七下数学苏科版第八章几何题

这道密的运算填空压轴题难哭了，很多七年级的同学，别着急，今天老师一条视频带你解决这类问题，我们一起来看一下。 已知三的 x 次密等于四的 y 次密等于三十六，则 x y 分 之 x 加二 y 的 值是多少？那在这个题里面条件非常的少，我们只有一个数字，那就是三十六。三的 x 次密和四的 y 次密底数不相同，指数也不相同，然后他让我们去求这个式子的值， x y 分 之 x 加二 y， 我 们如果去想求它的值，只能有两个方法，第一个，你要么去求出 x 加二 y 具体的值和 x 乘 y 具体的值，然后去做除法，求出最后它们的比例是多少。 第二种，你是找到 x 加二 y 和 x y 的 关系，它们是乘多少比例的，这样你也能求出它值，那么具体应该选择哪个方法？大家思考一下。 这道题，你只有一个值，就是三十六，你怎么能够去同时求出来 x 加 y 的 值，还得求出来 x 乘 y 的 值。这个方法显然难度很大，那么如果它们都等于三十六的话，我们应该去找一下 x 加二 y 和 x 乘 y 有 哪些的比例关系，因为条件太少了， 如果条件足够多，我们可能会去想同时求出分子分母的值。好，如果想找到比例关系的话，一定要去构造，那么分子是 x 加二 y， 分 母是 x 乘 y， 你去构造分子还是构造分母呢？在我们密的运算法则里面，最简单的一个， a 的 x 四密乘 a 的 y 四密等于 a 的 x 加 y 四密，所以这种同底数密相乘是能构造出来我们这种加法的形式，那么也是最常见的，所以我们应该去选择构造出来这种加法， 也就说你要构造出来一个 a 的 x 加二 y 四密等于多少？那这个 a 应该选择谁呢？这个题里面你唯一知道的一个数是三十六， 所以我们想构造出来 x 加二 y 四密，只能是以三十六为底，那么以三十六为底，那 a 的 x 加二 y 四密，只能是三十六的 x 四密乘三十六的二 y 四密，我们是不是能够得到一个三十六的 x 加二 y 次密呢？对吧？三十六的 x 次密怎么来？那是不是将这个式子整体 x 次密，那么如果整体 x 次密的话，这里应该是 x 的 x 的 平方次密，然后这边应该变成四的 x y 次密，这边等于三十六的 x 次密，但是 x 的 平方在这里面并没有出现，所以我们用不到，那么我们能用到的就是这个 四的 x y 四密等于三十六的 x y 四密。同理，如何构造出来三十六的二 y 四密呢？那在这个里面，我们整体进行二 y 四密，如果整体进行二 y 四密的，你会发现这边变成了三的二 x y 四密，这边变成了 四的二 y 方次密，等于三十六的二 y 次密，那么二 y 方在这个里面也没有出现过，所以二 y 方我们是不要的，那么我们要的肯定是这个三的二 x y 次密，所以三的二 x y 次密，它是等于我们三十六的 二 y 次密。你发没发现，其实在这个时候 x 乘 y 已经出现了。好，那么如果想构造出了一个 x 乘 y 的 话，我们需要对于 这两个整体进行相乘，那么也就说三十六的 x 次密乘三十六的二 y 次密，那么三十六的 x 次密等于四的 x y 次密。所以我们把这边带入，那就等于四的 x y 次密乘我们三的二 x y 次密。好，那这边是等于三十六的 x 加二 y 四密，这边等于什么呢？我们如果进行密的运算的时候，要么底数相同，要么指数相同，我们才能进行计算。你可以把这个四的 x y 四密写成什么呢？写成我们的二 x y 四密，当然你也可以把 三的二 x y 四密写成三的平方整体的 x y 四密，也就是九的 x y 四密， 所以我们要的是 x y 和它的关系，那么我们可以去把三的二 x y 四密写成九的 x y 四密，那这个里面是不是就变成了四的 x y 四密乘九的 x y 四密等于什么呢？ 底数相乘三十六整体的 x y 四密。好，三十六整体的 x y 四密等于这边三十六的 x 加二 y 四密。所以我们会发现什么？他们两个是相等，那么 x 加二 y 和我们这边的 x y 是 不是相等？相等的话，所以 x 加二 y 除以 x y 的 值就应该是一。 所以我们在这道题最开始的时候，就应该确定一个思路，就是你要找到它的比例关系，因为这道题只有一个数字，你想同时求出分子和分母的值非常困难。好，那确定这个思路之后，你的构造思想一定是 里面有什么，你就要去构造什么，那么最基本的思路就是利用我们密的计算基本法则，你听懂了吗？

七下整式乘法代数式求值类问题是我们考试中的必考题目，那么这类亚洲题你一定要掌握，一起来看一下。已知 a 减 b 等于 b 减 c 等于五分之三，然后给了我们 a 方加 b 方加 c 方等于一，要我们去求 ab 加 bc 加 ac 的 值是多少， 那么这道题我们一旦去看到这种 a 方加 b 方加 c 方，又看到了这种 a、 b 的 乘积的乘积和 ac 的 乘积的时候，我们一定要想到是什么整体的完全平方。 那么对于这道题的已知条件给了 a 减 b 等于 b 减 c 等于五分之三，那我们可以把它写成什么呢？ a 减 b 整体是等于五分之三，那么 b 减 c 整体也是等于五分之三， 那么通过这两个式子我们还可以得到什么关系？这两个式子上下相加，左边和左边相加 a 减 b 加上 b 减 c， 那 么减 b 加 b 是 不是没有了？ 所以我们就得到一个 a 减 c， 上下相加得到一个 a 减 c， 那 么右边上下相加是不是等于一个五分之六啊？对吧？那这个题里面既然有 a 方有 b 方有 c 方，是不是都要整体进行平方？ 所以这个式子我们整体进行完全平方， a 减 b 的 平方是不是应该等于 a 的 平方减二， ab 加 b 方等于我们这个常数整体平方，那么这样我们就得到了一个什么呢？ b 方和 c 方， 所以展开之后是 b 方减二 b， c 加 c 方等于什么？也是一个二十五分之九，那么这边 a 减 c， 我 们整体平方又得到了一个 a 的 平方减二， a， c 加 c 方等于二十五分之三十六， 所以我们如何能同时出现 a 方加 b 方加 c 方呢？将这三个式子同时相加，如果同时相加的话，我们会发现 a 方 加 a 方有两个 a 方，然后 b 方加 b 方有两个 b 方， c 方加 c 方有两个 c 方，所以我们可以得到了一个什么？两倍的 a 方加 b 方 加 c 方，对不对？那还有什么？减二 ab， 减二 bc， 减二 ac， 所以 我们把这个负二写在前面的话，是不是应该减掉的是两倍的 a， b 加 bc 加 ac 呀？ 这样的话，是不是直接出现了我们要求的这个式子？好，那么整体等于右边相加二十五分之九，加上二十五分之九，加上二十五分之三十六，我们等于什么呢？二十五分之五十四，好，又已知 a 方加 b 方加 c 方等于一，所以这个式子整体是不是就等于二啊？ 那么减去二倍的我把它设做一个 t， 减去二 t 等于什么呢？二十五分之五十四，我设成 t 的 目的其实就是为了减写啊，那这样的话，我们是不是得到一个二 t 等于什么？二，减去二十五分之四等于什么？负 二十五分之四，那么两边同时除以二的话， t 就 应该等于负二十五分之二，所以这道题利用的就是我们完全平方公式去同时构造出来这种乘积的问题，你学会了吗？

