高三数学基础题

主播，主播，都说立体几何简单，但是我第一问证明总没思路，后面的二面角也不知道怎么求，能不能出个视频教教我？没问题，同学，本期视频将选出两个最新高考题，带你体悟做题思路。 好，今天我们看到这个立体几何的题型梳理部分，我们先讲大题啊，因为大题他的套路话是比较明显的，基本上你学了之后呢，下一次考试再遇到你就能够拿分。那至于小题部分呢，我们等把这个大题讲完之后再去分析啊。 行，我们先看第一题。第一题先看一下他让我们证明什么？第一问，永远的证明题，他让我们证明面 p a、 b 和面 p a、 d 是 垂直的。好，那是什么？面面垂直吧。我们想到怎么样能够推出来面面垂直呢？ 是不是啊？线面垂直啊，那画个图来表示一下，如果说我们有一个线垂直于一个平面，那是不就有过这个线所存在的一个平面会跟这个平面是垂直的呀， 对不对？同学们想一下，在这个知识点梳理课有讲到的好。然后我们回到这个题目，他想要这个面和这个面垂直，那我们看一下有什么条件吧。 第一个， pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 好， 那也就是说我们通过这个可以得到 pa 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 那 它就会有 pa 垂直于 ab 以及 pa 垂直于 a、 d。 那 为什么我要写这两条边呢？我写这两条边不一定是说我这个全都要用到啊，我写它的原因是因为我下一个条件出现了 ab 和 ad。 同学们看一下，下一个出现了 ab 和 ad， 所以 我写它们是为了把两个条件联系起来，看能不能帮助我们解析。 好的，看第二个。我们现在假如说你选择这一个吧，撇垂直于 ab， 好， 这一个是垂直于 ab 啊， 那我们现在发现了你 ab 这条线，它既垂直于 appa， 又垂直于 ad， 那 不就会垂直于这两个相交直线所构成的平面吗？对不对？你看我 pa 垂直于 ab， 然后右边这个就不用了。然后又因为 ab 垂直于 ad， 这俩它们是相交直线，那我们就会有 pa 垂直于面啊，不是，是 ab 啊， ab 垂直于面， p a， d 吧。然后又因为 ab 它是属于这个面 p a， b 的， 所以就会有面 p a， b， 然后会垂直于这个面 p a， d。 好，写到这里答案就出来了。但你考试不能像我这么写啊，我这个是帮你进行思路分析的，我待会再给你把标准答案写一下。考试不能这么写啊，这么写是零分的好吧，零分行。然后我们看一下第二问，第二问先把这个擦一下， 第二问，他说了什么？给了我们各个边的边长。好，我们看一下。 pa 是 等于 b， a 等于 ab 等于根号二啊，根号二，根号二，然后 bc 等于二啊，这个等于二， ad 又等于 ad 在 哪？ ad 在 这里一加根号三。然后他问我们，且啊，他告诉我们，且， p， b， c、 d 这四个点都在求 o 的 球面上。 好，出现了一个球了，外接球，这四个点都在球面上，那说明什么？同学们，说明什么？是不？说明球心到这四个点的距离都相等啊，你想一下，画出一个球，然后告诉你， 球心，你是不是有这个球心到球上的各个点的距离都相等啊，都等于半径啊。好，我们这里可以理解，然后他第一位让我们证明点 o 在 平面 a， b， c， d 内，那你现在就知道这个，证明一下这个点 o 在 这里面，那咋办呀？ 其实你就直接间隙嘛，对不对？间隙，假设间隙完之后，你假设这个点 o， 假设这个点 o 是 x， y， z， 然后你利用哪一个条件利用这个？ 呃，这，利用这个 o， b， o， p， o， d， o， c， 这四个点的距离都等于 r， 利用这个条件，然后解出 o 的 坐标，然后你会发现你这个 o 的 坐标啊，它的，它的这个解轴的坐标一定是为零的啊，一定是为零的。好，然后我们具体再分析一下，看一下怎么接啊。 刚刚我们通过第一问是不证明出来了，这一个垂直于啊，不对，是这一个垂直于这两条线呐，对不对？然后又有这一个是垂直于这两个的吧，然后我们会发现，其实这就是一个两两垂直的，两两垂直的三条线吧，那你就可以直接间系了啊，由一可 得啊，不用，由一得也行，直接就来以，还是写一下吧，由一之 a， b， a， p， a， d 两两垂直。 好，那么我们就会有以 a 为圆心，以 a 为坐标原点，不是圆心啊，坐标原点， 然后 ab 为 x 轴， ad 为 y 轴， ap 为这个， 呃，画的不是很标准啊。好，这样子， a， p 为 z 轴啊， z 轴 x， y， z。 好， 然后 ab， 那 这个这个箭头方向要写好啊，你不能说 b a 啊，你不能说 b， a， 那 就不对了啊， ab 为 x 轴， 再来 a， p 为 z 轴。 行，我们写到这个形式之后呢，然后你开始写坐标了，看一下你需要用到什么坐标，你再写什么坐标点 a 是 不是零零零啊，对吧？因为它在坐标原点嘛，在坐标原点。好，我们再下一个，我们刚刚说了，你要表示出来哪几个呀？ o p， o， b， o， c 以及 o d 啊，这四个，四个长度，然后我们看一下 b 点， p 点，那 p 点坐标在哪里？它是不在，因为你 p a 是 垂直于这个底面的嘛，所以 p 点坐标肯定是在 a 点坐标的正上方，所以 p 点坐标，它的 x 轴和 y 轴的值为零。 零零。好，那它有多高呢？多高？就是这段长嘛，这段，这段长是不是根号二啊？题目说的 好，再来下一个 b 点坐标， b 点坐标，它出现在这个 x 轴上，它在 x 轴上的话，说明它的 z 轴啊，以及这个 y 轴的值为零啊，同学们看一下，因为它都没有往上飞嘛，对不对？它也没有往右边走嘛， 所以它的 x 轴坐标应该是根号二，然后零零。好，下一个写 c 点坐标， 我们看 c 点坐标。 c 点坐标，因为因为 bc 平行于 ad 嘛，对不对？你 bc 平行 ad 的 话，而我们刚刚第一问，证明了它是，它俩是垂直的， ab 垂直于 ad， 所以 ab 也会垂直于 bc 吧， ab 也会垂直于 bc 吧。好，那会垂直的话，我们就可以得到你这个 c 点，它在 x 轴上的坐标应该就是这一段了吧。 c 点在根号二。好，那他的 y 轴上坐标呢？是这个吗？不对啊，是这一个啊，因为这俩才是垂直的啊， c 点到 x 轴的距离就是他的 y 轴，就是他在 y 轴上的长度。好， c 点到 x 轴的距离就是他在 y 轴上的长度，那应该是二，然后这轴是零，根号二零。然后我们再看这个 d 点坐标， d 点坐标的话，它在哪里？它在这里，那它的 x 轴坐标应该是零吧，然后 z 轴也是零，那就是 y 轴是一加根号三， 那我们写零，一加根号三零。那现在我们这五个点坐标都出来了，那我们再表示一下这个各个各一个值吧。因为我们设球心 o， 我 们讲的这个球心 o 点坐标为 x、 y、 z。 好， 然后，所以， 所以看一下 o、 p， o、 p 向量是不可以等于后减前吧？还记得吧？后减前啊，那就是负 x 负 z， 然后，啊，不对，负 y 啊，然后根号二减 z， 行，然后再下一个 o b 向量是不等于 b 减掉 b， 减掉这个 o 吧，那就是根号二减 x， 负 y， 负 z， 然后 o c 向量，它就会等于 c 减到这个 o， 根号二减 x， 二减 y， 然后负 z， 再来 o、 d 向量会等于一个 负 x， 一 加，根号三减 y， 然后负 z。 好 了，这四个向量都出来之后呢？我们下一步怎么办？是不算他们的长度啊，对不对？算他们的长度啊，也就算他们的魔长，魔长。然后我们把第一问先猜一下 魔长怎么算，你看一下我们是不是有 o、 p， 我 们正常来说，向量的魔长是不等于， 如果它的坐标是 x、 y、 z 啊，那是不是就有根号下的 x 方加 y 方加 z 方呀？那在这里是不就等于根号下啊？是不就等于 r 呀？ 对不对？因为我们说它的长度是等于 r 吗？等于半径吗？那我不如直接把两边都平方了，这个平方不就可以把这个根号去掉吗？对不对？好，这个向量的计算问题，那就是由 x 的 平方加上 y 的 平方，加上 根号二减 z 的 平方，然后会等于这个 r 的 方，然后下一步就是根号二减 x 的 平方加上 y 的 平方，加上 z 的 平方会等于 r 方。 根号二减 x 的 平方加上二减 y 的 平方，加上 z 的 平方会等于 r 方。 因为虽然我这里是负 z 啊，但是你平方后他肯定跟这个是一样的嘛，对不对？你平方把那个符号就去掉了嘛？所以我直接写这个 z 的 平方啊，然后在下下面这个就是 x 的 平方， 再加上一加根号三减 y， 一 加根号三减 y 的 差的平方，再加上 z 的 平方等于 r 方。好，接下来我们这样子有一二三四，你通过这四个试试了，想要把这个 x、 y、 z 解出来肯定是很容易的嘛，我们先观察，先观察一下要先连累哪些。 呃，我们先看，先看这个第二和第三吧，对不对？你看第二和第三，为什么呢？你第二和第三去相减，这个是和这个减没了， z 和 z 也减没了吧， r 和 r 也减没了吧，对不对？那我们是不是就可以得到 y 方会等于二减 y 的 差的平方？ 好，二三可以得到 y 方会等于二减 y 的 差的平方，对不对？那很明显得到什么 y 等于一吧。好，再来，我们有 y 等于一，再看一下，还要连哪一个呢？ 我们看一下二四啊，二四连立一下二四的话能得到什么？阿方，阿方没了，这个和这个没了。行，我们要化简一下啊，化简一下二四就比较麻烦一点了，我们把这个啊也不会啊，我看插一下。哪里，这里插了吧， 这里插了，我们看一下二二四连立。连立之后，你可以把这个 y 等于一带进去的啊， 那就变成了根号二减 x 的 差的平方，再加上一会等于根号二啊，不是就等于 x 的 平方再加上 三，然后好，没了，没了，那我们选这个形式呢，然后我们观察一下怎么化解这里减一减一变成加二了，左边开，开，左边把这个平方开出来，他会变成了一个 二减掉二倍根号二， x 加上 x 方，那两左右两边的 x 方都给他约掉，那就变成等于二等于二。之后呢，又把这个二和二又约了，那变成负的二倍根号 x 等于零，那很明显说明什么？ x 等于零吧，你一个数乘以一个负倍二倍根号二，怎么样才能等于零啊？ 那只能为只能是这个 x 等于零嘛。所以连立这个二四啊，我们可以得到 x 等于零，然后再来，再来。 哎，这个牌子不差了吧，保留一下计算数据啊，然后再再下一步呢，我们看一下连立哪一个，把这个往下面移一点。 好，我们现在已经有了 x， 有 了 y， 那 我们再需要求一个 z， 其实直接我看一下 好连的这一条吧，这一条和这一条啊，这两条来我们看一下，有 x 方都没了，那 y 方左边变成 y 方，加上根号二减 z 的 平方，然后这个一和四。我现在连的是一四啊，然后右边是 一加根号三减 y 的 平方。行，好，这两个是相等的，我们再哦还要加一个 z 的 平方。对，好的，我们现在进行一个化解， 看一下 y， y 刚刚说了 y 等于几啊？ y 等于一吧，对不对？ y 等于一，那就是一加上这一个给它开出来。二减掉二，二减掉二倍。根号二的 z 加上 z 的 平方会等于， 会等于一减一枚啊，那就是三加上 z 的 平方，然后这俩都约了，这俩都约了，那就会变成负二倍高。二， z 也等于 零吧，对不对？那这个不就化简了吗？等于零，所以连立一四，我们会发现 z 也是等于零的，这里可能会过得比较快啊，同学们算一下就行了，这是纯计算的纯计算问题，相加相减。好，那我们先就得出来，所以 这个也差了，所以这个点 o 坐标为 零幺零，那不就可以说明出来吗？ g， 你 还没去说 g 点 o 在 这个面 a、 b， c、 d 内嘛，可以了吧？因为你这个 z 都等于零了嘛，它就在这个面内在运动了嘛，它都没有高度了。 行，然后我们第一问，就第二题的第一问就结束，我们准备擦一下啊，擦一下，那核心思想就是说，你假设一个点 o 出来，然后要使得你，因为你这个是点 o， 是 球心嘛，对不对？那你肯定到球上的各个点的距离都等于半径， 所以我们把这个坐标作列，列出来之后再相加相减连立，就可以得到最后的答案。行，我们把这些擦了啊， 然后我们讲一下第二，第二问的第二问好就是这个，这个来看，求 a c 与 p o 所成角的余弦值。那这个很简单了，线，线角，我们之前讲过，你怎么去求 a c， 怎么去求这个两个异面之间所成的角啊？ 哎，刚刚那个 o 点坐标是是几啊？我们看一下。是哦，零幺零啊，零幺零。行，零幺零，因为这一问要用的啊，要用的。好， o 是 零幺零。行。我们是不是可以把这两个向量写出来？你向量写出来之后， a c 向量等于什么？ p o 向量等于什么？写出来之后你再假设这两个角所。呃，假设这两个线所成的角为 theta， 然后 cosine theta， 它就会等于 cosine 的 a c 与 p o 的 所成的角好于线直行，然后再往下面写，这为向量的运算呐，对不对？向量的运算， a c 向量乘以 p o 向量，再除以它们各自模的乘积嘛， 对吧？那这个就是纯计算问题啊，这个我就不细算了，不细算了，把这个坐标自己算出来就好了。在这里坐标都有了嘛， a 点、 p 点、 c 点和 o 点 四个点坐标都有了，你后减前，然后得到这个向量坐标，再进行一个运算就可以了。好，这项量这一节的内容啊。行，我们这个就结束。 好，我刚才讲讲了要把这个第一问的内容啊。