七年级下册几何篮球架图形

如图， g h 和 m n 平行，上下平行一副三角板，一个是六十度的啊，一个是四十五度的啊，这是我们比较常见的三角板。 呃，那第一个三角板呢，它是如图一摆放啊，大家看到这个摆放的位置啊，大概是有一个六十度在下面啊，三十度在上面 啊，然后呢边 a c 和 g h 啊，碰到 o 点啊， b 呢，落在下面 m n 上，当 bc 平分 a b m 啊，我们看这个 b c 平分的是 a b m， 那 这个平分呢？其实因为已经有一个六十度啊，所以我们说这边应该还有一个六十度啊，我可以把它标出来。好，现在问的是直接写出 g o c 啊，我们看 g o c 的 位置啊，这个位置呢，其实和下面可以形成一个猪蹄模型，而且这边有个九十度啊，所以我们可以算出上面是个三十 度。好，第二问啊，将一幅三角板如图二摆放 啊，看一下啊，它是既有这个四十五度的，还有这个，呃，六十度的好，其中呢三角板 a、 b、 c 的 啊， 呃，和 g h 碰到了 r 点啊，应该是这个位置 d e f 呢？它的顶点 d 落在最下面 啊，还有两个角度是六十度啊，我们看一下位置啊， h r e 这边是一个六十度啊， e d n 啊，也是个六十度啊，这两个角度我们都标过了啊，然后呢， d e 和 ab 刚好在这一条线上，一条直线上， 并且 b e 是 重合的位置，这个重合呢，其实是两个那个三角板的顶点，一个是四十五度的，还有一个是六十度的。好，那这是我们的一个摆放的位置啊， 啊，我们分别做出两条平行线，一个叫 gre， 看一下位置啊， gre 啊，他做的是这个，我们用红色标一下啊，这两个角是一样的。咦，那这个大家应该能算出来的，对吧？啊，这次平分呢，应该平分的是两个六十度， 还有 cf 的 平分线， cf 啊，这个位置对吧？好，这个位置我们标的是这个绿色的啊。呃，当然其实也可以算出来 啊，因为我们这个上面的三角板呢，还有一个六十度啊，我们下面这个三角板呢有个四十五度。那所以这个这两个人平分的也可以算出来啊，但我们可以把它算出来啊。好，我们算出的是这个 r e f。 好， 算好了之后呢，我们就可以把这个平分的啊大小也算出来， 就叫 r e t r e t 啊，这样我们就得到了这个绿色的啊，还有这个上面有一个蓝色的六十度，那现在其实就是一个角 t 啊，可以形成一个啊，内角和的关系啊，我们把内角和呢用总共一百八啊，减去两次啊，一个是六十，一个是这个三十七点五 啊，这个第二问啊，大家把根据这个平分线的位置和大小可以计算好，第三问，是两幅三角板还是他们两个啊？但是呢，摆放的位置是图三，一个在天花板，一个在地板。嗯，他们一个是以绕着 a 点旋转 啊，绕着这个点旋转，它是按照顺时针的这个速度旋转啊，同时三角板绕着 d 点去旋转啊，是也是顺时针啊，那这样就会形成两个三角板同时旋转啊， 时间是一百八十以内，那么写出所有满足边 b c 和另外一个三角边的某一条边平行的这个时间。 好，我们看一下啊， b c 呢？呃，跟它的某一条，这个可能有三条啊，比如 d e 啊， e f 呀，或者 d f 啊，都有可能啊，所以我们分三种情况去讨论啊。 哎，第一种啊，假如说 b c 平行的是它的 d e， 或者是平行它的 d f， 或者是平行它的 e f 三种可能。好，我们先看第一个位置啊， b c 呢，它是绕着这个点 a 旋转的，所以它会啊，一开始在这个位置啊，然后在这，在这，在这在这啊，它会绕一圈啊， 啊，那你想跟 d e 平行，而 d e 呢，他一开始就在这个地，然后呢？在这啊，在这。好，所以我们大概估算一下啊，因为他们的这个旋转速度啊，以及他们这个大概位置啊，我们可以画出他们的啊，平行的大概这一个位置啊，比如说我们现在啊，假如说旋转到这个位置啊， d e 呢？也旋转到这个位置。 好，那大概平行的位置呢，我们就要去计算啊，一个准确的计算时间。好，那我们如何表示他们这个位的角度嘞？ 啊？注意他们有旋转速度的啊，对吧？我们标出，首先是这个叫 a b 啊，他经过速度乘时间啊，旋转了 t。 好， 那这边呢？呃，虽然说是 d e 在 旋转， 呃，但是 d f 也是相当于是离开啊，离开他最开始的位置，所以呢，我们把这个旋转的标识在这边啊，叫二乘 t， 好， 那我根据这两个角度能不能求出什么时候他们平行呢？ 他观察这个平行的位置啊，应该会找到一个叫同位角，对吧？所以我们只要把这两个同位角表示出来啊，然后就可以形成等式。好，那关键是这个怎么表示呢？大家注意到这边好像是有一个叫猪蹄模型的特征 啊，那关键是这个中间有一个已知的角是六十度，所以我们这个角 t 呢？啊，和这边就可以算出，算出中间六十度啊，加起来的这个结果，那我们这边就标识成六十减 t 啊，对吧？好，我们找到了一个，那如果再找到这个就形成同位角相等啊，能不能找到呢 啊？因为已经有二 t 了，有，还有九十度了，所以这边是个互余的啊，九十度减啊，九十度减二 t 好了，就可以得到这个什么同一件了啊，那我们经经过计算，发现时间是三十秒。好，这样我们就找到了他和 d e 平行的这种情况。好，那因为他们还会继续旋转啊，这个时间还很多啊，那如果继续旋转呢？这个 bc 还要往下，还要 bc， 还要往这边走 啊，那么他下一步有就有可能和这个叫 df 的 平行了啊，因为 df 他 转的更快， 它可以快速的这个放平放平，那么和这个 bc 呢？大概在啊下一个位置啊，比如说大概在这个附近啊。好，那假如说这一次我们得到的一个新的平行位置啊，那我如何去列出一个等式？ 有人说，那我们还是找这个内错角啊，同位角啊。呃，有可能，对吧，当然也有可能是发现啊 啊，这两个角是互余的啊。好，大家找一下，这个关系挺多啊，我们还是第一步啊，先标出他已经旋转的角度一乘 t， 这个是二乘 t 啊，我们标的其实还是 d f， 他 最开始在这， 那么经过二 t 的 旋转，他来到这啊，好，那，但是这个角太大了，那我们如何去表示成这两个稍微小一点的角度呢？啊，这个时候我们可以考虑啊，把它啊减掉幺八零啊，就能得到这了 啊，同样的，左边这边我们可以考虑啊，得到这两个角度啊，用的也是还这个猪蹄模型 啊，当然有些人用这个叫铅笔头模型啊，也可以啊，这个铅笔头呢，总共是三百六啊，去掉，我们看一下啊，这三个角度啊，一二三都是总共是三百六啊，我们去掉这个中间的地方是一百二，再去掉 t 就 得到下面这个角度。 好，这是我们得到的这个位置啊，我们还可以得到这个 d t s 啊，这个跟它互补的位置啊，比如下面 是拿幺八零跟上面做叉。好，那得到这个 d t s 之后呢，我们还可以得到这个 n d f 的 位置的，跟它同位的位置啊，是另外一个表达式啊，这个表达式我们刚开始说过了， 它是拿二 t 啊去掉幺八零之后剩下的位置。好了，这样我们再次得到一个这个同位角啊，那这两个角相等之后呢，我们可以再次计算一下，这个时间呢，仍然没超过题目给的范围。好，那我们想一下，下一步如果继续旋转的话，对吧？那么 bc 还有可能和谁平行 啊？有没有可能和这个最后这个 e f 啊，因为它转的快啊，所以 e f 呢，最终也是可以达到跟它一样的位置啊，平行的位置。好，那我们画出最后一种可能性。 好，假如说啊，呃，这个边已经转了这么多了，呃呃，应该是从这个开始转的啊，好，然后呢，这个 啊，这个 d f 呢，也转的比较多了啊，好，那现在呢， e f 呢？跟 a b c 平行啊，这个平行呢？我们还是啊，我们可以稍微延长一下啊，它其实是可以和这边垂直的。 好，那我们现在还是标一下已经有的角度啊，比如说啊，这个地方 a b 已经旋转了 t 啊，呃，这边本来是应该 啊，本来这个 d f 是 从这开始转的，它应该转了，已经转了有个二 t 了啊，还差一点点。那差的这一点呢，我们可以标识成三六零，减去二 t。 好， 那根据这两个角度啊，能不能得到一些同位角或者一些其他的角度啊，比如说这边是个 t 啊，那么我们可以根据这边有一个 啊，柱体模型啊，得到这个地方。是，哦，这个地方是因为是啊，我跟 b c 平行的情况下呢啊，当然是跟 a c 垂直的啊。好，那这边有一个九十度啊，所以我们考虑把这个角度形成一个柱体模型，就得到这 啊，因为这个角度可以标一下啊，它是总共是 t， 然后要减去这个角度。 好，我们第一个啊，先得到 h a k 的 表达式啊，那还是用这个 t 呢，减掉这个角是多少度嘞？注意，它旁边是个三十度的角度，所以你要减一百五十度 啊，这样就得到了 h a k。 刚刚我们说过这个猪蹄模型呢，它有一个九十度在这儿啊，所以这边应该有个 k e q 啊，好，那而 k e q 呢，注意，它其实也是和这个叫四十五度啊，有个互补的一个位置啊， 而这个绿色的角呢，其实和这是一个叫内错角的位置，那绿色角呢和这个蓝色的角呢，它其实也有一个互余的关系。好，所以我们将这个最下面的角先通过互余转到这个绿色的位置啊，再通过内错角到这来 啊，最后这因为这有个四十五度啊，我们可以用幺三五去掉这个绿色得到这，而这个位置呢可以和上面形成一个主体模型，形成一个等式 啊。嗯，当然有同学说你我还是去找这种同位角之类的啊啊，你们也可以通过辅助线去找一些同位角相等的这些等式啊，我们目前就用一个猪蹄模型吧。好吧好，那我们先把这个叫 e d m 啊，给它算出来，是拿这个九十度左叉啊，这个也可以先化解的，紧接着就是把它变成内错角啊，叫 d e q 了啊， d e q 呢？其实我们还是要往继续往上找，因为它这边有个四十五度，所以这边是幺三五减 好，减完之后呢就终于上来了，上来了之后呢，我们把这个角度和它形成柱体模型，凑一个九十度啊 啊，终于呢我们得到一个方程等式，我们呃计算之后呢，发现是幺六五幺六五呢，其实还是在题目要求的范围之内啊， 因为题目说了啊，不超过一百八。好，这样的话我们最终发现三个位置啊，也就是三条边平行呃，当然呃后续也有继续的这种 平行位置啊，但只是说已经时间不够用了啊，不再不再具有平行的可能性了啊，所以我们最终下答案啊，他其实有三个位置，也就是三个时间形成平行位置了。