大家好，我是老吴，我是老吴，江苏老吴。然后寒假的时候呢，有很多小伙伴会预习，比如说我就是预习从课本开始， ok， 那 么课本上所有的内容大家看一下啊，我都会给大家讲解，而且课本的讲解，首先那我要对考纲非常的熟悉， 我不光把课本上所有的例题，所有的习题全部给大家非常细致的讲一个遍， ok， 还有拓展，比如这里面啊，从课本上边边角角里面啊，探讨里面，阅读里面有一些拓的那种，我给大家加上去了， 但大家千万不要说你加上去了，然后呢，我们孩子觉得很难，不要说这样的话，因为我们做七上课本讲解的时候，也是有的家长怪我们说拓展了很多，但是你一到七上考试的时候，你就知道我们拓展的并不多，因为课本你学透了，其实不够的， 再加上我拓展内容其实还不够，也就是一个能涉及到百分之八十五的题型和难度， ok， 所以呢，我还配了这个。 有很多人跟我讲，暑假寒假就是预习吗？对不对？你搞那么大压力干什么？你要是讲的很难了，那，那学生后面都不跟你了是不是？那你连学生本来寒假的时候就是，是不是开心，开心是不是？然后学点东西就得了，不行， 我们就是比较轴，我们就是从基础到题优，甚至涉及到一部分亚洲题型，绝对不是说我给你前期的打下基础，就比如说我整理的这个寒假的资料， ok， 这个寒假的资料里面的题，你去做你就知道难度也是比较大的， ok 吗？就这个题， 我是准备了十五天的内容，十五天包含了七下五个章节，七下一共有六个章节，我这里面包含了五个章节，我给这个不太不太好展示啊，大家看几何这一块， 这个，这是几何啊？几何，呃，七下第三章是几何，叫平移旋转对称，第六章也是几何，第六章我特地给大家准备了一个， 准备了个什么呢？我整理的几何模型，这个绝对是一个超级大宝当，就是七下的几何，三角形，多边形，平，再加上七上的平行交叉线，你别以为七下了就不不学平行交叉线了啊， 知识是叠加考察的，我这里面整理了二十多页，我没法给大家展示啊，大家可以看一下啊，有这个空白版，还有这个后面的这个，还有这个，哎，这还有这个解析版， 总共是空白版。解析版我整理的全套的好吗？全套的几何模型给大家展示的不是太明显，但是呢， ok， 我 做这个东西 一定是基于我们的经验，我们的经历，再一个我有这个能力啊，再一个我有这个心思去把这个东西给大家做好，但是前提是我做好， 然后你你家娃一定要学好，然后有什么问题， ok 吗？我给你答疑，但是你别指望说，哎呀，这老师你盯着我打卡吧，你监督一下我们孩子吧， 这个如果说还是需要大家监督去盯的话，这个其实就很困难了， ok， 好 吧。

在数学中，为了书写简变，十八世纪数学家欧拉就引进了求和符号，那他给了我们两个例子，我们以这个第二个例子 来说明一下这个求和符号是怎么样去求和的。那首先呢，这个求和符号的上面，下面还有右边都是有东西的， 那么右边的这个 x 加 k， 其实就是说的是每一个加号之间的形式， 那下面有一个 k 等于三，那就说明他是从 k 等于三开始加起的，把这个三带到 k 当中去，所以第一个式子就是 x 加三。好，接下来这个 k 呢，就可以等于四等于五等于六，一直等下去，那上面有个 n， 所以 他加到多少？ 加到 x 加 n， 说明最后一个式子就是 n 带到 k 里面去。 ok， 那 下面我们就知道了，他说已知这个符号上面还是 n， 下面是 k 等于二，最后呢，右边这个形式比较复杂， 那说明每一个加号，他的左右两侧应该都是这个式子，从谁开始加起呢？ k 等于二。好，我们把 k 等于二给他带进去，所以这个形式就变成了 x 加二，去乘一个 x 减二再加一。 这第一个式子，第二个式子应该是什么？那就 k 等于三嘛，对不对？那 k 等于三再给它带进去，那 x 加三，乘以个 x 减三，再加一， 那下面呢，就是 k 等于四的时候，那 x 加四，乘以个 x 减四，再加一，一直加到多少呢？上面有一个 n， 所以 就加到 k 等于 n 的 时候， x 加 n， 乘以个 x 减 n， 再加一，那化简一下，你就会发现它变成了 x 加二，乘以个 x 减一，加上 x 加三，乘以个 x 减二， 再加上 x 加四，乘以个 x 减三，一直加加加。最后一部分是没有办法化简的，先写下来。 好，接下来再来观察一下，你会发现这里面的每一个加号的左右两侧都是一次式，去乘以一次式，那一次式乘以一次式肯定可以得到一个二次式，那比如说第一个你把它乘出来之后，就变成了 x 方， 加上一个 x， 然后再减掉一个二。那第二个这个呢？你把它乘出来之后，就变成了 x 方， 然后加上一个 x， 再减掉一个六。同样的，第三个这个部分给它乘出来之后，就变成了 x 方，加上一个 x， 然后再减掉一个十二， 所以就相当于是一个二次式加上一个二次式，再加个二次式，底下全部都是二次式。而这些二次式他们有个共同的特点，就是 x 方 x 方 x 方 x 方前面的系数都是一，那你再来看最后的这个结果，它也是一个二次式，而 x 方前面的系数是二。那说明有几个这样的二次式相加呢？ 是不是就只有两个？那也就意味着说，我要得到最后的这个结果，就只能是前两个相加，后面都不要了。 ok， 那 前两个相加之后，正好可以得到二倍的 x 方，再加上二倍的 x， 再减八。好，观察一下 这个 m 就是 这边的常数项负八，所以答案选择的应该是 b 选项，那就说明我要得到这个结果，那这个 n 其实就是只能等于三，就是加到 k 等于三就结束了。

