成都二诊数学第10题的几何法

各位家长大家好，我是嘉祥九四的初中数学老师董老师啊，同学们都称我为灵魂导师啊或者懂神 啊。接下来由我给大家讲一下我们初三数学二等的一些情况。到现在的为止的话，我们 内容都基本上都学完了，所以我们的考试的体型和每个地方考生们都非常固定了，大家都应该知道我们的 a 十七考元十八考反比例对不对，二十函数考掉第二十五题，二十六题就是几何总和，这个地方大家都非常的清楚， 那这个时候我们也发现了自己的很多问题。好了，接下来就这些问题的话给大家做一个分享。首先说一下这个易错点， 所谓的易错的话就是会啊，但经常容易犯错的地方。代数部分的话，首先第一个就是我们的分式方程问题， 分式方程的话最容易错的就是我们这个验根，验根的话在我们计算题当中和应用题当中还不太一样， 我们计算题当中的话，验根是怎么验的？是检验把某个解带入公分母对不对等不等零的问题。在它应用题当中的话，我们是经检验，它是方程的解，且要符合题意，这样才能正确， 这个地方一定要特别注意啊。然后就是我们的不等式，我们的性质三的话，两边同时除以负数的时候容易变号啊，这个地方是一个易错点，要重视。然后就是我们的整数解问题，大家要特别的关注 啊。然后我们的分式方程再提一下，他在这个 b 田里面偶尔也会考到，就是他和与和我们的原子方程进行结合，所以结合的时候，这个时候大家要注意，虽然不让你验根了，但是一定要想到这个问题。 好了，那说到一元的方程了，我们一元的方程的易错点在什么地方呢？他易错的地方的话，其实就是他有没有提到这个东西，他的参数要不要考虑二次项系数为零，对，要不要验根？就所以但是他要不要大于的面临这个问题一定要特别关注 好，这是我们代数部分的几个易错点，然后就是我们几何部分，几何部分的话重点就是一个讨论问题，大家模型不会的话，学模型讨论的话，这个地方是可以非常容易避免的啊， 避免的方法是什么呢？比如说我们这个点或者这个线是由某个地方进行旋转的，还是这个点在某条线上运动的，运动的时候就要考虑它的一个长短问题，有没有跑出这条线段， 在旋转的时候有没有超过一百八十度，我们要特别关注这些地方，那几何的话，再一个关注的就是这个圆 a 十七的话，我们是 应该是初三下期啊，很多同学可能就学了这两个月，那这个时候就会出现一个比较松酥的问题，可能我想想我还是会，但是我一紧张就忘了，就特别容易卡住啊，注意一个考试技巧啊，该跳的就要把它给跳过去， 等你把其他会的全部写完以后，这个时候再来做这个事情就比较简单了啊，你们有压力的情况下，发挥出你的全部水平，肯定是可以做出来的。那说到这个地方呢？我们这个 a 卷里面其他地方如果不会了，是不是也可以这么处理？ 对了啊？然后就是考试当中还要注意几个技巧，就是不会的题该怎么办？是不是该蒙一定要注意，该蒙要蒙一下啊，就是像 b 天不会了，蒙个答案顺手的事，对不对？那大题不会了怎么办呢？这个时候千万不要把它控住啊。 那这个时候我们可以写一下你能够写出来的过程，比如说你算一个全等，写一个相似，或者说证明一个边的相等，哪怕算出一个角相等，他很有可能就是我们题里面的关键步骤，可以得到一定的过程分，一定要把它给重视起来，该拿的分一分都不能少拿啊。 然后就是我们最后这段时间时间不多了啊，大家要注意一个学习策略的问题啊。第一个我们可以花个一到三天来过一下这个基础，刷个几份卷子，这个时候来整理一下，就是基础上的一出题， 哪些地方是计算的问题，还是我们知识点的问题？计算问题的话，我们这有一个比较好的一个避免方法啊，因为很多同学特别容易超出数，那怎么办呢？你把你这些题集中一下放到一块，往考前一看， 我经常看错书，怎么看呢？这个时候你考试做题的时候会不会紧张一下，会不会特别的重视你重视起来了，其实错误率就下降了。那第二个的话就是知识点问题， 就你做了以后，你某个知识点经常的错误，这个时候一定要认清你并不是所谓的失误，这个肯定肯定是掌握的不牢靠的问题啊，重视起来， 那然后就是大家的其他错题进行复盘啊，就是我们这个就指的是那些稍微有难度的题了，就是错题的改错。复习是一个非常重要的环节，很多同学刷了题，为什么分数没有提升，就是在错题这个地方 努力不够啊，或者说下手功夫了。我练的很多，但是纠错做的功夫不够。我们以前讲过一个三遍纠说法， 比如一周一次，半月一次，一个月一次，如果你做过这道题，你经过这三重筛选以后依然是会的，那才是真正的会。但是现在时间不多，我们考前的话以复习错题为主来进行一遍，哪怕两遍来进行直接错题的纠错就可以了。当然错题纠错也要分两个方面，一个是真正不会的， 就有些知识点我真的是理解不了，不会考前短暂时间内我们就先不要理他了，但有些是似会非会的，这个地方是我们努力的关键要素啊，这个时候你稍微努力一下，是不是就有可能得分 啊？应该是百分之八十的概率都可以得分，对不对？所以把这个地方给关注起来。呃，最后的话就是再给大家提一个小小的建议啊，就是我们十八题 反比例，二十五题二次函数，我们第一问算完以后一定要检查，有部分孩子就是 算到二问三问写完以后才发现自己计算出的问题，那这个时候你想修改，一个是特别浪费时间，另外一个就是你没有地方写了，空间不够，所以我们在这个地方一定要特别的慎重。 好了，那最后预祝大家啊，就是孩子们啊，在考接下来考试当中都能取得自己理想的成绩，步步高升。好了，想关注更多内容的话啊，欢迎关注我们家乡酒肆的啊，各种外宣途径，公众号、微信都是可以的啊。

成都初一家长，如果孩子几何题经常没有思路，那么这道二零幺五年青羊区的题目真题一定不能错过。老师会通过这道题来总结这类题的方法以及相关的要点，可先暂停，让孩子试一下，看一下他能不能做对。我们一起来看题。如图，在三角形， a、 b、 c 中角， a 等于六十度，调一下， 大点是 b、 c 边上的中点，这是相等。大 e 又垂直于 b、 c， 这个是直角，那你看到垂直就应该要想到这什么中点加垂直，要想到中垂线，所以这条线就是 a、 b、 c 的 是线段， b、 c 的 中垂线。看到中垂线就要想到中垂线的性质，中垂线上的点到两岸的距离是相等的。好，我们继续往后看。题目做了 a、 b、 c 的 平分线， b、 p 就是 平分线， 交大于于这点 p 点连接了 pc， 那 么刚刚我们就想到了中垂线的性质， p、 b 和 pc 应该是相等的，因为中垂线上的点到线段两段的距离相等，那么同样同理也要想到去，也要想到去等边对角，所以这两个底角也是相等的。 最后题目给了这个 a、 c、 p 的 度数是二十四度，有两个度数，一个一个六十度，一个二十四度。最后让我们去求这个什么，求这个角的度数，因为刚刚角平分线，所以这个是圈的话，这个是圈，这上面这个也是圈。比如说题目现在我们要求的就是这个圈的度数是多少， 那么这里我们怎么办？这有个三角形，这个角，这个角都知道了， 所以这个角就是二 x， 而这个角就是 x， 加上 二十四，而这个顶角是六十度，他们内角会是一百八，我们直接解这个方程就是二 x， x 和面是三 x， 六十移过去二十四，移过去就是九十六，最后算出 x 等于三十二，所以这个题的答案就是三十二。那么老师再总结一下这道题的关键考点。第一个考的就是这个什么有终点，有垂直，要想到中垂线， 有中垂线就想到中垂线的性质，中垂线上的点到两边的距离相等，其实产生 pp 点 p c 的 时候，要想到等边对等角，这是中垂线作为第一个考点，第二个的话就是这个什么角平分线， 看到角平分线要能够联想到两个等角，当然经常会考到角平分线上的点到两边的距离是相等的， 这是第二个考点。第三个考点就是考的是内角和定力，那这个内角和定力考的没有那么直接，它结合这个什么？结合这个方程思想，当我们不知道这个角在求的时候，可以大胆的说它是 x， 然后把相关角推出来， 推出来之后，那你既然设了 x， 就 要去列方程，解这个 x 内角和定力就能够帮助我们去列这个方程，从而解方程就能求出题目的答案。好，这就是这个三个要点。

总有学生在问老师，这些二级结论应该不应该去记？那大家记住了，如果高考是二十个小时，你可以不记，但他只有两个小时，如果你不记的话，时间肯定来不及。咱们来看看这道题目啊，他考了哪些二级结论？ 首先在一个三角形当中，有一个边长，另一个边长都是知道的，而且 d 是 斜边， a、 b 上一个点，他既然说斜边了，所以这一定是一个直角三角形，而且直角就是角 c， 咱们把它画出来， 画完图形之后，他说三角形 a、 c、 d 和 b、 c、 d 的 内切圆面积相等，那既然内切圆面积相等，当然就是半径也相等， 那么半径跟三角形有什么联系呢？这其实就是一个结论。那么我们看见了内切圆的半径要跟三角形结合，一定是往面积上面去想。因为我们有一个面积公式是二分之一的内切圆半径再乘以周长， 所以我们来看 a、 c、 d 和 b、 c、 d 这两个三角形，它的面积比其实就是 a、 d 比上 b、 d， 所以 咱们不妨设这一小段是 m， 这一小段是 n， 那 么 s 三角形 a、 c、 d 比上 s 三角形 b、 c、 d， 它就等于 m 比 n 也等于开始用这个公式去整理啊，二分之一和 r 都可以抵消，所以它的周长是二加 m 再加 c， d 比上一加 n， 再加 cd。 那 么这个关系有了之后，大家发现没有 cd 就 可以用 m 和 n 来表示，所以我们来化解一下这个式子变成 m 加上 m， n， 再加上 m 倍的 cd 等于二 n 加上 m n 再加上 n 倍的 cd， m， n 可以 抵消掉，所以 cd 的 长度就等于 m 减 n 分 之二， n 减 m， 有 了 c、 d 的 长，并且用这两个数表示出来。大家再来看这个图形，当你看见了 a、 d、 b 这三点共线，并且有两个线段的比例了时候，是不是可以联想到我们平面向量当中的爪子模型，所以就是 c、 d 向量 等于 n 比上 m 加 n， 再乘以 c、 a 相等，再加上 m 比上 m 加 n， 再乘以 c、 b 相等。那其实这个结论也是要求我们记住的，书上是用例题来表达 的，所以看见这个式子来，大家看一看啊。 c 的 长一只， c、 b 的 长一只，那么我们如果想求 c、 d 的 长度， 是不是就可以给他平方再开方？所以这边平方以后，他的平方是已知的，他的平方是已知的。这两个乘积正好是 c、 a 乘 c、 b 的 结构， c a 乘 c， b 是 零，所以直接给他打开，咱们就得到了 c、 d 的 平方，他就等于 n 方比上 m 加 n 的 平方， c、 a 的 平方是四，再加上 m 方，比上 m 加 n 的 平方，再乘以 c、 b 的 平方是一，所以它就变成了这个，然后把它代入，就得到了 m 减 n 的 平方分之二， n 减 m 的 平方。所以我们通过这个等量关系，就可以找到 m 和 n 的 关系。 化简一下，这个地方写成 m 加 n 的 平方，上边是四 n 方，加上 m 方，这个地方写成 m 减 n 的 平方，上面是四 n 方加上 m 方减去四 m、 n， 然后再交叉相乘。 后面的过程看上去很麻烦，但其实计算的过程是挺简单的，因为它有很多项都可以抵消，抵消完了之后，最后咱们会得到一个结果，叫做 m 比 n， 它就等于三比 二，那有了这个比例，咱们来看 a、 b 本身的长度应该是根号五，所以这个比例是三比二。那么 b d 也就是 n， 它占的就是五 分之二，所以 b、 d 的 长度就等于五分之二倍的 a、 b 也就是五分之二倍根号五。所以答案就得到了。对于这道题目来说，其实就用了两个 比较常用的结论，一个就是看见内切圆的面积的时候，咱们要怎么跟半径结合。第二个就是这个爪子模型的使用，所以大家记住二级结论，该记一定要记，因为高考的时长只有两个小时。

