我有自己的能量守恒，电脑打开了

老师，动量守恒和能量守恒连理方程真难解，别硬算，我教你一套记忆方法，可以直接记住答案。我们先看第一种，完全弹性碰撞，他劣势特点就一句话，动量守恒加动能守恒，然后他的结长成这样， 他有一个超级好记的规律，就是默速度等于二倍微共减自己。老师，为什么呢？碰撞过程可以分为两个阶段，先压扁再回弹，压到最扁的时候，两个物体就是共速的。 根据动量守恒很容易计算出微共，他就等于 m 一， v 一 加上 m 二，除以 m 一 加 m 二，其实这个共速就是速度在质量上的加权平均。 更关键的一点，压缩和回弹是对称的，对称也就意味着微共是初速度 v 一 和末速度 u 一 的平均，也就是 v 一 加 u 一 除以二等于微共，所以末速度 u 一 等于二倍微共减 v 一， 所以 u 一 和 u 二就等于这么一堆。 重点来了，这个结论不止适用于碰撞，只要是劣势是动量守恒加动能守恒，就都可以用这个结论。就像小球滑上斜面后，又从斜面上滑下，那么他的劣势就和完全弹性碰撞一样，所以就可以直接用二倍微共减自己来计算末速度。 第二种，完全非弹性碰撞，完全没有恢复，所以两个物体就会粘在一起，也就是共速， 这个共速还是那个加权平均，也就是这个。还有完全非弹碰撞和完全弹碰撞正好相反， 完全弹性是动能没有损失，完全非弹性是动能损失最大。老师，那这个损失的动能怎么背呢？可以这么背，碰撞前有相对速度，碰撞后共速就没有相对速度，所以损失的是相对动能。 相对动能里的速度自然用的是相对速度来计算。微相等于 v 一 减 v 二，然后质量也要考虑两个物体的质量，这里用的叫做折合质量，折合质量等于 m 一 加 m 二分之， m 一 乘以 m 二，这个折合质量其实就是质量的积在河上漂， 所以损失的相对动能就是这些。再强调一下，这些结论不只适用于完全非弹碰撞，只要满足动量守恒加共速，就都可以用这个结论。就像滑块滑上木板，地面光滑，如果最后共速，那么就可以用这个结论。 损失的动能在这里转化成了摩擦产热，也就是 m g 乘以 x 箱。还有这个物块划上斜面，到达最高点的时候，两物体就是共速的，也可以用这个结论计算出损失的动能，在这里等于物块的重力势能， 还有这个弹簧压缩到最短的时候也是共速，损失的动能就转化成了弹性势能。 第三种，初始静止的类爆炸，他要满足以下两个条件，一、物体没有速度。二、获得能量。这里再教你们一个数学方法，就是正比分配和反比分配。 在电路里头串联电阻，电压与电阻成正比。所以如果知道两个电阻的总电压 u， 那 就可以计算出 r 一 的电压就是 r 一 比上 r 加 r 乘以 u， 那么分子是自己的占比，这就是正比分配，然后并连电阻，电流与电阻成反比。所以如果知道两个电阻的总电流 i， 那 么 r 一 的电流就是 r 二比上 r 一 乘二乘以 i， 分 子是对方的占比，那么这也就是反比分配。 回到动量这里头，我们根据动能和动量的定义，可以计算出 p 方等于 m 方微方，然后二 m e k 也等于 m 方微方，所以 p 就 等于根号下二 m e k， 那么因为初始静止，所以爆炸后两个物体的速度就是一左一右，一正一负，所以列完动量守恒，我们把动量换成根号下 r m 一 k， 就 可以得出动能与质量成反比，然后我们知道获得的能量都转化成了动能，所以 e 等于 e k 一 加 e k 二，然后按照质量的反比分配，就可以计算出 e k 一 和 e k 二。是这对 一样的。这个结论也不止适用于爆炸，只要满足动量守恒加初矢静止加获得能量，就可以用这个结论。比如一个物块从圆弧面滑下来，水平方向动量守恒，然后获得的能量是物块的重力势能 mgr， 然后就可以计算出来两个物体的动能是这些。 再比如这种题，把绳子剪断，那么弹力势能转化成物体动能，也可以计算出弹开后两个物体的动能。 前面这三种情况考试常见，但都只是特殊情况。下一期讲的方法才是真正的通用解法。如果你掌握通解，那么前面就只是这种通解的特例，下一期我们将揭开这个通解的终极面纱，那我们下期再见，拜拜！

你们听没听过一个东西叫做宇宙全息论，就是你人运势低的时候，你人状态不对的时候，你定的房间，你选的房间一定都是跟你现在的能量相匹配的，就是为什么他能够一看我定的那个房间里面的布局，窗外的布局，他就知道我现在情况，就是因为我基于我现在的一个情况选了这间房间，这间房间就会完全的呈现我现在的状态， 然后我就一下，我就一下，我就想到了以前我们有一句话叫做福人居福地，这句话吧，我觉得我这次我才深切的理解了这句话， 什么叫福人居福地？不是说有福的人他去到一个什么乱七八糟的地方都会很好，而是那个有福气的人，比如说他现在走在正在赚钱的大运上，对他的能量，他的磁场，他整体的状态就在那个赚钱的状态里。所以他怎么选他随他，不用去看什么 大师，他不用去找什么环境科学的老师去看，他随便选到的都是那个能让他发财的房子，是的，他就不会去到乱七八糟的地方，我才真的明白，就是原来福人居福地是这个意思。

如果你感觉到自己最近状态下滑，经常出错，甚至运气都变差了，毫无原有的情绪低落，那很有可能是你的能量场出了问题。 这东西听起来很玄乎，而且不能用科学的方法去量化，但却有无时无刻的在影响着我们的生活。有人把它归结为状态场，然后试着从饮食、睡眠开始入手， 结果忙活了大半天，发现情况并没有什么好转，这感觉就像是有一只无形的手死死的把你摁在了地上一样。 不过你也别着急，今天这期视频的目的就是为了帮助你改善你的能量场，让你每天都能稍微活分一点，元气满满，同时也能因为自己的高能量吸引来更多同频的人和更美好的事。好，今天给大家分享的天涯神天使 开悟、能量守恒，作者阿杰说是在这里我们来说三个非常有效的方法。第一个，收拾自己的想法。低能量的原因有很多，最常见的就是内耗， 为了已经发生过的事不断的去折磨自己，后悔、难过、自责，结果能量都被这些无法改变的事给习走了。我们要做的是什么呢？看山是山，看水是水， 吃饭就是吃饭，睡觉就是睡觉，永远专心的做好当下的每一件小事，过眼云烟，允许一切发生，那可能有人没有办法控制住自己的想法，没有办法专注当下。那有这种问题的朋友强烈建议你 可以试着做一些简单且不费什么精力的事，比如去收拾收拾屋子，跑跑步，打打球，或者去公园晒晒太阳。有一个特别有意思的二十分钟公园理论，他说的就是有研究证明，你只要每天在公园待着个二十分钟，即使你不做任何运动， 光在那坐着晒太阳，就能让你的状态得到有效的提升。第二个方法，多去接触那些能量高的人。不知道你有没有发现，能量这东西是会相互影响的，跟能量搞得人在一块，本身就是一种充电的过程。 而有些人非常善于拖垮别人的能量，那些成天抱怨满满负能量的，听他们倾诉，管他们的闲事，就等同于跟他们手拉手一起沉入海底。 当然，这里绝对不是说我们该对朋友的事不闻不问，只不过就是在你能量过低的时候，优先照顾好自己显然是最重要的事。第三个方法， 赞美自己，也称赞别人。这么一个方法就是简单的，每天在睡前稍微回顾三件这一天里比较值得高兴的事，夸一夸自己，就能增强自己的自信，提升自己的能量。这不是什么心灵鸡汤， 而是非常有效的心灵治愈手法。你可以在不少的心理学书籍里找到心，随念转，念叨积极了，你的心境自然就会发生变化。而赞美别人就更重要了，他打破了生在我们心里的那把铁锁。随之而生的真正意义，不只是别人高兴、 分享喜悦或者什么商业互捧，而是它能有效的改变我们内心有关于比较极度自卑的感受。它让我们不再觉得别人的好，衬托我们的差，不再觉得别人的富裕体现了我们的贫穷，而是你很好，我也很好。说白了，我能包容你的好， 能接得住你的成功，这本身就是一件很了不起的事，所以，勿把他人的德当做自己的事，发自内心的去赞美别人，能让你获得更高的能量。或许有人在评论区会说， 钱能解决一切，我要有钱了，我当然能量就高了。此言差矣，钱很重要， 但起码在能量这件事上，还真的没你想的那么重要。我见过很多有钱人，有人每天都在环游世界，有人换车就跟换衣服一样勤，有人一天到晚有走在各个场子之间纸醉金迷。但这些人，我说实话， 大多数人过的都很维密，他们物质上很富足，时间上很充裕，甚至早早就体验过了很多穷人一生都体验不了的那些东西。按理说他们应该很快乐，应该能量满满，但其实没有。在你为下个月贷款发愁的时候， 他们也在无尽的空虚里迷茫，唯一不同的就是，你想要他们的生活，而他们不想要你的生活。可能有人觉得这是一句废话，或许有人觉得我在骂人，不是哈，玄机，就在这句话里，你羡慕他们的生活， 想着努力一把，有朝一日能过上那样的日子。但是他们不羡慕你的生活，他们不想，也没有办法努力去过上你这样的日子。说白了，你的生活有盼头， 有向上的动力，而他们没有，这就是本质的区别。举个可能不怎么恰当的例子，同样是跑步， 你可能朝着远处慢跑或者狂奔，而他们只能在终点线上原地踏步。我在斗胆说一句大实话，其实不管你的月薪几千还是几百，都一定能活下来，而且都一定有适合这个消费层级的生活， 等着你温饱之后，你多挣的每一分钱，都是你改善生活，变得更好更快乐的见证。这一路上，你跑过山川，跑过湖泊，你虽然离终点很远，但是你离起点可能更远。这一点来说，你很棒，你真的很棒！ 希望你能记住我今天说的这些话，时刻拿出来给自己鼓鼓劲，自我肯定是高能量最重要的来源，好！ 本文全篇共计有五万字，出自天涯神帖一千篇合集。由于内容受限，大部分文章无法公开，如果您喜欢完整版，请看全书。

