五三天天练六年级下册数学正比例图像

今天我们来看这道题，如果四分之 y 等于 x 分 之二， x 和 y 均不为零，那么 x 和 y 成什么比例？我们先来看第一问， 四分之 y 等于 x 分 之二，交叉相乘积相等，那么 x 乘以 y， 乘号可以省略， 就等于二乘以四 x， y 就 等于八，那么乘 x 乘以 y 等于八，它们两个的乘积一定。所以说它们乘 x 和 y 乘反比例。 现在再来看第二问，十四乘 x 等于 y， x 和 y 均为零，那么 x 和 y 乘什么比例？ 十四乘以 x 等于 y， 那 我们两边都先除以一个 x， 都先除以一个 x， 把 x 抵消，就变为了十四等于 x 分 之 y， 那 么他们这是比值一定。所以说 x 和 y 乘正比例，记得点赞关注哦！

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天我们一起来学习正比例。上课之前，我们先来看一个式子，速度等于路程除以时间，其中路程和时间之间有关系。 在数学中，我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做相关联的量。 我们之前还学过总价除以数量等于单价，这个式子中，我们可以说总价和数量是相关联的量。 还有工作总量除以工作时间等于工作效率这个式子中，我们可以说工作总量和工作时间是相关联的量。 还有一本书看来的页数加剩下的页数等于总页数，这个式子中一本书看来的页数和剩下的页数是相关联的量。 好啦，了解完什么事相关联的量之后，我们来看书上的利益。题目中说，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系如下表，我们根据这个表格来回答一下几个问题。 来看第一个问题，表中有哪两种量？表中有两行，第一行表示的是数量，第二行表示的是总价，所以表中的量是数量和总价。 再来看第二问，总价是怎样随着数量的变化而变化的？我们来看表格，数量是一的时候，总价是三点五。数量是二的时候，总价变成了七。 数量是三的时候，总价变成了十点五。所以当数量慢慢增多的时候，总价也在随着相应的增加， 也就是说数量越多，总价越高。再来看第三问，相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？我们先来看相应的总价与数量的比， 当总价是三点五元时，数量是一米，所以第一组总价与数量的比是三点五比一，也就是 一分之三点五，以此类推。第二组是二分之七，第三组是三分之十点五，第四组是四分之十四，第五组是五分之十七点五， 第六组是六分之二十一，第七组是七分之二十四点五，第八组是八分之二十八。 再来求比值，因为总价除以数量就求出来它们的比值，求出来比值都是三点五。求比值的时候是让总价除以数量，而总价除以数量求出来的是单价， 所以比值三点五实际上就是彩带的单价，用式子表示，就是总价除以数量等于单价。 像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 那到底怎样判断两种量是否成正比例关系？那到底怎样判断两种相关联的量的比值是一定的， 所以我们要判断是否是正比例关系，我们要先求出来它们的比值，如果比值一定，它们就成正比例关系。如果比值不一样，它们就不成正比例关系。 我们来看简单的记法，如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，这里的比值是一定的。正比例关系可以用下面的式子来表示， 也就是 x 分 之 y 等于 k， 这里的 k 是 具体的值。好啦，了解完什么是正比例关系之后，我们来看一道题。这道题说下表示小林家去年上半年每月用电量情况来看，第一问 分别写出个月电费与用电量的比，比较比值的大小来看，第一个月电费是六十元，用电量的 用电量是一百二十千瓦时，所以他们的比是六十，比一百二十。 第二个月的比是六十五，比一百三十。第三个月的比是五十五，比一百一十。第四个月的比是六十，比一百二十。第五个月的比是六十五，比一百三十。 第六个月是七十五，比一百五十，他们求出来的比都是零点五，所以他们的比值是相等的。再来看第二问， 说明这个比值表示的意义，因为我们求比值的时候是电费除以用电量，而电费除以用电量求出的是用电单价，所以这个比值表示的就是用电单价。 再来看第三问，电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么 在第一问中我们已经求出来电费和比，在第一问中，我们已经求出来电费和用电量，它们的比值是一定的，所以它们成正比例关系。好了，今天的知识我们就学到这里，小朋友们，你们学会了吗？

今天我们来看这道题，甲乙两数互为倒数，那么它们成什么比例？我们先来看第一问，甲乙两数互为倒数，那么它们两个，它们两个数之间是倒数的关系，那么它们的乘积就必须为一， 那么乘积为一，那么乘积也就是一定的乘积一定，也就是乘反比例。我们再来看第二问，甲数的五分之四等于乙数，则甲数和乙数成什么比例？ 甲数的五分之四得可以化为乘号，那么就是甲乘以五分之四 等于乙，那么这两等号两边我们都除以一个甲，那么也就等于五分之四等于甲分之乙，那么这个式子比值一定， 所以说它们两个处之间成正比例。记得点赞关注哦！

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例第二章节正比例和反比例的第一课时。正比例来看例，文具店有一种彩带销售的数量与总价的关系，如下表，数量一米，总价三点五元， 两米七元，三米十点五元，四米十四元等等。根据给出的这个表格，我们回答下面的问题。 第一问题，表中有哪两种量？一种是数量，一种是总价，所以有数量和总价两种相关联的量。这两种量有什么样的关联呢？我们仔细观察，随着数量的增加，总价呢 也在增加，那随着数量的减少，总价也在减少。是的，数量增加，总价增加，数量减少，总价也减少。第三个问题，相应的总价与数量的比分别是多少？ 比值是多少？总价与数量的比，那就是三点五比一，七比二，十点五比三，十四比四，它们的比值分别又是多少呢？三点五比一等于三点五， 七比二，比值三点五，十点五比三，比值三点五。那么其他的呢？孩子们，你来算一算，他们的比值分别是多少？是的，这些总价与对应的数量的比值都等于三点五。 那么比值三点五，它表示什么意思呢？总价与数量的比值，它就实际上就是彩带的 单价。如果用式子来表示总价、数量，单价，他们之间的关系就是总价比，数量等于单价，并且单价一定。像这样两种相关联的量， 一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量， 他们的关系叫做正比例关系。那根据上面的表格，总价和数量，它就是乘正比例的量。 总价和数量，它们两个的之间的关系，那就成正比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，并且比值一定，那么正比例关系可以用下面的式子来表示，那就是 y 比 x 等于 k， k 一定，也就是比值一定。大家继续思考，成正比例的两种量必须具备哪些条件呢？ 第一就是两种量必须相关联，一种量变化，另一种量也随着它的变化而变化。第二，两个量的比值一定。这时候我们就说这两个量成正比例关系， 那上表中的数据啊，我们还可以用图像来表示，数量是一米，它的总价三点五元。数量二米，总价七元。数量三米，总价十点五元。数量四米，总价十四元。接下来我们把五米、六米、 七米、八米他们所对应的总价秒点，然后把这些点连线，根据这个图像你发现了什么？我们发现正比例关系的图像是一条从原点零零出发的无限延伸的射 减。根据图像我们来看第二题，把数对十三、十五和十二、四十二所在的点描出来，并和上面的图像连起来再延长，你还能发现什么？十和三十五对应的是这个点， 十二、四十二对应的是这个点，然后我们把它们连起来，发现了什么？ 对，这两个点也在这条射线上，因为任何一个点，它所对应的总价和数量的比值都是单价，单价一定，所以它们都在一条射线上。接着看第三题， 不计算。根据图像判断，如果买九米彩带总价是多少？四十九元能买多少米彩带？ 注意，不计算买九米彩带的总价，那我们找到九米，他所对应的总价就是和这条射线的交点，那这个点就是九米，三十一点五元。 那如果买四十九元，他和这条射线的交叉点对应的是十四米， 所以是十四米，对应的是四十九元，所以买九笔彩带总价是三十一点五元，四十九元能买十四米彩带。有了图像 不计算，我们就可以直接找到它们对应的量。第四题，小明买的彩带的米数是小丽的二倍，他花的钱是小丽的二倍，他花的总价也是小丽的二倍。 也可以根据总价比数量等于单价，可以知道，数量扩大了两倍，所以他们的总价也扩大到原来的两倍。因为单价不变，所以他花的钱也是小利的二倍。 那除了刚才我们的总价和数量，两个量成正比例关系。孩子们，你能举出生活中正比例关系的例子吗？小明举出了正方形的周长与边长成正比例关系，你同意吗？ 正方形的周长等于边长乘四，所以周长与边长的比值就是四，四一定，那么周长与边长就成正比例关系。小红说，如果汽车行驶的速度一定，那么路程与时间成正比例关系。 路程比时间等于速度，当速度一定的时候，那么这两个量就成正比例关系。王老师也给大家带来了几道题，判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。孩子们，请你按下暂停键，快速试一试吧！ 王老师相信这三道题啊，一定难不住大家。好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们理解了正比例的意义和正比例关系， 并且会判断两种量是否成正比例关系。了解了正比例关系的图像，不用计算就会直观的判断两种量的变化情况，并且根据规律我们会解决生活中的实际问题。孩子们，你学的怎么样呢？

