圆点对称嘛，啊，然后加上这个，这个转换成函数就是 f 负 x 呢，就等于 f x 嘛，啊，那么结合这两点呢，可以知道，余弦函数呢，它是一个偶函数啊 啊，看图像也知道，这里面呢，它的图像是关于 y 轴对称的嘛，啊，第五个单调性啊，单调性在上一上一讲啊，我们讲这个余弦函数的图像的时候啊，根据单位呢，大致讲了一下单调性啊，那么它这里面啊，从零到 pad 这个位置呢啊，一直是单调递减的， 从这个 pi 到这个二 pi 的 位置是单调递增的啊，所以我们截取这两段啊，一个是增区间，一个是减区间啊，先写一下减区间啊，这里面是零到这个 pi， 然后再加上周期的描述啊，二 kpi， 这里面零就不写了啊，这里就写成这个区间的形式吧，那就是这个二 kpi 到这个 pi 加二 kpi 啊， k 属于整数，这里面是单调递减的区间，增区间是这个 pi 到这个二 pi， 然后呢加上这个周期二 kpi， 然后呢 k 属于整数啊，那么这个单调性呢，同样也会有这个考察，这个根据这个单调性啊，判断这个两个角它们的，嗯，余弦值的大小啊， 第二个呢，也是会啊，根据这个给定的给定范围求最值啊，或者值域。

我们来看鱼弦定律这一个模块，那鱼弦定律这一个模块呢，我们呀将其分为六个主要的基本层次，第一个呢是定律的推导， 二三四五呀，这几个模块，虽然我们做了一个细分化的处理，但是呢，他们说的内容啊，其实是同一个内容，就是鱼弦定律的简单应用。 到了第六个模块呢，涉及到余弦定律与三角函数或者是基本不等式的综合应用，那这个一个点呢，难度呢？相对而言啊，复杂那么一点点， 但是呢，也只有那么一点点。首先呢，我们来看余弦定律的简单的推导。呃，什么是余弦定律呢？在三角形 a、 b， c 之中， 我们假设呢，这个 ab 向量呀，是 c 向量，这里的这个 ac 向量呢，是 b 向量，而 bc 向量呢是 a 向量。那么由平面向量的向量的限性运算知识我们知道， b 向量减去 c 向量就等于 a 向量。对这个式子呀，我们两端同时进行平方，那左边呢，就会变成 b 的 平方， 加上 c 的 平方，再减去二倍的 b 的 长度， c 的 长度乘以一个他们所加的角呢是角， a 再等于 a 向量的平方，而由于向量的平方呢，它就表示一个线段的长度，所以呢，左边我们就可以写成 b 方加 c 方，然后呢，把 a 方给它挪过来，那么它就等于二倍的 b 向量的长度乘以 c 向量的长度，再乘以一个 cosa。 这样的话呢，我们就得到了一个余弦定的表达式的一个基本内容， b 方加 c 方减 a 方等于二 b， c 乘以一个 cosa。 当然了，对这个表达式呢，我们还可以进行一个变形处理，变形处理之后就是 cosa 等于 b 方加 c 方减 a 方，比上一个 二 b c， 那 这个形式呢，是很多同学呀，更容易接受的一个基本形式。同理呢，我们也可以对角 b 以及角 c 呢进行一个简单的推导，那这呢就是鱼弦定律的这个推导， 那我们推导出了鱼弦定律的这个基本形式，这个定律它是怎样进行应用的呢？ 想要搞清楚他是怎样进行应用的，我们就要抓住鱼弦定律的关键。其实呢，鱼弦定律啊，他一共包含着四个要素，这四个要素分别是三个边以及 一个角。我们面对的这个表达式呀，其实就是一个简单的方程，而这个方程之中呢，涉及到了四个要素，分别是三个边和一个角。那我们想要使用这个方程， 有一个非常非常简单而又容易理解的这么一个策略，那就是四个要素之中，只要你知道其中三个，一定可以把最后一个给他求出来，那这种用法呢，我们就称之为知三求一。 举一个非常简单的例子，我们来看这样一个题目，角 a 等于六十度， c 等于二， b 等于一，问 a 边等于多少？ 那由于我已经知道了角 a 等于六十度，然后呢，我就可以使用余弦定理 cos a， 它呢就是 二分之一，由余弦定律可知， cosine 呀，等于 b 方加 c 方减 a 方比成一个二 b c， 由于 c 边和 b 边我们都知道，只有 a 边不知道，那么我们把已知量给他带进去，就是四加一减 a 方比上一个二，乘以一个二，再乘以一个一，这里呢，我们不用直接去算， 写完了之后呢，对这个位置和这个位置呢进行一个约分，然后一向左边呢，就是二等于五，减去一个 a 方，所以呀， a 方自然就等于三，那么 a 呢，自然就等于 根号三，那这种求法呢，我们就称之为知三求一。我们知道了一个角，一个边，一个边，那么很容易使用于弦定理，就可以把另外一个边呢给他求出来。这里啊，我们做一个温馨的小提示啊，就是一个题目， 他只要涉及到三个边和一个角，就可以使用于弦定力。我们用到了一个词叫做涉及到， 被涉及到的东西不一定是已知的，比如说我们现在看到的这个题目， a 边他就属于一个被涉及到的边，那我这个题目当中一共涉及到四个要素，分别是三个边和一个角，那我就可以使用余弦定离， 他不一定是已知的，只要是被提及的啊，涉及到的就可以了。再来举一个例子， a 边 b 边三， c 等于五分之四，问 c 边等于几？那这个题目呀，它还是涉及到了三个边，涉及到了一个角 三， c 等于五分之四。那么我们先对正弦呢进行一个转化，给它转化成余弦。由于 正弦等于五分之四，我们不能确定 cosc 是 等于五分之三，还是等于 负的五分之三。