六年级下册数学正比例定义批注

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例。上课之前，我们先来看一个式子，速度等于路程除以时间，其中路程和时间之间有关系。 在数学中，我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做相关联的量。 我们之前还学过总价除以数量等于单价，这个式子中，我们可以说总价和数量是相关联的量。 还有工作总量除以工作时间等于工作效率这个式子中，我们可以说工作总量和工作时间是相关联的量。 还有一本书看来的页数加剩下的页数等于总页数，这个式子中一本书看来的页数和剩下的页数是相关联的量。 好啦，了解完什么事相关联的量之后，我们来看书上的利益。题目中说，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系如下表，我们根据这个表格来回答一下几个问题。 来看第一个问题，表中有哪两种量？表中有两行，第一行表示的是数量，第二行表示的是总价，所以表中的量是数量和总价。 再来看第二问，总价是怎样随着数量的变化而变化的？我们来看表格，数量是一的时候，总价是三点五。数量是二的时候，总价变成了七。 数量是三的时候，总价变成了十点五。所以当数量慢慢增多的时候，总价也在随着相应的增加， 也就是说数量越多，总价越高。再来看第三问，相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？我们先来看相应的总价与数量的比， 当总价是三点五元时，数量是一米，所以第一组总价与数量的比是三点五比一，也就是 一分之三点五，以此类推。第二组是二分之七，第三组是三分之十点五，第四组是四分之十四，第五组是五分之十七点五， 第六组是六分之二十一，第七组是七分之二十四点五，第八组是八分之二十八。 再来求比值，因为总价除以数量就求出来它们的比值，求出来比值都是三点五。求比值的时候是让总价除以数量，而总价除以数量求出来的是单价， 所以比值三点五实际上就是彩带的单价，用式子表示，就是总价除以数量等于单价。 像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 那到底怎样判断两种量是否成正比例关系？那到底怎样判断两种相关联的量的比值是一定的， 所以我们要判断是否是正比例关系，我们要先求出来它们的比值，如果比值一定，它们就成正比例关系。如果比值不一样，它们就不成正比例关系。 我们来看简单的记法，如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，这里的比值是一定的。正比例关系可以用下面的式子来表示， 也就是 x 分 之 y 等于 k， 这里的 k 是 具体的值。好啦，了解完什么是正比例关系之后，我们来看一道题。这道题说下表示小林家去年上半年每月用电量情况来看，第一问 分别写出个月电费与用电量的比，比较比值的大小来看，第一个月电费是六十元，用电量的 用电量是一百二十千瓦时，所以他们的比是六十，比一百二十。 第二个月的比是六十五，比一百三十。第三个月的比是五十五，比一百一十。第四个月的比是六十，比一百二十。第五个月的比是六十五，比一百三十。 第六个月是七十五，比一百五十，他们求出来的比都是零点五，所以他们的比值是相等的。再来看第二问， 说明这个比值表示的意义，因为我们求比值的时候是电费除以用电量，而电费除以用电量求出的是用电单价，所以这个比值表示的就是用电单价。 再来看第三问，电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么 在第一问中我们已经求出来电费和比，在第一问中，我们已经求出来电费和用电量，它们的比值是一定的，所以它们成正比例关系。好了，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的反比例。前面我们学习了什么叫正比例的量， 什么叫正比例关系，还记得吗？两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。只要两个量的比值一定，并且是相关联的，那么这样的两个量就是成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。 那如果用式子表示正比例关系， y 比 x 等于 k， k 一定就证明这两个量的比值一定，所以成正比例关系。既然有正比例，那一定就有 反比例。那什么叫做反比例的量和反比例关系呢？一起来看。例二，把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器。容器的底面积与水的高度的变化情况如下表， 容器的底面积是十平方厘米，水的高度是三十厘米，容器的底面积十五平方厘米，水的高度二十厘米，底面积二十高十五。底面积三十高十，底面积六十高五。 你们发现了什么？对，随着底面积的增大，我们发现水的高度在逐渐的变小。那好，请根据上表回答下面的问题。第一，表中有哪两种量呢？对，一个是容器的底面积，另一个量是水的高度。 那么水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的呢？大家观察表格，在体积不变的情况下，底面积越来越大，而水的高度却是越来 越小，所以我们得到水的高度随着容器的底面积变大而不断变小， 计算相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？我们一起来看，底面积是十，高度是三十，体积三百，底面积十五，高度二十，体积三百，底面积二十，高度十五， 体积三百，三十乘十三百，六十乘五三百。孩子们，你们发现了什么？我们发现他们的乘积都是三百， 那这个三百他表示的是什么意思呢？对，实际上就是倒入容器的水的体积，体积不变，那么用式子表示他们的关系就是底面积，乘高度等于体积， 体积一定，底面积不断的增大，水的高度逐渐的减少，但是他们两个的乘积一定。像这样 两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做乘反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 判断两个量是不是成反比例关系，我们要看什么？对这两个量的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量，他们的关系就叫反比例关系。在上表中，高度和底面积这两个量就是成反比例的量， 高度与底面积之间的关系就成反比例关系。那如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积，乘积一定反比例关系，那我们就可以用这样的式子来表示， x 乘 y 等于 k， k 一定，乘积一定，就证明这两个量成反比例关系。那根据反比例的意义，孩子们，你能举出生活中乘反比例关系的例子吗？ 来看，小梅举了，如果长方形的面积一定，长与宽乘反比例关系是这样的吗？我们知道，长乘宽等于长方形的面积， 面积一定，那就是长和宽的乘积一定，所以长和宽乘反比例关系。小兵举出例子，如果总价一定，价价与数量乘反比例关系正确吗？因为单价乘数量等于总价， 总价一定，那就是单价和数量的乘积一定，所以单价和数量成反比例关系。孩子们，你还能举出生活中哪些成反比例关系的例子呢？ 好了，孩子们，我们学习了正比例关系和反比例关系，那么他们之间有什么相同点和不同点呢？接下来我们来比较一下， 不管是正比例关系还是反比例关系，他们的相同点都是都有两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，那他们的不同点呢？ 正比例关系，两种量中相对应的两个数的什么一定对比值一定，而反比例关系呢？两种量中相对应的两个数的乘积一定。正比例关系用字母来表示就是 y 比 x 等于 k， k 一定，就是比值一定。 反比例关系用字母表示就是 x 乘 y 等于 k， k 一定。两个量的乘积一定。所以两个相关联的量， 判断他们是成正比例关系还是成反比例关系，关键看什么对，是比值一定还是乘积一定？ 好了，孩子们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？首先，我们理解了反比例的意义和反比例关系。另外会判断两种量是否成反比例关系。两个条件，第一， 两种量相关联，第二，两个量的乘积一定。接着我们还根据反比例关系能够解决生活中的实际问题，大家继续思考。正比例关系的图像还记得吗？是从原点零零发出的一条射线， 那么反比例的关系图像会是什么样子呢？请孩子们阅读课本第四十六页，你知道吗？这一部分内容相信你一定会有新的收获。