六、年级下册六、单元正比例和反比例立一的试一试购买一种铅笔的数量和总价如下表，我们表格当中所给出的是总价和数量。问题一天写上表，说说总价是随着哪个量的变化而变化的。 观察表格，我们可以发现，我们购买一支铅笔的时候，总价是零点四元，购买两支铅笔的时候总价是零点八元，购买三支铅笔的时候，总价是一点二元，以此类推。我们可以发现 购买数，我们购买铅笔的数量越多，总价就越多，购买数量越少，总价就越少，所以我们总价是随着数量的变化而变化的。 问题二，写出几种相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小来看总价和数量的比，所以零点四比一等于零点四，零点八比二等于零点四，一点二比三等于零点四， 一点六比四也等于零点四，以此类推，它们的比值都是零点四，所以它们的比值的大小是相等的。 问题三，这个比值表示的实际意义是什么？你能用式子表示它与总价数量之间的关系吗？ 因为我们知道总价除以数量是不等于单价，而我们问题二当中的比值我们求出来它的比值是相等的，所以总价除以数量等于单价，单价是一定的。 所以我笔直表示的实际意义是购买铅笔的单价，也就是铅笔的单价，总价除以数量等于单价，单价是一定的，或者我们也可以写成数量分之总价等于单价，单价是一定的。 问题四，铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？在这里老师就强调了我们判断这两种相关联的量是否成正比例，我们说白了，它其实就用的是除法， 他们的比值或者是商一定的时候，我们就可以说他乘的是正比例关系。所以我们来看，总价除以数量等于单价，我们单价求出来的比值是一定的，所以他乘的是正比例关系。 所以铅笔的总价和数量成正比例关系，因为总价除以数量等于单价，单价是一定的 问题，生活中还有哪些成正比例的量，你能举例说明吗？我们来看，老师举出了两种，第一种，长方形的长一定长方形的面积和宽成正比例。我们来看， 面积除以宽是不就等于长方形的长呢？而长方形的长是一定的，我们用的是除法，它的比值或商是一定的，所以我们乘的是正比例关系。 速度一定，路程和时间呢？我们来看，因为路程除以时间等于速度，速度是一定的，速度是不就指的是比值或商呀，用的是除法，所以我的路程和时间成正比例关系 来看列一列。第一题，张师傅生产零件的情况如下表，我们表格当中给的是生产零件的时间和生产零件的数量。问题一写出几组相对应的生产零件数量和时间的比比，比较笔直的大小， 我们来看，通过表格我们可以知道生产零件的数量和时间的比值。我们用的是除法，所以用二十五除以一等于二十五，五十除以二等于二十五， 一百除以四等于二十五，一百五十除以六也等于二十五，二百除以八还等于二十五，以此类推，我们的比值的大小是相等的。刚才老师生产零件数量和时间用的是什么法？求出比值的用的是除法，是不是求出的比值？ 第二问，生产零件的数量和时间成正比例吗？为什么？因为我们知道生产零件的数量除以时间是不，它们的比值是相等的呢？ 所以我们生产零件的数量和时间成的是正比例关系，而我们的这个比值其实就是我们的工作效率。生产零件的数量是我们的工作总量，工作总量除以工作时间等于工作效率，而我的工作效率是一定的。 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，表格当中给的是用布的数量和服装的数量，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么？ 第二题，做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表，我们表格当中所给出的是用布的数量和服装的数量。问，做的套数和用布的米数成正比例吗？为什么 我们来看我们用布的数量去除以服装的数量，二点二除以一等于二点二，四点四除以二等于二点二，六点六除以三等于二点二，以此类推，他们的比值是不都是二点二呢？而且我们用布的数量 是随着我们服装的数量而变化的，他们两是两种相关联的量。做的套数越多，我们用布的米数是不是会越多呀？ 做的套数在变化，用布的米数也随着变化，而且用布的米数和我做的套数的 笔直是一定的，用的是除法，他们的笔直一定，所以我们就可以说做的套数和用部的米数成正比例。

正比例优惠啦优惠啦！啊，这些衣服多少钱一件呢？一件二十，我买两件能便宜点吗？两件四十。 那我要是再多买几件呢？三件六十，五件一百，十件两百，买的越多越划算啊。哈哈，那我买十件好了，真的是买的越多越划算吗？ 虽然他买的数量多了，但是花的钱也多了呀。所以我们要算一下每件衣服的单价。我们知道单价乘数量等于总价，因此衣服的单价就是总价和数量的比值。 可以发现，每次衣服的单价都是二十，单价没有变，那么财主实际上是没有占到便宜的。像这样比之一定的两个量总是同时变大或者同时变小， 我们就说他俩是成正比例关系的。生活中还有很多正比例的现象，比如汽车以一定的速度行驶时，路程和时间就是成正比例的。 还有圆的周长和直径也是成正比例的，你知道这是为什么吗？ 选 b 判断两个量是不是正比例关系，最关键的是看它们的比值是否一定。圆的周长和直径的比值是一个固定的数， 我们把它叫做圆周率，记作 pi。 两个量同时增大或同时减小，并不一定是正比例关系。比如圆的面积和半径，很明显，半径越大，面积也越大。不过我们来算一下它们的比值， 比值中含有半径 r， 也就是说半径越大，这个比值也越大，它不是一个固定的数， 因此圆的面积和半径就不成正比例关系。如果用字母 x 和 y 来表示两个相关联的量，用一个不变的数 k 表示它们的比值，那么正比例关系就可以用 y 比 x 等于 k 这个式子来表示， 我们还可以用图像来表示正比例关系，比如前面表格中的数据就可以画成这样的图像，它是一条倾斜的直线， 而且根据这个图像，我们还可以不用计算，就得到一些问题的答案，如果财主要买八件衣服，那么要花多少钱呢？看好了， 我们找到八件对应的位置往上走，与这条斜线相遇以后，向左拐弯， 走到代表总价的这条线上，他对应的数字一百六，就是我们所需要的答案，也就是说他买八件衣服需要一百六十元，怎么样？是不是和计算的结果是一样的？ 今天这节课我们认识了正比例关系，判断两个量是不是正比例关系，关键就是四个字，比值一定，而且我们还学习了用正比例的图像进行计算。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的反比例。前面我们学习了什么叫正比例的量， 什么叫正比例关系，还记得吗？两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。只要两个量的比值一定，并且是相关联的，那么这样的两个量就是成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。 那如果用式子表示正比例关系， y 比 x 等于 k， k 一定就证明这两个量的比值一定，所以成正比例关系。既然有正比例，那一定就有 反比例。那什么叫做反比例的量和反比例关系呢？一起来看。例二，把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器。容器的底面积与水的高度的变化情况如下表， 容器的底面积是十平方厘米，水的高度是三十厘米，容器的底面积十五平方厘米，水的高度二十厘米，底面积二十高十五。底面积三十高十，底面积六十高五。 你们发现了什么？对，随着底面积的增大，我们发现水的高度在逐渐的变小。那好，请根据上表回答下面的问题。第一，表中有哪两种量呢？对，一个是容器的底面积，另一个量是水的高度。 那么水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的呢？大家观察表格，在体积不变的情况下，底面积越来越大，而水的高度却是越来 越小，所以我们得到水的高度随着容器的底面积变大而不断变小， 计算相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？我们一起来看，底面积是十，高度是三十，体积三百，底面积十五，高度二十，体积三百，底面积二十，高度十五， 体积三百，三十乘十三百，六十乘五三百。孩子们，你们发现了什么？我们发现他们的乘积都是三百， 那这个三百他表示的是什么意思呢？对，实际上就是倒入容器的水的体积，体积不变，那么用式子表示他们的关系就是底面积，乘高度等于体积， 体积一定，底面积不断的增大，水的高度逐渐的减少，但是他们两个的乘积一定。像这样 两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做乘反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 判断两个量是不是成反比例关系，我们要看什么？对这两个量的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量，他们的关系就叫反比例关系。在上表中，高度和底面积这两个量就是成反比例的量， 高度与底面积之间的关系就成反比例关系。那如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积，乘积一定反比例关系，那我们就可以用这样的式子来表示， x 乘 y 等于 k， k 一定，乘积一定，就证明这两个量成反比例关系。那根据反比例的意义，孩子们，你能举出生活中乘反比例关系的例子吗？ 来看，小梅举了，如果长方形的面积一定，长与宽乘反比例关系是这样的吗？我们知道，长乘宽等于长方形的面积， 面积一定，那就是长和宽的乘积一定，所以长和宽乘反比例关系。小兵举出例子，如果总价一定，价价与数量乘反比例关系正确吗？因为单价乘数量等于总价， 总价一定，那就是单价和数量的乘积一定，所以单价和数量成反比例关系。孩子们，你还能举出生活中哪些成反比例关系的例子呢？ 好了，孩子们，我们学习了正比例关系和反比例关系，那么他们之间有什么相同点和不同点呢？接下来我们来比较一下， 不管是正比例关系还是反比例关系，他们的相同点都是都有两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，那他们的不同点呢？ 正比例关系，两种量中相对应的两个数的什么一定对比值一定，而反比例关系呢？两种量中相对应的两个数的乘积一定。正比例关系用字母来表示就是 y 比 x 等于 k， k 一定，就是比值一定。 反比例关系用字母表示就是 x 乘 y 等于 k， k 一定。两个量的乘积一定。所以两个相关联的量， 判断他们是成正比例关系还是成反比例关系，关键看什么对，是比值一定还是乘积一定？ 好了，孩子们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？首先，我们理解了反比例的意义和反比例关系。另外会判断两种量是否成反比例关系。两个条件，第一， 两种量相关联，第二，两个量的乘积一定。接着我们还根据反比例关系能够解决生活中的实际问题，大家继续思考。正比例关系的图像还记得吗？是从原点零零发出的一条射线， 那么反比例的关系图像会是什么样子呢？请孩子们阅读课本第四十六页，你知道吗？这一部分内容相信你一定会有新的收获。