同学们好，二零一六年全国二卷的理科单选第十题，孙老师带大家搞定他。好，那么大家第一次读完这个题呢，哎，一定要去仔细的 审题，思考他到底在说什么？这个题呢，是一个几何概型， 他，因为他，毕竟你看他问的是不是概率，对不对，那么他到底在说什么？我们要圈出来一些具体量，首先从区间随机随机取出二 n 个数，哎，所以说你看这个 x 是不是应该有 n 个，然后 y 是 不是有 n 个，哎，我分别构成了 n 个数，对，那么数对呢？其实就是我们的坐标点的意思，也就是说，也就是说什么 这二 n 个数组成了 n 个点，好，翻译一下啊，翻译一下，我们在这里翻一下，也就是说它这里是，呃，翻译题目。 二 n 个数 好，翻译的更精准，意思就是二 n 个数字组组成了 n 个点，那么想我们这些点能够围成一个什么图形？ 卷圆，它围成了一个图形，那么就是这个 n 所占的这个区域，懂吗？它就是这个意思。好，我们先不管后面的，我们先把这个图去画一下啊， 我们先画下它的图，嗯，它给到了一个区间的范围，其实就是它的一个限制，嗯，用黑色的吧， 不往下画一点，因为一会儿，呃，有用，在这里。好，那么在这里我们要自己去画的时候，大家有意识的去给他标的准一点， 这里如果是这里，如果是一，这里如果是一，我们在这里留个一，那么我们用黑色的表示为乘的这 n 个点为乘的面积，哈， 就行，就行，这样就可以，也就是说我们翻译出来就是说我们围成了一个什么边长是一的 正方形，懂吗？可以理解吗？也就第一句话，我们翻，我们第一节话翻译出来就这个意思，所以围成了一个正方形，边长为一的正方形， 那么我们在这里正方形的面积就是我们 s 的 这个图形， 这个就是 n， 然后再来我们换个颜色，再去扣它的这个对应数，对应意思，我们换个颜色， 其中啊，其中也就是这个，其中意思是我们 x 跟 y 的 限制还维持在零到一，懂吗？还维持在零到一两数的平方和小于一 啊，那很简单是不？ s 方加 y 方等于一， x 方加 y 方等于一， 相当于它是很明显是一个圆心是零到零，半径是一的正方形，只不过呢，我们还要维持住区间是零到一，所以说我只能够在这里相当于取一个 等于它是不是应该有整个圆？但是我只能够取到这么部分紫色这个部分零到一嘛，就这么多等于一。那么很显然我们在这里对标出 m， 所以 m 就 等于这个四分之一 s 圆 就可以了，所以这里是四分之一 x 圆，所以就乘以一就等于四分之一的 pi， 这就是 m 跟 n， 那 么利用它这里去这个圆周率，它是这个意思哈，最后一步是这个意思，它是要求这个 pi， 我 们 m 去干嘛 去？除以 n， 你 就带进去，然后再转换一下，你看四分，四分之一，呃，四分之派除以这个 n 是 不是就对 m 跟 n 是 不是四分之派， 你就这样直接带进去？所以我们要把 pi 表示出来， pi 就 四除过来就是 n 分 之四， m 就 可以了，就选 c， 就 这个意思啊，这个就是一个定义新，就是定义新预算吧。 像这一类几何就是随机利用概率去求图的，去求题的话一定是你去审题，这种一般都是比，就是就是新，会比较新一点， 他不像那个一列，就是甲乙丙丁几个人去去去做什么工作那种。像这个几何概型呢，相对会麻烦一点，一定要急于去审题，抓住他的限制条件，你才能够理解他到底做什么。当然这个题呢作为一个累积，大家可以不用压力那么大， 因为相当于这个考题呢。呃，他会考，只不过他的变化就是新颖程度会比较高一点，你去累积到这个题，可能很久不会再遇到一个。好，那么这个题的地位跟解题方法就讲到这里。

数学嘛，主打一个玩嘛，今天就教大家如何玩转成都二诊题。先读题。由此可以知道这两个角相等，并且角 a、 d、 f 等于角 c、 d、 b。 拿出锐角正切尺，分别测一下它们的正切值，等于四分之三， 等于二分之一。接下来还不简单，借直角三角形来一波，根据数据模型， a、 c、 b、 d、 a、 b 的 长全都能求出来， a、 e 由此求出等于二分之一， a、 f 等于四分之。根号五， 最后相减 c、 f 等于根号五。瞬间有一种任督二脉打通的舒畅感。

哈喽，同学们，我是齐老师，今天给大家讲解一下我们青羊区的这个二五年二诊的 b 卷压轴体，看我们争取在十五分钟之内能不能把这道题给它秒了。 那首先这道题的基本背景呢，叫做 abc， 给了一个 r 法，然后角 b， a， c 快 速标一下，是背他过点大，在过点 a 的 直线 m 上运动连接 b 大， 在 b 大 的右侧呢，做了个三角形大 b， c 是相似于三角形这个大 b e 的， 所以显然在这里你一秒你就会发现它一定是一个旋转型的相似，而我们经过初三，对吧？常年的训练，大家应该清楚，旋转型的相似有一组就会有第二组，所以马上看到第二组， 那第二组相似呢？就像手拉手一样，那一定是三角形，这个 a b 大 和三角形 c， b， e 大 手拉小手，对吧？这个相似一旦找到呢，那第一小问其实就秒了，因为第一小问它就是让咱们正一个非常基础的叫旋转型的第二组相似， 那习老师一般通俗的称为 s a s s a 的 s 本来是全等的一个正法，但是因为相似里面也有两组边，分别乘比例，对应乘比例，然后以及它们的夹角相等， 所以说呢，这个正法也管它叫 s a s， 那 这个呢，齐老师就不再过多赘述了，第一小问大家快速去书写就可以，我们重点呢是从第二小问开始来观察， 好吧，这个第二小问说啥呢？当 m 平行于 bc 的 时候，所以就 m 和 bc 现在变成一组平行线了，对吧？后面有可能可以倒角，而且背它呀，变成了一个九十度，也就是这个 b a c 呢，变成九十度，所以你看这个图就应该有感觉叫做好像有一个等腰直，是不是产生了呀？ 对吧？然后继续读第二小问的第一个小问题呢，说若阿尔法刚好是四十五度的时候，也就意味着 a、 b、 c， 它就是一个等腰值， 那 a、 b、 c 是 等腰值，那就说明大 b、 e 也是等腰值。好，那也就代表着刚才我们推出的 a、 b 大 和 c、 b、 e 的 这组相似呀。它的相似比也就清楚了，应该是这个一比根号二，其实也就是直角边比上这个斜边一比根号二 好。所以这些你快速推出来之后，为了用上刚才的相似，这里肯定咱们得把 c、 e 是 不是给它连起来，对吧？好，然后继续读，他说如图二，当 c 大 等于 c、 f 的 时候，这条边等于这条边的时候， 那求角 c 大 f 的 度数，也就是这个角的度数，所以就意味着我们要求的是一个等腰三角形的底角，对吧？那比如说，假设这个是 r f， 那 这个角是不是也是 r f？ 而等腰三角形，如果你要求底角的话，那求顶角其实也是 ok 的， 因为只要知道一个角，对吧？那这个角就出来了。所以如果你能求出角大 c、 f， 那 其实也是完全没问题的。 好了，所以这个题的基本的条件咱们就给它读清楚了。那读清楚之后，下一步呢？那就看看能不能通过刚才的相似得到一些基本的结论。在刚才的相似里面，我们的 ab 大 里面叫做没有一个角呢，是固定的。但这个小问是有 为什么呢？因为这个小问里面的 b、 a、 c 是 九十度，然后 m 和 b c 又平行的话，就意味着九十度。隔壁这个兄弟是不是肯定是四十五度，也就是角大 a、 c， 它是一个内错角，等于这个角 a、 c、 b 肯定是四十五度， 那也就意味着咱们这个相似里面的这个钝角，我给它标成一个大钝角，也就是这个 b a 大， 是不是应该是个完美的幺三五？好，它是幺三五意味着什么呢？有了相似之后，马上 b、 c、 e 是 不是就是幺三五？ 这个是幺三五就非常的特殊，因为幺三五的隔壁有一个多少度角呢？同志们，是不是四十五度，而幺三五刚好和四十五度是互补的呀？所以就意味着这里有个共线的关系，也就是我们的 a 点、 c 点 一点，这三点一定是贡献的，看上去就比较贡献，对吧？所以导出来会发现，刚好这个就是贡献好，它是一根直线，来瞄一下好了，但你光知道它是一根直线呢，还并没有办法直接帮我们求出这个角 c 大 f 对 不对？所以再看看如何利用 c 大 等于 cf 这个条件， c 大 等于 c f 呢？会发现咱们这个角大这里他是不是应该是个直角，对吧？那当一个直角三角形斜边上出现了有一个等腰三角形的时候，但大家一定要小心了，就比如说我这给大家画一下，画一个直角三角形好，如果桥这随便连一条线，告诉你这个边是等于这个边， 那请问同学们意味着什么？出现了叫斜边中线。如果你对几何关系不是很熟练的话呢？那现在一定要把它记下来，就是如果一个直角三角形斜边上，咱们出现一个等腰三角形的话，那就说明他一定是一条斜边中线，就意味着这个点 一定是斜边的中点，为什么呢？他要是带你倒下角，你就明白了。因为下面是个等腰，所以这是阿尔法阿尔法，那这里是个九十度，所以上面这个应该是九十度减阿尔法整个是直角三角形，所以这个角他肯定也是九十度减阿尔法，所以这个边他也是个等腰， 那就代表着这三条线段是不应该都是相等的呀？所以这意味着这里应该是个斜边的中点，那斜边中线定力也就随之产生了。所以根据咱们在几何上的这个关系，那你很快就能判断，哪里有刚才小黑说的这个玩意呢？ 叫直角三角形大 f 溢力对不对？那 c 大 等于 c f， 那 就不仅 c 大 等于 c f， 那 肯定还等于什么 叫 c e， 所以 c 点其实是 fe 的 一个中点。好， ok， 那 斜边中线一旦出现，怎么去帮助我们求 c 大 f 这个角的度数呢？很简单，因为你看咱们这里是不是拥有一个四十五度角，所以有四十五度角，咱们能想到做垂线构造一个等腰值，所以换个颜色吧，过大点 往 a c 做一条可爱的垂线垂足，比如说叫 q 吧。 ok， 那 这样有什么关系？比如说我们设一个比较简单比较短的线段，比如说 a q 或者 q 大， 因为是等腰值，设哪个都可以，比如说就设 q 大 吧， q 大 的长度如果是 x 的 话，那在这个 a q 大 这个等腰值里面， a 大 作为斜边，是不是应该是根号二 x 的 长度？ 好，然后呢，别忘了， a 大 这个边是在我们的相似的三角形里面的 a b 大 和 c b e 是 相似的，而且相似比是根号二。所以如果我们的 a 大 是根号二的 x， 那 就意味着 c e 应该是拿根号二 x 再乘一个根号，也就意味着它是二 x， 这就是这里最重要的一个这个线段关系。因为如果 c e 是 二 x 的 话，同志们，那就意味着我们的 c f 呀， c 大 呀，是不是也是二 x 好， 也就是 c 大 是二 x。 看习老师用什么颜色的笔呢？ 黄色的笔吧，给大家瞄一下， c 大 是一个二 x， 而我们刚才假设的大 q 是 一个 x 好， 那就意味着在直角三角形大 q c 里，这应该是个一比二的关系。好，那你应该非常的清楚了，说明我们的大 c q 这个角，它是不是应该是个完美的三十度， 对吧？也就他是一个一比二，比根号三，也就俗称三六九好，那这个三角形我们清楚之后，那就这道题其实已经被我们秒掉了，为什么呢？一个等腰三角形的顶角是三十度，那底角不是信手念来吗？对吧？ 所以我们简单列个算式就好了，也就是角 c 大 f 应该是拿一百八十度减三十度，最后再除以一个二，等于七十五。好，所以这个小问呢，最后总结一下，如果我们想得到这个角的度数，其实并不容易，会结合哪些知识点呢？同志们，第一个是相似， 大家不仅要知道相似比是一比根号二，还得知道这个一百三十度倒过去它有个共线关系。其次呢，还利用了一个斜边中线定律的反推 好，那最终得到一个一比二的三十度，那这道题呢，才能比较顺利的搞定。所以这道题想要顺利搞定的话，大家需要对于几何图形呢，非常的清楚，以及熟练度要很高才可以。 好了，那咱们接下来看一个技巧性没有那么强的最后一个小，其实最后个小问反而技巧性没有那么强，为啥呢？先读一下题，他说当阿尔法刚好是六十度的时候，射线 b e 交 m 于点 n， 所以读到这句话的时候，你就该想一想了，比如说我们借助刚才这个图，其实也就代表着我们在这个小问里面的 abc， 它不再是一个等腰值了，它是一个三六九，对吧？这个是六十度，它是个三六九。 但 be 呢？可以借助刚才这个图二看一看。如果你的大点在 a 的 右侧的话，那你这个 be 显然射线 be 是 不是往右下角去指的呀？所以请问同学们，射线 be 会不会和我们上面这个 m 去相交呢？ 这样显然是不会的，所以也就意味着咱们最后一个小问呢，其实大点他不能跑到 a 的 右侧去，如果大在这的话，那你看，比如说简单画一个三六九，对吧？ 你这个 b 往下一射，能不能和上面这个 m 对 吧？这个实线还是 m 相交呢？是不行的，所以就意味着我们这个大点得挪个位置，他不能在右侧去，对吧？那比如说其实随便画个位置，比如说大跑到了这去吧，左边的这里，好， 那么先一连对吧？简单的去造一个三六九，好，画一个九十度，我们先来一个完美的三六九，差不多就这个位置。好，那这个点应该是一点好吧， 好。然后他又还有一个要求，就是 n 是 b e 的 这个焦点，对吧？也给他标出来吧。好，还有一个要求，这个要求是这道题最迷人最可爱的地方，他说当 c 大 的中点 o 落在 b e 上的时候，注意哦，这句话十分的迷人，因为他的理解需要点难度。首先呢， c 大， 我们来看一下现在有没有连 c 大 呢？ 说没有对吧？所以首先我们把 c 大 给它连起来， c 大， 这会一连 c 大 的中点 o， 如果看这里的话，我们直接标可能 o 大 概是不是应该在这个位置啊？ c 大 的中点 o， 他 说刚好落在 b e 上的时候， 让我们去连接一下 a e， 好， 连接一下 a e， 让我们求 tangent 角 e a n 的 值， 所以最终我们要求的是一个正切值，对吧？哪个角呢？ e a n 找一下啊，就这个角好， ok， 所以 说这道题显然不是那么简单的，如果你去画图找一下几何关系的话，你会发现很难，最终把我们这个 c 大 的中点 o 落在 b e 上，这句话变成一个等量关系。 