等腰三角形的对称轴尺规做法

看这个吃亏作图，他要求做一个等腰直角三角形，其实，嗯，做一个等腰直角三角形。嗯，这道题呢，我们 最先考虑的就是从 a 点往这个 l 上做垂线，也就是过直线外一点啊，往直线上做垂线，怎么做呢？这种吃亏作图的方法是，嗯，首先呢，你以 a 为圆心，然后呢？ 哎，以任意长为半径画弧，交 l 于嗯，两个点，这不是两个点了吗？这样画弧。然后呢，你再以分别以两这两个交点为圆心，以任意长为半径画弧。 好，下面你给画好了之后，下面连接 a 点，这就是一个垂线 啊，这一点呢，我们就给他，嗯，说成是 b 吧，哎，然后我们把他当成一个直角边，然后再在这个直线上找到另外一条直角边，这就好做了， 这就你看你这个直角边的长度，哎，然后在这 这点呢，就是 c 一 连接 a， b， c 就是 一个等腰直角三角形。

各位，吃亏作图啊，画四十五度角怎么画啊？这个方法和原理必须得学会啊，我们来看一下这道题啊，说在 ab 上找一点 d 啊， ab 上找一点 d， 是 a， d， c 等于四十五度。 a， d， c。 怎么听起来这么熟悉啊？ a， d， c 啊，就说找一点 d 啊，是 a， d， c 这个角度啊，等于四十五度，这个 d 在 哪啊？各位啊， 你不能蒙啊，啊，也不能用两角器啊。尺规作图，只能用尺子和圆规，怎么找四十五度？各位啊，你怎么找？你又不能蒙，又不能用两角器，那怎么办？各位注意了啊，看到四十五度，必须想到 等腰直角三角形，这个道理能不能明白？也就说你只要能做个垂线就好办了，也就说我通过 c 如果能做个垂线， 然后做个等腰直角三角形就就行了。好，那第一步，做他的垂线。做垂线怎么做 啊？做垂线也是有方法的啊，就是做垂直的方法。什么方法？给大家演示一下啊，这个方法必须得学会。第一步啊，你不要在这找垂点吗？垂垂线吗？第一步，把这个 ac 连起来啊，为什么要连接 ac？ 等会你就明白了， 我要找到 ac 的 终点，怎么找？ ac 的 终点，他的终点怎么找？很简单啊，在 a 点上随便画个圆，在 c 点上啊，随便画个圆。各位， 这有两个焦点，看见没有？这有两个焦点，这两个焦点连起来，各位，这个就是终点， 为什么？因为这是垂直平分线，所以这个点 e 啊，它就是 a、 c 的 终点。那找到终点有什么用呢？各位，那就很简单了，找到终点画圆，你看我通过这个终点画圆，你发现一个问题， 我是不是以 a、 c 为直径画了个圆，以 a、 c 为直径画了个圆，圆交于这一点，各位， 这一点连起来，它一定是垂直的，哎，有同学问，为什么？因为过直径的圆周角在圆里边啊，过直径的圆周角，它一定是直角，所以这个点 e、 f 就一定垂直， c， f 一定垂直，他好找到这个垂点了。下一步怎么办？等腰直角呀？构造等腰直角，那怎么办呢？各位，那就很简单了啊，以 f 为圆心啊，以它为半径， 然后你再画个圆，你会发现，哎，这交了一个点，这是不是也也会交一个点？这个交点如果连起来，各位，你有没有发现一个问题， 这个就是等腰直角，因为这个是半径 r， 这个也是半径 r， 所以 他就是四十五度，那这个 d 点不就找到了吗？在这吗？这边还有个焦点啊，这个焦点应该如果 a 足够长的话，这个焦点可能在这。 那 a， d， c， a， d， c 是 不是也是四十五度？你看如果 a 啊，如果啊，人家说在 a、 b 上找啊，可不能出去啊，这个方法必须得学会啊哥。

我是只讲基础，带你中考数学稳拿九十五的小熊老师。今天我们来做二零二四陕西中考数学解答题第四道， 哈喽，同学们挑战中考数学只做基础题，带你稳定拿到九十五分。那前面呢？这张试卷我们已经累积拿到了五十一分。 今天呢，我们来看二零二四陕西中考数学试卷中的尺规做图题。那这道题呢？我们首先来读一下题，如图，已知直线 l 和直线 l y 一 点 a， 仅用尺规做图的方法，求做一个等腰直角三角形，使得顶点 b 和顶点 c 在 直线 l 上 做出符合提议的一个等腰直角三角形即可。保留作图痕迹，不写做法，那他既要等腰，还要直角，然后这样的一个三角形，那他说做出符合提议的一个等腰直角三角形即可，也就是说做法不止一个，对吧？那我们首先来看等腰和直角哪个好做， 那当然是直角好做了，对吧？因为现在你的腰还没出来呢，三角形一条边都还没有呢，那你何谈等腰呢？是吧？所以我们首先把直角做出来，那点 a 已经是三角形的一个顶点了，那我们可以让点 a 作为直角顶点，也可以让点 a 作为底角的顶点，然后把直角坐在 l 上， 那如果点 a 为底角的顶点，那也就是说直角在 l 上，直角顶点在直线 l 上，那此时我们要做的是不是就是过点 a 做一个直线，使它垂直于直线 l， 那 垂足就是这个等腰直角三角形的直角顶点。 好了，那问题转换成如何过点 a 做一个直线 l 的 垂线呢？大家来看一下啊。首先我们要拿出圆规，以点 a 为圆心，任意长度为半径，然后锁定去画弧 a， 以点 a 为圆心，任意长为半径去 画弧，这个弧线呢，会与直线 l 交于两点，那接下来呢，分别以这两个点为圆心，继续以任意长为半径去画弧，那这个任意长呢？随便啊，那这个时候我就不去修改这个长度了，继续用刚才的这个任意长，反正都是随机的 好，分别以这两个点为圆心，任意成为半径画弧好了，那这时刚才这是两个弧线交于了一个点，有一个交点了，那这个交点与点 a 的 连线。看与点 a 在 同一条线上，那将这个点与点 a 连接起来， 我们所得到的这条直线就是点 a 过点 a 向直线 l 做出来的垂线，那此时他与直线 l 的 交点就是垂足，我们将它命名为点 b。 好了，那等腰直角三角形 a、 b、 c， a、 b 都有了，现在来看， ab 就 可以作为一个腰了，对吧？直角顶点有了，腰有了，那我们要去看另一个腰的长度好了，另一个腰怎么找？来看，以点 b 为顶点，然后呢？哎，我们先去，我们先去丈量一下这个，这个点 b 到点 a 的 长度有多少？