行，我们这个就结束。好，我刚才讲了要把这个第一问了啊， 看一下啊，我们先把后面讲完吧。后面讲完先看这个第二问第二道题。好，他让我们证明线面平行啊。线面平行，那我们想一下，你要证明线面平行有哪些方法呀？是不是可以想到线线平行啊？ 或者说面面平行吧，对不对？你线面平行，那就是一个线平行面内的一条直线，那么就可以得到这个线是平行这个面的， 然后面面平行，就是如果你已经两个面平行了，那么就会有其中一条面的任意一条直线一定会平行另外一个平面。好，我们先看一下这一条，这这一道题要用到哪一个式子啊？首先我们看它要的是 a 撇 b 来平行于这个 a 撇 b， 想要平行于这个平面，那不就是。如果说你要利用线线的话，那我们看应该是这个平行这一条吧， 但你看这个好像不太可能平行吧，对不对？那你就找一下能不能面面平行。如果说你要利用面面平行，那很明显过这个线处存在的一个平面就是这个面了。面 a 撇一 b 要平行，面 d 撇 c f。 好，我们看一下能不能，能不能正得平行，先看有什么条件。题目给了 ab 平行于 cd， 哎， ab 平行于 cd， 那 不是很好的用吗？那我们就有 b、 e 会平行于 c、 f 吗？ 好， b e 平行于 c、 f 能够得到什么？是不是能够得到 b e？ 它是属于啊，不是？不是属于啊，那是不可以得到 b、 e， 它会平行于这个面 c、 f、 d 撇啊，对不对？好，再来，我们这个图形是怎么来的？是不是原来这个这个四边形给它翻折翻上来的呀？ 对不对？你翻上来的话，那我们是不可以得到原来原来我们这个边是平行的，你翻上去之后，他肯定这两条边依旧平行啊， 那就是 a 撇 e 会平行于这个 d 撇 f 啊， a 撇 e 平行于 d 撇 f， 那 同样的，你是不是可以得到 a 撇 e， 它会平行于这个面 c、 f、 d 撇啊，对不对？你光看字母也知道啊，这个 d、 f 肯定是属于这个面内的嘛，你看它这个字母都一样。好，接着我们来看 b e 有 了， a 撇 e 有 了，它们是不是有共同点？ e， 对 不对？所以它们一定是属于这个平面 a、 b、 e 撇的啊？不对，属于哪个平面？呃， a 撇 b e 啊， a 撇 b， e， 把这三个字母混在一起就行了， a 撇 b、 e， 那 你放在左边来看，也就是这样子， a 撇 b， e， 对 不对？那你现在题目要求的这个边，它不是 a 撇 b， e， 对 不对？那你现在题目要求的这个边，它不是 a 撇 b， e， 对 不对？那你就可以得到面 a 撇 b， e 会平行于面 c、 f、 d 撇，并且 a 撇 b 是 属于这个面的，所所以说 a 撇 b， 它就会平行于这个面， c、 f、 d 撇。好，这个具体过程我就不写了啊，因为时间还是有点紧啊，我们要讲的题目比较多。行，然后写到这一步，我们重要的是把这个思路，思路讲出来，我们再看第二问。 第二问，让我们求这个二面角的正弦值，那肯定先想间隙吗？间隙的话，你要的是 x、 y、 z， 他 们三个互互相垂直吧，两两垂直吧。那你就要考虑到九十度吗？看题目有没有说，有没有说到垂直，或者说九十度来看一下。 看我们这个第二个条件，不就说九十度吗？ d， a、 b 等于九十度。好，这个是九十度，再来还有什么条件？嗯？ ef 平行 a， d， ef 平行 a， d 好， 说明这个也是九十度哦，刚刚的 ab 平行于 cd 啊，说明这两个角它也是九十度。那我们就可以做题了吧，对不对？你这个九十度，我们就可以以 f 为坐标原点， f、 e 为 x 轴，然后 f、 c 为 y 轴，好连，然后再再再说。再说明一下啊，做一个 z 轴，做一个 z 轴， 做 z 轴，分别垂直于 x、 y、 x 轴 和 y 轴啊，那当然，你考试不能像我这么写啊，我这是为了减少时间，你就写坐标轴，分别垂直于 x 轴、 y 轴。行，这样你把 x、 y 这三个都给他表示出来之后，我们就可以写坐标了，看下你需要哪些点坐标啊？ 好，需要哪点坐标？那我们先讲一下你这个二面角计算的方法是什么？是不是找出两个面它们之间的法向量啊？对不对？法向量，那法向量又怎么找呢？ 如果是 b、 c、 d 撇，我们是不是要找出里面的两条相交直线？比如说，呃， b、 c 吧，然后 c、 d 撇吧，这两个相交直线吧， 然后法向量是什么？法向量，刚才那节课上一节课讲过，它是垂直于面内的，法向量所在的直线是垂直于这条面的，那不就会有法向量垂直于面内的任意一条直线吗？所以 b、 c 垂直这个法向量 m， 这是 n， 法向量 m 应该是等于零的。 c、 d 垂直法向量 m 也等于零，然后右边就是这里面再找出两条相交直线啊，我们可以写 f 一， 它垂直于这个 m 啊，不是 m 了，右边这个是 n 啊， 等于零，然后 f、 d 垂直于这个 n 等于零。好，先把这个大字思路写出来啊，然后最后你再去计算计算就好了。然后开始我们写坐标，干脆就按照这这四条边的形式吧，把这四条边的坐标写出来，先看 b 点坐标，看他有没有给我们具体数值啊。 哎，没有给我们具体数值，但是他给了我们各自边的比例吧，对不对？还给了各自边的比例，我们怎么办？ a、 b 等于三 a d， a， b 等于三 a d， 那 我们假设 a d 为 x 了，这个也是 x， 为什么？因为这两条两两边互相平行嘛，那很明显一个平行四边形的，所以这样出来之后，我们还有 还有什么 ab 等于三 a d， 所以 ab 应该是三 x。 哦，这个不是这么写的啊，这个是它的 x 轴，所以 ab 是 三 x。 好， 再下一步 还有没有给什么 cd 等于两倍的 ad cd， 那 cd 就是 二 x 了，所以这是 x， 这是 x， 那 很明显这个也是 x 吧，这个就是二 x 了吧。 行啊，那我们这么写 x 写那么多，肯定是会影响我们判断的，那我们怎么办呢？直接令 x 等于一啊。来，我们写令 a d 等于一。好，你这么写就可以得到，则我们一个坐标来写，先写 b 点坐标， b 点在哪？ 在这里。那他的 x 轴坐标应该是这一条吧，对不对？那应该是一个 x， 那 也是 也就是一了啊。一，然后他的 y 轴坐标呢？ y 轴坐标肯定是这一条嘛，这垂直的嘛，对不对？那就是二了，这头坐标是零啊。好，我们 b 点坐标出来之后，再看一下，一个 c 点坐标， c 点坐标看一下啊， c 在 哪？ c 在 这里， x 轴为零了吧，然后 y 轴为一了，那就是零。一，然后零。再来一个地撇坐标，地撇坐标的话，地撇在哪？ 地在这里，那地撇应该是这个啊，应该是这个可能被我这个盖住了，被这个字盖住了，地撇在这里。我们看一下怎么写它的坐标啊？ 嗯，先看它的 x y x y 上的位置吧， x 上它在坐标原点嘛，坐标原点的上方，所以它 x 值肯定是为零的 零。那 y 值呢？你看它是不是偏了一点啊？它往右边偏了一点吧，那偏了多少？偏了多少取决于你这个角度是多少了。看，我们说了，这两个面所成的二面角是六十度，也就是这个面和这个面所成的二面角是六十度。 那你就可以简单的理解为啊，如果说这个是，我们看这个垂不垂直啊？刚好这里是垂直的吗？对不对？我们正常来说，你要求二面角，是不是两个面，两个面各做一条垂线，并且都垂直于这个交线，然后这两条垂线所成的角就是你的二面角，那我们在这里呢， 好，不是二面角啊，对，是二面角，然后在这里就是这条线和这条线吧，对不对？知道为什么吗？因为你看啊，我们这一颗不是垂直的吗？对吧？你这个垂直之后，然后我们再看，你翻过来之后， 翻过来之后啊，翻过来之后，哎，另一条线去哪了呀？怎么看的有点晕，这个线画的有点多啊，我再看一下 两条交线，哪两个平面？这一个平面和。哦，在下面啊，在下面。行，没问题啊，刚刚我们是不是说这一条，这一条，对，以及这一条他们都是垂直于这一条线的吧， 看一下有没有问题啊？因为这个九十度，这个九十度嘛，这个也是九十度嘛，因为你是翻上去的嘛，所以这个线肯定垂直这个线的。好，这个线也垂直于这个线，所以你要求的那个二面角六十度，他给了六十度，就是这个角 d f c 啊， d f c， 它是等于六十度的。好，现在你有这个角是六十度了，再来这个角是六十， 画的有点乱啊，这一个角是六十度的话，我们看还有什么条件。我们得到 d f 是 几啊？ d f 是 d p， f 应该是等于 x 等于一的吧。好，这个是一，你想要求得它在 y 轴上的距离是不就是这个斜边一再乘以口三的六十度呀，是不是？这一段 对不对？好，一乘以口上六十度等于多少？二分之一吧，所以它的 y 轴上距离应该是二分之一啊，那它在 z 轴上的距离呢？也就是它的高吧， 对不对？是它的高，你看我这里是六十度，你做一条高，这个是一，你要求这个高的话，不就是，呃，这个长度一再乘以一个三六十度吗？三六十度不就是二分之二三吗？ 好，这是二分之一到三啊。那我们的撇坐标也出来了，接下来看一下。还需要什么啊？这个是撇啊，还需要 f 以及 e。 好， 行，看一下 f， 还要看一下 e f。 哦， f 太容易了，零零零，再看一下 e 点坐标。 e 点坐标也很容易啊，他直接就在 f 的 这个 x 轴， e 点坐标是在 x 轴上呀，对不对？那你 y 轴和 z 轴的坐标值都不用考虑了，零零。然后又因为 f 一 是等于一的，所以 e 点坐标是幺零零。 好，接下来我们这些点坐标都有了，按照这个所需要的形式把坐标写出来， 我们写一下啊。 bc 向量应该是等于后减前负一负一零。好，再来 cd 撇向量应该是等于一个后减前零负二分之一二分之二三吧。好啊，然后 这样子。行，然后再来，我们要 f e f e， 它应该是等于一个后减前 e 减掉 f 幺零零，然后 f d 撇 d 撇减 f。 好 啊，就是零二分之一，二分之根号三。好，写成这个形式啊，所以我们现在这四个点坐标都有了，然后我们准备查一下啊，查一下，不然太急了。 好，那这里形式来我们看一下。刚刚，呃，刚刚是一个 b、 c， 我 们来假设，假设 面 b， c， d 撇的法向量为 m， 然后 x， y、 z 写清楚，然后下一个 e、 f、 d， 这，这里前面照照啊， e， f， e， f， d 撇 a 撇的法向量 n 为。这里我不建议你以什么 x 一 啊， y 一 啊， z 一 啊，然后下面就 x 二啊， y 二啊，因为你这样其实是容易写混的啊，你可以选不不同的字母嘛，刚刚是 x、 y、 z， 你 这里就 abc 嘛，对不对？好，然后我们就会有 bc 向量再乘以 m 向量等于零，然后 c、 d 撇向量乘 m 向量等于零，以及这里是 f， e 向量乘以 n 向量等于零， f， d 撇向量乘以 n 向量等于零，即坐标给它乘进去啊，乘进去，那就是负 x 减 y 等于零， 负二分之 y 加上二分之根号三 z 等于零，这怎么来的啊？你就是坐标给他乘进去嘛，向量的相乘嘛，乘到这个结果，然后到右边 f， e， f， e 是 a 等于零，然后下面是二分之一 b 加上二分之根号三 c 等于零。好，来到这一步， 到这一步怎么办？我们令啊，令，令 x 等于一啊，那你令 x 等于一的话，我把它等于几啊？这里我们在前面知识点梳理课已经讲过了啊，就是你，你这到这里要计算的话，你就是令其中一个值等于一等于二，或者括号三，具体是哪个，看你计算怎么样方便 好。这个等于一的话啊，其实这样子不太方便啊，我们要考虑下一个 看，我们要考虑这个好计算才行啊。这个好计算啊，其实也可以。行，我们另 y 吧，另 y 等于根号三。好，另， y 等于根号三，则 x 等于 z 等于。你看 y 等于根号三的话，这不就是负二分之根号三吗？加上二分之根号三就等于零嘛，所以 z 等于一。好，再来， y 等于根号三，你 x 就 等于 负的根号三吧，对不对？好，其实刚刚另一也可以啊，刚刚另一也可以，可能比现在还要好算。再来， a 等于零。 好，不用考虑下面 b， b 和 c 那 一样的嘛， b 等于负根号三，然后 c 等于一嘛。好，写到这个形式我们就出来了，然后到这里的话，我准备把这些擦一下啊，把这些擦一下。 行，那我们就会得到 m 向量是什么？ n 向量是什么。到这里我们写下负根号三， 根号三一，这个就是零，负根号三一。好，先，这个形式呢，来，重点来了，我们要假设啊， 令令这个角，这句话照抄下来，照，照抄下来，令这两个面所成的二面角为 sita， 则口上以 sita 就 会等于 m 向量。 你这个写写或者不写都行啊，这个写不写都行啊，等于 m 向量乘以 n 向量， 再除以 m 向量乘以 n 向量的模。好，计算。我就不讲了，你这样一算的话，答案不就算出来了吗？啊，你现在算的是余弦值啊，然后你要正弦值在三，以 c t 就 等于一个根号下的 e 减这个的平方嘛，就可以了啊。 行，然后我们这一问就讲完了，我们再强调一下这个二面角的计算方法，把这个擦了啊，同学们，一下子考试一定要拿分的。二、面角计算方法，也就是说你找出两个面， 找出这两个面之后，你再各自设它们为 m， 为 n， 这是它们各自的法向量啊。设出来之后呢，然后你就可以算 m 向量乘以这条边等于零，乘以这条边等于零。 n 向量乘以这条边，乘这条边等于零。然后两个向量算出来之后，再利用它们之间的，再利用向量之间的关系得到 cosine theta 会等于 向量相乘，再除以模的乘积啊。好，然后我们这道题就讲这里，今天花的时间比较久啊，我们先讲两道题吧。先讲两道题，然后同学们看一下后面的题目能不能做好吧。