就是个计算，它应该等于三分之二 x 三次方， y 的 二次方去乘以后面的话，有平方先给它算出来，乘以四分之九 x 方， y 的 四次方，也就等于系数乘系数应该是 最后就是二分之三，然后是 x 的 五次方 y 的 六次方。 第二题， x 可以 先乘进去，变成三 x 方，减掉一个 x， y 减掉，后面是个完全平方。九 x 方减去个十二 x y， 然后再加上一个四 y 方， 然后去掉括号。还剩几个 x 方呢？三 x 方减九 x 方，还剩负六个 x 方，还剩几个 x y 呢？应该是十一个 x y 以及还有负四个 y 方。 那我们可以把这里的 a 加二 b 当做个整体，所以左边是加三 c， 右边是减三 c， 又是一个 平方差，那就是 a 加二 b 的 平方减去个三 c 的 平方。好，左边算出来， a 方加上四 a b， 再加上四 b 方，右边就是减掉九 c 方。结束了。

计算它，并且有一个要求，那我们先计算来圆，是啊，括号的三次方，那就是括号里面的每一个元素都要给它三次方，二的三次方是个 bar， m 的 平方三次方， m 的 六次方， n 呢？负三乘以三负九， ok， 然后这个呢？这个我怎么做？这个我就直接，它不是负二次方吗？我们知道 a 的 负 p 次方是不是等于 a 的 p 次方分之一， ok 吧，所以我就直接把它变成什么？变成负 m， n 的 负二次方平方分之一， ok， 然后再去继续算八 m 的 六次方， n 的 负九次方乘以。我们看分母就是一个 开分母负负得正，是吧？那就是 m 的 平方 n 的 负四次方。哎，那我干脆了，干脆，呃， 就把这个弄到分子上来吧，这样可以吧。咦，是不是这样算呗，这样算是不是更好，更好看一点？ 好，再根据 me 的 除法运算啊，首先把 m 的 六次方除以 m 的 平方 m 的 四次方， n 的 负九减负四，也就是 n 的 负五次方。 然后要求结果中不出现负整数指数密。那我们就是还是根据啊， a 的 负 p， 我 给他变成 a 的 p 次方分之一就行了，对吧？你不能出现负整数指数密，也就是他就是 n 的 五次方分之八， m 的 四次方。

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如我由图一，我能得到什么呢？它，这其实是啥呀？因式分解， 只不过挪到八下去学了，你看看吧，若已知 a 方加 b 方加 c 方等于六十九， ab 加 bc 加 ac 等于五十，根据图二表示的数学等式，则它，那我们就看呗，它的面积我可以怎么表示？是不是可以给他表示成就是图二的面积啊？ a 加 b 加 c， 括号平方，还可以怎么表示呢？来， a 方加 b 方加 c 方加嗯，二 a， b 加二 a， c 加二 b c， 这没有问题吧？好，那写下来呢？这公式你能背你就背下来行不行？这是三元完全平方公式啊，我们说的那个完全平方公式是不是两元的就 a 和 b 啊？这三元的， 那么拆开之后就是 a 方加 b 方加二 a， b 加二 a， c 加二 b c， 我 相信没有同学不会拆了吧，你就把 b 加 c 当成一个整体，然后啊，三元平方式的展开式，你就按照二元去展开就行了， ok， 嗯，好，那么这是多少？六十九，这是多少？一百，所以 a 加 b 加 c， 十三十三是哪个呢？选它一个 c 吧。

来挑战一下这道七下整式乘法填空压轴题，这道题非常有意思，一起来看一下。已知 x 乘平方等于 x 加八， y 的 平方等于 y 加八，且 x 不 等于 y， 让我们去求 x 的 平方加 y 的 平方等于多少，那在这个题里面很显而易见，我们可以看到这个如果标做一式的话，它标做二式， 如果我们想得到 x 的 平方加 y 的 平方，把这个两个式直接加一块就可以了，所以一式加上二式，左边和左边相加，那就是 x 平方加 上 y 加八，那就是 x 加上八加上 y 加八。所以我们是不是可以得到一个 x 平方加 y 的 平方，它等于什么呢？它就等于 x 加 y 加十六。那么在这种情况下，如果它等于 x 加 y 加十六的话， 我们如果去想求出 x 方加 y 方的值，是不是要构造出来 x 加 y 的 值是多少？那在这个题里面，大家注意，你七年级整式乘法 一共就学了两个公式，完全平方公式和平方差公式，但是完全平方公式这个题里面，它也没有 x y 的 乘积，那么在这个里面，我们是不是首选去考虑平方差公式？那么一是是 x 平方等于 x 加八，二是是 y 的 平方等于 y 加八， 我们可不可以把两个式进行相减，那么一式如果减二式，我们可以得到什么呢？ x 的 平方减 y 的 平方等于我们右边的，那就是 x 加八，减掉我们的 y 加八。所以这边化简一下，它应该等于什么呢？我们这边是 x 平方减 y 的 平方， 那它是不是就等于 x 减 y 啊？那么注意， x 平方减 y 的 平方，它等于什么？它是不是等于我们的 x 加 y 乘上我们的 x 减 y 啊？ 对不对？它已知说 x 不 等于 y， 那 么 x 减 y 它是不是就不等于零？所以我们同时两边约掉一个 x 减 y 之后， 我们就得到一个什么呢？ x 加 y 这个整体，它是不是就等于一啊？这样的话，我们这个 x 平方加 y 的 平方就应该等于一加十六，所以这个答案应该等于十七。这个就是我们平方差公式的妙用，你学会了吗？