刚才那节课我们研究了变化的量，那这节课我们来学习正比例。 什么是正比例呢？这也是同学们课前提出的问题。大家还记得在第一节课中，在找变化的量时，有位同学说到了边长与周长以及边长与面积之间的变化情况。 那这节课我们就用这个熟悉的数学知识继续研究。同学们，请看 下面是正方形周长和边长、面积和边长之间的变化情况。请你先把表格填写完整，再说说你分别发现了什么？ 请看你和老师填写的答案一样吗？你都发现了什么？让我们一起来听听同学们是怎么说的。 我发现不论是周长与边长还是面积与边长，它们都是边长增加，周长或面积也增加，边长减少，周长和面积也减少。 这位同学找到了他们的相同之处。那除了这个还有别的发现吗？ 我发现无论怎么变化，正方形周长都是边长的四倍，但是面积与边长的倍数关系却不一样。 我来补充，正方形的周长和边长的比值一样，都是四，而面积和边长的比值不相同。 这位同学通过对比发现了它们的不同之处。像周长和边长这组变化的量，它们的比值不变。 而像面积和边长这组变化的量，它们的比值不相同。而像这组变化的量，我们到了中学还会继续研究。那这节课我们就来研究这种情况。 你能从生活中找到像周长与边长这组比值不变的两个量吗？请你先想一想，下面我们来听听同学们都找到了哪些例子。 我想到的是汽车行驶的路程和时间这两个变化的量，大家请看。我列了一个表格，表示出汽车行驶的路程和时间的变化情况。我发现路程和时间是两个变化的量，路程会随着时间的变化而变化， 通过计算，我发现它们的比值都是九十。 我发现工作总量和时间是两个变化的量，工作总量会随着时间的变化而变化，它们的比值也是相等的，都是六十。 我想到了我在科技小组做过的一个观察小实验，这是我们的记录单， 竹竿的高和竿影的长是两个变化的量，竿影的高度会随着竹竿长度的增加而增高， 而且他们之间的比值不变，都是二分之五。谢谢这些同学们的分享，下面我们把他们找到的例子放在一起，请你再来看看这些例子，你有什么新的发现吗？ 它们都是两种变化的量，一个量变化，另一个也随着变化，而且它们的比值都是不变的。 正像这位同学所说，两个量一个量变化，另一个量也随着变化，而且比值不变。我们就说这两种量成正比例，例如 路程和时间两个量时间变化了，路程也随着变化，而且路程与时间的比值，也就是速度一定。我们就说路程和时间成正比例。 你能像老师这样说一说吗？路程和时间两个量时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值，也就是速度一定。 我们就说路程和时间成正比例。这位同学表达的真清楚，那谁能像他这样说一说下面这个例子， 我来说一说工作总量和时间两个量，时间变化，工作总量也随着变化，而且工作总量与时间的比值，也就是工作效率一定。我们就说工作总量和时间成正比例。 电视机前的同学们，让我们一起来说说最后这个例子。 肝影的长和竹竿的高两个量，竹竿的高变化，肝影的长也随着变化，而且竹竿的高与肝影的长的比值一定。 我们就说竹竿的高和竿影的长成正比例。通过刚才的交流，我们知道了什么是正比例。那再来看看刚才的第一个问题中，周长和边长，面积和边长它们成正比例吗？ 我们来听听同学们的想法。周长和边长两个量，边长变化，周长也随着变化，而且周长与边长的比值是一定的，所以周长和边长成正比例。 这位同学的判断非常正确，而且在表达自己的想法时有理有据，让别人一听就能明白。那面积和边长是不是也成正比例呢？让我们来听一听 面积和边长两个量，边长变化，面积也随着变化， 而面积与边长的比值是不一定的，它会变化，所以面积和边长不成正比例。 这位同学通过计算，让我们看到了面积和边长它们的比值在变化，从而判断面积和边长不成正比例。那听了这两位同学的发言，你会判断两个量是否成正比例了吗？ 让我们来试一试，请你思考，圆的面积与半径成正比例吗？把你的想法在纸上写一写， 下面我们来看看同学们是怎样写的，又是怎样说的。 我是这样想的，圆的面积等于 pi r 的 平方，当 r 等于一时，圆的面积等于三点一四。当 r 等于二时，圆的面积等于十二点五六。 当 r 等于三时，圆的面积等于二十八点二六。我认为圆的面积随着半径的变化而变化，所以圆的面积和半径成正比例。你听明白这位同学的想法了吗？你是怎么想的？ 我不同意你的想法。虽然圆的面积和半径是两种变化的量，但是通过计算，我发现圆的面积和半径的比值却不相等， 所以我认为圆的面积和半径不成正比例。这两位同学的想法好像有点不太一样，你同意哪位同学的想法？说一说你的理由。 我同意第二位同学的想法，我来给他补充。通过圆面积的计算公式，我发现 pi， r 的 平方比 r 等于 pi， r 半径变化，半径的 pi 倍也会随着变化， 而 pi r 的 平方比 r 的 平方的比值等于 pi， pi 是 一定的，所以圆的面积和半径的平方成正比例。 听了这位同学的补充，我们知道了圆的面积和半径不成正比例， 而圆的面积却和半径的平方成正比例。那借就借助刚才收获的经验，我们再来看看下面这个问题。乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，他们的年龄成正比例吗？请你观察表格想一想， 我们来听听同学的想法。通过观察表格，我发现乐乐的年龄在变化，爸爸的年龄也在变化。我又进行了计算，我只算出前两年中乐乐和爸爸年龄的比值， 六比三十二，七比三十三，这两个比值不相等，所以说乐乐的年龄和爸爸的年龄不成正比例，但是我也在这两个量中找到了一个不变的年龄差。 爸爸年龄减乐乐的年龄等于二十六，差是一定的，因为如果两个量成正比例，那么两个量的比值是一定的，年龄差不是比值，所以也可以说明乐乐和爸爸的年龄这两个量不成正比例。 你听明白这位同学的想法了吗？他也找到了不变的量，但他却说爸爸的年龄和乐乐的年龄不成正比例，这是为什么呢？ 我知道他找到的是乐乐和爸爸的年龄差，而两个量要成正比例，比值是不变的，年龄差不是比值，所以乐乐的年龄和爸爸的年龄不成正比例。 那听了这么多同学的发言，怎样判断两个量是否成正比例呢？说一说你的方法。 我的方法是算一算题目中两个量的比值是不是一样的， 我来补充。我觉得首先要看两个量是否有联系，是不是一个量变化，另一个量也随着变化。第二才是算一算这两个量比值，比值一定，这两个量才成正比例。 正像这位同学所说，判断两个量是否成正比例，我们首先要关注到两个量的变化规律，然后再去算一算它们的比值，比值一定，两个量就成正比例。 那讲到这里，老师想到了一个数学故事，它和我们今天的正比例知识有关，我们一起来看一看。 据说埃及的金字塔修成一千多年后，没有人能够准确的测出它的高度，人们尝试过很多方法，但都没有成功。 古希腊人泰勒斯站在金字塔前，让别人测量它影子的长度， 当他的影子长度与他的身高完全相等时， 他立刻在大金字塔的投影处做一处记号，测量出金字塔影子的长度，这样就得到。