七年级最后六十天一定要狠抓几何，因为七年级数学百分之五十都与几何相关。把必考题型都练透，期中期末也就不用担心了。就用这本初中数学几何题专项训练，完全同步课本教材。比如七下期中必考的相交线与平行线，他先教你基础理论知识，再给出多道典型真题，教会孩子答题技巧， 不懂得扫码，还有名师视频讲解，搞懂后再去做练习题目从基础到提升再到拓展，阶梯式训练，一步步提高孩子答题速度和正确率。家有初中生的赶紧安排起来吧！

上课讲的是一粒沙，考试考的是撒哈拉啊，现在大家很多有都有这种体会啊，就比如说我们在旗下这个几何板块啊，讲的这个三角形全等这一块，我们课本上只给出了证明三角形全等的几种基础方法啊，但是在考试的时候啊， 往往会出来一些模型啊，稍微复杂一点的模型，同学们看到这种模型题以后啊，就有点老虎吃天无处下嘴的这种感觉啊，这个原因就是在课本上没有设计到，课堂上又几乎设计不到啊，设计的很少，所以说对这类题缺少啊，缺少探索和认识。 那我们今天就通过黑板上这一道题目，我们来探索一下几何模型之一啊，这个截长补短这个模型， 这个模型，它的用处是主要用在什么地方呢？我们看这道题，已知 a、 d 平分了这个角啊，也就是角一等于角二，角 c 等于二倍的角 b， 最后求 ab 等于 ac 加 dc 啊，这个关系，它就求线段之间的一个啊，线段之间的一个和的关系啊，所以这个截长补短， 他经常用的就是求证线段之间的和差关系。像这类题，我们直接求证的时候啊，确实是有点困难啊，因为他把这个边这些边从位置上看啊，是感觉是有点困难啊， 题上又没有告诉我们这些线段的长度，是不是这个时候我们往往要用到线段的等量转化啊，让他们从把他们的位置发生一些改变啊，让他们这个线段进行转化，那线段转化，你在转化的过程中，肯定是这个长度不能变， 让他们想一想，我们要实现这个线段等于那个线段，你看我们掌握的，目前来说掌握的只能是通过什么三角形全等啊，三角形全等，我们就可以得出对应边相等，这样就可以实现线段的转化。位置转化啊，还可以啊， 还可以通过什么特殊的三角形，比如说等腰三角形或者等边三角形，你看这两种三角形里面都存着线段和线段相等啊，这也是一种方法， 就是我们要通过全等三角形，通过全等和特殊三角形进行编的啊，转化，那如何啊？那题里面不是说他不是直接就给我们有现成的这个特殊三角形或者是全等三角形， 所以说我们就要通过辅周线啊，去构造，去构造我们需要的这种全等或者是特殊三角形啊，那截长补短就给我们提供了一个明确的方法啊， 截长补短，顾名思义，截长就是要从这个长边上截取一个短的，假如说我截取一个 a e 啊， 我截取一个短的，我截取一个短的，让这个 a e 等于提上已知的某一个短边啊，这是一种思路。另外一个是这是截长啊，从长的上面截短的， 还有补短，把短的给他补偿，给他延长，延长，一直把它延长到和已知和我们提上啊，已知把它延长到和哪一个长线段相等啊，那 截长怎么截？补短怎么补？我们只要啊抓住一个核心，就是要有利于我们去构建全等 啊，或者是构建等腰或者是等边啊，这是我们的目的，只要你有，你有利于我们构造全等和等腰等边啊，怎么有利于他，我们就怎么做？那么看一下， 看题上已经告诉了角一等于角二，截取 a e 等于 a c 的 话，我再连结我啊，我再连结这个 e、 d 是 不是很容易就能构造出全等呀？为什么呀？你看角一等于角二了， a、 d， 他是这两个三角形的一个共用边，是不是？然后我们截取的是 a e 等于 a c， 你 看 a e 等于 a c， a d 共用角一等于角二，是这两个边的夹角，那是不是边角边很容易得出他俩是全等的， 是不是啊？那就说明我们这个辅助线啊做的是比较成功的啊，如果你去，你去截长或者补短，你截来截去，补来补去，我是构造不出来全等，或者是等腰等边，那你这个辅助线做的就是失败的啊。那么看一下， 那现在我们通过做辅助线，我们把 ac， 哎，我们把 ac 这个边给它转化到这来了，是不是？我们要求证的是 ab 等于 ac 加 de， 你 看那 ab 在 这，我现在把 ac 已经转化过来了，已经转化过来了，那是不是剩下只要我能证明 be， 我 如果要能证明 be 等于 dc 就 可以了？从这个表面现在来看，我 ab 是 不是等于 be 啊？等，加上 be， 现在我已经把它转化了，我已经把 a c 已经转过去了，证明了他俩相等了，那 a e 是 不是就等于 a c 啊？如果现在我只要能证明这个 b e 啊，能证明这个 b e 等于 d c 就 可以了，这一块已经解决这个问题解决了，现在呢？我们要解决这个问题， 而解决这个问题，我们看怎么来解决啊？我们看一下怎么来解决。通过前面这两个三角形全等，是不是我们可以得出啊？我们可以得出，我们可以得出 dc 啊？它俩全等，我们可以能得出 dc 啊。这个 dc dc 是 等于 d e 的 这两个是个什么对应边吗？这两个三角形的对应边吗？对应边相等，是不是因为全等所以对应边相等，那对应边现在相等了。 我们知道 d e 等于 d c， 那 我们最终要是 b e 要等于 d c， 那 么看看这个 b e 就 可以等于 d c， 看看他俩有没有什么关系啊？ 这个我们从这两个全等里面，我们是不是能得出这个角的关系啊？这个角 c 啊？我假如说这个角 c 是 阿尔法，是不是你这个角 b 是 阿尔法啊？题上说了这个角是这个角的二倍吗？是不是？那你看一下 你角 c 是 阿尔法，那这个角是不是也是阿尔法呀？因为他两个是对应角吗？全等得出对应角相等，那你看一下那阿尔法这个角是这个三角形的一个外角，是不是一个外角？ 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和啊？这个二阿尔法等于这个阿尔法加上他啊，那说是不是也就是他加上这个角等于二阿尔法？你是阿尔法，那这个角必定也是阿尔法， 只有这两个一加才能等于阿尔法，是不是？那你看这个角等于这个角，那这个三角形是不是一个等腰三角形啊？那等腰三角形，那是不是？那是不是？ 看一下等这两个幺是不是？那是不是 b e 就 等于 b e 就 等于 d e 了？你看一下前面这是 d e 等于 dc， 后面这是 d e 等于 b e， 所以 它呢，我们就可以得出来啊，我们就可以出来 d c 等于 b e， 哎，从而你看这个我们要求证的就是要求证就他俩相等，这个结果我们得出来了，是不是 dc 等于 e b 吗？是不是？那这两个都完成了，那看那都完成了，是不是这个题我们就做完了啊？ 这是我们讲的是截长啊，我们还可以去用补短补短，我在这里讲一下思路就可以了。你看补短， 那我把 a、 c 我 补，我补成啥？我补啊，我把这个短边给他补啊，把短边给他补偿，我补偿到什么程度啊？我补到跟谁相等呀？ 这个我们还是那个大的原则啊，我要看把你补的跟谁一样长，还是要有利于我构建全等和创造等腰和等边三角形，那么很容易就能得出来。假如我把这个啊，这个 e 线就不要了，我把这个 a、 c 延长到 e， 延长到 e， 看一下题上告诉了角一等于角二啊，角一等于角二，这个 a、 d 我 能不能把它作为一个公用边，你看我这样一做辅助线以后，是不是就很容易又能得出了一个全等啊？是不是 角一等于角二啊？然后 a、 d、 a、 d 是 个公共边，我把 a、 c 延长到 a、 e 时， a、 e 等于 ab， 你 看三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 e、 d 是 不是很容易又得到相等了？所以说，哎，我的辅助线是延长 a、 c 到 e， 是 a e 等于 ab， 你 看就很容易得成全等了，那很容易得成全等的话，那我们就能得出 ab， 是 不是啊？这个 ab 等于 a 是 我们做出来的， 你看这样我们就实现了一个什么，也是实现了通过全等实现了一个边的位置转化，把 ab 就 转化到这一块来了，是不是把 ab 就 转化到 a e 了？那你看 a e 它等于谁啊？ 我把 a b 就 转化成了 a e， 它俩是相等的， a e， 这个这里面本身就有一个 a c 是 不是？那 a 等于 a c 加 c e 是 不是转化成 a c 加 c e？ 是 不是？题上要求的是 a c 加 dc， 那 我们是不是只要证明我只要证明这个 dc 和这个 ec 是 相啊？ dc 和 ec 这两个边是相等的就可以了，那这两个边在在这个在同一个三角形里面，是不是我们通过证明全等？呃，通过证明这个等腰就可以了，那么看它是不是一个等腰三角形啊？看一下， 我们通过这两个大三角形全等，那阿尔法和这个角是不是对应角啊？你是阿尔法，是不是这个三角形的一个外角呀？你是阿尔法，这个是阿尔法 对不对？那这个角是不是必然只能是阿尔法了？所以你看阿尔法，阿尔法，这是不是又是一个等腰三角形？等腰三角形，所以我们就得出了 d c 等于 e c， 哎， d c 等于 e c 这块问题也解决了，所以这个题就解决了啊，这是一个基础的结成布的模型啊，下面同学把这个 深入的去啊，好好的去分析一下，探究一下，完了再总结一下它在什么条件下，在什么条件下要用它，它是主要是用在哪一方面？求证什么时候的用它啊？一定要把握住我们的 一个是抓它的特征，知道它应用的条件啊，在什么条件下用它？第二个是要掌握我们一个做辅助线的一个总的思想啊。辅辅线，我做辅助线怎么去做，怎么去结，怎么去补， 总的指导思想一定是要有利于我们去构造全等三角形或特殊三角形，只有全等三角形和特殊三角形出来了，我们才可以进行边的等量转化。好，我们这个视频就到这，下期再见。