上节课我们已经提到了一个正弦值呢，他对应着两个角，这两个角都是有可能的，所以啊，我们分别进行计算，如果他是等于五分之三的，我们使用余弦定例 cosc， 他 就等于 a 方，也就是二十五加 b 方十六减去 c 方，比上一个二乘以五乘以四，这个位置不用算啊，把它约分约掉，那么给它乘到左边就是二十四等于 二十五，加十六减 c 方，所以啊，这个 c 方呢，就等于十七，那这个时候 c 呀，是等于根号十七的， 这是一种可能性，另外一种可能性就是左边呢，如果是负的五分之三，而右边呢，还是二十五。 加十六减 c 方，比上二乘以五乘以四，这个位置给它约掉左边，就变成了一个 负的二十四等于二十五，加十六减去 c 方，那这个时候呀，我们算到的 c 方呢，它就等于六十五，那么 c 就 等于根号 六十五。所以啊，这个题目之中， c 呢，它拥有两种可能性，主要的侧重点就在于这个位置，一个正弦值呀，它对应两个角。 再来看一个题目，三角形的两个边长分别为五和三，他们加角的余弦值是这个方程的根，那么我们先来简单的解一下这个方程， 十字相乘五一三负二，所以啊，一个根呢，是等于二的，而另外一个根呢，是等于负的 五分之三的。由于余弦值，它的范围呢，是在负一到一之间，显然呢，它是不可能等于二的。这样的话呢，我们就知道了，这个余弦值呀，它是等于负的 五分之三的。这个题目呀，明确告诉我们是他们所加的角，那么我们做出一个简单的草图， 这个边是五，这个边是三，所加的这个角的余弦值呢，是等于负的五分之三的。那么我们不妨呀，设他们所对的这个边呢，是 x， 那 由于先定理可知，负的五分之三呀，它就等于五的平方，就是二十五加上三的平方九减去 x 的 平方，比上 二乘以五，再乘以三约分，把这个五跟这个五给他约掉。那左边呢，就是负的十八等于二十五，加上九，再减去 x 的 平方，所以啊，这个 x 的 平方呢，它是等于 五十二的，那 x 呢，自然就等于二倍的根号十三，所以呢，另外一个边呀，就是二倍的根号十三。再来看一个简单的问题， a 边 c 边， c 角问 b 边。哎，你看这个题目呀，他又是涉及到了三边和一个角，那么我们还是直接使用余弦定理考算， c 自然就等于二分之一 考点， c 等于 a 方加 b 方减 c 方， a 方呢，是九加上 b 方未知减 c 方就是七，乘以一个二倍的 a 三，再乘以一个 b， 还是先约分，不用直接算，那么再整理就会得到三。 b 呢，是等于 b 方加二的，所以啊， b 方减三， b 加二等于零。 那么解方程一一负一负二，所以这个 b 呢，可以等于一，也可以等于二。下一个问题 满足， a 等于四， b 等于三倍的根号二角， a 等于四十五度的三角形，有多少个？那么多少个呢，其实就是问有多少个合理的 c 边， 我们想要求这个 c 边的个数呢？很显然呀，这个题目又是涉及到三边和一个角的问题，所以呢，我们先使用余弦定理，把这个 c 边呢给他求一求 考算 a， 那 就是二分之根号二，由余弦定理， b 方加 c 方减 a 方比上二 b， c 把已知量代入，就是根号二，比上一个二等于 十八，加上 c 方减去十六，比上一个二乘以三倍的根号二，再乘以一个 c， 约分这个位置和这个位置给它约掉，乘到左边去，也就是 六， c 等于 c 方加二，所以呢， c 方减六， c 加二等于零。 那很显然呀，这个二次方程正根的个数就是 c 边的个数，因为三角形的边长呢，它不能是负数。所以啊，我们既要判断这个方程有几个根，还要看它是否有正根。 首先我们来算它的判别式得，它呢，就是 b 方减 c， c， 显然呢，这是大于零的。 我们再结合微大定律， x 一 加上 x 二呢，是等于六的， x 一 乘以 x 二呢，是等于二的两根之合与两根之积啊，都是正数， 那就说明呢，这个方程拥有两个正根，那么 c 边呢，自然有两个解，所以啊，满足这样条件的三角形呢，一共有两个。 再来看一个问题，三角形的三边之比呢，是三比五，比七，让我们去求这个三角形的最大角， 那由大边对大角这样一个结论性的知识。我们知道，这个三角形当中最大的这个角呢，就是七，这条边所对应的。我们画出一个剪图， 这个是三，这个五，这个是七。我们假设呀，这个角是 c， 它角。 同学们在记背这个余弦定理的时候呀，一定要注意余弦定理，你除了记住什么考算 a， 考算 b， 考算 c 的 表达式之外呢，我们最好呀，要记住它这几个边的顺序， 它呢是两邻边之积， 比如说在这里边呀，就是 cosine， 它，它等于两邻边的平方之和，就等于三的平方加上五的平方，再减去对着边的平方除以呢，二 b 的 两邻边之积。好，我们简单的计算就是九，加上 二十五，减去四十九，除以一个二，乘以三，乘以一个五，最后呢，这个数就等于负的二分之一，所以啊，这个最大角，它的度数呢，就是一百二十度。 事实上，三五七这几个数字呢，它也是一个非常常用的数字，经常出现在减三角形这之中，我们可以注意啊，积累相关的经验。 再来看一个问题， ab 等于二， ac 等于三， bc 等于四，问， ab 向量加上 ac 向量的模长等于多少？ 那么我们想要求它的这个模长，就要先对它进行一个简单的平方，也就是模长， 它就等于啊，我们先对它进行一个平方， 然后呢，再对它进行一个开根号，这是计算周长，那么我们把它给打开，它就等于根号下 a b 的 平方加上 a c 的 平方，再加上二倍的 ab 向量，乘以一个 ac 向量，那 ab 的 平方呀，它就等于四， 而 ac 的 平方呢，等于九。