八下基础训练数学第44页

预习是提高成绩的重要方法。八年级数学下册课本的第四十四页纸， 我们看到 c、 t 一 点五的第一题，如图， a、 d 是 三角形的角平分线 a、 d。 那 就说明这个角一等于这个角二， b、 d 等于 c、 d、 d、 e 扯直， df 扯直。 那我们看到 a、 d 是 角平分线，我们得到角一等于角二， 然后呢，我们就说这个垂直啊，角平分线上的点大小的两边距离是相等的，对吧？因为这里告诉了垂直，所以角平分线上的大小的两边距离相等，那 d、 e 就 等于 d、 f 嗯，然后这里，这里，这边也是直角，所以在 r t。 三角形 b， d、 e 于 r t。 三角形 c、 d、 f 中， 那我们就可以知道斜边 b、 d 等于 c d。 直角边 d， e 等于 d f。 所以 r t。 三角形 b， d、 e。 前等 r t。 三角形 c、 d、 f 嗯，呃，这里呢，就叫什么呢？ h a。 先比这角 b、 a。 所以 e、 b 等于 c f。 所以 e、 b 等于 f c， e、 b 等于 f c。 啊，我们通过角平分线上的点到角的两边距离相等，然后我们就得到下面的这个三角形 b、 d 与这个三角形 c、 d、 f 两个相切呢？根据斜边直角边，因为这里一直是直角好，但是有时间的关系，这有的步骤我没写完 好。我们看到第二题，角 c 等于九十度，角 b 等于三十度 a、 d 是 角平分线 a、 d 是 角平分线。那么刚才这个角 b a、 c、 e 这其实六十度，对吧？三角形内角和一百八减去呃，这个 九十，也就是直角，三角两锐角互余三十度至六十度。而现在告诉这 a、 d 是 平分，所以这两个角都是六十度 角 b， a、 d 与角 c， a、 d。 好， 那么这样呢？根据三十度角 b 等于三十度的角 b， a， d， 所以 b、 d 就 等于 a， d。 而对于这个在直角三角形中，三十度角所在的边是斜边的半， 或者说斜边等于这个短直角边的两倍，所以 a、 d 的 二倍的 c， d。 刚才说 b、 d 的 a， d， 所以 b、 d 的 二倍的，对吧？ b， d 的 二倍的 c， d 啊，这个我就嘴巴上说一遍，口头上说一遍啊，很简单的。好，咱们看到第三题， 三角形 a， b， c 的 外角加 c， b， d 与外角加 b， c 的 平行线加入 f， 我 们说这个角平行线上的点 f， 大家的两边距离相等，比如做 f m 垂直于 ab 与 m， 呃，做 f n 垂直于这个 b， c， n。 那 么这样呢？ f， m 等于 f n 啊，又因为 f 呢，是在角 b， c， e 的 角平分线上。好，我们要做来做，比如说 m m， 比如说 p 做 f p， 呃，垂直于 a， e 如 p， 那 么这样呢？ f， n 等于 f p。 好， 那么这样呢？我们就可以得到 f， m 等于 f p。 哎，这两个项呢？那就在角 b， a， c 的 平分线，也就是角 d， a， e 的 平分线上，那这个就自己去写一下。我们看到第四题， p 是 角平分线上的点 p c 乘以 o e， p d 乘以 o b 啊，已知什么呢？角平分线，那么这样我们就可以得到 p c 等于 p d。 耶，第一个叫我们来证明 o， c 等于 o， d， 哎，要证明 o， c 等于 o， d 呢，咱们可以这样来证啊。呃，通过这什么呢？垂直的角 p c， o 等于角 p d， o， 然后呢？这两个角相等，然后公共边，所以我们根据三角形 o， c， p 且等于三角形 o d p 根据什么呢？ a a s 啊，这样呢，所以 o c 等于 o d 啊，我们可以证明两三全等。当然呢，我们在这个过程中我们得到 p c 等于 pd 啊， 好，第二个，我们知道 o p 是 c d 的 垂直平分线，刚才我们说了 p c 等于 p d， 其实有这个 o c p 跟 o d p 两个三角形切呢，我们叫做 o c 等于 o d， p c 等于 p d， 对 吧？所以这个 o p 都在什么呢？ c d 的 中垂线上， 而根据两点确定一条直线，所以直线 o p 是 线段 c d 的 垂直平分线啊，这个就难度并不大。就说这么多，记得点赞关注哦。