虽然也可以习老师后面用高中的知识点，比如说郑燮先定礼，我们去导了一导会发现也可以，但是计算起来相对于非常麻烦，而且不是很实用，所以这道题简单几何分析发现不太好，行得通之后呀，我们可以马上的去转换思路，因为我们知道整个初中就两个大的板块，一个叫几何， 一个叫什么代数，所以有句俗话说的好，叫这个间系代替思考，对吧？代数掌控大脑，所以当你会发现几何不太好分析的时候，就果断咱们建个系，看看能不能利用 x、 y 来帮我们找到一些等量关系去运算就可以。 所以下面呢，习老师给大家提个问题，如果让你间系的话，选哪个点作为原点是比较好的呢？ 那肯定是固定的点，所以说这里的 a、 b、 c 呢，其实都可以，那齐老师比较推荐的应该是这个 a 点， a 点间歇的比较舒服，比如说假设它是零斗零，好吧，那这个 x 轴肯定在这里，对吧？ y 轴在这里其实就不画了，这个线画多了影响我们判断，我们就直接标零斗零 好，那这个 b 点和 c 点的坐标又是几斗几呢？这个时候可能就得假设一下了，当然你会说，习老师我假设这个 ab 的 长度是 x， 可不可以呢？叫其实也可以，因为这个题目没有给具体的长度嘛， 你如果假设是 x 的 话，那就带来的效果就是后面你得带着这个 x 一 路去运算，就显得比较麻烦。而最终 abac 它的长度具体是几对我们这个 tangent 的 值呢？是没有关系，因为大家知道正切 是一个比，所以这里建议大家我们就直接把 a、 b、 a、 c 设成一些比较好算的具体数就可以了，这样的话字母少一些，我们算起来会更舒服一点。那这里呢，习老师去把 ab 设成的是二，叫设 ab 的 长度是等于二好，为啥等于二呢？因为这样的话， b 点坐标你掐指一算， 是不是应该是负一逗什么呢？叫负根号三好，这样算起来没有分数很舒服。那 c 点坐标，你也可以掐指一算， ab 如果是二的话， c 是 不是就应该是二倍？根号三，你一做垂线，那这个就应该是什么呢？叫三逗负的根号三 好，那瞬间 abc 的 坐标就能比较顺利的给它标出来。好，但是没完，因为这道题肯定跟这个大点一点，这两个会动的点是有关系，对吧？所以还是得假设。那请问同学们，你去假设大点好还是一点好？那不管什么同学肯定都会告诉教师，那肯定是大点，原因很简单，因为大点不就在我们的 x 轴上吗？你去假设它简直太简单 了，所以大点我们这里就设成 a 到零的这个小 a， 大家一定要注意，它其实是有个范围要求， 因为刚才我们通过简单的分析，你会发现，射线 b e 要和直线 m 有 交点的话，那必须大，是不得在 a 的 左侧呀，所以就意味着我们这个小 a， 它一定是个什么数呢？是不是得是个负数，对吧？所以注意。所以如果最终解出来你这个 a 是 一个正的值，那就反而得把它舍掉了。 那请问同学们，我的 e 点是怎么产生的？ 那肯定就是 b 大 e 是 不是构成了个三六九，所以构成三六九，我们的两个点已经知道了， b 点是一个定点，负一斗，负根号三大点也假设出来了，好，那 e 点那就是手拿把掐的事情，因为可以画什么字呢？ 一个完美的 case， 为了清楚一点呢，习老师就换一个颜色，比如说没有蓝色，我们就来造一个 case， 把这个呢，呦， 我们把这个给它挪下来，好，然后过 e 点做一个垂线，过 b 点也做一个垂线，好，那这个完美的 case 是 不是做出来了，对吧？好，那用好这个 case 呀，咱们就能顺利的把 e 点的坐标给它表示出来了，所以这就考验大家对于相似的 这个表示的能力了。我把这个不用的东西给他删一删，避免我们在标的时候这个影响太多。好，这些不要的都给它删掉。好， ok， 那 现在我们就开标了，好吧。首先这个 k 字的相似呢，有几个线段是很好标的，比如说这条线，这条线段长度，那不就应该是刚才坐标里面的那个根号三吗？对吧？ 好，那 b 到这里这个线呢，其实也很好标，那就拿 b 的 横坐标减大的横坐标就好了，也就是负一，是不是减 a 大 的减小的，那这个时候我们应该知道，这个 k 字的相似比是几比几呢？其实也就是三六九里面的短直角边比长直角边，简单来说就是一比根号三， 所以我们竖着的这节是根号三，那上面这个横着的是不是就是根号三，再乘根号三，也就是三了，那竖着的这节呢？一样的，那就是拿负一减 a， 再乘个根号三就可以。所以为了写起来更加的简单， 我们就把这个符号给它提出来吧，那就是负根号三倍的括号，是吧？ a 加一可以写成这个形式， ok， 那 有了这个之后呢，大家可能会想，那石老师一点是什么呢？对吧？一点很轻松，你可以看作通过大点平移产生的， 也就是通过大点先往上平移一个负根号三倍的 a 加一，再往右平移三个单位，是不就是一点了？所以现在咱们就瞬间给他表示一下横坐标，最简单应该是 a 再加一个三，往右平移三个单位就可以。 那纵坐标呢，就是从零的基础上往上平移这么多个单位，那纵坐标就是它本身呀，所以就是负根号三乘上一个 a 加一。好，恭喜你，那一点就表示完了， 那这会呢，有同学就大脑就会陷入停滞的状态，你说齐老师我干了这么多事，那究竟怎么样能把 a 算出来呢？那就是刚才那句话了，当 c 大 的中点 o 刚好落在 b e 上的时候， 也就是我们这个 o 得落在哪条线上，叫 b e 上。好，那更简单的一个说法，其实也就是 b o、 e 这三点干嘛呢？是不是贡献，对吧？只要满足三点贡献就可以。那在坐标系里，三点贡献用什么等量关系来解决呢？其实非常轻松，其实也就是 k 什么呢？ k b o 等于 k b e 好， 也就是 b o 这条线的斜率和 b e 这条线一定是一模一样，那就意味着它们是共线的，对吧？好，所以这个时候其实我们就只需要通过坐标呀，把 b o 的 斜率， b e 的 斜率表示出来就完事了。 好，那下面呢，就把这些点列出来呗。先列一下 b 点的坐标，最简单定点应该是负一到负根号三 o 点呢？其实刚才没表示，你回忆一下 o 是 啥东西呢？ o 题目说了，应该是啥呢？叫做跑哪去了？ o 应该是哦， c 大 的中点，所以你只需要拿 c 点和大点，利用一个中点坐标公式就表示出来了，所以 c 点的横坐标是啥呢？应该是 a 加三，再除以二， 二分之一加三，纵坐标呢，就是零加负，根号三除以二，所以就是负的二分之根三。 好， ok， o 就 搞定了。那一点呢，刚才已经有我直接超过来一点坐标应该是 a 加三。逗，一个负根号三倍的括号 a 加一，当然你说你把这个负根号三乘进去呢，也行，只不过呢，等会可能这个根号三可以约掉嘛，对吧？齐老师把提出来就不用写的那么复杂了，那下面就表示一下这两个斜率呗， 有了点之后，下一步我们就去推斜率 k b o 应该等于啥呢？斜率公式想必对于现在的大家来说应该是信手拈来，对吧？那纵坐标减纵坐标，横坐标减横坐标就好了，所以负的二分之根号三减负根号三，那上面就是一个正的二分之根号三。 好，那这个二分之 a 加三，再减负一，那就是二分之 a 加三加一，那就是二分之啥呢？ 二分之 a 加五。好，那一看就知道上下同时乘二，所以化简成 a 加五分之啥呢？根号三。好，第一个斜率准备就绪，那第二个斜率就是 k b e k b e 呢？同样的方法来表示就是运算的过程了， 上面呢也是一个 y 减 y， 那 谁减谁会比较好一点呢？感觉拿上面的减下面是不会好一点，也就是负根号三减，它就变成加了 加根号三 a， 再加一个根号三，所以根号三就被抵了呀，所以上面应该剩的就是一个正的根号三 a， 那 下面的话呢，也用负一再减下面这个玩意就好了，负一减 a 再减三，那就是负四在干嘛呢？再减 a。 好， 那下面两个斜率全都准备就绪，咱们就直接去开算，所以下一步就利用它俩相等，列出方程。这个方程呢，其实也不复杂， a 加五分之根号三就等于啥呢？ 等于一个，我把这个符号拿上面去吧，下面写成 a 加四，上面是一个负的 根号三 a， 好 吧，那首先一看就知道，第一步把根号三咱们一约，对吧？这边剩个一，然后交叉相乘就可以。所以这个负 a 乘过去，应该是负 a 方再减一个五 a， 那 一再乘这个 a 加四，那不就是 a 加四？好，那略作整理，应该是 a 方加六， a 加四是不等于 好，能不能因式分解呢？看一眼会发现不行，对吧？所以这会呢，要么配方，要么用公式，那比如肖氏就直接带公式了， a 等于啥呢？二 a 分 之，负 b 加减根号得尔塔，所以二 a 就是 二，负 b 就是 负六加减根号来口算一下，得尔塔 六六三十六减四四十六二十，所以显然能化解，好像都能除以二，所以应该是负三加减。什么玩意呢？二倍根号五除以二，那就是加减根号 好了。所以这个 a 现在目前是不是有两个值？这个时候大家别忘了一件事情，最开始习老师就说了，我们这 a 是 大点的横坐标，他得待在原点的左侧，就说明 a 得是个负数。所以大家看一看，负三加根号五和负三减根号五是不是都是负数呢？ 倒，确实都是负数，因为根号五它是几点几的一个数，显然是二点几，对吧？所以负三不管是加还是减，它都还是负的，所以这两个值叫都要保留。所以就意味着其实应该有两个情况都能让 o 待在这个 b e 上， 对吧？那图我们就不用画了，相当于代数法，我们去算就可以。好，那下面有同学就问了，说，习老师，那你这个 a 算出来之后，怎么去算 tangent e、 a、 n 的 值呢？简单呀， tangent e、 a、 n， 我 给你用换个颜色的，比如我们黑黑笔描描一下， e、 a、 n 是 哪个角， e a， n 是 不是就这个角？ 所以你要算这个角 tangent 值，那肯定是做垂线，找一个直角三角形，那说白了，这个角的对边其实也就是 e 的 纵坐标呀，对吧？ 然后这个短直角边是啥？短直角边就是 a 到 e 的 水平距离， a 点到 e 点的水平距离， a 和 e 都知道呀，所以这个 tangent e a n 呢，就顺利地可以拿下了。比如习老师写写在这个右边 tangent 角 e a n， 他就应该拿 e 点的纵坐标看看 e 点的纵坐标是啥？是这个负根号三倍的 a 加一去，比上 a 到 e 的 距离， a 点的横坐标应该是比较大的，对吧？是零。 e 点的横坐标呢，比较小的是 a 加三，所以应该是零减去 a 加三，那就是负 a， 干嘛呢？ 减三？好，那这时候刚好上下是不是都有符号，咱们就把它抵了，所以一抵，那就是 a 加三分之根号三倍的 a 加一。好，那下面就只剩最后一件事情，因为刚才咱们是不是算出来两个 a， 所以 最后我们只要把这两个 a 带进去，就能把它减值算出来了，最终就是一个运算的过程，那咱们快速算一算，比如说圈圈一角入，我们先让 a 取一个负三加根号五。 好，若 a 等于这个，那 tangent 角 e、 a、 n， 它自然就应该等于什么呢？你看，下面是一个 a 加三， a 是 这个玩意，那负三不就被抵了吗？所以下面就剩个根号五，上面应该是 a 要加个一，也就是负二加根号五，再乘个根号三，所以就是根号三倍的负二加根号五。 好，那这会呢，简单化简一下，首先有个根号五，好像呢约掉，所以这前面应该有个根号几呢？根号三，然后再减一个，这是减号五分之二倍的。什么东西 要由理化五分之二倍的根号十五，对吧？好， ok， 那 第一个答案就已经出来了，根号三减去一个五分之二倍的根号十五，那第二个答案呢？就也是带弱， a 等于叫负三减根号，那这个时候我们的 tangent 角 e、 a、 n 好， 就等于啥呢？ 好，也是一样的，往里带加 a 加三，那依然负三就被抵了，所以下面剩的是负根号。好，那上面是根号三倍的括号 a 加一， 那这个玩意加一呢，就应该是负二，再减根号好了，那这个符号好像都被抵了，对不对？下面的符号和上面俩符号全抵了，所以好像还是一个根号三，在前面还是一个根号， 那后面应该是一个五分之二倍根号十五，对加只不过是加五分之二倍根号十五， 所以最终我们这两个 tangent 的 值呢？在这里你会发现，一个是加，一个是减，对吧？所以它是一个共恶的关系，非常的相近。好了，那这就是我们青羊区二诊的几何压轴题。 那这道题呢，属于大家如果在考试的时候时间有限，肯定优先先把第一问秒了，然后第二小问看能不能快速用几何法正一正。如果时间实在是比较短的话，那建议大家花更多的时间 可以去检查一下前面题目，或者是其他的你觉得比较有感觉的题目，并不是说非得在闭卷最后一道题的最后个小问跟他死磕，对吧？但这种小问其实你主要练多了，或者你多听齐老师讲一讲这个压轴题，你就会越来越有感觉了。好了，那今天的讲解就到这里结束喽。