我从来不帮荣耀手机说话，但也确实是没有帮他说话。当我一看到能量守恒四个字，我就知道，你只是赢了气势，而输了知识。荣耀命本来就是游戏机型，机型决定了他本身就允许被更厚更重。他不是在七毫米的旗舰机里塞下一万毫安时的电池， 它是拿厚度换了能量。你不能把 suv 和轿车放在一起，然后严肃地说，油箱大一定牺牲了发动机。第二句更有意思，能量守恒定律，我嘞个嘚！能量守恒定律说的是能量不会凭空产生，并不是说你不能重新排列物理结构。如果能量守恒限制手机内部结构空间，那乐高也应该违反物理学第二定律了。 更神奇的是，竟然说手机物理风扇不成熟，那么显卡、游戏本车机、路由器全部在用风扇，是因为大家想不到更好的解决方案吗？还是因为主动散热，在高热流密度场景下就是更优解？手机风扇现在一毫米几的厚度，零点二瓦的功耗，按年算寿命，它解决的不是凉不凉，而是芯片能不能持续的跑满。所以，问题根本不是荣耀牺牲了什么， 而是你愿不愿意用厚度、重量、防水等级来换取更好的超长续航和稳定的帧率啊。这不是物理问题，这是审美问题，当然也是消费的选择。最后送一句给能量守恒者，能量守恒守的是能量，不是你对产品的想象。评论区交给你们了，拜拜。

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，这背后竟藏着自然界最核心的定律。能量守恒定律堪称自然界最普遍、最基本的定律之一。从经典历学视角看，能量在动能、重力势能、弹性势能间转换， 比如过山车下降时，重力势能减少，动能增加，总和却不变。热力学视角下，热力学第一定律确立了永动机的不可能热量与机械工可相互转化，但总能量依旧守恒。 相对论视角则更神奇，爱因斯坦的智能方程解释了质量本身就是高度浓缩的能量，此时守恒率扩展为智能守恒。 而从理论物理深度看，能量守恒源于时间平移对称性，只要物理规律不随时间改变，就必然导出能量守恒 这一普适性，让能量守恒定律成为分析物理问题、审视自然现象的重要标尺。能量守恒定律如此神奇，你还有什么想了解的，快来评论区留言分享吧！

一切的人事物都有一个对立的存在，为什么？因为大到自然一定会创造出来一个跟他对立的敌人，用来平衡他造成的失衡状态。 为什么会有对立？有阴阳，有善恶？因为我们有分别，分别是我们与生俱来的习气，分别之后产生的执着就滋生了内心的贪婪痴满溢，痛苦烦恼就随之而来。 而一旦你依赖大脑的二元对立机制评判了，对某个人事物贴上了好的标签，你就很难再去面对他坏的一面了。所以当那些营销、广告、诈骗电话拼命的呈现好的一面，或者呈现让你恐惧的一面，你就容易产生错误的评判。 这就是很多人在感情上、金钱上、生意上上当受骗的原因。所以你一定要时刻警惕大脑的评判对立，提起绝招，看破事物的本质。而我们习惯性的把这个世界分为两部分，内在和外在，精神和物质，阴和阳。 而从物理学上来说，就是能量和物质，也就是说物质的本质也就是能量，能量的本质就是物质， 比如说财富，财富可以从物质转化成能量，也可以从能量转化成物质，它是能量和物质的总和，是阴阳的总和，是虚实的总和。 比如你账上的存款是虚的，是看不见的财富，但是现金是实的，是看得见的财富。爱因斯坦早就提出，所有一切的物质都是能量的表现形式， 如果能量非常密集，就表现为固体，能量稍微疏松，就表现为液体，能量再疏松一点，就表现为气体。如果能量完全疏松，就表现为无形态，连气态都不存在，它就成为看不见摸不着的东西。虽然这一切看不见摸不着，但是它可以转化， 就比如太阳能、 wifi 信号、空气射线等等都是能量，但这些能量我们抓不住，却可以通过某种方法来转化它。你看我们把太阳能转化为电能，把水转化为食物等等。 之前我说过，厚德才能载物，其实厚德就是能量，一个人无德，也就是说没有能量，他就不可能获得成功和物质，因为他没有能量去赚。 如果有能量，即使没有物质，也一定处处皆是喜悦和幸福。所以为什么说内在和外在，阴和阳其实是一个整体， 我们内在的能量福气就是德。所以当内在大于外在时，能量就会转化为物质，于是丰盛富足就会自动存在。 而当外在大于内在，也就是当能量不够的时候，物质就会自动消失去平衡。你的内在对应到生活当中就是健康、财富等外在的损失甚至灾难。所以从能量的角度，厚德才能载物，缺德则缺物，无德则无物。 因为能量和物质永远要追求一种平衡。而我们的内在能量是如何消耗的呢？ 就是我们不断的分别执着，能量就变现为各种情绪，通过深口一不断的造作，造成了我们的精神内耗和能量流失。 当你真的明白能量守恒这条宇宙定律的时候，你就能明白，你遇到的很多相反的对立的人、事、物，不是冲你而来，而是为你而来，他是来平衡你的，提醒你的，你应该如实的关照与接纳。而宇宙运行的本质就是能量在推动和转化， 当你内在能量超越了外在物质，也就是说，当我们的得比较后，那么能量就会自动恢复平衡，使得物质和精神平衡，物质就会自动出现。物质和能量要平衡，必须进行相互之间的转化。 我们人体也是一样，阴阳不平衡时就要生病，这是无法拒绝的。同样，很多时候财富成功也是拒绝不了的，因为它是自动平衡。 而当你的内在能量低于外在物质，也就是说得比较薄，而物质太多，那么结果就是多出这部分物质会消失，这也是无法抗拒的事情，甚至会出现某些意外，这叫德不配位。就像你用一个一吨的小木船去装载十吨黄金，结果就是人吊船翻。 我们永远不要去看重物质，永远要把注意力放到精神上，就算物质暂时得不到，但是心里会觉得特别安静、喜悦。 最后一点就是我们要学会主动创造平衡，改变我们的人生轨迹。当我们明白了能量守恒定律后，就可以主动运用这个定律去创造平衡，主动改变命运。 当我们发现生命中的物质远远超出自己的能量，外在的拥有远远超出内在的精神时，就可以主动把外在的物质奉献出去，拿去知识、传统文化、希望学校、帮主、灾区等等，把它捐献出去，让这部分物质回归到能量状态，这样就实现平衡了， 因为你的奉献付出就是给自己过的能量。很多人不知道这个道理，就会拼命追求物质。 正如有很多老板赚了很多钱后，大量买别墅、车子，非常奢侈，却不去补充精神的能量，因为如果不提升内在，那么这种平衡的力量一定会把你的外在物质平衡掉漏掉，直到跟你的内德的水平相匹配，相平衡。 感情也是一样，一段感情，一段婚姻。如果你想保持长久，你必须想办法主动的、有意识、有觉知的实现平衡。必须重视反面的力量。 如果对方弱势，那你就要主动的强势一点。如果对方强势，你就要主动的弱势一点。如果两个都强势，就失衡了，肯定容易产生矛盾，日子也会过不下去。再比如说你的身体健康， 你也一定要有意识、有觉知，主动的去保持你的能量的消耗和滋养的平衡。少熬夜，少追剧，少刷视频。生活中消耗你的人、事物太多，而滋养你的人、事物太少，那你的身体就会失去平衡，时间长了就会垮掉了。 有不少人身体出了大问题，因为他根本意识不到这一点，长期处于被消耗的状态。同样，如果那反过来，滋养你的人、事物太多了，消耗你的人、事物太少了，身体也会出现失衡， 时间长了，整个人就会变得肥胖、慢性病，甚至性格上出现任性、傲慢、堕落等等。 所以，有智慧的人在事情发生之前就解决了，而不是是等事情发生了才去解决，因为那时候再去补救就已经来不及了。总而言之， 怎样将能量守恒原理应用于我们的生命中，核心就是永远让内在大于外在，让精神大于物质。我们有智慧的人能够提前了解明白这些原理，就要去好好珍惜，并努力运用在生活中。

这节课呢，我们要来讲的是关于功率的各种各样的事情，那我们先从功率的一个概念来讲起，那比如说我们来看这样的一个小例子啊，那比如说一哥和杰哥他们两个比赛 啊，比赛，比如说搬砖吧，那就是去工地搬砖，往楼上去搬砖啊，那比如说一哥搬砖啊，一共做了多少工呢？一共做了，比如说有一万交耳公啊，而杰哥搬砖呢，一共做了，比如说四万交耳公， 那这种很明显哎，咱们杰哥搬砖哎，做的工比较多，对吧？但是我们做工的话，不仅仅只有多少这一个维度，其实还有做工快慢的这样的一个维度，对吧？比如说我们一哥呢，做这一万浇耳公，他一共用时比如说是十秒。 我们的杰哥虽然说他做工比较多，他做了四万浇耳公哎，但是他用的时间相对来说比较长，他一共用了一百秒。那么此时我问大家，谁做工比较快啊？ 是不是一哥做工比较快，对吧？这个东西怎么算呢？其实很简单，就是我们算一下单位时间内做的工是多少，比如说一哥的话，就用十秒内所做的工，再比上这十秒，我们就可以得到他每秒所做的工等于的是一千焦耳 每秒。而对于杰哥的话，我们就用他一百秒内所做的功，比上这一百秒的时间，可以得到他每秒所做的功等于的是四百焦耳。那么接下来再比较哎，我单位时间内所做的功的多少，就可以得到我们的一哥，他所对应单位时间内所做的功比较多，那么也就是他做功比较快， 对吧？那么像这一个描述单位时间内所做的功的多少的，或者说描述做工快慢的这样的物理量，我们就把它叫做功率， 哎，我们的功率所对应的用 p 来进行表示，它等于的就说某段时间内所做的功，再比上这段时间，哎，那么得到的这个值就是功率，那得到的就是功率。 那么这样的一个功率的话，它是有自己单独的单位的，它用的并不是交而为秒，它的单位叫做瓦，叫做多少多少瓦。哎，比如说这一千交而为秒，它其实等于的我们给它写成标准单位的话，它其实就是一千瓦， 那么如果是四百焦耳每秒的话，那么我们把它写成标准单位的话，它等的其实就是四百瓦。哎，那么这个瓦所对应的就是我们功率的单位，那这里非常需要注意，我们这个 w 和这个 w 他 们两个是不同的啊，这里的话他们两个 w 非常容易搞混啊。这个 w 它代表的是做工，而做工的单位是多少多少焦耳， 而这个 w 它所对应的是功率的单位，而功率是用 p 来进行表示的， 哎，那么这里我们这个 w 大 写的这个 w 和这个 p， 它们两个是一个级别的，哎，我们是用这个字母来代表我们某一个物理量，而后边的这个 g 和这个 w 它所对应的是单位啊，一定要注意区分我们这个 w 和这个 w 它们两者之间的区别。 那么这以上就是关于功率的一个基本的理解，以及它的一个基本公式的事情。