抬e方法求极限

ok， 这期视频真得点赞加收藏了！六周四百二十分上岸中科大学长教会你一套系统方法，解决所有球极限问题。 第一步，将所有复杂形式函数转化为一指数函数。第二步，看到零比零，无穷比无穷的函数形式，我们就用洛比达。第三步，一旦有含有加减符号的函数，我们就无脑太乐。现在我们就用这两道精选真题来验证。好，我们先看第一题，二零一一年数三，首先将它转化为一指数函数， 我们可以看到分子里面还是含有复杂函数，继续进行转换 好，看到分子里面有加减号，我们无脑太热。 这个时候观察一下，发现分子是趋近于负无穷的，分母是趋近于正无穷的，完美的符合我们这个诺比达的形式。对它进行诺比达求导 好，进行化简。 分子这部分就等于 当 x 取进于正无穷时，小于 x 分 之一，取进于零。好，所以原始答案就等于一的负一。同样的，我们来看到第二题，先对它进行转换， 这个分子和分母里面都含有这个加减符号，我们直接无脑泰勒， 给它化减一下。 好，同样的，这个分子里面有减号，继续泰勒。 答案就是这个，非常简单，希望大家能够掌握我给大家说的方法。首先一定要将这个复杂形式函数转化为一指数函数，然后就继续观察里面如果是有加减符号的，我们就无脑太热啊， 如果没有加减符号，它是笔直的形式，就观察它是否为零比零，无穷比无穷，那么我们就直接用洛比达。好吧，这是我总结出来的，就是能够解决所有啊求极限问题的方法。好希望大家能够喜欢。

恋爱可以不谈，极限不能不刷。同学们，我们来看一下这个问题。 limit x 无穷的时候，这边是二分之派，减去阿克泰林的 x， 指示位置有一个 low x 分 之一，此时我们先来判别一下它到底是个什么类型？ 阿克泰林的无穷，它还是一个二分之派，二分之派减二分之派的话，它应该是虚相为零的，这个位置是无穷分之一，那么也是虚相为零的，所以这是一个标准的零，零的零次方 是一个未定式。这个时候呢，我们先打破一个做题的时候经常会遇到的一个错误，很多老师可能会告诉你，在升本的题目过程中，只要你遇到了零的零次方，结果你就让它等于一个一就可以了。那么我现在告诉你，这个想法是完全不合理的， 它的本质是一个未定式，什么叫未定式呢？也就是说我这个尺子我现在是一眼看不出它的结果来，所以大家切记，切记不要在这种零的零次方，或者是说无穷的零次方结果直接解一是不对的。 那么这个问题他应该是怎么做呢？其实我告诉你也不是很难，我们只需要采用一下传统的画 e 大 法就可以了，用 e 做底，然后呢， lowen 啊，抬上去，这边是二分之派，这边是减去，这边是阿克 弹性 x 啊，然后呢，指数位置还有一个 low x 分 之一，我们给它前置一下，前置到这个地方 low x 分 之一，此时它就变成了这样一个式子。 那么变成这样式子以后呢，我们再来看一看下一步的话应该怎么做哈，它里边的话呢，是一个 low 零啊， low 零的话，其实你这个地方并不能够加一减一的， 你这个加一减一的话呢，它其实本质的话里边是一个，里边并不是一个零一啊，如果它这个地方是趋于一的话，你可以加一减一，这个地方你是不能加一减一的啊，那好像方法就已经很局限了，就这个地方呀，我们得采用一下罗必达法则，那么现在咱们来试一试罗必达啊， 如果你采用的是洛比达，那么这边的话是一个二分之派，减去阿克弹指 x， 然后分之一啊，然后呢我们再乘以符合部分，符合部分的话呢，这个地方有一个符号，这边是一加 x 的 平方，分之一。 好，我们就可以写成这个，然后呢底下我们再加上一个 x 分 之一就可以了。好，现在我们得到这个式子以后呢，我们再来看一看下一步的话应该怎么做。 其实下一步啊，我们可以把这个式子稍微给它进行一步整理啊，整理出来以后应该是 x 趋向于周公熊的时候，这边是 e 的， 这边是二分之派啊，这边是减去阿克弹指的 x， 然后这个符号我们先保留一下啊，那这边的话翻过来以后以后，应该是把这个 x 翻到这个位置，它就是一个负 x， 这边是一加 x 的 平方。 好，那么下一步的话应该怎么做呢？其实到这以后呢，下一步的做法可能就没那么好写了哈。呃，现在我教给大家一个方法哈，我们可以在这个地方呀，给他补上一个二， 可以补上一个二啊，但是呢，你这个地方你不能无缘无故的添上一个二，所以下一个怎么办呢？你前面还要再补上一个 x 分 之一，所以呢，我在这个地方再补上一个 x 分 之一就可以了。那么此时这个位置它的极限其实就应该是等于一个负一的，因为我们可以采用一下抓大头 啊。好，那么此时到这一块以后，咱们再来看一看，下一步的话应该怎么做。下一步的话呢？这个位置是一个，这个位置的话，它其实是一个零，这个位置的话呢，它其实是一个无穷。 那么现在我们把你的右边的这个 x 分 之一，我们把它放在你的上面这个位置哈，就是把这个无穷啊给它放在上面啊，那就是一个 x 分 之一啊，把它 x x 分 之一，那底下的话呢，我们把它写成是二分之 pi， 这边是减去，这边是阿克 函数 x。 好， 我们就可以写成这个式子了啊，写成这个式子以后呢，因为这个已经是一个负一了，这个负一的话，我们就不管啊，负一不管啊，然后可以把这个负一呢，保留在这个位置就可以了啊，这个 x 分 之一，我们放在分子这个位置， 然后最后一步的话，你只需要采用一下落必达就可以了哈，落必达的话，然后上面一落是负的 x 方分之一啊，还得加上一个符号，我们再变成个正好就可以了。底下底下的话呢，是一个负的，这边是一加 x 方分之一啊， 这样的话呢，最后的结果就已经很显眼了哈，再加上这个 e， 所以 最后的结果他应该是等于一个 e 的 负一次方，结果的话应该选择我们的 a 选项就可以了。

每天一道题，升本更容易，现在我们来看一下这样一个问题， limit x 向正无穷的时候，这边是一加 x 分 之一，右上角有一个 long x 分 之一。 拿到这样一个问题的时候呢，我们得首先考虑考虑它到底是一个什么类型，里边的话很明显是趋向于这个零的这个位置，很明显它也是趋向于零的，此时它就是一个零的零次方。我们这个地方首先排除一个错误选项，就是这个 b 选项。 很多同学呢，他在做题的时候经常会使用的，老师，这个零的零次方到底应该等于几呢？有的有的老师给你总结的结论是，零的零次方一定等于零，有的时候老师给你总结的结论是，零的零次方一定是等于一个一，那我告诉你，此时 他都不对这个地方，我们原来的这个本质，他叫做一个未定式。所以呢，如果你在做题的时候，有些时候你看到他，你想直接让他等于一个零，或者是等于一个一，我告诉你，其实都是不对的， 都是不对的啊，不要用这种错误的结论，我们在数学上是没有这种结论的啊，为什么人家叫未定式呢？未定式就是我们看不出结果来的一个式子，你是不能够让他直接等于一个一的，这个地方是错误的。 然后那正确的方法应该是什么呢？其实也不是很难，我们只需要采用一下传统的这个画 e 大 法就可以了。当 x 趋向于正无穷的时候，这边是 e 的， 这边是 loon 啊， e 的 loon， 然后呢，当你有这个 e 的 loon 的 时候呢？然后呢，我们把那个右上角啊给它呢，这一坨给它放在最前面，这样的话它就变成了这个一加，这边是 x， 上面有一个分之一，然后呢把这个一 x 分 之一给它放在这个位置就可以了。 好，然后到这一步，到这一步以后呢，我觉得这个 loan 里边有一个分之一太别扭了，那我们现在给它进行一个合并啊，把它去处理一下 limit x 趋向于这个正无穷的时候，这边是 e 的 底下有一个 loan， x 上面的话呢，有一个 loan， 这边是什么什么分之一，那我们就可以把它写成 loan， 这边是一加 x， 右上角肯定还会有一个负一次方，我们把这个负一次方给它挪到最前面，此时就到了这一步，这样的话呢，我们相当于把这边的这个 lo 呀给它进行了一个化简，把它变成了一个呃 lo， 一 加 x， 把这个分之一给它，那个符号提到最前面去了， 此时这个地方我们其实是不能进行合并的啊，有些时候老师，可能，有些人可能会说，老师这个东西是不是等于一个负的 low n， 这边是 e 加 x， 再减一个 x 呢？我告诉你是不对的啊，这个也是不对的，这也是大家经常会犯的第二个错误，就是我们在中学的时候学的是这样一个公式啊，就是 low n b 啊，减去 low n a， 它必须是 low n a 本身进行相减的时候呢，我们可以等于一个 low n a 分 之 b， 那现在的话他是一个除法，此时你是不能够对他进行一个合并的啊，所以到这一步以后呢，我们得采用一下传统的这种啊，洛必达，哎，给他去处理一下，你这个地方也是不能等价的，为什么呢？因为他是驱寒无穷， 你是不能等价的啊，这个地方等价也是错误的，这都是同学们在平常学习的时候经常会犯的一些错误。然后到这里呢，我们就可以采用一下洛必达就可以了啊，这边是 e 啊，这边是 e 加 x 分 之一啊，这边是 x 分 之一，这样的话呢，我们采用一下抓大头啊，这个地方和这个地方啊，我们给它翻转一下，这样的话抓完大头以后，它的极限的结果应该等于个一啊， 这样的话我们再配合上这个符号，所以最后的结果应该是等于一个 e 的， 这边是一个负一次方就可以了，所以最后的结果应该是等于一个 c 选项。

五秒钟看看有没有思路。 好，同学们，我们来看一下这道题目啊。呃，这个题呢，让我们求这样的一个极限，它分母呢，是一个弹进的 x 四次方，那当然，我们知道这个可以直接转化成 x 的 四次方，是不是 上面是一个相减的形式？那这道题呢，我们来先判断一下类型，当 x 往零跑，分母接近于零，分子呢？ e 的 零次方， e 的 零次方是不是一减一极限也是零啊？ 那分子分母是零比零的形式啊，我们有很多种方法可以等价，物用小可以用，然后还有怎么样呢？还有洛必达是不是？那这道题你很明显的你要用洛必达比较复杂，这个符号还说有点麻烦是不是那？呃，我们看到哎， 一个 e 还有相减的结构，让我们想到了哪个公式呢？大家看一下， e 的 方框减一是不是等价于 方框啊？啊，然后这道题，当然下边这个直接我也写一下给大家哈，弹进的 x 是 弹进的方框，是等价于方框的，在什么时候发生呢？他俩都是在方框接近于零的时候可以进行等价哈，那这道题我怎么能够做得到 哎，能变成一个 e 的 方框减 e 的 形式呢？嗯，这里面很重要的一个点是什么呢？ 提共音式啊，我们来看一下提共音式会发生什么哈，我们把后面这一项单独的给提取出来。 好，下面我就直接等价了哈。 x 的 四次方上面呢， e sin 方乘以什么？看看 e x 方减去 sin 方再减一个一。 好，我们来看一下这个 x 往零跑的时候， sin 方是不是也是往零跑的那一的零次方，整体它就是一，这个一，这个部分与其他的所有的部分是不是一个乘除法的关系？所以我们直接可以把这个一先算出来哈，那就是变成什么了？ x 的 四次方。 好，我们来看，现在我们是不是有了这样的一个方框 啊？ e 方框减一，是不是直接等价于这个方框啊？我们来看 x 往零跑的时候，是不是这个方框正好是接近于零的？好，那我们进行一下等价 好，到这了，这同学们又开始想了，老师，现在我能洛必达了。同学们啊，一定要锻炼一下自己啊，不要什么时候都洛必达啊，而且这道题洛必达也不是特别的简单， 大家一定要锻炼自己，给自己设置点难度，让这个什么呀，自己看能不能等价的方法，用其他方法去练一练，因为这样的话能训练你的这个结构的敏感能力啊，我们来看看可以画成什么样， 你见到 x 方减三方，你明显看到是一个平方差吗？然后你 x 减三的时候，你是不知道它是一个三次方的等加无穷小 啊，就这个同结无穷小。然后我们后面可以变成什么？把这个四次方拆成一个三次方，还有一次方方变成一个 x 加三。 好，这两个极限是不是都存在呢？我们判断一下，这个是六分之一，这个的话，我们知道极限是二，那他俩极限都存在，那根据极限四的运算法则，我们是不是就可以干什么了？同学们是不是可以给它拆开 x 接近于零， 减去三 x 乘以 limit， x 接近于零， x x 加上三 x。 好， 我们继续往下写，等于什么？前面这个就极限就存在嘛，直接就是六分之一嘛。啊，我们知道给大家写一下哈， x 减去 sine x 等价于六分之一 x 三次方好，乘以 limit x 接近于我们可以干什么？同学们是不是可以把后面这个东西拆成两个极限 啊？注意，加减法的时候还是不要用等量无穷小哈，那我们拆成两个极限， 那这样的话，后面这两个题是不是都存在了，就变成什么了？六分之一乘以两个一，是不是就是想加就是二？那最终答案就是多少三分之一？好，我们来总结一下这道题目啊，我们来呃，思考一下， 很关键的是什么呢？这种题的结构是 e 的 方框减去 e 的 三角。有这样的类型，我们的核心的目标是不是要往这个 e 的 方框减一，这去构造一下对不对？ 那我们就可以变成什么了呢？ e 的 三角，提取一下后面这个部分哈，然后乘以什么？括号里边是 e 的 方框减三角减一。好，那我们后面这个 e 的 这一坨减一，是不就可以用一个等加无穷小了呀？ 好，再有一个，我们需要关注一下，关注在哪里呢？你看这个有个四次方，你看到上面很明显的是一个平方差，你能拆成一个减，拆成一个加，然后你把下面给配一下啊，相减的这个是三次方的通解无穷小，然后 啊，后一个配 x 啊，这种很对于这个等价无穷小的值啊，包括式子的结构 啊。同学们再关注一下哈，你对于任何一个东西的值，函数的值的特性，包括 啊，式子的结构，你说这道题你能想的两个相减，你能想到这个提取，是不是也是说你见过这种题型了以后学了这样的方法，你对这个结构比较敏感了以后你才能有这样的思路啊。 所以同学没有刻意的去训练自己的这种对结构的啊敏感度啊，这个思考的深度。好，我们这道题就讲到这里，我们，呃，下期再见。