你永远也考不过一个从七年级开始就每天掌握一个几何模型的孩子，因为七年级的数学成绩百分之四十是由几何题决定的。你就吃透这本几何模型图，了解到了期中期末想拿低分都难。 就是这本初中几何模型图了解，囊括了初一的八个模型、初二的三十三个模型、初三的十九个模型、向常考的将军印马模型、 线尾八字模型、手拉手全等模型、 a 字模型、点线员最直模型。每个模型的已知条件是什么，辅助线怎么画，结论是什么，证明的方法都拆解的清清楚楚。再结合典型真题，从找模型到透用模型，让孩子掌握解析思路，吃透答题技巧， 每个模型扫码就能看视频讲解，哪怕是基础差的孩子也能学会。学完一个模型就用配套的专项练习，及时做真题训练，学会举一反三，彻底掌握几何模型的解析技巧，孩子的几何就稳了，家有初一到初三的孩子都可以用。

下几个高频考点，角平分线加平行，是不是总也找不到等腰三角形？一招教你秒破题！我们来看一下角平分线加平行出等腰三角形的这一类题， 这个题目里面告诉我们，在三角形 abc 当中，角 abc 的 角平分线和 a、 c、 b 的 角平分线，然后这边相交于点 f， 并且呢 我们还过点 f 做了一个 d、 e 平行于 bc， 角平分线加平行，看一下等腰三角形出在哪里。同学们解决这类题的时候，就把里面相等的角度我们给它标出来。这个题目里面呢是 b f 是 角平分线，那么 a、 b f 就 等于 c b f c f 是 角平分线，那么 a、 c、 f 就 等于 b、 c、 f 这两组角就相等。同时呢，还告诉我们做了一个平行，那两直线平行我们能找到什么？在这个图形里面我们能找到相等的角度，谁和谁相等？ 内错角，相等角 b c、 f 和 e f c 这两个角度是一组内错角，那同理，左侧角 f b c 和 d f b 这两个角度是不是也是相等的？那同学们观察一下，就目前我标的这几个角度，是不是直接在里面找到了等腰三角形，谁是等腰三角形？ d、 b、 f 式，还有这边的 e、 c、 f， 这是不是都是等腰三角形？ b、 d 等于 d f， e、 f 等于 e、 c， 这里面就出等腰三角形。其实这个下半部分这个模型就是角平分线加平行出等腰三角形。这个模型啊，在我们整个初中阶段用到的非常非常的多，同学们一定要把它的基本模型是什么记清楚，把它如何来的，如何推出来的也要记清楚。 来看一下这个里面的四个结论。问我们里面正确的结论有哪些？第一个， d e 等于 b， d 加 c e， b d 不 就等于 d f 吗？ c e 不 就等于 ef 吗？所以这两个相加刚好是 d e。 圈一就是正确的，圈二给的是角 b、 f、 c 和角 a 之间的关系。这个是我们之前讲到过的角平分线模型里面的那一个两内角的情况。两内角的情况结论是什么？同学们还记得吗？ 这个角 b、 f、 c 应该等于九十度加二分之一角 a， 所以 你看这个结论记住了。像这种小题，我是不是直接就秒杀，把二选项排除掉， 好来看一下。第三个，他说点 f 一定在 b、 c 的 垂直平分线上。垂直平分线线段的垂直平分线只有一个性质，需要我们同学们牢记。是什么呀？ 线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。那这个题里面 f 到 b 和到 c， 也就是这个 f， c 和这个 f b 这两个线段等不等呢？不知道，这个题里面我们是不知道的，所以说这个圈三推不出来 好来圈四， f 到 abac 和 bc 三边的距离相等，到边的距离相等。这个就考察了我们角平分线的基本性质。角平分线的基本性质是什么呀？角平分线上任意一个点，任意一个点，这就是点 f 到角两边的距离相等，这边到 b、 c 的 距离相等。同理呢，这个 f 是 不是还在 c f 这个角平分线上， 它到 bc 和这边到 a、 c 的 距离应该也是相等的，所以就会得到到 abac 和 bc 三个线的距离都相等，所以说圈四是正确的。那么这个题正确的结论就是一和 四这个题题目本身并不难，但是考察的知识点非常的多，第一你得知道里面是不是有角平分线加平行的这个结论。第二，你还要记住角平分线里面的三个经典模型。 第四第三啊，你还要记住垂直平分线还有角平分线的一些基本性质。

七年级下特别心软，每天掌握一个几何模型，到期中考试很可能冲进班级前三。就用这本模型图描写初中几何，把初一的八个模型、初二的三十三个模型、初三的十九个模型都整理好了。像常考的将军印马模型、 手拉手模型、八字模型等，每个模型的条件、结论是什么，证明的方法都拆解的非常详细。再结合典型真题，从找模型到用模型，让孩子掌握解析思路，吃透答题技巧。基础差也没有关系， 扫码就能看名师讲解配套。还有一本专项练习，学一个模型就做一页真题训练，学练结合，彻底掌握几何模型解析的技巧。家有初中生的抓紧准备一套吧！