接下来呢，我们着重计算这个二 b 的 ab 向量，乘以一个 ac 向量，很显然，它就是二，乘以一个 ab 的 长度，也就是二， 再乘以 a c 的 长度也就是三。而 ab 向量与 a c 向量呢，所加的角呀，它正好就是 cosine a， 所以呢，想要求得这个模长，我们就需要求得 cosine a， 由余弦定律可知，这个 cosa 呀，它就等于 b 方加上一个 c 方，也就是三的平方加上一个二的平方，再减去四的平方，比上二乘以三，再乘以一个二，简单的化简， 我们只需要计算上边就可以了。那三的平方加二的平方，再减去四的平方呢，是等于 负三的，因为啊，下边的这个位置呢，与这个位置呀，正好可以抵消，所以最后的结果呢，就是四加九，再减去一个三，也就等于根号十。 再来看一个问题， a 等于根号三， cosa 等于三分之一， b 乘以 c 等于四分之九，问 b 加 c 的 值。虽然说这个题目与前面我们所看到的题目有所区别，就是求的不再是特定的边呀，或者是特定的角等等， 但是呀，他的规律性没有发生任何实质性的改变，就是这个题目，你细看，他还是给了一个角，然后呢，涉及到了三个边，所以呢，我们想要解决他呀，还是使用余弦定理， 只不过在余弦定理的基础之上呢，附加了一点点运算上的小技巧而已。那么我们先使用余弦定理考算， a 三分之一，他就等于 b 方加 c 方，减去 a 方，比上一个二乘以一个 bc， 也就是四分之九。好，我们对它进行一个简单的化简，也就是 二分之三等于 b 方加 c 方，再减三，所以呀， b 方加 c 方就等于 二分之九。那我们怎样能够快速的把这个 b 加 c 给他算出来呢？我们可以这样， 就是 b 方加 c 方，他不是等于二分之九吗？然后呀，我们在这个等式的两端呢，同时给他加上一个二 b c， 那左边呢，他就变成了 b 加 c 括号外的平方，而这个 bc 呢，他是等于四分之九的，那你二 bc 自然就等于二分之九。 所以呢，右边呢，我们给他写成二分之九，也就是九，这样的话呢，我们就得到了一个完全平方式，那 b 加 c 的 值呀，他就等于三。 事实上，这也是鱼线定律当中啊，我们常用的一个简单的运算技巧，就是核与基之间的快速转换。 接下来呢，我们看下一个类型的题目，边角互化与三角形形状的判断。 那由于我们今天的主题呢，是以鱼弦定理作为核心的，所以呢，我们不去过多的涉及到正弦定理之间的这个边角转化关系，我们还是把目光集中到鱼弦定理本身上来， 那这一个小模块呢，就不再像我们前面所提到的那样，直接支三求一， 而我们更多的是关注鱼弦定律本身的形式。然后呢，通过鱼弦定律啊，去沟通一些个简单的计算，进而实现对于三角形形状的判断。我们先举一个简单的例子， 有一个三角形呢，他满足这样一个条件， a 乘以一个口算 b 加上 b 乘以一个口算 a， 是 等于 a 边的。问三角形的形状是什么样的， 那我们想要解决这样一个问题，如果只从余弦定力的这个角度去考量的话，那么这个题目呀，他的题干信息，我们唯一能做的事情就是把这里的考算 b 用余弦定力给他写出来，那考算 b 呢，他等于 a 方加 c 方减 b 方比上二 a c。 同理啊，我们把那个考算 a 呢，也给他写出来， b 方加 c 方减 a 方比成一个二 b c， 他 是等于 a 的。 接下来啊，我们进行一个约分，这个位置与这个位置约掉，这个位置呢，与这个位置约掉。 然后呢，我们两边呀，同时给它乘以一个二 c， 左边呢，剩下的就是 a 方加 c 方减 b 方，加上 b 方加 c 方减 a 方，等于 二 a c。 现在呢，我们处理左边这个位置呀，与这个位置约掉，这个位置呢，与这个位置约掉， 也就是二 c 方呢，等于二 a c。 那 么 c 呢，自然是等于 a 的， 所以啊，两个边相等，它自然是一个等腰三角形。再来看一个题目， 满足的条件呀，是 cosa 比乘， cosb 等于 bba 等于根号二，让我们去判断三角形的形状。 这里呢，我们先把我们解决问题的目光呀，集中到左边这个位置上来，右边的这个长度信息呢，我们后处理即可。 那左边这个信息呢，我们可以对它进行一个简单的交叉相乘，就是 a 乘以 cosine 等于 b 乘以一个 cosine。 好，把左边的这个口算 a 呀，用余弦定的给它换掉，就是 b 方加 c 方减 a 方比上 二 b c， 而右边呢，也给它换掉，就是 b 乘以一个 a 方加 c 方减 b 方，比上一个二 a c。 简单的约个分，把二 c 呢都给它约掉。 那接下来呀，我们方把右边的这个 a 乘到左边，把左边这个 b 乘到右边，左边呢，就变成了 a 方乘以 b 方加 c 方减 a 方。括号等于啊， b 方乘以 a 方加 c 方减去一个 b 方。 由于啊，这个时候呢，我们再把左右两段给他打开呢，就会出现有的位置有四次方的情况，显然呢，再打开呢，就不是特别的理想。 那我们观察题干条件的后半程，其实后半程 b b a 等于根号二，就是 b 啊，它等于根号二 a。 那 这样的话呢，我们可以把右边这个 b 方呢换成 二 a 方，跟左边这个 a 方呢，就形成了一个约分，这个时候算起来就容易多了。左边呢就是 b 方加 c 方减 a 方，而右边呢是二 a 方加 二 c 方减去二 b 方，整理一下就是三 b 方等于 三 a 方加上 c 方。这个时候呀，我们再引入这个 b 是 等于根号二 a 的， 它左边呢，其实就是 六 a 方等于三 a 方加上 c 方。