好好量出来了，点 a 到点 b 的 长度是这么多，好，我们锁定这个长度，以点 b 为圆心，以这个长度为半径向下画弧，这个弧线呢，将会与 l 又交为一点，那这个焦点呢，就是我们的另一个顶点 c， 那这时我们量下来了啊， ab 的 长度和 bc 的 长度是相等的，那也就是说直线段 ab 等于线段 bc， 那 是这是不是三角形的两个腰相等了？好，下面呢，我们继续来把 ac 连接起来。好，来看连接 ac。 好了，现在的这个三角形 a、 b、 c 是 不就是一个等腰直角三角形啦？好了，我们现在给旁边写上如图，三角形 a、 b、 c 即为 所求。这道题我们到这里就画完了，然后作图痕迹也给他保留下来了，没问题吧？好了，我们在做这个垂线的时候呢，运用到的就是中垂线的一个做法，垂直平分线嘛，对吧？过线的过直线，外一点做已知直线的垂直平分线的做法。 那同学们下去呢，可以复习一下这个东西。这个题呢，他考的稍微简单一点，只考了一个钟垂线，然后等腰，这里呢就相对来说是更简单了，对吧？就是一个丈量，一个等边就行，长度相等就可以。 好，这个题没有问题，我们给我们的总成绩加上五分，现在二十四年的陕西中考试卷我们已经累积得到了五十六分。那下个视频呢，我们继续来进行做题。

好，今天呢，我们来学习等腰三角形的轴对称性。好，学习之前我们要进行一个知识回顾，你看，因为我们知道啊，有两条，有两条边相等的三角形，我们把它叫做等腰三角形，对不对？ 好，在我们以前小学的过程当中，我们这里啊，我们这里是这个叫做顶角，那么这两条边我们把它叫做腰，还记得吗？那这两这个也是腰啊，这两条边叫做腰，哎，这两个叫做底角， 两条底角所对的所在的边，我们把它叫做底边。好，这是我们，嗯，之前学习过的内容，小学学习过的内容，而且呢，我们也还会有这样的一个结论，因为如果啊，因为三角形 a、 b、 c， 它是一个等腰三角形的话，那么 ab 就是 等于 ac， 这是我们之前学习过的一个结论。那么之后呢，我们再从轴对称的角度来研究等腰三角形， 你看，我有一张纸，我把它对折，对折以后，哎，因为它是等腰三角形，首先我们这个是已知的，对吧？那么我以我把这个对折沿它的角平分线对折，对折以后呢，我们就知道，我们就发现啊，这个和这个是相等的重合的， 那么我们就可以知道，哎，这三个三，这两个三角形重合，所以我们就能明白，等腰三角形，它是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，哈，这是我们在课上就要掌握的知识， 那我们在掌握了课上知识以后呢，我们要来明白这样的一条定律，这是一个很重要的等腰三角形的轴对称的一个定律，叫做等边对等角，哎，等边对等角是什么意思啊？就是说等边，这两条边相等，那么它对应的这两个角也是相等的，同样呢，这两个角它是不叫，那它又相等，那就是九十度， 好，这是我们所所需要的条件。这两个三角形重合，我们就明白，角 b 等于角， c 就是 等边对角，那接着角 a、 d、 b 和 a、 d、 c 都等于九十度，它们互补角等于九十度，又相等，然后互补角九十度是好理解的啊，然后 b、 d 又等于 c、 d 好 等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线是重合的，都是 a、 d 这一条线是我们要掌握的，那么接下来我们看看，我们除了我们的这个折纸的活动以外呢，我们看我们也可以用三角形全对来证明我们的等腰三角形的这个性质，这个性质就是等边对等角 好，前面呢老师都是在讲知识点，后面呢我们才会练题啊，我们先把知识点过一遍，你看我们可以用什么方法来定来进行上述的定义呢？那我们这里就有一个方法，首先就是角边角边，你看这是一个等腰三角形，那么我们很明显这两条边是相等的，不用说哎，然后因为他说做顶角的角平分线，哎，角平分线，那么这个角角边，然后 a、 d 又是公共边，所以我们就知道了，边角边， 边角边，好写一下啊， ab 等于 ac， 然后角 b、 ad 等于角 c、 ad， 接着呢， a、 d 等于 a、 d， 它是公共边啊，公共边，那就是边角边，那边边边能不能呢？我们看做底边上的一条中线，底边上的中线就是我们 a、 d、 a、 d 这条中线，那么我们就明白，就明白啊， b、 d 等于 d、 c， 那 么接着又因为 a、 d 等于 a、 d 是 公共边，那接着又因为它怎样？三角形 a、 b 是 等于 a、 c 的， 所以用边边边也可以证明。那接着我们来看做底边上的高，我们可以用三角形全等三角形的性质来证明。你看它是底边上的高，那这角是直角，它们是相等的。好边， 你看这里 a、 b 等于 a、 c 是 吧？然后角 a、 d、 b 等于角 a、 d、 c 是 吧？然后接下来我们还知道，那他们等于九十度，那我们还明白题上的高吗？ a、 d 还是等于 a、 d， 你 看边角边，利用 h、 r、 l 也可以证明。那刚才我们 好了，刚才我们了解了等腰三角形的这些性质，就是等边对等角以后呢？我们来看看学已知用一下等边对等角，有这样一道题目，他说在角 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 好， a、 b 等于 a、 c， 这个时候我们就知道角 b， 就是 说这个角和这个角它是相等的，等于角 c。 那在你看啊，这里有两个角，是给他写上一个角一和角二，他说 d 在 b、 c 上，且 a、 d 等于好 a、 d， 我 画一下 a、 d 在 这里 a、 d 等于 b、 d 好。 同样的，我们反过来，这里的角 e 就 等于角 b 了，因为我们的等边对等角这样的一个性质，他让我们求什么呢？好，老师把这里擦掉一下，他让我们求什么呢？自己看，他说求证的是角 a d b a d、 b， 这个角要等于角 b a、 c， 你 说这里两个角相等，哎，这两个角怎样才能相等呢？想一想，这是角一，这是角二，那就是说角嗯 b， 嗯，这个角一，角二，就说角 b， a、 c 啊， b a c， 我 先写一下角 b a、 c， 它等于角一加角二，对吧？