二零二六高考生，你们就偷着乐吧！教育局其实已经打明牌了，摊上天上掉馅饼的好事，偏偏被你们遇上了！刷到今天这个视频，真的是连大数据都在想拯救你的高考。家里有二六届考生的家长，赶紧保存视频，亲自给孩子写上二零二六金榜题名，这份祝福一定要让孩子稳稳接住，半点不能马虎！ 高考命题研导会已经明确了二六届数学的出题范围，家长们赶紧记下来，今天先给大家透露三个高频必考主题，每吃到一个，记到一个，高考就能多拿十， 轻松拉开和其他同学的差距。第一，函数年份题对例题，不用看前面繁杂的条件，直接用技巧就能描解。六， n 等于二零二六，那么四零五一对应二， n 减一，四零五二对应二 n， 四零五三对应二， n 加一，四零五四对应二， n 加二。题目给出 f， 二等于三，那么就六， n 等于二，把 n 等于二，代入各个选项，看哪个结果等于三。 a 选项二乘二减一等于三， b 选项二乘二等于四， c 选项二乘二加一等于五， d 选项二乘二加二等于六。很明显，答案选 a。 掌握这一招，能搞定百分之九十的函数年分题，省时又准确。第二，竖列对质体，质体不用复杂计算技巧，直接套用。 n 等于三加九除以二等于六，直接选 b。 再来一道， n 等于三加十，七除以二等于十。答案选 d， n 等于五加二，十一除以二等于十，三，直接选 a。 最后一道更简单，闭着眼睛就能选五十，不用纠结秒出结果，再也不用为这类题浪费时间。第三，圆锥曲线题，学校老师教的方法大多是小题大用，既浪费考试时间，又耗费大量精力。而学长的方法更高效，主要分两种，一个不要脸的， 一个要脸的。今天先给大家分享要脸的方法，记住交笔钱公式，要找图片，直接带入数值，三秒就能搞定这道题。同类题型也一样，只要抓住交笔钱这个关键，就能快速秒杀高考的解析模型，学上你 全部整理成了系统视频，一共五十多个。学会之后，考场上遇到同类体型都能直接秒杀，不用浪费时间。计算需要的同学后来告诉学长你的年纪就可以了。最后跟大家说句实在的，这种快速答题的能力在普通人眼里是天赋，但在懂方法的人看来，不过是掌握了正确的解析模型。 能拿到这些模型，高考成绩九八五就有了底气，要是拿不到，大概率只能止步专科。每天练习一个模型，坚持一个月，你就可以好好看看自己的数学成绩变化了。