问题在线数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法。然后吧啦吧啦，他说 如图，一，这个图形的面积可以表示成 a 加 b 的 平方，或者 a 方加上二 a， b 再加上 b 方，所以 a 加 b 的 这个整体的平方就等于 这个相当于验证了完全平方公式那类比。上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式，画出图形，并写出推理过程。大家看一下完平方差公式是什么？叫做 a 加 b 乘一个 a 减 b， 然后等于 a 方减 b 方，我们会发现这个 a 方减 b 方其实非常好画的，就画一个大的正方形，然后里边减掉一个小的正方形，大正方形的边长为 a， 小正方形的边长为 b。 ok， 这个就是 a， 然后这个也是 a， 然后这一段是 b， 这段也是 b， 所以 这个剩余的部分就应该是 a 方减 b 方，那它为什么会等于 a 加 b 去乘以 a 减 b 呢？那我们就可以将它拼一下，怎么拼？来看一下 a 减 b 在 什么位置，这里 对不对？好，接下来的话，我们就可以把 a 加 b 找出来，怎么样就可以有 a 加 b 了呢？大家看一下，我把这个给它分割开。 好，分割开之后，把这个 a 减 b 的 这一边拼到这里来，那拼到这里来，它就会变成一个长方形，变成一个什么样的长方形呢？下面的部分呢？不变， 看这个地方是 a 减 b， 然后呢这个部分就是 a， 那 它就是哪里呢？我把它写出来啊，就是 s 二，这是 s 一， 它就是 s 二这个部分。然后我们再把 s 一 的 a 减 b 这个部分拼到这边来， 就给它竖过来。好，此时你会发现 s 一 的另外的一条边，这个是多少？这是不是就 b 好了出来了？所以 s 一 加 s， 二就是 a 加 b 乘以 a 减 b， 是 不是很好挣？ ok， 那 么大家自己去画图就可以了啊，然后在这个旁边给它写出来。接下来再来第二题， 他说问题提出，如何利用图形的几何意义证明，一的三次方加上二的三次方，等于三的二次方。 如图二， a 表示一个一乘一的正方形，那么即一乘以一，再乘以一，那就是一的三次方。 b 表示一个二乘二的正方形。 c 呢，与 d 恰好可以拼成一个二乘二的正方形，所以 b、 c、 d 呢，就可以表示为两个二乘二的正方形，就二乘二，再乘二， 那就二的三次方。 abcd 恰好就可以拼成一个一加二，再乘一个一加二的大 正方形，由此可以得到他们两个呢，就最后得到三的二次方。好，类比上数推导过程，利用图形的几和一确定一的三次方，加上二的三次方，再加上三的三次方的多少，跟刚刚的道理是一样的。 这时候呢，我们也可以再画一个大的正方形，然后呢，让它的边长有一有二有三，也就分成一、二，三， 相当于这个大的正方形，它的边长是多少 就是六嘛，对不对？ ok， 大家看一下，这是一，这是二，这是三，这是一，这是二，这是三。好， a， b， c， d， e f g h i ok， 那 么 a 呢，表示什么？一个一乘一的， 所以就是一乘以一，再乘以一， b 就是 一的三次方。再来 e 呢， e 表示的应该是一个二乘二，对不对？那么 b 和 d 大家就会发现， b 它是一乘二， d 呢，也是一乘二，所以它们两个拼在一起是不是就可以拼成一个 正方形？什么样的一个正方形就是二乘二的正方形，对吗？ ok， 好 了，那么我们就会发现， b、 d、 e 一 起就是两个二乘二，所以就是二乘二，再乘二也就等于二的三次方。同理，再来这个 i 呢，表示的应该是一个三乘三。 好，此时这边的这个 c 应该是一乘三， f 呢应该是 二乘三，它们两个就可以拼成个三乘三了，是不是？好，再继续这个 g 呢，也是一乘三，然后这个 h 呢，又是二乘三，它俩是不是也可以拼成个三乘三？ 但我这个图画的不是特别标准啊，那其实这个位置的话，就正好是一个正方形，应该是啊，这个位置应该也是正好是个正方形才对。 ok， 好 了，那下面的话，我们就会发现， c、 f、 g、 h、 i 这五个就可以表示三个三乘三， 也就三乘三，再乘三，也就是三的三次方。那最终呢，他们一起拼成了一个边长为六的正方形的面积，所以最后这个答案是多少？就应该是六的平方，也就等于三十六。 好了。那么下面第三个，他说用上面的这个表示几何图形的面积的方法探求这个东西，那么规律是什么？ 就是它们几个数加起来的平方嘛，所以它就应该等于一加、二加等等等一直加到 n 的 平方。但注意了，你这个括号是可以继续去计算的，它可以 等它数列求和，就变成一加 n， 然后再乘个 n， 再除以二，这个整体的平方。 ok， 那 答案出来了，有这个。