我们把它整理到屏幕的上边，那么其功率的物理意义，它就是用来描述做功快慢的一个物理量，然后它的公式呢？等于的就是某一段时间所做的功，再比上这段时间 t 啊， 那么这就是功率相对来说比较基础的事情。那么接下来关于功率还有一个东西要给大家来讲一下，就是关于平均功率和瞬时功率的事情， 那么像我们刚才通过这个公式求得的，其实我们求的就是平均功率，因为他是用某一段过程，我们所做的功比上这某一段过程的时间，哎，得到这功率，那么他一定是某一段过程之中的平均功率， 对吧？那么对于瞬时功率的话，我们怎么来求呢？那么瞬时功率它等于的是某一段微小时间之内他所做的功的多少？再比上这一段微小时间，那么得到的就是我们这样的一个瞬时功率。 那你有可能会说，哎，小孩，我这样的一个微小时间会说极短时间之内所做的功，我也不会求啊，包括这个极小的时间我也不会算呢，那这个式子我们要怎么办呢？ 来看我们这个微小时间之内所做的功，我们其实可以继续往下进行转化，我们做功的式子大家还记得吗？我们做功的式子 w 等于的是不是力的大小，再乘上外移的大小，再乘上两者夹角的一个 cosine 值， 对吧？那么这整个式子之中一共有四个物理量，那么首先我们一个一个来看啊，来看第一个物理量，关于做功，哎，那么他一定是一个过程量，对吧？一定是我们某一个过程之中这个力做了多少功，对吧？所以说做功他是一个过程量， 而我们这个 f， 哎，他对应的是一个状态量，他是不需要某一个过程的，对吧？他指的是一个状态，所以说我们力他所对应的是一个状态量， 而这个谓一，哎，它所对应的是不是也是一个过程？我们一定是某一过程才会有谓一的大小，对吧？所以说我们这个公式之中的 l 谓一的大小，它也是一个过程量， 然后最后的这个阿尔法，那么这个假角，哎，那么假角指的也是某一个状态，对吧？所以说我们这个假角它所对应的也是一个状态量，哎， 那么接下来下一步我们要取的是我微小时间之内所做的功的多少，那么也就是我们需要把左边这个 w 我 加上一个的他，对吧？要算的是一个微小的过程之中我们所做的功的多少，那么这个等式的右边我们仅仅只需要把这个 l 加上一个的他， 对吧？因为只有 l 代表的是一个过程量，因为我们取的我们现在要算的是不是一个微小时间之内这个过程之中，哎，各种各样的事情， 对吧？那么所以说我们只需要把这个过程量加一个单调就 ok， 那 么整个等式我们就可以把它转换成是单调 w 等于的是 f 乘上单调 l， 再乘上一个 cosine 阿尔法， 那么得到了我们微小时间内做功的一个表达式之后，下一步就是把它带到左边的式子之中，那么就可以得到其逆顺势功率 p 等的是 f 乘上 d， 它 l 也就是微小时间之内为宜的大小，再乘上一个 cos 阿尔法，再比上 d 它 t 来，这个时候你会发现一个事情啊，我们这个单调 l 代表的是微小时间之内为宜的大小，而我们这个单调 t 代表的是微小时间，那他们两个一比等于的是什么呀？ 等于的是不就是顺时速度的大小啊，对吧？哎，那我们把这个式子就可以化简成 f 乘上 v， 再乘上一个 cos 阿尔法，那么这时候需要注意的是，这个 v， 哎，指的是我们顺时速度的大小， 而我们最后的这个阿尔法，它指的是我们这个力和这个瞬时速度方向的夹角，哎，那么这我们就得到了瞬时功率所对应的表达式， 那么瞬时功率的这个表达式啊，实话实说，我们绝大多数用的其实都是 p 等于 f 乘 b， 哎，也就是绝大多数我们用瞬时功率的时候，我们这个 f 这个力 和其瞬时速度的方向都是同一方向，哎，那么他们两个如果是同一方向的话，那么这个 cos 阿尔法等于的就是一对吧，我们整个的左边的这个等式，就可以把它简化成右边的这个等式。 而我们绝大多数涉及到瞬时功率的题目，其实他们两个都是同一方向的，也就是其 f 直接乘乘 b 就 ok 了，不用乘后边的 cos 阿尔法。 那我把这样的一个结论给它整理到屏幕的左边，哎，就可以得到我们平均功率所对应的公式和我们瞬时功率所对应的公式，那么这个瞬时功率所对应公式，我们通常用的是 p， 直接等于的是 f 乘上 b， 那 么如果我们这个 f 和瞬时速度的方向不在同一方向的话，我们还需要再乘上一个 q 三阿尔法，对吧？哎，就是这样的事情啊，那么至此，关于功率的东西就都给大家讲完了， 你会发现它其实并没有什么难点，对吧？这功率本身这个知识点，它其实并没有多难，但是它的题目有的时候并不简单，那么难点在于哪里啊？难点在于和之前的内容相结合， 对吧？哎，还是这样的一个事情，那我们接下来就简单练习几道，哎，关于功率的一个具体的题目，那么先从一道比较简单的题目开始讲解，那么来看这个题，这个题，他说我们水平横立 f 两次作用在同一个物体之上， 使这个物体呢由静止开始沿立的方向发生相同的位移，而第一次是在粗糙地面上，第二次是在光滑地面上，然后最后问我们两次这个立 f 做的功和功率的大小关系是怎样的？ 那这样一道题目的话，他给出的这些已知信息，哎，他给出的已知信息比较多，对吧？我们可能稍稍微微有一点无从下手的感觉，那么没事，没关系，我们只需要把他给出的已知信息，我们通过 比例的关系给它列出来，就会清晰很多。那我们一句话一句话来看，首先我们水平横力 f 两次作用在同一个物体上，哎，那么这个水平横力 f 两次作用在同一个物体上，说明两次的这个力 f 的 大小是完全相同的， 对吧？哎，那么首先我们可以得到这两次它所对应的大小是一个一比一的关系，而且我们这个物体的质量是一个一比一的关系， 那么这是通过第一句话我们得到一个比例关系，然后再来看第二句话，那么第二句话他说两个物体都是从静止沿力的方向发生相同的位， 那这个时候首先从静止开始告诉我们，他们的出速度是完全相同的，对吧？ v 零是一个一比一的关系，还告诉我们他所对应发生的位移是完全相同的，那么也就是他们两个的位移 x 是 一比一的关系。 那么至此，其实我们就可以直接判断出来他们两个的做功的一个大小关系了，因为我们所做的功等于的什么？ 所做功等于的是不是 f 再乘上 l， 再乘上一个 cos 阿尔法？那么对于这道题而言，其力的方向和为移的方向完全是统一方向，那么最后一项等于的是一，那么做功 w 等于的就是 f 再乘上 l， 也就是力的大小再乘上为一， 对吧？但你会发现我这两次力的大小完全相同，位移的大小完全相同，那么说明两次这个力所做的功就是完全相同的，对吧？由此我们就可以得到他们两个的 w 就是 一比一的关系， 但我们仅仅只知道这个 w 的 关系啊，也就是做功的关系，是没有办法得到题目最终的答案的。我们还要比较，哎，在这两个过程之中，他的功率的一个大小关系，对吧？那这样的个功率很明显它是一个平均功率，那我们要计算平均功率的话，需要用到的公式是 p 等于 w b t， 那么现在我们知道他们两个，哎，或者说两个过程所对应的所做的功是完全相同的，也就是一比一的关系。那么接下来我们只要得到两者这个运动的时间的大小关系，就可以求得两者所对应的功率的大小关系，对吧？那么两者所对应的时间相同吗？ 时间相同啊！注意啊，这道题一定要注意啊！这道题并没有说时间相同，很多同学会感觉，哎呦这道题它所对应力的大小完全相同，然后出速度也完全相同，然后谓语也完全相同，那么它的末速度以及时间就是不是完全相同的。 注意，并不是，就是题目没有给出的条件，我们不要自主的去揣测啊，我们需要进行一个不能叫做自主的揣测，不要妄自的去揣测啊，我们需要进行一个实质的判断，我们通过已知来推未知。 那么现在我们想要求两者的一个运动的时间的话，那么现在已知的信息有哪些？已知的是两者的出速度完全相同，两者的位移完全相同，那么如果，哎两者加速运动过程之中的加速度也完全相同的话， 那么其时间就是完全相同的，对吧？但问题在于，两者的加速度相同吗？ 会发现不相同，为什么不相同？因为左边他的地面是粗糙的，那么他在运动过程之中整体的加速度 a 等于的是拉力 f， 再减去摩擦力的大小，再比上他的质量小 m， 对 吧？而右边的地面第二次的时候，他的地面是完全光滑的，他的加速度 a 等于的直接就是拉力比上小 f， 那 么很明显我第一次的拉力，哎，第一次这样的一个加速度啊，他是比较小的，而第二次的加速度他是比较大的， 那么第一次加速度比较小，那么说明第一次完成相同的位移需要的时间就是比较长的， 对吧？那么第一次需要的时间比较长的话，那么它所对应的功率就是比较小的， 因为分母越大，哎，结果越小，对吧？那么由此我们就可以得到，我第一次也就是在粗糙地面的时候，他所对应的功率是要更小一些的，那么这道题目的正确答案选择的也就是四 d 选项， 对吧？哎，就是关于这样的一个事情啊，那么通过这道题，一方面是带大家整体的感受一下我们求功率哎这样的一个事情，另外呢也是带大家来说明一个道理，就是我们在做物理题目的时候，一定不要凭感觉哎去做出某些最终的决定， 就是我们在做物理题的时候，你有合理的揣测，哎，是就是，是和就是是可以的，对吧？就是我们在做物理题的时候，根据一些生活的常识，根据我这样的一个猜测哎，进行一丁的假设 是完全可以的，但是不能把这个假设直接用来解析，你还要印证一下你这个假设的究竟对不对，如果你这个假设没有非常充足的理论支撑的话，那么就不能直接适用于解析 哎，一定是这样的一个逻辑关系。那么这是我通过这道简单的题想要给大家说明的一个道理啊，就是我们物理这里做题的话，可能是需要一些感觉，但是你全凭感觉去做题也是不可取的啊，我们这个感觉他只是一个猜测，还要进行一个验证， 那么这是关于这个题啊，就给大家说完了比较简单的一个事，那么接下来我们再来看一个类似的题目啊，那么这道题和上一道题看着比较相似啊，但是它有所不同， 这一次这个质量为 m 的 物体仍然是被拉动两次，但是拉动两次的这个地面的情况完全相同了，地面的情况是完全光滑的，但是这个拉力发生了变化，对吧？