我们来看这个题，这个题是二六年龙泉初三二诊的 a 卷的十八题，也就是 a 卷的压轴题。这个题的难度不大，他考察的是反比例函数的常规考题。这个题有三个小问，考察了相似，考察了存在性问题， 如果把这个题放在中考中，他最多算是 a 卷压轴的。第二问的难度，我们一起来看一下。第一问呢，他属于减分的，就是你读完这个题，答案就应该知道，这个答案我已经直接给出来了 来。第二问，他说 p 点在直线 l 的 下方，且在反比上面连接 c p 延长 c p 交于点大， 当三角形 a、 o、 b 与三角形 a、 c 大 相似的时候，求 p 点坐标，这是一个典型的相似的题，对不对？而且他们是不是共角的？就是角 a 是 公共角，公共顶点。而且我们再仔细观察这个图 a、 o、 b， 它是不应该是一个 直角三角形，那说明三角形 a、 c 大， 他是不是应该也是直角三角形？那 a、 c 大 是直角三角形，我们是不是需要分情况讨论？ 刚刚我们说了，角 a 是 公共角，角 a 不 可能是直角，那么角 c 和角大是直角，那情况就有两种，要么角 a、 c 大 等于九十度，要么就是 a 大 c 等于九十度。然后图就是我画的这两种， 你观察之后就会发现，第一个图它是不是没有答案，它是不存在的，为什么不存在？因为它题目中说了，上面是不是有一个点屁，在这个反比例上面对不对？那所以这个图里面是不是就没有点屁？所以这个题呢，它不存在？好。 第二个情况呢，就是当这个角 a、 c 大 等于九十度的时候，那么屁的位置就是在反比例上面，然后现在就是计算， 算怎么来算呢？当你的图画出来之后，你的计算过程很简单，我们观察这个图，我们会发现这个 p 点是怎么来的呢？它是不是直线 c 大 于反比例的交点？ 直线与反比例交于点 p， 那 么我们需要做什么？我们是不是只需要把直线 c 大 的解析式给它求出来？连立 c 大 和这个反比例的解析式就可以得出 p 点坐标？ c 的 解析式是不是也很好求？因为直线 c 大 和 ab 是 垂直的， ab 的 解析式我们第一位求了两直线互相垂直，它们的 k 是 不是相乘等于负一？那么我们知道直线 c 大 的 k 值，然后同时它还经过 c 点，那么我们是不是可以求 c 大 解析式？ 我把第二题的第一问的过程写在这里，当 a 大 c 等于九十的时候，这个是不是不存在？好第二个情况，当 a c 大 等于九十的时候，那因为此时 ab 它是垂直， c 大 是等于负一的， 两直线互相垂直， k 一 乘 k 二等于负一，那说明 k c 大 是不是等于负三分之一，且他是不是过这个 c 点 一到六？那么所以我们是不是可以得到 c 大 的解析式？所以呢，我们可以得到 c 大 的解析式，是不是应该就是 y 等于负三分之一， x 加三分之十九？ 那 c 大 知道我们要求 p 点，那所以你是不是连立方程 y 等于负三分之一， x 加三分之十九和 y 等于 x 分 之六，那么解这个方程我们是不是就可以得到 p 点坐标？ 我们接着来看第二题的第二问，如图二，连接 p a， p o o c， 然后当三角形，当三角形 p a c 和三角形 p o c 满足这个面积关系的时候，求 p 点坐标。 我们做中函数题的时候，都是数形结合，我们观察这个题，观察这个图，三角形 p a c 和三角形 p o c， 它俩是不是共底的？ 哎，底都是谁？是不是都有 p c？ p a c 和 p o c， 它们是不是都可以以 p c 为底？那以 p c 为底高应该怎么做？你看啊，是不是就是过 a 点往 c p 做垂线，这是 e， 过 o 点往 c p 做垂线， 这个点是 m， 对 吧？那所以它们俩既然是共底的，那所以它们的面积之比是不就等于他们高的比？也就是说，三角形 p a c 比上三角形 p o c， 它是不是应该是四比三？那所以我们是不是得到 a e 比上 o m， 是 不是它也就等于四比三？ 对不对？同样的这个题，它需要求 p 向量坐标，那么我们要求什么？我们是不是还是可以求 c p 的 解析式？利用前面的面积关系，把这个 c p 的 解析式求出来，求出来之后连立这个 c p 的 解析式和反比例的 解释式，是不是就可以得到 p 点坐标？那么我们现在是把这个面积问题转换成线段问题，我们再来再来看题，这个地方呢，我标一个字母，这个点，标一个 f 点啊，观察这个图呢， 就会发现这个 o m， 它是平行 a e 的， 那所以这个 三角形 f m o， 它是不是相似三角形 f e a 的？ 所以 a e 比上 o m， 它是不也就等于 a f 比上 o f 等于四比三？ 那所以通过这个式子，我们是不是就可以求出这个 f 点的坐标了？求出 f 点坐标之后，我们是不是可以得 c f 的 解析式， 对不对？同样的最后一步连立方程，这个 c f 的 解析式和这个反比例函数 y 等于 a k 四分之六，那么我们是不是可以求出 p 点坐标了？ 所以我说这个题难度不大，它最多算是中考的 a 卷的压轴的。第二问的难度，考的题型，考的题型和用的方法都是非常常规的。

同学们，几何综合解答题其实有规律可循，很多同学丢分不是因为不会做，而是思路乱漏，情况过程跳步几何综合解答题，别乱套，记住五字三步法。 一、拆解问题，看清有几问，每问考什么。二、标注模型，在图上标出垂直、平行或全等三列式计算，根据模型列方程或比例式 细心求解并验证范围，按这个流程走，思路不乱不漏，情况步骤分哪满。下面我们就用这个方法来拆解一道题， 那我们一起来看一下这道题。题目当中给了我们这样的一个直角，三角形当中的两条直角边长分别为三和四。 哎，那么看到这个条件啊，实际上我们条件反射就可以知道，这条边 a c 的 长度就应该是五，然后紧接着呢，做了这条斜边上的高，然后并且在第一问当中让我们去求的就是这个 a 大 和 b 大 的长度， 那么其实对于这种问题啊，相对来说他的难度还不是特别的大了，所以我们可以快速去把第一问的这个思路写一下，根据我们刚才的关系，勾股定律已经可以求出 a c 的 长度就是五，那接着如果我们要求这个 b 大 的长度呢？ 哎，其实就可以去利用这个等面积的关系，也就是 a c 乘以 b 大， 它的这个乘积呢就等于的是 ab 乘以 bc， 底乘高就等于底乘高，那么从而呢，我们就可以快速得到这个 b 大 的长度，它就是五分之十二。 有了这一段的长度之后，再去在三角形 a b 大 当中，利用勾股定律就可以求出我们的 a 大 了，所以最后这个 a 大 算下来呢，就应该是五分之九 好，所以第一问呢，我们就快速的顺下思路，直接跳过，那么接着呢，我们就进入到这个第二小问， 那第二小问当中呢，他让我们去以这个 b e 为腰，然后把 b f 这三角形呢看做一个等腰三角形，万一在这种情况下，哎，到底这个 e f 的 长度是多少 哎，所以现在碰到这样类型的问题啊，我们要想一想，就是既然 b e 作为腰，那么其实哎到底是 b e 和谁相等，能够作为两条腰，另外一条边作为底呢？ 所以我们就需要去进行分类讨论。那么分类讨论呢，我们主要就去看一下，比如说第一种情况，哎，假设就是这个 b e， 如果它等于 b f 的 时候，哎，那么此时我们就会发现 ef 就是 底， 那我们等一下就求这个底边长就好了。而第二种情况呢，就是我们的这个 b e 如果等于 e f 的 时候，那换一句话说，只要我把这个等腰三角形的腰长求出来就可以，所以我们先知道它分两种不同的情况，然后再来看这两种情况该怎么来求， 所以我们先看第一种哈，如果当我们这个 b e 和 b f 相等的时候，那根据等腰三角形的两个底角相等，其实我们可以得到的是 b f e 就 和 b e f 这两个角是相等的 好，那么再来又因为我们的 b f e 其实很明显应该是等于它的对顶角 af 大 的，哎，所以现在等量代换就可以得到 af 大 和 b e a 是 相等的。好，所以现在这个关键条件我们可以先写上去，就是这个角 b f e 等于角 b e f， 然后同时呢还等于这个角 a f 大。 好，那么这样的一组角相等呢？我们再来结合，你看 a b e 和我们的 a f， 它都是直角 好，所以有两个直角的出现，然后再结合我们刚才得到的这样的一组角相等，哎，所以两个角都对对应相等了，我们就可以得到这样一组三角形，实际上是相似的，哎，所以在第一种情况下呢，我们就可以快速产生这一组相似，就是三角形 a b e， 它呢就相似于三角形 a 大 f， 好， 那么通过这一组相似呢，我们肯定主要的目的是为了去得到它的对应边乘比例，哎，所以我们可以写一下这个对应边的话，比方说我们用到这个 a b 边，那它的对应边就是 a 大， 然后继续我们写下来，其实它就等于的是 a e 比上 af， 哎，那同理是不还有这个 b e 比上大 f， 在 我们不知道到底要用哪一组的时候呢，就可以把这三组都分别写下来啊，那么写下来之后，这里就有一个非常关键的性质了，你看一下我们这里的 a e， 那实际上它可以进行拆解，它可以拆成 af 加 ef， 哎，那此时我们就可以把这个比值去进行进一步的替换了，所以它呢就等于的是 af 加 ef， 在 这个基础上再去比上我们的 af 好。那么在这同样的道理，你看一下我们这个第二个式子， b e 比大 f， 那 么这个地方大 f 是 不是可以看作我们整个 b 大 减 b f， 哎，所以也可以把它进行去替换我们的 b e， 它呢比上我们的 b 大 减 b f， 那这样子的一个变形究竟有什么用呢？哎，实际上哈，我们就可以去进行代入了，因为我们能够知道，在这个地方的 ab 和 a 大， 它的一个长度关系实际上是确定下来的，哎，所以带进去就可以得到，你看 ab 是 三，而我们的 a 大 在第一问当中求出来了，就是五分之九， 哎，所以有了这样的一个值之后呢，那么带回去他就应该等于的是我们的 bf 再去比上这个五分之十二的基础上，再减去一个 b f， 这里替换的逻辑就是把 b e 和 b f 相等，直接进行替换，哎，所以观察这个式子啊，你就会发现， b f 就 可以直接求出来了，它的值呢就是二分之三，那么 b f 有 了这个大 f， 自然也就有了哈，它就等于十分之九，那么计算呢，我们就可以暂停下来，自己来算一下。 好，所以有了这个大 f 之后呢，我们现在就可以通过勾股定力来计算我们的这个地方的 af， 来试着看一下勾股定力，算出来这个 af 的 长度，哎，它呢就等于的是十分之九倍根号五， 那么从而有了这个 af 之后，我们现在想要的其实是这个 ef， 那 么这个 ef 的 长度是不是依然是利用这个比值？所以我们写在左边这里哈， 三去比上五分之九，它的值呢就等于这个，哎， af 的 十分之九倍根号五， 再去加上 ef， 然后再去比上 af 的 这个十分之九倍根号五。好，所以现在这个式当中就只剩 ef 了，所以就通过我们的计算得到它的值就可以了，于是我们得到这个 ef 的 长度哈，它呢就等于的是五分之三倍，根号五。 所以第一种情况下，当 b e 和 b f 相等的时候，哎，我们就能够知道他这个情况下所对应的 e f 的 长度了。 好，那么接着呢，就到了我们的第二种情况哈，他说的是 b e 要等于 e f， 那 么在这个图当中呢，如果你觉得这个第一个图我们还能用，那么就可以继续来使用这个图，哎，如果你觉得不行呢，我们就可以来自己画一下第二个图，比方说我们在这里呢，就去找到这个 f 和 e 这样的两个点哈，这里是 b e 和 e f。 好， 那么假设现在我们的 b e 和 e f 的 长度既然相等了，那么其实我们就可以得到也是两个底角相等，就这个角 b f e， 它呢就应该等于这个角 e b f， 所以有这样的两个角相等哈，那么我们也是在图中去进行一下标注，哎，得到这两个角相等之后呢，哎，我们又是再找对零角，说明我们就可以知道他们三个角还是相等的。 好，那这三个角相等又能够得到什么呀？哎，对了，实际上呢，我们现在就可以知道，在这个大 b c 这个角和 a f 相等的时候，然后接着呢去结合我们的 a 大 f 是 直角， b 大 c 又是直角，所以是不是又可以产生这样一组相似了？ 好，所以继续来写。就是又因为能够知道，哎，这个角 a b e， 它呢等于这个角 a 大 f， 然后又等于这个角 b 大 c， 他 们是不是都是直角？而我们想利用的是后面这两个角，直角好，所以呢，两个角又对应相等了，于是我们是不是又可以产生相应的全等？或， 那其实我们又可以产生的是相似，但是呢，我们说在这道题目当中，其实我们可以借助另外一个角度来看，哎，因为这些角度相等啊，比方说我们把这个角度记作而法， 哎，那么也就是说，我们能够知道直角三角形当中和它们互余的角应该也是相等关系，所以看一下哈，比如说在 a f 大 当中呢，它的余角就应该是角大 a f， 而在 b 大 c 当中呢，这个角角 c 是 不也会作为余角？ 从而呢，我们就得到了这个角 c a e 又应该刚好等于这个角 c 好， 所以它们两个呢，现在又刚好放在同一个三角形当中，所以我们就可以得到这个 a e 的 长度，实际上应该等于的就是这个 c e 的 长度 好，那么有了这个长度之后呢，那接着我们其实就可以选择去设未知数，那设未知数就可以去用勾股定力来算，那比方说我们现在比较迫切的想知道的其实就是这个 e f 的 长度，那不妨我们就设 e f 为 x， 而 b e 和它相等，也就是 x， 那 么 c e 就是 四减 x， 同理我们的 a e 也就是四减 x， 哎，所以现在呢，我们就知道了，在这个 r t 三角形 a b e 当中呢，因为我们知道 a b 方去加上 b 一 方，它的值呢，就刚好等于 a 一 方， 所以我们代入进去哈，就可以得到应该是三的平方加 x 的 平方，就等于这个四减 x 的 平方 好，所以根据这个勾股方程就可以求出 x 的 值，所以它呢就是八分之七，那么最终我们得到这种情况下的 e f 呢，就是八分之七， 所以我们现在就知道了，因为它会有两种情况的产生，于是我们写上综上，那么这里的 e f 的 长度哈，它其实就应该等于的是五分之三倍，根号五或八分之七， 哎，就这两种不同的情况，所以下一次我们要知道，碰到这种等腰三角形的时候，哎，他如果给了一条边为腰，那我们也不要掉以轻心，在这里还是需要进行分类讨论的，把另外两条边分别作为腰的情况给他讨论清楚，利用相似或者勾股定律算出他的值就可以了。 那么这道题就讲解到这里，如果你觉得这个讲解对你有帮助的话，就点点关注我们以后每周都会有对应的题目进行分享哦，感兴趣关注我哦！