所以我们可以得到 c 方呢，是等于三 a 方的， 那自然就是 c 等于根号三 a， 而由于啊， b 是 等于根号二 a 的。 还有一个边是 a， 我 们观察这三个边，你很容易发现， a 方加 b 方恰好是等于 c 方的，也就是说它是一个直角三角形。 再来看一个问题，这个三角形呢，它符合这样一个条件，让我们去判断三角形的形状。那我们观察到左边有一个 cosine 二分之 b 的 平方， 这个位置呢，结合二倍角公式呀，我们知道左边呢是可以进行降密处理的，二分之一再加上二分之一， 那右边呢，是 a 加 c 比上一个二 c， 左右两段约的这个二分之一，左边自然就是 cosby 加上一等于 a 加 c 比上一个 c。 那 处理到这里啊，我们只能呢将这个 cosby 呀给它还原成 余弦定里，也就是 a 方加 c 方减 b 方比上二 a， c 加上一等于 c 分 之 a 加 c 这样一个形式。 呃，我们不妨呀，对这个式子的左右两边同时给它乘以一个二 a c， 那 左边呢，就是 a 方加 c 方减 b 方加上 二 a c， 而右边呢，就变成了二 a 方加上二 a c， 这个位置与这个位置约掉了。然后呢，我们对剩余的部分呀进行处理，就会得到 a 方加 b 方是等于 c 方的，这明显是勾股定律的形式，所以啊，这个三角形是一个直角三角形。 再来看一个简单的题目，考算 a 乘以考算 b 乘以考算 c 大 于零。问这个三角形呀，是哪种类型的三角形？那结合上节课我们讲的这个储备知识，我们知道 三角形之中呢，一定是有两个锐角的，也就是说这里的考算 a， 考算 b， 考算 c 呀，注定有两个是大于零的， 而另外一个与他们两个相同之后还大于零，就证明这三个呀，全都是大于零的。那么三个都大于零，就证明所有的角都是锐角，那他一定是一个锐角三角形。这个问题呢，是非常简单的， 接下来呢，我们还是来看啊，嗯，与弦对应的有关的一些个特殊的情形。 那前面我们在判定三角形的形状之中的时候呢，呃，经常会涉及到一种解法，就是你把这个余弦啊，他的这个表达式呢，对他进行一个展开，那就把 角给他画成了边，然后我们在边的范畴之内呢，去讨论某种问题。那接下来我们继续举几个有关的例子，我们来看这样一个条件 二， b 乘以个 cosc 等于 a 乘以一个二减 c， 并且呢告诉我们角 b 等于三分之派，让我们去求 a 边。 那这个题目呀，它一共拥有两个条件，嗯，这个条件呢，是一个不太明朗的条件，这个条件呀，就非常的明朗，就是这个角 b 是 一个定值， 我无论是使用正弦或者是余弦呢，都可以求出它对应的三角函数值。所以呢，我们应该把目光呀放在这样一个条件上来， 那么这里边有一个口算 c， 我 们不妨呢使用余弦定例啊，给它展开成二， b 乘以 a 方加 b 方减 c 方，比上一个 二 a b， 而右边呢，是 a 乘以一个二减 c， 好 简单的约分这个位置与这个位置呢，给它约掉，然后我们把这个 a 啊给它乘到右边去，左边就是 a 方加 b 方减 c 方，等于 a 方乘以一个二，再减去一个 a 方乘以 c。 在处理到这个位置之后呢，其实这个条件啊，就没有必要再继续向前处理了，我们认真的去观察，你会发现他其实就是一个三边关系的一个表达式。所以呢，我们考虑第二个条件，就是这个角币啊，他等于三分之派， 那如果我再使用余弦定力，我就可以得到二分之一，就等于 a 方加 c 方减 b 方，比上二 a c， 也就是 a c 呀，它等于 a 方加 c 方减掉一个 b 方。 那有了这个条件之后，我们再重新来看这个条件，如果我们对他进行一个简单的整理，就是把左边的东西给它挪到右边来，就是 a 方加 c 方减 b 方等于 a 方乘以一个 c， 那么这个条件与这个条件的右边呢，长的是一样的，所以啊， a 方 c 呢，它就等于 a 乘以 c， 那 我们自然就可以得到 a 呢，是等于一的 下一个问题。 a 等于负， c 乘以一个口算 a 加 c， 让我们去判断三角形的形状，我们知道这个口算 a 加 c， 其实就等于负的口算 b， 所以 啊，这个条件就是 a 等于 c 乘以一个 cosb， 那 么我们把这个 cosb 呀给它还原，就是 a 方加 c 方减 b 方，比上 二 a， c 这个位置与这个位置约掉，把这个东西乘到左边，就是二 a 方，等于 a 方加 c 方减掉一个 b 方， 所以呢，我们可以得到呀， a 方加 b 方是等于 c 方的，所以这个三角形呢，是一个直角三角形。

这个视频我们来学习七点三点三余弦函数的性质与图像。前面我们已经学习了正弦函数的性质与图像，有了前面的学习，再来学习余弦函数的性质与图像，就变得非常简单了， 因为对于任意一个角 x 都有唯一确定的 cosine 与之对应，所以 y 的 cosine， 它是一个函数，一般称为余弦函数。 显然，现通过正弦线研究正弦函数性质一样，我们可以通过余弦线来研究余弦函数的性质 啊，这是可以做到的。不过呢，我们有更简单的办法来研究余弦函数的性质和图像，就是通过正弦函数的平移。我们知道 cosine x， 它可以表示为 sin x 加上二分之 pi， 所以 y 等于 cos， 它的性质与图像和正弦型函数 y 等于 sin x 加二分之派是完全相同的。 