我们来看一下，这是一个找规律的题目，按以上等式的规律填空， x 加 a 乘以多少等于 x 的 三次方，加 a 的 三次方呢？就说它已经明确了啊，这个就一就是 a， 是 不是这里就是 a 的 三次方？ ok， 那 么这里是三，这里就是三的三次方，那么这里是六，这里就是六的三次方。那我需要填这个，是不是需要填这个？ 那我我嗯，看一下这个规律吧，括号里边有三项，第一项是 x 平方，没毛病吧？呃， x 平方，这第一项没有问题。那么减我看一下，这里是 x， 这里是一的时候，这里是减 x， 这里是三的时候，减三 x， 这里是六的时候，减六 x， 那 不减 ax， 然后加几呢？呃，这里是一的时候，这里是一，这里是三的时候，这里是九，这里是六的时候，这里是三十六啊，也就是这里三的时候，这里三的平方呗。这里六的时候，这里六的平方呗。这里是 a 的 时候，这里 a 的 平方呗。那么加 a 的 平方就一，就一个一， 一项一项来啊，就三项就给它填起来了吗？是利用多角式的乘法法则说明一中的等式成立。那你这就简单了是不是？我就把这个两个括号相乘给它打开呗，看看它算出来是不是 x 三次方，加 a 的 三次方就可以了，是不是啊？这个其实是一个名牌。 ok， 所以 解我直接算啊， x 加 a， 嗯嗯，乘以 x 方减 a， x 加 a 方啊，怎么算呢？我们可以用 x 乘以后面的括号乘法反倍率嘛。 然后呢，再加 a 乘以后面括号，哎，这是不是，这是不是一种做法，对吧？我知道有的同学是怎么做呢，他就说，嗯，我就 x 乘以每一个，是不是再加上 a 乘以每一个， 我们不就这样做吗？是不是只不过我多写了一步而已啊？等于 x 三次方减 a， x 平方加 a 方 x 加 a x 方减 a 方 x 加 a 的 三次方。我们看一看啊，这些减 a x 方加 a， x 方加 a 方 x 减 a 方 x， 所以 就等于 x 的 三次方加 a 的 三次方。 那么我们就加个抬头和竖个尾吧，就这样，就这样，就这样说啊，因为啊，所以一中一中的等式成立。 好，然后我们看最后一问，利用一中的公式化简它，这个太熟了，这，这个，直接把这两个括号相乘，给它写成 x 的 立方加 a 的 立方不就行了吗？ 好，所以我们直接写了，因为，呃，把公式拆下来， x 加 a 乘以 x 方减 a， x 加 a 方 等于 x 的 三次方加 a 的 三次方。所以，呃呃，我们写个原式吧，要不太长了一看啊，好，原式，我们先给被减数，被减数什么呢？ x 加四， x 方减四， x 加十六，那这不就是 x 加 a 是 不是？ a 是 不等于四等于什么？ x 三次方加四的三次方嘛。那这个呢？ x 三次方加二的三次方嘛，对不对？所以它等于什么？等于 x 的三次方加四的三次方。减掉 x 的 三次方加二的三次方。取括号， x 的 三次方加四的三次方减 x 的 三次方减二的三次方等于四的三次方减二的三次方六十四减八等于五十六。 好，你如果听到这里的话呢，最后再给大家补充几个公式啊，算为算是给大家额外的加餐了啊，你随便啊，因为这个公式不需要掌握。第一个是完全立方和公式等于什么呢？我按 a 的 定义排列， a 的 三次方， a 的 平方 b a b 方，然后 b 的 三次方， 然后呢，我这个系数呢，就是一三三一啊，然后再给他们加起来就可以了。嗯，那么同样道理，我因为知道 a 加 b 的 三四方了， a 减 b 的 三四方，我是不是也熟，对不对？那就，呃，把上面的 b 全部换成负 b 就 可以了 啊，把一等号右边所有的 b 换成负 b 就 可以了啊。然后我就发现，哎，原来 b 的 一次方，我系数会变成减 b 的 平方呢，系数是不变的， b 的 三次方呢，系数也变成减了，这个为什么，哎，这个，这个太简单了，不说了啊。好，这是完全立方和完全立方差公式。那么还有一个是，嗯， 四方加 b 啊，左边 a 加 b， 右边呢？ a 方减 ab 加 b 方。哎，你看这个规律啊，是不是所有的系数都是一啊， a 的 三次方加 b 的 三次方，左边括号 a 加 b， 右边括号，类似于半径平方式啊，这里是个减，但是呢，减的是一倍的啊，乘积，对吧？ 那么同样的道理， a 的 三次方减 b 的 三次方，我就可以仿照上面去写了，哎，不不不，不仿了啊，就直接啊就 a 减 b， 然后乘以什么呢？乘以 a 方加 ab 加 b 方啊，你如果要仿着仿，仿着这个三写的话，那就什么？就是，就是 a 的 立方加负 b 括弧的三四方，然后呢，再仿着他写，其实直接 这个其实都是不需要记的，只是给大家拓展一下啊，能记住，那你可以记啊，那，那这些公式他考什么呢？考，找规律，比如说上面这两个会考阳辉三角的规律。 ok， 下面这些呢？那你都看到了，十一题考就看。

如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为 x， 其中 a i 等于五，那其实 d、 i 就 可以表示成 x 减五， c、 g 等于三，那么 d、 j 就 可以表示成 x 减三。题干当中给到了两个硬一部分的正方形的面积和为六十，正方形的面积和就是这两个正方形面积之合。其实我们也可以表示出来了，边长分别是 x 减五和 x 减三，所以就会变成 x 减五的平方， 加上这个 x 减三的平方等于六十。然后问的是重叠部分的面积，重叠部分是这一节跟这一节这两节 构成的，这个矩形的面积是多少呢？边长是 x 减五和 x 减三，所以此时的面积就等于 x 减五去乘上一个 x 减三。我们观察一下， 利用这两个式子去相互转化是不就可以了？题干当中其实我们并不需要去求出 x 的 值，我只需要去求出 x 减五和 x 减三他们的这个整体的成绩，所以这一边我们可以用一个整体思想 直接做一个换元好了。我假设 x 减五就是 a， x 减三就是 b， 是 不是就可以有 a 方加上 b， 这样子看着是不是舒服很多？那现在我已知 a 方加 b 方，要求求 a 乘以六十，这个很容易联想到的就是我们的 这个完全平方公式的一个转化，对吧？也就说我能知道 a 加 b 或者 a 减 b 的 值是多少的话，我就可以比较方便的解决这个问题。 那么观察一下题干，你会发现 a 是 等于 x 减五的，而这个 b 呢，等于 x 减三，两式如果相加， 那是二， x 减八好像并不特别，那如果两式相减呢？ a， 你 就会发现 x 刚好会减，没就是 x 减五去减去 x 加上三就等于负二。所以你会发现 a 减 b 刚好等于负二，它也是一个 跟 x 没有关系的数，对吧？这样子我们就可以直接利用这两个式子把它算下来了。题干当中已知 a 减 b 等于负二，那么我们知道 a 减 b 的 平方就应该等于四，也就等于 a 方加 b 方去减去一个二 ab， 所以 说我们得到了四呢，就等于 a 方加 b 方带入进来等于六十减去二 ab， 对 不对？所以题干当中我们要求的这个面积，也就是 a 乘 b， 它就应该等于 画一下 a， b 就 应该等于六十，去减去四，再去除以一个二，答案等于二十八。因此这个题答案选择 a 选项。