不开玩笑，高三如果数学成绩不到一百一十分的你，现在刷真题和难题就是纯纯的浪费时间，一定要学会这个抄近道的方法，那就是练好基础题，稳拿基础分。 要知道，基础题才是高考的关键，因为呢，从近三年的高考试卷来看，基础题已经占到了总分的百分之八十了， 换句话说就是满分一百五十分，基础题就占了一百二十分，你说你敢不练基础题吗？而且基础不牢固，高三你报再多的班，刷再多的题都没用， 不如好好的利用接下来的时间，把这本藤远的高考基础题练一下，里面已经把难题和压轴题都给你去掉了， 只保留了基础题，你也不用担心题目超高练了没效果。像数学一共有十六套小卷，每套卷子限时七十分钟，练速度，练手感，提准确率，让你彻底吃透基础题。 而且它还会结合例题给你讲解题的思路，总结不同题型的解析方法，让你学会举一反三，考试碰见同类型的题再也不怕了。 不过也别贪多，只要把这套题练会练透，基础打好了，接下来的复习才有精力冲重难题。这套卷子不分版本，全国通用，家里有高中生的，抓紧给孩子准备上。

不开玩笑啊，高三如果数学成绩不到一百一的你，现在刷真题和难题呢，就是纯纯浪费时间，一定要学会这个抄近道的方法啊，那就是练好基础题，稳拿基础分。 要知道，基础题呢，才是高考的关键，因为从近三年的高考试卷来看呢，基础题已经占到了总分的百分之八十，那换句话说，满分一百五十分，基础题就占到了一百二十分，你说你敢不练基础题吗？而且基础不牢固，高三你报再多的班，刷再多的题都没用， 不如好好利用接下来的时间呢，把这本陈越的高考基础卷练一下，里面呢，已经把难题和压轴题都给你去掉了，只保留了基础题，你也不用担心题目超纲啊，练了没效果。像数学呢，一共有十六套小卷，每套卷子限时七十分钟，练速度，练手感， 主旋律，让你彻底吃透基础题。而且呢，他还会结合例题给你讲解思路，总结不同题型的解题方法，让你学会举一反三。那考试碰见同类题啊，再也不怕了。那不过也别贪多啊，只要把这道题练会练透，基础打好了，那接下来的复习呢，才有精力冲重难题。这套卷子啊，不分版本，全国通用，家里有高中生的，抓紧给孩子准备上。

数学是我国人民擅长的学科，没听错，不止擅长，还是最擅长。你考不到一百二，那是因为你不懂学修。那话不多说，今天就挑战一分钟，教会你一个数学学修什么呢？秒判函数的奇偶性来，竖起你的小耳朵仔细听， 我们亲自带内部学员的秒提大招开起来！先看第一题二是偶数，记住，偶数次方就是偶函数，奇数次方就是奇函数，所以 x 二次方呢是偶函数。 一是常数，常数函数都是偶函数偶加偶相加减，结果一定是偶函数，所以第一题是偶。第二题 四是一次方基数随是基函数，一是常数函数，偶函数基偶相加减，结果一定是非基非偶函数，所以第二题非基非偶。第三题三次方基数，那就是基函数一次方基数基函数基和基相加减，结果一定是基函数随。第三题是基。 第四题 x 奇函数， x 的 平方加二，偶函数积偶相乘，结果一定是奇函数，所以第四题是奇。第五题 x 的 平方偶函数 cos x 天生偶函数，偶偶相乘，结果一定是偶函数，所以第五题是偶。 六题 x 奇函数。三 x 天生奇函数，奇和奇相成，结果一定是偶函数，所以第六题是 o。 怎么样啊？是不是突然觉得数学也没那么难了？最后，如果你高二高三数学五十到九十，想要提一分一个秘诀，那就是学我们的 系统秒杀课，我们团队啊，首创的系统化秒杀模型呢，已经累积帮助了数十万学生高考逆袭翻年级加分数，每日限一百名！