同学们好，欢迎大家来到同上一堂课的数学课堂，在这段时间里，我们重点学习了有关正比例和反比例的内容， 大家对于变化的量以及两个变化的量之间的关系可能在理解上还不是很到位。这节课我们就来梳理一下这个单元，希望能对大家的学习有所帮助。 下面我们来观察一种生活现象， 在这个大家几乎天天可以看到的生活现象当中，你找到变化的量了吗？ 杯子里的水在不断增加，所以水的体积是一个变化的量，而杯子上面的空余的部分也在不断减少，所以可以说空余的部分的体积也是一个变化的量。 杯子当中水的体积在发生变化，杯子上方的空余部分的体积也就随之发生变化，这就说明这两个变化的量是紧密相关的。 水的高度也是一个变化的量，因为倒水时水面在不断上升，而且随着水面高度越来越高，水的体积也越来越大， 所以水的高度和水的体积这两种变化的量也是有关系的。下面我们就聚焦一下水的高度和水的体积这两个有关系的变化的量。 我们用表格记录下变化过程当中的一些数据， 然后请大家思考这样三个问题，水面高度和体积是如何变化的？这两个变化的量有什么关系？如果将这种关系用图来表示，图像是怎样的？ 是不是已经有了一些初步的想法？下面我们来听一听其他同学的分享。 水面高度增加，水的体积也会增加，水面高度减少，水的体积就会减少。 这位同学的描述可以让我们感受到水的高度和水的体积是两种变化的量，而且这两种变化的量是紧密相关的，一个量发生变化，另一个量就随之发生变化。 但是关于他们的变化规律并没有解释出来，我们再来听一听其他同学的想法。 我想表达的是，如果水的高度扩大两倍，水的体积也会扩大两倍。如果水的高度扩大三倍，水的体积也会扩大三倍，他们扩大的倍数是相同的。 我们也可以从缩小的角度来看，如果水的高度变成原来的二分之一，水的体积也会变成原来的二分之一。如果水的高度变成原来的三分之一，水的体积也会变成原来的三分之一。 这两位同学的描述就可以让我们清晰地感受到水的体积是怎么随着高度的变化而变化的了。 这样的变化规律会让你联想到学过的哪些知识呢？ 我想到了比的基本性质，比的前项和后项同时乘以一个不为零的数，比之不变。 正是因为水的高度和水的体积有这样的变化规律，从而才确保了这两个变化的量，它们的比值是固定不变的。 当比值一定的时候，我们就说水的高度与水的体积这两个变化的量成正比例， 如果我们用字母 h 来表示高度，用 v 来表示体积，你能用一个式子来表示这两个变化的量之间的关系吗？ 这四种表达式你会选择哪一种呢？ 首先，我不会选择第一种，因为这个式子并没有体现出笔直，一定给人的感觉像是三种变化的量，剩下的三种都可以表达出水的高度和水的体积之间的关系，但高和体积的笔直没有实际意义， 所以如果让我选的话，我也不会选第二种，我会从三和四里面挑一种。下面我们就来聚焦一下第三种和第四种表达。 在我们判断体积和高这两个变化的量是否成正比例的时候，第三种表达可以让我们更清楚地看到比值一定。 而要表达体积和高这两个变化的量之间的关系的时候，老师推荐大家采用第四种表达方式， 画图列表写关于事都可以表达正比例关系。前两个问题的解决，让我们对表和事有了进一步的认识，下面我们来看一看有关图的问题。 因为水面高度和水的体积成正比例关系，所以所画的图像是一条过零点的直线， 不知道大家在学习的过程当中思考过这个问题没有，为什么正比例的图像会是一条直线呢？ 在学习的过程当中，我们一定要善于问为什么，因为这可以让我们的思考走向深入。这个问题呢？我们可以用我们学过的知识进行解释，我们来看， 在我们描点的时候，实际上会形成一个长方形，我们将这个长方形的长和宽同时扩大到原来的二倍， 这是不是就是我们学过的将长方形按二比一的比放大，而按比放大能保证长宽比是不变的，也就是形状不变。 所以这个长方形在放大以后，它的对角线的长度虽然会变成原来的二倍，但对角线的位置没有发生变化，所以零零点和这两个已知点，它们是在同一条直线上的， 只要长宽扩大相同的倍数，长和宽的比值就不会发生变化，那么长方形对角线的位置就不会改变，所以这些点肯定都在同一条直线上。 我们再来换一个角度， 这条线的倾斜角度是由我们描点时所画的这两条线来决定的，也可以认为是由这个直角三角形的两条直角边来决定的。我们来看 这像不像我们在学习笔的时候所接触到的斜坡问题？把斜坡变长变高，怎么才能保证斜坡倾斜的角度不变呢？ 只要两条直角边的比值不变，斜坡的倾斜角度就不会变。 所以在比值一定的情况下，这些点必定是在同一条直线上， 这两个角度我们都可以从中感受到两个变化的量。比值一定的这个特点也就决定了正比例的图像是一条直线。 深入理解正比例之后，对于判断两个变化的量成不成正比例关系，其实也就很简单了，我们首先要看是否是两个变化的量， 其次要看这两个变化的量是否有关，是不是一个变化的量发生变化，另一个量也随之发生了变化。最后要看的是这两个变化的量是否比值一定。 前两条是我们判断的重要前提，如果两个量连这两条都没有满足的话，它必定不会成正比离关系。最后一条是我们判断的关键所在， 这样的话，我们就把正比例的内容，从意义、表达方式以及判断方法这三个角度进行了梳理，这样的三个角度同样可以适用于反比例的梳理当中。 在梳理反比例的时候，我们可以先举一个两个变化的量乘反比例关系的例子， 然后针对这个例子，就像我们刚刚对正比例梳理的时候那样，从不同的角度对这个例子展开充分的分析。最后我们可以利用思维导图来呈现梳理的结果。 下面我们就来听一听一个小组他们的梳理分享。 我们小组举的例子是有关速度和时间的，我们假设 a、 b 两地的距离是一千二百公里，当速度是六十公里每小时的时候，时间就是二十小时。 而当速度是八十公里每小时的时候，时间就变成了十五小时。当速度是一百公里每小时的时候，时间变成了十二小时。而当速度为一百二十公里每小时的时候，时间就又缩短了，变成了十小时。 当速度达到两百公里每小时的时候，时间仅仅用六个小时就可以到了，速度越快，所用的时间越短。 在我们举的这个例子中，速度和时间是两种变化的量，速度发生变化，时间也随之发生变化，但它们的乘积始终都是一千二百，所以速度和时间这两种变化的量成反比例关系。 我们发现，当速度乘二，时间相应的就要除以二。速度乘一点二五，时间相应的就要除以一点二五。 速度乘几，时间相应的就要除以几。正因为速度和时间一个乘几，另一个就除以几，所以他们的成绩才不会改变。 我们把速度用字母 v 表示，时间用 t 表示，它们之间的关系可以表示成 v， t 等于一千两百或者是第二个式子，根据老师刚才说的，第一式子可以帮助我们判断两种变量是否成反比例。 在表达两种变量之间的关系时，我们会推荐第二个式子。我们小组也尝试着像正比例那样画一画图，把这些点都描出来， 我们觉得这些点应该连成一条折线，但书上画的反比例图是一条曲线，我们不太清楚为什么是曲线而不是折线呢？ 这个小组结合所举的例子，对反比例的内容进行了比较充分的讨论，相信通过这样的梳理，大家对于正比例和反比例有什么联系和区别也就更清楚了。 判断两个变化的量是否成反比例，它的重要前提与正比例是相同的，不同的是我们要看两个变化的量是否积一定， 只有这两个变化的量积一定的时候，这两个变化的量才会成反比例。 正比例和反比例的内容在中学阶段会进行更为深入的学习，所以大家关于反比例的图像的这个困惑，我们就留待同学们升入中学以后再解决了。 现在呢，我们只要简单的了解就好，这样我们就把整个单元的内容都梳理完了。

刚才那节课我们研究了变化的量，那这节课我们来学习正比例。 什么是正比例呢？这也是同学们课前提出的问题。大家还记得在第一节课中，在找变化的量时，有位同学说到了边长与周长以及边长与面积之间的变化情况。 那这节课我们就用这个熟悉的数学知识继续研究。同学们，请看 下面是正方形周长和边长、面积和边长之间的变化情况。请你先把表格填写完整，再说说你分别发现了什么？ 请看你和老师填写的答案一样吗？你都发现了什么？让我们一起来听听同学们是怎么说的。 我发现不论是周长与边长还是面积与边长，它们都是边长增加，周长或面积也增加，边长减少，周长和面积也减少。 这位同学找到了他们的相同之处。那除了这个还有别的发现吗？ 我发现无论怎么变化，正方形周长都是边长的四倍，但是面积与边长的倍数关系却不一样。 我来补充，正方形的周长和边长的比值一样，都是四，而面积和边长的比值不相同。 这位同学通过对比发现了它们的不同之处。像周长和边长这组变化的量，它们的比值不变。 而像面积和边长这组变化的量，它们的比值不相同。而像这组变化的量，我们到了中学还会继续研究。那这节课我们就来研究这种情况。 你能从生活中找到像周长与边长这组比值不变的两个量吗？请你先想一想，下面我们来听听同学们都找到了哪些例子。 我想到的是汽车行驶的路程和时间这两个变化的量，大家请看。我列了一个表格，表示出汽车行驶的路程和时间的变化情况。我发现路程和时间是两个变化的量，路程会随着时间的变化而变化， 通过计算，我发现它们的比值都是九十。 我发现工作总量和时间是两个变化的量，工作总量会随着时间的变化而变化，它们的比值也是相等的，都是六十。 我想到了我在科技小组做过的一个观察小实验，这是我们的记录单， 竹竿的高和竿影的长是两个变化的量，竿影的高度会随着竹竿长度的增加而增高， 而且他们之间的比值不变，都是二分之五。谢谢这些同学们的分享，下面我们把他们找到的例子放在一起，请你再来看看这些例子，你有什么新的发现吗？ 它们都是两种变化的量，一个量变化，另一个也随着变化，而且它们的比值都是不变的。 正像这位同学所说，两个量一个量变化，另一个量也随着变化，而且比值不变。我们就说这两种量成正比例，例如 路程和时间两个量时间变化了，路程也随着变化，而且路程与时间的比值，也就是速度一定。我们就说路程和时间成正比例。 你能像老师这样说一说吗？路程和时间两个量时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值，也就是速度一定。 我们就说路程和时间成正比例。这位同学表达的真清楚，那谁能像他这样说一说下面这个例子， 我来说一说工作总量和时间两个量，时间变化，工作总量也随着变化，而且工作总量与时间的比值，也就是工作效率一定。我们就说工作总量和时间成正比例。 电视机前的同学们，让我们一起来说说最后这个例子。 肝影的长和竹竿的高两个量，竹竿的高变化，肝影的长也随着变化，而且竹竿的高与肝影的长的比值一定。 我们就说竹竿的高和竿影的长成正比例。通过刚才的交流，我们知道了什么是正比例。那再来看看刚才的第一个问题中，周长和边长，面积和边长它们成正比例吗？ 我们来听听同学们的想法。周长和边长两个量，边长变化，周长也随着变化，而且周长与边长的比值是一定的，所以周长和边长成正比例。 这位同学的判断非常正确，而且在表达自己的想法时有理有据，让别人一听就能明白。那面积和边长是不是也成正比例呢？让我们来听一听 面积和边长两个量，边长变化，面积也随着变化， 而面积与边长的比值是不一定的，它会变化，所以面积和边长不成正比例。 这位同学通过计算，让我们看到了面积和边长它们的比值在变化，从而判断面积和边长不成正比例。那听了这两位同学的发言，你会判断两个量是否成正比例了吗？ 让我们来试一试，请你思考，圆的面积与半径成正比例吗？把你的想法在纸上写一写， 下面我们来看看同学们是怎样写的，又是怎样说的。 我是这样想的，圆的面积等于 pi r 的 平方，当 r 等于一时，圆的面积等于三点一四。当 r 等于二时，圆的面积等于十二点五六。 当 r 等于三时，圆的面积等于二十八点二六。我认为圆的面积随着半径的变化而变化，所以圆的面积和半径成正比例。你听明白这位同学的想法了吗？你是怎么想的？ 我不同意你的想法。虽然圆的面积和半径是两种变化的量，但是通过计算，我发现圆的面积和半径的比值却不相等， 所以我认为圆的面积和半径不成正比例。这两位同学的想法好像有点不太一样，你同意哪位同学的想法？说一说你的理由。 我同意第二位同学的想法，我来给他补充。通过圆面积的计算公式，我发现 pi， r 的 平方比 r 等于 pi， r 半径变化，半径的 pi 倍也会随着变化， 而 pi r 的 平方比 r 的 平方的比值等于 pi， pi 是 一定的，所以圆的面积和半径的平方成正比例。 听了这位同学的补充，我们知道了圆的面积和半径不成正比例， 而圆的面积却和半径的平方成正比例。那借就借助刚才收获的经验，我们再来看看下面这个问题。乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，他们的年龄成正比例吗？请你观察表格想一想， 我们来听听同学的想法。通过观察表格，我发现乐乐的年龄在变化，爸爸的年龄也在变化。我又进行了计算，我只算出前两年中乐乐和爸爸年龄的比值， 六比三十二，七比三十三，这两个比值不相等，所以说乐乐的年龄和爸爸的年龄不成正比例，但是我也在这两个量中找到了一个不变的年龄差。 爸爸年龄减乐乐的年龄等于二十六，差是一定的，因为如果两个量成正比例，那么两个量的比值是一定的，年龄差不是比值，所以也可以说明乐乐和爸爸的年龄这两个量不成正比例。 你听明白这位同学的想法了吗？他也找到了不变的量，但他却说爸爸的年龄和乐乐的年龄不成正比例，这是为什么呢？ 我知道他找到的是乐乐和爸爸的年龄差，而两个量要成正比例，比值是不变的，年龄差不是比值，所以乐乐的年龄和爸爸的年龄不成正比例。 那听了这么多同学的发言，怎样判断两个量是否成正比例呢？说一说你的方法。 我的方法是算一算题目中两个量的比值是不是一样的， 我来补充。我觉得首先要看两个量是否有联系，是不是一个量变化，另一个量也随着变化。第二才是算一算这两个量比值，比值一定，这两个量才成正比例。 正像这位同学所说，判断两个量是否成正比例，我们首先要关注到两个量的变化规律，然后再去算一算它们的比值，比值一定，两个量就成正比例。 那讲到这里，老师想到了一个数学故事，它和我们今天的正比例知识有关，我们一起来看一看。 据说埃及的金字塔修成一千多年后，没有人能够准确的测出它的高度，人们尝试过很多方法，但都没有成功。 古希腊人泰勒斯站在金字塔前，让别人测量它影子的长度， 当他的影子长度与他的身高完全相等时， 他立刻在大金字塔的投影处做一处记号，测量出金字塔影子的长度，这样就得到。