学会这道题，那专升本考试对你来说那就太简单了。这道题咱们直接看题吧，第一题的话，咱们选 a 选项，第二题答案是 二分之一，第三题的答案二，为什么能直接秒出来答案呢？因为有个妙招，妙招是什么呢？妙招就在这，我给咱们写在了左下角，有需要的同学可以暂停保存一下啊。 然后这种双异相减型这个公式的小妙招，咱们可以用在哪种题型里面？它只它能用在零比零形求极限里头求极限 这种题。咱们知道了这种小妙招之后，解这种题就很简单了。然后咱们看第一题。首先 x 是 趋近于零的， e 的 x 次方， e 的 x 次方等于一，然后 e 的 三 x 次方三 x， x 趋近零，三 x 也是零，所以后面也是一，一减一，上面是零，下边 零减零还是零，所以针对于这种零比零形，咱可以直接 e 的 方框次方减 e 的 方框减方框，所以就是 x 减三， x 比上， x 减三， x 上下一样， e 约分就是 a 选项。然后第二题同理，咱们首先上边 e 的 x， e 的 x 密，它是一， e 的 x 乘以 cosine x 方，它也是一。因为 cosine x 是 一，然后 x 是 零， 所以一的 x 方还是一，底下呢，它是零，它也是零，零乘以，不管这后面是个任何数，它都是个零，所以就还是个零比零形。零比零形的话，上面就直接是 x 减去 x 倍， cosine x 比上底下的 x 倍的 lo， 一 加 x 方， 此时 x 是 趋近于零的，那么咱们等价无穷小公式上面提出来个 x 是 不是一减口塞 x 比上 x 倍？论一加 x 方， x x 一 约分，上面是二分之一 x 方，下面是 x 平方，所以答案就是二分之一。 好，接下来咱们看第三题。第三题首先一的一，一的零是一减去后面不管上面上面是负还是正，他都是零，零的话就也是一，一减一等于零，下面呢，三零等于零，那相当于是漏一，漏一的话那也是零，所以又是个零比零型。那咱们就直接提吧方框，提方框吧， x 减去负， x 比上，底下的话就是咱们等加无穷小的公式洛一加方框趋近于方框， 所以底下就是此时的方格是三 x， 所以 现在就是底下就是三 x， 三 x 又可以等价为 x， 所以 它就等于二 x 二。有想知道双异相减型这个妙招的公式是怎么来的同学可以点个关注私信我，我教大家。

大家求极限，一定要去看下标啊，你别着急去用什么方法，这方法那方法啊，先看看这个下标，这是零分之一减去零分之一，也就是一个无穷减无穷的这么一个极限。其实关键呢，就一步，通分通分一下， limit x 去近于零， e 的 x 次方减一，乘上 tangent x。 前面这个分子呢，就要乘的是 tangent x 减去后面这个分子是乘左边那个分母啊， e 的 x 次方减一分子是一个零，分母也是零啊，就是一个零比零形，看看里面有没有等价无穷小的替换。 e 的 x 次方减一， x 趋近于零的时候， e 的 x 次方减一，是不是等价于 x 呀？这个 tan 的 x 我 们刚才也用过了， tan 的 x 是 不是也等价于 x？ 哎，那我就把这个分母给它换下来，就等于 a limit x 趋近于零，这个等价于 x， 这个也等价于 x， 那 不就等价于 x 平方了吗？分子要不要等价呢？分子不能等价无穷小，中间呢，这里是减号，不是乘等价无穷小的替换，只有在乘除的时候可以进行替换， 加减的时候不要去替换。做完了之后，就到了第三步洛必达法则了，等于 limit x 趋近于零。首先对分母进行求导啊，最后我们的答案就是这个负的二分之一零比零型，我们的处理方式啊，通常也都是这样的，是吧，有没有等加五秒的替换，替换完了之后，洛必达法则一次不行，再落一次就给它做出来了。

e 的 负无穷是谁？零，如果 x 大 于零， n x 就是 正无穷， e 的 正无穷就是正无穷。如果 x 等于零， e n x 就 恒等于一，极限就是一，这就是常用的基本极限。 但是有同学可能会问他说，老师，哎，不是还有些基本极限，你咋没写了？比如说 x 去下零的时候 啊，绕一加， x 比 x， 极限等于一，这不是也是基本的一些？一 x 减一比 x 等于一，为什么不写啊？那注意，这两个都是无穷小，两者比极限等于一叫什么？等价？所以我们这几节呢，都写在等价无穷小里边，没有在这去写它们， 这就是一些常用的基本极限。那注意，关于这个就是这两个，实际上呢，就是这个我们通常说的基本极限 e 这样，他呢，两个都是一等无穷大次方，当然这两个是两个具体的一等无穷大次方， 当然这个一的文成大字方，他的一般形式如何求极限呢？顺便也在这个总结一下，那你看关于这个一的文成大字方，这个极限，我们大学老师教我们的时候，是不是教了两种方法，那么一种基本方法叫什么？就第一章教的我们把它叫做凑一 啊，什么叫做凑一啊？那就是拿到一个极限，你让我做这个一的无穷大，我怎么办？我把它写成一加谁啊？ r 法， r 法肯定取向零，因为你是一的无穷大符号，这个地方呢，就凑谁，他的倒数，这不就是一吗？ 但是呢，人家原始肯定不一定刚好是他外面，是不是再凑，那最后呢？如果这个上面取下 a， 那 么最后是不是做出这个等 e 的 a 次方，这是不是大学老师在第一章教我们的出的 e 的 五进大次方凑 e， 但是大家注意这个呢，比较适合于上面这个极限比较简单，你这样凑你就凑出来了，如果上面又很复杂，你这样凑起来写起来都很啰嗦， 所以后来大学老师又教了一种方法。什么时候教的？就是在诺贝尔法则那个地方教的啊？你碰到这种 e 的 文胸大字旁改写，然后再用谁啊？诺贝尔，你说对不对？改写成 e， 或者取对数用诺贝尔。 这时候就大学老师教我们一的无穷大字方常用的两种方法，考研班很多老师也是这样教，书上也是这样写，但是实际上我们想说的是，你一的无穷大字方，你不管用这个还是用这个，往往做起来不是最简单的方法。 简单的方法是什么？简单的方法是用这个结论啊，这是我们讲义上写的这个结论。如果尔法趋向于北塔，趋向于无穷身上，大家注意这个条件，是不是意味着这就是个一的无穷大次方？ 他说你要算这个极限，关键算谁啊？就算下面尔法和肩膀上北塔相乘这个极限，你只要把这两个极限算出来等于 a， 那 这个极限就等于一的 a 次方。 那这个节呢，我们以后经常用，我们证明一下，我想大家以后用心里也很踏实。怎么证呢？这上证这个就是用刚才的方法一凑一。哎，那你看你这里边不是是一加谁啊？ r f x r f 就 像零啊，那凑一就这样凑无穷小的倒数， 但是跟原来不相等了，人家原来外面是北塔 x， 你 除了个 r 法，外面是不是乘个 r 法？我说这完了，你看对不对？由于 r 法取向 a， 所以 这个里边方括号里边是不是取向 e？ 你 又告诉我这两相乘极限等于 a， 那 最后答案不是 e 的 意思吗？证明很简单，但这个简单用起来很方便。 讲的通俗一点，我们过去拿到题目，每次都去凑一，现在是不是凑一次一，我这一个一半节呢？以后做题就不用每次凑一，直接用。当然这种节呢要备注，然后就套用，不方便，所以。

那么看这个底啊，甚至这个一啊什么的是合理的，很多人一看这个整体，那这个线怎么求啊？剩下长度的极限什么的是常数，所以这个线是直接求出来的，所以整个远极限 是不是啊？一定要给它存在，这存在可以求出来， 但是后面放了什么来了，我就把这两项呢，都从讲诚信 啊，你这这两项是不能拆开的，所以呢，叫网络上 厘米 a 杠零啊，这两什么啥？ x 等于一合在一起解决 x， 比方等于 x 幺加 x， 幺加 x， 后面分在一起，什么问题来了，这一项呢？有吗？有个倍数 有对手，那么这一下啊，如果你想他的公式来做的话，他就得用脚，还是有困难的，有得困难的，用得用脚做还是困难的，这一下有一天他的公式怎么做？ 这关键呢，要考虑啊，这 a 项 b， a 项 b， 那 么很多朋友这样做的，这种做出来的这样子，朋友这样怎么做啊？ l 加 x， l 加 x， 换什么刀？换成这个公式， l 一 加多少 多少， l 加 x 加什么啥加 o x， 然后然后把这个看这个整体整开，因为这个分母啊，用 o x 整开，那么这种做法是不会取的，很麻烦啊，所以这样这个点如果这样做是错误的啊， 那么一般说来，这个你妈最好画什么？画成 x 这种形式可以的，就画什么 s 一 加上一个长 x 是 不是黑色哈，有这种形式看到吗？点成什么字啊？点成 x 减去二分之一 x 平方，加上三三分之一 x 立方，对不对啊？这也是正确的。因此啊，差求积的过程中 啊，反正碰到用这种公式的是哪样用啊？这种换成这种颜色，这种颜色是不好做的，不好处理的。那请问一下子，那这种钱是怎么花？ 二角 x， 二角和细角的，它差了两项，二角 x 键弄上二 x 啊，这是第一步，然后这一项换了一个符号啊，把它调成二去了， 看到没有？整头上一点 h， 这一下换什么呢？这个笼子你看呢？一键 h， 然后呢？这个成绩也就是虎，所以换什么呢？换成这种引子了，减去来， 把这个减去啊，那么你看啊，这种减再看成乘以，再看一个乘以，这种减去呢，它就是 a 乘以 x k 这种形式 才在的公式，而且这样上名的，所以它的公式，这是加法，这是减的，它等于二分之 x， 它是加数极数啊，加负极数啊。 x 加上负的二分之一平方 平方再加上三分之一立方，我们差是什么呢？啊？在这个位置了，这个就是 x 三的方，所以写在这个位置了，同样减去 后面这部分，是负的二分之 x 的 增减负的二分之 x 啊，减掉二分之一，负的二分之 x， 平方加三分之一负的二分之 x 三次方， 后面不要了。那么括号减多少啊？ of x， 间距负 x 啊，等于 x 啊，这是底项，这一项底条了，因为这是平方， 这两项一样的底下了，所以上面是要这一项，这一项呢，是薄二十四分之一啊，二十四分之一，这个二十分之一，这个减减值符号吗？找变真好。是吗？等于啊， 二十四分之二十分之一，哎，怎么算三个了，再加高啊，就不用想 看到没有谁画一堆，就这一项记住了吧，所以整个极限这一项是一，然后记到乘以 x 立方分之一， 负的 x 的 平方之分之一啊，负的 x 的 平方之一，乘这个一等于吗？等于负的平方乘以和这两个最小的，所以这个一项是啥？等于负的看到没有？ x 的 平方之一 乘以它等于三分之， x 的 地方后面加上是零，所以知道吗？它的一像三分之一，对吗？等于三分之一，就这一项。最后乘以句话，如果 x 乘零， 就把这一项换成 a 的 x， k 上方一定换这种形式才能够整开，这种形式 是半边脸的。所以啊，考研数学也是这么大，也是个记忆问题，你们被他很熟很熟，听见没有才能够心想事成啊。好，这里讲这么多了。