大家好，我是数学雷老师，下面我们看二零二五华艺记七年级下学期期中考试的第二十三题。哎，考察这个综合与实践问题。折纸中的数学 李明同学在探究过直线外一点做已知直线的平行线这个活动当中，他通过这个正方形的折纸方式，找到了符合要求的直线。 第一步，在纸上去画一条直线 b、 c， 哎，这个直线 b、 c 是 我们任意画的，然后呢，在 b、 c 外去取一点 p， 过点 p， 将纸片进行折叠，使得这个 c 点的对应点 c 一 撇，要落在这个直线 b、 c 一 上，那么这不二的情况， 现在既折横 d、 e 与 b、 c 的 交点为 a， 然后将这个纸给它铺平。现在让我们求角 p a、 b 的 度数， 那由折叠。我们知道前后的这个对应角是相等的，那由折叠，所以我们得到角 c、 a、 e 是 等于呢 b、 a、 e 的， 而 c、 a、 b 三点在一条直线上， 所以角 c、 a、 b 是 一个平角，也就等于一百八十度。那所以啊，角 c、 a、 e 等于角 b、 a、 e 都等于呢九十度，那也就是角 b、 a、 p 这个角等于九十度啊，这是一个小问题。 那么第二个问题呢？他说再过点 p， 将纸片进行折叠，使得点 e 的 对应点 e 一 撇，落在直线 d 一 p 上， 用图三的情况再将纸片平铺开。那么这个时候得到的直线 p、 f 与直线 bc 的 位置关系是什么？ 那从图上我们可以看出，它们俩应该是一个平行的位置关系，那这里怎么去证明呢？哎，由于我们第一小问的这个折叠，我们同理可以得到角 e、 p、 f 这个角，它也是一个直角， 那角 e p f 是 九十度，而在第一问里面知道了角 b a p 是 九十度，所以这样一来，我们在角 e p f 和角 b a p 相等都等于九十度的情况下，那这两个角是属于什么角呢？是属于一对同位角，所以同位角相等，两直线平行，所以此时的这个 p f 就 平行于 b c。 啊，这是我们的第一问。 第二问，刘伟同学在李明同学折纸的基础上补充的条件也如图，在线段 a p 上任取一点 m 连 f m b m， 让我们猜想角 a b m， 角 m f 以及角 b m f 这三个角间的数量关系。 那由前面的第一问我们已经得到了结论，得到 f p 平行于 b c。 那 其实这个呢，我们就非常熟悉了， 那我们直接用我们平行线的处理方式，哎，拐点做平行就可以，所以这里我们过拐点 m 做 m n 平行于 f p。 哎，当然你也可以平行于 b c， 那 这个都是可以的， 那么这两个一平行，所以呢，内错角相等，那么这一来啊，得到了角 b 一， 就等于呢角 m f p。 那 由于啊， f p 平行于 m n f p， 它又平行于 b c， 所以由平行于同一条直线的两条直线平行，我们就可以得到这个 m n， 它又平行于呢 b c 一 m n 平行于 b c， 两直线平行，内错角相等，所以这个角二就等于呢角 abm。 那这样一来呀，我们就可以得到角 a b m 加上这个角 p f m， 它是等于呢角二加角一的， 而角二加角一刚好是等于我们的角 b m f。 所以 我们的这三个角的数量关系呢？叫什么？角 a b m 与角 p f、 m 这两个角的和等于第三个角 b m、 f。 第三问，王芳同学在刘炜同学补充条件的基础上，进一步补充条件。入图连接 c g， 若角 f g c 比上角 c g， n 等于角 b c， g 比上角 n c g 等于角 k f g 比上角 m f g 等于角 h b c 比上角 c b m 这四组比例相等， 要求角 b、 m、 f 的 度数，那为了方便哎 表示这些角的比值，我们把它设为比例为 k， 那 如果设角 n g， c 为阿尔法，那么角 f g， c 就是 k 一 倍的阿尔法。角 n c g 如果用贝塔表示，那么角 b c、 g 就是 k 一 倍的贝塔。 角 k f g 与角 m f g 如果让它为 x， 那 么角 k、 f、 g 就是 呢 a 倍的 x 角 abm 如果等于 y 的 话，那么角 c、 b、 h 就是 k 倍的 y， 那 此时要求的角 b、 m、 f 在 第二问当中，我们已经知道他们这个角是等于角 p、 f、 m 的， 所以角 b m、 f 就 等于呢 x 加 y， 那 要求角 b、 m、 f 的 度数，也就是它求 x 加 y 的 值。 那我们把这个题干已知条件捋一下，已知的是呢， f g 和 bc 平行，外加这个纸片是正方形，也就是它这个四个内角都是直角。 首先呢，由这一个 f g 平行于 b c， 我 们可以知道角 f、 g c 与角 b c， g 是 一组 同旁内角，所以他们两个是互的，也就是 k 倍的阿尔法加上 k 倍的贝塔的和，等于呢一百八十度，那也就是 k 乘以阿尔法加贝塔的和， 等于一百八十度，那在这里呢，如果能够求出阿尔法与贝塔的和的话，我们就能够求出 a 的 具体值。 好，那在这里我们发现啊，阿尔法，贝塔还有这个正方形的内角角 n， 它其实是一个直角九路， 那么由这里我们可以得到阿尔法与贝塔的数量关系。那这怎么去用呢？哎，其实我们很明显知道哎， 但是呢，我们在七下的时候，不能够直接用三角形的内角和我们要用的什么平行线的知识来进行求的，所以我们过这个 n 去做一条 c g 的 平行线，比如说我们现在做 n q 平行于 c g， 那 么这一来呀，有平行，我们就会有相应的内错角和 同旁内角了。 n q 平行于 c g， 所以 角 q n g 这个角就角 c g n， 它属于呢内错角，所以它是阿尔法。那此时角 g c n 与角 q n c 属于同旁内角，它们两个是和为负，它们两个的和为幺八度。所以这样一来啊，我们就可以得到两关系式，第一个角 q n g 等于角 n g c 等于 alpha， 角 q n c 加上角 g c n 和为一百八。 那么在这里我们把相应的数值带进去之后，那就得到呢， alpha 加上九十度，加上 beta 等于一百八十度。 所以啊，就可以得到我们的阿尔法加上贝塔的和等于九十度。 那有这个两个的和为九十，和这个 k 一 倍的和等于呢 e 八，那我们就可以求出啊， k 的 值等于二。 好，到这里呢，我们求了 k 等于二之后，我们就可以把这个图中的 k 全部给它替换成我们的二。好，那这里呢，我们接着看 这些角，我们先把它替换掉。哎，那就是阿尔法阿尔法贝塔二，贝塔 x 二 x y 二 y， 然后我们已有的得到的关系式阿尔法和比特的和等于呢九十，这是我们已经 求证过了的结论。那现在呢，我们要求的是角 b m f， 也就是 x 角 y 的 这个值。 那由刚刚啊，我们在求 alpha 加 beta 等于九十度的时候，其实呢，是过点 n 做了 c g 的 平行线，间接的证明了一个三角形的内角和问题。 那由于这个四边形纸片，它是一个正方形啊，所以这个角 k， 角 h， 它都是直角，也就都等于了九十度。那么由此啊，我们是否可以 找到这个 x 与阿尔法的关系， y 与 beta 的 关系，那我们看一下啊，那我们利用同样的方式过点 h 和 k 分 别去做它 这个对边 f g 和 b c 的 平行线啊，那么这里呢，记为 k s 和 h t， 那 也就是 k s 平行于 f g 以及 h t 平行于 b c， 那 么由这两条平行线，我们跟 前面这里求 alpha 加 beta 的 和，用同样的方式就可以推出角 k f g 与角 f g k 这两个角的和也等于呢九十度，以及角 h b c 加上角 h c b 的 和也等于九十度。 那么在这儿有角 k f g 以及二 x， 那 么角 f g， k 的 度数呢，我们同样可以表示出来，因为角 n g， k 是 一个平角一百八十度，所以我们的角 f， g， k 就是 一百八十度， 减去三倍的阿尔法，同理，我们的角 b， c， h 就是 一百八十度，减去三倍的贝塔。所以这样一来，我们就可以得到呢， 二 x 加上一百八十度减三，阿尔法是等于九十度的， 二 y 加上一百八十度减三倍，它是等于呢九十度的， 所以这样一来啊，在这里要求的是 x 加 y， 所以 我们需要把这两个式子进行一加，那就可以得到二 x 加二 y 加上三百六十度。 减三倍的阿尔法加贝塔的和等于一百八十度。而我们已经求过了阿尔法加贝塔等于九十，所以直接带进来之后，我们就可以得到什么呢？ 二倍的 x 加二倍的 y 是 等于九十度，那这样一来啊，就可以得到 x 加 y 的 和是等于四十五度。 那既然 x 加 y 等于四十五，我们已经在第二文中已经知道了角 b m f 好， 又等于 x 加 y， 也就等于呢四十五度。 所以此时啊，角 b m f 的 度数就为呢四十五度。