很多同学拿到几何综合题的第一反应是，图很复杂，条件一堆，又是延长线，又是角平分线，又是好几条垂线，最后要求一条线段的长，心里可能就开始慌了，我该从哪入手这么多条件，哪些有用？是不是又要构到全等？ 还是要设未知数列方程？其实这类题的命题套路非常固定，他考察的不是你某一个单一知识点，而是你能不能在复杂的图形中快速识别出基本模型， 并按正确的逻辑顺序拆解条件。我们总结一个三步审题法，适合所有几何综合填空题。第一步，圈条件标关系，把题目中的相等、平行垂直角、平分线等标在图上，看图说话。 第二步，找桥梁定路径，要求哪条线段，它所在的三角形有哪些已知条件，能推出哪些中间量，通常需要找到一对全等或一个特殊四边形作为桥梁。第三步，算准确 勾股定律或方程，求解释细心，避免计算丢分。下面我们就一起来拆解一道题，看看如何从一团乱麻中找到那条最清晰的解题路径。 那我们就一起来看一下这道题当中，那它给了我们这个三角形 a b c 当中有一个直角，然后并且告诉我们 b c 这条边长为四。然后接着呢，要使得这个 a e 的 长度和 b， c 的 长度是相等的，那说明我们这条边 a e 这个整体呢，它也是四。 然后接着我们其实在这个题目当中做了很多的垂线哈，那么有一个很关键的条件是这个 b a c 的 角平分线哎，那么 b a c 这个角呢？既然被平分了哈，所以我们用相同的符号把这两个相等的角标出来 啊。题目中再给了一个非常关键的长度呢，就是大 c 的 大 e 的 长度是三，好，让我们求的是 c 大 的长度，哎，那么这道题目哈，你一定要注意我们的入手点呢，实际上就要从这个角平分线开始，哎，因为题目中给了这样一个角平分线的存在， 所以我们要知道角平分线呢，出现之后，我们就可以立刻想到它的性质，哎，角平分线上任意点到角两边的距离是相等的，所以我们可以考虑，你看 f 点呢，已经做了 a 一 边的这个垂线，那我们就不妨去做这个 a c 边的垂线，那么假设这个垂足呢，我们就标点 p， 那么根据我们这个关系，实际上就能够知道 f p 和 f b 实际上它的长度应该是相等的好，那么有了这个相等之后，那观察一下哈，在这个图当中，很多的直角出现了， 你看一个，两个，三个，那么这三个直角我们又刚好可以把它放在一个四边形当中，还所以哈，这个地方，我们就会发现中间的这个四边形大 h b e 应该是一个矩形， 哎，那么它是矩形之后有什么作用呢？哎，实际上我们就要知道，那它的对边就应该是相等的，所以 h b 的 长度哈，它也是三， 而且呢，它会有的另外一个关系就是对边平行好，所以观察一下，根据我们这个条件，能够知道的是，我们的这个 h b 和我们的这个大 e 都是三，而我们题目给的 bc 是 四哈，所以 c h 的 长度首先知道的就是一， 好，那接着再来，因为你看图中因为有平行线的存在，那我们之前有一个思路叫做有平行就有相似，所以我们可以通过这道题看出来， abf 和我们的这个大 hf 就是 一组这样的一个很标准的叉形相似，那除了这个叉形相似呢， abf 还和 a 一 搭，是不是就是一个很标准的 a 形相似？那具体的我们到底要用哪个？ 哎，实际上呢，这里我们可以考虑用这个 a 型会更加容易一点。我们先把这组相似写下来啊， a b f 相似于 a e 大， 那为什么说用这一组会方便一点呢？就是因为它其中的比值关系，可以直接得到这个相似比，比方说我们要 a b 比上 a e， 那 它呢，就可以直接让它等于的是 b f 比上大 e 好，那这里的 a e 和我们的大 e 的 长度实际上是已知的，所以我们带进去就是 a b 比上四， 就等于 b f 比上三。哎，所以通过这个我们再进行一定的转换啊，就可以得到 a b， 如果比上 b f， 那 这个比值就是四比三。 哎，所以得到这个比例关系之后，那不妨我们就可以去设未知数了啊，所以现在在这里呢，我们就去设这个 a b 的 长度等于四 a， 那 么此时 b f 的 长度就是三 a 了，哎，通过这两个长度可以快速的得到什么， 对了，实际上你想要什么 af 啊，它就是五 a， 那 么同理呢，你想 ab 的 长度是不应该和 ap 相等，然后 bf 是 不是和 pf 相等？好，所以我们可以先写上去啊，就是这个 pf 就 也等于三 a， 然后 ap 呢，就等于的是四 a， 好，所以现在呢，你看我们 b f 有 了，那 c f 整体的这个长度我们也可以表示一下，所以 c f 的 长度就是四减三 a， 哎，那同样的，我们的这个 h 大 的长度也是可以去表示了的， h 大 是它其实就等于的是这个 b e， 那么他们两个的长度呢，就等于在整个四的基础上去减四 a 好， 所以有了这个长度关系之后，那么你现在可以观察我们题型当中哎，因为他想要的是 c 大 哈，但是我们现在还没有进行到那一步， 只要我们能够把这个 a 的 值是多少求出来，那你看一下 h 大 的长度，有了最终勾股定力，是不是就可以求这个 c 大 了？所以现在呢，我们可以观察这个图当中说，我们可以通过勾股定力先表示出来的一段长度，应该是这个 p c， 好，但是呢，这个表示出来的结果应该是带根号的哈，他呢就等于根号下的 c f 的 平方减 p f 的 平方，所以我们带进去算一下，就是根号下的应该是四减三 a 这个整体的平方，再减去三 a 的 平方， 好，所以这里我们化简整理哈，得到应该是根号下的十六减二十四 a， 那 么这个 a 方呢，就刚好能够被抵消 好，所以接着再来看哈，那么根据这个关系，其实我们会发现，哎，这个小的 c g h 这个三角形和 c a b 是 不是又是一组 a 形相似 哎，所以这组 a 形相似，说不定也能够得到一些线段长度之间的关系哎，所以我们可以把它写下来，那么写下来之后呢，我们看看对应边的比值哈，比如说这个 g h， 它的对应边就是 ab ab， 我 们是用 a 表示出来的。 然后接着呢，还可以用的就是这个 c h 哈，它的长度是已知的，它呢就有在比上 bc， 所以 我们带进去发现这个比值呢，就应该刚好等于的是一比四，那么相似比是一比四，我们又知道 ab 的 长度设为的是四 a， 所以 这个 g h 呢？哎，实际上它就刚好应该等于的是 a。 好，那 g h 等于 a 之后，那么紧接着我们再来看一下它有什么作用，哎，对了，我们就可以再去在这个图当中来观察一下。首先呢，我们这个 f p c 这个直角三角形当中还有这样的一个角 p c f， 然后紧接着呢，再来看我们的 abc 当中是不是又有这个角 c， 所以呢，有一个公共角加两个直角，是不是自然又有一组相似？所以我们写上去就是 pcf 这个三角形，它呢就相似于我们的三角形 bca， 哎，那通过这一组相似哈，其实我们主要就是去利用我们刚刚得到的这样的一些 a 的 长度，想办法把它求出来。 那么这个乘比例的线段呢，肯定首先要用到 f p， 因为 f p 是 已知的，它的对应边 a b 呢？是不是我们也用 a 表示出来了，这两个都算是已知的。然后再来第三个呢，其实就是要用这个 pc， 我 们刚刚表示的虽然很复杂，但是它可以用起来再去比上 bc 好，所以现在带进去啊，就可以得到这个式子，就是三 a 比上四 a， 然后就等于这个根号下的十六减二十四 a， 再去比上 bc 的 长度是四， 哎，所以观察这个式子啊，左边的 a 约掉了，右边呢也只剩下一个 a， 所以 经过计算，我们就可以求出这个 a 的 值哈，所以这里 a 得到的应该等于是二十四分之七， 所以我们得到了这个 a 的 值哈，那么关键就是要去求这个 h 大， 那么带进去它就等于的是四减四 a， 所以 就是四减六分之七，所以最后答案就是六分之十七， 好，那想要的 c 大 就搞定了，下来就是勾股令里直接来算，哎，那么这里也是要注意哈，因为涉及到分数的这种平方运算一定要细心一点，所以最后我们算出来 c 大 呢，就是六分之五倍，根号十三， 好，把这个答案就可以写在横线上了，所以通过这道题呢，我们会发现哈，它其中的这样一些条件，我们看到的时候到底该怎么去使用？首先第一个呢，就是这个角平分线，它的出现，那么其实就是在告诉我们，哎，这里一定要想到垂，两边垂，线段长度相等， 然后紧接着呢，有垂直，有平行，那么会产生我们相应的这样的一些什么特殊的四边形，矩形，然后呢，进一步的就可以根据题目当中点出来的线段长度，由相似去进行边的转化，那么这道题呢，也就讲解到这里，感兴趣关注我哦！

题目中是不是说的是当这个 f e 大， 这个三角形是等幺三角形的时候，然后让你求这个 g c 的 长，对不对？对， 那好吧，来，请问应该有几种情况？三种情况嘛，对不对？那我们先看最简最简单的， 最简单的是不就是这个 d f 等 d e 等于 d f， 然后为什么我说这个最简单呢？ d f 等于 d e， 哈哈哈， 同学，如果 d f 等于 d e， 请问你这个 d 点翻过去在哪？ d 点，对吗？如果 d e 等于 d f， 你 把这个 d 点翻过去，它就在 a 点嘛？对，那所以说你这个 c g 的 长，这个 g 其实就是 a 和重合的嘛， 这个 c g 的 长度就等于 c a 嘛。所以说这种情况下，你的 g c 直接告诉你， g c 就 该等于十。 哦，这个最简单的嘛，对，来，这个做出来的举手，这个等于十，这个做出来的举手。 ok， 好， 那接下来来后两个，我只给你讲一个，第二个就通了，真的超级简单。来嘛，比如说我们来看第二一个，认真哦， 第二一个，假设我这个 f 点是顶角嘛，那就我的 f 等于 f 八，对不对？来， f e 等于 f 大， 那不要被吓到了，我跟你说，很简单来，谈到起 look， 认真， f e 等于 f 大， 现在谁被你翻过去了？ f 大 嘛， f 大 就是 f g， 要你求的是 c g 蓝线，来，按照我们的要求来求 c g， 是 不是应该是看 c g 所在的三角形来嘛？ c g 在 哪个三角形里面嘛？ c g b 对 不对？那你说，老师， c g b 这个三角形，你来看， 你要解这个三角形，我们来看，解不解得出来，首先 bc 的 长知不知道 ab 是 十，然后这个角正，这个角的正弦值是有的，对不对？我们算得出来，这条线的长度是四倍根号五，而反正这个三角形是不是已经有一个边了？那再不要慌，那看到起，认真马上给你整出来。 同学们，你的我们刚刚是不是挣到了一个相似？那个相似是个什么相似？手拉手相似一定出什么？那你看，你出的双相似，你的这个蓝线不就在那双相似当中吗？来，我给你理一理，没看出来。同学 你的第一位是不是挣到了 gfc 和 geb 是 不是相似？ 这两个相似是个旋转手拉手相似，是不是马上这样出双相似？双相似是哪两个？那你看，是就是来给你勾出来，是不是这两个三角形相似吗？没问题吗？那这样的话，同学你现在是哪两个相等？ 是不是这个边和这个边等？那因此你的这个边就和 c g 是 就等了吗？对不对？你看，如果这样的话，那你来看，因为相似，你的 e f 是 等于 f g 的 吗？那因此是不是这两个蓝边是也就相等了， 对不对？那所以我们是不是可以得到这个 bc 是 不是等于 c g？ 这两货是相等，都该等于四倍根号五， 来第三一个，那第三一个就是谁等于谁了，是不是就是 e f？ 是 不是等于这个 e d？ 那 这个就一样了噻，截一下就行了噻。你看，当你的 e f 等于 e d 的 时候，那是不是 e f 就 等于 e g？ 是不是 e f 就 等于 e g？ 那 同学们，既然 e f 等于 e g， 哎，那个相似还在吗？这个红的三角形和这个黄的三角形是不是依然相似？那因此来 e f 等于 e g， 那 就是谁等于谁。 那这个大三角形是不是？那就是这个 b c 等于是不是 b c 等于 b g？ 而这个圈圈角的正弦值是不是是五分之四？来看这个大三角形，这个大三角形可解了没有？ 这个黄颜色三角形可解了吗？你知道两边还知道一个角，那解的话，自己做垂线下去是不是解就行了吗？这个三角形没得问题吗？对不对？哦？当然你可以这样做垂线下去解，或者这样做垂线其实都解得出来，没得问题吧？那我就直接说答案了哈。答案的话，最后这个答案算出来是五分之二十四的音号五 解，这个三角形解出来是等于五分之二十四倍，根号口好搞定。