这道题呢，无论你是高一还是高三，我相信对他都特别的熟悉，这就是令很多同学闻风丧胆的抽象函数的问题，今天呢，我们就来通过这样的一个视频来彻底搞懂它 啊。首先我们来看到这个题啊，它是非常经典的那种问法说设啊，这个函数呢，它的定义域是二，且 f x 减二为奇函数， f 零等于一求，后面这样一个式子啊，它是个求和式，这个式子的值是多少？我们首先来研究它给的条件， f x 减二为偶函数是什么意思呢？呃，偶函数，我们就是说 啊，当你把这个函数里面的自变量要是变成相反数，变成负的，那么结果呢，和原来相等，对吧？啊，也就说这个对 f x 减二来说，我们把它的自变量，注意它里面的自变量是这个 x， 不是 这个整体， 如果你是把这个整体变成相反数，和原来相等，那说明的是应该是 f x 是 偶函数啊，那现在呢，说的是它是偶函数，那么相当于说我把它的 x 变成负的 结果的话呢，和原来相等，就说还是等于 f x 减二的，那么这就能说明它是偶函数，通过这样一个条件能推出什么呢？能推出 f x 啊，它是关于 啊，就是 f x 关于 x 等于负二，是对称的啊，这是一个对称性的一个表达式啊，但是呢 啊，确实比较的抽象，对吧？哈，大家这个不太容易直观的理解，所以呢啊，我换一种角度，通过数形结合的方式啊，来帮助大家理解一下啊。具体怎么来想呢，这个 f x 减二啊，我们知道一个函数，如果本来是 f x， 你 现在变成了 f x 减二 啊，这相当于经历了怎么样的一种变换呢？我们知道左加右减，对吧？啊，相当于把 f x 呢图像向右平移两个单位得到的啊，就是说你向右两个单位平移两个单位 啊， f x 向右平两个单位就能得到它，而它是个偶函数。偶函数从图像上来看，具有什么样的性质呢？偶函数，它是关于 y 轴对称的啊，关于 y 轴 对称的。所以呢，我们来画大概画一下图像啊。呃，关于 y 轴对称啊，随便的画一小段即可啊，那么它是由 f x 向右平移两个单位之后得到的，向右平移两个单位就是变成这样。关于 y 轴对称，大家想，那之前 平移之前应该关于哪里对称呢？自然就是关于 x 等于负二是对称的了，对吧？啊，这样一来的话呢，你向右平两个单位，它就变成了这个偶函数了 啊，所以大家能理解了吗？呃，我们也可以这么反过来想，它现在是这个关于 y 轴对称的啊，是由 f x 向右平两个单位得来的，我把它向左平两个单位就还原为 f x 了，对吧？然后呢，这个 f x 自然就关于 x 等于负二对称了 啊，所以我们这个呃，推出来的第一个条件哈，是这个 f x， 它是关于 x 等于负二这条直线，这个地方是对称的。 好，我们再看下一个，他说 f 二 x 减一为奇函数，那么我们按照同样的理解方式啊， 如果有一个函数本来是 f x， 它现在变为了 f 二 x 减一，这是经历了怎么样的一种变换呢？啊？这个地方的减一，同样是左加右减，对吧？左右平移的一个效果，这里 给 x 乘了一个二，这个效果是什么呢？啊？这里我们要回顾到啊，必修一所学的那个三角函数那部分啊，我们知道这个三角函数当中，我写这样一个 sin y m g， x 加 f 啊，这个函数呢，它就是由啊 c， n x 哈进行平移，然后再怎么样呢？再压缩，对吧？先平移 five 单位，然后再压缩为幺幺二分之一，所以 你要是给 f x 当中的那个 x 乘上一个系数，它的效果呢？是压缩为啊，多少分之一，对吧？啊，其实就是说这个， 嗯，它的纵坐标不变，横坐标变为原来的 y minus 分 之一啊，那么啊，至于我们这个地方的话呢，它是这样的啊，首先呢，要看这个减一啊，就是先平移再压缩啊。先平移，那么就是先向右平移一个单位，对吧？它呢先 向右一个平移一个单位，然后再压缩为原来的二分之一，对吧？这个压缩为原来的二分之一，就是说我只需要把这个呃横坐标变为二分之一就可以了啊，纵坐标变，横坐标变为二分之一， 简单的写一下啊，那么此时我们就来想啊，现在呢，说它是奇函数了，它是奇函数，奇函数又有什么性质呢？它是关于原点对称的，对吧？我们随便的在这里啊画 画出一小段哈，大概呃局部就长这个样子哈。关于这个呃圆点对称，那么我们只需要想，那呃，你是通过 f x 经过这两次变换而来的，那么在变换之前 f x 又关于哪里对称呢？啊？其实很简单，把它还原回去， 它先向右一个单位，再把横坐标变为原来的二分之一，那么我们只需要把它的横坐标变为原来的二分之一，再向左一个单位即可，对吧？ 哦，把它的横坐标变为二倍，再向左一个单位即可。那现在它关于这个点原点啊，横坐标是零零变为两倍还是零，然后再向左一个单位啊，变到这个负一零这个地方来了啊，所以呢，它关于负一零对称，就是原来 f x 哎，我们推出来的第二个条件， f x 关于负一零这个点是对称的，也就是中心对称。 好，现在呢，我们有了这个函数，既关于这条直线对称，又关于这个点对称，能够得到什么样的结论呢？啊？其实大家这里可以直接记一下，如果一个函数具有这样的性质， 既关于某条直线对称，又关于某个点对称，那么其实它就具有一个周期性，对吧？它的周期其实就是这个点到直线距离的四倍啊，它的周期是多少呢啊？ x 等于负二，到这个负一零，距离就是一嘛，所以它的周期为四啊，当然这个也比较抽象，如果要这个真正 理解的话呢啊，我们也是可以画一下图啊，来，呃，这个跟大家解释一下，为什么。 首先我们把这个图给它画一画啊，这里是负一零，然后负二在这里啊， 这条直线给它标出来，它既要关于这个点对称，又要关于这条直线对称，然后题目当中还其实还额外的告诉了一个， f 零等于一，就是这啊，它要经过这个点， 然后呢，关于某个点对成定义域又是 r 啊，要注意定义域为 r， 又关于某个点对成，那么它必然会经过这个点的啊，也就是说其实这两个点都是经过的，那么我们在这两个点之间呢，就随便的连一段表示它啊，有这么一段图像，这时候呢，就可以接着画下去， 因为它要关于这个点对称，于是啊，在这个点的下方我又可以画出一段来，又因为它要关于这条直线对称，在这条直线的这个左边我又可以画出一段来，那么这些对应的地方啊，就是负三， 这里就是复式啊。然后呢，又因为他要关于点对称啊，我，呃，在这个呃直线的左边多画了这么一段啊，但是这一段也要关于这个点对称，所以呢啊，在这个 右边我又可以画出这么一段来啊，我，当我又画出这么一段来之后呢，大家会发现啊，这个，呃， 为了关于这条直线对称，又可以再画一段，以此类推啊，你发现没有，也就是说，当我们呢，根据他关于点对称的性质画出一段来，又可以马上根据他关于直线对称再画一段 啊，根据他关于直线对称画了一段，又可以根据他关于点对称再画一段，以此类推，他就可以把整个图像源源不断的画出来啊，当然我们没必要画那么多，其实 观察一下啊，这里面出现了一个周期性了，对吧？啊，你看，这里是一个最高点，紧接着下啊，下一个最高点在这里，对吧？就是从负四到零 啊，是两个相邻的最高点，这就是一个周期啊，因此呢，也能推出它的周期为四啊。然后啊，这个按照这种规律啊，整个图像都可以完整的画出来，你比如像这里是一，这里是二三 啊，然后呢这里是四，以此类推，就一直画下去啊，形成这样的一个图像。那在这个图像当中呢，大家注意一个点，就是啊， 虽然我不知道啊，你像在这个负一到零之间，我刚才这么连的这么一段啊，就是我不知道在负一到零之间，他的图像呢，到底是不是直线啊？是直线还是曲线？这个我不知道，但是呢，我是根据他的这个 啊，对啊，就是两个对称性来画的，从两个对称性当中呢啊，体现出了周期性，所以呢，整个图像的对称性与周期性是准确的，以及呢，包括说它题目给出了 f 零等于一，那么啊， 剩下的其他这些点啊，就是这些特殊点的函数值呢啊，也是相当于根据这个题义得来的，也就说这些特殊点的函数值的是这个也是准确的，因此呢，我要去计算后面这一个值，完全可以根据现在的图像来做了啊，他要算的是这个 i 等于一到二零二六啊，然后呢， f i 进行求和，也就说从 f 一 加 f 二啊，一直加加到 f 二零二六 啊，就可以了，那么因为它是这个周期函数，周期为四，我只需要算出前面四个啊，就是一个周期内啊，是多少？然后呢，后面都按照这个周期来求就可以了，也就说算一下这个 f 一 加 f 二加 f 三， 再加 f 四啊，这就算第一个周期内啊，算出这个周期内就可以啊，那我们来想一想啊， f 一 是几呢？从这个图当中来看啊，它是零， 然后 f 二， f 二是几呢啊？由于啊，我们刚才画的这个图像当中啊，下面这个纵作表没有表，我们再来推导一下。由于呢，这个图像啊，关于负一，零对乘 f 零等于一，那么 f 负二呢？就应该，呃，是这个 跟他是中心对称，也就是上下要颠倒，那么这里就是负一啊，周期为四，那么等于二的时候，这个最低点同样也是负一，对吧？所以他是负一， 然后 f 三呢，又是零， f 四呢？又变，他又变成一了，他又变成一了，所以我会发现呢，一个周期内，这四个数加起来是减啊，他是零，他是零，因此我只要想一想，这个加到二零二六有多少个周期呢？我用二零二六 来除以四啊，我发现呢，他其实应该等于多少？四五二十啊，二零六啊，四六二十四 得二，我发现他等于五百零六于二，也就是说呢，他有五百零，呃，他呃，五百零六，他有五百零六个周期，然后呢，还于 两个，对吧？那么每一个周期内都是零，五百零六个周期内啊，也都是零，那么还剩下两个，剩下的两个呢，相当于一个周期的开头两个，也就是相当于 f 一 和 f 二，对吧？ f 一 是零， f 二是负一啊，所以最后的结果其实就是负一啊，大家能理解了吗？