这个视频我们来看七下数学第二章的第三角平行线的性质。首先我们来梳理一下平行线所具有的性质。第一个性质，如果两直线平行， 那么同位角相等。第二个，两直线平行，内错角相等。第三，两直线平行，同旁，内角互补。 下面我们来看平行线性质所涉及到的一些题型。第一个题型，求角度，如图，点 a、 d。 在 射线 a、 e 上，直线 a、 b 平行于 c d， 角 c、 d、 e 等于一百四十度。问你角 a 等于多少度？ 我们可以看到角 c 的 a 是 角 c 的 一的零补角，所以它俩加起来等于一百八十度，因此角 c 的 a 就 等于四十度，而角 c 的 a 和角 a 呢，属于内错角，两直线平行，内错角相等，因此角 a 的 度数也是四十度。 第二题，如图， ab 被直线 c 所截， a 平行于 b， 角一是四十度，那你角二十二度，那么我们可以看到角一，它的同位角就是这个角三， 所以两直线平行，同位角相等，角一和角三相等，而角三和角二呢，又是对邻角的关系，所以必然相等。因此最终的结果是角二等于角一。 第三题，如图，在音符中， ab 平行于 c 的 角 b， a、 c 等于九十五度， 则角 a、 c、 d 等于多少？那么这两条直线平行的情况下，它和它属于同旁内角，因此同旁内角互补， 所以加起来等于一百八十度，那么只有八十五度，加上九十五度等于一百八十度。选 a。 第四题，如图， a、 b 平行于 c， d 过点 b 做了 b， e 垂直于 d、 f。 然后角 r 法的度数呢，给了是二十八度，现在问角贝塔是多少度？ 首先我们根据 ab 和 cd 平行关系可以知道，这个内错角也是二十八度，再根据这个角是九十度，所以呢，我们的角 ab 的 就等于九十度，加上二十八度等于一百一十八度， 而角贝塔和我们的角 ab 的 呢，又是零补角的关系，所以呢，角贝塔等于一百八十度，里面减掉角 ab 的， 这也就是一百八十度，减去一百一十八度，等于六十二度。 题型二，利用平行线性质解决三角板问题。首先我们来看第五题，如图，一个三角板夹在 a、 b 这样平行的两条直线之间，然后角 abc 等于九十度，角 a、 c、 b 等于六十度，角一等于二十度，问角二的度数。 首先做这种题目呢，他属于这种拐点问题，所以我们的做法是可以利用辅助线，先把辅助线做上过 b 点，做 a 的 平行线，比如说 b m， 那 么这个时候呢， 这个角他跟比如说角三，角三跟角一也是相同的，那么这个角呢，角四跟角二也是相同的，这叫内错角，这里也是内错角，所以角一等于二十度的情况下，那么角三他也等于二十度， 角三等于二十度，那么角 abc 是 九十度，所以角四等于七十度，那角二也等于七十度。 像第五题这样的题目呢，它是属于拐点问题，所以呢，我们一定要把这个拐点位置呢给它记住，后期呢，再做详细的总结。我们的方法是从拐点处做一条平行于 a 或者是平行于 b 的 平行线。第六题， a 平行于 b， 角一等于二十六度， 问角二等于多少度？首先我们来看这里还有一个直角，所以呢，根据这个平角是一百八十度的问题，那我们可以断定这个角三它等于一百八十度，里面减去这个二十六度，再减去九十度，所以呢，等于六十四度， 角三等于六十四，那么角三跟角二呢，又是同位上关系，因此他俩相等。第七题，将一副三角板如图放置， 然后 bc 平行于的一问角 ac 的 它的度数是多少？那我们可以根据 abc， 它是一个等腰直角三角板，可以确定 abc 是 四十五度，又由于上面的一的和 bc 平行，所以这个角呢，也是四十五度， 角的呢，是六十度，所以在三角形 a 的 c 当中，我们的角 ac 的 就等于一百八十度，减去四十五度，再减去六十度， 好，等于七十五，选 c。 第八题，将一副三角板的直角顶点重合，如图放置，得到下列结论，其中错误的是， 我们来看第一个结论，角二等于角三，这个地方角二等于角三，没有理论依据啊，所以是错误的。 如果角三等于六十度，那么他说 a、 c 和得一平行，那对不对呢？角三如果说等于六十度的话，那么角二就是三十度，角二是三十度，那么角一一定也是六十度， 角一是六十度，而这个角 e， 它本身是三角板里面的六十度，它俩又是内错角的关系，相等的话， a、 c 确实是平行于得一的，因此第二个是正确的。 第三，如果 bc 和 ad 平行， bc 和 ad 平行，那么这个时候角二等于四十五度，那么来看对不对？ 如果 bc 和 ad 平行，那么角 b 这个角是四十五度，它一定等于这个角三，因为角四、角 b 和角三的话是内错角，因此角三也是四十五度，那么角二确确实实是四十五度，因为 e、 a 的 它是九十度，第三呢，正确。 第四个，如果 c、 a、 d 等于一百五十度，那么角四等于角 c。 好， 那我们来看一下角 c、 a、 d， 如果说是一百五十度，那么我们的角 e， 它一定是一百五十度减九十度，所以等于六十度。角 e 等于六十度。 角 e 本来就是六十度，所以内错角相等，两直线平行 a、 c 平行于得 e， 好，那现在看这个角四和角 c， 它又是这两条平行线所对应的这个同位角，所以角四和角 c 必然相等，那么这个时候呢，我们发现第四个也是对的，因此错误的只有一个， 题型三，利用平行线性质解决折叠问题。如图，把一张长方形 a、 b、 c、 d 的 纸片沿 e、 f 折叠后变成这个样子，并且呢，角 e、 f、 g 等于五十五度。问你角二的度数，那我们可以根据平行线的性质知道，内错角上的这个角也是五十五度， 又根据折叠关系，旁边这个角呢，也是五十五度，因此它俩加起来等于一百一十度，而两直线平行，内错角相等，角二和角的 e、 j 是 内错角关系，所以角二呢，也等于一百一十度。 第十题，如图，将三角形 abc 沿 e、 f 折叠，使得 a 点与 d 点重合， e、 f 和 bc 向平行角 c 六十六度， 然后问角 c、 f、 d 这个角，那首先呢，根据 e、 f 平行 bc， 我 们可以立刻确定角 c 等于角 a、 f、 e， 所以 这个角呢，也是六十六度。那再根据折叠关系，我们可以清楚的知道，这个角也是六十六度， 所以角 a、 f、 d 就是 两个六十六度，一百三十二度。好，那现在的角 c、 f、 d 呢，跟角 a、 f 的 又是零补角的关系，所以从一百八十度里面减去一百三十二，等于四十八度。 十一题，将一张长方形纸片沿 e、 f、 b 等于六十五度，问角 a、 e 的 撇等于多少度？ 那么先根据平行关系，这个角是六十五度。再根据折叠关系，这个角是六十五度，所以两者加起来呢，是一百三十度，而角 a、 a、 e 得撇是它的零角，因此是五十度。 十二题，如图，将一条对边相互平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 a、 b 和 c、 d， c、 d 平行于 b、 e， 角一等于二十五度，则角二等于多少度？比如说这个点记为 f 吧，延长 fa， 这个角呢，我们记为角三。那既然角一是二十五度，那角三肯定是二十五度，因为这是折叠过来的， 所以呢，我们的这个角呢，是一百八十度减两根二十五度，这个角呢，是一百三十度，而他说这个地方呢， b、 e 是 跟 c、 d 平行的，而 b、 e 又跟 af 平行，所以 af 跟 c、 d 也是平行的，因此这个角得 c、 a， 它也等于一百三十度。内错角。 好，我们可以把这条线呢，也反向延长一下。折叠关系折叠过来，折痕是 c、 d， 所以 这两个角呢，一定是相等的。而这个角，比如角四角四呢，跟一百三十度又是互补的关系，所以我们可以算出角四等于五十度。角四既然等于五十度，那么这个角也是五十度， 所以整个这个角是一百八十度里面减去一百等于八十度。 题型，四，平行线性质的实际应用来看第十三题，一、学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来方向相同，这两次拐弯的角度可能是多少度？那我们可以先看 a 答案，他 原本的行驶方向向左拐四十度，那你可以把这个延长一下啊，那么这个角就是四十度， 然后第二次向右拐，比如说他在这个点，然后呢路的方向这样向右拐四十度，那么这个角就是四十度，那这个时候呢，你会发现四十度和四十度是同位角，相等，那两只线平行，那么这个时候呢，他的方向仍然跟之前的方向一致，因此选 a。 十四题底下的这个头呢，是一个秤，它是用杠杆原理发明的一个杆，秤是一杆古秤在称物时的状态。角一等于一百零二度，那问你角二等于多少度？所以这个直线和这个直线呢？它很显然是平行的，所以 角一的零角角啊，是一百八十度里面减去它也就是平行的，所以角一的零角，角二呢，是内错的关系，所以呢，也相等。 十五题，如图二是它的视域图，其中 a、 b、 c、 d 都与地面是平行的角， b、 c、 d 等于六十度。 角 b， a、 c 等于五十度， am 平行于 c、 e， 求角 m， a、 c 的 度数。 问你这个角是多少度？好，根据平行 cd 平行 ab， 那 么这个角呢？立刻我们可以求出来是六十度，所以这个角根据三角形 abc 的 内角和等于一百八十度，我们可以用一百八减去五十，再减六十，等于这个角七十度。 好，这个角和角 mac 呢，又是平行线 c e 和 a m 所夹的内侧角，所以 mac 也等于七十度。十六题，如图是小亮绘制的浅望镜原理示意图，两个平面镜镜面 abcd 是 相互平行的，入射光线 n 与反射光线 m 也是平行，入射光线 n 与平面 ab 所成的夹角。角一是四十度，那角六是多少度？ 我们先可以根据反射原理知道，角一如果说是四十度的话，那么角二也一定是四十度。角二和我们的角三呢，又是 ab 和 cd 所加的内错角，所以角三呢，也等于四十度。再根据反射原理，角四呢，也是四十度，所以加起来是八十度，那么角六是一个平角里面减去这个八十度 一千五。利用平行线的性质和判定做这种综合的证明题来先看第十七题。如图， c d 平分角 m c b， 所以 这个角和这个角相等。 f h 垂直于 m b， 角一等于一百三十二，所以这个角呢，立刻就等于四十八。角二等于角三，然后角 m c b 也等于四十八，所以这两条直线也是平行的。问你 cd 是 否平行 m b， 那 如果说平行，那肯定是这个。角四和角三就应该相等。相等，同一角相等两圈平行，那角四是否跟角三相等呢？ 一定是的，因为角三和角二相等，角二又跟角四相等，所以呢，角四跟角三相等，因此 m b 确实是垂直于 cd 的。 你可以写一下 第二个求角 m 得 e 的 度数， m 得 e， 这个角度数，它很显然是这个九十度里面。把角二减掉就可以了。由已知， 角二等于角四等于二十四度，角 c 得 m 等于九十度，所以角 m 得 e 等于九十度，减二十四度等于六十六度。 十八、题，如图，角 a、 g、 f 等于角 abc， 角一加上角二等于一百八十度。判断 b、 f 和得 e 的 位置关系，并说明理由。像这种的话，我们先写上它的判断，我们可以判断 b、 f 与得 e 相互平行。然后理由如下， 因为角 a、 g、 f 等于角 abc， 所以 这两个角是同位角，所以我们的 g、 f 是 平行于 bc 的。 既然这两条直线平行，所以内错角一定相等，因此我们的角 e， 它是等于角 f、 b、 d 的。 又因为角一加上角二等于一百八十度，那角一很显然可以用它来代替，所以角 f、 b、 d 加上角二也等于一百八十度。 而角 f、 b、 d 和角二呢，是得益于 b、 f 所夹的同旁内角，它俩互补，因此我们的 b、 f 和得益平行。要写理由的话，那就是同旁内角互补，两只线平行。第二个， 若 b、 f 垂直 a、 c， 也就是这里是直角，角二等于一百五十度，那问角 a、 f、 g 就是 这个角是多少度？那很显然，角 a、 f、 b 也是九十度，所以九十度里面只需要把角一给它剪掉就行。 因此我们来看，因为角一加角二等于一百八十度，且角二等于一百五十度，所以呢，我们的角一就等于三十度。 又因为 b、 f 垂直 a、 c， 所以 角 a、 f、 b 等于九十度，所以角 a、 f、 g 就 等于九十度。减去三十度等于六十度。 十九题，如图， ab 平行于 cd， 角 a 又等于角 c、 角 ab 的 的平分线，这这两个角相等，然后角 b 的 c 的 角平行，这两角相等， 然后求证 a 的 平行于 bc， 那 我们来看一下这个角 a 等于角 c， 并且呢的 c 平行于 ab， 所以 角 c 加上角 abc 等于一百八十度。 可以把角 c 用角 a 换掉，所以角 a 加上角 abc 也等于一百八十度，因此 a 的 平行于 bc， 同旁的角互补，两只线平行，我们写一下。第二，角 e 等于三十五度，求角 b、 d、 f 这个角，那我们再来看这个地方，因为 ab 平行于 cd， 所以呢，角 a、 b、 d 就 应该等于角 b、 d、 c。 又因为 b、 e 平分角 a、 b 得， 然后我们的得得 f 平分角 b、 d、 c， 所以它们的一半也各自相等，所以角 e、 b、 d 等于角 f 得 b， 所以呢， b 平行于得 f， 所以角 e 就 等于角 c 的 f 当然也等于角 f 的 b， 因为它俩是角平行，就确定等于三十五度，所以角 b 的 f 等于三十五度。 二十题，如图，角一等于角二，第一问证明 b 的 平行于 c， 这个很简单，角二等于 这个角三，它俩是对顶角，而角二又等于角一，所以角一也等于角三，角一和角三呢，是同位角，因此 b 的 平行于 c 一。 第二种，角 c 等于角的 角 a 等于三十五度，求角 f 的 度数， 那我们看角 f， 它貌似跟角 a 是 相等的，但前提必须是得 f 和 a c 必须平行，只有它两平行的时候，角 a 和角 f 是 内错角才能相等。 刚才在第一问当中，我们已经证明了 b、 d 和 c e 是 平行的，所以呢，角的加上角 d、 e、 c 等于一百八十度， 而角的和角 c 又是相等的，所以角 c 加上角的 e、 c 也仍然等于一百八十度，所以 a、 c 确实是平行于的 f， 因此角 f 等于角， a 等于三十五度。好，我们来写一下。 第六个题型，是命题的判定。那什么是命题呢？就是可判断真假的陈述句。我们来看第一个，下一句不是命题的，是对顶角相等，这个呢，可以判断真假。也是一句话说完了，同旁内角互补，线段垂线段最短， 都是一句话，而且能判断真假。 d 在 线段 a、 b 上取点 c， 使得 c a 等于 c b， 这是一个奇数句啊，它呢，并不是命题。二十二题，属于命题的，是做，这就是一个奇数句。 二十三题，下列语句，其中是命题的事，动脚大于整数，能判断真假，而且是一句话说完了，两点之间，直线最先断最短，这也是一句话说完了，能判断真假。希望明天下雨。那么这个呢，很显然不是命题，有三个呢，就不写排除。 呃，做 a 的 垂直，那这个也不是了。同行内角不互补，两线不平行，这个也可以判断真角，所以是一二五选 b。 二十四题，下一句是命题的，是延长，这就不是命题了。 用两角形画，这也不是命题。三角形的内角和是一百八十度啊，它是一个命题，而且是一个真命题 题型。七、真假命题的判断其实是就是判断对错。下列命题中，真命题的是内错角相等，这个就不一定是真的了，因为只有两只线平行的时候，内错角才相等。对，顶角相等，这句话呢，是对的 好。 c a 平方等于 b 平方， a 等于 b， 这也不一定对啊，有可能是相反数。 d 两锐角之合，一定是动角，那不一定，一度加上一度，那才是两度，根本就不是动角。二十六、下列命题中，假命题的是对菱角上的，是正命题。 第二，已知直线 a、 b、 c。 若 a 垂直于 b， a 垂直于 b， 然后且若 a 垂直于 b， 平行于 c， 那么 b 跟 c 也是垂直的。这句话没错，是真命题。当然，真命题不选啊。互补的角是零补角，这句话是错的。 同角的与角肯定相等。对。二十七题下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例式，它是假命题啊，绝对是。 a 大 于四，那么 a 一定大于四吗？那不一定，比如说 a 等于负五的时候，负五的绝对是大于四，可是 a 就是 负五，并不大于四。 二十八题真命题的个数，一、两条直线被第三条直线所截，同位角向的，这个并不一定，只有两条平行直线所截的时候才有对顶角向的，这是一个真命题。 过一点，有且只有一条直线与直线平行，这个呢，也是假命题。那必须是过直线了。一点 四，从直线了一点到这条直线的垂线段，叫做垂线段的程度， 才叫做点到线的距离。因此，这也是一个假命题。第五，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，这个是对的。在同一平面内，不管是在直线上还是直线外，那过它只有一条直线与已知直线垂直。因此，这里正确的呢，只有两个。 第二十九题，把命题等角的补角相等改写成如果那么的形式，那么可以改写成如果两个角相等，则他们的补角相等。 第三十题，锐角的与角是锐角，那改写成如果那么的形式的话，如果一个角是锐角，则他的与角也是锐角。 第三十一、对顶角相等。如果两个角是对顶角，则它们相等。第三十二、零补角互补如果两个角互为零补角，则它们互补。 题型九、写出命题的匿命题，那么匿名题和原命题之间呢？它是题设条件和结论进行一个互换，那若 p， 则 q 是 原命题的话，那么它的匿名题就是。若 q， 则屁就是结论和提射条件互换。第三十三、题，在数轴上表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等，那么它的命名题是在数轴上两个数到原点的距离相等，则这两个数互为相反数。 三十四、等边三角形，各个内角都等于六十度，那么各个内角都等于六十度的三角形，是等边三角形。 如果两个角是等角，那么它们的与角相等。逆命题是，如果两个角的与角相等，则它们两个角相等。三十六、同旁内角互补，两只线平行的逆命题是两只线平行同旁内角互补。很显然，这个是真命题。剩余晶体狂练部分呢，大家可以做一个补充练习。