若二零二四减 a 的 平方加上 a 减二零二五的平方等于七，则二零二四减 a 乘上 a 减二零二五的值为多少？那在这里面呢，都有 a 二零二四减 a 和 a 减二零二五，那我们不妨就设它为 m， 它为 n， 这样大家计算起来更简单啊，那你就是 m 的 平方加上 n 的 平方等于七。然后我要求的是 m 乘以 n 等于多少？ 好，那大家观察一下我们的 m n 啊，他俩的这个 a 的 系数，一个是负一，一个是一，我给他做个和，是不就可以把 a 消掉了啊？那我就可以得到 m 加上一个 n， 它就等于负一。哎，这样的话，就变成了一个知二求二的题目。 我要求 m n， 那 用 m 加 n 的 完全平方减去 m 方加 n 方，它就等于两倍的 m n， 那 也就是说，一减去一个七等于两倍的 m n 啊，那 m n 就 等于负三，所以最后的结果等于负三。

学习完平方差公式后，小娟展示了以下例题，求它这好几个括号相乘，这怎么整啊？那咱们得想方设法用上咱们的公式呗， 毕竟其他的技巧咱们也不知道呀。看起来像什么公式？看起来是不是像平方差公式？所以我需要找一个二减一来爆破啊。我，我在这个 要求的这个式子左边来个二减一，二乘以二减一，乘以二减一，不就是乘以一吗？对不对啊？所以直接乘以二减一就可以了。那然后二减一跟二加一，形成二的平方减一， 再跟它结合形成二的四次方减一，再跟它结合形成二的十六次方减一，再跟它结合形成二的三十二次方减一，我的妈呀，就形成一个连环爆破啊！ ok， 所以 就是 他就是二，这是二的三十二平方减一再加一，那么就是二的三十二侧方。那么爱动脑筋的小明想到了一种新的方法，因为二的平方加一等于五，而二加一， 二的平方加一，二的平方加一，二的平方加一，这个基数几个基数与五相乘，末位数字是五，所以原式的末位数字也是我，哎，是可以的哈，就说因为我我我，这个我不需要计算啊， 是不是人家要不是说这个值是多少，人家问这个值的末尾数字是多少呀？所以你看二的平方加一是五，那么我根据五的倍数的特点，五乘以一个基数， 结果的个位是五，五乘以偶数，结果的二位是零啊，我就抓住，我就抓住这一点了，我就抓住这一点，所以你看在这里是五，这边全是基数，基数，基数，基数，所以这些括号乘起来，它的结果的个位一定是五， 对不对？结果个位一定是五，那你再加一呢？那结果个位不就是六了吗？小明很聪明啊，呃，解答下的问题，他的值的末尾数字是什么？哎，你这不这不，这，这是五吗？这不，你其他的全是基数，那 这个括号全部乘起来，你记得个位数字是不是就是五啊？加一，那不还是六吗？咦，我们就根据小明的那个思路来就行了啊，我们就不算了。好，那么第二位就是根据他给咱们的计算了，是不是我们要呃，找到那个导火线， 呃，如果没有的话，我们就勾到一个导火线，然后形成一个连环爆破反应，其实就在这准备着，对不对啊？往右，然后我就看这个二，那不就是三减一，三减一，哎呀，和这个三加一正好啊，形成三的平方减减一，是不是待会再往后边往后边夸啦夸啦就可以了。好，所以我们写解 解圆是等于 三减一，乘以三加一，乘以三的平方加一，乘以三的四次方加一，乘以三的八次方加一，再加一，等于。 要是一个一个算的话，是不是太复杂了？我们看啊，他先形成二点四，四方减一，对吧？就这两个形成二点四方减一，然后再形成二点八方减一，我们得根据他的这个题目来啊，他题目怎么给的？我们照葫芦画瓢就行了啊。所以是不是要要写好几个等号啊？等于三的平方减一， 乘以三的平方加一，乘以三的四次方加。我的妈就光光光抄在这里就就就累死了。这这等于，但是还好，他给的数不是很多啊。乘以三的四次方加一乘以三的八次方加一 加一等于三的八次方减一乘以三的八次方加一再加一等于三的十六次方减一加一等于三的十六次方。我这个老天鹅。