苏科八下学霸提重题第四十四页第三题，基础填空题，八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现。 这道题呢，考察的是平行四边形的一个判定。对角线互相平分的四边形是平行四边形。他说 o、 a 呢，是等于 o、 c 的， b、 d 呢，是等于这个十二厘米的。 他问你一件事，他说当这个 o、 b 等于多少厘米的时候，它是一个平行四边形。我们知道目前 a、 o 等于 a、 c， 那 如果 o、 b 等于 o、 d， 那 它不就平行四边形了，对吧？所以说 o、 b 等于 o， d 等于二分之一， b， d 等于六厘米。这道题就解决了。

苏科八下学霸提重题第四十四页第一题，期中测试基础题八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现！ 小玲的爸爸在定制平行四边形框架时，采用了一种方法，将两根木条 a， c， b、 d 的 中点重叠。比如这有一个线段 a， c， 这有一个线段 b， d， ok， 中点重叠了，那说明他既平分 b， d， 又平分 ac， 那 这很明显是用了什么原理啊？ 是不是对角线互相平分的四边形是平行四边形，明白了吧？所以说跟对角线有关。那这道题呢？果断选 a， 轻松解决。

免费带着你一起预习课本，不跟着我一起看真可惜了。八年级数学下册的课本第四十二页 啊，这道题啊，课本上这个例题啊，好长好长啊！呃，其实我们大家可以简单地去理解一下，那么对于这样的题目，咱们怎么做呢？咱们一定要先把已知看清楚，跟着我一起看。 a、 c 等于 b， c 加 c 等于九十度。 好，角 c， 九数的标一下， a， c 等于 b， c， 好， 那就是等腰直角三角形，所以这个角就是四十五度，但是这个角也是 角平分线， a、 d 是 三角形的角平分线，所以这个角 c、 a、 d 等于角。 b、 a、 d 都是二十二点五度， 当然要不要用就不知道，等会再看，我们先知道它是二十二点五度，好，已知 d、 e 呢，是垂直于 ab 的， 哎， 这里的垂直什么意思呢？代表着角平分线上的点大小的两边距离相等啊。这角平分线上的点大，也就是 c、 d 的 d， 而这里的 c、 d 等于 d、 e 呢？因为这个四十五度，这里，哎，这里又有垂直，这里又有垂直，所以，那么这个角也是四十五度， 对吧？也就是 e、 d， b 是 等于 g 角三，所以 e、 d 就 等于 e、 b， 哎，那就得到了 c， d 等于 d， e 等于 b， e， 对吧？那么这个第一个问， c、 d 等于四，那么 c、 d 等于四，那就是 d 也等于四，那就是 b 也等于四。你看这个等于四，这个等于四，这个等于四，然后这个等腰直角在这边等于四根，哈， 那么 b、 c 就是 四加四根号，而 a、 c 等于 b， c 是 题目的已知条件，所以这个 a、 c 也就等于四，加上 a、 c 等于四，加上四根号二， 对吧？哎，就比较容易了。好，第二个要求着 a b 等于 a， c 加 ad， 你 看 a， b 等于什么呢？ a b 是 等于 a e， a， b 是 等于 a e 加 e b 的， 那么 a， e 呢？是等于 a c 的。 刚才我们可以证明 a、 c、 d 与 a、 e、 d 两个三角形，你看这个是直角，这是直角，对吧？这个角平行角 c， a d 等于角 e a d， 然后 a、 d 是 公共边，对吧？根据 a a， a a s 两相切等，那么所以 a c 等于 a e， 然后呢？这个刚才我们说了 c d 等于 d， e 呢等于 b e， 所以 这个 c、 d 的 b e 呢，又等于 c d， 对 吧？所以这个 a、 b 的 ac 加 cd 就 等于呃，等于 a， e 加 e， b 就 等于 ac 加 cd 啊，这个由时间呢，这个书上有过程，所以我就只是嘴巴上跟大家解释一遍，要写呀，又要好长时间啊。我们下面看到这个 角平分线 b m 如 c n， 它的平分线加一点 p， 求证，这个角 a 的 平分线呢，也是经过这点 p 的， 那么这里呢，我们就要反复运用 角平分线的性质定义与逆定义。好，我们先做 p， 什么东西呢？我们做 p d 垂直于 ab， 做 p e 垂直于 bc， 那 么由于点 p e 在 角 abc 的 平行线上，所以 p d 等于 p e。 好， 我们再来做这个 p p 什么呢？比如说 p f， 我 们再来做 p f， 测出 a c， 由于这个点 p 在 角 a c、 b 的 平分线上，所以 pe 等于 p f。 好 等量到半，所以 p d 等于 p f。 那 么到角的两边呃距离相等的点呢？在角的平分线上 啊，由 p d 的 平分线上既角 a 的 平分线经过点 p 啊，这里的说明上这个过程呢，这里有有时间呢，我就这么说一下，三零的三条角平分线呢，是加入一点的，并且这一点到三边的距离相等，呃，这个点呢，以后我们把它叫做内心啊，以后我们再说，我们看到下面的例题， 角 a， c， b 等于九十度，角 b 等于六十度。 a d， c， e 是 角平分线 a d c e a d c 角平分，所以角一等于这个二分之一角 b a c。 角二等于二分之一角 b c a， 那 么这个角 b 等于六十度，所以角 b a c 加角 b c 啊，等于这个一百八十几，六十，一百二十，所以角一加角二呢，就应该等于一百二十，一般也等于六十度，所以这个角 叫做角 a， f c 也就是等于什么东西呢？这是一条直线 啊，这是，所以就等于角 e， f， d 等于一百二十度。由于这地方又有垂直的啊， f m f n f m 垂直 ab f m， 所以 那么这个是六十度，这里直角，这直角， 当四边形 b m， f n 一 组对角互补的时候，另一组对角也互补，所以那么这样呢，我们就可以等于角 m， f m 都等于一百二十度， 就是说角 e， f d 等于角 m， f m 等于一百二十度，所以我们这里得到一个关键呢，就是角 e， f m 等于角 d， f m 就是 这两个小的角， 这两个小的角，而我们说什么呢？我们说这个 a， 因为刚才我们在这里证明了对角平分线，这个 f 呢，在角 b， s， e 的 平分线上，所以 f m 等于。 好，我们做一个等于 f 什么呢？比如说我们等于 f p， 对 吧？然后 f p 要等于 f m， 所以 f m 等于 f m。 好，那么这里我们说有一个直角三角形 m f e 就 全等于三角形， 嗯，叫做 d f m。 理由什么呢？你看这两个角刚才说相等，这个 f m 等于这个 f d， 那 a s a 两个三角全等的时候，所以它的斜边 f e 等于 f d f e 等于 f d 啊。 呃，有时间呢，可能就过程没办法都写出来了啊。跟你提示你怎么做，自己在认真去练一练，把过程写清楚，记得点赞关注哦。