大家注意这个就是我们经常说的经典错误标准的临分。碰到这种秘制函数求极限，一个常用也是非常有效的思想，就是把秘制函数怎么样指数化。下面我们来看这个极限， 首先也是判别类型选择方法，什么类型？ x 趋向正无穷， e 正无穷，当我们知道是正无穷， 下面这是一加 x x 平方次方，要没有这个平方，它趋向 e， 它在外面再来 s， 所以 这个肯定也是趋向无穷比无穷， 那么这个无穷比无穷首先想到洛贝塔好用吗？大家看这个求导很简单，这个是个秘制函数，求导就很麻烦，那么还有什么方法？注意，碰到这种秘制函数求极限，一个常用也是非常有效的思想， 就是把密值函数怎么样指数化，改写成指数以后，这个时候如果能够用 e x 减一等价于 x， 问题就变得简单了，所以求这个密值函数极限，一个常用的思想就是密值函数指数化， 那么基于这个思想，那我们这个题就有想法了，那我们的想法就是解，然后把分母这个密值函数直数化，那么这样的话 x 趋向于正无穷， 那注意上面是 e， x 底下一指数化，就 e 的 x 平方烙印的是一加 x 分 之一，那这个时候对这个题能不能用这个解？你注意这个上面它不是趋向零的，它也没有减一，因为这个上面趋向无穷，所以不好用这个解呢？ 那怎么办？你看上面是 e 底下 e， 这不是同底数密相除吗？那我们知道就等于指数相减，所以这个写就可以写成这个式子，就是 x 趋向于正无穷的时候， e 的 上面就是 x 减 x 平方，绕影的是一加 x 等于求，这个极限的核心就是求这个指数的极限。 那么下面我们来看 x 趋向于正无穷这个极限又怎么求？ x 减 x 平方，零的一加 x 分 之一， 这个极限算数等于 a， 原式极限就 e 的 a 次方，这个极限如何求呢？也是要判别类型，选择方法，它又是什么类型？ 你看前面这个显然是趋向于无穷，后面 x 趋向无穷，老引一加 x 分 之一，它等价于 x 分 之一，乘上平方无穷，这是无穷解无穷。过去我们老师教我们说，无穷解无穷，一般是谁通分把它化成零比零，或者无穷比无穷的落给他， 但是这个怎么通风？连父母都没有。所以有的书上做的时候，有很多书是这样做的，什么令 x 等于 t 分 之一，做一个倒代化，再通风再做可以，但是就有点慢了， 但是也有的书上做的比较快。用谁用泰勒，但是我们同学不大容易想得到。 那么这个题还有没有别的好的方法？大家注意，由于 x 趋向无穷这个烙印，一加 x 分 之一，这个 x 分 之一趋向零， 这个时候我们就想能不能用这个结论，我们刚在前面讲过一个结论，就是 x 趋向零的时候， x 减烙印的一加 x， 它等价于谁？二分之一 x 平方， 你注意，我们这的 x 分 之一可是趋向零的，你要用这个键呢？我想大家立马想到，如果能出现这个形式，就是一加 x 分 之一，前面正好是谁？ x 分 之一，如果能出现它，那 x 分 之一趋向零，我就可以用这个键了， 那么上面这个式子能不能让它出现这个形式？我想大家一下就看出来，只要往外提一个是 x 的 平方，这个时候把平方一提出来， 这个时候大家看这是个乘积关系。我说这题已经做出来了，那你看这个 x 趋向于正无穷，前面平方不动，后面这个用这个解立马可以知道它等价于谁。二分之一倍的 x 方分之一立马就得到，这个等于谁二分之一， 那么这个等于二分之一，那原式就等于谁 e 的 二分之一。侧方做完了，到这来以后处理这个极限，就联想到这个结论，在这个方往外 t x 平方用等价代弯这样子。这个题目做的比较简单， 但是也有同学做这个题做的更简单，那怎么做？那你看你这不是 x 趋向于正无穷， 你上面不是 e x， 等一下，等一下，你不是一加 x 分 之一的 x 平方次方，那不就是它的 x 次方？再 x 次方， 这个没有问题，它为什么写这个？它一看哪边趋向 e， 这不是 x， 那 这不就等于这个吗？ 这不就等于 x 趋向于正无穷，那这个上面 e x， 下面这个不是 e， 这有个 x， 这不是也是 e x 吗？ 那这个就等于谁就等于一，这多简单。那怎么跟你这个答案不一样？大家注意，这个就是我们经常说的经典错误标准的临分。那为什么错了？实际上主要就是这个等号，这错了， 前面这个改写没问题，这这样子写这个等号，这就是个经典的错误标准的临分。

极限，那么基本极限，求极限。你先得知道一些基本极限，基本极限有哪些呢？一个比如说三元比 x 极限等于一，还有一个呢？这个 x 取向呢？一加 x， x 分 之一次方，这个等于 e， 还有个 x 取向无穷，这个也是 e， 这是两个最基本的极限， 除了他们还有谁啊？还有 a， x 减一比， x 极限等于 l， a 这个刚用过，还有一个谁啊？ n 开 n 方等于一，还有个 a 开 n 方等于一， 还有谁呀？ x 学校无穷的时候，两个多项式之比，这个极限等于值，跟谁有关系啊？老大就最高次这个有关，所以这个极限呢？你看最后结论是谁？如果最高次上向次数一样，极限就等于最高次系数之比， 如果下面的最高次高于上面零，如果上面最高次高于下面，那这个地方就是无穷。所以注意， x 向下无穷的时候，两多项式之比，那是看最高次就看老大。但是如果 x 向下零呢？ 那可不是看最高次了。那比如说 x 去下零这段是 x 五次方，然后再加三 x 平方，这是 x 三方，再加二 x 平方，极限等于谁？极限就是二分之三， 这就不是看老大了。哎，不是看这个最高次应该看谁啊？最低次高次叫高阶无穷小，听懂这意思吗？但是呢，好像这两个不统一了啊，一个是看最高次，一个看最低次，但是实际上都是看老大。 取向无穷的时候，最高次是不是老大？但取向零的时候，高次叫高阶无穷小， 所以多项是 x 取向零，谁老大？最低次的那个是老大，你说对不对？所以这个观点就统一起来了，所以两个多项是质比求极限。 那不管你取向零还是取向无穷的，实际上都是看分子和父母的老大，只不过取向无穷的最大是最高次，所以取向零的时候，老大就是最低次，高次，那个叫高阶无穷项啊。 所以这个高等数学里边为什么要讲泰勒？大家知道泰勒的伟大意义就在于他把一个函数可以用多项式来递减，你说对不对啊？就是因为多项式函数你想求极限多简单， 多项式函数求导数是不是也简单？多项式是不是求积分也简单？这就是泰勒公式的伟大意义所在。好，下面来再来看。 比如说像这个 n 取向无穷 x n 次方，那这个极限等于谁？实际上大家知道，主要取决于底数绝对值小于一， 底数绝对值小于一，极限等于零，底数绝对值大于一就无穷。而底数绝对值等于一呢？要分正负一，正一的时候就一，负一的时候是负一， n 次方不存在。还有一个就是 n 取向无穷时候， e、 n、 x， 那这个极限等于谁？大家知道这是异无穷，我们上次要讲异无穷便不等于无穷，关键是看是异正无穷还是负无穷， n 是 趋向正无穷， 所以你要看 n x 趋向正无穷还是负无穷，主要是看 x 是 负还是正，如果 x 小 于零，那 n x 就 趋向于负无穷。

好，我们来看第十五题，那么这个十五题求极限一，务必要掌握上来。我们注意到，这是我们上次讲的 f x g x 四方形式，就易拉引变形，如果你实在不能听懂的，没有上过我们课程的同学，可以翻一下以前这个视频，这个我们视频里面讲的这个方法 好，然后我们讲了找等价，找等价。很显然，这个 e 的 x 往减一是等价于 x， 而这个孬意里面呢，我们可以考虑用上面讲的加一减一凑等价。 然后啊，这个地方很显然是虚零的，为什么呢？由于 厘米 x 去零时候， x 分 之零，一加 x 啊，等于厘米 x 去等于几啊？等于一 啊，故厘米 x 去零时候， x 分 之零，一加 x 减一呢，等于去零，对吧？所以说后面它就等价于 x 分 之零，一加 x 减 x 就 等于妮妮啊，这个我们写的位置呢，有点偏差了，就要写上去， 好好写上去，然后就等于妮妮 x 去零 x 平方分之零，一加 x 减 x 这个极限，而这个极限是我们上个推过的重要的这个母题，我们只要简单地摞一下，便可以出结果了。 二 x 分 之一加 x， 分 之一减一，然后分子分母同时乘以一加 x， 那 就是二 x 分 之啊，负 x a。 老师，分母的加 x 去哪呢？分零子是一，所以答案是 e 的 负二分之一次方。 好，第十六题，十六题啊，我们讲了，如果实在不会做，可以考虑 e 的 x 方这种特殊的换元，所以我们来尝试一下。另， e 的 s 方等于 t， 那 我们就有 x 等于 ln t， 所以 这个不定积分呢，就是 t 分 之 r c i n t d 啊 l e t 就 等于 t 方分之 r c i n t d t， 然后就等于负的 r c i n t d t 分 之一，好，这时候我们可以考虑分布了， 是吧？分母记分，为什么考虑分母记分？因为你看这个背记函数里面既有反三角，又有这个什么密函数，所以我自然会考虑分母记分啊。分母记分也是我们专门这个不定积分计算里面的非常重要的一个考考察的一个题型。负梯分之二克三 t 加上 t 分 之一乘以一个根号，下一减 t 方分之一 d t。 那 么很多同学啊，这个积分不会积，这个积分专门也考过类似的积分，这也很重要，这个积分用，我们可以用我们上课讲的这个强化班课，或者我们的集训课程，或者说我们这个周末课程里面讲的， 对吧？退一步海阔天空是吧？我 d 后面呢？我退成什么呢？我 d 后面，我退成 梯方，但我前面说要补一个二分之一 t， 哎，我这个二分之一 t， 我 这个 t 刚好给这个分，我这个 t 刚好凑一个全是梯方，这时候大家全是梯方，我可以，对吧？可以令这个梯方呢？为 u， 哎，二分之一 u 乘以根号下 e 减 u 分 之一 d u， 我 想这个积分大家都会，对吧？但是这个这个题目怎么搞？还原？原本这个题目是没法搞还原的， 那么我们这个时候再去另根号下 e 减 u 等于 v 是 吧？那么 u 呢？等于这个 e 减 v 方，所以上面这个积分呢？就变成了二分之一，呃， e 减 v 方乘一个 v 分 之一 d e 减 v 方，我们画个减啊。 呃，这个我们化一下减，就是，呃， v 方减一分之一 d v， 然后这个干嘛？什么列项？ v 分 之一减去 v 加一分之一 d v 乘一个二分之一，对吧？所以说大家就出来了，去二分之一 lone 啊。垂直 v 减一除以 v 加一垂直啊 v 等于什么来着？哎， v 等于这个啊 t 方啊 t 方等于什么来着？ t 方等于这个 v 等于这个啊， v 等于这个根号下 e 减 u 啊啊，根号下 e 减 u， 而这个根号下 e 减 u 就 等于根号下 啊 t 方，而这个 t 呢，就等于 e 的 x 方，所以说是这个根号下，嗯， 根号下 e 减 u u 式 t 方与 e 的 二 x 次方减一除以一个根号下 e 减 e 的 二 x 次方，是吧？哎，加 e 绝值加 c。 好， 那么最后答案呢？就是把这替换回去啊，负 e x 分 值 arctine e 的 x 次方加上二分之一 non 啊，绝值，其这个绝值我们可以去掉 啊。那么为什么角值可以去掉呢？因为我们可以知道分子横减是小于零的，分母横减是大于零的，我只要把分子对吧？对掉，这个角值就去掉了，是不是啊？应该是没有算错，我们稍微检查一下。 嗯，好，现在我们看十七题，十七题上来就是根号还原，对吧？这个我们这个专门这题你们也经常遇到，一定要掌握啊。那我们拎根号 x 等于 t， 那么这个积分呢？就是零兆派啊，然后 t 乘以一个 cosine t， 然后 x 等于 t 方嘛，是吧？就是 d t 方啊，那就是两倍的零兆派 t 的 三次方 t 的 平方乘以 q 三 e 啊，基本就简单了。这横线是一个什么分布？积分，对吧？根据反对密式三，把这个三角函数 cos 到 d， 后面两倍的零到派啊， t 方 d 三 e t， 那 就是两倍的 t 方乘以个三 e t 零到派，减去两倍的零到派。三 e t 零到派，减去两倍的零到派。三 e t 零方 就是两倍的 t 乘以三 e t 一 t， 那 么这边很想，这边前面是零，对吧？三 e 派和三 e 零都是零，零减去啊，四倍的零到派。再分布啊，我们再把三引到第后面去过三 e， 那 是四 t 过三 e t 零到派，减去四倍的零到派过三 e t 零到派。 