这道题的话，如果说我们要去想几何方法的话，确实会非常非常的困难， 但是如果这道题我们用间隙的方法来做的话，会很轻松的把它做出来。这三角形 a、 b、 c 是 不是变成了一个三十度的直角三角形啊？对不对？好，然后他说这样说呢？他说在这条线上找到一个点 d， 然后把 b、 d 连起来之后，是不是有以 b、 d 是 不是又来做一个 b、 d、 e 是 不是也是一个三十度的直角三角形？ 然后当它把 b、 e 连起来之后，和这里交于点 n、 c、 d 的 中点 o 点是不是正好落到了 b、 e 这条线上，对不对？这道题其实我觉得第一个关键的困难点就是这个图里画不画得出来，其实这个图我们画出来应该是有两种，还有一种 d 在 这边的时候其实还有一种，但是 如果我们用解析的方法，我不画第二个图，就按照这个图上来算，就可以把另一个点坐标一样算出来， 来吧，我们来看看怎么操作，我现在只需要知道几个东西啊，同学们，你现在要求这个点点角的正切值，你发现没有吗？如果你解析之后，你要求这个点点角的正切值是，就说你只需要知道 a 点的坐标和 e 点的坐标，是不是？我只要知道这两个点的坐标，那么是不是这个点点小正切值就出来了吧？这个没得问题吧，对不对？那怎么来？来看黑板认真，我们现在把它写成，在见了细之后，我们先把这些已知点的坐标给它写出来。如果我把线段 最长的这条线段长度，我把它看成四的话，那就是 c 点坐标是不是四到零来，这个 a 点坐标才多少？ 一到根号三，你看为什么我刚刚把这设成二，那你设成一的话，这就是二分之一了，对不对？哦，那你设一也可以，但是我设二的话，你看我把这里设成二，那么是不是这段长度就是一嘛， 对不对？那么这段长度是根号三嘛？就说 a 点坐标是不是就是一到根号三？那同学们，你看到没有吗？如果我坚信之后，现在我就很明了了，我只需要再搞定一个点。哪个点？ e 点？那同学们搞定 e 点哦，太 easy 了。为什么我说这个太 easy 了？来， e 点怎么产生的？ e 点是不是在这个地方？ b， 这里是一个直角，是不是 b 大 e， 这里是不是一个三数的直角？三角形， 对不对？来嘛， d 点， d 点坐标不知道，因为现在你要求 e 点，你现在是不知道 e 点是不是只能设未知数， 对不对？那你看在这个地方相当于是一个瓜豆，或者说你说 k 型也可以，什么意思？地点坐标不知道，是地点的横坐标不知道。如果我把地点的横坐标设为 t， 那 地点的重坐标是根号三，这个没问题吧？ 那好了，现在地点坐标有了，请问这画的比值不是一比根号三吗？那请问这个一点的坐标出来了没有？ 出来了嘛，对不对？咱们来构造 k 形嘛。那你看勾 k 形是从这里做一根垂线，来，我们来看一看哈，这俩货的笔直，不要急了，写线都交完了的。这俩货的笔直不是一笔根号三吗？那你看这个横坐标是 t， 那 么就是这段长度是 t， 他 所对应的是哪一段？ 这里是 t， 这里就该根号三 t 对 不对？而这节长度是根号三，那因此这个 d h 的 长度就是三，那所以说同学，这个 e 点坐标出来了没有？ e 点坐标就是横坐标是 t 加三，所以说 e 点的横坐标是不就是这个叫坐标？是根号三吗？ 他是往下走了根号三 t 个单位，那你说一点的重坐标是就是根号三减根号三 t 对 不对？来，先看 a 点坐标是不是我画出来这个这个家伙是不是 a 点坐标，然后，嘿，一点的坐标，一点的坐标是，就是这个家伙， 对不对？那么这个点点角的正切值其实是不是就是这一段是根号三 t 对 不对？这两货的重坐标差是不是根号三 t 嘛？那是来比上这个 h a， h a 是 不是它的横坐标？是不是减去 a 点的横坐标？ 比如说你的 find 角 e， a， n 是 不是这段的长度？其实是就是根号三 t 嘛，对不对？哦？这段的长度就是根号三 t 比上是不是比上这个 h a 对 不对？ h a 这一段是不是用它的横坐标出去减 a 的 横坐标？ 那是不是 t 加三减一就是 t 加二，对吧？那你发现没有？同学们，现在你就被一个地方卡住了，就是只要我把 t 算出来，这道题我是不是做完了？那同学们从哪去求 t 呢？你发现没有，你是不是还有一个条件没有？用？哪个条件？ o 点？ o 点？什么点？ o 点是终点，那请问同学们，这个终点的话，终点坐标能不能表示了 o 点是谁的终点嘛？ o 点是不是 c 大 的终点，那它的横坐标是，就是 c 点和大点的横坐标加起来除以二，那因此 o 点的横坐标是，就是四加 t 除以二，那就是二分之， 是不是二分之四加 t， o 点的横坐标是，就是这个和这个加起来除以二，那是不是就是二分之根号三？ 那好，那现在 o 点的坐标有怎么求那个，怎么求那个 t， 你 就看这里同学们 b、 o、 e 是 不是在同样的一条直线上， 那也就是说 o 点的重坐标比横坐标该不该等于 e 点的重坐标比横坐标？ 所以说，你这里是不是有一个关系，就是二分之根号三比上是不是？二分之根号三比上我的重坐标比我的横坐标是不是比二分之四加 t， 是 不是该等于你的重坐标比你的横坐标， 对不对？这地方算出来应该是等于根号三减根号三， t 比上 t 加三解这个方程，把 t 解出来，你把 t 解出来，往这一带不是正确值就出来了吗？对不对？我说，我告诉你，为什么我说这道题是两个答案呢？对吧？因为这地方算出来 t 有 两个值，哎， 对吧？ t 有 两个字，你带进去是得到两个三千立值吗？这两个值都是可以的，二加减根号五， 然后最后这个正切值是两个，一个是根号三，减去 五分之二倍根号十五。一个是根号三，加上五分之二倍，根号十五。嘿，你看这道题，其实我们用间隙的方法是不是做起来就会很轻松，对不对？这些关系其实很明了嘛。

哈喽，大家好，我是带你打怪升级提升数学成绩的蕾蕾老师。这节课我们要讲的是二零二四至二零二五学年成都市锦江区二诊真题试卷的 b 二二。先请大家按下暂停键，给自己两分钟的时间浏览题目中的全部信息， 那么接下来请跟着蕾蕾老师一起思考。题目中告诉我们角 a、 d、 b 等于九十度，然后又告诉我们角 d、 a、 e 加上二倍的角 a、 c、 b 是 等于九十度的。那我们已经看到这个角它本身就是在一个直角三角形中， 所以它的余角角 d、 e、 a 就 应该等于二倍的角 a、 c、 b。 因此这里我们可以先去设角 a、 c、 b 为 x， 那 么这个角 d、 e、 a 就 应该是二 x。 然后题目中又告诉我们， d、 e 等于一， ab 等于二倍，根号六，并且一点恰好是在 ab 的 中垂线上面，所以这里我们可以得知 b、 e 和 a、 e 应该是相等的， 那么在这个等腰三角形中，顶角的外角是二 x， 我 们还可以求出这两个底角，也应该是 x 和 x。 那 接下来我们要去求 c、 e 的 值，可以先思考一下怎么用这两个数据去进行转化。 那么在这里蕾蕾老师能够想到的一点就是，我先去设这个 b， e 等于 a， e 等于 x， 利用这个小三角形和这个大三角形都在直角三角形中，并且他们有一个公共边，是 a、 d 去建立等量关系， 也就是有这个 a、 d 的 平方，既可以用 a、 e 方减去 d、 e 方来表示，还可以用 a、 b 方减去 b、 d 方来表示， 但值值进去，也就是有 x 的 平方减一等于二倍根号六的平方，减 x 加一和的平方。这里我们可以将这个关于 x 的 一元二次方程解出来，解出来 x 一 是等于三， x 二是等于负四。当然了，因为这里的 x 代表的是线段长度，所以负四的这个值我们要舍掉，所以这样一来，我们就可以算出 b、 e 和 a、 e 的 值都是等于三的。 那么接下来我们要想办法去求这个 c、 e， 就 可以看一下 c、 e 在 什么样的特殊三角形中。那在这里雷老师发现我们的 a、 b、 e 是 一个以 x 为底角的等腰三角形，同时这个 a、 b、 c 也是以 x 为底角的等腰三角形，因此可以得到这个三角形 a、 b、 e， 它是相似于三角形 a、 c、 b 的。 由于这里的 a、 b、 a、 e 都有值，我们可以把它的这个值带到对应边乘比例中，所以 a、 b 比上 a、 c 就 等于 a， e 比上 a、 b 带值进去，那么就有二倍根号六。比上 a、 c 等于三，再比上二倍根号六。先算出 a、 c 的 长度是等于八的，那么再用 a、 c 减去 a、 e 的 长度，算出最后 c、 e 的 值是等于五。所以这道题同学们你们都做对了吗？我是蕾蕾老师，我们下节课再见！拜拜！

我们一起来看一看成华区去年二整题的平面几何压轴题的第三小，问这道题的话，它是一个动态问题，看上去很复杂，其实本质上很简单。 来吧，我们一起来看看。你只要把接下来我讲的这个东西弄明白了，你会发现太简单了。来 t 是这个样子的，这儿十五，这儿十五，这里是八，然后的话，是不是就是有一个 p 点，这个 p 点是在线段 b c 上， 那然后是不是就会有 b p 的 这条长度的线段？然后是不是把这个 a p 连起来之后，那么是不是在 a p 这条射线上是取了一条线段，使得这个 a 大， 是不是等于这个 b 线？把这条蓝线是不是沿着这个 d 点给他旋转九数是得到了这个蓝线 d e 对 不对？那当然我们知道这道题是肯定是 d 点和 e 点是要动的，对不对？然后他现在问了这样一个问题，如果说这个 d 点到 a c 的 距离 等于一点到 a c 距离的两倍，那我来画出来，那如果这条线是这条线的两倍的时候，它是问你，让你求这个 c p 的 长对不对？好，那么现在回这来，我们先来看思考一下这个问题，求 c p 的 长是不是又求线段长？ 求线段长，那么是不是我应该看 c p 所在的三角形？那同学们看 c p 所在的三角形是谁？ c p a c p a 这个三角形现在已经知道了几个条件了， 两个条件对不对？ a c 四五，还知道一个角，哪个角是这个点？点角已经知道了。那也就是说现在是不是只要 a p c 这个三角形，我只要能够再出来 一个条件，那么是不是 c p 就 出来了，对不对？哦？这里是五，这个角的正切值是知道的，三比 四没问题吧？对不对？那现在只差一个条件，这一个条件找什么？你可以去找一个边，也可以去找一个角，对不对？那好了，之后找什么呢？如果我能搞定这个叉叉角的 正切值是多少，那么这个三角形 a， c p 是 可减，那你的 c p 长就出来了，那就当这个数的比值，当这两条黄金的比值是多少，我怎么去找呢？来，看到这儿，你看， 我们先要看注意这个东西，这两条黄线的比值是不是二比一，而这条黄线他们的数量关系是二比一，他们的位置关系是什么样的关系？平行， 他们的位置关系是不是平行？对，那好了，出现了这样的关系，你应该想辅助线怎么想？ 想什么？中卫线非常不错，对不对？你看嘛，两条线平行，我又是你的一半，是不是想中卫线嘛？那这个地方要把这两条黄线割成拼，割成中卫线，这个辅助线怎么做嘛？ 是不是把这个蓝线和这个白线给他延长，那么是不是出来中卫线了嘛？对不对？那你看，那在这个地方是不是形成了一个中卫线之后，那这个叉叉角正确值多少？ 二，二比一。为什么？这是中位线，这两个蓝线相等嘛？中位线这里和这里相不相等？相等，那就是这里是一份，这里是两份，这里是一个直角，所以这个叉叉角的正确值应该是 这个摊尖体叉叉是该等于二。 ok， 那 请问这个三角形 a c p 可不可解了， 那 c p 就 出来了吗？对不对？这家伙真切，只知道这真切，只知道这条线长度是五，这个 c p 就 求出来了吗？那怎么求五就不写了吗？做根垂线是自己就把它左右两边笔直一用就出来了吗？这地方算出来答案是 十一分之五十，这个 c p 算出来就等于十一分之五十搞定， 但是还没完，你们来帮我试一下，为什么还没完？ 还有情况？还有哪种情况？你看，哎，同学，你这种情况是不是 d 点和 e 点都在 a c 的 同侧？那请问同学们 d 点和 e 点能不能跑到 a c 的 e 侧去？ 你想嘛，你这个角这像的嘛，对不对？他往这边转转转转转转，哎，是不是我这个这个角嘛，对不对？这样转转转转转，是不是 d 点还在这边，但是 e 点是已经跑到这边来了， 对不对？像，那么他们俩，你看其实是不是这种情况，是不是这种情况嘛？对不对？你看我同样的，我的这个 a 大 这根线是等于什么？是不是等于跟上节奏哈？是不是等于 b p 这根线 对不对？好，我把这个 a 大 选九十度，选九十度之后，是不是这个大 a 旋过来，旋成大 e， 是 不是一点就旋到这个位置来了？大点到 a c 的 距离是一点到 a c 距离的 两倍，是不就是这条黄线是这条黄线的两倍？你看这一次你要算 c p 的 长，是不是还是刚刚那个三角形？ 因为刚刚那三角形是不依然是知道了两个条件有对不对？你看这个点点角是知道吗？正切值知道对不对？这里是五，你是不是还是在这个三角形 c p、 a 当中，是不是把这个三角形解出来，是不是 c p 就 有嘛？那依然是不是需要知道的是这个叉叉角的正切值，那现在看，这一次怎么求这个叉叉角的正切值呢？ 你看现在这个黄线和这个黄线是不是依然是二比一的关系？而且这两根黄线是什么位置关系？是什么？平行来二比一，位置关系又平行，这一次产生了什么？ 什么形相似 x， 是 不是产生了 x 形相似比值多少？一比二，比值一比二，对不对？那你来看，那就说如果这里是 一份，这里就该两份，而这个整长就是几份？三份，那所以这里就是三份。所以说同学，这个探间题叉叉出来了没有嘛？ 出来了吧？这一次这个探间题叉叉就是二比三，你看这一次你的探间题叉叉是不是等于二比三，对不对？嘿，那这个三角形 a c p 是 不是又可解了？ 上个条件已经齐了嘛，可以解了嘛？对不对？那么这一次解出来答案应该是，我就直接算哈，这一次解出来答案是十七分之五十 搞定。所以说这道题就两个答案，一个是十七分之五十，而一个是上个题，这个答案，对吧？十一分之五十没问题吧？整理出来。