第五天十五到十六题解答题。首先我们来看十五题，速列 已知速列 a n， 它满足这样的一个等式，证明该速列为等比速列，求 a n 的 通项。这种证明的题目实际上是一个比较常规啊， 我们如何去证明呢？我们可以在草格子上去分析一下。你要证明 a n 加二分之一为等比数的，我是不是只需要去证明 a n 加一 加二分之一，是不是除以 a n 加二分之一等于一个常数，就可以说明它是等比数？所以说我就要在题干条件 变一下形，变个什么呢？变个 a n 加一加二分之一，左边加了，右边也跟着加 一加二分之一就二分之三。那我这里就可以提个公音，是三，是不是很容易就变出我们想要的东西了。 a n 加一加二分之一，除以 a n 加二分之一等于三。 所以说我们是不是就可以下结论， a n 加二分之一为等比数列，公比是三，首项 一定要注意，老张都是用的汉字，建议同学们也这样啊，首项 a n 加二分之一的首项肯定不是 a 一 啊，应该是 a 一 加二分之一，所以说首项就是二分之三，所以说等比竖列的通项 就等于首项乘以 q 的 n 减一次方。当然这里可以把它合并一下 啊，合并一下就是多少呢？二分之三的 n 次方一向移过去，所以说我的 a n 是 不是就等于二分之三的 n 次方减一啊？ 啊，这就是我们 a n 的 通项。紧接着 b n 第二位等于洛角以三为底，二倍 a n 乘二再加一，是不是三的 n 次方，这算出来是不是就是 n？ 我 们求 t n 啊， t n 是 表示的是这一个竖列的前向和，这一个竖列没有名字，我就另一个 c n 嘛，小写字母嘛， 等于 b n 乘以 b， n 加一分之二， b n 是 n， b n 加一是 n 加一分之二，这是不是我们典型的列向向向斜， 对不对？ n 分 之一减去 n 加一分之一，这个二存在最外面就可以了。 c n 等于这么多之后，要你求前二零二六项的和。凡是求和，写句废话， 是不是就 c 一 加 c 二加 c 三，一直加到 c n， 也就是 c 一 n 取成一嘛。一减二分之一， c 二二分之一减三分之一， c 三 三分之一减四分之一，一直加到 c n， n 分 之一减去 n 加一分之一。同学们可以提个公因子，二括号里边其实可以直接来了，一减二分之一，二分之一减三分之一，这是不是刚好就可以抵消掉了？ 所以说我们前面只剩下一，后面只剩下减 n 加一分之一，通一下分啊，我们 就出来了哦。当然这里同学们一定要注意，这道题求的是前二零二六项和，所以说 c n 最后是不是应该是二零二六。这里注意一下， n 是 不是最终取成二零二六就是二零二六，二零二六加一就是二零二七，对吧？ 说这是二零二七，最终的答案我们就应该是多少啊？ 二零二七分之四零五二啊，这就是我们的十五题。这里注意一下，人家求的不是 t n， 求的是 t 二零二六啊。十五题一个竖列的，难度不大，考察我们的列项相消， 马上看着我们的十六题啊！十六题，一个彩票盒里面装了十二张啊，外表相同的十二张哈，其中 五百元的一等奖有两张，三百元的二等奖有三张，一百元的三等奖有七张，总共十二张，每张都有奖，从中任取三张，他不是一次取三张，相当于感觉就是从十二张直接取三张， 所以总的情况是不是就 c 十二三啊？摸出三张的奖金总额不高于七百， 不高于七百，那我们就有哪些情况，只要我们可以先捋一捋，不高于嘛。啊，那就可能有哪些嘛？不高于。从取三张是不是可以取三个一百， 三个一百，这是一种情况。那两个一百，然后还有一个三百是不是也没有啊？那是不是还有一个一百， 两个三百，这是总共加起来七百也没有超过。那可不可以有个五百的啦？有个五百的就是两个一百加一个五百， 看可不可以两个一百，一个五百，这是不是也没有超过？ 还有没有其他情况，我们依次的嘛？啊，这种题其实你只要把它捋清楚了，其实就还好了，那我们一起来看一下，比如说我记抽出三张这个为事件 a 对 不对？那 p a 发生了概率，总的情况是不是 c 十二三，三个一百，从七张当中是不是直接抽三张？ 不高于不高于小于等于七百嘛？好，第二种，两个一百就从两个一，两个一百的话就是七张当中抽两张，然后还要抽一个三百， 就三张三百当中选一张，是吧？还有一种情况是 c 七二乘以多少呢？ 一等奖有两张，两个当中抽一张，对不对？这也是七百元嘛，那是不还有一种情况，就是一个一百，从七张当中抽一张，然后抽两个三百， 是不是就搞定了？这就是我们最终的答案，算一下自己二百二十分之一百六十一就可以了。这第一问是比较简单的啊。 第二问， x 表示抽出三张彩票中一等奖的张数，这很显然，一等奖最多有两张，所以说由彼可知 有，体意可知 x 的 取值 有，是不是有可能？零张？一张，两张是不是最多只有两张？然后是不是分别算出每个发生的概率？一张都不没有。总的情况是 c 十二三，一张都没有一等奖，那就在剩余的十张当中是不是选了三张 啊？ x 等于一的话，只有一张，那是不是就 c 二一十张当中再选两张， x 等于二， 两张一等奖都被选出来，然后另外十张中选一张，分别算出它的值就可以了。第一个十一分之六，第二个二十二分之九，第三个二十二分之一。所以说 x 的 分布列啊， 分不列我们就可以列了嘛。 x p 零一二发生的概率十一分之六，二十二分之九，二十二分之一。所以说他的期望 就零乘十一分之六，加上一乘二十二分之九，加上二乘二十二分之一，算出我们最终的答案就二分之一 啊。这就是我们十六题第五天的所有内容，到此结束。

同桌数学一直考满分，原来是偷偷用了这个高图高考基础两千题，他紧扣最新高考大纲，精挑细选高考真题和名校模拟题，其中百分之八十都是基础题和中档题， 刚好对标高考里百分之八十的基础，分一轮复习，用它打基础再合适不过。所有题型按考点排列，从易到难层层递进，每道题都能扫码看老师视频讲解。重点题型会先带着你探寻思路，再一步步解答，还会规范总结答题方法， 理解一道题就能直接掌握一整类题型。马上要升高三的你可别错过了，赶紧安排上！

没错，各位，欢迎来到今天的每日一题，我先把这个题目打到公屏上，大家可以先自己想一想，暂停一下，做一下，我来说一下我做这个挑战的目的。现在距离高考只有七十二天，我在剩下的每一天我都会发视频来给大家分享一下我最近遇到的好题。 我的学习的一个思维是刷一道好题是要比做成千上万道的烂题是要好的，而且你必须要去研究透，所以说我会保证带来的每道题都是我最近认为比较好的。 然后呢，我会把我整体的思维的逻辑都给大家讲清楚，就是我怎么想的，要这么做的，我当时想到其他想法，但是错了，我是怎么排除掉的，就是这些大家可能上课老师都会给你讲的，所以就会导致这些视频的时长可能会比较高， 可能会比较长，那么也希望大家可以安心的看下来，绝对能保证有所收获。嗯，我不能保证，我一定连贯的讲下去，因为我是现给大家做的现做题目。 然后我们先来看一下这个 a 选项吧， a 选项它说二 y 等于三 n， 对 吧？呃，我先画个图， 没错，各位，现在图画完了，我们来先解释一下 a 选项它到底在问什么？我们先读题，得知 q 点 m 到 n 为它的内型，然后呢， a 选项说二 y 等于三 n， y 在 p 点出现，也就说它考察的是 这个内接圆的，这个就是交点三角形，它的 p 点与它内接圆的圆心之间的关系。那么我们就来好好想想，我们该怎么去想到这个关系及其做出来， 也就是说我们要用 n 把 y 零表示出来，或者用 y 零把 n 表示出来，那么我们遇到了交点三角形，然后他让我们求 y 零，那我们很自然的就可以想到说是用交点三角形的面积，来我们写一下， 没错，大家看到这个公式了吧？我们要求的这个 y 零与 n 之间关系，它 n 是 什么？ n 它就是 r， r 等于 n， 然后根据这一串公式，这个时候就需要用到一点点的代换的小技巧，但也不算是技巧，我觉得是你必须要掌握的。大家想一想，圆锥曲线就椭圆的第一定义是什么？ 椭圆的定义定义是这个，对吧？没错吧？那么 f 一 f 二是什么？ f 二是不是它的交点长，那么它们加起来我们给它化解一下 是不是这个样子的，给它化解完之后再化一下是不是这个样子的，那剩下的就不用多说了，咱们直接就把答案给出来了， 没问题吧？因为我们知道了它的 a、 b、 c、 e， 它这三个数值我们都知道，所以就可以出来，那么我们现在来看一下 b 选项， ok， 各位，那个我们来看一下第二问， 第二问他说 p f 一 减去 p f 二零二 m 这个东西，大家是不是就会想到双曲线中是不是有这么一个定义，说 p f 一 减， p f 二零二一，但是它们两个其实它们中间是没有什么关系的，那么我们看到椭圆这个图， 大家对于这个内心有没有一点点想法，对吧？我们肯定是采取树形结合的思想来算的，你要是一直带入的话，是不太好想出来的， 因为你 p f 一 p f 二具体数值不知道，你不可能说你设个 x， 设个二 a 减 x， 那 样太麻烦了。 p f 一 减去 p f 二来，大家看 我们初中时候是不是就知道他如果是一个内切圆切在三角形中有这么一个性质，我给大家画一下，我拿红笔 是不是说我们圆他有一个性质，说是相切线相等，我记得这个这两段是不是相等，这两段他是不是也相等， 这两段它是不是还相等？那我们 p f 一 和 p f 二能转化成什么？大家可以打在弹幕上，一个 p f 二能转化成什么？是不是就转化成了？ 是不是转化成了上述我说的 m f 一 减 n f 二，因为 pm 等于 p n， 它俩相减消掉了，那么我们又知道 m f 一 它等于 f 一 b n f 二等于 b f 二，那么它是不是又能接着转化？ 那这个大家就很熟悉了吧，对吧？不用多说吧，因为他们都是在 x 楼上，并且他俩相加是二 c， 那 么我们来想一想，那么他是不是就是 我们这个时候带入点 b 点是它的这个 x 轴的坐标是 m， 对 吧？那么 f 一 b 是 什么？ m 加 c b， f 二是什么？ c 减 m， 它等于什么？大家回答一下，它是不是就等于二 m 了？没问题吧？那么我们来看一下第三问， 那么第三问让你证明的是 x 零与二 m 之间的关系，大家想想该怎么证明？我们说 不会有平白无故的 a b 选项，如果你是考 c 的 情况下，那么其中刚才是哪个地方涉及到了 x 零跟 m， 那 就是 e 选项这个东西了， b 选项涉及到这个，我们给他转化出来，大家记不记得一个公式，就是他的这个 p f 一 和 p f 二圆锥曲线中有那么一个公式吧， a 减 e x 零，他俩相减等于二， m 等于这个，对吧？没问题吧？是不是得出来这个 e x 零等于 m， 对 吧？那我们知道 e 了，那不就推出来了 x 零等于二 m 没问题吧？各位，对吧？来，我们看一下 d 选项， 来，我们看一下 d 选项， d 选项问， m 加 n 的 最大值是三分之二倍，根号三，那我们肯定求最值，我们就会想到用不等式，或者用函数，或者说是用 三角形的两边之和大于第三边之类的思想去做，那么我们在里面中间呢？我们是知道具体的 m 和 n 的 一个小的一个 关系的，不知道大家有没有感悟出来，因为我们刚刚是求出来了一二问，第一问说 y 零等于三 n， 第二问说 x 零等于二 m， 对 吧？ 那么我们给他重新带回进入椭圆 c 中，会发现什么？是不是就知道 m 方加上三， n 方等于一，对吧？我们要求的是什么？我们要求的是 m 加 n 的 最大值。 这个时候不知道大家能不能想起一个比较经典的公式，我给大家写一下， 不知道大家能不能想起来，可惜不等式，为什么我们会想起来这个东西给了 m 方加 n 方这种平方和的这个具体数值， 对吧？给了这个，然后他让我们求 m 加 n， 它是一个算是正常项，那我们就想去配凑它怎么配？想一想，各位想一想，因为正常项放这边，我们已知项放这边， 该怎么去配上，大家想一想，那我们是不是就要要求这个项就相当于是 a， 这个位置的第一项是不相当于 c， 那 也就是说哦，这个项是 a 方吗？位置的项是 c 方，我们要让根号 a 乘以根号 c 等于， 不不不，我们就是让 a 乘以 c 等于 m， 那 么 m 这里我们知道 a 等于 m 乘以啥等于 a， 不是 m 乘以啥等于 m， 那 这个就是一。 然后我们看另外一个同样的思想，我们知道 b 等于根号三，那我们想想什么乘以根号三， 什么东西乘以根号三？ n 它能等于 n， 那 不用多说，那就是这里是它的一个 d 等于三分之根号三，对吧？那么给它开一下平方三分之一， 那我们是不是就知道，因为 m 方加上三 n 的 平方等于一，所以说三分之四要大于等于 m 加 n 的 平方，这里是平方，平方，这是平方，这是平方。抱歉抱歉抱歉，各位记错了， 那么它是不是就说明 这个选项是不是就是对的，对吧？ 那么这道题主要为什么会选择呢？就是因为他的 a 选项， b 选项， c 选项都是涉及源于体验中比较基础的推理的一个项目， d 选项，然后稍微运用一下科西不等式，当然大家想用三角换元，其他想法也是可以做的，但是我这里比较推荐，因为我也只能想到这个。 那么今天这一期就结束了，也是欢迎大家接着追更点点关注、点赞、收藏啥的，希望能够给大家在最后的高考七十二天，我们能够一起进步吧，那么拜拜。