那么最后这个结果呢，就是四派乘以括号一派减零啊，减去加上四倍的三 a t， 嗯，倒排 啊，减去四倍三 a t， 那 就是啊，负四派啊，括号一派是负一嘛，后面这个三一派三一零都是零啊，所以大家就负四派。 好，那我们看十八题，那么十八题的话，就纯属分十八题啊。我们 g z 等于 f 二 x 减 y 加 g x x y 一 二，现在我求这个 x 的 偏导数，和这个混合偏导数来偏 z 比偏 x 就 得 f 一 撇乘一个二， 加上 g 撇一乘一，加上 g 撇二，乘一个 y 啊，这是 x 的 平方数，那么 x 二级平方数呢？ 那你再求到尾是吧？两倍的 f 撇撇，哎，再乘一个二，加上 g 撇一撇一，乘一，加上 g 撇二撇二 啊，乘一个这个 y， 然后外面还有一个 y， 所以 我们稍作化解。四倍的 f p p 加上 g p p e 加上 y 乘以 g p e p 二加上 y， 乘以 g p 二撇一，加上 y 方乘以 g p p r。 那 么这个答案呢？这显然不是，为什么呢？我们要化解一下 p 二 p 一 p p r， 对 不对？它们俩是相等的，所以这个一定要注意啊，四倍的 f， p p 加上 y 方乘以 g p p r， g p p 一， 加上二 y， g p p 一 二，那么混合平数呢？那我们紧接再对这个是求一个这个 y 的 平数啊，那我们再去再对 y 求平数啊， 对 y 求平数，那我们有偏平方， z 比偏 x 偏 y 等于两倍的 f 撇撇， i 乘一个负一，加上 g 撇一，撇一啊，乘一个零，加上 g 撇一，撇二，乘一个 x， 然后加上 g 撇二，撇一，乘以零加上 g 撇二，撇二，乘以 x 乘以 y 加上 y， 求导是一，一乘以 g 撇二。所以答案呢就出来了， 这个就等于负两倍的 f， p p 加上 g， p p 一， 二乘一个 x 加上 g， p p r 乘一个 x， y 加上 g p r。 啊，为什么这边是零啊？原因很简单啊，因为你这个一，这个里面啊是没有 y 的， 你现在要对 y 求偏导数，你，你这个里面没有 y， 只有 x， 说明啊，你就最长处去了，这不是零嘛。 所以说我们我们这个只要是 g 撇一，对 y 求偏导的地方都是零。看 g 撇一， g 撇一都是零， 那么一定要注意，这个 g 撇二乘以 y 求偏导数时，一定要考虑前倒后倒加后倒前不倒。

今天这个视频给大家录制的是二零二一至二零二五重庆市专升本数学答题汇总，那咱们看看他们的处理套路和相应的答题模板， 以便大家周六的考试。那咱们废话不说了，看一下第一部分就是求极限，那咱们说了，求极限叫能等价就等价，那咱们看看我们常见的等价问号有哪些？是不是有 x？ 零首有啥？是不是有我们的四 x 可以 带啥？带 x 还有啥？还有我们 ten x 也可以点 x 啊，还有啥？还有我们的 arc six 也可以点 x， 还有啥？还有 arc ten x 也可以点 x 啊，还有啥？还有 e x， 再减一也可以点 x， 还有啥？还有 l， 是 不是有一加 x 也可以点 x 啊？还有啥？还有一减 cos x， 等下啥？等下与二分之一 x 的 平方呀， 对不对？还有啥？还有 n x， 再减一等价于 x 倍的幂 a 啊，那这个口的比较少呀。还有啥？还有一加 x 的 r 次方再减一，等价于 r f x。 尤其注意，这个 r 发为二分之一，就变成了一加 x 的 二分之一就变成。是不是等于二分之 x 啊？二分之一是啥？透入私密 可以写成啥？是不是可以写成根号？那就根号下一加 x 再减一是不是等于二分之 x 啊？对不对？没有用吧，一定注意这个 r 发为分数 对不对？ r 发为分数对不对？那如果这个 r 发是三分之一呀，就变成了一加 x 啥？是不是三分之一次方再减一是不是等于啥？三分之 x 啊？三分之一是啥？透露私密是不可以写成啥？是不可以写成它开立方呀，对不对？好了，只要遇到啥根号 开立方开四方，对不对？优先考虑啥优先把这个啥开根号开立方开四方。转啥？转成我们的透入私密变成啥？变成了一加 x 的 二次方，再减一等下于 off x， 这个等价无穷小， 对不对？好了，那有的人还背过更高级等价，比如 x 减 c x， x 减 tan x， 对 不对？有同学背过，但是我们只能小题中使用，大题中不能使用，对不对？那小题中怎样使用？是二分之一，是三分之一还是 负六分利啊？不知道这个系数是二分利还是负二分利，是三分利还是负三分利，是六分利还是负六分利，对不对？咱们教你叫上天入地法，快速记这等价 对不对？你要是个男的，是不是要求女的是不叫上得厅堂下厨房？你要是个男的，是不叫顶天立地啊？咱们叫上天入地法，对不对？顾名思义，我们先画个啥？画一个一三象限的角，平分线 一三项，请问一下是啥？是不是我们的 y 点 x 啊？这个图也得会画啊，对不对？好了，上天入地，天上面一定是天公平， c 上面天天天弹起来 x， 对不对？那你告诉我它的 x 对 应面是啥？是不是就是我们的反 arc， 它的 x 啊，对不对？好了，你观察一下， x 上下线是不是都有一个 c 函数，一个反 c 函数，所以上面只能反谁？是不是只能反 arc c 啊？因为只有这个 arc c x 是 不是可以等价于我们的 x 啊，对不对？那你告诉我 arc c x 对 应面是啥？是不是就是我们的 c x 啊， 对不对？你看这不记出来了吗？是不是？好了，一个小格是啥？一个小格，你要记住是六分之一 x 立方好了，那你就可以就这更高等价。你比如它的 x 减 x， 是 不是从上面减，下面肯定是正的，对不对？几个小格一看是不是两个小格一个小格？是啊，是不是六分之一 x 的 立方呀？所以就是一划进去啊，是不是就是我们的三分之一 x 的 立方呀，对不对？那你告诉我， x 再减三 x 可以 等价，对不对？好了， 是几个小格？是一个小格，但是是从上面减，下面是正的，所以就是一个小格，就是六分之一， 是不是 x 的 立方呀？其余的是不是叫以此类推？可以记住这些更高级等价，但是我们干啥只能小题中使用，你大题中你最好不要使用， 对吧？好了，那咱们说了，咱们等价五角只能用这些最基础等价。对，最基础等价干啥？是不是只能乘积等价？不能。谁啊？是不能，我们的加减等价一定干啥？不能加减等价对吧？好了，能等价就等价。那如果不能等价怎么办？ 对不对？不能等价就是一个普通的极限，普通极限我们一定要干啥？一定要带入，对吧？一定带入，看能带入不 对？不对？能带入就带入啊，什么时候能带入？遇到分式分母一定干啥？是不是一定干啊？不能等零啊，或者没有分母就可以带入啊？你想想，一个大题能直接让你带入出答案吗？不可能，对不对？好了，你不能带入怎么办？你直接使用啥落笔的法则 对不对？老师，为啥直接使用落笔的法则？你带入他一看，他一定就是零比零的法则。对，遇到零比零或者无穷比无穷，我们直接使用落笔的法则， 遇到无穷比无穷，我们优先考虑啥？是优先考虑我们的抓大头？对，是不是 x 去无穷，是不是有 x 平方，再加上 x 一 次项？再来个吧，再来个 x 三次项吧。 x 无穷是不是叫抓大头？是不是？那你的二阶，你的一阶是不是叫不起作用了， 对不对？他的接触干啥就不起作用了，对不对？叫抓头，把二阶一阶给他抓掉了。那如果 x 零呢？是不是叫三次加二次？再加一次怎么抓呢？ x 群零叫啥？叫低阶 c 高阶也叫抓小头。 x 红球是不叫抓大头？顾名思义， 对不对？你抓头是把二阶一阶低的抓掉，那你抓小头是把这个高阶的给它拿掉啊，对不对？ x 能叫低阶？吸住高阶 x 无穷是不是叫抓头？对，遇到零比零我们优先考虑啥？优先考虑我们的洛贝达法则 对不对？没有用吧？咱们说落笔的法则得落一次，得带一次，为啥？要带？一定看啥？一定要带入，得去判刑看，还满足零比零或者无穷比无穷，对不对？如果不满足你就直接是直接出结果了，对不对？一定要干啥？落一次带入一次，明白了吗？ 好啦， x 无穷是不是要抓到头？遇到根号想啥？遇到根号是不是想我们的有理化，是不是有减必有啥？是不是有减必有加呀？对不对？用我们的有理化，有理化之后就是啊，就是平方差，那就是 a 加 b， 是 不是再乘以啥？ a 减 b 就 等于啥？就等于我们的 a 方再减 b 方呀， 对不对？没有用吧？好了，遇到有理 e 的 根号是不是想有理化？那遇到分式怎么办？遇到分式是不是想我们的通风呀？ 对不对？遇到分式一定想到通风没有音吧？好了，遇到变气分往往使用啥？往往使用落尾法则，是不是分子分母同时求导对不对？如果是一个变上限求导 对不对？如果是一个变上限积分，我们对到求导叫啥？是不是我们的上带上求导，是不是先将变线的部分是不是带入其中啊？对不对？先带，但是一定要啥，一定不要去对我们的变线的部分求导。对，我们一般只考变上限， 对变上线基本怎么求到？是不叫上带上求到？如果是变下线叫啥？是不就是负的下带下去到？若是变上下线叫啥？是不叫上带上去到？减下带下去到，对不对？没有用吧？ 那咱们看看二零二五年的第十三道题，计算这个极限对不对？遇到啥？遇到根号对不对？首先想啥？是不是？想我们的油理化 对不对？有理化是啥？是不是有减必有加？有加必有减，这啥？这是我们的减，对吧？你得想啥？是不得想加呀？所以要乘一个杠上 x 方，再加二 x， 是 不是再加上 x 啊？ 因为你的啥？因为你的分子乘了，所以为了横变形，我们的分母是不是也要乘呀？对不对？用完有理化一定想啥？是不是？一定想我们的平方差呀，对不对？此时你把它当做谁呀？把它当做 b 呀，把它当做谁呀？ a 呀？ b 呀？ 对，这不就 a 减 b， 是 不是乘以 a 加 b 啊？ a 减 b， 乘以 a 加 b， 不 就是 a 方再减 b 方吗？ a 是 啥？ a 不 就是个根号吗？那 a 的 平方是不是它的平方？一定要了解谁啊？一定要了解这两个是不一样的，对不对？先开根再平方就啥？就是它本身呀， 但是先平方再开根就啥，就是绝对值呀，对不对？那这是啥？这是先开根再平方，先开根再平方就啥？就它本身呀。那不就是 x 平方，再加上二 x 方，只有 a 方，再减 b 方 b 啥？ b 是 x， 那 b 的 平方不就是 x 平方吗？加 x 方减 x 方没有了，那就是，那就是我们的二 x 啊。 所以我们的分子经过我们的油理化和我们的平方差一化解。就是啊，就是我们的二 x 啊，对不对？好了，那咱们看一下判刑。这啥？这是无穷比无穷，无穷比无穷怎么办？是不是叫抓大头啊， 对不对？好了，那 x 去无穷干啥？是不是有二阶？你的一阶当然不起作用了，是不是被直接被拿掉了？被抓掉了， 对不对？那怎么看？这是谁啊？这是先平方再开根就啥？就是绝对值啊。但是 x 人家说了是去正无穷啊，就绝对值，是不是自然而然的就被打开了，又是正的，对吧？那就是啥？就是 x x 加 x 就 几 x， 是 不是？就是两个 x 啊，对不对？二 x x 直接一比就是几就一啊， 对不对？这方法一好了，那怎么看下我们的方法二，对吧？方法二一个，想啥？想等价， 想等一下可以一定干啥？是不是？一定是我们的减几？是不是得减一啊？这啥？这减 x 啊，对不对？那怎么办？我给他提出来一个 x， 对 不对？好了，那也变成 lem， 是 不是 x 去啥重穷，对吧？好了，要提个 x， 他 得有 x 啊， 他没有 x 怎么办？我给他提出来一个 x 方，那就变成一加上，是不是 x 分 之二，是不是再减 x， 对不对？那这样了，是不是可以把这个谁啊 x 给它提出来呀，对不对？为啥可以直接提出来啊？这啥？是不是先平方再开根？先平方再开根就绝对值，但是 x 乘以几啊？ x 乘以正无穷啊， x 乘以正无穷， 对吧？所以把这个绝对值自然而然就打开了，就啥？就是它本身呀，对不对？好了，你看是不是都有 x 了？都有 x 了，有一样的是不是才可以提出来了，对不对？所以把这个 x 提出来了，那就变成啥，那就变成一加上 x 加二，是不是再减一啊， 对不对？好啦，遇到根号是不是就可以把它转成啥特殊的次密啊？那就变成 lem， 是 不是 x 去啥正无穷，把根号转成啥特殊密，那就变成了一加 x 分 之二等于二分之次密，是不是再减一啊？是不是可以想这个等价了？对，咱们说把这个啥特殊的根号，是不是开三次开四次， 是不是开根号把它整成啥特殊私密，变啥？变成了一加 x， 这样 f 次方再减一等下于 f x， 对 不对？