而我们刚刚学习的是 y 等于 sin x， 它的图像呢，可以通过平移得到 y 等于 sin x 加二分之派的图像，它是向左平移了二分之派。 我们已经熟悉了 y 等于三 x 的 图像，只需只需要把它平移往左平移二分之 pi 就 可以得到它，而它呢，就等于 cosine x。 我 们来看下面这个图，蓝色的就是 y 等于 cosine x， 只需要向左平移二分之 pi 变成黄色的这个曲线，它就得到了 y 等于 cosine x， 它的函数的图像。 好，这就是它的图像。接下来我们来看一看余弦函数的定域和值域，它的定域呢，很显然，和正弦函数 y 点三 s 的 定域是一样的，都是 r， 值域呢，也是负一到一，并且它的周期也是相同的，是二派 单调区间会发生了变化，平移之前单调递增区间是从负二分之派到二分之派，这样的区间是单调递增区间， 然后向左平移之后呢是负派到零。那么我们表示出来所有的单调递增区间就可以表示为负派加二 k 派到二 k 派是单调递增区间，二 k 派到派加二 k 派， 也就是这段是单调递减区间，这段是单调递减区间。 函数的零点在这就可以表示为二分之 pi 加 k pi。 另外根据诱导公式，我们可以得到 cos 负 s 等于 cos s， 很 显然满足偶函数的定义，所以说 y 等于 cos s。 余弦函数，它是一个偶函数。然后看图像，图像是关于 y 轴对称的， 并且我们通过图像观察可以发现余弦线余弦函数的图像，它的对应轴呢？在这就可以表示为 x 等于 k pi 对 称中心，这都是对称中心，就可以表示为二分之 pi 加 k pi 逗零。 接下来我们来看例题。一，求下列函数的值域。根据刚才的学习，我们已经知道这个 cos x， 它是大于等于负一，小于等于一的，那么这个函数 y 对 吧？前面由于前面有个符号， cos x 取得最大值的时候， y 取得最小值，所以 y 大 于等于把 cos x 等于一带入，就得负二小于等于把负一带入， y 取得最大值， 那就是三加一，四等于四。好，再来看第二个，第二个我们可以通过换元令 t 等于 cos x， 那 么 t 的 范围就是大等于负一，小等于一，那么整个函数就变成 y 等于 t 加二分之一的平方再减三。 我们画一下这个二次函数的图像对应轴是 t， 等于负二分之一， 然后在这个图像上找到负一和一，负一在这个位置，一在这个位置，很显然一离对线轴更远，那么在一取得最大值，对线轴这个位置在这个位置取得最小值， 所以 y 的 最小值就是函数的最小值，就是 t 等于二分之一的时候，它的零就是负三，它的最大值 就是 t 的 一的时候。那么把一代入二分之三的平方四分之九，四分之九减三，那是减去四分之十二，等于负的四分之三，所以 y 就 大于等于负三，小于等于负的四分之三，指括号这个函数的值域。 再来看例题二，判断下列函数的基偶性，对吧？判断基偶性，通常我们可以用定义，就是把负 s 代入 来判断。另外，我们根根据它的图像，原来这个函数是不是括号 s， 它是偶数啊，它上往上拼一两个单位，它还是偶数呗。因为它还关于 y 轴对称，所以说它一定是偶的。 或者把负 s 代入 cos， 负 s 等于 cos， 它还是有函数。然后它呢，也可以通过通过定义，比如说设它为函数 f x， 那 f 负 x 呢？ 就等于 sine 负 x 乘以 cos 负 x。 右导公式，嗯， cos 负 x 就 等于负的 cos， cos 小 于 cos 等于 cos， 它就等于负的 f x， 所以 说它就是奇函数。另外呢， cos 我 们知道它是奇的， cos 呢？我们知道它是偶的， 那么奇函数乘以一个偶函数，得到的一定是奇函数。这样判断也可以。 再来看例题，赞，求这个函数的周期。呃，和其图像的对称轴方程 周期的话，就取决于这个欧米哥呗。那周期 t 等于二 pi 比上欧米哥，那么欧米哥是三分之一，所以说二 pi 比上三分之一，那就等于六 pi。 对称轴的话，我们要把这个括号里当做一个整体去和 cos y 等于 cos x， 它的对称轴去对应， 那么就令这个 x 比三减去四分之 pi， 它等于 k pi， 因为 y 等于 cos x， 它的对称轴是 x 等于 k pi 嘛。 我们要把这个括号里当做一个整体，令它去等于 k pi， 然后解出 x， 解出的 x 就是 它的对称轴方程，那么解一下 x 就 等于四分之三 pi， 加上三 k pi， k 属于 z。 再来看例题四，求函数 f x 等于 cos， 这是一个余弦函数在这个区间内的最大值和最小值。 那么做这个题，我们学完了余弦函数的图像之后，通常就利用它的图像去求最大值和最小值了。那么我们画出一个 cosine s 它的图像， 我们画出一个周期的图像，找到负四分之派，我们知道这是负二分之派，这是二分之派，然后这是派这个位置 派，这是二分之三派。那么找到负四分之派在这个位置， 四分之三派在这个位置， 这是四分之三排。就是在这这段图像上求它的最大值和最小值。这显然最大值是多少一呗。 最小值呢？最大值在这取，最小值在这取在这取，应该是负的二分之根号二。