好，那你看角一等于个什么？角一加角二，那接下来看角 a、 d、 b， 看到角 a、 d b a、 d、 b， 它，哎，想一想， 你看如果要跟角一和角二建立联系的话，怎么样？想一想，哎，它是不是等于角 c 加角二呀？因为我们的外角定力，外角和定力还记得吗？哎，它等于这两个角， 那很好，我们就知道，你看这里角二，这里角，我们就很好的发现，只要证明角一等于角 c， 我 们就能够证明这两个角相走了，对不对？好，那么怎样证明角一等于角 c 呢？自己观察，你看角一等于角 b， 角 b 又等于角 c， 回到我们的条件，我们就很好的就能够观察到，就返回到我们的， 我们就只需要证明角一等于角 c， 就 找到这个条件，就很好的找到了我们的答题的思路。那么跟着老师一起写下证明过程吧，老师用黄色的笔来写好证明， 因为角，哎，因为 ab 等于 ac， 所以呢？ a、 d， 我 先把条件写出来，等于 b、 d， 这是已知的对不对？所以角 b 等于角 c， 角 b 等于角一，我们利用的是什么呀？等边对，等角 好。这道题虽然简单啊，但是也是我们的一个基础的应用，所以我们就知道角 c 等于角一好。又，因为角 a、 d、 b， 它是谁的外角呀？是三角形 a、 d、 c 的 外角很好， 那么所以角 a、 d、 b 就 等于角 c 加角二，所以角 a、 d、 b 就 等于角一加角二等于角 b a、 c。 很好，这样我们就把这道题解答出来了，非常棒！同学们，那么接着我们再来看下面一道题目，哎，这道题，他说， 那我们先来看题目，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 是 什么三角形啊？没错，是等腰三角形， 好，他说，哎，如果角 b 等于七十度，如果角 b 等于七十度， a、 b、 c， 角 b 等于七十度，那么角 c 也等于七十度，角 a 就 等于一百八十度，减去两个七十度，就是一百四十度，等于几十度啊，等于四十度，好，第一题很简单。第二题，他说，好，那么如果我重新画一个三角形了啊，画在这里，我擦掉重新画。 如果先画 abc， 如果角 a 等于七十度，好，那么这两个角是相等的了吧，对吧？那么七十度一百八减七十度等于一百一，一百一除以五啊，除以二就是五十五度，两个角就是五十度，好，我们看第三题。第三题，如果有一个角等于一百二十度，那么角 a 等于多少？角 b 等于多少？角 c 等于多少呢？ 第三题，如果有一个角数啊，它等于。你看，如果是 a、 b、 c 啊，一个角等于一百八十度，那只能是我们顶角了，因为如果底边它如果是底角等于一百二十度的话，那就不符合我们三角啊，三角形的这个基本的定力对不对？好，那么我们就知道，角 a 就是， 角 a 就是 一百二十度，角 b 就是， 哎， 就是多少呀，就是三十度。好，这里很简单。第四题，我们看，如果有一个角等于五十度，那么另外两个角等于多少呢？你看，它只是等于五十度，我们的底角两个角加起来，如果就是五十加一百度，那其实是可以的，比如说就可以分成了，第一个就是两个底角，哎，都是 两边角，就是我们的角 b 和角 c， 它等于五十度，那么角 a 就 等于八十度，对不对？那如果这种情况，就是我们的顶角，顶角角 a， 它等于五十度，那五十度的话，那我们的角 b 等于角 c， 就是 要等于一百三十度，除以二吗？除以二就等于多少呀？等于我们的六十五度， 好，六十五度，好，这也是我们刚才这个过程。好，六十五度，好。就第一种情况嘛，它是顶角，角 a 是 顶角，哎，角角是顶角，那这两个角就是六十五度，那如果是底角是五十度的话，那顶角就等于八十度，很简单。好，最后一道题，他说，如图，在我们的房屋人字量价中，角这个 a、 b 等于 a 好， a、 b 等于 c， 条件反射了啊，角 b 等于角 c 了，好，接下来角 b、 a、 d 啊，角 b、 a、 c、 b， a、 c 等于多少呀？一百一十度， a、 d 垂直于好，垂直平分线了，是吧？好，那么我们再来看我们求哪边啊？求角 b， 求角 b a、 c， 求角 b、 a、 d， 还要求这个角 b 在 哪里啊？角 b 和角 c， 它们是相等的，不用说也知道角 b、 a、 d， 哎，这个角也要求，还有就是说 c、 a、 d 这个角也要求。这道题非常简单了，同学们，那我们可以暂停一下，我们就可以知道， 老师直接把过程写下来啊，证明，哎，不是证明题啊，应该是在三角形 a、 b、 c 中，因为 a、 b 等于 a、 c， a、 d 垂直于 b、 c， 所以 角 b 等于角 c 用的是等边对等角 好，那么，所以啊，所以啊，因为是等边对角，然后 a、 d 垂直于这个 a d， a、 d 还垂直于我们的 bc， 那 么我们就能够证明角 b、 a、 d 它等于角 c、 a、 d。 为什么呢？因为我们还有一条性质，等腰三角形底边上的 高线中线角平分线。啊，顶角平分线啊，顶角平分线重，顶角平分线重合。哎，我今天是怎么回事？老师写错字， 重合。好，那么又，因为角 b、 a、 c 等于一百一十度，所以角 b 等于角 c 等于七十度，除以九十五度，所以角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 d 等于五十五度，他们两个加起来的一个一十一度。哈，这就是我们今天所学习的内容。那今天呢，我们对轴对称， 根据轴对称的啊，这个图形的性质，我们等腰三角形，它是一个轴对称图形。好，我回顾一下啊，你看啊，我们知道了我们根据轴对称图形轴对称的性质，那我们就哎看发现了等腰三角形的形式是一个轴对称图形，对吧？ 那么我们知道，等腰三角形的定义就是两条边相等的三角形，就是等边对等角。第二条形的定义就是等腰三角形的边上的高线中间顶角平分线是重合的。 好，今天就是我们的等腰三角形轴对称性的第一课，那接下来我们会有更多的课程，希望同学们能够点赞、评论、收藏，谢谢！