正比例优惠啦优惠啦！啊，这些衣服多少钱一件呢？一件二十，我买两件能便宜点吗？两件四十。 那我要是再多买几件呢？三件六十，五件一百，十件两百，买的越多越划算啊。哈哈，那我买十件好了，真的是买的越多越划算吗？ 虽然他买的数量多了，但是花的钱也多了呀。所以我们要算一下每件衣服的单价。我们知道单价乘数量等于总价，因此衣服的单价就是总价和数量的比值。 可以发现，每次衣服的单价都是二十，单价没有变，那么财主实际上是没有占到便宜的。像这样比之一定的两个量总是同时变大或者同时变小， 我们就说他俩是成正比例关系的。生活中还有很多正比例的现象，比如汽车以一定的速度行驶时，路程和时间就是成正比例的。 还有圆的周长和直径也是成正比例的，你知道这是为什么吗？ 选 b 判断两个量是不是正比例关系，最关键的是看它们的比值是否一定。圆的周长和直径的比值是一个固定的数， 我们把它叫做圆周率，记作 pi。 两个量同时增大或同时减小，并不一定是正比例关系。比如圆的面积和半径，很明显，半径越大，面积也越大。不过我们来算一下它们的比值， 比值中含有半径 r， 也就是说半径越大，这个比值也越大，它不是一个固定的数， 因此圆的面积和半径就不成正比例关系。如果用字母 x 和 y 来表示两个相关联的量，用一个不变的数 k 表示它们的比值，那么正比例关系就可以用 y 比 x 等于 k 这个式子来表示， 我们还可以用图像来表示正比例关系，比如前面表格中的数据就可以画成这样的图像，它是一条倾斜的直线， 而且根据这个图像，我们还可以不用计算，就得到一些问题的答案，如果财主要买八件衣服，那么要花多少钱呢？看好了， 我们找到八件对应的位置往上走，与这条斜线相遇以后，向左拐弯， 走到代表总价的这条线上，他对应的数字一百六，就是我们所需要的答案，也就是说他买八件衣服需要一百六十元，怎么样？是不是和计算的结果是一样的？ 今天这节课我们认识了正比例关系，判断两个量是不是正比例关系，关键就是四个字，比值一定，而且我们还学习了用正比例的图像进行计算。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例第二章节正比例和反比例的第一课时。正比例来看例，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系，如下表，数量一米，总价三点五元， 两米七元，三米十点五元，四米十四元等等。根据给出的这个表格，我们回答下面的问题。 第一问题，表中有哪两种量？一种是数量，一种是总价，所以有数量和总价两种相关联的量。这两种量有什么样的关联呢？我们仔细观察，随着数量的增加，总价呢 也在增加，那随着数量的减少，总价也在减少。是的，数量增加，总价增加，数量减少，总价也减少。第三个问题，相应的总价与数量的比分别是多少？ 比值是多少？总价与数量的比，那就是三点五比一，七比二，十点五比三，十四比四，它们的比值分别又是多少呢？三点五比一等于三点五， 七比二，比值三点五，十点五比三，比值三点五。那么其他的呢？孩子们，你来算一算，他们的比值分别是多少？是的，这些总价与对应的数量的比值都等于三点五。 那么比值三点五，它表示什么意思呢？总价与数量的比值，它就实际上就是彩带的 单价。如果用式子来表示总价、数量，单价，他们之间的关系就是总价比，数量等于单价，并且单价一定。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量， 他们的关系叫做正比例关系。那根据上面的表格，总价和数量，它就是乘正比例的量。 总价和数量，它们两个的之间的关系，那就成正比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，并且比值一定，那么正比例关系可以用下面的式子来表示，那就是 y 比 x 等于 k， k 一定，也就是比值一定。大家继续思考，成正比例的两种量必须具备哪些条件呢？ 第一就是两种量必须相关联，一种量变化，另一种量也随着它的变化而变化。第二，两个量的比值一定。这时候我们就说这两个量成正比例关系， 那上表中的数据啊，我们还可以用图像来表示，数量是一米，它的总价三点五元。数量二米，总价七元。数量三米，总价十点五元。数量四米，总价十四元。接下来我们把五米、六米、 七米、八米他们所对应的总价秒点，然后把这些点连线，根据这个图像你发现了什么？我们发现正比例关系的图像是一条从原点零零出发的无限延伸的射 减。根据图像我们来看第二题，把数对十三、十五和十二、四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？十和三十五对应的是这个点， 十二、四十二对应的是这个点，然后我们把它们连起来，发现了什么？ 对，这两个点也在这条射线上，因为任何一个点，它所对应的总价和数量的比值都是单价，单价一定，所以它们都在一条射线上。接着看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 注意，不计算买九米彩带的总价，那我们找到九米，他所对应的总价就是和这条射线的交点，那这个点就是九米，三十一点五元。 那如果买四十九元，他和这条射线的交叉点对应的是十四米， 所以是十四米，对应的是四十九元，所以买九笔彩带总价是三十一点五元，四十九元能买十四米彩带。有了图像 不计算，我们就可以直接找到它们对应的量。第四题，小明买的彩带的米数是小丽的二倍，他花的钱是小丽的二倍，他花的总价也是小丽的二倍。 也可以根据总价比数量等于单价，可以知道，数量扩大了两倍，所以他们的总价也扩大到原来的两倍。因为单价不变，所以他花的钱也是小利的二倍。 那除了刚才我们的总价和数量，两个量成正比例关系。孩子们，你能举出生活中正比例关系的例子吗？小明举出了正方形的周长与边长成正比例关系，你同意吗？ 正方形的周长等于边长乘四，所以周长与边长的比值就是四，四一定，那么周长与边长就成正比例关系。小红说，如果汽车行驶的速度一定，那么路程与时间成正比例关系。 路程比时间等于速度，当速度一定的时候，那么这两个量就成正比例关系。王老师也给大家带来了几道题，判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。孩子们，请你按下暂停键，快速试一试吧！ 王老师相信这三道题啊，一定难不住大家。好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们理解了正比例的意义和正比例关系， 并且会判断两种量是否成正比例关系。了解了正比例关系的图像，不用计算就会直观的判断两种量的变化情况，并且根据规律我们会解决生活中的实际问题。孩子们，你学的怎么样呢？

哥，他怎么连这个都不会？因为他笨，拿来我看看。六年级下册内容不算多，但圆柱、圆锥和比例这两块稍微有点绕。奢望把你手里的笔放下跟我一起。 哦。好的哥。第一部分是求比例，这里需要逻辑清晰，比例的基本性质就是内向肌等于外向肌，解比例的时候可以直接利用这个性质列方程，这里一定要会区分正比例和反比例的区别。第二部分是圆柱与圆锥。 蒋老师说的对，这一部分的计算量很大，尤其在算牌的时候要有耐心。我们以圆柱去比，你要算圆柱的侧面积，可以想象把圆柱 的打压过去。记得只算一个表面 都没记错，那寒假作业就翻倍。