前提它得是无穷小量，是无穷小量吗？ x 无穷是无穷大的，无穷小当然是无穷小，所以是不可以等价了， 对不对？好了，是不是一加 x r 次方再减一等价于 r f x， 对 不对？好了，此时你的 r 法是谁啊？你的 r 法是不是就是二分之一啊，对不对？你的 x 是 啥？是不是就是 x 分 之二呀？ 没有一吗？好了，那 x x 消掉，二和二消掉，那答案不就是一吗？所以是不是两种方法是不是都能做出来，对不对？这是二零二五年的第十三道题，那咱们看一下我们二零二四年的第十三道题，计算这个极限，对吧？好了，咱们说计算这个极限是不是能等价就等价， 对不对？好。 x 零数是不是一 x 减一？等于谁啊？是不是等于 x？ x 乘 x 平方就 x 几次方，三次方呀，对不对？好了，咱们说分母是不是可以等价？怎么还教你呢， 对不对？还教你呢，是不是让我们的上例入题法，快速记忆这些等价，但是只能干啥？是不是只能小题中使用，大题中我们最好不要使用，对不对？好了， 对吧？你不能呀，是不是？干啥？是不是只能照抄呀，对不对？好了，咱说这变成啥？变成了一个普通结是不能等呀？等呀完之后就变成他了。好了， 那怎么办了？是变成这个普通结是不是该带入了？那怎么看？能带入吗？对不对？咱们看这要看啥，是不是只要看啥？带入，是不是只要看这个分母的情况呀？对不对？那怎么看？这个分母一带是不是就是零减贪镜？零贪镜是不是等于零？ 零减零就是零啊，对不对？这零分母是等于零，能带吗？不能带，什么时候能带？遇到分式分母一定不能为零或者没有分母，对不对？这分母一带是等于零，不能带入， 对，不能带入？是不是直接送上路北的法则？为啥一看就零比零型，分子一带是不也是零，对吧？是不就是老套路啊，直接路啊，路北达是不是分子分母是同时求导呀， 对不对？ x 的 立方求到是啥？是不是三倍的 x 的 平方呀，对不对？ x 的 立方求到是不是等于我们三倍的 x 平方呀？ x 等于几？是不是？一 tangent 求到等于啥？ tangent 求到是不是等于我们的 second 的 平方呀？有同学说，到，这还落不？你就不用再落了。 为啥呀？是不是可以使用我们啥三角函数变形一下？三角函数有哪些？是不是有我们的乘方加口乘方等于几？是不是等于我们的一啊？还有啥？还有一加乘的方等于啥？是不是等于我们的 second 方啊？这是我们的三角函数啊， 对不对？只要遇到单调方或单调方的积分不会错，也得使用下使用这个和等式啊，对不对？给它并一下。那我们的一减 second 方对不对？把它移到等式啊？移到等式的左边，把它移到等式的右边，不就是负的残余的 x 方吗， 对不对？好了，一减三个方就是啥？就是我们的负的乘以方呀，对不对？明白吗？是不是？ x 零的时候是要能等，就等 x 零的时候，它的 x 可以 点 x， 那 它的 x 平方是不是等于啥？是不是等于我们的 x 平方呀，对不对？ x 平方 x 平方直接切掉。所以这个答案就是啥就是负三呀， 对不对？没有用吧，对不对？我们等价只能啥？只能成绩等价，不能加等价，对不对？好了，这个更高一等价，我们只能小题中等价对不对？这是我们常用的三角乘法式对不对？讲到三角乘法式，一定要想到啥，一定想到我们其的三角 对不对？你比如说 second 口 second 对 不对？口 ten x 对 不对？如果你不会怎么办？遇到它的积分极限不会怎么办？你给它打回原形对不对？那我们的 second x 不 就是 cosine x 分 之一啊，对不对？那你的 cosine x 不 就啥，不就是我们的 cosine x 分 之一啊， 对不对？你的口 ten x 就 啥，不就是我们的口？ thanks， 比上啥？比上你的 c x， 只要遇到他们的不会怎么办？给他打回原形对不对？那咱们看一下我们二零二三年的第十三道题，计算这个极限，对不对？遇到啥？遇到口 seven x 不 会怎么办？给他打回原形啊， 对不对？口三 x 不 就啥，不就是我们的 c x 分 之一啊，对不对？好了，遇到分式怎么办？是不是就想到我们的通风呀，对不对？好了，通风是不是找到我们的分子的？找到分母的啥？是不是最小公倍数？那最小公倍数就是 x， 是 不是乘以 c x 啊， 对不对？所以要通分，通乘 x， 乘以 c x 啊。第二个分母要乘啥？是不是要乘以你的 c x 啊， 对不对？所以我们的分子是不是也要乘以 c x 啊？变成啥？变成同分母相减。同分母相减？是啊，是不是我们的分母不变？是啊，是不是我们的分子相加减呀，对不对？分子相加减， 对吧？好了，那怎么看？求减是不能等？加就等于 x 乘以的时候， c x 可以 等 x 啊，对不对？好了，那 x 乘以 x 就是 x， x 平方，所以分母优先变为 x 平方， 对不对？那这个分子对吧？是不是可以背过这个等价？但是只能啥，只能小题中使用，对不对？你大题中你最好不要使用，对不对？好了，变成这个极限了，变成这个普通极限怎么办？是叫啥？代入？是不该代入了？分母代等于零， 对不对？分母代等于零，不能代入是吧？不能代入怎么办？是不是直接开路啊，对不对？一看就有零比零行，对不对？是不是？咱们说不用判断零不零，只要分母不能代，一般的情况下就是路被打， 对不对？落尾答，是啥？是不是分子分母同时求到？那怎么看一下我们的谁啊？我们的分子求到 x 求到等于几一 c 求到 x 求到是二 x 啊，对不对？咱们说求减是不能等价，就等价 x 零的时候是不是一减 cos x 等于 x 的 平方呀， 对不对？没有吧， x 平方和这个 x 是 不是直接消掉一个了，对不对？没有吧， x 平方和这个 x 的 平方呀，对不对？没有吧， x 平方和这个 x 的 平方呀，对不对？没有吧， x 的 法则，落尾的法则，落一次带一次， 对不对？这能带吗？当然能带了，对不对？什么时候能带？遇到分式分母不为零或没有分母不为零，当然能带啊。所以将 x 零是不是直接带带进去啊？那就二分之二分之一，是不是乘以啥？乘以零啊，那就是啥，那就是零啊。所以这个答案就是啥，就是我们的零啊， 不难了吧？那咱们看一下我们的二二年计算这个极限对不对？好了，计算这个极限咱们看能等加吗？你不能加 对不对？不能加，你不能加怎么办？是不是该带入了？分母一带等于几零？只要不能带是不是？废话不说了，是不是直接升上洛维达法则 对不对？一看就是零比零，对吧？怎么说你不用判刑就是洛维达，洛维达是不是分母切磋，同时切磋？那怎么该分母切磋？ x x 切磋就像对你爱，是不是保持不变啊，对不对？再加上 x 切磋就像对你爱，保持不变啊。全网没有他是一个复合的，一定要对你的内层而切磋。全网没有他是一定要对你的内层而切磋啊。全网没有他是一定要对你的内层而切磋。全网没有他是对你的内层而切磋。 对，负二肖老师啊，是不是就是我们的负一啊？所以再来一个负一，一负一正就是负呀，对不对？ 没有用吧？好了，咱们说了，录完了吧，因为负二肖等于几，是不是就是零啊？所以就不用再看了。对，录完了吧，咱们说落尾的法则，落一次带一次啊，这能带吗？不能带，分母一看就几就零，你不能带，对，不能带怎么办？是不是直接开录啊，再录啊，你看不就是老套路吗？ 分母求导，二 x 等于几？二呀， e x 求导，就像对你爱，保持不厌啊，是不是再减？ e x 求导，就像对你爱，是不是保持不厌啊？全网没有，不要去对你的内藏住求导。负 x 导是多了个负一负不变成正呀， 对不对？好了，再说洛 a 的 法则，洛一次带一次啊，什么都带。遇到分式分母不为零，或者没有分母不为零，所以可以将 x 的 零直接带入啊，那就是二分之 e 的 负零， e 的 零次方等于几？一 对不对？一的负零是不是也是一得零？一得零还是几还是一？一加一是几是不是就是二呀？二和二是直接抵消就是几，是不是就是我们的一啊？所以这个答案就是啥？就是我们的一啊， 没有用吧，对不对？不难了吧，那咱们看下二一年的对不对？计算这个极限对不对？咱们看分母能带进去吗？分母一带进去就是一加上口省是不是派呀？口省派等于几？负一， 对不对？负一加一等于几零啊，能带吗？不能带也不能等价。对，一看就没有等价，对吧？能带吗？不能带，不能带怎么办？废话不说是不是直接开路啊？ 对，那怎么落位？落了落被打，是不是分子分母同时求加一求等于零啊？乘除求是不等零，口乘求等于上，是不是就是我们的负 c x 啊？全吗？没有，干啥不要去对你的内藏渠道拍个渠道是几？是不是就是拍啊？那就是啥负拍啊， 对吧？没有吗？那怎么敢？分子，小分子是一个什么积分？而且是一个变积分。变什么？而且是个变上限，变上限怎么求导？变上限怎么求导？是不是叫上带上去导？所以是不是先将变心部分带入 t 中啊，然后不要去对这个变心的部分起到， 所以先带啊，所以将 x 等于 t 带进去，那就是，那就是我们的 sin 是 不是判 x 啊，对不对？ 是不是？干啥？一定不要去对你的变形部分求导，是不是带完了该该求导了？不要去对变形部分求导。 x 等于几一，所以再乘一 就没有了吧，是不是派 x？ 派 x 是 不是直接干啥拉掉啊？那这个答案就是负派分之一啊， 对不对？没有用吧，这是我们二一年，这二年所有的啥求极限，是不是总归就这些类型啊？应该不会太难，我们极限不会给你设置太难的题啊。 那咱们看一下第二部分就是积分，那积分第一个肯定要会啥？会你的积分公式，积分公式一定要烂背于心。那咱们在这里不再赘述了。那咱们主要讲我们的错位分，错位分有同学还是不会，那怎么改啊？复盘一下，常错位分有哪些？ 是不是有 x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 x 平方，但要多谁？一定要多二分呀？你发现一次可以凑几次？一次是不是可以凑二次？同道理，你的二次可以凑谁？是不是可以凑我们的三次，但要多谁？多了一个三分之一？同道理，你的三次可以凑谁？是不是可以凑我们的四次，但要多谁？多了一个四分之一， 对吧？其余的叫谁是不叫？以此类推呀，对吧？你发现了一次可以凑几次？二次？二次可以凑几次？三次？三次可以凑几次？是不可以凑我们的四次是不叫我们的？第一次 可以凑谁？是不是可以凑你的高次啊，对不对？那乘以凑分还有啥？是不是还有 x 分 之一可以凑谁？是不是可以凑我们的棱 x 啊，对不对？还有啥？还有 x 方分之一可以凑谁？是不是可以凑我们的 x 分 之一，但是要多谁？多了个符号还有啥？还有根号分之一可以凑谁？是不是可以凑我们的根号 x 字，但是要多谁？多了个二呀， 对不对？还有啥？还有 e x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 e x 啊，对不对？还有谁啊？是不是还有我们的 c x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 cos， 对 不对？但要多谁？多了个符号 cos， 你 凑谁？是不是可以凑我们的 cos 啊？ 没有一半，对不对？好了，为什么让你备注这些长乘以分？同样道理，你的积分也会了，你可知道你的根号分之一可以凑谁？是不是可以凑我们的根号 x， 对 不对？但要多谁多了二呀？所以根号分之一的元素就是二倍根号 x 再加 c 啊。 同样道理，你的 e x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 e x， 所以 e x 积分就是 e x 再加 c 啊， 对不对？其余的是不是叫依次类推？根据常错为分，你的积分公式也会背了，对不对？好了，得会错为分啊。如果这个被函数出现了啥？如果这个被函数出现了两种函数，对不对？两种函数一定要根据啥？根据我们的啥？分不清法的反对密三指 对吧？或者反对密值三。是不是将靠后面的去凑变成 u、 d、 v 的 形式？就等于它俩先相乘，再减它俩交换位置的一个积分呀， 对不对？好了，如果遇到啥？遇到根号，根号底下是一次式 a x 加 b 的 形式，我们优先考虑啥？优先考虑我们的换元呀，对不对？优先考虑我们的换元 是不是，对吧？还遇到谁啊？还遇到我们的分母，对不对？如果我们的分母是一次，对不对？这个分子 是二次，对不对？是不是比九类型？九类型去取 t 分 之 t 的 平方吗？