第一次是水平拉动的哎，以 f 一 的大小水平拉动，第二次以 f 二的大小哎斜向上拉动。 那么已知在这两次拉动的过程之中，都是由静止开始的，而且是以相同的加速度移动了同样的距离， 那么到这里的话，其实我们就可以得到，或者说可以简单的直接推导出来一些简单的结论了，因为这里它有一个非常关键的信息，就是我们两次拉动的时候加速度完全相同， 那么如果加速度完全相同的话，我们就可以得到两次拉动过程之中他所受到的合力啊。 f 和一是完全等于 f 和二的，就是两次拉动的合力是完全相同的，而且都是水平方向向右的，对吧？因为我们整个加速度方向是水平方向向右的，那么所所以说两次的合力一定是水平方向向右的，而第一次的合力就等于 f 一， 而第二次的合力它等于的是 f 二，再乘上一个 cos 阿尔法，对吧？那我们根据这个加速度相同，也就是合力相同，我们直接可以得到这个 f 一 和 f 二的一个大小关系，那么也就是 f 一 等于的就是 f 二乘上一个 cos 阿尔法， 那么换句话来说，其实就是我们这两个力，它在水平方向的分量大小是完全相同的， 对吧？那么接下来他还告诉我们，移动了相同的距离，那么加速度完全相同，移动的距离也完全相同，那么说明他所对应的末速度了，包括时间了就都是完全相同的， 对吧？哎，那把这几个完全相同的东西也简单把它写一下吧，那么首先我们可以知道，那么出速度为零还是完全相同的，都等于的是零啊。 然后还告诉我们，它所对应的加速度是一比一的关系，位移是一比一的关系，那么时时间也就是一比一的关系，而且我们还可以知道它所对应的末速度 v 也是一比一的关系， 那么这些就都是我们通过这句话可以分析出来的事情。那么这些东西的话，其实我们熟练的话，他是不用把它写出来的，但是在脑子里边需要有这样的一个印象，知道，哎，两者的运动状态也说关于运动过程的各个量都是完全相同的， 对吧？哎，那么接下来我们看这道题问的是什么？那这道题他最终问的是我们这两个例，他的平均功率 p 一 和 p 二，哎，他的一个大小关系是怎样的？那么想要求平均功率的话，我们需要用哪个式子？需要用的是不是 p 等于 w 比 t， 那么你会发现我们两次运动的话，它所对应的 t 是 完全相同的，那么这是我们通过上边推导出来的，对吧？那我们接下来只需要比较两次拉动过程之中，这个拉力所做的功的大小，就可以求得平均功率的大小， 那么你会发现这样的一道求功率大小关系的题，我们就把它转换成了求做功的题，对吧？那么做功这个事我们已经讲过两节课了，非常熟悉的一个事情，那么简单求一下做功。那么整个过程之中，哎，我们左边的这种情况，他所做的功，比如说我们用 w 一 来进行表示，那么他等的就是 f 一， 再乘上外移的大小，我们就用 x 来进行表示，然后再乘上 cosine r 法，但是因为我们这个力的方向和运动方向是完全相同的，那么 cosine r 法直接等于就是一，我们就直接把它省略掉不写了， 对吧？我们这就得到了左边情况，也就是我们水平拉力 f 一 的情况之下，它所做的功的大小，那我们再来求一下 f 二，哎，所做的功， 那么 f 二所做功，我们把它记为 w 二，它等于的是 f 二的大小，再乘上其水平方向微移的大小，我们也直接用 x 来进行表示，然后再乘上两者之间夹角的一个 cosine 值，也就是 cosine 阿尔法， 对吧？那么接下来我们要来比较的就是这个 w 一 和 w 二的大小关系，那你会发现要比较的就是他们两个的大小关系，那么因为其两次的谓语是完全相同的，那我们需要比较的其实就是这个 f 一 和 f 二乘 cos 阿尔法的大小关系，那你会发现他们两个是怎样的大小关系啊？ 是不是在这，对吧？他们两个是完全相等的，那么说明其 w 一 就是等于 w 二的， 那么再把这样的一个相等的关系带到左边的式子之中就可以得到，那么其 p 一 也就是等于 p 二的，那么这道题目的正确答案选择的就是 b 选项， 对吧？哎，就是这样的一个事情，你发现这个题其实本身并没有怎么难，对吧？包括我们功率的这一部分的知识，其实也是非常简单的事情，只不过和之前的知识进行了一定的结合，可能稍稍微微有那么一点点的小难度，对吧？啊，那么就是关于这道题啊，也就给大家讲完了， 那么这两道题讲完之后，留给大家一个练习题啊，这样的一个练习题，那么这个题和我们刚才讲的两道题是非常相似的一个题目啊，那么只不过是在斜面上边啊，剩下的分析的思路是完全相同的，那么这道题一定自己亲自要做一下，我建议如果有条件就是视频，你看到这里立刻就暂停， 然后把这道题做一下，做完之后对下屏幕左下角的答案啊，那么这道题是非常简单的一个题啊，相信大家是都可以做对的，仔细做一下，其实都可以做对的，那么这个东西说完之后，关于功率这里比较基础的事啊，就给大家说完了，那我们看一个涉及到难一点点的题目啊，来看这个题， 那么这个题我们就简单直接只看这一个图，你会发现，哎，那么这是一个功率和关联速度相结合的题目，那这时候有的同学有可能有一个小疑惑说，哎，小孩，你只看这个图，你怎么知道他是一个考功率的题啊？ 因为我们本节课讲的一定是和功率相关的，对吧？所以说这道题啊，他一定是一道涉及到功率的题啊。那么或者说你直接简单的读一下题，你会发现这道题呢，给出了我们上边的这样的一个电机啊，这个东西啊，它是一个电机，就是它在转，对吧？然后将会收缩这样的一个缆绳， 从而把这个小船拉到岸边，对吧？就是这样一个过程，然后它告诉我们这个电机转动的功率横定为 p， 哎，给出了它的功率横定为 p， 然后还告诉我们小船的质量为小 m， 然后小船所受到的阻力大小横定为小 f， 那 么经过其屏幕上也就如图所示的 a 点的时候， 我们这个缆绳和水平方形的夹角为 c 大 角，然后小船的速度为 v 零，让我们来求小船此时此刻，哎，它的加速度大小 a 以及缆绳对船的拉力 f 等于的是多少？ 那么他让求的一共有两个量，我们一个一个来看吧。来，先来看这个求的加速度 a， 那 么这个加速度 a 的 话，我们从整个高中啊，就是从高一开学到目前为止，我们求加速度 a 的 方法，或者说求加速度 a 的 思路有几个呀？ 是不是主要就两个？其实主要就两个思路，首先第一个思路就是通过直线运动来求， 哎，也就是通过什么出速度了，末速度了为宜了时间，通过这些量来求加速度，对吧？第二个思路就是通过牛顿第二定律来求， 对吧？哎，就通过牛二来求这个加速度，也就是求得了合力，求得了质量之后，我们两者一相比，就可以求得他的加速度等的是多少。我们到目前为止求加速度的主要思路其实就是让他两个，那么这道题让我们来求这个加速度 a， 那 我们他的思路无外乎也就是这两个，但是你会发现我们第一条路完全走不通， 对吧？因为这道题他既没有给他的出速度，也没有给他的末速度，然后也没有涉及到他的一个啊，未移了，包括时间了，什么都没有涉及到，对吧？所以说这道题求这个加速度的话，很明显并不是通过直线运动来求，而且甚至这道题他都没有办法来判断他是一个匀变速， 对吧？所以说通过直线运动的话，我们是没有办法来求这个加速度 a 的 大小的。所以说这道题这个加速度 a， 我 们一定是通过牛二来求的，也就是我们一定是求得了这个小船它受到的合力等于的是多少，然后再比上它的质量，从而求得它的加速度。 那这个时候就有一个问题，如果我们想要求得这个小船所受到的合力的话，就需要知道这根绳对于小船的拉力的大小，对吧？也就是这道题他问的第二个物理量。 那么说明这道题我们一定是先求得拉力 f 等于的是多少，然后才能求得小船的加速度 a 等于的是多少。那么这我们就大概敲定了整道题目的一个解题思路，对吧？那么下一个问题， 我们怎么来求这个绳的拉力大小 f 呢？我们想要求这个绳的拉力大小 f 的 话，有两个路径，第一个路径通过这个传来求绳的拉力可不可行啊？ 是吧？很明显不可行啊，对吧？因为我们还指着这个拉力 f 来求这个小船所受到的合力呢。呀， 那这时候我这个拉力 f 靠小船来求，小船所受到的合力靠 f 来求，那这不形成了一个恶性循环吗？对吧？啊，通过未知求未知，那谁也求不出来啊。所以说我们想要求这个绳的拉力 f 的 话，一定不是通过小船来求， 那只能通过谁来求？一定是通过上边这一部分来求得绳的拉力，然后再用绳的拉力求得小船所受到的合力，然后再比上它的质量，从而求得小船的加速度，对吧？那么这所对应的就是这道题目核心的解析思路。 那下一个问题，我们如何通过哎上边的这样的一个电机来求这个 f 呢？ 关于上边的这个电机，我们已知的信息是不是只有这个屁啊，对吧？而我们要求的是他对于绳的拉力 f， 那 么屁和 f 想把它关联在一起的话， 哪个公式是不右下角的这个公式啊，对吧？那么因为此时此刻，哎，这样的一个拉力的方向和绳的运动的方向是完全同一方向的，那我们直接列出公式的话，就是 p 等于的是 f 乘 v 就 可以了，对吧？ 因为他们两个是同一方向的话，那么后边乘的这个 cos 阿尔法等于就是一，我们直接可以把它省略掉来，直接就写 p 等于 f 乘 v 就 ok。 那 么此时我们现在是已知 p 想求 f 的 话，那么就还需要知道所定的 v 等于的是多少。那这样的一个 v 哎，题目直接给了吗？ 并没有，对吧？但是我们可以间接的求得，因为这道题它给出了小船的速度是 v 零，对吧？那么接下来我们就要运用怎样的一个解题思路， 是不是关联速度的解题思路啊？