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师。今天我们来学习正比例，我们来观察这个表格，并回答下面三个问题。文具店有一种彩带 销售的数量与总价的关系，如下表，第一行代表销售的数量，第二行代表总价。先看第一题， 表中有哪两种量，这个比较明显，有数量和总价这两种量。 第二小题，总价是怎样随着数量的变化而变化的？如果从左往右看，数量越来越大，那对应的总价也越来越大。如果从右往左看呢？ 数量越来越小，对应的总价也越来越小。像这样一总量随着另一总量的变化而变化， 这样的两种量称为两种相关联的量。那在这里，数量和总价就是两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化。第三小题， 相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？让我们求每一列总价与数量的比和比值。 我们先看第一列，数量是一，总价是三点五，那总价与数量的比就是三点五，比一，比值是三点五。 第二列，数量是二，总价是七，总价与数量的比是七比二，比值也是三点五。第三列是十点五，比三比值是三点五。 第四列，第五列比值都是三点五。那后面呢，你自己可以计算一下。那这里的比值表示什么意思呢？我们是用总价除以数量 得到的比值。那总价除以数量等于什么？等于单价，也就是这种彩带的单价，彩带的单价都是三点五元。那我们来看一下什么叫做成正比例的量，什么叫做正比例关系。两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。首先是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 然后要满足它们的比值一定，这两种量才叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。那像这个表格， 数量与总价是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。满足这个条件，那他们的比值一定吗？ 我们用总价除以数量，得到的是单价，我们发现彩带的单价都是一定的，那就可以说总价和数量是成正比例的量，总价和数量成正比例关系。因为满足这里的条件， 所以在判断正比例关系时，首先要确定它们是两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 其次要确定它们的比值是一定的，如果比值一定，它们才成正比例关系。这个关系我们可以用字母来表示，字母 y 和 x 表示两种相关联的量， 用 k 表示它们的比值，比值是一定的，所以正比例关系就可以用这个式子来表示。 y 比 x 等于 k， y 和 x 是 两种相关联的量， 它们的比值是一定的，所以 y 和 x 就 成正比例关系。我们来看一道练习题，判断下面各题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 我们先把正比例关系的式子写出来， y 比 x 等于 k， 比值是一定的， y 和 x 成正比例关系。那我们来看第一小题，如果汽车行驶速度一定，路程与时间，让我们判断路程与时间是否成正比例关系。 首先，它们是两种相关联的量吗？汽车在行驶，那么行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化，所以它们是两种相关联的量。 然后看比值是否一定。路程与时间的比值，也就是路程除以时间，求比值，用除法，路程除以时间等于速度， 而题上说行驶的速度是一定的，所以路程和时间成正比例关系。再看第二小题，一个人的身高与他的年龄， 这是两种相关联的量吗？一般情况下，人的身高会随着他年龄的增长而增长，但是到了一定年龄后，他的身高就不再增长了，所以不是正比例关系。 第三，宽一定，长方形的周长和长。首先判断是不是两种相关联的量。先想一下长方形的周长公式，长方形的周长等于长，加宽的和乘二 跟长有关系，所以周长会随着长的变化而变化，它们是两种相关联的量。 然后看比值是否一定。这里提到了宽一定，那根据周长和长，怎么得到宽呢？ 我们可以用周长，先除以二，再减去长就等于宽。长方形的周长除以二， 减去长等于宽。宽是一定的，这是比之一定吗？比之一定，我们用的是除法，而这里是减法，属于差一定，所以不成正比例关系。 再看第四题，圆锥的高一定。圆锥的体积与底面积，它们是两种相关联的量吗？先想一下圆锥的体积公式，圆锥的体积等于三分之一，乘底面积再乘高， 所以体积和底面积是两种相关联的量体机会随着底面积的变化而变化， 再看它们的比值是否一定。圆锥的体积除以底面积，看得到的是什么？体积除以底面积等于三分之一， h 等于三分之一乘高。而题上告诉我们，高一定 高一定，它再乘三分之一也是一定的，属于比值一定乘正比例关系。 第五题， x 和 y 是 两种相关联的量，并且 y 等于八， x 问 y 和 x 是 否成正比例关系？首先它们是两种相关联的量，再看一下比值是否一定。我们由这个式子可以得到， y 除以 x 等于八， 比值是一定的，所以成正比例关系。我们接着来看正比例关系的图像。例题中的数据还可以用图像表示，根据图像回答下面的问题，第一，从图像中发现了什么？我们先观察这个图像， 先看横轴和纵轴分别表示什么，横轴表示数量，纵轴表示总价。 再看这些点，这个点表示数量是一米，总价是三点五元，说明横轴这一格表示一米，纵轴这一格表示三点五元。那这个点写成数对，就是一三点五，这个点数量是两米，总价是七元。二 七，这个点总价是三米，数量是七，再加三点五十点五元。三 十点五，也就是他把表中的数量与总价都用竖对来表示，然后秒点连线，形成了这个正比例关系的图像。我们从这个图像中也能看到两种量，数量和总价，而且是相关联的量， 数量变化总价也跟着变化，而且它们的比值是相等的，总价与数量的比值是单价，这种图像就是正比例关系的图像，有什么特点呢？首先经过零零这个点，然后它是一条直的， 后面会继续再延长，所以是一条射线。所以正比例关系的图像是从零零这个点出发的一条射线。 我们接着来看第二题，把这两个竖对所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？我们先看十三十五这个点，横轴是十， 纵轴是三十五，相交于这个点。再看十二、四十二这个点，横轴是十二，纵轴是四十二，相交于这个点，我们跟这个图像连接起来再延长，发现它们是在同一条射线上。我们来看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 我们先看九米彩带对应的总价，九米是数量。我们先在横轴上找到九米的位置这里，然后纵向找到图像上的点，再看他在纵轴上对应的数是多少。这一格是三点五， 那他对应的数应该用二十八加三点五，等于三十一点五元，实际上这个数对就是九， 三十一点五，数量是九米，对应的总价是三十一点五元。再看总价四十九元对应的数量是多少米，找到总价四十九元的位置。然后横向找到图像上的点， 再看对应横轴上的数字，十四米，所以这个点用竖对表示，就是十四四米，对应的总价是四十九元， 所以四十九元能买十四米的彩带。再看第四题，小明买的彩带，米数是小粒的两倍，他花的钱是小粒的几倍，彩带的单价是一定的，那我们在图像中任意找两个数对，比如 四十四，还有十二、四十二，对比一下他们的数量与总价，看有什么样的关系。数量一个是四米，一个是十二米，我们求出他们的数量比， 数量比是四比十二，化简之后是一比三，对应的总价一个是十四元，一个是四十二元，再求出他们的总价比 十四比四十二，化简之后还是一比三，我们发现他们的数量比和总价比是相等的，所以小明买的数量是小利的二倍，那他的总价也应该是小利的二倍， 那在这里我们就要记住成正比例关系的两种量，它们的比是相等的，这在行程问题中用的比较多。我们知道路程除以速度等于时间，如果时间一定，那么路程和速度就成正比例关系，这个时候路程比就等于速度比。 还有一种是速度一定，路程和时间成正比例关系，那路程比就等于时间比，这用到的就是这里的知识点。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

各位老师好，欢迎收看柚子老师人教版小学数学说课分享频道，资料获取请看我主页介绍哦，喜欢就收藏关注我吧，万一有需要的时候可以找我哦！ 今天我说课的内容是第四单元，比例二、正比例和反比例。第一，课时正比例。我将结合课间的设计思路，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重点难点、教法学法、教学过程、版书设计和教学反思等方面展开说明。 正比例是在学生学习的笔和比例等知识的基础上进行教学的，它是对数量关系的进一步探究，揭示了两种相关连量之间特殊的变化规律，是后续学习反比例、比例尺以及初中函数知识的重要基础， 在数学知识体系中起着承上启下的作用。本节课主要内容包括，理解正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系，认识正比例关系的图像，并运用图像解决简单问题。教材通过彩带销售的实力，引导学生观察分析数量与总 家的变化规律，从而抽象出正比例的概念，这种从具体到抽象的编排方式符合学生的认知规律。六年级学生已具备一定的观察、分析和归纳能力， 对数量关系也有了一定的认识，在之前的学习中积累了一些数学活动经验，但正比例概念较为抽象，学生理解起来有一定难度， 尤其是在判断两种量是否成正比例关系时，容易忽略两种量是变化的量以及比值一定这两个关键要素。