同学你好，我们一块来看一下咱们八年级培优班课后巩固。第一角 等腰三角形，一腰上的高与另一腰的夹角呢，是六十度，则这个等腰三角形的底角为多少度？ 那么当我们看见这种题的时候，我们没有图，对吧？那么肯定要画图呀，那这个等腰三角形到底是瘦高型的还是矮胖型的呢？是不知道的，那所以呢，我们要画两种不同样子的这个等腰三角形来对它进行一个分类讨论。 那么这种方法呢，是我们在这个等腰三角形里面经常分类的一种标准啊，就是等矮胖型的等腰和瘦高型的等腰。好，先来看第一种情况，那么第一种情况，他说一腰上的高，我们就以左腰上的这个高为例， 我们来给它画出来，那就过这边去做左腰的垂线，好过这边去做左腰的垂线哈，你会发现，因为它是一个钝角三角形，所以它的这个垂线呢，是垂在了外面，那么因此需要先延长左边这一腰， 然后呢再去做它的垂线。 好，这是我们的垂足 与另一腰的夹角。左腰上的高与另外一腰显然是与右边这一腰的夹角啊，那这一角呢，应该是六十度。左边这左边这一腰的高与另一腰夹角，应该是与右边这一腰夹角，他应该是六十度。 好。他问我们这个等腰三角形的底角是多少度？我们现在可以求出等腰三角形的顶角。第一个等腰三角形的顶角呢，是三十度，顶角是三十，那么底角自然而然七十五度， 好。第二个三角形，他的等腰三角形的顶角呢，是一百五十度，所以他的底角十五度， 因此答案选的是 c 选项。好，来看第二题，已知等腰三角形一边长等于四，另一边长等于九，它的周长等于什么？ 那么显然这些边长他们没有说，到底是等腰三角形幺还是底，我们要对它们进行分类讨论， 那么当在这里面四做幺的时候，那么这个等腰三角形的三边就是四四九， 那么当等腰三角形的边腰长呢是九的时候，这个三边呢就是九九四。好，来看第一个，第一个四四九满足三边关系吗？不满足，所以它被舍掉了。第二个它是满足的，那么此时它的周长九九四，那么就是二十二。好，选的是 c 选项。 我们接下来来看第三题。那么第三题，那么这个题告诉我们，三角形 abc 呢，它是一个等腰三角形， ab 等于 ac 呢，等于六， o 是 底面上任意点 o e 垂直 ab， o f 垂直 ac， 三角形 a b c 的 面积呢是十五。问我们 o e 加 o f， 那 o e 加 o f 呢？它其实呢是有一个固定的结论的，也就是它等于过点 c 往 ab 上做垂线，这个垂线段的长。 那么这个结论咱们课堂上给大家推导过啊，我们是利用的是等面积法来给大家推导的， 那么在这里面有些同学忘了，我们再来给大家推导一下连接 a o， 那 么这个三角形 a b c 呢？它就被分成了两部分， 三角形 a b c， 它被分成的是 a b o 和 a c o a b o 这个三角形是让 ab 做底， o e 做高，因为我们一看见垂线就要想到垂线可以做高，那么右边这个三角形是 a c 做底， o f 做高， 而你通过观察二分之一的 ab 和二分之 a c， 它们都一样，因此呢，我们都给它提出来，那么括号里面就剩下的是 o e 加上 o f， 而我们这个三角形 a b c， 它除了可以这样表示以外，它还可以就是让 ab 做底，让 c h 呢去做高， 那么也就是二分之一的 ab 乘上 c h。 好， 这边二分之一的 ab 乘上 c h。 好， 你会发现这里面二分之一 b 都相同，面积相同，因此 c h 的 长不就应该等于 o e 加上 o f 吗？ 那么这就是我们的结论，那么这个结论它适用于任意一个等腰三角形，等腰三角形底边上任意一点往两腰上的高，也就等于 c h， 那 c h 等于多少啊？我们这个时候可以算一下，因为三角形 a、 b c 的 面积呢，等于十五十五，就等于二分之一的六乘上 c h， 那 么所以 c h 呢，就等于是五。好，这个题选择第四个 d 选项。 好，这个题啊，不会的同学一定要重点看视频啊！好，接下来我们来看第四题。第四题他告诉我们，以 ab 为幺画等腰三角形，以 ab 为幺，那么显然是以 a 为圆心， ab 长为半径，或以 b 为圆心， ab 长为半径，画圆。 那么在这里面我们就直接来画一下啊，这个题我不画了啊，因为我这个画图不方便，所以大家自己来画一画就好了啊。画完以后呢，找它与这个呃网格的交点， 那么你在找的时候需要理论结合实际啊，我们会发现这个半径呢，它放在了一二根号五的这个直角三角形中， 它的半径呢是根号五，所以在找的时候啊，也要把你的那个 c 点放在一二根号五的这样一个三角形里边，那么这样的 c 呢，它一共是有五个，选 a 啊。 好，我们来看第五题，第五题这个题啊，它是一道非常经典的题啊，非常经典的题，在这里面它告诉我们底角呃角 abc 跟角 a c b 的 角平分线 是我们的这个 b p 跟 c p， 那 么角平线分得的两个角是相等的， 并且还知道了过点 p 做了一个平行线，那么所以这不就是咱们经常给大家提的平行线加角平分线模型，那么它应该会出等腰，对吧？那么等腰是谁呀？等腰就是 m b p 这个三角形 和 n p c 这个三角形。 好来看我们的这个 a 圈一二三四选项啊。来看圈一 b p 等于 c p， 对 不对呢？不知道，这个是不知道的，不知道的原因是因为大角 a b c 跟 a c b 相不相等，不知道，如果 a b c 跟 a c b 相等的话，那么它们的一半也相等，也就意味着 r 法等于 beta 一就对了。但是现在大小相不相等不知道好来看圈二圈二 b m 加这个 c n 等于 m n， 这个显然是对的，因为 m n 等于 m n 呢，它等于的是 mp 再加上 p n， 而 mp 呢，等于的是 n c， 所以 它相加呢，就等于了 m n， 所以 二对好来看三， 三角形 bmp 和三角形 cnb 是 等腰，三角形三是对的。好来看四，三角形 amn 的 周长等于 ab 加 ac 的 和好，这个是对的， 因为三角形 amn， 它的周长呢，等于 am 加上 m n， 再加上 an， 而你的这个 am 加上这个 m， n， 咱们刚刚已经对它进行拆分了啊，它就是 b m 再加上 n， c， 然后 a n 不 动，好，左右两边你分别去对它进行这个整理，你会发现它不就是 ab 吗？