也就是我们左边这样的一个 v 零，它在沿绳方向的速度分量一定是相等的， 也就是我们左边这样的一个 cosine c， 它 它一定等于的是绳的另外一端沿绳方向速度分量的大小，那么绳的另外一端它刚好哎，就是沿绳方向的，那么它直接等于的就是沿绳方向的速度分量，也就是 v， 那 么由此我们就可以得到我这个 v， 它等的是 v 零，乘上 cosine 它， 那么这我们就求得了电机这边哎，他所对应的速度 v 的 大小。下一步，把这个速度 v 带到这个式子之中，就可以求得其电机输出给绳的拉力的大小等于的是多少。 那么知道绳的拉力的大小了，我们就可以求得这样的一个船所对应的合力等于的是多少。求得这个合力之后，再比上质量，就可以求得它的加速度大小等于的是多少。哎，就是这样的一串啊，解析思路，那么接下来具体的话带着大家过一遍吧啊， 那么首先我们需要带入的是通过关联速度求得的这样的一个结论，也就是我们的速度 v， 它等于的是 v 零，再乘上一个 cosine 西塔，那把它带到下边这个式子之中，我们就可以求得 其拉力 f 等于的是 p 比上 v 零乘上 cosine 西塔， 那么这所对应的就是我们绳的拉力的大小，那有没有发现我们直接就可以排除掉 c 和四 d 选项了，对吧？因为绳的拉力的大小就是我们这道题问的第二个物理量，对吧？那么通过第二个物理量就可以排除掉 c 和四 d 这两个选项。 但是我们仅仅只求出这一个绳的拉力还不够，我们还需要求出哎这个加速度的大小。那么下一步就是通过绳的拉力，我们求得这个小船所受到的合力， 那么这个小船的话，它会受到一个重力，受到一个支持力，还有这个绳的拉力还有向后的阻力小 f， 那 此时这个小船所受到的合力等于的是多少啊？ 合力等于的是不应该是我们这个力沿水平方向的分量，再减去其阻力的大小，就是它所受到的合力的大小，对吧？因为我们这个小船它是沿着水平方向运动的，所以说它的合力一定也是沿着水平方向的， 对吧？哎，那么它合力如果沿着水平方向的话，那么它的大小等于的其实就是我们这个绳的拉力，绳的拉力 f 沿着水平方向分力的大小，再减去摩擦力，或者说减去阻力的大小，对吧？ 那么由此我们给大家写一下这个合力的大小。小船所说的合力大小就等于绳的拉力在水平方向的分量，也就是 f 乘上一个 cosine， 再减去其横定的阻力的大小。 那么下一步我们把这个 f 给它带进来的话，哎，就可以求得它等于的其实就是 p 比上 v 零再减去一个小 f， 那 下一步就是把这样的一个合力，我们再比上这个小船的质量，就可以求得小船的加速度了，对吧？那把它一比的话，我们可以得到，哎，那么也就是这道题目的 b 选项的答， 那么这我们就完成了这道题目的讲解，那么这就是一道关于瞬时功率的题目，那你会发现这道题啊，他其实难度的本身或者说难点并没有在我们功率的这个点上，哎，他的难点 是在于一些其他了，包括对于我们小船的一个受力分析了，包括关于这样的一个关联速度的计算了，它重点是在这上边，对吧？我们的功率，哎，仅仅只是起到一个中间的一个工具的作用，哎，就是这样的一个事情啊，那么关于这个瞬时功率的题目就给大家讲完了，然后我们再来看下一个例题， 那么这个例题的话也是一个关于瞬时功率的事，但是这道题相对来说比较简单啊，直接给大家作为一个课后的练习了，那么这道题自己课下的话，把它算一下，然后算完之后对下屏幕左下角的答案，哎，看看自己算的对不对，那么这就是一个功率结合我们之前 啊动态平衡的题目，对吧？你可以把它认为是结合一个大便利小便利的题目啊，或者说这道题你也可以直接用我们正交分解法来进行算啊，都可以用我们动态平衡的大小便利的解题法，或者说用这样的一个正交分解都可以啊，自己喜欢哪一个用哪一个就行，都可以 得到这道题目最终的答案，那这道题自己可下把它算一下，我们直接把它过掉，因为比较简单，我们就不给大家讲了，然后来看下一个 来，下一个题的话，就是涉及到图像的题，哎，就我们功率这里有可能会涉及到图像，那么这里涉及到的图像有可能是各种各样的图像，你 像这道题他给出的是我们这个力所做的功和位移的图像，那比如说下一个题，哎，他给出的就是这个力和时间，以及速度和时间的图像，对吧？就是他有可能会给各种各样的图像，那么无论他给的是什么图像， 我们的解析思路都是相同的，就是通过图像我们提取出来有用的信息，然后再进行解析，对吧？ 你比如说像这道题，我们先简单读一下题啊，他说一个质量等于两千克的物体放在物体之间动，摩擦因素没有等于零点一的水平地面之上， 那么在水平拉力 f 的 作用下，由静止开始运动，然后给出了我们这样的一个拉力所做的攻 w 和物体位于 x 之间的关系，如图所示。然后让我们来求各种各样的东西， 那么整个这道题目的模型我们是非常清楚了，就是非常常规的来这样的一个地面小物块在拉力的作用下进行加速运动的题目。 那么下一步我们要来看的就是这道题目都给了我们什么已知信息。那么首先先来看这个题干之中给的已知信息啊，首先给出我们这个本身的质量是两千克，然后给出这样的一个它和地面之间的动摩擦因素，没有等于的是零点一，那么通过这两个信息我们直接就可以求出来，哎， 他如果运动起来之后，那么他和地面之间的滑动摩擦力的大小，我们直接可以求出来，对吧？因为我们根据这个质量就可以求得那么地面给他的一个正压力等于的是二十牛，然后再用这个正压力乘上动摩擦因素妙，我们就可以求得他和地面之间的滑动摩擦力 f， 哎，等于的是两牛， 那么这我们是通过第一句话分析出来的，那么接下来他还告诉我们，水平拉力 f 作用下，由静止开始运动，那么相当于告诉我们一个出速度，哎，他等于的是零。然后接下来就是关于这个图像了，那我们接下来就来分析这个图像，看看通过图像都能得到哪些信息。那么首先通过这个图像，很明显我们可以得到一个非常直观的信息，就是整个运动分成两段， 对吧？那么这所对应的是第一段，这所对应的是第二段，而且我们知道第一段他所对应的谓语是三米，第二段所对应的谓语是六米，对吧？我们先把这两段给大家写出来，首先第一段所对应的是零到三米，第二段所对应的是三到九米， 而且我们通过这个图像可以很直观的看出来，我在第一段的过程之中，这个力所做的功等于的是十五焦耳，而在第二段，哎，他所做的功从十五变到二十七，那么在第二段他所做的功等于的是十二焦耳。 那么在得到了这些信息之后，我们就把这个图像上边得到的信息榨干了吗？其实并没有。还有一个很有用的信息，就是我们这两段他都是直线，哎，这个直线有什么用呢？ 来看我们纵坐标代表的是不是所做的公啊？横坐标代表的是不是谓仪啊，对吧？那我们这个所做的公和谓仪之间，他们之间那个关系是不应该 w 等的是 f 乘上 x 啊， 对吧？那我第一段他是一个直线的话，说明他们两者是成正比例关系的，那么也就是说其 f 是 一个定值， 对吧？那么就可以得到在第一段运动过程之中， f 拉力 f 他 是不变的，而同样的道理，那么第二段他也是一条直线，那么说明在第二段运动过程之中，我们这个拉力 f 他的大小也是不变的。也就我们这两段他都是在横力的作用下进行的运动， 那如果知道这两段都是横力的话，我们就可以求出来这个横力的大小了，对吧？因为第一段在横力的作用下，位移为三米的情况下，他做了十五焦耳的功，那么就可以求得这个横力 f， 哎，他等于的就是五牛， 对吧？因为我们用横力再乘上微移的大小，得到的是所做的公的多少，那么通过它比上它就可以得到其力的大小等于的是五牛。那么同样的道理，我们用第二段所做的公，再比上第二段的微移六米的话， 就可以得到第二段横力的大小，那么第二段横力的大小，它等于的就是两牛，对吧？那么这是我们通过图像 能够发掘出来的信息，那么得到这个信息之后，哎，我们再结合刚刚得到的摩擦力大小的信息，就可以得到整段运动的完整的状态了， 对吧？那么首先他在第一段运动过程之中，他所受到的合力等于应该就是三牛，对吧？因为拉力大小等的是五牛，然后其摩擦力等的是两牛，那么他所受到的合力 f 和等于的就是三牛， 然后再用它所受到的合力比上它本身的质量，就可以得到加速度，对吧？那么就可以得到它第一段运动的加速度 a 一 等于的就是一点五米，每二次方秒， 对吧？然后再来看第二段，那么其第二段运动，你会发现我们这个拉力的大小和摩擦力的大小是完全相同的，那么也就是对于第二段而言，它所受到的合力等于的是零，那么它做的就是一个匀速直线运动， 对吧？那么第二个它所对应的加速度 a 二等于的就是零米，每二次方秒，它做的是一个匀速直线运动，那么根据其运动状态，我们就可以排除掉两个选项了，对吧？那么首先 o a 这一段它做的是匀加速，那么 b 选项描述的就是错误的， 而 ab 段他做的是一个匀速，那么 c 选项描述的就是错误的，哎，那么就只剩 a 选项和 d 选项了，那么 a 选项和四 d 选项的后半句话，我们一个一个来看，哎，先来看 a 选项的后半句话，他说此过程之中拉力的最大功率等于的是多少， 哎，这时候他问了一个东西啊，叫做最大功率，那么如果是我们某一段平均功率的话，能求来他一个最大值吗？ 是不是不能啊？就说我换句话来说，我告诉大家，我某一段运动就是我某一段运动，它的平均速度等于的是四米每秒，你能求出来这一段运动过程之中，它的速度的最大值是多少吗？ 是不是求不出来，对吧？我们想要求得这一段运动过程之中的速度的最大值，一定是通过瞬时速度来求的， 对吧？哎，那么这个 a 选项也是同样的道理，如果我们想要求这个拉力的最大功率，一定是通过顺时功率的公式来求它，对吧？我们先把顺时的功率的公式写在这里，那么 p 等于的是 f 乘上 v， 那 么在 o a 段的运动过程之中，你会发现我们这个 f 它是大小横定不变的，对吧？它等于的就是五牛。那么整个运动过程中，速度是逐渐在进行增大的，因为第一段它所对应的是不是一个加速运动啊？ 对吧？那么他的速度就是逐渐在进行增大的，那么其功率也就是逐渐在进行增大的，那什么时候其功率最大呀？ 