这节课呢，我们来一起学习六单元正比例和反比例。第一主要学习的是正比例的意义。一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表， 表格当中给出的是路程和时间问题，观察表中的数据，你有什么发现？ 我们来看我们行驶的路程是随着时间的变化而变化， 行驶的时间越长，行驶的路程就越多，行驶的时间越短，行驶的路程就越少。所以老师就可以说，我们当时间在变化的时候，路程也随着变化， 这两种量我们就可以称它为是两种相关联的量。一、总量也随着在变化。 我们来看这两种相关量的量，计算相对应的路程和时间的比的比值是否相等。我们因为路程除以时间等于数度，所以我的比值其实是数度。 八十除以一等于八十，一百六十除以二等于八十，二百四十除以三等于八十，三百二十除以四还等于八十。依次进行计算的话，我们发现我们行驶的速度是不发生变化的。 你能写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值吗？我们来看路程和时间的比是八十比一，老师在这里写成了一分之八十，他的比值是八十。 二分之一百六十，比值是八十，三分之二百四十的比值还是八十五分之四百的比值还是八十，依次进行计算，它们的比值都是八十，而我的比值表示的是路程 除以时间等于速度，速度是一定的，所以我的比值表示的是行驶的速度。 根据路程和时间的关系，我们来理理解正比例的意义，路程和时间是两种相关联的量，这第一个重点，时间变化，路程也随着变化。 当路程和相对应的时间的比的比值总是一定，也就商是一定时，是第二个重点，行驶的路程和时间就成正比例关系。行驶的路程和时间是成正比例的量， 所以判断两种量是否成正比例关系，我们就看符合不符合两种条件。第一种条件，他们是不是两种相关联的量。 第二种条件，我们再看这两种相关联的量的比值或者是商是不是是一定的。如果这两种条件都符合，这两种量就成正比例的量，反之，不成正比例。 总结，一、两种相关联的量，一、总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值也就是商一定，这两种量就是成正比例的量，他们的关系就叫做正比例关系， 比值也就是商。所以我们肯定考虑的是用的是除法进行计算。二、如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值一定 正比例关系可以表示为 x 分 之 y 等于 k， k 是 一定的。在这里老师写 x 分 之 y 是 不？其实就是 y 除以 x 呢？把分数的形式写成了除法的形式， x 除以 y 除以 x 等于 k， k 是 一定的。三、判断两种量是否成正比例的方法首先第一步，我们先判断这两种量是否成相关量的量。 二、再看这两种量中相对的这两个数的比的比值是否是一定，说白了就是他们是不是用的是除法，如果用的是除法，他们的比值或商是一定的，这两种量就成正比例，反之不成正比例。

是环球教育刘老师，接着上一个视频呢，我们来看一下易错考点四，判断两个量是否成正比例关系。知识点回顾，这两个呢是课本上的知识点，一个是正比例关系，一个是反比例关系。当然这两个都有技巧啊，看我红色 穿出来的地方。第一个比值一定，也就是我们说的商一定对，他就成正比例关系。那下面这个呢？乘积一定，那成反比例关系。好，具体我们来看一下啊，如何运用 来看，第一，三角形的面积一定它的底和高。首先我们知道面积是不是等于 a h， 那 a 和 h 之间是不是相乘的关系，面积一定是不是就是乘积一定，所以就成反比例。 第二，正方体一个面的面积和他的表面积。我们来看正方体一个面的面积，方体有几个面？是不是有六个面？那一个面乘以六是不是就可以得表面积？ s 表我这样写啊。好，那现在来看一下他说的是这一个面和这个表面积他俩的关系。首先我们来看他们俩的关系，是不是用表面积再除以一个面， 除以一个面他是不是等于六？那你看这个六是不是笔直，笔直是不是符合一定，那笔直一定也就是商一定他应该成什么关系， 是不是成正比例关系？好，继续第三题，圆柱的高一定圆柱的体积和底面半径来，这道题其实有一个小坑坑，他说的是底面半径， 如果他说半径的平方， r 的 平方，那就对了，但是他说的是半径，所以这个题不对，那我们就说他是 不成比例啊，不成正也不成反，他根本就不成比例啊，说的时候体积是和 r 的 平方，他才可能是成比例啊。好，来看第二题，张师傅加工的数量和加工的时间表如下， 上面这个表格填的是每小时加工的数量，下面呢是加工的时间。我们来看一下，每小时加工十个，那时间呢？是六十，那如果二十个了变成三十，二十个是二十，你发现每小时加工的越多，那他用的时间是不是就越少？ 好，来看一下表中有什么和什么两种相关联的量，那这样的题呢，比较好填，直接抄表头就可以了。每小时加工 的数量和下面是什么呀？加工的时间这两种相关联的量，每小时加工的数量越多， 那说明他加工的时间就看上面是不是往这画，箭头越多的，这是不是就越少啊？时间就怎么样，时间越短。 第二题，每组相关联的量相对应的两个数的乘积都是来十乘六十是不是等于六百？二三得六是不是还是六百，二三得六是不是还是六百？所以每一次是不是都是六百？那这个积表示的是什么呢？是不是这批零件的总数量？ 好，来看第三题，表中相关联的两种量成什么比例关系？那你看啊，他们是不是都得六百，那六百是不是一定？所以当乘积一定的时候成什么比例，是不是直接成反比例关系？ 这就是今天正比例反比例的知识点。那下一个知识点呢？还是关于比例这单元尺图形的放大与缩小。

学过了正比例之后，小美老师让大家分享自己见过的各种正比例关系。豆包张口就来，我们吃的多少和体重的胖瘦就成正比例关系。听起来很有道理啊， 可豆花却不同意，吃的多少和体重的胖瘦虽然相关，但它们的比值却并不一定，所以不成正比例关系。到底谁说的对呢？这个视频我们就一起来学习如何判断两个量是否成正比例关系。 我们先来看个简单的例子，豆包骑车去给大家买吃的，他骑车的速度是一定的，这是他离开的时间和路程是否成正比例关系呢？ 两种量要想成正比例关系，就必须满足三大特征，首先得是相关联的两种量，这里的时间和路程肯定是相关的。其次，一个量变化，另一个也随着变化，这从表里也很容易看出来。 最重要的是这最后一条，两者的比值要保持一定。你来看看这里路程和对应时间的比值保持一定吗？ 选 a， 用表中的数据计算一下，路程和对应时间的比值都是三百，因为路程比上时间得到的就是速度，而这里豆包的速度是一定的，所以路程和对应时间的比值也就保持一定，也就有豆包的时间和路程成正比例关系。 所以要判断两个量是否成正比例关系，除了看它们是否相关联，一个变化，另一个也随着变化之外，最重要的还是要看它俩比值是否一定，只有比值一定了，才会成正比例关系。 现在我们来看看豆包说的吃的多少和体重的胖瘦成正比例关系吗？显然，吃的多少和体重的胖瘦是相关联的，吃的不一样多，体重也会随着有变化。 但问题是，两者的比值并不一定多吃多少，并不一定对应长胖多少呀，所以吃的多少和体重的胖瘦并不成正比例关系。在数学上，也还有许多和成正比例关系有关的问题，比如你看这个圆形烙饼，它的半径和面积成正比例关系吗？ 显然，这个圆的半径和面积是相关联的，半径改变，面积会随之而变。那判断的关键就要看面积和半径的比值是否一定啊。 我们可以用 s 表示圆的面积， r 表示半径，根据圆的面积公式，又 s 等于 pi， r 的 平方，那你觉得圆面积和半径的比值一定吗？ 选 b， 圆面积和半径的比值就是 s 比 r， 再用面积公式， s 比 r 等于 pi， r 的 平方比 r 等于 pi r， 这 pi r 是 一定的吗？ 圆周率 pi 是 一定的，约等于三点一四。但是半径 r 可不是一定的，它是一个会变化的量，所以 pi 并不一定。所以圆的面积和半径虽然相关联，但是比值不一定，也就不成正比例关系。 研究完了圆面积和半径，有的同学可能就会问了，那圆周长和半径呢？它俩成正比例关系吗？我们用 c 表示圆的周长， r 表示半径，根据圆周长公式，有 c 等于二倍 r， 你 觉得圆周长和半径成正比例关系吗？ 选 a， 圆的周长和半径肯定是相关联的量，半径变周长就会改变，关键还是要看周长和半径的比值。 周长比半径等于 c 比 r 等于二 pi， r 等于二 pi 比值，二 pi 约等于二乘三点一四，也就是六点二八是一定的，所以圆的周长和半径就成正比例关系。 这个视频我们学习了判断两种量是否成正比例关系。如果两种量相关联，一个变，另一个也随着变化，那关键就是看它俩的比值是否一定，你学会了吗？