啊啊 完成了的小组请用你们的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程。 好，高卓那请你带上你们其他几位同学的学习单放在上面先给大家展示，并且先说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们怎么发现好吗？ 哦就是首先这旁边已经标了有那个总价和单价，呃 然后这然后这里就是用总价除以数量就会等于单价然后单价就会等于然后单价就是三天，我们是一定的 然后呢我们第二组，呃，也是用它的总价除以它的数量也会等于它的那个单价就是值三点五呃比值也还是一定的。 这是第二个同学这里他也是用他的那个总价除以他的数量 呃这里也是用它的总价乘以它的数量也是单价的也还是它的单价 这个同学他还是一样的他也是用那个总价乘以数量等于单价一直也还是一定的。 哦这是最后一张哦这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于它的总价然后再反过来也就是总价除以单价等于数啊等于它的那个， 呃，除除以数量等于他们的单价他们的单价也是一定的第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价总价除以数量也等于单价一直还是一定的。 掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习单上面还进行了验算，把数量和单价相乘看是不是等于总价对不对？嗯好，我们梳理一下刚刚这一位小组他们算出来的总价与数量的比值都是一定三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定，一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你刚刚听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示他的单价，同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格， 和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间 啊。 好，讨论完的小组坐姿告诉老师，谁来说一说你们小组的发现。 好，这位女生，第一组的数据，他们的速度也是，他们的比值是一定的，就是三分之五百。 第二组的数据，他们的单价就是他们的比值是一定的，也就是三点五，同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？好，你来说，我还发现他们都是相关联的量。说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一种量。在数学中，我们就把这样的关系称为正比例关系， 四六七八三二三四五六七八四二。 所以在这里我们就说路程和时间是成正比例关系，路程和时间是一组成正比例的量。同样的，下面我们可以怎么说？ 相等的数量是成正比例的量，他们两是一组成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。 看到下面部分，像这样，我们一起去读一遍，像这样预备起像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍，这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想，你是怎么理解它的？ 谁来说一说，跟大家分享一下。你猜到哪些词你是怎么理解的？好，你来说。 生的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数，有什么样的关系呢？嗯， 好，谁来帮他补充一下。什么样的关系？他们就是正比例关系呢？好，你来。是，是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种一定会变化，那也就是说这两个量它们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你圈的关键词？ 好，你来说一说。我圈了两个词，一个是正比例关系， 他这里两种量叫做成正比的量，所以这里只是一个量，他们关系叫做正比关系，所以一个是量，一个是关系。很好，他还找到了他们之间的区别。还有呢， 好，你再来分享一下。我选出来的是两个数的比值，一定，如果这两个数的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样，他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同学们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说，首先他们得是相关人的量， 其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢，他们俩的关系一定要是秉持，一定要是一定的 很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是相关系，其次他们还得满足理直理意。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件。下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断， 啊啊啊啊。

这节课我们来一起学习关于正反比例的判断题型。首先我们来看一下判断正反比例的方法必须满足是两种相关联的量， 说白了就是如果用除法，他的比值或商一定，那好，那他就成的是正比例。 如果这两种相关联的量用到的是乘法，积是一定的，我们就可以说它乘的是反比例关系，所以非常简单。所以首先看第一道题，电脑的单价一定购置电脑的数量和总价。我们来看 看这两种相关联的量，数量和总价。数量和总价的话，我们想它用什么法呢？总价除以数量是不等于单价呢？用的是除法， 而且它们的商一定，所以老师就可以说它乘的是正比例。 第二题，构成电脑的数量一定电脑的单价和总价，我们来再想用乘法，还用除法，单价数量， 单价和总价总价除以单价等于数量，数量是一定的，用的是什么法？除法？对了，所以乘正比例就这么简单 来看。第三题，工作总量一定工作效率和工作时间来看这两组相关联的量。工作效率和工作时间有什么法呢？工作效率乘工作时间是不是就等于工作总量？ 积一定乘法，所以乘的是反比例 来看第四题，圆柱的高一定它的底面积和体积。嗯，这不是我们二单元的东西吗？ 求圆柱的体积。已知底面积和高，用到的公式是 v， 圆柱等于 s h， 对 吧？但是现在的我的两个数量关系式是底面积和体积， 所以我用体积除以底面积是不就等于高呀？ v 除以 s 等于 h， 而我的高还是一定的呢？用的是除法，高一定，所以它成的是正比例关系，正比例 就这么简单。第五题，六年级三班的小组数和每组人数，我们来看两组相关联的量。小组数和每组的人数，我用每组的人数乘小组的数量， 是不就等于我六年级三班的总人数呢？而六年级三班总人数肯定是一定的，对吧？用的是乘法，所以它乘的是 反比例。第六题，小红从家到学校已走的路程和剩下的路程，嗯，这两种是相关联的量吗？ 已走的路程加上剩下的路程是不才能等于小红家到学校的总路程的呀？ 用的是加法，而我们判断正反比例的时候，用的是乘法或者是除法，对不对？所以它用的是加法，所以不成比例。 七题，比的后项一定，前项和比值，嗯，我们前项比后项 等于比值，怎样求比值呢？是用前项除以后项等于比值。现在我们的两种相关联是前项和比值，那我用前项 除以比值是不就等于后项呀？而后项是一定的，用的是除法，所以乘正比例 就这么简单，咱们就看他用的是乘法还是除法。八题，圆的周长一定圆的直径和圆周率。我们来想直径和圆周率，我用直径乘圆周率，圆周率是不就派呀？派乘直径 等于周长，因为已知周长。已知直径求周长，是不是 c 等于派 d 啊？而我的周长还是一定的，所以用到的是乘法，周长一定，乘法积一定用的是反比例。 九题，一百二十名同学参加团体操表演，每排的人数和排数，我们用每排的人数乘 排数是不是就等于我一百二十名同学的总人数呢？总人数一定乘法，所以乘的是反比例关系。 最后一道实体，一个商场每天的营业时间一定每天接待顾客的数量与营业额，我想 这两种是相关联的量吗？每天接待顾客的数量和营业额，每天接待的数量是一定的吗？与营业额是一定的吗？ 所以说他们这两种不是相关联的量，所以我们不成比例， 所以我们再进行判断是否成正反比例。首先第一种必须是两种相关联的量才可以呢， 如果他是两种相关联的量的话，我们才考虑用乘呢还是用除呢？用除法的话，比值互上一定就正比例，用乘法记一定就是反比例，同学们学会了吗？