是不就其速度达到最大值的时候其功率最大，对吧？那我这样的一段匀加速直线运动，我什么时候速度达到最大？ 是不是最终的时候，也就是他的位移等于三米的时候，他的速度达到最大？那么接下来我们想要求这个最大功率的话，就要求到这个最大速度，那么想要求这个最大速度的话，哎，就只能是通过匀变速运动来求，对吧？因为我们知道这一段匀变速运动， 它的位移等于的是三米，它的加速度等于的是一点五米，每二次方秒，还知道它的初速度 v 零等于的是零，那么根据速方差公式也用的 v 方等于二 a x 就 可以求得其末速度 v， 它等于的就是三米每秒， 对吧？那我们求得了这样的一个速度，它的最大值等于的是三米每秒，再乘上其力的大小五牛的话，就可以得到整个 o a 段功率的最大值等于的是十五瓦， 那么 a 选项描述的也就是错误的，对吧？因为他说最大功率为六瓦，他说的是错的，对吧？最大功率是十五瓦， 那么 a 选项竟然描述的是错误的了，那么四 d 选项一定就是对的了，但是我们也一起来看一下四 d 选项，他说在 ab 段运动的过程之中，那么整个过程之中拉力的功率恒定为多少？那么他问这个拉力的功率是否恒定的话，那我仍然是需要判断的是它的一个瞬时功率， 对吧？就还是那个道理，我告诉你一段，我某一段运动，它的平均速度等于四米每秒，你能知道它是一个匀速运动还是一个匀加速运动吗？ 说没有文化知道，对吧？我们想要判断它是不是匀速运动的话，需要得到的是它每一个时刻所对应的速度，也就是通过顺时速度来判断。 哎，那么这也是同样的道理，我们想要知道它的功率是否恒定的话，我们需是需要通过顺时功率来进行判断，而顺时功率我们需要用到的公式就是上边的这一个 p 等于 f 乘 b， 对吧？那么在 ab 这一段，他所对应的 f 是 一个恒定的值，等的是两牛，而他的速度所对应的也是一个恒定的值，对吧？因为我们第二段他做的是一个匀速直线运动，那么第二段这个匀速直线运动，他的速度等于多少啊？ 他等于的是不是就是第一段的默速度啊？对吧？因为我们第一段加速完之后，哎，第二段做的匀速，那么第二段所对应的匀速运动的数额大小其实就是第一段的默速度，那么第一段的默速度我们刚刚刚求过，他等于的是不是三米每秒， 对吧？也就是他等于的是三米每秒，而这个力他等于的是两牛，而且这两个值都是横定不变的， 那么说明我们这个屁，哎，这个功率也就是恒定不变的，而且等于的就是六八， 对吧？哎，那你会发现四 d 选项描述的也就是正确的，那么这道题目的正确答案选择的也就是四 d， 哎，那么关于这道题也就给大家讲完了，那么这道题我们核心的思路就是通过图像哎得到各种各样有用的信息，然后再通过这些信息结合题目给出的已知信息，共同得到题目最终的答案，对吧？那么这就是关于这里哎这个图像题目我们解题的一个核心的思路， 那么关于这个图像说完之后，我们再来看下一个题啊，那么这个题的话相比上一个题就要简单很多了，因为他给出这个图像我们非常熟悉，对吧？一个是力和时间的图像，一个是速度和时间的图像，那么给出这两个图像我们也可以非常明显的知道，那么整个运动是分成三段的， 对吧？首先第一段就是第一秒内，然后是第二秒内，然后是第三秒内啊，而且对于每一秒内他的一个受到的力的大小了，包括他所对应的速度的变化了，都已经知道的了，非常清晰， 对吧？因为这两个图像我们非常熟悉，我们就可以非常轻松的通过这两个图像得到各种各样的信息，然后再结合题目给出的已知信息，我们就可以求得这道题目最终的答案。那么这道题目哎，比上一道题目已经简单很多，因为上一道题目他的图像相对来说没有那么常规，而这道题 他的图像非常的常规，那么这道题留给大家练手，自己把它算一下，然后看看这道题的正确答案选的是什么，然后做完之后对比一下屏幕左下角的答案，看看自己做的对不对。 那么这道题完事之后，还有最后一个练习题啊，也留给大家自己来做一下，那么就是这道题啊，那么这道题是非常非常经典的一道题哎，也是我们的图像和功率相结合的一道题，那只不过这道题哎，他给出的图像呢，相对来说也是我们比较熟悉的一个图像，就是 v t 图像，哎， 但是这道题他有两个运动过程啊，他的难点在于有两个运动过程，而且需要两个运动过程结合起来看，但是你会发现这样的一个难点，并不是我们本节课讲解的重点， 对吧？哎，这个难点它其实更多的是考察我们关于之前的一个直线运动的事情，包括这样的一个 v t 图像的事， 对吧？并不是考察我们本节课的这样的一个难点的事情，它的难点并没有难在本节课的知识点上啊，那么所以说对于这样的一个题目，也不给大家做过多的讲解了，自己课下把它算一下，那么这个题实话实说，如果你做不出来的话， 其实大概率不是功率这里不会啊，而是之前关于直线运动那里，或者关于牛顿第二定律那里，你掌握的不是很扎实啊， 那么是关于这道题目的内容，也是给大家留做一个客户的 ct， 把它算一下，那么这道题是非常非常经典的一道题啊，那么这道题自己一定一定一定要做啊， 那么算是对于本节课知识的一个巩固，也算是对于之前的牛顿第二定律，包括我们 v t 图像的一个检测啊，就是关于这道题目的一个作用。那么这道题做完之后，自己对一下屏幕左下角的答案啊，看一下自己做的对不对。 那么至此，哎，关于功率的各种各样的事情就都给大家说完了，那么我给大家准备的就是这样的几个题型，但是我建议大家可以找大量的题型啊，来做一下，包括做工，包括功率啊，这里的话，大家我们在学完之后啊，需要进行大量的练习， 因为仍然是啊，这个东西它本身并没有多难，但是它会结合我们之前学过的知识，算是对于之前知识的一个小总结，所以这里我们 多做一些题的话啊，收益是非常大的，相当于对于历学部分，我们进行一个小的回顾，进行一个小的总复习，那这时候对于整个高中物理的学习而言，它其实是非常有用的，所以说我建议大家在本章节一定要大量的题目的练习进行巩固啊， 那么话就言尽于此哈，就希望大家希望大家能够稍微多做一点题啊，多做一点题， 那么就墨迹这么多啊，希望本节课的内容能够对于大家的物理学习有所帮助吧。那么视频的最后当然还祝大家可以青春无悔，那我们下个视频再见 啊，下个视频的话应该是给大家来更关于机车启动的啊，各种各样的事情，大家可以关注一下，我们后期来讲关于机车启动的事情。

以前的时候学过一个能量守恒定律，那现在突然发现有很多的东西好像都遵守这个定律，就比如说现实中的很多事情， 有时候你前面你想简单一点，你想走个捷径，你想应付一下，后面你就要付出更多的代价，如果你前面花了很多的时间，后边就会非常的轻松，这好像也是一种守恒吧。 所以说有很多时候我们不要觉得，哎，钻了空子，占了便宜，或者是找了一个 非常不太正规的那种的比较好的方法，然后就觉得沾沾自喜，哎，觉得自己赚了便宜，然后得到了一些 一些就是常规之外的一些东西，天道好轮回，苍天饶过谁，总会让你连本带利还回来的。 就有很多的东西都是这样的，包括知识，包括一些其他所有的事情，然后都是这样，所以就是什么呢？ 嗯，都不是说道德就是好的，但是有一些东西还是要遵守，遵守的原因不是说要为了去遵守什么东西， 而是说在现行的一个社会的运行规则之下，你遵守了，你就会让你后面减少一些麻烦。如果你老是想着去 一些灰色地带啊，或者是一些其他的政策的漏洞呀，是你有可能在某一段时间或者某一个时间点之内会得到一定的利益，但是到最后的结果呢？可能不知道在某一个 其他的时间点，或者是一个很关键的点，就会因为你的一个之前的觉得占便宜的行为付出比较大的代价， 这也是一种守恒吧。所以说还是踏踏实实的，脚踏实地的，正儿八经的去做人做事，这样子的话就会非常游刃有余，同从容容，加油。

上一节课呢，我们讲了关于做工的一些基础的概念，相对来说一些比较基础的题型，那么本节课我们来讲的是关于做工这里啊，相对来说比较典型的一些题啊，或者说难度稍稍微微大一点，或者说比较容易错的一些题。 那关于上节课已经讲过的这些东西，相对来说比较基础的事情，我们就不再进行重复了，把它直接放在屏幕的右边，开始来讲具体的一些典型题。那么首先来看第一个题， 那么第一个题啊，我们就不用读题了，非常简单的一个事情，就是关于一个板块模型，说在接下来的运动过程之中，我们这个小物块哎，他从这个位置运动到了右边的虚线位置， 而我这个长木板哎，从现在的状态哎运动到了右边这个虚线的状态。然后问两者之间的摩擦力，对于上边的小物块做了多少功，对于下边的长木板做了多少功， 就是这样的问题。那么给出的已知量有两个物块所对应的质量分别是小 m 和大 m， 还已知我们这个大 m 前进的距离是 x， 还已知我们这个长木板，也就是这个大 m， 它本身所对应的长度等于的是大 l。 除此之外，还告诉我们一个非常有用的信息，就是关于两者之间的动摩擦因素，哎，告诉我们等于的是没有哎，动摩擦因素， 让我们来求关于做工的这样的一个事情啊，那么求做工的话，其实非常简单，对吧？我们需要用到的就是上节课讲过的这样的一个基本公式，我们某一个力所做的功，哎 w 等于的是这个力的大小，再乘上我们受力物体的位对地位移的大小，再乘上两者之间的一个 cosine 值， 对吧？那么关于这两个做工，我们一个一个来求，先来求摩擦力两者之间的摩擦力，对于铁块，这个铁块指的就是上边这个小块啊， 摩擦力对于上边的小物块所做的共是多少？那我们需要带入的也就是两者之间的一个摩擦力的大小，再乘上小物块的位移的大小，然后再乘上两者夹角的口散值， 那么接下来我们就具体带入一下，首先我们这个力的话，需要带入的是摩擦力，那么两者之间的摩擦力，它是一个滑动摩擦力，对吧？并不是同步运动的，只要不是同步运动的就会有滑动摩擦力， 那么滑动摩擦力的大小来等于的是滑动摩擦力的大小，等于的是缪，再乘上一个正压力，那么此时的正压力很明显等于的是小 mg， 对 吧？