今天我们来看这道题，如果四分之 y 等于 x 分 之二， x 和 y 均不为零，那么 x 和 y 成什么比例？我们先来看第一问， 四分之 y 等于 x 分 之二，交叉相乘积相等，那么 x 乘以 y， 乘号可以省略， 就等于二乘以四 x， y 就 等于八，那么乘 x 乘以 y 等于八，它们两个的乘积一定。所以说它们乘 x 和 y 乘反比例。 现在再来看第二问，十四乘 x 等于 y， x 和 y 均为零，那么 x 和 y 乘什么比例？ 十四乘以 x 等于 y， 那 我们两边都先除以一个 x， 都先除以一个 x， 把 x 抵消，就变为了十四等于 x 分 之 y， 那 么他们这是比值一定。所以说 x 和 y 乘正比例，记得点赞关注哦！

哈喽，大家好，我是香香老师，今天我们来预习四单元正比例文具店有一种彩蛋销售的数量与总价的关系，如下表，数量为一米的时候，它的总价是三点五元，两米是 七元，三米是十点五元，四米是十四元，你发现了没有？是不是数量越多，我的价钱越多？这不是秘密，真正的秘密就藏在厨房里。现在我们来做一件事情， 就用总价除以数量，当数量一米的时候，总价是三点五，就是三点五除以一等于三点五元。 数量为两米的时候，总价是七元，就是七除以二也等于三点五元，十点五除以三也等于三点五元。我们就这样子一直除下去，直到除到最后一个数字，二十八除以八也等于三点五元。 发现了什么没有？他的结果都是三点五元，从来没有变过。那这个不变的三点五是什么呢？其实就是这个彩带的单价，我们的单价就是等于总价除以数量，所以说他不会变。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系也叫做成正比例关系。 那么多文字到底是什么意思呢？其实我们就抓住一个词叫做笔直，他其实就隐藏着两种意思，第一种意思就是笔就是一种什么关系，除法关系就说明他必须是除法。第二个笔直一定他是不会变化的，也就说明他的商是不变。 只要抓住这两个点，我们就能判断了这两种量相关联的量，我们可以用 x 和 y 来表示， 那就是 y 除以 x， 也就可以写成的是 x 分 之 y， 它的商不变，就说明它的比值不变，等于 k， 这个 k 一定注意，它是一个数字，它一定是不变的，那么我们就读作的是 y 与 x 乘正比例。 我们来看例题，判断下面题中两种量是否成正比例。第一，圆的周长与直径。我们说了，判断这两种量是否成正比例就抓住两个点，第一是除法关系，第二，商不变，那么周长与直径我们做除法就是圆的周长除以直径， 我们用字母表示等于多少，周长等于半径，那反过来，周长除以直径是不等于派。 而这个 pi， 它是一个什么？具体的值是一个无限不循环小数，就说明它是固定的，是不变的，对不对？就说明，第一，它满足，是除法关系。第二，这个值，它们的商是 pi， 是 固定的，不变的，所以说它们成正比例关系。第二， 已看的页数与剩下的页数。我们知道已看的页数与剩下的页数，它们两者的关系其实就是已看的页数， 已看的页数加上剩下的页数就等于总页数，总页数肯定是不变的， 对吧？但是呢，他要满足我们。第二，满足是除法，而已看的页数和剩下的页数，它们是什么关系？是个和的关系， 而和的关系满不满足是除法关系，不满足，只要有一个条件不满足啊，那他们就不能成正比例关系。今天的正比例你学会了吗？评论区有练习题，请把答案打在评论区，关注我，二十一天系统预习！

今天我们来看这道题，甲乙两数互为倒数，那么它们成什么比例？我们先来看第一问，甲乙两数互为倒数，那么它们两个，它们两个数之间是倒数的关系，那么它们的乘积就必须为一， 那么乘积为一，那么乘积也就是一定的乘积一定，也就是乘反比例。我们再来看第二问，甲数的五分之四等于乙数，则甲数和乙数成什么比例？ 甲数的五分之四得可以化为乘号，那么就是甲乘以五分之四 等于乙，那么这两等号两边我们都除以一个甲，那么也就等于五分之四等于甲分之乙，那么这个式子比值一定， 所以说它们两个处之间成正比例。记得点赞关注哦！