嗨，同学们大家好，欢迎来到开老师的数学小课堂，我是最懂你们的开老师。今天啊，我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第六单元的第一课时，叫做认识成正比例的样和正比例图像。 我们之前呢已经学过比例了，那什么又是正比例呢？哎，我们通过下面这道例题来了解一下。首先第一道例题， 一辆汽车呢，在公路上行驶，行驶的时间啊和路程，如下表所示，我们可以看一下这个表格里面啊，第一页是时间，第二页呢就是路程了， 观察表中的数据，你有什么样的发现？那我们来看一下。首先啊，最直观的就是这个时间和路程从前往后一直在增加，对吗？时间呢，每次多了一个小时，路程呀，每次多了八十千米，哎，这个算一下是能看出来。 然后呢，我们就说路程呢，是随着时间的变化而变化的，那么类似这样的样，我们就把它叫做相关联的两个样。好，那除此之外还能够发现什么呢？ 哎，既然提到路程和时间了，我们自然就联想到路程的基本公式，也就是路程等于速度乘以时间。那反过来，是不是可以根据时间和路程求一下速度呀？好比如说，第一页数据， 一小时走八十千米，那速度就是八十千米每小时。那么第二页数据呢，两小时走一百六，那么速度呢？ 还是八十？第三个三小时走二百四，二百四除以三依然是八十。好，后面几个我们快速的算一下，你会发现都是八十，也就是说呀，这个汽车他在行驶的过程当中，速度其实就没变过，对吗？ 好，其实到这啊，我们就已经把正比例的样给说出来了，那正比例到底是什么呢？我们来看一下课本上的定义，正比例的含义啊，在这道题里面，我们说路程和时间，首先是两种相关联的样，这个刚才老师说了，其中一个样变化，另外一个呢，也随着变化。 然后当路程和相对应的时间的比的比值总是一定的时候，这个比值是谁啊？就是我们刚才说的速度一定求出来是八十，没有变过，对吗？好，那么行驶的路程和时间就成正比例的关系， 而行驶的路程和时间就是正比例的样子。好，这个是课本上关于正比例的一个定义，看起来是不是有点长，有点啰嗦，对吧？所以老师啊，把它精简一下，抓住其中的关键点，说白了就三个字， 哪三个字呢？这三个字商，一定，只要这两样商是一定的，我们就说他们这两样是成正比一的样，这里面呢，再加上后面这两句话， 你大我大，你小我小，这个是什么意思呀？也就是说成正比一的两个样之间有这样一个关系，一个样变大，另外一个呢，跟着要变大，一个样变小呀，另外一个跟着要变小。好，所以在这里面关键点还是前面这个。 那接下来呢，正比一的样还可以用字母来表示，用字母怎么表示呢？既然是伤一点啊，我们就把这两个字母写成笔直的形式来，比如说这个样子， y 比上 x 等于 k， 这个 k 呢，就相当于是最后求出来这个商，这个商一定要是不变的。而前面那个 y 和 x， 我们就说是乘 正比例的样样了。好，那说完了正比例的含义，那接下来我们回到刚才那道题，接着来看后面这一问， 刚才那道题里面的几组数据啊，我们还可以用下图中的点来表示。好，这个图同学们能看懂吗？ 其实就是我们以前在数队里面所学的图，对吧？好，横轴呢，表示的是时间，纵轴呢表示的是路程，那在这里面点 a 就表示一个小时我走了八十千米，而这个点 b 呢，就是五个小时走了四百千米， 那其他每一个点是不是都是一样的，对吧？好，老师快速的说一下。比如说这个点，那么横轴呢，对应的是两小时，纵轴对应的是一百六十千米，所以他对应的就是两小时走的一百六十千米。好，接下来这个点呢，三小时走了二百四十千米，到这个点， 四小时走了三百二十千米，后面依次雷推，六小时走了四百八，这个呢，七小时走了五百六十千米。好，这个都比较简单，就是我们以前所学的书队的基本知识。那接下来呢？老师啊，要把这些点 连起来，看看，你能发现什么？好，我直接顺势粘起来，你会发现是不是正好就变成一条直线了，而且这个直线呢， 经过零点，当然这个零点啊，我们一般把它叫做圆点。好，在这里面呢，我们就可以得到成正比例的两样，他画出来的一个图像就是一条直线。好，那接下来我们再来看第三问， 那这条直线有什么用啊？来，我们现在根据图像来判断，这辆车二点五小时行驶了多少千米？还有行驶四百四十千米又需要多少个小时？如果没有这个图 五，我们最基本的方法是什么呢？哎，就是利用路程、时间、速度三者之间的关系，一个一个去计算。那当然对于这道题来说，算起来也不麻烦，对吗？因为我们已经知道了，速度就是八十千米每小时，那么二点五小时呢，乘以八十求出来就是对应的路程， 而四百四十千米需要多长时间？我们用四百四十除以八十求出来的就是时间了。好，但是现在有了这个图像之后啊，这道题做起来就更简单了，我们完全可以从图像里面直接把答案看出来。 那怎么来看呢？我们来看一下。首先呢，先来看第一问，二点五小时行驶多少千米？我们首先啊，需要在这个图像上找点，找什么样的点啊？找时间对应是二点五小时的点，那也就是说他的横坐标应该是二点五小时，对吧？好，那我们来看 看一下，那是不是就应该是这个点？好，然后往上我们就得到了应该是图像上的这个点。 好，那接下来再看一看，这个点的纵坐标是多少呢？好，我们来可以看到纵坐标呢，往这边做一条水平的直线。 好，然后相交的这个点就是纵坐标了，那么我们可以看到那个点应该是多少呀？应该是二百，因为这里面一小格代表的是四十，你从一百六十的基础上往上加一格，加四十就可以了。好，那么到这这个答案我们就快速的看出来了，根本不需要算 好，那么后面一个呢？行驶四百四十千米是不是也是一样的道理？好，我们先找到纵轴上面四百四十这个点， 然后呢做水平的直线。好，接下来呢，找到的是图 五项上的这个点，然后再看一看这个点他对应的纵轴上的数是多少，那么再向下做一条数值的直线。好，相交的这个点就是我们要找的时间了，在五和六的正中间，那也就是五点五小时， 是不是很简单呀，对吧？好，所以有了这个图像之后啊，我们再解类似这样的题的时候，就起到一个事半功倍的作用了。好，那接下来呢，我们来总结一下关于正比的图像。 正比的图像，首先是一条经过圆点的直线，这个刚才老师提到了这个圆点，其实就是那个零点。好，从图像中可以直观的看出两种量的变化情况，这是其中一个作用。 好，接下来呢，还有一个作用，就是我们刚才说的不用计算，有一种样的值，可以直接找到对应的另一个样的值。好，这是正比例图像的两种用法。好，那接 接下来呢，我们来看一看今天的几道课后练习题。首先第一题张师傅生产零件的情况，如下表，好，这个表格里面呢，这一栏代表时间，这一栏代表生产零件的个数。第一问， 写出几组相对应的生产零件数量和时间的比，比较比值的大小。好，我们随便找几组，比如说这组，那么就是二十五比一，还有呢，比如说这一组五十比二。 好，紧接着再来一组一百比四。好，这一组我就先不看了，我直接看这组二百比八好，当然同学们也可以自己在底下把这五组比都算一算。接下来呢，我算一算，他们最后的结果，也 就是他们的笔直。好，二十五比一，不用多说了，太好算了，等于二十五，五十比二呢，也是二十五，一百比四，这个大家应该背过，等于二十五， 最后二百比八算出来也是二十五好，那么这个笔直的大小是不是一目了然， 都相等对吗？哎，到这就和我们前面所说的正比例的定义演习起来了。这两样首先是相关联的样，你变我也变，然后呢，他们的笔直还一定，那自然而然就是 正比例了，对吧？好，然后接下来我们再来看一下第二题，一种彩带每米售价五元，购买两米、三米、四米等等，各需要多少元？那好，第一个，这个太简单了，相当于小学二年级的数学题。来，我们直接把这个 单价五元带你去算一下是不是就可以了？好，单价是五元，那你买两米的时候呢？二五一十三米呢？三五十五， 四米四五二十五米，五五二十五。好，这个表格就填完了，接下来我们再来看一下第二个呢，考的是正比一的图像了，对吗？ 我们现在啊，要在下图中描出彩带总价和长度所对应的点，再按照顺序连起来。好，那这个点呢，不难找，比如说第一组数据， 长度为一米的时候，总价是五元。好，我们来看一下，横轴代表的就是长度，纵轴代表的是总价， 用数对来表示呢，就是一逗号五，我们直接在这个格子图里面找点就可以了。好，那么这五个点老师直接就把它标出来了，那接下来呢？再按顺序连接起来，其实到这啊，同学们应该都已经能看出来了， 肯定又是正比的图像，又是一条经过原点的直线，对吗？好，所以我们连起来应该是这个样子。当然，既然是直线，其实后面我们还可以怎么样无限延长，只不过屏幕没有那么大，老师啊，就先换到这里了。好，那接下来第三问， 购买彩带的总价和长度是否成正比例？你是根据什么来判断呢？那我们刚才其实已经有图像了，那从图像是不是就能看出来是正比例啊？对吧？他符合正比例图像的一个基本特点呀，经过原点，而且是一条直线。好，同时呢，我们还可以从正比例的定义入手，看一看他们的笔直是否一定。 这面两个样，一个是长度，一个是总价。好，两个相关人员的样，你变我也变。然后呢，求一求，他们的笔直能用总价处于长度，其实后面就不用再算了，对吗？一眼就能看出来了， 五比一等于五十比二等于五十，五比三等于五，等等等等。其实这个总价比长度算出来的就是谁啊，不就相当于是单价吗？而这个单价变了没有， 从头到尾都是五元一米，单价没变，也就相当于这个笔直。一定，那么自然他俩就是一个正比例关系了。 所以啊，判断正比例关系，我们有两种不同的途径，第一种，根据定义判断，求二者之间的笔直是否一定。第二种啊，如果有图是最好的，直接看一眼图，立马就知道是不是正比例了。好，那么接下来我们再来看第四问，根据图像判断，购买三点五米的彩带需要多少元？ 如果没有这个图呢，我们需要计算，一米是五元，三点五米呢？三点五乘以五算起来是不是也不麻烦，对吧？等于多少呢？ 等于十七点五元。如果有了这个图呢？怎么来看啊？三点五在哪呢？三和四的正中间？ 好，然后呢，向上画一条竖直的直线，先找到这个点在哪里？好，那应该是图像上的这个点。接下来呢，对应的纵轴呢， 我们再做一条水平的直线连起来，应该在这里，对吧？从这一面我们能看出来，这是在三四的中间，那这个点就应该在十五和二十的中间，那么十五和二十的中间是几呢？算下十五和二十的平均数是不是就可以了？求出来，当然也是十七点五元， 只不过这道题相对来说就没有前面我们那道例题算起来方便了，对吧？这道题直接用算数法，比从图里面去计算 要简单一些好。所以啊，这两种方法因题而异，根据不同的题目选择不同的方法，看哪一个最合适，有哪一个好。那么接下来我们再来看一下今天的最后一道题。第三题， 一根弹簧呢，挂上物体重量不超过二十千克，这个时候呢，长度会伸长，这个也比较好一些，对吧？弹簧是被拉长了，然后呢， 物体的质量与身长的长度如下也有一个关系，我们来看一看。首先第一栏呢，是物体的质量好，从两千克一直到二十千克，弹簧呢，身长的长度是用厘米来表示的，零点五厘米，一厘米，一点五厘米，一直到五厘米。 第一问，在图中描出物体质量和弹簧深长长度所对应的点，再按照顺序连起来。好，这个比较简单，还是 按照数对的这个基本方法，直接从图里面找就可以了。好，我们把这个点描一下，然后呢，顺势连起来，当然还是经过原点的，所以到这啊，其实根据图我们就已经能够得出来了，他俩之间又是一个正比一的关系，对吧？好，那接下来第二个， 工体的质量与弹簧生产的长度是否成正比例？那不用多说了，图里面已经看出来了。当然呢，如果你觉得不放心，你还可以呢，根据正比例的定义，再去比较一下， 求一，求他俩之间的笔值是否一定。那比如说我用这个二除以零点五求出来是几啊？等于四， 那对应呢，四除以一也是四，六除以减五呢？还是四，后面的都是四。所以啊，无论是从图像还是从定义，我们都能够判断他俩之间就是一个正比例的关系。 好的，接下来第三问，根据图像判断，如果挂上质量是五千克的物体，弹簧应伸长多少厘米？要是弹簧深长四厘米，应该挂上多少千克的物体？ 那这个呢，又是让我们从图里面去找了，对吗？好，还是像刚才一样，直接找对应的点就可以了，然后把这个点的横坐标或者送坐标给他读出来。那首先呢，第一个挂上质量是五千克的物体，我们来看一下，质量是五千克的物体在哪呢？在横轴上这个点。 好，那接下来呢，我们做一条竖直的直线，这样呢，就找到了这个点，对应的图像上就在这个位置， 那接下来呢，我们再来看一看它对应的纵坐标是多少，那么长度是不是就出来了？好，做一条水平的直线。好，那这个点是不是就找到了？应该是在一和一 点五的中间，对吗？好，然后我们算一下，相当于算一和一点五的平均数就可以了，应该等于多少？应该等于一点二五，好，那接下来呢，第二个， 第二个呢，要是弹簧深长四厘米，应该挂上多少千克的物体？那这时候你会发现题目上给的图啊，已经不够用了，四厘米已经超过题目里面 这个三点五厘米了，对吗？所以我们需要怎么办？我们需要把这个表格接着再往上画一些，然后呢对应的 横坐标呢，也要接着再往右边来一些，好，然后画出来，接下来呢，我们就可以把这个直线在往右上端延长，然后就能找到这个点了，对吧？好，最后呢找到这个数是多少呢？应该是十六千克，当然如果没有这个图， 我们也可以计算，通过什么计算啊？我们刚才说了，他们之间的笔直是一定的，对吗？所以呢，你可以对比一下，这个长度为四厘米的时候，整个这个重量是长度的四倍，所以呢， 最后求多少千克？我们用四厘米再乘以四，是不是也能求出来？好，所以两种不同的方法根据题目来选择好，那这道题呢，我们就做完了， 所以总的来说呢，这节课我们所学的就是一个正比例，以及他图像。相对来说啊，这一部分内容并不难，更多的呢是为我们后面的内容做铺垫的。好同学们，我们这节课内容呢，到此就告一段落，我们下节课再见。