那这边就是 ac 啊。所以三角形 a， m， n 的 周长就等于 ab 加 a c 的 和它是对的啊。因此正确的一共有三个，选 b。 我们来看我们的第六题，第六题这个题它的答案比较多，一共有四个，分别是二十五度或 八十度，或五十度或六十五度。 这个题，呃，咱们有的同学呢，写了一个，有同学写了，写了两个，这个题，整体来说， 写出二十五度不难，然后要想写出后面其他的都写出来，难度还是挺大的，所以咱们同学这个题可以呃，仔细听一下，然后至于考试的时候，我觉得应该不会考，考不会考这样的一个分类啊。 那么在三角形 a， b， c 当中，我们知道角 a 呢，它是等于三十度角 a， c， b 呢，等于一百度。那么在三角形 a， b， c 里面，那么另外的一个角， 这个角，那么显然呢，它应该等于的是五十度。 m 是 射线 ab 上的一点射线 ab 上的一个动点，那么点 m， 它就可以在 ab 上，也可以在 aby。 因此呢，它有大致的这样的两类分类讨论，一个是在 ab 上，一个是在 aby 的 过 m 去做了 m n 平行于 bc， 两直线平行，就有同位角，所以这个角呢，在如图所示的这个图里边，它就是五十度了。 他说，当我们这个三角形 b， m， n 呢，是等腰三角形的时候，那么则 m n b 的 度数 m n b 啊，这个角， 那么目前来看的话，在这个图里边，那么此时呢，是以 n b 为底角的射，那就是当 m 在 ab 内时，那么 n b 为底边， 那么此时我们这个角 m n b 呢？它等于是五十度的一半，也就是二十五度，我们运用外角就可以了啊。那么接下来我们的点 m 还可以运动到 a b y， 当 m 在 a b y 时，我们来画图， 我们来看一下啊，我把这个图已经给大家画出来了，那么当我们的 m 点在 a b 外面的时候，那么仍然满足 m n 呢？是平行 a b 的， 我此时画了一个三角形 b m n， 我 会发现这个 b m n， 它的形状呢，比较接近于等边三角形， 那也就是意意味着啊，在接下来的情况当中，到底我我之所以画上等边的原因是因为首先 b m n， 它得是个等腰，那到底 b m n 这个等腰里边谁做底谁做腰，他是不知道的。所以呢，我画成了一个等边，就是把 多种图融成一种图来对它进行一个，就是把图给简化了。那么大家可以学习我这种画图方法，就当这个图形它是个等腰的时候，你可以把它画成个等边，因为等边是符合任何等腰的，那么我们就要对这个 b m n 这个三角形进行分类讨论， 那么我画的这个蓝色的 b m n 到底谁做底谁做腰呢？是不知道的。好，你比如说我们这个 b n 呢，它可以做底，当 b n 为底时， b n 为底，那我们求的这个我们这个问号角，也就是 b n 这个 m， 那么它就应该是底角，那么此时呢，它就应该等于的是六十五度，那么当我们的 b m 为底的时候， b m 为底，那么此时我们求这个问号角 b n m， 它就是顶角，它就是八十度，那当我们这个 m n 为底的时候， 那么我们要求的这个底角 bnm， 它就应该是底角，要求这个角啊， bnm， 它应该是底角，它应该是五十度，那么由此一共是这样的四种情况。好，那么咱这个题咱要讲完了啊，接下来我们来看一下第七题， 那么第七题这个题呢，告诉我们两个大小不等的等边三角形这样摆放，那么等边三角形这样摆放， 由此能想到的以这个手拉手模型，那在这里面它不就是这个 a、 b、 d 这个三角形跟 a、 c、 e 手拉手吗？ 那么这两个手拉手显然呢是全等的，那么所以我们的 c、 e 长，它是等于 b、 d 长的， c、 e 等于 b、 d， 那 么 c、 e 告诉我们是六，所以 b、 d 呢就是六，然后 c、 d 呢等于二，所以 b、 c 呢就等于四。 当我们看见等腰三角形共顶点，它一定会出手拉手全等，那手拉手全等以后，拉手线 b、 d 长一定等于 c、 e 长，这是一个固定考法， 让我们求的是点 a 到 b、 c 之间的距离，点 a 到 b、 c 之间的距离，点到直线的距离就是垂线段的长，所以呢，我们来给它做出来过点 a 往下做垂线， 你没发现这个垂线不就是等边三角形 a、 b、 c 的 高吗？是不是等边三角形的一半三六九三角形边长有了是二，所以 b 边上有了是四，所以 b、 h 就是 二， a、 h 二倍根号三一比根号三比二。 好，我们来看我们的第八题， 第八题这个题他答案呢，一共是有三个四豆铃，五豆铃， 然后还有一个六分之十九豆铃。好，那么通过咱们上节课的讲解，咱们有些同学啊，已经呃把这个六分之十九豆铃写出来了啊。 课堂上呢，我们给大家讲的是用函数的方法来求解的，函数方法可以说是一个万能的方法，无论在什么题里面都能用，什么题里面都能用。那么接下来我们再来给大家说一个还有一个代数的方法来算， 那我们就是四豆零跟五豆零，大家应该都会就是这个六分之十九豆零，那么其实呢，是以 a b 为底的，这个等腰，那就是长这个样子， a b 为底，那就意味着 p b 呢？等于 p a， p b 等于 p a， 那 么用什么来表示 p b 等于 p a 呢？我们可以用两点间的距离公式，平面直角坐标系里面如果有两个点，分别是 a s 一， y 一， b s 二 y 二的话，那么 a b 两点间的距离，那么它就等于根号下 x 一 减去 x 二的平方，加上 y 一 减去 y 二的平方， 那么 p a 跟 p b 不是 也可以用这样的方式来表示吗？ a 的 坐标是负一斗零， b 的 坐标呢是二斗四， p 是 在 x 轴上，而且还告诉你了是正半轴上运动的，所以 p 你 可以把它设成是 m 斗零， m 斗零，那么 p b 就 应该等于根号下 二减 m 的 平方，加上一个四减去零的平方，那么 p a 它就应该等于右减左。