六、年级下册六、单元正比例和反比例立一的试一试购买一种铅笔的数量和总价如下表，我们表格当中所给出的是总价和数量。问题一天写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。 观察表格，我们可以发现，我们购买一支铅笔的时候，总价是零点四元，购买两支铅笔的时候总价是零点八元，购买三支铅笔的时候，总价是一点二元，以此类推。我们可以发现 购买数，我们购买铅笔的数量越多，总价就越多，购买数量越少，总价就越少，所以我们总价是随着数量的变化而变化的。 问题二，写出几种相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小来看总价和数量的比，所以零点四比一等于零点四，零点八比二等于零点四，一点二比三等于零点四， 一点六比四也等于零点四，以此类推，它们的比值都是零点四，所以它们的比值的大小是相等的。 问题三，这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价数量之间的关系吗？ 因为我们知道总价除以数量是不等于单价，而我们问题二当中的比值我们求出来它的比值是相等的，所以总价除以数量等于单价，单价是一定的。 所以我笔直表示的实际意义是购买铅笔的单价，也就是铅笔的单价，总价除以数量等于单价，单价是一定的，或者我们也可以写成数量分之总价等于单价，单价是一定的。 问题四，铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？在这里老师就强调了我们判断这两种相关联的量是否成正比例，我们说白了，它其实就用的是除法， 他们的比值或者是商一定的时候，我们就可以说他乘的是正比例关系。所以我们来看，总价除以数量等于单价，我们单价求出来的比值是一定的，所以他乘的是正比例关系。 所以铅笔的总价和数量成正比例关系，因为总价除以数量等于单价，单价是一定的 问题，生活中还有哪些成正比例的量，你能举例说明吗？我们来看，老师举出了两种，第一种，长方形的长一定长方形的面积和宽成正比例。我们来看， 面积除以宽是不就等于长方形的长呢？而长方形的长是一定的，我们用的是除法，它的比值或商是一定的，所以我们乘的是正比例关系。 速度一定，路程和时间呢？我们来看，因为路程除以时间等于速度，速度是一定的，速度是不就指的是比值或商呀，用的是除法，所以我的路程和时间成正比例关系 来看列一列。第一题，张师傅生产零件的情况如下表，我们表格当中给的是生产零件的时间和生产零件的数量。问题一写出几组相对应的生产零件数量和时间的比比，比较笔直的大小， 我们来看，通过表格我们可以知道生产零件的数量和时间的比值。我们用的是除法，所以用二十五除以一等于二十五，五十除以二等于二十五， 一百除以四等于二十五，一百五十除以六也等于二十五，二百除以八还等于二十五，以此类推，我们的比值的大小是相等的。刚才老师生产零件数量和时间用的是什么法？求出比值的用的是除法，是不是求出的比值？ 第二问，生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？因为我们知道生产零件的数量除以时间是不，它们的比值是相等的呢？ 所以我们生产零件的数量和时间成的是正比例关系，而我们的这个比值其实就是我们的工作效率。生产零件的数量是我们的工作总量，工作总量除以工作时间等于工作效率，而我的工作效率是一定的。 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，表格当中给的是用布的数量和服装的数量，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么？ 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，我们表格当中所给出的是用布的数量和服装的数量。问，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么 我们来看我们用布的数量去除以服装的数量，二点二除以一等于二点二，四点四除以二等于二点二，六点六除以三等于二点二，以此类推，他们的比值是不都是二点二呢？而且我们用布的数量 是随着我们服装的数量而变化的，他们两是两种相关联的量。做的套数越多，我们用布的米数是不是会越多呀？ 做的套数在变化，用布的米数也随着变化，而且用布的米数和我做的套数的 笔直是一定的，用的是除法，他们的笔直一定，所以我们就可以说做的套数和用部的米数成正比例。

六年级数学下册重点来了！比例本视频将从基础概念到正反比例一次讲透，带你搞定核心考点！一、比例的定义表示两个比相等的式子叫做比例。 这里要注意这笔字比和比例有什么区别？举个例子让你快速明白。比，两个数相除，如，二比三等于四比六。判断两个比能否组成比例， 关键看它们的比值是否相等。例如，二比三等于四比六，因为两个比的比值都是三分之二，所以相等。二、比例的基本性质在比例里，两个外向的积等于两个内向的积。即，如果 a 比 b 等于 c 比 d， 那 么 a 乘 d 等于 b 乘 c。 三、解比例，求比例中的未知项，叫做解比例。方法，根据比例的基本性质，将比例转化为方程，再求解例题，一解比例四分之三比 x 等于六比，八解根据内向基等于外向基。 四、正比例与反比例一、正比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的比值商一定，这两种量就成正比例。 关系式。 y 比 x 等于 k， k 一定生活实力。单价一定时，总价与数量成正比例。 二、反比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的乘积一定，这两种量就成反比例 关系式。 x 乘 y 等于 k， k 一定生活时力。路程一定时，速度与时间成反比例。例题一，一辆汽车两小时行驶一百四十千米，照这样的速度，五小时行驶多少千米？ 分析速度一定，路程与时间成正比例。解，设五小时行驶 x 千米，一百四十比二等于 x 比五，根据内向积等于外向积德二 x 等于一百四十乘五，求德 x 等于三百五十千米。 例题二，一间教室用方砖铺地，每块面积零点一六平方米，需要三百块，如果改用面积零点二五平方米的方砖需要多少块？分析教室总面积一定每块面积乘块数等于总面积乘积一定乘反比例解设需要 x 块。 零点二五乘 x 等于零点一六乘三百零点二五乘 x 等于四十八，求得 x 等于一百九十二块。

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例关系图像 这节课的内容。一看题目我们就知道与图像有关。我们先来看一个表格，这个表格是数量和总价之间的关系，那这个关系可以用图像来表示出来吗？ 我们来看这个图，它的纵坐标标的是总价，横坐标标的是数量。我们画图的时候，要先把各个位置的点给找出来 来看，当数量是一的时候，总价是三点五，我们在横坐标上找到一的位置，在交叉的地方标上一个点， 以此类推，找到数量是二、三、四五、六、七、八的对应点在哪里。找到点之后，我们把这几个点连接， 这样就把图像给画出来了。接着我们来看几个问题，第一个问题，从图中你发现了什么呢？这上面所有的点都在同一条，对，上面所有的点都在同一条射线上。 再来看第二个问题，把数对十三十五和十二四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？ 我们先把这两个点给标出来，标完之后连接再延长，我们发现这两个点也在这一条射线上。 好了，正比例关系图像我们已经画出来了，就是这么简单，正比例关系图像就是一条从零零出发的无限延长的射线。 再来看第三题，不计算，根据图像判断，如果满九米彩带总价是多少？ 四十九元能买多少米彩带呢？从途中我们在横坐标找出数量是九米的时候，对应的价格是对三十一点五元，所以如果买九米彩带，总价是三十一点五元， 再从纵坐标找出四十九元，对应的数量是十四米，所以四十九元能买到十四米的彩带。再来看第四问， 小明买的彩带的米数是小丽的两倍，他花的钱是小丽的几倍呢？ 在这里我们要知道的是，彩带的单价是一定的，并且彩带的总价和数量成正比例关系，总价随着数量的增加而增加，当数量翻了两倍，总价也翻了两倍。 所以，若小明买的彩带的数量是小丽的两倍，那么他花的钱应该也是小丽的两倍。 好了，我们来观察一下这个正比例关系图像，你发现他特别像我们之前学过的什么呢？ 对，特别像我们之前学过的折线统计图。那正比例关系图像是折线统计图吗？正比例关系图像描述的是量与量之间的变化关系，两个量都是连续的， 即射线上的点有无数个，而折线统计图描述的是一些离散的数据， 所以正比例图像不是折线统计图。简单来说，正比例的图像不是一节一节的折线，而是一条直直的穿过零点的斜线，而折线统计图是一节一节的折线， 所以他们两个是不同的。好啦，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