认识正比例， 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，三只青蛙三张嘴。八戒， 从这首儿歌中你发现了什么？我发现随着青蛙数量变化，嘴巴、眼睛和腿的数量也都在变化，简单说，这些都是变量。 不错，那他们之间有什么规律吗？规律二，师兄，我们可以通过列表格探求他们之间的规律。你看， 嘴巴数量是随着青蛙数量增加而增加的，并且嘴巴数量总是与青蛙数量是相等的，也就是说，嘴巴数量是青蛙数量的一倍。是的， 他们之间存在倍数关系。换句话说，嘴巴数量与青蛙数量的比值是一， 哈哈，眼睛数量是青蛙数量的两倍，笔直是二。同样的，腿的数量与青蛙数量的笔直是四。哈哈，哦，师傅，我还发现，不论青蛙的数量如何变化，这个笔直都是不变的。 没错，像这样，眼睛数量与青蛙数量是两个量，青蛙数量变化，眼睛数量也随着变化，并且笔直。一定， 我们就说眼睛数量与青蛙数量成正比例哦，正比例，是的，正比例是用来描述两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，也可以说成正比例关系。生活中成正比例关系的量有很多，你们能举出例子吗？ 如果一碗面两文钱，那么总钱数和吃面的碗数成正比例关系哦，我们平均每天行进的速度是四十千米，行进的路程和行进天数也是成正比例关系。 哈哈，你们都很善于动脑筋，师傅师傅，我还知道圆的面积与半径也成正比例关系。嗯，悟空、沙僧，你们两个帮八戒分析一下他说的对吗？ 同学们，请你们也思考一下，圆的面积与半径是不是正比例关系。

这节课呢，我们来一起学习六单元正比例和反比例。第一主要学习的是正比例的意义。一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表， 表格当中给出的是路程和时间问题，观察表中的数据，你有什么发现？ 我们来看我们行驶的路程是随着时间的变化而变化， 行驶的时间越长，行驶的路程就越多，行驶的时间越短，行驶的路程就越少。所以老师就可以说，我们当时间在变化的时候，路程也随着变化， 这两种量我们就可以称它为是两种相关联的量。一、总量也随着在变化。 我们来看这两种相关量的量，计算相对应的路程和时间的比的比值是否相等。我们因为路程除以时间等于数度，所以我的比值其实是数度。 八十除以一等于八十，一百六十除以二等于八十，二百四十除以三等于八十，三百二十除以四还等于八十。依次进行计算的话，我们发现我们行驶的速度是不发生变化的。 你能写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值吗？我们来看路程和时间的比是八十比一，老师在这里写成了一分之八十，他的比值是八十。 二分之一百六十，比值是八十，三分之二百四十的比值还是八十五分之四百的比值还是八十，依次进行计算，它们的比值都是八十，而我的比值表示的是路程 除以时间等于速度，速度是一定的，所以我的比值表示的是行驶的速度。 根据路程和时间的关系，我们来理理解正比例的意义，路程和时间是两种相关联的量，这第一个重点，时间变化，路程也随着变化。 当路程和相对应的时间的比的比值总是一定，也就商是一定时，是第二个重点，行驶的路程和时间就成正比例关系。行驶的路程和时间是成正比例的量， 所以判断两种量是否成正比例关系，我们就看符合不符合两种条件。第一种条件，他们是不是两种相关联的量。 第二种条件，我们再看这两种相关联的量的比值或者是商是不是是一定的。如果这两种条件都符合，这两种量就成正比例的量，反之，不成正比例。 总结，一、两种相关联的量，一、总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值也就是商一定，这两种量就是成正比例的量，他们的关系就叫做正比例关系， 比值也就是商。所以我们肯定考虑的是用的是除法进行计算。二、如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值一定 正比例关系可以表示为 x 分 之 y 等于 k， k 是 一定的。在这里老师写 x 分 之 y 是 不？其实就是 y 除以 x 呢？把分数的形式写成了除法的形式， x 除以 y 除以 x 等于 k， k 是 一定的。三、判断两种量是否成正比例的方法首先第一步，我们先判断这两种量是否成相关量的量。 二、再看这两种量中相对的这两个数的比的比值是否是一定，说白了就是他们是不是用的是除法，如果用的是除法，他们的比值或商是一定的，这两种量就成正比例，反之不成正比例。

六下正比例，反比例判定是一个重点，这个等式如果能化成乘法关系及他这个固定数，就是反比例。这个等式如果能化成除法关系，商是个固定数，就是正比例。你掌握了重点，考试的分才能高，对吧？你要想知道哪些是重点题，你可以看看王兆祥这个培优卷，他是 ab 卷， a 卷用来总结每单元重点题， 你比如比例，他有几个重点题，一二三给你标的特别清楚，你一看就清楚。重点题他都是分类整理，容易掌握。母题视频讲解，子题举 反三重点题你都会了，考试成绩肯定好啊！ b 卷用来综合检测六项需要毕业复习的专项卷也是非常全，你把这个卷子吃透，考试没问题，大家参考一下吧。

六年级数学下册重点来了！比例本视频将从基础概念到正反比例一次讲透，带你搞定核心考点！一、比例的定义表示两个比相等的式子叫做比例。 这里要注意这笔字比和比例有什么区别？举个例子让你快速明白。比，两个数相除，如，二比三等于四比六。判断两个比能否组成比例， 关键看它们的比值是否相等。例如，二比三等于四比六，因为两个比的比值都是三分之二，所以相等。二、比例的基本性质在比例里，两个外向的积等于两个内向的积。即，如果 a 比 b 等于 c 比 d， 那 么 a 乘 d 等于 b 乘 c。 三、解比例，求比例中的未知项，叫做解比例。方法，根据比例的基本性质，将比例转化为方程，再求解例题，一解比例四分之三比 x 等于六比，八解根据内向基等于外向基。 四、正比例与反比例一、正比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的比值商一定，这两种量就成正比例。 关系式。 y 比 x 等于 k， k 一定生活实力。单价一定时，总价与数量成正比例。 二、反比例两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果它们的乘积一定，这两种量就成反比例 关系式。 x 乘 y 等于 k， k 一定生活时力。路程一定时，速度与时间成反比例。例题一，一辆汽车两小时行驶一百四十千米，照这样的速度，五小时行驶多少千米？ 分析速度一定，路程与时间成正比例。解，设五小时行驶 x 千米，一百四十比二等于 x 比五，根据内向积等于外向积德二 x 等于一百四十乘五，求德 x 等于三百五十千米。 例题二，一间教室用方砖铺地，每块面积零点一六平方米，需要三百块，如果改用面积零点二五平方米的方砖需要多少块？分析教室总面积一定每块面积乘块数等于总面积乘积一定乘反比例解设需要 x 块。 零点二五乘 x 等于零点一六乘三百零点二五乘 x 等于四十八，求得 x 等于一百九十二块。