我们通过拼图观察感受整式乘法，体现了数形结合的数学思想，下面我们一起来探索其中的规律。 如图一，有若干张 abc 三种不同型号的纸片，其中 a 型纸片是边长为 a 的 正方形， b 型纸片是长为 a， 宽为 b， 其中 b 小 于 a 的 长方形， c 型纸片是边长为 b 的 正方形，所以 a 型纸片的面积就是 a 方， b 型纸片的面积是 ab， c 型纸片的面积是 b 方。第一小题用上述三种纸片拼出了图二，通过两种方法去计算图二的面积，可以得到一个等式。那哪两种方法呢？就是一种是整体方法，把它看成一个大的矩形，长乘宽就可以了。 第二种呢，就是用分割的方法，它等于每一块小面积之合，是的吧，啊，这就是两种不同的方法。如果我们整体去看的话，这个边长为 a， 这是 b， 还有这个是 a， 这个是 a， 这个是 b， 这个是 a， 所以整体性看到的长是三 a 加 b， 它的宽是 a 加 b， 所以 得到了三 a 加 b， 去乘上一个 a 加 b， 这是它的面积的第一种表示。那么第二种表示就是等于每一个小面积的和。你发现它由三张 a 纸片组成，也就是三 a 方， 再去加上四张 b 型纸片，也就是四 a、 b， 再去加上一个飞行纸片，也就是加上一个 b 方。 因为这两种不同的面积的表示呢，都可以表示出这个整体的面积，所以这个等式就成立了，也就是得到了三 a 加 b， 去乘上 a 加 b， 应该等于三 a 方加四 a， b 加 b 方。 第二小题现有 a、 b、 c 三种型号的纸片一共六张，用这六张纸片要拼成一个边长为 a 加 b 的 长方形， 哎，一边长就够了啊，每种纸片至少选一张，让我们画出两种符合条件的示意图，我们来看一下。 第二小题，想凑一个 a 加 b， 哪里来 a， 哪里来 b 呢？观察题干当中， a 可以 来源于这个 a 型纸片，也可以来源于 b 型纸片的边长，而 b 的 话可以来源于 b 型纸片的宽或者是 c 型纸片。 而题干当中又告诉我们，必须要三种纸片都有，对吧？所以说我们不妨直接先拿一个 a 先拼在这，然后我要凑一个 a 加 b 的 话，那我下方就只能再拼一个 b 型纸片，这样子就可以凑出一个 a 加 b 了。 然后右侧我们还要保证有一个 c 型纸片，那所以说我们先保证每一种纸片都有，对吧？那 c 型纸片在这里，那上方我就只能够再拼一个 b 型纸片，这样子就刚好可以拼成。那注意，题目当中给到了它一共是需要几张呢？ 他需要六张，所以说还多了两张，那这两张到底是哪两张呢？就无所谓了，比如说是再来一张 b， 再来一张 c， 我 可以拼在这，是不是可以形成一个构图？或者说我再来一张 a， 再来一张 b， 拼在这，是不是又可以形成一个构图？所以这道题目他要求我们用两种， 那这两种我们就刚好可以找到了。 这我画的有点歪啊，大家凑合看一下，那这就是我们的第一种，分别边长是 a 加 b， 对 吧？那这边长就是 a 加二 b， 或者我们用刚才说到的第二种， 那就是我们在右侧再拼一个 a 和 b， 此时我们还是保证了一边长是 a 加 b， 然后这边长是两个 a， 一个 b。 二、 a 加 b 第三小题现有 a、 b、 c 三种型号的纸片若干张，用这些纸片拼成一个边长为 a 加 b 的 长方形，每种纸片至少选一张。设需要 a 型纸片 x 张， b 型纸片 y 张， c 型纸片 z 张， 其中 x、 y、 z 都是正整数，让我们写出 x、 y、 z 之间的一个等量关系，并说明理由。那题干当中我们观察刚才，刚才我们想配成一个 边长为 a 加 b 的 长方形的时候，我们一个 a 就 得拼一个 b， 对 吧？而且题目给到了每种要至少选一张，所以说我们还得有一个 c 的 话，就又得配一个 b， 所以 你会发现一个 a， 对吧？它应该要配一个 b， 而一个 c 它也要配一个 b， 这样子才能够刚好使得它拼成嘛，不然的话它就缺一块，对吧？啊？所以我们在拼的过程当中，其实我只需要保证它们满足这样的一个数量关系就可以了。那体干当中 给到了 a 有 x 章，对吧？那也就是说 b 也应该有 x 章，跟 a 配在一起，形成一边长为 a 加 b 的 构图，然后 c 有 z 章， 因此呢，我们 b 还要再另外再有一个 z 章，才能够跟 c 组成一起，对吧？而题目给到了我们 b 呢，其实一共是 y 章，所以说它跟 a 配 x 章，跟 c 配 z 章，因此得到了 b 的 y 就 应该等于 x 加 z， 是 不就好了？ 所以我们找到的这个等量关系就是 y 等于 x 加 z。

已知 a 等于二零二四 x 加上二零二三， b 等于这个， c 等于这个，那么则这个值是多少？ 那注意看一下，像这样的个式子的话，我们要想到一个公式，叫做托马斯小火车公式，那像一个小火车啊，火车头就是二分之一，然后带着几节车厢，车厢是什么呢？ a 加 b 的 平方， b 加 c 的 平方，还有 a 加 c 的 平方，注意看一共三个字母， 这里面，这里面，这里面全都给它算出来，最终乘个二分之一，你会发现它就等于 a 方加 b 方，再加 c 方三个字母的平方还有什么？ 一个 ab， 一个 bc， 还有一个 ac。 所以 以后大家看到类似于这样的个式子，一定要想到这个公式，那么会发现这个地方跟这个地方唯一不一样的地方就在于它是负的，它是正的，那怎么办？我只要把这个里边给它改成减是不就可以了？ 那所以我们的这整个的式子就可以等于二分之一，然后是 a 减 b 的 平方，加上 b 减 c 的 平方，然后再加上 a 减 c 的 平方就 ok 了，然后把它带进去， 你会发现 a 减 b， b 减 c， a 减 c 都非常好算，最后的结果应该是三。

若他求他啊，这个我们怎么去入手呢？最好先来处理处理所求，对吧？因为你看所求这么长一串，我是不是要先给他来个化简啊？没有问题吧？那我就原式等于六， m 平方减二， m n 减二， m n 减六， m 平方加三等于 三，减去四 m n， 没有问题吧？所以我要求他，我只需要去知道 m n 的 值就可以了啊。我就根据这个条件求 m n 乘积的值。 m 也好还是 n 也好？他是不是在指数上，对吧？我直接把前面这个吧。 五的 m 次方，因为五的 m 次方等于六，所以五的 m n 次方等于六的 n 次方。又因为六的 n 次方等于五嘞，这第二个条件对吧？所以 你看啊，五的 m n 次方等于六的 n 次方，六的 n 次方又等于五，是不是？所以很明显，五的 m n 次方等于五吧。 五的 m n 次方等于五，所以 m n 等于一，所以三减四。 m n 等于三减四乘以一等于负一。