嘿，同学们好，我们又上课了，今天呢，我们来学习变化的量以及正比例这一部分，我们可以想一下，随着年龄的增长，我们的身高和体重是不是在变化？哎，我们身高变高了，体重呢，也变得越来越重了。 骆驼呢，我们都很熟悉，其实骆驼的身体的体温，每天上午到中午的时候呢，它会逐渐增高，而等到下午到晚上的时候呢，它会逐渐降低。 随着时间的发展，骆驼的体温在变化，随着时间的发展呢，我们的身高体重也在变化，这个呀，就是变化的量。那同学们，我们现在看黑板上的情景，一辆汽车， 他以九十千米每小时的速度行驶，他行驶的路程和时间之间是不是一组变化的量？是不是我行驶的时间越长，我走过的这个路程也越远呀，对不对？那我们可以将下面的信息给补充完整， 一小时呢，我可以走九十千米，两小时，一百八十千米，三小时，二百七十千米。 在每个阶段他走的过程中，什么是不变的？是不是速度是不变的呀？也就是用路程除以时间等于速度， 是不是第二个就变成了一百八十除以二，第三个小时呢？就是二百七十除以三，他们最终是不是都等于九十千米每小时，他们都等于九十，那我们可以将后面补充完整 来，六小时时行驶多少千米？九十乘六， 五百四十千米七小时呢？七九十乘七 八小时，九小时，九十乘九。 好，那我们再继续观察后面这些令算到一起，随着时间的发展呢，路程在变化，随着时间的变化在变化，那在这一个过程中，我们能够看出路程和时间的比值是怎么样的呀？ 是不是路程和时间的比值是固定的，都是九十，我们可以验证一下后面是否都是九十。路程除以时间，五百四十除以六，九十， 六百三十除以七还是九十，是不是路程除以时间等于速度，这个速度的比值是不变的呀？像我们在生活中呢，遇到的类似这种， 路程和时间两个量，随着时间变化，行驶的路程也随着变化，并且呢，路程和时间的比值它是一定的，我们就说路程和时间成正比， 来，老师用绿，老师用白色的粉笔写啊，在这种情况下，我们就能可以说路程和时间 成正比，同学们可以怎么记呢？ 路程除以时间，它的比值是不变的，这种情况下，随着时间的增长，路程也会增大，那我们就说它们是成正比的来，老师可以写到这里，路程除以时间， 他是不是等于速度呀？那我们看速度是不是不变的，那时间要是增长，路程是不是也增长？如果同学们觉得啊，以这种分分数的形式不是特别的好理解，那我们可以写成直接的城市 速度乘时间 等于路程，那同学们现在看这个速度是不变的，时间越大，路程是不是就越大，对不对？ 因为速度不变，一个不变的数字乘以一个数字，这个数字越大，它的乘积也就越大。这种情况下呢，我们就说路程和时间是成正比的，这两个量它们之间呢成正比例。 好，那我们可以想一下，那我们生活中还有哪些是成正比例的呢？还有什么是成正比例的？比如老师给大家想一个情境 来，老师用叉色的笔写，比如正方形，现在呢，我们这里有一个正方形，它的周长 还有边长是否成正比例，那正方形的面积 和边长是否成正比例呢？同学们课后可以思考这两个问题，思考的时候呢，可以像老师一样给他写出来，周长等于什么？面积等于什么？ 他这里面是否有一个固定的值，有一个固定的值，以后看另外两个数据是否成正比例。好，这节课内容呢，我们就到这里了，大家一定要记得课后思考这个问题，老师会将答案写在评论区，好下课。