hello， 大家好，我是数学习老师，那今天呢，习老师来给大家讲一下我们锦江区二诊数学的这个逼卷压轴题啊。 那首先这道题考的是一个菱形，他说菱形 a b c 大 的对角线， a c 和 b 大 呢，交于点 o， 以 m 为 b， c 上一点连接 a m， 交 b c 于点 n， 如图一，若 a m 垂直于 b c， 求证，角 c a m， 它是等于角 a b 大 的。好，那这个证明呢，显然是一个比较轻松的证明啊，因为我们首先在这获得了一个直角，而菱形的基本性质告诉我们，菱形的对角线呢，肯定是互相垂直的呀，所以这是不是依然也有一个直角？ 好，那有这两个直角呢？反应快的同学应该马上能看到啊，这里是直角，这里也是这样，所以这两个三角形是不是就是一个八字的倒角？倒角，咱们用这个八字倒角呢，就直接搞定了啊，九十度等于九十度， 对顶角等于对顶角，那就说明这个阿尔法角一定等于这个阿尔法角。而菱形的基本性质是，一条对角线，会平分一组对角，所以上面这个是阿尔法，那下面这个角呢，肯定也是阿尔法。 好了，那这两个 r 你 标好之后呢？这第一小问就直接搞定了啊，所以第一小问，不管是你用八字也好呢，还是你用这个叫做沪渝去倒角，都是可以的啊，大家快速把这个性价比超高的分呢给它拿住。 那我们继续来看比较挑战的第二小问和第三小问。第二小问说 am 等于 ac 啊，说明这个 m 点跑了个位置啊，现在的位置变成了 am 等于 ac， 刚好 amc， 它构成了一个等腰三角形， 然后呢， o n， 它又等于这个 m n， 让我们求 a n 比大 n 的 值，那看一看， a n 和大 n 都在哪里呢？ a n 是 不是应该在这里，大 n 呢在这里。所以显然你看到这两个线段比的时候，会发现有个三角形呢，是不是就是这个 a n 大， 而这个三角形，那显然会和隔壁的这个兄弟叫 mnb 是 相似的呀，对不对？因为左右是平行的，所以在这里我们立马就可以把题目让我们正的，或者让我们求的这个 a n 比上大 n， 我 们就导成右边的线段， a n 对 应的是 m n， 而大 n 对 应的呢，是这个 b n。 好， 导到这你就会发现，哎，好像又有条件可以用，因为 m n 呢，题目告诉我们是不是等于这个 o n 的， 对吧？所以我们可以把上面这个 m n 变成 o n， 然后比上下面不动啊，也是 b n 好，你会发现齐老师倒了这么多笔，最终你会发现，题目让我们求的这个笔啊，就是 o n 比 b n， 那 我们来找一找， o n 比 b n 在 哪里啊？把其他不用的擦一擦，一擦， o n 呢？在这里， b n 在 这里，对吧？虽然现在也不知道它是几比几，但是呢，你会发现这里有个非常好的事情就发生了，因为这道题啊，它让我们研究的这个条件也好，或者说最后的问题也好， 都被咱们集中在了三角形 a b c 里，而这个三角形是不一定是等腰三角形，对吧？因为整体的图形是菱形，所以其实这道题的研究呢，你会发现跟这个大点就没有太大的关系了，所以咱们在这个小问呢，其实完全完全啊，就不用去考虑这个大点，我们就只考虑这个等腰三角形 a、 b、 c 就 完事了。所以其实说白 了，这个问题最终研究的就是等腰三角形 a、 b、 c 就 完事了。所以其实说白了，这个问题最终研究的就是等腰三角形 a、 b、 c 中我们画了两根线，一根是三线合一的 b o， 一根呢是 am 等于 ac 的 这个 am， 它俩一交叉产生的 n 点，把这个 bo 究竟分成了几比几的两条线段呢？对吧？只要求出这个线段比就可以了。好，所以我们把问题和条件理清楚，也确认了，我们就研究这个 abc 之后，那就考虑一下找线段比就好了。 因为你最终要求出 o n 比 b n 的 话，你这道题显然没有任何一组线段比可以供你使用，那显然是不行的啊，你也不知道菱形的边长， 你也不知道任何一个什么相似比啊，或者线段比，这是不行的啊。其实在这里我们看看有没有什么特殊关系。第一个最简单的特殊关系就是 b、 o 是 个三线合一的这个这个线它是垂直平分 a、 c 的， 所以这里呢，我们不妨可以去假设 o c 等于 o， a 是 不是都等于 x， 它俩如果都等于 x 的 话，那说明整个 a c 就是 二 x， 那 就意味着整个 am 它就也是二 x。 好，那这个完了之后，又可以知道什么关系呢？题目说了呀， o n 是 等于 m n 的， 所以这里它跟这个 x 的 关系呢，就不好表示。所以我们干脆啊，就再设一个字母叫 y 和 y， 那有了这两个 y 之后，你就会发现 a n 就 很容易能表示出来，它就自然是二 x 减 y。 哎，那你会说，习老师，那我怎么找这个 x y 的 关系呢？这个其实关系非常简单啊，因为你会发现我们这个三线合一的 b o 在 这里是不是一定会提供一个直角？ 那有了这个直角之后，其实问题就搞定，因为在直角三角形 o a n 里面，那它的三边一定会满足勾股定律啊。是，在这里我们就直接用勾股定律写出它们的等量关系来找关系就可以了啊。也就是在 r t 三角形 a o n 中， 我们能找到的应该是 o a 的 方加上 o n 的 方，它是等于 a n 的 方。 好，那代入我们的这个字母吧，也就是 x 方加 y 方，它应该等于二 x 减 y 括号的平方，所以我们立马展开一下， 也就是 x 方加外方等于啥呢？四 x 方加外方，再减去一个四倍的 x 乘 y， 那 显然外方就没了，然后 x 方咱们也能抵掉一个，所以剩下的应该是三 x 方等于什么呢？是不是四倍 x y？ 你写成这样，惊喜又会发现叫做 x， 咱们好像又能抵掉一个。哎，所以其实也就是三 x 等于四 y， 所以 这个式子告诉你，其实也就是 x 比 y 啊，它是不是应该等于四比三？注意，这里一定要交换系数啊，别直接写三比四，对吧？一定是四比三， 所以就意味着你看四比三是啥意思呢？就是 y 这个边呀，我换个颜色的笔啊， y 这个边其实也就是三分的一个边，而 x 呢，就是四分的边。好，说白了，咱们的 o a n 这个直角三角形就是我们整个初中你非常非常熟悉的这个勾三股四弦五，对吧？所以就意味着这个直角三角形的三边关系你就非常清楚了啊，三比四比五嘛， 好，那他清楚之后又能带给我们什么信息呢？因为你会发现最终我们要找的不是 o n 比上 b n 吗？所以在这里我们还得去求一下 b n 究竟是几分，那这样的话呢？其实就是 这个叫信手拈来的问题了，原因就在于我们知道 a c m 这个等腰三角形和 abc 那 肯定是相似的，因为这两个首先都是等腰，而且他们是不是共用同一个底角啊， 也就代表着两个共底角的等腰三角形，那他俩肯定是相似的呀，三个角对应肯定都是相等的，那相似之后，那如果齐老师把这个小角设成 r 法，那下面这个肯定是 r， 那 说明这个 abc 他的顶角就应该整体是二倍的 r 法，那就意味着这个角呢，也是 r 好。所以如果对于三角函数或者说三四五这样的三角形，你很熟悉的同学，你应该会发现叫做，如果我们知道 tangent 二 r 法，它是这个四分之三的话，那就意味着你能推出 tangent r 法，它就是三分之一 好，也就他也是一个一比三比根号十的三角形，这是个啥玩意呢？对吧？教师简单解释一下，这个是你在整个初中解几何题的时候一定要知道的一个结论，或者说二级结论啊，不然的话，你解题有些时候速度会比较慢一点，比如说一个直角三角形，它是三四五的三边， 那这里呢，有两个锐角啊，上面这个三所对的锐角，我管他叫小锐角，如果咱们把这个小锐角画一个角平分线的话，那分出的这一个直角三角形，他一定是一比三比根号十的啊，这个受长形的，这是一份， 这个便是三份，而斜边呢，是根号十份的。那计算呢，你可以理解为用二倍角公式去给他算出来的就可以了。还有一个结论呢，你可以理解为用二倍角公式去给他算出来的就可以了。还有一个结论呢，你可以理解为用二倍角公式去给他算出来的三角形。 如果咱们给这个大锐角，也就是下面这个角画一个角平分线的话，哎，分出的这个三角形，它也有说法，它显然不是一个一比三的比了，它应该是一个一比二，比根号五的比。 好，所以大家要清楚啊，就是这个三四五呢，它往往跟这个角平分线有着一些关系，所以你看，齐老师，这是直接是四分之三，所以它就直接是三分之一了。 那 tangent 的 r 指的是谁呢？指的其实也就是 o a b 这个蓝色的直角三角形，它的三边比应该是一比三比根号十。所以你看啊，我们知道了， o a 刚才算出来是不是四分，所以代表着整个 o b 就 应该是它的三倍啊，也就是三四 十二分，所以减去 o n 的 三分，那 n b 自然就是九分了。 ok， 那 你知道这个笔之后，那就非常的简单了，因为这道题最终求的不就是 o n 比 b n 吗？对不对？所以你就大笔一挥啊， o n 比 b n， 他就应该等于三比上九，那其实也就化简成了什么呢？叫三分之一啊，就搞定了，但这个过程当中肯定要用一些二倍角，或者说因为所以啊，大家把它写好，对吧？过程呢，习老师就不去展示了，我们这里重点展示的是思路啊。 好了，那你这个清楚之后呢，就可以直接进入三小问的思考了，对吧？二小问已经被咱们秒了。好，那习老师把这个擦一擦啊，画面看的更清爽一点。 好，三小问呢，其实它会有一点阴险啊，为什么呢？你看它读题啊，它如图三，保持图二中菱形 a、 b、 c、 d 的 形状不变啊，阴险的就是这句话 好，为什么呢？原因在于咱们做过很多题啊，它的三小问会说，比如说在二小问的条件下， 我们继续去研究一个什么什么什么样的问题啊，但这个小问，你看，他说保持图二中菱形 a、 b、 c 的 形状不变，给你一种感觉就好像，哎，我们是不是就在二小问的条件下去研究了呢？这其实不是啊，他只是保持菱形的形状不变， 哎，也就意味着，哎，刚才咱们研究出的这个三角形啊，他的一比三比根号十，这个确实是不变的，因为这个是菱形的一个小的关系，对吧？几个边的关系。但是还有没有像刚才一样 am 等于 ac， 或者说像刚才一样 o n 等于 m n 这样的条件了呢？ 就没有了啊，所以它相当于继承了二小问的部分的结论，但有一些条件呢，是不能用的，所以一定要理解清楚啊，所以就意味着这个形状咱们是清楚的，但是呢，这个 am 等于 ac， 这些条件是没有的。好，然后他又说了，移动 m 点， 对吧？移动到某一个位置，然后连接了 o m， 然后过点 o 呢，又做了 o p， 是 垂直于这个 o m， 然后交 c 大 于点 p。 好， 所以做个垂直，这有个焦点，交 p 啊，连接 pm， 如果 a ab 呢，是根号十。哎，对，你看啊，你如果理解刚才小老鼠说那个一比三比根号十，你就能非常理解为什么这个出题老爷爷 它在这里要出一个根号十这样的数，就是因为它的三边比就是一比三比根号十。所以如果 a b 是 根号十的话，那就意味着 o a 的 长度就是一整个 o b 的 长度呢，就是三啊，就这个意思。 然后他又说了叫做 o p， o p m 是 相似于 o n a 的， 找一下啊， o p m 在 哪里？ 是不是这个阴影的直角三角形，它是相似于 o n a 的。 哎，如果你对 o n a 还有印象的话，在上一个小问啊，它是不是就是那个简单的三四五，对吧？