初中数学想要在两个小时内搞定一百二十分的题，一定要掌握解析模型。如果每道题都要在考场上思考解析思路，可能连题都做不完，又如何能取得高分呢？建议孩子从七年级就开始学这六十个几何模型， 这本书把初中三年常考的几何模型都给你讲透了，每个模型的结论和证明都讲解的一清二楚。通过典型真题教会孩子掌握几何模型的解析技巧，再通过配套的专项训练，检验孩子对模型思维的掌握程度。 另外还有名师一对一讲解，不用担心孩子学不会。每天花点时间掌握一个几何模型。考试套模型，大题有思路，小题直接出答案，家有初中生的赶紧安排一套练一练吧！

七年级下册数学难点就是平行线模型、几何证明，家长务必要重视起来。下册开始，孩子要接触的几何模型会越来越多，比如猪蹄模型、铅笔头模型、手拉手模型、将军印马模型等等。 这些模型老师在课堂上因为时间的原因不会去系统的教，但是考试一定会考到，怎么办呢？建议给孩子准备上这本模型图，描解初中几何，他把初中三年常考的几何模型都整理好了，每个模型都整理了公式速记，做了图形拆解，怎么证明的都讲的明明白白， 孩子看了一目了然，看不懂的还可以扫码听老师一对一讲解。并且他用典型例题做了详细的剖析，辅助孩子更好的理解掌握模型。每个模型后边还精选了各地的经典考试真题，让孩子巩固所学知识，吃透了这本书。初中三年所有的几何题，孩子都不怕了。

我见过最笨的父母就是七年级，都最后三个月了，还没给孩子准备这本初中几何模型。进入七年级下册，一定要每天晚上掌握一个几何模型的解析练习，到了期中，期末考试很可能冲进班级前三，你永远也考不过一个每天掌握一个几何模型的孩子。因为七年级的数学成绩百分之四十是由几何决定的， 就把这本几何模型练完，考试想拿低分都难。从初一的几何图形初步，到初二的几何证明，再到初三的综合模型运用，通通包含。包含了初中三年数学常考的所有几何模型， 每个模型的结论、证明的方法都拆解的很详细，还有对应模型的一百六十六道辨识练习，巩固提升。基础差也没有关系，扫码就可以看视频讲解，从基础定义到方法口诀层层递进。初一的孩子想冲刺重点班级，你现在就可以开始做了，赶紧给七年级孩子准备一本吧！初一必会五大角度模型， 初二必会三大最值模型，很多你想破脑袋的大题，其实只需要一个模型就能解决。 像这样的大招模型，这本书里还有八十一个，把它看完就几乎搞定初中几何了。每个模型先帮你总结了条件和结论，然后是详细的证明过程， 如果有辨识，还会帮你拓展，最后再用后面的练习题巩固。有一道难都标记好了，像阿士元、费麻点刮斗原理这种难一点的看不懂，也有视频讲解，一本可以用三年，有需要的可以准备一本。 妈，你能不能帮我把这本书买回来，我们老师的小孩都是用它来学习的，要不是偷偷看见老师的小孩也在用，我 都不知道原来一本书就能让我在初中三年都名列前茅。你看这个燕尾模型题，看下图，角 a 等于五十度，角 b 等于二十五度，角 c 呢？等于三十度，求角 d 等于多少度？ 好多同学看到这个图直接就蒙了，没思路。但学过几何模型的同学都知道，这个叫燕尾模型，直接套用。结论，角 d 等于角 a， 加角 b 加角 c。 所以 就是五十度加二十五度加三十度，那角 d 就 等于一百零五度。 这个模型的结论是怎么来的？怎么证明的，怎么画辅助线的？翻开这本初中几何模型，找到燕尾模型这一页写的清清楚楚，每个模型不仅有插图，有口诀，辅助孩子理解理解题思路，看 不懂的地方还能扫码看视频讲解初中三年的几何，一共就这六十个模型，这本书都帮你总结好了。孩子解题的时候，只要判断出这个模型是什么模型，然后就像查字典一样，找到所属的模型，就能直接套用 题，很快就解出来了。每个模型学完，再搭配同步的练习片，一套两本，全国通用。寒假用好这套书，初中三年数学就不用愁了，快准备起来吧！