年龄在不断增长，身高呢，也在增长，也随着在增加，我们就说 身高随着年龄的变化而变化。是啊，这一组变量还是有关联的。 到果汁我们已经很熟悉了，这儿有没有变量呢？ 仔细观察表格中的数据，你有什么发现？先说给你的同桌听一听， 有什么发现？ 弄好了，好了，你来。 高度随着体积的变化而变化。嗯，这是女生的发现，是不是这样呢？我们一起来看，高度在不断变化，增加体积呢？ 眼泪多少？如果高度减少，体积也减少，高度和体积就是这样横向变化的。再仔细观察这儿的数据，你又有什么想说的？ 高度比心，你来， 没关系，高度增加了几倍，体积就增加了几 倍，也就是高度增加了几厘米，两厘米体积就随着增加立方厘米，是这样吗？是后面的快速来检验一下。 果然如此，表格除了可以这样看，还可以竖着看来瞧瞧呢，又有什么想说的？你来， 呃，它们的比值都是十五，都是十五，你能来算一算吗？ 呃，三十除以二等于十五，六十除以四等于十五， 九十除以六等于十五，一百二十除以八等于十五， 一百五十除以十等于十五。你说的真好，男生说比值都等于十五，占的十五表示什么意思呀？你来。 是啊，你们的这个发现很有价值，每组中体积与高度的比值都是十五。同学们，通过刚才的研究，我们一共有两个发现。首先，我们发现 体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样横向变化的。变化中，我们还有一个很有价值的发现了，什么是不变的 比值？是啊，体积与高度的比值，十五是不变的。今天这节课我们就一起来研究变量之间的数量关系。 现在把它们看成五个直条，照这样的规律变化，如果高度是一厘米，体积就是十五厘米，算的真快。高度零点五厘米， 零点五厘米，一点五厘米， 二十二点五立方厘米。像这样的直条还有吗？ 有，说得完吗？说不完。是啊，有很多说也说不完，看它们都长出来了，像什么呀？ 楼梯。哦，是的，一层一层楼梯，说的很形象，现在高度的间隔是零点五，就长这样，如果间隔变成零点一呢？会怎么样？ 你来。哎，那来看看，这儿的阶梯就越来越 有，其实你们的意思就是越来越窄了，对不对？那阶梯的个数就会越来越多，再小一点，零点零一， 阶梯就会自己说更窄，个数更多，再小点，零点零零一， 更窄更多。哦，是的，还要窄，还要多。想象一下，如果间隔无限细分下去会怎么样呢？有感觉了吗？ 你来。嗯，你的意思就是这儿的线 越来越平滑了，是吗？你们同意吗？同意，我们一起来想象，无限细分下去，这儿的阶梯就会越来越 窄哦，越来越窄，最后就会消失了点，就连成线了。我们一起来看稻果汁的整个动态过程， 可你们想的怎么样？妙，表扬，你们越来越会想象了。你看，体积总是随着高度的变化而变化，它们就是这样，同向变化的 变化中，我们还有一个很有价值的发现呢。什么是不变的？高与体积的比？是的，体积和高度的比值是不变的， 我们就说体积与高度是成正比量，正比的量，他们的关系就是成正比量关系。今天这节课就一起来认识正比， 回顾一下刚才的过程，我们是怎样研究正比关系的？首先，然后，最后你会说了吗？ 你来。首先我们先研究它们两个的比值，它们的比值是不变的，体积总是随着高度的变化而变化，之后得出了结论，体积与高度是成正比的量， 成正比关系，女生概括的很好，我们一起来看。首先我们要先找到一组 变量变量，然后通过算一算，发现它们的比值是变的，最后我们就能得到结论了，体积与高度是成正比的量，它们的关系就是成正比关系， 加油，我们也很熟悉了，这会不会成正比关系的量呢？ 一开始说的身高和年龄呢？你们能像这样也来研究一下吗？能吗？能，完成作业纸 写好的同学可以掌声和你们的学歌交流一下。 好，我们一起来看。这是一位同学的作业，他认为金额和油量是 身高和年龄呢，不成正比，你们也是这么想的吗？是的，来说说看。 你来对女生， 金额随着油量的变化而变化，因为他第一个金额是七十七点六，然后除以油量就等于他单价是七点七六，然后后面用一百五十五点二除以二十也等，也等于七点七六， 后面两百三十二点八除以三十等于七点七六，三百一十点四除以四十也等于七点七六，他们的 比值都是一样的，所以金额和油量成正比例关系。你说的真好，女生已经找到了判断的关键，要在变量中找到比值不变。第二呢，你会说了吗？你来， 身高随着年龄的变化而变化，五十比一等于五十 九十七比三约等于三十二点三，你发现比值不相等，所以它们就不成正比关系。是啊，看来不是所有的变量都成正比关系。 这是两辆汽车的行驶情况，哪一辆汽车行驶的路程和时间成正比关系呢？先看一看， 有答案了吗？大声说，哪一辆卡车？你车呢？为什么你车的路程和时间不成正比关系呢？你来， 因为以车它的比值不一样。呃，它，它时间和路程的比值不一样。快速看一看，是这样吗？是啊，刚才你们说打车的路程和时间成正比关系，也来说说看呢？ 你来，因为一百没关系？嗯， 是的，笔直找到了不变量，还要找到变量，会补充了吗？你来， 路程随着时间的变化而变化，时间越长路程越长。是的，刚才女生还说到他们的比值是相等，所以路程和时间就成正比关系。这样的时间还能继续变吗？ 可以，五小时五百千米，六小时六百千米七小时 七百。铅笔说的完吗？说不完。那想象一下表示路程和时间的图像会是怎么样的呢？用你们的手势比划一下。 哦，接收到信号了，是不是这样呢？ 可你们想的要越来越有感觉了。现在速度是一百就长这样，如果变化速度会长什么样呢？想不想来看？想好满足你们。 现在速度想变成多少？随便说，随便说。你说三百。好的，来看看 瞧。它就长这样。现在速度慢一点可以变成多少？你说三十五，好的来看， 你看它成这样了。现在我们再大胆一点，如果不是汽车速度开快一点，你住手，直接喊 啊，一千 out！ 在 看之前先想象一下会是怎么样的，用你们的手势比划一下，哇，是这样吗？看他来了 怎么样？果然和你们想的是的，只要速度一定，路程和时间就成肉体关系。 同学们，刚才我们一起研究了三个正比故事，看一看怎样的两个量会成正比关系呢？ 你来，高个男生笔直相同， 满足了吗？满足，还有没有要补充的？你来，随着第一个量的变化而变化。你的意思就是首先要找到一组 变量，是啊，满足了吗？满足，这这两个量就成正比关系。刚才你们都说要先找到两个变量 变化的量，我们以前学习过的可以用什么来表示？ x 字母，你看 y 总是随着 x 的 变化变化。现在这三个正比故事就需要用三个关系式来表达， 那你们能不能用一个关系式来表示所有的正比故事呢？此时又该如何表示呢？先想一想，完成作业纸， 一起来看两份不同的作业，你们更赞同谁的？ are 都是这么认为，说说看你们的理由，你来， 不是所有的正比关系得它的比值都是七点七六，而 n 可以 概括任何一个数哦。我在女生的发言中听到了一个词， 概括是的字母就具有概括性，所以一般我们数学上就用 k 来表示，因为它是不变量，所以会在后面加上六。 你们知道吗？这儿的 k 啊，其实是俄语中不变量这个单词的首字母。同学们，现在 y 总是随着 x 的 变化而变化，同时又满足 y 比 x 等于 k 六，我们就说 y 和 x 同正比关系。 现在这个式子就能表示所有的正比故事了。除了黑板上的这三个，你还能说出一些正比故事吗？我先来举个例子， 在购物的故事中，如果数量一定，总价和单价就成正比关系。如果单价一定呢？ 总价你们会说了吗？会，你的同桌听一听， 你想到了什么？嗯，很好，那你说说看，谁一定谁和谁？你想到了什么？那应该是谁一定 坐好了，来分享一下。 你来。 嗯，刚才我也分享了这个故事，还有其他的吗？你来，如果工作效率一定的话，工作总量比工作时间就等于工作效率， 那工作总量和工作时间就成正比关系。是的，原来工作的故事中也藏着正比关系呢，还有吗？你来，如果时间一定的话，路程和速度就成正比关系， 同意吗？同意，原来路程问题中也藏着正比关系呢。那像这样的故事还有吗？有， 同学们，原来我们用这些数量关系讲述的是数与数之间的故事，今天呢，我们可以用这个关系式讲述变量之间的正比故事。 现在你们越来越厉害了。带着这样的感觉，我们一起来判断下面每组中的两个量是否成正比关系。先看一看， 看好了吗？来，我们手势判断，第一个 接收到了，第二个，好呢？哎，都是一组变量，怎么一个不成一个成呢？说说看。 你来，你伸，对对，就是你直不同哦，既具体说一说， 吃掉的和还剩的比与它不成正比关系。第一组是一比九，二比八。是的， 吃掉的比上还剩的笔直不一定，所以他们就不成正比关系，你们已经掌握了判断的关键。第二个呢？ 你来。嗯，三根就是三比一，第二个是笔直是三比一，第二个也是三比一，对吗？嗯， 第二个也是三比一，第三个也是三比一，他们的比值都一样。是的，所以比。呃，他们成正比例关系。是的，我们都要在变量中找到比值 笔直不变的关系。这两道题都会判断了，这两道呢，完成作业纸 可以把你的理由写在空白处， 写好的同学可以相互交流一下。 差不多了，一起来看。这是一位同学的作业，他认为正方形的周长和边长是 面积会变长呢，你们也是这么想的吗？是啊，来说说看。你来， 八比二的比值是四，呃，十二比三的比值也是四，十六比四的比值还是四，它们的比值相同，所以就成正比关系。你抓住了判断的关键，真好。最后一个女生， 第二个我认为是不成正比关系的，因为第一个四比二的比值是二，九比三的比值是三，二十五比五的比值是五，他们的比值并不相等，所以这道题面积和边长不成正比关系。你的思路很清晰， 看来原来学习的正方形的周长和边长是成正比关系，这也是我们原来学习过的内容。先看一看， 现在带着正比的眼光再来看。你能找到成正比关系的量吗？第一个 找到了吗？好，男生对 时间和产品数量的。呃，产品数量和时间的比值是十八 五。十四比三等于十八，一百零八比六等于十八一百六，十二比九等于十八，二百一十六比十二等于十八，他们的比值相等，所以成正比关系。 你说的真好，牢牢抓住了比值是一定的，所以它们就成正比关系。原来说的，照这样计算，就是利用正比关系来解决问题的。这儿呢？找到了吗？ 你来。币的枚数比高度，十，十比一点九。呃，一点九比十等于零点一九。你想用硬币的高度，币的高度比硬币的枚数，嗯， 第二个是十九比一百等于零点一九。第三个是一千九比 等于零点一九。第四个是十九万比一百万等于零点一九。最后一个是一千九百万比一亿等于零点一九。 硬币的高度和硬币的枚数成正比。是的，他们的比值，每枚硬币的高度也是一定的，所以也成正比关系。原来以一枚一元硬币的高度，我们也可以利用正比关系来进行推理。 同学们，字母表示数的时候，我们就玩过这样一个游戏，这是一个神奇的信箱，仔细看， 输出的数和输入的数是不是成正比关系呢？ 子弹说说看，没关系好，你来试试， 笔直啊，所以它们就成。说得很好，现在输入的数还可以继续变吗？可以，如果输入一，输出 二点五，怎么算的？一起说吧。一乘二点五等于二点五，如果输入三，输出 七点五，哦，还是乘二点五？你看，每输入一个数，通过这个神奇的信箱，我们都可以对应输出一个数，但是它们之间的关系是 重力关系。那现在你能用一个式子来表示它们之间的关系吗？ 你来 y 比 x 乘等于二点五，可以，还有不同的形式吗？你来。对 x 分 之 y 等于二点五，就是 y 比 x 等于二点五。还可以。你来 x 乘二点五等于 y。 是 的， y 等于二点五 x。 哎，果汁问题中的数据能不能输入这个神奇的信箱？可以，想不想看？想看。它们来了。 找到这把钥匙了吗？找到了，你来。