哎，这个不用带根号了，因为它是只是水平方的距离啊，右减左，所以呢，就是 m 加一， m 减负一， m 加一，左边有根号，右边没有，我们要同时平方一下就把根号去掉了。二减 m 的 平方，加上一个四方，它就等于 m 加一的平方，然后接下来你对它进行去括号整理， m 就 算出来了啊， 六分之十九，所以 p 的 坐标六分之十九等于好，那么我们也在坐标轴上的时候，也可以用这种方法去算，也比较简单。我们课堂上给大家讲的是，函数的方法 是万能的，无论在什么情况下都很好算啊，只要能掌握这么两条直线互相垂直，它们的斜率之积等于负一，并且呢，它垂直平分线是过 ab 的 终点的，根据终点坐标公式来求解就可以了。 那么我们这现在呢，如果将这个动点是在坐标轴上的时候，你还可以用这个两点间距离公式去算，仍然需要你把这个两点间距离公式的背下来，这些都是基本的，如果你不会的话，背下来就可以了啊。 来看第九题，第九题这个题答案呢是五， 既然这个题呢，它就是在考我们平行线加角平分线模型， p b 是 角平分线， c p 呢，也是角平分线。然后还跟你说了啊， p d 是 平行于 ab 的， pe 呢，是平行于 ac 的， 所以平行线加角平分线等腰三角形来呈现，那么我们的 d， b， p 这个三角形，它就是一个等腰了啊， 那你这个 p e， c， 它也是一个等腰，那么三角形 p d， e， 它的周长等于 p d 加上 p e， 再加上 d e， 把相等的边给它转化一下，那就是 b， d 加上 e， c 再加上 d e， 好， 那不就等于 bc 的 长，所以等于五？ 来看我们第十题，那么第十题仍然是在考我们平行线加角平行线模型 来看我们的小块一，在三角形 abc 当中， ab 等于 ac 等于十， 那说明 a、 b、 c 呢？它是一个大等腰， b、 d 呢？是平分，它的好，不防呢，用 r 法来表示。那么这边因为 a、 b、 c 呢，它是一个大等腰，所以两个底角相等的，那么都是二 r 法 还做了一个平行线，那么所以两间平行内侧角相等，这也是 r 法。那因此在这里面一共有几个等腰啊？ 一共有五个，那么它分别是三角形 a， e、 c 是 一个。呃， e、 d， e， b， d 是 一个 f， d， c 是 一个，然后下面这个 d， b、 c 是 一个，还有 a、 b、 c 是 一个，一共是五个啊， 它是五个的原因就是因为 a、 b、 c， 它是一个大等腰，大等腰，好，我们来看 e、 f、 b、 e 跟 c、 f 之间的数量关系，这个大家都会写， e、 f 等于 b， e 加 c f， 然后还可以问你呢，三角形 a、 e、 f 的 周长是多少？哎，咱们都知道， a、 e、 f 的 周长等于 ab 加 ac 等于二十，好，这也都写出来了。好，来看我们的小括号， 小括号啊，小括号，他说，他说将一中的 ab 等于 ac 改成 ab 等于八， ac 等于十，它不， abc 不 再是一个大等腰了，那么此时有几个等腰呢？ 那么在这种情况下啊，我发现左边跟右边的两个角它就不一样了，不一样了，因此它就只有二。刚才的这个位置， 只有平行线加角平行线的那两个等腰了，它就没有其他等腰了，因此只有两个，只有两个，那么此时的 e f、 b e 跟 c f 之间的数量关系是什么呀？那么跟刚才是一样的 啊，这个跟刚才是一样的，是因为它不受刚才的影响， e f 等于 b e 加上 c f， 然后还问你了啊，三角形 a e f 的 周长是多少？三角形 a e f 的 周长，它就等于 ab 加 ac 等于八，加十等于十八。 这个大家为啥不写啊？就是我们在做题的时候啊，你一定要对每道题都很认真，这样的话才会有效果，对吧？ 我们来看第三个图，那么第三个图 好，在这里面呢，它告诉了我们外角的平分线是 c d， 那 么外角的平分线啊，我们会知道，哎，这三个角是相等的，这三个角相等，那么这三个角相等，那么因此呢，得到的是 f c 呢？等于 e d， f c 等于一啊，等于 f d 啊，那么并且还有一组内等腰内等腰啊，这个角等于这个角，然后两直线平行，内侧相等于这个角，那么所以 b e 呢？等于 e d， 那 么题目里边仍然问我们 e f， 然后 b e 跟 c f 之间的数量关系，那么从图上可以看出啊，我们的 e f， 它应该等于的是 ed 减去 f d， 而 ed 不 就等于 b e f d 等于 fc， 所以 就转化到这了，等于 fc， 那么因此它们三个的这数量关系就是这个好，这是在外角平分线的情况下啊，那么我们一定要找准到底是谁跟谁相等，谁跟谁相等，蓝色的线跟蓝色的线相等， 那么红色的线跟红色的线相等，所以呢， e f 呢，就是他们的叉，就是他们的叉。好的，我们第一讲就讲完了。

下面的图形各有几条对称轴，长方形有一二两条对称轴。正方形有一二三、四四条对称轴。平行四边形 没有对称轴。等腰梯形有一条对称轴。等边三角形有一二三三条对称轴。等。腰三角形 有一条对称轴。等。腰。直角三角形有一条对称轴。五角星有一二三四五五条对称轴。正五边形 有一二三、四、五五条对称轴。圆形有无数条对称轴。正右边形有一二三、四、五六六条对称轴。

好，我们看一下本节所涉及到的知识。点一，尺规作图， 做一个角等于已知角，这是尺规作图的基础。操作原理是用边边边全等判定定里构造全等三角形、二等腰三角形的性质。等边对等角， 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和 平行线判定定力。同位角相等，两条直线平行。内错角相等，两条直线平行。同旁内角互补，两条直线平行。好，我们看一道经典的考试题，暂停思考三秒钟。 好，我们看具体的解析步骤。步骤一，以点 a 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 a、 b 于点 e， 交 ap 于点 f。 步骤二，以点 p 为圆心， a、 e 长为半径画弧，交 p c 于点 g。 步骤三，以点 g 为圆心， e、 f 长为半径画弧与。步骤二所画的弧交于点 h。 步骤四，作设限 p、 h 交 a、 c 于点 d， 点 d 即为所求，这就是作图结果。实际解析中保留作图痕迹，不用写出作图过程。下面是第二小题答题过程。 好，我们对本节题目做个总结。作图是为证明服务的，第一问的作图结论往往是第二问证明的关键条件。 本题中角 c、 p、 d 等于角 b、 a、 p 这个由作图得到的等量关系就是连接已知和求证的重要桥梁。 证明角相等的常用思路，利用等腰三角形、等边三角形的性质，利用平行线的性质，利用全等或相似三角形，利用等量代换等方法。 好，我们看一个练习题，看看能不能做到举一反三。