七年级学习代数求值时，会遇到这样的一类题，已知这个代数式巴拉巴拉说与 x 取值无关，那么求 a 的 值，通常的解题办法就是把 x， y 当作字母， a 看作是系数，进行合并。同类项，因为代数式的值与 x 取值无关，所以含 x 项的系数为零， 因为原式等于这个，所以这个就是系数， a 加三呢，就是零了，这个大家应该是非常熟悉的啊。好，那么第一题他说若关于 x 的 多项式，然后这个值呢，与 x 取值无关，那么 m 的 值是多少呢？ 好，那我们就可以把它拆开，把 x 看作是一个字母，就变成二 x， m 减去三 m， 然后再加上二 m 方，再减三 x 含有 x 可以 合并， 也就是这一项和这一项可以合成多少呢？二 m 作为系数，负三作为系数，合并到一起去， 这么多倍的 x 减三 m， 再加上二 m 方，这个就不用管他了，放后边就行了。那与 x 取值无关，就说明他前面这个系数为零嘛，那就是二 m 减三等于零， m 应该等于二分之三，这是第一题，那么大家可以写到后面的空白部分去啊， 加上小标号。第二题他说 a 等于这个， b 等于这个，那么且三 a 加六， b 的 值与 x 取之无关，求 y 的 值，一样的道理。这时候呢，我们就可以把 x 当做是字母， y 呢，当做是 系数。好，那么这时候的这时候的这一个 a 可以 算出来， 你把 a 算出来之后呢，就应该是二 x 方，减二 x， 再加 x， 再减一，再减 x， 然后再加三 x， y 好， 合并变成二 x 方。那这边呢， 又应该会有负二 x 长数项呢？还是负一，然后再加上一个三 x y， 那 现在三 a 呢，就应该等于六 x 方，减六 x， 再减三，再加九 x y。 好，再来算一下 b b 呢？已经不用再化简了。那我算一下，六 b 六 b 就 应该等于负六 x 方，再加上六倍的 x y， 然后呢，再减六。好，那三 a 加上六 b 等于多少呢？ 这个就消掉了。那应该剩下的是负六 x， 然后再减九，再加上十五 x y。 注意，只有 x 是 字母， y 呢是参数，也就是系数，所以这两个就可以进行。哎， 这两个就可以进行合并，合并成多少？负六作为 x 前面的系数，后面那个 x 前面系数就是十五 y 嘛，再加上十五 y 倍的 x， 再减九， 那这时候前面的系数为零，所以负六加上十五 y 就 得等于零，此时 y 就 可以算出来了，应该是五分之二。这第二题啊，好，第三题， 将七张如图所示的小长方形纸片，长为 a， 宽为 b， 按照图二的方式，无缝细不重叠地放在大长方形 a、 b、 c、 d 内。大方大长方形中未被覆盖的两个部分用阴影表示， 且右上角阴影部分的面积为 s 一， 左下角阴影部分的面积为 s 二。那么当 ab 的 长度变化时候， s 一 减 s 二的值始终保持不变。那么 ab 之间的关系是什么呢？注意了，这时候 s 一 和 s 二我是不太好表示的。为什么？因为我只知道小的长方形， 它的长是 a， 宽是 b， 这边呢是 a a， 然后这个是 b b。 但是大长方形的长我就不知道了， 因为长不知道这个长就没有办法表示，长不知道这个长就没有办法表示，所以怎么办呢？直接设一下，设这个为 x， 那 么 s 一 的长呢？就可以认为是 x 减三， b 宽呢，正好就是 a s 二的长呢，就是 x 减二， a 宽呢，就是二 b， 对 不对？好了，那这样的话，我把它写在左边这个空白部分吧。 第三题啊，设 ab 等于 x， 那 这样 s 一 呢？它的面积就应该是 x 减三， b 乘以一个 a， 也就等于 ax 减掉个三 ab s 二，它就应该是 x 减二， a 乘以个二 b， 也就是二 b x 再减四 ab。 好， 此时 s 一 减 s 二就应该等于多少呢？ 应该等于的是 a 减二 b 倍的 x， 然后再加上一个 a b。 好， 注意，他说什么呢？他说始终保持不变。那由于我设的 a b 这个长是 x， 那 说明也就是说 a b 这个长是多少，跟这个取值有关吗？没有关系，那就说明最后这个取值跟 x 无关，跟 x 无关。我就让 a 减二 b， 也就 x 前面这个系数等于零，说明 a 就 等于二 b ab 满足的关系就是这个关系。

为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为 a 加四 b 这个整体 米宽为 a 加三 b 这个整体米的长方形地块。学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为 a 米，并计划将阴影部分改造为种植区。 第一题用含有 ab 的 式子分别表示出小路面积 s 一 和种植区域的总面积 s 二，请将结果化为最简。 小鹿是个平行四边形，它的底呢，看作是 a 高，是不是就应该是这个 a 加四 b， 所以 这里的 s 一 非常的好算，就是拿 a 直接去乘一个 a 加四 b， 那 我得到的应该是 a 方加上一个四 ab。 好，下面 s 二。 s 二是种植区域的总面积，也就是阴影部分，我就可以拿整个的长方形减掉刚刚的 s 一， 那整个的长方形应该是 a 加三 b 乘以一个 a 加四 b， 然后减掉 s 一， 或者呢，你也可以认为什么？因为刚刚平行四边形的底是 a 高，是 a 加四 b， 而这个长方形的底呢，也可以看作是 a 加三 b， 高呢，就是 a 加四 b。 所以这个阴影部分呢，其实就是他们两个的差值，而差值只差在了底上面，一个是 a 加三 b， 一个是 a， 所以 你是不是只需要拿 a 加三 b 减掉这个 a， 那 么再去乘以这个高，就是我们阴影部分的面积，对不对？好，当然你也可以把这个算出来啊，或者用我刚刚所说的这个方法， 那如果刚刚所说这个方法的话， a 加三 b 的 基础上再减掉一个 a， 那 就很简单了，其实就是三 b 去乘一个 a 加四 b 乘出来之后应该是三倍的 ab 加上十二 b 方。 好，下面他说若 a 等于二， b 等于四，求出此时种植区的总面积 s 二。那就直接带进去嘛。 s 二应该等于多少呢？刚刚说应该是三 a， b 加上一个十二 b 方，那 a 等于二，那三乘以个二， b 等于四，再乘个四加上十二去乘一个四的平方，算一下应该是二百一十六，然后这里单位应该有平方米。