大家好，我是博罗培训学校的数学王老师，今天我分享的题目是二零二五年春季红山区期下期中考试数学卷第二十三题，如图一、 ab 平行 c、 d 角 c、 a、 d 等于角 c、 d、 a 角 b、 a、 c 的 平分线与角 a、 c、 b 的 平分线交于点 e 延长 c、 e 与 d a 的 延长线交于点 f， 角 f 等于五十度。第一问，求证角 e、 a、 d 等于九十度。 根据题目的已知条件，有很多角度的等量关系，所以呢，我们首先选择设参数，我们设角 c、 d、 a 等于 x， 那 么角 c、 a、 d 等于 x。 有两直线平行同位角相的可得角 b、 a、 f 也等于 x， 因为点 a 在 直线 d、 f 上，所以角 d、 a、 f 等于一百八十度， 所以角 b、 a、 c 等于一百八十度。减二、 x， 因为 a、 e 平分角 b、 a、 c， 所以 角 e、 a、 c 等于二分之一倍的角 b、 a、 c 等于九十度。减 x， 所以 角 e、 a、 d 等于角 e、 a、 c 加上角 c、 a、 d 就 等于九十度。减 x 加 x 等于九十度。 第二问，求角 a、 b、 c 的 度数。初一看这个问题，我还不知道怎么去求这个角，但是呢，我发现题目还有很多条件没有使用， 比如 a、 e 平分角 b、 a、 c、 c、 e 平分角 a、 c、 b 平分设等角，所以我设角 b、 a、 e 等于阿尔法则角 c、 a、 e 也等于阿尔法。这角 b、 c、 e 等于贝特，则角 a、 c、 e 也等于贝特。 还有我们第一问得到的角 e、 a、 d 等于九十度，以及题目给的角 f 等于五十度。有这两个条件，我们发现我们可以求出这个角的度数。 首先，我们可以过点 f 作 f， h 平行 a、 e 两直线平行同位角相等，所以角 d、 f、 h 等于角 d， a、 e 等于九十度。所以剩下的这个角 h、 f、 c 等于九十度，减五十度等于四十度。 两直线平行内错角相等，所以角 a、 e、 f 等于角 h、 f、 c 等于四十。 而我发现这个角 a、 e、 f 与 alpha、 beta 可以 建立起联系，我们只需要过点 e 作 eg 平行 a、 c 由两直线平行内错角相等就可以得到角 a、 eg 等于 r 法。 两直线平行同位角相等，可以得到角 f、 e、 g 等于角 e、 c、 a 等于贝塔，那所以阿尔法加贝塔就等于角 a、 e、 f 等于四十度。因此呢， r、 alpha 加 r beta 也就等于 八十度，以及是角 b、 a、 c 加上角 b、 c、 a 等于八十度。 而题目要我们求的角 a、 b、 c 就 可以与角 b、 a、 c 以及角 b、 c、 a 建立联系， 我们只需要过点 b 做 m、 n 平行 a、 c 有 两直线平行内错角相等，可以得到角 a、 b、 m 等于角 b， a、 c 等于二 r 法。 角 c、 b、 n 等于角 b、 c、 a 等于二倍。它因此角 abc 等于一百八十度，减去 r， alpha 减去二倍，它也就等于一百八十度，减八十度等于一百度。 这个第二问，同学们发现我做了很多的平行线来转化角度， 那有的同学可能提前知道一些三角形内角和定力，或者是三角形的外角定力。发现呢，我这个地方不需要通过平行线，利用刚刚两个定力就可以解决问题。但是 由于三角形的外角定例及内角和定例在七年级还没有正式开始学，所以这两个定例不能直接使用。我们通常都是通过平行线来将这些角度关系建立起来的。 我们继续看第三问。当角 d 等于六十五度， 若直线 c、 f 下方存在点记满足，角 e、 a、 g 等于 n 分 之一倍的角 e、 a、 c。 角 e、 c、 g 等于 n 分 之一倍的角 e、 c、 a， 则角 a、 g、 c 的 度数是多少？用含 n 的 式子直接写出答案。 由我们第二问的平分设等角，我们设了角 e、 a、 c 等于 alpha， 角 e、 c、 a 等于 beta， 所以 这个地方的角 e、 a、 g 我 可以把它写成 n 分 之一 alpha， 角 e、 c、 g 可以写成 n 分 之一的 beta。 好 在结合题目给的条件，角 d 等于六十五度，角 f 等于五十度。 那我们看看这里的 alpha 和 beta 与题目提供的几个角度能不能建立起联系。由题干之，角 c、 a、 d 是 等于角 d 等于六十五度。 哎，那这样一来，我们发现 beta 的 度数我可以求得出来，只需要过点 a 做 a， k 平行 f， c 有两直线平行同位角相等，可得角 k a、 d 等于五十度， 所以角 c、 a、 k 等于六十五度，减五十度等于十五度。两直线平行内错角相等，所以背它就等于十五度。 再由我们第二问的结论可知， alpha 加 beta 是 等于四十度，那所以呢，可以算出 alpha 等于二十五度。 这样一来，我们就得到了角 e、 a、 c 等于阿尔法等于二十五度。角 e、 c， a 等于贝塔等于十五度。 题目要我们求角 a、 g、 c 的 度数，那首先我要知道点记的位置，再画出对应的矢图。 根据条件，角 e、 a、 g 等于 n 分 之一倍的角 e、 a、 c。 那 么点 g 有 可能在射线 a、 e 上方， 也有可能在射线 a、 e 和 a、 c 之间，还有可能在直线 a、 c 的 下方。 再根据条件，角 e、 c、 g 等于 n 分 之一倍的角 e、 c、 a， 且点 g 在 直线 c、 f 的 下方， 那么点 g 可能在射线 c、 f 和 c a 之间，也有可能在直线 a、 c 的 下方。 综合来看，点击的位置有三种可能的情况。情况一，在射线 a、 e 的 上方，直线 c、 f 的 下方，也就是大概在这个区域。情况二，在三角形 a、 e、 c 的 内部。 情况三，在直线 a、 c 的 下方。下面我们再分情况讨论。 首先我们看情况一，当点记在 a、 e 上方 c、 f 下方时， 要求角 a、 g、 c 的 度数和第二问类似，我首先过点记作 s t 平行于 a、 c， 此时角 a、 g、 c 是 等于一百八十度。减去角 a、 g s， 减去角 c、 g、 t。 有 两直线平行，内错角相等，可知角 a、 g、 s 是 等于角 g、 a、 c、 g 那因此角 a、 g、 c 就 等于一百八十度。减去角 g、 a、 c， 减去角 a、 c、 g， 其中 角 g、 a、 c 是 等于角 e、 a、 g。 加上角 e、 a、 c， 也就是 n 分 之一阿尔法加上阿尔法， 其中角 a、 c、 g 是 等于角 e、 c、 a。 减去角 e、 c、 g， 也就等于 beta， 减去 n 分 之一 beta， 所以 它就等于一百八十度。减去 n 分 之一 alpha， 减 beta， 加上 n 分 之一 beta， 其中阿尔法等于二十五度。贝塔等于十五度。我们带进去，那就是一百八十度，减去 n 分 之二十五度，减二十五度，减十五度，加上 n 分 之十五度， 也就等于一百四十度，减去 n 分 之十度。我们再看情况二， 当点记在三角形 a、 c、 e 的 内部时， 辅助线同情况音，此时的角 a、 g、 c 同样等于一百八十度减去角 g、 a、 c。 减去角 g、 c、 a。 只不过此时角 g、 a、 c。 是 等于角 e、 a、 c。 减去角 e、 a、 g， 也就是 alpha 减去 n 分 之一 alpha， 此时的角 g、 c、 a。 是 等于角 e、 c、 a。 减去角 e、 c、 g。 也就等于 beta 减 n 分 之一 beta， 也就等于一百八十度。减阿尔法加上 n 分 之一阿尔法减贝塔加上 n 分 之一贝塔也就等于一百八十度。减二十五度。加上 n 分 之二十五度 减十五度。加上 n 分 之十五度，也就等于一百四十度加上 n 分 之四十度。我们继续看情况三， 当点 g 在 直线 a、 c 下方时，还是同样的辅助线， 那么角 a、 g、 c 依然等于一百八十度。减去角 g、 a、 c。 再减去角 g、 c、 a。 指示此时角 g、 a、 c。 等于角 e、 a、 g。 减去角 e、 a、 c， 也即是 n 分 之一 alpha 减 alpha， 角 g、 c、 a。 等于角 e、 c、 g。 减去角 e、 c， a。 也就等于 n 分 之一 beta 减 beta， 也就等于一百八十度。减 n 分 之一阿尔法加阿尔法 减 n 分 之一贝塔加贝塔，也就等于一百八十度。减 n 分 之二十五度。加二十五度。减 n 分 之十五度。加上十五度， 等于两百二十度减去 n 分 之四十度。 这里同学们要注意一下第三种情况，有的同学会问，角 e、 a、 g。 等于 n 分 之一倍的角 e、 a、 c， 那 它比角 e、 a、 c 要小啊？为什么这里的角 e、 a、 g 反而比角 e、 a、 c 大 呢？ 那是因为题目并没有交代 n 的 取值范围，也就是说，这里的 n 可以 大于零小于一， n 也可以等于一。 当 n 大 于零小于一时， n 分 之一就是大于一的，那么此时角 e a g 就 大于角 e a c。 角 e c g 就 大于角 e c a， 也就对应着我们这里的情况。三、 这个第三问主要考察的是分类讨论的数学思想，我们要学会找到合适的分类标准，然后再正确的进行分类讨论。

每天一个初中几何模型，今天学习的是八字形模型。好，今天我们开始八年级上学期第一个几何模型的学习，第一个几何模型叫做八字形，也就是我们三角形这个 章节里面的一个模型啊。八字形模型它给出的条件是 a、 c、 b、 d 相加于点 o， 然后连接了 ab 和 cd， 两线相交，然后形成了一个八字，然后他要你求证的结论是，角 a 加角 b 等于角 c 加角 d。 其实我们这个结论很容易就能得出来，因为我们 这里有两个我们的对顶角，这两个对顶角它的大小度数是一样的，然后根据我们三角形内角和是一百八十度，那就有比如说这个角叫做角一，这个叫做角二，那我们角 a 加角 b 加角一等于一百八十度，同样的角 c 加角 d， 加上角二也同样等于一百八十度。然后我们根据对顶角知道了角一和角二的度数是一样的，所以就可以轻易的得出我们角 a 加角 b 等于角 c 加角 d。 所以 我们八字形模型我们要知道的结论是两个 两个不相邻的外角度数之合，它的大小是一样的。好，知道了八字形之后，我们看下面这个例题， 他说如图，角 a 等于七十度，角 b 等于四十度，角 c 等于三十度，他叫你求证角 d 加角 e 的 度数。好，我们可以看下面这个题， 角 d 和角 e， 它很明显是我们八字形模型上面两个角的度数。那这个题我们就需要构造出一个八字模型来，我们只需要连接我们的 bc， 连接了 bc 之后，我们会得到两个新的角度，这个角我们叫做角一，这边这个角叫做角二。好，连接了之后你会发现，我们角 a 加我们原来的角 b， 再加上我们的角 c， 再加上角一，再加角二， 它是等于我们三角形的内角和，也就是等于一百八十度哈。然后根据我们的八字形模型，我们的角一加角二，它其实是等于我们的角 d 加角 e 哈。然后我们就不难看出，用一百八十度减掉角 a、 加角 b、 加角 c， 就 能得到我们角一加角二的度数，而角一加角 b 加角 e， 所以我们就可以得出我们角 d 加角 e 的 度数，就用一百八十度减掉我们角 a 的 七十度，再减我们角 b 的 四十度，再减掉我们角 c 的 三十度。 好，最后就能得出我们角 d 加角 e 的 度数等于四十度。好，所以这个题答案 b 选项就可以很轻易的得出来了啊，哼哼。