大家好，我是教中值数学的曾老师，这个视频呢，我来讲一下余弦函数的图像和性质这四道练习题来。第一题，求函数 y 等于二， cosine x 减一的最大值和最小值，并写出取得最大值最小值时自变量 x 的 集合。 我们知道 cosine x 的 一个值域，那么要求这个整体的话，那么就根据这个 cosine x 它的一个范围来写一下，那就是负一小于 cosine x 小 于等于一， 我都要变换一下啊，它的系数有二，那就同时乘二，左边是负二了哦，二口三， x 小 于等于二，然后后面还有个减一，再减个一，二口三， x 减一， 然后负二减一，那是负三啊，二减一等于一了。所以呢，我们这个啊，这个函数，它的一个啊值域就是负三到一了，那么最小值就是负三了，最大值是一啊。 那么再反对回去，我什么时候取到这个啊，负三呢？那就是当 cosine x 等于负一的时候啊，什么时候取到这个啊，一呢，那就是 cosine x 等于一的时候啊。所以呢，这里当 这个 cosine x 等于负一及 x 等于啊， pi 加二 k pi 的 时候呢，有 这个最小值等于负三，此时 x 的 集合 为我们写成集合的形式，那就是 x 等于 pi 加二 k pi 变去整数啊，然后是最大值当口算以 x 点一时啊，即 x 等于啊，二 k pi 有最大值就等于一，此时 x 的 集合为 x 等于 r k pi 数整数啊。第二题，已知角阿尔法，贝塔都是锐角啊，且阿尔法小于贝塔，则它们两个的比于弦值谁大谁小。 锐角的范围咱们是知道的啊，锐角是在这个零到二分之派这个范围内的角呀，啊，那么在这个范围内呢，我们这个余弦函数啊，可以看到上面这个图案啊， 零到二分之派呢，它是当下递减的呀，所以呢，它这个角度越大呢啊，余弦值反而越小，所以呢，这里面啊，应该是 cosine alpha 大 于 cosine beta 了。 第三题，求函数 y 等于根号口乘以 x 的 定义啊，我们知道要使这个式子有意义啊，应该让这个根号里面啊，这个式子根号 x 大 于等于零，那么就要求这个啊，它的一个解析了，我们看图像，嗯，把这个擦掉， 我们要求的是这个啊，是 y 等于它是吧，那就是 y 大 于等于零的部分啊， y 大 于等于零的部分啊，这啊，我知道等于零，那么端点就取上实心，实心啊，这是这一个范围内，然后其他范围也有，那么只要加上一个周期的描述就好了呀，那么先把这个啊 写一下，那么是在这个负二分之派到二分之派这时候是那个大于等于零的啊，所以呢，我加上周期呢，应该是啊，定义域为 到二分之 pi 加二 k pi， 到这个二分之 pi 加上二 k pi 这个 b 区间啊， k 属于整数。 第四题，求函数 y 等于 cos 二 x， 它的单调区间啊，这个跟之前有道练习啊，也是一样的处理，把这个看作一个整体啊，我们知道 cosine 啊，我就把它表示一下，令 t 等于二 x， 那 么这个原来的这个式子 就会变成 cosine t 了呀，是不是就说只是变量啊，替换了一下啊，那么 cosine t 它的一个单调区间呢啊，应该跟我们前面那个性质啊，总结的那个啊，单调区间是一样的，只不过呢，这个 t 呢，是二 x 的， 比如说单调递减的范围 啊，它是从这个二 k pi 小 于等于 t 小 于等于 pi 加二 k， pi 也属于整数。这时候我的这个 t 呀，是等于二 x， 那 就写成二 x 啊，然后呢，你把这个奇数画一呀，就是 x 的 范围了呀，是不是所以同时除以二，那就变成 k pi 小 于等于 x 小 于等于二分之 pi 加 k pi 啊，所以当掉例减区间呢 啊，我写在这边，所以单调递减区间为 kpi 到 octave 加上 kpi， k 属于整数啊，这是一个了，那么这里面我就不用这个变量替换了呀，直接用另一个啊式子取出这个 x 的 范围来就好了啊。 那么单调递增区间也是一样的处理方法，我们只要这个令这个 pi 加二 k， pi 小 于等于二 x 小 于等于到二 pi 的 这个位置，加上二 k pi 得， 那就同时除以二二分之 pi 加 k pi 小 于等于 x 小 于等于 pi 加 k pi 啊，所以我们这里写上单调 递增区间为这个二分之 pi 加 k pi， pi 加 k pi 啊， k 属于整数。

好，回归数学的本质，追探求知识的根源。这一课我们继续来学习正与弦函数的性质。 那么上一课我们已经学习了正余弦函数的图像，那么很多性质呢，都是通过图像观察出来的，所以呢，大家在学习图像的时候，一定要把正余弦函数图像印在脑子里， 那么我们知道学习函数的性质，在这个前面，我们学习函数的时候就知道啊，它可以研究，比如说函数的定义，域值域、单调性、极偶性， 那么这个地方三角函数呢，又多了一个周期性。好了，那我们下面先看一下这个周期函数的定义， 我们可以先借助前面我们学习的这个三角函数定义，看一下 一个正弦函数它是如何具有周期性的。实际上呢，这个我们在前面也提到过，比如说像正弦函数， 那我们应该还记得正弦是角的中边与单位边交点的纵坐标，那么并且当时我们讲了三个弦数线， 从这个点向下边做垂线，那么得到这个有向线段 mp 就 表示正弦 好了，那我们看这个正弦在变化的过程中，应该是从啊中边，从这个 x 轴恢复完之后开始的话，它从零开始，那么我们知道它 算一课已经学过啊，它从这里一直变大，变大到一，然后呢又从一变到负一，从负一又变到零，那我们可以看到 旋转了这么一周以后，那么他中边的位置又开始和之前重复了，那么这样就体现了一种周而复始的性子， 所以呢，我们把这种性质呢就叫周期性，它就体现了周期性。 好，这是我们前面学习过的内容，那么具体应该怎么对一个函数的周期进行定义呢？