一起看一下今天的例题，呃，如图呢？三角形 a、 b、 d 是 等边三角形角 a、 c、 b 是 个六十度求证， a、 c 等于 bc 加 cd。 读完题之后，咱们就发现了，他这道题考察的是咱三条线段的和差问题，是不是那也就是截长补短这个模型的题， 那解长补短呢？也就是在较长的一条线段上截取一段，或者说是咱们在这个较短的一条边上进行延长，是吧？来看一下，那这道题咱们应该怎么做比较好一些了？是不是咱们可以进行一个延长？你看可以延长这个 c、 b， 比如说到这个 到这吧，到这个点 e， 咱们是不是也可以把它进行连接起来？那如果延长的话，咱们要使得这个 a e 和这个 c e 和这个 c a 是 相等的，那这样的话，咱是不是就有了这个等边三角形 a、 c、 e 了，是吧？ 那这个是等边三角形 a、 c、 e， 再结合咱们等边三角形这个 a、 b、 d 的 话，咱们是不是就能求出来这个三角形 a、 b、 e 这个三角形和咱的 a、 d、 c 这俩是全等的，是吧？那全等之后，这个小短边儿 c、 d 是 不是就等于这的 b、 e 了？最后咱们这个条件是不就出来了，是吧？来，这就是咱的一个思路，一起把这个过程给它写一下啊。来看看， 来看一下，那咱们应该怎么写呢？呃，来写这吧，证明 应该写延长 c b 至点 e， 然后咱使这个 c e 等于 c a， 然后呢连接 a e 吧，连接 a e 来描述一下啊，延长 c b 到这个点 e， 然后使 c e 等于嗯， ca 连接 a、 e， 咱们再把它给连起来， 没问题吧？哎，这是 e。 来，咱们再因为因为角 a、 c、 b， 你 看它是不是等于六十度的？那所以咱就有了三角形 a、 c、 b， 你 看它是不是等于六十度的，那所以咱就有了三角形 a、 e、 c 是等边三角 a 型，然后，所以就有了角 e， a、 c 是 等于 六十度，然后 a、 e 是 等于 a、 c， 然后再因为咱们知道的三角形 a、 b、 d 是 等边 三角形，然后，所以是不是就有角 b、 a、 d 等于六十度， a、 b 是 等于 a、 d 的 吧？然后呢？再因为这个角 b、 a、 d 是 不是等于角 e、 a、 c 都是等于六十度吧？啊，这个没问题，所以咱们给他标个这个数字吧。简单一点，这是角一， 这个角是角二，最左边这个角是角三啊，所以来看一下，能得到什么，是不就有角二加角一就等于角二加角三，所以能得出什么？是不是角一和角三就相等了是吧？来，再三，角形 是不就是 a、 b、 e 和咱的三角形 a、 d、 c 中 来是不是就是边角边？可以证明全等，那就是 a、 b 等于 a、 d， 角三等于角一，还有个 a、 e 等于 a、 c 来，所以， 所以三角形 a、 b、 e 是 不就全等于三角形 a、 d、 c 啦？来，用到的是 s、 a、 s 没问题吧？来，全等之后是不就得出了 e、 b 是 等于 c、 d 的 吧？最终咱是不就知道了，那就是 bc 加上 cd 等于 bc， 咱们写上头吧。来，把这划了，再写这啊，有点窄了，来写这，所以 bc 加 cd 是 不是等于 bc 加 e， b 等于 ec 等于 ac， 没问题吧？最终结论，所以，那就是 ac 等于 b， c 加 c、 d， 你 看咱这是不是就正出来了，也是比较简单的啊，所以说咱们在做这种截长补短这个解决线段和差问题的时候，咱们， 呃最经常用的办法就是要把它转换。刚刚咱已经说过了，也就是在这个较长的线段上截取一段使咱们这个截取的部分呀，它就是等于其中一条较短的线段，是不是或者呢？或者是将咱们其中一条较短的线段进行延长，刚刚咱是不是就延长了？ 咱就要使这个延长的部分呢？等于另一条较短的线段，是不是咱就用了这个啊？所以说通过 这样的话，咱们，呃通过证明这个全等三角形这些知识是不是就能求解了？这就是这道题啊，应该是都要掌握的，看看有没有什么问题啦。

hello， 各位同学，大家好，欢迎大家来到同步小学数学四年级下册的课程，我是维尼老师， 今天这节课呢，维尼老师带大家一起来学习的是这个等腰三角形和等边三角形的这部分内容。 那么我们已经知道啊，三角形如果按照角分呢，是分锐角三角形，钝角三角形，直角三角形， 那么按照边来分呢，就有两种特别特殊的三角形，一个是等腰三角形，一个是等边三角形，所以呢，我们今天这节课就来讨论一下等腰三角形和等边三角形它有哪些特殊的地方，以及它的性质是什么？那么我们在解决相关的这类问题的时候，要注意到哪些内容？ 那么首先先来看一下图中的这样的三角形，一条边是 a， 一 条边是 b， 第二个呢啊，稍微不一样一点，就一条边是 a， 另外一条边也是 a， 那 么像这样呢，我们就可以叫它等腰三角形，那如果说我们再画一个图形， 如果是这样，那每条边的边长都是 a 的 话，那么它更特殊了，就是等边三角形， 那么也就说我们是按照边的相等的这个边的条数啊，相等的个数，那么来进行一个分类，那如果是完全都不相等的啊，他就不是一个啊，等腰三角形也不是等边三角形，就是一个普通的啊，不等边三角形，我们叫的这个名字， 那么两组有一组边两条边相等的，那么叫做等腰三角形，都相等的叫做等边三角形， 那么我们要先清楚它的一个分类啊，这是一个从边的长短啊，相等的这个边的个数之这个地方，我们可以把它分成这样的几个类型， 如果是三条边都相等，我们叫它等边三角形，两个边相等的话，我们叫它等腰三角形，那对应来说呢，他们都有，我们可以管在这个地方叫做腰，下面叫做底， 但是对于等边三角形呢，由于他们三条边都是相等的，所以呢这个腰和底啊，我们在区分的时候并没有直接去啊，在这个等边三角形当中，没有去区分他的腰跟底啊， 那么如果说我们等边三角形就这样来放的话，我们就管他旁边上面这两个叫做腰，下面的这个叫做底。 