也就是我们这个摩擦力的大小，两者之间摩擦力的大小等于的是缪 mg， 哎，那么代入这个摩擦力的大小，它所对应的就是缪 mg， 然后再带入他的一个位移，那么此时我们要求的是这个摩擦力对于水所做的功，对于要求的是对于这个小物块所做的功，那我们需要带入的这个位移就是小物块的对地位移，那么这个小物块的对地位移，你会发现它等于的是 x 吗？ 并不是，对吧？它等于的应该是这个 x， 再加上这个长木板本身的长度 l 得到的才是我们这个小物块的微，对吧？那么再把它的一个微移的大小写一下，是 l， 再加上 x， 然后最后再带入两者的一个夹角的 cos 值，那你会发现我们这个小物块，它所受到的摩擦力的方向是向左的， 对吧？因为很明显我们这个小块他运动的比较快，而长板运动的比较慢，对吧？那我们的摩擦力的方向就是使快的慢一点，使慢的快一点的方向，那么小块作为比较快的那一个，就是使他慢一点的方向，那么他受到的摩擦力就是向左的， 对吧？而他的运动方向是向右的，那么两者之间夹的就是一百八十度的夹角，那么其 cos 值等于的就是负一，对吧？那么最后要乘的是一个负一， 那么这我们就得到了其最终的结果，那么我们把这样一个符号给它挪到前边，就说负的 m g， 再乘上 l 加上 x， 那 么这就是第一个，那么这所对应的就是第一个空的结果，那么接下来我们再来求第二个空，第二个空是问摩擦力对于长木板所做的功，那么问长木板所做的功的话，那么比如说把它记为 w 二， 那么需要带入的就是这个摩擦力，哎，对于长木板的大小，再乘上长木板的对地为一， 再乘上它们两者之间夹角的 cosine 值，对吧？那这样的一个 cosine 值，比如说我们就用 sine 来进行表示，那么下一步我们就是带入各个量，那么首先带入第一个量 就是摩擦力的大小，那这个摩擦力的大小，其实我们在求第一问的时候已经求过了，对吧？因为我们小物块所受到的摩擦力就是长木板给他的，那么长木板给小物块的摩擦力和小物块给长木板的摩擦力是不是一对作用力和反作用力啊？ 所以说它们两个的大小一定是相等的，方向是相反的，对吧？那么由此我们就可以得到，我们下边长木板所受到小物块给它的摩擦力的大小等于的也是 m 小 m g， 对 吧？然后再乘上我们长木板所对应的位移，那么整个过程之中，长木板的位移等于的就是 x， 对吧？那么这里我们要乘上一个 x， 然后再乘上我们这两个东西的一个夹角的口算值，那么这两个东西的夹角它等于的是多少？你会发现这一次他们两个夹角等的是零，哎，因为这一次啊，我们长木板所受到的摩擦力是不是向右的， 对吧？因为刚才我们已经分析过，我们上面这个小块受到的摩擦力是向左的，那么因为作用力和反作用力的话，那我们长木板所受的摩擦力一定就是向右的， 对吧？哎，那么而我们乘务版的运动方向也是向右的，所以说两者所夹的是一个零度，哎，那么零度的 cosine 值等于的就是一，对吧？那么最后我们再给它乘上一个一，那我们把它稍作整理之后，哎，它得到的就是 m g， 再乘上一个 x， 那 么这所对应的就是第二个空的答案，那么这道题的两个空就都给大家讲完了，那讲完之后你会发现，哎，说小孩这道题他也不难啊， 对吧？这道题没有什么太大的难度啊，我感觉我能够算出来啊，来这道题我要说的点是在于这两个结果，因为这两个结果让我们来求的 分别是长木板对小物块的摩擦力做了多少功和小物块对长木板的摩擦力做了多少功，因为发现他让求的是一对作用力和反作用力 分别做了多少功，对吧？而通过这个结果你会发现，我这样的一对作用力和反作用力的话，它最终做的功的多少完全不相等，就刨除掉正负的一个关系之外，你会发现它具体的绝对值也是不相等的。那么这是我通过这道题想要和大家来说的， 就说我们一对作用力和反作用力所做的功 可不一定相等啊，你会发现它是完全不同的，哎，它是完全不同的，是这个事是需要大家注意的， 哎，就不要做题的时候一想，哎，我这个时候我长木板对于小物块所做的功，哎，是负的这么多，那我小物块对长木板所做的功一定就是正的 m g 再乘上一个 l 加 x 啊，这种想法是特别错误的，我讲这道题的目的就是为了让大家杜绝这种想法啊，这种想法非常错误，我们一对作用力和反作用力，他们所做的公的大小是完全没有直接关系的啊，这个事情一定一定要搞清楚， 那么这是通过这道典型题目先给大家讲解的知识点，那么接下来我们来看下一道题，那么这个题也是这里非常经典啊，非常典型的一个题， 那这个题的话，其实他想说的东西也都在这个图上呢，我们直接来看这个图就行，那么这道题的第一问，他也问我们的是，在拉力 f 来等于二十牛的这样的一个拉力作用下， 我们这个小物块向右运动了两米，问在这个过程之中，我们这个拉力 f 做了多少功？ 那我们想要求做功的话，用哪个公式啊？说用右边的这个公式啊，对吧？哎，那么此时我们想要求拉力 f 的 功话，那么这个 w， 哎，它等于的就是这个拉力的大小，再乘上我们受力物体对地位移的大小，再乘上两者之间夹角的一个 cosine 值就可以了。 那么下边我们就一步一步带入数据吧。首先带入这个拉力的大小，那么很明显它等于的就是二十牛题目直接给我们的，对吧？哎，带入二十牛，那下一步我们要带入受力物体的对地为移的大小，那你会发现这个对地为移大小，我们需要直接带入的是两米吗？或者说我们直接带这个两米行不行？ 不行啊？因为这个时候受力物体，我们这个拉力 f 的 受力物体是这个小物块吗？ 并不是，对吧？我们这个拉力 f 的 受力物体是谁啊？或者说我们这样的个拉力是作用在谁身上的呀？是不是作用在这根细绳身上的呀？对吧？或者说更准确一点来讲是作用在这根细绳上的这一点上的， 对吧？所以说这里我们要乘的这个对地位移的大小，一定是这个受力物体它的对地位移的大小，那么在物块向右运动两米的过程之中，那我们这个受力物体绳上的这个点它向右运动了多少啊？ 向右运动了四米，对吧？哎，这是非常简单的一个定滑轮的事情，那么所以说这里我们带入这个对地位仪大小的时候，需要带入的是四米，因为需要带入的是受力物体的对地位仪， 那么最后我们再乘上两者夹角的一个 cos 值，那么此时这个力的方向和位一方向是同一方向，那么这个 cos 阿尔法等于的就是一对吧，那么直接我们再乘上一个一，最后把它们乘到一起，哎，我们这个力所做功等于的就是八十九二， 那么这所对应的就是第一问的答案，这个第一问的答案相对来说啊，还是比较容易得到的，对吧？那么接下来我们来看第二问，第二问，他问我们若作用在 c 端的外力 f 是 斜向上的，而且告诉我们与水平方向的夹角是六十度的，这个情况之下 说仍然使物体向右运动两米，问我们这个拉力 f 他 做了多少功， 那么这一次我们要求做工，仍然需要用到的是做工的这个基本公式，那我们这个第二问所对应的所做工，我们就用 w 二来进行表示，那么它等于的仍然是拉力 f 的 大小，再乘上 位移的大小，再乘上两者之间夹角的一个 cos 值，那比如说这次的 cos 值，我们用 cos 四它来进行表示，那么前边的这个力和为宜，我们也给它换一下吧，用 f 二和 l 二来进行表示， 那么在列完了基本公式之后，下一步就是把这个基本公式的各个量给他带入，对吧？那我们一个一个带。首先先来带入这个力 啊，也就是我们第二次拉动的时候，锁定这个拉力的大小，那么第二次拉动你会发现我们仍然需要用到的是二十牛的力，对吧？因为这个第二文他只说改变了方向，没有改变大小，所以说我们这个拉力的大小仍然是二十牛，那么需要带入这个 f 二，仍然是二十牛， 然后他再乘上其受力物体的对地为一 l 二的大小来看，这个 l 二 他指的是谁的对地为一，是不是我们第二种情况之下，这根绳的对地为一，对吧？或者说更准确一点来讲，他让我们来求的是绳上的这一点，对吧？哎，这一点也就是我们力的作用点的一个对地为一， 对吧？那我们在物体向右运动两米的过程之中，我绳上的这一点，哎，它的对地位移究竟是哪个方向的呀？ 我们需要把它画一下，我们先来画一下我这个整个物体如果向右运动两米的话，那我这个滑轮，比如说大概运动到了这里，那我整个绳的话，哎，大概会长成这个样子，也就是我们这一段将会向右运动两米，与此同时我这根绳的话，它的长度也会增加两米， 对吧？那你会发现我这样的一个力的作用点，他从这一点运动到了哪一点，是不是运动到了这一点， 对吧？那么也就说我们这一次对地位移，哎，是这样的一个方向，才是其对地位移的方向，对吧？那我们把对地位移给他画出来， 那下一步我们这里要带入的，哎，并不是这个对地位移的方向，对吧？我们要带入的是对地位移的大小，我们还要求一下这样的一个大小， 那这个大小的话，我们需要用到的是这个三角形，对吧？因为这个三角形我们已知下边这一段的长度是两米，这一段的长度也是两米，然后这一个角度我们还可以知道它等于的是不就是三十度啊？因为告诉我们整个这个大角等的是六十度，那么内部的这个小角等的是不就是三十度，对吧？ 那么内部的小角等于三十度的话，就可以求得我们这样的一个位移的大小，等的就是二倍根号三米。 那么在带入了这个位移的大小之后，下一步需要带什么？需要带的是这个力的方向和位移方向的夹角的 cosine 值， 那么此时我们力的方向是这个方向的力，而位移方向是这个方向的位移，那么你会发现两者之间的夹角等于多少？等于的是三十度，对吧？所以说我们最终要乘的是一个 cosine 三十度， 那下一步把这个数简单算一下，它等于的是一个六十角，对吧？