对不对？ t 分， 那就是 t 的 平方比上 t 减一分子是二次，分母是一次，我们优先考察。是不是优先考虑平方差呀， 对不对？如果分子是二次，分母是一次，我们优先考虑啥？优先考虑这个平方差 对不对？好了，如果这个分子啊，分子在上面啊，写错了，如果这个分子 是一次分母，是二次，对吧？随便举个例子，比如举个 x 方分成 x 吧。对，别举太太简单的。对，那怎么办？是不是？我们的错位分？是不是将这个 x 和这个 d x 是 不是可以结合在一起？是不是可以变成啥？可以变成我们的 x 方，但是多了下，多了二分之一，是不？刚想错位分 对不对？是不是叫第一次去凑高次对不对？然后是不是再凑个减一啊，对不对？这你应该都会啊，对吧？这只讲一个思路对不对？若分母是二次分子，是一次，优先考虑啥？是优先考虑将这个分子凑进去，对，叫优先考虑啥？是凑为分呀， 对不对？那如果遇到这个分式，分子和分母次方是一样的，对不对？所以举个例子，举个 t 变成 t 减一，对吧。都是几次米？都是一次米啊，是不是优先考虑啥？是不是拿分子凑你分母，你分母减几？减一？所以我再哈我再减一啊。对，我也要减一，为了很明显，是不是再加一啊， 对不对？是不是从这个加法处裂开啊，对不对？就这些思路对吧。如果遇到有理真分式啊，对不对？什么叫有理真分式？就是我们分母的次密 比谁啊？比我们的分子的最后次密要大，对不对？叫有理真分式？有理真分式我们干啥能一分解就一分解对不对？一分解之后干啥？叫列向对不对？叫快速列向就可以，学我们的啥流说法， 对不对？好了，那怎么列项啊，对不对？我们知道这个啥，这个一次项列啥？列常数项，这个平方向列啥？是不是列我们的一次项啊， 对不对？是吧？如果你不能分解怎么办？那你干啥叫凑分母的倒数，对不对？没有举，没有举例子，不好意思啊，凑分母的倒数，但是我们一般不会考这， 对吧？实在不行怎么办？叫配方，对不对？配方，将它配方，配方一定想到这个积分，想到 a 方，再加 s 方分之一点 x， 它一定记出来就是 a 分 之一，再乘以二，可猜你的 a 分 之 x 再加 c 啊，对不对？没有用吧，就是我们大概的， 对吧？那怎么看一下我们的二零二五年的第十道题是不是出现啥？出现了根号？根号底下是啥？是不是我们的一次式， 对不对？优先考虑啥？优先考虑换元对不对？好了，那是不是令，是不是根号下二减 x 等于啥？等于 t 啊，对不对？如果是定分换元并换线，是不定积分，不用了，对不对？没有用吧。好了，第二步，看啥？得把这个 x 分 解出来。 二减 x 开括号了，怎么把它翻译出来？是不是两边同时平方，所以二减 x 就 啥，就等于 t 的 平方，你得把 x 翻译出来，对不对？所以把这个二移到等式的啥？移到等式的右边移向求干啥？不要记编号 对不对？一定把 x 写出来，所以两边是同时乘以负一，那就啥？那就二减 t 方吧。对。第三步，是不是表示这个 d x 和这个 d t 的 关系啊？ x 等于啥？ x 不 就是二减 t 的 平方吗？ 对不对？怎么表示 d x 与 d d 之间关系？离我们的微分底 y 是 不是等于 y？ 撇是不是乘以 d x 啊？但是关于 t 的 极点 y 当然是 d t 啊，对不对？那它求导二乘数，求等于几零，对不对？好了， t 的 平方求到的谁啊？是不是就二 t， 所以 就是负二 t 啊， 对不对？没有用吧？所以将我们做的变量带坏，是不是通通代入原来的表达式啊，对吧？ x 等于啥？ x 不 就是二减 t 方呀， 对不对？ x 不 就是二减 t 方吗？那就是二减 t 的 平方，对不对？根号这一大图等于啥？根号这一大图不就是啥？不就 t 啊，对不对？ d x 等于啥？ d x 不 就是负二 t d t 啊，是不是负二 t d t 对 不对？只要有常数怎么办？给他踢出去，所以将这个负二给他踢出去，对吧？没有用吧？好了， t 乘 t 等于啥？是不是等于 t 的 平方呀， 对吧？到这也没有音吧？有括号怎么办？你给他打开对不对？那就啥？那就二 t 方，是不是再减下？是不是再减 t 的 四次方， 对不对？那就是底 t 啊，对吧？遇遇到欠相怎么办？是不能裂则裂，所以从这个减法处裂开。但是负二是个常数，是不是一直提到后面一定要啥，一定要加括号，以免啥，以免漏成，对吧？然后从这个啥减法处裂开，那啥，那二就是二 t 方，是不是再减啥？是不是再减 t 的 四次方？是不是底 t 啊， 对吧？没有用吧？好了，那有啥？那有分二倍的二啥？是不是常数给他踢出去啊？踢的立方他很好积，都是面数，积分是不是三分之一，是不是 t 的 立方呀？ 再减 t 的 四层基本上是不是就是五分之一？是啊，是不是 t 的 五次方呀？这不积出来了吗？对吧？干啥不让记再回带？你干啥？把这个框打开，打完之后干啥？是不是再回带啊，对不对？一定干啥不让记回带，如果使用啥？使用我们这个换元。 对，这个笔老回事，咋回事？写不下来，我的妈呀，一定要让不让记回带没有用吧？ 那咱们看看二零二四年求我们的不定积分对不对？那这什么区间？这是一个对乘区间，对乘一定要想啥？是不是一定想被讲数的记我姓 对不对？好了，这记我姓。咱们之前老师在讲选列汇总中，是不是也给大家讲解了，对不对？好了，只要遇到这个对联会整中，是不是也给大家讲解了，对不对？好了，只要遇到这个对联，这个定分 和谁有关？和你被函数的偶性有关。那如果这 f x 是 g 的 对不对？这个积分值就等于几？就等于零，如果这个 f x 是 偶的， 偶的音商，偶的就是我们二倍一半区间上的定分，那就是零到 a f x d x 就 可以了，对吧？好了，那咱们看被加数的记性啊，绝对值一定是 o 的， 而且是不是在这个 x 等于上 x 的 零处，一定是连续不可倒的对不对？这个图像一定要记多少遍了，对吧？绝对值一定是 o 的 对不对？任意乘以 k 是 不是也是 o 的， 对不对？ x 平方是不是也是 o 的？ o 减 o 是 o 的 吗？所以后面是不是 o 的？ o 的 在 k 上是不是也是 o 的？ o 乘 o 是 o 的， 所以是 o 的？ o 的是等于啥？是不是等于二倍？是不是一半区间上的定积分呀？ 没有音吧，好了好了，是不是一半区间上的定积分呀？没有音吧，好了，是不是一半区间上的定分呀？没有音吧，好了，是不是一半区间上的定分呀？没有音吧，好了，是不是一半大于零啊？ 一定大于零，所以这个绝对值是不是自然而然的就直接脱掉了，对不对？你发现了谁啊？你犯了这有几次？一次，这几次二次啊，你不想到叫谁啊？是叫我们的第一次去凑你高斯啊，一次是不是可以凑你二次啊， 对不对？一次是不是可以凑你二次？所以这个 x 可以 凑谁？是不是可以凑我们的 x 平方，但要多谁？是不是一定要多了个二分之一乘以二？就是就是一啊， 对不对？那怎么说了？错位分叫一不做二不休是不是直接凑完呀？你的平方是不是填了啥？填了负号，我也要填负号，所以是不是再来个负号，对不对？你的平方是不是填了负号？咱也填了，但是人家平平方填负号还加了几次加十六，所以我们也要加十六啊，对不对？一不做二不休，直接凑完呀， 对不对？见人不说不该往回飞啊，对不对？好了，有样的是不可以令这个东西等于 t 啊，对不对？这是我们初级做法，但是我们看一下啊，我们学会了，我们是高级了，所以不令他等于 t， 对 不对？好了，那怎么办呀？是不是遇到根号不会怎么办？是把它当做啥特殊的次命啊，是不是？讲这就讲了把根号当做啥特殊次命啊， 那也变成啥十六是不是再减 x 的 平方的是不是二分之四密是不是底十六是不是再减 x 平方呀，对不对？你令它等于 t， 无所谓了，对不对？咱们是高级的利用积分位置的一致性，对不对？这像谁的积分？是不是像我们的密函数积分呀， 对不对？面上积分怎么积？是不是叫次方加一？是不是次方加一整理作五分母，是不是分之一啊，对不对？好了，是不是叫积分位置的一致性不要令它等于 t 啊？是不是 x x x 啊， 对吧？好了，这是，这是十六减 x 平方，十六减 x 平方，所以它积出来就是十六减 x 平方呀，这不面负吗， 对不对？叫次方加一，是不是次方加一整体数和分母分一啊？是不是再加上谁啊？是不是再加上那个 c 啊？这啥是定分？当然不用加 c 对 吧？但是前面有符号，怎么加符号？这不积分吗？建议上限是零到四，带进去啊，这没有赢吧， 对不对？是不是叫积分位置的一致性不要令它等于 t 了，是不是 x x x x x， 所以 它记出来就是十六减 x x， 所以 它记出来就是十六减 x x 平方呀？ 是不是变成这个面的积分是不是叫次方加一，是不是次方加一整体做分母分的呀？对，原来还有个啥，还有符号不要忘记漏成，对不对？不定分要加 c， 至少这是定分，不用加 c 了，所以将你算线是零到四定句，那这个答案就有了。 没有吧，那咱们看一下我们二零二三年对第十五道题对不对？好了，有括怎么办？给它打开呀， 对不对？有箭向，怎么能裂则裂啊？所以是从这个加法处裂开，那有 x e 的 反平方 对不对？ d x 是 不是再加上？是不是楞 x d x 啊？没有用吧？好了， 看一下我们前面这有几次宝贝，这有几次一次，这几次二次啊。那怎么办？是不是叫第一次凑高斯 x 可以 凑我们的 x 平方，但要多谁多了一个二分呀， 对不对？咱们说凑个分叫一不做二不休，直接去凑完呀，你的平方多了谁多了符号，我也要多个符号呀。所以是不是再来个符号呀？ 这不凑完了吗？有的同学是不是另发 x 方等于 t， 咱们不要学那个定义作法，所以叫积分位置的一致性，它大概讲像谁的积分，是不是像我们的 e x 积分 e x 分， 是不是？咱们说了 e x 就是 e x， 是 不是再加 c 啊？根据积分位置的一致性 x x， 所以 它记出来就是 x 啊， 这是啊，这是斐方，这是斐方，所以它积出来就是我们的 e 的 斐方呀，是不是要积分位置的一致性 x x x 斐方斐方，所以积出来就是斐方呀，这不积出来了吗？对不对？你看不难了吧，再加上 对不对？后面这个积分有的人说就想是 x 零，对，我们知道 x 零，它记下是不是我们 l x 的 绝对值，是不是再加 c 啊？可是你的 l x， 它记出来可不是 x 零，它是啥？是不是典型的分母积分法？它此时它就是你的 u， 它就是你的 v， 你 知道吗？ 对不对？没了吗？那遇到啥？下次遇到你的阿克泰 x 啊，对不对？它记出来就是一 x 方吗？不对，你反了对吧？我们一加 x 方，记出来才是我们的阿克泰 x， 对 吧？那此时它就是它优啊，它就 v 啊， 对不对？没有用吧？是不是？没有用吧？只要遇到单个的被函数，你发现吗？只要遇到单个的被函数，如果它没有原数，它直接选择下分母积法，它就是 u， 那 后面的 x 就是 v 啊， 对不对？这是啥？就是 u 啊？这 v 啊，是不是等于它俩先相乘，是不是再减它俩交换位置的一个积分呀，对不对？好了，没有音吧，那只是算后面的，前面是不是先照抄呀？ 好了，咱们不定积分以谁结尾，是不是以 d x 结尾，对不对？咱们不定积分都是以 d x 结尾，这是啥？这是 d x， 丑不丑？丑，当然使用微分。微分是不是 d y 是 不是乘以 x 啊？ l 小 等于啥？是不是它分的呀， 对不对？所以 delete x 是 不是等于我们的 x 分 之一，是不是 d x？ x 是 不是直接消掉？所以变数就是几就是一，对吧。那一的元素是啥？一的元素不就是 x 吗？ 这不急着了吗？所以是不是再加 c 啊？对，没有赢吧。这是二零二三年的，对不对？如果他考的这个不定积分，你不能直接写出是一加 x 方分之一啊，对不对？那怎么看二零二二年的计算这个积分？这是啥？这是一个 max， 对，是吧？ max 是 不是他俩取较大的？那怎么？你画个图对吧？先找相等的，对不对？先找相等的，你画图你就知道谁大谁小了。那咱们画个图吧，好了， y 的 x 图像是不是咱也画了？是不是利用我们的上点入点法都交了？ y 的 x 上是不是我们一三相线的角平分线啊， 对不对？ y 的 x 平方是谁啊？是不是我们过远点，而且是个开口向上的一个啥抛物线啊， 对不对？明白吧？它的焦点有焦点，求焦点。这个焦点显然一减是不是连立 y 的 x 乘方和连立 y 的 x 啊， 对不对？ y 等于它， y 又等于它，你说它相等么？相等，所以 x 乘方是不是就等于 x 啊？把它移过去，所以 x 乘方是不是再减？ x 是 不是就是零啊？有样的提不提？提？咱们都说了，是不是有样的提啊？是不是都把这个 x 提出来，有样的都提啊， 对不对？所以把这个啥，把这个 x 提出来，那就啥，那就 x 减一是不是等于零？一个根是几？一个根是零，一个根是几是不一啊？这个根就是几，就是零啊，对不对？那这个根就几？一， 对不对？好了， x 等于 y 等于几？ y 等于一啊，对不对？好了，那你观察一下，在我们的零到一谁大呀？零到一你发现了，是我们的 x 大 呀， 是不是 x 要大于你的 x 方，但是一到谁，是不是一到正无穷，对吧？此时让你计算，是不是零到二，那是不是一最多到几，是不是一最多到二？那一到二谁大呀？一到二是不是显而易减？你的 x 方一定要大于你的 x 啊， 对不对？所以将谁啊？所以将这个不定积分从你的积分区间要拆，这个积分圈是谁啊？是不是我们的零到二从谁拆？是不是从他俩相等的地方拆？是不是从一处拆啊， 对不对？由零到二上的一个定分是转换成我们的零到一和谁啊？是不是和我们的一到几是不是一到二上的一个定分啊？零到一零到一谁大呀？零到一，咱们说了 x 的， 所以 max x x 平方取它是不是 x 啊？ 那一到二谁大？你 x x 平方要大于 x 啊？所以一到二 max x x 平方取 x x 平方，这都是我们的面数积分，当然很好记啊， 对不对？ x 元素长是不是我们二分之一 x 平方，这不基础上我们将上线零到一带进去啊？ x 平方元素长是不是我们三分之一 x 三方，这不基础上我们将上线零到一带进去啊？那这个答案就有了，对吧？那怎么看二零二一年的这个谁啊？积分对不对？好了，这有啥？这有 e x 啊， 你怎么办？你不能想这个凑为分吗？是不是 ex 可以 写啊？ ex 是 不是可以凑为分呀，对不对？是不是直接凑为分呀，对不对？所以将这个 ex 和这个 d x 是 不是可以结合在一起，是不是可以凑我们的 ex 啊， 对吧？那咱们说了叫凑为分，叫一不做二不休啊，你的 ex 加起加 e 啊，我也要加 e 啊， 对不对？有一样怎么办？是不是令它等于 t， 对 吧？有的人说这真看不出来了，是吧？那咱令它等于 t 吧，令是不是？这个一加 e x 是 不是等于 t 啊？那就变成那就变成愣 t 是 不是抵 t 啊？ 那这个怎么办？有的人说他记着就是 t 分 异，咱们说了不对，对不对？怎么还给你强调了，是不是？这个怎么办？是不是直接使用啥分布减法呀？ 对不对？是不是直接选择我们的分布积法？是不是他俩先相乘，是不是再减他俩交换位置的一个积分再分一遍？我们的积分都是以点 x 结尾，这 t 的 积分一定是 d t 啊， 对不对？这啥是 d 楞 t？ 丑不丑？丑是不是使用微分？是不是？ d y 是 不是等于 y 撇是不是乘以 d x 啊？关于 t 的 积分为圆是，当然是 d t， 咱们也讲过了，楞巧等啥？是不是 t 分 了一 d t 啊， 对不对？ t 乘 t 分 之一就是几，就是一啊，一的元素是啥？是不是一的元素就是 t 啊？ 这不记住了吗？再加 c 啊？一定要不要记回代啊？ t 是 啥 t 不 就是一加 e x 吗？对，那你我给你回答嘛，那就是一加 e x 是 不是乘 l？ 是 不是有 e 加上 e x 是 不是再减一加上 e x， 对吧？是不是再加 c 啊？这不有了吗？对不对？你看不就是老传统老套路吗，对不对？这二年至二五年的。是啊，我们的不定积分，重要的考察我们的凑分，凑分一定要记住叫一不做二不休，直接去凑完， 对不对？而且一定会考察好考察是不是我们的第一次可以凑你的高次啊，对不对？没有赢吧，对不对？下次遇到啥 max 或者啥 minimal 对吧？一定干啥？是不是一定要找到他们俩相等的？对，如果能画图咱就画图，一定能方便看出来谁大谁小，对不对？应该也不是特别难啊。 那看下这个第十五道题对吧？求出微方程的特解是吧。那怎么看？是可降阶的吗？你看等式怎么是指关于 y 的 高阶的吗？不是 对吧？没有音吧？是可加一的？不是，那是可分离变量的吗？干啥？是不是得试一试，遇到可分离变量一定把啥？一定把这个外撇写成啥？写成 d y 变成 d x， 只要遇到外，只要遇到可分离的，一定把这个外撇写成 d y， 变成啥 d x 啊， 对不对？好了，减是不是？外倍的棱 y 是 不是等于零啊，对不对？咱们说分离是不是叫男孩和男孩，女孩和女孩玩啊，对吧？他俩是不是 x 和 y 在 一起了？都在等式的，是不是？都在等式的？谁啊？左边给它分出来，我给它一个象啊，是不是移到等式的右边，对吧？ 当然没有用吧，对不对？好了，这第一步，只要遇到可变量的，先把它能分离多少，对不对？好啦，这是第一步，只要遇到 y 写成 d y 变成 d x， 对不对？第二步，由这个竖排放，他俩是不是竖着排放的？是不是变成横排放？怎么变成横排放？是不是两边同时乘以啥 d x 两边同时乘一个 d x 好 了， d x 和这个 d x 是 不是直接消掉了？到这也没有用吧，对不对？好了，这也没有用吧， 对吧？由竖摆放变成啥？变成这个横排放。第三步，怎么办？谁不听话？乘以不听话的倒数，对不对？ y 是 啥？ y 是 男孩，对外不是男孩，你的头都在这里， 他俩干啥？不听话怎么办？不听话是不是乘以他的倒数？所以就乘以 y 棱 y 分 之一啊。走两边数同时乘以 y 棱 y 分 之一啊， 对不对？好了， y 棱 y 和 y 棱 y 分 之一啊，对不对？好了，几就是一啊， 对不对？好了， x 叫女孩对吧？女孩？女孩的头在这里啊，他在这里干啥？他不听话。怎么不听话？同乘他的倒数啊，谁不听话？乘以不听话倒数啊，你看这不自然而然就分出来了吗， 对不对？第三步，叫谁不听话？是不是？乘以不听话的倒数，对不对？好了，是不是？两边干啥？是不是在同时积分就可以了？好了，那这怎么办？怎么说？遇到分子多不可怕，是叫能拆则拆呀，对不对？你比如谁呀？是不是？比如来这个积分你会积， 不对？不对， x x 方再加一呀，对不对？分子多不可怕，是不叫能拆则拆呀？是不是？变成这两个积分你当然都会积了， 对吧？那是啥？这是分母多，你要记住，分子多不可怕，能拆字拆分母多也不可怕，对吧？写成这两项的乘积， a 乘以 b 分 之一，不就是 a 乘以，是不是乘以 b 乘一啊？那是不可以写的啥？是不是可以写成另外分之一？乘以啥？是不是乘以我们的外分之一啊， 对不对？当然没有用吧，是不是点啥？是不是 x 分 之一点 x 啊？好了， y 分 之一是不是有一个长期的错位分啊？是不是擦掉了 y 分 之一可以凑出来，是不是可以凑我们的另 y 啊，对不对？ 后面积分是啥？是不是我们 learn x 的 一个啥？绝对值，对不对？后面是不是 learn x 绝对值是一个积分公式，对吧？没有用吧？然后呢，咱们说前面怎么办？是不是令它等于 t？ 咱们不要，是不是利用积分位置的一致性，我们知道 x 逆点 x 就是 learn x 绝对值啊， x x x 啊， 棱 y 棱 y， 所以 它记出来就是棱 y 的 一个绝对值啊，对不对？好了，咱们要看啥？统一结构，对吧？这是棱，这是棱，你这个 c， 你 不写成棱 c 吗？ c 都认长数，楞 c 当然是认长数啊，是不是后面是个啥？对数的性质是不是楞 a 加楞 b， 对 吧？对数相加是不等真数相乘呀？那如果是对数相减呢？是不得我们的真数相除呀？ 那 learn the a 的 b， 这个 b 是 个小字，是不是给趴在前面？就是啊，就是 b 背的 learn a 啊，对不对？对数相加是不是等于乘数相乘？那就是啊，是不是就是绝对值 x 乘以 c 啊， 那就是 c 倍的绝对值 x 啊，对吧？两个棱相等，所以是不是两个真数相等？所以是不是棱？ y 的 个绝对值不就是 c 倍的绝对值 x 吗？是不该去绝对值了？咱们说去绝对值，你比如 x 绝对值是不是等于三？那 x 等于啥？是不是等于正负三呀？该去绝对值，两个绝对值是不是都可以去掉？都是，应该是正负啊， 对吧？ c 都是任乘数，正负 c 是 不是也是任乘数？正负 c 直接写成 c 啊，对不对？ 没有用吧。好啦，让你求啥？让你求特写呀。所以将这个处的条件 x 等于 y 等于 e 带进去，对吧是吧？ x 等于 y 等于 e 带进去啊。 x 等于 y 等于 e， 那 就是 l e 是 不是也是啊？ c 乘一啊， 对吧？棱一等于几？棱和一是个反数就是一啊，一等于 c 乘一就是 c， c 等于几？ c 等于一啊，这不解出来了吗？对不对？好了，所以 x 不 对有内外吗？有的人还想化解，对吧？如果遇到难的，实在不会化解怎么办？你写到这也是给分的对不对？那要化解一下。 y 等于啥？是不是 y 等于 ex 啊？ 没有赢吧？对，这是他的谁啊？特技对不对？没有赢吧。总之我们的极限和积分那一讲起来是不是比较的简单，如果遇到这种难的，对吧？老师也把思路告诉你了，希望你下次遇到应该也得会啊。那咱们看一下我们每年必考的谁啊？必考的微方程。 那咱们看一下我们专升本中微方程总共有哪些？第一个就是我们的可降阶的微方程。那什么是可降阶的？形容 y 的 高阶导等于谁啊？等于 f x 的 一个表示叫可降阶的叫几阶导，及其的分呀， 对不对？例如 y 撇等于 x， 这叫可降阶吧？等于左边是关于 y 的 高级导，几阶导一阶导等于，右边是关于 x， 表示 对不对？叫可降低的叫几级的积分呀？那一级的是积一次分就行了，所以 y 撇积一次分就变成 y 啊。那 x 积分是啥？是不是二分之一 x 的 平方呀？是不是再加 c 呀？所以这个通解是不是就能解出来了， 对不对？那类比一下，你的 y 两撇等于 x 是 不是？当然而然你也会去解了叫我们的可降解的，但是大体一般不会让你考察可降解的，对不对？好了，那怎么看像我们的第二个叫可变量的。 那可分面料的怎么分离？等会老师教你怎么分离啊？叫男孩和男孩玩，女孩和女孩玩。对，你把 x y 分 出来对不对？两边同积分就可以啊。 对，我们一般把这个 y 当做女，而男孩 x 当做女孩，对吧？叫可分面料的。那还好，考的啥爱好考都是我们 e 阶性为方程。对， e 阶性为方程，对吧？ e 阶的线性为方程。 好了，那这可的比较多啊。那形容向量叫一阶向量方程，是不是形容 y 一 撇是不是再加上撇 x y 是 不是等于 q x 叫我们的一阶向量方程？ 那如果这个 q x 等于零，对不对？我们叫一阶向量向量，叫其次为方程，如果这个 q x 不 等零，我们把它叫做一阶向量向量，非其次 对不对？如果其次它通结，怎么设置？它通结是不是 y 等于谁啊？ c 倍的 e 的 负的是不是撇 x d x 啊，对吧？如果这个 q x 不 等零， 对不对？他通结怎么设置？先把这个照抄啊，那就 e 的 负的是不是撇 x d x， 对 吧？因为啥？因为这个 q x 不 等零，所以后面先来啥？先来个 q x 这个积分呀，对吧？然后呢？是不是他俩互为相反数？那就是啊，那就是撇 x d x 是 不是 d x 再加 c 啊， 对不对？不好意思站。嗯，写我瞎了啊，不好意思啊，对吧？遇到啥？遇到外撇又有外，我们一般的情况下就利用一阶线为方程去解，对不对？外撇和外都，我们把它放在啥？放在等式的左边，而且一定保证外撇修饰几。外撇系数是一，如果不是，一干啥？同除， 对不对？没有音吧。好了，那咱们看一下我们的第二个就是我们二阶的长细说的形容啥？形容 y 两撇再加 p， y 一 撇再加 q， y 等于零，加二阶的长细数，其次的对不对？第一步干啥？写他的特殊方程 对吧？就是啊，方是不是再加上 p r， 是 不是再加上 q 等于零，加二阶的长数，对吧？这是谁啊？一二方成当中解出两根啊，一啊二， 对吧？那如果 r 一 r 二谁啊？不相等，它通解是啥？是不是 y 等于啥？是不是 c e e 的 r e x 是 不是再加 c 二，是不是 e 的 r x 啊？ 那如果 r 一 和二相等，都等于啥？都等于 r， 它通解是不是？ y 等于啥？是不是就是 c 一 加上 c 二？一定不要忘记这个 x 是 不是就是 e 的 r x 啊？ 