苏科八下学霸提重题第四十四页第一题，期中测试基础题八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现！ 小玲的爸爸在定制平行四边形框架时，采用了一种方法，将两根木条 a， c， b、 d 的 中点重叠。比如这有一个线段 a， c， 这有一个线段 b， d， ok， 中点重叠了，那说明他既平分 b， d， 又平分 ac， 那 这很明显是用了什么原理啊？ 是不是对角线互相平分的四边形是平行四边形，明白了吧？所以说跟对角线有关。那这道题呢？果断选 a， 轻松解决。

苏科八下学霸提重题第四十四页第四题中考题八年级赶快看过来，千万别被你同桌发现。如图，在这个四边形 a、 b、 c、 d 中，人家没告诉你平四边形啊，人家说了，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 e 角， c、 b、 d 等于九十度。好，那我们在这标记一个九十度 bc 呢，是等于四的， b， e 等于 e， d 等于三， b， e 等于 e， d 等于三。那我们可以知道的是这个点 e 啊，是这个线段 b、 d 的 一个中点。 那在这个直角三角形中，根据勾股定律，我也能够知道三、四、五，是吧？ e、 c 等于五，他说呢， a、 c 等于十，那 a、 e 也等于五，则平四边形 a、 b、 c 的 面积为多少？那首先我们知道它是一个什么呀？它是一个平行四边形，为什么呀？对角线分别互相平分，那么它是个平行四边形，我目前能知道是什么？它一半的面积， 对吧？他的平行四边形的面积，他是等于二倍的三角形 cbd 的 面积。二倍的 cbd 的 面积多少等于二分之一乘以底，比如乘以四，高是几啊？高就是 bd 等于六吗？ 好，那他最后的结果呢？就是等于四六，二十四啊，最后结果是二十四啊！注意看看题干中没有单位啊！好，题干中没有单位，那我们就直接写二十四就可以了，轻松的解决。