大家好，我是数学雷老师，下面我们看二零二五华艺记七年级下学期期中考试的第二十三题。哎，考察这个综合与实践问题。折纸中的数学 李明同学在探究过直线外一点做已知直线的平行线这个活动当中，他通过这个正方形的折纸方式，找到了符合要求的直线。 第一步，在纸上去画一条直线 b、 c。 哎，这个直线 b、 c 是 我们任意画的，然后呢，在 b、 c 外去取一点 p， 过点 p， 将纸片进行折叠，使得这个 c 点的对应点 c 一 撇，要落在这个直线 b、 c 一 上，那么这不二的情况， 现在既折横 d、 e 与 b、 c 的 交点为 a， 然后将这个纸给它铺平。现在让我们求角 p a、 b 的 度数， 那由折叠，我们知道前后的这个对应角是相等的，那由折叠，所以我们得到角 c、 a、 e 的。 而 c、 a、 b 三点在一条直线上， 所以角 c、 a、 b 是 一个平角，也就等于一百八十度。那所以啊，角 c、 a、 e 等于角 b、 a、 e 都等于呢九十度，那也就是角 b、 a、 p 这个角等于九十度啊，这是一个小问题。 那么第二个问题呢？他说再过点 p， 将纸片进行折叠，使得点 e 的 对应点 e 一 撇，落在直线 d 一 p 上， 用图三的情况再将纸片平铺开。那么这个时候得到的直线 p、 f 与直线 bc 的 位置关系是什么？ 那从图上我们可以看出，他们俩应该是一个平行的位置关系，那这里怎么去证明呢？哎，由于我们第一小问的这个折叠，我们同理可以得到角 e、 p、 f 这个角，它也是一个直角， 那角 e、 p、 f 是 九十度，而在第一问里面知道了角 b a p 是 九十度，所以这样一来，我们在角 e p f 和角 b a p 相等都等于九十度的情况下，那这两个角是属于什么角呢？是属于一对同位角，所以同位角相等，两直线平行，所以此时的这个 p f 就 平行于 b c。 啊，这是我们的第一问。 第二问，刘伟同学在李明同学折纸的基础上补充的条件也如图，在线段 a p 上任取一点 m 连 f m b m， 让我们猜想角 a b m， 角 m f 以及角 b m f 这三个角间的数量关系。 那由前面的第一问我们已经得到了结论，得到 f p 平行于 b c。 那 其实这个呢，我们就非常熟悉了， 那我们直接用我们平行线的处理方式哎，拐点做平行就可以，所以这里我们过拐点 m 做 m n 平行于 f p。 哎，当然你也可以平行于 b c， 那 这个都是可以的， 那么这两个一平行，所以呢，内错角相等，那么这一来啊，得到了角 b 一， 就等于呢角 m f p。 那 由于啊， f p 平行于 m n f p， 它又平行于 b c， 所以由平行于同一条直线的两条直线平行，我们就可以得到这个 m n， 它又平行于呢 b c 一 m n 平行于 b c。 两直线平行，内错角相等，所以这个角二就等于呢角 abm。 那这样一来呀，我们就可以得到角 a b m 加上这个角 p f m， 它是等于呢角二加角一的， 而角二加角一刚好是等于我们的角 b m f， 所以 我们的这三个角的数量关系呢？叫什么？角 a b m 与角 p f m 这两个角的和等于第三个角 b m、 f 第三问，王芳同学在刘炜同学补充条件的基础上，进一步补充条件。入图连接 c g 若角 f g c 比上角 c g， n 等于角 b c， g 比上角 n， c g 等于角 k f g 比上角 m， f， g 等于角 h b c 比上角 c， b、 m 这四组比例相等， 要求角 b、 m、 f 的 度数，那为了方便哎 表示这些角的比值，我们把它设为比例为 k， 那 如果设角 n、 g， c 为阿尔法，那么角 f、 g， c 就是 k 一 倍的阿尔法。角 n c， g 如果用贝塔表示，那么角 b、 c， g 就是 k 一 倍的贝塔。 角 k f g 与角 m f、 g 如果让它为 x， 那 么角 k、 f、 g 就是 呢 a 倍的 x。 角 abm 如果等于 y 的 话，那么角 c、 b、 h 就是 k 倍的 y， 那 此时要求的角 b、 m、 f 在 第二问当中，我们已经知道他们这个角是等于角 p、 f、 m 的， 所以角 b、 m、 f 就 等于呢 x 加 y， 那 要求角 b、 m、 f 的 度数，也就是它求 x 加 y 的 值， 那我们把这个体干已知条件捋一下，已知的是呢， f g 和 bc 平行，外加这个纸片是正方形，也就是它这个四个内角都是直角。 首先呢，由这一个 f g 平行于 b c， 我 们可以知道角 f、 g， c 与角 b c， g 是 一组 同旁内角，所以它们两个是互的，也就是 k 倍的阿尔法加上 k 倍的贝塔的和，等于呢一百八十度，那也就是 k 乘以阿尔法加贝塔的和， 等于一百八十度，那在这里呢，如果能够求出阿尔法与贝塔的和的话，我们就能够求出 a 的 具体值。 好，那在这里我们发现啊，阿尔法，贝塔还有这个正方形的内角角 n， 它其实是一个直角九路， 那么由这里我们可以得到阿尔法与贝塔的数量关系。那这怎么去用呢？哎，其实我们很明显知道哎， 但是呢，我们在七下的时候，不能够直接用三角形的内角和我们要用的什么平行线的知识来进行求的，所以我们过这个 n 去做一条 c g 的 平行线，比如说我们现在做 n q 平行于 c g， 那 么这一来呀，有平行，我们就会有相应的内错角和 同旁内角了。 n q 平行于 c g， 所以 角 q n g 这个角就角 c g n， 它属于呢内错角，所以它是阿尔法。那此时角 g c n 与角 q n c 属于同旁内角，它们两个是和为负，它们两个的和为幺八度。所以这样一来啊，我们就可以得到两关系式，第一个角 q n g 等于角 n g c 等于 alpha， 角 q n c 加上角 g c n 和为一百八。 那么在这里我们把相应的数值带进去之后，那就得到呢， alpha 加上九十度，加上 beta 等于一百八十度。 所以啊，就可以得到我们的阿尔法加上贝塔的和等于九十度。 那有这个两个的和为九十，和这个 k 一 倍的和等于呢 e 八，那我们就可以求出啊， k 的 值等于二。 好，到这里呢，我们求了 k 等于二之后，我们就可以把这个图中的 k 全部给它替换成我们的二。好，那这里呢，我们接着看 这些角，我们先把它替换掉。哎，那就是阿尔法二，阿尔法贝塔二，贝塔 x 二 x y 二 y， 然后我们已有的得到的关系式阿尔法和比特的和等于呢九十，这是我们已经 求证过了的结论。那现在呢，我们要求的是角 b m f， 也就是 x 角 y 的 这个值。 那由刚刚啊，我们在求 alpha 加 beta 等于九十度的时候，其实呢，是过点 n 做了 c g 的 平行线，间接的证明了一个三角形的内角和问题。 那由于这个四边形纸片，它是一个正方形啊，所以这个角 k， 角 h， 它都是直角，也就都等于了九十度。那么由此啊，我们是否可以 找到这个 x 与阿尔法的关系， y 与 beta 的 关系，那我们看一下啊，那我们利用同样的方式过点 h 和 k 分 别去做它 这个对边 f g 和 b c 的 平行线啊，那么这里呢，记为 k s 和 h t， 那 也就是 k s 平行于 f g 以及 h t 平行于 b c， 那 么由这两条平行线，我们跟 前面这里求 alpha 加 beta 的 和，用同样的方式就可以推出角 k f g 与角 f g k 这两个角的和也等于呢九十度，以及角 h b c 加上角 h c b 的 和也等于九十度。 那么在这儿有角 k， f g 以及二 x， 那 么角 f g， k 的 度数呢，我们同样可以表示出来，因为角 n g， k 是 一个平角一百八十度，所以我们的角 f， g， k 就是 一百八十度 减去三倍的阿尔法。同理，我们的角 b， c， h 就是 一百八十度，减去三倍的贝塔。所以这样一来，我们就可以得到呢， 二 x 加上一百八十度减三，阿尔法是等于九十度的。 二 y 加上一百八十度减三倍，它是等于呢九十度的。 所以这样一来啊，在这里要求的是 x 加 y， 所以 我们需要把这两个式子进行一加，那就可以得到二 x 加二 y 加上三百六十度 减三倍的阿尔法加贝塔的和等于一百八十度。而我们已经求过了阿尔法加贝塔等于九十，所以直接带进来之后，我们就可以得到什么呢？ 二倍的 x 加二倍的 y 是 等于九十度。那这样一来啊，就可以得到 x 加 y 的 和是等于四十五度。 那既然 x 加 y 等于四十五，我们已经在第二文中已经知道了角 b m f 好， 又等于 x 加 y， 也就等于呢四十五度。 所以此时啊，角 b m f 的 度数就为呢四十五度。

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我见过最笨的父母呢，就是七年级，都最后三个月了，还没给孩子呢！准备这本模型图，了解初中几何！七年级下学期呢，一定要每天晚上掌握一个几何模型的阶梯练习，到期中考试啊，很可能冲进班级前三， 你永远考不过一个每天掌握一个几何模型的孩子，因为七年级的数学成绩呢，百分之四十是由几何决定的。 吃透这本模型图，了解初中几何呢，考试啊，想拿低分都难！梳理把初一的八个模型，初二的三十三个模型，初三的十九个模型呢，都整理好了，像常考的将军一马模型、 手拉手模型、 a 字模型图、不规模型，每个模型的条件、结论是什么证明的方法呢？都拆解的非常详细啊！再结合典型真题，从找模型到用模型，让孩子呢掌握解题思路，吃透答题技巧。技术差呢，也没关系啊，扫码呢，就能看视频讲解，从理论到方法， 层层递进，几何基础呢，打的太牢了。配套的呢，还有一本专项练习，学一个模型呢，就做一页真题训练，学练结合，彻底掌握几何模型的解析技巧。驾校初中生的啊，抓紧准备一套吧！