哈喽，同学们好，我是喵老师。今天呢，我们一起来学习一个新的概念，正比例与反比例。首先我们一起来看一下这两个东西它的一个定义。首先第一个乘正比例的量， 乘正比例的量还是乘反比例的量也好，它们之间啊，都必须是两种互相关联的量，其中一种发生变化，另外一种也会随之变化。 那么如果说这两个量之中相对应的两个数的比值一定，那么这两个量他就叫做乘正比例的量。 简单的来记法这个地方是记住比值一定，那么他们两个量是乘正比例， 那么用一个式子来表示，我们可以来看到就是 y 比 x， 如果说等于 k 为一个定值，那我们就叫 y 与 x 之间成正比例。当然它也可以有一些变形的形式，比如说 y 会等于 k 乘以 x， 那 么从这样子的一个式子之中啊，我们其实也可以看出来，这样子的两个量，当 x 变大的时候， y 也会随之变大，当 x 变小的时候， y 也会随之变小，所以它们是同步变化的一个关系，这两个量，哎，它会是成正比例。那么接下来我们再来看到 第二个乘反比例的量，同样的是两种相互关联的量，同样的一总量变化，另一总量也会随之变化， 但是这里乘反比例的量应该是，如果这两个量中相对应的两个数的乘积是一定的，这里是乘积一定， 那么这两个量我们就叫做乘反比例的量，它们的关系也叫做乘反比例的关系。那么这里是两个量之间乘积一定等于 k 为定值，那么这两个量之间就乘反比例，那我们用式子来表示，也可以是 y 等于 x 分之 k， 这样的两个量成反比例。立体一，文具店有一种彩带销售的数量与总价之间的关系啊，如下表，我们来看到第一行，哎，这里表示数量。第二行，他表示总价数量为一、二三、四五、六七八的时候，总价分别为 三点五、七，十点五十四、十、七点五、二十一、二十四点五、二十八等等这样的一些。根据上表，我们一起来回答下列的问题。第一个，表中有哪两种量，哎，那么非常的简单，这表头已经给我们写出来了 数量和总价。第二个，总价是怎样随着数量的变化而变化的，那我们知道应该是总价随数量 的增加而增加， 随之增加而增加。那么第三个，相应的总价与数量之间的比值分别是多少？ 那我们可以来看一下，从中要找到它的比值和比，那我们可来看这里的话，其实你可以把每一个总价分别去比数量，那我们计算会发现这个比啊，它是一个定值，这样子比为一定值， 要求比是多少，那我们要找最减整数比，应该是找哪一个？应该是找二与七这一栏，哎，注意这里是总价与数量的比，那么这里应该是七比上二啊，这是它的比，那么比值呢？ 比值的话，其实我们可以直接看第一栏，哎，这三点五比一，那么这个地方的一个比值，把它算出来是三点五，哎，是三点五这个值。 其实从这个表之中，我们可以来仔细地来思考一下，其实随着总量是一米、两米、三米、四米， 总价它应该是，哎，三点五，七十点五这样子的一个关系，它们应该就是销售问题之中一个非常常见的一个形式，也就是数量 乘以单价会等于总价， 那我们可以来看一下，在这个问题之中，有谁是应该是确定的，那我们从图秒之中应该可以看得到，应该是总价 比上这里的数量 等于单价， 事实上这个三点五它是有单位的，它应该是怎么它应该的单位应该是呃，三点五元 每米，它对应的其实就是这个单价。所以在这一类的模型之中，总价和数量我们知道它呢是成正比例的关系的，也就是总价与数量 应该是乘正比例， 那么我们就可以来套用这个正比例的模型来继续来看一下乘正比例的量的两个量啊，它还可以有哪一些形式可以来把它表示出来？接下来我们来看到第二问 上面的表示中的数据啊，我们还可以用图像来把它表示，那么在这个图之中，请根据这个图像啊，我们来回答下列的问题，其实也就是把我们上面的那个表格中的点给一个一个对应到了这样子的一个网格之中， 横坐标的方向，哎，横水平方向，它表示数量一二三四五六七八九十，那么纵坐标的方向这个纵向的应该是表示总价元， 那么这里是表示的一三点五，二七，还有三十点五等等这样的一些量，我把它一个一个的点表示出来。从图中我们发现这样的一些点啊，它应该是总价 与数量 对应的点，应该在一条直线上， 它们都会是，哎，成一条直线的，那如果说不用你计算，根据图像去判断，如果说我要买九米的彩带，总价应该是多少？买四十九元又可以买多少米的彩带呢？ 那么第二小问，我们来根据这个图像进行一个判断，其实只需要把这个图像继续给它延长，让它出现，哎，这个九米和四十九元的时候即可，那我们把这个图像进行延长， 延长之后啊，那我们对应的找到九米的位置，九米的位置这个时候找上去应该在这儿啊，这里是九米，那么它对应的纵向的价钱这里应该是多少呢？ 那是应该是二十八与三十五之间，那么应该是三十一点五这个正中间的位置。好的，那么也就是第一个应该是三十一点五元。 第二个我来看一下四十九元能买多少米的彩带，四十九我看一下那么对应的，哎，这个点应该在这，那么找到它对应的横向的位置应该是十四，所以四十九元我可以买十四米。 第三小问，小明买的彩带的米数是小粒的两倍，他花的钱是小粒的几倍呢？因为我们知道在这个地方总价 与数量之间的比值一定 就会等于单价，这个单价是定值， 所以自然小明的总价比小明的数量，那就会等于小利的总价比小利的数量啊，所以那我们来看一下，如果说在这个地方的米数是小利的两倍，那么他花的钱，那应该同样的正比例关系也会是小利的两 倍。 好的，这里呢就是一个正比例的问题，与它的图像，哎，结合到我们的实际应用之中，它该如何地去解决这些问题？那么接下来我们继续来看下一个例题二， 这里有一只猎狗发现在距离他八米远处，前方有一只正在奔跑的小兔子，他立刻就追上去了。一只猎狗跑两步的路程是小兔跑五步的路程，但是呢小兔子的动作非常快，他那个小短腿啊，他的频率很快， 那么这个时候小兔跑五步的时间，猎狗却只能跑三步，那么问我们猎狗至少要跑出多少米才能追上小兔？在一般的行程问题之中，我们应该是要知道速度和时间，然后再去相乘等于路程， 所以这个地方我们来看要求这个路程，那我们应该至少要求出它的速度之比才行，那么速度应该怎么求呢？其实速度在这一个问题之中， 应该会等于每一步跑的长度，也就是步长乘以单位时间内的步数， 也就是哎，它比如说一秒跑多少步，每一步又跑多长，那我们就可以把它们相乘，可以得到一秒跑多少米了。 那么这个时候的话，我们来看一下哎，这里应该是分两个过程来叙述布长与单位时间内的布数的比。那我们可以看到第一个已知猎狗跑两步的路程是小兔跑五步的路程，如果我们设 路程 为一，那么那么它们的不长之笔 我们可以看到欸要跑一样的路程，那么这个时候欸猎狗跑两步的路程是小兔子跑五步的路程，所以这里应该是猎狗 与兔子之间它的不长的比，我就可以求出来，因为猎狗每步是跑二分之一，而兔子每步是跑五分之一，所以这一个比例应该会等于五比二， 而这里不长出来了之后，我再来看一下相同时间内它的一个步数的比，在相同时间 步数 之比，这个猎狗与兔子 的步数的比已知小兔子跑五步的时间，猎狗只能跑三步，所以这里是等于三比上五的，所以这个时候我们应该可以知道， 猎狗的速度比上兔子的速度应该会等于，那么就是它们的步长与它的步数的乘积， 五乘以三比上二乘以五，进而这个比例我可以知道，哎，把五同时约掉，可以 会等于三比二，这是速度之比，那么速度之比既然出来了，这是一个什么问题？它们相距八米，此时的八米应该是追及路程， 这是一个追集问题，所以追集路程八米除以它的速度之差，速度之差是三减二，应该会等于猎狗的一个路程 比上它自己的速度，那么会等于比上三，所以这个时候，哎，应该非常简单了，所以这个猎狗它的一个路程 应该会等于这里是八，所以三乘过去是二十四米啊，最后你就可以来做个答 答，这个时候啊，猎狗应该要跑二十四米才能追上这个兔子。好，这里呢是利用比例的方法，我们来把这个呃应用题给来快速的来解答。

认识正比例， 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，三只青蛙三张嘴。八戒， 从这首儿歌中你发现了什么？我发现随着青蛙数量变化，嘴巴、眼睛和腿的数量也都在变化，简单说，这些都是变量。 不错，那他们之间有什么规律吗？规律二，师兄，我们可以通过列表格探求他们之间的规律。你看， 嘴巴数量是随着青蛙数量增加而增加的，并且嘴巴数量总是与青蛙数量是相等的，也就是说，嘴巴数量是青蛙数量的一倍。是的， 他们之间存在倍数关系。换句话说，嘴巴数量与青蛙数量的比值是一， 哈哈，眼睛数量是青蛙数量的两倍，笔直是二。同样的，腿的数量与青蛙数量的笔直是四。哈哈，哦，师傅，我还发现，不论青蛙的数量如何变化，这个笔直都是不变的。 没错，像这样，眼睛数量与青蛙数量是两个量，青蛙数量变化，眼睛数量也随着变化，并且笔直。一定， 我们就说眼睛数量与青蛙数量成正比例哦，正比例，是的，正比例是用来描述两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，也可以说成正比例关系。生活中成正比例关系的量有很多，你们能举出例子吗？ 如果一碗面两文钱，那么总钱数和吃面的碗数成正比例关系哦，我们平均每天行进的速度是四十千米，行进的路程和行进天数也是成正比例关系。 哈哈，你们都很善于动脑筋，师傅师傅，我还知道圆的面积与半径也成正比例关系。嗯，悟空、沙僧，你们两个帮八戒分析一下他说的对吗？ 同学们，请你们也思考一下，圆的面积与半径是不是正比例关系。