那我们来看一下， 简单地说就是如果一个函数它的某个 x 值加上了一个 数量以后，对应的函数值和原来这个 x 对 应的函数值相等，那大家想一想，那是不是就体现了周期性啊？因为你这个自变量 x 加上了某个数值以后，它仍然和原来相等，那关键是呢，对于每一个 x 都是这样体现的， 我们可以想到，那这个加上这个数就是它的周期， 那当然这是一个简略版的这个周期性的定义，那我们可以再详细的把它完善一下。那首先呢，就是对于函数 f x 定义域为 d， 如果存在一个非零常数 t， 使得对于每一个注意是对于每一个 x 啊，属于 d 都有 f x 加 t 也属于这个， 那然后呢，就是满足刚才我们说的这关系，那么 f x 就 叫周期函数。 那我们再分析一下这个定义。首先呢，刚才我们说的意思其实都体现在里边，就是对于定义域内的每一个 x， 它加上 t 以后，对应的函数值和原来相当， 那这样的函数叫周期函数，那么这个非零常数 t 呢，就叫周期。 那么首先这个地方强调了非零常数，那首先它是零的话，没有什么意义啊，所以一般周期是不能为零的啊，我们要注意这里。 好，所以这个定义我们结合着之前的例子啊，再结合着它的实际，应该是比较好理解的。那这样给出了这个定义以后，那我们就可以以后利用这个定义的这个主要的关系式去判断一个函数的周期， 那么所以我们来看这个周期是唯一的吗？ 那通过刚才这个例子也可以看出来，那么它旋转一周以后，到这个地方它又开始重复，也旋转两周以后也可以重复，所以呢，一个函数的周期并不是固定的， 那么在所有的周期中存在一个最小的正数，我们把这个最小的正数叫做 f x 最小正周期。 那么这个地方大家要注意，如果一般我们没有特别说明的话，函数的周期 一般指的就是函数的最小正周期，没有特殊说明啊。好，这是先学习一下这个函数的 周期性，那么对于这个周期函数，它不是只针对这个三角函数而有的，对于其他函数，如果满足这个关系照样可以啊。 好，学习完这个定义以后呢，我们再来看正余弦函数的一些性质，那么这个地方呢，我把这个图像和性质都总结了一下啊，总结在这个表格里， 那么刚才说的大家学习他的性质很简单，只需要把他的图像记在脑子里，然后他的性质我们就自然记住。 首先我们还记得上一课说过，正弦函数、余弦函数两个函数的图像都是一样的波浪线， 那么只不过呢，它们的位置不一样，把握住一个关键点就是三 x， 它是过圆点的，而 cos 呢，是关于 y 轴对称的， 先把握住这两个关键点，那么首先它们的定义域呢，都是全体时数，这一点很简单，那下面我们再来看其他的性质，那么这些性质呢，我们就通过它俩的这个 图像去分析一下，所以呢，我们再把它它俩的草图来画一些。啊， 好，这是正弦函数的草图， 我们记着它们的一些关键点是零派， 二派，那么这个地方呢，对应的是二分之派，这里对应的是二分之三派，好，余弦呢？ 好，那这个地方相应的是零，那这里呢是二分之派， 这里是派二分之三派，这个地方是二派。那上一课呢，我们主要画了两个函数图像，在零到二派内的图像， 那上一课我们也说过这个，在研究函数的性质时，我们需要哪个周期就去看哪个周期。 那么我们来看一下，通过这个函数图像，我们可以总结出哪些性质。首先定义域， 那么从两个图像都可以看出，正弦函数，余弦函数，它们最大都是一，最小呢，都是负一，或者说夹在 y 等于正负一这两条直线之间，因此正弦函数的定义是负一到一， 余弦函数呢，也是负一的，并且呢，我们要记住他们取得最大值，最小值时的啊， x 的 取值，以正弦函数为例，那当取负一时， 这时候呢，它对应的 x 应该等于多少呢？我们可以看到这个地方 靠近 y 轴更近一些，这个地方是负二分之派，所以呢，我们可以把这个 x 写成负二分之派，那当然，因为它不止这个地方有，那我们发现它每个周期内有一个，所以呢，就是加 二开派，开属于整数级，那 y 等于一，取得最大之时呢？我们从图像上可以观察到，那它是 x 等于二分之派， 也是同样加二开派，这呢开也是属于正数，那余弦函数呢，也是类似，大家可以通过图像自己去看一下。 好，这是它的值域，那它的周期性，那其实前面我们多次用到啊，它们的周期都是二派， 那么这一点呢，我们通过啊，这个前面我们学习的诱导公式就可以知道啊，这个 sin x 加上二 k pi 是等于 sin x， 所以 整个二 k pi 呢，都是它的周期。那么我们这个地方提到的周期呢，是指最小正周期，所以就是当 k 等于一时， cos 乘 x 同理。 那然后再看奇偶性，奇偶性呢，我们看图也应该知道，正弦函数是 g 函数，余弦函数呢，是偶函数啊，它关于 y 轴对称，它是关于原点对称，那么我们从这个 函数定义的角度看，因为它定义域是处于全体输入，然后呢， g 函数满足 f 负 x， 也就是 sin 负 x 应该等于负的 sin x， 这一点我们通过诱导公式就可以得出，那 cosine 负 x 呢，就等于 cos， 所以 它是 o 函数。好，前面这几个性质呢，还是比较简单，下面我们再看一下这个单调性， 那我们看这个正余弦函数是我们学习过的基本初等函数里边，这个单调性比较复杂啊，因为它是一条波浪线，所以 整个定律内它不单调，并且呢，它的增区间减区间有很多，但是我们知道它有周期性，因此呢，我们可以通过周期性去概括它们的单调区间。