那么对于等腰三角形来说，我们知道它的两个腰长是相等的，并且它两个底角这里也是相等的，那么上面这个呢叫做顶角，也就是说等腰三角形，腰相等，底角相等， 那么等边三角形呢，比较特殊，三个角都相等，内角和是一百八十度的话，这样我就可以算出来每个角都是六十度，也就是三条边都相等，三个角也都相等，并且都是六十度，这样的一个基本性质要先清楚。 好，那接下来我们来看一下几个这样的题目，来做一下这个等腰三角形和等边三角形，看同学们能不能够理解清楚。 第一个如图所示，是一个等腰直角三角形，在它的上面画一条线段，把三角形分割成两个大小相等，形状完全相同的 三角形，那么我们只要把它变成两个大小相等，形状完全相同的三角形就可以了。那在这里这本身就是一个等腰直角三角形，我们知道等腰直角三角形，它这个图形应该是一个轴对称图形， 是一个轴对称图形，那如果说我们把它的对称轴找到这条线啊，是它的对称轴，那将它折叠之后，这两个三角形应该是能够完全重合的，所以说这个就这条线就是能够把它 分割成两个大小相等，并且形状相同的三角形了。那么其实我们做这类问题的话，可以优先的去考虑去做出来这个图形的对称轴啊，如果它是个轴对称图形的话，那么做对称轴的话，很容易就可以把这个图解决， ok 啊，第一问比较简单，第二个我们看例题二说以线段 a、 b 五为等腰三角形， a、 b、 c， 如果这里给出来三角形 a、 o b， 他 说让 ab 做等腰三角形的腰的话，那么我可以做出什么样的等腰三角形？那在这里我们可以想象一下啊， ab 做腰，那么它可以构成什么样的图形？比如说这条边是腰，那这条边是什么？ 那这条边又是什么，对吧？那我可不可以让这条边是腰的时候，这条边是底呀？可以，那么我沿着 a o 把它给对称过来，那这是一个等腰三角形， 那可不可以是这条边是腰的时候， o a 是 底呢？也可以，那这个时候把它沿着 ob 借给它对称过来，它也是一个等腰三角形。 所以这道题目一定是要分类进行讨论，去画两种情况的啊，要么是这样的，要么是这样翻下来的，他最后结果都是等腰三角形， 所以这个时候呢，就是看其实考察等腰三角形啊，是两条边相等，那么这两条边相等，那么另外一条边是底边那三角形，这剩下的两条边当中谁做底边都可以，所以我们可以进行这样的讨论，来分别画出两个图形， 非常简单，对吧？好，那我们继续再看例题三，例题三啊，例题三，说下面这个图是由三个相同的小正方形拼成的一个长方形， 图中共有八个点，选择其中的三个点作为三角形的三个顶点的话，可以一共画出多少个等腰三角形？ 那在这里我们就讨论一下啊，利用上面的三个点啊，八个里面选三个点组成三角形，还得是等腰三角形，那么我们怎么去看才能把它数全呢？ 首先我们可以一个一个方格的看啊，一个一个方格看，那我只看第一个的话，只看第一个的话，我们是不是这个情况下，这样的三个点就可以组成一个等腰直角三角形，一定是可以的，对吧？那确实也是等腰三角形， 那也就是说把这个正方形啊分割成一半，这个三个可以组成一个，那剩下的这边这三个也可以组成一个，对吧？ 那好，我如果这样画一条线，这三个点也可以组成一个，那对应的这边这个点是不是也可以组成一个？所以说单看一个小正方形，这样的四个点，想要组成等腰三角形的话，他就可以组成四个，对不对？哎？一个小方块就可以组成四个 等腰直角三角形，那么这里有三个小方块，那么这这个时候先用三乘以四等于十二个，那么单看每个的话，可以组成十二个，可以组成十二个这样的等腰三角形， ok， 先看单个的，那接下来我们再看有没有可能是让看一下，看一下这个整体，用整体来组成，看两个小的正方体组成的，那这个时候找三个点构成一个，等一个够构成一个等腰三角形就可以了。那这个时候我们是不是我们看右侧，如果是这样的话， 如果是这样的话，我们看到这个三角形，是不是一样是一个等腰三角形？没问题啊，这是正方形的对角线，这条边也是正方形的对角线，肯定也是一个等腰三角形， 那这样组合出来一个等腰三角形啊，一个这个大的等腰三角形，那我这样对应过来，是不是还是可以又组成一个等大的等腰三角形， 是这个，对吧？那么这样就是两个，那么他俩组合可以构成两个，那这边这两个来组合的话，一样也可以构成两个，所以再加一起的话，一共是四个，刚才是十二个，加上这四个一共是十六个。 那接下来我们再往下看，如果看作这个长方体，看作个整体，在上面任意的找三个点，能不能去找等腰三角形呢 啊？如果这个时候再去做等腰三角形的话，你会发现我得从这开始找他的其中一个点才可以构成 等腰三角形的，对吧？但是这个点没有在，没有在我们这个范围内，我们只能从这样的八个点当中去选择，所以这个地方如果直接去画的话，是找不出来的啊，也就说这搁这个长方体来看当中啊，把它画个大的等腰三角形是画不出来的啊，所以我们最终 一共有多少种呢？一共多少种呢？从一个来看，这么数啊，也能数出来有十二个，从这样来看，能数出来有四个，那么加在一起一共有十六个。 哎，所以我们在找等腰三角形的时候啊，第一个我们先去看一下什么样能成为等腰三角形，他一个一个来看，然后呢我们在推广，慢慢的去推广，然后把各种类型的找出来，再加在一起就可以了，一定要按照顺序来找，这样不会丢掉拉掉， 所以一共这道题目有十六个，同学们看一下是不是找清楚了呢？ ok 啊，那这道题目是一个啊， 数这样的等腰三角形的，你要先清楚等腰三角形它的性质有哪些，那么要找到这样边相等的，有一组边相等的这样的三角形才可以。