毕达格拉斯老毕相传，在两千五百年前，毕达格拉斯应邀去参加一次豪华聚会，但是不知道什么原因，大餐迟迟不上桌。 但是善于发现和理解的毕达格拉斯并没有留意这些，而是被脚下 美丽的方形瓷砖所吸引。于是在大庭广众之下，他蹲在地板上，拿起画笔，画出了 a、 b、 c 三个正方形， 结果他惊奇的发现， a 与 b 的 面积之合刚好等于 c 的 面积。后来他又经过了进一步的演算，证明了一个非常重要的定律，就是我们这节课将要学习的 c 的 面积，你又是如何求的？将 c 这个正方形变成四个三角形和一个小正方形，这是什么方法？ 同学们告诉他，当一下哦，割的方法对吧？割，那同样还可以用什么方法补？那怎么补？补成一个大的正方形？所以我们先看补的方法， 那这个正方形 c 的 面积就会等于大，大正方形面积减去四个小三角形的面积。刚刚我讲到了，我们还可以用割的方法 割成了四个三角形，加中间一个小正方形，说的非常的好，这两种方法都是 b 减 a。 刚刚谢志同讲了一个非常重要的方法，是面积法好， 谢子彤说的很好，请坐，我们一起来理一下他的思路，也就是什么的面积， 四个大正方形的面积等于四个直角三角形的面积，加上小正方形的面积，对吧？而大正方形的面积等于 c 的 平方，它就等于 二十四乘二分之一 a， b 再加上 b 减 a 的 平方，叫我们对这个式子提前化解，所以 c 的 平方等于二 a， b 加个式， b 等于 b 平方减二 a 加上 a 的， 然后就我们去问那个，呃， 平方平方和完全平方和公式，然后它就等于后面这一个，对吧？对，然后通过观察可以看到这个大大方形就可以分为中间那个，中间那个正方形和四个小小的三角形， 四个角的直角三角形，对吗？所以你的证明的方法还是什么方法？等面积法，听懂了吗？嗯，好，很好，请坐，这样我们同样可以证明 a 方加 b 方等于 c 方，对吗？ 这种方法是古代数学家毕拉格拉斯发现的，所以我们把它称为毕拉格拉斯正法。 通过证明我们就可以得到。如果一个直角三角形的三条边分别为 a、 b、 c， 直角边为 a 和 b， 斜边为 c， 那 么我们就可以得到什么结论？ a 和 b c。 那 用文字语言如何来描述呢？在什么当中？在直角三角形中，前提条件 啊，在 r、 t 三角形中，我们做证明题的时候要有介，要证明 有，因为，还有所以，所以是因为因为啊。角 c 等于九十度，角 c 等于九十度， 在什么当中？在看这里，在 r t 三角形 a、 b、 c 中，对，在 r t 三角形 a、 b、 c 中，角角 c 等于角 c 等于九十度，所以 a 的 平方加 b 平方 很好，请坐，这就是他的几何圆，请同学们做好笔记。 a 方加 b 方等于 c 方，还可以怎么写？ b？ 对， 用线段长来表示。 美国总统加菲尔德，他仅用两个直角三角形就证明了伯努利，他是这样踢的，踢出了一个直角梯形。对，同样的，同学们也可以运用 的面积法来证明我们今天的伯努利，这种方法称为总统正法，即加菲尔德的正法。 截止到现在，国五地理的证明已经有近四百多种了。爱好钻研，爱好数学的同学们下课以后也可以多加思考，看看你能不能想到更多更好的证明方法。学习了国五地理以后，我们来做两个小练习，完成以后通过平板提交 和要等于斜边的平方。好，做的非常不错的一题。我们再来看一下第二题。第二题，李欣怡， 第二题是对的还是错的？应该是错的，那你是因为什么原因把它选成了对的？ 没有认真的去审题？好，请做张爱如，你是什么原因 一样的没有看清题，所以同学们不管是在平时做作业还是考试当中，一定要认真的去审题。好，请做，要看清楚最后正确的应该是得得到什么结 论。 b 方加 c 方等于 a 的 平方，我们要注意直角三角形当中什么最长？斜边，它是最长的。好，请同学们继续做下一题。电视题， a 题， 为什么斜边最长？斜边最长？数数的非常的好，所以这一边为三，那么第三边 a c 算出来是根号七。那同学们一起来看一下这里用什么进行分类， 对，谁分类？对，斜边分类？对，已知两条边三和四，谁为斜边长的？对，是不是对较长的边进行的情况好问，那第一种情况就是当 什么四为直角边时，那第三边就斜边。第二种情况就是当四为斜边的时候， 可以得到是根号七，所以最后的答案应该是五或根号七。但是不要忘了啊，这个地方戴了个帽子，是根号七，不是七。 看一条 这个话直接是四个数相加就行了，但现在是边长怎么办？要平方，所以应该是等于三个平方加四个平方，加一个平方，再加三平方。答案是三十五。好，请坐。还需要的复习一定要认真啊， 不要因为这种不应该的看错题而失分。现在如果我以同样的方式，你看一的上面有两个正方形，这两上面又有两个小正方形，我继续做下去。 看起来像什么？这图案树像一棵树，一颗美丽的勾股树。下面好是通过几何画板来给大家演示一颗更漂亮的勾股树 来，动起来 是不是非常的漂亮啊。数学如此之美，希望同学们能够用发现美的眼光去热爱数学。 回顾过去，我国古人充分的利用他们的聪明才智，发现并证明了我国地理。所以现在我们来回顾一下本节课你都收获了一些什么？请同学们先思考，等一下我找同学一起来回答。 可以在悬案上面先写下。 哎呀！