它在这画呢，是不是也有点像三四五？那请问同学们，它现在还一定是三四五吗？ 那肯定是不一定了，因为刚才的条件啊，在这是不一样的了，只是他画的好像是一样的，对吧？所以我说这有点阴险啊，你一定要注意，什么条件是能用的，什么条件是不能用的啊？现在我们知道，就这两个直角三角形，它确实是相似的啊，但具体是几比几呢，不太清楚。 好，那最终让我们求的是 m 到 b 大 的一个距离。好，所以显然这里过 m 是 不是要往 b 大 做一条垂线啊，对不对？ 好，那比如这是 q 啊，最终咱们要求的是 m q 的 这个长度。好了，那你明白这个条件和问题之后呢，怎么去研究呢？为了让这个图画的更舒服一点啊，习老师呢，把这个图弄的大一点，我们看下面这个图，好吧，我们这样看的会更舒服一些啊， 所以我们把刚才的一些信息呢，简单标一标。首先我知道 o a 的 长度是一对吧， ab 的 长度呢，是三，这也是一个直角啊，你最终要算的是 m 到 b 大 的一个距离，所以过 m 往 b 大 做条垂，这个垂足，我管它叫 q 啊，所以最终你要求的就是 m q 的 长度， 所以在这里已经给大家一个非常非常强烈的感觉了啊，什么呢？咱们这叫 p o m 是 个直角处，在这里你又过端点 m 往下做了个垂线，那这不就是一线三垂直，对吧？只不过这不是 k 字的全等啊，这是 k 字的相似，因为这不是等腰值，对吧？所以很清楚的一点就是，我们 肯定要过屁点往 b b 大 是不是也做一个垂，那这样的话呢，这个相似呀，就没跑了啊，就会有一组白给的相似，只是可能我们得找一些等量关系，把这个相似给它用好就 ok 了。 好，那这个时候呢，我们就去假设吧，找一下等量关系，因为最终我们要求的是 m q， 而 m q 在 这里呢，看起来也是一条比较短的线段啊，所以这里习老师就直接去假设 m q 的 长度就是小 a 了， 那我们来看看能不能把其他边表示出来，找到一些等量关系。那首先呢，可以利用刚才我们讲的呀，这个贪婪的 r 法是不等于三分之一，所以在 m q b 这个直角三角形里面，如果 m q 是 a 的 话，那说明 q b 自然就是几 a 呢， 是不是三 a？ 好， 那你把 q b 表示出来之后，那就可以表示谁了，显然是 o q， 对 不对？因为整个 o b 刚才习老师说了是三，哎，这习老师标错了，这个 a b 呢，是根号十啊， o b 才是三， 所以 q b 是 三 a， 那 这个 o 到 q 啊，搭个桥，那不就应该是三减什么了？是不是三 a 这个 a b 刚好使我写在下面啊？好，三减三 a， 那 就代表着咱们的这组相似啊， k 字的相似，对吧？也就是 p。 哎，这个垂足我们过来叫 r 吧， p r o 和 o q m 这个相似，我们有两个边已经知道了啊，一个是小 a， 一个是三减三 a， 对 吧？那就说明我们只要知道相似比，我就能把左边的这个 pr 和 r o 这两个线段也就表示出来了。 所以你要知道相似比，说白了，其实就是要知道这个 o p 比上这个 o m 究竟是几比几对吧，这一组斜边的比就相当重要。哎，那这会你应该能想到一个事情，叫做这个线段比，就应该等于谁比谁， 是不是就等于下面这个叫做 o n 比上 o a 啊，对不对？因为这两个三角形是相似的，所以 o p 我 写在这啊，所以 o p 比上这个 o m， 它自然会等于下面这个 o n 比上 o a 好，所以我们只要知道这组笔就可以了。那怎么知道这组笔呢？哎，你就会发现，好像又有一组相似会展现在你面前啊，不用做任何新的辅助键了，你看啊，这个 o a n 是 不是一定和这个叫 n q m 是 一个八字的相似？也就看齐老师蓝色阴影这里， 而且这个相似比其实你是能写的，它应该是一比几呢，是不是一比小 a？ 虽然小 a 不 超是几啊，但是它的相似比就是一比小 a， 所以 这个时候我其实就能把这个 o n 呐给它写出来了，因为我知道整个 o q 的 长度不是三减三 a 吗？对不对？所以下面啊，咱们就利用这一组相似啊， 叫三角形 n o a 相似于三角形 n q m， 而且我还能进一步知道它的相似比啊，其实也就是 o a 比上 m q， 也就是我们这里说的 e 比上小 a。 好， 那这时候我就能把 o n 写出来了啊，进一步的，我们的 o n 这个线段就可以拿整个 o q， 也就是括号 三减三 a 去乘上个分率就可以，那就代表了这边应该是一份，这边是 a 一 份，所以整个线段 o q 是 不是就 a 加一份，我们要确定是这个一份，所以就乘一个什么， 显然是一个 a 加一分之一嘛，所以这个 o n 的 长度，哎，就搞定了啊， o n 的 长度最后写出来应该是一个 a 加一分之 三减三 a， 嗯，好像化解不了， ok， 那 有了 o n 之后，哎，那我们刚才要求的这个 o n 比上 o a 不 就有了吗？对不对？所以进一步的就又能推出，我们想要知道这个 o n 比上 o a 是 几比几了。 o n 我 们抄一遍啊，就是刚才写的这个叫 a 加一分之三减三 a 啊， o a 啊，就是最简单的，对不对？一，所以它的比其实也就是谁比谁 叫三减三 a 比上下面一个 a 加一啊。好，所以 o n 比 o a 咱们知道了，那 o p 比 o m 是 不是也就知道了？哎，所以就意味着啊，我给你写出来这个 o p 是 几分的一个边呢？其实也就是三减三 a 的 一个边， 而 o m 是 个几分的边，是一个 a 加一分。好，那你有了这个之后，我们就可以通过刚才表示的小 a 和三减三 a， 把这边这两个横着的和竖着的线段表示出来了啊，所以下一步 来一个简单的计算，也就是利用我们的三角形 p r o 相似于三角形，叫做 o q m 的 这个相似啊，而且相似比，我们知道，其实也就是三减三 a 去比上一个什么呢？叫做 a 加一。 好，那下面我们就可以通过哎右边的 a 啊和三减三 a 去表示一下了。比如说，我们先来表示一下 pr 吧，好不好？ pr 怎么表示？ pr 是 这边这个竖着的线段，那对应这边就是横着的，也就是 o q， 所以 我们就拿 o q 也就是三减三 a 乘上个分率就好了，这个应该是几分之几呢？显然应该是平均分成 a 加一份。 好，然后我们要求的是三减三 a 份啊，有点抽象对吧，但是依然能完成预算啊， 应该是 a 加一分之三减三 a 括号的平方，大家注意啊，放到这你千万别把这个括号拆了，对吧？因为这会还没到拆括号的时候，万一后面能化简呢？所以我们就放这啊， pr 就 有了。那同样的方法，我们是不是能表示一下 r o 对 不对？ r o 是 这边横着的线段，那对应的右边应该就竖着的这个小 a， 所以 就拿小 a 也乘上这个分率就好了。这个分率依然是什么呢？叫 a 加一分之三减三 a 啊，所以也就是 a 叫做 a 加一分之 a 乘一个三减三 a 啊。好了，那这两个放在这之后，你说习老师，我现在感觉表示了很多线段，我感觉自己有点无敌啊，你看我表示哪些线段呢？ 是不是这个 pr 有 了呀？ l 也有了呀，对吧？但是其实我们现在还有没有找到等量关系去把 e 解出来呢？其实没有，你不能说再用这个相似了，我都用相似去表示，你再用相似，你会发现你写出来的是恒等式了啊，就不行了， 哎，所以你会发现还有什么信息没有用呢？因为我们知道这边这个角啊，在一开始我们就说它是 r， 它的 tangent r 是 不是等于三分之一的 这个角我们在右边使用，那左边不是还有，对吧？这个角那是菱形，当然他也是 r 法列，所以就意味着咱们右边其实也有一个一比三的关系，谁比谁是一比三。就是刚才我们写的这个 p r 比上这个大 r 是 不是应该是一个一比三的关系？所以最终我们就可以用这个一比三去把我们的小 a 给它算出来了啊。 所以最终呢，我们还要表示一个线段叫大 o， 对 不对？因为刚才表示的是 r o 啊，不是大 o， 是 大 r， 所以 我们最终还得表示一个线段啊，叫大 r， 用一个减法就可以，因为大到 o 的 长度呢是三， 所以咱们就拿三减去一个 r o 就 好了。 r o 就是 刚才写的这个玩意，我们抄一遍啊， a 加一分成啥呢？ 叫 a 乘三减三 a 啊，你说这会你想把它通在一起呢？其实也可以啊，但这会习老师也不太想算啊，所以我们就把它摆在这吧，对不对？反正就是一比三的关系，我们先把方程给它列出来啊， 也就是 pr 比上大 r， 应该是一比三，所以我们就来写一写， pr 是 啥呢？先列方程吧， pr 比上大 r 啊，应该等于一个一比上三写成分数形式吧，上面就是 pr， pr 就是 我们所说的这个叫 a 加一分之三减三 a 括号的平方。 r 呢，就是刚才在下面写的这个三减去 叫做 a 加一分之 a 乘上一个三减三 a 啊，括起来等于这边一比三呢，就是三分之一。 好，那这会就是你展示你优秀计算能力的时候了啊，但其实也并不难算，因为显然你看嘛，这边这个繁分数，他的分母是不是都有一个分子和分母里面都有一个分母，叫 a 加一，所以上下肯定是先同乘一个 a 加一，咱们去化解一下，对吧？所以来我带着你们一起算啊， 这个上面的分子显然就剩下了三减三 a 括号的平方了呀，那下面有一个三要乘，也要乘个 a 加一啊，所以有个三 a 是 不是加三？好，然后减号，那我们就把这个 a 乘进去吧。那就减一个 a 再变号啊，变成加加上一个三 a 方。 好，那等于这边是三分之一。好，那所以应该是三乘上括号 三减三 a 的 平方等于啥呢？这边好像三 a 是 不是就抵了？所以，哎，右边应该是只剩一个三 a 方在干嘛？再加三？ 好，所以这会这会显然左边有三，右边也都有三，所以三就被抵了呀。所以呢，下面这个式子就非常可爱了，左边就只剩一个完全平方，咱们去展开就好了啊。我先写带 a 的， 那应该是九 a 方，然后再减去个多少 a， 呃，十八 a 是 不是再加个九，而右边的三约掉之后呢？剩下的是 a 方加一好了，那再稍微整理一下啊，那显然应该是一个八 a 方减十八 a 再加八等于零。 好，这会先千万别解，因为八十八和八显然是不是又可以约约一个二的，对吧？所以我把这方程写在上面啊。所以这个方程最终的长相应该是 四 a 方减去九 a， 再加一个四等于零， ok， 那 就是解这样的方程，这个方程好不好易式分解呢？ 思考一下，好像不好，对吧？你这个一四啊，四一啊，你要凑个负九啊，显然是不太行的啊，所以这会咱们就直接上公式吧。好吧，所以公式法应该是二 a 分 之二， a 呢，就是八分之负 b， 那 就是刚好九加减根号 d 二， 这样他们简单计算一下， b 方八十一减四 a c， 所以 减去的应该是四的几次方圆三次方，四的三次方，也就是六十四，八十一减六十四十七，对吧？ ok， 所以 这下面应该是一个根号十七， 好，显然这个是再化解不了，但这会呢，作为一个优秀的能做到这里的一个初三的毕业生，你应该非常清楚，一定要想一想，那这个 a 是 否都可以呢？比如说 a 如果是个负数，显然就不行，对吧？所以请问啊，九减根号时期是不是一个负数呢？ 叫，肯定不是，因为根号十七才几点几，是不是四点几？九减四点几是完全够减的，所以这个减的是不用舍掉，但加要不要舍掉，也就是会不会太大呢？ 有位同学就懵了，说，习老师，什么叫太大了呢？你看啊， a 指的是，哎，这个距离，就我现在使劲儿瞄的这个 距离，这个是不是才是一？而你这个距离怎么可能比一还要大呢？ 而显然，九如果加上根号十七再除以八的话，那肯定是比一大的，因为八分之九都比一要大，对不对？所以这里呢，叫做小的那个是可以，但大的太大了爆炸了，所以就要舍掉叫，因为可以写一个啊，叫 八分之九加根号时，呃，根号十七它是大于一的，所以舍，所以最终我们只能留的是 a 等于八分之 九减根号十七好了。所以，而这道题啊，好的就是，最终你要求的不就是这个小 a 吗？也就是 m q 的 距离，对吧？所以最终答案就是这个八分之九减根号十七啊。 所以这个小问整体来说，难度呢，其实还 ok 啊，他不算那么那么的难，他用到哪些东西呢？我们先回忆一下，首先，一个 k 字的相似，还有一个一比三关系， 以及还有一个旋转性的相似，对吧？所以在这里呢，大家如果对相似和比例关系掌握的比较好，其实解方程呢，倒还是比较简单的啊，但整体来说呢，这个小问的性价比往往是整个卷子里面最小，所以大家考试的时候一定要注意你的闭卷二十五的最后一问呢， 这二十六题的最后一问呢？还有我们的 b 卷填空的最后一题啊，这些难度部分呢，你肯定最好权衡一下，你觉得哪一个你做起来比较有感觉，难度相对于较低一点，性价比要高一点。那你肯定把时间更乐意花在哪个部分啊？ 不要说我看到 b 二六最后一问，我就跟他死磕，对吧？二十分钟我全花在这个题上了，那肯定有时候就不太划算了，所以考试的时候技巧也很重要啊。 ok， 那 我们今天的讲解呢就到这里了。