高三一摸啊，如果你的数学成绩考不到一百一十分，那一定是基础还没有打牢。这个时候呢，我们不能盲目跟从别人去刷重难题。而且你要知道啊，像是选择题的第一题到第七题，多选择题的前两道，填空题的前两道，还有解答题的前三道，这些题目加一块，数学就已经可以到一百一十分了。 所以，你必须将这些题稳稳拿捏。基础不牢呢，就如同穿着不合脚的鞋子去奔跑，没跑多远便会举步维艰。推荐大伙选资料的话啊，看看这套基础卷，他将每套卷子里的重难题全部删去，只保留基础题。一共十六套小卷，每套小卷都是七十分钟限时训练。在做的时候呀，提前定好时间来把握做题节奏， 提前按照考试时间规划训练，等上了考场，考试的节奏就更加稳定了。带回家啊，每周呢，做两三套，用六周练完，将错题呢集中梳理学习一遍，将基础打牢，就可以着手去看重难题专项训练了。各科都有啊，不分版本，哪科弱呢就练哪一科，从现在开始，迎战高考！

三月份一开始，那高三就要进入到二三轮复习了，很多同学啊，一上来就着急刷真题啊，一套接着一套的刷，每天呢也只知道搞题海战术，可是盲目刷题，到头来不仅分没有提上去，还会浪费大量的时间，这是为什么呢？ 今天我讲一句大实话，因为真题卷他不是适合所有的学生，像一些基础比较薄弱的同学，比方说你现在的数学只能考四五十分，五六十分的，你就没必要去练了啊，练了没有多大效果， 你听老师一句劝，你先去练一些不那么难的综合卷啊，一步一个脚印的，先把基础给打好了，然后你再去练真题。 而且高考百分之八十都是基础题，你把这些基础题给练透了，考试你的分也就不会低。说到基础题，那我推荐这套藤远的高考基础卷，它里边全都是简单题和中档题啊，题型啊，题量啊，还有难度啊，包括分值啊，都是和高考保持高度一致的。 这样呢，你在练的时候也可以提前了解一下高考的节奏，配套的还有一本抢分夹册啊，里边呢梳理了考试的时候容易出错的公式定律啊，同时呢，还总结了一些答题技巧和答题模板，都是可以帮你在考试当中快速拿分的。 呃，现在是各科都有，咱们成绩一般的孩子，复习的时候你就用它把基础打好，然后再去重难题，也是不值的。

高三一模，如果你的数学还没到一百一十分，那一定是基础还没有打牢固，那这个时候呢，我们不能盲目的跟着其他人一样去刷重难题， 你要知道，像是选择题的一到七题，多选前两道，填空题前两道，还有解答题的前三道题，这些加起来就已经到一百一十分了， 所以你必须要将这些题稳稳的拿捏了。基础不牢固，就如同穿着不合脚的鞋子在奔跑，没跑多远便会举步维艰。 推荐大伙呢，选资料的话，可以看看这套藤远的基础题，他将每套卷子里面的重难题全部给大家删掉了， 只保留基础题。一共呢十六套小卷，每套小卷都是七十分钟的限时训练，在做的时候呢，提前定好时间来把控做题的节奏，提前按照考场题目规划时间去训练，等上了考场呢，考试的节奏就会更加的稳定。 带回家每周做两三套，用六周练完，将错题集中梳理学习一遍，将基础打牢，就可以顺手再去做重难题。各科呢，都是不分版本的，哪科弱？咱们就先从这一科练起，从现在开始，迎战高考，你还来得及！

这是二零二六版的蔡德锦高考数学真题分类狂刷，这本书收入了两千的题。我们看目录，他从集合逻辑用语开始，包括了一元二次函数方程和不等式函数和导数、直线和圆的方程、圆追求圆的方程以及数理等。他一共有十三个章节，每个小节首先是知识方法的总结梳理， 然后分题型对历年高考真题进行集中强化练习。他题型梳理全面，选择题非常典型，优质选举的也都是历年真题中具有代表性的题目，除了配有视频讲解，文字版答案解析单独成册，解析非常详细，光答案册就有三百二十六页，非常不错的一套书，高三的同学选用。 这是二零二六版的蔡德锦高考数学真题分类狂刷，这本书收入了两千的题。我们看目录，他从集合逻辑用语开始，包括了一元二次函数、方程和不等式函数和导数、直线和圆的方程、圆追求圆的方程以及数理等。他一共有十三个证明。

不开玩笑啊，高三如果数学成绩不到一百一的你，现在刷真题和难题就是纯纯浪费时间，一定要学会这个超劲道的方法，那就是练好基础题，稳拿基础分。要知道，基础题呢，才是高考的关键，因为从近三年的高考试卷来看，基础题已经占到总分的百分之八十。 换句话说啊，满分一百五十分，基础题就占到一百二十分了，你说你敢不练基础题吗？而且基础不牢固，高三你报再多班，刷再多题都没用，不如好好利用接下来的时间啊，把这本同源的高考基础卷练一练，里边已经把难题和压轴题都给你去掉了，只保留基础题， 你也不用担心题目超纲练了没效果。像数学一共有十六套小卷，每套卷子呢，限时七十分钟，练速度、练手感，提准确率，让你彻底吃透基础题。而且它还会结合例题给你讲解题思路，总结不同题型的解题方法，让你学会举一反三，考试碰见同类题再也不怕 不过也别贪多啊，只要把这道题练会练透，基础打好了，接下来的复习才有精力出重难题。这套书啊，不分版本，全国通用，家里有高中生的，抓紧给孩子准备上！

同桌数学一直考满分，原来是偷偷用了这个高读高考基础两千题，它紧扣最新高考大纲，精挑细选高考真题和名校模拟题，其中百分之八十都是基础题和中档题，刚好对标高考里百分之八十的基础，分 一轮复习用它打基础再合适不过。所有题型按考点排列，从一到难，曾 终究会散场，没有谁会永远在身旁。