那么这就是关于这道题目第二问的答案，那么至此把这道题也给大家讲完了， 那么讲这道题的目的是给大家着重强调一下，关于这样的一个谓移，哎，也就是我们这个量啊，它究竟代表的是谁的谓移，一定要注意它代表的是受力物体的对地谓移， 如果说更准确一点来讲，就是我们这一个力，哎，这一个力它的作用点的对地位移的大小，哎，是这样的一个事情，一定要搞清楚这个位移究竟是什么的位移啊，是这样的一个事， 那么关于这道题哎，包括这道题要给大家来讲解的这样一个知识点，也就都给大家说完了。那接下来我们来看本节课的最后一道题，那本节课一共就这样的三个题啊，就是关于做工这里相对来说比较经典的三个题， 那这个题的话相对来说复杂一点啊，这个东西需要给大家完整的读一下题，那我们简单来看一下这道题，他说如图所示，有 n 个完全相同，边长足够小，而且互相不粘连的小方块依次排列，哎，就长成现在屏幕上的这个样子。 然后他还告诉我们，这一段小方块，他的总的长度为 l， 总的质量为大 m 说他们一起以速度 v 在 光滑的水平面上向左滑动， 这个时候技术我们可以更加准确的知道，他其实在向左做的这个匀速直线运动，对吧？因为光滑的水平面的话，那我们这一堆小方块他就不受到任何水平方向的力。那么接下来他做的是一个匀速直线运动，也就是他们是在向左做一个速度为 v 的 匀速直线运动， 那么直到某时刻开始滑上粗糙的水平面，哎，也就是我们这样的一个水平面啊，他分成两部分， 其左边这一部分他是粗糙的，而右边这一部分光滑的，对吧？我们小物块，他最开始这一串小物块是在光滑的部分哎与速度 v 在 向左运动，那么直到某时刻开始划上了粗糙的水平面。 说小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因素告诉我们维密若小方块恰好能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对于所有小方块所做的功等于的是多少？然后让我们从做工的角度来进行求解 来，我们再回过头看一下这句话，他说若小方块恰好能完全进入粗糙水平面，也就是我们的小块，哎，最终是到了这里，对吧？刚好停住了，也就是刚好所有都进入粗糙水平面了，然后整体的速度也减为零了，对吧？哎，就是这样的一个运动的过程， 那么这是关于整道题目的题干，我们就读完了，然后我们来进行具体的分析，或者来进行具体的计算吧。这道题它最终让我们求的是什么呀？ 让我们求的是这个摩擦力，哎，地面的摩擦力，地面给这个所有小块的摩擦力。对于这些小物块或者所有的小方块所做的功等于的是多少？ 那么此时我们首先这个小块它并不是一个，对吧？它有 n 个，那有 n 个小块的话，我们能不能够分别算出我们这样的一个摩擦力，对于每个小物块所做的功等于的是多少？然后再把它们加在一起呢？ 你会发现不太行，对吧？因为这道题他并没有具体的告诉我们有几个啊，他比如说告诉我们有三十个或者有四十个的话，我们甚至都可以一个一个的算出来加在一起，但是这道题并没有，他告诉我们是有 n 个啊，而且是足够小的小块，那么也就是这个 n 是 足够大的一个 n， 那么这道题很明显它并不是让我们一个一个来算，对吧？那我们只能把这一堆小块看成一个整体来进行计算，那把它看成整体来进行计算的话，那我们就尝试着来列一下它的公式吧， 那么要求的是这个摩擦力所做的功，哎，那么需要列出的就是摩擦力的大小，再乘上整体位移的大小，再乘上两者之间夹角的一个扣散值，那么列完了式子之后，下一步就是带入具体的一个数值了，对吧？那你会发现我们带入第一个摩擦力的时候就出现了问题， 我们这个摩擦力它并不是一个定值，对吧？在整个运动的过程之中，我们这个地面或者说这样的一个粗糙的水平面，给这一串或者说这样的一个整体，它的摩擦力是在逐渐增大的， 对吧？我们刚进入的时候，它的摩擦力是特别小的，然后最终完全进入的时候，它所对应的总的摩擦力变成了是 m g， 对 吧？也就整个运动过程之中，它的摩擦力是从零逐渐增加到 m g 的， 那么这个摩擦力它不是一个定值的话，我们就没有办法直接带入这个公式来进行计算，因为这个公式如果想用它来进行计算的话，那么一定是它是一个确定的值，它是一个确定的值，它是一个确定的值，我们才能带进来，那么此时它是变化的，我们要怎么办？或者说我们需要想到什么方法？ 是不是需要想到的是微元法，对吧？对于变化的情况，我们需要想到的是微元法，那么如果想到微元法的话，就需要用到图像，那么此时我们要画的是一个什么图像呢？ 那这里我直接告诉大家，我们需要画的就是一个摩擦力和微移的图像，哎，我先把这个图像给大家简单画一下， 那这个图像的纵坐标它代表的就是摩擦力的大小，而其横坐标代表的就是从刚开始进入的这一时刻开始，然后来计算它的位移的大小。那么这样的话，你会发现我这样的一个摩擦力的大小和这个位移的大小，它们两者之间应该是一个正比例的关系。 为什么呢？来看我这个位移的大小，哎，它所代表的其实是不是也就是我们这个整体进入到粗糙地面部分所对应的长度， 对吧？那这个时候我们进入的这个长度 x 是 不也就和进入的部分所对应的质量？比如说把它设为小 m 的 话，那他们两个是不是应该是成正比例关系的，对吧？我进入的长度越长，那么所对应进入粗糙地面这一部分的质量是不也就越大， 对吧？那么进入粗糙这一部分质量越大，那么进入粗糙这一部分他所对应受到的重力也就越大，那么地面给他的这个支持力也就越大，那么地面给他的这个摩擦力也就越大，而且这一串都是一个正比例的关系， 对吧？哎，那么所以说我们进入到地面这一部分所对应的长度和我们这一部分所受到的摩擦力的大小就是一个正比例的关系。哎，那么也就是我们这个图像的纵坐标和横坐标，那么由此我们就可以得到他们两者之间是一个正比例的关系， 而且我们还能够得到来达到最终状态时，它的一个横坐标和纵坐标的大小达到最终状态的时候，也就是我们刚好完全进入的时候，那么其总的位移等于的是多少？ 总位移等于的是不就是我们这一串小物块，它本身的长度 l 啊，对吧？哎，那么所以说我们下边这个图像之中，其横轴来标一下，哎，这里所对应的就是 l， 那么其纵坐标的最大值其实我们也能求出来，因为纵坐标的最大值代表的就是我们最终它摩擦力的大小，那么最终的时候是我们这一串整体都进来了，对吧？那么整体都进来的时候，所对应的摩擦力的大小等于的是不是就是 m 再乘上一个大 m g 啊？ 对吧？所以说我们可以知道这一点，哎，它所对应的纵坐标的大小等于的是 m， 再乘上一个大 m g， 那么至此我们就完成了整个图像的绘制。那绘制完之后，下一步我们就是要运用微元法来进行具体的计算了， 那这里的话，如果你微元法忘记的话，或者说就是说小孩我这个微元法我本来学的就不好，那么在这里你也不必太过于勉强自己，那你就死记硬背就行了。 死记硬背什么呢？就是我们这个力和外移的图像，它和横轴围成的这个面积， 代表的就是这两个数值乘积的结果啊，你就这么死记硬背就 ok 了。那么像这道题的话，那么这一部分的面积它等于的是多少呢？它等于的是底乘高，再乘上一个二分之一，那么这一部分的面积等于的就是二分之一 m g 乘 l， 对 吧？ 那么这样的一个面积对应的就是它们两个乘积的结果，但是这个乘积的结果还并不是最终的一个所做的公，对吧？还要再乘上一个 cosine alpha， 对 吧？我们把它往下写一下，就是二分之一 m g 再乘上 l， 那 么接下来我们后边还要再乘上一个 cosine alpha， 那么这种我们来看一下这个 cosar 法等于的是多少呢？来此时我们来看，其运动方向是向左的，而他所受到的摩擦力的方向是向右的，两者之间夹的是一个一百八十度的角，那么说明 cosar 法等于的是负一，对吧？我们要乘上一个负一， 也就是我们整个摩擦力所做的功等于的负的二分之一，没有大 mg 乘 l， 那么这道题的选项你会发现他并没有一个负值，因为他最终问的并不是所做的功的多少，他问的是做功的大小，你可以把它理解成他问的是关于做功的一个绝对值， 对吧？那我们就把前面的符号直接省掉，然后那么最终的结果要选的就是二分之一 m g l， 那 么也就是这道题的 c 选项， 那至此，哎，关于这道题的内容也就给大家讲完了，那么通过这道题我给大家来讲的就是，如果是某一个求某一个便利，哎，做工的话，我们可以尝试 通过这样那个微元法来进行计算，也就是需要画出的是这个力和位移的图像，那么画完图像之后，这个图像和横轴围成的面积代表的就是他们两个的乘积， 那么当然如果这两个例是同一方向的话，那这个面积他直接直接代表的就是关于这个例做工的多少的事情了， 对吧？那么这就是关于通过这道题想给大家来讲解的这样的一个事情，或者说这样的一个解题的方法， 那么至此本节课就都给大家讲完了，就是关于做功的这三道经典的题，在大家简单从头回顾一下。那么首先通过这道题，我给大家来讲的就是我们一对作用力和反作用力，他所做的功是不一定相等的，并没有直接关系的，我们需要进行分别进行计算啊。 那么通过第二个题，我给大家来讲的重点来讲的是关于这个对地位移，我们在计算的时候，这个对地位移更准确一点来讲是我们这个力它的作用点的对地位移的大小来是关于这个 l 它本身的一个含义，或者说我们需要代入什么东西。 那么最后一道题要来讲的哎，就是关于我们便利做功的话，我们可以通过微元法来进行尝试，通过画图像，然后通过图像哎求得面积，那么这个面积代表他们两个的成绩，然后再带进来之后，就可以求得所做的功等于的是多少，哎，是这样的一个思路啊， 那么至此就本节课内容就都给大家讲完了，那么关于做功的这个事呢，也就都给大家讲完了，从下节课开始呢，我们要来给大家讲关于功率的哎，各种各样的事情，那么下节课内容相对来说也不难，也是比较基础的事情，就是讲讲这个功率代表的是什么，包括功率怎么来进行计算的一些事啊， 那我们这节课就到这里啊，那我们移步到下一节课，接着来学习关于功率的各种各样的事情。