比如说像正弦函数 这些函数，我们看如果我们研究零到二派内这个周期内，那么它的增区间有两段，那所以这时候写的时候呢，我们就呃，写起来比较麻烦，所以一般情况下，我们可以考虑从负二分派开始研究 啊，这就是前面我们提到用到哪一个周期就写哪个周期，就可以从负二分之派到二分之三派也是一个周期，那么这时候我们看他的递增区间呢，就可以从负二分之派到二分派，递减区间呢，就从二分派到二分派， 加二分派加二分派， 那同样的余弦函数，余弦函数，我们可以用零到派作为减区间，派到二派作为增区间。当然呢，我们可以考虑离 y 轴比较近的啊，那这边呢，用负派到零作为增区间，零到派作为减区间 啊，所以它的增区间的表示可以用负派加二克派到二克派。 那像这个地方呢，大家在记忆这些知识的时候啊，我们不要去死记硬背，就是把这两个图印在脑子里，那同样的它的减区间也就是刚才我说的这两个啊， 那么再看对称性，那么还是回头去看到这个图像，把对称性一块总结。 那么首先呢，我们可以看到这个函数呢，正弦函数，它首先刚才是一个奇函数，那也是它是个对称图形，并写中心对称， 那么中心对称，对称中心有多少呢？我们看这个零零肯定是，但是我们发现在整个定域内，那么后边这个派零也可以是它的对称中心，因为绕派零这个点旋转一百八十度，它仍然能够重合， 那也就是说我们往后可以发现所有的零点都是他的对称中心，那这样这个对称中心呢，就可以总结为，哎，他是每个派出现一个，所以零加开派他的函数表，所以直接写成开派， 那因为它是一个对称中心，所以写成坐标的形式就是开派零，那没有发现它也也是一个轴对称图形，那么它取的最大值，最小值处都是它的对称处 啊，所以也是每个派出现一次，那么这里最小正的我们可以写成 x 等于二分之派，那当然再加上开派就行了。 那么对于余弦函数来说呢，我们看它首先对称轴，我们发现它是 y 轴，那么取得最小之处也是也是每个派出点，那因此呢，它的对称轴就是 x 等开派， 那它也是中心对称图形，我们发现正好和这个正弦是两个，这个是互换的 啊，因此通过图形大家就很容易得到下面的这些知识 啊。首先正弦的对称中心开拍零，那余弦的对称中心是二分之一加开拍零，那么对称轴的方程呢？我们可以发现这里正好它的 对称中心的横坐标就是它对称轴的 x 表示啊，同样的，那么余弦的对称轴处正好是正弦的对称中心处啊，两者是互换， 所以通过这些对比呢，大家可以很容易的掌握这些知识。好，这就是今天我们要学习的这个正余弦函数的性质，大家一定要记住，把知识 图形化是我们学习很多知识的 重要方法，那这一课体现的很明显，大家一定要把正弦与弦函数的图像印在脑子里，那么它相应的函数性质啊，就自然就记住了。

中国空间站每九十分钟绕地球运行一周，每日运行约十五至十六圈，是周而复始的。如果把运行轨道作为一个单位长度，那它的运行轨道就是一个 单位圆。上节课我们利用单位圆定义了任意角的正弦函数和余弦函数，我们一起来复习任意角正弦函数。余弦函数的定义 设阿尔法为任意角，阿尔法的中边于单位圆交于点 p， 点 p 的 坐标是 u v， 这时角阿尔法的正弦函数来，这位女生点 p 的 作坐标 v 是 该角的正弦函数，值记作 v 等于三 a r。 点 p 的 横坐标 u 记作该角的余弦函数，值记作 u 等于 cos。 阿尔法非常棒，请做。 这时点 p 的 坐标就可以用角阿尔法来表示。点 p 的 坐标，横坐标为 正坐标为三亚法。正弦函数与弦函数分别是以角阿尔法为自变量，点 p 的 纵横坐标为函数值的函数。 通过单位元的定义，我们就把点的坐标与角阿尔法对应起来。 今天我们利用单位原来探讨正弦函数、余弦函数的基本性质。我们回想在学习指数函数、对数函数、逆函数的时候，探索函数的一般路径是什么， 是不是从实际背景中抽象出相应的函数概念，通过描点作图，利用图像来分析性质，进而进行实际应用。 但是三角函数是在单位员中定义的，单位员有丰富的几何特征， 这样的对应关系使得三角函数也具有非常特殊的性质。所以今天我们在得到了三角函数概念之后，直接利用单位元来研究正弦函数和余弦函数的性质， 大家来思考，我们要研究一个函数的性质，经常分析哪些方面 可以研究一个函数的定义域？定义域， 单调，单调性，还有呢？还有解偶性，还有很多的性质， 所以我们从三角函数的定义出发，利用单位元来探究正弦函数与弦函数的基本性质。下面开启本节课的探究之旅。三角函数作为函数的一种定义域是我们首先要研究的问题。 正弦函数的定义域是 r， 由函数概念我们可知，定义域是指自变量 alpha 的 取值范围由任意角。三角函数的定义，我们知道 alpha 的 取值范围是 r， 所以 正弦函数的定义域是 r， 这也是上节课我们已经探求出的内容。 得出定义域之后，我们来思考，如何利用三角函数定义和单位元来探求正弦函数的最大值，最小值以及它相应的值域呢？由三角函数定义，我们可知正弦函数 与点 p 的 哪个坐标对应，所以我们要研究正弦函数的值域，其实就要研究点 p 的 纵坐标，它的变化情况。 下面请小组合作探讨来思考这个问题。 二十八二十八 good bye 啊啊 啊啊！ 哪些小组已经探求好了？在旁边那个男生， 经过讨论，我们小组发现，根据三角函数的定义，将当角 alpha 取二分之差时， p 点的纵坐标可以取到最大值为一。当角 alpha 等于负二分之差时，啊， p 点的纵坐标可以取到最小为负一。 大家同意他的观点吗？同意，我看大多数同学都同意他的观点，真理掌握在多数人的手中吗？大家请看动画演示。