大家好，今天我们来看一道合肥一中高三的模拟题啊，这个题呢也是我们高中数学当中非常值得研究的一类问题啊，就是比较大小的问题，那我们看一下啊，它这里给到了我们三个数 abc 啊，要比较它们的大小关系，我们观察一下这三个数的形式哈，其中的话呢，这个 a 和 c 啊，一眼就能看出来它们的形式非常接近，对吧？ a 是 log 以七分之九为抵，七分之十的对数， 然后 c 是 log 以七分之八为抵，七分之九的对数，它们之间呢就是数字有差异而已啊，所以的话呢，我们可以优先来比较一下 a 和 c。 好， a c 之间怎么比较呢？我们常见的比较大小，你比如说有这个做差做商啊， 这两种呢，比较基础啊，我们来想一想，如果是做差比较的话呢，这个你让 a 来除以啊，你让 a 来减 c， 那 么一减的话呢，因为它的底不一样， 底不一样的话呢啊，这样的对数是相减，我们是没有公式可用的对吧？只有底一样的时候呢，相加相减才有公式用。那么如果是相处的话啊，也许可以再变变形啊，也就说我们来呃，考虑一下做商看看啊，也就是说算一下这个 a 除以 c， 那 它等于什么呢？先把式子列出来，那个以七分之九为底，七分之十的对数，除以 以七分之八为底，七分之九的对数，那么这个地方啊，可以怎么变一下呢啊？ 下面这个东西它放在分母上啊，那我们要知道，其实这个在对数运算的公式当中呢，有一个有一个讲的是这样的哈，当我们的底数和真数颠倒一下的时候啊，就是那个 a 为底 b 的 对数和那个 d 为底 a 的 对数，它们俩之间什么关系？它们俩之间是互为导数的啊，也就说它等于它分之一，那么啊，我们这个地方就可以这么看啊，啊，用这个来除以这个，那么就相当于这个来乘以它的导数，对吧？于是我们就可以写成那个以七分之九为底， 七分之十的对数，它的导数只需要把这个啊底数和根数交换一下，就是变成七分之九为底七分之八的对数就可以了。 好，但是呢啊，大家注意到这一步，虽然说他的底数变得相同了，但是他们两个相乘，我们还是没有公式的，对吧？你相加的时候有公式，如果他们两个要是相加，那么底数变这个真数相乘即可 啊，相乘是没有直接的公式的哎，但是我们会想到啊，如果我能够把它变成相加就好了，那么自然而然就会联想到基本不等式啊，我们的基本不等式当中呢，有这么一个，就是根号 a b 小 于等于二分之 a 加 b， 然后平方一下， ab 就 小于等于二分之 a 加 b 的 平方啊，有这个公式，也就是说利用基本不等式啊，其实我们可以把它放缩一下，把乘法变成加法，然后继续呃，这个利用这个对数运算公式去算啊，这个地方呢，我们就直接让它小于多少呢 啊，因为啊，基本不等式当中取等号的时候，它的条件是 a 等于 b， 对 吧？这两个呢，它显然不相等，所以的话呢，直接就就让它小于小于多少呢？二分之，它们两支和就是 log， 七分之九为底，七分之十的对数，加上 七分之九为底，七分之八的对数，然后再平方啊，好，这时候呢，这两个相加了，相加就可以用公式直接就等于啊，二分之 log， 七分之九为底啊，此时的话呢，同底的这个对数是相加，底数不变，真数相乘即可，变成了四十九分之八十啊，好，平方 啊，那么这个时候我们来观察一下这个数，七分之九为底，四十九分之八十， 哎，你会想到啊，七七四十九，九九八十一，哎，也就是说这个七分之九的平方正好是四十九分之八十一啊，这个只是八十，那说明了什么问题？那说明了啊，这个东西啊，他应该是比二要小的，也就说这个要小于 二分之二的平方，对吧？啊，他要小于二，因为七分之九的平方是四十九分之啊，这啊是四十九分之八十一啊，他只有八十，所以呢，这个东西要小于二啊，那结果呢，刚好就是一对吧，也就是说呢，啊，我们的 c 分 之 a 等于这个玩意，这个玩意呢，他啊小于这个东西，这个东西又小于一，所以总的来看，这个 c 分 之 a 也就是小于一的啊，也就是说呢， a 小 于 c， 你 看，我们就推出了这个 a 和 c 之间的一个关系就出来了。 好，接着呢，我们肯定还要再来比较一下这个 a b 或者说 bc 之间的关系，那么先比较哪个比较好呢？ 啊，那如果要比较他们啊，就是两个啊， a 和 c 与 b 的 关系的话呢，这个 a c 你 肯定得变一下形才可以直接来比，对吧？那怎么变形呢啊？那这里的话，我们看到这个 b 这里有一个 lin 七分之九， 好，会想到换底公式，对吧？你把 a， 比如说这个 a， 哈，你把它换底换成 lin 七分之十比上 lin 七分之九，里面也就有相同的结构了啊， 那这个到底是换 a 好 还是换 c 好 呢？我们会发现，如果换 a 的 时候呢，这个 long 七分之十比 long 七分之九，那个 long 七分之九啊，和 b 一 样都是放在分母上的，所以这样来比呢，估计会更好比。所以啊，我们接下来就比比较一下这个 a 和 b 之间它的大小 怎么比呢？那肯定要先对 a 进行换底，换底公式就是 long 七分之十比上 long 七分之九啊，然后这是 a b 的 话呢，它是这个三比上十倍的 line 七分之九，它们的分母上都有一个 line 七分之九啊，所以我可以给它们同时乘上一个 line 七分之九，对吧？同乘 ln 七分之九，嗯，你同时乘上一个数之后呢，它们的大小关系啊，还是一样的，也就说这两个数，假如说本来 a 跟大，那么你同时乘上这个 ln 七分之九，也应该是 a 跟大，对吧？也也就是说我们同时把它放大了一定的倍数，这也是放缩 好，那么我们同时乘上这个之后呢， a 就 要变成了老隐七分之十去了， b 呢，就要变成了这个十分之三去了啊啊，这个这两个数的大小关系，也就是 a 和 b 的 大小关系， 接下来我们来比他们俩，他们俩怎么看呢？看到这个七分之十和十分之三，他们之间的关系呢，还是比较密切的啊，我们来把这个十分之三可以改写成一减掉十分之七， 这时候呢，七分之十和十分之七互为倒数，所以我可以构造一下啊，我这个用个换元法令 t 等于七分之十，那么这个数呢，它就要变成了啊， long t 了啊，这个数呢，就要变成了， 一减掉多少呢？ t 分 之一去了，对吧？这个七分之十，十分之七互为倒数，而此时我只要比较一下他们俩的大小，那么他们俩的大小还是不好直接比，那么怎么办呢？做差，对吧？我们可以看出，如果要是做差之后呢，能够构造出一个函数来哈，做差 就能得到啊， line t 减掉括号一减 t 分 之一，也就是 line t 加上 t 分 之一减一，那么当然其中 t 是 等于这个七分之十啊，此时我们会发现呢哈，这个结构的话呢，可以构造一个对应的函数， 构造我令 f x 就 等于 ln x 加上 x 分 之一减一。我来研究一下这个函数啊，它的一个性质啊，就是说当它的 x 取到七分之十的时候会怎么样啊？大于零小于零 来研究一下。想要研究清楚这个东西的话呢，我肯定得需要怎么办？我肯定得需要这个对它来进行求导分析单调性了啊， f 撇 x 在 这里啊，就等于 x 分 之一，减掉 x 平方分之，哦，就等于 减掉 x 平方分之一啊，是的，等于 x 平方分之 x 减一。那么此时我们可以发现呢，很显然这个导数还挺简单的，当 x 要是大于一的时候呢， 导数就是大于零的啊，那么说明原函数 f x 呢，就是单调递增的， 就是说在一到正无穷的范围内呢，这个函数单调递增啊，当然小一的时候呢，单调递减，当我们看到我们要的这个 t 啊，就是相当于这个式子，它其实是 x 去 t 的 时候，也就是 f t 啊，也就是 f t， 我 们要的这个，呃， f t， 其中 t 是 七分之十是大于一的， 七分之十是大于一的，所以呢，我们在一到正无穷的范围内来考虑啊，它其实是这个单调递增，那么说明这个 f t 呢，就应该大于 f 一 啊， 你 t 大 于一啊，因为单调递增，所以 f t 也大于 f 一， 而 f 一 是几呢？我们带进来，把 x 带成一，发现刚好就是零，对吧？刚好就是零，也就说我们的这个 f t 呢，它就是大于零的， 那么往回推啊，嗯，说明它减，它就大于零，那么老引 t 就 大于一减 t 分 之一啊，那么则这个就大于这个哈，再往回推， a 就 大于 b 啊，我们就推出了 a 是 大于 b 的， 连起来啊，刚才啊，前面有 a 小 于 c， 现在呢，是 a 大 于大于 b 啊，那么也就是说呢，这个啊， c 应该是最大的， a 在 中间啊， b 小 于 a 小 于 c， 刚好是我们的这个 c 选项。

有很多同学问学长，高三的一轮复习结束，基础还比较差，现在刷什么试卷比较好？我推荐大家呢，练基础卷。要知道，高考百分之七十到八十的分数都是基础分，只要把基础分拿稳了，那基本上就八九不离十了。 所以现在基础不好的，特别是考三四百分的孩子，你练基础卷是最好的啊。我推荐大家可以练练这套藤远的基础卷。我们拿数学举例吧，里面一共有十六套小卷，他把偏题、难题包括压轴题都给你踢出去了， 只保留了基础题、中档题集中训练。难度呢，也是跟高考试卷中的这个基础题型是一致的，非常贴合高考的命题趋势和要求。基础薄弱的同学呢，用它是再合适不过的。而且每套卷子呢，限时七十分钟，不仅练速度、练手感，还能提升准确率，帮你吃透基础题。 这里面呢，所有的科目都有啊，不分版本的，全国通用，哪科薄弱你就练哪科，抓紧带一套回去，老老实实的过一遍。其实可以过两遍三遍都是没问题的，等到后面练一段时间，你就会发现开窍是什么感觉。