如果 r 一 r 一 解出来，是啊，是我们的共辅根数 r 正负 b 打 i 啊，它通结 y 等于啥？就是 e 的 r f x 是 不是乘以 c 一 口四 n 被打 x， 是 不是再加上 c 二，是不是四 n 被打 x 啊？对不对？没有用吧，但是我们重点考察的都是 e 阶信信为方程， 对不对？好了，没有音吧？好了，如果是大题，如果让你求啥通解，一定注意。写谁啊？ c 为任长数，你不写的话可能会扣一分啊，对吧？一定要写 c 为任长数啊，对吧？那咱们看一下二零二五年的第十五道， 那咱们看看二零二四年第十四道题，对不对？你看这道题是不是谁啊？是可降解的吗？不是，对不对？是可分离变量的吗？ 对不对？你可以把它当做可分量的，但是你分你不出来，对不对？那就干，啥时候就一接线圈了，是不是含 y 撇又含 y 呀？你看是不是含 y 撇又含 y 了？大部分就是我们的一接线位方程，对不对？按照这出音来，对吧？一一接线位方程。咱们说了 y 撇和 y 一定干啥？一定在等式的左边呀， 对不对？外撇和外等在等式左边，但是这个外是不是在等右边干啥？给他一个向，所以外撇移过去，所以把这个外是不是移过去？移个向的时候不一样，就编号，所以负外移过去，是不是正值正外啊， 对不对？没有用吧？好了，变成我们 e 阶向量方程。对啊，是 e 阶线系其次和非其次啊，对不对？那是不是取决于 q x 啊？ 你看等式右边是关于 x 表示啊，是不是不等零，所以是 e 阶性非奇斯。 e 阶性非奇斯，我们干啥要备注它通结，它通结，是不是再写一遍？那有啥，那就是 e 的 负的，是不是撇 x 点 x， 是 不是再乘一下，再乘 q x 是 不是 e 的？ 它俩互为相反数，是吧？是不是撇 x 点 x 点 x， 是 不是再加一个 c 啊？ 是不是找到 p x， 找到 q x 就 行啊？ p x 是 啥？是不是就是 y 的 系数？ q x 是 不是等式的右边，对吧？ p x 是 啥？是不是 y 的 系数？ y 的 系数不就是一啊？ q x 是 不是等式的右边呀？ 对吧？等式右边就是啥？就是 x， 怎么写成一啊？不好意思啊，所以将 p x q x 带进去啊。 p x 等于几？是不是一啊，对不对？ q x 是 啥？是不是 x 啊？ p x 啥？ p x 不 就是一啊，对不对？是吧，计算这个积分一的元素，是啊，是不是 x 啊？所以积分就是啥 e 的 f x 啊，对不对？ e 的 元素是啥？不就是 x 吗， 对不对？好了，没用吧，此时这个积分怎么去积？这个被量数出现两个了吧，是不是出现两个？是不是？再讲一遍，是不是根据我们的啥反对密三指 或反对密值三，是不是将 call 后面的去凑？出现了 x， 将面数出现啥值换数，是不是将 call 面值换去凑，是不是将 e x 去凑？咱们写过了吧，凑个分， e x 可以 凑谁，是不是可以凑我们的 e x 啊？ 分不清法了，是不是之后它就啥 u v 的 形式，是不是它俩相乘，是不是再减它俩交换位置的一个积分呀？ e x 选项是不是 e x 啊？所以这积出来了吧？所以后面积出来就是 x 啊， 对吧？有样怎么办？是不是提出去啊？所以是不是将这个 e x 是 不是给它提出去啊？提出只剩啥？是不是只剩我们的 x 再减一啊，对不对？没有用吧？好了， e x 乘以一的 f x 是 不是叫同底数密相乘，是不是叫底数不变？是不是指数相加呀？ f x 加 x 就是 几，就是零，对吧？一的零次密等于几？一的零次密是不是等于一啊？所以后面一算等于几，是不是就是一啊？所以它相乘它等于几，是不等于我们的一啊， 对不对？所以一化减就差就是它，所以通解就是它呀，对不对？但是还可以再化减，对不对？为啥呀？ 因为咱们说了 c 都是任意长数，对吧？你减个一，它也是任意长数，你加一也是任意长数，是二加 c 三 c 五 c， 对 不对？ c 加一啊， c 加一万都是任意长数， c 是 不是一百？ c 是 不是也是任意长数？是不是？你可以写成它，是不是也可以写成 x 再加 c 啊， 对吧？你写它也不错，对不对？也不错啊，但一定要写啥 c 为任意的长数，给它标出来， 对不对？好了，那咱们是不是刚写了？是不是刚写了？这个 e x 是 不是乘啥？是不是乘这个 e 的 负 x 等于几？是不是等于我们的 e 啊，对不对？那如果遇到这个不定积分，你会怎么做啊？ 对不对？想必你有干啥？有多种方法，对不对？那怎么看？方法一，是不是分子分母长的一样，拿分子凑你分母啊， 对吧？你的分母是不是加 e x？ 我 可以加 e x， 我 再减个 e x 不 就横能变形啊，是不是从这个减函数裂开，照分子分母长的一样，是不是拿分子凑分母？咱们讲了吧，对吧？但是咱们不考，咱们说了，是不是也说了， 对吧？从这个减函数裂开，那前面就是这样，就是一加 e x 比上一加 e x 是 不是？ d x 是 不是再减，对吧？那就是一加上 e x 分 之 e x 就是 一一的元素，就是 x 啊， 对吧？好了，后面看啥？是不是使用你凑一分啊？ e x 是 不是又在一起了？是不是可以使用啥凑分？ e x 是 不是可以凑我们的 e x 啊？对吧？但是咱说叫凑分，一步做二步就直接凑完 e x 加几？加 e， 咱们也加 e 啊， 是不是可以利用这个东西？是不是等于啥 t 啊？实在不行是不是令我们的积分位置的一致性 t 分 离体 t 的 一个绝对值啊？是不是再加 c 啊？积分位置一致性是不是 t t t 啊？一加 x 一 加 x， 所以 它记出来就是 l， 是 不是一加 x 的 一个绝对值啊？对不对？就记出来了吗？ 对不对？因为 ex 啥？因为这个 ex 是 不是这个非负的，所以可以把这个绝对值是不是自然而然的就给它打开了吧， 对不对？把这个绝对值给他打开，变成啥？变成我们这个括号，对不对？什么时候能打开，对不对？这个平方任意一个平方一定是非负的，对不对？可以打开 是吧？如果再加任意整数，当然可以打开了，如果遇到一个普通的 x 方，是不是再加上 b x 再加 c， 对 吧？如果他小零是不是也可以打开，对不对？是不是判定是得他如果小零是不是可以打开，对不对？没明白这是啥第一个方法，那怎么看下第二方法？那第二方法怎么办？ 这个方法 ex 想谁是不是可以想你的谁啊？是不是可以想你的 e 的 负 x 啊？所以，对，这个式子是不是分母？是不是同时乘以啥？是不是同时乘以我们的 e 的 负 x 啊， 对不对？有空怎么办？给它打开一下，那就是，那就是 e 的 负 x 是 不是再加几？是不是再加一啊？它的相乘是不是得 e 刚输了，对吧？ 那就 e 的 负 x 怎么办？是不该使用啥凑为分啊，对不对？是不是可以将 e 的 负 x 是 不是可以凑进去？ e 的 负 x 可以 凑我们的谁 e 的 负 x 啊？ 对，但是有多少谁？是不是多了个符号呀？是不是？咱们说凑分，一不做二不休，直接凑完再加 e 啊？是不是又变成这个积分了，对不对？没有赢吧，这是我们的一个场景思路，如果遇到这个积分，你看这样，你看我们的黑龙江是不是考到 e 的 x 积分了？对，那那一道题是不是考上我们的谁啊？ 考察我们的区间在线，对吧？但是我们要考只会考这么难的，不会考那么难的，没有用吧？ 这是二零二四年，那咱们看看二零二三年对不对好了，是不是？是可降阶的吗？一看不是对不对？你看等式左边是只关于 y 的 关系的吗？不是，对吧？不是可降阶的，是可分离面料的吗？ 对不对？你好像是不是分离不出来呀，对不对？那一看就是一阶性，是不是又含外撇又含外啊，对不对？好了，咱们说了，外撇和外是不是放在啥？是不是放在等式的左边，对不对？其他的是不是放在等式的右边呀？ 对不对？但是我们一阶性为方程，对不对？一定保证啥？一定保证外撇系数为几？是不是为一啊？才能套同底公式对吧？它系数不是一怎么办？是不是给它同时除以几？是不是同时除以三呀？ 没有用吧？当然也没有用吧。好啦，这变成一阶向量非奇，因为这个 q x 是 不是不等零啊？所以套入它通解公式。 y 等于啥？是不是就是 e 的 负的撇 x， d x 是 不是再乘啥？是不是再乘 q x 是不是 e 的？ 是不是？它俩互为相反？这是负的，那就是正的，那就是 p x d x d x 是 不是再加 c 啊？说找到 p x， 找到 q x 就 行了。 p x 是 啥？咱们说 p x 不 就是 y 的 系数吗？那就啥？那就是负的三分之二。那你的 q x 是 啥？ q x 是 不是等于是右边？那就是负的三分之一，是不是 e x 这样带进去啊， 对不对？是不是将它带进去就可以了？好了， p x 上是不是负的三分之二，对吧？负的前面有，负的就是正的，对不对？三分之二是不是常数怎么办？有常数给他提出去啊，怎么说了对吧？ q x 是 啥？ q x 不 就是负三分之一， 是不是就是 e x 啊，对不对？有乘法怎么办？是不是给他踢出去？咱们讲了吧，我好像写不开了，回来再提行吗？ p x 是 不是负的三分之二？是不是将这个负的三分之二是不是给他提出去啊？ 对吧？好啦，没有明白。好啦，那 e 的 原数是啥？是不是 x 啊？ e 的 原数不就是 x 吗？所以积出来了。那 e 的 原数是啥？是不是 x 啊？这不积出来了吗？ 嘚也没有音吧。好啦，那后面是啥？是变成我们的同底数相同底数密相乘，是不是底数不变，指数相加？那比如说 e x 是 不是乘以 e 的 负的三分之二 x？ 同底数密相乘，是不是底数不变，指数相加呀， 对不对？相加，那 x 加上是不是就是负的三分之二 x， 那 不就是啥？那不就是负，那不就正三分之一 x 吗，对不对？那不就正的三分之一 x 吗？所以前面不就积出来吗？所以它不就是 e 的 三分之一 x 吗？ 好了，没有用吧？好了，那这题向谁积分？是不是向我们的 e x 积分啊？那咱们来说呀， e x 积分还是啥？就是 e x 啊，它记出来不是 e x 加 c 吗？根据积分位置一致 x x， 所以 它记出来就是 x 啊，这是三分之 x， 对 不对？它一定是啊，是不是三分之一啊？那前面有个三分之一，我直接干啥？直接拉过来，对不对？ 没有用吧？好了，根据积分位置的一致性 x x x 啊， seven x seven x， 所以 记出来就是 e 的 seven x 啊， 对不对？积分位置的一致性，这不有了吗？好了，是不是要干啥？是不是可以把这个括号盖啊打开啊，对吧？每项都要乘，那就是 e 的 三分之二 x 是 不是乘以负的？一正乘以负的结果就是负的， 所以就是 e 的 三分之 x 啊，是不是再加上 c 倍的 e 的 三分之二 x 同底数密相乘，是不是底数不变，是不是指数相加呀？三分之二加三分之一那就是一，那就一个 x， 所以 就是啥 e x 啊， 对不对？没有音吧，所以他通解是不是这样？一定一定不要忘记写 c。 为啥？ c 为任意的常数，那就可以了，这个符号就是任意的符号。我不写那个字了，你考试得写啊。 c 为任意常数，你看是不是也是不是特别难啊？

六周考研上岸中科大泰勒公式解决所有含加减符号的求极限问题，只要我们做题看到加减符号无脑用泰勒公式就行了。今天就拿二零二三年第十一题给大家打个样函数 f x 是 g x 的 等价无穷小，但 x 趋近于零时，所以 f x 比上 g x 等于一， 那么我们直接对它进行泰勒展开，上面对裸眼进行展开，裸眼一加上 x 就 等于 x， 减去二分之 x 平方，加加加。下面对一的 x 平方进行展开就等于一，加上 x 平方加加加。同样的对口算， x 进行展开 等于一，减去二分之 x 平方加加加。好。然后把这些展开后公式全部带入。上面就等于 x 平方，加上 a， x 加上 x 减二分之 x 的 平方，下面就等于一，加上 x 的 平方，减去括号一，减去二分之 x 的 平方。 好，我们整理一下，上面等于 b 减二分之一 x 的 平方，加上 a 加一括号 x 下面就等于 二分之三 x 的 平方啊！那么因为它的比值为一，所以它的系数就要相等，就列出来， b 减二分之一就等于二分之三， a 加一等于零，解出 b 等于二， a 等于负一，所以 ab 等于负二啊！非常简单，只要我们看到有加减符号的求极限问题，直接无脑太多公式就行了。