我们先一起来回顾两个旧知识，第一，勾股定律的内容是什么？谁能举手说一说？第二，我们之前学过哪些三角形全等的判定方法？ 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 当时我们是通过画图叠合，直观感受得到的，并没有进行严格的数学证明。今天这节课我们就带着刚学到的勾股定律来完成这个证明。 同时我们还要解决一个新问题，我们知道任何实数都能用数轴上的点来表示，那像根号十三、根号十七这样的五理数又该怎么在数轴上精准画出来呢？ 今天就让我们一起走进勾股定律的应用世界，用代数的工具解决几何的问题，用图形的直观感受数的奥秘。

同学们在我国最古老的数学典籍周密算经里，记载了三千多年前一段非常有名的对话， 切文乎大腹善数也。请问谷者包兮立周，天立度，夫天不可接而生，地不可得尺寸而度。请问数安从出 竖直法出于圆，方，圆出于方，方出于举，举出于九九八十一，故折举以为勾广三，故修四净于五。 所以我们看一个直角三角形，如果短的直角边是三，长的直角边是四，那斜边一定就是五。 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对它的研究也由来已久。 在我国古代，人们将直角三角形中，短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 根据我国数学典籍周密算经记载，在约公元前十一世纪，人们就知道如果勾为三，股为四，那么弦为五。 后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定律。 到了三国时期，数学家赵爽在给周壁算经做注解时，用一张图把这个道理彻底讲透了。这个图就是赵爽前图， 他是中国古代数学的巅峰之作，他只用简单的图形割补，就把几何和代数完美结合，方法巧妙，证明严谨，是世界数学史上极具价值的经典证明。 二零零二年在北京召开的国际数学家大会的会标就是以此图为圆形设计的，让全世界看到了中国古代数学的智慧。 庄周有言，天地有大美而不言，四十有民法而不易。万物有成理而不说， 大自然藏着最朴素的规律，图形里藏着最深刻的道理。三国数学家赵爽用一张闲图，以行政术以术试行，揭开了勾股定律的千古奥秘。现在就让我们走进这节课的学习。 如图，边长为 a 和 b 的 两个正方形拼接在一起，它的面积为两个正方形，面积之合， 将两个正方形剪切成四个全等三角形和一个小正方形。三角形的两条直角边分别为 a、 b， 斜边为 c。 将底下两个三角形旋转到上面去， 可得到一个大正方形，边长为 c。 大 正方形的面积为边长的平方，前后面积相等，所以可得 a 平方加 b 平方，等于 c 平方，即直角三角形。两直角边的平方和等于斜边的平方。

八下数学知识点总结，牢记背熟，稳进班级前三。八年级下册数学，搞懂这十二页基础不会丢分。第十六章二次根式，十七章勾股定律。 十八章平行四边形完整版。